автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Обратная задача интерпретации данных по результатам тестовых экспериментов

На правах рукописи

005053 ,*>ч

Копит Татьяна Александровна

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ТЕСТОВЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2012

1 1 ОКТ 2012

005053134

Работа выполнена на кафедре компьютерных методов физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Чуличков Алексей Иванович

Официальные оппоненты

Голубцов Петр Викторович доктор физико-математических наук, доцент, кафедра математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова, профессор

Лепский Александр Евгеньевич доктор физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики факультета экономики Национального исследовательского университета "Высшая Школа Экономики", профессор

Ведущая организация

Институт математических проблем биологии РАН

Защита состоится «5» октября 2012 г. в 16 часов 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, дом 1, стр. 4, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова (Ломоносовский просп., 27).

Автореферат разослан «_»_ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Суворов В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных научных исследованиях часто приходится решать задачи, в которых из имеющегося массива данных требуется извлечь некоторую скрытую в них информацию. Такие задачи называют задачами интерпретации данных. К ним, в частности, относятся задачи оценивания параметров исследуемых объектов по поступающим от них сигналам, задачи прогноза состояния систем в будущем или в условиях, отличных от тех, при которых получены данные, по наблюдению их текущих состояний, и др.

Для извлечения из данных полезной информации необходима математическая модель, связывающая данные с содержащейся в них информацией (прямая модель формирования данных). Задача интерпретации данных может рассматриваться как обратная задача математического моделирования, методы решения которых широко известны. Однако если модель задана неточно, то точность решения обратной задачи может оказаться неудовлетворительной. В этом случае необходимо уточнение модели.

Одним из способов уточнения модели является проведение тестовых экспериментов — натурных или вычислительных, результатом которых являются отклики модели на известные ситуации. По этим данным на первом этапе производится уточнение модели, и на следующем эта уточненная модель используется для решения обратной задачи: из данных, полученных независимо от тестов, извлекается информация о той ситуации, в которой эти данные получены.

Математическая процедура уточнения модели по тестам зависит от того, как поставлена задача уточнения модели. Поскольку для рассматриваемой задачи чрезвычайно важна именно точность интерпретации данных, то актуальной является задача разработки таких математических методов уточнения модели, которые обеспечивали бы максимальную точность интерпретации данных на втором этапе, или, по крайней мере, в которых погрешность уточненной модели была бы согласована с точностью интерпретации.

Решение задачи интерпретации зависит от используемых модельных предположений о том, как получены данные тестов и интерпретируемые данные, поэтому актуальной является разработка математических методов контроля адекватности этих предположений. Модельные предположения считаются адекватными, если они не противоречат всем известным данным о моделируемой реальности.

Решению этих задач и посвящена настоящая работа.

Кроме того, заметим, что под результатами тестов можно понимать расчеты прямой задачи для некоторых известных ситуаций. Если прямая

модель построена как сложный комплекс программ, требующих большого времени расчета, то вся доступная информация о модели формирования данных фактически содержится в вычислениях, выполненных с некоторой точностью для набора тестовых ситуаций. Тем самым развиваемые в диссертации методы актуальны для решения задач интерпретации данных, модель формирования которых задана в виде сложных компьютерных моделей.

Цель работы. Целью работы является решение задач интерпретации экспериментальных данных для случая, когда модель эксперимента задана в виде результатов тестовых измерений, и исследование свойств решений.

Задачами исследования являются:

• разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации данных, модель формирования которых построена по результатам ее откликов на тестовые ситуации с точностью, обеспечивающую максимальную или заданную точность решения задачи интерпретации данных;

• разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности используемых при этом математических моделей;

• реализация эффективных численных алгоритмов решения задачи интерпретации данных в виде комплексов программ для проведения вычислительного эксперимента.

Научные результаты, выносимые на защиту.

1. Разработан метод и численный алгоритм решения задачи интерпретации данных, где модель формирования данных строится путем кусочно-линейной аппроксимации на основе тестов, погрешность измерения ограничена по норме, при этом контролируется точность интерпретации данных и адекватность используемых математических моделей.

2. Разработан метод и численный алгоритм решения задачи интерпретации данных, где модель формирования данных задана в виде распределения возможностей на множестве линейных операторов и уточняется по тестам, погрешности измерений являются нечеткими векторами с заданными распределениями возможностей, при этом максимизируется апостериорная возможность интерпретации данных и контролируется адекватность используемых математических моделей.

3. Создан комплекс программ для прямого моделирования процессов протонного транспорта и синтеза АТФ на фотосинтетической

мембране сложной пространственной структуры. В вычислительном эксперименте получены оценки входных параметров системы.

Методы исследования. В диссертации применяются методы теории измерительно-вычислительных систем1, методы теории возможности2, методы математического программирования. Численные эксперименты реализованы с использованием программ, написанных па языке С/С++, а также программ на базе платформы МаШЬ.

Научная новизна. Исследовано решение задачи интерпретации данных, позволяющее получать оценки погрешности интерпретации данных на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейного оператора модели их формирования, построенного по тестам. Дан метод выбора областей линейности из условий согласования точности интерпретации, точности аппроксимации и точности задания данных и результатов тестов. Построен метод проверки адекватности используемых математических моделей.

Впервые получено решение задачи интерпретации данных, где оценки строятся при максимизации апостериорной возможности на основе данных о параметрах объекта, искаженных нечеткой погрешностью. В данной задаче прямая модель данных задана в виде результатов тестов, выполненных также с нечеткой погрешностью, даны методы проверки адекватности математических моделей.

Разработаны методы вычисления оценок и характеристик адекватности моделей, методы реализованы в виде комплекса программ. Методы применялись при интерпретации данных модели фотосинтетической системы.

Научная и практическая значимость. Практическая ценность разработанных в диссертации новых методов решения обратных задач интерпретации данных состоит в том, что разработан новый инструмент для научных исследований и решения прикладных задач, который

• позволяет уточнять погрешность решения задачи интерпретации данных, модель формирования которых неизвестна или известна неточно, путем уточнения модели проведением экспериментов, тестирующих модель;

• позволяет уточнять достоверность результатов и выводов благодаря возможности проверки адекватности математических моделей, используемых при решении задачи интерпретации.

1 Пытьев Ю.П. «Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем». М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2 Пытьев Ю.П. «Возможность как альтернатива вероятности». М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

Ценность работы. Разработанные в диссертации методы существенно расширяют класс решаемых задач интерпретации данных, позволяя получать оценки параметров контролируемой точности для случая, когда модель данных определяется или уточняется по результатам тестов. В частности, становится возможным решать задачи интерпретации данных эксперимента, математическая модель которого реализована в виде комплекса программ, требующего значительного времени расчета. Разработанные методы контроля адекватности используемых математических моделей позволяет повысить достоверность получаемых результатов.

Научная обоснованность и достоверность. Полученные автором теоретические результаты подтверждены строгими доказательствами и вычислительными экспериментами. Результаты решения задач интерпретации данных фотосинтеза, помимо оценок контролируемой точности, содержат параметры, характеризующие согласие используемых моделей с реальными данными и результатами тестов. Результаты решения задач интерпретации данных фотосинтеза согласуются с теоретическими представлениями.

Апробация результатов работы. Результаты, представленные в работе, докладывались на научных семинарах кафедры компьютерных методов физики, кафедры математики физического факультета МГУ, НИВЦ МГУ и кафедре биофизики биологического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, а также на следующих конференциях: Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." (Дубна, Пущино, январь 2006, 2007, 2009, 2010 гг.); Международной мультиконференции "Актуальные проблемы информационно-компьютерных технологий, мехатроники и робототехники." (Дивноморское, октябрь 2009 г.); Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (Москва, апрель 2006 и 2010 гг.). Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов" (Петрозаводск, 2011 г.); Международной конференции "Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining and Granular Computing" (Москва, 2011 г.).

Работа была выполнена при поддержке грантов РФФИ 08-07-00120, 09-01-96508, 09-07-00505-а, 11-07-00338-а.

Личный вклад автора. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Публикации. По теме диссертации имеется 14 публикаций, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

четырех глав, заключения и библиографии. Объём работы — 141 страница, содержит 22 иллюстрации. Библиография включает в себя 91 печатную работу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ВВЕДЕНИЕ включает в себя краткое описание решаемых проблем, дается обоснование актуальности данных исследований. Содержит постановку целей и оценку полученных результатов. Также введение содержит краткое содержание глав.

ПЕРВАЯ ГЛАВА представляет обзор существующих методов анализа и интерпретации экспериментальных данных. Первый параграф содержит основные подходы при заданной модели измерений. Описаны методы оценивания параметров модели, основанные па методе наименьших квадратов, методы теории регуляризации, методы точечного оценивания параметров распределений вероятностей. Рассмотрены фундаментальные основы теории измерительно-вычислительных систем, вводятся основные понятия и термины. Второй параграф содержит основные подходы к решению задачи интерпретации экспериментальных данных при неизвестной модели измерений или заданной частично. Рассмотрен принцип максимальной надежности модели, характеризующий соответствие математической модели и данных эксперимента. Рассмотрены методы оценки модели и ее уточнения на основании тестовых измерений. Приведено описание класса задач интерпретации данных посвященных задачам оценивания по прецедентам. Рассмотрены методы нечеткой интерпретации. Приведены основы теории возможностей. Вводятся понятия нечеткого элемента, распределения возможностей.

В диссертации используется подход теории измерительно-вычислительных систем, остановимся на ее основных терминах и задачах. Считается, что данные, которые следует интерпретировать, получены в результате эксперимента, проведенного по схеме

£ = А(/) + и. (1)

Здесь V моделирует погрешность данных. Считается, что / — элемент евклидова пространства А(/) и V — элементы евклидова пространства

Лп, N,71 < оо. Данные £ используются для оценки вектора

и = и/ (2)

евклидова пространства Лт, т < оо. Оператор II €Е (72-лг —> ~

известный линейный оператор.

В терминах теории измерительно-вычислительных систем векторы Ж/)> /> и и и рассматриваются как математические модели сигналов, а операторы А и и — как математические модели измерительных приборов, так, что £ интерпретируется как результат измерения искаженного аддитивным шумом V выходного сигнала А{/) измерительного прибора Л(-), на вход которого подан (неизвестный) сигнал / от изучаемого объекта. Задача интерпретации измерения ставится как задача поиска такого преобразования И сигнала результатом Щ которого является наиболее точная версия выходного сигнала и = [// «идеального измерительного прибора» II, на вход которого подан сигнал /, тот же, что и при измерении (1). Если математическая модель измерительного прибора Л(-) уточняется в эксперименте, то преобразование И зависит от результатов тестовых измерений (3).

В диссертации используется два подхода к решению задачи интерпретации данных на основании модели, уточняемой по тестам. В первом из них об операторе А(-) известно, что он может быть любым из заданного класса нелинейных операторов, и измеряются его значения в серии тестовых экспериментов

0 = + ¿ = 1.....М. (3)

Погрешности измерений V и ] = 1,..., М, ограничены по норме.

Во втором подходе считается, что на множестве линейных операторов А, сигналов / и погрешностей измерений V и з = 1 ,...,М, задана возможность, которая, как и вероятность, является мерой. Эта мера полностью упорядочивает предопределенности, шансы на то, что именно эти значения указанных математических величин реализовались в данном эксперименте. Метод решения задачи интерпретации данных построен как метод оценок вектора и, максимизирующих апостериорную возможность.

Заметим, что для линейного оператора А € (Т^дг —> 7£п) и погрешностей ^ и = 1,. -., М, как случайных векторов задача интерпретации

измерений на основе модели, построенной по тестам, решена в работах Ю.П. Пытьева, А.И.Чуличкова, П.В. Голубцова, Е.А. Черемухина3. Решаемые в диссертации задачи отличаются предположениями о нелинейности оператора Л(-) и иными математическими моделями погрешности измерений.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ поставлена, решена и исследована задача интерпретации данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений, построенной по тестам.

3 Голубцов П.В, Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. «Построение оператора редукции по тестовым измерениям». В сб. "Дискретные системы обработки сигналов Устинов: 1986. С.68-71. Черемухин Е.А., Чуличков А.И. «О редукции к идеальному прибору по данным тестирующих измерений» — Вестник Моск. ун-та. Сер.З Физ. Астрон. Т. 3. 2004. - С.15-18.

Рассматривается нелинейная схема (1) измерительного эксперимента, в которой £ интерпретируется как результат измерения искаженного аддитивным шумом v выходного сигнала A(f) измерительного прибора Л(-), на вход которого подан сигнал / от изучаемого объекта. Задача интерпретации измерения (1), решаемая в этой главе, состоит в наиболее точном оценивании параметров и изучаемого объекта, непосредственно не наблюдаемых, но связанных с сигналом / равенством (2), где оператор U известен.

Считается, что в (1) сигналы / € TZn, € TZn — векторы

конечномерных евклидовых пространств TZn и TZn соответственно. О входном

сигнале / известно множество его возможных значений Т, вектор v

погрешности измерений имеет ограниченную норму. Область Т ограничена

и существует ее конечное покрытие симплексами Tk так, что для вершин

симплексов /ъ ■ • •,/дг+1 & Tk w. чисел ai > 0,..., q;jv+i > 0, таких, что n+1

otj = 1, выполнено неравенство

з=1

лг+1 jv+i

(4)

j=1 j=i

Таким образом, значение оператора Л(-) на любом элементе / симплекса Tk с погрешностью е аппроксимируется линейной комбинацией значений A(fi),..., A(/n+i) £ TZn] величина погрешности е характеризует отличие оператора Л(-) от линейного на множестве Tk-

Оператор А(-) заранее неизвестен и информация о нем содержится в результатах j = 1,... ,М, измерений тестовых сигналов. Эти измерения проводятся по схеме (3), в которой fj — известный входной тестовый сигнал, Vj — погрешность j-го тестового измерения, j = 1,..., М, причем \\ц\\2 < S2.

Выполняется замена переменных, сводящая аффинное преобразование д = Af + а, А е (TZn —> TZn), а € TZn, к линейному д = Af: А = (А а) €

(TZN+I -» TZn), f = ( { ) € WJV+I.

Определение. Линейный оператор А$ € (TZn+i —> аппроксимирует оператор Л(-) на множестве с погрешностью Д, если для любого / € То выполнено ||A(f) - Aof\\2 < А2.

Перепишем схему тестовых измерений (3) в матричном виде

~ = ¿(F) + TV; (5)

здесь столбцы оператора iV в естественном базисе пространства TZm ограничены по норме числом 5.

Для решения задачи интерпретации строится линейная аппроксимация оператора Л(-) на выпуклой оболочке некоторого подмножества/i,...,/т тестовых сигналов. В разд. 2.2 формулируются необходимые и достаточные условия такой аппроксимации и указывается линейный оператор, удовлетворяющий этим условиям, оператор EF~, где оператор F~, псевдообратный F.

Проводится оценка погрешности аппроксимации оператора А{-) линейным оператором. Показано что:

• если для некоторого числа а1 > 0 выполнено неравенство

max Hfj — EF~fj\\2 < а2, (6)

3=1,...,т

то линейный оператор EF~ g (7?-./v+i —> TZn) на множестве /i,..., /т тестовых сигналов аппроксимирует оператор Л(-) с погрешностью (,52 + а2У

• пусть для т > N + 1 тестовых сигналов fi,...,fm и результатов £i> • • • >£т их измерений выполнено неравенство (6), ранг т! линейного оператора F равен N + 1, и для любого элемента выпуклой оболочки

т т

Tf = {/ = 2 oiifi, a¿ > 0, г = 1,..., т; ^ а, = 1} тестовых сигналов

г=1 i= 1

справедлива оценка

т n+1

}=1 3=1

Тогда оператор ЕF~ € (Т^лг+i —> Tin) аппроксимирует оператор Л(-) на множестве Tf с погрешностью (¿2 + а2 + е2)1/2.

В диссертации приводится метод построения и выбора кусочно-линейных аппроксимаций оператора Л(-) и решение задачи интерпретации на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерения.

Существование кусочно-линейной аппроксимации оператора Л(-) позволяет утверждать, что если /о 6 J~k, то

= EkFj~f0 + fik, 1Ы12 < А2 + 51, (7)

здесь Jo = (/о 1)* € TZN+i-

Для построения оценки сигнала щ = Ufo для каждого k = 1,..., К найдем подмножество = {/ € к '■ ~kF¡7f + ¡if- = для некоторого

/ifc, ||/ifc||2 < А2 + (52} сигналов из Тк, измерение которых по схеме (7) может

к

привести к результату £о- Обозначим -F(£o) = (J и определим оценку

л fc=i ид 6 7Zm как решение задачи

sup \\uo-Uf\\= inf sup \\u-Uf\\. (8)

о) иеПм /еЛ€о)

При заданном ^(^о) решением задачи (8) является центр шара минимального радиуса, содержащего образ множества ^(^о) ПРИ отображении U € (TZn —> 71м); радиус этого шара дает точность оценки щ, минимаксной на множестве UJF^o).

Приводятся свойства множеств ^(^о), k = I,..., К.

1. Для того, чтобы множество было непусто, необходимо выполнение следующих двух условий.

||(J - EkF^EkF^0\\2 < А2 + 502; (9)

sup ||£о - г||2 < (Ю)

zsV(~t)

где V(Efc) — выпуклая оболочка элементов ~

результатов изльерений по схеме (3) тестовых сигналов ..., расположенных в вершинах симплекса Тк.

2. Множество IFh{£,о) есть пересечение с множеством

{z : ||SfcFjTz - 611 < С KN, где , ,

рьШ = (Д2 + 51 -\\(I- EkF^kF^)-m2)1'2- 1 ]

3. Множество (11) неограничено, если оно не пусто и существует хотя бы один вектор z £ 1Zn+i, z ф 0, для которого EkF^z = 0.

4. Если соотношения (9)-(10) не выполнены ни для каких k = 1,..., К, то модели измерения и тестирования не согласуются между собой

5. Если соотношения (9)-(10) выполнены только для единственного значения ко и выполнено условие U(I — (EkFjT)~(EkFj7)) = 0, то вектор и' = U(EkoFj7o)~^o является оценкой вектора и = Uf с погрешностью h'(£0) = где ||Q|| = sup ||Qz||/||;z|| -

г^О

норма линейного оператора Q.

6. Если соотношения (9)-(10) выполнены только для чисел ki, i = 1 ,...,q> 1, и для них выполнены равенства U (I — (EkiF^)~ (EkiFj7)) =

О, то центр и" шара минимального радиуса, содержащего все векторы и(г = является оценкой вектора и = II/ с

погрешностью о), равной сумме радиуса этого шара с величиной тах

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ поставлена, решена и исследована задача интерпретации данных на основе эмпирического восстановления нечеткой модели измерения.

Рассматривается возможностная модель измерительного эксперимента, в котором на вход измерительного прибора А поступает сигнал / от измеряемого объекта. Измерение его выходного сигнала А/ сопровождается аддитивной погрешностью г, и результатом измерения является вектор х. Считается, что сигналы х, / и г являются реализациями нечетких векторов £ € Лп, <р £ 72.дг, V € Лп, где Лн и Лп — линейные пространства. Моделью измерительного прибора является нечеткий элемент Л пространства (Л^ —> Лп) линейных операторов. Его выходной сигнал является нечетким вектором Л<р. Таким образом, схема измерительного эксперимента запишется в виде

£ = А<р + г/. (12)

Возможностная модель эксперимента по изучению параметров объекта задается совместным распределением возможностей значений следующих нечетких элементов: нечеткого вектора £ £ Лп, моделирующего выходной сигнал измерительного прибора, нечеткого оператора Л € (Лн —^ Лп), служащего моделью измерительного прибора, нечеткого вектора ¡р € Лм, моделирующего входной сигнал и нечеткого вектора г] € Лм параметров исследуемого объекта:

7г('а'™(х, А, /, и), (х, А, /, и) е Лпх {Лм -> Пп) хЛмх Лм. (13)

Значение ^'^'^(х, А, /, и) равно возможности равенств £ = х, Л = А, = /, г] = и. Маргинальное распределение

ж^(х,и) = вир тг^А^(х,А,/,и), (х,и) еЛпхЛм, (14) /е7г„,ле(кЛ->7гп)

позволяет получить оценку значения параметра г/, основанную на результате измерения £ = х как оценку максимальной возможности

и{х) = вир ■¡¿,'п{х,и), х£Лп. (15)

иеТСд/

В диссертации решается задача интерпретации измерений в случае, когда модель измерительного прибора неизвестна и информация о ней

может быть извлечена из измерений известных тестовых сигналов/1,...,/, проведенных по схеме

здесь V] £ В.п — нечеткий элемент, характеризующий погрешность измерения.

Перепишем схему тестовых измерений (16) в матричном виде

Основной результат третьей главы формулируется в следующем виде.

Пусть заданы распределения 7г^(-), 7г"(-) нечетких векторов у £ 72.дг и и £ 72п и распределения 7ГЛ(-) и п1*^) нечетких линейных операторов Л и N, и <р, V, Л и N независимы; £ = х — результат измерения (12), а Е = X — результат тестового измерения (17) . Тогда оценка и максимальной возможности вектора г) равна и = и/, где / — решение вариационной задачи

(A, /) = arg maxmin^* - А/), т^{Х - AF), n*(f), па(А)). (18)

Состоятельность модели излгерения определяется априорным распределением возможностей

В разд. 3.3. и 3.4. диссертации рассмотрено решение задач интерпретации измерений для нескольких' конкретных моделей распределений нечетких элементов ip, Л, N и и.

Рассмотрен случай, когда векторы пространств 7Zn, TZn и 72 д/ заданы своими координатами, операторы из (72.jv 72^) — своими матрицами и априорные распределение возможностей нечетких векторов и оператора Л заданы в виде нечетких ограничений на координаты и матричные элементы следующими соотношениями: для векторов v = (i>\,... ,vn) £ 1Z„ и tp = (Vb ••■,<Pn) из (12) -

= A/j + , j = l,...,m;

(16)

AF + N.

(17)

w^x) = max min(7r"(a; - А/), тг^(Х - AF), ttv(/), жа(А)).

(19)

и

соответственно, для векторов Vj = (vjV ..., i/j ) S 1Zn, j = 1,..., m из (16), образующих матрицу iVy = —

Tr^u,...^™«) =/i0 f min f—(21) для матрицы (Ay), г = 1,..., п, j = 1,..., ./V, линейного оператора Л —

• • ■, = МО ....., (^И) ) ■ (22)

Здесь Цо(') [0, оо) —>■ [0,1] — строго монотонно убывающая функция, ßo(0) = 1, lim Hq{z) = 0, константы, стоящие в знаменателях формул (19)—(22) — заданные числа, определяющие величину "нечеткости" соответствующих величин, а константы /Ь,г и Ао^, г = 1 ,...,n,j = 1 ,...,N определяют наиболее возможные значения вектора </? € TZn и матрицы оператора Л.

Тогда при априорных нечетких ограничениях на координаты сигналов и матричные элементы оператора Л решение задачи (18) приводится к виду:

____( ( /h-Е^лЛ (A,kFkt-Xst\

(A, f) = are inf I max I max I -———■— , max I -

V J ' A,f \ \ i= 1.....n I ст- I s=l,...,n;t=l,...,m I

max АЦ^К), max (^таИ 9=1.....N \ J p=l,...,n-,l=l,...,N \ <#>

(23)

При фиксированном векторе / € Kjv задача на минимакс определения матричных элементов /1у матрицы оператора /1 (23) сводится к задаче линейного программирования. Затем числепно проводится минимизация по

/е^лг.

В случае решения задачи интерпретации измерений при априорных нечетких ограничениях на евклидовы нормы сигналов и оператора Л показано, что задача сводится к следующей задаче.

Пусть теперь пространства TZn, 7Zn и IZm евклидовы, пространство линейных операторов (1Zm —> 7Zn) — евклидово со скалярным произведением {А, В)2 = tr АВ* = ¿2Zi(Aei,Bei), А, В 6 (Кт -»■ Кп), где {а} -любой ортонормированный базис евклидова пространства 1Zm- Априорное распределение возможностей нечетких векторов и оператора Л заданы в виде нечетких ограничений на их нормы следующими соотношениями:

7r"(z) = //o(IN|2), ze1ln,

для нечеткого оператора N —

1TN(Z) = M\\z\\l), z g (7гт -> izn).

Здесь, как и прежде, //q(-) : [0, оо) —» [0,1] — строго монотонпо убывающая функция, /io(0) = 1, lim цо(z) = 0. Линейный оператор Л g (7Zn —»• Rn) и

z-»oo

входной сигнал / редуцируемого измерения априори произвольны, так, что 7гЛ(Л) = 1 для любого А е (1Zn Tin) и n^if) = 1 для любого / G Тогда задача (18) приводится к следующей задаче на минимакс:

minmax(||:c - Af ||2, \\Х - AF\\22). (24)

A J

В диссертации получены и исследованы численные методы решения задачи (24).

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена практической реализации предложенных численных методов при анализе и интерпретации данных модели фотосинтетической системы. Приведено описание моделируемой системы, подходов в моделировании процессов и результатов численных экспериментов.

В качестве платформы для программной реализации имитационной модели фотосинтетической системы были выбраны С++, как удобный объектно-ориентированный язык программирования. Комплекс программ, осуществляющий реализацию модели системы многоточечно-сетевым методом и интерпретацию данных осуществлен на платформе Matlab. При этом реализовано три алгоритма интерпретации измерений:

1. интерпретация на основе кусочно-липейпой аппроксимации модели, согласующейся с точностью измерений;

2. интерпретация нечетких измерений при априорных нечетких ограничениях на координаты сигналов и матричные элементы оператора модели измерений;

3. интерпретация нечетких измерений при априорных нечетких ограничениях на евклидовы нормы сигналов и оператора модели измерений;

При реализации данных алгоритмов использовались функции численной оптимизации пакета прикладных программ Matlab.

Приведены результаты решения задачи интерпретации измерений на основе аппроксимации модели, в которой измеряемыми параметрами являются значения насыщения ДрН и скорости синтеза АТФ, а оцениваемыми параметрами — концентрация фотосистем-2 и интенсивности

света. При этом, в результате вычислительного эксперимента были получены оценки входных параметров превосходящие по точности результаты анализа методом наименьших квадратов. Полученная погрешность оценок, обусловленная отличием приближенной модели от точной, согласуется с погрешностью, возникающей из-за неточности измерений.

Также рассматриваются примеры интерпретации нечетких измерений при эмпирическом восстановлении модели, в которых по измерению количества единиц синтезированного АТФ и концентрации протонов оценивается время, которое требуется для его получения. При этом оценки времени, полученные при минимизациии возможности ошибки интерпретации, согласуются с результатами наблюдений в вычислительном эксперименте.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты и выводы работы.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

1. Метод, решающий задачи интерпретации данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений позволяет получать априорные оценки погрешности решения задач интерпретации и проверять адекватность используемой модели.

2. Метод решения задач интерпретации данных на основе теоретико-возможностной модели измерений позволяет получать оценки максимальной апостериорной возможности и контролировать адекватность используемых математических моделей. При этом оценки параметров изучаемого объекта и модель измерений восстанавливаются в единой оптимизационной задаче.

3. Проведение интерпретации данных для ряда конкретных задач показало эффективность предложенных методов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях

Публикации в журналах из Перечня ВАК:

1. Копит Т.А., Чуличков А.И., Устинин Д.М. Интерпретация экспериментальных данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений / / Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2010. №5. С. 3-8.

2. Копит Т.А., Чуличков А.И., Устинин Д.М. Эмпирическое восстановление нечеткой модели эксперимента и редукция измерений в равномерной метрике // Журнал Вычислительные методы и программирование. 2011. Т.12. С. 90-96.

3. Копит Т.А., Чуличков А.И., Устинин Д.М. Эмпирическое восстановление нечеткой модели эксперимента и редукция измерений в евклидовой метрике // Журнал Вычислительные методы и программирование. 2011. Т.12. С. 220-226.

Публикации в других научных изданиях:

4. Копит Т.А., Устинин Д.М., Грачев Е.А. Моделирование трансмембранного переноса и диффузии протонов в рамках имитационной модели фотосинтетической мембраны / / Тезисы 13 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Дубна, 2006, С. 153.

5. Копит Т.А. Имитационное моделирование протонного транспорта в цепи переноса заряда фотосинтетической мембраны // Тезисы докладов

13 международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006". 2006. С. 31.

6. Копит Т.А., Устинин Д.М., Грачев Е.А. Имитационное моделирование протонного транспорта и его влияния на синтез АТФ в цепи переноса заряда фотосинтетической мембраны. // Тезисы докладов

14 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Пущино, 2007. С. 69.

7. Копит Т.А., Устинин Д.М., Чуличков А.И. Методы моделирования и анализа нелинейной стохастической фотосинтетической системы. // Тезисы 16 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Пущино, 2009. С. 264.

8. Копит Т.А., Устииин Д.М., Чуличков А.И. Анализ и интерпретация данных нелинейных моделей измерений // Тезисы докладов международной мультиконференции конференции "Актуальные проблемы информационно-компьютерных технологий, мехатроники и робототехники" локальной конференции "Мехатроника, Автоматизация, Управление". Дивноморское, 2009. С. 151-153.

9. Копит Т.А., Устинин Д.М., Чуличков А.И. О методе получения оценок параметров нелинейной модели измерения на основе её кусочно-линейной аппроксимации. // Тезисы 17 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Дубна, 2010. С. 136.

10. Копит Т.А. Задачи и реализация анализа и интерпретации данных нелинейных моделей измерений // Тезисы докладов 17 международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2010". 2010. С. 187.

11. Kopit Т.А., Chulichkov A.I. Estimation of parameters of the empirically reconstructed fuzzy model of measurements // "Thirteenth International Conference on Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining and Granular Computing". Moscow, 2011. C. 211-218.

12. Kopit T.A., Chulichkov A.I. Empirical reconstruction of fuzzy model of experiment in the Euclidean metric // "International Workshop on Soft Computing, Applications and Knowledge Discovery". Moscow, 2011. C. 48-50.

13. Копит T.A., Чуличков А.И. Методы интерпретации экспериментальных данных нечеткой модели измерений, восстановленной по тестам // Тезисы докладов 15 всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов". Петрозаводск, 2011. С. 21-24.

14. Копит Т.А., Чуличков А.И. Методы редукции измерений на основе эмпирически восстановленной нечеткой модели измерений // Сложные системы, 2012. №1(2). С. 7-24.

Заказ № 35-П/06/2012 Подписано в печать 07.06.2012 Тираж 100 экз. Усл. п.л.0,75

"Цифровичок", тел. (495) 649-83-30

www.cfr.ru; е-таП: info@cfr.ru

Введение

Глава 1. Методы интерпретации экспериментальных данных измерений.

1.1. Основные подходы к решению задачи интерпретации данных при заданной модели измерений.

1.2. Основные подходы к решению задачи интерпретации данных при незаданной модели измерений или заданной частично

1.3. Выводы и результаты главы.

Глава 2. Метод интерпретации данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений.

2.1. Модель измерения. Решаемые задачи

2.2. Кусочно-линейная аппроксимация оператора Л(-) по тестам

2.3. Задача оценивания входного сигнала на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерения.

2.4. Выводы и результаты главы.

Глава 3. Эмпирическое восстановление и редукция нечеткой модели измерения.

3.1. Редукция измерения при известной модели измерительного прибора А

3.2. Постановка задачи редукции и эмпирического восстановления модели измерения.

3.3. Редукция измерений при априорных нечетких ограничениях на координаты сигналов и матричные элементы оператора Л

3.4. Редукция измерений при априорных нечетких ограничениях на евклидовы нормы сигналов и оператора Л

3.5. Выводы и результаты главы.

Глава 4. Анализ и интерпретация данных модели фотосинтетической системы.

4.1. Общие сведения о моделируемой системе.

4.2. Имитационное моделирование системы.

4.3. Интерпретация данных модели фотосинтетической системы

4.4. Выводы и результаты главы.

В современных научных исследованиях часто приходится решать задачи, в которых из имеющегося массива данных требуется извлечь некоторую скрытую в них информацию. Такие задачи называют задачами интерпретации данных. К ним. в частности, относятся задачи оценивания параметров исследуемых объектов по поступающим от них сигналам, задачи прогноза состояния систем в будущем или в условиях, отличных от тех, при которых получены данные, по наблюдению их текущих состояний, и др.

Для извлечения из данных полезной информации необходима математическая модель, связывающая данные с содержащейся в них информацией (прямая модель формирования данных). Задача интерпретации данных может рассматриваться как обратная задача математического моделирования, методы решения которых широко известны. Однако если модель задана неточно, то точность решения обратной задачи может оказаться неудовлетворительной. В этом случае необходимо уточнение модели.

Одним из способов уточнения модели является проведение тестовых экспериментов — натурных или вычислительных, результатом которых являются отклики модели на известные ситуации. По этим данным на первом этапе производится уточнение модели, и на следующем эта уточненная модель используется для решения обратной задачи: из данных, полученных независимо от тестов, извлекается информация о той ситуации, в которой эти данные получены.

Математическая процедура уточнения модели по тестам зависит от того, как поставлена задача уточнения модели. Поскольку для рассматриваемой задачи чрезвычайно важна именно точность интерпретации данных, то актуальной является задача разработки таких математических методов уточнения модели, которые обеспечивали бы максимальную точность интерпретации данных на втором этапе, или, по крайней мере, в которых погрешность уточненной модели была бы согласована с точностью интерпретации.

Решение задачи интерпретации зависит от используемых модельных предположений о том, как получены данные тестов и интерпретируемые данные, поэтому актуальной является разработка математических методов контроля адекватности этих предположений. Модельные предположения считаются адекватными, если они не противоречат всем известным данным о моделируемой реальности.

Решению этих задач и посвящена настоящая работа.

Кроме того, заметим, что под результатами тестов можно понимать расчеты прямой задачи для некоторых известных ситуаций. Если прямая модель построена как сложный комплекс программ, требующих большого времени расчета, то вся доступная информация о модели формирования данных фактически содержится в вычислениях, выполненных с некоторой точностью для набора тестовых ситуаций. Тем самым развиваемые в диссертации методы актуальны для решения задач интерпретации данных, модель формирования которых задана в виде сложных компьютерных моделей.

Цель и задачи работы.

Исходя из описанных актуальных проблем целью диссертационной работы является:

• разработать новые математические методы и алгоритмы интерпретации данных, модель формирования которых построена по результатам ее откликов на тестовые ситуации с точностью, обеспечивающую максимальную или заданную точность решения обратной задачи интерпретации данных;

• разработать новые математические методы и алгоритмы проверки адекватности используемых при этом математических моделей;

• реализовать эффективные численные алгоритмы решения задачи интерпретации данных в виде комплексов программ для проведения вычислительного эксперимента.

Методы исследования.

В диссертации используется подход теории измерительно-вычислительных систем, созданный под руководством профессора Ю.П. Пытьева [1-5]. Считается, что данные, которые следует интерпретировать, получены в результате эксперимента, проведенного по схеме

Здесь V моделирует погрешность данных. Считается, что / — элемент евклидова пространства 71 дг, Л(/) и и — элементы евклидова пространства Ип, N,12 < оо. Данные £ используются для оценки вектора евклидова пространства 7Zrn, т < оо Оператор и Е (7£дг —»• 71т) — известный линейный оператор.

В терминах теории измерительно-вычислительных систем векторы У, и м V рассматриваются как математические модели сигналов, е = лц) +1/.

1) и = и}

2) а операторы А и и ~ как математические модели измерительных приборов, так, что £ интерпретируется как результат измерения искаженного аддитивным шумом и выходного сигнала А(/) измерительного прибора А(-), на вход которого подан (неизвестный) сигнал / от изучаемого объекта. Задача интерпретации измерения ставится как задача поиска такого преобразования Я сигнала результатом Щ которого является наиболее точная версия выходного сигнала и = (У/ «идеального измерительного прибора» II. на вход которого подан сигнал /. тот же. что и при измерении (1) Если математическая модель измерительного прибора А(-) уточняется в эксперименте, то преобразование Я зависит от результатов тестовых измерений (3).

В диссертации используется два подхода к решению задачи интерпретации данных на основании модели, уточняемой по тестам В первом из них об операторе Л(-) известно, что он может быть любым из заданного класса нелинейных операторов, и измеряются его значения в серии тестовых экспериментов

3 = А{/,) + и„ Э = 1.М. (3)

Погрешности измерений и и гл,, 7 = 1. . , М, ограничены по норме

Во втором подходе считается, что на множестве линейных операторов А, сигналов / и погрешностей измерений V и ] = 1,. М, задана возможность, которая, как и вероятность, является мерой [6] Эта мера полностью упорядочивает предопределенности, шансы на то, что именно эти значения указанных математических величин реализовались в данном эксперименте Метод решения обратной задачи интерпретации данных построен как метод оценок вектора и. максимизирующих апостериорную возможность

Заметим, что для линейного оператора Л Е (IZn —> 1Zn) и погрешностей и и i/j, j = 1,. ., М, как случайных векторов задача интерпретации измерений на основе модели, построенной по тестам, решена в работах Ю.П. Пытьева, А.И.Чуличкова, П.В Голубцова. Е.А. Черемухина [7, 8].

Решаемые в диссертации задачи отличаются предположениями о нелинейности оператора А(-) и иными математическими моделями погрешности измерений.

Численные эксперименты реализованы с использованием программ, написанных на языке C/C++, а также программ на базе платформы Mat-lab.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Разработаны методы и численные алгоритмы решения обратной задачи интерпретации данных, для двух ситуаций:

• модель формирования данных строится путем кусочно-линейной аппроксимации на основе тестов, погрешность измерения ограничена по норме, при этом контролируется точность интерпретации данных и адекватность используемых математических моделей;

• модель формирования данных задана в виде распределения возможностей на множестве линейных операторов и уточняется по тестам, погрешности измерений являются нечеткими векторами с заданными распределениями возможностей, при этом максимизируется апостериорная возможность интерпретации данных и контролируется адекватность используемых математических моделей

2. Создан комплекс программ для прямого моделирования процессов протонного транспорта и синтеза АТФ на фотосинтетической мембране сложной пространственной структуры. В вычислительном эксперименте получены оценки входных параметров системы.

Научная новизна работы.

1. Разработаны математические методы кусочно-линейной аппроксимации оператора А(-) по тестам, указаны классы нелинейных операторов, допускающих такую аппроксимацию. Разработаны методы проверки адекватности построенной модели.

2. Разработаны методы, алгоритмы и программы решения обратной задачи интерпретации данных на основе аппроксимации модели, построенной по тестам, а также методы согласования точности аппроксимации модели с точностью решения обратной задачи интерпретации данных.

3. Разработаны математические и численные методы и алгоритмы решения обратной задачи интерпретации данных, модель которых задана в терминах теории возможностей и уточнена по результатам тестов. Разработаны методы проверки адекватности математической модели.

Научная и практическая значимость.

В диссертации благодаря полученным теоретическим результатам становится возможным решать обратные задачи интерпретации данных для прямых моделей, расчеты по которым требуют большого времени.

Разработанный в диссертации комплекс программ прямого моделирования процессов фотосинтеза в соединении с методами и программами, решающими обратные задачи интерпретации данных, позволяет устанавливать связи между некоторыми выделенными параметрами модели фотосинтеза и данными наблюдений, оптимально оценивать параметры модели фотосинтеза.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

4.4. Выводы и результаты главы

В данной главе рассмотрены примеры практической реализации предложенных методов при анализе и интерпретации данных модели фотосинтетической системы. Приведено описание моделируемой системы, подходов в моделировании процессов и результатов численных экспериментов. Приведены результаты решения задачи интерпретации измерений на основе аппроксимации модели и нечеткой редукции измерений, получены оценки параметров максимальной точности. В результате восстановлены функциональные связи между параметрами процесса фотосинтеза, что обеспечивает лучшее понимание функционирования системы.

Заключение

В заключение приведем наиболее важные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработан метод анализа и интерпретации экспериментальных данных, позволяющий оценивать входной сигнал измерительного прибора и точность оценок при интерпретации измерений, проведенных с погрешностью ограниченной нормы, основанный на аппроксимации модели измерения кусочно-линейной моделью, построенной по результатам тестов, согласующейся с результатом измерений

2. Разработаны методы анализа и интерпретации экспериментальных данных, в которых нечеткая модель измерения и оценка параметров изучаемого объекта восстанавливаются в единой оптимизационной задаче, где погрешность измерений описывается в терминах теории возможностей. Методы и алгоритмы разработаны для следующих моделей распределений нечетких элементов: в случае, когда априори заданы нечеткие ограничения на координаты сигналов и погрешности измерений и на матричные элементы матрицы оператора, задающего измерительный прибор, а также в случае, когда модель погрешности измерений задана в виде нечетких ограничений на ее евклидову норму.

3. Разработаны методы проверки адекватности используемых моделей.

4 Реализованы эффективные численные методы и алгоритмы в виде комплексов программ для проведения вычислительного эксперимента

5 Показана эффективность предложенных методов и алгоритмов на примере анализа данных модели фотосинтетической системы

Получены оценки входных параметров системы согласующихся с точностью измерений.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.

1. Метод, решающий задачи интерпретации данных на основе кусочно-линейной аппроксимации модели измерений позволяет получать априорные оценки погрешности решения задач интерпретации и проверять адекватность используемой модели.

2. Метод решения задач интерпретации данных на основе теоретико-возможностной модели измерений позволяет получать оценки максимальной апостериорной возможности и контролировать адекватность используемых математических моделей При этом оценки параметров изучаемого объекта и модель измерений восстанавливаются в единой оптимизационной задаче.

3. Проведение интерпретации данных для ряда конкретных задач показало эффективность предложенных методов.

1. Пытъев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента.— М.: Изд-во моек, университета., 1990. — С. 286.

2. Пытъев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента.— М.: Высш. шк, 1989,- С. 352.

3. Пытъев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. — М.:Физматлит., 2004. — С. 400.

4. Чуличков А.И. Основы теории измерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения. — Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2000. — С. 140.

5. Пытъев Ю.П. Задачи редукции в экспериментальных исследованиях. // Матем.сборник. — Т. 120 (162) №2,- 1983.- С. 240-272.

6. Chulichkov A.I., Pyt'ev Y.P. Measurement computer systems: Modeling, reliability, algorithms. // Pattern Recognition and Image Analysis. — Т. 1 №2. — 1991.

7. Голубцов П.В., Пытъев Ю.П., Чуличков А.И. Построение оператора редукции по тестовым измерениям. // В сб. "Дискретные системы обработки сигналов". Устинов: Удмуртский государственный университет. — 1986. — С. 68—71.

8. Черемухин Е.А., Чуличков А.И. О редукции к идеальному прибору по данным тестирующих измерений. // Вестник Московского ун-та. Сер. 3 Физика. Астрон. Т. 3. - 2004. - С. 15-18.

9. Численные методы решения обратных задач математической физики. /

10. Под ред. С. А. Сб. ст. под.ред. Тихонова А.Н. — М.: Изд-во моек, университета., 1988,— С. 267.

11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач,— М.:Наука, 1979. — С. 285.

12. Численные методы решения некорректных задач. / А.Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990. - С. 232.

13. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. С. 311.

14. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи. // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., ВИНИТИ, М.- Т. 11.- 1973. — С. 129-178.

15. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука., 1987. - С. 239.

16. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987.— С. 217.

17. Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука. 1991.

18. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применение.— М.: Наука, 1968.

19. Пытьев Ю.П. Методы редукции в гильбертовых пространствах. // Матем.сборник. Т. 126 (168) №4. - 1985. - С. 543-565.

20. Пытьев Ю.П. О точности и надежности интерпретации косвенных измерений. // ДАН СССР. Т. 295 №3. - 1987. - С. 542-545.

21. Пытъев Ю.П. О точности и надежности интерпретации эксперимента. // Вестник МГУ, Сер.З Физика, астрономия. Т. 27 №3. - 1988. — С. 14-19.

22. Пытъев Ю.П. О точности и надежности интерпретации совокупности измерений. // Вестник МГУ, Сер.З Физика, астрономия, — Т. 27 №5.— 1988. С. 3-7.

23. Пытъев Ю.П. Псевдообратный оператор, свойства и применения // Матем.сборник. — Т. 118(160) №1(5).- 1982,- С. 19-49.

24. Чуличков А.И., Пытъев Ю.П. Рекуррентные методы редукции измерений. // Мат.моделирование. — Т. 1 №8. — 1989. — С. 22-44.

25. Боровков A.A. Математическая статистика. — М.:Наука., 1984. — С. 472.

26. Боровков A.A. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. — М.:Наука., 1984.

27. Митин И.В., Пытъев Ю.П., Шодмонкулов Т.Д. Метод максимальной надежности в задаче анализа и интерпретации спектрометрических измерений // Матем. моделирование. — Т. 3 из 12. — 1991. — С. 31-37.

28. Пытъев Ю.П., Сердоболъская M.JI. Метод максимальной надежности в задаче выбора модели. // Вестник МГУ, Сер.З Физика, Астрономия,— Т. 29 № 5. 1988. - С. 18-23.

29. Пытъев Ю.П. Надежность интерпретации эксперимента, основанной на приближенной модели. // Мат.моделирование.— Т. 1 № 2. — 1989. — С. 49-64.

30. Митин И.В. Анализ и интерпретация данных для приближенных моделей эксперимента. // Дисс. канд. физ-мат. Наук. — 1990.

31. Мишин И.В., Чуличков А.И. О надежности параметрически заданной модели измерений. // Вестник МГУ Сер.З Физика, астрономия. — Т. 30 т. 1989. - С. 8-14.

32. Митин И.В., Чуличков А.И. Локальная редукция изображения на малых эвм. // Тезисы докладов на конференции "Обработка изображения и дистанционные исследования Новосибирск. — 1987. — С. 157-158.

33. Голубцов П. В. Методы калибровки модели измерения для решения задачи редукции. // Дисс. канд. физ-мат. наук. — 1988.

34. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука., 1979. С. 448.

35. Hastie Т., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. — Springer, 2001. — P. 533.

36. Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction / A.N. Gorban, B. Kegl, D. Wunsch, A.Y. Zinovyev. — Springer, Berlin Heidelberg New York, 2008.

37. Горбань A.H. Обучение нейронных сетей,— СССР-США СП «Параграф», 1990. — 160 pp.

38. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний.— Новосибирск: ИМ СО РАН, 1999. 270 pp.

39. Vapnik V.N. Statistical learning theory. — N.Y.: John Wiley and Sons, Inc., 1998,- P. 732.

40. Scholkopf В., Smola A.J. Learning with Kernels. Support Vector Machines. Regularization, Optimization, and Beyond. — MIT Press, Cambridge, MA, 2002. P. 626.

41. Witten I.E., Frank E. Data Mining: Practical Machine Learning Tools and Techniques (Second Edition). — Morgan Kaufmann, 2005.— P. 525.

42. Закс EI. Теория статистических выводов. — M.: Мир, 1975.

43. Де Ерот М. Оптимальные статистические решения, — М.: Мир, 1979.

44. Savage L.J. The Foundations of Statistics. — Dover. New-York, 1972.

45. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. // Ann. Math. Statist. Vol. 38,- 1967,- Pp. 325-339.

46. Shafer G. A mathematical theory of evidence. — Princeton N. J.: Princeton University Press, 1976.

47. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. // Fuzzy Sets and Systems. Vol. 1. - 1978. - Pp. 3-28.

48. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / Под ред. П. ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука. — 1986.

49. De Соотап G. Possibility theory /, II, III // International Journal of General Systems. Vol. 25. - 1997. - Pp. 291-371.

50. Dubois D., Prade E. Theorie des Possibilites. — MASSON, Paris-Mi-lano-Barcelona-Mexico., 1988.

51. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. — М.: Радио и связь, 1990.

52. Wolkenhauer 0 Possibility Theory with Applications to Data Analysis — Research Studies Press, 1998

53. Пытъев Ю П Неопределенные нечеткие модели и их применения // Интеллектуальные системы — Vol 8 of 1-4 — 2004 — Рр 147-310

54. Zadeh L A Fuzzy sets, mf // Control Vol 8 - 1965 - Pp 338-353

55. Пытъев Ю П Возможность как альтернатива вероятности — M Физматлит, 2007 — С 464

56. Zadeh L A Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy sets and systems Vol 1 - 1978 - Pp 3-28

57. Заде Л А Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений — M Мир 1976

58. Slowinsh R Handbook of Fuzzy Sets and Possibility Theory Operation Research and Statistics — Kluwer Academic Publishers 1998

59. Vejnarova J Conditional independence relations m possibility theory // International Journal of Uncertainly Fuzzmess and Knowledge-based Systems Vol 8(3) - 2000 - Pp 114 138

60. Орловский С А Проблемы принятия решения при нечеткой исходной информации — M Наука 1981

61. Рисс Ф , Секефалъви-Надъ Б Лекции по функциональному анализу — M Мир 1979

62. Шилов ГЕ, Гуревич Б Л Интеграл мера и производная наука — M Наука, 1967

63. Кириллов К.В., Чуличков А. И. Редукция измерений в нечеткой модели эксперимента как решение задачи линейного программирования. // Вестник Моск. ун-та. Серия 3, физ., астрон. — Vol. 2. — 1999. — Pp. 65-67.

64. Жучко О.В., Пытъев Ю.П. Восстановление функциональной зависимости теоретико-возможностными методами. // ЖВМ и МФ,— Т. 43 из 5. 2003. - С. 765-781.

65. Павловский Ю.Н. Имитационное моделирование сложных процессов и систем. // М.: Пресс, Современные проблемы прикладной математики. — Т. 1. — 2005. — С. 75-98.

66. Рубин А.В., Резничеико Г.Ю. Кинетика биологических процессов,— Изд-во МГУ, Москва., 1987.

67. Рапке О., Rumberg В. Kinetic modelling of the proton translocating c/oc/i — atp synthase from spinach // FEBS Letters. — Vol. 383. — 1996. — Pp. 196-200.

68. Oster G., Wang H. Reverse engineering a protein: The mechanochemistry of atp synthase. // Biochimica et Biophysica Acta. — Vol. 1458.— 2000.— Pp. 482-510.

69. Рапке O., Rumberg B. Energy and entropy balance of atp synthesis. // Biochimica et Biophysica Acta. — 1997. — Pp. 183-194.

70. Berry S., Rumberg B. h+/atp coupling ratio at the unmodulated c/qc/i — atp synthase determined by proton flux measurements. // Biochimica et Biophysica Acta. Vol. 1276. - 1996. - Pp. 51-56.

71. Rumberg В., Рапке О. Kinetic analysis of rotary /0/i — atp synthase // 11th International Congress on Photosynthesis, Budapest, Hungary. — 1998.

72. Rumberg В., Strelow F. Kinetics and energetics of redox regulation of atp synthase from cloroplasts. // FEBS Letters.- Vol. 323 of 1,2.- 1993. — Pp. 19-22.

73. Rumberg В., Strelow F. Kinetics modeling of the photosynthetic electron transport chain. // Bioelectrochemistry. — Vol. 53. — 2000. — Pp. 35-53.

74. Говинджи О.Д. Фотосинтез. Т. 1,2,— Москва: "Мир 1987.

75. Рубин А.Б. Биофизика. Т. 1.2. — Москва: Книжный дом "Университет"., 2000.

76. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука: Пер. с англ. - М.: Мир,, 1978. - С. 418.

77. Многочастичное компьютерное моделирование процессов электронного транспорта в мембране тилакоида. / И.Б. Коваленко, A.M. Абатурова, П.А. Громов и др. // Биофизика. Т. 52 (3). - 2007. - С. 492-502.

78. Дубинский А.Ю., Тихонов А.Н. Регуляция электронного и протонного транспорта в хлоропластах, кинетическая модель и ее сравнение с экспериментом. // Биофизика. — Т. 39. — 1994. — С. 652-665.

79. Дубинский А.Ю., Тихонов А.Н. Математическое моделирование фотоиндуцированного поглощения протонов хлоропластами для различных механизмов утечки протонов через тилакоидную мембрану // Биофизика. Т. 40. - 1995. - С. 365-371.

80. Дубинский А.Ю., Тихонов А.Н. Математическая модель тилакоида как распределенной гетерогенной системы электронного и протонного транспорта. // Биофизика. Т. 42. - 1997. - С. 644-660.

81. Вершубский A.B., Приклонский В.И., Тихонов А.Н. Электронный и протонный транспорт в хлоропластах с учетом латеральной гетерогенности тилакоидов. математическая модель. // Биофизика. — Т. 46,- 2001,- С. 471-481.

82. Вершубский A.B., Приклонский В.И., Тихонов А.Н. Математическоемоделирование электронного и протонного транспорта, сопряжённого с синтезом атф в хлоропластах. // Биофизика. — Т. 49. — 2004,- С. 57-71.

83. Докукина И. В. Клеточные структуры и опосредованные ионами кальция сигнальные пути: математическое моделирование. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва. 2007. - С. 134.

84. Самарский A.A., Гулин А. В. Численные методы, — М.:Наука, 1989.

85. Калиткин H.H. Численные методы. — М.:Наука, 1978.

86. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем.— М.:Наука, 1971,- С. 553.

87. Вентцелъ Е.С. Исследование операций. — М.: Сов. радио,, 1972. — С. 552.

88. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.:Наука, 1980. С. 518.