автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование систем с распределенными параметрами с помощью сетей радиальных базисных функций, обучаемых методом доверительных областей

На правах рукописи

ЖУКОВ Максим Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С ПОМОЩЬЮ СЕТЕЙ РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ, ОБУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

2 г ЯНВ 2015

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2014

005558032

005558032

Работа выполнена на кафедре «Компьютерные технологии» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Горбаченко Владимир Иванович

Официальные оппоненты: Ясницкий Леонид Нахимович, доктор

технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет» (г. Пермь), профессор кафедры прикладной математики и информатики;

Кучумов Евгений Владимирович, кандидат технических наук, ОАО «Научно-исследовательский институт физических измерений» (г. Пенза), старший научный сотрудник

Ведущая организация — ОАО «Пензенский научно-исследовательский

электротехнический институт» (г. Пенза)

Защита диссертации состоится 19 февраля 2015 г., в 13 ч, на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 на базе Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, д. 40.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» и на сайте: http://dissov.pnzgu.ru/ecspertiza.

Автореферат разослан « И » МбШй 201Г г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Косников Юрий Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Математическая модель системы с распределенными параметрами обычно формулируется в виде краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных, поэтому одним из этапов моделирования таких систем является решение краевых задач. Среди методов их решения наибольшее распространение получили метод конечных разностей и метод конечных элементов. Оба метода требуют построения расчетных сеток, что для двумерных и трехмерных областей со сложной конфигурацией является трудоемкой задачей. Альтернатива сеточным методам — бессеточные методы, т.е. методы, которые не требуют построения связанной сетки, по крайней мере, для построения функции формы. Большинство бессеточных методов относится к классу проекционных методов. При их применении аппроксимация решения представляется в виде взвешенной суммы базисных функций, веса которых выбираются таким образом, чтобы приближенное решение удовлетворяло краевой задаче в выбранных по определенному правилу узлах.

Среди бессеточных методов наибольший интерес вызывают методы на основе радиальных базисных функций (РБФ-методы), обладающие рядом достоинств: они позволяют работать со сложной геометрией расчетных областей; применимы для решения задач любой размерности; используют дифференциальную постановку задачи; универсальны. В роли базиса в РБФ-методах выступают радиальные базисные функции (РБФ), т.е. функции, значение которых зависит от расстояния между аргументом и некоторой фиксированной точкой пространства, называемой центром функции. Первый РБФ-метод решения краевых задач был разработан Е. J. Kansa и получил дальнейшее развитие в работах С. S. Chen, М. A. Golberg, G. Е. Fasshauer, Z. М. Wu, А. И. Толстых, Д. А. Широбокова и др. Вопросами выбора параметров и настройки весов РБФ занимались R. L. Hardy, R. Franke, Е. A. Galperin, S, Rippa.

В работах N. Mai-Duy, Т. Tran-Cong, Д. А. Тархова, А. Н. Васильева, В. И. Горбаченко и других авторов для решения краевых задач используются сети радиальных базисных функций (РБФ-сети). РБФ-сеть - это искусственная нейронная сеть, которая может рассматриваться как основа одного из РБФ-методов. В отличие от других РБФ-методов данный метод позволяет унифицированно подходить к решению различных краевых задач математической физики. Его главной особенностью является то, что при аппроксимации решения настраиваются не только веса РБФ, но и в общем случае их параметры. Настройка весов и параметров происходит в процессе обучения сети и сводится к минимизации нелинейного квадратичного функционала ошибки. Применяемые в работах Д. А. Тархова, А. Н. Васильева, В. И. Горбаченко, Д. JI. Ревизникова, И. С. Колбина, L. Jianyu, L. Siwei, Q. Yingjiana, H. Yapinga методы минимизации являются методами нулевого либо первого порядка и требуют больших временных затрат. В работах N. Mai-Duy, Т. Tran-Cong и ряда других авторов обучение РБФ-

сетей осуществляется с помощью метода на основе сингулярного разложения, однако для использования данного метода при решении нелинейных задач необходимо проводить линеаризацию исходной задачи, что приводит к резкому росту временной сложности метода. Таким образом, актуальной научной задачей является разработка метода обучения РБФ-сетей, позволяющего сократить время их обучения без увеличения погрешности модели.

Кроме того, моделирование систем с распределенными параметрами часто сопряжено с необходимостью идентификации неизвестных свойств среды (коэффициентная обратная задача) по результатам дискретных измерений. Для решения такого рода задач с помощью РБФ-сетей в известных нейросетевых методах требуются построение и решение сопряженных задач. Это нетривиальная задача, поэтому актуальной является разработка такого нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач, который не требует построения и решения сопряженных задач.

Целью диссертационной работы является развитие математического метода моделирования систем с распределенными параметрами на основе РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом за счет разработки метода обучения сетей, позволяющего сократить время их обучения без увеличения погрешности модели, а также за счет разработки нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач, не требующего построения и решения сопряженных задач.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать такой метод обучения РБФ-сетей, используемых для моделирования систем с распределенными параметрами, который позволит сократить время их обучения без увеличения погрешности модели.

2. Адаптировать разработанный метод обучения РБФ-сетей к решению нелинейных и нестационарных краевых задач математической физики.

3. Разработать нейросетевой метод решения коэффициентных обратных задач, не требующий построения и решения сопряженных задач.

4. Реализовать разработанные методы в виде комплекса программ, предназначенного для нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами.

5. Решить с помощью разработанного комплекса программ задачу электроимпедансной томографии, которая является коэффициентной обратной задачей.

Объектом исследования диссертационной работы являются численные методы решения краевых задач, используемые для математического моделирования систем с распределенными параметрами.

Предмет исследования - численный метод решения краевых задач на основе РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались численные методы, теория оптимизации, теория искусственных нейронных сетей.

Соответствие паспорту специальности. Результаты исследования соответствуют пп. 3, 4, 5 паспорта научной специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработан новый метод обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом, используемых для математического моделирования систем с распределенными параметрами. Отличительной чертой метода является то, что минимизация функционала ошибки таких сетей осуществляется с помощью метода доверительных областей, причем для повышения его быстродействия используются приближенные значения матрицы Гессе и модифицированный предобуславливатель Якоби. Метод позволяет сократить время обучения сетей и уменьшить погрешность нейросетевых моделей.

2. Предложен способ сокращения временных затрат на обучение РБФ-сетей, используемых для численного решения нелинейных нестационарных краевых задач. Особенность способа заключается в поиске решения с помощью РБФ-сети с асимметричными РБФ. Это дает возможность уменьшить размерность нейросетевого базиса, а следовательно, сократить время обучения сети.

3. На основе метода параметрической оптимизации разработан итерационный нейросетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений. В отличие от известных нейросетевых методов предложенный метод не требует построения и решения сопряженных задач, что существенно упрощает процесс решения исходной задачи. Еще одной особенностью метода является применение условия Морозова для регуляризации решения, что позволяет избежать переобучения сети при использовании результатов измерений, заданных с погрешностью.

4. Разработан способ численного решения задачи электроимпеданс-ной томографии, особенностью которого является использование предложенного в работе нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач, что при наличии априорной информации о структуре объекта дает возможность сократить количество измерений и, как следствие, время диагностики объекта. Кроме того, особенность способа заключается в использовании метода декомпозиции и специальной процедуры выбора начальных положений центров РБФ для уменьшения временных затрат на обучение комплекса РБФ-сетей, используемых для аппроксимации распределений потенциала и импеданса.

Практическая ценность работы. Разработанные метод обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом, способ сокращения временных затрат на обучение при численном решении нелинейных нестационарных краевых задач, нейросетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений, а также комплекс программ нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами могут быть использованы специалистами в области математического моделирования. Созданный комплекс программ позволяет проводить численные иссле-

дования математических моделей систем с распределенными параметрами, а также дальнейшие исследовательские работы, связанные с развитием нейро-сетевого метода моделирования таких систем. Кроме того, практическую ценность имеет предложенный в работе способ численного решения задачи элек-троимпедансной томографии, позволяющий при наличии априорной информации сократить время диагностики объекта. Результаты диссертационного исследования также могут быть использованы при составлении образовательных курсов по математическому моделированию и численным методам.

На защиту выносятся:

1. Метод обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом, используемых для моделирования систем с распределенными параметрами, в основу которого положен модифицированный метод доверительных областей.

2. Способ сокращения временных затрат при численном решении нелинейных нестационарных краевых задач с помощью РБФ-сетей за счет использования асимметричных РБФ.

3.Нейросетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений, не требующий построения и решения сопряженных задач и использующий условие Морозова для регуляризации решения.

4. Комплекс программ нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами, предназначенный для численного решения краевых задач, описывающих системы с распределенными параметрами, с помощью РБФ-сетей.

5. Способ численного решения задачи электроимпедансной томографии на основе разработанного метода решения коэффициентных обратных задач.

Внедрение результатов работы и связь с научными программами.

Диссертационные исследования проводились на кафедре «Компьютерные технологии» ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Результаты работы используются в ООО Научно-производственная компания «Надежные системы», в учебном процессе при чтении курса «Нейронные сети и нечеткие системы» на кафедре «Компьютерные технологии» ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», а также применялись при выполнении фундаментальных НИР по грантам РФФИ 14-01-00660 «Методы построения нейросетевых и гибридных моделей процессов и явлений в сложных технических системах» и 14-01-00733 «Информационные модели на основе иерархических гетерогенных нейронных сетей в исследовании влияния объектов транспортной инфраструктуры на окружающую среду», что подтверждено актами о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях, таких как: П Международная научно-техническая конференция «Computational Intelligence» (г. Черкассы, Украина, 2013); XI Всероссийская научная конференция «Нейрокомпьютеры и их применение» (г. Москва, 2013); XXI Всероссийский семинар «Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных» (г. Красно-

ярск, 2013); XIII, XIV Международные научно-технические конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (г. Пенза, 2013, 2014); VIII Международная научно-техническая конференция, посвященная 70-летию образования Пензенского государственного университета «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2013); I Международная научно-практическая конференция, посвященная 70-летию образования Пензенского государственного университета «Современные проблемы компьютерных наук» (г. Пенза, 2013); VII, VIII Международные научно-технические конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2013, 2014). Результаты работы также докладывались на XVI Всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика — 2014» (г. Москва, 2014), проходившей в рамках научной сессии в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ», где доклад «Применение метода параметрической идентификации и сетей радиальных базисных функций для решения коэффициентных обратных задач математической физики» занял первое место в конкурсе «Молодых специалистов».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, в том числе 3 - в журналах, рекомендованных ВАК РФ для представления результатов диссертационных исследований. В ФГБУ «Федеральный институт промышленной собственности» направлен пакет документов на государственную регистрацию комплекса программ нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами RBFDiff Solver 1.0.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка принятых сокращений, списка литературы из 141 наименования и одного приложения. Общий объем работы составляет 150 страниц, из которых 129 страниц занимает основной текст диссертации, включающий 42 рисунка и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации; сформулированы цели и задачи исследования; отражены научная новизна работы и практическая значимость; перечислены методы исследования; приведены положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена анализу численных методов решения краевых задач, описывающих системы с распределенными параметрами. Рассмотрены метод конечных разностей, метод конечных элементов, спектральный метод и метод конечных объемов, получившие наибольшее распространение. Отмечены их достоинства, а также их недостатки, главный из которых - необходимость построения расчетной сетки, что для задач со сложной конфигурацией расчетной области может оказаться нетривиальной задачей.

Альтернатива сеточным методам - бессеточные методы, в которых для аппроксимации решения используется взвешенная сумма базисных

функций, а веса функций выбираются таким образом, чтобы приближенное решение удовлетворяло краевой задаче. Среди бессеточных методов выделена группа РБФ-методов, в которых в качестве базиса используются РБФ. Отмечаются преимущества РБФ-методов как перед сеточными, так и другими бессеточными методами.

Приводятся описание и сравнительный анализ основных РБФ-методов (Kansa's method, Hermite RBF Collocation, Method of Fundamental Solution, Boundary Knot Method, метод на основе РБФ-сетей), который обосновывает выбор РБФ-сетей в качестве исследуемого инструмента решения краевых задач.

Рассмотрен процесс решения краевых задач с помощью РБФ-сетей. В частности, изучены вопросы выбора контрольных точек (точки, в которых контролируется погрешность решения), типа РБФ-сети, типа РБФ, определения размерности сети, выбора начальных параметров сети, особенности решения нелинейных и нестационарных краевых задач математической физики с использованием РБФ-сетей. Показано, что поиск решения краевой задачи с помощью РБФ-сети сводится к задаче минимизации функционала ошибки, поэтому эффективность нейросетевого метода во многом определяется эффективностью метода решения, в общем случае плохо обусловленной, нелинейной задачи минимизации квадратичного функционала. В связи с этим проведен анализ методов решения и способов понижения размерности задачи обучения сети. Отмечается актуальность разработки метода обучения сети, позволяющего сократить время ее обучения без увеличения погрешности нейросетевой модели. В основу метода должен быть положен метод оптимизации, предназначенный для решения многокритериальных, плохо обусловленных, нелинейных, имеющих большое количество локальных минимумов в рамках некоторой локальной области задач оптимизации.

Анализируются методы решения обратных задач. Показано, что РБФ-сеть является универсальным инструментом решения не только прямых, но и эволюционных и граничных обратных задач. В то же время для решения коэффициентных обратных задач с помощью РБФ-сетей требуются построение и решение сопряженных задач, что существенно усложняет процесс создания нейросетевых моделей. Данный факт обосновывает необходимость разработки метода решения коэффициентных обратных задач с помощью РБФ-сетей, не требующего решения сопряженных задач. Также обсуждаются способы регуляризации процесса решения некорректных задач, каковыми в большинстве случаев являются обратные задачи.

Таким образом, итогом первой главы является вывод о том, что нейросетевой метод является одним из наиболее перспективных методов решения краевых задач, описывающих системы с распределенными параметрами. Однако для повышения его эффективности необходимо, во-первых, разработать метод обучения РБФ-сетей, позволяющий сократить временные затраты на обучение и обладающий свойством глобальной сходимости в некоторой локальной области. Во-вторых, разработать нейросетевой метод

решения коэффициентных обратных задач, не требующий решения сопряженных задач.

Во второй главе разработаны метод обучения РБФ-сетей на основе метода доверительных областей, способ сокращения временных затрат при численном решении нелинейных нестационарных краевых задач с помощью РБФ-сетей за счет использования асимметричных РБФ, а также нейро-сетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений, не требующий построения и решения сопряженных задач. Представлены результаты сравнительного анализа предложенных методов и способа с известными методами и способами решения аналогичных задач.

Для обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом предложено использовать метод доверительных областей. Метод ориентирован на решение многокритериальных, плохо обусловленных, нелинейных задач минимизации. Он относится к группе итерационных методов и обладает свойством глобальной сходимости в некоторой локальной области. Основная идея метода заключается в том, что на каждой итерации к минимизации функции /(х), где х <= Ос 1" (О - область определения, К -множество действительных чисел) функций / в некоторой доверительной области Вк с О заменяется аппроксимирующей ее функцией тк и вычисляется минимум тк в Вк, который становится новым минимумом/. В зависимости от того, насколько уменьшение, предсказанное моделью, подтверждается целевой функцией, принимается решение о сужении либо расширении доверительной области. Формальное описание алгоритма, реализующего метод доверительных областей, имеет вид:

Шаг 1. Инициализация. Задаются начальное положение х0; радиус доверительной области Д0; пороговые значения оценок точности модели щ и |л2 такие, что 0 < Ц] 2 ц2 < 1; коэффициенты преобразования доверительной области у[ и у2 ( 0 < у, < у2 <1 У> порядковый номер итерации к = 0.

Шаг 2. Аппроксимация /. Выбирается норма || • |, строится функция тк, аппроксимирующая функцию f в области Вк.

ШагЗ. Минимизация тк. Выбирается метод условной минимизации тк. С его помощью находится такой шаг в*, что точка хк является глобальным минимумом тк в области Вк.

Шаг 4. Оценка точности модели рк. Вычисляется

/М-/(*к+ч) Рк щМ-щ(хк+чУ

Еслирк>щ,то хк+1 = х* + , иначе х*+1 = хк.

Шаг 5. Изменение радиуса доверительной области.

'[Дл;оо),если/?А>р2, [У\Ак>ЪАк1есшРк <Й1-

Шаг 6. Увеличить порядковый номер итерации к = к +1. Если достигнута требуемая точность решения или к равен максимальному количеству итераций, или радиус доверительной области слишком мал, то завершить обучение, иначе перейти к шагу 2.

Представленный алгоритм является обобщенным алгоритмом реализации метода доверительных областей, поскольку в нем нет никаких указаний на то, как строится функция тк, как выбирается норма )| • ||, какой метод минимизации тк использовать.

Если f - дважды дифференцируемая функция (как правило, функционал ошибки РБФ-сети, аппроксимирующей решение краевой задачи, является дважды дифференцируемой функцией), то для построения тк применяют разложение / в ряд Тейлора второго порядка, а в качестве нормы выбирают евклидову норму. Это приводит к необходимости расчета матрицы Гессе, что требует больших вычислительных затрат. Вместо точного значения матрицы Гессе в работе используется ее приближенное значение, представляющее

7*

собой произведение матриц Якоби Н(х) » G(x) = [J(x)] J(x).

Использование разложения в ряд Тейлора второго порядка приводит к необходимости решения условной задачи минимизации квадратичного функционала. Для этого предложено использовать метод Стайхауга. Метод представляет собой модификацию предобусловленного метода сопряженных направлений, учитывающую при минимизации функционала тк ограничения на решение (решение должно лежать в Вк) и позволяющую работать с отрицательно определенной матрицей Гессе. Показано, что в качестве пред-обуславливателя следует использовать модифицированный предобуславлива-тель Якоби, в котором каждый ненулевой элемент заменен на величину, обратную квадратному корню из него. Сравнительный анализ данного вида предобуславливателя с другими: предобуславливателем Якоби, Successive Over-Relaxation, Symmetric Successive Over-Relaxation, предобуславливателем на основе неполного разложения Холецкого - показал, что выбранный вариант прост в расчетах и обеспечивает высокую скорость сходимости.

В работе представлен сравнительный анализ разработанного на основе метода доверительных областей метода обучения РБФ-сетей (РБФС-МДО) с другими методами обучения РБФ-сетей:

— методом на основе сингулярного разложения;

— гибридным методом, в котором нелинейные параметры обучаются с помощью метода наискорейшего спуска, а линейные - с помощью метода сопряженных градиентов минимизации квадратичного функционала;

- гибридным методом, в котором нелинейные параметры обучаются с помощью метода сопряженных направлений для нелинейных задач (скорость обучения подбирается по формуле Флетчера-Ривса или Полака-Рибьера), а линейные - с помощью метода сопряженных градиентов минимизации квадратичного функционала;

- методом на основе CGDESCENT (Conjugate Gradient Method with Guaranteed Descent);

-методом на основе квазиньютоновского метода, использующего формулу Девидона-Флетчера-Пауэлла;

-методом на основе квазиньютоновского метода, использующего формулу Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно;

- методом на основе метода Левенберга-Марквардта.

Проведена серия экспериментов для двух линейных и одного полулинейного эллиптических уравнений, которая показала, что предложенный метод с точки зрения скорости и точности превосходит ранее использовавшиеся методы обучения РБФ-сетей. В частности, было установлено, что РБФС-МДО в 30-90 раз быстрее и как минимум в 10 раз точнее, чем любой из гибридных методов, в 100 раз точнее квазиньютоновских методов при сопоставимых временных затратах и в 2 раза быстрее и 10 раз точнее метода на основе метода Левенберга-Марквардта. Сравнение CG DESCENT и РБФС-МДО проводилось только на основании оценок погрешности решений (CG DESCENT сложен в реализации и отсутствует информация о временных затратах на решение тестовой задачи). Показано, что РБФС-МДО позволяет получить в 7 раз более точное решение. Единственный метод, который превзошел предложенный метод по скорости, - метод на основе сингулярного разложения (при расчете временных затрат не учитывалось время на подбор оптимальной ширины). Однако при решении полулинейной краевой задачи погрешность полученного с помощью данного метода решения оказалась в два раза больше, чем погрешность решения, полученного с помощью РБФС-МДО, при больших временных затратах. Показано, что преимущество РБФС-МДО будет еще больше при решении нелинейных задач. Кроме того, экспериментально было установлено, что качество решения, полученного с помощью РБФС-МДО, в значительно меньшей степени зависит от начальных значений параметров сети по сравнению с другими методами обучения РБФ-сетей.

На основании результатов экспериментальных исследований в работе выработан ряд рекомендаций, позволяющих упростить процесс выбора архитектуры РБФ-сетей, обучаемых с помощью РБФС-МДО.

Процесс решения задач математической физики с помощью РБФ-сетей, обучаемых предложенным методом, рассмотрен на примере краевой задачи, заданной в операторном виде:

¿н(х) = /(х), хе О. (1)

Ви(х) = р(х), хе3Q, (2)

где и - искомое решение; Ь - дифференциальный оператор; В - оператор, задающий граничные условия; О - область решения; 50 - граница области; /,р- известные функции.

Неизвестное решение определяется в виде функции

м

м=1

где М — количество РБФ Гаусса; \9т, ст, ат - вес, центр, ширина функции ц>,„, представляющей собой выход РБФ-сети.

Из множеств внутренних О и граничных 50 точек выбирается N внутренних и К граничных контрольных точек.

Решение (1), (2) происходит в процессе обучения РБФ-сети с помощью РБФС-МДО, т.е. в процессе настройки весов и параметров нейронов (РБФ), таким образом, чтобы функционал ошибки, представляющий собой сумму квадратов невязок в контрольных точках, принимал минимальное значение:

N

= ^^ [ЬитР (х,; лу, с, а) - /(х, )]2 + [ЯишДх(;уу,с,а)-.р(х()]2->п1П1,

/=ЛГ+1

где \у = (м'„и'2,...,^А/), с = (с„с2,...,сЛ/), а = (а„а2,...,ам); X - штрафной множитель.

На примере двухмерного уравнения Пуассона показано, как описанный процесс применяется на практике.

Полулинейное эллиптическое уравнение (нелинейность только в правой части дифференциального уравнения) использовалось для исследования особенностей решения нелинейных краевых задач математической физики. Показано, что процесс решения таких задач с помощью РБФ-сетей, обученных РБФС-МДО, ничем не отличается от процесса решения линейных задач.

На примере решения нелинейного нестационарного уравнения Клейна-Гордона, которое играет важную роль в таких областях науки, как нелинейная оптика, квантовая теория поля, рассмотрены три способа решения нестационарных задач.

Первый способ основан на методе прямых, т.е. на конечно-разностном разбиении задачи по времени и сетевой аппроксимации решения в каждом временном слое.

Второй способ предполагает использование унифицированного подхода, т.е. задача решается тем же способом, которым решались ранее рассмотренные задачи (время рассматривается как одно из измерений).

Третий способ аналогичен второму, только вместо РБФ-сети с

симметричными РБФ Гаусса с,,с,,я) - ехр

(одномерный случай) используется сеть с асимметричными РБФ

2а2

ф,х;с1,сх,а1,ах) = ехр

г с-

2а,2 2 аг2

, причем ширина а,, ах функций

настраивается не индивидуально для временной и пространственной переменных, а одна выражается через другую ах = ка,, где коэффициент к в простейшем случае равен отношению длины отрезка, задающего область определения переменной х к длине временного интервала.

Экспериментальные исследования показали, что для решения нелинейных нестационарных задач следует использовать третий способ, при необходимости проведя декомпозицию задачи, который позволил получить решение с относительной погрешностью 4,5-1 (Г5. Способ оказался в 3 раза быстрее и в 50 раз точнее первого и в 10 раз быстрее и в 5 раз точнее второго.

В заключительной части главы рассмотрен процесс решения обратных краевых задач математической физики с помощью РБФ-сетей. Отмечается, что с помощью РБФ-сетей, не прибегая к аппарату сопряженных операторов, можно решать эволюционные обратные задачи и обратные задачи идентификации источниковых компонент и граничных условий, в то же время для решения коэффициентных обратных задач приходится строить и решать сопряженные задачи.

В работе показано, что метод, используемый для решения эволюционных задач и задач идентификации источниковых компонент и граничных условий, может быть распространен и на коэффициентные обратные задачи. Для этого необходимо воспользоваться методом параметрической оптимизации.

Суть предлагаемого метода рассмотрена на примере коэффициентной обратной задачи, заданной в операторной форме:

Ь{к(х,и))ы(х) = /(х),х е (3)

Ви(х)=р(х), хедО, (4)

где к - неизвестный коэффициент, возможно, зависящий от и, и дополнительных условий:

Лм(г)«ф5(г), гег, (5)

где £> - оператор, задающий дополнительные условия; 2 с ОиЭО; <р5 — известная функция, заданная с погрешностью 5.

Согласно методу параметрической оптимизации неизвестный коэффициент к представляется в параметрическом виде. Необходимо определить параметры этого представления. В качестве такого представления в работе

предложено использовать РБФ-сеть ктг(х,и) = ^\ут(рт(х,и; с„,а). НеИЗВеСТ-

пЫ

ные параметры с,,,, а и веса РБФ выбираются из условия минимизации невязки между левой и правой частями (5), которое можно записать в виде:

где количество контрольных точек из w* =

с* =(с1»с2.....<4), а* =(о„а2.....

Задача (6) имеет две особенности: во-первых, поскольку функция ф5 задана с погрешностью, существует множество решений задачи (6), которые с точностью 5 удовлетворяют задаче (3), (4), (5); во-вторых, функция и в функционале (6) неизвестна.

Чтобы сузить класс допустимых решений, используется регуляризация, в частности, итерационный метод регуляризации, в котором в роли регу-ляризатора выступает число итераций: итерационный процесс минимизации

У

(6) продолжается до тех пор, пока ./(\у*,с*,а*) > (условие Морозова).

. "I

Поскольку функция и неизвестна, то предлагается аппроксимировать решение и прямой задачи (3), (5), в которой к = кК№, с помощью РБФ-сети

м.

"лгут (х) = фт(х;ст,о). Неизвестные параметры " = (м-,,^,...,^),

с"=(с,,с2.....см>), я" =(а„а2,...,ам ) можно найти, минимизировав функционал

Л'+АГ /=N+1

Решение обратной задачи находится в процессе минимизации функционала Л(™%с\а^4,с^*) = /(™",с",а") + ;и^с*,а*), т.е. настройки параметров сетей иМ17, кмр с помощью РБФС-МДО, причем минимизация

£

продолжается до тех пор, пока J(yvk,ck,ak) > .

Предложенный метод использовался для решения задачи определения младшего коэффициента в эллиптическом уравнении второго порядка и задачи определения коэффициента в нелинейном параболическом уравнении. В работе отмечаются простота использования метода, хорошая устойчивость метода к погрешности во входных данных, более высокая точность решения (в 2,5 раз выше, чем при использовании нейросетевых методов, использующих аппарат сопряженных операторов). Кроме того, метод позволяет значительно сократить временные затраты на поиск решения (метод в 15 раз быстрее, чем нейросетевые методы, использующие аппарат сопряженных операторов).

Третья глава посвящена проектированию, разработке и применению комплекса программ нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами ЯВР01ГК5о1уег 1.0. В частности, описаны его архитектурные особенности, реализованные в нем алгоритмы обучения сетей, при-

веден обзор функциональных возможностей и рассмотрены примеры использования.

Одна из особенностей программного обеспечения, используемого в исследовательской деятельности, - постоянные изменения, поэтому для обеспечения максимальной гибкости при проектировании и разработке комплекса программ использовались модульная архитектура, объектно-ориентированный подход, Inversion of Control, шаблоны проектирования Factory, Strategy, Visitor. Это позволило реализовать в RBFDifTSolver 1.0 широкий спектр функциональных возможностей, представленный на рисунке 1.

Функциональные возможности комплекса программ нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами ЛВРР1ГГЕд5о1уег 1.0

1. Поддерживаемые виды РБФ:

- функция Гаусса;

- мультиквадрик;

- обратный мультиквадрик;

- функция Вендланда;

- асимметричная функция Гаусса;

- другие функции, созданные путем наследования

2. Процесс минимизации функционала ошибки:

- итерационный; -одношаговый;

- гибридный

3. Виды РБФ-сетей:

- РБФ-сеть;

- нормализованная РБФ-сеть

4. Предусмотрен вывод статистической информации, информации о решении в Gnuplot и Matlab_

5. Методы минимизации функционала ошибки:

- метод градиентного спуска;

- метод наискорейшего спуска;

- метод сопряженных направлений;

- квазиньютоновский метод на основе формулы Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно;

- квазиньютоновский метод на основе формулы Девидона-Флетчера-Пауэлла;

- метод Левенберга-Марквардта;

- метод на основе сингулярного разложения;

- метод доверительных областей;

-другие методы, созданные путем наследования

6. Виды функционалов ошибки:

- квадратичный функционал ошибки;

- другие функционалы, созданные путем наследования

7. Виды решаемых краевых задач:

- прямые стационарные, нестационарные задачи;

- обратные эволюционные задачи;

- обратные граничные задачи;

- коэффициентные обратные задачи___

Рисунок 1 - Функциональные возможности комплекса программ нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами RBFDifïSolver 1.0

Комплекс представляет собой совокупность связанных между собой программных компонентов. Их разработка велась на языке С# в среде Microsoft Visual Studio 2010. Компоненты RBFDifïSolver 1.0 представлены на рисунке 2. В компоненте «Методы оптимизации» реализованы различные методы минимизации функционала ошибки РБФ-сети, полный перечень которых представлен на рисунке 1, блок 5. «РБФ-сеть» является одним из основных компонентов программного комплекса. Он реализует функциональ-

ные возможности, представленные на рисунке 1 в блоках 1 и 3. Компонент «Дифференциальные уравнения» адаптирует «РБФ-сеть» к задаче аппроксимации решений краевых задач. Он включает в себя три компонента: «Задача» (позволяет задать специфику задачи), «Оптимизатор» (реализует функциональные возможности, представленные на рисунке 1, блок 2) и «Статистика» (используется для сбора статистической информации о процессе решения). «Графики» и два сторонних компонента gnuplot и Ма^аЬ предназначены для вывода графической информации. И, наконец, «Решатель» - это исполняемое приложение, обеспечивающее совместную работу всех вышеописанных компонентов.

Рисунок 2 - Компоненты комплекса программ нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами ИВГОШ5о1усг 1.0

В заключительной части главы на тестовых примерах показана работоспособность комплекса, отмечается, что все экспериментальные исследования, результаты которых представлены в работе, выполнены с помощью RBFDiffSolver 1.0. Рассмотрены способы расширения функциональных возможностей, а также процесс решения краевых задач с помощью разработанного комплекса программ. Кроме того, делается вывод о том, что КВРБ1Ж5о1уег 1.0 может применяться для решения широкого круга краевых задач, описывающих системы с распределенными параметрами.

В четвертой главе представлены результаты анализа задачи электро-импедансной томографии. На основе предложенного в работе нейросетевого метода идентификации свойств среды разработан численный способ решения задач электроимпедансной томографии, позволяющий при наличии априорной информации сократить время диагностики объекта. Описаны результаты экспериментальных исследований предложенного способа.

Электроимпедансная томография - это один из видов вычислительной томографии, базирующийся на явлении электромагнетизма. Пропуская

через объект электрический ток и проводя измерения на границе объекта, электроимпедансный томограф позволяет определить внутреннюю структуру объекта.

В начале главы проведен анализ задачи электроимпедансной томографии: рассмотрена общая структура электроимпедансного томографа, основные принципы; приведены различные математические модели задачи; проанализирована процедура сбора данных; приведена постановка прямой и обратной задач электроимпедансной томографии; проанализированы существующие способы решения (способ на основе метода конечных элементов, способ на основе метода обратного проецирования, нейросетевой способ, когда для определения структуры объекта используется обученная на множестве примеров нейронная сеть). На основании проведенного анализа сделан вывод о перспективности применения предложенного в работе метода решения коэффициентных обратных задач с использованием РБФ-сетей для решения задачи электроимпедансной томографии, которая является нелинейной коэффициентной обратной задачей.

Разработан способ численного решения задачи электроимпедансной томографии, согласно которому, используя метод декомпозиции, объект разбивается на ряд областей. В каждой области для аппроксимации распределений потенциала и импеданса используются две РБФ-сети, обучение которых происходит в процессе решения коэффициентной обратной задачи с помощью представленного в работе нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач. Согласование решений в смежных областях осуществляется согласно выбранному методу декомпозиции. Для уменьшения временных затрат на обучение сетей применяется специальная процедура выбора начальных положений центров РБФ. Отмечается, что благодаря меньшему количеству степеней свободы, регуляризирующим свойствам РБФ-сетей, гибким возможностям учета априорной информации о решении способ позволяет сократить объем измерений, необходимых для восстановления структуры объекта, что уменьшает время его диагностики.

Экспериментальные исследования предложенного способа проводились на примере двух задач. Первая задача - модельная, цель ее решения заключалась в том, чтобы убедиться, что задача электроимпедансной томографии может быть решена с помощью нейросетевого способа; сравнить полученные результаты с результатами, полученными с помощью библиотеки ЕШОКБ, разработанной для решения таких задач и получившей широкое распространение. Во втором примере рассматривалась задача восстановления импеданса на участке грудной клетки. В обоих случаях было принято допущение о равенстве нулю реактивной проводимости, поэтому проводимость рассматривалась как действительная величина. Это, однако, не означает, что предложенный способ не может быть использован для определения величины реактивной проводимости, но для этого необходимо использовать комплексные РБФ-сети и модифицированный метод обучения сетей.

В первой задаче восстанавливалось распределение импеданса в объекте, представляющем из себя квадрат со сторонами 20 см. Во всей области решения, кроме небольшого участка, адмиттанс (величина, обратная импедансу) был равен 1 Sim (Сименс на метр). В левом верхнем углу объекта находился участок, ограниченный окружностью, с адмиттансом 0,2 Sim. При частоте тока 10 kHz значения соответствуют проводимости жидких сред организма (кровь, лимфа, желчь, спинномозговая ткань) и проводимости некоторых мышечных тканей, соответственно.

Решение задачи находилось с помощью двух сетей: сети итр -классической РБФ-сети, аппроксимирующей распределение потенциала по области решения, и сети yRBF - нормализованной РБФ-сети, аппроксимирующей распределение импеданса. Полученное значение импеданса при нулевой погрешности измерений представлено на рисунке 3. Аналогичная задача была решена с помощью библиотеки E1DORS. Решение представлено на рисунке 4. Относительная погрешность решения в первом случае составила 7,6 %, во втором - 8,1 %, причем для решения задачи с помощью РБФ-сети потребовалось 8 измерений против 28 измерений, которые потребовались для решения данной задачи с помощью EIDORS. Экспериментально показано, что устойчивость нейросетевого способа к шуму во входных данных не хуже устойчивости метода, используемого в EIDORS.

0.6

TV--1

'VVf.V'l

., MilMifttlil

Рисунок 3 - Решение обратной задачи для 5 = 0

1

0.8 0.6 0.4 0.2 ; 0 -0.2 -0.4 -0.6 •0.8 -1

******* B*BB*******:BBB:B**

ав*ввви*аавв*ввив|3ь-ввв*в аяввйоввяяввввгатк' ^«вво

BBSI*aBISaiBaaaaB6S«Si. , к*** авдваавввввггавнягэ и \ й>вв 9SSISS8B0*SSSSSS<:? 1 iSSSIS

" ЙВМ8

вявяяяваив80«яяв1в№#яввв|

ВаВЯЯЯВЯВВВВЯВЯВЯИЯЯВЯВЯ ВВЯаЯВаЯВЯЯЯВВВВЯЯВЯЯВВВ В***********************

яаяавваввяаааявяяяяавяяа ааявяявяяааавявявваваав*

В***************)!*******

ввявяяв^вявяввввввввявва

ВВЯВВВВВЯВВВЯВЯЯВВЯВВВВи

ввявввявявввававяявявяяа ввввявавваввавввввявявяв яававвавяааяваяяявяаааяв ааввавввяаааваяяяааааая* авааввввяавввяявяялвааяв

-0.5

0

X-axis

0.5

Рисунок 4 - Решение обратной задачи, полученное с помощью библиотеки ЕГОСЖЗ для 5 = 0

В работе рассмотрена задача восстановления импеданса упрощенной модели грудной клетки диаметром 30 см, приведенной на рисунке 5 (задача восстановления импеданса грудной клетки возникает в системах искусственной вентиляции легких, в которых электроимпедансный томограф используется для мониторинга состояния легких).

Для понижения размерности задачи предметная область была разбита на восемь равных секторов. Импеданс восстанавливался только в первом и во втором секторах (процесс восстановления импеданса в других секторах

аналогичен рассмотренному) с помощью РБФ-сетей. Для согласования решений использовалась мультипликативная схема Шварца. В качестве априорной информации использовалась информация о приблизительных границах левого легкого и позвоночника. На рисунке 6 показано восстановленное значение адмиттанса, пунктирная линия показывает действительную границу левого легкого и позвоночника. Относительная погрешность решения в 3-й четверти грудной клетки при 3 %-й погрешности во входных данных составила 14,2 %.

Рисунок 5 - Модель грудной клетки Рисунок 6 - Восстановленное распределение

Анализ результатов экспериментальных исследований показал перспективность использования предложенного способа численного решения задачи электроимпедансной томографии на основе нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач и необходимости его дальнейшего развития.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

1. Проведен анализ процесса и методов обучения РБФ-сетей, используемых для моделирования систем с распределенными параметрами. Анализ показал необходимость разработки метода обучения сетей, позволяющего сократить время их обучения без увеличения погрешности модели. В его основу должен быть положен метод оптимизации, предназначенный для решения многокритериальных, плохо обусловленных, нелинейных, имеющих большое количество локальных минимумов в рамках некоторой локальной области задач оптимизации.

2. Разработан метод обучения РБФ-сетей с настраиваемым функциональным базисом, используемых для математического моделирования систем с распределенными параметрами. Отличительной чертой метода явля-

0.3

адмиттанса части грудной клетки

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

ется то, что минимизация функционала ошибки таких сетей осуществляется с помощью метода доверительных областей, причем для повышения его быстродействия используются приближенные значения матрицы Гессе и модифицированный предобуславливатель Якоби. Метод позволяет сократить время обучения сетей и уменьшить погрешность нейросетевых моделей. В частности, при решении краевой задачи для двухмерного уравнения Пуассона установлено, что метод в 30-90 раз быстрее и как минимум в 10 раз точнее, чем любой из гибридных методов, в 100 раз точнее квазиньютоновских методов при сопоставимых временных затратах и в 2 раза быстрее и 10 раз точнее метода на основе метода Левенберга-Марквардта.

3. Предложен способ сокращения временных затрат на обучение РБФ-сетей, используемых для численного решения нелинейных нестационарных краевых задач. Особенность способа заключается в поиске решения с помощью РБФ-сети с асимметричными РБФ. Это дает возможность уменьшить размерность нейросетевого базиса, а следовательно, сократить время обучения сети. На примере решения краевой задачи для нелинейного нестационарного уравнения Клейна-Гордона показано, что способ в 3 раза быстрее и в 50 раз точнее способа на основе метода прямых и в 10 раз быстрее и в 5 раз точнее способа, использующего симметричные РБФ.

4. На основе метода параметрической оптимизации разработан итерационный нейросетевой метод идентификации свойств среды по результатам дискретных измерений. В отличие от известных нейросетевых методов предложенный метод не требует построения и решения сопряженных задач, что существенно упрощает процесс решения исходной задачи. Еще одной особенностью метода является применение условия Морозова для регуляризации решения, что позволяет избежать переобучения сети при использовании результатов измерений, заданных с погрешностью.

5. Создан комплекс программ ЯВРВ!й5о1уег 1.0, предназначенный для нейросетевого моделирования систем с распределенными параметрами. При реализации КВРВ1Г1Бо1уег 1.0 применялись разработанные в работе метод обучения РБФ-сетей, способ сокращения временных затрат на обучение РБФ-сетей, используемых для численного решения нелинейных нестационарных краевых задач, а также нейростевой метод решения коэффициентных обратных задач. Комплекс программ может быть использован для решения широкого круга краевых задач, описывающих системы с распре- ' деленными параметрами. В частности, с его помощью были решены все краевые задачи, рассмотренные во второй главе диссертации, а также задача электроимпедансной томографии, рассмотренной в четвертой главе.

6. Проведен комплексный анализ задачи электроимпедансной томографии. Разработан способ численного решения задач электроимпедансной томографии, особенностью которого является использование предложенного в работе нейросетевого метода решения коэффициентных обратных задач, что при наличии априорной информации о структуре объекта дает

возможность сократить количество измерений и, как следствие, время диагностики объекта. Кроме того, особенность способа заключается в использовании метода декомпозиции и специальной процедуры выбора начальных положений центров РБФ для уменьшения временных затрат на обучение комплекса РБФ-сетей, используемых для аппроксимации распределений потенциала и импеданса. Его сравнительный анализ со способом на основе метода конечных элементов показал, что при одинаковой точности решения предложенному способу требуется более чем в три раза меньшее количество измерений, необходимых для вычисления решения. В работе делается вывод о перспективности использования предложенного способа численного решения задачи электроимпедансной томографии и необходимости его дальнейшего развития.

7. На основании полученных результатов сделан вывод о том, что цель диссертационного исследования достигнута. С помощью разработанного метода обучения удалось сократить время обучения РБФ-сетей, используемых для моделирования систем с распределенными параметрами, без увеличения погрешности модели. Кроме того, разработан нейросетевой метод решения коэффициентных обратных задач, не требующий построения и решения сопряженных задач.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Жуков, М. В. Обучение сетей радиальных базисных функций методом доверительных областей для решения уравнения Пуассона / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Информационные технологии. - 2013. - № 9. - С. 65-70.

2. Жуков, М. В. Подходы и методы обучения сетей радиальных базисных функций для решения задач математической физики / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2013. - № 9. -С. 12-19.

3. Жуков, М. В. Решение коэффициентных обратных задач математической физики с помощью сетей радиальных базисных функций / М. В. Жуков // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2014. -№ 2. - С. 32-39.

Публикации в других изданиях

4. Жуков, М. В. Применение метода параметрической идентификации и сетей радиальных базисных функций для решения коэффициентных обратных задач математической физики / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Нейроинформатика -2014 : сб. науч. тр. XVI Всерос. науч.-техн. конф. с международным участием : в 3 ч. — М., 2014. — Ч. 1,-С. 70-78.

5. Жуков, М. В. Численное решение полулинейных эллиптических уравнений с помощью сети радиальных базисных функций, обученных методом доверительных областей / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Обчислювальний штеллект : II МЬкнар. наук.-техн. конф.-Черкассы,2013.-С. 100-101.

6. Жуков, М. В. Решение нелинейных задач математической физики с использованием сетей радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. VII Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. — Пенза, 2013. — С. 250-256.

7. Жуков, М. В. Использование сетей радиальных базисных функций для решения эволюционных обратных задач математической физики / М. В. Жуков // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. ст. XIII Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2013. - С. 12-14.

8. Жуков, М. В. Подходы к решению коэффициентных обратных задач на сетях радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. ст. XIII Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2013. - С. 9-11.

9. Жуков, М. В. Решение задачи электроимпедансной томографии с помощью сети радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. VIII Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. — Пенза, 2014. — С. 238—243.

10. Жуков, М. В. Решение коэффициентной обратной задачи для нелинейного параболического уравнения с помощью сети радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. VIII Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 70-летию образования Пензенского государственного университета. - Пенза, 2013. - С. 214-220.

11. Жуков, М. В. Решение нелинейных нестационарных задач математической физики с использованием сетей радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных : материалы XXI Всерос. семинара. - Красноярск, 2013. - С. 71-75.

12. Жуков, М. В. Решение коэффициентной обратной задачи для эллиптического уравнения с помощью сети радиальных базисных функций / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных : материалы XXI Всерос. семинара. — Красноярск, 2013. - С. 75-79.

13. Жуков, М. В. Применение метода параметрической идентификации для решения коэффициентных обратных задач математической физики / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Современные проблемы компьютерных наук : сб. материалов I Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. 70-летию образования Пензенского государственного университета. — Пенза, 2013. — С. 106-108.

14. Жуков, М. В. Нейросетевой метод моделирования в электроимпедансной томографии / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. ст. XIV Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2014. - С. 62-67.

15. Жуков, М. В. Методы обучения сетей радиальных базисных функций, используемых для моделирования систем с распределенными параметрами / В. И. Горбаченко, М. В. Жуков // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2014. - С. 248-253.

Научное издание

ЖУКОВ Максим Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С ПОМОЩЬЮ СЕТЕЙ РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ, ОБУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор Н. А. Сидельникова Технический редактор Р. Б. Бердникова Компьютерная верстка Р. Б. Бердниковой

Распоряжение № 19/56 от 16.12.2014.

Подписано в печать 17.12.2014. Формат 60х84'/1й. Усл. печ. л. 1,16. Заказ № 1128. Тираж 100.

Издательство ПГУ. 440026, Пенза, Красная, 40. Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru