автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане с применением матричных форм решения

Рухул Амин

РГБ ОД 1 7 НИЗ 2000

РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ МАТРИЧНЫХ ФОРМ РЕШЕНИЯ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -1999

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов инженерного факультета в Российском университете дружбы народов

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент В.Н. ИВАНОВ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор С.Я. МАКОВЕНКО; кандидат технических наук, доцент Ю.К. БАСОВ.

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский и проектно-экспериментальный институт комплексных проблем строительных конструкций и сооружений

им. В.А. Кучеренко

Защита состоится 1999 года в 1530 часов на заседа-

нии диссертационного совета Д 053.22.08 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117302, г. Москва, ул. Орджоникидзе, дом 3, ауд. 348.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, Д.6).

Автореферат разослан С 1999г.

¿«&Г/. 63 0.-1 Ц) 03 в&^у.бчо-1:1 03

Ученый секретарь /

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор С.Н. КРИВОШАПКО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В проблеме расчета тонких упругих пластин и пологих оболочек в настоящее время достигнуты большие успехи как в области математической теории, так и в области технической теории, которая осно-- вываясь на гипотезах Кирхгоффа-Лява и принятых дополнительных рабочих гипотезах, обоснованных экспериментальными данными, занимается построением упрощенных расчетных уравнений и методами их решения, удобными для проведения инженерных расчетов. По рассматриваемой тематике имеются множество публикаций и в них становится уже трудно ориентироваться. Однако эта тема не перестает быть актуальной, так как прямоугольные плиты и пологие оболочки с различными условиями закрепления опорного контура являются важнейшими элементами строительных конструкций.

Современный уровень развития строительного дела предъявляет все более высокие требования к тонким пространственным конструкциям, работающим не только на восприятие распределенной по всей поверхности нагрузки. Строительные конструкции могут быть нагружены нагрузкой, распределенной на части поверхности или силовой или моментной нагрузкой, распределенной вдоль линии. Расчет на такие нагрузки обычно проводят с разложением в ряды, с удержанием большего числа членов ряды, либо численными методами.

Таким образом, существует необходимость в разработке новых методов расчета тонких пространственных конструкций, позволяющих более полно учитывать действительные условия её работы. Новые аналитические методы расчета строительных конструкций имеют полное право на сосуществование с такими широко распространенными численными методами как метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод 1раничных элементов и др. '

В свете изложенного можно заключить, что разработка новых аналитических методов расчета и исследование поведения прямоугольных пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане, представляют собой весьма актуальную задачу и имеют как теоретический, так и практический интерес.

Целью диссертации является разработка аналитического метода расчеты прямоугольных пластин и пологих оболочек методом перемещений с привлечением матричного аппарата решения поставленных задач. Целью диссертационной работы является также исследование поведения тонкостенных' конструкций в виде плоских прямоугольных пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане под действием распределенной силовой и моментной нагрузок, а также исследование поведения этих конструкций при их частичном нагружении распределенной поверхностной нагрузкой. Научная новизна работы.,На основе метода Канторовича-Власова для пря-™оу1-илъных упругих тонких пластинок получены соответствующие обыююн венные разрешающие дифференциальные уравнения и дана методика Их решения с привлечением метода начальных параметров и аппарата матричного

исчисления. При этом выбор граничных условий не лимитируется. Дана также матричная форма решения задачи изгиба пластинки с двумя противоположными шарнирно опертыми краями методом Леви.

Разработан комплекс программ для ЭВМ, реализующий расчетные алгоритмы. . .

Проведен качественный и численный анализ напряженно-деформированного состояния тонких прямоугольных пластин для различных видов опирания пластин, отношения сторон и видов нагружения, в том числе на подвижную, полосовую нагрузку.

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных формул, алгоритма расчета и вычислительной программы в практике реального проектирования конструкций в виде тонких плоских пластинок и пологих оболочек, выполненных из линейно упругого материала. Применение ЭВМ позволяет проводить вычисления непосредственно в матричной форме, задаваясь лишь одной исходной, приведенной.» диссертации, матрицей и одной определенной вектором-функцией, не прибегая к явной записи других матриц.

Проведены многочисленные расчеты, которые проиллюстрированы графиками прогибов и внутренних усилий. Проведен анализ влияния параметров пластинки и нагрузки на напряженно-деформированного состояния пластинки, Дня пластинки с шарнирно опертыми противоположными краями, находящейся под действием распределенной полосовой поперечной и моменгной нагрузок и нагрузки, равномерно распределенной на части поверхности пластинки, исследовано влияние точности решения при удержании одного, двух и более членов ряда; Рассмотрено решение задачи расчета пластинки на упругом основании.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется корректностью исходных предпосылок теории тонких пластин и пологих оболочек, корректностью математических преобразовании, совпадением результатов тестовых расчетов с известными в литературе, качественным характером результатов проведенных расчетов. Ряд расчетов сравнивался с расчетами, проведенными вариационно-разностным методом.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на .

• XXXIII научной конференции профессорско-преподавательского состава инженерного факультета РУДН (1997г.),

• XXXV научной, конференции профессорско-преподавательского состава инженерного факультета РУДН (1999г.),

• объединенном научном семинаре кафедр Сопротивления материалов и Промышленных и гражданских сооружений РУДН (1999г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 3 научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, содержщцего выводы по результатам проведенных исследований, списка литературы из 114 наименований и приложения. Общий объем диссертации составляет 250 страниц, из которых 150 страниц основного текста и около 100 страниц приложения. Диссертация содержит 45 рисунков, включая графики расчетов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы. Тонкостенные конструкции ;в форме пологих оболочек, запроектированные с учетом их пространственной работы, легче, чем другие конструкции и поэтому теория их механического расчета приобретает особо важное практическое знач«ние. Из элементов пространственных конструкций пологие оболочки обладают большей несущей способностью и жесткостью чем пластинки. Однако в ряде случаев по технологическим или иным причинам их применение становится невозможным и в этом случае пластинки являются именно теми конструкциями, которые с успехом могут быть применены (междуэтажные перекрытия, дорожное железобетонное полотно, аэродромные плиты и др.).

При решении различных задач изгиба тонких упругих плит, подчиняющихся гипотезам прямой нормали, обычно используют уравнения Софи Жермен-Лагранжа для разрешающей функции прогибов.

Первая, глава посвящена краткому историческому обзору развития теории прямоугольных пластин и теории пологих оболочек на прямоугольном плане и обоснованию направления научных исследований диссертации. Проводится как исторический обзор теории тонких пластин, так и обзор современных проблем и методов расчета тонкостешых конструкций.

Законченную теорию изгиба пластинок дал Г. Кирхгофф. Он учитывал практически возможные случаи загружения пластинки и различные граничные условия по ее краям. В дальнейшем Ритц, Е. Матье, М.Т. Губер, Е. Рейс-снер, А.Е. Грин продолжали изучать влияние граничных условий на уравнения теории изгиба пластинок, полученные Кирхгоффом.

Недостатки теории, связанные с невозможностью удовлетворения трех краевых условий, были учтены при разработке уточненных теорий пластин Рейсснером, Б.Ф. Власовым и др. Однако благодаря простоте уравнений основной теории и удовлетворительной точности, подтверждаемой экспериментами, эта теория наиболее широко используется в практических инженерных расчетах.

На современном этапе большой популярностью пользуются вариационные методы расчета пластинок. Система полного и частного функционалов охватывает все возможные случаи постановки (формулировки) задач теории упругости. Взаимосвязь между ними определяется теорией преобразования вариационных проблем.. В методе Треффца подходящие функции точно удовлетворяют всем уравнениям в области, а функционал граничных условий привлекается для приближенного удовлетворения граничных условий. В ме-

поде Ритца подходящие функции точно удовлетворяют определенной части граничных условий. Оставшаяся же часть условий удовлетворяет прибли-i женно с помощью минимизации функционала полной энергии деформации. В методе Галеркина фактически используется преобразованное вариационное уравнение с выделенными вариациями искомых величин. В строительной механике существует много модификаций решения задач на основе вариационных методов: метод Ритца-Тимошенко, метод Бубнова-Галеркина, метод наименьших квадратов, метод Канторовича-Власова и другие. К численной реализации вариационных методов относятся вариационно-разностный метод и метод конечных элементов. Вариационные методы расчета пластинок использовались H.H. Пантелеевым (метод В.З. Власова), Б.И. Петровым, С.А. Тумановым, В.Н. Ивановым и др. Б.Ф. Власов предложил постановку задачи изгиба тонких упругих плит в моментных разрешающих функциях, которые открыли возможность прямого использования метода Власова-Канторовича и обобщенного метода прямых.

Отмечается, что создание завершенной теории пологих оболочек является заслугой выдающегося советского ученого В.З. Власова, чья монография «Общая теория оболочек и ее приложение в технике» послужила толчком для развития теории пологих оболочек в работах многочисленных учеников и последователей ученого. На различных этапах исследованием пологих оболочек занимались A.C. Амбарцумян, Д.В. Вайнберг, Б.С. Васильков, A.A. Вольмир, И.Е. Милейковский, А.Г. Назаров, О.Д. Ониащвили, П.А. Лукаш, В.Я. Павилайнен, Л.М. Мухадзе и многие другие. Замечательные достижения в применении функций комплексного переменного в теории оболочек принадлежат В.В. Новожилову, АЛ. Гольденвейзеру, И.Н. Векуа, которые затем были применены М.К. Мишоновым, A.C. Калмановым и др. Метод конечных разностей прирасчете оболочек был применен П.М. Варваком, В.Н. Шаиш-мелашвили, Я.Д. Лившицом, И.Е. Милейковским, С.И. Трушиным и др.

Л.С. Гаранин, В.В. Дикович, А.Г. Назаров, В.Н. Никиреев и В.Л. Ща-дурский предложили удобные для инженеров-строителей практические методы расчета пологих оболочек.

В.А. Киселевым был реализован метод расчета тонких прямоугольных пластин на упругом основании с шарнирным опиранием двух противопо-■ ложных краев с помощью одинарных тригонометрических рядов в комбинации с методом начальных параметров. Это позволило ему учитывать в аналитическом решении сложные виды нагрузок. Однако вывод функций, позволяющих реализовать этот метод, довольно трудоемок, тем более эту методику трудно реализовать для пологих оболочек. Предлагаемая в диссертации матричная форма решения дифференциальных уравнений позволяет формализовать этоттфоцёсс и легко осуществлять его с применением современных компьютерных средств. Этот метод распространяется также и на расчет пологих оболочек.

Из выше сказанного видно, что проблемы изучения напряженно-деформированного состояния тонких прямоугольных пластин и пологих оболочек на прямоугольном плане привлекали внимание многих исследователей

и, поэтому этот вопрос разработан достаточно подробно и эффективно. Но эта тема не перестает быть актуальной, так как прямоугольные плиты и пологие оболочки с различными условиями закрепления опорного.контура являются важнейшими элементами конструкций в строительстве и других областях техники. Разработка новых аналитических методов расчета и исследование поведения прямоугольных пластинок и пологих оболочек на прямо- угольном плане, представляют собой весьма актуальную задачу и имеют как теоретический, так и практический интерес.

Во второй главе рассматривается алгоритм расчета прямоугольных

пластин методом Канторовича-Власова с использованием матричных .форм решения разрешающего дифференциального уравнения. Пластинка может иметь произвольные, но однородные по каждой стороне пластинки условия опирания - шарнирное или упругое опирание, жесткое или упругое защемление, свободный край. Пластинка загружается полосойой (распределенной вдоль линии) поперечной или мо-ментной нагрузкой, или нагрузкой, распределенной'по прямоугольной площади (локально).

Используются безразмерные координаты:. _ , ;

\-xja, т) = у/Ь, Х = а/Ь, диапазон изменения которых (>¿§¿1,

Дифференциальное уравнение равновесия пластинки в безразмерных координатах имеет вид ,-. -■■

Рис. 1.

0)

(2)

где V ••• =

- + 2Х2

д%4 .. Эч4

пласа в безразмерных координатах г); £>

дифференциальный оператор Ла-

ЕИ3

12(1-V2)

- изгибная жесткость

пластинки.

Рассмотрим сначала решение дифференциального уравнения методам Канторовича-Власова в первом приближении. Решение ищется в виде

(3)

где qй - произвольное значение нагрузки,, вводимое для обезразмеривания решения; 7(п) - функция удовлетворяющая условиям опирания пластинки на продольных краях. Функция определяется из решения дифференциального уравнения * у

.-^(0 + 2 Х2ВХ'((,)+ХАСХк)=чк), (4)

получаемого'при применении метода Канторовича-Власова к дифференциальному уравнению равновесия пластинки.

Дифференциальное уравнение имеет комплексно сопряженные корни характеристического уравнения г,_4 = ±(а±/р), и общее решение однородного дифференциального ¡уравнения (4) может быть записано в виде комбинации гиперболо-тригонометрических функций

• • . (5)

гдеЛ - константы интегрирования; Ф1(^)=сЬа^созр^, Ф2(£,)=бЬа^ Ф3(0= вЬ а£ совр!, Ф4(?)= сЬа? зга.

Вводим вектор констант интегрирования А, вектор-функцию Ф(£) и матрицу в = в(а,Р) по формулам:

'А' "0 0 а -Р"

Аг А ; Ф (0 - ы) ; в = 0 а 0 -Р Р 0 а 0

л. Мй .Р а 0 0

Тогда решение (5) запишется в виде

^ЬА*Ф(^) = Ф*(4)А, (7)

а производные вектор функции ф(£) будут определятся формулами

Ф'£)=ВФ(0; Ф(к)(0=В*Ф&)- (8)

Здесь обозначено * - транспонирование вектора (матрицы); ^ - к-ая производная; в* - ¿-ая степень матрицы в.

Вводим вектор-функцию Х(£,), компонентами которой являются функция и ее производные до третьей включительно, и запишем их используя соотношения (7) и (8)

х*(0=¡ф^Кф'ООв'а, ф-(0в-а, ф*(г0в-3 а} или к(4)=0(5)А, ,.■ . . (9)

где 0(Е,) - матрица 4x4, строками которой является вектор-функция ф(^) умноженная на степени матрицы В* к~0,1,2,3.

Используя соотношение (9), приходим к методу начальных параме!ров Х(0)=Х0 = 0(0)А = В0А,

откуда А = Во'Х0. (10)

Следовательно, Х(?)=1)(4)Оо1Х0, (11)

.....Хо =

. Через компоненты вектора-функции Х(£) и функцию Дт^) можно выразить все внутренние усилия в сечении пластинки, в том числе на ее опорных краях. ■ !'

Чтобы получить решение неоднородного дифференциального уравнения (4), нужно к решению (11) добавить частное решение, учитывающего действие нагрузки, что может быть записано виде

х£)=пСФо'Хо + Ц^о + Ли-

1 I Чй

(12)

/ \ р.

где М&'^шНп - функция Хевисайда; ри,ти,-компоненты

[О,

первого приближения поперечных и моментных полосовых и распределенных нагрузок (распределенная нагрузка действует до конца пластинки, иначе вводится компенсирующая нагрузка), получаемые при реализации метода Канторовича-Власова; Т)р, - матрицы, учитывающие характер действующей нагрузки; - координаты действия полосовой поперечной или момент-ной нагрузки, или начала распределенной нагрузки (рис. 1).

Начальные параметры (компоненты вектора Хо) определяются из условий опирался пластинки на поперечных краях. Два условия (обычно нулевые) известны из условий опирання левой грани. Два других определяются из условий о тирания правой грани.

Форма решения (11) позволяет практически точно удовлетворять любые граничные условия олиранилг пластинки на поперечных краях и практически точно учитывать любую нагрузку в продольном направлении. Точность решения в конечном счете зависит от точности аппроксимации в поперечном направлении. Один член ряда с использованием балочных статических функций обычно хорошо аппроксимирует равномерно или линейно распределенную в поперечном направлении нагрузку.

При более сложных видах нагрузки - прерывистых в поперечном направлении и тем более сосредоточенных (распределенных по продольным линиям) одного члена ряда не достаточно. Тогда решение уравнения равновесия пластинки (2) ищется э виде ряда

Г ^.^^¿^(^(л), (13)

где Г„(л) - функции, удовлетворяющие условиям опирания продольных граней пластинки; - функции, подлежащие определению.

При решении в рядах предложенная схема решения методом Канторовича-Власова с использованием матричных форм решения, удобна, если система дифференциальных уравнений распадается на систему независимых для каждого члена ряда уравнений. Это возможно, если используемая система функций ад) ортогональна к дифференциальному уравнению (2). В качеств ве таких функций можно использовать .динамические балочные функции — функции формы колебаний балок, если1 воспользоваться свойством квазиор-

тогональности - малостью значений интегралов от произведения динамических балочных функций на их вторые производные. Во второй главе разработан алгоритм решения задачи изгиба пластинки на прямоугольном плане с применение динамических балочных функций. При этом оказывается, что алгоритм для определения функции Хт (4) (кроме шарнирного опирания обоих продольных краях) при каждом т полностью совпадает с разработанным выше алгоритмом для статических балочных функций. При шарнирном опи-рани продольных краев динамическими балочными функциями являются тригонометрические синусы, и метод Канторовича-Власова совпадает с методом Леви. В работе строится алгоритм решения этой задачи, аналогичный. построенному выше. Отличие заключается только в типах функций, входящих в вектор-функцию решения Ф(£) и форме матрицы дифференцирования в, соответствующей этим функциям.

Строится алгоритм решения пластинок на упругом Винклеровском ос- * новании. И здесь, различие только в значениях характеристических корней, зависящих от коэффициента постели упругого основания. Алгоритм полностью идентичен описанному выше.

Отметим, что описанный алгоритм может использоваться и для «укороченных» пластин (продольная сторона короче поперечной). Однако статические балочные хуже аппроксимируют распределение прогибов в длинном направлении пластинки, и для повышения точности расчета в этом случае целесообразно проводить расчеты в рядах с использованием динамических балочных функций. ■

в третьей главе приводятся многочисленные примеры расчетов прямоугольных пластин. На основе описанного выше алгоритма разработаны варианты программ с использованием системы Ма&САО. Варианты программ приведены в приложении к диссертации. Туда же вынесены распечатки и графики многочисленных расчетов. В тексте диссертации приводятся графики, на основе которых проведен анализ зависимости напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластин для различных условий опирания граней пластинки. Исследовано влияние на напряженно-деформированное состояние параметров пластинки и нагрузок.

Проведен анализ зависимости прогибов и изгибающих моментов от отношения сторон пластинки при равномерно распределенной по всей площади пластинки нагрузки и полосовой равномерной поперечной нагрузки действующей'® среднем сечении пластинки. На рис. 2, 3 показаны графики прогибов и графики изгибающих моментов для среднего сечения и сечения на расстоянии полуширины пластинки от опоры для шарнирно опертой пластинки. В сечении на расстоянии полуширины пластинки для удлиненных пластинока/Ь>2 возникает наибольший изгибающий продольный момент.

Исследовано изменение характера прогибов и изгибающих моментов при замене полосовой центральной нагрузки эквивалентной ей равномерно распределенной по средней полосе различной ширины нагрузкой. Пример для пластинки, жестко защемленной на продольных сторонах и шарнирно опертой на поперечных краях, приведен на рис. 4,5.

U2J \2 2.

Рис. 2. Зависимости IF от X

-«■(§•!) --"-(И)

Рис. 3. Зависимости A4 от X

-0.001

-0.002

-0.003

-0.004

/

х4. т • *

« X к-ч V V» _ 0* у

* !

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ОтР »-¿=0,1 - .¿=0,2 - .¿=0,3 —¿=0,4 - .¿=0,5

Рис. 4. Эпюры Ж в сечении »1=0,5 при

0

-0.02 -0.04 -0.06 -0.08 "0.1 -0.12

«Г > ,

г1-"

""" ) у

V.

К с

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.3 0.9 1 —ОтР .«.¿=0,1 - -¿=0,2 - .¿=0,3 —¿=0,4 - .¿=0,5

Рис. 5. Эпюры Л^ в сечении ц=0,5 при Я=1

t" oLs» NS i

!

<í л* 9 : i

! г i \

I 1 i

I h i

•>/

✓ vi

е> J 0.073 j' 0.03 § ° s © e ! i

. H

- a.

* ..... Ц

»S •X

V \ \ \

4 V f*'

'%/ л v.,-* 4

Д V'

// A

II

Л!

II •ü

; I

.■Ь

: 7

i I i

и

I

ю о

II

л

IS

S I

î «г

f I

о к

Л

s о. к

х-1

f р-

S £

О.

Оч о £

â i i CS ö

л

о

II

Исследован характер изменения прогибов и изгибающих моментов в среднем сечения пластинки при перемещении вдоль пластинки полосовой поперечной нагрузки. Пример для пластинки шарнирно опертой на поперечных краях и жестко защемленной на продольных сторонах при отношении сторон а/Ь=0. приведен на рис. 6,7.

Исследовано напряженно-деформированное состояние пластинок на •упругом основании. Исследован характер прогибов и изгибающих моментов в зависимости от отношения коэффициента податливости упругого основания к изгибной жесткости пластинки. Пример показан на рис. 8,9.

В приложении приводятся примеры расчета пластинки загруженной комбинацией полосовой поперечной и моментной нагрузками в комбинации с распределенной по части пластинки поперечной нагрузки. Для сравнения и подтверждения правильности работы алгоритма аналогичный расчет проведен по программе на основе вариационно-разностного метода. Расчет вариационно-разностным методом проводился на сетке 30x20. Сравнение показало хорошее совпадение результатов расчета.

В четвертой главе рассматривается алгоритм расчета пологих оболочек на прямоугольном плане, заданных в декартовой системе координат.

После введения безразмерных координат и безразмерных геометрических параметров

^х/а, т) = у/Л, \ = а/Ь, 1 = к2/кх=Лх/Иг, 5 = о/Л,, система трех уравнений в перемещениях была представлена в матричной форме:

(14)

где £у - дифференциальные операторы, д - поперечная распределенная нагрузка, 1 = ч(х,у), С = ——Ц-- цилиндрическая жесткость оболочки на растя-¡-V

женпе. .

После введения функции обобщенных перемещений <р по формулам

их=Ь^>, иг=1/р, (15)

где Ьх-",Ьу-",Ь1— • дифференциальные операторы (алгебраические дополнения третьей строки системы (14)); первые два уравнения системы (14) удовлетворяются тождественно, а третье уравнение примет вид:

¿<р=дЛ?/С (16)

где С=12с^/7)3, а дифференциальный оператор Ь-- записывается в виде: Ь = С{£31Ьх+£321у+£331,х). После рада алгебраических преобразований уравнение (16) приводится к виду

¿<р = (У»+4с4У^)<р = 9а4/Д (17)

■£п Аг' 'и; ' 0 '

'а. *22 * 23 иУ = 0

¿31 и, Яа2/С_

где

гд2-

аэ?.

"" дц3)' '' {я2 -ае,2 ал2

В дальнейшем в диссертационной работе рассматривается пологая оболочка на прямоугольном плане, опертая по двум противоположным краям на гибкие диафрагмы, которые обеспечивают следующие граничные условия: приу=0 01=0) и у=Ь (т!=1) имеем {/Х=Д,=0, Л^=Му =0.

Решение дифференциального уравнения (17) принято в виде одинарно-горда: . .

" ^^¿^зйшял. 08)

Применение метода Канторовича-Власова приводит дифференциальное уравнение: (17) в частных производных-к системе независимых обыкновенных дифференциальных уравнений для функций Л"т(£):

2

<ё

г

2 "~Ут

j +4с4

2 в

(19)

где уи =Ллт; ди =21—зт/ялцсЛ}.

Дифференциальное уравнение(19)имеет две группы комплексно сопряженных корней:

»■1.4=±с(ат±гри), г^=±с(рт+1Чт\ ■ (20)

Это позволяет построить алгоритм решения для пологой оболочки аналогично алгоритму, использованному при расчете прямоугольных пластинок.

Общее решение однородного дифференциального уравнения получим в виде: * ' '.

(21)

где Фт,(4) (¿=1,2,3,4) - гиперболо-тригонометрические функции, аналогично применяемые в решении прямоугольных пластинок, а ФтД§) (¿=5,6,7,8)-аналогичные функции, получаемые заменой ат,Рт соответственно на Рт'Ят-

Вводим вектор констант интегрирования Аи = {А^ } и вектор функцию Фм(^)= I = 1, 2, 3,..., а также матрицу дифференцирования

Вт=Вт(ам,Ри,р„,д„) (8x8)

Гв«я Р о в,

в«=

(22)

где Вв<1, В^ - подматрицы (4x4), определяемые в соответствии с формулой

(6) с компонентами а„, /?„ и рт, цт соответственно; 0 - нулевая подматрица (4x4).

-0.001

-0.002

-0.003

\ у

' 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Эпюра Л& в сечении г\=0,5

250

200

150

100

О 0.1 0.2 0.3 0.4 05 0.6 0.7 0.8 0.9 1

50

£ = 3.5-107-^, v = 0.15, м

аг = бм, Ь = Ли, й = 0.1м, Я, = 30м, Я2 = 20 м,;

кН

М = 24 кН, Р = 16—, м

„ „кН м

Число приближении N - 3. Эпюра Л'х в сечении т|=0,5

\ \

У |/ \ \

А ■ _ \

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I

Рис. 10. Эпюры состояний пологой оболочки в сечении у- —

Вводятся также вектор функция решения и его производных до 7-й включительно £ = 0,1,2,—,7 и матрица 0(£) (8x8), строки ко-

торой определяются умножением вектор функции Ф(Е,) на степени матрицы

В* *«<и2,-,7. '

Далее алгоритм решения строится с применением метода начальных параметров аналогично алгоритму разработанному для прямоугольных пластин по формулам (8-12). Основным отличием является повышение порядка векторов-функций и матриц вдвое. Константы интегрирования определяются из условий опнрання пологой оболочки на поперечных краях пластинки, четыре их которых (обычно нулевые) определяются из граничных условий на левой опоре, а остальные из граничных условий на правой опоре.

В пятой главе приводятся примеры расчета и анализ напряженно-деформированного состояния пологих оболочек на прямоугольном плане с опиранием продольных сторон на гибкие диафрагмы, на основе программ, реализующих,.описанный алгоритм. Вариант программы, написанной в системе МаЛСАЕ), приведен в приложении.

На рис.10 приведены графики прогиба £/, , тангенциального нормального усилия Nx и изгибающего момента М х для прямоугольной оболочки с размерами в плане бмх4м ( характер нагрузки соответствует рисунку).

" основные результаты и выводы

1. Разработаны алгоритмы решения пластан и пологих оболочек на прямоугольном плаке с применением матричных форм решения в форме метода начальных параметров.

2. Показано, что эта форма решения позволяет получать точное решение в продольном направлении для произвольных условий опирания поперечных краев .пластинки и различных вариантов изменения нагрузки в продольном направлении (полосовой поперечной и моментной нагрузки, распределенной по ограниченной площади нагрузки) для каждого члена разложения решения в поперечном направлении. При этом общая точность решения определяется точностью разложения решения в поперечном направлении.

3. Проведены"многочисленные расчеты пластинок с различными условиями опирания Сторон и различными соотношениями параметров пластинки и видами нагрузки.

4. Проведен анализ влияния на напряженно-деформированное состояние прямоугольных пластан отношения сторон для равномерно распределенной нагрузки и для полосовой в среднем поперечном сечении нагрузки.

5. Исследовано влияние на напряженно-деформированное состояние пластин замены полосовой нагрузки в среднем сечении эквивалентной распределенной по ограниченной площади нагрузки.

6. Построены графики изменения прогибов и изгибающих моментов от подвижной полосовой нагрузки, перемещающейся в продольном направле

нии. Проведен анализ влияния подвижной нагрузки на основные компоненты напряженно-деформированного состояния.

7. Проведен анализ влияния на напряженно-деформированное состояние прямоугольных пластан упругого основания Винклеровского типа с различным отношением коэффициента податливости упругого основания к изгибной жесткости пластинки. Варьировались варианты опирания пластин и отношение сторон пластинки. •

8. Проведены расчеты напряженно-деформированного состояния пологих оболочек на прямоугольном плане с опиранием продольных сторон на гибкие диафрагмы и различным опиранием поперечных сторон на варианты нагрузок. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях:

1. Рухул Амин. Расчет пластинки на локальную нагрузку с использованием матричных форм// Тезисы докладов XXXII научной конференции по направлению «Технические науки»,- М.: Изд-во РУДН, 1996.-С.75.

2. Рухул Амин. Расчет пологой оболочки с применением матричных форм// Проблемы теории и" практики в инженерных исследованиях: Труды XXXIII Научной конференции РУДН.- М.: Изд-во РУДН,1997. -С.121.

3. Иванов В.Н., Рухул Амин. Алгоритм расчета пологих оболочек на прямоугольном плане с двумя противоположными краями, опертыми на гибкой диафрагме с использованием матричных форм// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов, Вып.8,-М.: Изд-во АСВ, 1999.-С.22-30.

Рухул Амин (Бангладеш)

расчет пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане с применением матричных форм решения

Работа посвящена разработке расчета тонких упругих пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане с применением матричных форм решения. Эта конструкции являются наиболее распространенным элементом в строительстве и машиностроении и других областях техники.

Для решения задач по определению напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластин применяется метод Канторовича-Власова с учетом того, что пластинка находится под действием поперечной силовой и моментной нагрузок, распределенных вдоль линии. Линии распределения этих нагрузок должны располагаться параллельно одной из пар краев пластинки. Пластинка может быть загружена также распределенной по части поверхности нагрузкой, причем граница нагрузки должна быть параллельна тем же краям пластинки. Алгоритм расчета записан в матричной форме. Стороны пластинки могут иметь различные, но однородные по каждому краю, условия опирзрия. -

Метод матричного представления решения в сочетании с методом начальных параметров позволил для пологой оболочки, опертой на гибкие диафрагмы на двух противоположных (продольных) краях и с произвольным однородным опиранием на других краях, точно удовлетворять граничными условиями, и при разложении нагрузки в ряд Фурье в поперечном направлении получить точное решение в продольном направлении для каждого члена ряда, при достаточно разнообразном характере нагрузки.

Ruhul Amin (Bangladesh)

THE STRESS-STRAIN ANALYSIS OF PLATES AND SHALLOW SHELLS ON THE RECTANGULAR PLAN WITH THE APPLICATION OF THE MATRIX FORMS OF SOLUTION

The work is dedicated to the development of the analysis of the thin elastic plates and shallow shells on the rectangular plan with the application of matrix form of solution/These structures are widespread elements in the civil engineering, in the machine-tools and other technical field.

The method of Kantorovich-Vlasov is applied for the solution of the problems in order to define the stress-strain state of the rectangular plates. The plate is under action of the surface distributed loads and the distributed loads along lines in lateral direction of the plate so as distributed moment loads. The boundary of loads must be parallel one of the couple of. edges of the plate. The plate may also be loaded by the uniform surface load but the boundary of toads must be parallel the same edges of the plate. The algorithm of the analysis of the plates is written in a matrix form solution. The sides of plates may have different supporting, but the conditions of supporting are uniform for every edges.

The method of the matrix representation of the solution in the combination with the method of initial parameters has allowed for a shallow shell, supporting on flexible diaphragm on two opposite (longitudinal) edges and with the unspecified uniform supporting on the other edges, accurately satisfies the boundary condition, and according to the disintegration (decomposition) of loads in the series of Fourier in cross direction we can get the accurate solution in the longitudinal direction for every member of series, according to sufficient various character of loads.

9.07.99г. : Обит 1л. л. Тир. 100 Зак. 559 ———■—;—;-р—-:-;-----;----

Тип. ЕУДН, Орджоникидзе, 3

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

РУХУЛ АМИН

УДК 624.074.4+624.073

РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ МАТРИЧНЫХ ФОРМ РЕШЕНИЯ

05.23.17- строительная механика

Диссертация гца соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент Иванов В.Н.

Москва 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ................................................ 5

ВВЕДЕНИЕ........................................................................... 6

Глава 1. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТНОК И ПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ.............. 11

1.1. Краткий исторический обзор развития теории пластинок...... 11

1.2. Краткий исторический обзор развития теории пологих оболочек ........................................................................... 20

Глава 2. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

ПЛАСТИНОК........................................................... 25

2.1. Матричная форма решения задач изгиба прямоугольных пластинок методом Канторовича-Власова.............................. 25

2.2. Расчет прямоугольной пластинки с произвольным опиранием продольных сторон применением динамических балочных функций.................................................................... 39

2.3. Матричная форма решения задачи изгиба пластинки с двумя противоположными шарнирно опертыми краями методом Леви........................................................................ 44

2.4. Матричная форма решения задачи изгиба пластинок на упругом основании с двумя противоположными шарнирно опертыми краями.............................................................. 46

Глава 3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

ПЛАСТИН И АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТИН И НАГРУЗОК НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН......... 48

3.1. Анализ влияния отношения сторон пластинки на ее напряженно-деформированное состояние.................................. 50

3.2. Сравнение напряженно-деформированное состояние пластинки при действии полосовой и эквивалентной распределенной нагрузок......................................................... 68

3.3. Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластин от подвижной полосовой нагрузки ... 80

3.4. Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок на упругом основании............... 94

Глава 4. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА

ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ..................................... 102

4.1. Общие сведения.......................................................... 102

4.2. Матричная форма решения задачи пологой оболочки на прямоугольном плане, опертой по двум противоположным краям

на гибкие диафрагмы.................................................... 110

Глава 5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ И АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ........................................................... 122

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ................................................... 137

ЛИТЕРАТУРА...................................................................... 139

Приложение 1. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

ПЛАСТИНКИ........................................................... 149

1.1. Программа расчета прямоугольной пластинки методом Канторовича-Власова ........................................................ 150

1.2. Программа расчета прямоугольной пластинки с двумя противоположными шарнирно опертыми краями методом Леви .... 157

1.3. Программа расчета прямоугольной пластинки с двумя противоположными шарнирно опертыми краями на упругом основании ........................................................................ 163

1.4. Вариант программы расчета прямоугольной пластинки методом Канторовича-Власова при наличии свободного края...... 169

Приложение 2. СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

ПЛАСТИНКИ МЕТОДОМ КАНТОРОВИЧА-ВЛАСОВА И ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ........... 177

Приложение 3. ПРОГРАММЫ И НЕКОТОРЫЕ ГРАФИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НДС

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ............................. 180

Приложение 4. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ПОЛОГОЙ

ОБОЛОЧКИ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ.............. 278

4.1. Случай, когда распределенная по площади нагрузка приложена на всю ширину поверхности оболочки....................... 279

4.2. Случай, когда распределенная по площади нагрузка приложена симметрично на часть ширины поверхности оболочки ... 283

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

х, У, г КЯиЯ2

к - 1

л

Мх,Му,Н

я.

0Х,ву

Х,У,2

их,иу,и

Хд:' Х_у '%ху

с =

ЕН

1-у'

£> = ■

Я/г

12(1-V2)

прямоугольные координаты;

толщина, главные радиусы кривизны срединной

поверхности оболочки;

главные кривизны оболочки;

нормальные и сдвигающая силы в оболочке, отнесенные к единице длины координатных линий; то же, изгибающие и крутящий моменты;

то же, поперечные силы;

составляющие поверхностной нагрузки в направлении подвижных осей х, у, х, отнесенные к единице площади срединной поверхности; перемещения точек срединной поверхности оболочки по направлению осей х, у, г; относительные линейные и угловая деформации срединной поверхности;

изменение кривизны изгиба и кривизны кручения

срединной поверхности;

модуль упругости и коэффициент Пуассона;

цилиндрические жесткости оболочки на растяжение (Н/м) и изгиб (Н-м).

ВВЕДЕНИЕ

Пластинки и пологие оболочки нашли широкое применение в различных областях современной техники и народного хозяйства. Они являются распространенным элементом конструкций в строительстве, машиностроении, авиации и других ^областях. Это объясняется как их несущей способностью и надежностью, так и экономическими преимуществами по сравнению со стержневыми и массивными конструкциями. В балочно-стоечных конструкциях, состоящих из несущего каркаса и ограждения, большая часть материала расходуется на элементы ограждения, которые, воспринимая внешние нагрузки, передают их вместе с собственным весом на несущий каркас. Тонкостенные конструкции в форме пологих оболочек, запроектированные с учетом их пространственной работы, легче, чем другие конструкции и поэтому теория их механического расчета приобретает особо важное практическое значение. Из элементов пространственных конструкций пологие оболочки обладают большей несущей способностью и жесткостью чем пластинки. Однако в ряде случаев по технологическим или иным причинам их применение становится невозможным и в этом случае пластинки являются именно теми конструкциями, которые с успехом могут быть применены (междуэтажные перекрытия, дорожное железобетонное полотно, аэродромные плиты и. т. д.).

Пластины, толщина которых не превышает 1/5 наименьшего размера основания, относятся к тонким. Их расчеты ведут на основе теории изгиба, базирующейся на гипотезах Кирхгоффа (классическая теория). При решении различных задач? изгиба тонких упругих плит, подчиняющихся гипотезам прямой нормали, обычно используют уравнения Софи Жермена и Лагранжа для разрешающей функции прогибов.

Пологие оболочки весьма ценны для покрытий зданий производственных предприятий с болынегабаритным технологическим оборудованием, а также для спортивных комплексов, крытых рынков, выставочных павильонов, вокзалов, цирков и зданий иного назначения. В практике не все разновидности оболочек освоены в равной степени, однако пологие оболочки на прямоугольном плане наиболее изучены и более широко применяются в строительстве. Наибольшее распространение получили однопролетные одноволновые пространственные покрытия.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Во введении формулируется цель научных исследований, показываются актуальность, целю диссертации, научная новизна работы и практическая ценность работы.

Первая глава посвящена краткому историческому обзору развития теории прямоугольных пластин и теории пологих оболочек на прямоугольном плане и обоснованию направления научных исследований диссертации.

Во второй главе рассматривается алгоритм расчета прямоугольных пластин методом Канторовича-Власова с использованием матричных форм решения разрешающего дифференциального уравнения.

В третьей главе приводятся многочисленные примеры расчетов прямоугольных пластин и анализ напряженно-деформированного состояния.

В четвертой главе рассматривается алгоритм расчета пологих оболочек на прямоугольном плане, заданных в декартовой системе координат.

В пятой главе приводятся примеры расчета и анализ напряженно-деформированного состояния пологих оболочек на прямоугольном плане.

В приложении приведены программы расчета пластин и пологих оболочек и результаты расчетов, не вошедшие в основную часть диссертации.

Актуальность темы. В проблеме расчета тонких упругих пластин и пологих оболочек в настоящее время достигнуты большие успехи как в области математической теории, так и в области технической теории, которая основываясь на гипотезах Кирхгоффа-Лява и принятых дополнительных рабочих ги-

потезах, обоснованных экспериментальными данными, занимается построением упрощенных расчетных уравнений и методами их решения, удобными для проведения инженерных расчетов. По рассматриваемой тематике имеются множество публикаций и в них становится уже трудно ориентироваться. Однако эта тема не перестает быть актуальной, так как прямоугольные плиты и пологие оболочки с различными условиями закрепления опорного контура являются важнейшими элементами строительных конструкций.

Современный уровень развития строительного дела предъявляет все более высокие требования к тонким пространственным конструкциям, работающим не только на восприятие распределенной по всей поверхности нагрузки. Строительные конструкции могут быть нагружены нагрузкой, распределенной на части поверхности или силовой или моментной нагрузкой, распределенной вдоль линии. Расчет на такие нагрузки обычно проводят с разложением в ряды, с удержанием большего числа членов ряды, либо численными методами.

Таким образом, существует необходимость в разработке новых методов расчета тонких пространственных конструкций, позволяющих более полно учитывать действительные условия ее работы. Новые аналитические методы расчета строительных конструкций имеют полное право на сосуществование с такими широко распространенными численными методами как метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод граничных элементов и др.

В свете изложенного можно заключить, что разработка новых аналитических методов расчета и исследование поведения прямоугольных пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане, представляют собой весьма актуальную задачу и имеют как теоретический, так и практический интерес.

Целью диссертации является разработка аналитического метода расчеты прямоугольных пластин и пологих оболочек методом перемещений с привлечением матричного аппарата решения поставленных задач. Целью диссертационной работы является также исследование поведения тонкостенных конструкций в виде плоских прямоугольных пластинок и пологих оболочек на

прямоугольном плане под действием распределенной силовой и моментной нагрузок, а также исследование поведения этих конструкций при их частичном нагружении распределенной поверхностной нагрузкой.

Научная новизна работы. На основе метода Канторовича-Власова для прямоугольных упругих тонких пластинок получены соответствующие обыкновенные разрешающие дифференциальные уравнения и дана методика их решения с привлечением метода начальных параметров и аппарата матричного исчисления. При этом выбор граничных условий не лимитируется. Дана также матричная форма решения задачи изгиба пластинки с двумя противоположными шарнирно опертыми краями методом Леви.

Аналогический алгоритм разработан и для пологих оболочек с двумя противоположными сторонами, опертыми на гибкие диафрагмы.

Разработан комплекс программ для ЭВМ, реализующий расчетные алгоритмы.

Проведен качественный и численный анализ напряженно-деформированного состояния тонких прямоугольных пластин для различных видов опирания пластин, отношения сторон и видов нагружения, в том числе на подвижную полосовую нагрузку. Проведены расчеты пологих оболочек на сложные виды нагружения.

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных формул, алгоритма расчета и вычислительной программы в практике реального проектирования конструкций в виде тонких плоских пластинок й пологих оболочек, выполненных из линейно упругого материала. Применение ЭВМ позволяет проводить вычисления непосредственно в матричной форме, задаваясь лишь одной исходной, приведенной в диссертации, матрицей и одной определенной вектором-функцией, не прибегая к явной записи других матриц.

Проведены многочисленные расчеты, которые проиллюстрированы графиками прогибов и внутренних усилий. Проведен анализ влияния параметров

пластинки и нагрузки на напряженно-деформированное состояние пластинки. Для пластинки с шарнирно опертыми противоположными краями, находящейся под действием распределенной полосовой поперечной и моментной нагрузок и нагрузки, равномерно распределенной на части поверхности пластинки, исследовано влияние точности решения при удержании одного, двух и более членов ряда. Рассмотрено решение задачи расчета пластинки на упругом основании.

Кроме тЬго, можно рассчитывать пологие оболочки на прямоугольном плане на сложные виды нагружения.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется корректностью исходных предпосылок теории тонких пластин и пологих оболочек, корректностью математических преобразовании, совпадением результатов тестовых расчетов с известными в литературе, качественным характером результатов проведенных расчетов. Ряд расчетов сравнивался с расчетами, проведенными вариационно-разностным методом.

Глава 1

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ

1.1. Краткий исторический обзор развития теории пластин на прямоугольном плане

Первые работы в этом направлении основывались на разработанной Я.И. Вернули теории изгиба балок и относились к области акустики. Л. Эйлером были получены уравнения свободных колебаний звучащего колокола, который он представлял в виде отдельных криволинейных пластинок. При этом Эйлер принимал во внимание деформации только в радиальном направлении, а в тангенциальном не учитывал.

Тонкие пластинки. В работе "Акустика", вышедшей в свет в 1787г., физик Е. Хладни [3] привел результаты опытов по определению звуковых колебаний пластинок. Стеклянные и металлические пластинки были посыпаны равномерным слоем чистого песка или порошком. После проведения экспериментов образовались области сгущения и разряжения порошка на поверхности пластинок, наглядно отражающие форму их колебаний под воздействием звуковых волн. Я.И. Вернули [4] впервые математически обосновал результаты экспериментов Е. Хладни [3] и получил дифференциальные уравнения колебаний пластинки. В дальнейшем уточнение этих уравнений было сделано С. Жермен, которая в 1808г. разработала математичесую теорию изгиба тонких пластин. В ее уравнениях содержатся члены, опущенные Я.И. Вернули, и введена упругая константа, равная четвертой степени толщины пластины. Позже Навье пришел к выводу о том, что показатель этой степени должен равняться трем, а Пуассон доказал, что он равен двум.

Законченную теорию изгиба пластинок дал Г. Кирхгофф [5]. Он учитывал практически возможные случаи загружения пластинки и различные граничные условия по ее краям. В дальнейшем Риц [6], Е. Матье, М.Т.Губер [7], Е. Райе-

снер [8], А.Е.Грин [9] продолжали изучать влияние граничных условий на уравнения теории изгиба пластинок, полученные Кирхгоффом.

Недостатки теории, связанные с невозможностью удовлетворения трех краевых условий, были учтены при разработке уточненных теорий пластин Рейсснером, Б.Ф. Власовым и др. Однако благодаря простоте уравнений основной теории и удовлетворительной точности, подтверждаемой экспериментами, эта теория наиболее широко используется в практических инженерных расчетах.

Ранние этапы теории расчета тонких пластинки характеризуются в работах [10,11].

На современном этапе большой популярностью пользуется вариационные методы расчета пластинок. Система полных и частных функционалов охватывает все возможные случаи постановки (формулировки) задач теории упругости. Взаимосвязь между ними определяется теорией преобразования вариационных проблем [12]. В методе Треффа подходящие функции точно удовлетворяю всем уравнениям в области, а функционал граничных условий привлекается для приближенного удовлетворения граничных условий. В методе Ритца подходящие функции точно удовлетворяют определенной части граничных условий. Оставшаяся же часть граничных условий и уравнения равновесия удовлетворяется приближенно с помощью минимизации функционала полной энергии деформации. В методе Галеркина фактически используется преобразованное вариационное уравнение с выделенными вариациями искомых величин. Поэтому для правильного конструирования уравнений Галеркина в случае некоторых дополнительных условий могу�