автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Применение и развитие метода частотно-динамической конденсации для решения задач о свободных колебаниях систем с большим числом степеней свободы

РГ6 од

Саратовская государственны* твхначвсстя университет

В» праяах рукяпхсн Макаров Александр Владимирович

ПРИМЕНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ИЕТСЯА. ЧАСТ<Ш>-ДИНЛ*!'Е<ЖОЯ КШДШСАІШИ Ш РЕЙЕНИЯ ЗАДАЧ о свободшх колебаниях СИСТЕМ С БОШ!й« ФСЯОН СТЕПЕНЕЙ СВ (БОДЫ

< 05.23.17 - отроительяестиахаяии* )

АВТОРЕФЕРАТ

диеспртацяи на соисхан» учваон степеня кандидата техническая наук .

Саратов 199Э

Нау^аЛ ^.^г«бода'.'й£ь; ЗаслугллшыЯ *•.»*• ваь иьуьх и ««.зигаа К», ростер тсюЕ^эсги наук, профессор Игнатьев В.Д.

С^цсоздсиэ огаюкенти:

д.т.н., профессор Осчашкимв И.Г. /Саратовский государстввшой т«*и.?«эсхг&

' ^лагрснтет/

к.г.и., доцент Бюгпна и.и.

/Сср<-Т00ския (ШСТСТуТ 1£вгШ£1£ии£2< СЗЗДСХЗДЧ) хозяйства £йа.Ка£цдащ|/

Ьс-,и'цья орга^цзвдкя - Волгоградский проектный институт

нВоягоградграаданпроект*‘ .*

Еьук?а состоятся " 23" кшя______________1993 г.‘ в 13.СО час. на

йасцдйшш специализироюиного Совета при Саратовской государств ной технической у шгеерситете по адросу: г .Саратов, Политехннчоо-кол 77, ауд. __________

С диссертаций и сии о ознакомиться в библиотеке института. Пресны Бае принять участие в зедите а направить Ваи отвив в двух Ёкзонояярах, заверенный початьс, в Учонип Совет кнетитута. Автореферат разослан " 20 " кпня 1993 г.'

Учацап секретарь специилкзкройаниого Совета

Е.т.ц. В.К. йнозенцев

з -

Обещая характеристика работа

Актуальность темы исследования определяется теы, что процесс ооздшпія современных конструкций и слогашх тохісгчаских систем, как црявило, требует применения различных методов дішашіческого анализе? {тзе дальнейшего совершенствования, разработки эффективных алгоритме® и програш, использующих постоянно возраставшие возконнос-ти современных ЭВМ.

^Цкя&мнческиЙ анализ конструкций вкллчает в себя преаде его исследования свободных н вынуздепннх стацаонарных колебаний отдельных элементов и конструкций. -

Современный уровень развития строительной механики и вычислительной техники обеспечивает прянциппальнуо возмояность данамичес-коро расчёта сооругеннй с учетом особенностей их пространстеонно-го деформирования на основа математических моделей, максимально прибги*енных к дьіствительной работе конструкций. '

Исследование динамика и устойчивости сложных структур предполагает наличие достаточно эффективного аппарата решения проблемы собствеїпшх значений (СЗ) и собственных векторов (СВ).

При решении проблемы СЗ и СВ выделяется полная проблема, когда необходимо определить все собственные значения и соответсгвув-щие км собственные векторы, и частичнув (неполную) проблему, когда предметом определения является сравнительно немногие (обычно с ар-пше) СЗ и соответствующие нм СВ. При выбора того пли иного ызтода решения проблемы обычно ориентируются на такие крат «и,как іадея-ность, простота выделительной схемы, приспособленность к серий- ' ному решении однотипных задач. При этом необходимо отметить, что при разработке и реализацші методов динамического расчёта конструкций проблемы математического характера, связанные с ограниченным объёмом памяти и быстродействием ЭВМ, остаются актуальными и на сегодняшний день.

высокий порядок матриц сёсткости и мг с исследуемых конструкций, обусловленный применением метода конечных элементов, особенно сказывается при динамическом расчёте сложных конструкций. Поэтому разработка способов значительного понижения размерности задач, в особенности проблемы собственных значений и собственных вечторов, является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является: ■

- дальнейшее развитие предложенного В.А.Игнатьевым метода последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК);

- разработка на его основе методики и эффективных алгоритмов реше-

НКЯ неполной проблеш СОбСТВЄШОІХ значения И СОбСТЕОНіаДС ССІСТО-

ров; . .

- создалио програш,!, р^алиаущих оти алгоритмы и ориентиров.мяшх на динамический расчёт систсы с болызш числом.степеней еьободы. Научная новизна. Разработаны и теоретически ос сноваіи различные варианты уотода последовательной чамогиа--динашческой конденсацж. 11а основе метода последовательной ЧДД разработана «отодака решош неполной цробясии СЗ дли симметричных матриц с использованием собствепзтес -векторов парциальных систем. Получил дальнейшее развитие оуорготичаский Бь*ліа;-іг ЧДІ. Разработана методика построения конденсированных «атриц гіістісостн и пасс конструкции, позволяющая существенно окоиокить одоративнуи память ЗЕМ и тем саіааі сократить расход машинного времени црп расчёте систем с болькш числом степеней свободи.'

Результаты работи реализованы в виде пакета програма дня ЭВД ЕС-ІОЗб (алгоритмической язык С0РІРАН), с испольсова леи которого выполнено ресоние ряда численных примеров,подтверждающих высокую ТОЧНОСТЬ, ЭКОНОМИЧНОСТЬ II ЕіірО!ШЄ В03<«'0КН0СУП при решии неполной проблемы собственных значений ДЛЯ СИСТОМ с болькиї числом степеней свободы. . ' . ' - .-

Практическая’ ценность. Разработанные в диссертации ыотодшщ к алгоритми, реализм таїпщо в вида пакета програнії для ЭВМ, і;огуг_<£лть использованы для регения при динамическом расчёте различию: конструкций на осново дискретных моделей. Анализ рооультатов расчётов подтверждает высокую эффективность предложенных методик. ' • '

Практическая, реализация. Теоретические результаты диссертационной работы включены в рабочую програіму по курсу строительной иеханики в раздел: "Пріб иженные методы оп-ределешш частот свободных колебаний". Разработанный комплекс прикладных программ используется аспирантами кафедры строительной механики, а такие в дипломном проектировании. Результаты диссертационной работы использованы цри выполнении госбвдд тиой І51Р по Ыеяву-оовской програгше "Строительство" в редела & 3/8-92 "Повызение зффективности строительных конструкций и соверсснствованке метода их расчёта". • .

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Межреспубликанской научно-технической конференции "Численные кзтоды решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности" (Волгоград, 1990), научно-технической конференции "Актуальные проблеш прикладной математики"^ (Саратов,1991), научно-техшческих конференциях Волгоградского

ииденерн-ст] итеяьного института (1990,1991,1992 г.г.).

П у б л н к а Ц I! и. Основное содерзлнив проведённых иссле-довштй опубликовало в четырёх наутпясс статьях. .

Объём работы. Диссортоцнотгая работа состоит из введения. четырёх глчп, осносных синодов и прилокешя. Общий объём работа 149 страниц каетнописного текста, п том число 7 страниц прилозшшл, содержит 27 рисунков, 21 таблиц и список литературы из 112 наимеиовагшй.

На защиту выносятся: '

1. Варианты истода последовательной частотно-динамической конденсации, ПОЗВОЛЯЕМО болео оффеКТЯЕНО ПО сравнению С ДРУПУИ! известным! методами росать нсполнуп проблем собственных значений и собственных векторов в задачах о свободных колебаниях упругих систем с большим числом степеней свобода:

- е форме метода :ил;

- в ферме метода перемещений;

- энергетический вариант.

2. Методика использования собстветшх векторов парциальных систем в методе последовательной часто’Гно-динашческой конденсации.

3. Методика построения конденсированных матриц жёсткости и касс при решении динамических задач в супэрэяементноЯ постановке.

4. Результаты решения проблеш собственных значения для тестоячх пртеров по предлагает!.! методикам я сразкешю их с результатами по другим метод л.

Содержите работы •

В п е р ч о й главе выполнен обзор существующих методов решешш задач о свободных колебаниях упругих -систем с боль-пин числом степеней свобода и связанной с этим классом задач алгебраической проблеш собственных значений и собственных векторов; обоснован выбор развиваемого в диссертации метода.

Диссертационная работа посвящена единственному предмету решение неполной алгебраической проблемы СЗ и СВ действительных симметричных матриц высокого порядка. Такие матрицы имспт только действительные собственные значения.

Для матриц невысокого порядка в настоящее время разраб^-аны достаточно эффективные методы решения неполной и полной проблем СЗ и СВ и реализующие их алгоритмы и программы (метод -Хаусхолдера, обобщенных итераций Якоби, метод одновременных итераций в подпространстве и другие).

Стремление значительно ппнили-ь порядок проблемы и практичес-

кая потребность определения только ограниченного числа ссбствзшшх еиачсний и соответствуютгх им собственных вектороа приведи л гяро-, кому развитию методов ресення нзпояной проблем СЗ к ^В. Наибольшее распространенно б последнее вреил получила методы ст&тачосиой и динамической конденсации, в осново воторих яоеи? яошшєіоіс порядка характеристической матрицы пут&і исклвчсиїмі всех второстепенных степеней свобода.

. Предлотш и в настоящее вреія успесио развявазтея метода ро-сеция проблем СЗ и СВ, использус^ш идею синтеза конструхц^ из подсистем, "'то направление бгрёг начало от рабог Хартії, в которых колебания подсистемы рассматривался как суіііа колебаний ее,кг.к сёсткого диска, а колебаний связей. Позге появились исследования, упрощающие метод Харги (работы Бремптона , Хинди), а теяае работи, продлагасщне иные спосо"ч. Так,Хау разработан способ свободных гра-ш:ц подсистем. Это направлешіе развивалось в работа:: Іолдмена, Крейга, Хинца. Метод учёта влияния соседних подсистем разработан Езнфилдом и развивался в работах Бореси, Оокумы. Метод, учишваю-ц,ий статический вклад отброшенных форм колебаний, предложен Иахс--Нилом и развивался Рубином, Крейгом.

В работах В.А.Игнатьева предложен метод частотно-динамической конденсации, основанный на идее последовав льного исключения вспомогательных степеней свободы парціальних систем на основе эквивалентности исходной н конденсированной парциальных систем по редуцированному спектру СЗ.

Выполненный анализ методов рсгеїшя неполной проблем СЗ и СВ для симметричных матриц позволял сделать выводы о том, что наибольший интерес представляют методы, сочетающие в себе высокую точность с экономичностью метода статической конденсации. В наибольшей дте-пош? этим требованиям удовлетворяет метод, предложенный В.А.Игнатьевым 'и развиваемый в диссертации.

Во второй главе рассмотрен алгоритм метода последовательной частотно-динамической конденсата (ЧДЮ с использованием собственных векторов подсистем для решения неполной алгебраической проблемы СЗ (задачи о свободных колебаниях), записанной в форме метода сил.

В соответствии с отим методом вся исходная характеристическая матрица рассматриваемой проблемы подразделяется на отдельное подсистему (супербжжи), С физической ТОЧКИ зрения птп означает. ЧТО все степени свободы системы подразделяются на несколько груш. Внутри каждой группы (подс"’темы) степени слободы подразделяются на основные - " I* " и второстепенные - " $ " .

Тогда в блочном виде характеристическое уравнение для произ-

ВОХЫаОЙ і -ОЙ ПОДСЯСТвїЛ З^ЙиОДЧЮТСЯ 'в, фзр *"?тода сил следуп-

гцал обрлсси:

0-

ЛЛм

Ьгг 2ц

о М*

- я

Ег О О Е*

Ш-0-

(І)

Здэсь - матраца податливостм, ГМ] - диагональная матраца ізасс, {У; - вектор узловых перенесений, Е - одиничная матраца. Из второго уравнения (І) получаем зависимость мегду основшші -Уґ " и второстепенными - " ул " неизвестными перемещений:

У,в-(^іМ,-Л£,ГХмг5'г • (2)

Тогда перзоэ уравнение систоїзі (і) после подстановки о него (2) полет быть представлено в вида

[ЯГГ(Я)]Ш =*{М Я • О)

Равенство (3) выполняется для каядого собственного значзгаїя Лк и соответствующего ему собствеїшого вектора {Ук} исходного уравнения- Записом гираясіте (3) для " г- " собственных чачений ГЛі и соответствующих км " ^ " компонентов собственных векторов

ІУгІ : . - '

^ [5рг]С!/г] = [і/г]ГЛІ.- . (4)

Здесь [Лгг] - аппроксіашрукг;ая матрица коіффнциентов характеристического уравнения, конденсироваїпюго•к основный степеням свобода; . ' - •

X

‘ диагональная матрица первых " Ґ- старших СЗ,

_ обіцее число которых равно числу основных степе-

Яг\| ней свободы;

Е.І/рІ''гСі/<,?к,- матрица основных кошонентов соотвотствуо-е?.пс СВ; {ьС} - к-й собственный вектор, вклотасщий только основные компоненты. .

Выражение дія ацпрокснмирутецой матрицу коэффициентов характеристического уравнения имеет вид ’

- ! • <5>

Рсгив проблем собственных значений для уравизкня

’ [Згг-Л £]{!/} =0 , (6)

получим "р " собственных значений вовденсіроваяной і -ой под-сястемы, полностьа совпадегт^гх с исходными "г " пзрвымя старена СЗ а патрица ГЛ і . На основе излоезнного алгоритма исследованы пять различных вариантов процесса кондеисаірої.

ГЛ]=

"Як

По первому Е к у » & н т у асе t бясясв второстепенных нежавестныз: в процессе конденсации приводЯ' тя к одному и точу же блоху ОСНОВНЫХ неизвестных. При БТОМ аПГфОКСИШфУЮ-б^я матрица коэффициентоь при ковденсацш i -го блока определяется выражением: .

[ 5(";**з=су Г| i ] гл i j [Уг,< ] , (7>

а общая аппроксимирующая матрица складывается из матриц добавок всех t блоков конденсации:

[ЗлЛ = • <8)

Решив проблему СЗ для конденсированной системы

iSrr -J>Erl{Zr} = 0 , (9)

получим /.Prj — Um^j и [гг]-^£!/к] . •

Компоненты СВ исходной .истемы, относящиеся к исключённым степеням свободы, могут быть получены с помощью следующего алгоритма обратного хода.

Выражение (2) запишем в виде:

Ш = [А*,.]{Уг} , (Ю)

где LAsrJ - матрица-преобразователь основных ^неизвестных во второстепенные. Тогда для i -й подсистемы можно ваписать следующее выражение: „

_ ;лй]=Гл5;’}[!/л,,] ап

Здесь - матрицас составленная •

из компонентов СВ, соответствующих второстепенным степеням свободы. .

Из (10) следует: - ' ,

■ 1аУ]=1ЧоУ1^лГ .‘(12)

Компоненты СВ, соответствующие исключенным степеням свободы, дня каздого блока ыо1ут быть получены кэ Еыра.т.ення

its, ii=[A$mri (is)

По второму варианту основныо неизвестные также разделяются на ряд блоков и к каждому из юпс конденсируется небольшое количество блоков второстепенных неизвестных. С фазтеес-кой точки зрения это означает, что вся система делится на t отдельных подсистем. В каждой из них выбираются основные и второстепенные неизвестные. Конденсация производится внутри каждой подсистемы. При отом аппроксимирующая матрица [•&“/] определяется выражекмямя (7), (6). На последнем этапе составляется общая шшрок

СЗШИГОЕтМ ШТПХШ всей ClOWini!

Здесь „ - порядок коидснсиррваигой састсш, опрздоляелщЭ иа выражения п, • Г х ; [Ьр^М£] - внсдлагокалышо блоки ког^1-

ЦИСНТОВ, КО ИС';ЗНЯЕЕ;Я0СЛ 3 ПрОЦСССЗ КОНДСНСаЦКИ.

Регпя уравнение (9), подула СЗ я СВ конденсирован )П снсто-ки. В этоы случае матряца-прообразовагодь неизвестных опродоляет-

СЯ СЫрЗ.".31С1С! ....

= , 1 (15)

где = ....

По трогьоиу варианту в ка.’здуп последуэ-цуэ пардаал^нуа с:;стс;(у внлвчазтся осяовшэ неизвестша прздчду-г.оЛ пар^альноП систсни. Кондснса^гя гэргого блока к основной узлам виг.олияетса В СООТЗОТСТБКН с (3), (4).

Дал с о пдёт -уволлченно порядка б. жа основных неизвестных ча СЧСТ ЗКЛСЧЗГГЛЯ в !ГЗго нових оспаашх степеней свободы. Блоки сс-ноЕтдс неизвоспшх ыатряц податллсоста и масс для- I -й парц::-алыгоЯ спстс!Л1 гид:

:«-о

.«?! =

Я

/У

&

<»-«

гр

РГ (0' ГГ

ГМ^ =

Е!

С И

СО

(Ю)

Та::і!м образс.ч, алгоритм позволяет учнтнвать весь "шлейф" обгодянгшаес, в одшыЗ блок основних і:е:ізг2ст:гих. Уравнение вида (I) для последней парциальной- система будет являться одновременно я окончатзлыиа ’уравнением гсонденсироганноЯ систем, роїпіз которое, получим г.сасдаэ СЗ п СВ. Ногаюигнта СВ, относятся к исіиіпчсіпяаі степеням свободи, нэгут быть получены использованием процедури обратного хода. '

По каздому из отих вариантов просчитан ряд тестовых задач на щкнгерз расчёта неведомой балілі, нгсуцаП регулярно расположению точечные пасси. .

Анализ результатов позволял дать рекомендации по количеству ' узлов кондснсац^и а г^внсимости от требуемой cr.crc.ci точности еу-чпел :ся и о? количества подлегали вычисления СЗ. Вияснено влияние» на т^-стость гшислеиия СЗ числа блоков второстелштых степз-наЯ свобода я отпоезння числа стеїкнзЯ в блоке в обг,еиу чзелу степеней свободи снстегаї.

В табгіцо I прнзедеїм результати пг.’чнслеігая пгргах четирзх старша собствеїяшх значений (соотготсгаук^пх порялі чотярёл няа-

- ІХ - .

сіш частотам) для балки с числом масс узлах конденсации.

/Ґ - *2

И пт>н четырех Таблица І

т

1

т

!

Г

!

С х е ы а

------г--------

Номер!

1 Ш І

-®-

-ф-

п

і

'і

"X

А

вариант Т

П вариант Т

Ш в?ргш;т

Д { <Рк І Д І Л І Л

9/0

I 0,13346 0,13345 0 0,13157 -1,4 0,13328 -0,1

2 0,00833 0,00634 0,1 0,00856 2,7 0,00837 0,5

3 0,00165 0,00162 -1,6 0,00170 3,0 0,00165 С

4 0,00052 0,00052 0 0,00061 17,0 0,00053 1,9

Четвёртый вариант ориентирован на случай ^."лойнгнкой катруїрі касс, которая обично используется при расчёте континуальних систеи. При этой варианте конденсация Но. кауром этапе производится к приведённым ыассаа пре,гудущего этапа. Матрьл приведённых тсс определяется выражением: • .

• смс;г'] = [5гГгГЧ2>ірппіо] . (17)

Па каждом этапе этого варианта конденсации коэффициенты матрицы ыасс, соответствующие основным неизвестны!.:, изменяются за счёт включения в себя матрицы добанок, учитывающей влияние ыасс . второстепенных степеней свободи. Включение матрицы приведённых касс в систему разревавщих уравнен/.:'; последующего этапа конденсации сдвигает спектр 03 подсистемы оснокс-х степеней свободы э сторону верхней части спектра СЗ исходной системы, Уравнение'-для 1 последней парциальной системы является окончательным уравнением для конденсированной системы, решети.; которого позволяет определить СЗ и СВ исходной системы.

По вариантам I и 4 просчитан ряд тестовых задач на примерз пластин с различными условиями ошіраннЗ по контуру. В таблице 2 приведены результаты вычисления собственных значений, соответствующих низеіш собственна-,! частотам для пластинки, защемлённой по трём сторонах!.

- її -

Таблица 2

І-------1

ІНоизр!

Т

І

Г

С х в ц а

!ЖЭ

І

2

3

4

0,1017

0,0753

0,0277

0,0206

0,0192

0,0097

Лс

варіант і ■|~ “ “І .і А$_<

л

0,167-1

0,0745

0.0269

0,0223

0,0182

0,0105

-3,8

-1,4

-2.8

8,2

-5,0

8,2

ІУ вариант

.»ДА

-4,0 -1,5 1,0 -4,4 -3,1 -1,0

0,1866

0,0742

0,0260

0,0197

0,0186

0,0096

П л ! и П вариант предусматривает коцденсациа от-дозышх блоков Бїоросї5П5шапс ненззостних, располокеншх сравнительно далеко о? блока основних нєиз'-ззстіппс, через посредстзо проіммуточтіх блоков. Система разрота»т;іх уравнений для кондснсл-ціш некоторого блока нєпзвостшх ішзет вид:

Здесь

0,15 5р,з

М„ Мір

Мґ5 ?■■?)>

Я

е£ о

= 0

(16)

0 Ер

[МГр] - іатрлца приведенных насс лрсігелуточного блока, [Мгії - матрица масс бло:са второстспошшх поизсзстних. Есдя коиденсацяя производится к промежуточному блоку, то матрица ГШСС определяется зыраэдпием

ГИРР] ЧЬ„ї\]1Р,і1ЇЛі}[%',іГ1 (19)

Если конденсация производятся к блоку второстепенных неизвестных, то чатрица масо определяется выражением:

[М«] ][.?<іУ (20)

ото? алгоритм соответствует так називаємся "скользящей" нондонса-Ц5іи. Окончательная матрица приведённых масс конденсированной системы получается на последней этапе при конденсации к блоку основ-1Й.ІХ неизвестных:

[М]=С^ГГ] - (21)

По пятому варианту просчитана задача на примере пластинки.На схело показана этапы конденсации з; проывзуточ-!пал гронам (1,Ш этапы), к блокам основных неизвестных (П.ІУ этапы) . н окоггчат'льно промегкуточные блоки сводятся к основнії» неизвестно (У этап).

Сравнение вычисленных СЗ с результата:"», получеїшігз по дру пт кзтодаы, показало эффективность катода посладовательной ЧДК.

.-■I

\

N

У этап

Т

I

!

I

Т

I

I

!

Т

Номер! ЫКЭ

J< і

1

2

!

0J~64 І 0.07561 0,0074

У вариант

Д »9

І'оТі&і?!

!

-4.2

-1.9

га)

І?

Ш

В третьей главо налога:! энергетический вариант v^ctotho-дки ьзтоаской конденсации. '

В основе ого легат слодукцио допущения: •

- равенство канатичзеких онзргий исходной и конденсировашге

систем; . ■

- равенство их парциальных собственных частот; •.

- равенство ксдаонентов собстггшшх векторов, относящиеся к основный степеням свободи.

Матрица ыасс конденскроЕйшюй сисгоад получается ка ьирзазп

МҐ=МГ(ЕҐ + Кп.) , ^ (22)

где [Kn,s3 - иаїрнца козійвдиїнтов конденсации блока старосте:; пік неизвестных u блоку основных іієлзеєстішх, опрздолйсная сира*

(23)

Наиболее просто матрица когффнці:еитов коцденсаідш uoso? Сіл получена-на основа иааденсацки только по старгзцу СЗ ( Лта-х ) саздоП из парциальных.систем, Болес точше результати получается осли используется зависимости (II), (12), т.е. верхняя часть спс тра СЗ и соответствуй? їх іш СВ. В отой случае матрица Еооффацлен тов конденсации приводится к следующему виду:

Ktli = [Лч,]ТГМ11[Л,г].ГУМг] . . (24)

Uaw ЕНДНО ЦЗ "»»бм«3у иСПСЛЬЗО£2^ПЇС rttt т»ттц«>wwyaai» і»«

построения иг рпци коэффициентов конденсации позіолкот суцгстьсі: 110 ПОЕІКІТЬ ТОЧНОСТЬ ВІПСІСЛЄ1Ш» СЗ енотері.

V

N

С я о - а '^Зср Г ш© Э оо л то* ' АЛ с и ело л СВ і

I 0,13346 0,13872 3,9 0,13351

Д|®|1ЬЧ01Д0|. 2 0,00833 0,00771 -7,4 0,00845

3 0,00165 0,00153 -7,2 0,00171

4 0,00052 0,00085 63,0 0,00056

*! А •%

оТоТ

1.4

3.6

7.7

В чотпоррой главо рассматривается примено-НИ9 метода последовательной частотно-дготлчесной конденсации для регэнкя задачи о свободных колебаниях, записанной в формо метода перемещений. При этой идея последовательной конденсации .спользу-ется применительно к изеостішм методам редуцирования, таким,как ьятоды ст&тячэской п дингиячесхой конденсации. Для этого узлы конденсации выбяраатся тагнм образом, чтобы оіш разделяли всп систему на отдельные подсистемы, то есть занимали бы все узлы на линиях границ. Матрица кёсткости исключаемых степеней свобод і в атом случае будет иметь блочно-диагональную структуру. Обращение такой матрицы выполняется поблочно в соответствии с выражением: •

[к«ґ=

[к2] -1 [к?,]"'

ІКЇЇЗ. СкйЗи'

- - *'Ю

(25)

Еиполнкв хонденсащю всех блоков второстепенных неизвест-ных,получим конденсированную матрицу жёсткости из выражения:

где К$ - матрица конденсации і -го второстепенного блока.

По сравнению с обычный методом статической конденсации предлагаемый вариант при практически той же степени точности результатов позволяет значительно снизить расход машинного времени. Да-гэ для систем со сравнительно небольгаш числом степеней свободы ( // «500) расход машинного времени уменьшается в 1,3-1,4 раза.

Несмотря на свою экономичность все варианты метода статической конденсации обладают одним общим существенным недостатком: иеучёт динамических сг'-йств второстепенных узлов приводит к 5 на та-тельн *1 погропности для большей частя вычисляемого спектра СЗ и СВ.

В предлагаемом способе последовательной динамической конденсации учитывается влилкио инерционных сил в исзшзчаешх степенях свободы путём вводоння з расчёт собственных форм {Ф*'} подсистем, вычисляемых при фиксированных границах подсистем.

- ІА ~

Посла рі^адеіемііЛ зсох второсуадйкчщі л*еа*иай ссободе на і-групп (иоя’^ісїш) і: ізс глкдаасшда: сог-учасл хондзнсированныг fкурицы кёсткости н uaсс еаедуьцего веда:

(2?)

Кгп , \И~ ЙГЯ Mg ••• м<г

л(2 «Є Е«

к = > м= Е* ...

'V? Л (*) , Міг р Ш 5 ,

(28)

г да Л5 - диагональная матрица собственных значений;

Whj = L^*rs — ^rs^is Mss 3[Ф43 .

Кок показали работы, учёт собственных форм подсистем, т.з. дннаиачоскюс свойств исключб.шх степеней свобода, существенна повисает точность вычисления СЗ н СВ. С увеличением числа удерживаемых собствешшх форы подсі:стек точность вычислений уводл’шса-

С'ГСЯ, ,

Для динамического расчёта слоаных конструкцій болое предпочтительный является суперэлеыенткый подход, сироко распространений в статических расчётах. .

В диссертации разработана цетодака ^порзлеыентной конданса-ции, основанная на иотодо синтеза подструктур и последовательной частотно-динамической конденсации.

Вся конструкция разделяется на подструктуры, конденсації которых выполняется последовательно. На кегдоы етапе конденсации группу из но скольких подструктур выбирается одна основная,, е границам которой приводятся шеек остальных второстепенных подструктур с помощью процедуры статической конденсации. Далее выполняется конденсация к выбранный основным степеням свободы по кетоду ЧД{ отдельно дяя каждой из подструктур, причём второстепешшо рассматривается с фиксированными границами, а основная с граница-ші, учитывавши влияние соседних второстепенных подструктур. Конденсація выполняется по следующей схеыо: '

кГ - ь1 к і Ьі

м? = Ьї Мі В-i

матрица-преобразователь неизвестных виуурп каядой подструктура:

где

(29)

гЛ

Dt

т^мшиїиіш^иошіпям нві^іпца*

Для учёта взаш:оахаимдй сываных аодСтруктур сыаидняётся к"Н-денсадая сноді... гонад ttiux блоков ыатрац жёсткости и ua.ee со следую цій схемо: '

Ki) = в! Kij &j

Mtj = ВТ Mij Bj

(SO)

Процесс пос-г-здоратсяы'оП конденсац’ш масс второ степентхх стс-г*г:*ой ггободн к 2u<$p*ma!M оскопсг* узлам пцутря гсаддоЯ подструктуру si обг^д'/иггаз н.г вагдом стр. Но ряда подструктур d едпнуо продол-глзтсл гчх пор, попа пел конструкция по будет собрана.

Ксиденсгроь&ншз уптртцч гёсткоста п масс яонструкцтз! состав-лг.ти»>л ifs Jjiokp* - кзтряц подструктур II коррсятаруптся на полден '?“"•} ЖЛОТе'ИЯ нога подструктур. .

Иг псс,7^,'./с-м отспэ реглотел пробдоиа СЗ дел конденсщгапшяюП

С£СТС!"1~ ,

В ТЬСТНОУ СЛуЧЗО ДЛЯ rtoitcrpjmcni, СОСТОГ'Д’Я Г!D двух ПОДСТРУк-?У-НСТС!?! |34.ЭрС2Г?1ГГ!!ПС урЗГ!!С5П!Й*

wv;

i/г

■ • 1 К,г J

</ 14 Г4 Кг I К гг

Юг | к*.

я

Ml М<Г*

_Мм _Им М_гг I ”

преобразуется к виду

Mir)

- о

(31)

Хя Ki

Hi

о

м; м«' м« м;.

Здесь индексы I, 2 относятся соответственно я внутрзшпм о(5ластяп подструктур I и 2 п к узжп.м rpainiuy нззду отп'п подструктурам.

Лиг таз poneir’ii, эяупгнних для тестогах пржорпв расчёта собстзенчых'фору я собственных значения (квадратов сг^ствсиних часто?) пластинок н еразненко числешпдс результатов с результата-irj, полученной для этих оадич по 1ШЭ, похаззхо сисояуэ оффоятпз-ность мтодак!!, супорэл'зкентноК частотно-дииаглчэсясй конденсатам кая по точности шгчпелонпл р зду циро г aj гн о го споятра СЗ п СВ, ?йз я по затратам наганного вренгга.

,'^яя наглядности ниго приведён пример расчёта на СЗ плаетшга (табл.4). ■

' Табяящ 4

] " сэ - вдГ У л

С х о м а

ip СЗ

ш

&

9/°

I 0,2105 0,210В 0,14

2 0,1760 0,1760 1,1

3 0,1295 0,1295 . 0.

4 0,0663 . 0,0831 -3,3

м.*

1 1 — ■11 !

— L-L-U I 1 i h~ У I, к

и/ *=99

а =10

основные вывода

1. Существу щи о методы решения частичной цробжемы собственных

вначенкй и собственных взкторов для ыатриц сисокнх порлдкоз, связанной с расчётом слохных конструкций, недостаточно пффсх-тнвни с точки аренда точности расультатов, расхода шешшого времени и простоты расчётов. .

2. В диссертация подучил дальнейшее развитие метод последовательной частотно-динамической конденсеции В.л.Игнатьева, основанный !>' идее последовательной блочной конденсации второстепенных степеней свободы» и разработана иетодики расчёта и.алгоритмы, ориентированные На расчёт слоеных систем, как в форма метода сил, так и в форме метода перемещений (МКЭ).

3. Анализ результатов, подученных с использованием идеи последовательной блочной конденсации второстепенных степеней свободы в методе статической конденсации, показал её эффективность в смысле значительного снижения вычислительных затрат и возможности решения цроблемы СВ и СЗ высокого порядка с использованием ЭВМ, имеющих сравнительно небольшой объём оперативной памяти.

4. К основным достоинствам предлагаемых вариантов метода последо-вательяой частотно-динамической конденсации и разработанных на их основе алгоритмов можно'отнести следующие:

а) решение неполной проблемы СЗ и СЗ для матриц высоких порядков заменяется решением проблзш СЗ и СВ для нескольких матриц меньшего порядка, что приводит к существенной экономии машинного времени; даже при решении 5адач относительно небольшого порядка (при // до 1000) закаты машинного времени уменьшаются в 1,5-2 раза;

б) использование парциальных СЗ и СВ при конденсации масс каждой из подсистем позволяет точнее аппроксимировать динамические свойства этих подсистем в конкре.ном диапазоне и в итоге получать более точные ^зультаты для СЗ и СВ всей системы.

5. Ьыполненные примеры расчёта позволили сделать сравнения предлагаемых вариантов частотно-динамической конденсации с имекци-мисл точными решениями и решениями, выполненными при помощи других известных методов решения неполной проблемы СЗ к СВ, Такие сравнения, подтвердили эфф^ктиЕ^ссть предлагаемых вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации и возможность достижения требуемой степени точности для вычис-

яяомо" часспоктра СЗ с сгиьггя затратиш времени по сраснз-

!П!!-} С друГІПСІ НЭТОДШЯ!.

0. Состаз.ченішо програідя!, ріапізус^з разработанные алгоритмі, могут бит*» рокомсцдосаны для прантнчэслого пспользовагсш в

■ расчётах гаїрокого класса конструкция ила киппени п имегяреся црогразвзшо кс:.шлекс!-п ‘

Основкоо содерзипго дисссртаїзя ояубляхозшю в сяадупц-пс работах: .

1. Ипатьев В.Л., Нксгроз Л.В. Рс^тпэ капоетоП алгебраической

гроблсуч собстзснтс: ст:ачС!п:Я по кгтоду послэдоватольной чэ.с-тотно-Д”і:"'"’-"2сг.о;! гс::.-с::еаї:::і / ПзяготталетсЯ пга.-строат. гш-т.-Полгсгрзд, 1ГЭ1. • £5о. - Доя.п ПЯГ.Ш1 18.02.91,

№ Є03-ЮІ.

2. Шисаров'Л.3. Гхг::::с:г“Э кстода тастстко-даїйггггсаой поцдонса-цзи д7Л ргпзшя садап д?гг;с:якя з форг:а гзтода взргмег,с!ш!1 // Интерполу ВсвсовзкоИ ко:’їс~зігцгп "Лктуазьшо цробгоізі ігриялад-поП ттегатіст*. - Саратов. Пзд-гэ Сватовского ун-та, 1991.-С.203-213.

3. Игнатьев В.Л., Макаров Л.В. Нэпй саряют гзгтода послэдозатель-

поЯ тастсгш-дкнгггтагсзоЯ ганд^псаг^т- о потиглгетоиттл синтозои собственных форм // Сб.наута.тр. / Под рэд. Л.П.Нпроиога.- Хабаровск, 1991. - С.51-63. .

4. Макаров.А.3., Шт.. ла И.Г. Рсгаїко испопюЯ алгебраической проблеми собстпр’пшх снатакЯ, осяпсапгсй о форггэ ■стода перо-со-сїП'.П / Волгоград пт.-строг?.т-т; - Волгоград, 1992.- '

- 19 с. - Дот. в ЕІЕїИ С1.03.С2, 707-Е92.