автореферат диссертации по энергетике, 05.14.05, диссертация на тему:Разработка математических моделей и аналитических методов расчета нелинейных процессов тепломассопереноса в пористых структурах

На правах рукописи

10П7

ШИТОВ Виктор Васильевич

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕШЮМАССОПЕРЕНОСА В ПОРИСТЫХ СТРУКТУРАХ

Специальность 05.14.05 - Теоретические основы теплотехники

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук-

Воронен - 1997

\

Работа выполнена на кафедре промышленной теплоэнергетики Воронежского государственного технического университета

Научный консультант: Заслуженный деятель "науки и техники РФ, доктор технических паук, профессор ФАЛЕЕВ В.В.

Официальные оппоненты: лауреат Государственной премии СССР,

Заслуженный деятель науки и техники М>, доктор технических наук, профессор ПОЛНЕВ В.М..

Доктор технических наук, профессор "СКРШШИК А. И.

Доктор физико-математических наук, ■ профессор ЧЕРНШЮВ А.Д.

Ве]цш1ая организация - КБ Химавтом?тики, г. Воронеж.

Защита состоится «29 « мая 1997 г. в _чае. на

заседании диссертационного совета Д.063.81.05 в конференц-зале Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026, Воронеж, Московский цроспект, 14.

С диссертацией могзо ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета. ■ •

Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью" учреждения, просьба направлять по адресу: 394026, г.Воронеж, Московский проспект, 14, ученому секретарю диссертационного совета Д.063.81.05.

Автореферат разослан 29 апреля 1997 г.

Ученый секретарь , диссертационного совета А.В.Бараков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современное развитие энергетики, авиационной и космической техники, интенсификация различных теплоэнергетических и технологических процессов связаны с повышением силовых и тепловых нагрузок на элементы конструкций энергетических и технологических установок. Успешное решение возникающих при этом задач возмошо путем создания и использования новых конструкционных материалов, обладающих необходимыми теплозащитными свойствами, и путем интенсификации процессов теплообмена. Последний метод позволяет сократить массу и габариты теплообмен-ннх устройств и повысить уровень передаваемых тепловых потоков.

Одним из способов интенсификации теплопереноса является использование развитых поверхностей, в частности пористых и перфорированных материалов или пористых теплообмешшх элементов (ПТЭ). Возможность создания пористых материалов с заданными свойствами в широком диапазоне гидравлических и технологических характеристик, высокая интенсивность теплообмена между проницаемой матрицей и протекающим в ней теплоносителем делают пористые теплообметше элементы в ряде случаев незаменимыми. Характерным примером в этом смысле, является" пористое охлаждение, представляющее собой один из наиболее прогрессивных методов тепловой защиты. Сущность этого метода заключается в том, что жидкий или газообразный охладитель продавливается через поры элемента конструкции навстречу тепловому потоку. Поглощая тепло, охладитель снижает температуру охлаждаемой конструкции. Интенсивность теплообмена повышается, если .охладитель в порах испытывает фазовый переход. Кроме того, если , имеется возможность выхода теплоносителя (охладителя) из матрицы в пограничный слой навстречу тепловому потоку, то происходит разбавление и оттеснение от поверхности высокотемпературного газового штока. Это обеспечивает значительно более высокую эффективность тепловой защиты по сравнению с другими системами. '

Вопросы теплообмена в пористых телах приходится рассматривать не только при создании .систем пористого охлаждения или энергоустановок с использованием пористых теплообмешшх элементов. Подобные задачи встречаются, например, в химической и нефте-

газовой промышленности и во многих других инженерши приложениях. ^ Особое внимание исследователей привлекают процессы тепломассопе-реноса с фазовым переходом внутри пористых элементов. Одной из причин этого является чрезвычайно высокая нтенсивность внутреннего теплообмена. При этом структура течения, механизм теплоообмена имеют целый ряд особенностей и значительных отличий по сравнению с тепломассопереносом в каналах обычных форм и размеров.

Во многих практически важных случаях процессы тепломассообмена часто могут рассматриваться как установившиеся двумерные или близкие к ним. Ясно, что такое рассмотрение является лишь более или менее хорошим приближением реальных трехмерных нестационарных процессов; исключение" последних из рассмотрения "в данной работе вызывает сожаление, хотя все же является неизбежным. Моделирование реальных процессов - чрезвычайно сложная задача, но есть основания полагать, что ее решение может быть ускорено путем совершенствования и более полной разработки методов решения более простых, в частности, двумерных стационарных задач. Некоторые задачи неустановившегося режима можно успешно решать, используя гипотезу квазистационарных состояний и решения, полученные для соответствующих стационарных условий.

В свете- изложенного представляется актуальным проведение комплексного исследования двумерных стационарных процессов тещо-массопереноса в пористых телах, в том числе в условиях кипения охладителя; определение геометрических свойств зоны кипения, 'уточнение вопросов устойчивости процесса, а также более полный учет; свойств пористого скелета и фильтрующегося охладителя.

Работа выполнена в соответствии, с планом госбюджетных НИР ВПМ (per.* ГБ.86.16), Постановлениями СМ СССР *132-51 от 17.02.76 г. и * 137-47'от 26.01.86 г., планом НИР ВГТУ (Гос. per. Jf 01890014250) и в соответствии с инновационной научно-технической программой (Приказ ГК РФ по высшему образованию J6 386 от 22.06.92г.). ,

Целью работы является дальнейшее развитие методов решения двумерных стационарных задач тепломассопереноса в пористых телах со сложной геометрической структурой порового пространства, когда режимы фильтрации являются существенно нелинейными, а интенсивные тепловые потоки и большая разность температур на поверхностях пористого тела могут'привести к нарушению теплового равновесия в

области фильтрации и к фазовым превращениям фильтрующейся среда (например, в системах пористого охлаждения).

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработка методов аналитического решения двумерных стационарных задач нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления.

2. Разработка математической модели стационарного двумерного теплопереноса в пористых телах в условиях конечной интенсивности теплообмена между скелетом и охладителем и аналитического метода исследования этих моделей.

3. Разработка математических моделей и аналитического решения двумерных стационарных задач теплопереноса в условиях внутреннего температурного равновесия при постоянных теплофизических звойствах охладителя и с учетом зависимости вязкости охладителя эт температуры.

4. Создание двумерной математической модели стационарного теплопереноса при кипении охладителя в пористом теле и разработка метода решения.

5. Исследование вопросов устойчивости процесса кипения в пористом теле и определение характеристик зоны кипения.

6. Разработка основных аспектов применения теории фракталов в задачах тепломассопереноса при пористом охлаждении.

7. Экспериментальная проверка основных теоретических результатов.

Методы исследования. Гидравлический и тепловой расчет тепло-обменных устройств на основе пористых материалов возможен при наличии достоверных данных о механизме и интенсивности тепломассопереноса в таких структурах и соответствующих математических моделей рассматриваемых процессов. Сложность геометрии порового пространства, условий подвода и отвода тепла и движения теплоносителя в порах тела делает создание адекватных математических «оделей весьма затрудлительным. Поэтому сложный взаимосвязанный процесс тепломассопереноса в пористых телах рассматривается как комбинация более или менее независимых процессов.

В частности, при разработке систем пористого охлаждения зтделыю решаются задачи, связанные с нахождением температурных толей в пористых телах в условиях фильтрации жидкого или газообразного охладителя, и задачи по определению теплообмена в погра-

кичном слое на поверхности выхода охладителя.

Проблеме теплопереноса в пограничном слое посвящено огромное количество теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в нашей стране и- за рубежом ( Леонтьев А.И., Полежаев Ю.В., Петухов B.C., Ливингуд Д., Эккерт Е., Якоб Ы. и многие другие).

Исследования, посвященные теплообмену в пористых телах, начали публиковаться в сороковых годах нашего столетия. Возможность применения пористого охлаждения экспериментально доказали Гуддерд, Мейер-Хартвиг, Скогланд. В дальнейшем, в связи с развитием ракетной техники, исследования тепломассообмена в пористых телах цриобретали все более широкий характер. В США работы в данном направлении опубликовали Бартас, Берникер, и др., в Германии - Н. Эльснер, К. Келер. Большой вклад в развитие теории теплоообмена в пористых телах внесли отечественные•ученые Лыков A.B., Поляев В.М. и др.

В большинстве опубликованных исследований задачи теплопереноса в пористых телах решаются в два этапа. Вначале решается динамическая задача, связанная с определением поля скоростей (или давлений) внутри пористого тела, а затем тепловая - определение температурных полей или тепловых потоков, поскольку поле температур всегда самым существенным образом зависит от поля скоростей (или давлений). В отношении же поля скоростей тепловое воздействие весьма мало по сравнению с воздействием внешнего побудителя движения. В частности, при исследовании температурных шлей в условиях больших скоростей движения жидкости или газа в пористом теле, что характерно для систем пористого охлаждения, можно пренебречь влиянием поля температур на поле скоростей и учитывать только обратное воздействие. Этот прием существенно упрощает исследование теплопереноса и фильтрации в ряде практически важных задач.

Несмотря на большое количество экспериментальных и теоретических исследований в этой области до настоящего времени существует целый ряд неясных вопросов, на которые весьма трудно дать ответ в рамках традиционного подхода.

Исходной моделью пористой среды в большинстве работ является равномерно пористое тело с каналами различной сложности и с гладкой или в крайнем случае регулярной поверхностью пор. С этой

\

точки зрения определяется эффективная теплопроводность пористой системы "матрица-теплоноситель", проницаемость и другие теплогид-равлические характеристики. Однако широкий спектр размеров шероховатости поверхности поровых каналов (до исчезающе малых по сравнению с размерами самих пор), присутствие в пористых телах внутренних структур типа фрактальных кластеров, привели к представлению о фрактальной геометрии многих пористых материалов, как природных, так и искусственных. К настоящему времени разработана геометрическая конструкция фрактальной шероховатости пор, рассмотрены методы построения "правильных" фрактальных моделей пористых сред с применением итерационных процессов, аналогичных процессу генерации триадной кривой Кох или ковра Серпинского, появились работы, в которых делаются попытки связать теплофизические свойства матрицу с ее фрактальной размерностью.

Поскольку непосредственные визуальные наблюдения процесса фазового перехода внутри пористых тел оказываются практически невозможными, особое значение приобретают теоретические методы исследования, которые широко используются в данной работе. Теория фракталов позволяет в этом случае дать хорошее качественное, а иногда и количественное описание явлений, доступных наблюдению.

В настоящее время в теории тепломассообмена на первый план выдвигаются строгие методы решения краевых задач, содержащие 'в постановзсе минимальное число ограничений. Дело в том, что реализация прямых численных методов наталкивается на ощутимые трудности, связанные со сложностью обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приближенных решений к точному и явлениями неустойчивости соответствующих алгоритмов. Это и обусловило использование в данной работе в основном аналитического метода исследования, результативность которого не нуждается в доказательствах.

Научная новизна.

1. Разработан аналитический метод расчета стационарных двумерных полей давлений в пористых телах в условиях нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления, когда в области изображений по Фурье задача сводится к решению системы двух алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными.

2. Разработана математическая модель процесса двумерного стационарного теплопереноса в пористом теле в условиях конечной

N ■

интенсивности теплообмена между пористым скелетом и фильтрующимся теплоносителем.

3. Разработана математическая модель двумерного стационарного теплопереноса в условиях кипения охладителя внутри пористого тела.

4. Определена физическая картина потери устойчивости процесса кипения охладителя в пористом теле.

5. Найдены закономерности изменения геометрических параметров зоны кипения жидкого охладителя в пористом теле; показано, что границы зоны кипения имеют фрактальный характер.

6. Найдена связь между основными .тегоюфизическими и гидравлическими характеристиками пористого тела и фрактальной размерностью, позволяющие избежать использование дробного интегро-дифференцирования при расчете процессов в фрактальных пористых системах.

Практическая ценность.

1. Разработанная модель и аналитический метод решения дву-• мерных стационарных задач тепломассопереноса при нелинейной

фильтрации позволяет находить поле давлений и температур в пористых элементах систем тепловой защиты типа передней части лопатки турбины, лобовой части аэродинамических поверхностей летательных аппаратов, подложки лазерного.зеркала, элемента сопла ЖРД.

2. Разработанная модель пористого охлаждения с фазовым переходом охладителя позволяет более точно прогнозировать поведение подобных конструкций в реальных условиях.

3. Учет фрактальных свойств пористых систем и характеристик процессов дает возможность дифференцировать имеющиеся теоретические и экспериментальные данные по тепломассопереносу и благодаря этому получать более точные результаты для каждого вида пористой системы.

Реализация результатов работы.

Разработанные математические модели, аналитические методы решения, теоретические принципы и положения использовались в проектной и расчетной практике АНТК им.' А.Н.Туполева, ИП "Ангстрем", АО "Воронежская ТЭЦ", Воронежского керамического завода, КБ Химавтоматики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсувдались на ежегодных научно-технических конференциях Воронеж-

ского политехнического института (Воронежского государственного технического университета) в 1972-1996 гг., региональном межвузовском семинаре "Процессы теплообмена в энергомашиностроении" (Воронеж, 1986-1996 гг.), Всесоюзной межвузовской конференции "Газотурбинные и комбинированные установки" (Москва, МВТУ им. Баумана, 1983г.),, Второй всесоюзной конференции "Теплофизика и гидрогазодинамика процессов- кипения и конденсации" (Рига, 1988 г.). Первой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994 г.), Третьем Китайско-Российско-Украинском симпозиуме по проблемам астронавтики и космической технологии (КНР, г. Кси-Ань, 1994 г.), XV Российской школе по проблемам проектирования неоднородных конструкций (г. Миасс, 1996 г.), в КБ Химавтома-тики (г. Воронеж, 1997 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано В8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения", списка использованной литературы из 142 наименований, приложений, содержит 28 рисунков и 2 таблицы и изложена на 276 страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируется цель исследования, характеризуется научная новизна и практическая значимость полученных результатов, формулируются основные положения и обосновываются метода исследования, которые используются в работе.

В первоы раздела приводится обзор известных моделей пористых структур и опубликованных теоретических и экспериментальных исследований процесса фильтрации. Ввиду сложности геометрии порового пространства использовать уравнения Навье-Стокса для описания движения жидкостей и газов в пористых структурах не представляется возможным. Поэтому применяются различные эмпирические законы движения.

В большинстве работ предполагается, что фильтрация следует линейному закону Дарси.Однако для пористых теплообменшх элементов, используемых в технике, характерны большие перепады давления и температуры, при которых линейный закон фильтрации нарушается. Нелинейные режимы описываются различными зависимостями (закон

фильтрации с предельным градиентом, двучленный закон сопротивления и др.). Для целей данной работы наиболее обоснованным является применение степенного закона сопротивления

а

$ =--- ежа р, (1.1)

li.tr1 .

где V- скорость фильтрации, а- коэффициент проницаемости, ц -коэффициент динамической вязкости фильтрующегося теплоносителя, р - давление, п- показатель степени фильтрации; п=0 соответствует линейной фильтрации (закон Дарси), п=1- квадратичной.

В случае плоской.стационарной задачи изотермической фильтрации при степенном законе сопротивления использование метода С.А.Чаплыгина позволяет преобразовать уравнение движения (1.1) в систему уравнений

а® /п + 1 91 х

г т тар 'г . — ;

охр--———; (1.2)

а5 /п +

ар х

Г т "|Эр

1 - . — ;

1- /ТГГ^

ехр _ ———— — ; (1.3)

где Ф - безразмерная функция тока, р=р/р0 - безразмерное давление, р - угол мевду осью х декартовой систеш координат и вектором скорости фильтрации, т=/ п + 1' 1пу; - безразмерная скорость фильтрации. Параметр входящий, в (1.2), (1.3) при фильтрации несжимаемой жидкости определяется выражением

И «С й

у ° (1.4)

а Р Р0

где р0-характерное давление, и0- характерная скорость фильтрации, ■ й- характерный размер, р- плотность фильтрующейся среды.

При фильтрации идеального газа

Ц и"*1 (ММ)

п+1

(1.5)

ар.

где р - характерное давление, возведенное в степень ш2, П -газовая постоянная, Т,-характерное значение температуры.

Исключив из (1.2), (1.3) функцию тока Ф, получим для безразмерного давления р уравнение

<эр

2Р 5гр

— + —о

¿И

<Эр

е- — = О, <3т

(1.6)

где е =

2 /п + 1

После подстановки

р = !р(г,р)егр ет.

уравнение (1.6) преобразуется в уравнение Клейна функции ф:

V2? - е2ф = О.

Гордона для (1.7)

Если в системе (1.49), (1.50) исключить р и ввести замену Ф = 0(г,р)ехр(- £1),

то для функции 0 также получим уравнение Клейна - Гордона:

vгQ - £2<3 = ,0.

(1.8)

Таким образом, плоская стационарная задача изотермической фильтрации несжимаемой жидкости и идеального газа при степенном законе сопротивления сводится к уравнению Клойна - Гордона для соответствующей области в переменных Чаплыгина т, р при определенных граничных условиях.

Задача по определению поля давлений в областях фильтрации достаточно широкого диапазона конфигураций в физической плоскости сводится к построению решения уравнения (1.7) или (1.8)'в беско-

й

и

печной полосе (-» < г <+оо, о $ р < ро) со смешанными граничными 47 условиями.

Анализ поведения искомых функций ф и 0 в рассматриваемой области показал возможность применения обобщенного интегрального преобразования Фурье, что позволяет перейти от уравнения (1.7) или (1.8) к обыкновенному дифференциальному уравнению в области изображений

—р - q ф = О, или — - д 0 = О. (1.9)

Неизвестные функции, входящие в граничные условия для уравнений (1.9) определяются с помощью метода факторизации (метода Винера-Хопфа). При вычислении оригинала решения используется лемма Жордана и теория вычетов. Решение в области годографа Чаплыгина имеет вид быстро сходящегося экспоненциального ряда. Изложенный метод иллюстрируется решением нелинейных задач фильтр-рации в комбинированном клине, полосе с выдвижной регулирующей перегородкой и друплх областях. С целью численной реализации полученных зависимостей были составлены программы на языке "Паскаль" и выполнены соответствующие расчеты.

Для проверки правильности результатов теоретического анализа было проведено экспериментальное исследование гидродинамической картины течения в пористых телах. В экспериментах замерялось распределение давлений по оси симметрии образов из пористого графита ЭГ-200, имеющих форлу равнобедрен;гого клина при распределенной подаче вода и воздуха, а также вдоль непроницаемой перегородки в пористых насыпных оюбразцах, имеющих форму прямоугольного, клина (материал - медная дробь с диаметром частиц 1,0 - 1,5 мм или гранулы полистирола с диаметром 2,0-4,0 мм). Отклонение экспериментальных, данных от расчетных не превышало 30%.

Следует отметить, что при рассмотрении некоторых задач фильтрации в условиях малых перепадов температуры, когда процесс можно считать изотермическим (гидротехнические расчеты, очистка газов, _ некоторые процессы химического катализа) результаты, полученные выше, имеют определенное самостоятельное значение.

Результаты анализа изотермической фильтрации используются. -далее при решении задач теплопереноса в пористых структурах.

Во втором разделе анализируются опубликованные данные теоретических и экспериментальных исследований теплообмена в пористых структурах. Анализ показывает, что в ряде случаев при рассмотрении внутреннего теплообмена используется гипотеза о равенстве температур пористой матрицы и движущейся в порах жидкости (газа), / что предполагает бесконечно большую величину коэффициента теплоотдачи внутри пористой структуры. Однако, как показано в работах В.К.Щукина, В.М.Поляева и других авторов, такое предположение в ряде случаев может привести к существенным погрешностям в расчетах температурного состояния пористого тела. Измерить величину коэффициента внутренней теплоотдачи чрезвычайно сложно; известные методики расчета теплообмена в пористых телах носят приближенный характер, и значительную часть имевдихся в литературе критериальных уравнений можно использовать только в качестве первого приближения. В литературных источниках приводится оцопо'пшя величина коэффициента внутренней теплоотдачи; она имеет порядок 1()г>- 10п Вт/м3К. В соответствии с этим в качестве критерия применимости гипотезы внутреннего теплового равновесия В.М.Поляов, Л.Л.Васильев и В.А.Майоров рекомендуют использовать отношение плотности теплового штока на поверхности пористой еттенки к ее толщине q/S = 108 Вт/м3К. Однако для двумерных задач этот критерий трудно применим вследствие неопределенности характерной толщины. Поэтому в работе приводится анализ условий применимости гипотезы теплового равновесия для двумерных областей и предлагается в качестве критерия использовать, отношение предельно допустимой разности температур в рассматриваемом тегаюобменном элементе к максимальной разности на его поверхностях. Для многих практических случаев эта величина оценивается в 15%.

Если гипотеза теплового равновесия в пористой структуре неприменима, процесс теплопереноса описывается системой дифференциальных уравнений, вывод которых базируется на условии соблюдения теплового баланса в рассматриваемой области как для пористого скелета, так и для фильтрующегося в его порах теплоносителя (охладителя). Анализ дифференциальных уравнений теплопереноса для этого случая показывает, что двумерные задачи целесообразно рассматривать в криволинейных ортогональных координатах "давление-функция тока"; тогда система уравнений переноса тепла' имеет вид

а Г

ар1

вх _

ар1 «эр

О ГГ^ £Н1

3ф1 эе Дф.

эе р «г Я (1- П )

■ох м

-(г - Т)= О; (2.1)

а г ат <9р[

г ат о гг^ [ <9р ж аф]

Сох ат +--+

аф[ х аф] я п вр ж р2и2 \ п

(г - Т)= 0;

(2.2)

где г-температура скелета, Т- температура теплоносителя (охладителя), р-давлеше, ф-функция тока, ае^^/ар^, ц-коэф&щиент динамической вязкости охладителя, . и-скорость фильтрации, п-шжазатель степени в законе сопротивления, роХ~плотность охладителя, СоХ и рох- его теплоемкость и теплопроводность. И -пористость-скелета, v=1 в.случае осесимметричной .задачи, р=0 в случае плоской задачи.

Во многих практически важных задачах можно полагать, что границы области фильтрации являются изотермическими и одновременно изобарическими, т.е. температуры и давления на поверхностях входа постоянны, но различны по величине. В этом случае' температура в области фильтрации является функцией только давления, и система уравнений (2.1), (2.2) упрощается:

и*-]

йр1 (1р }

а г с»

— эе — йр1 <3р

Сох йГ +--+

К П <1р ж р г Я 11

; ох г гох ох

— (г - Т)= о,

ж р2 у2 \ (1- П )

мах м4

(г - т)= о.

(2.3)

(2.4)

Для приведения уравнений к безразмерному виду используем в качестве характерных величин

д-0 = -в - -в ;

вых их

Др = р - р ;

х гвш х вх

где ¿13 - разность температур окружающей среды со стороны выхода и входа теплоносителя в область фильтрации , Др - разность давлений на соответствующих поверхностях.

Вводя безразмерный коэффициент теплопроводности

1

X 11

ох.

Ь=--; (2.5)

X (1-Я )

безразмерный коэффициент конвективного переноса теплоты

С Др

ох 1

(2.6.)

ае X (1- П )

и безразмерный коэффициент внутренней теплоотдачи в пористой структуре

р

Ар а

х2РпУ Л )"

(2.7)

где ^-коэффициент теплопроводности матрицы, и линеаризуя .чпкнн сопротивления с помощью замены ветви парабол; фильтр.-щии Ф(и) и" отрезком прямой Ф(у)= а+Ьи, получаем в безразмерном виде

йгТ йТ

Ь —^ + В - + А а - Т) = 0; (2.8)

(1р dp

йгх

—? - А (г - Т) = 0. (2.9)

йр

При постоянных коэффициентах А, В и Ъ система уравнений (2.8), (2.9) решается достаточно просто. Выразив Т из второго уравнения системы (2.9), находим соответствующие производные и подставляем полученные выражения в уравнение (2.8). Вводя подстановку 1.=ехр кр, получаем характеристическое уравнение четвертой степени

Ь к4 + В к3 - А(Ь - 1)кг - А В к = О. (2.10)

Это уравнение должно иметь четыре корня. Обозначим их к1, кг, к3, кд. Тогда единственное решение дифференциального уравнения (2.8) будет иметь вид

N •

Л с

г = 2 С ехр(к р). (2.11 )

1

Поскольку в характеристическом уравнении отсутствует постоянное слагаемое, можно положить кд = 0. Тогда остальные три корня определяются из кубического уравнения

1 к3 + В к2 - А(Ь - 1)к - А В = 0.

Из физического рассмотрения задачи можно сделать вывод, что наиболее убедительным является монотонное поведете температуры в пористом теле. Это соответствует случаю реальных корней характеристического уравнения, левая часть которого представляет собой многочлен по степеням к. В соответствии с теоремой Декарта число положительных корней равно (или на четное число меньше) числу перемен знака перед коэффициентами уравнения. Следовательно, рассматриваемое уравнение имеет один положительный корень и два отрицательных (это действительно в случае, если все корни реальные ).

Выполняя аналогичные преобразования для X, находим л

Т = 2 г.ехр(к.р). (2.12)

1 1 1 "

Связь между константами С и г± определяется выражениями г,=С, (1-к^/А); г2=С2(1 -к|/А>; г3=С3(1-к2/Л); г4=Сд.

Введя обозначения

е, = 1 - кег = 1 - к2/Л; е3 = 1 - к|/А,

запишем уравнение для температуры охладителя, используя константы уравнения дл^ скелета

Т =.,е,С ехр|к р) ^е^С ехр^к р) +3е30 ехр^к р) +ДС . (2.13)

На этом решение системы связанных дифференциальных уравнений для температуры матрицы и охладителя закончено. Константы С1 - С определяются из граничных условий, необходимых для решения задачи.

При постановке граничных условий для охладителя разность его температур в пограничном слое и в области фильтрации с обеих сторон поверхностей входа и выхода не учитывается, так как в противном случае пришлось бы ввести в рассмотрение фиктивные коэффициенты теплоотдачи между охладителем, находящимся в области фильтрации и вне ее. Поэтому будем считать граничными условиями для охладителя соотношения, выражающие условия непрерывности теплового потока за счет теплопроводности и конвекции охладителя для совокупности поровых каналов на поверхностях входа в область фильтрации и выхода из нее. Для скелета используются граничные условия третьего рода. Таким образом, граничные условия на поверхности входа и поверхности выхода охладителя в криволинейных ортогональных координатах запишутся в виде

а1 (0,- ^ )(1 — /7> = — Амргае - С в Т,= - Л. Прьх

ох 1 ох г |

' (И . йр

р=р г

■(1 - П); (2.14)

сИ? с1р

р=р

С С Т, ;

ох 1

(2.15)

А. (1 - /7) ризе

' (И

- ¿Р Лр-р,

= см г.,- е„>(1 - Л); (2.16)

- X Прух

■ ат - 1р

р=р

С С Т_= - С Св,.' (2.17)

ох г ох £

Переходя в полученных, выражениях к безразмерной форме,положив

Р - Р

А'в = -9 - -в , Ар = - . (2.18)

р - р

и вводя в получешше выражения (кроме уже известных безразмерных коэффициентов внутретей теплоотдачи А, конвективного переноса теплоты В и теплопроводности скелета Ь) безразмерные коэффициенты теплоотдачи с холодной и горячей сторон области фильтрации

а,Лр а2Лр

П = -:— и Л0= -

' ^мр1яе ^ Л.мризе

свяжем общее решение системы дифференциальных уравнений для Т(р) и г(р)' с граничными условиями, используя обозначения

ехр (к1); (2.21)

Ь

р.= - к ; (2.22) 1 в 1

где i = 1,2,3. В результате подстановки имеем

(1-^/^)0^(1-1^/^ )Сг+(1-к3/Ь1 )С3+ Сд = 15;; (2.23)

с1к1 егК,0г+ е3кзС3= 0; (2.24)

(14^/^)^0,4- (Нк/Пз)?^^ (Пк/Ъ^ЦС^ Сд= -0|;(2.25)

(1+р, )е1£1С14- (1+рг)вг5гСг+ <1+р3)Е3£зС3+ Сд = (2.26)

Полученные выражения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются только константы С1-С4. Решается эта система без затруднений.

Далее рассматривается ситуация, когда тепловой шток совпадает по направлению с потоком массы (пористое нагревание). Такой процесс имеет место, когда горячий теплоноситель продавливается через охлаждаемое извне пористое тело (например, в конденсаторе холодильной машины на основе пористых теплообменных элементов). После всех предварителышх преобразований получаем, что в этом случае система уравнений теплопереноса для матрицу и охладителя будет отличаться от рассмотренной для гористого охлаздения только знаком при конвективном слагаемом:

й2Т ' йТ Ь — - В — + А (г - Т) = 0; йрг (1р

(2.20)

7 й2г

- а (г - т) = о,

ар2

Решение этих уравнений выполняется аналогично случаю порис-, того охлаждения.

Рассмотренные задачи пористого охлаждения и пористого нагревания, когда температура матрицы не равна температуре фильтрующегося жидкого или газообразного охладителя (теплоносителя) описываются системой двух дифференциальных уравнений относительно температуры матрицы и температуры фильтрующейся среды с граничными условиями, сформулированными отдельно для каждого компонента пористой системы. Во всех перечисленных соотношениях всего пять независимых величин, из которых три - А, В и 1 - зависят только от свойств матрицы и текущей в ее порах среды. Что касается коэффициентов теплообмена на поверхности входа и выхода охладителя, то они определяются характером процесса обтекания пористой системы.

Поэтому в зависимости от свойств матрицы и фильтрующейся и ее порах среда в работе выделено шесть предельных случаев, характеризующихся различнымие сочетаниями значений безразмерных коэффициентов А, В и Ь. Наиболее общим случаем решения является ситуация, когда все три коэффициента имеют ненулевые конечные значения; это сочетание рассмотрено выше. Из оставшихся наибольший практический интерес представляет бесконечно большой интенсивности теплообмена между скелетом и охладителем (А=оо), который рассматривается в следующем разделе.

В третьем разделе рассматривается стационарный теплоперенос в пористой структуре в условиях внутреннего теплового равновесия, когда температуры скелета и охладителя равны в кавдой точке пористого тела. В этом случае система уравнений уравнений теплопереноса приводится к одному уравнению, которое в координатах "давление-функция тока" имеет вид

в Г дТ — ае —

5р1 аР

в

+ — Эф

ГГ2г> дТ

ае

Со* дТ

К*

О. (3.1)

Здесь г*=1 по-прежнему соответствует осесимметричной задаче, о>=0-плоской; АЭф-эффективная теплопроводность системы "скелет-охладитель".

+

При линейной фильтрации охладителя с постоянными теплофизи-ческими свойствами уравнение (3.1) преобразуется в уравнение : Клейна-Гордона относительно функции температуры; температурное поле в пористом теле находится из решения краевых задач уравнения Клейна-Гордона для областей, имеющих в координатах "давление-функция тока" вид бесконечной полосы. В работе приведено решение 1фаевой задачи при переменной температуре на поверхности выхода охладителя с применением интегрального преобразования Фурье.

Если в исследуемой области фильтрация не следует закону Дарси, то уравнение теплопереноса является нелинейным даже в предположении постоянства теплофизических _ свойств фильтруюцейся среды. Линеаризовать уравнение можно, аппроксимируя степенной закон сопротивления Ф(и)=ип линейной зависимостью Ф( (и)=а+Ьи. В этом случае анализ уравнения теплопереноса производится так же, как и в случае линейной фильтрации.

Из важных практических задач пористого охлавдения, когда учет переменности теплофизических свойств охладителя является необходимым, наиболее легко решаются задачи, когда давление и температура на холодной и горячей поверхности пористого элемента являются постоянными, но различными по величине. В этом случае температура является функцией только давления, и уравнение теплопереноса преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно Т:

ат

— = кТт(С-Т). (3.2)

ар

Здесь к и и - известные постоянные, С - постоянная интегрирования. Поскольку определение С из граничных условий для уравнения (3.2) должно производиться из трансцендентного соотношения, | проведено исследование области возможных значений С. Для перемен- ] ной вязкости охладителя в работе получены зависимости между перепадами давления и перепадами температуры (политропы фильтрации). Анализ политроп позволил выделить зоны "слабой" и "сильной" ■ фильтрации и зону пористого нагревания, а также получить соотношения, позволяющие определить границы этих зон.

Для проверки основных полученных результатов проведено экспериментальное измерение распределения температур в пористой

модели, представяющей равнобедренный клин, выполненный из пористого графита ЭГ-200. Приводится описание экспериментальной установки; методики проведения измерений и обработки их результатов и основные данные опытов. Результаты измерений качественно согласуются с результатами расчетов для выбранной модели (рис.2 и 3). Наибольшая интенсивность охлаждения наблюдалась при кипении охладителя на поверхности пористого тела. Опыты показали, что заглубление поверхности кипения внутрь пористого тела приводит к потере устойчивости процесса, что находится в полном согласии с данными других исследователей (Поляев В.М., Васильев Л.Л., Майоров В.А и др.)

Четвертый раздел, посвящен изучению двумерных стационарных задач теплопереноса при фильтрации жидкости, испытывающей фазовое превращение внутри пористого тела. Анализ теоретических и экспериментальных исследований процессов фазового перехода, в частности, изменения агрегатного состояния охладителя в пористых структурах, показывает, что в основном рассматривались одномерные стационарные задачи. В основе большинства теоретических работ лежит трехзонная модель, когда область фильтрации делится на три части-зону жидкости, зону пара и зону двухфазного состояния. Этот подход использован и в данной работе для построения математичлс-коймодели двумерного стационарного процесса кипения жидкости и пористом тело в соответствии с приведенной ниже схемой:

При составлении математической модели рассматриваемого процесса было принято, что в зоне жидкости и в зоне пара температура скелета и охладителя одинакова в кавдой точке области фильтрации (принята гипотеза внутреннего теплового равновесия). В зоне кипения, несмотря на большую интенсивность теплообмена, разностью

0,8

0.6

а«

0,2

Р^ОЛ-ЮН/н' ><

/ У »»

//

//

1/'

1 0,2 0,4 0,6 0,8 X

Рис. 2. Зависимость Т{х) на оси симметрии графитового клипа.

- -расчет.

Т

0,8

0,Ь

О,к

0,2

Охладитель-воздух; ро=60 .---------опыт;

рвхч,1-юн/мг / / у

х у х / ✓ У /

7 //...... / / Р^з.о-^Н/»*

/ /

Л/

й • 0,2 ОМ 0,6 0,8 х

Рис. 3. Зависимость Т{х) на оси симметрии графитового клина. Охладитель-вода: ро=60°. --------опыт;----расчет.

температур скелета и охладителя пренебречь нельзя вследствие необходимости подвода тепла на испарение, хотя эта разность, но имщимся данным, не превышает 1-1,5К. Математическая модель процесса теплопереноса, в соответствии с рассматриваемой схемой и принятыми предпосылками, имеет вид

Зона пара : Дифференциальное уравнение

d2t' dt' п п

-? + В„--= О. (4.1 )

dp'2 п dp'

Общее решение

Г = C^exptfep' ) + С?. И.Я)

Двухфазная зона : Дифференциальные уравнетгия

о d'-t'

—- A(f - Г) = 0; (4.3)

dp'2

M — ч Ait' - Т') = О. (4.4)

dp'

Общее решение

t = Т + С3ехр(кр') + Сдехр(-Кр');' (4.5)

/I

а

С3ехр(/л р') - C4rxp(-/a р')+ С5

Зона жидкости: Дифференциальное уравнение

d2t' dt'

dp'2 ж dp'

(4.6)

+ В„ - = О. (4.7) .

dp'c

Общее рзшение

Г = С6ехр№р') + С,г

(4.8)

Граничные условия для рассматриваемой задачи в безразмерной форме записываются

л, се; -*:,> = -[ — ] ; 1 1 п1 I йрЧр'=о

(4.9)

сП"

йр' . 'л

р'=о

+ А(Г3 - Г);

(4.10)

ч-'

(4.11 )

Т' = г- = V. = 1;

4 з 4

53 = 1;

(4.12)

(4.13)

йг

Г*"' 1

— (4.14)

к = Ка- (4.14)

1л = 0; (4.15)

аг

ЙР •

гс-Р:

= ^Кг'Ч^

ж А ж * ас

(4.16) !

з' + я' + а' = 1.

п д ж

(4.17)

В этих соотношениях 5-степень сухости пара в двухфазной зоне, б'- протяженность зоны, обозначенной нижним индексом. Решение задачи в такой'постановке встречает большие математические трудности. Однако, следуя Н.Эльснеру, с помощью полученных

соотношений удается оценить протяженность двухфазной зоны; в соответствии с полученной оценкой эта протяженность должна быть исчезающе мала и соответствовать положению изобары-изотермы кипения. Неустойчивость процесса кипения жидкости в пористом теле, наблюдаемая в эксперименте многими исследователями, потребовала более тщательного рассмотрения этого процесса.

Показано, что потеря устойчивости зоны фазового перехода вызывается не только возрастанием гидравлического сопротивления в зоне пара, но также проявлением эффекта Саф^мена-Тейлора (потерей устойчивости границы раздела при вытеснении более вязкой жидкости жидкостью с меньшей вязкостью) и отрицательной теплоемкостью насыщенного пара. Анализ геометрических характеристик зоны кипения показал, что эта зона тлеет сложную геометрическую структуру-структуру вязких пальцев, имеющих Фрактальную размерность. Иссло дование таких структур требует использования новой концепции и такого рода задачах - концепции фрактала.

Пятый раздел посвящена изучению фрактальных структур п задачах тенломассонереноса в пористых телах. Приведешшй в главе обзор показывает, что в последние годы круг процессов и явлений, изучение которых производится с привлечением методов теории фракталов, чрезвычайно расширился. Установлено, что фрактальная размерность пористых структур играет весьма важную роль в определении различных, в том числе теллофизических, свойств таких структур.

В задачах, связанных с рассмотрением движения жидкостей и газов в в пористых структурах при наличии температурного поля, возможно проявлешге фрактальных свойств как у самой физической системы, так и у некоторых характеристик процессов; При этом, как показано в работах О.Ю.Динариева,возможны. следующие виды фрактальных объектов: 1) пористая матрица (скелет), 2) поровое пространство), 3) поверхность пористого тела, 4) система трещин в пористом теле. К названным объектам можно добавить: 5) траектории движущихся частиц, 6) граница раздела фильтрующихся жидкостей с различной вязкостью, 7) граница зоны фазового перехода теплоносителя в пористом'теле, 8) температурное поле (тепловой кластер), 9) поле диссипации турбулентной энергии, 10) аттрактор ("странные" аттракторы).

Если фрактальная размерность жесткого физического объекта

достаточно просто может бить найдена экспериментально, то для процессов и их характеристик она определяется из анализа соответ- , ствущих дифференциальных уравнений. Очевидно, в реальных системах возможно сочетание любых фрактальных объектов, перечисленных выше.

Далее в работе излагаются основы теории фракталов, приводятся их важнейшие свойства, методы определения фрактальной размерности. Поскольку для решения задач в системах с фрактальной размерностью необходимо использовать достаточно редко применяемый аппарат дробно-дифференциальных и дробно-интегральных уравнений, в работе получены соотношения, позволяющие связать фрактальную размерность пористой структуры с известными характеристиками пористых тол.

Так, для нахождения связи между пористостью и фрактальной размерностью рассматривается- минимальный объем пористого тела произвольной формы, содержащий внутри себя поровай (пустотный) ■ фрактальный кластер. Величина этого объема равна

7ъ=7(Ь)13. . (5.1)

Геометрический коэффициент 7(Ю зависит от формы тела и в общем случае для тела произвольной формы 7(Ь)^1.

В качестве пробной функции выбирается пора произвольной формы с максимальным размером г«Ь. Ее объем

V = 7{1)13, ' (5.2)

где геометрический коэффициент 7(1) определяется по тому же принципу, что и 7(Ь). Таким образом, пора играет роль частицы I порового кластера.

Число частиц в рассматриваемом объеме может быть найдено с | помощью асимптотического соотношения для сферических частиц в ' сферическом кластере:

^рШЛу11, Ы-»оо. (5.3) ■

где И-радиус сферического кластера, Н0-радиус частиц, составляющих кластер, й-фрактальная размерность кластера.

Плотность упаковки р зависит от того, как "уложены" частицы в

кластере. Для плотно упакованных сферических частиц р=%/2-/И --0,7405; если сферические частицы упакованы случайным образом, то плотность понижается до 0,637. Для других разновидностей кластеров выражение для плотности содержит учитывающие форму множители. В то же время размерность кластера d не зависит от его формы или от того, является упаковка частиц плотной, случайной или скважистой с равномерным распределением дыр.

Таким образом, величина р характеризует плотность упаковки и для случайной формы частиц может быть найдена, например, путем предварительных замеров и последующего статистического анализа. Это позволяет в рассматриваемом случае-записать соотношение (5.3) в виде

7(b) д

N-p---(L/Z) . (Ь.4)

7(1)

Суммарный объем пор в объеме V будет равен

7пт = UN = 7<Ш3Р — (L/l)d = 7(L)pl3(L/7 )d. (5.5) пор. 7(1)

Объемная пористость кластера найдется как отношение объема пор Vn к рассматриваемому объему VL:

Vnop 7(L)p73(I,/Z)d _ .

. и =--=--- = p(I/L) . (5.6)

VL 7(L)L

Если поровые кластеры состоят из достаточно малых и плотно упакованных (р-»1 ) частиц, а пористое тело представляет собой равномерно плотную ассоциацию кластеров, то выражение для пористости в этом случае приобретает вид:

Я - (7/I,)3"d. (5.7)

и совпадает с данными других исследователей, полученными экспериментально .

Если за элемент кластера принять частицу твердого скелета, то пористость будет определяться как

П = иа/Ь)3"1. > (5.8)

Аналогичное рассмотрение позволило получить соотношения между фрактальной размерностью и проницаемостью, коэффициентом эффективной теплопроводностиV коэффициентом извилистости. Показано также,что фильтрация во фрактальных пористых структурах является нелинейной при любых числах Рейнольдса, и для ее описания следует использовать соответствующий закон сопротивления. Полученные соотношения дают возможность учитывать фрактальные свойства пористых структур в задачах тепломассопереноса, используя обычные (не дробные) дифференциальные уравнения.

' / ВЫВОДЫ

1. Процессы тепломассопереноса в пористых структурах моделируются системой взаимосвязанных дифференциальных уравнений в частных производных с сответствующими краевыми условиями, аналитическое решение которой встречает большие трудности. В случае напорной фильтрации, когда скорость течения достаточно велика, раздельное рассмотрение динамической и тепловой задачи позволяет существенно упростить решение.

2. Для описания нелинейной фильтрации достаточно обоснованным является применение степенного закона сопротивления. Это, позволяет свести двумерную динамическую задачу к решению уравнения Клейна-Гордона в переменных Чаплыгина. Даже в областях достаточно сложной геометрической формы, образовашюй отрезками прямых, можно получить аналитическое решение, используя метод интегральных преобразований и метод Винера-Хопфа.

3. Анализ именцихся данных по интенсивности внутрилорового | теплообмена позволяет заключить, что применимость гипотезы темпе"- | ратурного равновесия определяется условиями конкретной задачи. Во многих практических случаях необходимо учитывать разность температур твердого скелета и фильтрущегося в его порах охладителя. Анализ дифференциальных уравнений теплопереноса для этого случая показывает, что двумерные задачи целесообразно рассматривать в криволинейных ортогональных координатах "давление-функция тока". Это значительно упрощает решение и позволяет использовать граничные условия третьего рода.

4. Если условия процесса допускают применение гипотезы температурного равновесия в области фильтрации, то в математической модели появляется возможность учета переменности теплофизике ских свойств теплоносителя. В частности, в данной работе рассмотрен случай, когда вязкость теплоносителя является функцией температуры.

5. Экспериментальное исследование полей давлений и температур в пористых телах подтвердило' основные теоретические результаты. Данные опытов удовлетворительно согласуются с опубликованными результатами других исследователей.

6. Анализ математической модели процесса кипения жидкого теплоносителя в пористом теле показывает, что зона кипения должна иметь бесконечно малую протяженность и совпадать с изобарой-изотермой насыщения. Наблюдаемая в экспериментах неустойчивость процесса связана с деформацией зоны кипения в форме нестационарных вязких пальцев в результате проявления эффекта Спффмена-Тейлора и отрицательной теплоемкости насшцепного пара.

7. Фрактальная размерность пористых структур во. многом определяет их теплофизические свойства, а также характеристики процессов тепломассопереноса в этих структурах; этот факт следует учитывать в теоретических и экспериментальных исследованиях.

8. Анализ процессов тепломассопереноса в фрактальных пористых структурах сильно осложняется необходимостью привлечения аппарата дробного дифференцирования и дробного интегрирования. Полученные в работе соотношения позволяют связать основные тепло-физические характеристики пористых структур - пористость, проницаемость, эффективную теплопроводность, закон сопротивления - с фрактальной размерностью. Это позволяет избежать дробно-дифференциальных и дробно-интегралышх соотношений и использовать обычные (не дробные) дифференциальные и интегральные уравнения, но приводит к усложнению исходных зависимостей.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Воронин В.И., Шитов В.В. О выборе ветви политропы фильтрации' при пористом охлаждении //Строительная механика, газоаэродинамика и производство летательных аппаратов. -Воронеж: ВПИ, 1970. -Вып.1. - С.149-155.

2. Воронин В.И., Шитов В.В. Стационарное температурное поле при пористом охлаждении срезанного клина //Гидродинамика лопаточных машин и общая механика. - Воронеж: ВПИ, 1972. -Вып.1. -С.126-136.

3. Шитов В.В. Приближенное уравнение для температурного тюля пористого тела при переменной температуре на границах //Материалы научно-технической конференции Воронежского политехнического института. - Воронеж: ВГШ, 1972. - С.48.

4. Воронин В,П., Фалеев В.В., Шитов В.В. Экспериментальное исследование температурных полей при пористом' охлаадении //Материалы научно-технической конференции Воронежского политехнического института.- Воронеж: ВПИ, 1972. - С.49.

5. Исследование гидродинамики радиальных реакторов: Отчет о НИР / ВПИ; Руководитель В.И.Пентюхов. - » ГР 75057944. - Воронеж, 1972.-90 с.

6. Самохвалов В.В., Шитов В.В. Установившееся температурное поле при пористом охлаждении в условиях нелинейной фильтрации охладителя // Гидродинамика лопаточных машин и общая механика. -Воронеж: ВШ, 1972. - С.79-84.-

7. Воронин В.И., Шитов В.В. 0 политропической - фильтрации несжимаемой жидкости при пористом охлаждении //Инженерно-физический журнал. 1973. - Т.25. № 3. -С.537. Деп. в ВИНИТИ, per.JC 5658-73 Деп.

8. Самохвалов В.В., Фалеев В.В., Шитов В.В. Установившаяся нелинейная фильтрация жидкости и газа в пористых средах // Строительная механика, газоаэродинамика и производство летательных аппаратов. - Воронеж: ВПИ, 1974. - С.39-44.

9. Шитов В.В. О политропах нелинейной фильтрации при пористом . охлаждении //Гидродинамика лопаточных машин и общая механика. -Воронеж: ВПИ, 1977. - С.146-150. I

10. Шитов В.В. Об одной частной задаче стационарной фильтра- ' ции при степенном законе сопротивления // Гидродинамика лопаточных машин и общая механика. - Воронеж: ВПИ, 1978. - С.80-84.

11. Шитов В.В. О пористом охлаждении полигонального симметричного клина с разрезом //Инженерно-физический журнал. 1979. -Т.36. № 4. - С.746-747. Деп. в ВИНИТИ, per.Я 3746-78 Деп.

12. Фалеев В.В., Шитов В.В., Гуренко В.П. О, гидродинамике течения охладителя в пористой ограниченной пластине // Газотурбин-

ные и комбинированные установки; Тез. докл.Впесоюз. межвуз. конф.

- М.: МВТУ Ш.Баумана. 1983.

13. Фалеев В.В., Шитов В.В., Гуреняо В.П. О фильтрации в пористой пластине с .непроницаемой поверхностью //Инженерно-физический журнал. 1985. - Т.49. Л 4. - С.685 Деп. В ВИНИТИ 13.05.85, per.Л 3239-85 Деп.

14. Фалеев В.В., Шитов В.В., Терлеев А.Я. Тепловое состояние пористой пластины в условиях фильтрации охладителя //Инженерно-физический журнал. 1986. - Т.51. * 5. .- С. 748-752.

15. Шитов В.В., Фалеев В.В., Дроздов И.Г. О применении метода Чаплыгина в задачах фильтрации при разработке теплообменников // Повышение эффективности- функционирования систем и устройств. Тез. Науч.-практ. конф. - Воронеж, ВПИ. 1988. -С.53.

16. Шитов В.В., Дергунов Ю.Д., Долгий Л.Г. Особенности внутреннего теплообмена при пористом охлаждении //Повышение эффективности функционирования систем и устройств: Тез. науч.-практ: конф.

- Воронеж, ВПИ. 1988. - С.54.

17. Фалеев В.В., Шитов В.В., Левченко А.И. .06 одном способе интенсификации процесса кипения // Теплофизика и гидрогазодинамика процессов кипения и конденсации: Тез. докл. Второй всесоюз. конф. 26-28 декабря 1988 Г.- Рига, 1988.Т.1. С.183-185.

18. Шитов В.В., Дергунов Ю.Д., Дворягашов A.M. Интенсивность внутреннего теплообмена в пористых телах //Теплообмен в энергетических установках и повышение эффективности их работы. - Воронеж: В ИИ, 1989. - С. 12-17.

19. Фалеев В.В., Шитов В.В., Дроздов И.Г. Об одной задаче фильтрации, допускающей точное решение //Теплообмен в энергетических установках и повышение эффективности их работы. - Воронеж: ВПИ, 1989. - С.141-145.

20. Шитов В.В., Левченко А.И., Фалеев С.В. О - безразмерных коэффициентах внутреннего теплообмена при пористом охлаждени//Теп~ лообмен в энергетических установках и повышение эффективности их работы.- Воронеж: ВПИ, 1990. - С.140-144.

21. Исследование процессов тепломассопереноса на развитых поверхностях: Отчет о НИР / ВПИ; Руководитель В.В.Фалеев. - ГР 01890014250. -Воронеж, 1990.-132 с.

22. Дроздов И.Г., Шитов В.В. Температурное поле пористой пластины //Теплообмен в энергетических установках и повышение

эффективности их работы. - Воронеж: ВПМ, 1991. - С.54-58.

23. Исследование процессов тепломассопереноса в системах сублимационного криостатирования: Отчет о НИР / В1Ш; Руководитель В.В.Фалеев. - * ГР 01860019Б30. - Воронеж, 1991.

24. Дроздов И.Г., Фалеев О.В., Портнов В.В., Шитов В.В. О течении охладителя в пористой неограниченной пластине //Теплообмен в энергетических установках и повышение эффективности их работы. -Воронеж: ВПИ, 1992. v С.10-14.

25. Дроздов И.Г., Портнов В.В., Фалеев C.B., Шитов В.В.. Экспериментальные исследования течения в пористых структурах. // Теплообмен в энергетических установках и повышение эффективности их работы.- Воронеж: ВПИ, 1993. - С.92-99.

26. Шитов В.В. К расчету зоны кипения при пористом охлаждении //Теплообмен в энергетических установках и повышение эффективности их работы.- Воронеж: ВПИ, 1993. - С.84-91.

27. Шитов В.В., Заварзин В.М., Портнов В.В. Нестационарный тепломассоперенос при пористом охлаждении в условиях кипения охладителя // Дисперсные ' штоки и пористые среды. Труды Первой Российской национальной конференции по теплообмену. - М.: Изд-во МЭИ, 1994. - Т.7. - С.226-229.

28. Shitov V.V. A Phase Transfer with A Porous Cooling of Throttling Section of Liquid Rocket Engine Noszlë // Third China-Russia-Ukraine symposium on astronautlcal science and technology. XI'AN China, September 16-20, 1994. P.319-320.

29. Шитов B.B., Дахин C.B. Экспериментальное исследование фрактальной геометрии пористого образца у/ Процессы теплообмена в машиностроении: Тез. докл. регаон. межвуз. сем. - Воронеж: ВГТУ, ^995. - С.51. .

30. A.c. 1630426 СССР. Сублимационное криостатирующее устройство / В.В. Шитов и др. (СССР). - 4 е.: ил. j

31. Шитов В.В. Фракталы и тепломассоперенос в пористых телах 1 // Процессы теплообмена в машиностроении: Тез. докл. регион, межвуз. сем. - Воронеж: ВГТУ, 1995. - С.85.

32. Шитов В.В.Дроздов И.Г. Влияние фрактальной геометрии порового пространства на процесс фильтрации // Процессы теплообмена в машиностроении: Тез. докл. регион, межвуз. сем. - Воронеж: ВГТУ, 1995. - С.88.

33. Шитов В.В. Концепция фрактала в теории пористого охлажде-

тая // Теплоэнергетика: Сб. науч.тр.- Воронеж: ВГТУ, 1995. -С. 15-20.

34. Шитов В.В. Применение теории фракталов в гидромеханике пористых тел //XV Российская школа по проблемам проектирования неоднородных конструкций: Тез. докл. - Миасс: Миасский научно-учебный центр, 1996. - С.48-49. '

35. Шитов В.В., Дахин C.B., Дроздов И.Г. К определению фрактальной геометрии пористого образца //XV Российская школа по проблемам проектирования неоднородных конструкций: Тез.докл. -Миасс: Миасский научно-учебный центр, 1996. - С.49-50.

36. Шитов В.В., Дубанин В.Ю. Об одной предельной задаче пористого охлаждения // Процессы теплообмена в энергомашиностроении: Тез. докл. регион, межвуз. сем. - Воронеж: ВГТУ, 1996. - С.6.

37. Шитов В.В. О применимости гипотезы температурного равновесия при пористом охлаждении // Процессы теплообмена в энергомашиностроении: Тез. докл. регин. межвуз. сем. - Воронеж: ВГТУ, 1996. - С.6.

38. Шитов В.В. К определению эффективной теплопроводности и проницаемости фрактальных пористых материалов //Теплоэнергетика: Межвуз. сб.науч. тр. - Воронеж: ВГТУ, 1996. - С.71-74.

ЛР Л 020419 от 12.02.92. Подписано к печати 28.04.97. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ Л Воронежский государственный технический университет 324026.Воронеж, Московский просп., 14. Участок оперативной полиграфии ВГТУ

/

Трезидиум ВА.К России

згаекие от" " 19 ¿X №

Егсудмл ученую степень ДОК.

11

. '* ч' . V* •: "оссик

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕШЮМАССОПЕРЕНОСА В ПОРИСТЫХ СТРУКТУРАХ

05.14.05 - Теоретические основы теплотехники

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант: Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор ФАЛЕЕВ В.В.

На правах рукописи

ШИТОВ ВИКТОР ВАСИЛЬЕВИЧ

ВОРОНЕЖ 1997

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Основные обозначения...............................................................5

Введение.........................................................6

1. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В ПОРИСТЫХ СТРУКТУРАХ... 20

1.1. Модели пористых структур..................................................20

1.2. Основные данные теоретических и экспериментальных исследований изотермической фильтраций................................26

1.3. Уравнение изотермической нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления........................................40

1.4. Метод решения плоской краевой задачи

для уравнения Клейна - Гордона................................................44

1.5. Фильтрация в комбинированном клине..................51

1.6. Фильтрация в пластине с подвижной перегородкой... 58

1.7. Расчет гидродинамической картины течения_____________71

1.8. Экспериментальное исследование течения

в пористых телах.....................................................78

2. ТЕПЛОПЕРЕНОС В ПОРИСТОЙ СТРУКТУРЕ

ВЕЗ ФАЗОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ...........................86

2.1. Данные теоретических и экспериментальных исследований теплообмена в пористых структурах...............86

2.2. Применимость гипотезы температурного равновесия

в пористой структуре..................................................................94

2.3. Дифференциальные уравнения теплообмена..................99

2.4. Уравнения теплопереноса в ортогональных криволинейных координатах р-ф-ф.............................................104

2.5. Решение уравнений теплопереноса для установившейся плоской фильтрации......................................107

2.6. Постановка граничных условий.................................114

2.7. Тепломассоперенос при пористом нагревании..................120

2.8. Предельные случаи................................. 125

3. ТЕШЮПЕРЕНОС В ПОРИСТЫХ СТРУКТУРАХ

В УСЛОВИЯХ ВНУТРЕННЕГО ТЕМПЕРАТУРНОГО РАВНОВЕСИЯ....... 129

3.1. Уравнение теплопереноса (пористое охлаждение)..... 129

3.2. Температурное поле при фильтрации охладителя

с постоянными теплофизическими свойствами.............. 131

3.3. Граничные условия первого рода.................... 134

3.4. Смешанные граничные условия....................... 137

3.5. Аналитическое решение уравнения

теплового состояния.................................... 140

3.6. Температурное поле при фильтрации охладителя

с переменными теплофизическими свойствами.............. 143

3.7. Экспериментальное исследование теплопереноса

при пористом охлаждений................................ 154

4. ТЕШЮПЕРЕНОС ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ,

ИСПЫТЫВАЮЩЕЙ ФАЗОВОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ....................... 168

4.1. Теоретические и экспериментальные исследования процессов фазового перехода в пористых структурах...... 168

4.2. Аналитическая модель процесса..................... 173

4.3. Оценка протяженности зоны фазового перехода

в пористом теле........................................ 181

4.4. Причины неустойчивости процесса кипения жидкости

в пористом теле........................................ 191

4.5. Геометрические характеристики зоны кипения........ 197

5. ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В ЗАДАЧАХ ТЕШЮМАССОПЕРЕНОСА

В ПОРИСТЫХ ТЕЛАХ.......................................201

5.1. Фракталы в физике и гидромеханике пористых тел.... 201

5.2. Сущность фрактальных представлений

и основы теории фракталов..............................208

5.3. Методы определения фрактальной размерности

в пористых структурах..................................214

5.4. Связь между характеристиками пористых тел

и фрактальной размерностью............................. 218

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................. 231

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ....................... 237

ПРИЛОЖЕНИЯ............................................. 253

ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ........................... 273

Основные обозначения и сокращения

р - давление, Н/мг;

р0- характерное давление, Н/м^';

$ - функция тока, мг/с;

Ф0- характерная функция тока, м^/с;

г - характерный размер пористой пластины (ширина подающего и сбросного коллекторов), м;

й - характерный размер (толщина пористой пластины, длина основания клина), м;

у - скорость фильтрации, м/с; Уп- характерная скорость фильтрации, м/с; ц - динамический коэффициент вязкости фильтрующейся среды, Н*с/мг;

V - кинематический коэффициент вязкости фильтрующейся среды,

шг/с;

а, ¡3 - вязкостный и инерционный коэффициенты сопротивления пористой матрицы, м~г,м~1;

К*г эффективный коэффициент теплопроводности пористой среды, Вт/(м К);

а - коэффициент проницаемости пористой среды, мг;

X ,Т - температуры пористой матрицы, и охладителя, К;

х , у , х - прямоугольные координаты, м;

т, р - переменные Чаплыгина;

И, е, ф - цилиндрические координаты;

рох - плотность фильтрующейся среды, кг/м3;

П - коэффициент пористости;

с - теплоемкость пористой среды, Дж/(кг К).

ПТЭ - пористый теплообменный элемент.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Современное развитие энергетики, авиационной и космической техники, интенсификация различных теплоэнергетических и технологических процессов связаны с повышением силовых и тепловых нагрузок на элементы конструкций энергетических и технологических установок. Успешное решение возникающих при этом задач возможно путем создания и использования новых конструкционных материалов, обладающих необходимыми теплозащитными свойствами, и путем интенсификации процессов теплообмена. Последний метод позволяет сократить массу и габариты теплообменник устройств и повысить уровень передаваемых тепловых потоков.

Одним из способов интенсификации теплопереноса является использование развитых поверхностей, в частности пористых и перфорированных материалов или пористых теплообменных элементов (ПТЭ). Возможность создания пористых материалов с заданными свойствами в широком диапазоне гидравлических и технологических характеристик, высокая интенсивность теплообмена между проницаемой матрицей и протекающим в ней теплоносителем делают пористые теплообменные элементы в ряде случаев незаменимыми. Характерным примером в этом смысле является пористое охлаждение, представляющее собой один из наиболее прогрессивных методов тепловой защиты. Сущность этого метода заключается в том, что жидкий или газообразный охладитель продавливается через поры элемента конструкции навстречу тепловому потоку. Поглощая тепло, охладитель снижает температуру охлаждаемой конструкции. Интенсивность теплообмена повышается, если охладитель в порах испытывает фазовый переход. Кроме того, если имеется возможность выхода теплоносителя

(охладителя) из матрицы в пограничный слой навстречу тепловому потоку, то происходит разбавление и оттеснение от поверхности высокотемпературного газового потока. Это обеспечивает значительно более высокую эффективность тепловой защиты по сравнению с другими системами.

Вопросы теплообмена в пористых телах приходится рассматривать не только при создании систем пористого охлаждения или энергоустановок с использованием пористых теплообменных элементов. Подобные задачи встречаются, например, в химической и нефтегазовой промышленности и во многих других инженерных приложениях. Особое внимание исследователей привлекают процессы тепломассопе-реноса с фазовым переходом внутри пористых элементов. Одной из причин этого является чрезвычайно высокая нтенсивность внутреннего теплообмена. При этом структура течения, механизм теплоообмена имеют целый ряд особенностей и значительных отличий по сравнению с тепломассопереносом в каналах обычных форм и размеров.

Во многих практически важных, случаях процессы тепломассообмена часто могут рассматриваться как установившиеся двумерные или близкие к ним. Ясно, что такое рассмотрение является лишь более или менее хорошим приближением реальных трехмерных нестационарных процессов; исключение последних из рассмотрения в данной работе вызывает сожаление, хотя все же является неизбежным. Моделирование реальных процессов - чрезвычайно сложная задача, но есть основания полагать, что ее решение может быть ускорено путем совершенствования и более полной разработки методов решения более простых, в частности, двумерных стационарных задач. Некоторые задачи неустановившегося режима можно успешно решать, используя гипотезу квазистационарных состояний и решения, полученные для

соответствующих стационарных условий.

В свете изложенного представляется актуальным проведение комплексного исследования двумерных стационарных процессов тепло-массопереноса в пористых телах, в том числе в условиях кипения охладителя; определение геометрических свойств зоны кипения, уточнение вопросов устойчивости процесса, а также более полный учет свойств пористого скелета и фильтрующегося охладителя.

Работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных НИР ВГШ (per. Ш ГБ.86.16), Постановлениями СМ СССР & 132-51 от 17.02.76 г. и № 137-47 от 26.01.86 г.,комплексным планом научно-исследовательских работ Воронежского государственного технического университета (Гос. per. $ 01890014250) и в соответствии с инновационной научно-технической программой (Приказ ГК РФ по высшему образованию $ 386 от 22.06.92 г.).

Целью работы является дальнейшее развитие методов решения двумерных стационарных задач тепломассопереноса в пористых телах со сложной геометрической структурой порового пространства, когда режимы фильтрации являются существенно нелинейными, а интенсивные тепловые потоки и большая разность температур на поверхностях пористого тела могут привести к нарушению теплового равновесия в области фильтрации и к фазовым превращениям фильтрующейся среды (например, в системах пористого охлаждения).

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработка методов аналитического решения двумерных стационарных задач нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления.

2. Разработка математической модели стационарного двумерного теплопереноса в пористых телах в условиях конечной интенсивности

теплообмена между скелетом и охладителем и аналитического метода исследования этих моделей.

3. Разработка математических моделей и аналитического решения двумерных стационарных задач теплопереноса в условиях внутреннего температурного равновесия при постоянных теплофизических свойствах охладителя и с учетом зависимости вязкости охладителя от температуры.

4. Создание двумерной математической модели стационарного теплопереноса при кипении охладителя в пористом теле и разработка метода решения.

5. Исследование вопросов устойчивости процесса кипения жидкости в пористом теле и определение характеристик зоны кипения.

6. Разработка основных аспектов применения теории фракталов в задачах тепломассопереноса при пористом охлавдении

7. Экспериментальная проверка основных теоретических результатов .

Методы исследований. Гидравлический и тепловой расчет тепло-обменных устройств на основе пористых, материалов возможен при наличии достоверных данных о механизме и интенсивности тепломассопереноса в таких структурах и соответствующих математических моделей рассматриваемых процессов. Сложность геометрии порового пространства, условий подвода и отвода тепла и движения теплоносителя в порах тела делает создание адекватных математических моделей весьма затруднительным. Поэтому сложный взаимосвязанный процесс тепломассопереноса в пористых телах рассматривается как комбинация более или менее независимых процессов.

В частности, при разработке систем пористого охлаждения

отдельно решаются задачи, связанные с нахождением температурных полей в пористых телах в условиях фильтрации жидкого или газообразного охладителя, и задачи по определению теплообмена в пограничном слое на поверхности выхода охладителя.

Проблеме теплопереноса в пограничном слое посвящено огромное количество теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в нашей стране и за рубежом ( Гинзбург И.П., Кутателадзе С.О., Леонтьев A.M., Мотулевич В.П., Полежаев Ю.В.,Романенко П.Н., Авдуевский B.C., Петухов B.C., Жукаускас A.A., Ливингуд Д., Патанкар С., Сполдинг Д., Эккерт Е., Якоб М. и многие другие).

Исследования, посвященные теплообмену в пористых телах, начали публиковаться в сороковых годах нашего столетия. Возможность применения пористого охлаждения экспериментально доказали Гуддерд /1/, Мейер-Хартвиг /2/, Скогланд /3/. В дальнейшем, в связи с развитием ракетной техники, исследования тепломассообмена в пористых телах приобретали все более широкий характер. В США работы в данном направлении опубликовали Вартас, Верникер, Скотт, Шнайдер и др., в Германии - Н. Зльснер, К. Келер. Большой вклад в развитие теории теплоообмена в пористых телах внесли отечественные ученые Лыков A.B., Поляев В.М., Васильев Л.Л., Белов C.B., Полежаев Ю.В., Щукин В.К., Майоров В.А., Фалеев В.В., Воронин В.й, Глушаков А.Н., Самохвалов В.В. и др.

При этом в большинстве опубликованных исследований задачи теплопереноса в пористых телах решаются в два этапа. Вначале решается динамическая задача, связанная с определением поля скоростей (или давлений) внутри пористого тела, а затем тепловая - определение температурных полей или тепловых потоков. Дело в том, что поле температур всегда самым существенным образом зави-

сит от поля скоростей (или давлений). В отношении же поля скоростей тепловое воздействие весьма мало по сравнению с воздействием внешнего побудителя движения. В частности, при исследовании температурных полей в условиях больших скоростей движения жидкости или газа в пористом теле, что характерно для систем пористого охлаждения, можно пренебречь влиянием поля температур на поле скоростей и учитывать только обратное воздействие. Этот прием существенно упрощает исследование теплопереноса и фильтрации в ряде практически важных задач.

Несмотря на большое количество экспериментальных и теоретических исследований в этой области до настоящего времени существует целый ряд неясных вопросов, на которые весьма трудно дать ответ в рамках традиционного подхода.

Исходной моделью пористой среды в большинстве работ является равномерно пористое тело с каналами различной сложности и с гладкой или в крайнем случае регулярной поверхностью пор. С этой точки зрения определяется эффективная теплопроводность пористой системы "матрица-теплоноситель", проницаемость и другие теплогид-равлические характеристики. Однако широкий спектр размеров шероховатости пор, если не сколь угодно малых, то весьма малых по сравнению с размерами пор, присутствие в пористых телах внутренних структур типа фрактальных кластеров, привели к представлению о фрактальной геометрии многих пористых материалов, как природных, так и искусственных. К настоящему времени разработана геометрическая конструкция фрактальной шероховатости пор, рассмотрены методы построения "правильных" фрактальных моделей пористых сред с применением итерационных процессов, аналогичных процессу генерации триадной кривой Кох или ковра Серпинского, появились рабо-

ты, в которых делаются попытки связать теплофизические свойства матрицы с ее фрактальной размерностью.

Поскольку непосредственные визуальные наблюдения процесса фазового перехода внутри пористых тел оказываются практически невозможными, особое значение приобретают теоретические методы исследования, которые широко используются в данной работе. Теория фракталов позволяет в этом случае дать хорошее качественное, а иногда и количественное описание явлений, доступных наблюдению.

В настоящее время в теории тепломассообмена на первый план выдвигаются строгие метода решения краевых задач, содержаще в постановке минимальное число ограничений. Дело в том, что реализация прямых численных методов натаживается на ощутимые трудности, связанные со сложностью обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приближенных решений к точному и явлениями неустойчивости соответствующих алгоритмов. Это и обусловило использование в данной работе в основном аналитического метода исследования, результативность которого не нуждается в доказательствах.

Научная новизна.

1.. Разработан аналитический метод расчета стационарных-двумерных полей давлений в пористых телах в условиях нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления, когда в области ихзображений по Фурье задача сводится к решению системы двух алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными.

2. Разработана математическая модель процесса двумерного стационарного теплопереноса в пористом теле в условиях конечной интенсивности теплообмена между пористым ске