автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и алгоритмы исследования бифуркационных явлений в негладких динамических системах

На правах рукописи

Халилова Мохчехра Шавкатовна

Моделирование и алгоритмы исследования бифуркационных явлений в негладких динамических

системах

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 НОЯ 2012

Душанбе - 2012

005055193

Работа выполнена в Институте математики Академии наук ■ Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физико-математических на.ук,

Нуров Исхокбой Джумаевич

Официальные оппоненты: Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич

доктор физико-математических наук, профессор, Вологодский государственный технический университет, кафедра информационных систем и технологий

Муминов Хикмат Халимович доктор физико-математических наук, профессор, директор физико-технического института имени С. Умарова АН Республики Таджикистан

Ведущая организация: Таджикский национальный университет

Защита состоится 28 ноября 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063. г.Душанбе, ул. Айни 299/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан.

Автореферат разослан 12 октября 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Модели с негладкими эффектами имеют важное значение в различных областях науки: в физике и механике (теория фазовых переходов, электричество, магнетизм), в инженерных задачах, в задачах теории управления, в экономике, биологии и др. Модели негладких систем включают в себя дифференциальные уравнения с негладкими, релейными, гистерезисными нелинейностями. Примерами являются динамические модели с сухим трением, модели с перескоками, модели с релейными нелинейностями. возникающие при изучении систем автоматического регулирования температур, напряжения и др.

Многочисленные приложения стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений с негладкими и разрывными правыми частями5. Широкое использование различных переключателей (реле) в системах автоматического управления привело к необходимости построения теории уравнений с релейными нелинейностями. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы в работах многих авторов0,7,8.

Одной из наиболее интересных и в то же время важной с. теоретической II практической точек зрения при изучении динамических моделей является задача о качественном изменении фазового портрета системы при изменении ее параметров в окрестности критических значений. Основным математическим аппаратом, используемым при изучении таких задач, являются теория бифуркаций и теория ветвления решений нелинейных уравнений. У истоков этих теорий были такие ученые как А.М.Ляпунов,.

A.Пуанкаре, Л.Л.Андронов, Л.С.Понтрягин. Существенный вклад в развитие современной теории бифуркаций и теории ветвлений внесли В.И.Арнольд,

B.В.Вайнберг, Н.К.Гаврилов, Дж.Гукснхеймер. Д.Джосеф, Ю.С.Иляшенко, Ж.Йосс, Ю.А.Кузнецов, М.Мак-Кракен, Дж.Маррн, Дж.Марсден, Ф.Такенс, М.Т.Терехин, В.А.Треногин, Ф.Холмс, Л.П.Шпльников и др. Эти теории особенно хорошо и подробно разработаны для систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями.

Значительно меньше исследованы вопросы о бифуркациях для динамических систем, содержащих неаналитическне, негладкие (модульные) или раз-

'Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения г рачрывиои частью.

^Арнольд И.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Нжевек: Редакция журнала. 111 Vi v jiip-ная и хаотическая динамика", 2000. 368 с.

Tdi Bernardo M.,Budd С., СЬашрпеух A.R.. KowaW.yk P.,Nordmaik A.B., Olivar Tost G., Piirioiien P.T. Bifurcations in iiousmoolh dynamical syslem. SIAM Rev., 2008. vol. ,r>0. 1 pp.629 - (>71.

^ЦыпкпH Я.З. Релейные автоматические системы. M. Паука, 1974, "i7lj с.

рывные нелинейности. Методы негладкой теории разрабатывались в трудах А.А.Андронова, Б.Д.Гельмана, М.А.Красносельского, А.Лаеоты, R.I.Leine, А.В.Покровского, Я.З.Цыпкипа, А.Ф.Филиппова и др. Большинство работ, посвященных исследованию таких моделей, имеют прикладную направленность, а предлагаемые в них методы часто носят эвристический характер. Это, в частности, относится к исследованию локального поведения систем в окрестностях неподвижных точек. Здесь почти отсутствуют аналоги известных методов исследования динамических систем с гладкими нелинейностями. Следует отметить, что исследование стационарного состояния динамической системы имеет важное значение. В практически важных случаях именно стационарные состояния оказывают основное влияние на. структуру множества движений.

Задачи исследования бифуркаций в негладких динамических системах, как правило, достаточно сложны, и поэтому при их исследовании эффективным представляется применение численных методов исследования. Здесь особо важна разработка алгоритмов и программ. Представляется также важным, чтобы эти численные методы основывались на качественном исследовании данных моделей.

Настоящая диссертационная работа посвятцсна исследованию различных аспектов бифуркационных задач в ряде неклассических ситуаций, характеризующихся нарушением гладкости правой части системы. Эти исследования, примыкают к работам М.Г.Юмагулова и И.Д.Нурова. Основное внимание в настоящей работе уделяется вопросам разработки методов исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка и которые содержат модульные или кусочно-линейные функции.

Цель работы. В математических моделях, описываемых с использованием аппарата теории динамических систем, провести исследование эффекта бифуркации в случае нарушения гладкости правой части системы в окрестности состояния равновесия, разработать алгоритмы и программы приближенного исследования некоторых важных с теоретической и практической точек зрения соответствующих бнфуркацпопных задач. Для негладких двумерных моделей, содержащих модульные и кусочно-линейные функции, провести качественное и численное исследование фазовых портретов в основных бифуркационных ситуациях, доказать теоремы о признаках локальных бифуркаций. Выявить бифуркационные точки (особые точки), исследовать качественные эффекты негладкостей в бифуркационных явлениях.

Методы исследования. Используются методы математического моделирования, теории нелинейных колебаний, малого параметра, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории функционально-дифференциальных уравнении, теории управления, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задан.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

• разработан новый метод аналитического и численного исследования бифуркаций в системах, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейные функции, позволяющий строить фазовые портреты для основных типов негладких (модульных и кусочно-линейных) динамических систем;

• получены расчетные формулы для бифуркационных решений, возникающих в окрестностях состояний равновесия систем, математические модели которых содержат модульные и кусочно-лнпейные функции;

• разработан пакет программ компьютерного моделирования бифуркационного поведения негладких (модульных и кусочно-линейных) динамических систем.

Практическая и теоретическая значимость. В работе предложен и обоснован метод аналитического и численного исследования бифуркационных задач в динамических системах с негладкими (модульными и кусочно-линейными) правыми частями. Предлагаемый метод может быть использован при исследовании систем управления с релейными пелинейпоетями, моделей с сухим трением, с перескоками, автоматических систем с гистерезисом и т.д. Полученные результаты доведены до расчетных формул и алгоритмов; они программно реализованы в среде МАТЬАВ с использованием возможностей языка С++.

Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Теоремы 2.7 и 2.8 получены совместно с И.Д.Нуровым.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на периодических семинарах в Институте математики АН Республики Таджикистан (2009-2012 гг.); апрельских конференциях Таджикского национального университета (2010-2012 гг.); VIII Всероссийской научно-практической конференции "Современные информационные технологии в науке, образовании н

практике"(г. Оренбург, ОГУ, 2009 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х. (г. Душанбе, '23-24 июня 2010 г.); Международной научной конференции, посвященной 70-летшо члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (г. Душанбе, 28-30 июня 2011 г.); Международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и спектральные задачи"(г. Уфа, БашГУ, 4-5 апреля 2012 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан Шабозова М. Ш. (г. Душанбе, 29-30 июня 2012 г.).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, и трех глав. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 91 наименование.

Краткое содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратко излагается основное содержание работы.

Первая глава (§§1.1-1.3) носит вспомогательный характер и содержит 3 параграфа.

В §1.1 вводятся в рассмотрение динамические системы вида

| = /(*),* ел»,

в которых функция /(ж) является непрерывной в Л™. Для таких систем приведены основные понятия и свойства.

В §1.2 приводятся вспомогательные сведения из теории бифуркаций. Речь в основном, идет об устойчивости состояний равновесий и основных сценариях бифуркаций в динамических системах, описываемых уравнениями вида

х' = F(x, Л), х 6 N > 2, А € Й1. (1)

Приведен также ряд иллюстративных примеров.

В §1.3 приводятся основные положения некоторых методов приближенного исследования задач о бифуркации. В частности, приведены положения метода малого параметра, метода М.А.Красносельского функционализации параметров. В заключение первой главы приводятся иллюстративные примеры негладких динамических системы.

Вторая глава (§§2.1-2.5) содержит основные результаты диссертации, свя-

занные с исследованием бифуркации в негладких динамических системах в окрестностях состояний равновесия.

В этой главе рассматриваются динамические системы, правые части которых не являются гладкими в окрестности состояния равновесия. Изучаются основные сценарии бифуркационного поведения систем в окрестности состояния равновесия, вызванные изменением характера устойчивости решений системы.

Рассмотрим динамическую систему

х! = F{x) (2)

Пусть F(0) = 0. Систему (2) называют гладкой, если существует шар Т(0,6) такой, что для любого х е Т(0,5) существует F^O, А) -матрица Яко-би, которая является непрерывной. Исследуется система (2), для которой гладкость или непрерывность нарушается на некотором N— 1-мерном многообразии 7о, содержащем точку 0. Для простоты будем считать, что многообразие представляет собой гиперплоскость.

Т0 = {х : (х, Ьо) = 0} Этому соответствует рисунок 1.

Рис. 1

Все последующие построения могут быть проведены и для более общих видов многообразий.

В §2.1 основным объектом исследования является нелинейная система (1) с негладкой или даже разрывной в окрестности стационарного решения х = 0

правой частью F(x,X). Предполагаем, что правая часть системы либо пред-ставима в виде

р(т \\ _ / {хМ > О,

Г[Х'Л) \ F2(z,A), (х,Ъо)<0.

где Fi и являются гладкими в окрестности х = 0, либо определяются только при {х,Ьо) > О ИЛИ при (х,Ьо) < 0.

В §2.2 приводятся сведения о модели фазовых переходов в физике. Описываются классификации фазовых переходов 1-го и 2-го родов.

В работе 1 исследована динамическая система, в которой правая часть является непрерывной, но пе дифференцируемой на некоторой гиперповерхности. Коэффициенты системы являлись постоянными. Результаты, полученные в этом параграфе, фактически дополняют исследования [2].

На первом этапе исследуется квазилинейное уравнение второго порядка вида

у" + ау' + Ьу + с\у'\ = 0. (3)

В §2.2 изучается поведение этой системы в окрестности состояния равновесия у = 0. В уравнении(З) бифуркационными параметрами являются ее коэффициенты а, b и с. Предполагаются выполненными условия:

Ь>{а/2)2, \с\<2л/Ь-а. (4)

Теорема 2.7. Пусть выполнены условия (4) и пусть а > 0. Тогда нулевое состояние равновесия уравнения (3) является устойчивым.

Теорема 2.8. Пусть выполнены условия (4) и пусть а < 0. Тогда нулевое состояние равновесие уравнения (3) не являетПся устойчивым.

Таким образом, в условиях (4) при переходе параметра а через значение а — 0 изменяется характер устойчивости состояния равновесия у = 0. В данном параграфе изучаются происходящие при этом бифуркации. Показано, что при переходе через значение а = 0 фазовый портрет системы качественно изменяется.

Рассматривается также квазилинейное уравнение (3) вида

у" + ау' + Ьу + с\у' - А| = 0. (5)

В отличие от (3) в уравнении (5) присутствует скалярный параметр Л. Этот параметр рассматривается как бифуркационный. Изучается бифуркационное поведение системы (5) при переходе параметра Л через значение Л = 0. При

'•'Lome R.I..Van Campen D.H.- European Journal of Medianigs A/Solids 2006 25,i>p.595-61ö.

этом рассматриваются следующие случаи:

Ь>тах{((2±£)2}, (^)2 < Ь< (2±£)2,

(«±£)2 < 6 < )2,

Ь < 0, \/о, с,

ч 0 < Ъ < тш((у)2, (^г)2} • Здесь а, 6, с коэффициенты из (5).

Состояние равновесия системы (5) при это решение

(6)

(?)

Рассмотрим для определенности случай 1. Пусть а = 1,с=2,Ь = 3. Показано, что при переходе через значение А = 0 фазовый портрет системы в окрестности точки (7) качественно изменяется. Этот факт подтвержден численно. В частности, при А = -1иА = 1 фазовые портреты уравнений (3) и (5) (в плоскости переменных (у, у')) качественно различны; они имеют, соответственно, вид:

-зо -20 -ю

Рис. 2. (А = -1)

Рис. 3. (А = 1)

Аналогично, подбираются параметры а, Ь, с и для других случаев (6). Проводятся сравнение их фазовых портретов.

В работе 3 исследовано зависящее от скалярного параметра А уравнение Льенара вида

х" + ai(\)x'+ а2(\)х = f(x,x';\), (8)

3Nurov L.Yumagiilov M. - Italian Journal of Pure and Applied Mathematics.,2003, el3,pp.71-81 (in Italian).

правая часть которого представима в виде

¡(х,у,\) = Ь1(ХЩх-\)у + Ь2(Х) У ■ф{р\Х)йр.

о"

В указанной работе решение уравнения (8) было построено приближенно с помощью итерационной формулы Ньютона- Канторовича для операторных уравнений.

В §2.3 исследуется уравнение (8), когда его правая часть не является гладкой. А именно, рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений вида

Г — у^

\у' = -аг(Х)у - а2(Х)х - с(А)|у - Л| - <р(х; Л). (9)

Здесь функция ц>(х,Х) удовлетворяет условию <р(х,Х) = о(||а;Л) при х —> 0. Предполагается, что при А = Ло = 0 коэффициенты системы (9) удовлетворяют следующим условиям

а1(Л0) = с(Л0) = 0, а'^Хо) = с'(А0) + 0, а2(Х0) > 0. (10)

Состояния равновесия системы (9) - это точки (х*, 0), где х* определяются из уравнения

а2(Х)х + |А|с(А) + <р(х, А) = 0 .

Теорема 2.9. Пусть выполнены условия (10). Пусть вектор и = (х*,0) не лсо/сит в гиперплоскости 7о, т.е. (и, 6о) ф 0. Тогда Ао является точкой бифуркации стационарных решений уравнения (9).

В работе рассмотрены различные варианты типичных нелинепностей у(х,Х) (квадратичные и кубические), для каждого из которых проведено исследование бифуркационного поведения системы (9) в окрестности решения (х\0).

В §2.3 проведено также исследование устойчивости стационарного решения (.х*,0) уравнения (9). Обозначим £(А) = ых(А) + аз(А). Теорема 2.10. Пусть выполнено условие

£(А0)>0, аг(Ао) + 1р'х{х*, Ао) > 0.

Тогда состояние равновесия (х*,0) системы (9) является устойчивым.

Далее в этом параграфе исследуется уравнение вида (9) с кусочно-линейной нелинейностью:

х" + аг{Х)х' + а2{\)х + с(Х)згдп(х' - А) + <р(х\ А) = 0 (11)

Пусть <р(х,\) = а.2. Пусть выполнены условия (10). При некоторых положительных числах а0 и и малых |а;| имеет место следующая оценка

0 < а§ < а22{Х0) + < а1.

В этих условиях изучается бифуркационное поведение уравнения (11) в окрестности его стационарных решений. В частности, показано, что если выполнены условия

Г ах (А) + с(А) = 0, \ а2(А) + ^(х; А) > 0.

то верна

Теорема 2.11. При переходе через значение А = 0 имеет место бифуркация. Андронова-Хопфа в окрестности состояния равновесия уравнения (11), прггэтом возникающие периодические решения существуют при х' < А (см Рис. 4).

Рис. 4

В §2.4 рассматривается задача исследования динамических систем с модульными нелинейностями для случай, когда параметр А медленно меняется по периодическому закону в окрестности точки бифуркации А0. Здесь особый интерес вызывают вопросы об устойчивости системы в ситуациях, когда ее параметры периодически переходят границу устойчивости. Задачи такого рода

изучались, например, в работах В.И. Арнольда. G.I.M. Maree, Ю.А. Мнтро-польекого. А.И.Нейштадта, A.M. Самоиленко и др. При этом преимущественно изучались системы с медленно меняющимися параметрами по законам типа Л = Лo + £í или Л = Ао + е arctan t т.п. Менее изучены вопросы бифуркационного поведения динамической системы с параметрами, слабоосцнллнрующимн по закону типа А = Ао + £ sin t или А = Ао + £ sin et.

Рассматривается система, описываемая уравнением

+ ах(Мфх' + a2(fs(t))x + c{}s{t))\x' - f5(t)\ + <p(x;ft{t)) = 0. (12)

где

А = №) = А„ + Mí), V(t + Т) = <p(t), |5| « 1. (13)

Установлено, что при достаточно общих предположениях бифуркация двукратного равновесия уравнения (9) в случае, когда параметр слабо осциллирует по закону (13), преобразуется в бифуркацию вынужденных колебаний уравнения (12). При этом в естественном смысле тип бифуркации и свойства устейчивости бифурцирующих решений сохраняются.

Третья глава посвящена исследованию некоторых приложений. В ней рассматриваются и обсуждаются модельные примеры, иллюстрирующие основные утверждения работы.

В указанной главе приводится также описание основных алгоритмов аналитического и численного исследования рассматриваемых в диссертации бифуркационных задач для динамических систем, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейных нелинейности. Эти алгоритмы разработаны на основе теоретических положений, полученных во второй главе диссертации. В частности, разработаны:

1. алгоритм построения фазовых портретов в окрестностях состояний равновесия динамических систем, математические модели которых содержат модульные нелинейности. Приведена программная реализация этого алгоритма для некоторых моделей, в частности, для уравнения (5). Алгоритм предусматривает проверку выполнения основных требований (например, условий (4)), численное построение решений и их визуализацию;

2. алгоритм исследования устойчивости бифуркационных решений динамических систем, математические модели которых содержат кусочно-линейные нелинейности. Приведена программная реализация этого алгоритма для некоторых моделей, в частности, для уравнения (11). Алгоритм предусматривает проверку выполнения основных требований (например, условий (10)), он реализован для различных классов нелинейностей.

Предложенные алгоритмы программно реализованы в среде МАТЬАВ, разработан соответствующий пакет программ, основные положения которого вынесены в Приложение.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико - математических наук И.Д. Нурову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Основные результаты диссертации

1. Проведено исследование бифуркаций стационарных и периодических решений в математических моделях, описываемых дифференциальными уравнениями с модульными и кусочно-линейными нелннейпостями.

2. Предложены схемы аналитического и численного построения бифуркационных решений в окрестностях состояний равновесия динамических систем с негладкими (модульными и кусочно-линейными) нелннейпостями.

3. Предложены и обоснованы алгоритмы приближенного исследования бифуркационного поведения негладких систем, на основе которых разработай пакет программ компьютерного моделирования решений и фазовых портретов негладких систем.

4. Проведено качественное и численное исследование фазовых портретов динамических систем с негладкими (модульными и кусочно-линейными) нелинейностями в основных бифуркационных ситуациях, доказаны теоремы о признаках локальных бифуркаций.

Публикации автора по теме диссертации

В рецензируемых изданиях из списка ВАК

1. Назарова Х.Э., Нуров И.Д., Халилова М.Ш. Пакет программ численного построения бифуркационных явлений нелинейных систем // ДАН РТ , том 52, К»8, 2009, с. 586-592.

2. Нуров И.Д.,Халилова М.Ш.Моделирование бифуркационных явлений в негладких динамических системах ДАН РТ, том 53, №10. 2010, с. 752-758.

3. нуров и. д.,Хал плова m.LLL Исследования устойчивости состояния равновесия негладких динамических систем // ДАН РТ, том 54, №10, 2011, с. 815-820.

4. ХАЛИЛОВА М.Ш., НУРОВ И.Д. Бифуркационные явления со слабоос-цилирующими параметрами негладких систем

Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2012, №2(146), с. 32- 39.

В других изданиях

5. нугов И.Д., халилова М.Ш. Моделирование бифуркационных явлений со сложными нелннейностями // VIII всероссийская научно-практическая конференция с международным участием: «Современные информационные технологии в науке, образовании и практике», Оренбург, 2009 г., с. 177-179.

6.-нуров И.Д., халилова М.Ш. Исследование бифуркационных явлений в негладких динамических системах // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математического анализа и их приложений», посвященной 60-летию академика К. X. Бойматова, Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 77-78.

7. нуров И.Д., халилова М.Ш. Об условиях устойчивости бифуркационных явлений в негладких двумерных системах // Материалы между-народнной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения» посвященной 70-летию члена-корреспондента АН РТ Мухама-диева Э.М. Душанбе, 28-30 июня 2011г., с. 96-98.

8. халилова М.Ш., нуров II.Д. Об итерационных процедурах численного исследования бифуркации малых колебаний и анализа их устойчивости // Материалы международнной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения» посвященной 70-летию члена-корреспондента АН РТ Мухамадиева Э.М. Душанбе, 28-30 июня 2011г., с. 128-130.

9. халилова М.Ш., нуров И.Д. Компьютерный анализ бифуркаций в негладких динамических системах // Материалы международной конференции «Современные проблемы математического анализа и теории функций», посвященной 60 - летию академика ан рт Шабозова М.щ. Душанбе, 29-30 нюня 2012 г., с. 173-175.

Сдано в набор 11.10.2012 г. Подписано в печать 12.10.2012 г. Формат 60x84 1/16. Тираж 100 экз.

Типография Министерства образования Республики Таджикистан г. Душанбе, ул. 1-й проезд Лахути 6.

■fJH

•I

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ | ТАДЖИКИСТАН

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК | РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

I

На правах рукописи

Халилова Мохчехра Шавкатовна

1

, МОДЕЛИРОВАНИЕ И АЛГОРИТМЫ ! ИССЛЕДОВАНИЯ БИФУРКАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ В НЕГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

I

I

I

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Нуров И.Д|.

СО

О СМ

СО

о 00

Душанбе — 2012

Оглавление

Введение 4

1 Моделирование и явление бифуркаций в динамических системах 9

1.1 Динамические системы: вспомогательные сведения ..........9

1.1.1 О динамической системе..................................9

1.1.2 Гладкие динамические системы..........................10

1.1.3 Компьютерное описание(дискретность) динамических систем......................................................II

1.2 Бифуркационные задачи: постановка, история вопроса, примеры ..............................................................13

1.2.1 Бифуркации в различных (линейных.нелинепных)системах. 13

1.2.2 Стационарный эффект бифуркационных решений . . 16

1.2.3 Бифуркация периодических решений Андронова,-Хопфа......................................................17

1.2.4 Сведение об основных бифуркационных теоремах. . . 21

1.2.5 Дополнительная информация о собственных значениях и собственных векторах матриц ..................23

1.3 Приближенное исследование задачи о бифуркации............24

1.3.1 Чиеленное(приближенное) исследование бифуркации стационарных решений ..................................25

1.3.2 Числе1пюе(11риближеииое) исследование бифуркации Андронова - Хопфа......................................27

1.3.3 Негладкие динамические системы......................30

2 Исследование бифуркаций негладких динамических системах 31

2.1 Динамические системы с негладкими нелинейностями .... 31

2.2 Моделирование бифуркационных явлений в негладких динамических систем................................................33

2.2.1 Математическое описание задачи........................33

2.3 Модели фазовых переходов в физике..........................41

2.4 Негладкость двумерных систем с малым возмущением . . . -50

2.4.1 Негладкость двумерных систем с параметром под модулем....................................................54

2.4.2 Пример: груз на транспортере ..........................60

2.5 Исследование устойчивости состояния равновесия негладкости динамических систем........................................61

2.5.1 Бифуркации в разрывных системах....................62

2.6 Бифуркационные явления со елабоосциллирующими параметрами негладких систем ......................................63

2.6.1 О бифуркационном поведении решений при слабой осциляции параметров....................................63

2.6.2 Негладкие бифуркации ..................................66

2.7 Доказательства основных утверждений..........................68

2.7.1 Доказательство теоремы 2.7-2.8 . '........................68

2.7.2 Доказательство теоремы 2.9 ...............70

2.7.3 Доказательство теоремы 2.10............................75

2.7.4 Доказательство Леммы 2.1 ..............................77

2.7.5 Доказательство теоремы 2.11............................79

2.7.6 Доказательство теоремы 2.12............................80

2.7.7 Доказательство теоремы 2.13-2.14 ......................81

3 Приложение 84

3.1 Метод Рунге - Кутта..............................................84

3.2 Алгоритмы и пакет программ....................................91

3.2.1 Операторное описание алгоритма......................92

Литература 108

Введение

Актуальность темы. Модели с негладкими эффектами имеют важное значение в различных областях науки: в физике и механике (теория фазовых переходов, электричество, магнетизм), в инженерных задачах, в задачах теории управления, в экономике, биологии и др. Модели негладких систем включают в себя дифференциальные уравнения с негладкими, релейными, гистерезисными нелинейностями. Примерами являются динамические модели с сухим трением, модели с перескоками, модели с релейными нелинейностями, возникающие при изучении систем автоматического регулирования температур, напряжения и др.

Многочисленные приложения стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений с негладкими и разрывными правыми частями5. Широкое использование различных переключателей (реле) в системах автоматического управления привело к необходимости построения теории уравнений с релейными нелинейностями. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы в работа.х многих авторов6,',8.

Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения при изучении динамических моделей является задача о качественном изменении фазового портрета системы при изменении ее параметров в окрестности критических значений. Основным математическим аппаратом, используемым при изучении таких задач, являются теория бифуркаций и теория ветвления решений нелинейных уравнений. У истоков этих теорий были такие ученые как A.M.Ляпунов,

A.Пуанкаре, А.А.Андронов, Л.С.Понтрягин. Существенный вклад в развитие современной теории бифуркаций и теории ветвлений внесли

B.И.Арнольд, В.В.Вайнберг, Н.К.Гаврилов, Дж.Гукенхеймер, Д.Джосеф, Ю.С.Иляшснко, Ж.Йосс, Ю.А.Кузнецов, М.Мак-Краксн, Дж.Марри,

"'Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной частью.

f> Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика". 2000. 368 с.

"di Bernardo iVl..Budd С.. Cliampneys A.R.. Kowalezyk P...\'ordmark А.В.. Olivar Tosí. G.. Piirioiicn P.T. Bifurcations in nonsmooth dynamical system. SIAM Rev., 200S. vol. 50. 4 pp.629 - ful.

аЦыпкии Я.З. Релейные автоматические системы. М. Наука. 1974. 576 с.

Дж.Марсден, Ф.Такенс, М.Т.Терехин, В.А.Треиогии, Ф.Холмс, Л.П.Шилышков и др. Эти теории особенно хорошо и подробно разработаны для систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями.

Значительно меньше исследованы вопросы о бифуркациях для динамических систем, содержащих неаналитические, негладкие (модульные) или разрывные нелинейности. Методы негладкой теории разрабатывались в трудах А.А.Андронова, Б.Д.Гельмана, М.А.Красносельского, А.Ласоты, R.I.Leine, А.В.Покровского, Я.З.Цыпкина, А.Ф.Филиппова и др. Большинство работ, посвященных исследованию таких моделей, имеют прикладную направленность, а предлагаемые в них методы часто носят эвристический характер. Это, в частности, относится к исследованию локального поведения систем в окрестностях неподвижных точек. Здесь почти отсутствуют аналоги известных методов исследования динамических систем с гладкими нелинейностями. Следует отметить, что исследование стационарного состояния динамической системы имеет важное значение. В практически важных случаях именно стационарные состояния оказывают основное влияние на структуру множества движений.

Задачи исследования бифуркаций в негладких динамических системах, как правило, достаточно сложны, и поэтому при их исследовании эффективным представляется применение численных методов исследования. Здесь особо важна разработка алгоритмов и программ. Представляется та,кже важным, чтобы эти численные методы основывались на качественном исследовании данных моделей.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию различных аспектов бифуркационных задач в ряде неклассических ситуаций, характеризующихся нарушением гладкости правой части системы. Эти исследования, примыкают к работам М.Г.Юмагулова и И.Д.Нурова. Основное внимание в настоящей работе уделяется вопросам разработки методов исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнения второго порядка и которые содержат модульные или кусочно-линейные функции.

Как известно, исследование моделей многих динамических систем приводит к дифференциальному уравнению вида

х'= f(x, А), xeRN, (0.0.1)

которое при некоторых значениях параметра А имеет стационарные решения. f(x, А) является негладкой или даже разрывной в окрестности

точки х = х*. Таковыми, например, являются, модели систем, содержащих релейные нелинейности различных видов, системы с гистерезисом и некоторые другие модели.

Большой интерес представляет ситуация, когда параметр Л медленно меняется по периодическому закону в окрестности точки бифуркации Ао, что как правило имеет место в прикладных задачах.

В этом случас уравнение (0.0.1) примет вид:

х' = /(ж, А(г)), Ж е Ям.

В настоящей диссертации рассматриваются некоторые специальные классы динамических систем с разрывными и кусочно- линейными нели-нейностями, для которых предлагаются методы исследования их бифуркационного поведения в окрестностях неподвижных точек.

Стационарное решение х* при одних значениях параметра может быть устойчивым, а при других - неустойчивым. То значение параметра, при которых происходит переход от устойчивого к неустойчивому состоянию равновесия, называются бифуркационными.

х' = Цх,Х) (0.0/2)

или

хп+1 = /(Жп,А), п = 0,1,2,... (0.0.3)

Система (0.0.2) или (0.0.3) может иметь состояние равновесия х*, которое при изменении параметра А может изменять характер устойчивости. Как следствие, в окрестности точки х* могут возникать новые положения равновесия, нестационарные периодические или почти периодические колебания малой амплитуды. Указанные явления изучены в теории бифуркаций динамических систем.

Теория бифуркаций хорошо и подробно разработана для гладких динамических систем, т.е. в динамических системах вида (0.0.2) или (0.0.3) с непрерывно дифференцируемой правой частью /(х, А).

Существенно слабее изучено бифуркационное поведение негладких динамических систем, хотя и здесь имеется ряд интересных и важных результатов.

Цель работы. В математических моделях, описываемых с использованием аппарата теории динамических систем, провести исследование эффекта бифуркации в случае нарушения гладкости правой части системы в окрестности состояния равновесия, разработать алгоритмы и программы приближенного исследования некоторых важных с теоретической

и практической точек прения соответствующих бифуркационных задач. Для негладких двумерных моделей, содержащих модульные и кусочно-линейные функции, провести качественное и численное исследование фазовых портретов в основных бифуркационных ситуациях, доказать теоремы о признаках локальных бифуркаций. Выявить бифуркационные точки (особые точки), исследовать качественные эффекты негладкостей в бифуркационных явлениях.

Методы исследования. Используются методы математического моделирования. теории нелинейных колебаний, малого параметра, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории функционально-дифференциальных уравнений, теории управления, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

- Разработан новый метод аналитического и численного исследования бифуркаций в системах, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейные функции, позволяющий строить фазовые портреты для основных типов негладких (модульных и и кусочно-линейных) динамических систем.

- Получены расчетные формулы для бифуркационных решений, возникающих в окрестностях состояний равновесия систем, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейные функции:

- Разработан пакет программ компьютерного моделирования бифуркационного поведения негладких (модульных и кусочно-линейных) динамических систем.

Практическая и теоретическая значимость. В работе предложен и обоснован метод аналитического и численного исследования бифуркационных задач в динамических системах с негладкими (модульными и кусочно-линейными) правыми частями. Предлагаемый метод может быть использован при исследовании систем управления с релейными нелиней-ностями, моделей с сухим трением, с перескоками, автоматических систем с гистерезисом и т.д. Полученные результаты доведены до расчетных формул и алгоритмов; они программно реализованы в среде МАТЬАВ с использованием возможностей языка С++.

Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Теоремы 2.7 и 2.8 получены совместно с И.Д.Нуровым.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва-

лись на периодических семинарах в Институте математики АН Республики Таджикистан (2009-2012 гг.); апрельских конференциях Таджикского национального университета (2010-2012 гг.); VIII Всероссийской научно-практической конференции "Современные информационные технологии в науке, образовании и практике"(г. Оренбург, ОГУ, 2009 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика Бойма.това К.Х. (г. Душанбе, 23-24 июня 2010 г.); Международной научной конференции, посвященной 70-летию члена- корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (г. Душанбе, 28-30 июня 2011 г.); Международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (г. Уфа, БашГУ, 4-5 апреля 2012 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан ИТабозова Мирганда Шабозовича, (г. Душанбе. 29-30 июня 2012 г.).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, и трех глав. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 91 наименование.

Глава 1

Моделирование и явление бифуркаций в динамических системах

В этой главе приводятся краткие сведения из общей теории локальных бифуркаций гладких и негладких динамических систем. Рассматриваются необходимые и достаточные условия бифуркации, а также известные классические результаты об устойчивости бифурцирующих решений. Глава носит вспомогательный характер. В ней используются сведения и результаты из [1], [3], [9], [12], [16], [17], [18],[24],[29],[30],[32],[34].[35],[39], [41],[42], [44]. [53] ,[57], [59], [66], [69].

1.1 Динамические системы: вспомогательные сведения

Динамической системы (ДС) являются известным обобщением понятия механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями Ньютона. В своем развитии это понятия^наполнялось все более глубоким содержанием. В настоящее время понятие ДС охватывает объекты любой природы (физические, химические, биологические, экономические и др.), состояние которых изменяется во времени по некоторым законом.

1.1.1 О динамической системе

В математической постановке определение динамической системы [6],[8], [9].[11] обычно содержит три компоненты:

1. пространство состояний О. называемое фазовым пространством:

2. время 1,, которое может быть непрерывным, т.е. £ Е -й, или дискретным, т.е. £ Е % ;

3. закон или оператор эволюции К, ставящий в соответствии каждому состоянию х £ И к каждому моменту времени t новое значения состояния € И. при этом должны быть выполнены свойства: (а)^(ж, 0) = ж;

(с) функция непрерывна по совокупности переменных.

Если время I непрерывно, то говорят о непрерывной ДС или о потоке, если 1 дискретно, то о дискретной ДС или о каскаде.

Состояния, получающиеся из фиксированного х^ £ И после эволюции в течение времени £ £ й (для непрерывной ДС) или Ь £ Z (для дискретной ДС), т.е. функция х(Ь) = , называется движением точки £о, а множество значений этой функции - траекторией, или орбитой этой точки в фазовом пространстве О.

Конечно, приведенное определение ДС носит общих характер . Фазовое пространство Б данной ДС может быть метрическим, нормированным, конечномерным или бесконечномерным и т.д. оператор эволюции может задаваться дифференциальными, интегральными, алгебраическими и другими соотношениями. Различными могут быть и свойства оператора эволюции. В частности, если этот оператор обладает свойством дифференцируемое™, то говорят о гладких ДС.

1.1.2 Гладкие динамические системы

Рассмотрим динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением вида

§ = т (1.1.1)

где х = (х\, .г'2,.... .ХдО £ -^ЛГ;/(Ж) -функция, определенная и гладкая в некоторой области И С ЯАГ, т.е. £ С1 (О), предполагается, что для

любых ж о £ И и Ьо £ В, задача Коши

Г х' = !{хл) \ ж (¿о) = Хо

имеет единственное решение ж(£), определенное при всех Ь £ ( —оо,оо), решение х(Ь) можно рассматривать как параметрическое уравнение (с параметром некоторой кривой в пространстве Пм, называемой траекторией или орбитой. Для системы (1.1.1) фазовым пространством |5] будет

область Б (она может быть ограниченной, неограниченной или совпадающей со всем ).

Точка ж о = двигаясь по траектории системы (1.1.1) из точки ж(0) = Хо, за время от 0 до г перейдет в новую точку хг = х(т) е . Тем самым получаем отображение У(т): —> Ядг, сопоставляющее точке хо новую точку х\: У{т)хо = Х\. Отображение У(т) называется оператором сдвига по траекториям системы (1.1.1) за время от 0 до т.

Оператор сдвига позволяет описать оператор эволюции ^(ж, Ь) системы

(1.1.1) виде

Е{хЛ) = У{г)х

Всюду ниже, если это специально не оговаривается, понятие непрерывной динамической системы будем относить к системе, описываемой уравнением вида (1.1.1).

Отметим, что оператор У{т): —> обладает свойствами

У(0) = I. У( — т) = У~1(т).

Отметим также, что в явном виде построение оператора У(т) возможно лишь для некоторого узкого класса случаев, когда система (1.1.1) "интегрируется в квадратурах", т.е. ее общее решение может быть найдено аналитически. В частности, для систем, описывае�