автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Некоторые методы исследования групповых классификаций

од .

Па ирплах рукописи fa

Л А ЛИРА ЛМЮЛИА

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ЙССЛЕЛОВАНИЯ ГРУППОВЫХ КЛАССИФИКАЦИЙ

Специальность (ft. 13.10 - применение, вычислительной техники, математического моделирования и математических метода п в иаучшлх

"сглсдопаллях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на саискаине ученой стеяели кандидата физико-математических наук

Л Л МАТЫ - 1998

1'айога шшиптт и И неги ту и: лроЛлем информатики и уиранлет» Мимнс-и-рстил науки - Академии пну к республики Калахспи:

Научный рукишщитель

- доктор фтнко-иал чыатнчесиих наук, академик Международной а к; демни информатизации и Международной академии наук о ириро; и общесп»! ЛЙДАРХАНОП М.К,

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор ЧТ'ЛКМТАКН М.М.

кандидат филию-матоматичесыи наук, старший научный сотрудник ГОБКРНИК И.А.

Ведущий оргтппацт;. Алматинский государственный университет им. Абак.

Защита сост< игсс часов на заседании диссертационного совета К 14.А.01.00 при Каэахск« государственном национальном унинерснтсче им. Алъ-Фараби не адрес •480012, г.Алматы, ул. Масанчи, 39/17

Просьба отяывы на автореферат нанранлять по адресу: 480121, г. А маты, Тсмирюена, 46, Казахский государственный национальный у! верситст, ученому секретарю (для Нмсанбаевой С.К.). С дигсертацн можно ознакомиться в библиотеке уливерагкм а.

Автореферат разослан " г.

Ученый секретарь

диссертационного /■{Нмсанбпепа С совета к.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема распознавания и классификации в течении продолжительного времени привлекает к себе внимание специалистов в области прикладной математики и информатики. Методы распознавания и классификации широко используются во многих областях исследовательской и практической деятельности при обработке экспериментальных данных и решении прикладных задач в слабо формализованных областях естествознания, геологическом прогнозировании, экологии, дистанционном зондировании, автоматизации научных исследований н т.д.

Становление распознавания как самостоятельной научной дисциплины характеризуется следующими этапами: создание некорректных (эвристических) методов и алгоритмов, переход к моделям алгоритмов, исследование коллективных методов, создание алгебраического подхода к решению задач распознавания. В настоящее время развитие распознавания характеризуется широким распространением коллективных (ко-читетных, групповых) методов, предусмат риьающих решение задачи распознавния на основе результатов обработки исходной информации отдельными алгоритмами и развитием алгебраического подхода, позволяющим строить экстремальные алгоритмы, как правило, с использованием несложной математической техники.

С другой стороны для решения задпч классификации (кластеризации. таксономии, распознавания без учителя), создано большое число метолом и алгоритмов, накоплен значительный практический опыт, однако такого качественного развития, какое наблюдается в распознавании, не произошло. Используемы,* в классификации алгоритмы и модели являются некорректными (эвристическими), а многолетний процесс развития многочисленных направлений не привел к созданию универсальных моделей, также к формализации принципа выбора определенной модели

или алгоритма для решения соответствующей задачи.

В силу специфики постановки задачи классификации, оценить работу отдельного алгоритма, а также нескольких алгоритмов, использующих различные принципы формирования классификации, и, как правило, имеющих существенные различия в результатах, не всегда представляется возможным из-за отсутствия общего критерия, аналогичного той оценке, которая принята в распознавании, например, но доле правильных ответов на контрольной материале, вероятности ошибки или значению среднего риска. Поэтому в задачах классификации, с целью получения объективной информации о структуре анализируемой) множества, также применяются групповые (коллективные) методы, формирующие решение на основе результатов работы нескольких алгоритмов, однако такого развития, как в аналогичных задачах распознавания не имеют.

В задачах классификации проблема группового синтеза была сформулирована около 30 лет назад. Но существовавшие до сих пор методы были недостаточно разработаны и изучены, расчитаны на конкретный вид представления исходных классификаций (информационные матрицы, матрицы смежности) м применимы, как правило, для классификаций небольшого числа объектов или классификаций с малым числом классов.

Все это определяет актуальность дальнейшей разработки теории и применения групповых методов классификации и перспективность данного направления в теории распознавания и классификации.

В работах Айдарханова М.Б. [lj,(2) были развиты подходы для решения задачи синтеза групповых классификаций опирающиеся на исследование метрических и структурных свойств пространства классификаций. Для структурного подхода к построению групповых классификаций им было введено координатное представлен не классификаций, которым пространство классификаций вкладывается в ц/шничный куб и рассмотрена

метрика индупиропапн ая мегрикоп Хемминга.

Данная диссертации посвящена исследованию свойств пространства классификаций с данной метрикой.

Связь темы и с. следования с планами НИР. Настоящая работа выполнялась в соответствии с плановыми темами НИР лаборатории распознавания и управления в экономике Института проблем информатики и управления МИ-АН РК "Разработка мстолологии, инструментальных средств и /ют,[х информационных технологий создания, сопровождения и развития информационных систем" на 1991 - 1990 гг. (К гос. рсг. 0196РК00970) и "Разработка и исследование математических моделей и методов в распознавании образов и принятия решений в задачах управления" на период 1097-190!) гг. ^ гос. рог. 0197РК00319).

Цель работы. Целью настоящей диссертации является теоретическая разработка естественных практических проблем задачи классификации: описание несущественных классификаций участвующих в построении групповых, исследование устойчивости групповых классификаций относительно модификаций исходного множеств.I объектов, а также изучение покрытий области единичного куба в которую ькладывается пространство классификаций координатным представлением.

Методы исследования, И работе использованы метод'ы я аппарат теории множеств, булевой алюбры, теории структур и алгебры.

Научная новизна. Нее исследования проводились впервые п чем заключается научная новизна результатов работы. Описано минимальное покрытие области единичного куба в которую вкладывается пространство классификаций двоичным представлением и вычислен его индекс простоты, дай критерий несущественности классификаций участвующих п построении групповых, получена оценка степени устойчивости групповых классификаций относительно уменьшений длины исходной выборки

объектов.

Практическая ценность. Результаты, полученные ь диссертации, могут быть использованы для нахождения несущественных классификаций Яри вычислении грушювых, при исследовании устойчивости классификаций, для оценки степени устойчивости групповых классификаций. Описанные и диссертации методы исследования классификаций-были применении при решении задачи классификации тмлрои-охимичсской информации при прогнозных оценках на рудные полотые ископаемые.

Публикации и апробация работ. Оснонные результаты работы докл ад/л нал и с J, на Республиканской научной конференции ЛИ республики Узбекистан "Современные проблемы алшри тмтации", Ташкент, l'J'Jü г, Международной конференции ^Актуальные проблемы математики и математического моделирования экологических систем'', посвященной (!0 -летиы академика Султангазина У.М., 199(1 г., Алматм, Международной научно-практической конференции "Современные проблемы илформати ки, упралления и создания информационных технологий и систем", г. Алматм, январь 1997 г., Республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент", Ташкент, 1997г., Международной научной конференции "Математическое моделирование в естественных науках", Алматы, 1097г. и опубликованы » работах список которых приведен в конца автореферата!

Структура и объем работы. Диссертация состоит из »ведения, четырех глав и списка литературы си ¿'¡лкши'-т 80 наименований. Объем основного текста 92 страницы.

СОЛЕЙ'ЖЛНКЗ Г'АПОТЫ

Во введении содержите* краткий обзор лизеразуры, посвященный

о

групповым методам в теории распознавания и классификации и вопросам устойчивости классификаций, обосновывается актуальность исследу-ечмх вопросов, описываются цели работы и кратко изложены основные результаты.

В первой глапы приведены необходимые понятия и определения, строится координатное представление классификаций, вводится Ь стрика индуцируемая метрикой Хемминга, формулируются некоторые теоремы из |1],(2| используемые в диссертации. • •

Пусть М = {5i,.,.,5n} - некоторое конечное множество объектов из объектною множества D. Классификацией множества М называется конечное разложение М на множество непустых, попарно непересекающихся подмножеств (классов) А",(Л/). Пусть АС(М) пространство классификаций множества. М. Определим на нем операцию V следующим образом; пусть К, К' € К{М) тогда, S(K V K')S' означает, что для подходящих 50)5|,...,51, где 5" = S, S1 = S' ц для любого » = 0,...,i - I справедливо S'I13'+1 или S'll'S'*1, где R, Я' - отношения эквивалентности соответ-. твующне классификациям К, А". Обозначим через К1 (М) множество

классификаций М на /, 1 < / < п классов. Можно показать, что К*~1(М)

~ \

- базис в К(М). В я еле м понятие допустимых подмножеств в £""'(М).

Обозначим через K(u,v) классификацию из которой объ-

ект ы 5U, Sv, « -ф v, принадлежат одному классу. Для определенности считаем, что v > и. Очевидно, что !С'1~1(А4) состоит из = N классификаций. Пусть

Т = { К{щ, t»i), „., t>,)}.

Опргдсугспис 1 Подмножество Т С называется допусти-

мым,, если

{щ Ф Uj) Л (и,- Ф Vj), для i ф j, i,j = 1,2, ...,f. .

Пусть К - произвольная классификация из AJ(Af), К ~ {h\,...%Ki}, ле Ki,...у Ki - классы классификации К. Ь'ен ограничения общности бу-Чем полагать, что

- {S*,+],...,Sn>+i}t j - 0.....1 - 1, 2 < I < п, 'io — 0> п.

Тогда /С поставим в соответствие следу иш^ч- допустимое множество

цку.

ПК) = U "и V(»/-> + i,nM+i +1)},

jtai ins 1

причем,если | Kj |= 1,то K"(nj_i-fi,n,_i+»-H) — 0, где0 - классификация только с одноэлементными классами.

Введем на К(М) операцию умножении на параметр а равный 0 или 1. Пусть К £ ¿С(Л/), тогда

К, если а ~ 1,

aIi= n п

О, если а = 0.

Запишем fCn~l(M) я следуюнгм виле:

кг-\м) = "и и *"(«.«»).

Пусть

t/V = {(1,2),(1,3).....(1,»),(2,3).....(2,п).....(»-- l.n)}.

Зафиксируем этот порядок расположения пар и пронумеруем их. Пусть в(«,„) € {0,1}, тогда очевидно, что

V aMK(u,v) = К, К е К{М)

(u,»)€UV

при соответствующем задании значений параметров «(.,,„). Обозначим через VV(K) С UV допустимое множество пар индексов соответствую щее допустимому множеству Т(К) и определим булевский набор Г»(Л )

н

следующим образом

=< «(i,J)> ••■i°'(i,r»)i•••"(n-i,i«) >=< >, N =

I 1, если (»i,d) 6UV(Л"), °(».<) ~ | О, если (к,г) UV(K),

Таким образом, каждой классификации К € fC(M) однозначко соответствуют координатные представления в базисе Кп~х(М) через набор (ЦК) размерности N с булевыми перемеными «(„,„)( Л-)- Данное двоичное представление классификаций позволяет ввести в пространстве классификаций К.{М) метрику индуцированную метрикой Хемминга в единичном кубе EN. Обозначим ее через ¿. 13 диссертации исследуются свойства классификаций в пространство классификаций сданной метрикой.

В §2 I главы доказываются некоторые метрические свойства пространства классификаций К(М). Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 а) min МФ), К{{1)) = 2, (2 < I < п - 1);

Ь) min МФ), Ф)) =11-1\,длж1* t;

,:> -Än.МФ),Ф)) = 2n-l-t,l<l,t<n-h I + t>3;

' - • И tj € * н \

Поскольку пространство классификаций вкладывается в единичный куб, то естественным образом возникает задача исследования покрытий, граней области единичного куба в которую оно отображается двоичным представлением. Данную область единичного куба будем называть допустимой и обозначим через ¿^.[lj D §3 первой главы дается описание всех граней допустимой области единичного куба и найдено минимальное покрытие се гранями. Впедем некоторые обозначения и определения.

Определение 2 [3] Множество В"1'';;^ всех наборов < ai,...,ow > из F,n, (/ кптпрых aif - aj, j € {1, ...,£}, называется (n-k)-мерной гранью

куйа hN.

Определение 3 Пусть et —< oi,...,«м > - элемент единичного куба EN. Через В(аУ1обозначим грань единичного куба B^'j-^ такую, что дизъюнктное объединение

I

и......ji} и {р | = о, Р е {1.....N}} = {»,.....П}.

Теорема 2 Пусть В - грань единичного куба EN. Тогда В ■ есть некоторое. подмножество Ер тогда и только тогда, когда найдется классификация К й К(М) такая, что <)ля некоторой последовательности Uu—,jl} грань B(ä(h'))ü" ^ соочадаст с В.

Определенно 4 Пусть £п{М) = {К | Л' € К{М), | Т(К) |> [n/2] — 1, для любой клиссиф икоции А" такой, что ! Т{К') |=| Т(К) | +1 имеет место Т(К) £ Г(А")}.

Напомним некоторые хорошо известные сведения из [5]. Пусть ...,хм) - произвольная функция алгебры логики. Сопоставим ей подмножество Bj вершин куба EN так, что

(ai,or3,...,qjv) € в/

тогда и только тогда, когда

/(«!,«■!,. .,«лг) = 1

Пусть

К~т.

Легко видеть, что множество DK, представляет собой грань В"''';;;*

Если функция /(«],Г}, • обладает дизъюнктивной нормальной формой (д н.ф.) Т, где

Т=* h\ V .... V К,,

ю

то д.н.ф. функции / соответствует покрытие множества В/ гранями Верно и обратное утверждение: нсякому покрытию множества Bj гранями, расположенными внутри множества Bjt соответствует д.н.ф. F функции /. Поскольку функции алгебры логики могут быть представлены в виде д.н.ф., вообще говоря не единственным образом, вводится понятие индекса простоты L(!F) д.н.ф. Т характеризующих "сложность" д.н.ф.

Для функционала L{T) потребуем выполнения следующих аксиом.

I. Аксиома неотрмцнтелыюстя.Дл* любой д.н.ф. Ь(Т) > 0.

II. Акснома мопотшшсти (относительно умножения). Пусть Т — F V х"'К'. Тогда

L(f) > L(F\t ■!<').

Ш. Аксиома выпуклости (относительно'сложения). Пусть а.н.ф. Т разбита в прямую сумму д.н.ф. и F?, т.е. F ~ Тг и/i, -^з не имеют общих членов, тогда

IV. Аксиома инвариантности (относительно изоморфизма). Пусть д.н.ф. F получена из д.н.ф. f пузч;м переименования переменных (без отождествлений), тогда

/,(Л = Ц Т).

Рассмотрим следующие примеры встречающихся индексов простоты для д.н.ф.

). /'а(^) - число букв церемонных, истпечлющихс.я в записи д.н.ф.

Г.

1. Lk(F) - число элементарных конъюнкций, »ходящих в У.

3. //(\(f) • число символов — (отрицание), встречающихся в записи д.н.ф. Т.

Д.н.ф. Т, реализующая функцию / и имеющая минимальный индекс простоты называется минимальной относительно I,. Построим минимальную д.н.ф., такую, что покрытие соответствующее ей будет покрытием допустимой области единичного куба.

Определение б Пусть К € К1{М), й(А') =< а^К), ...,ац(К) > - Через £<5(К) будем обозначать коньюнкцию Д г,.

Здесь мы ие будем различать множества В/ и соответствующие им булевы функции /.

Теорема 3 Допустимая область единичного куба Е* покрывается дизъюнктивной нормгыьний фирмой

/ = V СЦК)

Это единственное минимальное покрытие Е" относительно индекса ¿в. Это покрытие является минимальным также для любого индекса простоты, удовлетворяющего аксиомам I-IV.

В §4 первой главы вычислен индекс простоты минимального покрытия допустимой области, приведенного и предыдущем параграфе.

Определение в [&] Пусть а1, 6а е Ь'". Будем говорить, что а1 < а2 если а} < л?, i €

Определение 6 порождает на К(М) отношение частичного порядка Будем, полагать, что К < К' если а(К) < а(К'), что эквивалентно условию Т{К) С Т(К').

Определение 7 Пусть < М, <> - частично упорядоченное множество. Элемент в 6 М называется максиммьным относительно частичного порыдка < если для любого 6" 6 М Л' £ Л".

Обозначим через Ф(п,к) число максимальных относительно частичного порядка классификаций множества M fia к классов. Через Ф(п,А:) обозначим число разбиений множества M — {S],...,S„} на к (п > 0, 0 < к < п) непустых частей. Комбинаторные числа Ф(п,/с) называются числами Стирлинга 2-го рада. Имеет место следующее тождество [з|

Щп,к) = Ф{п- l,k- 1 ) + Ы>(п- l,fc). («)

Следующая теорема вычисляет к).

Теорема 4 Щп,к) = (к - 1)! £ Ф(н - 1,к - 1)Ф(/,*),

ык

для п < к < 1

Рекуррентное соотношение (*) позволяет с линейной сложностью вычислить числа Стирлинга второго рода. Поэтому с помощью доказанной теоремы можно построить алгоритм квадратичной сложности, вычисляющий числа \р(я, к).

Пусть - минимальное покрытие допустимой области единичного куба размерности N = С\. Тогда для п > 3

[(-t+l)/2|

ы?ч) - L0(F%) = £ (с; - п + *), fc-\

K«+i)/»l

поскольку У(п,к) = 0 длу к > ((» + 1)/2). Последние формулы позволяют построить алгоритмы вычисления индексов простоты кубической сложности.

В последнее время широко используются групповые методы классификации, заключающиеся в синтезе результатов, полученных при применении различных алгоритмов к заданной исходной информации, или выбора оптимальных, ь некотором смысле, алгоритмов из заданного набора.

Во II главе рассмотрены некоторые свойства групповых классификаций, определены несущественные классификации как классификации, уничтожение которых не влияет на результат при получении групповых и дано их описание.

Опредгпсиие 8 [1] Пусть И\,..., Кт € А¿(М). Тогда К' называется группоаоИ классификацией для если на К' достигается ми-

нимум функционала

1Г1 1=1

то есть

Через К{К[,..., Кт} обозначим множество исех групповых класси -фикаций для классификаций Л'ь,..,Кт. Пусть классификациям А'/, 2 = 1,..., т, соответствуют кортежи

б(К,) =< сх[(К)).....>, N - С1

Опредоление 9 Пусть К,,...,Кт е А "(Л/). Классификацию К1 ншзовсм несуи\естве)той, если

К{К\,...,Кт} = \ Л',}.

Пусть

= + ... + «¡(/О-О 4 «¡(/0+1) + ... + П.(Л'т). и

Пусть К' € tC{{K\,..., Km) \ К/}, К' G .....Kn).

Следующая теорема даст описание нссупкстпенных классификаций.

Теорема 5 Пусть Kt,...,Km 6 К{М). Тогда классификация Кiбудет несущественной тогда и только тогда когда для любогс i имеет место.*

а) если ir,(iü) = 1, то либо > т/2 либо .9/ < т/2 - 1;

б) если п,(К/) — О, то либо $j> т/2 Ab6oSl< (т- 1)/2.

Одним из естественных и важных требований при обосновании выбора того или иного алгоритма классификации является устойчивость алгоритма классификации к допустимым изменениям классифицируемого множества объектов. В III главе делаются некоторые попытки исследовать возможность приближенной устойчивости классификаций относительно изменений (уменьшений длины) исходной выборки объектов, вводится понятие (<,5) - устойчивости для алгоритмов классифкаций, при которой малые изменения (уничтожение малой части) классифицируемого множества объектов приводят к малый изменениям результатов работы алгоритмов классификации, приводится схема анализа (е,^-устойчивости классификаций, иссл<у1уется устойчивость групповых классификаций, да/ггея оценка степени устойчивости групповых классификаций и зависимость меры этой устойчивости от мер устойчивости исходных классификаций.

Здесь мы будем нридсрживатт>ся следующих обозначений. Пусть Л - некоторый алгоритм классификации. Через К(М) = Л(М) обозначим классификацию, полученную в результате работы алгоритма А на М. В дальнейшем, мы не будем различать алгоритмы и классификации полученные в речулыаю работы этих алгоритмов. Введем ряд определений. Пусть К Г-К(К!), i С М.

Определение 10 Сужением К па М \ 1 назовем классификацию К | Л(/ определяемую следующим образом: если Si, S) лежат в одном классе к.шггификации К | М^ то они лежат и в одном классе классификации К, (то есть из К выбрасываются .элементы I).

Определение 11 Пусть К — Л(М) - классификация, полученная и результате. работы алгоритма А на М, K(Mi) - ыассификацшг, полученная в результате, работы того же алгоритма Л на М \ I. Назовем классификацию К ((,6) -устойчивой, если d(K | М/,К(М/)) < i когда \1\<6.

Будем полагать, что двоичное представление для классификаций множества М \ / определено следующим образом:

1) упорядочим объекты Л/ \ J в порядке возрастания индексов;

2) перенумеруем их от 1 до rij, »i = n— | I |, обозначим новое множество через A/j;

3) в классификациях объекты наделяем новыми индексами, далее двоичное представление определяется как обычно.

В соответствии с определением (с,<5)- устойчивости классификаций можно привести следующую схему анализа устойчивости классификаций.

Пусть А исследуемый на устойчивость по отношению к множеству М алгоритм классификации.

Шаг 1. Выписать все подмножества / С М такие, что | / |< <5. и для каждого I выполнить шаги 2-4.

Шаг 2. Произвести классификацию К алгоритмом А множества Л/ и найти классификацию К' — К \ Mi множества М\1.

Шаг 3. Классификацию К' представить в единичном кубе размерности /V' = ('Is в соответствии с правилами приведенными выше.

IIIнг 4. Расклассифицировать М \ I алгоритмом Л, обозначим полученную классификацию черт К". Представить К" в единичном кубе размерности /V'. Вычислить расстояние </(А"', А'").

Шаг 5. Если ¿{К1, К") < ( для всех I С М, то классификация К будет (г,£) - устойчиной на М.

Предполагая, что известна устойчивость исходных классификаций относительно уменьшений длины кл;и:сифицирусмого множества объектов на 6 найдем оценку степени устойчивости групповых классификаций относительно уменьшений длины исходной выборки на Ь.

Пусть классификациям К},} — 1,..., ш, соответствуют кортежи Д(А'у) =< 0|(А';-),...,г*л,(А',-) >, N — С'^. Оценим степень устойчивости групповых классификаций, при условии, что исходные классификаций А",-являются (<¡,6) - устойчивыми.

Пусть А'(.....А'„ € К(М), К 6 К{Ки...,Кт), I С М, К"1 <5 К{К, |

м,.....А'п, I м,у, к1 е^{А'1(м/),...,А'„(л/;)}.

Внедем следующие обозначение; пусть га - нечетное, тогда через Е,

•л

обозначим множество тех 1, для которых £ а,(| А//) отличается от т/2 на г, тс. есть:

Е, - {» I Ё п,{К, | М,) = т/2 + г либо £ «.(К] | М,) = т/2 - г},

- /»I

г = 1/2,3/2.....то/2;

Пусть п - четное. Аналогично, через Ог обозначим множество тех ¿,

>п

для которых £ гг;(А'у | М() отличается от т/2 на г, то есть:

Or --'{«I ¿ luih'i \Mt) = w/2+ г ли!?» ¿«ЛЛ'у l Ai/) = m/2 - r), j-i i-i

Г =1.2.....m/2.

И мое г necio следующая теорема.

Теорем« О llt/nm .....Кт 6 К'Ш), К € К{К\.....Кт}, ¡ С М,

111< t>, к"' G од М/,}, А-' е ОД(А/,).....А'т(л/,)}(

rfo(ív¡ f Mi}Kt(M,)) <fí, с = £ су. Тогда

я) сел» »« нечетно, то da(h' } Mj, К') < f* + 2 | /

f>) если т

четно, то do[K \ М,,К') < с" + 2 | / | + | О0 Л-1 в-1

Га) Г»1

гг/с Л = | с - ¿(r + 1 )| Ег |< 0}, г = 1/2,3/2,.....т/2;

<** = - |)/л),

г*>0 гвО

г<?с Л = min{í | f - ¿ г | Ог |< 0}, г = 1,2......т/2.

г-0

Из вышеприведенных формул видно, что чем меньше отличаются друг от друга исходные классификации, тем больше устойчивость Групповой классификации.

Итак, мы получили оценку степени устойчивости групповых классификаций и зависимость меры этой устойчивости от мер устойчивости групповых классификаций.

В главе IV приводятся описания задачи классификации гидрогеохн-мической информации при прогнозных оценках на рудные полезные ископаемые к применения методов исследования классификаций полученных в диссертации к данной задаче.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Проведены исследования допустимой области единичного куба, в которую вкладывается пространство классификаций двоичным представлением: рассмотрены метрические свойства пространства классификаций, дано описание граней допустимой области единичного куба( найдено минимальное покрытие этой области, найдено рекуррентное соотношение позволяющее вычислить индекс простоты минимального покрытия,

2. Определены и описаны несущестж-нные классификации.

3. Определено понятие (с,6) • устойчивости для алюритмон классификации, приведена схема .шалила устойчивости классификаций, доказана теорема дакнцал оценку степени устойчивости алгоритмов групповых клнссифкаций и зависимость меры этой устойчивости от мер устойчивости исходных классификаций.

Л. Разработанные методы и алгоритмы нахождения несущгттвенных классификаций, исследования классификаций иа устойчивость относительно уменьшений длины исходной выборки реализованы » виде модулей дополняющих комплекс прикладных программ разработанный в набораюрии Распознавания и управления в экономике ИПИУ МН АН РК и применены к задаче геологического прогнозирования.

Цитируема* литорпту^п.

I. Лй;;: рханои М.Б. Метрический и структурный подходы к построению групповых классификаций. Ллматм: Гылым, 1П!И,- 5Пс.

2. Aidarkliatmv M.В. Met,ric and Structural Approaches to the Construction of Group Classifications// Pattern Recognition and Image; Analysis, USA.-1994.- Vol.4, N A.- pp.372-389.

Я. Яблонский С.П/ Внедение в дискретную математику. - M.: Наука, 19Я6- 384с.

ПуПликацни по теме диссертации.

1. Айдарханов M.Iv, Ла Л.Л. Метрические свойства пространства классификаций // Юбилейная научная конференция, посвященная 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана: Тез. докл.-Алматы, 1995. C.1S.

1. Айдарханов M .В., Ла Л.Л. Свойства пространства классификаций k'(Af) // Проблемы информатики и управления: Сб. науч. тр. ИННУ IIAII РК. Алматы: Гылым, 1995. Вып. 1. - С.12-20.

3. Айдарханов М.В., Ла Л.Л. Некоторые свойства групповых классификаций // Проблемы информатики и утграпления: Сб. науч. тр. ИШ1У HAH РК. Алматы: Гьшым, 1996. Цып. 2. - С.5-12.

4. Айдарханов М.Б., Ла Л.Л. О некоторых свойствах пространства классификаций // Современные проблемы алгоритмизации: Тез. докл. Ресиубл. науч. кокф. сентябрь 1996. - Ташкент, 1996. С.121.

5. Айдарханов M.R., Ла Л.Л. О групповых классификациях // Материалы Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и математического моделирования экологических систем", октябрь 1996 г. - Алмату: Гылым, 1996.- С.25.

6. Ла Л.Л. Об устойчивости групповых классификаций // Проблемы информатики к управления: Сб. науч. тр. И11ЙУ ПАИ РК. Алматы: Гылым. 1996. Выл. 2. - С.161-170.

7. Ла Л.Л. Покрытия допустимой области единичного куба// Материалы Международной конференции "Актуальные проблемы матсма-

тики и математического моделирования экологических систем", октябрь 1996 г.- Алматы: Гшшы, 1996,- с.60.

8. А йдархаиов М.Б., Л а Л.Л. Несущественные хлассифрг кадии // Современные проблемы информатики, управления л создания информации онных технологий и систем: Сб. тр. Междунар. науч. яопф. язгпарь 109Т. - Алматы, 19Э7.

9. А."тарханов ,4!.Б., Нманбежгаа Г.А., Ла Л.Л. Свойства групго-вых хласмфяхацнй // Материалы международной научной конференции-"Математическое иоделяроианне а естественных пауках",, апрель 1397 г.- Алматы, 1997. С.ЗЗ.

10. Айдархатев М.Б., Да Л.Л. С) покрытияхдолупгяжй сбпастшединичного куба // Математическое моделиро»анис я вытаиаяггеяьный эксперимент: Тез. докл. Республ. науч. конф. сентябрь, 19&»„ - Ташкент, 1997.

11. Ла Л Л. Вопросы уетойчяэост:» групнозых алмгафгхаям й //; Маг-териалы между па родне 2 лаучкоЛ кечтферешуга "МаггкйЕзтютгсксе мсд?лн* рование в естественных науках", апрель 1997 Г. - Дли^гм. 1997".- С. 1541

J1 а Лира Львовна

Туйшдсме

Топтыц классификацняларды зерттеудщ кейбф едцстерь

Г5ер«лгси диссертация классификациялау мосслесшщ Kefi6ip суракта-рын зерттеуге арналган. Б]рл>к кубтыц екшк корсетшу ареалы клас-сификациялар кецшпп бейнелснстш аймаилныц хадтары сипатталгаи жэцс сц кшп жабуц табылрал. Осы ед Kimi жабудыц царапайымдылык индекан есептеуге цажетт1 рекурротк ^атынас табылраи.

Васташдо классификациялар цатарынан шыгарылуи топтьщ классификацняларды алудыц нэтижесше ы^иал етпейтш, слсусп классифи-кациялар сипатталган. Топтык классификациялардыц турактылысыиыц кейб|'р мэсслелер! зсрттелген. Топтьщ классификациялардыц тура^тылы^ дорежесшщ багалауы алынраи.

La Lira L'vovna

Abstract

Some methods of investigations of group classifications.

Given thesis is devoted to an investigation of some problems of the classifications theory. The facets are described and the minimal covering is found foi the domain of unit cube in which the space of classifications is mapped by the binary representation. A recurrence relation is obtained which allows to compute the simpl:city index of the minimal covering.

The inessential classifications ar«- described the exclusion of which from the list of initial ones doesn't affect the result in obtaining group classifications. Some questions of stability of group classifications arc investigated. The estimation of stability degree of group classification is obtained.