автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Разработка методики вычисления псевдорешений уравнений ошибок с заданными экстремальными свойствами при уравнении свободных геодезических сетей

1 ¿г

На правах рукописи

АЛЕКСАШИНА ЕЛЕНА ВИКТОРОВНА

УДК 528.1

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПСЕВДОРЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОШИБОК С ЗАДАННЫМИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ ПРИ УРАВНИВАНИИ СВОБОДНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

05.24,01 - Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор БЫВШЕВ В.А.

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор МАТВЕЕВ С.И., кандидат технических наук ГОРЕЛОВ В.А.

Ведущая организация - Государственный специализированный проектный институт (ГСШ)

Защита диссертации состоится "28 1095Т.

в 14 час. на заседании специализированного совета К 063.01.01 в Московском государственном университете геодезии и картографии по адресу: 103064, Москва К-64, Гороховский пер., 4, МГУГиК, ауд. 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУГиК.

Автореферат разослан " 41 " \WSt3JpS- 1995~г.

Ученый секретарь специализированного совета

В.А.МОНАХОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Бри решении ряда задач геодезии, в частности, прикладной геодезии приходится использовать геодезические построения - свободные сети -, в которых отсутствует необходимое число "твердых" элементов. Эта особенность свободных геодезических сетей (крайне полезная в некоторых ситуациях) индуцирует неединственность оптимальных оценок искомых неизвестных.

Неединственность оценок искомых величин в свободных сетях дает возможность выбора любой из них,наиболее удовлетворяющей поставленной задаче.

Хотя теоретически такая возможность и существует, однако на практике геодезисты вынуждены обходиться чаще всего главным псевдорешением соответствующей системы уравнений ошибок, даже если оно не вполне отвечает существу задачи, т.к. единой методики получения любых других приемлемых псевдорешений до сих пор нет.

Поэтому разработка методики выбора псевдорешения с любыми требуемыми экстремальными- свойствами является актуальной задачей теории математической обработки геодезических измерений.

Целью исследований является разработка универсальной методики вычисления и оценки точности псевдорешений, обладающих требуемыми экстремальными свойствами.

Научная новизна. Предлагаемая в работе методика не требует псевдообращения вырожденной матрицы системы нормальных уравнений и предварительного построения базиса подпространс-

тва, фиксирующего искомое псевдорешение. Она позволяет отыскивать псевдорешения уравнений ошибок с любыми заданными экстремальными свойствами, поэтому ее можно считать универсальной. Это подтверждается разработанными в данной диссертации алгоритмами вычисления Чебышевского псевдорешения и решения с наивысшей покомпонентной точностью (см. ниже). Технология точностных расчетов, построенная в работе, использует уже вычисленное псевдорешение с требуемым экстремальным свойством и позволяет находить подпространство, оптимальным образом фиксирующее найденное псевдсрешекие, в виде базиса, который и необходим для выполнения оценки точности.

Апробация работы и реализация результатов исследований. Алгоритм вычисления Чебышевского псевдорешения реализован в слде программы уравнивания свободной сети трилатерации и использован для решения задачи контроля качества изготовления радиотехнических изделий. Теоретические и практические результаты исследований докладывались на конференции • студентов, аспирантов и молодых ученых МГУГиК в марте 1094 года.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в трех статьях.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Содержание работы изложено на 141 .странице машинописного текста и включает 7 таблиц,. 5 рисунков, 7 приложений. Список использованной литературы содержит 6?, наименования, в том числе, 27 - на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована решаемая в работе поактичес-

кая задача, послужившая стимулом для разработки методики вычисления псевдорешений с требуемыми экстремальными свойствами (cm.ctp.1S автореферата), поставлена цель диссертационной работы.

Первый раздел "Обзор ситуации и существующих методик уравнивания свободных геодезических сетей" состоит из шести частей.

В разделе 1.1 приводятся основные понятия и обозначения, связанные со свободными геодезическими сетями. К ним относят сети, в которых существует дефект данных, т.е. отсутствует необходимое число "твердых" элементов, фиксирующих начало системы координат, масштаб и ориентацию сети. С этим связана и особенность уравнивания таких, сетей - наличие столбцового дефекта d в матрице А коэффициентов уравнений ошибок

1 = А ■ SZ + А. (1)

Следствием этого является вырожденная матрица системы нормальных уравнений, имеющей бесчисленное множество А~(1) различных псевдорешений 6Z", удовлетворяющих требованию метода наименьших квадратов

VT-P-V = min. (2)

В разделе 1.2 дана интерпретация результатов свободного уравнивания, из которой едедует, что конкретное псевдорешение 5Z", принадлежащее множеству А~(1), относится к одной определенной системе координат и является (при рассуждении в дифференциалах) несмещенной эффективной оценкой вектора SZhct-

В разделах 1.3 и 1.4 рассмотрены существующие, методики

решения системы уравнений (1). Все они сводятся к предварительному построению матрицы tk. d - базиса подпространства M(t), обладающего свойствами

1) М (t) П М (Ат) = О

2) dim М (t)'= d = k - гкА (3)

3) tT • 52" = О.

Одна методика основывается на решении системы линейных уравнений с невырожденной симметричной матрицей: , Ат-Р-А t Л / ( Аг-Р-Ь

|------ „_.| . . | (4)

tT 0 > О ' ^ о / При этом используется аппарат g-обратных матриц, различные алгоритмы вычисления которых достаточно хорошо известны.

Следуя другой методике, псевдорешение' может быть найдено в итоге проекционного преобразования известного псевдорешения в искомое:

5Z~ » (I - е-(tT-e)"1-tT) - 5Z"0. (5)

В разделе 1.5 приводится анализ публикаций, освещающих широкое практическое использование свободных сетей при решении различных инженерных задач.

В заключительной части первого раздела сделаны выводы о:

1) значимости для теории и практики геодезии свободного уравнивания;

2) наличии методик лишь для отыскания псевдорешений с простейшими аналитическими свойствами (например, со свойством

к к

L (5Zi+)2 = min <=> L 62(SZi+) = min , (6) i-i l-i

характеризующим главное псевдорешение),

3) практической потребности в вычислении псевдорешений, обладающих другими экстремальными свойствами ,к примеру, свойством

max |6Zi-4 = min (7)

ЧЧк

или свойством

max 62(5Zj") = min; (8)

4) невозможности использования существующих методик в задаче отыскания псевдорешений, например, со свойствами (7) и (8) из-за отсутствия правил построения матрицы t.

Второй раздел работы посвящен разработке методики вычисления псевдорешений уравнений ошибок с требуемыми экстремальными свойствами. Он включает в себя пять частей. В первой части, разделе 1.1, строится соответствующая теория. Она базируется на следующих известных утверждениях линейной алгебры.

Множество всех псевдорешений уравнений ошибок (1) можно представить в виде:

А~(1) = 5Z0 + Her А. С9)

где ÖZo - фиксированное псевдорешение системы (1); Кег А - ядро матрицы А

Кег А = { Z: Ze Rk; А • Z = 0 >. (10)

Ядро матрицы А фиксируется набором базисных векторов, вид которых для геодезических свободных сетей известен:

Кег А = Я?ап { ei, ег,.... ed >. (11)

С геодезической точки зрения, элементы ядра Матрицы А преде-

тавляют собой главные части изменений координат точек сети вследствие ее преобразований, не изменяющих значений измеряемых величин, что в общем случае справедливо при рассуждении в дифференциалах. Выбирая различные элементы из множества Кег А при фиксированном 5Zo, можно, как следует из (9), отыскать различные элементы 5Z~ множества А"(1).

С учетом равенства (9) любое псевдорешение может быть представлено в виде d

5Z~ » 6Z0" + L arei , (12)

i-i

где 6Zo~ - известное псевдорешение. Оно может быть получено, например, путем фиксации в свободной сети необходимого числа d твердых элементов;

et - известные элементы базиса подпространства Кег А; а = («1. «2. •••. Od)eRd - набор d скаляров, однозначно определяющих 52".

Пользуясь произвольностью значений «i, их можно выбрать такими, чтобы псевдорешение (12) отвечало требуемому экстремальному свойству. Обозначим это свойство символом 5>, а обладающее им псевдорешение обозначим SZqT. Свойство ф имеет универсальный аналитический вид:

<p(6Z<p") -> mln 5Zip"eA~(l). (13)

Так что 5Z<p~ является экстремалью функции ф. определенной на А~(1). Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между множествами множествами А~(1) и Rd. то задача (13) может быть преобразована в эквивалентную задачу на безусловный экстремум функции d переменных:

<¡»(oíi,..., «d) -> mln, а е Rd. (14)

Вид минимизируемой функции будет зависеть от свойства, которым должно обладать искомое псевдорешение. Так, например, для главного псевдорешения функция ф имеет вид:

к

4>(«i.....Od) = £ (5Zi+)2, (15)

i-l

а для псевдорешений со свойствами (7) и (8) - соответственно 5>(«i.....,«d) = max |52i"| . (16)

ipfcti____,Od) - max б2(52Г). (17)

Для решения задачи (14) в работе предлагается использовать алгоритм Хука-Дживса, который предназначен для поиска минимума унимодальной функции многих переменных и не требует вычисления производных. В итоге реализации его находятся конкретные значения «i, они являются решением задачи (14).

Для отыскания требуемого псевдорешения 52ф~ надо подставить теперь уже известные «i в формулу (12).

Разработанная методика иллюстрируется в работе наглядными примерами. Приведем один из них. А Пусть дана сеть трилатерации, не

/ / имеющая твердых пунктов (рис. 1).

/ ^^ч. / В табл.1 приведены приближенные

/ х. / координаты пунктов и измеренные

3 4 длины линий. Требуется вычислить

Рис. 1 главное псевдорешение системы (1).

Таблица 1

1 1 1 NN 1 Приближенные 1 1 11 .Название 1 Результат |

I пунктов | координаты I| линии измерения |

1 1 | | Х(м) У (м) II 11 (м) |

1 1 1 1 1 0 0 11 11 1-2 1000.000 |

1 2 | 866.02 500.00 11 1-3 999.990 |

1 3 | 0 1000.00 11 2-3 1000.011 |

1 4 | 866.02 1500.00 11 1-4 1732.011 |

1 1 11 2-4 999.991 I

1 1 | | ■ 11 3-4 1 1 1000.003 | I

Согласно разработанной методике, найдем главное псевдорешение 52+, пользуясь общей формулой (12).

= 52о~ + «х-в! + аг-ег + осз-ез. (18)

Псевдорешение, полученное при фиксировании координат Ха, Уз., Хг, будет иметь вид:

(52сГ)т =(000 +12.8 -42.0 -16.2 -48.4 -2.4). Коэффициенты аь «2, «э, полученные в итоге минимизации методом Хука-Дживса функции д

Ф(«1, аг, со) = Е (52Г)2. 1-1

имеют следующие значения

«1 = +45.20 «2 = +2.95 «э = +41.24'.

Податавив их в формулу (22), получим искомое псевдо-

решение:

(5Z+)T = (+0.7 +14.1 +15.3 +1.6 -12.1 -2.1 -3.9 -13.6). (мм)

Переходим к обсуждению построенной в разделе 2,2 методики точностных расчетов.

Пусть найден 5Z<¡r - элемент множества А~(1), обладающий требуемым экстремальным свойством

6Z¡?" = argmln tp(6Z~). (19)

5Z"eA"(l)

Любое псевдорешение определяется подпространством M(t)e Rr, удовлетворяющим условиям (3).

В работе доказано следующее утверждение. Матрица tk. d. образующая базис подпространства M(t) и соответствующая в смысле (3) элементу 6Z?~, может быть определена в процессе решения матричной системы уравнений: / ет ч , I ^

I ----- I • tk.d - |--d'd"l - (20)

(5Z?»_)T/ 4 О >

1. d

После отыскания матрицы t по известному псевдорешению 5Zф~ вычисляется его точностная характеристика

K(5Z<p~) = P(tVe) • K(5Zo~) • PT(tVe) (21)

или

Q(5Z?") = P(tVe) • Q(5Z0") • PT(tVt). (22)

В формулах (21) и (22) P(tx/e) - проектор на подпространство MKt), проектирующий параллельно Кег А. равен

P(tVe) = (I - е-(tT-e)_1-tT). (23)

Заметим, что при

(1+1 < к (24)

система (20) имеет неединственное решение. Данный факт, в частности, означает, что пространство М(М, обладающее свойствами (3), неединственно. Это обстоятельство имеет практическое значение при отыскании матрицы весовых коэффициентов (22), характеризующей точность псевдорешения бКр". Известные из теории численных методов линейной алгебры утверждения о точностных достоинствах ортогональных преобразований подсказывают принцип выбора подпространствам^): оно должно быть выбрано так, чтобы проектор (23) был максимально близок ортогональному проектору. Это произойдет тогда и только тогда, когда угол У (см. рис. 2) между подпространствами М(и и Кег А будет наименьшим, т.е. когда

С05 у------> таХ- (25)

ъ

Объединяя требования (25) и систему (20), получим задачу на условный экстремум. Итогом ее решения будет базис t искомого подпространства , оптимальным образом фиксирующий псевдорешение 52ф~.

Любой.столбец решения системы (20) можно представить в виде

= —- , (26).

Ьс

где Ьс - подвектор размерности к- ((1+1) свободных параметров, ^ - подвектор размерности (<1+1) несвободных параметров. При этом

г„ = БЧс + Ь. (27) где матрица Т> и вектор Ь однозначно определяются коэ$фициен-

тами и свободными членами системы (20). Таким образом, для удовлетворения требованию (25) нужно, варьируя подвекторы Ьс. добиться максимального приближения вектора ^ к подпространству Кег А. В работе доказывается, что подвектор доставляющий решение задачи (25), является корнем системы линейных алгебраических уравнений:

фт-0 + 1)<с + 0Г-Ь = 0. (28)

Рис. 2

В работе [3) приведены примеры формирования матрицы I в соответствии с вышеизложенной методикой.

В разделе 2.3 разработан алгоритм вычисления псевдорешений с экстремальным свойством (7) , которое является

частным случаем Чебышевской аппроксимации- По этой причине элемент б2->-£ А~(1), наименее уклоняющийся от нуля в смысле нормы П.Л.Чебышева

= шах|5гГ1.

со 1<3<к

назван Чебышевским псевдорешением уравнений ошибок (1). (Поводом для построения алгоритма вычисления такого псевдорешения послужила описанная ниже , на стр. 18, задача контроля качества изготовления радиотехнических изделий.) Алгоритм состоит из следующих шагов.

1. Текущий элемент е А"(1) представим в виде:

81~ « 51° + «1-е! + ссг-ег +...+ сад-еа, (29)

где 82° - элемент множества А~(1), полученный при фиксации в сети с1 элементов.

2. Составляем минимизируемую функцию

а

Фпр(«1. «2.....«а) = шх |5г1° + £ с^-еЫ. (30)

3. Решаем задачу на безусловный экстремум функции (30) методом Хука-Дживса. В итоге получаем значения

(СЦ-Ч «2-1-..... С^).

4. Подставляем найденные в формулу (29) и получаем Чебышевское псевдорешение.

Б. Для оценки точности вычисляем обратную весовую матрицу 0да-Ч=(1-е-(1;'г-еГ1-гт)-4(62°) • (1-е-ат-е)_1-1т)т, (31) где 0(5г°) = (Аот-Р-Ао)-1;

Ао - часть матрицы А системы (1), соответствующая псевдоре-шенио (б1°) и имеющая полный ранг.

В качестве одного из примеров в работе вычисляется 5ZM для сети трилатерации (рис. 1). Результаты приведены в таблице 2.

Для иллюстрации универсальности построенной методики вычисления псевдорешений с требуемыми экстремальными свойствами в разделе 2.4 разработан алгоритм вычисления псевдорешений с наивысшей покомпонентной точностью,т.е. обладающих экстремальным свойством (8).Шаги реализации этого алгоритма аналогичны вышеизложенному порядку вычисления Чебышевского псевдорешения. При этом минимизируемая функция будет иметь вид:

<P(5Z") = max 62(SZj") , (32)

где 62(6Z;j~) - дисперсия d - го элемента искомого псевдорешения, диагональный элемент Jj ковариационной матрицы

K(5Z~) = 602-Q(ÔZ"). Матрица Q(SZ~) вычисляется согласно (22) с помощью базиса подпространства M(t). Тот, в свою очередь, определяется непосредственно псевдорешением 5Z-, представляемым в виде (29). В итоге минимизации функции (32) методом Хука-Дживса будут найдены такие значения коэффициентов «i, «г,... ,o£d, которые приведут к тому, что максимальная ошибка псевдорешения 5Zj~ будет наименьшей'среди ошибок прочих псевдорешений. Псевдорешение со свойством (8) для сети трилатерации (рис.1) приведено в таблице 2.

В последней части второго раздела подведены итоги теоретических исследований, проанализированы, результаты практи-

Таблица 2

1 NN 1 Обозна- | Главное -........ Обратные ■ Псевдорешение Обратные 1 ■ 1 I Чебышевское | Обратные |

пунктов чание | коорд. | псевдорешение зг+(мм) веса. с максимальной покомпонентной точностью 52~ф(мм) веса |псевдорешение! I 5г^(мм) .| веса |

1 X 1 +0.7 0.294 -2.4 0.307 1 -0.7 | 0.299 |

1 1 1 +14.1 0.258 +21.0 0.400 | +13.8 | 0.252 |

2 X I +15.3 0.419 +14.4 0.400 | +13.8 | 0.386 |

г V 1 +1.6 0.320 +4.7 0.326 1 +1.5 | 0.320 |

3 х I -12.1 0.410 -10.8 0.400 | -13.8 | 0.446 |

3 V 1 -2.1 0.320 +4.8 0.326 1 "2.5 1 0.321 |

4 х I -3.9 0.294 -0.4 0.285 1 "5.7 I 0.305 |

4 1 .. ,. . у 1 я -13.6 0.258 -10.5 0.223 1 -13.8 | i 1 0.268 | .........Л

ческого использования разработанной методики. Отмечается, что предлагаемая методика отыскания любого псевдорешения уравнения ошибок (1), обратна в смысле последовательности вычисления t и SZ~ уже существующим методикам. Этот, факт и представление 5Z" в виде (12) позволяют находить псевдорешения, обладающие требуемыми экстремальными свойствами. Кроме того, построенная методика не требует псевдообращения вырожденной матрицы системы нормальных уравнений. Оптимально выбранное подпространство M(t) однозначно фиксирует найденное псевдорешение 5Z", которое позволяет восстановить матрицу t, необходимую для точностных расчетов. Из сравнения результатов вычисления псевдорешений главного, Чебышевского и с наивысшей покомпонентной точностью (табл.2) видно, что максимальное значение компоненты 5Zjx = 13.8 является минимальным среди компонент прочих решений, а элемент 5Zj~ = 21.0 с максимальным обратным весом (0.400) определен точнее любого другого псевдорешения SZ1- или 5Z+, так как его обратный вес по сравнению с обратными весами указанных псевдорешений минимален. В выводах подчеркивается, что отличие предлагаемых алгоритмов состоит лишь в виде минимизируемой функции ф(52<р~). В остальном же все шаги по вычислению искомого псевдорешения идентичны. Построенные алгоритмы вычисления псевдорешений с заданными экстремальными свойствами могут найти конкретное применение при решении различных инженерных задач.

В третьей главе диссертационной работы показано практическое использование разработанного алгоритма вычисления Чебышевского псевдорешения в задаче контроля качества изготовления радиотехнических изделий. (Бывшев В.А., Палеев В.Ш.,

Теленков М.А. Об одной задаче прикладной геодезии, сводящейся к уравниванию свободной сети. - Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1985, N6.) Этот раздел состоит из трех частей. В первой дается описание решаемой практической задачи, которая кратко заключается в следующем.

На плоской поверхности радиотехнического изделия имеется множество физически реализованных точек М=(М1.Мг.....Ми). N - может составлять несколько сотен. По проекту изделия точки Ы1 должны иметь координата

(2°)г=(Х10.У10.Х20. У2°. •. ..х№. УЫ°) (33)

в системе плоских прямоугольных координат (ОХУ). Эта система координат на реальном изделии отсутствует. Требуется определить фактические координаты

(г)т=(Х1.У1.Х2.Х2. ....Хы.Уы)

точек в системе координат (0Х¥).

можно представить на рис. 3.

м,

(34)

Схематически это

И.

Рис. 3.

Из-за дефектов изготовления всегда будет существовать отличие

6Z.M5Xi.5Yi.5X2.6Y2. ....5Хц.5Уц)=гт-(г°)т . (35) фактических координат (33) от проектных (34). Согласно техническому заданию, предельное отличие, т.е. значение

Фпр(бг) = шах |5ZjI (36)

l<d<2n

не должно превосходить заданного допуска 5доп. составляющего несколько миллиметров. Тем самым изделие считается доброкачественным. если max |ôZj| < 52ДОп • (37) 1<J<2N

Для оценивания вектора (35) доступны результаты измерений расстояний между точками множества М.

Решение задачи контроля качества изготовления радиотехнического изделия естественно сводится к уравниванию свободной по координатам и дирекционному углу сети трилатерации, т.е. к выбору подходящего псевдорешения

ÔZ"T= (5ХГ. 5Yi~ 5Х2". 5У2"..... «XN_. <5Уц") (38)

из множества А~(1) всех псевдорешений системы уравнений ошибок (1), соответствующих этой свободной сети. Далее приводится обоснование выбора Чебышевского псевдореиения.•В техническом задании допуск назначен на предельное отличие фактических координат от проектных, поэтому уйловие (37) определяет выбор из всего множества А~(1) псевдорешения ôZx,которое обладает экстремальным свойством (7).

Для определения эффективности Чебышевского решения в задаче контроля -радиотехнического изделия в этом разделе выполнено уравнивание фрагмента сети трилатерации, состоящего из 19 пунктов (см. рис.4). Для этого составлена программа на языке Turbo Pascal 7.0, описание которой дано в разделе 3.2. Результаты вычисления ясевдорешений главного и Чебышевского приведены в табл.3 и 4.

Схема расположения пунктов сети тридатерации на радиотехническом изделии

Рис.4

Табл.3

1 Главное псевдорешение 52+

и обратные веса его компонент

1 |Узл ■ 5Х* 1 5У+ |0(5Х+) Ц(5У+) 11 1 ||Узл| 5Х+ I 5У+ |С1(5Х+) 1 4(5**) 1

|тчк мм мм | 1 ||тчк| мм 11 1 мм | 1

1 1 +0.94 1 +0.4910.452 0.453 11 1 | | 1Ц-0.22 1 +0.14|0.805 0.575 |

I 2 -0.19 +0.7710.468 0.519 I I 12|-0.61 -0.7710.848 0.536 |

1 3 -0.69 -1.0710.488 0.444 II 131-1.65 -0.5410.661 0.746 |

1 4 -0.63 +0.14|0.503 0.514 I | 141+1.22 -1.2210.684 1.296 |

1 5 +0.51 +1.71|0.485 0.558 II 15|+1.33 +0.33|0.652 0.753 |

1 6 -0,09 +1.86|0.547 0.469 II 16|+0.81 +0.17Ц.149 0.806 |

1 7 +0.28 +0.1810.530 0.406 II 171-0.15 +0.08)0.810 0.585 |

1 8 -0.44 -0.7510.627 0.733 || 18|+0.57 +0.1111.134 0.845 |

1 9 -0.82 +1.0610.636 0.743 II 191+1.57 -1.2010.607 0.759 |

110 | -1.74 -1.48Ц.150 ( 0.829 II 1 11 1 1 | 1 I

Анализ результатов уравнивания позволяет утверждать, что Чебышевское решение для данной сети гарантирует уменьшение максимальной поправки в координаты, что особенно важно в ситуации, когда главное решение не.удовлетворяет установленному допуску.

Табл.4

1 Чебышевокое псевдорешение 521- 1

и обратные веса его компонент

1 |Узл 6ХХ 1 И-1- |<5(5ХА) (кет-ч II 1 1 |Узл| 5ХХ 1 б**- ЩСбХ-1-) I СКбУ1-) |

|тчк мм мм | 1 |тчк| мм | мм | 11 1 1

I 1 +1.13 1 +0.22|0.457 0.447 II 1 1 I 11|-0.061+0.01|0.797 0.576 |

1 2 -0.07 +0.50|0.470 0.512 | 12|-0.38|-0.91|0.827 0.540 |

1 з -0.54 -1.28|0.479 0.450 I 131-1.36|-0.72|0.647 0.751 |

1 4 -0.41 -0.07|0.498 0.518 | 141+1.54|-1.46(0.701 1.307 |

1 5 +0.76 +1.44|0.492 0.551 | 15|+1.651+0.02|0.689 0.742 |

1 6 +0.13 +1.53|0.557 0.449 | 16|+1.081-0.21Ц.190 0.792 |

1 7 +0.43 -0.15|0.537 0.401 | 17|+0.06|-0.32|0.818 0.584 |

1 8 -0.39 -1.0510.625 0.728 | 18|+0.7Ц-0.29Ц.142 0.849 |

1 9 -0.77 +0.84|0.633 0.736 | 19|+1.65|-1.56|0.611 0.768 |

1 ю 1 -1.65 -1.6411.130 • 0.837 I 1111 ■ 1 1 1 1

Последняя часть раздела 3 содержит выводы, где подчеркнуто практическое значение использования Чебышевского псевдорешения бй1 при контроле качества изготовления изделия специального назначения вместо любого другого, т.к. только 521- прямо нацелено на выполнение требования технического задания (37).

В заключении подведены основные итоги диссертационной работы:

1. Сформулированная во введении конкретная практическая задача подтверждает актуальность выбранного направления исследования в свободном уравнивании, т.к. существует потребность нахождения псевдорешений, обладающих экстремальными свойствами, отличными от традиционного (б).

2. Выполнен в разделе 1 анализ ситуации в свободном уравнивании, из которого следует, что имевшиеся подходы к уравниванию сводятся к отысканию традиционных псевдорешёний, прежде всего, главного псевдорешения 52+.

3. Разработана универсальная методика уравнивания свободных сетей, позволяющая вычислять любые псевдорешения уравнений ошибок (1), обладающие заданными экстремальными свойствами.

4. Разработана адекватная общей методике технолбгия точностных' расчетов.

5. Практическое использование предлагаемой методики осуществлено в виде двух алгоритмов вычисления псевдорешений, обладающих экстремальными свойствами (7) и (8).

6. Алгоритм вычисления Чебышевского псевдорешения реализован в виде программы уравнивания свободной сети трилате-рации.

7. В итоге выполненных теоретичских и практических разработок решена задача контроля качества изготовления . радиотехнических изделий.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих статьях:

1. Бывшев В.А., Алексашина Е.В. Методика вычисления пседорешений уравнений ошибок с требуемыми экстремальными

свойствами. - Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1993, N4.

2. Бывшев В.А., Алексашша Е.В. Методика точностных расчетов при отыскании псевдорешений уравнений ошибок с требуемыми экстремальным^ свойствами. - Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1995,N4.

3. Бывшев В.А., Алексашина Е.В. Алгоритм вычисления Че-бышевских псевдорешений и его применение в задаче контроля качества изготовления радиотехнических изделий. - Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1995, N2.

Подп. к печ.14.11.95 Формат бумаги 60x90 Бумага офсетная Печ.л. 1,5 Уч.-изд.л. 1,5 Тираж 80 экз. Заказ №438 Цена договорная

МосГУГиК 103064, Москва К-64, Гороховский пер., 4