автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оценка областей притяжения и инвариантных множеств в задаче управления колёсным роботом

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА РАН

УДК 517.928.7 + 681.51 Ча правах рукописи

и *->-"• '

МОРОЗОВ Юрий Викторович

ОЦЕНКА ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ И ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЁСНЫМ РОБОТОМ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

1 7 Г.рм 7909

003476638

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Рапопорт Л.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Назин A.B.

кандидат физико-математических наук Кручишш П.А.

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН.

Защита состоится 8 октября 2009 г. в 14:00 часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.02 Учреждения Российской академии наук Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. Телефон совета: 334-93-29.

Адрес Института: 117997 г. Москва ул. Профсоюзная д.65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан ^■с&^ГлГрЯ 2009 г.

Учёный секретарь

Диссертационого Совета Д 002.226.02 кандидат технических наук

В.Н. Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. В иослсдиис годы для повышения точности проведения строительных и сельскохозяйственных работ используются мобильные роботы, оснащенные системами спутниковой и иперциалыюй навигации. Задачи, возникающие при управлении подобными машинами, можно разделить на два вида:

- планирование траектории,

- выход на заданную траекторию и стабилизация движения по пей.

Постановка первой задачи определяется содержанием строительного

или сельскохозяйственного задания. Вторая задача решается с помощью синтеза закона управления, стабилизирующего движение машины вдоль кривой, полученной из решения первой задачи.

В литературе встречаются различные модели мобильных роботов. В работах Мирошиика И.В., Никифорова В.О., Фрадкова А.Л., Рапопорта Л.Б., Самсона С, Уткина В.И., Уолша Г. решается задача синтеза управления, позволяющего стабилизировать движение по отрезку прямой пли гладкой кривой с ограниченной кривизной.При этом управление может быть непрерывным или разрывным. Очень часто синтезированный закон управления не удовлетворяет заданным ограничениям. С другой стороны, ограниченность управления не позволяет добиваться гарантированной скорости убывания нормы отклонения от предписанной траектории для произвольного начального положения целевой точки и ориентации платформы робота. Другими словами, замкнутая система в общем случае не обладает свойством глобальной устойчивости, т.е. для начальных условий, лежащих вне области притяжения, автоматический выход мобильного робота на требуемую траекторию не гарантируется. Таким образом, возникает задача оценки области начальных состояний, из которой возможен выход на заданную траекторию.

Задача построения инвариантной области для линейной системы рассматривается в ряде работ. В книге Поляка Б.Т. и Щербакова П.С. предлагается метод инвариантного эллипсоида для случая линейной системы с ограниченным возмущением. В работах Черноусько Ф.Л. и его учеников разработай метод эллипсоидов для аппроксимации областей достижимости в линейных системах с шумом, ограниченным в L2 норме. Формаль-ским A.M. исследована структура областей достижимости для линейных систем.

Важно отметить тот факт, что даже самая простая кинематическая схема колёсного робота описывается системой нелинейных дифференци-

альных уравнений, поэтому описанные выше методы неприменимы для анпроксимащш областей притяжения в задаче управления колёсным роботом. Кроме того, при движении колёсного робота с приводом поворота переднего колеса, обладающим инерционностью, вдоль траектории с быстро меняющейся кривизной возникают переходные процессы, которые не позволяют достичь асимптотической устойчивости. Это означает, что для данного случая области притяжения положения равновесия просто не существует. Поэтому вместо попыток оценки областей асимптотической устойчивости в диссертации предлагается метод построения двух инвариантных областей, оценивающих как величину переходных процессов, вызванных переключением с сегмента на сегмент, так и область начальных условий, из которых гарантируется попадание в первую область. Как будет показано ниже (глава I), такие области можно построить для некоторого класса нелинейных систем. Области похожей структуры строились для в стохастических систем в работе Барабанова И.Н. и Пятницкого Е.С.

Предлагаемый метод получения оценок областей притяжения и инвариантных множеств основан па построении непрерывных функций Ляпунова в виде квадратичных форм. Похожая задача — исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях в большом была сформулирована в книге Малкина И.Г. и получила дальнейшее развитие в работах советских ученых Красовского H.H., Четаева Н.Г. и Черноусько Ф.Л. Однако построение таких функций для исследования нелинейных систем было бы невозможно без методов теории абсолютной устойчивости, которые развиты Пятницким Е.С., Лурье А.И., Постниковым В.Н., Айзерманом М. А., Гантмахером Ф.Р., Гелигом А.Х., Леоновым Г.А., Якубовичом В.А. и другими учёными.

В современной литературе можно встретить различные способы аппроксимации областей притяжения и инвариантных множеств. В работах Ху Т., Ма Л., Лина 3., Лу Л., Коунтиньё Д.Ф. область притяжения строится из пересечения нескольких эллипсоидов или в виде одного для системы с произвольным переключением между N линейными системами. Чизи Г. и Хаиг Й.С. предлагают численный метод, позволяющий уточнить границу некоторой начальной области притяжения с помощью квази-квадратичной функции Ляпунова. Розгонуй С. и Хэнгос K.M. предлагают численный метод, последовательного уточнения границы области притяжения. Ванел-ли А. и Видьясагар М. рассматривают построение функций Ляпунова в виде отношения полиномов для нелинейных систем. Все описанные методы подходят только для аппроксимации области притяжения положения равновесия, для оценки переходных процессов они не подходят. Разработке численного метода для решения этой сложной задачи посвящена первая глава и применении его в задаче управления колёсным роботом — вторая.

Целью диссертационной работы является разработка численных методов построения оценки областей притяжения и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем, с последующим применением разработанных методов в задаче управления колёсным роботом.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, линейных матричных неравенств и вычислительной математики.

Научная новизна:

1. В терминах линейных матричных неравенств получена оценка области притяжения совместно с оценкой инвариантного множества для некоторого класса нелинейных систем.

2. Впервые полиномиальное преобразование координат применено для уточнения границы области притяжения.

3. Разработаны численные методы итерационного оценивания областей нритяжешш и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем и применены в задаче управления колёсным роботом.

Научная и практическая ценность. Результаты, полученные в настоящей работе, являются развитием вычислительных методов теории абсолютной устойчивости и методов решения лииейпых матричных неравенств. Рассмотренные методы позволяют строить оценки областей притяжения и инвариантных множеств для нелинейных систем, а также могут быть использованы при проверки оптимальности синтезированных законов управления.

Положения, выносимые па защиту:

1. Новые достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия одного класса нелинейных систем, встречающегося в теории управления.

2. Метод построения оценки области притяжения для этого класса систем, основанный на методах решения системы линейных матричных неравенств.

3. Метод последовательных итераций, позволяющий улучшить оценку области притяжепня, основанный на методах решения системы линейных матричных неравенств.

4. Метод построения оценки области притяжения в задаче управления колесным роботом.

5. Численный метод итерационного оценивания инвариантного множества, обеспечивающий минимизацию его объёма, при максимизации объёма области притяжения в задаче управления колёсным роботом.

6. Численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм чётных степеней в задаче управления колёсным роботом.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лнчпо соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 1-ой Российской мультикон-ференции по проблемам управления "Мехатроника, автоматизация, управление" (Санкт-Петербург, 2006), И-ой школе - семинаре молодых ученых "Управление большими системами" (Воронеж, 2007), 1Х-ой конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2007), Ш-ей Всероссийской молодежной научной конференции по проблемам управления (Москва, 2008), Х-ом международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008), 17-ом Международном конгрессе 1РАС (Сеул, Юж. Корея, 2008), 1У-ой Всероссийской школе-семинаре молодых ученых "Проблемы управления и информационные технологии" (Казань, 2008), 1Х-ой Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, Украина, 2008), Международной мультикопференции "Теория и системы управления" (Москва, 2009).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 13 печатных работ, в том числе 3 в ведущих научных журналах.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из "Введения", двух глав "Основной части", "Выводов" и "Списка литературы" (64 источника), а также содержит 15 рисунков. Общий объём диссертации составляет 78 страниц.

Содержание работы. Во "Введении" обосновывается выбор цели и актуальность рассматриваемых в работе проблем, приведены основные положения диссертационной работы.

В первой главе "Основной части" введены основные определения, которые затем используются в тексте диссертации. Выделены классы нелинейных систем, для которых задача аппроксимации областей притяжения и инвариантных множеств сводится к проверке разрешимости системы ли-

пейных матричных неравенств. Кроме того, для выделенных классов нелинейных систем введены различные вспомогательные классы систем более общих в смысле решений. Для этих классов решены различные оптимизационные задачи, связанные с построением оценок областей притяжения и инвариантных множеств. Предложен итерационный метод, позволяющий существенно уменьшить консервативность оценок инвариантных множеств.

Вторая глава "Основной части" посвящена исследованию качества различных законов управления и оценки величины переходных процессов с помощью областей притяжения н инвариантных множеств в задаче стабилизации колесного робота вдоль заданной траектории. Сформулированы оптимизационные задачи, соответствующие различным моделям колёсного робота. Проведено численное моделирование для различных параметров модели. Подробно описан численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм чётных степеней в задаче управления колёсным роботом, основанный на полиномиальном преобразовании. Перейдём к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе разработан метод построения "кольцевой" области, которая аппроксимирует область притяжения инвариантного множества для следующего класса нелинейных систем:

х = Ax + /(x) + g(x) + w(t), /(x) = F(x)x, х 6 К" (1)

где квадратная матрица А = [ay]"j=i — гурвицева, квадратная матрица F{x) имеет вид

F(x) =

(2)

/п(^2, ■•• ,Хп) /12(21, Х3, ■■■ ,Хп) ••• /1„(Х1, ■ ■ ■ ,Хп-1)

_/п\(Х2, •■■ , хп) /п2(Х1,Х3, • • • , Хп) ■ ■ ■ /пп(хь ■■■ , Хп-1)

вектор-функция д(х) удовлетворяет ограничению

\\д(х)\\<С0\\хГ, (3)

компоненты вектор-функции удовлетворяют ограничениям

\ил(1)\<1и°,1=Т^. (4)

Заметим, что скалярные функции /гк(-) не зависят от переменной Хк г = 1,п. Потребуем, чтобы функции подчинялись ограничениям:

4 < Ш = м, 3 = 1Я (5)

Таким образом, матрица А определяет свойства линейного приближения системы (1), функции /(х) и д(х), если они отличны от нуля, отвечают за

поведение решений системы, вызванное членами более высокого порядка, а функция w(t) определяет внешние воздействия. Далее будет предполагаться, что все решения системы (1) лежат в n-мерном параллелепипеде:

Пп(а) = {х : \xi\ < оц > 0, г = 17«}. (6)

Определение 1. Область £ назовём инвариантной областью для системы (1), если для любого решения xw(xo, to, t) из условия xw(xo,to, t) £ £ следует xw(xo, to,t) £ £ для всех t > t.

Такие области иногда называют положительно инвариантными, имея в виду, что вместе с любой точкой траектории Хо области £ принадлежит и вся полу траектория, начинающаяся в этой точке.

Определение 2. Инвариантную область Т> назовём областью притяжения инвариантного множества £ за конечное время, если для любого Хо £ Т> найдется такое Т > to, что для любого t > Т выполняется условие xw(x0, to, t) 6 £.

При этом, если Т не зависит от хо, то область Т> называется областью равномерного притяжения множества £ за конечное время. В диссертации рассматриваются области равномерного притяжения и слово "равномерное" для краткости опускается.

Итак, можно сформулировать следующую задачу. Задача 1. Построить область притяжения Т> С П(а) инвариантной области £ для системы (1) так, чтобы область М = Т> \ £ имела максимально возможный размер.

Критерий максимальности размера будет сформулирован позже. Точную область М. для этой системы построить трудно, поэтому в диссертации ищется её аппроксимация. Для решения этой задачи вводится вспомогательный класс систем вида:

х = Ä{t)x + Bu(t), (7)

где матрица Ä(t) = [ау + qij(t)]fj=i,

%(t) е [ql, Qij],i = 17n, j = lTn, (8)

а матрица В = diag(6i, • - - ,6n) — диагональная матрица с постоянными коэффициентами. Здесь и далее предполагается, что вектор-функция u(t) = («i(i), • • • , un(t))T так же, как и функции qij(t) удовлетворяет условиям Каратеодори существования абсолютно непрерывного решения системы (7), причём функции «¿(i) ограниченичены:

М0|<1, ¿ = (9)

а границы параметрических и внешних возмущений ( и щ(Ь) соответственно) для системы (7) выбираются следующим образом:

$ = Л}> 9у = /у. 1 е е Л/.

Ьг = тах{|4|, |} + Со||аГ + < (10)

где множества не содержат соответственно к и I целых чисел.

Выбор коэффициентов для системы (7) в виде (10) означает, что этот класс систем будет более общим ч смысле решений, чем класс систем (1). Поэтому оценка области притяжения инвариантного множества, построенная для системы (7), будет также областью притяжения инвариантного множества и для системы (1). Таким образом, достаточно найти оценки областей Т> и £ для системы (7).

В качестве аппроксимации инвариантных областей используются эллипсоиды вида

П(Р, 7) = {х : У(Р, х) < 72, 7 > 0}, (11)

где У(Р,х) = хтРх, Р >- 0 — функции Ляпунова. Здесь и далее символ >- означает положительную определённость матрицы. Более точно инвариантная область системы (7) ищется в виде 1), а область её притяжения за конечное время в виде 0,(Р2,гу) для некоторого 7 > 1.

Множества вида й(Ри Р2,7) = П(Р2,7) \ ЩРи 1), Рг >- Р2 У 0,1 > 1 будем называть "кольцевыми". Поскольку нас интересует экспоненциального скорость притяжения к £, то на функции Ляпунова накладываются условия

тРиФо,*«,,*» <0 прп х{хМ) е й(рьр2Л); (12)

вУ(Р2,хМ,1)) + ^ при ^ ^ б п

ал

(13)

где ¡1 - показатель экспоненциального убывания, а производная но независимой переменой I понимается в силу системы.

Лемма 1. Пусть решения системы (7) удовлетворяют условиям (12)-(13) при любых возмущениях, удовлетворяющих ограничениям (8), (9). Тогда множество £1{Р\, 1) инвариантно для систелш (7) при указанных ограничениях и множество Г2(Р2,7) является областью притяжения за конечное время множества П(Рь 1).

Далее определим матрицу А(ц) = [а^ + где q =

(<?1Ъ "' • 191 п, • • • , Яп1, ••• , Я пп)Т принимает все значения из параллелепипеда в пространстве параметров д, т.е.

% € [<??;, i=Vn, j =Ьп. (14)

Вершины этого параллелепипеда обозначим через (¿к, к = 1,2Л/, М — число неравных тождественно нулю функций (?у(£), г = \,п, $ = \,п. Лемма 2. [12]Пустъ дана функция /(г,д), линейная по векторно-лгу аргументу <7 и непрерывная по векторному аргументу г. Пусть = сопу{(/1 , • • ■ , где сопу{-} обозначает выпуклую оболочку множества векторов. Тогда следующие условия эквивалентны:

д) < 0 для любого € <5 и любого г, (15)

¡{г, 9,) < 0 для любого г, г = 1 ,т. (16)

Далее сформулируем основное утверждение главы 1. Теорема 1. 1 Предполоэюим, что для некоторых значений а,; > О, г = 1, п, ц > 0, 7 > 1, Т/с > 0, ук > 0, к = 1,2м разрешимы относительно матрицы Р\, Р\ следующие линейные матричные неравенства:

АТ{дк)Р1 + Р1А(Як) + (1 + 12)икР1-икР2 Р\В

ВТР1 -Ып)1п

У 0, (17)

АтШР2 + Р2АШ + 2цР2 + (1 + 72)г^1 - ткр2 Р2В

ВТР2 ~(тк/п)Г

е,-е.

,т

У О, (18)

Р2 У О, Р1 >■ Р2, Рг >- У-4-, г = 1, п, (19)

Щ

где е{, г = 1,п — единичные векторы в пространстве Л". Тогда область т) является областью притяжения инвариантного множества С1(Р\, 1) для системы (7) и выполняется включение П(Р1,Р2,гу) С П"(а).

Поставим оптимизационную задачу поиска максимальной по размеру "кольцевой" области для системы (7), которая решается стандартными решателями ЬМ1. Пусть Р(7) обозначает множество решений системы линейных матричных неравенств (17), (18), (19), дополненной ограничениями

ЦР1Ц <Р, ||Р2|| <Р-

Задача 2. Для данного 7 > 1 найти такую матрицу Р — diag(Pl, — Р2), при которой объем эллипсоида П(Р1,1), оценивающего инвариантное множество 8, достигает минимального размера, а объем эллипсоида $1(Р2,7), оценивающего область Т>, достигает максимального размера, т.е. выполняется условие ттрир2ещ^Ьг(Р).

"Кольцевая" область в теореме 1 определяется двумя положительно определенными матрицами Р\ и Р2 и параметром 7 > 1. Теперь предположим, что матрицы Р\ и Р2 совпадают. Очевидно, что в этом случае мы

1частный случай теоремы М ~ 3 и п = 3 доказан в [4].

ухудшаем аппроксимацию областей Т> п £, однако, с другой стороны, такой подход, позволяет существенно уменьшить число линейных матричных неравенств.

Теорема 2. [7] Пусть для некоторых значений а^ > 0, г = 1 ,п, ц > О, 7 > Тк > 0, к = 1,2м разрешимы относительно матрицы Р следующие линейные матричные неравенства:

АТ(дк)р + РА(дк) + (2^ + 12тк)р РВ

ВТР —{тк/п)Г

т

РУ 0, Ру г = М, (21)

где г = 1 ,п — единичные векторы в пространстве Л'1, а наборы параметров (¿к определены ранее. Тогда область П(Р,7) является областью притяжения инвариантного множества ЩР, 1) для системы (7) и выполняется включение £1(Р,Р, у) С П"(а).

Пусть Р(у) — множество решений системы линейных матричных неравенств (20), (21), дополненной ограничением ||Р|| < Р. Определим Р7 = аг§{тах/>ер(7) 1г(Р)}. Рассмотрим следующую задачу: Задача 3. Найти у* = зир{7 > 1 : Т{у) ф 0} и для 7 € [1,7*]) достаточно близкого к 7*, 71айти Р.'у.

Решение задачи 3 может давать очень консервативную оценку инвариантного множества £, если величины е^, г = 1,п были взяты большими и величина 7 близка к 7*. Далее опишем метод [11, 8], позволяющий улучшить оценку £ в смысле критерия, сформулированного в задаче 3.

Выберем начальное приближение Р° — решение задачи 3 при заданных параметрах 7 > 1 и /л > 0, = ак, к = 1,п.

Опишем г-ю итерацию, 1= 1,2,..., которая разбивается на три шага:

1) выбираем новые значения а\ < а^Г1, к — 1, п;

2) определяем два матричных неравенства: Р >- Р1~\ 72Р Ч Р1-1;

3) решаем задачу 3 с новыми ограничениями агк, к = 1,2, и дополнительными матричными неравенствами относительно Р из пункта 2).

Обозначим через Рг решение этой задачи. Из формулировки вычислительной схемы следует цепочка матричных неравенств Р° X Р1 X ..., которой соответствует система вложенных областей: Г2(Р, 7) Э ЩР°, 7) Э

П(Р°,1) э«(Р1,1) э....

Из построения следует, что П(Р°, 7) — область притяжения инвариантного множества П(Р1,1). Таким образом, если на г-й итерации удается найти матрицу Р\ то улучшается аппроксимация инвариантного множества £, в противном случае, если такие а^ > 0, к = 1 , п, подобрать не удается, итерационный процесс останавливается.

X 0, (20)

Замечание 1. Уменьшение значений а^, к = 1,п, допустимо благодаря свойствам инвариантных областей П(Р°, % П(Р°, 1), а именно: за конечное время Т функция Ляпунова убывает до значения У(Р°,хо)е~мТ, которому соответствует линия уровня — эллипсоид, вписанный в параллелепипед Пп(а1) С Пп(а°).

Теперь рассмотрим методы построения области притяжения, для которой инвариантным множеством является точка.Такую области можно построить для системы (1) только в том случае, когда на неё внешние возмущения не действуют, т.е. система (1) имеет вид

х = Ах + /(х)+д(х). (22)

Очевидно, что "кольцевые" области не охватывают начало координат. Это связано с тем, что воздействия на систему (1), определяемые вектор-функцией д(х), рассматривались только как внешние возмущения для системы (7).

Рассмотрим сначала класс линейных нестационарных систем, движение в котором может быть описано уравнением

х = А{Ь)х. (23)

Переформулируем теорему 2 для случая, когда на систему (7) не действуют внешние возмущения, т.е. матрица В = 0. Имеем следующее утверждение.

Теорема 3. Предположим, что для некоторых значений а* > 0, г = 1,п, 11, > 0, разрешимы относительно матрицы Р следующие линейные матричные неравенства:

РА(Як) + Жд*)тР + 2 цР 1 0 ,к = Т^7, (24)

Р У 0, Р У \eiej, г = 1~п, (25)

где е,, г = 1,п — единичные векторы в пространстве К", а компоненты векторов Ць — {<7у>9у}» г = ^ = 1 ,п, определены следующим образом:

9н = тш1Еп(«)(/ч(1)) =1шп{|/Р.|, _ _

= таххеП(а)(/у(х)) = тах{|/°-|, г' = 1,п, 3 = 1,п.

Тогда область ЩР, 1) является областью притяжения для системы (23) и выполняется включение £1(Р, 1) С П"(а).

Рассмотрим ещё одну вспомогательную систему вида

х = А(г)х + С{х), (27)

где функция х) подчиняется ограничению (3), а границы параметрических возмущений </,_,(£) из (8) определены в (26). В силу такого выбора коэффициентов система (27) будет более общей в смысле множества решений, чем система (22), поэтому область притяжения, построенная для системы (27), будет также областью притяжения и для системы (22). Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 3 и матрица Р удовлетворяет линейному матричному неравенству

Тогда существует число 7ц, при котором область £1(Р, 7о), является областью притяжения для системы (27).

Замечание 2. Параметр 70 зависит от матрицы Р. Поэтому имеет смысл задача поиска оптимальной матрицы Р и соответствуюгцего ей лшкеимального числа 70. Эта задача будет сформулирована для заданного

Задача 4. Найти такую матрицу Р, при которой объем эллипсоида П(Р, 7о), оценивающего область притяжения V для системы (27), достигает максимального размера: пнпрер1г(.Р),

где через V обозначено множество решений системы линейных матричных неравенств (24), (25), (28), дополненной ограничением \\Р\\ < Р.

В параграфе 1.2. диссертации предлагается метод улучшения оценки области притяжения, полученной для системы (22) в виде эллипсоида П(Р*,7о). Пусть V0(7) — множество решений системы линейных матричных неравенств (24), (25), (28), дополненной ограничением ||Р|| < Р для некоторого 70.

Теорема 4. Пусть существует такой параметр 7 > 1 и матрицы Р.'у, Р, удовлетворяющие условию Р >- Р^ >- 0, такие, что ЩР^, 7) С П"(а) — область притяжения инвариантного множества £1(Р, 1) для системы (22). И пусть для некоторых значений а * > 0, г — 1,п, ц > 0, существует решение задачи 4 — матрица Р*, которой соответствует число 7о, определенное в лемме 3. Тогда, если матричные неравенства

совместные, область Г2(Ру, 7) является областью притяжения системы (22) и выполняется включение 7) С Пп(а).

В качестве иллюстрации применения теоремы 4 построим область притяжения для следующего примера:

Ру I.

(28)

7о2В^72^. Р* ^ 1оР

(29)

х = у + 0, Ъху2 + 0,01у2, ■у = -36:г - 12у + 0,3х2у

Рис. 1. Области П(Яу,7), П(-Р*,7о), П{Р, 1)

при фазовых ограничениях:

И <0,9, \у\ < 0,9.

Выписываем матрицу А

Далее находим матрицу Ру =

матрицу = 0,9. как решение задачи 3

0 1 -36 -12

В = 2.43 х diag(0,91 0,9) для системы (7) при «1 = 0,9, а2

[246,5963 59,5681" 59,5681 24,8955

для 7 = 8,5 и /1 = 1,0. Затем, используя итерационный алгоритм, находим матрицу Р. Далее задаём коэффициенты ^ (26), используя новые значения 01 = 0, 7, а2 = 0, 7:

9? = 1, <?} = 1+0,3^, ^ = 1-0,3^, ^ = 1 + 0,34 (32)

Обозначим через Р* решение системы линейных матричных нера-венст (24), (25), (28) и определим параметр 7о = 0,9. Затем проверим (29).

Как видно на приведенном рис. 1, область притяжения начала координат П(Р*, 1) охватывает внутренность "кольцевой" области С1(Ру, Р, 7), тем самым гарантируя попадание любого решения системы (30), достигшего границы области П(Р*, 1), в сколь угодно малую окрестность начала координат.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрено несколько задач, связанных с оценками инвариантных областей, которые возникают при управлении колёсным роботом. Каждая из поставленных задач сведена к поиску оптимального в некотором смысле решения системы линейных матричных неравенств с использованием методов и утверждений, предложенных в первой главе.

В первом параграфе рассматривается достаточно общая модель колесного робота, которая обладает следующими свойствами:

во-первых, движение колес происходит без качения и проскальзывания, т.е. уравнения движения робота имеют вид

х = v cos в,

у = v sin (33)

О = vu,

где X = (х, у)т — координаты целевой точки платформы, 0 — угол, определяющий ориентацию платформы робота, v(t) — мгновенная линейная скорость целевой точки, и — текущая кривизна;

во-вторых, в этой модели учитывается динамика привода (в некоторых сформулированных ниже задачах будет предполагаться, что привод мгновенный), которая описывается дифференциальным уравнением первого порядка 2

u = f(U-u), (34)

где U обозначает управление, а функция f(a) удовлетворяет "секторному" ограничению

< f(v)cr < ho-2 (35)

и условиям существования абсолютно-непрерывного решения системы (33), причем, числа fc0 и к\ удовлетворяют условию к\ > ко > 0;

в-третьих, движение колесного робота осуществляется только по плоскости в ограниченном фазовом пространстве, т.е. X(t) £ 1Z С К2, |?i| £ щ

в-четвертых, в качестве желаемой траектории рассматривается кривая, состоящая из сегментов S;, кривизна которых ограничена, т.е. ||с; || < й. Кривизна кругового сегмента считается положительной, если движение вдоль сегмента приводит к повороту против часовой стрелки при увеличении параметра £ — длина пути, отсчитанная вдоль целевой траектории и являющаяся натуральным параметром траектории. В процессе движения в окрестности целевой траектории одни из сегментов траектории считается текущим. Сегмент s; становится текущим тогда, когда параметр £ превосходит значение 6,-, определяемое рекуррентным соотношением

bi = 0, Ь; = 6,-1 + г = 2, п, (36)

где li длина сегмента S;. Будем считать сегмент S; пройденным, если £ превосходит значение b;+i, при котором текущим становится сегмент s,+1. Предполагается выполненным следу- ющее предложение.

2Частггый случай привода (ко ~ ki — к) использовался в |5. G|.

Утверждение 1. Соседние сегменты имеют общую касательную в точке сопряжения.

Используя замену переменных [12], уравнения движения (33), (34) переписываются в виде

г[ = (1-с(0*1)г2)

4 = гз(1-с(£)г1)(1 + г2^-С(0(1 + 222), (37)

4 = 1ни-г3)(1-г1Ст^ + 4)^

где 21 — боковое отклонение целевой точки от желаемой траектории, г2 — угловое отклонение, 2з = и — текущая кривизна. В (37) величина с(£) принимает значение с,-, когда текущий сегмент становится в; в соответствии с условием 6, < £ < &;+1. Здесь и далее символ ' означает производную по независимой переменной Наряду с системой (37) рассматривается система:

А = (1-с(£)г1)г2, , ,

4 = [/(1-с(£)г1)(1+г22)§-с(0(1 + г22), ^

не содержащая уравнения динамики привода. Закон управления, стабилизирующий движение робота вдоль целевой траектории, определяется выражением, которое получено с помощью метода линеаризации обратной связью

у = _ + #

(1-с(^1)(1 + г22)§'

где а = Л221 + 2Аг2, Л > 0 — параметр закона управления, определяющий экспоненциальную скорость убывания переменных г\, г2 системы (38), замкнутой законом управления (39) в предположении отсутствия ограничений на кривизну, т.е. для достаточно малых значений г\ справедливо дифференциальное уравнение г2 + 2+ ц2г2 = 0, р < А.

Для учёта ограничений на управление используется функция насыщения, т.е. закон управления имеет вид:

/ *-ст+4) у (40)

Во втором параграфе диссертации рассматривается несколько задач, возникающих при управлении колёсным роботом.

Задача 5. Построить область притяжения начала координат Т> для системы (38), замкнутой законом управления (40), максимального размера так, чтобы выполнялось включение Т> С П2(а), при условии, что 1С(£)1 ^ с для любого £ > 0.

Перепишем замкнутую систему (38), (40)

А = (С(021 + 1)*2,

u(C(£);i+1)(1+=22

Для этой системы область притяжения строится в виде Q(P, 1) для следующих параметров й = 0,2; с = 0,185; Л = 0,5; ai = 0,9;, а2 = 0,9; /3 = 0,23. На рис. 2(левый) изображена область притяжения для /I = 0,01,

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1

0.2 0,3 0.4 0,5

Рис. 2. Область притяжения ЩР, 1) и траектории системы (41) (левый), области притяжения Í2(Р, 1) и Г2-0 (правый).

а также траектории системы (41) для начальных условий из области притяжения в случае, когда желаемая траектория состоит из дуг окружностей:

' -1, £ < о, £>0 '

k = тг/5, i = 1,10, с(£) = csign(2(Z¡ -£)), где sign(£) = | 1

Очевидно, что построенный эллипсоид инвариантен.

Помимо задачи 5, на практике возникает необходимость оценки максимального значения показателя экспоненциального затухания /х для заданного начального условия .го-

Задача 6. [13] Построить область притяжения начала координат Т> С П2(а) для системы (38), (40) максимального размера, включающей заданную точку в пространстве начальных условий.

Практический смысл этой задачи состоит в проверке принадлежности данного начального условия, в котором робот уже находится, области притяжения с наибольшим показателем экспоненциального затухания. Так как конкретное значение ¡i может быть гарантировано только в том случае, когда это начальное условие Zq попало в область притяжения, эта задача сводится к поиску области fl(P, 1) максимального размера, содержащей заданную точку в пространстве начальных состояний го-

Пусть колёсный робот движется по прямой, т.е. в системе (38), (40) функция с(£) = 0. В качестве фазовых ограничений ии^ерсм сч = 0,5 и

«2 = 0,4, а значение желаемого показателя экспоненциального затухания А = 1. Ограничение на кривизну й = 0,2. Кроме того, пусть дана начальная точка 2о = (0,404; —0,32)т. Через Г2го обозначим область притяжения, являющуюся решением задачи 6.

Из рис. 2(правый) видно, что начальная точка г0 лежит в области Г)2о, по не принадлежит области ЩР, 1), имеющей максимальный размер (в смысле минимальности следа матрицы Р) при том же значении ц. Тем не менее, множество Г2г„ является областью притяжения, которой соответствует максимальное значение показателя экспоненциального затухания ц = 0,455. Любая другая область притяжения, соответствующая большему значению д, не содержит точку го-

Представляет интерес результат применения управления (39) к системе (37), учитывающей динамику привода. Исследование такого случая связано с тем, что не всегда на практике удаётся на объект управления поставить все необходимые датчики. Например, датчик поворота передних колёс или руля невозможно установить, не нарушив целостность заводской конструкции колесного средства передвижения (машина, трактор, бульдозер и т.д.). Поэтому необходимо использовать закон управления, при синтезе которого не используется информация о текущей кривизне. С другой стороны, ограничения па кривизну всегда можно оценить, используя информацию о максимальном угле поворота передних колёс. Поэтому ограничения на угол поворота передних колес учитываются не в законе управления, а в качестве двустороннего ограничения па фазовую координату 23, т.е. аз < й.

Задача 7. Построить область притяжения Т> С П3(а) инвариантной области £ для системы (37), замкнутой управлением (39), так, чтобы область Л4 = Т> \ £ имела максимально возможный размер.

В данной задаче оценка инвариантной области £ используется для оценки величины переходных процессов в замкнутой системе, вызванных изменением величины с(£) при переходе от одного сегмента к другому. Такой переход вызывает скачкообразное изменение кривизны целевой траектории в то время, как текущая кривизна и{£) = -гз(£) траектории, описываемой целевой точкой, подчиняется третьему из дифференциальных уравнений (37) и поэтому не может меняться скачкообразно.

Для оценки качества закона управления (39), стабилизирующего систему (37), будем использовать оценку области притяжения V инвариантного множества £.

Чтобы составить систему линейных матричных неравенств относительно матрицы Р, необходимо определить максимальные амплитуды возмущений. Очевидно, что в системе (37), (39) присутствуют как параметрические, так и внешние возмущения, поэтому для их оценки воспользуемся

формулами (10). Имеем:

bj = -QiQ2C, 9? = (1 - Qiс),

b2 = -{l + a22)c, Ьз = 01С, q\(a1c+ l)(l+a|)i,

1 "т" Q' 2

= Д,(1 -«!С), = А(а,с + 1)(1 + Q2)1

Далее определяем 8 матриц A(Qk), каждая из которых зависит только от трех параметров Qk = 72, <7;t}> <7; £ г — 1,3 и решаем систе-

му линейных матричных неравенств, аналогичную (20)-(21) относительно матрицы Р для следующих значений параметров: 5=0,175; /3° = /З1 = 10: ах = 0,9; а2 = 0,9; а3 = й = 2,5; Л = 2,0; ц = 0,1; у = 6,82.

Чтобы уменьшить консервативность оценки переходных процессов в поставленной задаче, использовался итерационный процесс, описанный в разделе 1.4 диссертационной работы. В данном примере значения ад., уменьшались с постоянным шагом Лд = 0,05, к = 1,3.

Для иллюстрации инвариантности полученных множеств была выбрана траектория, состоящая из дуг окружностей длиной U = тг/5 с кривизной с(£) = csign(2(/,- — £)). Результаты моделирования показаны на рнс. 3.

з-

0,6

-02 -0,4 -0,6 -М

-0,4

О

(а)

0,4

0,6

г. 0 (6)

П(Р«1)

Рис. 3. Сечение областей £1(Р,у), П(Р, 1), П(Р*, 1) плоскостями 23 = 0 (а) 2г = 0 (б) и проекции фазовых траекторий на эту плоскость.

Из приведённых рисунков видно, что предложенный итерационный метод существенно улучшает оценку инвариантной области £ для заданных значений с*1 = 0,9 и = 0,9, которая на рис. 3 обозначена через 1).

Важно заметить, что в приведённом примере параметр аз выбран таким образом, чтобы ограничение на переменную г^ не достигалось. При таком выборе параметра с*з сечепне области С1(Р, 7) плоскостью 23 = О можно сравнить с размерами области притяжения, построенной для двумерной системы.

Последний параграф второй главы посвящен описанию метода, который позволяет улучшить аппроксимация области притяжения, используя полиномиальное или нормированное преобразование координат [3].

Впервые степенное преобразование для анализа линейных (в общем случае нестационарных) систем было использовано Р.У. Брокетом. Затем Бар кии А.И. и Зеленцовскнй А.Л. обращались к нему для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем. Основное свойство этого преобразования заключается в том, что оно позволяет делать вывод об устойчивости исходной системы. При этом анализируется её образ в расширенном фазовом пространстве. Напомним основные определения. Определение 3. Обозначим через И/,"'[р]{-} степенное преобразование координат, которое переводит состояние г £ К" в состояние у 6 Мт, где т, — число сочетаний из п элементов по р с повторениями, которое определяется по формуле

п + р- 1 \ _ (п + р- 1)!

р J р\(п — 1)!

Компоненты вектора у == 1V™\p]{z} являются линейно независимыми произведениями из р £ Z+ элементов вектора z:

11

5>=Р> К<0, (45)

¡=1

причём они (элементы вектора у) упорядочены лексикографически. Определение 4. Назовём степенное преобразование координат нормированным, еыи в качестве базовых взяты элементы

Обозначим нормированное преобразование вектора г через Основным свойством нормированного преобразования является следующее:

(ат, ЪУ = (аМт, бМ), а, Ъ £ К", аМ, &Н 6 К<". (47)

Очевидна связь между векторами у и г^: гМ = где Кр е К"'хт — диагональная матрица, элементы которой определяются из (46). Поскольку эти элементы положительные, то К,, У Он;/ == И. Перепишем систему (41) для случая с(£) = 0:

п —

г2 = -вй(1+г2)?И-

Наряд)' с системой (48) рассмотрим систем}'

4 =

(48)

(49)

где функция д(£) удовлетворяет условию

< 9(0 <1. fco = mini-, l), (50)

l сто >

являющуюся более общей в смысле множества решений, чем система (48).

Применим преобразование полиномиальное (нормированное) к системе (49). Имеем систему у' = А(£)у, которая называется моделью системы (49) степени р, где матрица Л(£) имеет специальную структуру.

Обозначим выпуклую область в пространстве л через fi„,(P, 1) и определим ее с помощью функции Ляпунова степени 2т

Qm(P, 1) = {г : < 1 ,РУ 0}- (51)

Введём ограниченные множества целых положительных чисел I, J, К, Z+ = {1, ...,т}, обладающие следующими свойствами:

IUJUK = Z+; If|J = 0, 1ПК = 0, Kf|i = 0. (52)

Через Л4 обозначим инвариантное множество модели системы (49) степени р, которое учитывает связи между компонентами вектора у, и определим его следующим образом:

М = {у : ViV, - yl = 0, г € I, j G 1, к € К}. (53)

Определим матрицу

A(b)m = W?\p}{Mb)}, А(Ъ) =

0 1

-АЧ -2ЛЬ

(54)

Теорема 5. 3 Предположим, что для некоторых значений ак > 0, к — 1, 2, 0 < ц и ^ < ¡3 < 1 разрешимы линейные матричные неравенства

+ -< о,

РВ(1) + Б(1)тР-Е,1=1г2,,Л// о,

ь

-Р + а,~2("'~1)а,~2(1_1)е.е.Т _ £ Тш М ч 0)

/=1

I

-Р < о,

;=1

-Р + с1с[ ^ . и

2 ш

(55)

(56)

(57)

(58)

г=1

относительно матрицы Р и переменных 7/ = 1,1,, А; = 1,т + 5, г<?е матрицы В{Ь) = Л"г(6) + 2тцГ", матрицы М\, I = 1,Ь — матрицы квадратичных форм, определяющих область Л4 в (53), Ь — максимальное число связей в (53). Тогда область Пт(Р, 1) 6 П2(а) является областью притяжения системы (48).

г, о

Рис. 4. Области П(Р*, 1)> 1), ^з(Р, 1) и фазовые траектории.

Приведённое утверждение позволяет аппроксимировать области притяжения с помощью функций Ляпунова из класса форм 4 и 6 степени. В качестве иллюстрации на рис.4 представлены области притяжения, наложенные на фазовый портрет системы дифференциальных уравнений (48). Моделирование проведено для следующих значений параметров: а\ = 0,12;

Зчастньш случаН теоремы т = 3.4 доказан в |2].

с*2 = 0,1; А = 1; /х = 0, 78; (3 = 0,9; ц = 0,01; I = ТД Из рисунка видно, что области П2(/->, 1) и Пз(Р, 1) включают П(Р*, 1), т.е. по сравнению с результатами, полученными для квадратичной функции Ляпунова, область притяжения для рассматриваемой системы расширяется.

Аналогичные результаты получены автором и для системы третьего порядка [1], однако в силу громоздкости вычислений данный пример не приведён.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены новые достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия одного класса нелинейных систем, встречающегося в теории управления. Представленные достаточные условия позволяют свести исследование устойчивости пулевого положения равновесия системы нелинейных дифференциальных уравнений к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств.

2. Разработай метод построения оценки области притяжения и области диссипативпостн для одного класса нелинейных систем, позволяющий свести решение исходной задачи к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств.

3. Разработан метод последовательных итераций, позволяющий улучшить оценку области притяжения, использующий свойства областей притяжения инвариантных множеств. Оценка области притяжения строится из совокупности вложенных эллипсоидов.

4. Предложен метод построения оценки области притяжения в задаче управления колёсным роботом. Задача управления колёсным роботом сводится к исследованию устойчивости нелинейной системы с фазовыми ограничениями.

5. Разработан численный метод итерационного оценивания инвариантного множества, обеспечивающий минимизацию его объёма при максимизации объёма области притяжения. Этот метод применяется в главе II для оценки переходных процессов в случае движения колёсного робота вдоль составной траектории, когда в модели учитывается инерционность при повороте передних колёс.

6. Разработан численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм чётных степеней в задаче управления колёсным роботом.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Морозов Ю.В. Оценка области притяжения с помощью функций Ляпунова из класса квадратичных форм н форм 4 степени в задаче управления мобильным роботом. // П-я школа-семинар молодых ученых "Управление большими системами". Сборник трудов Н-й конференции, том 1 — Воронеж.: Научная книга. 2007. С. 21-29.

2. Морозов Ю.В. Оценка области притяжения с помощью функций Ляпунова из класса форм высших степеней в задаче управления мобильным роботом. // Материалы докладов 1Х-Й конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". — СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор". 2007. С. 358-364.

3. Морозов Ю.В. Оценка области притяжения с помощью функций Ляпунова нз класса форм высших степеней в задаче управления мобильным роботом. // Гироскопня и навигация. Материалы 1Х-Й конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". — СПб.: 2007. №2. С. 112-113.

4. Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества с помощью функций Ляпунова в задаче управления мобильным роботом. // 1У-я Всероссийская школа-семинар молодых ученых "Проблемы управления и информационные технологии" (ПУИТ'08). Материалы конференции. — Казань: Казан, гос. техн. ун-т. 2008. С. 279-282.

5. Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления мобильным роботом. // Материалы Ш-й Всероссийской молодежной научной конференции по проблемам управления (МКПУ-2008): Труды - М.: ИПУ РАН. 2008. С. 49-50.

6. Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления мобильным роботом. // Тезисы докладов 1Х-Й Крымской Международной математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения". - Алушта: ТНУ. 2008. С. 116-117.

7. Морозов Ю.В. Оценка области прнтяження инвариантного множества для одного класс нелинейных систем // Теория и системы управления. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 5. С. 5-10.

8. Морозов Ю.В. Оценка области притяжения для нелинейных систем. //' Труды четвертой международной конференции по проблемам управления. - М.: ИПУ РАН. 2009. С. 146-154.

9. Морозов Ю.В. Численный метод оценки области притяжения в задаче управления колёсным роботом. // Материалы 1-й Российской мульти-копференции но проблемам управления. Мехатроиика, автоматизация, управление. - СПб.: 2006. С. 98.

10. Рапопорт Л.Б., Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления колёсным роботом //АиТ. 2008. №11. С. 48-62.

11. Рапопорт Л.Б., Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления колёсным роботом с учетом динамики привода. // Тезисы докладов Х-го международного семинара им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". - М.: ИПУ РАН. 2008. С. 255-257.

12. Рапопорт Л.Б., Морозов Ю.В. Численные методы оценки области притяжения в задаче управления колёсным роботом. // АиТ. 2008. №1. С. 19-

13. Rapoport L.B., Morozov Yu.V. Estimation of Attraction Domains in Wheeled Robot Control Using Absolute Stability Approach // Proc. IFAC-2008. Seoul. P. 5903-5908.

Личный вклад диссертанта в публикациях, выполненных в соавторстве: в [10] автором проведено доказательство леммы, разработан вычислительный метод, позволяющий получить зависимость показателя экспоненциальной устойчивости от величины фазового ограппчепня; в [13] автором проведено доказательство теоремы; в [11,12] проведены доказательства основных утверждений, на основании которых предложен вычислительный метод построения оценки области притяжения инвариантного множества в задаче управления колёсным роботом, разработан итеративный метод построения инвариантного множества.

26

Зак.66.Тир. 100.ИПУ РАН.

Обозначения

Введение

1 Оценки инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем.

1.1 "Кольцевая" аппроксимация области притяжения инвариантного множества для некоторого класса нелинейных систем.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Аппроксимация областей Т> и 8.

1.1.3 Выбор параметров для вспомогательной системы

1.1.4 Задание кольцевой области только одной матрицей

1.1.5 Итеративное построение инвариантного множества

1.2 Оценка области притяжения для исходной системы в отсутствии внешних возмущений.

1.2.1 Оценка области притяжения для невозмущённой системы.

1.3 Способ улучшения оценки области притяжения для невозмущёной системы.

1.3.1 "Кольцевая" область для невозмущённой системы, как способ улучшения оценки области притяжения

1.4 Выводы к главе 1.

2 Оценка инвариантных областей в задаче управления колёсным роботом

2.1 Модель колёсного робота.

2.1.1 Уравнения движения робота.

2.1.2 Параметрическое представление целевой траектории

2.1.3 Замена переменных

2.1.4 Синтез закона управления.

2.2 Оценка инвариантных множеств в задаче управления колёсным роботом.

2.2.1 Оценка области притяжения в случае движения колесного робота вдоль прямой без учета динамики привода.

2.2.2 Оценка области притяжения в случае движения колёсного робота вдоль составной траектории без учета динамики привода.

2.2.3 Оценки максимального значения показателя экспоненциального затухания для заданного начального условия

2.3 Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления колёсным роботом.

2.4 Оценка области притяжения с помощью функций Ляпунова из класса форм высших степеней в задаче управления колёсным роботом.

2.4.1 Метод построения функции Ляпунова.

2.4.2 Примеры

2.5 Выводы к главе 2.

Объект исследования и актуальность темы. В последние годы для повышения точности проведения строительных и сельскохозяйственных работ используются мобильные роботы, оснащенные системами спутниковой и инерциальной навигации. Задачи, возникающие при управлении подобными машинами, можно разделить на два вида:

- планирование траектории,

- выход на заданную траекторию и стабилизация движения по ней.

Постановка первой задачи определяется содержанием строительного или сельскохозяйственного задания. Вторая задача решается с помощью синтеза закона управления, стабилизирующего движение машины вдоль кривой, полученной из решения первой задачи.

Среди обширной литературы, посвященной задаче управления колёсным роботом, встречаются работы, использующие различные модели мобильных роботов. В одних рассматривается только кинематика движения, другие учитывают такие различные динамические свойства машины, как проскальзывание колёс или инерция привода поворота колёс /37, 50, 49, 61, 53, 48/. Во многих работах (см. /44, 14, 38, 36, 21, 58, 40, 6, 64/) решается задача синтеза управления, позволяющего стабилизировать движение по отрезку прямой или гладкой кривой.При этом управление может быть непрерывным /14/ и /36, 21, 58/ или разрывным /40, 13, 42/. Кроме того, очень часто синтезированный закон управления не удовлетворяет заданным ограничениям. С другой стороны, принудительная ограниченность управления не позволяет добиваться гарантированной скорости убывания нормы отклонения от предписанной траектории для произвольного начального положения целевой точки и ориентации платформы робота. Другими словами, замкнутая система в общем случае не обладает свойством глобальной устойчивости, т.е. для начальных условий, лежащих вне области притяжения, автоматический о выход мобильного робота на требуемую траекторию не гарантируется. Таким образом, возникает задача оценки области начальных состояний, из которой возможен выход на заданную траекторию. Следует отметить, что некоторые авторы, например /46/, синтезируют закон управления, позволяющий роботу выходить на желаемую траекторию из любой точки пространства, но при условии, что каждое из колёс мобильного робота оснащено независимым приводом. К сожалению, последнее условие в практических приложениях часто не может быть выполнено.

Задача построения инвариантной области /25/ для линейной системы рассматривается в ряде работ. В /18/ и /17/ предлагается метод инвариантного эллипсоида для случая линейной системы с ограниченным возмущением. В /28/ разработан метод эллипсоидов для аппроксимации областей достижимости в линейных системах с шумом, ограниченным в 1/2 норме. В /27/ исследована структура областей достижимости для линейных систем.

Важно отметить тот факт, что даже самая простая кинематическая схема колёсного робота описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, поэтому описанные выше методы неприменимы для аппроксимации областей притяжения в задаче управления колёсным роботом. Кроме того при движении колёсного робота с приводом поворота переднего колёса, обладающим инерционностью, вдоль траектории с быстро меняющейся кривизной возникают переходные процессы, которые не позволяют достичь асимптотической устойчивости. Это означает, что для этого случая области притяжения, определенной в /21, 55/, просто не существует. Поэтому, вместо попыток оценки областей асимптотической устойчивости /24, 11/, в диссертации предлагается метод построения двух инвариантных областей, оценивающих как величину переходных процессов, вызванных переключением с сегмента на сегмент, так и область начальных условий, из которых гарантируется попадание в первую область. Как будет показано ниже (глава I) такие области можно построить для некоторого класса нелинейных систем. Области похожей структуры строились для стохастических систем в /3/.

Предлагаемый метод получения оценок областей притяжения и инвариантных множеств основан на построении непрерывных функций Ляпунова /8/ в виде квадратичных форм. Похожая задача — исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях в большом — была сформулирована в /12/ и получила дальнейшее развитие в работах советских ученых /11, 29, 28/. Однако построение таких функций для исследования нелинейных систем было бы невозможно без методов теории абсолютной устойчивости /9, 1, 19, 20, 5, 59/.

В современной литературе можно встретить различные способы аппроксимации областей притяжения и инвариантных множеств. В /43, 51, 30/ область притяжения строится из пересечения нескольких эллипсоидов или в виде одного для системы с произвольным переключением между N линейными системами. В /33/ авторы предлагают числеиный метод, позволяющий уточнить границу некоторой начальной (исходной) области притяжения с помощью квази-квадратичной функции Ляпунова. В /57/ описывается численный метод последовательного уточнения границы области притяжения. В /63/ рассматривают построение функций Ляпунова в виде отношения полиномов для нелинейных систем. Все описанные методы подходят только для аппроксимации области притяжения положения равновесия, для оценки переходных процессов они не применимы. Разработке численного метода для решения этой сложной задачи посвящена первая глава. Во второй главе рассматривается применение этого метода в задаче управления колёсным роботом.

Целью диссертационной работы является разработка численных методов построения оценки областей притяжения и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем, с последующим применением разработанных методов в задаче управления колёсным роботом.

Диссертация состоит из двух глав, связанных общей методологией.

В первой главе введены основные определения, которые затем используются в тексте диссертации. Определены классы нелинейных систем, для которых задача аппроксимации областей притяжения и инвариантных множеств сводится к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств. Кроме того, для выделенных классов нелинейных систем введены различные вспомогательные классы систем более общих в смысле решений. Для этих классов решены различные оптимизационные задачи, связанные с построением оценок областей притяжения и инвариантных множеств. Предложен итерационный метод, позволяющий существенно уменьшить консервативность оценок инвариантных множеств.

Вторая глава посвящена исследованию качества различных законов управления и оценке величины переходных процессов с помощью областей притяжения и инвариантных множеств в задаче стабилизации движения колёсного робота вдоль заданной траектории. Сформулированы оптимизационные задачи, соответствующие различным моделям колёсного робота. Проведено численное моделирование для различных параметров модели. Подробно описан численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм четных степеней в задаче управления колёсным роботом, основанный на полиномиальном преобразовании.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, линейных матричных неравенств и вычислительной математики. Научная новизна:

1. В терминах линейных матричных неравенств получена оценка области притяжения совместно с оценкой инвариантного множества для некоторого класса нелинейных систем.

2. Впервые полиномиальное преобразование координат применено для уточнения границы области притяжения.

3. Разработаны численные методы итерационного оценивания областей притяжения и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем, которые применены в задаче управления колёсным роботом.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Научная и практическая ценность. Результаты, полученные в настоящей работе, являются развитием вычислительных методов теории абсолютной устойчивости и методов решения линейных матричных неравенств. Рассмотренные методы позволяют строить оценки областей притяжения и инвариантных множеств для нелинейных систем, а также могут быть использованы для проверки оптимальности синтезированных законов управления.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новые достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия одного класса нелинейных систем, встречающегося в теории управления.

2. Метод построения оценки области притяжения для этого класса систем, основанный на методах решения системы линейных матричных неравенств.

3. Метод последовательных итераций, позволяющий улучшить оценку области притяжения, основанный на методах решения системы линейных матричных неравенств.

4. Метод построения оценки области притяжения в задаче управления колёсным роботом.

5. Численный метод итерационного оценивания инвариантного множества, обеспечивающий минимизацию его объёма, при максимизации объёма области притяжения в задаче управления колёсным роботом.

6. Численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм четных степеней в задаче управления колёсным роботом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях

1. 1-й Российской мультиконференции по проблемам управления "Мехатроника, автоматизация, управление" (Санкт-Петербург, 2006),

2. 11-й школе-семинаре молодых ученых "Управление большими системами" (Воронеж, 2007),

3. IX-й конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2007),

4. Ш-й Всероссийской молодежной научной конференции по проблемам управления (Москва, 2008),

5. Х-м международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008),

6. 17-м Международном конгрессе IFAC (Сеул, Юж. Корея, 2008),

7. IV-й Всероссийской школе-семинаре молодых ученых "Проблемы управления и информационные технологии" (Казань, 2008),

8. IX-й Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, Украина, 2008),

9. Международной мультиконферепции "Теория и системы управления" (Москва, 2009).

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, выводов и списка литературы (64 источника), а также содержит 15 рисунков. Общий объём диссертации составляет 78 страниц.

2.5. Выводы к главе 2

Во второй главе рассмотрены некоторые модели, описывающие движение колёсного робота вдоль различных целевых траекторий.

Поставлен ряд оптимизационных задач, возникающих при управлении колёсным роботом, решение которых сведено к проверке разрешимости систем линейных матричных неравенств, дополненных некоторыми критериями.

Описан итерационный метод, позволяющий улучшить оценку инвариантных множеств, основанный на поиске функций Ляпунова из класса форм чётных степеней.

Проведены вычислительные эксперименты. С помощью стандартных функций пакета ЭсПаЬ и решателя ЬМ1, написанного автором на языке С++, построены границы областей притяжения и инвариантных множеств в различных задачах.

Проведён анализ адекватности полученных теоретических результатов на практике, на базе машины Нива-Шевроле.

Заключение

1. Получены новые достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия одного класса нелинейных систем, встречающегося в теории управления. Представленные достаточные условия позволяют свести исследование устойчивости нулевого положения равновесия системы нелинейных дифференциальных уравнений к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств.

2. Разработай метод построения оценки области притяжения и области диссипативности для одного класса нелинейных систем. Он основан на методах теории абсолютной устойчивости и позволяет свести решение исходной задачи к проверке разрешимости системы линейных матричных неравенств.

3. Разработан метод последовательных итераций, позволяющий улучшить оценку области притяжения, использующий свойства областей притяжения инвариантных множеств. Оценка области притяжения строится из совокупности эллипсоидов, которые определяются положительно определенными матрицами, каждая из которых является решением системы линейных матричных неравенств.

4. Предложен метод построения оценки области притяжения в задаче управления колёсным роботом. Задача управления колёсным роботом сводится к исследованию устойчивости нелинейной системы с фазовыми ограничениями.

5. Разработан численный метод итерационного оценивания инвариантного множества, обеспечивающий минимизацию его объёма, при максимизации объема области притяжения. Этот метод применяется в главе II для оценки переходных процессов в случае движения колёсного робота вдоль составной траектории, когда в модели учитывается инерционность при повороте передних колёс.

6. Разработан численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм чётных степеней в задаче управления колёсным роботом. Этот метод использовался в главе II для уточнения границы области притяжения, которая была построена с помощью квадратичной формы.

1. Айзерман М. А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 142 с.

2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. — 568 с.

3. Барабшюв И.П., Пятницкий Е.С. Численное построение функций Ляпунова для стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1994. № 6. С. 53-61.

4. Баркин А. И., Зеленцовский А. Л., Пакшин П. В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. — М.: Изд-во МАИ, 1992. — 304 с.

5. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

6. Гилимьянов Р.Ф., Пестерев A.B., Рапопорт Л.Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. т. 47. № 6. С. 209-216.

7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 212 с.

8. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1950. — 472 с.

9. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем // ПММ. 1944. Т.VIII, вып. 3.

10. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Том 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — М: Физматлит, 2004. 464 с.

11. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М: Физматлит, 1959. — 212 с.

12. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 532 с.

13. Матюхин В.И. Управление колесной системой при учете погрешностей измерения состояния // АиТ. 2006. №9. С. 41-60.

14. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными системами. — СПб.: Наука, 2000 -550 с.

15. Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // АиТ. 2007. № 3. С. 106-125.

16. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. 304 с.

17. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем // АиТ. 1970. № 1. С. 5-15.

18. Пятницкий Е.С. О равномерной устойчивости при параметрических возмущениях // Дифференциальные уравнения. 1973. № 7. С. 12621274.

19. Рапопорт Л. Б. Оценка области притяжения в задаче управления колесным роботом // АиТ. 2006. № 9. С. 69-89

20. Рапопорт Л.В., Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления колесным роботом // АиТ. 2008. № 1. С. 19-26.

21. Рапопорт Л.Б., Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления мобильным роботом // АиТ. 2008. № И. С. 48-62

22. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: МИР, 1980. — 304 с.

23. Сергеев И.И. Лекции по дифференциальным уравнениям. — М. Изд. ЦГ1И при мех.-мат. факультете МГУ, 2006. — 160 с.

24. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

25. Формалъский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. — М.: Изд-во Наука, 1974. —368 с.

26. Черноусъко Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М.: Наука, 1988. — 320 с.

27. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехтеориздат, 1955. — 208 с.

28. Bean S. P., Coutinho D.F. , Trofino A. and Сигу J.E.R. Regional stability of a class of nonlinear hybrid systems: an LMI approach. Proc. 41st, IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas. 2002. P. 2786-2791.

29. Broekett R. W. Lie algebras and Lie groups in control theory // Geom. Methods Syst. Theory, Proc. NATO advanced Study Inst., London. 1973. P. 43-82.

30. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994. — 200 c.

31. Chizi G., Hung Y.S. Analysis and synthesis of nonlinear systems with uncertain conditions // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 5. P. 1262-1267.

32. Chizi G., Hung Y.S. Establishing convexity of polynomial Lyapunov functions and their sublevelsets // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 10. P. 2431-2436.

33. Christophersen F.J., Morari M. Further results on "infinity norms as Lyapunov function for linear systems-// IEEE Transactions on Automatic Control, 2007. No. 03. P. 547-553.

34. Cordesses L., Cariou C., Berducat M. Combine Harvester Control Using Real Time Kinematic GPS // Precision Agriculture. 2000. No. 2. P. 147161.

35. Dixon W.E. Adaptive regulation of amplitude limited robot manipulators with uncertain kinematics and dynamics // IEEE Transactions on Automatic Control, 2007. No. 03. P. 488-493.

36. Eun Y., Kabamba P. T., Meerkov S. M. System types in feedback control with saturating actuators // IEEE Transactions on Automatic Control, 2004. No. 2. P. 287-291.

37. Gaspar P., Szaszi I. , Bokor J. Two strategies for reducing the rollover risk of heavy vehicles // Periodica Polytechnica SER. TRANSP. ENG., 2005. No. 1-2, P. 139-147.

38. Guldner JUtkin V.I. Stabilization of nonholonomic mobile robots using Lyapunov functionsfor navigation and sliding mode control // Proc. 33rd IEEE Conf. Decision Control. 1994. P. 2967-2972.

39. Hafstein S.F. A constructive converse Lyapunov theorem on asymptotic stability for nonlinear autonomous ordinary differential equation // Dynamical Systems. 2005. No. 3. P. 281-299.

40. Hu T., Lin Z., and Li Q. Stabilization of Exponentially Unstable Linear Systems with Saturating Actuators // IEEE Transactions on Automatic Control, 2001. No. 6. P. 973-979.

41. Hu T., Ma L. and Lin Z. Stabilization of switched systems via composite quadratic function // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 11. P. 2571-2585.

42. Kolmanovsky I., McClamroch N.H. Developments in Nonholonomic Control Problems // IEEE Control Syst. 1995. No. 12. P. 20-36.

43. Koutsoukos X. D., Antsaklis P. J. Design of Stabilizing Switching Control Laws for Discrete and Continuous-Time Linear Systems Using Piecewise-Linear Lyapunov Functions // ISIS Technical Report ISIS-2001-002. 2001.

44. Lee T.-Ch., Song K.-T., Lee Ch.-H., and Teng Ch.-Ch:Tracking Control of Unicycle-Modeled Mobile Robots Using a Saturation Feedback Controller // IEEE Transactions on Automatic Control, 2001. No. 2. P. 305-318.

45. Lee T.-Ch., Song K.-T., Lee Ch.-H., and Teng Ch.-Ch. Tracking Control of Mobile Robots Using Saturation Feedback Controller // Proc. IEEE International Conference on Robotics & Automation., Detroit. 1999. P. 26392644.

46. Lenain R., Thuilot B., Carioua Ch. and Martinet Ph. Mobile robot control in presence of sliding: Application to agricultural vehicle path tracking // Proc. 45th IEEE Conference on Decision & Control. San Diego. 2006. P. 6004-6009.

47. Low C.B. Wang D. GPS-based path following control for a car-like wheeled mobile robot with skidding and slipping // IEEE Transactions on control systems technology, 2008. No. 03. P. 340-347.

48. Lu L., Lin Z. Design of switched linear systems in the presence of actuator saturation // IEEE Transactions on Automatic Control, 2008. No. 6. P. 1536-1542.

49. Martynenko Yu.G. Motion control of mobile wheeled robots // Fundamen-talnaya i prikladnaya matematika. 2005. No. 8. P. 29—80.

50. Necsulescu D., Lonmo V., Kim B. and Vukovich G. Autonomous Mobile Robot Control in Operational Space with Torque Saturation, Slippage and Tipaver Avoidance // IEEE Transactions on Automatic Control, 1995. No. 9. P. 1148-1153.

51. Peters S. C., Iagnemma K. An Analysis of Rollover Stability Measurement for High-Speed Mobile Robots // Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation 2006. Orlando. P. 3711-3716.

52. Rapoport L.B., Morozov Yu. V. Estimation of Attraction Domains in Wheeled Robot Control Using Absolute Stability Approach // Proc. IFAC-2008. Seoul. P. 5903-5908.

53. Rapoport L.B. Estimation of an Attraction Domain for Multivariable Lur'e Systems Using Looseless Extention of the S-Procedure // Proc. Amer. Control Conf. San-Diego, 1999. P. 2395-2396.

54. Rozgonyi S., Hangos K. M. and Szederk'nyi G. Improved Estimation Method of Region of Stability for Nonlinear Autonomous Systems // Research Report SCL-002. 2006. P. 15.

55. Samson C. Control of Chained Systems Application to Path Following and Time-Varying Point-Stabilization of Mobile Robots // IEEE Trans. Automat. Contr. 1995. No. 1. P. 64-77.

56. Seltzer S.M., Siljak D.D. Absolute stability analysis of attitude control systems for large boosters // Nasa technical memorandum. Alabama: George C. Marshall Space Flight Center, 1971. — 24 p.

57. Sordalen O. J., Egeland O. Exponential Stabilization of Nonholononnc Chained Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1995. No. 1. P. 35-49.

58. Sussmann H. JSontag E. D. and Yang Y. A General Result on the Stabilization of Linear Systems Using Bounded Controls // IEEE Transactions on Automatic Control, 1994. No. 12. P. 2411-2425.

59. Thuilot B., Cariou, C., Martinet P., Berducat M. Automatic Guidance of a Farm Tractor Relying on a Single CP-DGPS // Autonomous Robots. 2002. No. 13. P. 53-61.

60. Vanelli A., Vidyasagar M. Maximal Lyapunov functions and domains of attraction for autonomous nonlinear systems. // Automatica. 1985. No. 1. P. 69-80.

61. Walsh G., Tilbury D., Sastry S., Murray R., and Laumond J. P. Stabilization of Tkajectories for Systems with Nonholonomic Constraints //' IEEE Transactions on Automatic Control, 1994. No. 1. P. 216-222.