автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов и программных комплексов для глобальной оптимизации химико-технологических систем

На правах рукописи

АНАНЧЕНКО АННА ГЕННАДЬЕВНА

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

Санкт-Петербург 2004 г.

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургском государственном технологическом институте (технический университет).

Научный руководитель -

Доктор технических наук, профессор Холоднов

Владислав Алексеевич

Научный консультант -

Кандидат технических наук, доцент Пунин

Анатолий Евгеньевич

Официальные оппоненты -

Доктор технических наук,

профессор Викторов

Валерий Кирович

Кандидат физико-математических наук,

доцент Сениченков

Юрий Борисович

Ведущая организация - Северо-Западный Технический. Университет.

Защита состоится «_» июня 2004 г. в_час., ауд._на

заседании диссертационного совета Д 212.230.03 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургском

государственном технологическом институте (технический университет).

Отзывы на автореферат в одном экземпляре, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 190013, Санкт-Петербург, Московский пр. д.26, Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Ученый совет.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института.

Автореферат разослан «_» мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.техн. наук, доцент

• /

В.И. Халимон

Общая характеристика работы Актуальность работы

Проблемы глобальной оптимизации в настоящее время являются передним краем теории математического программирования и вычислительной науки в целом. В то же время они имеют важнейшее значение для практики. Специфика задачи оптимизации химико-технологических систем (ХТС) заставляет предполагать

многоэкстремальность целевой функции. Это обусловлено, во-первых, билинейностью математических моделей ХТС. Во-вторых, ХТС зачастую имеют структуру с рециклами. Множественность стационарных состояний индуцирует многоэкстремальность в задаче оптимизации. Также многоэкстремалыюсти следует ожидать, если оптимизационная задача ставится как задача с априорной неопределенностью. Эти соображения позволяют предположить, что методы глобальной оптимизации для решения рассматриваемых задач будут весьма эффективны в сравнении с локальными методами оптимизации. При использовании последних исключительно важно корректно задать начальное приближение. Это представляет значительную трудность в задачах с априори неопределенной информацией. Кроме того, локальные методы оптимизации в большинстве своем используют степень гладкости целевой функции. Для задач негладкой оптимизации разработаны математические методы сглаживания, программирование которых представляет значительные трудности. Среди методов глобальной оптимизации (МГО) возможно выбрать специальные методы для негладких функций, и функций, вычисляемых со случайной ошибкой, которые представляют собой широкий класс целевых функций в задачах оптимизации ХТС.

С другой стороны, современное состояние математической теории глобальной оптимизации таково, что при всем многообразии идей и методов, отсутствуют систематизированные данные об успешном применении теоретически исследованных алгоритмов к решению специфических задач прикладных областей. Отсутствуют также общие рекомендации по выбору МГО для той или иной задачи. При этом, для решения прикладных задач, в частности оптимизации ХТС, предпочтение отдается эмпирическому классу МГО. Тогда интерес представляет проблема выбора параметров алгоритма для его эффективной работы. Цели диссертационной работы

Разработать комплекс алгоритмов оптимального моделирования ХТС с использованием методов глобальной оптимизации и реализовать разработанные алгоритмы в виде комплекса программ. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи» - Классификация методов глобальной оптимизации для обоснованного

выбора алгоритмов решения

- Адаптация эмпирических алгоритмов глобальной оптимизации для поиска экстремума статистической модели критерия оптимизации технологической системы.

- Разработка комплекса программ, осуществляющего данные алгоритмы глобальной оптимизации, интегрированного с приложениями WINDOUS для обработки вычислительного эксперимента и справочной системой.

- Использование разработанного комплекса для анализа схем жидкостного разделения, конструированных в системе ASPEN PLUS.

Методы исследования: алгоритмы математической теории глобальной оптимизации, методы локального поиска экстремума, методы планирования эксперимента, методы статистического анализа, средства объектно-ориентированного программирования, система

технологического конструирования и проектирования ASPEN PLUS, математические пакеты программ, электронные таблицы EXCEL. Основные положения, выносимые на защиту

1. Алгоритмы глобального поиска для решения задачи оптимизации поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС.

2. Модификации метода Чичинадзе (методика интервального сравнения и организация расслоенной выборки).

3. Эмпирическая модификация метода случайного глобального поиска (отсечение траекторий и использованием методики интервальных оценок).

4. Применение алгоритмов глобального случайного поиска для построения стратегии планирования экстремальных вычислительных экспериментов.

5. Программный комплекс эмпирических алгоритмов. Достоверность результатов обеспечивается применением строгих

математических методов решения задач и тестирований программного комплекса на контрольных примерах. Научная новизна

1. Составлена иерархическая классификация математических методов глобального поиска на методологической основе.

2. Разработаны, обоснованы и протестированы на ЭВМ модификации эмпирических МГО, адаптированные для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС. Практическая значимость. Разработанная методологическая классификация МГО позволяет сделать обоснованный выбор метода решения задачи в зависимости от модели целевой функции и априорных знаний о ХТС, как объекте оптимизации.

Программный комплекс может использоваться для оптимизационного анализа широкого класса объектов. Например, экстремальные задачи, возникающие в экологии, задачи оптимизации экономических систем и

других областях, где математическая модель объекта исследования учитывает значительную априорную неопределенность и разнородность данных, а также при оптимизации моделей систем, не имеющих быстро осциллирующих компонент.

Аппробация работы. Основные результаты работы доложены на международной конференции "Математические методы в технике и технологии" (ММТТ12) Тамбов , июнь 2002г., ММТТ 15 Санкт-Петербург сентябрь 2003 г. Математические аспекты исследований обсуждались на научном семинаре кафедры математики и физики Санкт-Петербургского филиала Военно-инженерного Университета им. Куйбышева. Публикация работы. По материалам диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Реализация работы. Комплекс программ внедрен в учебный процесс на кафедре ММиОХТ СПбГТИ (ТУ), и на кафедре математики и физики филиала ВИУ им. Куйбышева (СПб).

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 155 листов машинописного текста. Состоит из введения, заключения и четырех глав, разделенных на 14 параграфов. Диссертация иллюстрирована 25 рисунками и 20 таблицами. Список литературы включает 84 наименования.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы и сформулирована цель работы, указаны результаты, обладающие научной новизной, дана краткая характеристика полученных в работе результатов.

В первой главе рассмотрено современное состояние математического аппарата алгоритмов глобального поиска и дан подробный обзор методов, использованных в разных прикладных областях. Представлена общая постановка задачи оптимизации ХТС как задачи условной оптимизации: Пусть Х- линейное пространство над полем действительных чисел размерности множество оптимизации

хI имеет экономический или технологический смысл;

обозначим L доход от реализации ХТС; обозначим S общие затраты на

хтс.

На вектор х налагаются ограничения в виде равенств, представляющие собой уравнения материального и энергетического баланса:

И условия в виде неравенств Необходимо найти

Г=тш5(х) (1)

или х' =тахЦх) (1а)

при данных условиях.

Для определенности в дальнейшем будем считать, что в задаче оптимизации определяется минимум целевой функции.

В постановке задачи выделяются три основных компоненты: множество оптимизации, целевая функция, условия, налагаемые на параметры задачи и оптимизирующие переменные. Каждая из этих компонент задачи имеет структурные особенности. Особенности множества оптимизации:

- Частично дискретно, то есть один или несколько факторов могут быть целочисленными;

- Большая размерность;

- Функция иногда строится методами регрессионного анализа на основе данных вычислительного эксперимента.

- Функция не описывает изменения колебательного характера, следовательно, не является композицией тригонометрических функций.

Особенности системы ограничений:

- большое количество эмпирических параметров модели.

- уравнения ограничений учитывают рецикличность ХТС;

- в теории ХТС задача носит название бинарной.

Проведен сравнительный анализ созданных в разное время программных комплексов алгоритмов глобальной оптимизации, показавший, что такие системы либо предназначены для изучения теоретических свойств алгоритмов на примерах тестовых функций, либо разработаны для решения специфических задач.

Во второй главе проведен анализ общей теории и методологии глобальной оптимизации и на его основе составлена подробная классификация алгоритмов (рис.1). Использование этой классификации дало возможность обосновать выбор методов для решения рассмотренных задач оптимизации разделительных схем химической технологии.

Представлены разработанные в ходе диссертационных исследований алгоритмы экстремального анализа ХТС, включающие в себя процедуры планирования вычислительного эксперимента для построения кусочно-линейной аппроксимации целевой функции и модификации алгоритмов поиска глобального экстремума этой функции. Также разработана процедура составления последовательности планов для проведения глобально-оптимального вычислительного эксперимента.

Задача экономической оптимизации ХТС может быть представлена как двухуровневая задача. На первом уровне, исходя математической модели схемы, по данным вычислительного эксперимента (ВЭ) строится множество оптимизации X и формируется экономический критерий -регрессионная функция. На втором уровне решается безусловная задача оптимизации.

Рисунок 1.

Классификация МГО

На первом этапе проводится анализ технологической схемы, целью которого является отбор координат факторного пространства для вычислительного эксперимента, то есть составляется вектор

Описаны две методики определения структуры множества оптимизации. Первая методика сводится к определению пределов изменения каждого фактора . Тогда множеством оптимизации X

является п-мерный параллелепипед. Вторая методика подразумевает проведение предварительного вычислительного эксперимента с целью выявления точек факторного пространства, в которых ХТС не может быть рассчитана корректно в данной системе имитационного моделирования. В этом случае структура множества оптимизации может быть весьма сложной.

На втором этапе строится разбиение множества X на N подмножеств, называемых ячейками

где X, - замыкание ячейки X, является гиперплоскостью Г в п-мерном пространстве.

Ячейки, замыкания которых содержат одну и ту же гиперплоскость Г, называются соседними.

Ячейки, замыкания которых пересекаются с замыканием множества оптимизации, называются граничными.

Над каждой ячейкой X, проводится вычислительный эксперимент, причем матрица планирования с учетом априорной информации о распределении фактора в интервале , определяющем границы ячейки X,. По данным ВЭ средствами регрессионного анализа над каждой ячейкой строится аппроксимация . Эта функция предполагается в

дальнейшем линейной. Тогда модель целевой функции на всем множестве оптимизации представляется в виде:

(2)

при этом если X,- замыкание ячейки X, то

Х,{)ХмсХ„ Х,(]ХмсХ,

доверительной вероятностью для прогноза

тервала с

5*-=У}±Мх^

(4)

Способ построения разбиения (2) зависит от структуры множества оптимизации.

Далее на основе статистического анализа аппроксимаций строится классификация ячеек разбиения (2).

Ячейки, на которых линейная аппроксимация неадекватна, считаются подозрительными на экстремум;

Ячейки, на которых линейная аппроксимация адекватна, называются монотонными.

Необходимо предусмотреть следующую возможность: точка глобального экстремума может принадлежать замыканию ячейки Поэтому на этапе построения приближения надо проводить сравнение значений отклика в точках замыкания каждой ячейки . Но

построенная статистическая аппроксимация является функцией, значения которой вычисляются со случайной ошибкой. Поэтому для сравнений значений этой функции применяется разработанная методика интервального сравнения, состоящая в сравнении границ доверительных интервалов и моделировании нормально распределенной случайной величины.

Пусть для каких-либо двух монотонных соседних ячеек выполнено |1<"(г)-1(ЫЧфл (5) где х е ПА'1"'1 ,аЯ удовлетворяет условию

Пусть Ы, - нормаль к Ь/х). Й,: (ац,. а2ь ... аП1).

Пусть существует такое что для направляющих косинусов нормали сога,,-сога^, <0. (6).

Если для каких-либо двух монотонных соседних ячеек выполнено (6) или одновременно^) и (6), то эти ячейки объединяются в одну и она включается в список подозрительных на экстремум.

Таким образом, на первом этапе оптимизации поверхности отклика строится аппроксимация линейными функциями и на основе статистического анализа этой аппроксимации классифицируются ячейки разбиения:

- Подозрительные ячейки:

- ячейки с квадратичной аппроксимацией;

- ячейки, которые являются объединением соседних, для которых выполнены неравенства (5) и (6).

- Монотонные ячейки;

- Граничные ячейки.

В дальнейшем эта классификация используется для сокращения вычислительных затрат при глобальной оптимизации поверхности отклика.

Далее рассматриваются модификации методов глобальной оптимизации.

Достоинство метода Чичинадзе состоит в том, что он без ограничений может применяться к негладким функциям, а также к функциям; имеющим разрыв 1-го рода. Недостатком данного метода является необходимость вычисления сравнительно большого количества значений целевой функции.

Метод Чичинадзе адаптируется к поиску экстремума поверхности отклика использованием представленной выше классификации ячеек.

1. Пусть сформировано множество граничных ячеек G и множество ячеек, подозрительных на экстремум Р. Обозначим и=ОиР. При этом множество U может не быть односвязным.

2. На множестве и организуется расслоенная выборка 8, то есть на каждой ячейке моделируется равномерное распределение раз;

3. В точках этой выборки х{ е 5 1=1.. N1 вычисляются значения целевой функции ¥(х), то есть прогноз Ь(х1) = У1; определяется доверительный интервал для прогноза.

4. Для вычисления значения V, то есть числа точек X/ для которых выполнено неравенство применяется методика интервального сравнения, состоящая в следующем:

- Если в очередной точке х, прогноз У/ лежит близко к

значению линии уровня :

Где 8 1 - границы доверительного интервала прогноза Г/, то считается значение прогноза по формуле

Где имеет нормальное распределение с параметрами т, , где т=0, а а определяется по правилу

5 ст= 2Д

5. По формулам алгоритма Чичинадзе, приведенным в диссертации,

вычисляются значения функции и координатных функций

х (£ 1

' на каждой ячейке Xi из множества ^ На всем множестве ^ очевидно, в силу аддитивности среднего, указанные значения вычисляются по формулам, справедливым в силу аддитивности среднего:

Дальнейшие шаги совпадают с алгоритмом для аналитической функции, описанном в диссертации. После определения используется

релаксационный метод локальной оптимизации для уточнения значения глобального экстремума.

Методология построения алгоритмов глобального случайного поиска позволяет конструировать алгоритм последовательного планирования эксперимента для определения глобального экстремума поверхности отклика.

Основой представленной в работе процедуры служит марковский алгоритм случайного поиска с направляющим конусом. Недостатком этого подхода является необходимость относительно большого количества экспериментов. Однако имитационное моделирование позволяет в значительной мере пренебречь ограничениями в реальных экспериментах. Предложенная в работе модификация алгоритма также позволяет частично устранить этот недостаток.

Последовательность назовем полной траекторией поиска

, исходящей из точки

Точки назовем узлами траектории. Число узлов р назовем

вместимостью траектории.

Последовательность назовем проекцией траектории на

множество X.

В процессе построения траекторий поиска представляется целесообразным использовать эмпирическую процедуру отсеивания неперспективных траекторий. Принцип этой процедуры состоит ,в следующем:

После построения частичных траекторий проводится

сравнение. Если для некоторых подпоследовательностей Г0)(Р|)И 7"'Л(л)

выполнено

|у;<"-С>| <г, (7), а для их проекций выполнено

и если

то траектория отсеивается как неперспективная. Поиск ведется по

траектории Г0)(а)-

Если выполнены противоположные неравенства, отсеивается траектория Ти)(р,).

Если выполнено только неравенство (7), тогда при поиске по траектории на следующем шаге увеличивается параметр,

определяющий величину окрестности узла траектории и угол раскрытия конуса; если неравенство (7) выполнено для следующих шагов, то траектория отсеивается как неперспективная.

Данный метод может адаптироваться для поиска глобального минимума поверхности отклика вычислительного эксперимента при имитационном моделировании ХТС. В отличие от алгоритма Чичинадзе, для данного метода не организуется отсеивание монотонных ячеек. Множество оптимизации X должно оставаться односвязным, так' как иначе нельзя применять метод случайного поиска. Классификация ячеек разбиения учитывается следующим образом:

На каждом шаге у траектории устанавливается принадлежность узла {г^} ячейкео^ределенного класса. Если ячейка .А* монотонная, то следующий узел траектории лежит в замыкании Хь Если ячейка Х^ подозрительная, то при движении траектории внутри этого множества параметр, определяющий число точек, случайно распределенных в окрестности узла уменьшается па каждом шаге в мк раз, параметр,

определяющий величину окрестности, может увеличиться так, чтоб точки сетки покрывали все множество

При проверке трехточечной истории процесса используется методика интервального сравнения. Для сравнения значений функции эта методика используется в следующем виде.

Если доверительные интервалы с границами для значений

прогнозов перекрываются, то есть

выполняются неравенства то точка не считается

подозрительной , и движение по данной траектории не заканчивается. Точка считается подозрительной на экстремум, если выполнено

При поиске модифицированным методом с отсечением неперспективных траекторий при сравнении значений прогнозов также необходимо использовать методику интервального сравнения значений прогноза.

В третьей главе дано подробное описание модулей программного комплекса алгоритмов глобальной оптимизации для анализа и оптимизации схем ХТС. Общая схема комплекса представлена на рис.2. Тестовый режим работы предусматривает введение пользователем параметров исследуемых функций и размеров множества оптимизации и также выбор эмпирического метода глобального поиска. Для возможности использования комплекса в процессе обучения в тестовом режиме активирован модуль справки, содержащий краткое описание каждого метода и литературную ссылку. Блок данных содержит

- -модуль данных вычислительного эксперимента.

- -модуль данных аппроксимации

- -модуль данных постановки задачи

Рис. 2. Схема комплекса "Оптимум"

Блок структуры множества содержит

- Модуль построения разбиения множества оптимизации на ячейки

- Модуль реструктуризации

Блок вычислительного эксперимента осуществляет связь с системами, не интегрированными в комплекс. Данный блок включает в себя

- модуль планирования эксперимента,

- модуль расчета.

- Модуль обработки. Блок оптимизации содержит

- модуль, реализующий метод глобального поиска Чичинадзе;.

- модуль, реализующий метод случайного глобального поиска с направляющим косинусом;

- модуль, реализующий модифицированный случайный поиск;

- модуль, реализующий методику интервального сравнения;

- модуль, реализующий процедуру локального поиска.

В четвертой главе представлены результаты, полученные при использовании разработанного программного комплекса. Вычислительный эксперимент проводился с помощью ASPEN PLUS 9.0.

Расчеты производились для двух схем процессов разделения жидкостей:

- простая ректификация;

- экстрактивная ректификация с боковым отводом.

Для схемы простой ректификации были решены основная и предварительная задачи. Эксперимент проводился с варьированием трех факторов. Отклик- общие затраты на установку, вычислены по методике, заложенной в моделирующий комплекс ASPEN PLUS При решении предварительной задачи методом Брандона на всем множестве оптимизации получена аппроксимация целевой функции.

Далее для определения глобального экстремума применялся метод Чичинадзе, метод случайного поиска с направляющим конусом и метод Торна с различными значениями параметров. Найденные значения сравнивались с точным решением и экспериментальным значением, причем обращали на себя внимание расхождения экспериментального и расчетного значений.

Применение методики интервального сравнения улучшило результаты метода Чичинадзе по сравнению с точным решением.

Следующим этапом исследования стала минимизация кусочно-линейной аппроксимации поверхности отклика в тех же условиях эксперимента. Было построено разбиение множества X на 18 ячеек. На каждой ячейке строилась линейная аппроксимация средствами MATCAD 2000 PROFESIONAL.

На вновь построенном разбиении проводился глобальный поиск следующими методами:

Рисунок 3. Экстрактивная ректификация с боковым отводом из ректификационной колонны

- модифицированный случайный поиск с исключением неперспективных траекторий для поверхности отклика, аппроксимированной сплайнами.

- поиск методом Чичинадзе с интервальными оценками.

Результат отличалтся от результата предварительной задачи. Следовательно, варьирование фактора х^, определяющего содержание извлекаемого вещества при постоянном числе теоретических тарелок и номере тарелки питания либо не оказывает заметного влияния на стоимость данной ХТС, либо при своем увеличении вызывает понижение затрат. Таким образом, кусочно-линейная аппроксимация качественно повлияла на результат решения задачи, позволив выявить неочевидную тенденцию в минимизации функции затрат. После этого проводилась оптимизация схемы экстрактивной ректификации с боковым отводом из ректификационной колонны (рис. 3). В данном случае изучалось

влияние на экономические критерии двух факторов : X) - количество питания, подаваемого на вход; Хг - весовая доля выделяемого вещества во входном потоке. Остальные параметры принимались равными следующим значениям: N-ступеней разделения в ректификационной колонне. N=18; номер тарелки питания -10; Номер тарелки бокового отвода - 5; Расход бокового отвода 579 кг/час; Флегмовое число 1.05; Количество ступеней экстрактора -7; Количество ступеней разделения в отпарной ко'лонне - 5. Рисунок 4 иллюстрирует структуру множества оптимизации. Символами черного цвета помечены выявленные точки некорректного расчета схемы. Символом помечены точки начального плана. Все ячейки являются монотонными и нет оснований предполагать минимум на границе каких-либо ячеек. Это означает, что указанный минимум лежит на границе множества оптимизации. При этом затраты возрастают при возрастании обоих факторов. Эти результаты согласуются с данными, полученными ранее методом покоординатной минимизации схемы в системе ASPEN PLUS.

! i i • » 1 1 ^^ 1

1400 9 : ю t l\

1200 1 6 i 7 п 8

t : »5 i ^ 4

1000 • i 2 ч

I <

i <

0.15 5.2 0.3 0.4

Рис. 4. Структура множества оптимизации.

Минимум данной поверхности определялся теми же методами:

- Метод Чичинадзе с интервальными оценками;

- Метод случайного поиска с направляющим конусом без отсечения

траекторий. Результаты внесены в таблицу 1.

Таблица 1. Сравнение результатов, полученных разными методами.

Метод X, Х2 Y' Y«

Метод Чичинадзе 1000 0.3 484 509

Случайный поиск 1100 0.3 521 568

Для данной схемы метод Чичинадзе оказался более эффективным. Это можно объяснить аддитивным характером его расчетных величин. Метод случайного поиска не эффективен, так как из-за сложной структуры множества оптимизации траектории заканчивались на 2-м или 3-ем шаге.

Проводился глобальный оптимальный эксперимент для последовательности экстракторов. Для тестирования алгоритма экстремального анализа без построения явной модели целевой функции была использована система MATCAD 2000 PROFESSIONAL. Решалась задача экономической оптимизации последовательности экстракторов с рециклом. Математическое описание ХТС представляет собой систему из 7 нелинейных уравнений. В качестве критерия оптимизации принят доход от установки. Вычислительный эксперимент был реализован в MATCAD PROFESSIONAL 2000. Неопределенные параметры были включены в число варьируемых переменных. План вычислительного эксперимента представлял собой равномерную случайную сетку. В результате вычислительного эксперимента, была определена точка глобального максимума на границе множества оптимизации, ее значение существенно отличалось от определенного ранее максимума, найденного средствами EXCEL.

В тестовом режиме работы комплекса проводился глобальный поиск экстремума функции, предложенно'й для тестирования методов глобального поиска.

Поиск минимума проводился в 4-мерном гиперкубе, 1<х,<10. Результаты работы различных методов приведены в таблице 2.

Таблица 2. результаты минимизации тестовой функции различными методами.___ _

X, х, х, X, Y

М-д Чичинадзе 1.10298 4.00987 2.92500 4.91656 8.05897

М-д случайного поиска 1.08898 4.01947 2.92500 4.81651 8.06597

Модиф-ый метод случайного поиска 1.08937 4.01947 2.93401 4.81667 8.06611

М-д Торна 1.053717 4.001838 4.88054 4.043962 8.12301

Наиболее эффективным оказался метод Чичинадзе. Результат метода Торна объясняется неудачным расположением начальных точек.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы. В приложении приводятся листинг программы, составляющей комплекс.

В работе выполнено комплексное исследование проблемы глобальной оптимизации химико-технологической системы с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента

Выводы

1. Рассмотренные методы эффективны, так как при сравнительном анализе на тестовых примерах погрешность относительно точного решения не превысила 6%.

2. Так как построение адекватной регрессии на большом интервале варьирования факторов затруднительно, налицо значительное расхождение расчетного глобального минимума и экспериментального значения при аппроксимации на всем

• ' множестве оптимизации. Кусочно-полиномиальная регрессия улучшает результат оптимизации.

3. Методики интервального сравнения повышают эффективность метода Чичинадзе и необходимы при применении модифицированного случайного поиска.

4. Отбрасывание неперспективных ячеек повышает эффективность метода Чичинадзе только при большом числе разбиения по каждому фактору. Строить маленькие разбиения невыгодно также потому, что линейное приближение адекватно только при небольших интервалах варьирования, следовательно, в относительно больших ячейках.

Публикации по теме работы.

1. Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Холоднов В.А. Поиск научной информации в сети INTERNET // Сб. трудов Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. - Т.5 - секция 11-12 - С 43-44.

2. Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Холоднов В.А. Поиск научной инфермации в сети STN INTERNATIONAL // Сб. трудов

Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. - Т.5 -секция 11-12-С 44-46.

3. Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Шафеев М.А Проблемы глобальной оптимизации в химической технологии. По материалам базы данных в сети STN INTERNATIONAL // Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. - Т.2 - секция 2 - С 50-52.

4. Ананченко А.Г., Холоднов В А Проблемы построения объемной классификации задач и алгоритмсв глобальной оптимизации. // Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. - Т.2 -секция 2 - С 52-54.

5. Ананченко А.Г., Холоднов В.А. Структура алгоритма глобальной оптимизации и построение на ее основе классификации методов поиска экстремума // Сб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. - Т.2 - секция 2 - С 25.

6. Ананченко А.Г., Холоднов В.А Классификация методов поиска глобального экстремума // Сб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. - Т. 10 - секция 11 - С 87.

7. Ананченко А.Г., Холоднов В.А. Построение объемной классификации методов глобальной оптимизации - Депонировано в ВИНИТИ № 975-В2003.от19 03 03. Юс

8. Ананченко А.Г., Холоднов В.А., Пунин А.Е. Глобальная оптимизация последовательности экстракторов. // Химия и химическая технология №3,2004.-С. 45-53.

9. Ананченко А.Г., Холоднов В.А., Пунин А.Е. Комплекс программ глобальной оптимизации "Оптимум". Депонировано в ВИНИТИ № 734-А2004от25.03.04.8с

19.05.04 г. Зак.109-75 РТП ИК «Синтез» Московский пр., 26

»1 05 87

Введение.

ГЛАВА 1 Обзор теоретических и прикладных аспектов глобальной оптимизации.

1. Математическая постановка задачи глобальной оптимизации и описание алгоритмов.

2. Специфика задачи экономической оптимизации химико-технологических систем.

3. Обзор программных средств глобальной оптимизации и оптимизации химико-технологических систем.

4. Построение объемной классификации методов глобальной оптимизации.

ГЛАВА 2. Методы глобальной оптимизации поверхности отклика вычислительного эксперимента.

1. Вычислительный эксперимент и аппроксимация поверхности отклика.

2. Метод Чичинадзе для глобальной оптимизации кусочно-полиномиальной функции.

3. Глобальная оптимизация методом случайного поиска с направляющим косинусом.

ГЛАВА 3. Программный комплекс «Оптимум» для определения глобального экстремума.

1. Общая схема комплекса «Оптимум».

2. Модуль оптимизации.

3. Режим вычислительного эксперимента.

ГЛАВА 4. Глобальная экономическая оптимизация в химической технологии.

1. Применение методов глобальной оптимизации для минимизации затрат на схему простой ректификации.

2. Оптимизация схемы экстрактивной ректификации с боковым отводом из ректификационной колонны.

4. Глобальный оптимальный эксперимент для последовательности экстракторов.

Актуальность работы Проблемы глобальной оптимизации в настоящее время являются передним краем теории математического программирования и вычислительной науки в целом. В тоже время они имеют важнейшее значение для практики. Современные проблемы оптимизации процессов химической технологии настоятельно требуют обновления подходов к автоматизации и конструированию систем оптимального проектирования технологической схемы. С одной стороны, использование систем имитационного моделирования позволило снизить стоимость исследований, но при этом предъявляются более высокие требования к точности определения параметров. Вместе с этим, специфика задачи оптимизации химико-технологических схем (ХТС) заставляет предполагать многоэкстремальность целевой функции. Это обусловлено, во-первых, билинейностью математической модели. Во-вторых, ХТС зачастую имеют замкнутую структуру, то есть структуру с рециклами. Множественность стационарных состояний индуцирует многоэкстремальность в задаче оптимизации. Наконец, многоэкстремальности следует особо опасаться, если оптимизационная задача ставится как задача с априорной неопределенностью, а на этапе проектирования ХТС неопределенность всегда присутствует в математической модели. Кроме этого, в задаче экономической оптимизации всегда есть основания предполагать, что наилучшее значение критерия может лежать близко к границе множества оптимизации. При этом, бывают случаи, когда проведение масштабирования оказывает негативное воздействие на вычислительные свойства задачи. Поэтому можно предположить, что размеры множества оптимизации относительно велики.

Эти соображения позволяют предположить, что методы глобальной оптимизации для решения рассматриваемых задач будут весьма эффективны в сравнении с локальными методами оптимизации. При использовании последних исключительно важно корректно задать начальное приближение. Это представляет значительную трудность в задачах с априори неопределенной информацией. Кроме того, локальные методы оптимизации в большинстве своем используют степень гладкости целевой функции. Для задач негладкой оптимизации разработаны математические методы сглаживания, программирование которых представляет значительные трудности. Среди же методов глобальной оптимизации (МГО) возможно выбрать методы, специально разработанные для негладких функций.

С другой стороны, современное состояние математической теории глобальной оптимизации таково, что при всем многообразии идей и методов, отсутствуют систематизированные данные об успешном применении теоретически исследованных алгоритмов к специфическим задачам прикладных областей. Отсутствуют также общие рекомендации по выбору наиболее эффективного МГО для той или иной задачи. При этом, для решения прикладных задач, в частности оптимизации ХТС, предпочтение отдается эмпирическому классу МГО. В этом случае существенный интерес представляет проблема выбора параметров алгоритма с целью обеспечения его эффективной работы. Наконец, знание структуры математической теории глобальной оптимизации помогло бы сделать обоснованный выбор в пользу какого-либо алгоритма с учетом специфики задачи оптимизации. Общность методологий построения таких методов позволяет также адаптировать уже использовавшиеся и исследованные теоретически алгоритмы к конкретней задаче.

В настоящее время при моделировании ХТС часто рассматривается ситуация исходной неопределенности. Чем выше степень этой неопределенности, тем шире в процессе моделирования и оптимизации используются статистические методы оценки неопределенных параметров. В работе рассматривается подход к задаче оптимизации, при котором целевая функция представляет собой аппроксимацию поверхности отклика вычислительного эксперимента. В число влияющих на отклик факторов могут быть включены неопределенные параметры. Этот подход при использовании современных средств математического моделирования реализует переход от задачи условной оптимизации к безусловной. Но в этой связи при выборе метода оптимизации необходимо учитывать статистическую природу целевой функции. Таким образом, функции, вычисляемые со случайной ошибкой

Y=F(X)+T], где TJ -случайная величина, распределенная нормально с некоторыми параметрами, X еХ, представляют собой широкий класс целевых функций в задачах оптимизации ХТС.

Цели диссертационной работы

Разработать комплекса алгоритмов оптимального моделирования ХТС с использованием методов поиска глобального экстремума и реализовать разработанные алгоритмы поиска глобального экстремума в виде комплекса программ.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи

- Построение классификации методов глобальной оптимизации для обоснованного выбора алгоритмов решения задач экономической оптимизации технологических схем.

- Адаптация эмпирических алгоритмов глобальной оптимизации для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании технологической схемы.

- Разработка комплекса программ, осуществляющего данные алгоритмы глобальной оптимизации, интегрированного с приложениями WINDOWS для обработки вычислительного эксперимента и справочной системой.

- Применение разработанного комплекса для анализа схем жидкостного разделения, конструированных в системе ASPEN PLUS.

Методы исследования: алгоритмы математической теории глобальной оптимизации, методы локального поиска экстремума, методы планирования эксперимента, методы статистического анализа, средства объектно-ориентированного программирования, система технологического конструирования и проектирования ASPEN PLUS, математические пакеты программ, электронные таблицы EXCEL. Основные положения, выносимые на защиту

1. Применения выбранных алгоритмов глобального поиска для решения задачи оптимизации поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС.

2. Модификации метода Чичинадзе введением методики интервального сравнения и организацией расслоенной выборки.

3. Эмпирическая модификация метода случайного глобального поиска отсечением траекторий и использованием методики интервальных оценок.

4. Применение алгоритмов глобального случайного поиска для построения стратегии планирования экстремальных вычислительных экспериментов.

5. Программный комплекс эмпирических алгоритмов.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов решения задач и тестированием программного комплекса на контрольных примерах. Научная новизна

1. Составлена иерархическая классификация математических методов глобального поиска на методологической основе.

2. Разработаны, обоснованы и протестированы на ЭВМ модификации эмпирических МГО, адаптированные для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС.

В первой главе рассмотрено современное состояние математического аппарата алгоритмов глобального поиска и дан подробный обзор методов, использованных в разных прикладных областях. Проведен структурный анализ общей теории и методологии глобальной оптимизации и на его основе составлена подробная классификация алгоритмов. Использование этой классификации дало возможность обосновать выбор методов для решения рассмотренных задач оптимизации разделительных схем химической технологии.

Представлена общая постановка задачи экономической оптимизации ХТС как задачи условной оптимизации:

Пусть Х- линейное пространство над полем действительных чисел размерности п.хеХ, х =(хь х2,., х„); множество оптимизации ХсХ X = {х -jct е V/ = 1.л}

Xi имеет экономический или технологический смысл; обозначим L доход от реализации ХТС; обозначим S общие затраты на ХТС. = /(*), S = g(x)

На вектор х налагаются ограничения в виде равенств, представляющие собой уравнения материального и энергетического баланса: fi{x) = ai ,i = l.M

И условия в виде неравенств <pt(х) > Ъ, i=l.m Необходимо найти x=mmS(x) (1) х.ел или X =maxl(x) (1а) х^Х при данных условиях.

Для определенности в дальнейшем будем считать, что в задаче оптимизации определяется минимум целевой функции.

В постановке задачи выделяются три основных компонента: множество оптимизации, целевая функция, условия, налагаемые на параметры задачи и оптимизирующие переменные. Каждый из этих компонентов задачи имеет структурные особенности. Особенности множества оптимизации:

- Частично дискретно, то есть один или несколько факторов могут быть целочисленными;

- Большая размерность;

Построена общая методологическая классификация алгоритмов глобальной оптимизации. Критерием классификации служит использование априорной информации о поведении целевой функции в исследуемом множестве. Установлена связь этой классификации с другими классификациями, построенными, например, на основе алгоритмических критериев. В первой главе приводится подробная схема данной классификации.

Как уже указывалось выше, мера множества оптимизации X может быть достаточно велика. Построить же адекватную аппроксимацию поверхности отклика возможно только на небольших участках варьирования переменных. Во второй главе модель целевой функции предлагается строить в виде кусочно-линейной или кусочно-полиномиальной функции. Приводятся два способа разбиения множества оптимизации на ячейки с учетом особенностей ХТС. По результатам статистического анализа полученных аппроксимаций ячейки разбиения классифицируются, среди них выделяются подозрительные на содержание экстремума. Построенная функция цели не является непрерывной и гладкой. Однако с помощью методологической классификации среди многообразия алгоритмов глобальной оптимизации можно выбрать методы, для которых эти требования не являются центральными. Такими методами являются варианты случайного поиска и метод Чичинадзе, известный как метод у/ -преобразования. Таким образом, нет необходимости в применении трудоемких алгоритмов сглаживания.

Далее, предлагается использовать построенную классификацию ячеек разбиения для сокращения количества вычислений целевой функции в ходе алгоритма. Эта величина в ряде случаев является характеристикой эффективности алгоритма глобальной оптимизации. Метод у/ -преобразования используется только на ячейках, подозрительных на содержание экстремума и на граничных ячейках. Другой способ адаптации алгоритма к оптимизации функции вида (I) состоит в учете возможной ошибки регрессии. В ходе алгоритма необходимо проводить сравнение значений функции. При этом используются не точечные, а интервальные оценки этих значений. Данные интервальные оценки вычисляются при статистическом анализе аппроксимаций.

При оптимизации методом случайного поиска с направляющим конусом классификация ячеек также используется для сокращения количества вычислений целевой функции в ходе алгоритма. Отсечение неподозрительных ячеек в этом случае не производится, но на таких ячейках не делается последовательный разброс случайных точек, движение производится в направлении градиента построенной аппроксимации.

Для данного метода сконструирована эмпирическая модификация, состоящая в выделении на некотором этапе поиска неперспективных направлений движения, названных траекториями, и отсечения их по некоторому правилу, использующему интервальные оценки значений целевой функции.

В третьей главе описан комплекс программ, созданный в среде объектно-ориентированного программирования DELPHI 7. Комплекс интегрирован с электронными таблица EXCEL, поэтому позволяет не только применять методы глобальной оптимизации к тестовым функциям, но и строить аппроксимации на отдельных ячейках и проводить статистический анализ.

В четвертой главе с помощью программного комплекса "Оптимум" были применены алгоритмы глобальной оптимизации для схем простой ректификации и экстрактивной ректификации с рециклом. Для данных схем в результате вычислительного эксперимента по методике, заложенной в ASPEN PLUS, были определены границы множества оптимизации, построено разбиение этого множества на ячейки над которыми затем аппроксимировалась поверхность отклика линейной функцией или поверхностью второго порядка. и

В предварительной задаче было построено приближение мультипликативной функцией на всем множестве оптимизации. В результате решения Щ( предварительной задачи обращает на себя внимание достаточно высокая точность метода Чичинадзе и эффективность для этого алгоритма методики интервальных оценок. Для случайного поиска с направляющим конусом выявлена главная группа влияющих параметров метода. Однако результаты оптимизации этим методом хуже, чем результаты метода Торна и метода Чичинадзе. Обращает на себя внимание расхождение значений аппроксимации поверхности и экспериментальных данных: максимальное значение относительной погрешности - до 25% .

При решении задачи оптимизации кусочно-линейной поверхности отклика вычислительного эксперимента для схемы простой ректификации ^ результативность данных методов возросла в связи с более удачной аппроксимацией. Расхождение с экспериментальным значением в подозрительной на глобальный минимум точке не превышает 10%. При этом выявлена тенденция уменьшения затрат на схему при увеличении процентной доли уксусной кислоты в растворе. Однако необходимость большого числа опытов делает этот метод весьма объемным в вычислительном отношении.

При упрощенной (рассматривалась зависимость от двух влияющих факторов) оптимизации схемы экстрактивной ректификации особенное внимание было уделено построению множества оптимизации, так как эта схема обладает свойством вычислительной неустойчивости по входным данным. Структура множества оптимизации оказалась весьма сложной, но методика разбиения на ячейки свела к минимуму возможные неудобства. Для данной схемы метод Чичинадзе применялся на всем множестве оптимизации, так как разбиение построено таким образом, что все ячейки граничные. Также в данном случае обратило на себя внимание быстродействие метода случайного поиска — уже вторая траектория обнаружила глобальный минимум. Ф

Итак, в работе приводятся способы адаптации методов глобальной оптимизации для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента. Вычислительное применение этих модификаций дало положительные результаты и высветило аспекты повышения их эффетивности. Таким образом, осуществлено комплексное исследование проблемы оптимизации химико-технологических систем с применением современной технологии математического моделирования.

Аппробация работы. Основные результаты работы доложены на международной конференции "Математические методы в технике и технологии" (ММТТ12) Тамбов , июнь 2002г., ММТТ 15 Санкт-Петербург сентябрь 2003 г. Математические аспекты исследований обсуждались на научном семинаре кафедры математики и физики Санкт-Петербургского филиала Военно-инженерного Университета им. Куйбышева. Публикации по теме работы,

1. Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Холодное В.А. Поиск научной информации в сети INTERNET.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. - Т.5 - секция 11-12 - С 43-44.

2. Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Холодное В.А. Поиск научной информации в сети STN INTERNATIONAL.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. - Т.5 - секция 11-12 - С 44-46.

3. Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Шафеев М.А. Проблемы глобальной оптимизации в химической технологии. По материалам базы данных в сети STN INTERNATIONAL.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. - Т.2 - секция 2 - С 50-52.

4. Ананченко А.Г., Холодное В.А. Проблемы построения объемной классификации задач и алгоритм л в глобальной оптимизации. - Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. - Т.2 - секция 2 - С 52-54.

5. Ананченко А.Г., Холодное В.А. Структура алгоритма глобальной оптимизации и построение на ее основе классификации методов поиска экстремума- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. - Т.2 - секция 2 - С 25.

6. Ананченко А.Г., Холодное В.А. Классификация методов поиска глобального экстремума- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. - Т. 10 - секция 11 - С 87.

7. Ананченко А.Г., Холодное В.А. Построение объемной классификации методов глобальной оптимизации - Депонировано в ВИНИТИ № 975-В2003. от 19 03 03.

8. Ананченко А.Г., Холодное В.А., Пунин А.Е. Глобальная оптимизация последовательности экстракторов. Химия и химическая технология №3, 2004.-С 45-53.

9. Ананченко А.Г., Холодное В.А., Пунин А.Е. Комплекс программ глобальной оптимизации "Оптимум". Депонировано в ВИНИТИ № 734-А2004 от 25.03.04.

14

Выводы по диссертационной работе.

-1.Рассмотренные методы достаточно эффективны, так как при сравнительном анализе на тестовых примерах погрешность относительно точного решения не превысила 6%.

- 2-Так как построение адекватной регрессии на большом интервале варьирования факторов затруднительно, в этом случае налицо значительное расхождение расчетного глобального минимума и экспериментального значения при аппроксимации на всем множестве оптимизации. Кусочно-полиномиальная регрессия существенно улучшает результат оптимизации.

- 3 Методики интервального сравнения значительно повышают эффективность метода Чичинадзе и необходимы при применении модифицированного случайного поиска.

- 4 Отбрасывание неперспективных ячеек заметно повышает эффективность метода Чичинадзе только при большом числе разбиения по каждому фактору. Если это разбиение мало, то мало и число внутренних ячеек, следовательно экономия на вычислениях при отсутствии данных ячеек невелика. Строить маленькие разбиения невыгодно еще и по следующей причине: линейное приближение адекватно только при небольших интервалах варьирования, следовательно, в относительно больших ячейках необходимо проводить дополнительные опыты для построения адекватной регрессии.

Заключение.

1. Аианчеико А.Г., Холодное В.А., Пуиин А.Е. Глобальная оптимизация последовательности экстракторов. Химия и химическая технология №3, 2004.-С. 45-53.

2. Ананченко А.Г., Холодное В.А. Построение объемной классификации методов глобальной оптимизации Депонировано в ВИНИТИ № 975-В2003. от 19 03 03.

3. Ахназарова C.JI. Кафаров В.В., Коновалова Н.В. Алгоритмическое и программное обеспечение оптимального эксперимента при решении задач химической технологии. М.: Наука, 1996. 64 с.

4. Ахназарова C.JI. Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. М.: Наука. 1985

5. Басс Л.П., Гермогенова Т.Л. Программное обеспечение физики защиты реакторов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН 1989 45 с.

6. Батищев Д.И., Любомиров A.M. Применение методов классификации образов к отысканию глобального минимума функции нескольких переменных.//Вопросы кибернетики. 1985- Т. 122. -С 46-50.

7. Булатов В.П. Методы решения многоэкстремальных задач.// Методы численного анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука, 1987.-С. 133-157.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. - 520 с.

9. Воробьев А.А., Горбунов М.М. Программное обеспечение рабочего места технолога.// Межвузовский научный сборник Уфа. 1986. С 67-75.

10. Ю.Гайворонский А.Г., Гайворонская К.Д., Евдонин А.М., Парасич В.А. Методы оптимизации технологических процессов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН 1995 143 с.

11. П.Ганшин Г.С. Вычисление наибольшего значения функций нескольких переменных // Кибернетика. 1983. № 2. - С 61-63.

12. Данилин Ю.Г. Пиявский С.А. Об одном алгоритме отыскания абсолютного минимума. // Теория оптимальных решений , вып. 2 Киев: ИК АН УССР, 1967.-С 25-37.

13. Дворецкий С.И., Мамонтов И. Н., Игнатьева Н.В. Система математического моделирования, оптимизации и проектирования технологических процессов и оборудования химических производств // Информационные технологии. -1999.-№11.-С 36-43.

14. Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия, М.: Наука, 1989. - 230 с.

15. Дземида Г. Решение задач оптимального проектирования и выбора значений параметров модели с использованием прикладных программ МИНИМУМ // Теория оптимальных решений, вып.10 Вильнюс: Ин-т математики и кибернетики АН ЛитССР, 1984. - С 77-98.

16. Дюран Б., Оделл П Кластерный анализ. М.: Статистика !977. - 128 с.

17. Евтушенко Ю.Г., Потапов М.А. Численные методы решения многокритериальных задач. // Кибернетика и вычислительная техника, № 3 -М.: Наука, 1989. С. 209-218.

18. Евтушенко Ю.Г., Ратькин В.А. Метод половинных делений для глобальной оптимизации функции нескольких переменных. // Изв. АН СССР серия Техническая кибернетика 1987, Т1 С119-128

19. ЕмеличевВ.А., Комлик В.И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. М.: Наука, 1981. 208 с.

20. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. -472 с.

21. Ермаков С.М. Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. 320 с.

22. Жак С.В. Программное обеспечение оптимизационных задач САПР.// Вопросы кибернетики. 1985.- Т.122. С. 80-91

23. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г., Методы поиска глобального оптимума -М.: Наука, 1991 247с.

24. Жиглявский А.А. Математическая теория глобального случайного поиска -Ленинград, изд-во ЛГУ, 1985, 292 с

25. Жиглявский А. А, Кривулин Н. К. Решение задач оптимизации вычислительных систем по их имитационным моделям // Проблемно-ориентированные средства повышения эффективности вычислительных систем Казань, Изд-во Казан. Авиац. Ин-та, 1989. - С 40-45.

26. Жилинскас А.Г. Глобальная оптимизация. Аксиоматика статистических моделей, алгоритмы, применение. Вильнюс: Москлас 1986. - 166 с.

27. Жилинскас А.Г., Моцкус Й.Б. Об одном байесовском методе поиска минимума. // Автоматика и вычислительная техника. 1972. - №4. - С42-44.

28. Жилинскас А.Г., Шалтянис В.Р., Поиск оптимума. Компьютер расширяет возможности. М.: Наука, 1989. 87 с.29.3иятдинов Н.Н., Емельянов В.М. Программный комплекс расчета и оптимизации химико-технологических систем. Казань: Изд-во КГТУУ, 1996, 54 с.

29. ЗО.Зыричев Н.А., Кулиш С. А., Оптимизация процесса диссоциации С02 в сверхзвуковом плазмохимическом реакторе М.: Химия 1984, 67 с.

30. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. 87 с.

31. Картаджиян С.Л. Оптимизация типовых процессов производства каучуков на примере моновинилацетилена, М.: Химия 1972 123 с.

32. Кафаров В.В., Глебов М. Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств. М.: Высшая школа, 1991, 366 с.

33. Кафаров В.В., Мешалкин А.А. Анализ и синтез химико-технологических схем. М.: Химия, 1985 448 с.

34. Кербель, Колосова, Программное обеспечение системы "Минимакс", Новосибирск, 1979. 43 с.

35. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука 1990. 209 с.

36. Методы оптимизации и их приложения, сборник статей АН России Сибирское отделение Иркутск СЭИ 1992, 232 с.

37. Методы оптимизации и их приложения. Труды 12-ой Байкальской международная конференция. Иркутск, 2001. 140 с.

38. Моисеев Н.Н Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1985, 526 с.

39. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965. 338 стр.

40. Некруткин В.В., Тихомиров А.С. Некоторые свойства глобального марковского случайного поиска.// Вестник ЛГУ. 1989. - №5.- С 23-26.

41. Немировский B.C., Юдин Д.В. Сложность задач и эффективность методов оптимизации М.: Наука, 1979. - 383 с.

42. Островский Г.М. Методы оптимизации химических реакторов М.: Химия, 1967, 432 с.

43. Островский Г.М. Бережинский А.С., Волин Ю.М. Оптимизация химико-технологических процессов: теория и практика, М.: Химия, 1984 289 с.

44. Оптимизация технологических процессов по критериям прочности. Межвузовский научный сборник Уфа 1986

45. Пакеты прикладных задач. Программное обеспечение оптимизационных задач. М. Наука, 1987 66с.

46. Певный А.Б. Оптимальность онлайнового алгоритма при нахождении масимума функций многих переменных // ЖВМиМФ. — 1988.- №1. — С 130-134.

47. Программное обеспечение систем оптимизации. Сборник статей. М. ВНИИСИ 1982. 37 с.

48. Радкевич В.В., Методы оптимизации процесса получения элементарной серы с помощью ЭВМ, М.: ВНИЭ Газпром, 1986. 43 с.

49. Расстригин JI.A. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. - 403 с.

50. Расстригин JI.A. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1971. -403 с.

51. Расстригин Л.А. Случайный поиск. Теория и применение. Систематический указатель литературы. Рига, Ин-т выч. Техн. АН ЛатССР. 1981, - С 99-105.

52. Реутович Л.Н., Жалова Г.М. Оптимизация процесса получения фосфору и его производных. Ленинград. 1981. 51 с.

53. Сафронов М.В. оптимизация процесса обжига керамзита во вращающейся печи. М.: Химия 1978. 79 с.

54. Сергеев Я.Д., Стронгин Р.Г., Гришагин В.А., Введение в параллельную глобальную оптимизацию, Н. Новгород 1998

55. Соболь И. М. Точки, равномерно заполняющие многомерный куб. — М. Знание, 1985. 32 с.

56. Соболь И. М. Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. 110 с.

57. Стронгин Р.Г. Поиск глобального минимума, М.: "Знание", серия "Математика Кибернентика" 1990, №2.- С. 23-34.

58. Стронгин Р. Г., Численные методы в многоэкстремальных задачах, М.: Наука 1978. 234 с.

59. Сухарев А.Г., Тимонов А.В., Федоров В.В., Курс методов оптимизации, М.: Наука, 1986. 276 с.

60. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М.: Наука, 1989.-311 с.

61. Сушков Ю.А. Об одном способе организации случайного поиска // Исследование операций и статистическое моделирование, вып. 1. -Ленинград.: Изд-во ЛГУ, 1982 С 180-186.

62. Тимонов Л.Н. Алгоритм поиска глобального экстремума // ИЗВ АН СССР. Техническая кибернетика. 1977 - № 3. - С 53-60.

63. Томашко О.А и др. Программное обеспечение для решения задач многокритериальной оптимизации. Описание программного комплекса оптимизации сложных систем. М. МиФи 1987. 35 с.

64. Федорова И. К. Поиск глобального оптимума в многоэкстремальных задачах // Теория оптимальных решений, вып. 4. — Вильнюс: Изд-во ЛитАН, 1978. -С. 93-100.

65. Френкс Р. Математическое моделирование в химической технологии. Мл Химия, 1971,-271 с.

66. Холодное В.А. Хартман К., Саутин С.Н. Моделирование стационарных и нестационарных режимов химико- технологических схем. Л.: 1982 74 с.

67. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации, М.: Наука, 1983.-255 с.

68. Шалтянис В.Г. Анализ структуры задач оптимизации, Вильнюс: Мокслас, 1989, 120 с.

69. Шалтянис В.Г. Об интерпретации результатов многомерной оптимизации // Теория оптимальных решений, вып. 1. Вильнюс: Изд-во ЛитАН, 1975. — С. 43-52.

70. Широков А. А. Алгоритм случайного поиска для минимизации кусочно-многочленной аппроксимации.// Оптимизация. Теория, численные методы и