автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Параметризация вычислительного процесса в задачах математического моделирования

На правах рукописи

ии^44С337

Красников Сергей Дмитриевич

Параметризация вычислительного процесса в задачах математического моделирования

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 СЕН 2008

Москва - 2008

003446337

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Московского авиационного института

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Кузнецов Евгений Борисович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Лопаницын Евгений Анатольевич

кандидат физико-математических наук, вне

Гидаспов Владимир Юрьевич

Ведущая организация

Институт математического моделирования РАН

Защита состоится ■10 октября 2008 г в 10 00 на заседании Диссертационного совета Д 212 125 04 в Московском авиационном институте по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе , 4, Главный административный корпус, ауд 302

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского авиационного института

Автореферат разослан £ " íd-C^J^/^K 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Ротанина М В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Математическое моделирование различных объектов природы и техники приводит к необходимости решать параметризованные задачи Во многих методах, созданных для решение таких задач, используются особенности вхождения параметров в задачу Сюда можно отнести и метод малого параметра, и методы решения сингулярно возмущенных задач Широко распространено искусственное введение параметра в исходную задачу Такие методы могут пониматься как переход к альтернативной задаче, которая через изменение параметра приводит к решению первоначальной задачи При этом альтернативная задача часто обладает новыми необходимыми свойствами Параметризация часто используется для доказательства существования решений нелинейных уравнений В такой постановке вопрос о существовании решения исходного уравнения сводится к существованию непрерывной кривой

Метод малого параметра появляется в работах У Леверье (1886) и А Пуанкаре (1892) Далее метод малого параметра развивался в работах таких ученых, как А М Ляпунов, Э Шмидт, М М Вайнберг, М А Красносельский, В А Треногин Параметризация математических моделей и желание учесть как можно больше факторов приводит к сингулярно возмущенным задачам (А Н Тихонов, М И Вишик, Л А Люстерник, А Б Васильева, В Ф Бутозов, В Р Вазов, А М Ильин)

М Лаэй (1934) применяет дискретное продолжение решения для численного построения решения нелинейного уравнения Д Ф Давиденко (1953) использует непрерывное продолжение решения Е Рикс (работы 1972-1978) использует алгоритм, обеспечивающий движение в направлении по касательной к кривой Метод продолжения по параметру, который является длиной дуги кривой множества решений, развивается в работах Э И Григолюкаи В И Шалашилина (с 1980) Е Б Кузнецов (1993) показывает, что наибольшую обусловленность системы продолжения решения по параметру обеспечивает "наилучший параметр", геометрический смысл которого - длина дуги кривой множества решений Несколько иной поход к параметру продолжения, приближающего длину дуги, использован в работах Э И Григолюка и Е А Лопаницына (1990)

С развитием ЭВМ активно исследуются и создаются методы численного решения краевых задач Прикладные задачи, как правило, зависят от одного или нескольких параметров, которые могут входить в дифференциальные уравнения и краевые условия Равномерные конечно-разностные

схемы для решения сингулярно возмущенных задач предложены в работах A M Ильина (1969), У Шилдерса, Дж Миллера, Э Дулана Нахождением решений нелинейных краевых задач и анализом их свойств занимались А А.Самарский, А П Михайлов, Р Беллман, Р Калаба, В И Власов, С И Безродных, H Б Конюхова, Ю H Киселев и др Различным способам параметризации исходной краевой задачи, позволяющим облегчить решение первоначальной задачи, посвящены работы ХДж Вейнитчке (H J Wemitschke),X Б Келлера (Н В Keller), С M Робертса (S M Roberts), Дж С Шипмана (J S Shipman), A M Самойленко, H И Ронто

Основы теории ветвления функциональных уравнений заложены в работах А М. Ляпунова(1906) и Э Шмидта(1908) Исследования A M Ляпунова первоначально были связаны с известной проблемой о фигурах равновесия вращающейся жидкости, тем не менее, они (а также работы Э Шмидта) нашли применение и в других областях, например, в теории нелинейных колебаний

Обобщение классических результатов и перенесение их в функциональные пространства получены в работах M А Красносельского, M M Вайн-берга (с 1956), В А Треногина (с 1958), M ГКрандалла (M G Crandall), П X Рабиновича (Р H Rabinowitz) (1971) Теории ветвления и возмущений собственных чисел операторов посвящены работы В А Треногина, M К Гавурина, Б В Логинова, С Л Скороходова

Вычислительное направление теории бифуркаций кривых, с использованием в качестве параметра длины дуги, развивается X Б Келлером (с 1970) и другими авторами, в работах которых предложены алгоритмы, использующие псевдодлину дуги, удобные для практических вычислений На основе результатов A M Красносельского (1964) строятся критерии, позволяющие находить некоторые типы точек бифуркации Другой подход к определению сингулярных точек вдоль кривой был рассмотрен в работах Дж Хьюитфелдта (J Huitfeldt) и А Рюхе (А Ruhe) (1990), Э И Григолюка и Е А Лопаницына(1998)

Результаты о нахождении всех ветвей с помощью возмущения первоначальной системы отражены в работах Е Л. Аллговера (Е L Allgower),K -СЧиена (С-S Chien), К Георга (К Georg), К-Ф Ванга (С -F Wang) (1986,1991)

Конструированию уравнения разветвления (bifurcation equation) для аппроксимации всех касательных векторов в точке бифуркации посвящены работы X Б Келлера (1977, 1987) и В К Рейболдта (W С Rheinboldt) (1978, 1986)

Цель работы.

Используя различную параметризацию рассмотреть решение задач, моделирующих различные явления природы и техники На основе такой параметризации предложить эффективные алгоритмы решения этих задач Показать универсальность методов и идей, объединяющих эти подходы

Методы исследования.

В диссертационной работе использованы методы теории продолжения по параметру, методы теории ветвления, методы вычислительной математики и нелинейного функционального анализа

Достоверность результатов.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов решения, строгостью доказательств и разнообразными тестовыми примерами

Научная новизна положений, выносимых на защиту.

1 Предложен способ параметризации нелинейных краевых условий нелинейных краевых задач, позволяющий решать задачи, которые не решаются стандартными способами

2 Исследованы вопросы сходимости такого подхода

3 Дан алгоритм решения краевой задачи

4 Предложен алгоритм численного построения ветвей в точке простой бифуркации

5 Предложен способ численного продолжения решения в точке простого возврата

6 Исследованы вопросы сходимости метода продолжения по параметру в точках простой бифуркации и точке простого возврата Выведены оценки роста нормы матрицы, обратной к матрице Якоби, в окрестности точки простого возврата

7 Используя предложенные алгоритмы и методы, решена задача о сверхпроводящей пластине в магнитном поле для новых значений параметров задачи, решена без использования начальных возмущений задача о бифуркации трехстержневой фермы

Теоретическая и практическая значимость работы.

В работе с помощью методов функционального анализа и вычислительной математики, теории ветвления разработаны вычислительные схемы, позволяющие решать задачи математического моделирования, которые не

решались ранее классическими методами Получены новые результаты, дополняющие другие работы

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на

1) Международной конференции "Функциональные пространства Дифференциальные операторы Проблемы математического образования", г Москва, 2003

2) XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2003), г Владимир, 2003

3) Международной конференции "Третьи поляховские чтения" г Санкт-Петербург, 2003

4) Пятнадцатой и семнадцатой крымской осенней математической школе-симпозиуме «Спектральные и эволюционные проблемы» (Fifteenth and seventeenth Cnmean autumn mathematical schools - symposiums "Spectral and évolution problems" ), г Севастополь, Украина, 2004, 2006

5) Международной конференции по информатике (International Conférence on Computer Science "ICCS 2003"), г Санкт-Петербург, 2003

6) Международных конференциях "VII харитоновские научные чтения Экстремальные состояния вещества Детонация Ударные волны "и "VIII харитоновские тематические научные чтения по проблемам физики высоких плотностей энергии" г.Саров, 2005, 2007

7) Четырнадцатой и пятнадцатой международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005, 2007), г Алушта, Украина, 2005, 2007

8) Международной конференции по вычислениям в науке и в инженерном деле (International Conférence of Computation in Sciences and Engineering, ICCSE-2006) г Ханья, Греция, 2006

9) III международной научной школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", г Саранск, 2007

10) Шестом международном симпозиуме по классической и небесной механике (Sixth international symposium on classical and celestial mechanics), г Великие Луки, 2007

11) Семинарах кафедры дифференциальных уравнений Московского авиационного института, г Москва, 2008

12) Научных семинарах Института механики МГУ, г Москва, 2008

13) VIII международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", г Саранск, 2008

14) Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г Суздаль, 2008

Автор является исполнителем грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 06-01-00239 и № 06-08-00371)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 11 статей и 8 тезисов, из них 3 статьи- в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК

Структура и объем работы.

Основная часть работы изложена на 106 страницах, состоит из введения, трех глав и заключения Библиография содержит 53 наименования

В введении к диссертации содержится обзор современного состояния области исследования и дается краткое описание содержания диссертации В п 1 1 первой главы описываются три способа решения краевой задачи

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

4 = fit,У), a<t<b, y(t) R^R'

171

(1)

с нелинейными граничными условиями

R(y(a),y(b)) = 0

Здесь / R1 х Rn H- Rn, R R" х R" и- К".

При применении метода пристрелки проблема сводится к решению задачи Коши и нелинейного трансцендентного уравнения Для решения этого уравнения необходимо уметь интегрировать задачу (1) со следующими начальными данными

Vi{a) = Xi,y2{a) = х2, ,2/п{а) = хп (3)

Компоненты вектора х = {х\,хг, ,х„)т следует подобрать таким образом, чтобы решение задачи (1), (3) удовлетворяло на правом конце [о, 6] условию (2) Для этих целей используются методы классический метод Ньютона, метод Лаэя, метод наилучшего параметра Для метода Ньютона формулируется, а для методов Лаэя и наилучшего параметра формулируются и доказываются теоремы, обеспечивающие сходимость методов к решению Сравниваются условия этих теорем

Важное отличие результатов заключается в различной зависимости шага движения от параметров задачи В случае метода Лаэя шаг обрати но пропорционален квадрату нормы матрицы, обратной к матрице Якоби F'(x),

Дд = 0(mj"2), ||[*"(*)П|<т1

В случае применения наилучшей параметризации шаг обратно пропорционален квадрату нормы матрицы, обратной к матрице Якоби ^{z), преобразованной системы

= H[r(z)r1H<m2

Однако, известно, что матрица Якоби преобразованной системы не вырождается в предельных точках Таким образом, метод, использующий наилучшую параметризацию, работоспособен в предельных точках в отличие от метода Лаэя

Следует иметь в виду, что вышеизложенный алгоритм будет надежно работать только в том случае, если на [а, Ь] удается проинтегрировать задачу Коши (1), (3) Это же возможно сделать далеко не всегда Вычислительные трудности могут возникнуть при неудачном выборе начальных условий (3), а также если система ОДУ (1) плохо обусловлена, например, является жесткой

В этом случае можно применить следующий подход В систему ОДУ (1) вводится параметр 5 таким образом, чтобы при 5 = 0 получалась успешно решаемая методом пристрелки на [а, 6] краевая задача, имеющая решение у = а при 6 = 1 получалось бы решение исходной

задачи (1) - (2) При этом предполагается, что задача имеет для 0 < S < 1 непрерывное решение

y = v(t,6), (4)

удовлетворяющее условию y(t, 0) =

Пусть система ОДУ является сингулярно возмущенной, т е имеет вид

e^ = f(t,y), (5)

где е - малый параметр, е <С 1

Тогда параметр 5 в систему (5) можно ввести, например, следующим образом

(l-6(l-e))ft=f(ty) (6)

При 5 — 0 система ОДУ (6) принимает вид (1) и предполагается, что решение у = y^(t) соответствующей краевой задачи может быть легко получено методом пристрелки, а при 6 — 1 получается исходная система ОДУ (5)

Может быть предложен следующий вычислительный алгоритм решения краевой задачи (5), (2)

Отрезок [0,1] изменения параметра 5 разбивается на 7п частей од — 0 < ¿1 < ¿2 < < 5т = 1 Для каждого значения 5 = 6к, к — 1,2, , т методом пристрелки отыскивается решение задачи (6), (2), причем в качестве начальных условий (3) на к - ом шаге продолжения по переменной 5 принимаются условия, полученные при решении задачи на предыдущем к — 1 - ом шаге Полагаем, что решение задачи у — уW (i) при <5 = 0 может быть получено

Еще один способ улучшения вычислительного процесса решения начальной задачи (1), (3) заключается в использовании вложенных отрезков [а, &о] С [а, &i] С • ■ • С [а, 6*,], где Ьо < h < <bk = b При отыскании решения на отрезке [а, Ьг], 1 < г < т принимается начальное условие (3), полученное при решении задачи на предыдущем отрезке [0,6,-1], а краевое условие (2) удовлетворяется в точке t — Ъг Предполагается, что на наименьшем отрезке [а, 6q] решение может быть получено

В п 1 2 первой главы даются различные примеры решения начальных и краевых задач, демонстрирующие эффективность подхода Некоторые примеры невозможно решить или достаточно трудоемко решать классическими методами Анализируются причины таких затруднений

Вп 21 вводятся основные понятия, формулируются и доказываются теоремы, связанные со свойствами точки простой бифуркации для уравнения

F(x) = О,

(7)

где F Kn+1 Rn достаточно гладкая функция

Пункт 2 3 содержит алгоритм построения всех ветвей в точке простой бифуркации Здесь используются следствия теорем, изложенных ранее

Пусть система уравнений (7) задает достаточно гладкую кривую Предположим, что эта кривая содержит особые точки, в которых ранг матрицы Якоби равен п — 1, т е rank Jo = n — 1 Этот случай сводится к ветвлению плоской кривой

Поэтому алгоритм нахождения всех ветвей состоит из трех шагов.

1) нахождение плоскости, в которой происходит ветвление,

2) построение окружности с центром в особой точке, лежащей в плоскости ветвления,

3) поиск точек пересечения кривой с данной окружностью

1 Нахождение плоскости, в которой происходит ветвление

Данная задача эквивалентна нахождению векторов аг,а2, на которые натянута плоскость n(ai, a2, xq), содержащая точку х0 Эти векторы можно найти из условия

особая точка Решить (8) можно следующим образом Дополним нулевой строкой, и обозначим получившуюся квадратную матрицу символом А Воспользуемся разложением

где <5 - ортогональная матрица, Я - верхняя треугольная матрица Поэтому Я имеет вид

Здесь Их - матрица размерности (п -1) х (п + 1), О - нулевая матрица размерности 2 х (п+1) Используя соотношение (9) и равенство <5-1 = <3Т, получаем АЯ = \aQMQ,) = В? = |От)

J0ak = 0, А; = 1,2 Здесь J0 = (xq) - матрица Якоби (г = 1, п, j

(8)

= 1,71 + 1), XQ -

АГ - QR,

(9)

Мы учли, что матрицу <2 можно представить как объединение двух блочных матриц (¿х размерности (п+1) X (п—1) и <32 размерности (п+1) х2 Вертикальная черта внутри скобок разделяет блоки матрицы Матрица ф2 содержит последние два столбца матрицы <5, которые и являются орто-нормированными векторами 01, а2

2 Построение окружности с центром в особой точке Предполагаем, что векторы ах, а2 ортонормированы Множество точек,

образующих в плоскости П(а1,а2,£о) окружность радиуса е с центром в точке хо, может быть задано равенством

х — х0 + е(о1 сое ^ + 023111^), 0 < <р < 2п

3 Предиктор для точек пересечения кривой с окружностью

В ряде случаев, если известны вторые производные, можно достаточно точно дать прогноз местоположения точек пересечения кривой и окружности, или сделать заключение о характере ветвления

Информацию о ветвлении можно получить исходя из уравнения разветвления в первом приближении

У1М? + 2У%{а'Ж) + 72°2(а'2)2 = 0, В = ВД2°2 - (У°2)2 (10)

= -¿^Ы = <$Н{х0)а, {*,] = 1,2), (11)

где Н(хо) - матрица Гессе (матрица вторых производных) функции V в точке Хо

В п 2 4 формулируется определение точки простого возврата Критерий, позволяющий идентифицировать точки простого возврата, формулируется как

Теорема. Точка Хо является точкой простого возврата уравнения (7) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия 1) Р(хо) = О, 2) гапкГ'(ха) = п — 1, 3) матрица Гессе функции ^(а) имеет одно ненулевое собственное значение 2Ь, 4) справедливо неравенство

2 Ур"а2(°)Яг2 + = М0,3 Ф О

г=1

Здесь коэффициенты Щ2 определены разложением р1 в нуле

рх- Дг11а? + 2Дра1а2 + Л22а2 + о(а?5;82), + й = а = На,

где Н - матрица, столбцы которой есть ортонормированные собственные векторы матрицы Гессе функции V{a) Кроме того, в первом столбце находится собственный вектор, соответствующий ненулевому собственному значению 2L

Описывается способ прохождения таких точек Данный способ заключается в добавлении к системе еще одного уравнения

h12[(x - х0)Т~\ + h22[(x - х0)Г-1]п+1 + sign(L/M0,3)M2 = 0 (12)

Здесь [ ], обозначает взятие г-ой компоненты вектора Добавляя уравнение (12) к системе F(x) = 0, получаем возможность проходить эту точку с помощью стандартных алгоритмов, например, метода Ньютона

В п 2 5 выводятся оценки роста нормы матрицы, обратной к матрице Якоби, в окрестности точки простой бифуркации и регуляризованной точки простого возврата Полученные результаты объединяет следующая

Теорема. В некоторой окрестности точки простой бифуркации или точки простого возврата справедлива следующая оценка

Мх(Х))]-'\\<т/\Х-Ха\к

Здесь значение к — 1 соответствует точке простой бифуркации, а к = 3 - точке простого возврата, m£l

Этот результат позволяет сформулировать и доказать в том же пункте теорему о возможности численного продолжения решения в точке простой бифуркации и точке простого возврата

В п 2 6 рассматриваются многочисленные примеры, демонстрирующие эффективность изложенных алгоритмов

Глава 3 посвящена численному решению прикладных задач, используя предложенные ранее методы

В п 3 1 производится моделирование сверхпроводящей пластины в магнитном поле, которое заключается в решении краевой задачи

В случае бесконечной пластины конечной толщины нелинейная краевая задача для уравнений Гинзбурга-Ландау в безразмерных переменных имеет вид

а" — ф2а = 0, , .

ф" + к2 (tp - яр3) — а2ф = 0, 0<x<D, [ '

о(0) = 0, ф'(0) = О, а'(-О) = Л, ДО) = О,

где все величины вещественны, О < И - полуширина пластины, Ли к, положительные параметры (к - безразмерная величина напряженности магнитного поля, к - безразмерный параметр теории Гинзбурга-Ландау, характеризующий материал сверхпроводника и меняющийся в широком диапазоне)

Задача успешно решается с учетом методов развитых в главе 1 После введения параметров в краевые условия решение осуществляется с помощью движения вдоль кривой, заданной системой уравнений

а'(0,р1,р2)-рз = О ^'(Др ър2)=0

(15)

Преобразованная к наилучшему параметру, система (15) перепишется в новых переменных следующим образом

х2{0,р1,р2) -рз = О,

^(АРьРз) = 0, (16)

(Р1 - Р1.С-1))2 + (Р2 - Р2,о-1))2 + (рз -Рз,ь-1))2 - АА2 = О

Здесь рц^), Р2,(;-1), Рз,о-1) _ значения параметров, соответствующих предыдущей точке кривой

На каждом шаге, для получения решения системы (16), применялся метод Ньютона

Для построения неустойчивой ветви также применялся метод конечных разностей Тем самым, появилась возможность не искать производные функций аиф, что позволило увеличить параметры задачи к, Б, для которых можно получить решение

Конечно-разностная аппроксимация для уравнений (13) примет вид

Фг = аг+1 - 2а, + а,_1 - т2ф2а, = 0, г = 1,2, ,тг-1,

Ф, = фд+1 - 2ф, + фу—1 + т2к2{ф3 - ф- т2а2ф3 =0, 3 = 1,2, , п - 1,

где г шаг сетки г = £?/(Аг — 1), N — 4+1, N - количество узлов

Конечно-разностная аппроксимация краевых условий (14) имеет вид

Фо = а0 = 0, Ф„ = а„_2 - 4а„_! + 3ап - 2тИ, = 0,

Ф0 = -З^о + 4^1 -^2 = 0, Ф„ = фп-2 - Чп-1 + 3фп = 0

Введем следующие обозначения а = (о,)"_0, ф = х =

(а, ф), Ф - (Ф,)?=0> Ф - ВД=(» ^ = Ф)

Таким образом, нахождение решения задачи (13)-(14) сводится к решению системы нелинейных уравнений

= 0 (17)

Применение наилучшей параметризации позволяет автоматизировать процедуру построения кривой фо = фо{И) и в ряде случаев проходить особенность Поэтому для решения системы (17) был применен метод дискретного продолжения по наилучшему параметру. Для этого к переменной задачи х добавлялся параметр Л, образуя новый вектор неизвестных х — (х, К), и осуществлялся переход к наилучшему параметру Л, введением в систему уравнений Р(х) = 0 уравнения \\х — х*\\2 = ДА2, где || || - евклидова норма вектора, х* - значения переменной, соответствующей предыдущей точке кривой х = х(Х)

В п 3 2 рассматривается задача о симметричной деформации трех-стержневой фермы Она описывается следующими уравнениями (для стержней с одинаковыми поперечными сечениями)

N1 + N2 - Р - О

Ыг - 2И2 + /3[(Ж2 - 2ТУ2) - (е2 - 2е\)} = 0 (18)

= Ш2{1-Ы2)-е2 =0

В этих уравнениях Р, N1 и И2 — нагрузка на ферму и усилия, возникающие в ее стержнях, отнесенные к критическим эйлеровым силам стержней, — амплитуды полного прогиба стержней, /3 — параметр, характеризующий гибкость стержней

Если стержни системы идеально прямые, т е при £1 = е2 = 0, система (18) имеет четыре точных решения

Для решения данной задачи здесь применялся следующий подход Рассматривалась невозмущенная задача, содержащая точки бифуркации С использованием метода дискретного продолжения строилась кривая множества решений из точки (0, 0, 0, 0, 0), соответствующей состоянию равновесия Перемена знака расширенного якобиана указывала на наличие точки бифуркации После того, как мы определяли точку бифуркации, используя алгоритм, предложенный ранее, строились все ветви кривой в точке бифуркации Данный способ позволил получить все решения без использования начальных возмущений

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) На основе введения наилучшего параметра, предложена модель движения по кривой множества решений при параметризации краевых условий Получены теоретические предпосылки к построению качественно лучших алгоритмов, позволяющих проходить некоторые типы особенностей

2) Используя наилучшую параметризацию, построены новые алгоритмы, улучшающие стандартные вычислительные схемы решения краевых задач Численные исследования показали, что предложенная параметризация краевой задачи существенно улучшает вычислительный процесс метода пристрелки, а использование наилучшего параметра позволяет рассматривать такие граничные условия, для которых решение ^параметризованной задачи получить не удается Даны рекомендации к улучшению вычислительного процесса в сопутствующих задачах, в том числе и в задаче Коши

3) Предложен простой метод нахождения всех ветвей в точке простой бифуркации Дано развитие методов продолжения в применении к точкам простого возврата Предложен способ регуляризации метода продолжения в таких точках

4) Найдена оценка роста нормы матрицы, обратной к матрице Якоби, в окрестности точки простого возврата На основе этой оценки обоснована нормальная работа алгоритм продолжения На многочисленных примерах даны иллюстрации эффективной работы предложенных алгоритмов

5) На основе подходов и методов, предложенных в работе, решена прикладная задача из теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау для новых значений параметров задачи, решена без использования начальных возмущений задача о бифуркации трехстержневой фермы

Соискатель выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю - профессору Кузнецову Евгению Борисовичу за постановку интересных задач, внимание к работе и радость многолетнего сотрудничества

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1) Красников СД, Кузнецов Е Б Параметризация численного решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений // Журн вычисл матем и матем физ - 2005 Т 45 № 12 - С 2148-2158

2) Красников С Д, Кузнецов Е Б Параметризация численного решения нелинейных краевых задач // Математическое моделирование - 2006 Т 18 № 9 - С 3-16

3) Красников С Д, Кузнецов Е Б К параметризации численного решения краевых задач //Дифференциальные уравнения - 2007 Т 43 № 7 - С 943 - 951

Публикации в других изданиях

1) Кузнецов Е Б , Красников С Д Численное решение краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений с использованием метода продолжения решения по параметру // Тезисы докладов Международной конференции "Функциональные пространства Дифференциальные операторы Проблемы математического образования 11 - М Изд-во Физматлит, 2003 - С 188-189

2) Красников С Д , Кузнецов Е Б К численному решению сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений преобразованных к наилучшему аргументу // Тезисы докладов Международной конференции "XII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМ-СППС'2003) " - М Изд-во МГУ, 2003 - Т2 - С 387.

3) Красников С Д , Кузнецов Е Б О некотором подходе к решению задачи об ограниченном движении двух тел // Тезисы докладов Международной конференции "Третьи поляховские чтения" - СПб Изд-во НИИХ СПбГУ, 2003 - С 98-99

4) Красников С Д , Кузнецов Е Б О некотором подходе к решению задачи об ограниченном движении двух тел // Международная научная конференция по механики "Третьи поляховские чтения" Избранные труды - СПб Изд-во НИИХ СПбГУ, 2003 - С 152-157

5) Kuznetsov E В , Krasmkov S D To numerical solution of singular perturbed equations transformed to the best argument // Lecture Notes m Computer Science Computational Science - ICCS 2003 International Conference Melburne-Melbourne-Australia and St -Peterburg, Russia June 2003 Proceedings Part II - Berlin Heidelberg Springer - Verlag, 2003. - P 500-506

6) Кузнецов E Б Красников С Д Численное исследование задач детонации твердого взрывчатого вещества // Международная конференция "VII харитоновские тематические научные чтения" Сборник тезисов докладов - г Саров Изд-во ВНИИЭФ, 2005 - С 85

7) Красников С Д , Кузнецов Е Б Численное решение краевых задач с одним классом нелинейных условий // Тезисы докладов Международной конференции "Четырнадцатая международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005)" - М Изд-во МГУ, 2005 - С 262263

8) Красников С Д , Кузнецов Е Б Численное решение краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений с использованием метода продолжения решения по параметру // Proceedings of the fifteenth Crimean autumn mathematical school - symposium "Spectral and evolution problems" - Ukraine TNU, 2005 - Vol 15 - P 124-126

9) Кузнецов E Б , Красников С Д Численное исследование задач детонации твердого взрывчатого вещества // Труды международной конференции "VII харитоновские научные чтения" "Экстремальные состояния вещества Детонация Ударные волны " - г Саров ВНИИЭФ, 2005 - С 143-147

10) Кузнецов Е Б Красников С Д Численное исследование задачи Тре-ша // Сборник тезисов "VIII харитоновские научные чтения" "Экстремальные состояния вещества Детонация Ударные волны " - г Саров ВНИИЭФ, 2006 - С 87-89

И) Kuznetsov Е В., Krasmkov S D On the Parametrization of Numerical Solutions to Boundary Value Problems for Nonlinear Differential Equations // Lecture Notes on Computer and Computational Science International E-Conference on Computer Science 2006 - Leiden-Boston Brill, 2006 -Vol 8 - P 540-544

12) Красников С Д , Кузнецов Е Б Продолжение решения в точках бифуркации // Тезисы докладов Международной конференции "XV международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2007)" -М Вузовская книга, 2007 - С 303-304

13) Krasmkov S D , Kuznetsov Е В Numeric Continuation at Bifurcation Points, Including Cusp Points // Book of Abstracts of "Sixth international symposium on classical and celestial mechanics" - M Макс-Пресс, 2007 - С. 79-80

14) Красников С Д , Кузнецов Е Б Продолжение решения в точках бифуркации // Труды Средневолжского математического общества -2007 Т 9 №2 - С 84-94

15) Красников С Д., Кузнецов Е Б , Шалашилин В И Численное моделирование сверхпроводящей пластины в магнитном поле // Труды Средневолжского математического общества - 2008 Т 10 №1 - С 6671

16) Красников С Д , Кузнецов Е Б Численное продолжение решения в точках бифуркации // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уранениям и динамическим системам -Владимир Изд-во ВГУ, 2008 - С 148-149

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати 01 09 2008 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 1,0 Тираж 100 экз Заказ 473 Тел 939-3890 Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им МВ Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

Введение

1 Параметризация численного решения нелинейных краевых задач

1.1. Параметризация задачи.

1.2. Численные исследования.

2 Параметризация решения в точках бифуркации 53 2.1. Поведение кривой в точке простой бифуркации.

2.3. Реализация алгоритма продолжения в точке простой бифуркации

2.4. Продолжение решения в точке простого возврата.

2.5. Дискретное продолжение решения в особой точке вдоль гладкой кривой.

2.6. Численные эксперименты.

3 Численное моделирование прикладных задач

3.1. Сверхпроводящая пластина в магнитном поле.

3.2. Трехстержневая ферма.

В первой главе рассматривается краевая задача для нелинейной системы ОДУ [16, 19, 20] = y(t):R^Rn, (0.1) с нелинейными граничными условиями

R(y(a),y(b)) = 0. (0.2)

Здесь / : I1 х Г 4 Rn, R : ГхГь) Еп.

В дальнейшем предполагается, что нелинейные по переменной у функции / и R удовлетворяют на [а, 6]-таким условиям, при которых решение задачи (0.1) - (0.2) существует.

Для решения краевых задач вида (0.1) - (0.2) разработаны многочисленные методы. В обширной литературе по данной тематике используются всевозможные подходы и различные комбинации методов, например, метод решения краевой задачи может использовать совместно методы решения начальной задачи и методы решения операторного уравнения. Решение краевой задачи может пониматься как решение операторного уравнения в соответствующем пространстве; с этой позиции интересны методы приближенного решения операторных уравнений.

В [22] излагаются способы приближенного решения операторных уравнений. Изучаются различные итерационные процессы решения линейных и нелинейных уравнений. Условия сходимости итерационных процессов уточняются для различных типов операторов. При выборе начального приближения нелинейного операторного уравнения в него вводится параметр Л G [0,1] такой, что при А = 0 решение уравнения известно или может быть легко найдено, а при Л = 1 получается решение исходного уравнения. Решение строится методом продолжения по параметру Л. Рассматриваются два подхода: непрерывное продолжение и дискретное. Отмечается, что продолжение по параметру Л € [0,1] основывается на теореме о неявных операторных уравнениях в банаховых пространствах, которая дает локальные условия продолжаемости (требует гладкости правой части). Нелокальная продолжаемость на весь отрезок является проблемой, так как никакая гладкость здесь не помогает. Для построения приближений обосновывается использование метода Ньютона-Канторовича. Исследуется задача о точках бифуркации уравнения с параметром.

В [44] рассматриваются три метода решения нелинейных краевых задач: метод стрельбы, метод функции Грина, метод конечных разностей. При определенных условиях доказывается сходимость этих методов.

В [31] изложены численно-аналитические методы исследования существования и приближенного построения периодических решений автономных систем ОДУ и решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, рассматриваемых при неразделяющихся двухточечных краевых условиях. В этом случае предлагается вводить параметр в краевые условия таким образом, чтобы на первом шаге метода продолжения подпараметру решение было бы известно, а на последнем шаге по параметру мы получали бы решение первоначальной краевой задачи. После введения параметра предлагаются различные способы решения получившегося уравнения, например, использование модифицированного метода Ньютона-Канторовича. Приведена обширная библиография по данной тематике.

Монография [49] посвящена различным методам решения краевой задачи. Основной упор делается на методе стрельбы и различным его модификациям. Для исследования линейных краевых задач также предлагается использовать метод суперпозиции и метод сопряженного оператора. В случае нелинейной краевой задачи ее предварительно линеаризуют. Для улучшения метода суперпозиции предлагается производить реор-тогонализацию С.К. Годунова [5]. Для этого предлагается использовать алгоритм, предложенный С.Д. Контом [39]. В монографии обсуждаются вопросы связанные с квазилинеаризацией, например, сходимость и указывается связь с методом Ньютона-Рафсона-Канторовича. Для жестких задач авторами предлагается использовать метод продолжения по параметру. Демонстрируются большие возможности метода продолжения и приводятся теоремы о сходимости в функциональных пространствах. В качестве конкретных реализаций, предлагается использовать, в первом случае, как параметр продолжения длину отрезка интегрирования. Вторая реализация подхода связана с введением параметра непосредственно в дифференциальное уравнение.

В [3] описывается единый подход к решению различных нелинейных задач, названный квазилинеаризацией. Так квазилинеаризация применяется при исследовании уравнения Риккати, для решения двухточечных краевых задач, рассматривается применение квазилинеаризации к уравнениям в частных производных, для решения вариационных задач и задач возникающих в динамическом программировании. Авторами подчеркивается связь квазилинеаризации с методом Ньютона-Рафсона-Канторовича в конкретных функциональных пространствах, что обеспечивает, при определенных условиях, квадратичную сходимость. Вдобавок к этому, авторы исследуют условия при которых последовательности сходятся монотонно. Это приводит к дифференциальным неравенствам. Для метода квазилинеаризации получены условия сходимости.

В [2] рассматриваются различные способы решения краевых задач. Обсуждение начинается с линейных краевых задач, далее результаты переносятся на нелинейный случай. Описывается метод стрельбы и метод конечных разностей. В линейном случае предлагается использовать, как достаточно перспективный, метод ортогональной прогонки [5]. Излагаются достоинства этого метода. После линеаризации нелинейного уравнения предлагается использовать метод ортогональной прогонки для решения нелинейной краевой задачи.

Монография [32] посвящена различным численным методам решения двухточечных и многоточечных краевых задач. Книга адресована разработчикам программ реализующих тот или иной численный метод, поэтому теоретические аспекты методов почти не рассматриваются, однако читатель всегда отсылается к соответствующим результатам. Каждый численный метод иллюстрируется несколькими примерами.

Во второй главе рассматриваются различные способы параметризации необходимые для численного преодоления точек бифуркации и один алгоритм, позволяющий находить все ветви в точке простой бифуркации где F : Шп+1 —> Мп достаточно гладкая функция. В существенно особой точке х0 ранг матрицы Якоби функции F

21].

В общем случае кривая может быть задана соотношением

F(x) = О, 9f\ 8f\ a Fx \ dxi дх2 dxn+i

F'{x о) = J0 = dfn 8fn dfn удовлетворяет неравенству rank F'{xq) < п.

Локализация точки бифуркации и анализ поведения решения в окрестности такой точки является сложной задачей. Основным инструментом решения этой проблемы являются методы продолжения решения по параметру, носящие локальный характер [33]. Это проявляется в том, что вычисление матрицы Якоби и обращение ее для поиска ближайших точек решения - существенная черта этих методов. Различные формы метода продолжения решения, реализующие равноправие всех переменных, имеют"единый алгоритм продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений нелинейных систем уравнений. Анализ поведения решения в случае точки бифуркации требует привлечения дополнительных методов. В качестве основного метода исследования будет принят метод разложения в ряд Тейлора в окрестности особой точки. Он позволяет разложить по специальным переменным уравнение разветвления, анализируя которое можно найти все ветви решения. Сложность анализа зависит от степени вырождения матрицы Якоби F'. Здесь рассматривается случай, когда гапк^'(ж0) = п — 1.

Проблеме продолжения решения в окрестности точки бифуркации посвящено множество работ. Рассмотрим те работы, которые имеют непосредственное отношение к теме данного исследования.

Монография [4] посвящена изложению теории ветвления нелинейных уравнений, в основе которой лежит редукция первоначальной нелинейной задачи к эквивалентной конечномерной задаче - уравнению разветвления. Получены различные обобщения классических результатов работ A.M. Ляпунова и Э. Шмидта. В рамках данной теории сначала исследуются ветвление периодических решений дифференциальных уравнений и построение решений нелинейных интегральных уравнений. Затем излагается главный результат монографии - общая теория ветвления решений нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Рассматриваются некоторые прикладные задачи, возникающие в механике.

Монография [45] посвящена изложению вычислительных аспектов теории бифуркаций и различных методов решения нелинейных уравнений. На примере задачи зависящей от параметра (логистического уравнения), показывается как возникает ветвление на практике. Изучаются локальные методы продолжения. Описываются различные предикторно-корректорные схемы. Особое внимание посвящено корректорам ньютоновского и квазиньютоновского типа. Рассматривается глобальная теория. Излагаются основные результаты теории степеней отображений Брауэра. Гомотопическая инвариантность степени отображения позволяет получить ряд замечательных результатов. К таким результатам относится тест на появление бифуркации и глобальный метод Ньютона. В связи с последним читатель отсылается к работам Смейла и Бранина. Описывается практическая реализация метода движения вдоль кривой множества решений'и решение сопутствующих проблем. Вводятся определения простой предельной точки (simple limit point, simple fold). В качестве параметра продолжения предлагается использовать аппроксимации длины дуги (pseudoarclength continuation). Применение метода Ньютона к расширенной системе, приводит к необходимости обращения матрицы специальной структуры. Описание реализации такого обращения определяет алгоритм окаймления (bordering algorithm). В силу структуры расширенной системы алгоритм будет без изменения работать в некоторых сингулярных точках. Исследуются простые сингулярные точки (simple singular point), находятся различные ветви решения в этих точках. Формулируется и доказывается теорема, утверждающая, что при определенных условиях (ноль алгебраически простое собственное значение) якобиан системы продолжения меняет знак в простой сингулярной точке. Также излагается результат позволяющий свободно проходить простые сингулярные точки, оставаясь на той ветви, которая соответствует гладкому продолжению. Рассматриваются вопросы устойчивости. Далее предлагается пять методов нахождения дополнительной ветви, которая появляется в точке бифуркации. Первый метод заключается в нахождении компонент разложения касательных векторов по специальному базису, для чего необходимо составлять квадратичную форму с приближенными коэффициентами. Второй метод заключается в поиске решения на некотором параллельном подмножестве, удаленном от точки бифуркации в направлении перпендикулярном к касательной, но лежащем на специальной плоскости. Третий метод заключается в непосредственном применении конструктивной теории существования Ляпунова-Шмидта. Этот метод позволяет построить уравнения, решая которые получаем вторую ветвь. Четвертый метод заключается в использовании способа аналогичного тому, который примененяли Крандалл и Рабинович для доказательства известной теоремы о ветвлении в точке простой бифуркации. В пятом методе используется специальное возмущение правой части, позволяющее избавится от точки бифуркации и, таким образом, расщепить ветви. Кратко рассматриваются многопараметрические задачи и бифуркации Хопфа.

Работа [37], посвящена различным аспектам применения метода продолжения по длине дуги кривой множества решений. Изложение кратко затрагивает некоторые вопросы нахождения и обработки точек бифуркации. Им целиком посвящен один раздел: "нелинейные задачи на собственные значения, бифуркации". В этом разделе дается определение точки бифуркации и простой точки бифуркации. Используя редукцию

Ляпунова-Шмидта, для простой точки бифуркации доказывается вариант теоремы Крандалла-Рабиновича. Данная теорема дает условия при которых две гладкие кривые пересекаются в точке под ненулевым углом. Далее приводится важный результат - ориентация кривой (определитель производной Фреше оператора системы продолжения) меняется при переходе через простую точку бифуркации (результат, по-видимому, впервые был получен М. А. Красносельским). Этот результат особенно важен для численного прохождения кривой и определения точки бифуркации. Отмечается, что в силу результатов Келлера о существовании конуса сходимости с центром в точке бифуркации, при достаточно малом шаге движения вдоль кривой, точка полученная предиктором попадает в этот конус сходимости ньютоновского корректора. Это позволяет проходить точку простой бифуркации с помощью стандартных предикторно-корректорых схем. Кроме того, появляется возможность детектирования специальных типов бифуркаций - смена знака определителя расширенного якобиана системы. Отмечается, что в случае бифуркации Хопфа этот метод неприменим. Для более трудной задачи численного перехода на другую ветвь предлагается возмущать с помощью малого параметра систему уравнений продолжения. Такой подход становится возможным благодаря известной теореме Сарда, утверждающей, что иррегулярности имеют меру нуль. Таким образом специальным 11 шевелением "параметров задачи можно избавиться от точек бифуркации, и получить вторую ветвь. Обсуждаются недостатки данного подхода. Предлагаются еще два возможных подхода. Первый заключается в расширении первоначальной системы для непосредственной обработки точки бифуркации. Далее к расширенной системе применяется, например, метод Ньютона. Данный подход получил свое развитие в работах Зейделя и Вебера. Второй подход заключается в построении бифуркационного уравнения, из которого затем определяются касательные к различным ветвям. Этот подход разрабатывался в работах Келлера и Рейнболдта. Более детально обсуждается лишь первый подход. Описывается алгоритм Алговера и Шветлика являющийся одной из реализаций такого подхода. Далее кратко рассматривается возможность появления кратных бифуркации при условии, что система демонстрирует определенную симметрию. Краткость изложения компенсируется ссылками на соответствующие результаты.

В статье [41] дается введение в локальную теорию бифуркаций одпопа-раметрических систем около положения равновесия как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для отображенрга Пуанкаре. Обсуждаются на элементарном уровне основные аналитические методы локальной теории: 1)редукция к центральному многообразию, 2)теория нормальных форм Пуанкаре-Биркгофа. Рассматриваются вопросы связанные с симметрией нормальных форм. В заключении рассматриваются примеры: бифуркации возникающие в процессах, описываемых уравнением Гинзбурга-Ландау; бифуркации Хопфа, возникающие в модели трех волн.

Последняя глава монографии [36] посвящена исследованию продолжения решения в особых точках. Предполагается, что решения системы уравнений (2.1) описываются гладкими кривыми х = ж (Л), где Л длина дуги данной кривой. Это позволяет использовать разложение в ряд Тейлора для анализа поведения в особой точке. Предлагается первоначальное пространство М"+1 раскладывать в прямую сумму двух подпространств Рг и Ad. Пространство Ad натянуто на векторы, ортогональные строкам расширенной матрицы Якоби системы Jq в особой точке xq, ранг которой равен г, d = п 1 — г - показатель вырождения задачи. Это позволяет получить два результата: касательный вектор любой ветви кривой принадлежит пространству Ad; анализ первоначальной задачи размерности п + 1 эквивалентен анализу другой задачи размерности d. Эта последняя задача заключается в решении уравнения разветвления. В случае однократного (rank Jo = п — 1)и двукратного (rank J0 = п — 2) вырождения проводится построение уравнения разветвления в первом приближении.

В монографии [6] проблема определения напряженно деформированного состояния сводится к проблеме решения системы нелинейных уравнений f(x,p) = 0, где х и р являются дискретными аналогами перемещений и нагрузок. Являясь уравнениями равновесия деформируемого твердого тела, они получаются как частные производные полной потенциальной энергии деформации тела. Отсюда следует, что матрица Якоби левых частей будет симметрична. Для исследования нагруженного состояния предлагается использовать специальный вариант метода продолжения решения по параметру. Такой подход позволяет сохранить симметрию матрицы Якоби за счет некоторого ухудшения обусловленности системы продолжения. Симметрия матрицы Якоби гарантирует наличие базиса составленного из собственных векторов. В существенно особых точках это дает возможность переходить с основной ветви на бифуркационную. Рассматриваются вопросы связанные с нахождением существенно особых точек и с уточнением решения в особых точках.

В монографии [43] рассматривается абстрактная теория бифуркаций нелинейных фредгольмовых операторов в банаховых(иногда гильбертовых) пространствах.

Изложение локальной теории начинается с абстрактной теоремы о неявной функции. Нарушение предположений этой теоремы приводит к возможности появления бифуркации. Далее исследование бесконечномерной задачи сводится к исследованию конечномерной задачи - бифуркационного уравнения. Размерность новой задачи равна размерности вырождения первоначальной задачи. Этот переход осуществляется с использованием известного метода редукции Ляпунова-Шмидта. Переход к новой задаче позволяет получить ряд результатов. В случае специального одномерного вырождения удается применить теорему о неявной функции к уравнению разветвления. Точки, в которых выполняются все условия этойг теоремы, называются "точками переключения"(turning points), "складками" (folds), в некоторых специальных случаях они также известны как "бифуркации седловых точек"(saddle node bifurcation), в отечественной литературе - это предельные точки. Далее исследуется вопрос о бифуркациях с одномерным ядром производной Фреше нелинейного фредголь-мового оператора. В данном случае под точкой бифуркации понимается точка (ж, До), в которой пересекаются два решения уравнения F(x, Д) = 0. •Второй результат, использующий редукцию Ляпунова-Шмидта - теорема Крандалла-Рабиновича, которая дает достаточные условия для существования таких точек. В зависимости от взаимного расположения кривых в окрестности особой точки эти бифуркации называются: переходная (transcritical) (производная параметра задачи Д по длине дуги кривой множества решений не равна нулю), докритическая (subcritical), закритиче-ская (supercritical). В последних двух случая такие бифуркации известны как "вилки"(pitchfork bifurcation). Полученные ранее результаты позволяют исследовать вопрос об устойчивости эволюционных уравнений общего вида

§ = А) (0-3) на решениях в окрестности точек бифуркации. Для эволюционного уравнения точка (жд, До); в которой F(x, Д) = 0, называется точкой равновесия. Принцип исследования устойчивости по первому приближению не применил! к точкам равновесия, в которых происходит вырождение производной правой части F(x, Д). Ясно, что это будут точки бифуркации для F(x, X) = 0. Однако, этот принцип можно применить к кривым множества решений, проходящим через (xq, До). Такой подход можно рассматривать как исследование возмущения нулевого собственного значения. При условии, что ноль простое собственное значение, в четырех случаях (turning point, transcritical, subcritical, supercritical) исследуется устойчивость возмущения. Результат формулируется в виде "принципа обмена устойчивостью"(principle of exchange of stability). Исследуется вопрос о потери устойчивости эволюционной (0.3) системы при переходе комплексно-сопряженной пары собственных значений через мнимую ось при некотором значении параметра задачи До- Это приводит к формулировке и доказательству теоремы Хопфа для фредгольмовых операторов, действующих в банаховых пространствах. По теореме о неявной функции стационарное решение в этом случае не появляется, однако, по теореме Хопфа при этом значении параметра появляется периодическое решение (бифуркация Хопфа). Устанавливается, что бифуркация Хопфа является двухпараметрической, другим скрытым параметром является период. Рассматривается возможность появления периодических решений в случае системы (0.3) без явного параметра А. Это требует дополнительных ограничений. К таким ограничениям относится гамильтоновость системы. Это приводит к варианту теоремы Ляпунова о периодических решениях. Далее, для ряда специальных случаев, уточняется теорема Хопфа и теорема 'Ляпунова. Изучается также "принцип обмена устойчивостью "для бифуркаций Хопфа. Это требует привлечения теории множителей pi экспонент Флоке. Далее исследуется вопрос глобального продолжения локальных периодических решений, полученных с использованием теоремы Хопфа, и их устойчивость, делается замечание о их связи с неподвижными точками отображения Пуанкаре эволюционной системы. Изучаются бифуркации удвоения периода и изучается их устойчивость. Подчеркивается, что обычный способ изучения таких бифуркаций - изучение итераций отображений Пуанкаре. В предыдущих разделах монографии бифуркации с одномерным ядром изучались с помощью метода Ляпунова-Шмидта, который приводил к изучению одномерного бифуркационного уравнения. Далее это уравнение решалось, с использованием теоремы о неявной функции. Применимость теоремы гарантировалась специальными условиями, налагаемыми на бифуркационное уравнение. В случае отказа от этих условий, теорема о неявной функции должна заменяться более мощным подходом - методом диаграммы Ньютона. Поэтому диаграмма Ньютона изучается в связи с более сложными случаями ветвления операторов. Р1спользуя этот метод, сначала изучаются операторы с простым собственным значением, далее кратко рассматривается ситуа-цпя многомерного вырождения. Проводится анализ устойчивости. Аналогичный подход используется для изучения вырожденных бифуркаций Хопфа. Основная идея глобальной теории бифуркаций заключается в том, что о наличии бифуркации можно судить по некоторым косвенным признакам на опорной траектории. Так, например, для задачи продолжения по параметру, этим признаком является смена знака расширенного якобиана системы. В монографии эта идея обобщается на нелинейные фредгольмовы операторы. Основным инструментом исследования является теория степеней Брауэра, перенесенная на специальные операторы в банаховых пространствах, и известная как теория степеней Лере - Шауде-ра. Отмечается, что первое применение методов глобальной теории дано в работах М. А. Красносельского. Ряд результатов уточняется для потенциальных операторов. Далее изучаются различные приложения полученных ранее результатов к теории уравнений в частных производных.

Глава 3 посвящена численному решению прикладных задач, с использованием предложенных ранее методов. Рассматривается задача о сверхпроводящей пластине, помещенной в магнитное поле. Теория таких задач была создана в работах В.Л.Гинзбурга и Л.Д.Ландау [8]. В статье [11] проведено численное и аналитическое исследование задачи. В третьей главе диссертации воспроизведены результаты статьи [11] и, кроме того, получены новые результаты. Далее в той же главе рассматривается задача о бифуркации трехстержневой фермы. С помощью нового подхода удалось решить задачу без использования начальных возмущений.

Заключение

1) На основе введения наилучшего параметра, предложена модель движения по кривой множества решений при параметризации краевых условий. Получены теоретические предпосылки к построению качественно лучших алгоритмов, позволяющих проходить некоторые типы особенностей.

2) Используя наилучшую параметризацию, построены новые алгоритмы, улучшающие стандартные вычислительные схемы решения краевых задач. Численные исследования показали, что предложенная параметризация краевой задачи существенно улучшает вычислительный процесс метода пристрелки, а использование наилучшего параметра позволяет рассматривать такие граничные условия, для которых решение непараметризованной задачи получить не удается. Даны рекомендации к улучшению вычислительного процесса в сопутствующих задачах, в том числе и в задаче Коши.

3) Предложен простой метод нахождения всех ветвей в точке простой бифуркации. Дано развитие методов продолжения в применении к точкам простого возврата. Предложен способ регуляризации метода продолжения в таких точках.

4) Найдена оценка роста нормы матрицы, обратной к матрице Якоби, в окрестности точки простого возврата. На основе этой оценки обоснована нормальная работа алгоритм продолжения. На многочисленных примерах даны иллюстрации эффективной работы предложенных алгоритмов.

5) На основе подходов и методов, предложенных в работе, решена прикладная задача из теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау для новых значений параметров задачи, решена без использования начальных возмущений задача о бифуркации трехстержневой фермы.

1. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н. Краевая задача для ОДУ и приложения к оптимальному управлению // Report at SCI-2004 Conference. -Orlando, 2004.

2. Бахвалов H.C. Численные методы. М.: Наука, 1973.

3. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. - 183 с.

4. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.:Наука, 1969.

5. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН .- 1961. Т. 16. Вып. 3.- С. 171 174.

6. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек. М.: Изд-во МАМИ, 2004.

7. Григолюк Э.И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988.

8. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // Ж. экс-перим. и теор. физ. 1950. Т. 20. Вып. 12. - С. 1064-1082.

9. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88. № 4. - С. 601-602.

10. Дулан Э., Дж. Миллер, У. Шилдерс Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

11. Дышко А.Л., Жарков Г.Ф., Конюхова Н.В., Курочкин С.В. Аналитико-численные исследования нелинейной краевой задачисверхпроводящей пластины в магнитном поле // Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 9. - С. 1651-1676.

12. Задорин А.И. О численном решении третьей краевой задачи для уравнения с малым параметром// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24. № 7. - С. 1008-1015.

13. Зорин В.А, Математический анализ. Т. 1. М.: ФАЗИС, 1997.

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

15. Каханер Д., Моулер К., Нэш. С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998.

16. Красников С.Д., Кузнецов Е.Б. Параметризация численного решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 12. - С. 21482158.

17. Красников С.Д., Кузнецов Е.Б. О некотором подходе к решению задачи об ограниченном движении двух тел. // Международная научная конференция по механики "Третьи поляховские чтения". Избранные труды. СПб.: Изд-во НИИХ СПбГУ. - 2003. - С. 152-157.

18. Красников С.Д., Кузнецов Е.Б. К параметризации численного решения краевых задач //Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. № 7. - С. 943 - 951.

19. Красников С.Д., Кузнецов Е.Б. Параметризация численного решения нелинейных краевых задач j j Математическое моделирование. 2006. Т. 18. № 9. - С. 3-16.

20. Красников С.Д., Кузнецов Е.Б. Продолжение решения в точках бифуркации.// Труды Средневолжского математического общества. -2007. Т.9. № 2. С. 84-94.

21. Красносельский A.M., Вайникко Г.М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

22. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой итерационным методом// Докл. РАН. 2004. Т. 396. № 6. - С. 746748.

23. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривых// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. JY5 9. - С. 1540-1551.

24. Кузнецов Е.Б., Красников С.Д. Численное исследование задачи Трёша. // Сборник тезисов "VIII харитоновские научные чтения "."Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны.". г. Саров: ВНИИЭФ, 2006. - С. 87-89.

25. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши как задача прожол-жения решения по наилучшему параметру // Дифференциальные уравнения. 1994. Т.ЗО. № 6. - С.964-971.

26. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

27. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.:Наука, 1983.

28. Понтрягин Л. С. Принцип максимума в оптимальном управлениии. М.:Наука, 1989.• 31. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач. Киев: Наукова думка, 1986.

29. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982. - 294 с.

30. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.:Физматлит, 2002.

31. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1952.

32. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. СПб.: Изд-во "Лань", 1997.

33. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

34. Allgower E.L., Georg К. Numerical Continuation Methods: An Introduction, Series in Computational Mathematics. Vol. 13. - Berlin, Heidelberg, New York, Springer Verlag, 1990.

35. Cont S.D. The Numerical Solutions of Linear Boundary Value Problems// SIAM Rev. 1966. Vol.3. № 8. - P. 309 - 321.

36. Crandall M. G., Rabinowitz P. H. Bifurcation from simple eigenvalues // J. Funct. Anal. -1971. Vol.8. P. 321-340.

37. Crawford J.D. Introduction to bifurcation theory// Reviews of Modern Physics. 1991. Vol. 63. №. 4. - P. 991-1037.

38. Decker D.W., Keller H.B. Path following near bifurcation // СРАМ. -1981. Vol. XXXIV. P. 149-175.

39. Kielhofer H. Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to PDEs. Appl. Math. Sciences 156. New York: Springer-Verlag, 2004.

40. Keller H.B. Numerical methods for two-point boundary value problems. Waltham: Ginn-Blaisdell, 1968.

41. Keller H.B. Lectures on numerical methods in bifurcation-problems. -Berlin: Springer, 1987.

42. Lahaye M.E. Une metode de resolution d'une categorie d'equations transcendentes // Compter Rendus hebdomataires des seances de L' Academie des sciences. 1934. Vol. 198. № 21. - P. 1840-1842.

43. Roberts S.M., Shipman J.S. Two point boundary value problems: shooting methods. - New York: Elsevier, 1972.

44. Roberts S.M., Shipman J.S. Solution of Troesch's two-point boundary value problem by combination of techniques.// J. Comput. Phys. 1972. Vol. 10. - P. 232-241.

45. Trenogin V.A.Computation of one-parametric families of solutions of nonlinear equations // Proceedings of the Second ISAAK Congress. -2000. Vol.1. P. 727-735.

46. Troesch B.A. A simple approach to a sensitive two-point boundary value problem. //J. Comput. Phys. 1973. Vol.12. - P. 279-290.

47. Weibel E.S. Confinement of a plasma column by radiation pressure. In: The plasma in a magnetic field (R. К. M. Landshoff, ed.). - Stanford: Stanford Univ. Press, 1958.