автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Приближенная трехмерная теория нетонких упругих оболочек и плит

Введение

1. Построение общей теории нетонких упругих оболочек и плит

1.1. Описание геометрии оболочки в специальной системе криволинейных координат

1.2. Некоторые сведения из теории полиномов Лежандра

1.3. Основные уравнения общей теории нетонких упругих оболочек

1.3.1. Уравнения равновесия Сдвижения)

1.3.2. Геометрические соотношения

1.3.3. Физические соотношения (обобщенный закон Гука)

1.3.4. Формулировка граничных условий

1.4. Основные уравнения общей теории нетонких упругих плит

1.5. Заключительные замечания

2. Приближенная трехмерная теория нетонких упругих оболочек и плит

2.1. Определение приближенной теории N -го порядка

2.2. Приближенная теория оболочек и плит Н -го порядка в ортогональных криволинейных координатах

2.2.1. Уравнения равновесия

2.2.2. Геометрические соотношения

2.2.3. Физические соотношения

2.2.4. Основные уравнения приближенной теории -го порядка для плит

2.2.5. Формулировка граничных условий приближенной теории N -го порядка

2.2.6. Потенциальная энергия деформации ободочки III

2.3. Применение вариационного принципа Рейсснера к построению приближенной теории N-го порядка . . ИЗ

2.4. Beкторно-матричная форма основных уравнений приближенной теории N-го порядка

2.5. Об удовлетворении граничных условий в приближенной теории Н-го порядка

2.6. Применение полиномов Лежандра общего вида к построению приближенной теории Н -го порядка нетонких упругих оболочек и плит

2.6.1. Некоторые сведения из теории полиномов Лежандра общего вида произвольного промежутка

2.6.2. Приближенная трехмерная теория ы-го порядка в декартовых координатах

2.6.3. Приближенная трехмерная теория Н-го порядка в цилиндрической системе координат

Интенсивно© развитие многих областей техники предопределяет широкое применение оболочечных конструкций. Для современного этапа характерной является тенденция использования конструкций типа пластин и оболочек в условиях возрастающего уровня интенсивности внешних воздействий - высокое и сверхвысокое давление, экстре -мальная температура и др. Эти обстоятельства вынуждают конструкторов все чаще обращаться к применению толстостенных конструкций. Можно привести множество примеров использования толстостенных плит и оболочек в машиностроении ( сосуды высокого давления, криогенная техника, двигателестроение и т.д. ), в химическом машиностроении, в транспортном и энергетическом строительстве и в ряд© других областей народного хозяйства. Расчетная схема в виде толстостенной цилиндрической оболочки применяется для расчета различных инженерных сооружений - сводов, кольцевых фундаментов, напорных труб, обделок туннелей и др.

Согласно общепринятой классификации оболочки подразделяются на тонкостенные и толстостенные в зависимости от значения параметра относительной толщины оболочки ^ » & , где в дальнейшем Кг - полутолщина оболочки, & - некоторый геометрический параметр, чаще всего, минимальное значение радиуса кривизны нормального сечения серединной поверхности оболочки. Хотя мезду двумя этими классами и не установлено четкого разделения, принято считать, что к тонким оболочкам следует относить оболочки при «X. ^ 0.025 . Эта оценка, как известно, является условной и определяется установленной величиной погрешности классической теории тонких оболочек, для которой принимается 1 ± > ^ 1 .

Вместе е тем, не определена и верхняя граница для толстостенных оболочек. Исходя из определения понятия ©белочки, будем считать, что максимально© значение ^ допустимо в пределах 0.2-0.4. Заметим, что часто вводится класс т.н. оболочек средней толщины, промежуточный между тонкостенными и толстостенными 0.025¿Л ^ 0.05. Не вдаваясь в подробности обсуждения данного вопроса, в соответствии с принятым здесь определением, будем пока относить эти оболочки к толстостенным.

В самом общем случае проблему расчета толстостенной оболочки следует формулировать как проблему решения той или иной краевой задачи пространственной теории упругости. Известно, что несмотря на имеющиеся фундаментальные результаты в разработке этой проблемы / I /, / 2 / , точные решения здесь получены для сравнительно узкого класса задач. Поэтому такой подход к расчету толстостенных оболочек, т.е. подход, ©снованный на построении строгого аналитического решения трехмерной краевой задачи, присущий постановке задач г математической теории упругости, представляется проблематичным, тем более в случав оболочек произвольной геометрии с переменной толщиной и анизотропными свойствами материала.

Применение численных методов типа МКЭ или МНР в этих случаях сопряжено с© значительными трудностями, определяемыми громоздкостью вычислительного аппарата, требующего непомерно больших трудозат -рат, даже при наличии современных мощных вычислительных средств.

Следует полагать, что более перспективным может оказаться подход, традиционный для строительной механики оболочек, а именно, подход, основанный на редукции трехмерной краевой задачи простран ственной теории упругости к некоторой последовательности двухмерных краевых задач теории оболочек.

Некоторые из результатов, имеющихся в литературе, а также ре -зультаты, полученные в данной работе, дают основание считать, что такой подход открывает возможность получения приближенных решений широкого класса задач толстостенных оболочек. Причем, если построен регулярный процесс этой редукции, то приближенные решения рассматриваемой задачи, вообще говоря, могут быть получены с любой нап@р.ед заданной точностью.

Таким образом, может быть определена актуальность данной работы, состоящая в построении приближенной трехмерной теории толстостен -ных оболочек, в общем случае анизотропных и переменной толщины, а также в разработке эффективных методов решения разрешающих уравнений данной теории для отдельных классов оболочек. Необходимость постановки и решения сформулированной задачи определяется целым рядом обстоятельств, основными из которых являются следующие.

В настоящее время отсутствует, как это видно из приводимого ниже обзора литературы, сколь-нибудь общий подход к решению задач расчета толстоотенных оболочек с произвольными геометрическими и жесткостными параметрами. В отличие от теории тонких оболочек, где эта проблема получила , повидимому , исчерпывающее решение, в теории толстостенных оболочек она остается открытой.

При построении общей теории толстостенных оболочек самым существенным образом приходится отказываться от многих упрощающих предположений, которые свойственны классической теории оболочек и различным вариантам уточненных теорий. Поэтому решения приближенной трехмерной теории толстостенных оболочек дают возможность, во-первых, оценить степень точности решений, получаемых в соответствии с той или иной уточненной теорией, а во-вторых, оценить степень достоверности тех гипотез, которые были заложены в основу построения данной уточненной теории.

Состояние проблемы. Обзор литературы, В отличие от теории тонких оболочек, литература по теории толстостенных оболочек представляется относительно скудной. Тем не менее, имеющийся в распоряжении материал, не претендующий, впрочем, на исчерпывающую полноту, позволяет наметить три основных направления, по которым происходило развитие теории и методов расчета толстостенных оболочек,

К первому из них можно отнести работы, в которых развиваются методы математической теории упругости решения краевых задач в трехмерной постановке. Наиболее ранние исследования здесь связаны с решениями задач осесимметричного напряженно-деформированного сос -тояния полой сферы и полого кругового цилиндра. Так например, в фундаментальной работе А.И.Лурье / 3/ стр. 416 содержится ссылка на работу Томсона ( 1883 г.), где было дано решение первой краевой задачи теории упругости для полой сферы и намечено решение второй краевой задачи. Для полого цилиндра в числе первых исследований, ^ повидимому, следует назвать работу Б.Г. Галеркина / 4/ ( 1932 г. ), где было дано решение задачи об упругом равновесии полого кругового цилиндра и части цилиндра.

В 1943 г. Г.С. Шапиро / 5 / обобщил задачу Бертона на полые цилиндры ; были приведены некоторые численные результаты исследования напряженно-деформированного состояния полого цилиндра, нагруженного равномерным давлением на участке внешней поверхности.

Задачи осесимметричного нагружения полой сферы и полог© цилиндра продолжали привлекать внимание исследователей и в последующие годы. Весьма обстоятельный обзор полученных при этом результатов содержится в работе В.Л.Абрамяна и А.Л. Александрова / 6 /. В работе / 7 / приводится подробный обзор результатов по расчету толстостенных цилиндров. Имея в виду, что анализ имеющихся реше -ний пространственных задач теории упругости выходит за рамки данной работы, ограничимся только кратким их описанием.

Пожалуй, наибольшее распространение здесь получил метод, который часто называют методом функций напряжений. Под функциями напряжений обычно понимают функции, через которые определяются все компоненты напряженно-деформированного состояния и которые удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, вытекающим из общих уравнений теории упругости.

Наиболее широко используемой формой построения общего решения задач теории упругости является форма, предложенная Лявом / 2 / . Ляв показал, что общее решение осесимметричной задачи может быть представлено через две функции и , удовлетворяющие уравнениям : где V2- - оператор Лапласа.

В дальнейшем Лявом же было установлено, что общее решений этой задачи может быть представлено через одну бигармоническую функцию I. ( функцию Лява зависимости от характера нагружения можно воспользоваться обширным набором бигармонических функций, являющихся частными решениями бигармонического уравнения.

По Б.Г. Галеркину / 4 / общее решение осесимметричной задачи может быть представлено через две функции напряжений и у2 , удовлетворяющих дифференциальным уравнениям ( в цилиндрической системе координат ) :

Общее решение задачи теории упругости в форме П.Ф. Папковича-Нейбера может быть представлено через три функции ц>0 , ^ и , являющихся решениями уравнений :

IV2-^К» 0, У^о = * О • (3)

Впоследствии П.Ф. Папковичем было показано, что общее решение осесимметричной задачи теории упругости может быть выражено через две гармонические функции и .

Помимо приведенных форм построения общих решений осесимметрич-ных задач теории упругости в литературе известны решения Вебера, Г.Р. Гродского, К.В. Соляник-Красса, Мичела, Ю.Н. Васильева и др.

Только в отдельных частных случаях функции напряжений могут быть приняты в относительно простой форме С задача Ляме, кручение). В большинстве же случаев в силу необходимости удовлетворения граничных условий приходится обращаться к заданию функций напряжений в виде бесконечных разложений. Применительно к задачам расчета полых круговых цилиндров наибольшее распространение получили решения в бесселевых функциях / 3 /,/ 7 / Коэффициенты этих разложений определяются бесконечной системой линейных алгебраических уравнений С определяемых выполнением граничных условий ), которая при надлежащем выборе исходных решений может стать регулярной или вполне регулярной. Исходя из этого,на выбор функций напряжений накладываются определенные условия. Поэтому для тех или иных задач в зависимости от условий нагружения и закрепления краев приходится прибегать к построению соответствующих функций напряжений / 8 /. В работе /9 / рассматривалась осесимметричная задача для полого цилиндра конечной длины, нагруженного на торце нагрузкой ступенчатого вида. Функция Лява в этом случае задавалась в виде разложений по функциям Бесселя первого и второго рода нулевого и первого порядка. Аналогичные функции напряжений применялись и в другой работе этих авторов / 10 / . Другие виды функций напряжений, использованные для ряда осесимметричных задач теории упругости для полого цилиндра можно найти в работах / II /-/ 16 /.

Еще более сложной является задача выбора функций напряжений в случае неосесимметричной деформации. В работе / 17 / при решении задачи о неосесимметричном нагружении цилиндра конечной длины было использовано решение в виде функции напряжений Доугала, представляющей разложение по функциям Бесселя и Макдональда мнимого аргумента. При этом предполагалось, что нагружение цилиндра осуществляется нормальным давлением по лицевым поверхностям оболочки.

Для более общего вида поверхностных и торцевых нагружений Б.Г. Галеркиным / 4 / были предложены весьма громоздкие функции напряжений, выражаемые через функции Бесселя первого рода, функции Ханкеля и тригонометрические разложения по осевой и окружной координатам.

Учет анизотропных свойств материала накладывает дополнительные необходимые требования на выбор функций напряжений и тем самым значительно осложняет построение решения задачи. Поэтому здесь решены только отдельные частные задачи для трансверсально-изотропного и ортотропного полого цилиндра / 18 / - 3 22 / и др.

Своеобразной модификацией метода функций напряжений явился метод однородных решений / I /,/ 2 / , суть которого состоит в том, что функции напряжений общего решения задачи теории упругости строятся в виде системы решений, удовлетворяющих на лицевых поверхностях однородным граничным условиям. Неопределенные коэффициенты, входящие в функцию напряжений, находятся из граничных условий на ч торцевых сечениях оболочки. Применительно к задачам расчета полого кругового цилиндра данная методика была использована в работах В.К. Прокопова / 23 / - / 25 /, Л.М. Балабанова / 26 / и др. ; для сферических толстостенных оболочек она применялась в работах А.И. Лурье / I / . Отдельные вопросы, касающиеся использования этого метода при анализе напряженно-деформированного состояния данных конструкций, до настоящего времени являются предметом исследования в математической теории упругости / 27 / - / 29 / и др.

Метод однородных решений, так же как и общий метод функций напряжений, строго говоря, дает приближенное решение, поскольку удовлетворение граничных условий здесь производится приближенно, с точностью до удерживаемого числа членов в введенных разложениях. Другая особенность применения этих методов к задачам расчета толстостенных оболочек состоит в тех непреодолимых трудностях, которые связаны с выбором функции напряжений в общем случае оболочек с произвольной геометрией и анизотропными свойствами материала.

Еще один подход к расчету толстостенных оболочек с позиций трехмерной теории упругости связан с применением метода начальных функций, разработанного в трудах А.И. Лурье / I / и В.З. Власова / 31 / . Применительно к расчету полых цилиндров первые результаты этого направления были получены в работах /30 / и / 32 / . Дальнейшее развитие этого метода для расчета толстостенных цилиндрических оболочек содержится в работах А.Н. Волкова / 33/- / 34 /.

Как известно, общее решение задачи теории упругости может быть записано в следующем виде / 30 / : а = 1а„ < « 5 где и - вектор основных неизвестных функций

Для осесимметричной задачи толстостенного цилиндра компонентами этого вектора являются / 32 / осевые и радиальные перемещения , нормальные и касательные напряжения ; и - операторная матрица, элементами которой являются дифференциальные операторы бесконечно высокого порядка ; ¥ - вектор начальных функций.

Обычно одна часть начальных функций бывает известна, а другую следует определять из граничных условий. Например, в случае осесимметричной задачи в С 4 ) две начальные функции являются известными, а для определения двух других следует решить систему из .двух обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно высокого порядка. Поэтому для получения практических решений необходимо прибегать к усечению разложений ( неизвестных функций в ряды Маклорена по радиальной координате ). Т.е. строго говоря, строится приближенное решение, точность которого определяется числом удерживаемых в разложениях членов. В работе / 33 / при удержании 9 членов получалась разрешающая система уравнений 20-го порядка. Для решения этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений следует задать граничные условия на торцах цилиндра, число которых определяется порядкам разрешающей системы уравнений. При этом граничные условия на торцах приходится ставить дискретно. В рассматриваемом примере принималось пять концентрических окружностей, на каждой из которых задавалось по два граничных условия. Для решения полученной двухточечной краевой задачи в работе применялся численный метод ортогональной прогонки.

Для оболочек с произвольной формой серединной поверхности > и оболочек переменной толщины использование метода начальных функций, как и метода функций напряжений, сопряжено со значительными трудностями. Во всяком случае, в литературе неизвестны примеры применения этого метода к такого рода задачам.

Отметим еще некоторые другие подходы к решению краевых задач трехмерной теории упругости применительно к расчету толстостен -ных оболочек / 35 / - / / .

В работах / 35 /- / 37 / ив последующих исследованиях этого направления система уравнений пространственной задачи теории упругости приводится к системе уравнений, разрешенных относительно первых производных по радиальной координате. Введением тригонометрических разложений по продольной и окружной координатам данная система уравнений сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевые задачи формулируются как двухточечные с граничными условиями, заданными на лицевых поверхностях цилиндрической оболочки. Задача решается численно с использованием метода ортогональной прогонки С дискретной ортогонализации ) .

К числу достоинств данного подхода следует отнести возмож -ность получения точных решений трехмерной теории упругости для некоторого класса задач, а также возможность учета анизотропных свойств материала и даже неоднородности их по толщине. Этот ме -тод оказывается эффективным для расчета трехслойных оболочек и, в принципе, может быть обобщен на расчет многослойных оболочек.

Недостатком данного метода является представление искомых решений в виде тригонометрических разложений, в силу чего на торцевых сечениях оболочки в точном виде могут быть удовлетворены только лишь граничные условия частного вида. В более поздних работах / 38 / , / 39 / предпринята попытка построения решения предложенным методом для торцевых граничных условий более широ -кого класса. В работе / 39 / разработанный метод расчета распространен на конические оболочки, однако, обобщение его на оболочки с произвольной геометрией серединной поверхности и с произвольно заданным законом изменения толщины представляется проблематичным.

Оригинальная идея представления компонентов напряженно-де -формированного состояния оболочки в виде разностной аппроксимации по толщине и дальнейшей редукции двухмерных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по про -дольной координате содержится в работах / 43 / , / 44 / . При этом материал оболочки может быть анизотропным и обладать неоднородностью как по толщине, так в вдоль меридиана. Очевидно, что при таком подходе граничные условия на торцевых поверхностях могут быть удовлетворены только дискретно.

Представляется, что этот способ более других подходит к идее численных методов решения задач трехмерной теории упругости , основанных на использовании дискретизации в виде конечных разностей или конечных элементов. Поскольку рассмотрение вопросов применения численных методов к задачам расчета толстостенных оболочек ( имеются в виду методы МКЭ и МКР ) выходит за рамки данной работы и требует отдельного обсуждения, приведем лишь некоторые общие замечания.

Из имеющихся в настоящее время численных методов анализа напряженно-деформированного состояния толстостенных конструкций наибольшее распространение получил метод конечных элементов /45/, / 46 / - / 49 / и др. Этот метод считается универсальным и область его применимости, в общем случае, не ограничена ни сложностью геометрии конструкции, ни свойствами материала. Однако при практическом применении этого метода к расчету толстостенных конструкций произвольной геометрии приходится сталкиваться со многими проблемами, связанными с разработкой целого комплекса подпрограмм, реализующих автоматическое разбиение области на конечные элементы, формирование и решение систем алгебраических уравнений очень высокого порядка и т.д. Все это требует мощнейших современных вычислительных средств и очень больших затрат машинного времени. Это, как показывает практика, является существенным фактором, поскольку из-за сбоев машины иногда получить решение не представляется возможным. Помимо этого следует отметить еще то обстоятельство, что хотя данный метод и считается точным, при решении тех или иных конкретных задач могут здесь возникать весьма большие погрешности, ставящие под сомнение достоверность получаемых результатов. Так в работе / 47 / приведен пример расчета сосуда высокого давления, где погрешность удовлетворения статическим граничным условиям составляет 12.5 - 50.5 %. Более детальный анализ работ данного направления содержится в монографии / 50 / .

Третье направление в проблеме расчета толстостенных конструкций будем связывать с традиционным подходом, основанным на редукции трехмерной краевой задачи теории упругости к некоторой последовательности двухмерных краевых задач теории пластин и оболочек. Обзор известных способов такой редукции содержится в работах / 51 /, / 52 /. Рассмотрим эту проблему подробнее.

Пусть операторно-матричное уравнение

- С 5 ) описывает полную систему уравнений трехмерной теории упругости. Здесь Д - операторная матрица ; X - вектор неизвестных С напряжения, деформации, перемещения ) - вектор свободных членов ; {р^ ,01а,0(5} - некоторая криволинейная система координат , каким-либо образом связанная с телом оболочки.

Система уравнений С 5 ) должна удовлетворять на лицевых поверхностях оболочки и на ее боковой поверхности (г некоторым граничным условиям, которые в общем случае можно записать в следующем виде

Б* X » У4 ; ^е ( б )

С х * V е 0 С 7 ) где в4 и С - некоторые операторные матрицы, определяемые видом граничных условий ; У* и V* - векторы, определяемые соответственно компонентами внешних силовых воздействий и кинематическими граничными условиями С условиями закрепления ).

Теперь в самой общей постановке рассматриваемую проблему редукции краевой задачи (5) - (7) можно трактовать как проблему построения регулярного процесса замены ее некоторой последовательностью граничных задач вида

Ак(«*|,с10 - ЛсЦ.сНа) С 8 )

Ск X «V ( 9 ) так, чтобы решение краевой задачи (8) - (9) тождественно удовлетворяло граничным условиям (6) и было бы в определенном смысле близким к решению исходной краевой задачи.

Повидимому, такая формулировка проблемы является наиболее общей. Вместе с тем, такая общность, очевидно, способствует тому, что решение этой задачи допускает множество различных подходов. Данное обстоятельство не раз отмечалось в литературе, и в частности, в работах / 51 /, / 52 / , где предпринимались попытки классифицировать существующие методики получения уравнений теории оболочек из общих уравнений пространственной теории упругости.

Прошедшее время подтвердило справедливость предпосылок, заложенных в основу этой классификации и добавило некоторые новые аспекты, связанные с широким использованием численных и численно-аналитических методов и внедрением ЭВМ в практику инженерных расчетов.

Придерживаясь основных тенденций этих работ, проведем анализ наиболее характерных исследований в области построения теорий и разработки методов расчета толстостенных оболочек. Здесь следует подчеркнуть то обстоятельство, что в литературе довольно часто приводятся соображения по поводу применения для расчета оболочек средней толщины и толстостенных т.н. уточненных теорий типа Тимошенко - Рейсснера, основанных на менее ограничительных гипотезах / 53 / , нежели в классической теории оболочек. Это в известной мере является справедливым, однако, не следует забывать, что погрешность, вносимая в теорию оболочек, определяется не только характером исходных гипотез ( учет поперечного сдвига, учет поперечного обжатия ), но и отбрасыванием в выражениях компонентов метрического тензора величин порядка К/ Я по сравнению с единицей, что для толстостенных конструкций является неприемлемым. Следовательно одно только введение уточненных гипотез не может безоговорочно гарантировать возможность использования соответствующей уточненной теории к задачам расчета толсто -стенных оболочек.

Первые попытки построения уточненных теорий принадлежат, по-видимому, Краусу (1929г.) и Треффцу (1935г.) /54 /. В 1944г. В.З. Власов / 55 / сформулировал теорию оболочек, которая явилась обобщением классической теории, построенной на гипотезах Кирхгоффа - Лява. Следует отметить, что в этой работе впервые в обращение были введены некоторые положения, которые впоследствии были использованы и в других исследованиях. В*3. Власов исходил из гипотезы, представляющей собой обобщение гипотез Кирхгоффа -Лява, полагая, что перемещения могут быть представлены линейным законом по толщине оболочки. При этом была введена функция иг* , представляющая собой относительное удлинение нормального элемента, постоянное по толщине. Одновременно была введена обобщенная статическая величина Н* , соответствующая удлинению нормаль -ного элемента и определяемая формулой ( в обозначениях работы 55/: . * л ^ 5/2

А& ^Лг ' 1гц На »-5/2 ) ( 10 ) где А и 6> - коэффициенты первой квадратичной формы серединной поверхности оболочки ; 5 - толщина оболочки ; Ру - нормальная компонента объемных сил ; Уц»\/ЛИ + , К2 = 1 /£>И* и К^ - главные кривизны.

Интересно отметить, что в соответствии с принятой гипотезой ' в теории выплывала новая обобщенная ( статически эквивалентная нулю ) поперечная сила Ы* , названная позже в работах И.Н. Ве-куа / 56 /, / 57 / "расщепляющей силой Разрешающая система уравнений была сведена к четырем уравнениям десятого порядка . Соответственно на краях оболочки задавалось по пяти граничных условий. Таким образом, эта теория, являясь одной из первых уточненных теорий, по современной терминологии, осуществляла учет попе -речного обжатия. Практическое применение результаты работы / 55 / нашли в исследованиях В.Г. Рекача / 58 / при расчете толстостенных сферических оболочек.

Позднее в работах Е.Рейсснера / 59 / был предложен вариант уточненной теории оболочек с использованием сдвиговой модели /60/, дополненной позже учетом поперечного обжатия в работе / 61 /. Подробный анализ работ этого направления, а также сводка основных результатов исследования напряженно-деформированного состояния оболочек на базе уточненных моделей содержится в работе /62/.

Здесь же следует указать на большую группу исследований, связанных с применением асимптотического метода к проблеме пос -троения уточненных прикладных теорий оболочек. Прежде всего сюда нужно отнести основополагающие работы A.A. Гольденвейзера / 63 /, / 64 / и др., а также работы H.A. Базаренко, И.Н. Воровича / 65 /, / 67 / и других исследователей. В этих работах были получены фундаментальные результаты в области установления закономерностей формирования внутреннего напряженно-деформированного состояния оболочек, и в частности, было установлено на краю оболочки существование решений пограничного слоя, определяемого рассмотрением задачи в трехмерной постановке.

Не останавливаясь подробно на анализе этих работ, укажем , что применение асимптотического метода предполагает введение в рассмотрение некоторого малого параметра С параметра тонкостен-ности ), что в случае нетонкой оболочки, вообще говоря, не имеет места. Кроме того , применение асимптотического метода основывается на некоторых дополнительных предпосылках ( большая изменяемость напряженного состояния, расчленение на безмоментное состояние и невырожденные краевые эффекты ), которые для толстостенных оболочек могут оказаться неприемлемыми.

Подробный анализ возможности применения уточненных теорий к расчету толстостенных оболочек содержится в работе / 14 /. Здесь на примере расчета* цилиндрической оболочки, нагруженной полосовой нагрузкой, было установлено, что существующие уточненные теории типа Тимошенко и Рейсснера - Нагди дают достаточно хорошие результаты только при небольших значениях параметра Д ^ 0,05. При больших значениях этого параметра напряженно-деформированное состояние оболочки может довольно существенно отличаться от точного не только количественно, но и качественно. Наиболее важный вывод, вытекающий отсюда, состоит в том, что для описания напряженно-деформированного состояния толстостенных оболочек необходимо использовать теории более высокого порядка, поскольку существующие уточненные теории не обеспечивают требуемой точности результатов.

В связи с этим возникает проблема построения прикладной теории толстостенных оболочек, которая бы обеспечивала получение решений с требуемой для практического применения точностью для достаточно широкого класса задач.

Применительно к толстостенным цилиндрическим оболочкам эта задача нашла отражение в ряде исследований, опубликованных в 60 - 80-ых годах. В работах В.Л. Бидермана / 68 /, / 69 / и С.В. Бояршинова / 70 / - / 72 / было осуществлено построение прикладных теорий- расчета толстостенных цилиндрических оболочек. Рассматривались осесимметричные задачи нагружения полых цилиндров конечной длины. В работах / 68 /, / 69 / задавались функции напряжений, а в работе / 70 / - функция радиального перемещения . Соответственно для вывода разрешающих уравнений были использованы вариационный принцип Кастильяно и метод Ритца. Эти методики широко использовались в практике машиностроительных расчетов , однако, к сожалению, область их применимости ограничивается только случаем нормального воздействия опеделенного вида и только осесимметричной деформацией .

Еще один вариант теории толстых цилиндрических оболочек был предложен в работах / 73 /, / 74 / . В работе / 73 / эта теория была применена для исследования динамического поведения цилиндрической оболочки. Хотя данная теория и была сформулирована как теория толстых оболочек, здесь , по сути дела, был осуществлен лишь учет поперечного сдвига и поперечного обжатия в первом приближении, что дает основание рассматривать ее как некоторую модификацию теории типа Рейсснера - Нагди.

Осесимметричная деформация толстостенной цилиндрической оболочки рассматривалась в работе / 75 /. Задача решалась с помощью представления напряжений в виде отрезков степенных рядов, тождественно удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям на лицевых поверхностях. Разрешающая система уравнений для введенных усилий и моментов, а также дополнительных самоуравновешанных полимоментов выводилась с помощью вариационного принципа Рейсснера. При этом для совместности граничных условий в выражениях для перемещений удерживались члены до третьего порядка, а в выражениях для нормальных перемещений - до второго порядка. Полученные решения сравнивались с результатами работы / 14 / . Очевидным недостатком предлагаемого авторами метода является ограниченность области его применимости случаем осесимметричной деформации круговых цилиндрических оболочек, изотропных и постоянной толщины. Попытки распространения этого метода на другие классы задач наталкивается на значительные трудности.

Иной способ построения теории толстостенных цилиндрических оболочек представлен в работах Солера, Феллерса и Хатчинса / 76 /, / 77 /, / 78 / и др. В этих работах использовалась идея представления решений в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра, при менявшаяся раннее в работах Й.Н.Векуа, В.В. Понятовского и других исследователей / 79 / - / 82 / .

В работах / 77 / , / 78 / описана методика построения решений симметрично нагруженных толстостенных круговых цилиндрических оболочек из изотропного и трансверсально-изотропного материала. Все искомые напряжения и перемещения представляются в виде сходящихся рядов по полиномам Лежандра. Причем поперечные касательные и нормальные напряжения U*i,2.s) выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия на лицевых поверхностях :

00 rv 00 tt» - L0 Тс, Palf) - 2. s: Qjp) с IX ) где PivífO - полиномы Лежандра ; Qa(P)= RtCtf'- Ра+2(Р) Q 0 при а 2

Для принимаются соотношения

-г а г» tv pi П,+ 2. л о \

Чг. = - Ses ^ а и U**,2,3) - заданные функции нагрузки на лицевых поверхностях оболочки.

Для вывода разрешающих уравнений используется вариационный принцип Рейсснера. Далее описывается принцип формулировки приближенной теории третьего порядка, которая для случая симметрично нагруженной оболочки приводит к системе 16 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения полученной системы уравнений используется численный метод интегрирования по шагам. Сопоставление решений по предлагаемой теории с результатами точного решения / 14 / показывает, что данная теория может применяться вплоть до b/R. = 0.5 .

Представляется , что вышеописанные работы имеют большое значение с точки зрения демонстрации возможностей использования метода разложений по полиномам Лежандра. Вместе с тем, они содержат ряд существенных недостатков. Прежде всего следует отметить, что совершенно необоснованным при построении общей теории явля-« ется введение таких ограничений на искомые решения, как ( II ). К тому же это приводит к необходимости использования довольно неопределенной схемы усечения рядов, требующей более строгого обоснования. Однако, наиболее существенные трудности связаны с тем, что формированию разрешающей системы уравнений предшествует численное интегрирование выражений, входящих в вариационное уравнение Рейсснера, что исключает возможность получения общих аналитических выражений для элементов матрицы коэффициентов этих уравнений. Таким образом, предлагаемый в этих работах метод может рассматриваться как сугубо численный метод.

Раннее в трудах И.Н, Векуа / 56/, / 83 / применялся другой подход к использованию метода разложений в ряды по полиномам Лежандра, открывающий возможности получения аналитических решений системы разрешающих уравнений теории. Дальнейшее развитие этот подход нашел в фундаментальной работе / 57 /. Правда, методика , используемая в этих работах является справедливой только для тонких оболочек при условии выполнения сильного неравенства

И & << 1 с 12) однако, она открывает путь получения аналитических выражений для решения широкого класса задач расчета оболочек, включая оболочки переменной толщины и анизотропные / 84 / . Построение решений соответствующих краевых задач этой теории можно осущест влять либо аналитически / 84 / - / 86 / , либо численно, либо сочетанием аналитических и численных методов.

В дальнейшем в работах / 87 / - / 89 / и др. была предпринята попытка обобщения методики И.Н. Векуа на оболочки, подчиняю -щиеся менее ограничительным условиям , нежели ( 12 ) . Вместо допущения ( 12 ) принималось, что метрический тензор оболочки определяется через метрику серединной поверхности CU¿ приближенным линейным законом

Ям - ac¡ - 2 €>Ci Xa С13) где Clq и í>v,j - коэффициенты первой и второй квадратичных 4 форм ; X - координата, отсчитываемая по нормали к серединной поверхности оболочки. Хотя в этих работах оговаривается, что полученные уравнения применимы и к толстостенным оболочкам, вопрос о погрешности, возникающей вследствие отбрасывания в точном выражении для членов с (X3)2, не исследуется и остается открытым. Такой же подход применяется , по сути дела, и в работах ' И.Ю. Хомы / 84 /, / 85 / .

В числе многих других исследований , в которых рассматривались те или иные аспекты проблемы определения напряженнно-деформированного состояния в толстостенных конструкциях , следует упомянуть работы / 92 / - / 98 / .

В работах / 90/, / 91 / и др. был предложен способ применения метода прямых к расчету осесимметрично нагруженных изотропных толстостенных цилиндров.

Здесь же следует отметить работу / 97 / , в которой подводится своеобразный итог циклу работ, посвященных развитию и применению v численно-аналитического метода для расчета толстых пластин, основанного на использовании способа полиномов Лежандра.

Некоторые задачи температурного нагружения толстостенных цилиндров представлены в работах / 99 / - / 102 /,

Несколько неожиданным представляется пробудившийся буквально в последние годы интерес к исследованию вопросов устойчивости толстостенных оболочек. В работах / ЮЗ / - / 106 / рассматривались вопросы потери устойчивости толстостенных круговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии и гидростатическом давлении. Исследование устойчивости толстостенных сферических оболочек представлено в работах / 107 /, / 108 / .

Динамическим задачам расчета толстостенных оболочек посвящено сравнительно небольшое число исследований, в которых решены некоторые частные вопросы, в основном, для полого кругового цилиндра и полой сферы. В монографии П.М. Огибалова / III / приводится решение задачи о собственных радиальных колебаниях полого цилиндра, работающего в условиях плоской деформации. В работах / 73 / , / 74 /, / 112 / рассматривались задачи о собственных и вынужденных колебаниях толстостенной круговой цилиндрической оболочки. В работах / 113 /- / 116 / рассматривались задачи об импульсных нагружениях и исследовались волновые процессы в толстостенных цилиндрах при плоской деформации. В работах / 117 /, / 118 / изучалась динамика толстостенного цилиндра конечной длины при действии нагрузки общего вида. Следует отметить, что в этих работах для численного решения задачи использовался метод ортогональной прогонки.

Численное решение задачи о распространении волн напряжений в цилиндрической оболочке конечной длины, основанное на разностной аппроксимации, приведено в работе / 119 /. Задачи распрог странения волн в бесконечных полых цилиндрах рассматривались в работах / 120 / - / 125 / и др. К этим работам примыкают некоторые исследования по двух и трехслойным оболочкам, где заполнитель принимается в виде толстостенного полого цилиндра / 126 /-/ 130 / и др. Задачи динамики толстостенной сферы рассматривались в работах / 131 / - / 133 / и др. Исследование продольного удара по полому конусу приведено в работе / 134 / .

Ссылки на некоторые другие публикации, не получившие отражения в данном кратком обзоре литературы , будут приведены в тексте работы в связи с обсуждением отдельных конкретных вопросов.

В заключение можно сформулировать некоторые основные выводы, вытекающие из приведенного обзора.

Во-первых, следует констатировать насущную потребность в разработке общей теории толстостенных конструкций типа оболочек и плит, достаточно строгую в плане формулировки математической модели и , по возможности, независимую от произвольных допущений.

Во-вторых, проведенный анализ убеждает, что наиболее эффективным средством построения такой теории является способ, основанный на использовании разложений в ряды по полиномам Лежандра.

Полиномы Лежандра представляют, как известно, полную и орто-нормированную систему линейно независимых на отрезке ^ ^ -1 функций, обладающую целым рядом полезных свойств, которые можно эффективно использовать при осуществлении редукции трехмерных краевых задач пространственной теории упругости к двухмерным краевым задачам теории оболочек С плит ).

И наконец, анализ современного состояния рассматриваемой проблемы позволяет сформулировать основную цель исследования и наметить круг вопросов, решение которых способствует ее достижению.

Цель и задачи исследования.

Основная цель работы состоит в построении общей теории нетонких упругих оболочек и плит и разработке методов расчета для отдельных классов задач этой теории. Реализация сформулированной задачи требует решения ряда вопросов, из которых основными являются следующие :

- построение регулярного процесса редукции трехмерных уравнений пространственной теории упругости к бесконечной последовательности двухмерных уравнений теории оболочек и плит на базе развития метода представления решений в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра ;

- построение разрешающих систем уравнений для отдельных классов нетонких упругих оболочек, в общем случае анизотропных и переменной толщины ; формулировка соответствующих краевых задач ;

- разработка алгоритма и программы численного расчета нетонких упругих оболочек вращения на базе сформулированной приближенной трехмерной теории ;

- установление достоверности результатов, получаемых по разработанной приближенной теории, путем сравнения их с имеющимися точными решениями задач пространственной теории упругости, а также с решениями уточненных прикладных теорий оболочек и пластин ; исследование практической сходимости решений путем проведения численного эксперимента ;

- решение некоторых задач статического и динамического расчета нетонких упругих оболочек и плит с целью иллюстрации возможностей предлагаемой теории.

Научная новизна. В работе развивается новое научное направление, связанное с разработкой общей теории нетонких упругих оболочек и плит и методов численного расчета их.

Впервые построена теория оболочек, не содержащая каких-либо произвольных допущений, за исключением предположения о возможности представления решения в виде разложений по толщине в ряды по полиномам Лежандра.

Построены двухмерные основные уравнения общей теории нетонких упругих анизотропных оболочек и плит переменной толщины в тензорной форме ( для случая , когда серединная поверхность оболочки отнесена к произвольной криволинейной системе координат ), представляющие корректную аппроксимацию соответствующих трехмерных уравнений пространственной теории упругости. Получены две основные формы представления этих уравнений, когда на лицевых поверхностях оболочки заданы либо статические, либо кинематические граничные условия, и установлено свойство двойственности этих форм.

С помощью вариационного принципа Рейсснера сформулирована постановка основных краевых задач приближенной трехмерной теории N -го порядка нетонких упругих оболочек и плит.

Впервые для построения теории оболочек и плит использованы полиномы Лежандра общего вида произвольного промежутка.

Сформулирована постановка контактных задач сопряжения оболочек и на примерах решения конкретных задач показана эффективность предлагаемого подхода. На базе разработанной приближенной теории N -го порядка предложены основные принципы построения уточнен -ных теорий двух и трехслойных оболочек и оболочек ступенчато-пе -ременной толщины.

В рамках многомодовой аппроксимации предложены методы решения динамических задач нетонких упругих оболочек и плит.

Достоверность основных научных результатов подтверждается совпадением основных уравнений разработанной приближенной теории

М -го порядка, получаемых с помощью проекционного метода Бубнова-Галеркина и вариационного принципа Рейсснера ; корректной математической постановкой краевых задач ; сходимостью получаемых приближенных решений к известным точным решениям задач теории упругости ; возможностью осуществления предельного перехода от предлагаемой теории к известным прикладным теориям оболочек и пластин , в том числе и к классической, и сопоставимостью результатов расчета.

Практическая значимость результатов работы заключается в разработке и реализации на ЭВМ эффективного метода расчета толстостенных конструкций типа оболочек и плит. Разработанные алгоритм и программа могут быть использованы для определения напряженно-деформированного состояния в статических и динамических расчетах, возникающих в практике проектных и конструкторских организаций.

Отдельные научные разработки, оформленные в виде рекомендаций по расчету толстостенных оболочек и плит, приняты для использования в ряде проектных институтов г. Ташкента.

Программа расчета толстостенных оболочек вращения сдана в ведомственный фонд алгоритмов и программ МАП АН УзССР.

Результаты проведенных научных исследований были использованы при выполнении б госбюджетных и хоздоговорных НИР на кафедре СМиОС ТашПй им. А.Р. Беруни в 1983-1989 г.г.

Отдельные результаты исследований нашли отражение в курсах по дисциплинам и Теория упругости" и " Строительная механика", читаемых автором на факультете ПГС ТашПй им. А.Р. Беруни.

Связь с планом научных работ« Работа выполнялась в соответствии с тематическимии планами научно-исследовательских работ Ташкентского ордена Дружбы народов политехнического института им. А.Р. Беруни на 1981 - 1985 и 1986 - 1990 г.г. , а также комплексной программой МНО Узбекской ССР на 1986 - 1990 г.г. На защиту выносятся следующие основные результаты :

- построение системы основных уравнений общей трехмерной теории нетон|сих упругих оболочек и плит, анизотропных и переменной толщины ;

- построение приближенной трехмерной теории ь! -го порядка нетонких упругих оболочек и плит в системе криволинейных ортогональных координат, нормально связанной с серединной поверхностью оболочки ;

- формулировка основных краевых задач приближенной трехмерной теории N -го порядка ;

- применение полиномов Лежандра общего вида произвольного промежутка к построению приближенной трехмерной теории N -го порядка нетонких упругих оболочек и плит ;

- разработка алгоритма и программы численного расчета на ЭВМ толстостенных оболочек вращения ;

- разработка метода решения контактных задач толстостенных оболочек и пластин и основных принципов расчета двух и трехслойных конструкций и оболочек ступенчато-переменной толщины ; формулировка многоточечных краевых задач и разработка алгоритма их решения ;

- анализ отдельных аспектов проблемы применимости принципа Сен - Венана в теории толстостенных оболочек при решении статических и динамических задач ;

- методы и результаты решения некоторых динамических задач приближенной трехмерной теории N -го порядка нетонких упру -гих оболочек и плит .

Апробация работы . Основные результаты данной работы докладывались на кафедре " Строительная механика " ЛИСИ ( 1981 г. ), на профессорско-преподавательской коференции МИСИ им. Куйбышева ( 1983г.), на всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" ( Москва , 1983г.), на II региональном семинаре-совещании "Эффективные пространственные конструкции в практике проектирования и строительства республик Средней Азии и Казахстана " ( 1983 г. ), на IX Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности С Саратов, 1985г.), на Всесоюзной научно-технической конференции " Механика и технология изделий из металлических и металлокерамических композиционных материалов ( Волгоград, 1989г.) , на республиканской конференции " Механика сплошных сред " ( Ташкент, 1989г.) и на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава ТашПИ им. Беруни в 1981 - 1989г.г,

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на общегородском семинаре по строительной механике под руководством проф. А.П. Филина в ЛКИ ( Ленинград ) и на научном семинаре в ЦНИИСК им. Кучеренко в 1987 г.

Публикации. Основное содержание работы отражено в 16 публикациях, помещенных в центральной и республиканской печати-"Строительная механика и расчет сооружени"; сборники научных трудов ТашПИ и НПО "Кибернетика" АН УзССР.

Отдельные результаты, полученные в процессе выполнения данной работы, отражены в б зарегистрированных во ВНИТИЦентре научно-технических отчетах ( № госрегистрации 79014505, 30034963 , 01826009415, 018204082863, 01822044789, 01860089119 ).

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 198 наименований. Работа изложена на 336 страницах машинописного текста, содержит 38 рисунков и 19 таблиц.

Основные результаты проведенных исследований можно определить следующим образом :

- установление достоверности решений, получаемых по разработанной приближенной трехмерной теории N -го порядка ;

- установление работоспособности разработанного алгоритма и программы численного расчета оболочек вращения.

Попутно были получены некоторые результаты относительно оценки погрешности и , следовательно, области применимости приближенной теории третьего порядка. Исследования показали , что при сопоставительной трудоемкости проведения вычислений , погрешность решений приближенной теории третьего порядка оказывается существенно ниже погрешности решений по теории второго порядка.

Было показано, что по отношению к существующим уточненным теориям оболочек разработанная приближенная трехмерная теория обладает качественно новым классом решений - решениями типа пограничного слоя Сен - Венана.

Было установлено, что погрешность решений приближенной теории , определяемая в сопоставлении с существующими точными решениями задач теории упругости, зависит от величины параметра > и степени однородности искомого напряженно-деформированного состояния . В общем случае вплоть до ^ = 0,2-0.25 теория третьего порядка дает достаточно точные для практического использования результаты ; при однородных состояниях эта теория может использоваться и при ^ = 0.3-0.4 .

На примере теории третьего порядка был апробирован способ построения корректирующего решения, предназначенного для сня -тия невязок приближенного решения на лицевых поверхностях оболочки.

Исследования проводились с помощью программы численного расчета, составленной на языке АЛГОЛ БЭСМ-6 . Вычисления подтвердили эффективность разработанного алгоритма расчета для рассмотренного класса задач.

4в НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ

ОБОЛОЧЕК И ПЛИТ данная глава посвящена исследованию некоторых задач, возникающих при реализации предложенной выше приближенной трехмерной теории расчета нетонких упругих оболочек и плит, причем, большее внимание уделяется скорее выявлению новых качественных эффектов, присущих трехмерной постановке задач, нежели количественным уточнениям решений, получаемым по известным прикладным теориям, хотя и последнее, само по себе, тоже имеет немаловажное значение .

В качестве объекта исследования, как правило, принимается круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины. Это объясняется целым рядом обстоятельств, и в том числе тем, что при сохранении всех основных свойств рассматриваемой теории численная реализация краевых задач для круговой цилиндрической оболочки оказывается наименее трудоемкой, ^омимо этого, в ряде случаев возникает возможность сопоставления полученных результатов с имеющимися решениями / /.

Из всего многообразия проблем, возникающих из трехмерной постановки задачи, здесь рассматриваются только некоторые, наиболее ярко, с. нашей точки зрения, демонстрирующие возможности использования предлагаемой теории. Это задача о концентрации напряжений при жестком сопряжении торцевого сечения с недефор-мируемой опорой и связанный с этим вопрос о реализации принципа Сен- Венана ; контактные задачи и динамические задачи, в частности, задачи на собственные значения.

Заметим, что задачи концентрации напряжений и контактные задачи традиционно лежат в сфере приложения интересов как математической и прикладной теории упругости, так и теории пластин и оболочек.

В задачах о концентрации напряжений наиболее разработанными являются задачи концентрации напряжений около отверстий. Здесь следует отметить работы И.И. Воровича, А.Н. Гузя, Г.Н. Савина, A.C. Космадамианского, И.А. Цурпала, Д.И. Шермана, В.А. Шалдыр-вана, Ю.А. Шевлякова, И.Ю. Хомы, В.В. Чехова и др. Исчерпывающие обзоры полученных результатов представлены в монографиях / 170 / - / 172 / и др. Здесь, в частности, следует отметить работы И.Ю. Хомы / 85 / , который исследовал вопросы концентрации напряжений около отверстий в рамках применения теории типа И.Н. Векуа.

Обзор работ по контактным задачам теории пластин и оболочек представлен в работе Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева / 173 /. Анализ существующих результатов исследований позволяет выделить два основных направления в постановке контактных задач теории пластин и оболочек.

Первое из них связано с применением различных модификаций уточненной теории типа Тимошенко ( В.М. Александров, Ю.П. Артюхин, М.В. Блох, Э.И. Григолюк, С.Н. Карасев, Б.Л. Пелех и др. ).

Другое направление ( В.В. Панасюк, М.И. Теплый, Г.Н. Кар -пенко и др.) связано с использованием уравнений теории упругости. Так в работе / 174 / при решении контактной задачи для цилиндрической оболочки предлагается применение метода степенных рядов и метода начальных функций.

Как уже отмечалось, в рамках предлагаемой в данной работе теории оказывается возможным задание на лицевых поверхностях оболочек и плит статических, кинематических и смешанных гра -ничных условий. Поэтому здесь естественным представляется пос-г тановка целого класса контактных задач типа задач сопряжения. Ниже не примерах решения ряда конкретных задач будет показана эффективность применения предлагаемого подхода.

4.1. Напряженно-деформированное состояние толстостенной цилиндрической оболочки с различными граничными условиями на торцах.

4.1.1. Изотропные цилиндрические оболочки.

Рассматривается круговая толстостенная цилиндрическая оболочка с параметрами ^ = 0.2 , 6=2, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой интенсивности р = I по / внешней лицевой поверхности, при следующих граничных условиях на торцевых сечениях : а) С> = Т = 0 при X = 0 и х = Ь ; б) О = \л/ = 0 при X = 0 и х = 1-; в) б = ъ = 0 при X = 1- ;

V/ = ц, = 0 при к # 0 ; г) V/ = и. = 0 при к = 0 и х = Ь .

Первый случай граничных условий (4.1) соответствует оболочке со свободно смещающимися торцами. Как известно, для этой крае -вой задачи может быть получено точное решение, что представляется весьма удобным при исяледовании погрешности приближенной теории . Точное решение дает, следующие результаты

5 » = 0 , 2,88 ' 2,82

50е1 =3.6 , <5е©1 = 2.6 .

При решении этой задачи численным методом применялись теории третьего и пятого порядка. При использовании теории третьего порядка по длине оболочки назначалось 10 точек ортогонализации, время счета составило 1,56 мин.; при использовании теории пятого порядка было назначено 20 точек ортогонализации , время счета составило 10.35 мин. Такое резкое увеличение машинного времени объясняется , повидимому, не столько увеличением количества точек ортогонализации, сколько увеличением порядка системы дифференциальных уравнений - с 16 до 24.

Некоторые результаты расчетов приведены в таблице 4.1 . Здесь в первых строчках даются результаты расчета по теории третьего порядка, а во вторых строчках - по теории пятого порядка.

Анализ этих данных подтверждает вывод относительно высокой точности решений, получаемых по теории третьего порядка в слу -чае однородности искомого напряженного состояния. Сходимость приближенных решений в данном случае тоже оказывается весьма высокой.

На рис. 4.1 - 4.3 представлены некоторые результаты решения краевых задач б) , г) (4.1) . На этих же рисунках штриховой линией показаны результаты решения задачи Ляме . На рис.4.3 во избежание загромождения чертежа кривые распределения перемещений \л/ для случая граничных условий г) вынесены наверх.

Решение всех краевых задач осуществлялось с помощью программы численного расчета оболочек вращения ;, принималось по 10 точек ортогонализации; время счета вариантов составило 1.53-2мин.

В заключение сформулируем основные, наиболее важные выводы, вытекающие из результатов представленной работы. Некоторые из них были уже изложены раннее, и здесь приводятся с целью обоб -щения.

1. Разработана методика редукции трехмерных краевых задач пространственной теории упругости к двухмерным краевым задачам теории плит и оболочек, основанная на применении метода полиномов Лежандра.

2. Построена общая теория нетонких упругих анизотропных оболочек переменной толщины. Показано, что эта теория может быть сформулирована в двух основных вариантах : в варианте задания на лицевых поверхностях оболочки только статических граничных условий ( вариант А ) , и в варианте, когда на лицевых поверхностях оболочки задаются только кинематические граничные условия ( вариант В ).

3. Показано, что между этими двумя основными вариантами теории имеет место свойство двойственности, состоящее в том, что основные уравнения варианта А вытекают из вариата В при подстановке в последние свободных кинематических граничных условий на лицевых поверхностях оболочки, и наоборот- основные уравнения варианта В следуют из уравнений варианта А при подстановке в них свободных статических граничных условий на лицевых поверхностях.

Показано, что возможность формулировки смешанных граничных условий на лицевых поверхностях оболочки приводит к корректной математической постановке целого класса задач теории оболочек - контактных задач сопряжения.

5. Сформулирована приближенная трехмерная теория N1 -го порядка нетонких упругих оболочек и плит, основанная на проу стейшей схеме усечения разложений искомых функций в ряды по полиномам Лежандра. Установлено, что критерием погрешности приближенной теории N1 -го порядка может служить погрешность удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях оболочки. Указаны основные способы построения расширенной приближенной теории N -го порядка, обеспечивающей согласованность граничных условий на лицевых поверхностях оболочки.

6. Разработана приближенная трехмерная теория N-го по -рядка нетонких упругих оболочек и плит, основанная на применении полиномов Лежандра общего вида произвольного промежутка. Показано, что эта теория, будучи более общей по отношению к теории, использующей классическое представление полиномов Ле

V жандра, может оказаться удобной для решения обширного круга практически важных задач.

7. Разработан численно-аналитический метод расчета толстостенных ортотропных оболочек вращения. Метод включает в себя аналитическое представление разрешающей системы уравнений с целью сведения их к двухточечной краевой задаче, и последующее численное интегрирование этой задачи с помощью разработанного алгоритма и программы численного расчета на ЭВМ.

8. На ряде тестовых примеров исследованы вопросы досто верности решений, получаемых по приближенной теории N -го порядка, и установлена сходимость приближенных решений к точным при последовательном увеличении порядка применяемой теории.

9. Анализ результатов вычислений, а также проведенный качественный анализ решений толстостенной цилиндрической оболочки позволил установить, что в приближенной теории N -го по-У рядка наряду с решениями, свойственными теории тонких оболочек ( основное напряженное состояние и простой краевой эффект ), имеют место и решения, присущие трехмерной постановке задач теории упругости - краевые эффекты пограничного слоя Сен-Венана.

Специфика проявления этих решений подробно проанализирована на примерах решения задачи о концентрации напряжений в угловых точках защемленного края оболочки и проблемы реализуе -мости принципа Сен-Венана в теории толстостенных оболочек при нагружении торцевого сечения самоуравновешенной по толщине нагрузкой.

10. В рамках теории контактных задач сопряжения разработаны основные принципы построения приближенных теорий М-го поряд ка для расчета двух и трехслойных конструкций. На примерах решения некоторых характерных задач показана эффективность предлагаемого подхода для расчета строительных конструкций, и в частности, взаимодействующих с грунтом.

Предложена постановка задачи и разработан алгоритм численного расчета нового класса задач у многоточечных задач теории упругости и строительной механики, основанный на использовании метода ортогональной прогонки.

11. Сформулированы основные положения динамических задач приближенной трехмерной теории N -го порядка нетонких уп

А. ругих оболочек и плит. На примерах исследования свободных и вынужденных колебаний прямоугольной полосы и цилиндрической оболочки показано, что приближенная теория N -го порядка обеспечивает многомодовую аппроксимацию динамических задач теории упругости, у Проведено сравнение решений, получаемых по приближенной теории третьего порядка, с решениями классической теории и уточненной теории С.П. Тимошенко и показано, что учет высших мод существенно сказывается не только на описании динамики толстостенных конструкций, но важен и для корректного описания динамического поведения тонкостенных конструкций при высоко -частотных колебаниях.

12. Показано, что помимо количественного уточнения решения, применение приближенной трехмерной теории может привести и к качественным эффектам. Например, при исследовании свободных колебаний толстостенной цилиндрической оболочки было установлено явление смены определяющих мод частотного спектра ;

V при вынужденных колебаниях той же оболочки по воздействием торцевой нагрузки, самоуравновешенной по толщине, показано, что частота внешнего воздействия оказывет существенное влияние на характер возбуждаемых колебаний.

1. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. -М.: Наука, 1955.- 491с.

2. Ляв А. Математическая теория упругости.-М.-Л.:0НТИ,1975.-676с.У

3. Лурье А.И. Теория упругости.-М.:Наука, 1970.-940с.

4. Галеркин Б.Г. Упругое равновесие полого кругового цилиндра и части цилиндра.// Труды ВНИЙГ/ Л.-М.: изд-во Гяавгидроэнерго-строя.- 1932.-т.10.-С.5-12.

5. Шапиро Г.С. 0 сжатии бесконечного цилиндра давлением, приложенным на участке боковой поверхности.//ПММ.-1943.-т.УН.- №5.

6. Абрамян Б.А.,Александров А.Н. Осесимметричные задачи теории упругости.// Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.-М.:1966.-С.7-38.

7. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел.- М.:Высшая школа, 1975.- 526с.

8. Абрамян Б.А. Некоторые задачи равновесия кругового цилиндра.// ДАН Арм.ССР.- 1958.-т.24.-»2.- С.66-72.

9. Sundara КЛ.Г Raja t<¿eo$er, Yogotiaadra c.Y. AaaC^sis a Jiag-te kottow citiader subjected to axis^mmetric aad

10. Road.// Proc.Nat. Sei,., Ondea.- Ш- к-ЪЪ.- н <-2.- Р- 25-27.

11. Баблоян A.A.»Мелконян А.П. Осесимметричная задача полого г бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками.// Извест. АН Арм.ССР. Механика.-т.21.-JH.- С.3-16.

12. Клосснер, Левайн. Дальнейшее сравнение решений теории упругости и теории оболочек.// Ракетная техника и космонавтика.1966.-й 3.- C.II0-I24.

13. Васильев Ю.Н. Приближенное решение осесимметричной задачи теории упругости для полого конечного цилиндра с нормальной нагрузкой общего вида на торцах.// Вестник МГУ, Математика и механика.- 1968.-№5.-С.II0-II7.

14. Приближенное решение осесимметричной задачи теории упругости для полого конечного цилиндра о нагрузкой по торцам, симметричной относительно серединной поверхности.// Вестник МГУ, Мате* матика и механика.- 1970.-Н.-С.90-92.

15. Гринченко В.Т. Осесимметричная задача теории упругости для толстостенного цилиндра конечной длины. // Прикладная механика.1967.-т.2.- Ш.

16. Сушков B.C. К вопросу о напряженном состоянии цилиндра конечной длины.// Труды Харьковск. политехи, инс-та, серия инж.-физическая.- 1959.-т.25.-вып.З.

17. Попугаев B.C. Некоторые задачи осесимметричной деформации трансверсально- изотропного цилиндра. // Труды ЛйСй .1968.- вып. 52.

18. Hermana l.K. Stress $uactioas for -Ыге ax ¿symmetricortVtotropí-c etastCci/t^ ec^aati-oas.// k\kk Oouraat

19. V, 2. N Ю • - p- 182 2 - 1824.у 20. übtech, 3.1 Axcsymmetric stress cU&trl button Itt anisotrop ic cyUn-der oí iCn-Cte tznqtb.//hlkh 0ourfiae.-1969»-v.7.- Hi.- p-59-<S»4.

20. Васильев Ю.Н. Функция напряжений для трансверсально изотропного тела. // Труды МИЭМ.- М.-Л.: Энергия, 1972.

21. Тер-Мкртчян Л.Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих тел.// ПММ,- 1961.-т.25.-вып.6# C.II20-II25.

22. Прокопов В.К. Равновесие упругого толстостенного осесим-метричного цилиндра.// ПММ.- 1949.- T.I2.-&6.- С.135-139.

23. Прокопов В.К. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра.// Труды ЛПЙ.-1950.- №2.

24. Прокопов В.К. 0 равновесии полого цилиндра конечной длины, нагруженного осесимметричной нагрузкой.// Труды ЛПИ.- 1958.-№9.

25. V 26. Балабанов Л.М. Однородные решения и выполнение граничных условий на торцах в задаче о равновесии полого толстостенного изотропного цилиндра. // Известия АН СССР МТТ.- I960.-М.-С. 95-101.

26. Данелия Р.В. Спектр однородных решений в полом однородном полубесконечном цилиндре.// Научные труды ГПИ, Тбилиси.- 1980.* 5/226.- С. I2I-I24.

27. Подильчук Ю.Н., Голобородько С.А. 0 трехмерном напряженном состоянии незамкнутой сферической оболочки. Ц Прикладная механика.- 1979.-т.15.-HI.- С. 33-45.

28. Чанкветадзе Г.Г. Упругое равновесие толстостенного круго-I вого цилиндра.// Научные труды ГПИ,- 1980.-i5/226.-С. 29-36.

29. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики.-М.:Стройиздат,1975.-223с.

30. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости.// Известия АН СССР, ОТН.- 1955.-*7.

31. Гохбаум Ф.А. Применение метода начальных функций к рас -чету толстостенных и сплошных цилиндров. // Применение железобетона в машиностроении.- М.: Машиностроение.- 1974.

32. Волков А.Й. Расчет толстостенных полых цилиндров.- М.: изд-во УДН, 1972.- 152с,

33. Волков А.Н. Статика толстых оболочек.-М.: изд-во УДН, 1974.- 144с.

34. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К рас -чету напряженного состояния толстостенных неоднородных анизотропных оболочек.// Прикладная механика.-1974.-т.10.-15.-С.86-93.

35. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние толстостенных оболочек вращения при неосесим-метричных воздействиях.//Прикладная механика.-1975.-№б.-С.22-28.

36. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. 0 расчете напряженного состояния толстостенных оболочек из композиционного материала.// Техн. и технология композиц. материалов / Материалы 2-йй нац. конф. Варна,1976.- 1979.- С.233-236.

37. Григоренко Я.М., Всасиленко А.Т., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние неоднородного ортотропного полого конусаг// Прикладная механика.- 1983.-т.19.-№7.- С.12-19.

38. Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д., Чупаха Л.Д. Исследование напряженного состояния толстостенных цилиндрических оболочек с неоднородными граничными условиями.// Прикладная механика.-1983.- Т.19.-&6.- С.19-24.

39. СКеаф Sh.ua, An^sirCKu,? Т, TFvree -cUmertslonaS e6astt-clty boCatCoh. aad eclge ejects va &pKer¿ca& doms. // Trans. ASME. 1977.- М4,- Nц.- p- 599-603.

40. Рахматуллин X.A., Лубашевский В.В. Напряженно-деформированное состояние толстостенных конструкций. // Доклады АН УзССР.- 1979.-№9.- С.16-19.

41. Влайков Г.Г. К расчету толстостенных элементов конструкций.// Строительство ГХ в горных условиях./ Материалы Всесоюзн. конф. молод, спец-ов, Телави.- Тбилиси, 1979.- С.101-102.

42. Влайков Г.Г. Напряженное состояние толстостенных оболочек вращения при неравномерном тепловом нагружении. // Прикладная механика.- 1980.-т.16.-№8.- C.II6-II9.

43. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г. Напряженное состояние толстостенных оболочек вращения при неосесимметричных воздействиях. // Прикладная механика.- 1975.-т.II.-№6.-С.22-28.

44. Зенкевич.0. Метод конечных элементов в технике.-М.:Мир.-541с.

45. Девис, Кейт. Анализ сосудов высокого давления методом конечных элементов.// Прикладная механика, Мир.- 1972.-сер.Д.- С. 158-164.

46. Крнщук Н.Г, Анализ напряженного состояния толстостенных цилиндров высокого давления методом конечных элементов.// Проблемы прочности.- 1984.-И.- С. 62-65.

47. Королев Е.М., Лифшиц В.И., Татаринов В.Г. Вопросы прочности сосудов высокого давления.- Иркутск: ИркутскНИИхиммаш , 1969.- 266с.

48. Алтухер Г.М., Топоров В.Т. Расчет оболочек вращения средней толщины методом конечных элементов.// Строительная механика и расчет сооружений.- 1985.- И,- С. 15-19.

49. Квитка К.Л., Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения,- Киев , Наукова думка. 1977.

50. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластин.// Меха-Г ника в СССР за 50 лет. т.З.- М.: Наука, 1972.- С.227-266.

51. Ворович Й.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек. // Труды 11 Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек.- М.: Наука, 1966.- С. 896-903.

52. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1974.- 448с.

53. Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости.- М.: Высшая школа.-1973.- 384с.

54. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек.// ПММ.- 1944.-вып.2.-№8.- С. 109-140.

55. Векуа И.Н. Теория тонких и пологих оболочек переменной толщины.- Тбилиси: Мецниереба, 1965.- 102с.

56. У 57. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек.- М.: Наука, 1982,- 288с.

57. Рекач В.Г. К технической теории^расчета толстых сферических оболочек. // Труды УДН.- 1965.- т.9.-вып.2.

58. Rel&sner Е, On, th,e -theory berwUag е tagt Со pCates.// Math, and PKys.- 1944.- 25.-N1.-р. 184-191.

59. TtmocWeriKo S.P. Ort the correcUon. $or sKear oj th.e cUHerervfcCaß eq,uatum ^or trcuisverse vlferatcoas oi prC<>m,a--Uc // ttui^.- 1924,-41.-Ы6.~ p- 50-57.

60. Nou^taU P.M. TKe e^eo"t o* transverse s^ear dei-ormatioa oa th.e feeactCrv^ eCastöc skeCßSi oj- revo-Ca-tüoa. //Qaat-t. oi App&- Math,. <957. - 15.- N1p* 41-52

61. Григолюк Э.Й., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки.// Механика твердых деформируемых тел.-т.5.-М.: ВИНИТИ.-1973.-272с.

62. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболо-Т чек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теорииупругости.// ПММ.- 1963.-т.27.-М.-С.593-608.

63. Гольденвейзер А.И. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.- 512с.

64. Базаренко H.A., Ворович И.И. Анализ напряженного и деформированного состояния круговых цилиндрических оболочек. Пос -троение прикладных теорий.// ПММ.-1969.-т.33.-С.495-5X0.

65. У 67. Базаренко H.A. Построение уточненных прикладных теорийоболочек произвольной формы.// ПММ.- 1980.-т.44.-№4.-С.727-736.

66. Бидерман В.Л, Расчет цилиндров средней толщины на симметричную относительно оси нагрузку, изменяющуюся по длине. // Труды II научно-техн. конф. МВТУ.- М.:изд-во МВТУ, 1946.

67. Бидерман В.Л. Расчет симметрично нагруженных цилиндрических деталей.// Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении.- М.: Машгиз, 1950

68. Бояршинов C.B. Расчет толстостенных полых цилиндров, находящихся под действием осесимметричной нагрузки. // Расчеты

69. А на прочность, жесткость и ползучесть элементов машинострои -тельных конструкций/ МВТУ, 1950.- вып. 26.

70. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник,- М.: Машиностроение, 1968.- С. 439-454.

71. Расчеты на прочность в машиностроении. Т.Н.- М.: Машгиз. С. 329-385.

72. МСг&ку 3., Hermann (г. (Ula&G^ symmetric rnotCoasoi -tVtCcK cytCtidri.ca£ fcHetts. ft ^oara, oS AppC . Mech,.- 1958.-v,25.-Nl; Trans. ASME.-4956.-v. 60.-p.97-102.

73. Hermann, GМСг&ку 3. TKree-dvmeasi.on-aC and Шеогу aivaCy^is 05 axCdUy slmmetrcc rn.oti.on, oj cyecaders. // joara.oi Appe.MecH.-rc5e.-v.2VM5 TraaS ASMfc.-1956.-V.76.-p. 56V 568.

74. Голуб, Романо. Метод определения напряжений и перемещений в толстостенных оболочках при произвольных граничных условиях. //Прикладная механика, Мир.- 1973.-ftI.- С.233-236.

75. Солер. Теории высшего порядка анализа конструкций, основанный на разложениях по полиномам Лежандра. // Прикладная механика, Мир.- 1969.- * 4 С. I07-II2.

76. Хатчинс, Солер. Приближенное решение задачи теории упругости оболочек вращения средней толщины .// Прикладная механика, Мйр.- 1974.- №4.- С. 129-136.

77. Федлерс, Солер . Приближенное решение задачи о цилиндре конечной длины с помощью полиномов Лежандра.// Ракетная техника и космонавтика.- 1970.- № IX.- С.145-152.

78. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины.//ПММ. 1962.-т.26.-№2.-С.335-34I.

79. Понятовский.В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок. и" ПММ.-т.28.-№б.-С.1033-1039.

80. Лисицын Б.М. Об одном методе решения задач теорииупругости. // Прикладная механика.- 1967.-т.З.-№4.- С. 85-92.

81. Лисицын Б.М. Расчет защемленных плит в постановке про -странственной задачи теории упругости.// Прикладная механика.-1970.-т.6.-№5,- С.18-23.

82. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек.// Механика в СССР за 50 лет,т.З.- М.: Наука, 1972.-С.267-290.

83. Хома И.Ю. Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек переменной толщины. // Прикладная механика.- 1974.-т.10.-№ 3.- С. 17т 24.

84. Хома И.Ю. Общая теория анизотропных оболочек. Киев : Наукова думка, 1986.- 170с.

85. Жгенти B.C. Общее решение системы уравнений И.Н. Векуа равновесия сферической оболочки.// Прикладная механика.- 1983.-т.19.-№5.- С. 24-29.

86. Вайнберг Д.В., Гуляев В.И., Никитин С.К. Динамические задачи теории оболочек с учетом моментов высоких порядков. // Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.-Л.: Судостроение, 1980.- С.167-170.

87. Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Чибиряков В.К. Дифференциальные уравнения термоупругого состояния оболочек при тепловом ударе по поверхности.// Прикладная механика.-1973.-т.9.-Л 2.

88. Гуляев В.И., Никитин С.К. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке переменной толщины . // Прикладная' механика.- I975.-t.II.-S4.-C. 38-41.

89. Бежелукова Е.Ф., Волчек А.И. Применение метода прямых к расчету полых цилиндров.// Известия ВУЗов.Машиностроение.- 1977.-$ II.- С. 12-16.

90. Успенский Л.Н. Осесимметричная деформация изотропного цилиндра линейно переменной толщины. // Прикладные проблемы прочности и пластиности.- Горький.- 1980.- С. I2I-I26.

91. Милейковский И.Е. Расчет массивных конструкций методами У строительной механики пространственных систем.-М.:Госстойиздат,1958.- 184с.

92. Ламер Г. К расчету толстой цилиндрической оболочки вращения при действии осесимметричной нагрузки.// PEMEX.-I980 , 6BI24 ; Acia -tedia- Acact. scC. h,aag .- 1979 . 87 .- 13-4. - 391-413.

93. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок.// Известия ОТН АН СССР.- 1957.- № 12.

94. Две задачи о равновесии плит.// Труды УДН.-1967.-т.28.-С.50-79.

95. Байков В.П. , Мальцев В.Г. Приближенный метод расчета толстостенных полых цилиндров при расчете барабанов центробежных насосов.// Теория машин и горного оборудования.- 1979.- №3.-С. 97-101.

96. Чибиряков В.К. Обобщенный метод конечных интегральных преобразований в статике и динамике нетонких пластин . // Со -противление материалов и теория сооружений.- 1982.-вып.40.-С. 90-95.

97. Исаханов Г.В., Чибиряков В.К. Исследование деформированного состояния и динамического поведения толстых пластин. // Проблемы прочности.- 1987- № 2.-С.89-95;-№4.-С. 68-76.

98. Бокин М.Н., Егоров Л.А., Афанасьев Ю.А. Ортотропный конечный толстостенный цилиндр в стационарном температурномуполе. // Труды Пермского политехнического института.- 1977 . -№ 216,- С. 32-40.

99. Каримбаев Т.Д., Жумабаев М.Н. Влияние температуры на напряженное состояние толстостенного цилиндра. // Известия ВУЗов, Машиностроение.- 1978.8.- С. 10-14.

100. Мотовилец И.А., Новикова A.M., Шевченко С.И. 0 несимметричном напряженном состоянии цилиндра.// Тепловые напряжения в элементах конструкций./ Республиканский межведомственный сборник.- 1978.- № 18.- С. 68-72.

101. Панкратова Н.Д. К расчету термонапряженного состояния толстостенных цилиндрических оболочек.// Тепловые напряжения в элементах конструкций./ Республиканский межведомственный сборник.- 1980.- № 20.- С. 63-66.

102. Легеня И.Д. Об устойчивости толстой прямоугольной свободноопертой плиты под действием сжимающей нагрузки. // Доклады АН СССР.- 1961.- 140.- № 4.- С. 776-779.

103. Назаров A.C. Устойчивость толстостенной ортотропной цилиндрической оболочки при внешнем давлении. // Механика композиционных материалов.- 1980.3.- С. II8-I25.

104. Зельдич Е.й. К вопросу устойчивости упругого цилиндра. // Известия АН СССР, МТТ.- 1978.- №1.- С. 174-177.

105. Rervtoa 3. D. Аа aaaß^scs о^ tlxe static and dLyaarrUc üista&c&ct^ oj tHCcK c^ioruiers. // Oat. 0. Mec-h,.1979,- 2t.~ N12.- рЛ47-751.V

106. Rerwtoa On. tHe £>u.ckUtuj o^ ilucK spkerùcaC sketes uader tiortaaC pressure. // «dat. 3. SoC¿ds and

107. Struct. 19Ô1-- 17.- H2p- 145-155.

108. Алимжанов M.Т., Гордон В.И. Исследование устойчивости ^ толстостенной сферической оболочки. // Вестник АН Каз ССР.1979.- № II.- С. 62-69.

109. Алимжанов М.Т., Гордон В.И. Об устойчивости толстостенной сферической оболочки.// Известия АН КазССР, серия физ.-мат. наук.- 1979.-fê 5.- 57-59.

110. НО. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек.- Киев: Вища школа, 1980.- 168с.

111. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек.-М.: Наука, 1965.- 419с.

112. D-C. Hxact aaaXyscs oí the pCaCrv strainvífcratcoru ШСсК watted kot&ow extenders.//3oaraaÊ Âcou,stùcat Society oí America.- <976.- 30.- NÔ.- p.78fc-794.

113. M., Pert M. "3mpa6s¿v/e periormatCon, Oí McrSK^

114. Hetmana's th.<xh, cyÉ¿odr¿caC sltetßs a namerícaC metkod.

115. Tran*, ASME.,^. Appe. Mech.-«<372>.~ «4,- рМЪ6-т.

116. PawtCK. PS., Retsmaa H. Fored pCa«,e moicocv oj-c^EcadrccaC sh.ett a com.parc&otv shM theory u/ltk etas-■Uci-tjj -Uieor^ . //Traa*. ASME^.Afpt M«cK.-- p. 67-91.

117. D.S. Titrée- dömerv&ioruaß tn.vestûgatùo«, o^ proposât con- oi wave& kottow с Cr саб ac c^tcrv/ders.

118. Acou&t. Sot. oi ftmferûca 4959.- Mд 116. bea^ßa^ S.E., HutckCrvSon,3-Яv Ke«¿ S.W. A dyaam.Cc sHetß tkeor<¿ cou.pCûag thickness stress wave ejects wîtk s-tractura? resfoaS.// Тгаа*. ASME.l

119. Брусиловская Г.А., Ершов Л.В. К расчету полого упругого толстостенного цилиндра на действие динамической нагрузки общего вида. // Проблемы прочности.- 1975.2.- С. 19-23.

120. Брусиловская Г.А., Ершов Л.В. Динамика полого симметрично нагруженного упругого кругового цилиндра.// ПММ.-1974. № 3.- С. 561-564.

121. Сабодаш П.Ф., Навал И.К. Численное решение задачи о распространении волн напряжений в цилиндрической оболочке конечной длины. // Прикладная механика.- 1975.-т.II.-$5.-С. 14-20.

122. Рамская Е.М., Шульга H.A. Исследование скоростей и форм распространения осесимметричных волн вдоль упругого толстостенного полого цилиндра.//Прикладная механика.-1983.-т.19.-№3.- С. 9 -13.

123. Рамская Е.И., Шульга H.A. Распространение неосесимметрич-ных упругих волн в ортотропном полом цилиндре. // Прикладная механика.- 1983.-т.19.-^9.- С.9-13.

124. Нигул У.К. 0 применимости приближенных теорий при переходных процессах деформации круговых цилиндрических оболочек.

125. Труды У1 Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек.- М.: Наука, 1966.- С.593-599.

126. Бабич Ю.Н. Трехмерные волновые процессы в составных полых цилиндрах, взаимодействующих с окружающей средой. // Проблемы прочности.- 1980.-Ю.- С. I0I-I04.

127. Петрашень Г.й. Распространение волн в анизотропных упругих средах.- М.:Наука, 1980.- 280с.

128. Шульга H.A. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном цилиндре.//Прикладная механика.-1974.-т.10.-№9.1. С. 14-18.

129. Корбут Б.А., Нагорный Ю.И. Распространение упругих волн в цилиндрической оболочке, содержащей заполнитель.// Известия АН СССР МТТ.- 1972.-№6.-С. 73-81.

130. Корбут Б.А., Нагорный Ю.И. Реакция цилиндрической оболочки с заполнителем на действие движущейся нагрузки.//Известия АН СССР МТТ.- 1973.- № 3.

131. Пожуев В.И. Осесимметричные свободные волны в трехслойных цилиндрических оболочках.//Прикладная механика.- 1978.-т.14.-№ 12.- С.53-61.

132. Пожуев В.И. Неосесимметричные свободные волны в трехслойных цилиндрических оболочках. // Известия АН СССР МТТ .-I98I-M.-C. 140-143.

133. Полнев В.И., Львовский В.М. Пространственная задачао вынужденных колебаниях цилиндрической оболочки в упругой среде.// Динамика и прочность машин.- 1976.-вып. 23.

134. Горшков А.Г., Григолюк Э.И., Тарлаковский Д.В. Нестационарные упругие колебания толстостенной сферы. // Доклады АН СССР.- 1978.-233.-№5.-С. 812-815.

135. Горшков А.Г., Григолюк Э.И., Тарлаковский Д.В. Внутренние задачи динамики толстостенной сферы, соприкасающейся с упругими и акустическими средами.// Прикладная механика.-1978.-т.14.-№ 12.- С. 12-22.

136. Шульга H.A. Собственные колебания трансверсально изотропной сферы.//Прикладная механика.-1980.-т.16.-№12,-С.100—III

137. Григоренко Я.М.,Ефимова Г.Л. Распространение неосееим-метричных упругих волн в изотропном сплошном цилиндре.//Прикладная механика.- 1986.-Jfc I.- C.III- 114.г1. Uew-YorK, <959.

138. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965.- 433с.

139. Амосов A.A. Основные уравнения трехмерной теории упругих нетонких пластин и оболочек.- М., 1988.-18с.- Деп. ВНЙИС Госстроя СССР 9.II.1988, № 9722.

140. Амосов A.A. Об одном варианте построения теории оболочек вращения.// Труды ТашПЙ.- 1978.-№244.- С.21-30.

141. Амосов A.A. Расчет тонких упругих оболочек по деформированному состоянию.// Строительная механика и расчет сооружений.- 1982.- №6.- С. 20-23.

142. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек.-М.:Наука.-288с.

143. Матевосян P.P. Вывод дифференциальных формул полиномов Лежандра общего вида произвольного промежутка и их приложение в строительной механике.// Исследования по расчету строительных конструкций.-Л., ЛИСИ, 1979.- С.5-20.

144. Сеге П. Ортогональные полиномы.- М.: Физматгиз,1982.-500с.

145. Новожилов В.В. Теория упругости.-Л., 1978.- 369с.

146. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. ч.П.- Л.-М.:ГТТЙ, 1934.- 468с.

147. Жгенти B.C. Исследование напряженного состояния неоднородных по толщине, трансверсально изотропных плит.// Прикладная механика.- 1988.-т.24.-№6.-С.9-16.

148. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.- М.-Л.:0ГЙЗ, 1948.-296с.

149. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.-М.:Наука, 1977.- 304с.

150. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.- М.; Наука, 1986,- 288с.

151. Гюнтер А.Ф., Инцкирвели Й.Н. Некоторые граничные задачи для прямой геликоидальной оболочки. // Исследования по теории пластин и оболочек. Тбилиси : ТГУ, 1977.- С. 37-54.

152. Цхадая Д.Г., Гиоргадзе Д.П., Гогия А.Н. Расчет цилиндрической оболочки пластины переменной толщины. // Дифференциальные и интегральные уравнения краевых задач . Тбилиси, 1979.- С. 263 - 278.

153. Вашакмадзе Т.С. Некоторые чмсленные методы решения граничных задач для оболочек и пластин. // Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин.- Тбилиси:Мецниереба, 1975.- С. 291-298.

154. Гоцуляк Е.А., Ткаченко В.Д., Чернописский Д.И. Об одном численном подходе к решению пространственных задач теории упругости.// Прикладная механика.-1987.-т.23.-№6.-С. 27-36.

155. Клабукова Л.С., Чечель И.И. Вариационно-разностный метод решения краевых задач теории оболочек моментной теории И.Н. Векуа. // Журнал вычислительной математики и математи -ческой физики.- 1988.-т.28.-№3.- С. 375-389.

156. Годунов С.К. 0 численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений . // Успехи математических наук.- 1961 .-т. 16. вып 3/99. - С. I7I-I74.

157. Гельфонд И.М., Локуциевский O.B. Метод "прогонки" . Дополнение к книге Годунова С.К., Рябенького B.C. " Введение в теорию разностных схем"-М.:Физматгиз,1962.- С. 283-309.

158. Бидерман В.Л. Применение метода прогонки для числен1. Vного решения задач строительной механики. // Инженерный журнал МТТ.- 1967.-№5.- С. 62-66.

159. Абрамов A.A. 0 переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений ( вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1961.-т.1.-№3.- С. 542-545.

160. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений.- М.:Мир, 1969.- 368с.

161. Статика и динамика тонкостенных пространственных конструкций./ Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков 3.И.,Фролов А.Н.- М.: Машиностроение, 1975.- 376с.

162. Мяченков В.И., Григорьев В.П. Расчет оболочечных конструкций на ЭВМ.- М.: Машиностроение, 1981.- 216с.

163. Мяченков В.И., Мальцев Ю.Н. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ВС . М.: Машиностроение, 1984.- 280с.

164. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.- М.: Машиностроение, 1976.- 278с.

165. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости.- Киев: Наукова думка,1981.- 544с.

166. Бадалов Ф.Б., Хашимов Н. Решение неоднородных и нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек методом сведения к задачам Коши. Ташкент : Фан, 1988.- 124с.Г- М.: Наука, 1968,- 455с.

167. Беллман Р. Введение в теорию матриц.- М.:Наука,1969.-368с.

168. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н.,Пасько Д.А. Прочность полых цилиндров.- М.: Машиностроение, 1981.- 264с.

169. Амосов A.A. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек.// Строительная механика и расчет сооружений.- 1987.-1*5.-С. 37-42.

170. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий.- М.-Л.: ГЙТТИ, 1951.

171. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. ( Методы расчета оболочек : в 5-ти томах, т. I ) / Гузь А.Н., Черны-шенко Й.С., Чехов Вал.Н., Чехов Вик.Н., Шнеренко К.И. Киев: Наукова думка, 1980.- 635с.

172. Григолюк Э.И., Фильтишинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки.- М.: Наука, 1970.- 556с.

173. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек.- М.:Машиностроение, 1970.- 411с.

174. Карпенко Г.Н. Контактные задачи для цилиндрической оболочки конечной длины. // Прикладная механика.- 1976.-T.I2.-& 6.- С. 70-75.

175. Плеханов A.B., Прусаков А.П. Об одном асимптотическом методе построения теории изгиба пластин средней толщины .// Известия АН СССР МТТ.- 1976.-ИЗ,- С. 84-90.

176. Абрамян Б.А. Об одной осесимметричной задаче для сплошного весомого цилиндра конечной длины. // Известия АН СССР1983.-* I.- С. 55-62.

177. Жилин П.А., Скворцов B.C. Описание простого краевого эффекта теорией оболочек и пространственной теорией упругости. // Известия АН СССР МТТ,- 1983.-»5.- С. 137-142.

178. Абрамов В.М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким фундаментом при учете сил трения.// Доклады АН СССР.- 1937.-т.17.-*4,- С. 173-178.

179. Джанелидзе Г.Ю. Принцип Сен-Венана ( к столетию принципа ). // Труды ЛПИ / Динамика и прочность машин.- 1958. № 192.- С. 7-20.

180. Джанелидзе Г.Ю., Пановко Л.Г. Принцип Сен-Венана и его использование в теории плит и оболочек.// Расчет пространственных конструкций*- 1950.- вып.1.- С. 329-342.

181. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения. М.: ИЛ, 1950.- 445с.

182. Амосов A.A. Исследование напряженно-деформированного состояния подземного трубопровода. // Труды ТашПИ ./ Инженерное обеспечение зданий и сооружений.- Ташкент, 1989.-С. 68-73.

183. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений . Том расчетно-теоретический, кн.2.- М.: Стройиздат, 1973.- 416 с.

184. Клейн Г.К. Расчет подземных трубопроводов. М.: Стройиздат, 1969.

185. Амосов A.A. Об одном варианте уточненной теории трехслойных оболочек. // Труды ТашПИ / Экспериментально/ теоретические исследования инженерных сооружений.- Ташкент, 1985.-С. 20-25.У

186. Джангирова С.А. О многоточечных задачах для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1987.т. 27.-№9.- С. 1075-1080.

187. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций. / Григоренко Я.М., Беспалова Е.Й., Китайгородский Д.Б., Шинкарь А.й. Киев: Наукова думка, 1986.- 176с.

188. Бойко К.Е., Чибиряков B.C. Собственные колебания толстых пластин. // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура. 1985.- № 2.- С. 31- 35.

189. Кублановская В.Н. 0 некоторых алгорифмах для решения полной проблемы собственных значений. // Доклады АН СССР.-1961.- Ъ I.- С. 26-28.

190. Кублановская В.Н, 0 некоторых алгорифмах для решения полной проблемы собственных значений. // Журнал вычислительной математики и математической физики.- I96I.-t.I.-M.-C. 555-570.

191. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Динамическая задача теории упругости для прямоугольной полосы. // Прикладная механика.- 1976.- т.8.- № 9.- С. 50-56.У

192. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров.- Киев: Наукова думка, 1978. -264с.

193. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости.- Киев: Наукова думка, 1975.- 563с.

194. Амосов А.А., йсмаилова Г.А. Расчет толстостенных оболочек вращения на динамические воздействия. // Труды ТашПй. / Внедрение в строительное производство совершенных методов расчета конструкций и эффективных материалов.- Ташкент, 19871. С. 7- 13.

195. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек.- М.: йзд-во АН СССР, 1957.- 195с.

196. Новожилов В.В., Слепян Д.И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней. // ПММ.- 1965.- т.29.- № 2.ч1. ЪЪ*у