автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и оптимизация формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими накладками при термомеханических воздействиях

005001933

На правах рукописи

КУЛИКОВ Михаил Геннадьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ СЛОИСТОЙ КОМПОЗИТНОЙ ПЛАСТИНЫ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ НАКЛАДКАМИ ПРИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 НОЯ 2011

Тамбов 2011

005001933

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и механика» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ЗГТУ»),

Научный руководитель Официальные оппоненты:

Ведущая организация

кандидат технических наук, доцент Плотникова Светлана Валерьевна

доктор физико-математических наук, профессор

Лопаницын Евгений Анатольевич

доктор технических наук, профессор Туголуков Евгений Николаевич

Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 15 декабря 2011 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.260.07 при ФГБОУ ВПО «ТГТУ» по адресу:

г. Тамбов, ул. Ленинградская, д. 1, ауд. 160.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 392000, г. Тамбов, ул. Советская,

д. 106, ФГБОУ ВПО «ТГТУ», ученому секретарю диссертационного совета Д 212.260.07.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «ТГТУ» по адресу: 392032, г. Тамбов, ул. Мичуринская, д. 112, корп. «Б».

Автореферат диссертации размещен на официальных сайтах ФГБОУ ВПО «ТГТУ» http://www.tstu.ru и ВАКМинобрнауки РФ http://vak.ed.gov.ru.

Автореферат разослан « П » ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета у у Л^/

доктор технических наук, доцент С.Я. Егоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В последние годы устройства и материалы на основе пьезоэлектриков проникли во многие отрасли промышленности и интенсивно используются, в частности, в адаптивных тонкостенных конструкциях различного назначения. Подобные конструкции с внедренными в них пьезокерамиче-скими или пьезополимерными материалами способны в значительных пределах менять свои технические параметры в соответствии с условиями их эксплуатации или типом выполняемых задач. Можно привести примеры их использования в авиационной и ракетно-космической технике, а также в многочисленных инженерных приложениях, например адаптивные космические антенны и радиотелескопы.

Расчет и моделирование тонкостенных композитных конструкций являются одной из фундаментальных проблем механики и особенно актуальны в контексте разработки и проектирования адаптивных конструкций. В этой связи практический интерес представляет моделирование механизма деформирования тонкостенных пьезоэлектрических слоистых конструкций, подверженных термомеханическим воздействиям. В последнее время предложены различные методы расчета термо-электроупругого состояния тонкостенных конструкций с пьезоэлектрическими ак-тюаторами, внедренными в тело конструкции или закрепленными на ее поверхностях. Такие конструкции получили широкое распространение в технике, поскольку являются технологичными и позволяют эффективно управлять их деформациями.

При создании алгоритмов расчета подобных конструкций решающее значение имеет быстрота получаемого исходного кода, что позволяет осуществлять управление адаптивной конструкцией в режиме реального времени. В большинстве работ, посвященных разработке алгоритмов расчета и численного моделирования пьезоэлектрических актюаторов, используются трехмерные изопараметриче-ские конечные элементы, как правило, в форме метода перемещений. Особенностью такого подхода является единообразная интерполяция начальной и деформированной конфигураций конструкции в глобальной декартовой системе координат, что дает возможность корректно описать ее перемещения как жесткого тела. Однако изопараметрический элемент является неэффективным при его использовании в современных адаптивных тонкостенных конструкциях, для которых важно быстро реагировать на нежелательные внешние термомеханические воздействия. Это делает проблему построения альтернативных геометрически точных конечных элементов, свободных от перечисленных недостатков, весьма актуальной. Термин «геометрически точный» означает, что геометрические параметры конструкции вычисляются точно в узловых точках. В результате становится возможным использовать аналитическое интегрирование в пределах конечного элемента. Именно это обстоятельство позволяет существенно повысить производительность конечно-элементного кода и эффективно использовать его для программирования контроллеров адаптивных систем и конструкций.

В обширной литературе по методу конечных элементов (МКЭ) установлено, что гибридные конечные элементы обладают рядом преимуществ по сравнению с конечными элементами в форме метода перемещений, так как они не подвержены сдвиговому и мембранному запираниям и не допускают жестких ложных смещений (механизмов). Однако для построения таких элементов требуется применение смешанного вариационного принципа Хеллингера-Рейсснера или более общего вариационного принципа Ху-Васидзу1. Таким образом, возникает актуальная за-

1 Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

дача обобщения смешанного вариационного принципа Ху-Васидзу с целью его использования в стационарных моделях термопьезоэлектричества2.

Диссертационное исследование проводилось в соответствии с планами работ по научным проектам:

- АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 гг.)». Подраздел № 2.1.1/660 «Проведение фундаментальных исследований в области естественных наук», № 2.1.1/10003 «Исследование многослойных композитных тонкостенных конструкций, подверженных термозлекгромеханическому нагружению, на основе геометрически точных трехмерных конечных элементов оболочки»;

- РФФИ № 08-01-00373-а «Контактное взаимодействие упругих многослойных композитных оболочек при произвольно больших поворотах».

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются слоистые композитные пластины с пьезоэлектрическими накладками.

Предметом исследования являются математическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины при термоэлекгромеханических воздействиях; алгоритмы на основе МКЭ с целью численного моделирования таких конструкций; алгоритм оптимизации формы путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является численное моделирование и оптимизация формы слоистых композитных пластин произвольной геометрии с пьезоэлектрическими накладками при наличии термомеханических воздействий.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработана 7-параметрическая модель слоистой пластины с непрерывно или дискретно распределенными пьезоэлектрическими слоями на основе деформационных соотношений, точно представляющих перемещение пластины как жесткого целого в системе криволинейных координат отсчетной поверхности.

2. Получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу с целью решения связанных стационарных задач термоэлектроупругости для пьезоэлектрических слоистых пластин.

3. Разработан геометрически точный четырехузловой элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, основанный на билинейной интерполяции перемещений и потенциала электрического поля внутри конечного элемента, для моделирования связанных электромеханических полей.

4. Построен геометрически точный гибридный конечный элемент слоистой пластины с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными на их лицевых поверхностях электродами с целью решения актюаторных задач путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта.

5. Предложены эффективные алгоритмы для численного моделирования пьезоэлектрической слоистой композитной пластины при термоэлектромеханическом пагружении, в которых используется аналитическое интегрирование в пределах конечного элемента.

6. Разработан алгоритм оптимизации формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими накладками, основанный на решении задачи минимизации целевого функционала с учетом и без учета ограничений на величину напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических накладок.

7. Разработан пакет программ на языке программирования Ос1рЫ для численного моделирования полей перемещений, деформаций, напряжений и потенциала

2 Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых тепах. М.: Мир, 1986.160 с.

электрического поля в слоистой композитной пластине с непрерывно и дискретно распределенными пьезоэлектрическими накладками и электродами, исходный код которого может быть использован для программирования контроллеров адаптивных тонкостенных конструкций.

8. Проведено численное моделирование слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и электродами различных конфигураций, в том числе оптимальное управление формой секториальной пластины с пьезоэлектрическими накладками при температурных и механических воздействиях.

9. Разработана методика графической визуализации результатов численного моделирования с использованием вычислительной среды МАТЬАВ.

Научная новизна исследования. Впервые получены следующие результаты:

1. Построена 7-параметрическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, основанная на линейной аппроксимации тангенциальных перемещений и квадратичной аппроксимации поперечного перемещения по толщине пакета слоев. Модель допускает использование полных уравнений состояния термоэлекгроупругости и дает возможность точно представлять перемещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчегной поверхности.

2. Получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для исследования связанных стационарных задач пространственной теории термоэлекгроупругости для слоистых композитных пластин.

3. Построен новый геометрически точный гибридный четырехузловой конечный элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, позволяющий преодолеть сдвиговое запирание. Конечный элемент предназначен для моделирования связанных электромеханических полей. Для получения матрицы жесткости элемента пластины использовано аналитическое интегрирование, что является особенностью геометрически точного конечного элемента.

4. На основе разработанных алгоритмов построен геометрически точный четырехузловой конечный элемент, позволяющий моделировать актюаторные задачи для слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными электродами.

5. Представлены результаты вычислительного эксперимента по моделированию секториальных пластин с изотропными и анизотропными пьезокерамиче-скими актюаторами при термомеханических воздействиях.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость заключается в том, что построена удобная для применения в МКЭ математическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, допускающая использование полных уравнений состояния пространственной теории термопьезоэлектричества; разработаны перспективные геометрически точные гибридные конечные элементы пластины; предложена методика оптимизации формы слоистой композитной пластины путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта.

Практическая значимость заключается в следующем. В настоящее время в мировой практике сложилась тенденция использования трехмерных изопараметриче-ских конечных элементов для расчета тонкостенных композитных конструкций. Приложение этого подхода дня моделирования конструкций, подверженных термоэлектромеханическому нагружению, с помощью коммерческого программного обеспечения АВА(ЗШ, АКЭУЗ и т.п., выявило необходимость проведения масштабных вычислений и, как следствие, невозможность его применения в системах управления адаптивными тонкостенными конструкциями. Подход, разработанный в диссертации, открывает более широкие перспективы при моделировании и эксплуатации адаптивных тонкостенных конструкций из слоистых композитов:

1. Разработанный пакет прикладных программ может быть использован для численного моделирования полей перемещений, деформаций, напряжений и потенциала электрического поля в слоистой композитной пластине с непрерывно и дискретно распределенными пьезоэлектрическими накладками. При этом имеется возможность оптимизировать форму слоистой композитной пластины путем нахождения напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических актюаторов.

2. Конечно-элементный код, реализованный на языке программирования Delphi, может быть использован для программирования контроллеров адаптивных систем с целью оптимизации формы элементов тонкостенных конструкций.

Достоверность исследования. Результаты численного моделирования представленных актюаторных задач для слоистых композитных пластин являются достоверными и хорошо согласуются с численными решениями трехмерных задач теории термопьезоэлектричества и результатами экспериментов. Это объясняется принятыми гипотезами о линейном распределении тангенциальных перемещений и квадратичном распределении поперечного перемещения по толщине пакета слоев, что дает возможность моделировать напряженно-деформированное состояние пластины в пространственной постановке.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались в 2009 -2011 гг. на международных конференциях «Computational and Experimental Engineering and Sciences» и «Математические методы в технике и технологиях». В целом диссертация обсуждалась на семинаре им. Э.И. Григолюка и секции НТС Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова, семинаре по математическому моделированию и системному анализу ТГТУ.

По теме диссертации опубликовано девять печатных работ, в том числе три статьи в журналах из перечня ВАК. В государственном Реестре программ для ЭВМ зарегистрированы два пакета прикладных программ.

Разработка 7-параметрической модели пьезоэлектрической слоистой пластины и построение геометрически точного билинейного конечного элемента пластины с пьезоэлектрическими накладками выполнены совместно с С.В. Плотниковой. Остальные результаты диссертационной работы принадлежат соискателю.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 114 наименований и приложений. Диссертация содержит 114 страниц текста, 30 рисунков и 17 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются цели и задачи исследования, обосновывается актуальность темы диссертации, показывается научная новизна, объясняется теоретическая и практическая значимость результатов исследования, обосновывается достоверность полученных результатов, приводится информация о публикациях соискателя по теме диссертации.

В первой главе производится аналитический обзор научно-технической литературы, относящейся к теме исследования.

В первом разделе представлен обзор работ, посвященных пространственным математическим моделям пластины и оболочки. Отмечаются работы А.Н. Андреева, К.З. Галимова, Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова, Ю.В. Немировского, В.Н. Пайму-шина, Р.Б. Рихардса, Г.А. Тетерса, Н. Parisch, Е. Ramm, С. Sansour.

Во втором разделе представлен обзор работ, связанных с построением изо-параметрических и геометрически точных конечных элементов пластины и оболочки. Существенный вклад в развитие изопараметрических конечных элементов

внесли зарубежные ученые K.J. Bathe, T.J.R. Hughes, R.L. Taylor, O.C. Zienkiewicz и др. Геометрически точные трехмерные конечные элементы построены Г.М. Куликовым, C.B. Плотниковой, R.A. Arciniega, J.N. Reddy.

В третьем разделе представлен обзор работ, посвященных решению связанной задачи для пьезоэлектрических пластин и оболочек в пространственной постановке. Важные результаты получены A.B. Белоконем, В.А. Еремеевым, A.B. Наседкиным, А.Н. Соловьевым, K.Y. Sze, X.G. Tan, L. Vu-Quoc, L.Q. Yao.

В четвертом разделе представлен обзор работ, связанных с решением задачи оптимизации формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими ак-тюаторами. Отмечаются работы S.K. Agrawal, M.I. Frecker, H. Irschik, D. Koconis, L.P. Kollar, G.S. Springer, D. Tong, R.L. Williams и других ученых.

Вторая глава посвящена разработке математической модели пьезоэлектрической пластины. Рассматривается пьезоэлектрическое тело в трехмерном пространстве объема V, ограниченное поверхностью Q . Вводится смешанный функционал типа Ху-Васидзу для исследования стационарных задач линейной теории термоэлекгроупругости, обобщающий функционал3 путем включения в него напряжений и деформаций в качестве независимых функциональных переменных:

П3° = jjj[tf+ -е&)+ц(Е,. +%)-X¡u¡ +Qv<p]dV-

1 (1) - J'¡Pi«¡da - JJßs(p«Äl, в¡j =-(",,; +

nD

H = \ciJkmÊiJikm -±&ijE¡EjetijE^j - Yy'EyQ-giE¡®, (2)

где u¡ - перемещения; - напряжения; £¡j, £.¡} - зависимые и независимые от перемещений деформации; ф - электрический потенциал; D¡ - компоненты вектора смещения электрического поля; E¡ — компоненты вектора напряженности электрического поля; Сукт - упругие постоянные; ek¡- - пьезоэлектрические постоянные; у,у _ температурные напряжения; et] - диэлектрические постоянные; g¡ - пироэлектрические постоянные; S - энтропия, отнесенная к единице объема; се - теплоемкость при постоянной деформации; X¡ - компоненты вектора массовых сил; Qv - объемная плотность электрических зарядов; p¡ — компоненты вектора поверхностных сил, действующих на поверхности Q0 ; Qs - поверхностная плотность электрических зарядов на поверхности Пд ; © = Т — Т0 - прирост температуры от естественного состояния Т0 по шкале Кельвина; индексы i,j, следующие после запятой, означают дифференцирование по декартовым координатам x¡, Xj ; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1

до 3. Отметим, что естественное состояние характеризуется отсутствием деформаций и напряжений и все величины измерены в изотермическом состоянии.

3 Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986.160 с.

Варьируя в функционале (1) независимые функциональные переменные u¡, Еу , О у , (р, E¡, D¡, приходим к обобщенному вариационному уравнению Ху-Васидзу пространственной теории термоэлектроупругости

5П3° = 0 . (3)

Вариационная задача (1)-(3) в случае = еу эквивалентна:

= Суьп^ы - ekijEk ~ lij®, (4)

А = eihntkm+sikEk + g¡®, (5)

CVJ+X,= О, (7)

E¡=- ф_,., (8)

D„,=2v (9)

Замечание. В случае стационарных процессов пространственной теории термоэлектроупругости уравнение теплопроводности не связано с остальными уравнениями (4) — (9). Это дает возможность уменьшить число независимых функциональных переменных, считая, что распределение температуры 0 внутри тела является известным, т.е. 80 = 0 .

Рассмотрим пьезоэлектрическую слоистую пластину. В качестве отсчетной поверхности пластины £2 примем внутреннюю поверхность какого-либо «-го слоя или поверхность раздела слоев, которую отнесем к криволинейным ортогональным координатам 01, 02. Поперечную координату 83 будем отсчитывать в сторону возрастания нормали к поверхности Q (рис. 1). Пусть e¡, е2 - единичные векторы касательных к координатным линиям 0], 02; е3 - единичный вектор нормали; Аа - компоненты первой квадратичной формы; h - толщина пластины; z0 = z и zN = z+ - поперечные координаты внешних поверхностей Г20 = ОТ и Q.N = Q+; z„_¡ и zn - поперечные координаты внешних поверхностей л-го слоя Q„_j и Qn; hn=zn- z„_¡ - толщина и-го слоя; п = 1,2,.. ,,N, где N - число слоев. Индексы а, р = 1, 2; i, j — 1, 2, 3; индекс лицевых поверхностей А = —, + ; индекс внутренней, срединной и внешней поверхностей I — —, М, + .

Построим 7-параметрическую модель пьезоэлектрической пластины, которая позволяет использовать полные уравнения состояния (4), (5). Будем полагать, что тангенциальные перемещения распределены по толщине пакета слоев согласно линейному закону, а поперечные перемещения - квадратичному4:

4 Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom // Computer Modeling in Engineering and Sciences. 2008. Vol. 28, N 1. P. 15 - 38.

Рис. 1. Слоисгая пьезоэлектрическая пластина

иа=М иа + М+и+а, «з =1 Из + 1ми3м + £+и3, (10) где щ (б], 02), м,+ (б1,02) - перемещения внешних поверхностей , £2+;

«^(б^Эг) - поперечное перемещение срединной поверхности ; ЛгА(03), Ь1 (б3) - многочлены Лагранжа первой и второй степени:

ту-=|(2+-е3), (п)

к п

Г=1Г(]Г-М+), Ьм =4ЛГ~АГ+, (12)

Деформационные соотношения 7-парамегрической модели имеют вид: ен|3 = ЛГ"еа|3 + , е„ = ЛГе;-, +

-М

_ 1 [ ~ + ) <13> _ ~Г 1ЕаЗ + еаЗ />

2

где Еу (б] , 02 ) - деформации внешних поверхностей пластины, которые выражаются через компоненты векторов перемещений нижней, срединной и верхней поверхностей. Достоинство деформационных соотношений (13) состоит в том, что они точно представляют смещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

Полагаем, что электрический потенциал распределен по толщине пакета слоев согласно гипотезе ломаной линии5, т.е.:

ф("> =^>„Х, ЛГ =1-(2„ -е3), < =-1 (03 -гиЧ), ^ <03 <г„,

А К К

_ _ (14)

ФГ =Фо. Ф+У =Фл', Фт = Фт+1 = Фга (« =1, 2, ...,ЛГ-1),

где ф~(0),62), ф^(б1,02) - потенциалы электрического поля на нижней и верхней поверхностях «-го слоя £2П_] и £1п ; фт (0), 02)~ потенциалы электрического поля на поверхностях раздела слоев.

Saravanos D.A. Mixed laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures//AIAA Journal. 1997. Vol. 35, N 8. P. 1327- 1333.

Из связи вектора напряженности электрического поля и электрического потенциала (8) получаем следующее распределение:

<03 <г„, (15) Лх А*. К

где Е^А{в1,92) - тангенциальные компоненты вектора напряженности электрического поля на внешних поверхностях п-то слоя. Для температурного поля используется аппроксимация аналогичная (14).

Подставив пришлые аппроксимации функциональных переменных по толщине пакета слоев (10), (13), (14), (15) в трехмерное вариационное уравнение Ху-Васидеу (3) и исключая вектор смещения электрического поля с помощью уравнения состояния (5), приходим к двумерному вариационному уравнению Ху-Васидзу для 7-парамегрической модели термопьезоэлектрической пластины:

и [8£т(н - вш£ + + 0„е*р)+5Ет (в^в + Оф1рЕ +

а

+ 8Нт(ё-£)-8етН + 5утр + 6хтч5] Л1Л2(1<д1с1<д2 =5^,

V = [«!* и'г щ и2 и3+ «зМ ]Т. X = [фо Ф1 ••• Ф.\ ]Т, Е = [е11 еп Е22 е22 Е33 е33 2е]2 2ё^2 2е^ 2е^] ,

£ = [§)! £22 622 Ё33 £33 2Ё12 2£¡2 2Ё,^ 2ё^] , (16)

Н = [яп Щ2 Я22 Щг Ну, Я12 Н{2 Я13 Я23] ,

Е=[(Е«)Т (ЕМ)Т ,..(Е^)Т]Т, ЕМ = Е^ = £ ]о$лгАл3, я3А3 = £ )>3'л^е3, яа3 = £

п г 1 1 г 1 п г I

где - работа внешних механических и электрических сил, действующих на поверхности Е (рис. 1); б^(0,,02), £^(01,02), 6^3(0,,02) - независимо введенные тангенциальные и поперечные нормальные деформации внешних поверхностей и поперечные касательные деформации срединной поверхности пластины

соответственно; ЯАр, Я^, Яа3 - результирующие напряжений; Т - заданный

вектор температур на внешних поверхностях слоев; р - вектор поверхностных

нагрузок; qs - вектор поверхностных зарядов; Т)ии, Оиу, - механическая,

пьезоэлектрическая и диэлектрическая матрицы; ОцВ - матрица температурной

жесткости; В^д - пироэлектрическая матрица.

Третья глава посвящена алгоритмам численного решения стационарных задач термоэлектроупругости для пьезоэлектрических слоистых пластин.

Конечно-элементная формулировка задачи основывается на билинейной интерполяции перемещений, электрического потенциала, деформаций и вектора напряженности электрического поля внутри конечного элемента:

У = V, = УСРД ХГ=Х(РД

г г

£ = 2>г£г, Ег=Е(Рг) = В';и, {17)

г

Е = £лг,Ег, Е,=е(Рг)=-В»Ф,

г

где \г , гг , 1Г > Ег - векторы перемещений, деформаций, потенциала и напряженности электрического поля в узлах элемента; II = [у^ у^ у^ у^] Т- вектор узловых перемещений; Ф = ^ х! Хз Хл ]Т - вектор узловых значений электрического потенциала; В" , В^ - постоянные внутри конечного элемента матрицы размера 10x28 и 5Л^х4(Д + 1); Рг - узлы элемента (рис. 2); индекс г обознача-

Для того чтобы преодолеть сдвиговое запирание конечного элемента и при этом не получить энергетические моды с нулевой энергией, для независимо введенных деформаций используются упрощенные билинейные интерполяции;

Щ = Е^Ш^ГГ5, ВаМ3 = Ев^рда^, (18) 1.1 1.1 где ¡;а = (9а —са)/£а- нормализованные криволинейные координаты элемента; 11 а - длины элемента; са - координаты центра элемента; ЛГ,.^,^) - билинейные функции формы элемента; = 1, ц,0' = ц"] = М-зз = М-22 = М-гз = М-зз = Дзз =1 >

остальные коэффициенты Ц^2 являются нулевыми; верхние индексы Гх, г2 принимают значения 0 и 1.

Для результирующих напряжений принимаем аналогичную интерполяцию:

(19)

гы 1.1

Подставляя конечно-элементные интерполяции (17) - (19) в вариационное уравнение Ху-Васидзу (16) и применяя аналитическое интегрирование в пределах элемента пластины, получаем систему линейных алгебраических уравнений:

г(ф "и 'ь

"■¡«р -^■фф ф Л +Рфй_

где Кш , К!((р, Кф(р - механическая, пьезоэлектрическая и диэлектрическая матрицы жесткости; , Р Ри0, Рф0 - векторы внешних нагрузок.

Разработанный конечный элемент может быть использован для моделирования связанных задач термопьезоэлектричества для слоистых композитных пластин. Рассмотренные в диссертации задачи относятся к актюаторным проблемам, когда на электроды пьезоэлектрических слоев подается заданное напряжение, поэтому уравнения (20) упрощаются:

Кции = -К11(рФ + Рр+Рие. (21)

Построен алгоритм для расчета слоистой пластины с пьезоэлектрическими накладками. Рассматривается два вида элементов (рис. 3): базовый элемент (без пьезоэлектриков) и пьезоэлектрический элемент. Для базового элемента уравнения равновесия записываются в стандартной форме. Для пьезоэлектрического элемента уравнения равновесия (21) представляются в виде

киии=-к%Фь-

К(,)Ф +Р + Ро

(22)

где К« - пьезоэлектрические матрицы жесткости; Ф,- векторы электрических

■-«ер

потенциалов; ¥р, Ре - векторы механического и температурного нагружения; индекс нижней и верхней пьезоэлектрических накладок / = Ъ, г.

Электроды

Электроды

Рис. 3. Слоистая пластина с пьезоэлектрическими накладками

После сборки элементов в ансамбль конечно-элементные уравнения (22) могут быть записаны в виде

Ки = ЫФ + Р„

ф

ф,

ф>

,]т.

(23)

где и - глобальный вектор узловых перемещений; К - глобальная механическая матрица жесткости; И - проективная матрица; ¥р, Рв - векторы внешних нагрузок; Ф - напряжение, подаваемое на электроды лицевой поверхности О,, где р = 1, 2, ; 2NÍ - число накладок, расположенных симметрично на верхней

и нижней поверхностях пластины. Решение этой системы осуществляется методом Гаусса для симметричных положительно определенных матриц.

В результате решения системы линейных алгебраических уравнений (23) получаем глобальный вектор перемещений:

U = K-'(R<P + F/1 +Fe). (24)

Рассматривается задача минимизации функционала с ограничениями:

У(Ф) = - (Ü - Vd )т (Ü - Ud) ■+ - 7ФТФ min , (25)

2\ 2

Фр -Фр < 0, -Фр-Ф°<0 (р = 1, 2, (26)

где Vd - заданный вектор перемещений, соответствующий требуемой форме пластины. Параметр регуляризации 7 выбран с целью обеспечения устойчивости алгоритма. Задача (25) решается методом множителей Лагранжа:

(27)

Ч+р-°- (29)

Подставив Ü из (24) в функционал (25) и дифференцируя, получим

= (R^K-1)2^ + у1)ф- RTK-1(Urf - K"!F -К~%), (30)

ЭФ

где I - единичная матрица размера Na х N^. Решение задачи может бьггь найдено методом проб и ошибок. Для реализации этого метода множество индексов / = {l, 2, ...,ЛГа} разбиваем на три подмножества / = /0 и Д U /2 . В качестве начального приближения принимаем /0 = / . Для нахождения неизвестных входных напряжений и множителей Лагранжа , +р требуется решить систему 3Na уравнений. Первые 7Va уравнений системы имеют вид (27). Остальные уравнения системы строятся следующим образом: при р е /0 система дополняется уравнениями Л-р = 0, XN +р = о ; при ре/, - уравнениями +р = 0, Фр = Фр ; при

ре /2 - уравнениями Я,р =0, Фр = -Фр . После нахождения решения системы

уравнений проверяется выполнение неравенств (26). Если для какого-либо индекса одно из неравенств не выполняется, то индекс переводится в другое множество, и заново строится и решается система линейных уравнений. Таким образом, за конечное число шагов может быть найдено решение уравнений (27), (28). Заметим, что

наиболее затратный этап алгоритма состоит в вычислении матрицы жесткости К и ее последующего обращения, что выполняется только на начальной стадии алгоритма.

В четвертой главе рассмотрены три актюаторные задачи для слоистых композитных пластин при наличии термоэлектромеханических воздействий на основе разработанного в диссертации конечного элемента TMS3DTE.

Наибольший интерес представляет задача расчета консольной шестислойной углепластиковой пластины (рис. 4). На внешних поверхностях пластины располагаются 30 пьезоэлектрических накладок из пьезокерамики Gl 195, поляризованных в противоположных поперечных направлениях. Электроды на поверхностях раздела накладок и пластины заземлены. Изучены случаи укладки слоев: а) [45/45/45/-45М5/-45] и б) [30/30/0/0/30/30].

Рис. 4. Консольная слоистая пластина

В первом случае на электроды накладок подаются электрические потенциалы одного знака, что позволяет моделировать растяжение пластины, но в силу перекрестной укладки слоев возникает эффект кручения (рис. 5, а); во втором случае к электродам прикладываются потенциалы разных знаков, что приводит к изгибу пластины с кручением (рис. 5, б). На рисунке 6 показано распределение поперечного перемещения пластины с укладкой [0/45/-45/-45/45/0] вдоль продольной координаты. Приводится сравнение с экспериментальными данными (□) и результатами расчета на основе трехмерного изопараметрического элемента (О).

Рис. 5. Деформированные конфигурации лицевых поверхностей пластины:

нагружсние <ра = 188,8 В

CJ 0,04 -

-TMS3DTE

о Tau, Vu-Quoc

0,2 0,4 0,6 0,8 1 Координата 0]/о

Рис. 6. Перемещение срединной поверхности пластины

ф' * ■ <14 ' ..'•¡■.л.':

ф. . ш, ¡1 щш

Фи '¿Щш

Ф[2 ф,

| Г : |||| Ф.)

Пятая глава посвящена задачам оптимизации формы слоистых, пластин при термоэлектромеханических воздействиях.

Изучена консольная четырехслой-ная углепластиковая пластина (рис. 7). К внешним поверхностям пластины приклеены два пьезоэлектрических слоя из пьезокерамики 01195. На каждую лицевую поверхность пьезоэлектрических слоев нанесены двадцать пять квадратных изолированных друг от друга электродов одинаковых размеров. Расстояние между ними считается пренебрежимо малым. Решены задачи трансформации срединной плоскости пластины в плоскость, повернутую вдоль закрепленной стороны на некоторый угол (рис. 8, а), и в цилиндрическую поверхность с образующей в форме синусоиды (рис. 8, б).

Использование выбранной конфигурации электродов на внешних поверхностях пьезоэлектрических накладок приводит к достаточно хорошим результатам, поскольку отклонение расчетной формы от требуемой незначительно.

Электроды

А84/3501

0,552 мм

Рис. 7. Консольная пластина

б)

Рис. 8. Требуемая конфигурация срединной плоскости пластины (слева) и ее расчетная конфигурация (справа)

Рассмотрена секториальная алюминиевая пластина с закрепленными краями. На нижней поверхности пластины наклеены 12 накладок из пьезокерамики Р2Т-5А со сторонами, параллельными координатным линиям (рис. 9, б). Пластина при начальной температуре окружающей среды 20 °С подвергается температурному нагружению: 20 °С на нижней и 50 °С на верхней поверхности.

Рис. 9. Секториальные слоистые пластины

Решена задача определения оптимальных напряжений, которые позволяют приблизить пластину к ее начальному состоянию. Решение задачи получено в двух постановках: без ограничения на подаваемые напряжения (рис. 10, б) и с ограничением на напряжение с верхней границей 150 В (рис. 10, в). Конфигурация пластины при температурном нагружении показана на рис. 10, а.

¿Шт тшг ш

-0.0140

а)

0.0140

.¡¡И!!!

ШШЪ

шШРш^ж

0.014

Рис. 10. Деформированные конфигурации нижней поверхности пластины

В заключении подводятся итоги исследования:

1. Разработана 7-параметрическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, основанная на линейной аппроксимации тангенциальных перемещений и квадратичной аппроксимации поперечного перемещения по толщине пакета слоев. Модель допускает использование полных уравнений состояния термоэлек-троупругости и точно представляет перемещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

2. Впервые получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для исследования связанных стационарных задач пространственной теории термо-электроупругости для слоистых композитных пластин.

3. Построен новый геометрически точный гибридный четырехузловой конечный элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, позволяющий преодолеть сдвиговое запирание. Конечный элемент предназначен для моделирования связанных электромеханических полей. Для получения матрицы жесткости конечного элемента пластины использовано аналитическое интегрирование, что является особенностью геометрически точного конечного элемента. Именно это обстоятельство позволяет существенно повысить производительность конечно-элементного кода.

4. На основе разработанных алгоритмов построен новый геометрически точный четырехузловой конечный элемент, позволяющий моделировать актюа-торные задачи для слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными электродами.

5. Разработан алгоритм оптимизации формы слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками. Он основан на задаче минимизации целевого функционала с учетом и без учета ограничений на величину напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических накладок.

6. Разработанные численные алгоритмы реализованы в пакете программ для ЭВМ, написанных на языке программирования Delphi и предназначенных для моделирования в пространственной постановке слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками. Графическая визуализация результатов численного моделирования осуществлялась с использованием вычислительной среды MATLAB.

7. Проведено сопоставление полученных численных результатов с экспериментальными данными, а также с результатами решения актюаторных задач для прямоугольных композитных пластин на основе трехмерных изопараметрических конечных элементов термопьезоэлектричества.

8. Впервые представлены результаты вычислительного эксперимента по моделированию в пространственной постановке секториальных пластин с изотропными и анизотропными пьезокерамическими актюаторами при термомеханических воздействиях.

В приложении приведен листинг программы на встроенном языке вычислительной среды MATLAB для визуализации численных результатов моделирования.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах из перечня ВАК:

1. Плотникова, C.B. Расчет композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками / C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2009. - Т. 15, № 2. — С. 380 — 391.

2. Плотникова, C.B. Применение трехмерного элемента оболочки для расчета композитных конструкций с пьезоэлектрическими накладками / C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 375 - 386.

3. Плотникова, C.B. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками, подверженных термомеханическому воздействию / C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. Вернадского. - 2011. - № 3(34). - С. 72 - 80.

Прочие публикации:

1. Plotnikova, S.V. Piezoelectric four-node geometrically exact solid-shell element with seven displacement degrees of freedom / S.V. Plotnikova, M.G. Kulikov // International Conference on Computational and Experimental Engineering and Sciences, ICCES 2009. - Phuket, Thailand, 2009. - P. 84 - 86.

2. Куликов, М.Г. Расчет адаптивных многослойных тонкостенных конструкций, подверженных температурному воздействию / М.Г. Куликов, C.B. Плотникова // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. - 2010. - № 2(18). -С. 7-17.

3. Плотникова, C.B. Построение трехмерного элемента для расчета композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками / C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. XXIII Между-нар. науч. конф. - Саратов, 2010. - Т. 5. - С. 43 - 47.

4. Куликов, М.Г. Моделирование слоистых пластин с пьезоэлектрическими накладками при температурном воздействии / М.Г. Куликов, C.B. Плотникова // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. XXIII Междунар. науч. конф. - Саратов, 2010. - Т. 5. - С. 55 - 57.

5. Kulikov, M.G. Calculation of adaptive multilayered thin-walled structures subjected to temperature loading / M.G. Kulikov, S.V. Plotnikova // Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture.-2011,-№2.-P. 14-27.

6. Куликов, М.Г. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками / М.Г. Куликов // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. XXIV Междунар. науч. конф. - Киев, 2011. - Т. 5. -С. 14-17.

7. Плотникова, C.B. Геометрически точный трехмерный конечный элемент пьезоэлектрической композитной оболочки TMS3DE9 для решения связанной задачи электроупругости / C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615098, 29 июня 2011 г.

8. Куликов, М.Г. Геометрически точный трехмерный пьезоэлектрический конечный элемент оболочки TMS3DTE9 для управления формой тонкостенных слоистых композитных конструкций под действием термоэлектромеханического нагружения / М.Г. Куликов, C.B. Плотникова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614436, 10 августа 2011 г.

Подписано в печать 09.11.2011. Формат 60 х 84/16.0,93 усл. печ. л., 1 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ №

Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ» 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14

ВВЕДЕНИЕ.

1 Аналитический« обзор работ по теме исследования

1.1 Пространственные математические модели пластины ..

1.2 Изопараметрические и геометрически точные трехмерные конечные элементышластины .;. 14;

1.3 Решение связанной задачи для пьезоэлектрических слоистых пластин в пространственной постановке.:.;. 16?

1.4 Методы оптимизации формы.слоистых композитных пластин с

•'V пьезоэлектрическими-накладками;.

2 Математическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины

2.1 Постановка задачи трехмерной-теории термоэлектроупрутости..

2.2 Смешанное вариационное уравнение трехмерной теории >, термоэлектроупругости --------------------------------------------.:. 23;

2.3 .Уравнения состояния термоэлектроупругости для слоистой пластины. ■;.

2.4 Распределение перемещений и деформаций по толщине слоистой илЗ-Стины •■■>

2.5 Распределение электрического и температурного полей по толщине слоистой пластины—. . ; 30;;

2.6 Смешанное вариационное уравнение термоэлектроупругости для слоистойшластины —

3 Алгориъмы численного решения стационарных задач термоэлектроупругости дляшьезоэлектрических слоистых пластин.

3.1 Конечно-элементные интерполяции перемещений^ деформаций; потенциала электрического поля*и температуры .. —.—

3.2 Метод введенных деформаций и результирующих напряжений

3 ;3' Разрешающие уравнения геометрически точного конечного элемента пьезоэлектрической ¡слоистой пластины . —.

3;4 Алгоритм расчета слоистой пластины с пьезоэлектрическими накладками.

3.5 Алгоритм оптимизации формы пластины с пьезоэлектрическими накладками при термомеханических воздействиях.

4 Решение актюаторных задач для пьезоэлектрических слоистых пластин при термоэлектромеханическом нагружении

4.1 Слоистая пластина при электромеханическом нагружении.

4.2 Консольная слоистая пластина с пьезоэлектрическими накладками при электрическом» нагружении-.

4.3 Слоистая пластина спьезоэлектрическими накладками при термоэлектрическом нагружении.

4.3.1 Противоположные края шарнирно оперты и свободны.

4.3.2 Пластина с шарнирно опертыми кромками.

5 Оптимизация формы слоистой пластины с пьезоэлектрическими накладками.

5:1 Оптимизация формы прямоугольной слоистой пластины при, температурном нагружении.

5.1.1 Пластина с изотропными пьезоэлектрическими накладками . і.

5.1.2 Пластина с анизотропными пьезокерамическими накладками. ■

5.2 Оптимизация-формы консольной-слоистой балки за-счет использования обратного пьезоэлектрического эффекта. >

5.3 Оптимизация формы консольной слоистой пластины за счет использования обратного пьезоэлектрического эффекта.

5.3.1 Трансформация срединной плоскости пластины в плоскость, повернутую вдоль закрепленной'стороны на некоторый угол.

5.3.2 Трансформация срединной плоскости пластины в-цилиндрическую поверхность.

5.4 Оптимизация формы секториальной пластины при термомеханическом-нагружении.

5.4.1 Секториальная пластина под действием равномерно распределенной нагрузки.

5.4.2 Секториальная пластина под действием температурной нагрузки.

Актуальность проблемы. В последние годы устройства и материалы на основе пьезоэлектриков проникли во многие отрасли промышленности и интенсивно используются, в частности, в адаптивных тонкостенных конструкциях различного назначения. Подобные конструкции с внедренными в них пьезо-керамическими или пьезополимерными материалами способны в значительных пределах менять свои технические параметры в соответствии с условиями их эксплуатации или типом выполняемых задач. Можно привести примеры их использования в авиационной и ракетно-космической технике, а также в многочисленных инженерных приложениях, связанных с обработкой! акустических сигналов, с проектированием и эксплуатацией адаптивных космических антенн и радиотелескопов.

Расчет И1 моделирование тонкостенных.композитных конструкций1 является одной из фундаментальных проблем механики,и,особенно актуально в контексте разработки и проектирования адаптивных конструкций: В^это№ связи практический интерес представляет моделирование механизма деформирования тонкостенных пьезоэлектрических слоистых конструкций, подверженных термомеханическим* воздействиям. Вг последнее время предложены различные методы расчета термоэлектроупругого состояния, тонкостенных конструкций с пьезоэлектрическими актюаторами, внедренными в тело конструкции или закрепленными на ее поверхностях. Такие конструкции получили широкое распространение в технике, поскольку являются технологичными и позволяют эффективно управлять их деформациями.

При создании алгоритмов расчета подобных конструкций решающее значение имеет быстрота получаемого исходного1 кода, что позволяет осуществлять управление адаптивной конструкцией в режиме реального времени. В большинстве работ, посвященных разработке алгоритмов расчета и моделирования пьезоэлектрических актюаторов используются трехмерные изопарамет-рические конечные элементы, как правило, в форме метода перемещений. Особенностью такого подхода является единообразная интерполяция начальной и деформированной конфигураций конструкции в глобальной декартовой системе координат, что дает возможность корректно описать перемещения ее как жесткого тела. Однако изопараметрический элемент является неэффективным при его использовании в современных адаптивных тонкостенных конструкциях, для которых важно быстро реагировать на нежелательные внешние термомеханические воздействия; Это* делает проблему построения1 альтернативных геометрически-точных конечных элементов свободных от перечисленных недостатков весьма актуальной. Термин «геометрически точный» означает, что все геометрические параметры конструкции* вычисляются точно в узловых точках. В результате становится возможным использовать инновационное аналитическое интегрирование в пределах конечного элемента. Именно* это- обстоятельство позволяет существенно повысить производительность конечно-: элементного кода и эффективно использовать его в микропроцессорах адаптивных систем и конструкций.

В обширной литературе по методу конечных элементов (МКЭ)-установле-но, что гибридные конечные элементы обладают рядом преимуществ по сравнению с конечными элементами в форме метода перемещений, так как они не подвержены сдвиговому и мембранному запираниям и не* допускают жестких ложных смещений (механизмов). Однако'для построения таких элементов требуется применение смешанного вариационного принципа Хеллингера-Рейсснера или более общего вариационного принципа Ху-Васидзу [1]. Таким образом, возникает актуальная задача обобщения смешанного вариационного принципа Ху-Васидзу с целью его использования в стационарных моделях термопьезоэлектричества [2].

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются слоистые композитные пластины с пьезоэлектрическими накладками.

Предметом исследования являются математическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины при термоэлектромеханических воздействиях; алгоритмы на основе МКЭ с целью численного моделирования таких конструкций; алгоритм оптимизации формы, путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта. Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования-является численное моделирование и оптимизация;; формы слоистых композитных пластин произвольной геометрии с пьезоэлектрическими накладками при наличии термомеханических воздействий.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:; . ' -" •'■•';■■'.

- разработана 7-параметрическая ? модель слоистой пластины с непрерывно или дискретно распределенными пьезоэлектрическими; слоями на. основе деформационных, соотношений, точно представляющих перемещение пластины как жесткого целого в системе криволинейных координат отсчетной поверхности; ■ .

- получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу с целью решения связанных стационарных, задач. термоэлектроупругости дляе пьезоэлектрических слоистых пластин; , , ' . . ; ;

- разработан геометрически точный четырехузловой элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, основанный на билинейной интерполяции перемещений и потенциала электрического поля внутри конечного элемента, для моделирования связанных электромеханических полей;

- построен геометрически точный гибридный конечный элемент слоистой пластины с пьезоэлектрическими; накладками; и дискретно * расположенными на их лицевых поверхностях электродами. с целью решения актюаторных задач путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта;:

- предложены эффективные алгоритмы для численного моделирования пьезоэлектрической 1 слоистой композитной пластины.при термоэлектромехаии-ческом нагружении, в которых используется инновационное аналитическое, интегрирование в пределах конечного элемента;

- разработан алгори тм оптимизации; формы слоистой композитной пластины, с пьезоэлектрическими накладками; основанный на решении задачи минимизации целевого функционала с учетом и без учета ограничений на величину напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических накладок;

- разработан пакет программ на языке программирования Delphi для численного моделирования полей перемещений, деформаций, напряжений и потенциала электрического поля в слоистой композитной пластине с непрерывно и дискретно распределенными пьезоэлектрическими накладками и электродами, исходный код которого может быть использован для программирования микропроцессоров адаптивных тонкостенных конструкций;

- проведено численное моделирование слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и электродами различных конфигураций, в том числе оптимальное управление формой секториальной пластины с пьезоэлектрическими накладками при температурных и механических воздействиях;

- разработана методика графической визуализации результатов1 численного моделирования с использованием вычислительной среды MATLAB.

Научная новизна исследования.

1. Построена 7-параметрическая модель пьезоэлектрической'слоистой пластины, основанная на линейной аппроксимации тангенциальных перемещений и квадратичной аппроксимации поперечного перемещения по толщине пакета слоев. Модель допускает использование полных уравнений состояния термо-электроупругости и дает возможность точно представлять перемещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

2. Впервые получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для исследования связанных стационарных задач пространственной теории термо-электроупругости для слоистых композитных пластин.

3. Построен новый геометрически точный гибридный четырехузловой конечный элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, позволяющий! преодолеть сдвиговое запирание. Конечный элемент предназначен для моделирования связанных электромеханических полей. Для получения матрицы жесткости элемента пластины использовано инновационное аналитическое интегрирование, что является прерогативой геометрически точного конечного элемента.

4. На основе разработанных алгоритмов построен геометрически точный четырехузловой конечный элемент, позволяющий моделировать актюаторные задачи для слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными электродами.

5. Впервые представлены результаты вычислительного эксперимента по моделированию секториальных пластин с изотропными и анизотропными пье-зокерамическими актюаторами при термомеханических воздействиях.

Теоретическая и практическая значимость исследования.

Теоретическая значимость заключается в том, что построена удобная для применения в МКЭ, математическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, допускающая использование полных уравнений состояния пространственной теории термопьезоэлектричества; разработаны перспективные геометрически точные гибридные конечные элементы пластины; предложена методика оптимизации формы слоистой композитной пластины путем использования обратного пьезоэлектрического эффекта. <

Практическая значимость заключается в том, что в настоящее время в мировой практике сложилась следующая тенденция. Для расчета тонкостенных композитных конструкций используются трехмерные изопараметрические конечные элементы. Приложение этого подхода для моделирования конструкций, подверженных термоэлектромеханическому нагружению, с помощью коммерческого программного обеспечения АВАС^Ш, АМБУЗ и т.п., выявило необходимость проведения масштабных вычислений и, как следствие, невозможность его применения в системах управления адаптивными тонкостенными конструкциями. Подход, разработанный в диссертации, открывает более широкие перспективы при моделировании и эксплуатации адаптивных тонкостенных конструкций из слоистых композитов. Во-первых, разработанный пакет прикладных программ может быть использован для численного моделирования полей перемещений, деформаций, напряжений и потенциала электрического поля в слоистой композитной пластине с непрерывно и дискретно распределенными пьезоэлектрическими накладками. При этом имеется возможность нахождения напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических актюаторов, для оптимизации формы слоистой композитной пластины. Во-вторых, конечно-элементный код, реализованный на языке программирования Delphi, может быть использован для программирования* микропроцессоров адаптивных систем с целью управления формой элементов тонкостенных конструкций

Достоверность исследования. Результаты численного моделирования представленных актюаторных задач для слоистых композитных пластин являются достоверными и хорошо согласуются с численными решениями трехмерных задач теории термопьезоэлектричества и результатами экспериментов. Это объясняется принятыми гипотезами о линейном распределении тангенциальных перемещений и квадратичном распределении поперечного перемещения по толщине пакета слоев, что дает возможность моделировать напряженно-деформированное состояние пластины в пространственной постановке.

Диссертационное исследование проводилось Bv соответствии с планами работ по научным проектам:

- АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)». Подраздел «Проведение фундаментальных исследований в области естеt ственных наук», № 2.1.1/660, № 2.1.1/10003 «Исследование многослойных композитных тонкостенных конструкций, подверженных термоэлектромеханическому нагружению, на основе геометрически точных трехмерных конечных элементов оболочки»;

- РФФИ № 08-01-003 73-а «Контактное взаимодействие упругих многослойных композитных оболочек при произвольно больших поворотах».

Основные результаты работы докладывались в 2009-2011 годах на международных конференциях «Computational and5 Experimental Engineering and Sciences» и «Математические методы в технике и технологиях». В целом диссертация обсуждалась на научном семинаре имени Э.И. Григолюка и секции НТС Института механики МГУ имени М.В. Ломоносова, научном семинаре Тамбовского государственного технического университета по математическому моделированию и системному анализу.

По теме диссертации опубликовано пять статей [3-7], в том числе три статьи в журналах из перечня ВАК [3, 5, 6], четыре доклада на международных конференциях [8-11]. В государственном Реестре программ для ЭВМ зарегистрированы пакеты прикладных программ [12, 13]. Смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для решения связанной стационарной задачи термоэлек-троупругости, 7-параметрическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины и геометрически точные билинейные конечные элементы слоистых пластин с непрерывно или дискретно расположенными пьезоэлектрическими накладками на их лицевых поверхностях построены совместно с научным руководителем C.B. Плотниковой. Остальные результаты диссертационной работы принадлежат лично соискателю.

1 Аналитический обзор работ по теме исследования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана 7-параметрическая модель пьезоэлектрической слоистой пластины, основанная на линейной аппроксимации тангенциальных перемещений и квадратичной аппроксимации поперечного перемещения по толщине пакета слоев. Модель допускает использование полных уравнений состояния тер-моэлектроупругости и точно представляет перемещения пластины как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

2. Впервые получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для исследования связанных стационарных задач пространственной теории термо-электроупругости для слоистых композитных пластин. S

3. Построен новый геометрически точный гибридный четырехузловой конечный элемент пьезоэлектрической слоистой пластины, позволяющий преодолеть сдвиговое запирание. Конечный элемент предназначен.для моделирования , связанных электромеханических полей. Для получения матрицы жесткости элемента пластины использовано инновационное аналитическое интегрирова- • « ниє, что является прерогативой геометрически точного конечного элемента. Именно это обстоятельство позволяет существенно повысить производитель-' ность конечно-элементного кода.

4. На основе разработанных алгоритмов построен новый геометрически точный четырехузловой конечный элемент, позволяющий моделировать актюа-торные задачи для слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками и дискретно расположенными электродами.

5. Разработан алгоритм оптимизации формы слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками. Он основан на задаче минимизации целевого функционала с учетом и без учета ограничений на величину напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлектрических накладок.

6. Разработанные численные алгоритмы реализованы в пакете программ для ЭВМ, написанных на языке программирования Delphi и предназначенных для моделирования в пространственной постановке слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками. Графическая визуализация результатов численного моделирования осуществлялась с использованием вычислительной среды МАТЬАВ.

7. Проведено сопоставление полученных численных результатов с экспериментальными данными, а также с результатами решения актюаторных задач для прямоугольных композитных пластин на основе трехмерных изопарамет-рических конечных элементов термопьезоэлектричества.

8. Впервые представлены результаты вычислительного эксперимента по моделированию в пространственной постановке секториальных пластин с изотропными и анизотропными пьезокерамическими актюаторами при термомеханических воздействиях.

1. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

2. Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новац-кий. -М.: Мир, 1986. 160 с.

3. Плотникова, С.В. Расчет композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками / С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник ТГТУ. 2009. - Т. 15, №2.'-С. 380-391.

4. Плотникова, С.В. Применение трехмерного элемента оболочки для расчета композитных конструкций с пьезоэлектрическими накладками /С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник ІГТУ. 2010. - Т.16, № 2. - С. 375-386.

5. Плотникова, С.В. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками, подверженных термомеханическому воздействию / С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник Университета им. Вернадского. — 2011. -№3(34).-С. 72-80.

6. Куликов, М.Г. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками: / М.Г. Куликов // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов XXIV Международной научной конференции. Т. 5.-Киев, 2011.-С. 14-17.

7. Timoshenko, S .P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars / S.P. ;Timoshenlco // Philosophical Magazine and Journal of Science, Ser. 6. 1921. - Vol. 41. - P. 744-746.

8. Mindlin, R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates / R.D. Mindlin // Journal of Applied Mechanics. -1951. Vol. 18,N1.-P. 31-38.

9. Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. Т.5 / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов. Mi: ВИНИТИ; 1973. - 272 с:.

10. Рйкардс, Р.Б. Устойчивость оболочек из композитных материалов / Р.Б. Рикардс, Г.А. Тетере. Рига: Зинатне, 1974. -270 с.

11. Галимов, К.З. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига / Под редакцией К.З; Галимова. Казань: КГУ, 1977. - 212 с.

12. Григоренко, Я.М. Методы расчета оболочек.Теория оболочек переменной жесткости. Т. 4- / ЯМ; Григоренко; А.Т. Василенко. — Киев: Наукова думка, 1981.-543 с.

13. Григолюк, Э.И; Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин / Э;И. Григолюк, Г.М. Куликов. — М.: Машиностроение, 1988. -288 с.

14. Корнишин; М:С. Вычислительная геометрия!В1задачах;механикиюболо-' чек / Mí©: Корнишищ В^НШаймушин. МЬНаука^ 1989; - 208 с.

15. Григолюк, Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э:И. Григолюк, В.И; Мамай. М.: Наука, 1997. - 272 с.

16. Григолюк, Э.И. Статика упругих слоистых оболочек / Э.И. Григолюк, Е.А. Коган.-М.: МГУ, 1999.-215 с.

17. Андреев, А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания* / А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский. Новосибирск: Наука, 2001. - 288 с. ■■• >

18. Григолюк, Э.И. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын. — Mí: хМГТУ «МАМИ», 2004. 162 с.

19. Kim, Y.H. A solid dement formulation for large deflection analysis of composite shell structures / Y.H. Kim, S.W. Lee // Computers & Structures. 1988. -Vol. 30, N1-2.-P. 269-274.

20. Kulikov, G.M. Finite deformation plate theory and large rigid-body motions /

21. G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // International Journal of Non-Linear Mechanics. —t '2004. Vol. 39; N 7. - P. 1093-1109.

22. Bischoff, Mi Models and, finite elements for thin-walled structures / M;. Bischoff, W.A. Wall, K.U. Bletzinger, E. Ramm» // Encyclopedia of Computational Mechanics. Vol. 2: Solidsand Structures. New York:-Willey,'2004. - P.' 59-137.

23. Kulikov, G.MI On the use of ^-parameter multilayered; shell models in structural mechanics / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Trans. TSTU. 2004. - Vol. 10, N 4. -p: 1042-1052.

24. Григолюк, Э.И. Пути развития теории упругих многослойных пластин и оболочек / Э.И'. Григолюк, Г.М. Куликов // Вестник ТГТУ. 2005; - Т. 11«, N 2А. -С. 439-448.

25. Parisch, Н. A continuum-based shell theory for non-linear applications / H. Parisch // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. - Vol. 38, N 11. — P.l 855-1883.

26. Sansour, C. A theory and finite element formulation-of shells at finite deformations involving thickness change: circumventing the use of a rotation tensor / C. Sansour // Archive of Applied Mechanics. 1995. - Vol. 65; N 3. - P. 194-216.

27. Basar, Y. Composite laminates: nonlinear interlaminar stress analysis by multi-layer shell elements / Y. Basar, M. Itskov, A. Eckstein // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. - Vol. 185, N 2-4. - P. 367-397.

28. Kulikov G.M1. On the first-order seven-parameter plate theoiy / G.M. Kulikov // Trans. Tambov State-Technical University. 2007. - Vol'. 13, N 2B. - P. 518-528.

29. Зенкевич, О.' Конечные элементы ш аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. - 318 с.

30. Bathe, K.J. Finite Element Procedures! / K.J1 Bathe. — New Jersey: Prentice Hall, 1996.- 1037 p.

31. Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method. Volume 1: The Basis, (5th ed.) / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. Oxford: Butterworth Heinemann, 2000. - 689 P

32. Куликов,- Г.М. Деформационные соотношения, точно представляющие большие перемещения-оболочки как жесткого'тела / Г.М. Куликов // Механика твердого тела. 2004. - Т. 39, № 5. - С. 130-140.

33. Kulikov, G.M. Simple and' effective elements based upon. Timoshenko-Mindlin shell theory / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova.// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2002. - Vol- 191, N 11-12. - P.l 173-Г187.

34. Куликов, Г.М. Исследование локально* нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 1'. Геометрически линейная постановка / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова // Механика композитных материалов. 2002. - Т. 38, № 5. - С. 607-620.

35. Buchter, N. Three-dimensional extension of nonlinear shell formulation based on the enhanced assumed strain concept / N. Buchter, E. Ramm, D. Roehl //1.ternational Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1994. — Vol., 37, N 15. -P: 2551-2568.

36. Cho, C. On the assumedstrainformulation for geometrically nonlinear analysis / C. Cho, S.W. Lee // Finite, Elements in Analysis and Design. 1996. - Vol. 24, N1. - P.* 31-47. ' ■

37. Size; K.Y. An; explicit hybrid? stabilized eighteen-node solid element; for thinv shell analysis / K.Y. Sze, S. Yi, M.H. Tay // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997. - Vol. 40, N 10.-P. 1839-1856.

38. Klinkel, S. A continuum based three-dimensional: shell element for laminated structures / S. Klinkel, E. Gruttmann, W. Wagner // Computers; and; Structures. -1999. Vol. 71, N 1. - P. 43-62.

39. Eee, K. A geometrically nonlinear nine-node solid shell element formulation with;reduced sensitivity to mesh distortion / K. Lee, C. Cho, S.W. Lee // Computer Modeling in Engineering and Sciences. 2002.-Vol. 3,N3.-P. 339-349.

40. Basar, Y. Finite rotations andUarge strains in finite element shell analysis / Y. Basar, O; Kintzel // Computer Modeling in Engineering and Sciences. 2003. - Vol. 4,N2.-P. 217-230.

41. Sze, К. Y. An eight-node hybrid-stress solid-shell element for geometric nonlinear analysis of elastic shells / K. Y. Sze, W. K. Chan, Т. H. H. Pian // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2002. - Vol. 55, N 7. - P. 853-878.

42. Kulikov, G.M. Finite element formulation of straight composite beams undergoing finite rotations / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Trans. TSTU. 2001. -Vol. 7, N4.-P. 617-633.

43. Куликов,' Г.М. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 2. Геометрически нелинейная постановка / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова«// Механика композитных материалов. 2002. - Т. 38, № 6. - С. 815-826.

44. Куликов, Г.М. Контактная задача1 для» геометрически4 нелинейной» оболочки типа Тимошенко / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова // ПММ. 2003. - Т. 67, №s6. - С. 940-953.

45. Kulikov, G.Ml Non-conventional non-linear two-node hybrid stress-strain curved beam elements / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Finite Elements in Analysis and Design. 2004. - Vol. 40, N14.- P.1333-1359.

46. Kulikov, G.M. Equivalent single-layer and layer-wise shell theories,and rigid-body motions Part II: Computational aspects / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2005. - Vol. 12, N 5. - P. 331340.

47. Kulikov, G.M. Geometrically exact assumed stress-strain multilayered solidshell elements based on the 3D analytical integration / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computers and Structures. 2006.- - Vol. 84, N 19-20. - P. 1275-1287.

48. Kulikov, G.M. Assumed stress-strain quadrilateral plate elements; based on analytical and; numerical' integration / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Trans. Tambov State Technical University. 2006. - Vol. 12, Nl. -P. 107-121.

49. Kulikov, G.M. Hybridssolid-plate:quadriliaterals; Ant assessment* and? new developments / G:Mi Kulikov, S.V. Plotnikova // Trans. Tambov. State Technical5 lini-versity. -2008. Vol. 14, N 4.-P. 928-938.

50. Gopinathan, S:V. A review andicritique of theories;for;piezoelectric;laminates / S.V. Gopinathan; V.V. Varadán, V.K. Varadan // Smart Materials and Structures. — 2000. Vol. 9, N 1. - P: 24-48.

51. Benjeddou, A. Advances in piezoelectric finite element modeling of adaptive structural elements: A survey / A. Benjeddou // Computers and Structures. 2000. -Vol. 76,N1-3.-P. 347-363.

52. Brank, B. On prediction of 3d stress state in elastic shell by higher-order shell formulations / B. Brank, A. Ibrahimbegovic, U. Bohinc // Computer Modeling in Engineering and Sciences. 2008. - Vol. 33, N l.-P. 85-108.

53. Lee, K. An assumed' strain solid shell element formulation, with transversely quadratic displacement / K. Lee, S.W. Lee // Computer Modeling лп Engineering and Sciences. 2008. - Vol. 34, N 3. - P. 253-272.

54. Arciniega, R'.A. Tensor-based finite element formulation for geometrically nonlinear analysis of shell structures / R'.A. Arciniega, J.N. Reddy // Computer Methods in Applied'Mechanics and'Engineering. 2007. - Vol. 196, N>4-6. - P. 10481073.

55. Куликов, Г.М. Расчет композитных конструкций под действием следящих нагрузок с использованием геометрически точного элемента- оболочки /

56. Г.М. Куликов, С.В. ПлотниковаУ/ Механика композитных'материалов. 2009. -Т. 45, № 6. - С. 789-804.

57. Куликов, Г.М. Контактное взаимодействие композитных оболочек под действием следящих нагрузок с жестким выпуклым основанием / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова // Механика композитных материалов; — 2010. Т. 46; № 1. -С. 61-78'.

58. Белоконь, А.В. Блочные схемы*метода конечных элементов(для динамических задач акустоэлектроупругости / А.В. .Белоконь, В'.А. Еремеев, А.В. Наседкин, А.Н. Соловьев, // ПММ. 2000. - Т. 64, № 3. - С. 381-393.

59. Sze, K.Y. A hybrid stress ANSj solid-shell element and its generalization for smart structure modelling. Part I: Solid-shell element formulation / K.Y. Sze, L.Q.

60. Yao // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2000. - Vol. 48, N4.-P. 545-564.

61. Lee, S. A nine* node assumed strain shell element for analysis of a coupled electro-mechanical system / S. Lee, N.S. Goo, H'.C. Park, K.J. Yoon, C. Cho // Smart Materials and Structures. 2003. - Vol. 12, N 3. - P. 355-362.

62. Sze, K.Y. Electric assumption for.piezoelectric laminate analysis. / K.Y. Sze, X.M. Yang, H. Fan // International Journal of Solids and< Structures. 2004: - Vol. 41,N9-10.-P. 2363-2382.

63. Klinkel, S. A geometrically non-linear piezoelectric solid shell element based on a mixed multi-field* variational formulation / S. Klinkel, W. Wagner // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2006. - Vol. 65, N 3. - P. 349-382.

64. Klinkel, S. A piezoelectric solid shell element based on a mixed variational formulation for geometrically linear andnonlinear applications / S. Klinkel, W. Wagner // Computers and Structures. 2008\ - Vol. 86, N 1-2. - P. 38-46.

65. Lentzen, S. Nonlinearly Coupled- Thermopiezoelectric Modelling and FE-Simulation of Smart Structures. Fortschritt-Berichte VDI, Reihe 20, Nr. 419 / S. Lentzen. -Düsseldorf: VDI Verlag, 2009. 218 S.

66. Kulikov, G.M. Geometrically exact four-node piezoelectric: solid-shell element / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova //, Mechanics of Advanced Materials and; Structures; 2008;,- Vol. 15, N 3-4. - P. 199-207.

67. Куликов, Г.М. Связанная задача электроупругости для: слоистой композитной оболочки / Г'.М. Куликов; С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник ТГТУ. -2010. — Т. 16, № 3. — С. 610-624.

68. Koconis, D: В. Shape control' of composite plates and shells with embedded actuators; III Desired! shape: specified / D.B. Koconis, L.P; Kollar, G.S. Springer // Journal of Composite Materials. 1994. - Vol: 28, N 5. - P. 459-482.

69. Tong,, D. Optimal shape control of composite thin plates with piezoelectric actuators / D. Tong,.RE. Williams^ S^R. Agrawali // Journal of.Intelligent Material Systems and Structures. 1998. - Vol. 9, N 6.- P. 458-467.';.

70. Chandrashekhara, K. Adaptive shape control of composite beams with piezoelectric actuators / K. Chandrashechara , S. Varadarajan // Journal-of Intelligent Material Systems and Structures. 1997. - Vol; 8, N 2. - P. 112-124.

71. Varadarajan, S. Adaptive shape'control1 of laminated!composite plates using piezoelectric materials / S. Varadarajan, K. Chandrashekhara, S. Agarwal // AIAA Journal. -1998. Vol; 36, N 9:,- P. 1694-1698; . ; ; :

72. Liew, K.M. Active control of FGM shells to^temperature:gradient via piezoelectric sensor/actuatorpatches/ K.Mi biew, XCQ: He; T.Y. Ng- S^ Kitipomchaif// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 20021 - Vol; 55, N 6. -P. 653-668.

73. Irschik, H. A review on static and dynamic shape control of structures by piezoelectric actuation / Hi Irschik // Engineering Structures. — 2002. Vol. 24, N 1. - P. 5-11.

74. Frecker, M.I. Recent advances in optimization of smart structures and actuators / M.I. Frecker // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2003. — Vol. 14, N 4-5. - P. 207-216.

75. Figueitedo, I.N. Optimal control of piezoelectric anisotropic plates / IiN. Fi-gueiredo, G. Stadler // Proceedings of the III European Conference on Computational Mechanics. 2006. - 8p.

76. Nagaya1, K. Deflection-shape control of a flexible beam by using shape memory allow wires under the genetic algorithm5 control / K. Nagaya, H. Ryu // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1996. - Vol. 7, N 3. - P: 336341.

77. Han, J.H. Optimal placement of piezoelectric1 sensors and. actuators foe vibration control of a composite plate using-genetic algorithms / J.H. Han, I. Lee7/ Smart1 Materials and Structures. 1999. - Vol. 8, N 2. - P.257-267.

78. Sadri, A.M. Modelling and.optimal placement of piezoelectric actuators in isotropic plates using genetic algorithms / A.M. Sadri, J'.R'. Wright, R.J. Wynne // Smart Materials and Structures. 1999. - Vol.8, N 4. - P: 490-498.

79. Balakhrishnan, A.V. Shape-control of plates with piezo actuators and collocated position / rate sensors / A.V. Balakhrishnan // Applied Mathematics and Computation. 1994. - Vol: 63, N 2-3. -P: 213-234.

80. Bai, R.X. Shape control in composite laminates using piezoelectric actuators considering thermal deformation / R.X. Bai, H.R. Chen, Q: Wang, C. Yan // Advanced Materials Research. 2008. - Vol. 32. - P. 125-130:

81. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Ра-ботнов. -М.: Наука, 1988. 712 с.

82. Kulikov, G.M. Efficient mixed Timoshenko-Mindlin shell elements / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2002. - Vol. 55, N 10. - P. 1167-1183.

83. Kulikov G.M. A family of ANS four-node exact geometry shell elements in general convected curvilinear coordinates / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2010. - Vol. 83, N 10. - P. 1376-1406.

84. Saravanos, D.A. Mixed laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures / D.A. Saravanos // AIAA Journal. 1997. - Vol. 35, N8.-P. 1327-1333.

85. Карманов, В.Г. Математическое программирование / В.Г. Карманов. -М.: Физматлит, 2004. 264 с.

86. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехниц-кий. -М.: Наука, 1977. 415 с.

87. ИЗ. Crawley, E.F. Induced strain actuation of isotropic and anisotropic plates / E.F. Crawley, K.B. Lazarus // AIAA Journal. 1991. - Vol. 29, N 6. - P. 944-951.

88. Ha, S.K. Finite elemental analysis of composite structures containing distributed piezoceramic sensors and actuators / S.K. Ha, C. Keilers, F.-K. Chang // AIAA Journal. 1992. - Vol. 30, N 3. - P. 772-780.