автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.01, диссертация на тему:Разработка и исследование метода идентификации системы механических параметров на тестирующем симметричном двухосном сферическом движении

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»

На правах рукописи

005045517

Шаховал Сергей Николаевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА ТЕСТИРУЮЩЕМ СИММЕТРИЧНОМ ДВУХОСНОМ СФЕРИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ

Специальность 05.11.01 - Приборы и методы измерения (механические величины)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- ? ШОп 2Ш

Санкт-Петербург 2012

005045517

Работа выполнена на кафедре Теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится «25» июня 2012 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.227.04 при Санкт-Петербургском государственном национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики (НИУ ИТМО) по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИУ ИТМО. Автореферат разослан « гГ » мая 2012 года.

Отзывы (в 2 экз.) по автореферату, заверенные печатью, просьба направлять по адресу университета: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.227.04.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.227.04

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Мельников Геннадий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Тихонов Алексей Александрович

доктор технических наук, профессор

Федоров Алексей Владимирович

кандидат технических наук, доцент

Киселев С. С.

I. Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Проблема автоматизации процесса экспериментального определения моментов инерции и тензоров инерции тел произвольной формы, малых и крупных габаритов является технически сложной проблемой быстрого и точного определения механических характеристик твердых тел, технических изделий. Потребность в определении этих инерционных параметров возникает для различных объектов и серийно изготавливаемых изделий, которые должны осуществлять движения в пространстве, сопровождаемые сложными вращениями. В частности, шесть параметров тензора инерции тела, наряду с его массой и координатами центра масс, являются важными характеристиками в определении кинетической энергии или кинетического момента механических систем или отдельных тел, в том числе различных транспортных средств (автомобилей, самолетов, кораблей и др.), существенно определяющими маневренность объектов. Для воздушных и космических аппаратов положение центра масс и параметры центрального тензора инерции наиболее важны для управления полетом, поскольку эти величины входят в динамические уравнения движения. Для обеспечения требуемых маневренных характеристик самолетов и морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их основных массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически получить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача быстрого и точного измерения моментов инерции многих массивных крупногабаритных тел. Осевые моменты инерции, тензоры инерции, статические моменты массы характеризуют механические свойства приборов на подвижных платформах и подвижных элементов различных электромеханических устройств. Элементы манипуляционных роботов, совершающих сложные пространственные движения, также характеризуются их массой, положением центра масс, тензором инерции и другими механическими параметрами, которые влияют на точность выполняемых действий. Идентифи-

кация тензора инерции тела осуществляется на неравномерных движениях, поскольку осевые и центробежные моменты инерции проявляются на сложных вращениях. Основными факторами, влияющими на точность идентификации, являются силы трения в кинематических парах и аэродинамическое сопротивление среды.

В настоящее время широко применяются методы определения моментов инерции на устройствах с малым конструктивным трением и малым аэродинамическим сопротивлением, тензор инерции определяется через шесть измеренных осевых моментов инерции. В связи с этим возникают проблемы, обусловливающие актуальность темы диссертационных исследований:

в приборе для измерения осевых моментов инерции следует использовать только элементы и кинематические пары с малым трением;

движения, на которых осуществляется идентификация моментов инерции, должны быть медленными, с малым аэродинамическим сопротивлением;

необходимость шестикратной последовательной выставки тестируемого тела в шести угловых положениях относительно оси вращения, что требует значительных затрат времени и осуществляется сложными дополнительными устройствами;

ограниченность ресурсов и высокая стоимость зарубежных аналогов, в которых для повышения точности измерений используются сложные элементы. Объект исследования.

В качестве объекта исследования в данной работе рассматривается система осевых моментов инерции и тензор инерции тестируемого тела.

Для решения данных актуальных проблем возникла необходимость изучения известных алгоритмов определения моментов инерции, являющихся предметом исследования, и разработки соответствующих математических методов для реализации новых устройств и управления процессами. Диссертация посвящена созданию такого метода и анализу погрешности определения моментов инерции различных тел. Разрабатывается метод параметрической идентификации твердотельных физических объектов на программном двухэтапном

разгонно-тормозном симметричном двухосном сферическом движении с этапом ускоренного движения и последующим этапом симметричного торможения. Особенностью тестирующего движения является быстрое неравномерное вращение вокруг вертикальной оси, сопровождаемое сравнительно медленным полнооборотным вращением вокруг подвижной оси собственного вращения, образующей с вертикалью определенный угол, а также симметрия движения, позволяющая исключить из расчетных формул моменты диссипативных сил трения и аэродинамического сопротивления.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка нового энергетического быстрого, точного и не требующего больших ресурсов метода определения тензоров инерции тел, реализуемого с помощью достаточно простых исполнительных устройств и приборов, не содержащих сложных дорогостоящих узлов. А также реализация прибора на основании нового метода.

Задачи исследования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Анализ взаимного расположения осей для определения моментов инерции, дающих большую точность и простоту конструкции исполнительного устройства. За оси принимаются шесть положений мгновенных осей вращения на подвижном аксоиде.

2. Получение расчетных формул для идентификации тензора инерции тела, в которые в виду специфики тестирующего движения не входят, но при этом учитываются моменты диссипативных сил, а действие активных моментов, обеспечивающих движение, выражается через текущий расход электрической энергии.

3. Разработка нового энергетического метода, использующего неравномерное однонаправленное разгонно-тормозное симметричное движение с быстрым прецессионным и сравнительно медленным собственным вращением тестируемого тела.

4. Разработка схемы исполнительного устройства, содержащего два расположенных соответственно на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, которое осуществляет предложенный новый метод.

5. Вычисление погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции, вызванных отклонениями мгновенных осей вращения от заданных значений, а также влиянием деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Расчетные формулы для элементов тензора инерции в точке тестируемого тела через осевые моменты инерции. Получена зависимость от угловых расстояний между осями определителя матрицы системы уравнений для тензора инерции через осевые моменты инерции. Вычислены максимальные абсолютные значения определителя матрицы этой системы при типовых расположениях осей, относительно которых экспериментально определяются осевые моменты инерции.

2. Расчетные формулы для экспериментальной идентификации осевых моментов инерции тела, в которые не входят явно моменты диссипативных сил в виду особенностей предложенного движения, а действие активных моментов, обеспечивающих движение, представлено через разности текущих расходов электрической энергии на двух этапах движения.

3. Новый способ определения тензора инерции, в котором применено двухосное сферическое движение с симметричным однонаправленным разгонно-тормозным вращением вокруг вертикальной оси прецессии и сравнительно медленным вращением тела вокруг подвижной оси собственного вращения, наклоненной по отношению к вертикали.

4. Схема прибора для измерения тензоров инерции малогабаритных тел, состоящего из несимметричной рамки карданова подвеса с вертикальным валом, контейнера для размещения тела с наклоненным относительно вертикали подвижным валом и двух управляемых электродвигателей.

5. Оценки погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции тел из-за отклонений мгновенных осей вращения от заданных значений и влияния деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Научная новизна.

Предложен новый энергетический метод идентификации осевых и центробежных моментов инерции различных тел на специальных приборах с учетом сил трения и аэродинамического сопротивления, использующий симметричные однонаправленные разгонно-тормозные сферические вращения, которые обеспечивают аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул.

Новизна заключается в том, что пять тестирующих вращательных движений вокруг неподвижных осей заменены одним двухосным однонаправленным вращением, обеспечивающим непрерывные изменения положений в теле мгновенной оси вращения, из которых используются пять конкретных положений.

Практическая значимость.

Разработанный метод способствует автоматизации процесса определения тензоров инерции малогабаритных и крупногабаритных технических объектов. Он может быть практически реализован в виде соответствующих автоматизированных устройств и математических алгоритмов, что позволит более эффективно и точно вычислять необходимые характеристики технических изделий произвольной формы, габаритов и геометрии масс. Предложенный прибор показывает один из способов применения разработанного метода.

Апробация.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, на секции теоретической механики в Санкт-Петербургском Доме Ученых (2011 г.), а также были доложены на следующих конференциях:

1. Международная научная конференция «Шестые Поляховские чтения». 2012.

2. ХЬ научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2011.

3. XXXIX научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010.

4. XXXVII научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008.

5. V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых. 2008.

Методы исследования.

При разработке алгоритмов определения моментов инерции тел использовались методы и теоремы теоретической и прикладной механики, теории колебаний и устойчивости процессов динамических систем, теории идентификации параметров линейных и нелинейных систем, теории управления движением механических систем, метод конечных элементов и анализ реакции конечно-элементной модели с заданными граничными условиями на приложенные нагрузки с использованием системы инженерного анализа, которая имеет возможность учитывать свойства материалов, метод оптимизации определителей матриц, зависящих от угловых параметров.

Достоверность результатов.

Достоверность основана на правильном применении законов и уравнений механики, анализе чувствительности определяемых динамических параметров исполнительных устройств и тестируемого тела, оценке погрешности измерений и влияния на алгоритм определения инерционной матрицы системы, а также подтверждается результатами численных экспериментов и сравнением их с численными и аналитическими результатами, известными для моделей тел простых геометрических форм.

Структура диссертации.

Структура диссертации соответствует логике исследования и включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы из 59 наименований. Объем работы составляет 127 страниц, 65 рисунков, 3 таблицы.

Публикации.

По теме диссертации опубликованы 9 печатных работ, из них 5 работ в журналах, рекомендованных ВАК.

Поддержка.

Исследования автора на этапах работы над диссертацией поддержаны грантом РФФИ №10-08-01046-а.

II. Основное содержание исследования.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, ее научная новизна и практическая значимость, а также приведены сведения об апробации и основных положениях, выносимых на защиту.

В первой главе диссертации представлен краткий обзор существующих методов измерения моментов инерции, сведения из истории и теории, относящиеся к проблеме определения элементов тензора инерции. Проводится сравнительный анализ некоторых основных существующих методов и показаны их достоинства и недостатки, проблемы при техническом осуществлении. Тензор инерции твердого тела относительно выбранного центра определяется как совокупность компонентов матрицы размером 3x3, которая позволяет находить кинетический момент и кинетическую энергию тела или механической системы, образованной совокупностью тел. Тензор инерции может преобразовываться определенным образом при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой системе координат с общим центром, а также при переходе к другому центру (например, к центру масс твердого тела).

Во второй главе рассматриваются способы расположения осей с точки зрения упрощения перевода вращения тела от одной оси к другой, представле-

ны варианты, которые целесообразно применить при проектировании исполнительных приборов для измерения механических инерционных величин. Исследована зависимость модуля определителя матрицы линейной алгебраической системы от двух либо одного углового параметра. Определено оптимальное расположение осей посредством нахождения максимального значения определителя. Исследованы варианты расположения пяти осей на одном конусе с шестой осью, направленной либо вдоль его оси симметрии, либо перпендикулярно к ней. Кроме того, рассмотрен случай, когда оси равномерно распределены по поверхностям двух конусов с общей осью симметрии и вершиной, но различными углами при вершине. Как частный случай при совпадении конусов показана плохая обусловленность системы. А также рассмотрены расположения осей на сегменте конуса (рис. 1), определяемом угловым параметром у. Показано, что для практической реализации пригодны значения у, близкие к 200° или ^>200°.

Даны рекомендации по выбору направлений шести осей вращения, указаны ограничения на взаимное расположение осей. Обоснована с позиции технического осуществления целесообразность выбора пяти осей на виртуальном круговом конусе, условно связанном с телом, и шестой осью, направленной перпендикулярно к центральной оси симметрии конуса или совпадающей с ней. Показано, что небольшие отклонения порядка 15° от оптимального расположения осей несущественно влияют на хорошую обусловленность и точность расчетных формул.

г

у

Рис. 1. Расположение осей на сегменте конуса

Определитель матрицы линейной алгебраической системы представлен в виде функции одного или двух угловых параметров. К ней применяются необходимые и достаточные условия минимума экстремума: О'(а0) = 0 - необходимое условие экстремума для функции одной переменной; 0"(а0)>0 и О"(а0) < 0 - соответственно достаточные условия минимума и максимума для функции одной переменной. К определителю, зависящему от двух углов Эйлера а, Р, применены необходимые и достаточные условия минимума и максимума функции двух переменных вида: Р0) = 0, Щ(а0, /70) = 0 - необходимые

условия экстремума функции двух переменных; Н> 0, £>0 и Н> 0, £<0 -достаточные условия соответственно минимума и максимума функции двух переменных, где Е = ^{а0,р0), ^ = ^ = ¿§(«0. Л,)> Я = ££-С2.

Рис. 2. Зависимость определителя от а при /=/0

Рис. 3. Зависимость определителя от у при а=аа В результате в каждом из случаев найдено оптимальное расположение пучка осей в системе координат Охуг с началом в полюсе О, в котором вычисляет-

ся тензор инерции тела. Определены допустимые интервалы отклонения значений от оптимальных, при которых точность вычислений удовлетворяет заранее заданному значению. При этом критерием точности служит абсолютное значение определителя (рис. 2-3).

Выделены два оптимальных значения определителя матрицы А расчетной линейной системы алгебраических уравнений. В первом случае пять осей расположены равномерно на поверхности конуса, а шестая ось направлена вдоль центральной оси симметрии:

О 0 10 0 0

sin2 arcos2 sin2arsin2af coi a sin2arsinf

A =

siriacos2! sin2arsin2| eos2« -sin2asin^

sin

arcos2

sin2 arsin2 f coi ar sin2 arsin^

sin2arsin^ sin2acos^E sin2arsinf -sin2arcosf

2ir

J JHl Lbülll j VSJJ U ¿111 uauiy

sin2 arcos2 ^f sin2 arsin2 Ц- eos2 a -sin2arsinf -sin2asin^ sin2acos^

-sin2arsin|

sin2arcosf

sin2 a

0

coS2

ar

0

0

sin2ar

25л/5 .

-si

2

ла раствора (ar0 и 63,43495°), Z)max = D{a0) =

D(a) = deX(A) = —-—sin8arcos2a, ar0 = f-arctg¿ - оптимальное значение уг-

128

25л/5

i 2,2897 — максимальное

значение определителя матрицы А. Во втором случае оси равномерно распределены по поверхностям двух конусов:

''sin2 ar ■2

А =

0

cos2ar

0

sin Р 3sin Р

4 4

sin2 a 3sin2 a

4 4

sin2 P 0

sin2 a 3sin2ar

4 4

sin2 p 3sin2 p

eos2 p 2

V3sin2 ar

eos ar 2

eos2 p 0

-s/3sin2 ar

eos a 2

Ssm2 P

eos p 2

0

V3sin2/? 2

-jbs'mla

2 0

■jbsmla 2

V3sin2/J

sin2a sin2/7 2

sin2ar 2

sin2 p

sin2ar

2~ sin2 p

D(a, P) = det(^) = y sin2 ar sin2 p sin(a - /?)sin3(ar + /?),

—(5 - л/5)

(а0 = 37,37742°), Д, =■§— агссоБ

—(5 + л/5)

(Д, =79,18792°), Отах=О(«0,/?0) =

128

25л/5 '

: 2, 2897. В этих случаях получены

одинаковые максимальные значения определителей матриц А систем. На рис. 4 приведен график определителя как функции двух углов. Из всех исследованных случаев найденная максимальная абсолютная величина определителя имеет 128

значение От!1у = _ 25л/5

< 2,2897. Она достигается в случае, когда шесть осей

направлены вдоль осей виртуального икосаэдра.

Рис. 4. Зависимость определителя от двух углов: а и /?

Во всех рассмотренных вариантах расположения пучков осей получены достаточно большие допустимые угловые интервалы порядка 15°, дающие возможность свободно выбирать оси для определения моментов инерции и ориентироваться в первую очередь на упрощение конструкции исполнительного устройства.

В третьей главе рассматриваются новые методы идентификации моментов и тензоров инерции. В них использовано свойство следящих систем управления осуществлять требуемые программные движения в условиях неизвестной диссипации энергии и неизвестной интервальной инерционной нагрузки. При этом предложены типы программных разгонно-тормозных двухэтапных движений. Первым свойством этих движений является динамическая симметричность этапов. Вторым свойством является равноуровневость положения центра

масс тестируемого тела либо полнооборотность вращения вокруг выбранной собственной оси. Путем использования этих свойств удается отделить в расчетных формулах инерционную нагрузку от неизвестных величин - диссипатив-ной и гравитационной нагрузок. В результате получена расчетная формула для параметрической идентификации момента инерции, не содержащая момента трения и момента силы тяжести.

Тензор инерции тела произвольной формы определяется посредством идентификации шести осевых моментов инерции относительно выбранных осей, пересекающихся в неподвижном центре конструкции исполнительного устройства. В связи с этим объект управления синтезированной системы должен исполнять две функции: программное вращение тела вокруг назначенной собственной оси и последовательное шестикратное изменение углового положения тела относительно оси вращения таким образом, чтобы ось вращения занимала в теле последовательно шесть существенно различных угловых положений.

В третьей главе дополнительно предлагается вариант двухосного прецессионного разгонно-тормозного однонаправленного движения, в котором осуществляется двухосная полупрограммная реверсивно-симметричная прецессия тестируемого тела при условии, что угловая скорость собственного вращения тела на порядок меньше угловой скорости прецессионного движения вокруг вертикальной оси. При таком условии весьма медленное собственное вращение обеспечивает на протяжении полного оборота вокруг собственной оси совпадение с вертикальной осью прецессии всех линий вокруг наклонной оси собственного вращения кругового конуса, связанного условно с телом подвижного аксоида, что заменяет пять переходных процессов смены осей.

Малая собственная угловая скорость тела вносит лишь незначительные изменения в величину и направление (угол у на рис. 5) вектора полной угловой скорости сферического движения тела. Вращения вокруг двух осей предполагаются синхронными и содержащими симметричное разгонно-тормозное движение.

Пусть tú] = - переменная угловая скорость прецессии тела вокруг вертикальной оси О:i; £|- угловое ускорение прецессии, меняющее направление на противоположное при замедленном движении; q> — угол поворота тела вокруг наклонной оси собственного вращения тела; со2 =^>к— угловая скорость вращения вокруг наклонной оси. Предполагается, что о», » &>2. Тогда в расчетных формулах можно пренебречь угловой скоростью со 2, так как существенным является только изменение углового положения тела относительно оси О:,.

г. !

Электродвигатель 2

Электродвигатель 1

Рис. 5. Устройство для определения тензора инерции тела Пусть в процессе испытания тело совершает два оборота ускоренного вращения вокруг оси 0:х в положительном направлении и два оборота симметричного торможения в том же направлении. Предполагается, что в виду симметричности пары движений работы сил трения в обоих случаях равны. Работы силы тяжести неуравновешенного тела на полном обороте по углу ср равны нулю в виду вертикальности оси прецессии О:\. Программные движения осуществляются двумя электродвигателями (рис. 5). Пусть на угловом интервале О < (р < Ал назначены пять полных оборотов, отсчитываемых от следующих пяти угловых значений: рц = 0, <Р\ = И..... = 4/з; к = . На этих оборотах

имеются пять симметричных вращений. Эти движения удовлетворяют соответственно двум уравнениям энергии:

(J + Ik)(®!д+1 -co¡k) = 2Ak+2Vk,(J + h)(«í\k -) = 24 + 2F¿.

Здесь <щ к {к = 0,...,4) - узловые значения угловой скорости прецессии; J— приведенный момент инерции устройства; 1к- моменты инерции тела относительно оси О:i в угловой позиции к (относительно мгновенной оси, проведенной в теле при узловом значении <р = <рк)\ Ак, Л\ - полезные работы электродвигателей на ускоренных и замедленных движениях соответственно; Vk и Vk ~ Ук - отрицательные работы диссипативных сил трения и аэродинамического сопротивления. Отсюда получается расчетная формула для пяти осевых моментов инерции тела (к = 0,...,4):

_ Ак -А'к _Ек-Е'к+(Пк-П'к) к 2 2 2 2 ' <°\.Ы ~ °>\,к а\М\ ~ <°\.к

где Ек, Е'к - потребляемые электродвигателем энергии, a D.k, Q^ - омические (тепловые и др.) потери. Эти оси расположены в теле на круговом конусе, описанном вокруг собственной оси Ог с углом а и 63,4°. Формулы являются приближенными, так как в них не учитывается угловая скорость собственного вращения со 2- Точная формула, очевидно, имеет следующий вид:

А'к ~Ак Ек-Е'к+(Пк-П'к) к 2 2 2 1 '

2 2 2

где %лк = + '■> ак=С0\к+(02к+ 2й'1Дй'2,А: cos ак '■> Угол ак ~ Угол между векторами иц и а*2,к ■ При этом осевые моменты инерции тела 1к определяются относительно пяти мгновенных осей, направленных по векторам , лежащим на подвижном аксоиде. Дополнительно при отключенном прецессионном вращении определяется в эксперименте момент инерции относительно собственной оси вращения Oz. Затем по шести моментам инерции находится матрица тензора инерции в заданной точке О тела.

В четвертой главе проводится оценка возможных деформаций несущей конструкции исполнительного устройства на примере модели простейшей не-

равноплечной рамки карданова подвеса и анализ реакции конечно-элементной модели с заданными граничными условиями на приложенные нагрузки при использовании системы инженерного анализа (САЕ), имеющей возможность задавать свойства материалов, из которых изготавливается объект.

Результаты анализа представлены в визуальной форме данных с использованием компьютерной графики. Деформации исполнительного устройства и тестируемого тела также вносят погрешности в расчеты, поэтому для повышения точности расчетов их целесообразно учитывать. Деформированное состояние несимметричной рамки карданова подвеса под действием горизонтальных динамических нагрузок при ускоренном вращении представлено на рис. 6. Основная планируемая модель устройства в деформированном состоянии показана на рис. 7. Пунктиром отмечено положение до деформации.

Рис. 6. Деформированное состояние сложной модели неравноплечной рамки карданова подвеса Наряду с другими факторами на точность идентификации влияют погрешности измерения работы вращающего момента и неточного исполнения угловой скорости программного движения. Для оценки погрешности отработки программного движения рассмотрен вариант системы автоматического управления. Поскольку вращение тела вокруг собственной оси относительно медленное, на этапе синтеза закона управления можно свести задачу к синтезу системы программного управления вращением тела вокруг вертикальной оси. Задача усложнена следующими обстоятельствами: программное движение должно про-

изводиться при заранее неизвестном (подлежащем определению) значении осевого момента инерции тела, а также при действии в кинематических парах устройства неизвестного момента трения.

Рис. 7. Деформированное состояние устройства

Заключение.

В ходе работы автором решены поставленные задачи:

1. Предложены формулы для расчета тензора инерции по шести экспериментально найденным моментам инерции тела и рекомендации по выбору шести осей, обеспечивающих наиболее простое техническое осуществление на исполнительном устройстве.

2. Получены точные и приближенные расчетные формулы для идентификации осевых моментов инерции тел, из которых в виду особенностей движения аналитически исключено неизвестное действие диссипативных сил.

3. Разработан новый метод параметрической идентификации элементов тензора инерции твердого тела на симметричных разгонно-тормозных сферических движениях, который обеспечивает аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул.

4. Предложена схема работы исполнительного устройства, содержащего два расположенных соответственно на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, и описан процесс проведения эксперимента по предложенному методу идентификации тензора инерции объекта.

5. Получены оценки погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции из-за отклонений мгновенных осей вращения от заданных значений и влияния деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Список опубликованных работ по теме диссертации. Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008. №47. С. 196-201.

2. Шаховал С.Н., Мельников Г.И. Оптимизация расположения пучка осей при экспериментальном определении элементов тензора инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. Том 70. № 6. С. 120.

3. Мельников В.Г., Едачев A.C., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Том 12(33) № 1(2). С. 445448.

4. Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Параметрическая идентификация тензоров инерции тел на сферических движениях с медленным собственным вращением // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 152-153.

5. Мельников Г.И., Шаховал С.Н., Мельников В.Г., Кравчук Р.Ю. Идентификация тензора инерции тела на реверсивно-симметричных прецессиях в ограниченном угловом интервале // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 153-154.

Другие публикации:

6. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты // Сборник тезисов V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. С. 173.

7. Шаховал С.Н., Мельников Г.И., Мельников В.Г., Иванов С.Е., Королев B.C. Энергетические методы параметрической идентификации тензоров инерции и центров масс подвижных объектов на полупрограммных реверсивно-симметричных прецессиях // Отчет о НИР (промежуточ.). - СПбГУ ИТМО: проект РФФИ 10-08-01046-а. - СПб, 2010.

8. Шаховал С.Н., Мельников Г.И., Мельников В.Г., Иванов С.Е., Королев B.C. Энергетические методы параметрической идентификации тензоров инерции и центров масс подвижных объектов на полупрограммных реверсивно-симметричных прецессиях // Отчет о НИР (промежуточ.). - СПбГУ ИТМО: проект РФФИ 10-08-01046-а. - СПб, 2011.

9. Мельников Г.И., Шаховал С.Н., Кравчук Р. Ю. Определение осевых моментов инерции тела и присоединенных гидродинамических моментов инерции тел на симметричных вращениях // Шестые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург. -М.: изд. Балабанов И. В., 2012. С. 56.

Тиражирование и брошюровка выполнены в типографии «Адмирал»

197101, г. Санкт-Петербург, В.О. 7-я линия, д.84А Тел.: (812) 716-52-23

Корректор Королев В. С.

Объем 1,0 у.п.л. Тираж 100 экз. Зак. 235

Подписано в печать 22.05.2012 Формат 60x90/16

СПИСОК терминов, условных обозначений и сокращений

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Научная новизна.

Объект исследования.

Цель диссертационной работы

Задачи исследования.

Практическая значимость.

Методы исследования.

Достоверность результатов.

Апробация.

Список публикаций.

Поддержка.

Структура диссертации.

Научные положения, выносимые на защиту.

ГЛАВА

Сведения из истории и теории, относящиеся к проблеме определения элементов тензора инерции.

1.1. Исторический обзор методов определения тензора инерции.

1.2. Тензор инерции твердого тела.

1.3. Динамические уравнения механической системы.

1.4. Выводы.

ГЛАВА

Определение элементов тензора инерции относительно различных осей.

2.1. Обусловленность расчетной линейной системы алгебраических уравнений.

2.2. Общие формулы для исследования функций на экстремум.

2.3. Частные случаи расположения пучков осей.

2.3.1. Одна ось направлена вдоль Ох, а пять осей лежат на круговом конусе.

2.3.2. Одна ось направлена вдоль оси симметрии кругового конуса, совпадающей с Ог, а пять осей лежат на нем.

2.3.3. Все оси распределены равномерно по поверхностям двух конусов.

2.3.4. Случай, когда все оси лежат на поверхности кругового конуса.

2.3.5. Случай расположения осей на сегменте кругового конуса.

2.3.6. Случай, когда шестая ось направлена по нормальной оси конуса, а остальные равномерно распределены по его сегменту.

2.4. Выводы.

ГЛАВА

Параметрическая идентификация тензоров инерции тел на сферических движениях с медленным собственным вращением.

3.1. Кинематика устройства.

3.2. Динамические уравнения механической системы.

3.3. Динамические уравнения системы тело - устройство.

3.4. Требования к автоматизированным системам, осуществляющим способы измерения тензора инерции.

3.5. Выводы.

ГЛАВА

Расчет методом конечных элементов модели несущей конструкции исполнительного устройства.

4.1 Идея метода конечных элементов.

4.2 Решение задачи в системе инженерного анализа (CAE).

4.3. Построение основной планируемой модели устройства.

4.4. Расчет модели несущей конструкции исполнительного устройства методом Мора-Верещагина.

4.5. Погрешности измерения работы вращающего момента и угловой скорости программного движения.

4.6. Выводы. 119 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 120 Список литературы

СПИСОК ТЕРМИНОВ, УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

• Пространство трехмерно, непрерывно, изотропно (одинаково по всем направлениям) и содержит в себе весь видимый окружающий нас мир.

• Время одномерно, непрерывно, равномерно и является монотонно возрастающим параметром, связанным с реальными периодическими процессами, которые можно использовать для определения интервалов или последовательности событий.

• Твердое тело есть ограниченная, замкнутая, связная часть пространства (область), заполненная материей, для которой сохраняется неизменным взаимное расстояние для любых двух точек.

• Материальной точкой называют твердое тело, размерами которого в процессе исследования можно пренебречь.

• Масса является единой мерой вещества материальных тел и мерой инерции при их движении в результате взаимодействия с другими телами.

• Движение - это изменение относительного положения или текущего состояния рассматриваемых материальных тел в результате взаимодействия.

• Механическая система определяется как выделенная конечная совокупность материальных точек и твердых тел, взаимодействующих между собой и с другими объектами. Сила есть результат проявления взаимодействия, который характеризуется величиной и направлением, а, следовательно, может полагаться вектором.

• Система координат есть совокупность параметров, которые позволяют однозначно определять положение всех тел механической системы в процессе движения.

• Радиус-вектор определяет положение материальной точки относительно выбранной декартовой прямоугольной системы координат.

• Вектор скорости есть производная радиус-вектора материальной точки по времени.

• Вектор ускорения есть вторая производная радиус-вектора по времени.

• Количество движения есть одна из характеристик процесса движения, для материальной точки определяют как результат произведения массы на вектор скорости.

• Момент количества движения для материальной точки определяют как результат векторного произведения радиус-вектора на количество движения.

• Кинетическая энергия для материальной точки определяется как произведение массы на квадрат скорости и деленная пополам.

• Момент инерции твердого тела относительно оси служит мерой инерции вращательного движения. Тензором инерции тела называют матрицу коэффициентов, которая выражает инертность тела при его вращении вокруг заданного центра.

• Управление в задачах динамики предполагает, что есть возможность изменения условий реализации процесса движения по собственному выбору параметров или функций, которые определяют процесс и входят в уравнения движения, в соответствии с заданными требованиями, пожеланиями или критериями.

Актуальность темы.

Проблема автоматизации процесса для экспериментального определения моментов инерции и тензоров инерции тел произвольной формы, малых и крупных габаритов является технически сложной проблемой выявления характеристик тела. Потребность в определении этих инерционных параметров возникает для различных тел и серийно изготавливаемых изделий, которые должны осуществлять движения в пространстве, сопровождаемые сложными вращениями. В частности, тензор инерции тела наряду с его массой и центром масс является важной характеристикой в определении кинетической энергии или кинетического момента механических систем или отдельных тел, в том числе различных транспортных средств (автомобилей, кораблей, самолетов, космических аппаратов), существенно определяющей маневренность объектов. Осевые моменты инерции, тензоры инерции, статические моменты характеризуют механические свойства приборов на подвижных платформах и подвижных элементов различных электромеханических приборов.

Параметры манипуляционных роботов, совершающих сложные пространственные движения, также характеризуются их массой, положением центра масс, тензором инерции и другими механическими параметрами, которые влияют на точность выполняемых действий.

Для воздушных и космических аппаратов знание тензора инерции и центра масс имеет решающее значение для управления полетом. Для обеспечения требуемых маневренных характеристик самолетов и морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их основных массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически получить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача быстрого и точного измерения моментов инерции многих массивных крупногабаритных тел.

В настоящее время широко применяются методы определения моментов инерции на устройствах с малым конструктивным трением и малым аэродинамическим сопротивлением, тензор инерции определяется через шесть измеренных осевых моментов инерции. В связи с этим возникают проблемы, обусловливающие актуальность темы диссертационных исследований: в приборе для измерения осевых моментов инерции следует использовать только элементы и кинематические пары с малым трением; движения, на которых осуществляется идентификация моментов инерции, должны быть медленными, с малым аэродинамическим сопротивлением; необходимость шестикратной последовательной выставки тестируемого тела в шести угловых положениях относительно оси вращения, что требует значительных затрат времени и осуществляется сложными дополнительными устройствами; ограниченность ресурсов и высокая стоимость зарубежных аналогов, в которых для повышения точности измерений используются сложные элементы.

Научная новизна.

Исследуется новый метод идентификации осевых и центробежных моментов инерции и матриц тензоров инерции различных тел на специальных исполнительных устройствах с учетом сил трения и аэродинамического сопротивления. В них использовано свойство следящих систем управления, которые позволяют осуществить требуемые программные движения в условиях неизвестной диссипации и неизвестной интервальной инерционной нагрузки. При этом предложены типы программных разгонно-тормозных двухэтапных движений. Первым свойством этих движений является динамическая симметричность либо реверсионная антисимметричность, а вторым свойством является равноуровневость либо полнооборотность. Путем использования этих свойств удается отделить в расчетных формулах инерционную нагрузку от неизвестных величин - диссипативной и гравитационной нагрузок. В результате получена расчетная формула для параметрической идентификации момента инерции, не содержащая момента трения и момента силы тяжести. Используются разгонно-тормозные вращения вокруг системы осей, которые обеспечивают аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул. Матрица тензора инерции тела определяется посредством идентификации шести осевых моментов инерции. В связи с этим объект управления синтезированной системы должен исполнять две функции: программное вращение тела вокруг оси и последовательное шестикратное изменение углового положения тела относительно оси вращения. В работе предложено сравнительно простое исполнительное устройство с двумя электродвигателями. Однако, второй электродвигатель (осуществляющий собственное вращение) служит лишь для изменения положения тела относительно осей. То есть устройство можно рассматривать как устройство с одним электродвигателем без необходимости остановки на смену положения испытуемого тела. Такое существенное упрощение исполнительного устройства и вместе с ним всей системы достигнуто за счет того, что момент инерции тела определяется относительно конкретных шести осей вращения, а именно -относительно шести осей додекаэдра, мысленно связываемого с телом.

Новизна заключается в том, что пять тестирующих вращательных движений вокруг неподвижных осей заменены одним двухосным однонаправленным вращением, обеспечивающим непрерывные изменения положений в теле мгновенной оси вращения, из которых используются пять конкретных положений.

Объект исследования.

В качестве объекта исследования в данной работе рассматривается система осевых моментов инерции и тензор инерции тестируемого тела.

Задача определения тензора инерции является важной для областей науки и техники, относящихся к машиностроению и управлению движением различными объектами. Возникла необходимость разработки соответствующих математических алгоритмов, являющихся предметом исследования, для реализации новых устройств и управления процессами. Настоящая диссертация посвящена созданию этих алгоритмов и анализу погрешности определения моментов инерции тела. Выполнен синтез двух систем программного управления углом поворота и угловой скоростью, осуществляющих параметрическую идентификацию моментов инерции и тензоров инерции тел. В процессе синтеза систем была решена проблема компенсации диссипативных возмущений и изменений от опыта к опыту инерционной нагрузки, создаваемой испытуемым телом. Получены математические модели двух синтезированных систем управления в виде нелинейных систем дифференциальных уравнений с нелинейностями типа насыщения. Проведено аналитическое и численное исследование динамических и точностных свойств полученных систем управления с применением компьютерного моделирования.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка нового энергетического быстрого, точного и не требующего больших ресурсов метода определения тензоров инерции тел, реализуемого с помощью достаточно простых исполнительных устройств и приборов, не содержащих сложных дорогостоящих узлов. А также реализация прибора на основании нового метода.

Задачи исследования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Анализ взаимного расположения осей для определения моментов инерции, дающих большую точность и простоту конструкции исполнительного устройства. За оси принимаются шесть положений мгновенных осей вращения на подвижном аксоиде.

2. Получение расчетных формул для идентификации тензора инерции тела, в которые в виду специфики тестирующего движения не входят, но при этом учитываются моменты диссипативных сил, а действие активных моментов, обеспечивающих движение, выражается через текущий расход электрической энергии.

3. Разработка нового энергетического метода, использующего неравномерное однонаправленное разгонно-тормозное симметричное движение с быстрым прецессионным и сравнительно медленным собственным вращением тестируемого тела.

4. Разработка схемы исполнительного устройства, содержащего два расположенных соответственно на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, которое осуществляет предложенный новый метод.

5. Вычисление погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции, вызванных отклонениями мгновенных осей вращения от заданных значений, а также влиянием деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Практическая значимость.

Разработанный метод способствует автоматизации процесса определения тензоров инерции малогабаритных и крупногабаритных технических объектов. Он может быть практически реализован в виде соответствующих автоматизированных устройств и математических алгоритмов, что позволит более эффективно и точно вычислять необходимые характеристики технических изделий произвольной формы, габаритов и геометрии масс. Предложенный прибор показывает один из способов применения разработанного метода.

Методы исследования.

При разработке алгоритмов определения моментов инерции тел использовались методы классической механики, теории колебаний и устойчивости процессов динамических систем [1,17,20,21,28,32,36,59], теории идентификации параметров линейных и нелинейных систем [10,13,27,47,48], теории возмущения матричных операторов [14,19], теории оптимального управления движением механических систем [2,3,5,6,8,9,12,16,18,25], методы компьютерного моделирования, методы анализа реакции конечно-элементной модели с заданными граничными условиями на приложенные нагрузки при использовании системы инженерного анализа, которая имеет возможность задавать свойства материалов [39].

Достоверность результатов.

Достоверность основана на использовании методов классической механики, теории колебаний и устойчивости процессов динамических систем, теории идентификации параметров линейных и нелинейных систем, анализе чувствительности определяемых динамических параметров исполнительных устройств и основного тела к погрешности измерений и влияния на алгоритм определения инерционной матрицы системы, а также подтверждается результатами численных экспериментов и сравнением с известными аналитическими результатами.

Апробация.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, на секции теоретической механики Санкт-Петербургского Дома Ученых РАН (16 февраля 2011 г.), а также были доложены на следующих конференциях:

1. Международная научная конференция «Шестые Поляховские чтения». 2012.

2. ХЬ научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2011.

3. XXXIX научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010.

4. XXXVII научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008.

5. V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых. 2008.

Список публикаций.

По теме диссертации автором были подготовлены статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008. № 47. С. 196-201.

2. Шаховал С.Н., Мельников Г.И. Оптимизация расположения пучка осей при экспериментальном определении элементов тензора инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. Том 70. № 6. С. 120.

3. Мельников В.Г., Едачев A.C., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Том 12(33) № 1(2). С. 445-448.

4. Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Параметрическая идентификация тензоров инерции тел на сферических движениях с медленным собственным вращением // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 152-153.

5. Мельников Г.И., Шаховал С.Н., Мельников В.Г., Кравчук Р.Ю. Идентификация тензора инерции тела на реверсивно-симметричных прецессиях в ограниченном угловом интервале // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 153-154.

А также публикации в издательствах, не включенных в перечень ВАК.

Поддержка.

Исследования автора на этапах работы над диссертацией поддержаны грантом РФФИ №10-08-01046-а.

Структура диссертации.

Структура диссертации соответствует логике исследования и включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы

4.6. Выводы.

1. Проведен анализ поведения объекта и оценка погрешностей с помощью вычислительной системы.

2. В результате анализа получены численные значения, подтверждающие достоверность разработанных схем.

120

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы автором решены поставленные задачи:

1. Разработан новый метод параметрической идентификации элементов тензора инерции твердого тела на тестирующих сферических движениях, состоящих из вращательного периодического симметричного однонаправленного разгонно-тормозного движения вокруг вертикальной оси прецессии и медленного равномерного собственного вращения тела вокруг подвижной наклонной оси, который обеспечивает аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул.

2. Выведены точные и приближенные расчетные формулы для идентификации параметров матрицы тензора инерции тел и получены правила для их применения. Определяются максимальные абсолютные значения определителя при типовых расположениях осей, относительно которых экспериментально определяются моменты инерции, в зависимости от угловых расстояний между осями.

3. Приведены формулы для расчета тензора инерции по шести экспериментально найденным моментам инерции тела и рекомендации по выбору шести осей, обеспечивающих наиболее простое техническое осуществление на исполнительном устройстве (с оценками погрешностей хорошо обусловленных движений по отношению к оптимальному варианту).

4. Предлагаются и обосновываются варианты расположения в твердом теле шести осей, относительно которых целесообразно идентифицировать шесть осевых моментов инерции, по которым вычисляются элементы матрицы тензора инерции с малой погрешностью.

5. Получены схемы работы исполнительного устройства, содержащего два расположенных на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, и изложен алгоритм проведения экспериментов, осуществляющих разработанный новый метод идентификации.

1. Александров В.В., Садовничий В.А., Чугунов О.Д. Математические задачи динамической имитации полета. М.: МГУ. 1986. 181 с.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука. 1976.

3. Андрющенко В.А. Теория систем автоматического управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

4. Банит Ю.Р., Беляев М.Ю., Добринская Т.А., Ефимов Н.И., Сазонов В.В., Стажков В.М. Определение тензора инерции Международной космической станции по телеметрической информации // Космические исследования. 2005, Т. 43. № 2. С. 135-146.

5. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. Л.: Энергоатомиздат, 1982.

6. Беляев А.Н., Дроздов В.Н., Никифоров В.О. Алгоритм управления мехатронным поворотным столом // Электропривод с цифровым и цифроаналоговым управлением. СПб: ЛДНТП, 1992. С. 8-12.

7. Беляков А.О., Сейранян А.П. Определение моментов инерции крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 2. С. 49-62.

8. Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. М.: Наука, 1987.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.

10. Богданов В. В., Волобуев В. С., Кудряшов А. И. Комплекс для измерения массы, координат центра масс и моментов инерциимашиностроительных изделий // Измерительная техника, 2002. №2. С. 37-39.

11. Буянов Е.В. Методика и установка для точного определения тензора инерции твердого тела // Измерительная техника. 1988. № 12. С. 25-27.

12. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука. 1985.

13. Воронин С.Г., Кузьмичев А.Р. Математическая модель для определения координат в электроприводе с вентильным двигателем постоянного тока. // Электричество. 2000. №3.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

15. Гернет М.М., Ратобыльский В.Ф. Определение моментов инерции. М.: Машиностроение. 1969. 130 с.

16. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков A.B. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение, 1983.

17. Дроздов В.Н., Никифоров В.О. Волков М.А. Математическая модель мехатронного поворотного стола // Электричество. 1997. № 2. С. 46-49.

18. Дроздов В.И., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989.

19. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1974. С. 357-361.

20. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1983. 328 с.

21. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз. 1962.

22. Иванов В.А. Опыт измерения угловых ускорений. Л.: ЛДНТП. 1983.

23. Иванов В.А., Привалов В.Е. Применение лазеров в приборах точной механики. СПб: Политехника, 1993.

24. Ишлинский А.Ю., Стороженков В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. М.: Наука. 1991.

25. Козлов В.В., Макарычев В.П., Юревич Е.И. Динамика управления роботами. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.

26. Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. Матричная форма изложения динамики сферического движения // Сборник докладов 1-ого Всероссийского семинара-совещания заведующих кафедрами теоретической механики. СПб: 1994, С. 261-267.

27. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. М.: Машиностроение, 1977.

28. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1952.

29. Мельников В.Г. Идентификация компонент тензора инерции и координат центра масс тела на реверсивно-симметричных прецессиях //Вестник СПбГУ, сер. 1. 2010. Вып. 3. С. 97-105.

30. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. № 1. С. 59-63.

31. Мельников В.Г. Параметрические критерии фильтрационных свойств систем управления. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. №3. С. 25-28.

32. Мельников В.Г. О синтезе систем управления при ограничениях на степень устойчивости и колебательность. // Ученые записки. Серия: "Математика и информатика". 1998. Т.1,С. 86-89.

33. Мельников В.Г. Реализация метода Н.Е.Жуковского определения моментов инерции тел на мультифлярных и автоматизированных устройствах. // Международная конференция "Проблемы пространства, времени, движения". СПб: 1998. С. 29-30.

34. Мельников В.Г., Едачев A.C., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Том 12(33) № 1(2). С. 445448.

35. Мельников В.Г., Иванов С.Е., Мельников Г.И. Компьютерные технологии в механике приборных систем. СПб: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2006.

36. Melnikov V.G. A new method for inertia tensor and center of gravity identification // Nonlinear Analysis. 2005, T.63. № 5-7. C. 1377-1382.

37. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейные и адаптивные управления сложными динамическими системами. СПб: Наука. 2000.

38. Мирошник И.В., Никифоров В.О. Методы координации в задачах планирования и управления пространственным движением манипуляционных роботов. // Анализ и управление нелинейными колебательными системами. СПб: Наука, 1998. С. 215-236.

39. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 528 с.

40. Плахтиенко Н.П. О параметрической идентификации цепных систем при инерционном возбуждении. // Прикладная механика. 1990. Т. 26, №9. С. 109-115.

41. Понтрягин JI.C, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 384 с.

42. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука. 1988.

43. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960.

44. Редько С.Ф., Ушаков В.Ф., Яковлев В.В. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров. К.: Наукова думка, 1985.

45. Сабинин Ю.А. Динамика электромеханических систем. СПб: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 1997.

46. Смолин В.П., Топольский Д.В. Об одном методе определения вращающего момента электрических машин // Электричество. 1999. №7. С. 27-30.

47. Столов Л.И., Афанасьев А.Ю. Моментные двигатели постоянного тока. М.: Энергоатомиздат, 1989.

48. Цыпкин Я.В. Информационная теория идентификации. М.: Наука. Физматлит. 1995.

49. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко A.A. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1970.

50. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир. 1975.

51. Элементы и устройства автоматики / Под ред. Ю.А. Сабинина. СПб: Политехника, 1995.

52. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости вынужденных колебаний // Автоматика и телемеханика. 1964. № 7. С. 1017-1029.