автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование метода прогнозирования сложных процессов на основе комбинированных рядов

На правах рукописи

КОЛЬВАХ ДЕНИС ВЛАДИМИРОВИЧ

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ КОМБИНИРОВАННЫХ РЯДОВ

Специальность 05.13.01 -Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность) по техническим наукам

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Владикавказ 2004

Работа выполнена на кафедре «Информационные системы в экономике» в Северо-Кавказском Ордена Дружбы Народов горнометаллургическом институте (государственном технологическом университете).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Пагиев Казбек Хазбиевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Алкацев Михаил Иосифович кандидат технических наук Столбовский Дмитрий Николаевич

Ведущее предприятие: ФГУП "НИИЭМ", г. Владикавказ

Защита диссертации состоится « / » 2004 г. в /^ час.

на заседании диссертационного совета Д212.246.01 в Северо-Кавказском Ордена Дружбы Народов горно-металлургическом институте (государственном технологическом университете).

Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) просим направлять по адресу: 362021, Россия, РСО-Алания, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44, Ученый Совет СКГМИ (ГТУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СКГМИ (ГТУ).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

В.П. Алексеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В любой области человеческой деятельности возникает необходимость изучения поведения различных обьсктов и систем, определения тенденций их развития и возможных вариантов их состояния в будущем. Как правило, для сложных систем не существует полного представления о действующих законах управления и эффектах, вызываемых различными воздействиями. Поэтому построение достаточно точных математических моделей сложных систем затруднено и информация об их поведении ограничивается регистрацией выходных параметров. По мере накопления таких данных появляется возможность их использования для прогнозов поведения систем в будущем.

Вопросами прогнозирования сложных явлений и процессов занимались такие известные ученые как Ивахненко А. Г., Бокс Д., Дженкинс Г., Галушкин А.И., Головко В.А., Бендат Дж., Пнрсол А., Воробьев Н.Н., Чуй Ч., Солодовников В.В., Калман Р., Куликов Н.К., Тихонов А.Н., Розов А.К.

Проводившиеся исследования в основном были связаны с разработкой какого-либо одного метода прогнозирования некоторых классов процессов. Расширение возможностей и области применения отдельных методов можно получить от сочетания нескольких из них. Это положение было принято автором за основу.

В работе был использован метод авторегрессионного анализа на основе линейных разностных уравнений в сочетании с методом комбинированных рядов, являющихся решением этих уравнений.

Для каждого процесса экстраполирующий набор функций не должен выбираться произвольно. По возможности в этом наборе должны быть именно те функции, которыми описывается соответствующий реальный процесс в своей физико-математической модели. Охватить все многообразие процессов ограниченным набором функций невозможно. Однако, существует большая группа систем, процессы в которых описываются линейными разностными уравнениями. Решениями таких уравнений являются конечные ряды, содержащие сочетания степенных и показательных функций. В работе была использована и подтверждена гипотеза о том, что процессы в нелинейных и параметрических системах на ограниченном временном отрезке также можно описать линейным разностным уравнением достаточно высокого порядка. Последующая обработка полученного ряда позволяет уменьшить влияние шумов и неконтролируемых воздействий, а экстраполяция этого ряда даст искомый прогноз.

Целью диссертационной работы является разработка и практическая реализация эффективного метода прогнозирования и

ГОС. НАЦН-ЛАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА'

реконструкции сложных процессов детерминированного и случайного характера. Метод ориентирован на применение в различных отраслях науки и техники.

Поставленная цель потребовала решения следующих задач:

1. Получение расчетных соотношений для первичного аппроксимирующего ряда в случае линейных процессов.

2. Обоснование применимости полученных соотношений для параметрических и нелинейных процессов.

3. Разработка методов оптимизации первичного ряда для прогнозирования процессов с шумами.

4. Изучение особенностей прогнозирования стационарных, нестационарных и революционных процессов.

5. Разработка программы для прогнозирования и реконструкции сложных процессов.

6. Проверка разработанного метода прогнозирования на конкретных примерах.

Методы исследований. При выполнении работы использован комплекс математических методов, включающий теорию разностных уравнений, теорию случайных процессов, теорию оптимизации и планирования эксперимента, математическую статистику, матричный анализ и теорию функций комплексного переменного.

Научная новизна работы:

1. Показано, что процессы любого типа могут быть точно аппроксимированы рядом, состоящим из степенных и показательных функций.

2. Аппроксимирующий ряд является решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного по дискретным равноотстоящим точкам процесса.

3. Прогнозирование и реконструкция линейных и нелинейных процессов, имеющих детерминированную и случайную составляющие, возможны путем экстраполяции предварительно оптимизированного аппроксимирующего ряда.

4. Получены аналитические выражения для компонент аппроксимирующего ряда из условий минимизации его линейного или среднеквадратического отклонения от исходных точек.

5. Получены аналитические выражения для расчета влияния малых погрешностей исходных точек на точность прогнозирования.

6. Разработана расширенная классификация процессов на основе модулей и

кратностей корней их характеристических уравнений, 7. Разработаны методы обработки первичного ряда, позволяющие уменьшить влияние случайных факторов на точность прогнозирования.

Практическая значимость работы:

1. Разработан и практически исследован ряд численных алгоритмов и методик реализации отдельных этапов прогнозирования.

2. Разработана универсальная программа прогнозирования и реконструкции различных природных и техногенных процессов.

3. Проведено прогнозирование ряда сложных процессов, имеющих важное практическое значение.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов подтверждается:

• соответствием результатов теоретических выводов и их экспериментальных проверок на многочисленных примерах;

• эффективностью созданной универсальной программы и хорошими результатами прогнозирования сложных процессов.

Реализация результатов работы:

1. Результаты работы используются в деятельности Республиканского гидрометеоцентра РСО-А при составлении различных долговременных прогнозов.

2. Результаты работы приняты к применению при создании новых систем управления производственными процессами НПК Югцветметавтоматика.

3. Программные средства и основные теоретические положения работы используются в СКГМИ(ГТУ) в учебном процессе при подготовке студентов по курсам "Методы анализа и расчета электронных схем" и "Преобразовательная техника".

Апробация работы: Основные результаты работы систематически докладывались на научных конференциях СКГМИ(ГТУ) и семинарах кафедры ИС в период с 2000 по 2004 г.

На защиту выносятся:

1. Разработанные аналитические соотношения для получения экстраполирующего ряда по дискретным равноотстоящим точкам процесса;

2. Разработанные аналитические соотношения для учета влияния погрешностей отдельных точек на точность прогнозирования;

3. Разработанные методики получения экстраполирующих рядов для нелинейных и параметрических процессов;

4. Разработанные методики прогнозирования процессов при наличии революционных воздействий и погрешностей исходных точек.

Личный вклад автора: Основные научные положения, теоретические выводы и методики прогнозирования, содержащиеся в диссертационной работе, получены автором самостоятельно.

Публикации: Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 печатных трудах.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 123 источников и приложения. Работа содержит 156 страниц машинописного текста, включая 30 таблиц и 54 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, описана структура работы.

В первой главе даны основные определения. Приведена классификация процессов по различным признакам (эволюционные, революционные, детерминированные, случайные, стационарные, нестационарные, линейные, параметрические, нелинейные, непрерывные, дискретные, действительные, комплексные).

Рассмотрены основные существующие методы прогнозирования. В соответствии с принципами действия класс формализованных методов делится на четыре группы: экстраполяционные методы, системно-структурные методы, ассоциативные методы и математические методы. Дана общая таблица классификации методов. Проанализированы следующие методы: 1) регрессионный анализ; 2) нейронные сети; 3) спектральные методы; 4) корреляционные методы; 5) функциональные ряды; 6) методы на основе моделей процессов; 7) методы на основе дифференциалов стохастических процессов; 8) физические модели; 9) стохастические рекурсивные последовательности.

Для каждого из перечисленных методов рассмотрены области применения и выявлены основные ограничения. Показано, что для прогнозирования сложных процессов различного характера (погодные, демографические, экономические, физические, схемотехнические и т.д.) перспективно использовать сочетание различных методов. Тогда можно реализовать достоинства отдельных методов при одновременной компенсации их недостатков.

За основу работы был взят метод линейного авторегрессионного анализа, основанный на теории разностных уравнений. Однако, определение коэффициентов разностного уравнения еще не означает, что для получения прогнозируемых точек можно использовать простую рекуррентную процедуру. Ситуация сильно осложняется наличием погрешностей задания исходных точек и неконтролируемыми возмущающими воздействиями. Эти факторы можно рассматривать как шумы, сопутствующие идеальному процессу на выходе некоторой системы.

В работе используется гипотеза о том, что процессы в большинстве реальных нелинейных ограниченных систем можно с заданной точностью описывать линейными дифференциальными или разностными уравнениями достаточно высокого порядка. Решение таких уравнений может быть получено в виде ряда, содержащего степенные и показательные функции времени. Если этот ряд точно проходит через все исходные точки, то он будет содержать максимум информации о детерминированной и случайной составляющих процесса.

В то же время практически неизбежные шумы приводят к появлению в ряде резко нарастающих и затухающих компонент. Именно этот факт не позволяет использовать для прогнозирования первичный ряд или исходное разностное уравнение.

Ослабление влияния шумовых составляющих может быть достигнуто специальной обработкой первичного ряда. Здесь важную роль играет правильное определение типа самого процесса, по которому можно ввести ограничения на скорости нарастания или затухания отдельных компонент ряда. Такие ограничения позволяют достаточно уверенно выявить и ослабить шумовые компоненты процесса.

На каждом этапе преобразования первичного ряда предусматривается оптимизация. Целью оптимизации является максимально возможное приближение ряда к исходным точкам процесса. Это позволяет сохранить информацию о процессе после исключения или преобразования отдельных компонент ряда.

На любом этапе обработки первичного ряда важную роль играет метод пробного прогнозирования. Он позволяет оценить допустимость отдельных операций и определить точность и достоверность конечного результата.

В конце первой главы сформулированы основные задачи исследования, перечисленные в общей характеристике работы.

Во второй главе получены основные расчетные соотношения для прогнозирования детерминированных процессов.

Исходный линейный процесс х{1) в нормированном времени 7

задается своими дискретными, равноотстоящими точками

Исходя из условий линейности и непараметричиости системы можно

утверждать, что решетчатая функция процесса

подчиняется разностному уравнению с постоянными коэффициентами. Удобная форма этого уравнения может быть записана в терминах конечных разностей

(1)

Соотношению (1) соответствует следующее характеристическое уравнение:

Однородность уравнения (1) не ограничивает класс решаемых задач. Можно показать, что при линейной ненулевой правой части (вынуждающем воздействии) неоднородное разностное уравнение будет эквивалентно однородному, но более высокого порядка.

Формула для вычисления коэффициентов прямо следует из уравнения (1):

или в сокращенном варианте:

Определение вектора уже позволяет вести прогнозирование процесса по уравнению (1). Однако, для практики очень важно найти полное аналитическое решение этого уравнения:

где - корни характеристического уравнения (2) со своими кратностями

Неизвестные коэффициенты а, ряда (4) удобно вычислять по принципу минимального среднеквадратического отклонения решения (4) от всех исходных точек:

Достоинство формулы (5) состоит в том, что она позволяет определить значения коэффициентов ряда (4) и после отбрасывания компонент с малыми весами, т.е. при любом р

Точность прогнозирования линейных процессов оказывается предельно высокой в случае выбора числа исходных точек строго соответствующего порядку этих процессов.

Основные трудности при вычислении первичного ряда (4) связаны с решением характеристического уравнения (2) для порядка р>50 . Автором разработана специально адаптированная модификация метода Бэрстоу. Использован случайный выбор начальных приближений ий—2{КМО—0,5) и у0=ИАЮ~0,5 выделяемого множителя (сг—ис—\>) и повторение итерационной процедуры при отсутствии признаков быстрой сходимости. В итоге удалось обеспечить относительную погрешность вычисления корней не хуже Ю"13 при степени уравнения р до 200 и более.

Важную роль имеет формула для вычисления постоянной составляющей процесса а0 , соответствующей корню с0=1 уравнения (2). Она не требует определения остальных корней уравнения и позволяет сразу найти установившийся режим затухающего процесса:

В строго математическом смысле нелинейные и параметрические

процессы нельзя описать рядом (4). Однако, на ограниченном временном интервале их можно точно аппроксимировать этим рядом. Важный факт состоит в том, что экстраполирующие возможности ряда (4) оказываются достаточно хорошими для получения прогноза неизвестных точек. На большом числе примеров установлено, что погрешность экстраполяции нелинейных и параметрических процессов снижается с ростом величины р и может быть сделана достаточно малой.

В конце второй главы рассмотрены важные вопросы влияния усреднения исходных точек на коэффициенты ряда (4). По методу скользящего среднего каждая точка определяется как среднее арифметическое от соседних равноотстоящих на величину

экспериментальных точек

1 ™

• (7)

Сравнение рядов типа (4) для точек хк и хк показывает, что усреднение не влияет на величины постоянной составляющей и корней характеристического уравнения. Связь между коэффициентами этих рядов получена в следующем виде:

а,=Ц(2т+1)1 £ с/£ . (8)

Таким образом, широко используемая на практике методика получения усредненных значений процесса не приводит к искажениям информации о первичном процессе, который может быть восстановлен по формуле (8) при

В третьей главе рассматриваются проблемы получения экстраполирующих рядов для процессов, имеющих случайную составляющую. Эта составляющая может возникать из-за погрешностей определения исходных данных или как результат случайных неконтролируемых воздействий.

Показано, что неравномерную последовательность исходных точек можно перевести в равномерную с помощью полиномиальной интерполяции по Лагранжу. При этом достаточно использовать стандартную процедуру пятиточечной интерполяции.

Влияние амплитудных погрешностей исходных точек исследовалось в дифференциальной форме. Была получена следующая связь между

изменением значения одной из исходных точек ¿хе(е~§,\,2,...,2р) и приращением прогнозируемой точки:

Величина в квадратных скобках формулы (9) названа коэффициентом влияния М(е,у) точки 'X, на прогнозируемую точку

Совместное действие изменений всех исходных точек находится по принципу суперпозиции:

(И)

При этом для любых конечных или бесконечно малых изменений

исходных точек будет иметь место следующее соотношение: М(е,у)— 1

Данная сумма существенно меньше отдельных значений М(е,у) . Тогда, по закону больших чисел, совместное действие случайных погрешностей исходных точек будет намного меньше, чем влияние погрешности какой-либо одной точки. Именно этот факт позволяет надежно прогнозировать процессы со случайными погрешностями исходных точек. В то же время одинаковая систематическая погрешность всех исходных точек сместит на такую же величину только постоянную составляющую процесса Поэтому изменение прогноза в данном случае окажется равным систематической погрешности.

Из полученных формул вытекает способ усиления взаимной компенсации погрешностей путем исключения или добавления небольшого числа начальных точек. При этом надо стремиться получить возможно

меньшее отклонение модулей корней от единицы, поскольку большую часть реальных процессов можно отнести к почти стационарным. Практика показывает, что данная операция является весьма эффективным методом повышения точности прогнозирования.

Для эффективной борьбы с шумами необходимо увеличение количества исходных точек. При этом в ряде (4) появляются дополнительные шумовые компоненты с малыми весами, которые следует исключить из первичного ряда. Для отделения основных компонент ряда можно использовать тот факт, что эти компоненты мало зависят от величины шумов. Особой устойчивостью в этом плане отличается постоянная составляющая . Следовательно, если уровень помех в исходной последовательности неизвестен, введение дополнительного случайного сигнала определенной величины поможет выявить основные компоненты ряда и оценить собственные помехи начальных точек.

Оптимизация усеченного ряда является важным этапом повышения точности будущего прогноза. Она производится путем сравнения отдельных значений ряда с исходными точками . Строится и минимизируется

функционал . Это соответствует получению минимального

среднеквадратического отклонения ряда от исходных точек. Наилучшие результаты обычно дает метод поэлементного поиска с поэтапным уменьшением вариаций отдельных компонент ряда.

Если положить , то наилучший порядок

чередования изменяемых компонент будет следующим: а0 ,затем все Ьи , ¿и , Ь21 , (¡ц . Затем снова происходит возврат к изменению и т.д.

Для каждой компоненты должна производиться однократная вариация, независимо от того, увеличится или уменьшится при этом величина 5 . Если вариация удачна, данное изменение фиксируется и производится переход к следующей компоненте. В противном случае, восстанавливается прежнее значение компоненты, меняется направление ее вариации и делается переход к следующей компоненте.

В процессе вариаций должна строго сохраняться симметрия комплексно сопряженных пар коэффициентов и корней ряда. Расхождение значений кратных корней так же недопустимо.

Если при двукратном обходе всех компонент ряда получаются только отрицательные результаты, необходимо уменьшать степень вариации в два или большее число раз. Вариации компонент а0 и всегда должны быть примерно на порядок меньше остальных изменений.

Существует обширный класс процессов, статистические параметры

которых не меняются в среднем с течением времени. Это стационарные процессы. Они содержат постоянную составляющую и гармонические компоненты постоянных амплитуд и некратных частот

Проблема долгосрочного прогнозирования стационарных процессов с помощью общего ряда состоит в том, что при наличии шумов он может содержать слабо нарастающие и спадающие компоненты с корнями В дальней области прогноза или реконструкции влияние таких составляющих увеличивается. Это снижает точность результата, поскольку стационарные процессы не содержат подобных компонент.

Практическое использование ряда (12) встречает значительные трудности. Это связано с отсутствием математического аппарата для обоснованного выбора частот по известным точкам процесса при наличии погрешностей этих точек. Предлагаемый в работе способ построения тригонометрического ряда (12) основан на получении первичного ряда (4). При отсутствии погрешностей исходных точек и достаточном их количестве эти ряды полностью идентичны. Можно показать, что при наличии помех частоты корней ряда (4) будут близки к искомым значениям

частот ряда (12). Точность определения частот можно повысить.

Для этого необходимо провести оптимизацию ряда (4) при дополнительном условии приближения модулей всех корней к единице. Автором экспериментально установлено, что для стационарных процессов это всегда удастся сделать, несмотря на погрешности задания исходных точек. В итоге ряд (4) постепенно переходит в ряд (12).

Точность аппроксимации универсальным рядом (4) всегда лучше, чем специализированным рядом (12). Это объясняется бульшим количеством степеней свободы универсального ряда. Однако, точность прогнозирования всех видов процессов с шумами не всегда будет лучше для ряда (4). Особенно это касается прогнозирования стационарных процессов. Здесь явное преимущество будет иметь специализированный ряд (12). На рис. 1 показан пример прогнозирования стационарного процесса с тремя некратными частотами и дополнительными шумами с помощью ряда (4), а на рис. 2 тот же прогноз для ряда (12).

Рис. 2. Прогноз стационарного процесса с шумами рядом (12).

В четвертой главе приведена расширенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней характеристического уравнения (2). Выделены нестационарные ( |с,|<1 , , ?и;> 1 ),

стационарные ( |с(|=1 , /л,= 1 ), полустационарные ( |с,|<1 , /л,= 1 ), квазистационарные и квазиполустационарные

>п> 1 ) процессы. На практике чаще всего встречаются полустационарные

процессы, как результат переходного режима в устойчивых системах.

Разработанная методика прогнозирования сложных процессов предусматривает несколько последовательных этапов:

На первом этане необходимо определить наиболее подходящие для дальнейшей обработки размеры массива исходных данных. При этом последовательно уменьшается количество исходных точек путем отбрасывания начальных точек. Анализируются модули корней |с,| и результирующая точность аппроксимации. Реальные процессы редко имеют взрывной, то есть быстро нарастающий характер. Поэтому модули корней не должны быть много больше единицы. Точность аппроксимации определяется численной устойчивостью используемых методов и алгоритмов расчета. При получении первичного ряда эта точность играет решающую роль. При плохом результате теряется информация о реальных значениях частот компонент ряда. В работе установлено, что достаточно получить относительное отклонение первичного ряда от исходных точек не хуже

Результатом выполнения первого этапа будут количества членов, ряда и точек , удовлетворяющие

изложенным критериям.

На втором этане определяются возможные типы процесса по приведенной классификации. Стационарный, полустационарный и т.д. процессы организуются из первичного ряда путем соответствующего ограничения модулей корней и последующей оптимизации ряда. На этом этапе может применяться пробное прогнозирование нескольких (обычно двух-четырех) последних точек. Эти точки не используются при вычислении компонент ряда.

Выбирается вариант, имеющий лучшие показатели пробного прогнозирования или соответствующий реальному физическому характеру процесса.

Третий этап состоит в определении наилучшего количества компонент ряда и оптимальной точности аппроксимации исходной числовой последовательности. Эта точность прямо связана с уровнем случайных погрешностей точек или со степенью влияния неконтролируемых вынуждающих воздействий.

На каждом этапе сокращения длины ряда отбрасываются члены с малыми весами и определяются заново коэффициенты а, оставшихся компонент (см. формулу (5)). Затем производится окончательная оптимизация всех элементов ряда по критерию уменьшения среднеквадратического отклонения от всех исходных точек. При достижении наилучшей точности пробного прогноза или стабилизации этой точности,

процесс оптимизации ряда заканчивается и фиксируется полученная величина точности аппроксимации Е . Эта величина слабо зависит от числа членов ряда, если в нем остаются все существенные компоненты для данного процесса. Поэтому, в случае заметного ухудшения величины Е при очередном усечении ряда можно делать вывод о том, что дальнейшее сокращение ряда нецелесообразно.

В результате проведения третьего этапа окончательно выбирается число членов ряда и, что особенно важно, точность его приближения к исходным точкам Е .

При выполнении третьего этапа может получиться несколько различных оптимальных сочетаний точности пробного прогноза, точности аппроксимации исходной числовой последовательности и количества членов ряда. При сомнениях в выборе окончательного варианта следует использовать их все на заключительном четвертом этапе.

Четвертый этан состоит в применении полученных результатов для реального прогнозирования. При этом все пробные точки включаются в исходную числовую последовательность, из которой отбрасывается эквивалентное количество начальных точек. Затем производится окончательная оптимизация ряда по повой числовой последовательности. Точность этой оптимизации должна соответствовать значениям, полученным на третьем этапе.

Выбранные количества исходных точек, типы процесса, числа членов результирующего ряда и точность прохождения этого ряда через исходные точки используются для получения различных вариантов прогноза. Полученные для каждого варианта результаты сравниваются между собой. В результате должны быть выбраны наиболее близкие значения, из которых вычисляется окончательное среднеарифметическое значение прогноза. Аномальные значения отбрасываются как недостоверные.

Оценка точности конечного результата в каждом конкретном варианте расчета основана на величине среднего отклонения конечного ряда от исходных точек. Можно использовать так же найденную ранее точность пробного прогноза Эти данные дают первую границу точности. Максимальные отклонения ряда от исходных точек, родственных прогнозируемым, могут служить ориентиром для второй границы точности. Однако для процессов с неконтролируемыми вынуждающими воздействиями точность результата может быть существенно хуже этих величин из-за опасности появления таких воздействий в зоне прогноза.

По разным причинам некоторые этапы изложенной методики могут исключаться из применения. Например, тип самого процесса может быть со всей очевидностью установлен из физических соображений. Или недостаточное количество исходных точек не позволяет реализовать первый

этап методики. В последнем случае можно использовать дополнительные данные о процессах, родственных рассматриваемому. Например, при прогнозировании среднемесячной температуры за январь в одном процессе можно использовать значения температуры за январь, апрель, июль, ноябрь, т.е. месяцы, равноотстоящие между собой. Дополнительная информация, содержащаяся в родственных процессах позволяет существенно улучшить конечный результат.

Разработанная методика прогнозирования была проверена на большом числе практических задач различного характера. Некоторое из них приводятся ниже.

1. Прогнозирование активности Солнца производилось по данным интенсивности излучения на частоте 2800 МГц за период от начала подобных измерений в 1959г. до конца 2003г. Единица измерения данных -э.Ги. - Вт*м2*Гц'*10н. Задачей прогнозирования являлось определение среднегодовой активности на ближайшие 5-10 лет. Результирующий график процесса приведен на рис. 3.

5.00&02

ООО&ОО -1-1-1-1-1-1-1-1-1---1-1-1-1

1961 1965 1969 1973 1977 1981 1985 1989 1993 1997 2001 2005 2009 2013

время, год

аппроксимирующей ряд ■ узловые точки

Рис. 3. Прогноз среднегодовой активности Солнца. Полученные значения прогноза сведены в табл. 1.

Таблица ]

год значение год значение год значение год значение

2004 1130 2007 767 2010 1760 2013 1720

2005 977 2008 1010 2011 1950

год значение год значение год значение год значение

2006 783 2009 1260 2012 2060

Точность результата определялась методом пробного прогноза. Относительное среднее значение погрешности для первых четырех точек составило ±5,5 %.

2. Прогнозирование среднемесячной температуры по г. Алагиру Республики Северная Осетия-Алания. Решение данной задачи связано с большим влиянием различных случайных факторов. Поэтому использование исходных точек среднемесячной температуры только по отдельным месяцам нецелесообразно. Существенно лучшие результаты в плане пробных прогнозов дает применение общих файлов данных для нескольких родственных процессов. В работе использовались данные по годовым пульсациям, составленным из точек среднемесячных температур. Результат прогнозирования годовых пульсаций температуры приведен на рис. 4.

Рис. 4. Прогноз годовых пульсаций температуры.

Полученные значения прогноза сведены в табл. 2 Там же приводятся данные по фактическим значениям температур.

Таблица 2

мес. 2004г. I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

прогноз -2,91 -0,55 4,37 8,62 16,59 18,85 20,39 16,60 13,53 12,24 6,06 0,45

факт. -2.2 0,5 5,3 9,4 14,3 17,4

3. Прогнозирование годового стока р. Днепр в м'*сек' иллюстрируется графиком, приведенным на рис. 5.

-бо -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

1823 1834 1845 1856 1887 1878 1889 1900 1911 1922 1933 1944 1955 1966 1977 1988 1999 2010 7021

время, год

[-аппроксимирующий ряд • узловые точки |

Рис. 5. Прогноз годового стока р. Днепр.

Результаты прогноза сведены в табл. 3. Там же имеются данные прогноза по методу МГУА из работы А.Г. Ивахненко.

Таблица 3

год результат автора результат МГУА год результат автора результат МГУА

1974 1190 925 1978 1130 1197

1975 1270 1218 1979 1500 1413

1976 1160 1328 1980 1310 1500

1977 1250 1145 1981 1310 -

Ориентировочная погрешность результатов, определенная методом пробного прогноза, составила ±14 %.

4. Прогнозирование траектории летающих объектов. Решение задачи определения орбит и траекторий космических тел удобно производить изложенными в работе методами. Отдельные координаты движения идеально подчиняются принятому в работе типу разностных уравнений. Порядок уравнения определяется количеством взаимодействующих между собой небесных тел.

В работе рассматривается более сложный пример прогнозирования траектории летающего объекта. Объект маневрирует в атмосфере под действием сложного закона управления, имеющего псевдослучайную составляющую. Исследовалась высотная составляющая траектории в относительных единицах. Результаты расчета показаны на рис. 6.

Погрешность прогнозирования девяти первых точек плавно нарастает с номером точки и достигает значения +7,6 %.

5. Прогнозирование температурной зависимости коэффициента линейного расширения « *104*Град' для сплава 36Н (инвар) после холодной прокатки с обжатием 63%. Результирующий график приведен на рис. 7, а значения прогнозируемого коэффициента сведены в табл. 4.

Таблица 4.

Т(К) 300 310 320 330 340 350 360 370

а 0,537 0,614 0,696 0,780 0,862 0,946 1,026 1,097

г.оое>оо

1.60ЕЧХ)

1.00ЕЧЮ

I 5.00Е-01 л

^ О.ООЕ+ОО х

С -5.00Е01

4

« -1,00Е«00

г

•1.50&00 -2.00ЕОО

-г.боеоо

10 37.5 65 92,5 120 147.5 175 202,5 230 257.5 285 312,5 340 367.5

температура, К

|-аппрокомируюцуй ряд » узловые точки|

Рис. 7. Прогноз температурной зависимости коэффициента линейного

расширения

Погрешность определения коэффициента линейного расширения в прогнозируемой области составила не хуже 0,7%, что объясняется высокой точностью исходных данных.

В приложении приведены блок схема и полный текст разработанной универсальной программы прогнозирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты работы сводятся к следующему:

1. Показано, что процессы любого типа могут быть аппроксимированы с предельно высокой точностью единственным рядом наименьшей длины, состоящим из степенных и показательных функций. Этот ряд является решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного по дискретным равноотстоящим точкам процесса.

2. Прогнозирование и реконструкция сложных процессов, имеющих детерминированную и случайную составляющие, возможны путем экстраполяции ряда, предварительно оптимизированного по разработанным критериям выбора типа процесса.

3. Получены формулы для определения компонент аппроксимирующего ряда из условий минимизации его линейного или среднеквадратического отклонения от исходных точек.

4. Получены формулы для расчета влияния малых погрешностей исходных точек на точность прогнозирования. Показано, что случайные погрешности отдельных точек могут взаимно компенсироваться при рациональном выборе количества этих точек.

5. Разработаны методы преобразования первичного ряда, позволяющие уменьшить влияние случайных факторов на точность прогнозирования. Методы основаны на ограничении резко нарастающих и спадающих компонент, усечении длины ряда и его оптимизации по критерию минимального среднеквадратнческого отклонения от исходных точек.

6. Разработан и практически исследован алгоритм решения алгебраических уравнений высокого порядка и алгоритм оптимизации компонент ряда по различным критериям поиска минимума отклонений ряда от всех исходных точек.

7. Разработана расширенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней характеристических уравнений.

8. Разработана общая методика прогнозирования сложных процессов на основе поэтапного преобразования первичного ряда с целью уменьшения влияния погрешностей исходных точек и случайных возмущающих факторов.

9. Разработана универсальная программа прогнозирования и реконструкции различных природных и техногенных процессов детерминированного и случайного характера.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПЕЧАТНЫХ РАБОТАХ:

1. Кольвах Д.В., Моураов А.Г. Внедрение современных информационных технологий в приложении к трудоустройству выпускников вузов и работников образования. // В сб. материалов Межвузовской научно-практической конференции "Новые информационные технологии и их применение". - Владикавказ, ВНЦ РАН, 2001. - с. 164-167.

2. Кольвах В.Ф., Кольвах Д.В. Расчет процессов в сложных системах. // В сб. 'Труды СКГТУ". - Владикавказ, изд. "Терек", - вып. 9, - 2002, - с. 205-212.

3. Кольвах Д.В., Кольвах В.Ф. Прогнозирование процессов в сложных системах с помощью комбинированных рядов. // Труды молодых ученых. Владикавказский научный центр РАН. 2003. №1. С. 33-39.

4. Кольвах Д.В., Кольвах В.Ф. Влияние погрешностей исходных точек на точность прогнозирования. // Труды молодых ученых. Владикавказский научный центр РАН. 2003. № 2. С.31-35.

5. Кольвах В.Ф., Кольвах Д.В. Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда. // Труды молодых ученых. Владикавказский научный центр РАН. 2003. №4. С. 17-20.

6. Кольвах В.Ф., Кольвах Д.В. Прогнозирование стационарных процессов с помощью тригонометрических рядов с некратными частотами. // Труды молодых ученых. Владикавказский научный центр РАН. 2004. №5. С. 11-16.

Подписано в печать_._.2004 г. Печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 295.

Изд-во "Терек". Подразделение оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ), г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.

# 1 6 00 8

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Основные определения.

1.2. Классификация процессов.

1.3. Основные методы прогнозирования.

1.3.1. Регрессионный анализ.

1.3.2. Нейронные сети.

1.3.3. Спектральные методы.

1.3.4. Корреляционные методы.

1.3.5. Функциональные ряды.

1.3.6. Методы на основе моделей процессов.

1.3.7. Дифференциалы стохастических процессов.

1.3.8. Физические модели.

1.3.9. Стохастические рекурсивные последовательности.

1.4. Сущность предлагаемого метода.

1.5. Цель и задачи исследования.

1.6. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ПОЛУЧЕНИЕ ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИХ РЯДОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ.

2.1. Выбор экстраполирующего ряда.

2.2. Основные соотношения.

2.3. Нелинейные и параметрические процессы.

2.4. Точность результатов прогнозирования.

2.5. Влияние усреднения исходных точек на точность прогнозирования.

2.6. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ПОЛУЧЕНИЕ ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИХ РЯДОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

3.1. Временные погрешности задания исходных точек.

3.2. Амплитудные погрешности задания исходных точек.

3.3. Методика прогнозирования процессов с шумами.

3.4. Особенности прогнозирования стационарных процессов.

3.5. Особенности прогнозирования революционных процессов.

3.6. Дополнительные приложения метода.

3.7. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА.

4.1. Классификация процессов на основе корней характеристического уравнения.

4.2. Методика прогнозирования сложных процессов.

4.3. Прогнозирование активности солнца.

4.4. Прогнозирование среднегодовой и среднемесячной температуры.

4.5. Прогнозирование годовых и месячных осадков.

4.6. Прогнозирование годового стока рек.

4.7. Прогнозирование траекторий летающих объектов.

4.8. Прогнозирование разряда гальванического элемента.

4.9. Прогнозирование термо-э.д

4.10. Прогнозирование коэффициента линейного расширения.

4.11. Причины ухудшения точности прогнозирования.

4.12. Выводы по главе 4.

Развитие науки и техники определяет необходимость глубокого изучения характера поведения различных объектов и систем, определения тенденций их развития и возможных вариантов их состояния в будущем. Как правило, мы не имеем точного представления о характере и взаимодействии явлений, проходящих в рассматриваемой системе, и можем наблюдать лишь результат их совместного влияния на интересующий нас выходной процесс. Таким образом, исследователь вынужден рассматривать систему как "черный ящик", и не имеет возможности построить достаточно точную ее модель. Информация о текущем поведении системы ограничивается регистрацией отдельных групп ее выходных параметров. В процессе наблюдения накапливается некоторое количество данных. Эти данные можно использовать для прогноза параметров системы в будущем.

В данной работе рассматривается метод прогнозирования детерминированных и случайных процессов с помощью обобщенных степенных и показательных рядов, являющихся решениями линейных разностных уравнений. Коэффициенты этих уравнений получаются с помощью определенного количества равноотстоящих точек процесса.

Прогнозирование нелинейных, параметрических и случайных процессов осуществляется теми же методами с дополнительной обработкой полученного ряда. Она сводится к отбрасыванию несущественных компонент ряда и последующей его оптимизации по критерию минимального отклонения от исходных точек при одновременном ограничении степени нарастания оставшихся компонент в зоне прогноза.

Работа состоит из четырех глав и приложения.

В главе 1 производится краткий обзор существующих методов прогнозирования. Дается классификация процессов с кратким анализом их особенностей. На основе этой классификации выбирается путь решения задачи прогнозирования сложных процессов и ограничивается область применения разработанного метода. Производится постановка задачи.

В главе 2 излагается разработанный математический аппарат для получения экстраполирующих рядов детерминированных процессов по их равноотстоящим точкам. Рассматриваются способы приближенного построения рядов для нелинейных и параметрических процессов. Производится оценка точности прогнозирования и рассматривается влияние метода усреднения исходных точек на получаемый результат.

В главе 3 излагается разработанная методика прогнозирования процессов со случайными погрешностями исходных точек. Рассматриваются временные и амплитудные погрешности и их влияние на точность результата. Излагаются особенности прогнозирования стационарных и нестационарных процессов. На этой основе решается проблема прогнозирования революционных процессов.

В главе 4 Производится сравнение разработанного метода с общеизвестным методом МГУА (метод группового учета аргументов), разработанным Ивахненко А.Г. на примере прогнозирования среднегодового стока воды р. Днепр. Рассматриваются примеры прогнозирования активности солнца, погодных явлений, траекторий баллистических тел и процесса разряда гальванического элемента.

В приложении содержится текст универсальной рабочей программы для прогнозирования различных процессов. Приведено краткое описание программы.

Цель работы. Разработка и практическая реализация эффективного метода прогнозирования и реконструкции сложных процессов детерминированного и случайного характера. Метод ориентирован на применение в различных отраслях науки и техники.

Методы исследований. При выполнении работы использован комплекс математических методов, включающий теорию разностных уравнений, теорию случайных процессов, теорию оптимизации и планирования эксперимента, математическую статистику, матричный анализ и теорию функций комплексного переменного.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Показано, что процессы любого типа могут быть точно аппроксимированы рядом, состоящим из степенных и показательных функций.

2. Аппроксимирующий ряд является решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного по дискретным равноотстоящим точкам процесса.

3. Прогнозирование и реконструкция линейных и нелинейных процессов, имеющих детерминированную и случайную составляющие, возможны путем экстраполяции предварительно оптимизированного аппроксимирующего ряда.

4. Получены аналитические выражения для компонент аппроксимирующего ряда из условий минимизации его линейного или среднеквадратического отклонения от исходных точек.

5. Получены аналитические выражения для расчета влияния малых погрешностей исходных точек на точность прогнозирования.

6. Разработана расширенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней их характеристических уравнений.

7. Разработаны методы обработки первичного ряда, позволяющие уменьшить влияние случайных факторов на точность прогнозирования.

Практическая ценность работы:

1. Разработан и практически исследован ряд численных алгоритмов и методик реализации отдельных этапов прогнозирования.

2. Разработана универсальная программа прогнозирования и реконструкции различных природных и техногенных процессов.

3. Проведено прогнозирование ряда сложных процессов, имеющих важное практическое значение.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов подтверждается:

• соответствием результатов теоретических выводов и их экспериментальных проверок на многочисленных примерах;

• эффективностью созданной универсальной программы и хорошими результатами прогнозирования сложных процессов.

На защиту выносятся:

1. Разработанные аналитические соотношения для получения экстраполирующего ряда по дискретным равноотстоящим точкам процесса;

2. Разработанные аналитические соотношения для учета влияния погрешностей отдельных точек на точность прогнозирования;

3. Разработанные методики получения экстраполирующих рядов для нелинейных и параметрических процессов;

4. Разработанные методики прогнозирования процессов при наличии революционных воздействий и погрешностей исходных точек.

Реализация результатов работы:

1. Результаты работы используются в деятельности Республиканского гидрометеоцентра РСО-А при составлении различных долговременных прогнозов.

2. Результаты работы приняты к применению при создании новых систем управления производственными процессами НПК Югцветметавтоматика.

3. Программные средства и основные теоретические положения работы используются в СКГМИ(ГТУ) в учебном процессе при подготовке студентов по курсам "Методы анализа и расчета электронных схем" и "Преобразовательная техника".

Апробация работы. Основные результаты работы систематически докладывались на научных конференциях СКГМИ(ГТУ) и семинарах кафедры ИС в период с 2000 по 2004 г.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в шести печатных работах.

Настоящая работа является результатом исследований, выполненных на кафедре информационных систем в экономике Северо-Кавказского горнометаллургического института (государственного технологического университета).

4.12. Выводы по главе 4

1. Полученные формулы для определение коэффициентов а, , основанные на минимизации среднеквадратической ошибки, позволяют находить эти коэффициенты для первичного и усеченного ряда.

2. Предложенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней характеристического уравнения определяет не только стационарные и нестационарные процессы, но и некоторые дополнительные их типы.

3. Разработанная методика прогнозирования сложных процессов обеспечивает получение хорошего результата при высоком уровне шумов и неконтролируемых воздействий.

4. Примеры прогнозирования различных процессов подтверждают эффективность разработанного метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты работы сводятся к следующему:

1. Показано, что процессы любого типа могут быть аппроксимированы с предельно высокой точностью единственным рядом наименьшей длины, состоящим из степенных и показательных функций. Этот ряд является решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного по дискретным равноотстоящим точкам процесса.

2. Прогнозирование и реконструкция сложных процессов, имеющих детерминированную и случайную составляющие, возможны путем экстраполяции ряда, предварительно оптимизированного по разработанным критериям выбора типа процесса.

3. Получены формулы для определения компонент аппроксимирующего ряда из условий минимизации его линейного или среднеквадратического отклонения от исходных точек.

4. Получены формулы для расчета влияния малых погрешностей исходных точек на точность прогнозирования. Показано, что случайные погрешности отдельных точек могут взаимно компенсироваться при рациональном выборе количества этих точек.

5. Разработаны методы преобразования первичного ряда, позволяющие уменьшить влияние случайных факторов на точность прогнозирования. Методы основаны на ограничении резко нарастающих и спадающих компонент, усечении длины ряда и его оптимизации по критерию минимального среднеквадратического отклонения от исходных точек.

6. Разработан и практически исследован алгоритм решения алгебраических уравнений высокого порядка и алгоритм оптимизации компонент ряда по различным критериям поиска минимума отклонений ряда от всех исходных точек.

7. Разработана расширенная классификация процессов на основе модулей и кратностей корней характеристических уравнений.

8. Разработана общая методика прогнозирования сложных процессов на основе поэтапного преобразования первичного ряда с целью уменьшения влияния погрешностей исходных точек и случайных возмущающих факторов. 9. Разработана универсальная программа прогнозирования и реконструкции различных природных и техногенных процессов детерминированного и случайного характера.

1. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. - М.: "Наука", 1987 - 248с.

2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. / Пер. с англ. М.: "Наука", 1977. - 344 с.

3. Астафьева Н.М. Вэйвлет-анализ: основы теории и примеры применения. // Успехи физических наук. 1998, Т.166. - №11, - с. 1145-1170.

4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1982. - 488 с.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: "Наука", 1965. - 325 с.

6. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: "Физматгиз", 1961.

7. Белоцерковский A.C. Метод ускоренного определения переходных процессов в многопериодных электронных схемах. // В журн. "Известия ВУЗов: Радиоэлектроника", 1989, №7, - с. 90-92.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. / Пер. с англ. -М.: "Мир", 1974.

9. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1989. - 540 е., ил.

10. Бендат Дж., Пирсол А., Применение корелляционного и спектрального анализа. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1983. - 312 е., ил.

11. Бесстужев-Лада И.В. Прогнозирование в Советском Союзе. // "Курьер ЮНЕСКО", 1971, №4, - с. 22-28.

12. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М., "Мир", 1974. - 406 с.

13. Болтянский В.Г. Математичекие методы оптимального управления. М.: "Наука", 1968. - 408с., ил.

14. Брайтер Г.В., Пановский Г.А. Статистические методы в метерологии. Л.: "Госметеоиздат", 1967. - 242 с.

15. Бухалев В.А. Распознование, оценивание и управление в системах со случайной скачкообразной структурой. М.: "Наука", Физматлит. - Серия "Теоретическиеосновы технической кибернетики" 1996. 288 с.

16. Вейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: "Наука", 1966. -295 с.

17. Виноград С., Коуэн Дж.Д. Надежные вычисления при наличии шумов. / Пер. с англ. Е.А. Бочек и В.Г. Чернова. / Под ред. A.B. Шилейко. М.: "Наука", 1968. -112 е., черт.

18. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: "Наука", 1984.

19. Вопросы статистической теории распознования. / Под. ред. Б.В. Барского. М.: "Сов. радио", 1967. - 400 е., ил.

20. Воробьев H.H. Теория рядов. 6-е изд. - СПб.: Изд-во "Лань", 2002. - 408 с.

21. Гаврилов H.H. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -• М.: "Наука", 1973.-312 с.4. 22. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. 2-е изд., доп. - М.: "Радиотехника",2003.- 256 с.

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: "Наука", 1967. - 576 с.

23. Голованов JI.B., Саркисян С.А. Прогнозирование развития больших систем. М.: "Статистика", 1975.- 192 с.

24. Головко В.А. Нейрокомпьютерные сети: обучение, организация, применение. Монография. М.: "ИПРЖР", 2001. - 255 е., ил.

25. Горбатов В.А. и др. Логическое управление распределенными системами. М.: ^ "Энергоатомиздат", 1991. - 286 с.

26. Горбатов В.А. Теория частично упорядоченных систем. М.: "Советское радио", 1979. - 352с.

27. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М: "Наука", 1999. - 174с.

28. Горбатов В.А. Характеризационное управление при оптимизации систем. // Сб. «Оптимизация дискретных систем управления», Москва, 1979.

29. Горбачевский С.К., Жук С.Я. Модифицированный алгоритм рекуррентно -поискового оценивания. // В журн. "Известия ВУЗов: Радиоэлектроника", №2, -1993,-с. 60-64.

30. Горский В.Г., Адлер Ю.П. и др. Планирование промышленных экспериментов. -М.: "Металлургия", 1978. 112 с.

31. Гроппен В.О. Принципы оптимизации комбинаторных процедур. Изд. РГУ,1988. 200 с.

32. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: "Физматгиз", 1977. - 224 с.

33. Демирчан К.С. и др. Проблемы численного моделирования процессов в электрических цепях. // Известия АН СССР: "Энергетика и транспорт", №2, -1982.

34. Дик В.В. Методология формирования решений в экономических системах. М.: "Экономика", 2002. - 300 с.

35. Добров Г.М. Прогнозирование науки и техники. М.: "Наука", 1969. - 208 с.

36. Дубров A.M. и др. Многомерные статические методы. М.: "Финансы и статистика", 2000. - 352 с.

37. Зангвилл У.И. Нелинейное прогнозирование. М.: "Советское радио", 1973.

38. Заяц В.М. Ускоренный поиск установившихся режимов ВЧ автогенераторах с длительными переходными процессами. // Известия ВУЗов: "Радиоэлектроника", №3,- 1993, -с. 26-32.

39. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: "Техника", 1975. - 312 с.

40. Ито К. Вероятностные процессы. Вып. 2. / Пер. с японского А.Д. Вензеля. / Под ред. Е.Б. Дынкина. - М.: Изд. "Иностранная лит-ра", 1963. - 136 с.

41. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: "Наука", "Физматгиз", 1975. - 432 с.

42. Казаков И.Е. Статическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: "Физматгиз", 1962.

43. Каспин В.И., Лисичкин В.А. Понятийный аппарат прогностики. // В сб. "Соревнование двух систем". М.: "Наука", 1971. - 566 с.

44. Кацнельсон JI.3. Эрмуша А.Е. Эффективный адаптивный алгоритм оптимизации для нелинейных задач метода наименьших квадратов. // Известия ВУЗов: "Радиоэлектроника", №6, - 1989, - с. 84-87.

45. Кини Р., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: "Радио и связь", 1981, 559с.

46. Колмогоров А.Н. Аналитические методы в теории вероятности. // "Успехи математических наук", вып. 5, - 1938.

47. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарныхслучайных последовательностей. // Изв. АН СССР, сер. матем., т.5, - №1, - 1941, -с. 5-16.

48. Труды СКГТУ". Владикавказ, изд. "Терек", - вып. 9, - 2002, - с. 205-212.

49. Кольвах Д.В., Кольвах В.Ф. Прогнозирование процессов в сложных системах с помощью комбинированных рядов. // В сб. РАН "Труды молодых ученых", -Владикавказ, изд. "Терек", №1, - 2003, - с. 33-39.

50. Кольвах Д.В., Кольвах В.Ф. Влияние погрешностей исходных точек на точность прогнозирования. //В сб. РАН "Труды молодых ученых", № 2, - 2003 г. - с.31-35.

51. Кольвах В.Ф., Кольвах Д.В. Эффективный алгоритм обращения матрицы ф, Вандермонда. // В сб. РАН "Труды молодых ученых", Владикавказ, изд. "Терек",- №4, 2003. - с. 17-20.

52. Кольвах В.Ф., Кольвах Д.В. Прогнозирование стационарных процессов с помощью тригонометрических рядов с некратными частотами. // В сб. РАН "Труды молодых ученых", Владикавказ, изд. "Терек", - №5, - 2004.

53. Корецкий C.JL, Лерман Л.Б., Роскач О.С. Использование динамического факторного анализа в прогнозировании развития стохастических и детерминированных систем. Киев: "КДЕУ", - вып. 59, - 1966.

54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и т инженеров. / Пер. с англ. М.: "Наука", 1976. - 304 с.

55. Котюк А.Ф. и др. Методы и аппаратура для анализа характеристик случайных процессов. М.: "Энергия", 1967. - 240 с.

56. Кофман А.В. Введение в прикладную комбинаторику. / Пер. с англ. М.: "Наука",1975. 479 с.

57. Красовский A.A. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: "Наука", 1977.

58. Куликов Н.К. Многофакторное прогнозирование на основе функций с гибкой структурой. // В кн. "Основные проблемы и задачи научного прогнозирования". -М.: 1972. 151 с.

59. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: "Наука", 1971. - 432 с.

60. Кучерявый Е.А., Яновский Г.Г. Метод прогнозирования мультимедийного траффика в сетях ATM. // Тезисы конференции "Информационные сети и системы". М.: 1999, - с. 9.

61. Ланкастер П. Теория матриц. / Пер. с англ. М.: "Наука", 1982. - 272 с.

62. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: 1966. - 176 с.

63. Лисичкин В.А. Прогнозирование в науке и технике. М.: 1968. - 107 с.

64. Лисичкин В.А. Теория и практика прогностики. М.: "Наука", 1972. - 224 с.

65. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: "Мир", 1981. - 167с

66. Марпл-мл., С.Л., Цифровой спектральный анализ и его приложения. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1990.-584 е., ил.

67. Марчук Г.И. Введение в методы вычислительноу математики. Новосибирск, изд. НГУ, 1971.-471 с.

68. Метеорологические исследования. // Сб. статей, №13, - 1968.

69. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: "Наука", 1981. -488с.

70. Молер К., Форсайт Д. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: "Мир", 1969. - 167 с.

71. Мясников В.Н. Рекуррентный метод анализа электронных схем. // Известия ВУЗов: "Радиоэлектроника", №6, - 1989, - с. 95-98.

72. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: "Наука", 1971. - 207 с.

73. Норенков И.П. Комбинированные методы моделирования и анализа в системах автоатизированного проектирования. "Приборостроение", - №9, - 1983, - с. 77-82.

74. Осуга С. Обработка знаний. М.: "Мир", 1989. - 200с

75. Песаран М., Слейтер Л. Динамическая регрессия: Теория и алгоритмы. / Пер. с англ. М.: "Финансы и статистика", 1984. - 301 с.

76. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды, специальные функции. М.: "Наука", 1983.-750 с.

77. Пугачев B.C. Введение в теорию вероятностей. М.: "Наука", 1968. - 367с.

78. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам 4¡> автоматического управления, 3-е изд. М.: "Физматгиз", 1962. - 883 с.

79. Пугачев B.C. Теория случайных функций. М: "Физматгиз", 1960. - 884 с.

80. Расчет систем управления на ЦВМ: Спектральный и интерполяционный методы. / Солодовников В.В., Семенов В.В., Пешель М., Недо Д. / Под ред. В.В. Солодовникова, М Пешеля. М.: "Машиностроение", 1979. - 664 е., ил.

81. Розов А.К. Нелинейная фильтрация сигналов, 2-е изд., перераб. и доп. Спб.: "Политехника", 2002. - 372 е., ил.• 86. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. ф, Примеры. 2-е изд., испр. М.: "Физматлит", 2002. - 320 с.

82. Самообучающиеся системы распознавания и автоматического управления. Киев: "Техника", 1969. - 392 с.

83. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в системах со многими критериями. М.: "Наука", 1981. - 147 с.

84. Солодовников A.C. Математика в экономике. / Части 1,2, 2-е изд. М.: "Финансы и кредит", 2003. - 384 с.

85. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. A.A. Красовского. Ф М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 712 с.

86. Статистические методы для ЭВМ. / Под. ред. К. Энслейна, Э. Релстона, Г.С. Уилфа. М.: "Наука", 1986.

87. Стратанович PJL Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике. "Сов. радио", 1961.-311 с.

88. Теория прогнозирования и принятия решений. / Под ред. Саркисяна С.А. М.: "Высшая школа", 1977. - 351 с.

89. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: "Наука", 1974. - 224 с.

90. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск: "Высшая школа",1968. 320 с.

91. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М.: "Наука", 1967.

92. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями вкомплексной области. М.: изд. "Иностранной лит-ры", 1961. - 508 с.

93. Хорн. Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. / Пер. с англ. М.: "Мир", 1989.

94. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: "Наука", 1981. -350 с.

95. Цыпкин Я.3. Теория линейных импульсных систем. М.: "Физматгиз", 1963. -968 с.

96. Чижевский A.JI. Земное эхо солнечных бурь. М.: "Мысль", 1976. - 367 с.

97. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б. и др. Прогнозирование количественных характеристик процессов. М.: "Советское радио", 1975.

98. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты. / Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 е., ил.

99. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики, 2-е изд., испр. -М.: Физматлит, 2003. 296 с.

100. Шастова Г.А., Коекин А.И. Выбор и оптимизация структуры информационных систем. М.: "Советское радио", 1975. - 200с.

101. Шиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: "Физматгиз", 1962. - 344 с.

102. Шмелев А.Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей. М.: Изд-во МФТИ, 1998. - 208 с.

103. Ширяев А.Н. Некоторые новые результаты в теории управляемых случайных процессов. // Trans. Fourth. Prague Conference on Inform. Theory, Statistical Decision Functions, Random Processes. Prague, 1967. - p. 131-203.

104. Шурыгин A.M. Прикладная стохастика: Робастность, оценивание, проноз. М.: "Финансы и статистика", 2000. - 224 с.

105. Эйрес Р. Научно-техническое прогнозирование и долгосрочное планирование. -М.: "Мир", 1971.

106. Эндрюс Д., Мак-Лоун Р. Математическое моделирование. М.: "Мир", 1977. -341с.

107. Ямпольский С.М. и др. Прогнозирование научно-технического прогресса. М., "Экономика", 1974. - 207 с.

108. Bankovy G., Veliczky J., Ziermann M. Comparative dynamic analysis of the development of some European countries. Budapest, 1982. - 93 p.

109. Box D., Jenkins G. Time Series Analysis. Forecasting and Control. San Francisco, Holden Day, 1970.-296 p.

110. Cochrane D., Orcutt G.H. Application of least squares regression to relation-ships containning autocorrelated error terms //J. Am. Stat. Assn. 1994, - №44, - p. 32-61.

111. Granger C.W.J., Newbold P. Forecasting Economic Time Series. New York: Academic Press, 1977. - 411 p.

112. Harvey A., Scott A. Seasonality in dynamical regression models // Econ. J. 1994,104,-№427,-p. 1324-1345.

113. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems. // Trans. ASME Journ. Basic Engineering, March, - v. 83D, - №1, - 1961, - p. 35-45.

114. Kalman R.E., Busy R.S. New results in linear filtering and prediction problems. // Trans. ASME Journ. Basic Engineering, March, - v. 83D, - №1, - 1961, - p. 95-108.

115. Kendall M.G. Time Series Analysis. London, Griffin, 1973. - 267 p.• 121. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by4 analytic functions, Quart. Appl. Math. 4, 1946. - p.p. 45-99, 112-141.

116. Schumaker L.L. Spline Functions: Basic Theory. New York, Wiley-Interscience, 1981.

117. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. John Willey, - №7, - 1949.