автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Многомерная нечеткая классификация в системах поддержки принятия решений

Введение.

Глава 1. Поддержка принятия решений по классификации объектов на основе нечеткой информации.

1.1 Под держка принятия решений при диагностике социально-экономической безопасности регионов Российской Федерации.

1.1.1 Требования, предъявляемые к системе показателей социально-экономической ситуации в регионах.

1.1.2 Система показателей социально-экономической ситуации.

1.2 Формальная постановка задачи классификации по нечеткой информации.

1.3 Анализ систем распознавания и классификации.

1.4 Экспертные системы распознавания и классификации.

1.5 Методы классификации в системах распознавания.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Математические методы поддержки принятия решений на основе использования принципов нечеткой классификации.

2.1 Методы представления знаний в интеллектуальных системах информационной поддержки принятия решений.

2.2 Нечеткая классификация в задачах построения интеллектуальных систем информационной поддержки принятия решений.

2.2.1 Гипотеза компактности в задаче распознавания образов.

2.2.2 Модель одномерной нечеткой классификации.

2.2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2.2 Разбиение объектов на четкие классы.

2.2.2.3 Уточнение четких границ между классами.

2.2.2.4 Определение степеней принадлежностей объектов к классам.

2.2.2.5 Выводы.

2.2.3 Обобщение модели одномерной классификации на многомерный случай.

2.2.3.1 Постановка и решение задачи многомерной нечеткой классификации.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Повышение производительности систем поддержки принятия решений на основе нечетких декомпозиционных методов решения задач выбора вариантов.

3.1 Выбор вариантов на основе информации о нечетких отношениях предпочтения.

3.2 Нечеткие декомпозиционные методы решения задачи выбора вариантов.

3.2.1 Параллельная схема.

3.2.2 Последовательная схема.

3.2.3 Условия применения параллельных и последовательных схем декомпозиции задачи выбора.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Программная реализация системы поддержки принятия решений по оценке социально-экономической ситуации регионов Российской Федерации.

4.1 Функциональные возможности системы.

4.2 Принципы построения, состав и структура системы.

4.3 Работа с системой поддержки принятия решений по оценке социально-экономической ситуации регионов Российской Федерации.

4.4 Апробация системы поддержки принятия решений на задаче оценки социально-экономической ситуации регионов Российской Федерации.

Выводы по главе 4.

Актуальность работы. Проблема принятия решений или проблема выбора вариантов является одной из самых распространенных задач, возникающих практически во всех сферах деятельности: технической, экономической, социальной и т.д.

Одной из наиболее важных особенностей прикладных задач выбора является нечеткий характер критериев выбора альтернатив, их параметров, ограничений, накладываемых на возможность выбора тех или иных вариантов и т.д. Принятие решений в условиях неполной и неоднозначной информации об объекте исследования приводит к слабоформализованным задачам, описываемым нечеткими условиями и признаками. Степень достоверности полученных решений зависит от требований, предъявляемых к используемым методам и моделям их исследования. Одной из возможных моделей принятия решений является модель нечеткой классификации, описывающая разбиение многомерного пространства признаков-факторов, наиболее существенно влияющих на выбор управляющих решений, на эталонные классы, соответствующие этим решениям.

Алгоритм выработки управляющих решений на основе модели нечеткой классификации базируется на определении меры сходства между классами эталонных поступающих и текущих ситуаций. В настоящее время существует достаточно методов, позволяющих определить меру сходства между двумя нечеткими множествами. К ним относят меры сходства: по Заде, по Лукасевичу, по площади и др. [1]. Однако указанные методы не во всех случаях позволяют построить адекватную математическую модель, особенно, это касается задач, где важную роль играют не столько сами расстояния, сколько отношения между ними. Кроме того, в ряде социально-экономических и других задач принятия решений, на этапе подготовки исходных данных возникновение вопросов, связанных с выбором формальной модели, обусловлено необходимостью: обеспечения определенной однородности исследуемой совокупности объектов (что нужно для корректности применения метода); анализа взаимосвязей между наблюдаемыми переменными и теми латентными факторами, которые эти переменные отражают; анализа влияния на изучаемые закономерности статистических зависимостей между наблюдаемыми переменными и т.д.

Таким образом, в настоящее время очевидна актуальность разработки принципиально новых методов нечеткой классификации, как основы задачи принятия решений в условиях неполной и неоднозначной информации об объекте исследования, пригодных не только для проведения качественного распознавания объектов, но и способных выявить основные закономерности и причины полученных результатов.

Целью настоящей работы является разработка и реализация методов многомерной нечеткой обучаемой классификации в прикладных задачах принятия решений в условиях неполной и неоднозначной информации об объектах.

Поставленная цель определила следующие основные задачи исследований:

- изучение проблем принятия решений на примере прикладной задачи мониторинга социально-экономической безопасности регионов Российской Федерации;

- анализ и изучение современных систем распознавания образов и методов многомерной нечеткой обучаемой классификации, как одной из основных составляющих систем поддержки принятия решений; анализ методов представления знаний в экспертных системах распознавания;

- разработка методов многомерной нечеткой классификации, позволяющих как классифицировать объекты по определенным признакам, так и анализировать основные закономерности классификации и выявлять причины полученных результатов, то есть устанавливающие взаимосвязь объектов и признаков, их характеризующих;

- разработка методов повышения производительности систем поддержки принятия решений в условиях неполной и неоднозначной информации об объектах;

- программная реализация разработанных методов и моделей с использованием современных средств и подходов в виде системы поддержки принятия решений.

Методы исследования.

Методы теории нечетких множеств. Методы представления знаний в интеллектуальных системах. Байесовская теория принятия решений. Прямые методы восстановления решающей функции. Нечеткие декомпозиционные методы решения задачи выбора вариантов. Методы математической статистики.

Научная новизна работы.

Впервые разработана унифицированная модель мониторинга набора объектов по его характеризующим показателям.

Разработаны новые математические модели и алгоритмы многомерной нечеткой классификации объектов с использованием эмпирической гипотезы X-компактности, оперирующей не только расстояниями между объектами, но и их отношениями, что позволяет получать наиболее обоснованные решения в задачах выбора.

Для многомерной нечеткой классификации на основе ^.-компактности предложен новый метод слияния нечетких множеств путем получения функции принадлежности результирующего множества.

Впервые предложено использование декомпозиционных параллельно-последовательных схем для повышения производительности процесса поддержки принятия решений в условиях нечеткости информационной среды, с учетом случая одновременного доминирования признаков объекта.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Построена система поддержки принятия решений, позволяющая проводить классификацию объектов в нечеткой информационной среде по определенным признакам и анализировать причины полученных результатов.

Разработаны алгоритмы для программной реализации систем поддержки принятия решений для задачи мониторинга социально-экономической ситуации регионов Российской Федерации.

Результаты диссертационной работы и разработанная система поддержки принятия решений используются для проведения научных исследований в рамках

Гранта Министерства образования РФ № Г02-3.3-268 от 2003г. «Региональная экономическая безопасность: современные теоретические подходы и проблемы реализации в условиях Красноярского края», руководитель - доктор экономических наук, профессор В.И. Лячин, Красноярская государственная академия цветных металлов и золота. Результаты работы использованы также в ходе курсового и дипломного проектирования. Материалы диссертационной работы введены в учебные курсы «Экономика предприятий», «Прикладной системный анализ», «Системный анализ в сложных системах» и «Информационные технологии» и используются при чтении лекций для студентов Красноярской государственной академии цветных металлов и золота и Сибирского государственного аэрокосмического университета.

Достоверность полученных в ходе диссертационного исследования результатов подтверждается корректным применением аппарата современной математики и сравнением результатов численных расчетов с результатами, полученными другими методами, в частности, методом DEA.

Основные тезисы, выносимые на защиту:

1. Методы многомерной нечеткой обучаемой классификации позволяют эффективно классифицировать объекты по определенным признакам, анализировать основные закономерности классификации и выявлять причины полученных результатов.

2. Использование декомпозиционных параллельно-последовательных схем позволяют повысить эффективность процесса принятия решений в условиях нечеткости информационной среды.

3. Программная реализация разработанных моделей и методов позволяет построить эффективные системы поддержки принятия решений, требующие классификацию объектов.

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы обсуждались в течение 20002003 гг. и получили одобрение: на Межрегиональной конференции «Проблемы разработки и внедрения информационных систем в здравоохранении и ОМС» (г.

Красноярск, 18-21 декабря 2000 г.); на Межрегиональной научно-технической конференции в рамках научной сессии, посвященной 40-летию Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (г. Томск, 14-16 мая 2002г.); на Межвузовской научной конференции «Информатика и информационные технологии» (г. Красноярск, 2002); на VI Всероссийской научной конференции «Решетневские чтения», проводимой в составе 2-го Международного Сибирского авиационно-космического салона «САКС-2002» (г. Красноярск, 11-14 ноября 2002); на Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства.» (г. Новочеркасск, 11 апреля 2003 г.); на III Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (г. Кемерово, 21 апреля 2003г.); на 2-й Международной научно-технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта (ИНФОС-2003)» (г. Вологда); на 1-й Международной научно-технической конференции «Современные инструментальные системы, информационные технологии и инновации» (г. Курск, 2003г.); на XI Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании (МК-37-93)» (г. Пенза, 2003г.); на научных семинарах кафедры «Информатика и вычислительная техника» Сибирского государственного аэрокосмического университета и Института вычислительного моделирования (2003г).

Благодарности. Автор диссертационной работы выражает глубокую благодарность Романовской Т.С. и Романовскому М.В. за критические замечания и ценные советы.

Основные результаты работы:

1. Изучены проблемы принятия решений на примере прикладной задачи мониторинга социально-экономической безопасности регионов Российской Федерации.

2. Проведен анализ современных систем распознавания образов и методов многомерной нечеткой обучаемой классификации, как одной из основных составляющих систем поддержки принятия решений.

3. Проведен анализ методов представления знаний в экспертных системах распознавания. Наиболее целесообразным представляется организация базы знаний системы поддержки принятия решений в виде многоуровневой классификационной схемы, функционирующей в нечеткой среде и выполненной в виде фреймов или листов семантической сети.

4. Разработан метод многомерной нечеткой обучаемой классификации, позволяющих как классифицировать объекты по определенным признакам, так и анализировать основные закономерности классификации и выявлять причины полученных результатов.

5. Разработана методика повышения производительности систем поддержки принятия решений на основе нечетких декомпозиционных методов решения задач выбора вариантов. Определены условия применимости параллельных и последовательных схем декомпозиции задачи выбора.

6. С использованием среды визуального программирования на основе подхода объектно-ориентированного программирования предложенные модели и методы многомерной нечеткой обучаемой классификации объектов реализованы в виде системы поддержки принятия решений.

Заключение

В результате диссертационного исследования разработаны методы многомерной нечеткой обучаемой классификации как составляющей процесса распознавания образов в • прикладных задачах принятия решений в условиях неполной и неоднозначной информации об объектах.

1.Г., Елкина В.И., Лбов Г.С. Алгоритмы обнаружения эмпирических закономерностей. // Новосибирск: Наука, 1985.

2. Гуськов Н.С., Зенякин В.Е., Крюков В.В. Экономическая безопасность регионов России. // М.: Алгоритм, 2000. 288 с.

3. Лексин В., Андреева Е., Ситников А. Региональная политика России: концепции, проблемы, решение. // РЭЖ, 1996, № 1, 33-44с.

4. Агапова Т.Н. Методика и инструментарий для мониторинга экономической безопасности региона // Вопросы статистики. 2001. №2.

5. Сенчаков В.К. Сущность экономической безопасности и ее стратегическое обеспечение. // М.: ЗАО «Финстатинформ», 1998.

6. Научно-технологическая безопасность регионов России: методические подходы и результаты диагностирования // А.И.Татаркин, Д.С.Львов, А.А.

7. Матвеев И.Б. Формирование и развитие системы эффективного обеспечения экономической безопасности региона. // С.-П.:СКИТ, 1998,20с.

8. Горелик А.Л., Скрипкин В.А., Методы распознавания. Учеб. пособие для вузов. // М.: Высш. школа, 1977, 222 с.

9. Айвазян С.А. Интеллектуализированные инструментальные системы в статистике и их роль в построении проблемно-ориентированных систем поддержки принятия решений. «Обозрение прикладной и промышленной математики», том 4, № 2. // М.: Научное изд-во ТВП, 1997.

10. Айзерман М.А., Малишевский А.В. Некоторые аспекты общей теории выбора лучших вариантов. Автоматика и телемеханика, 1982, N 2, с. 65-83.

11. Статистический и дискретный анализ данных и экспертное оценивание/ Материалы IV Всесоюзной школы-семинара. Одесса: Изд-во ОПИ, 1991. - 360 с.

12. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности: Справ.изд. //Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. -М.: Финансы и статистика, 1989, 607 с.

13. Интеллектуальные программные системы, которые помогают мыслить творчески и талантливо. // М.: Издание «МЕТОД», 1996, 64 с.

14. Вязгин В.А., Федоров В.В. Математические методы автоматизированного проектирования. //М.: Высш.шк., 1989. 184 с.

15. Айвазян С.А. Об опыте применения экспертно-статистического метода построения неизвестной целевой функции. В кн: «Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях». // М.: Наука, 1974, 56-86с.

16. Боэм Б. Инженерное проектирование программного обеспечения. // М. Радио и связь. 1985 г.

17. Руа Б. Классификация и выбор при наличии нескольких критериев. // В кн: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976, 80 107.

18. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления. // М.:Энергоиздат, 1981.- 232 с.

19. Девятков В.В. Системы искусственного интеллекта. // М: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 326 с.

20. Маковский В.А., Похлебаев В.И. Базы знаний (экспертные системы). // М.: Издательство стандартов, 1993. 37 с.

21. Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных систем управления: теоретические и прикладные аспекты // Известия АН СССР. Сер. Техническ. кибернетика, 1991, N 3, с. 3-29.

22. Abe S., Lan M.-S., Thawonmas R. Tuning of a fuzzy classifier derived from data. // Int. J. Of Approx. Reasoning, 14, 1996, 1 24.

23. Круглов В.В., Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. // М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.224 с.

24. Борисов А.Н., Глушков В.И. Использование нечеткой информации в экспертных системах. // Новости искусственного интеллекта, 3, 1991, с. 13-41.

25. Тарасов В.Б. Инструментальные средства разработки нечетких интеллектуальных систем. // Новости искусственного интеллекта, 3, 1991, с. 93107.

26. Bandler W., Kohout L. Fuzzy power sets and fuzzy implication operators // Fuzzy Sets and Systems. 1980. V. 4, 13-30.

27. Nozaki K., Ishibuchi H., Tanaka H. A simple but powerful heuristic method for generating fuzzy rules from numerical data. // Fuzzy Sets and Systems, 86, 1997, 251 -270.

28. Захаров B.H., Ульянов C.B. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления. 2. Эволюция и принципы построения. // Известия АН РАН. Сер. Техн. кибернетика, N 4, 1993, с. 189-205.

29. Харченко Л.П. Статистика: Курс лекций. // Новосибирск: НГАЭиУ, 1997, 310с.

30. Gu Т., Dubuisson В. Similarity of classes and fuzzy clustering. // Fuzzy Sets and Systems, 34, 1990,213-221.

31. Rousseeuw P.J. Discussion: Fuzzy clustering at the intersection. // Technometrics, v. 37, 3, 1995, 283 286.

32. Олдендерфер М.С., Блэшфилд Р.К. Кластерный анализ. В кн.: Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. // М.: Финансы и статистика, 1989. с. 139-214.

33. Шмойлова Р.А. Теория статистики: Учебник. 3-е изд., перераб. // М.:Финансы и статистика, 2000, 560с.: ил.

34. Чурляева Н.П., Яхимович С.И. Основы статистического моделирования: Учебно-методическое пособие. // Красноярск: Красноярский институт космической техники завод - ВТУЗ, 1990. - 99 с.

35. Загоруйко Н.Г. Анализ данных и анализ знаний // Анализ последовательностей и таблиц данных. Новосибирск, 1995. Вып. 153: Вычислительные системы. С. 3-31.

36. Srihari S.N. On choosing measurements for invariant pattern recognition. // Information Sciences, 21, 1980, 1 11.

37. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. // Новосибирск: Издательство Института математики, 1999. 270 с.

38. Тарасов В.Б., Желтов С.Ю., Степанов А.А. Нечеткие модели в обработке изображений: обзор зарубежных достижений. // Новости искусственного интеллекта, 3, 1993, с. 40 64.

39. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. // М.: Финансы и статистика, 1989. 215 с.

40. Статистические методы повышения качества // Под. ред. X. Кумэ.- М.: Финансы и статистика, 1990.- 304 с.

41. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. // Новосибирск: Ин-та математики, 1999. 270с.

42. Статистические и математические системы. // «Тысячи программных продуктов»: Каталог, 1995, №2, 88-92 с.

43. Zadeh L.A. Fuzzy sets and their application to pattern clasification and cluster analysis, in: Classification and Clustering (Ed. by J. Van Ryzin). // Academic Press, 1977. (Russian translation: Clussificatsija i cluster.- Moscow, Mir, 1980, 208-247)

44. Казанцев B.C. Задачи классификации и их программное обеспечение. // М.:1. Наука, 1990, 136 с.

45. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. // М.: Финансы и статистика, 1999. 176 с.

46. Анфилатов B.C., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. // М.: Финансы и статистика, 2002. 368 с.

47. Лихтенштейн В.Е., Павлов В.И. Экономико-математическое моделирование. Учебное пособие. // М.: Приор, 2001. 448 с.

48. Поспелов Д.А. Моделирование рассуждений. // М.: Радио и связь, 1989.184 с.

49. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. // М.: Наука, 1990.- 272 с.

50. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. // Рига: Зинатне, 1990.- 184 с.

51. Романов В.П. Интеллектуальные информационные системы в экономике // М.: Экзамен, 2003. 496 с.

52. Батыршин И.З. Методы представления и обработки нечеткой информации в интеллектуальных системах. // Новости искусственного интеллекта, 1996, 2, 9 65.

53. Лбов Г.С. Анализ разнотипных данных: // Новосибирск: ОТЭКС, 1992.

54. Тау Т.Т., Tan S.W. Fuzzy system as parameter estimator of nonlinear dynamic functions. // IEEE Trans. SMC Part B: Cybernetics, V. 27, No 2, April 1997, 313 - 326.

55. Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник. // С,-Пб.: Питер, 2001.-752 с.

56. Вязгин В.А. О некоторых схемах последовательного анализа вариантов в проектировании технических систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1984. № 6, с.63-68.

57. Цветков В.Я. Методы и системы поддержки принятия решений в управлении. // М.: Минпромнауки, ВНТИЦ, 2001. 76 с.

58. Цисарь И.Ф., Нейман В.Г. Компьютерное моделирование экономики. // М.: Диалог-МИФИ, 2002. 304 с.

59. Батыршин И.З. Нечеткие отношения в семиотических системах // Лекции САИИ и САНС. / Тверь: Изд-во НПО "Центрпрограммсистем", 1991.- 15 с.

60. Цветков В.Я. Математические методы анализа в экономике. // М.: МАКС Пресс, 2001.-54 с.

61. Ягер P.P. Множества уровня для оценки принадлежности нечетких подмножеств. В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. // М.: Радио и связь, 1986, с. 71-78.

62. Труды международного семинара "Мягкие вычисления 967/ Под ред. И.З. Батыршина, Д.А. Поспелова / Казань, 1996. - 222 с.

63. Загоруйко Н.Г., Елкина В.Н., Емельянов С.В., Лбов Г.С. Пакет прикладных программ ОТЭКС. // М.: Финансы и статистика, 1986,.

64. Загоруйко Н.Г. Гипотезы компактности и 1-компактности в методах анализа данных. // Сибирский журнал индустриальной математики. / Изд. ИМ СО РАН. Том 1,N1, 1998, С.114-126.

65. Аркадьев А.Г., Браверман Э.М. Обучение машины распознаванию образов. //М: Наука, 1964.

66. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение кпринятию приближенных решений. // М.: Мир, 1976. 168 с.

67. Zadeh L. A. Fuzzy logic = computing with words. // IEEE Trans, on Fuzzy Systems, v. 4, 2, 1996, 103 111.

68. Zadeh L.A. Toward a theory of fuzzy information granulation and its centrality in human reasoning and fuzzy logic. // Fuzzy Sets and Systems, 90, 1997, 111 127.

69. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с фр. // М.:Радио и связь, 1990. 288 с.

70. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. // М.:Радио и связь, 1993.

71. Пфанцагль И. Теория измерений. // М.:Мир, 1976.

72. Эль-Абуди Е.В. Гипотеза ^-компактности в задачах нечеткой классификации. // Материалы III Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (21 апреля 2003г.) / НФИ КемГУ, г. Новокузнецк, 2003, с.69.

73. Nauck D., Klawonn F., Kruse R. Fuzzy sets, fuzzy controllers, and neural networks. // Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universitat zu Berlin, Reihe Medizin, 41, Nr 4, 1992, 99 120.

74. Эль-Абуди Е.В. Определение степеней принадлежности объектов к классам в задаче нечеткой классификации // Вестник НИИ СУВПТ 12 вып., Сб. научн. трудов / Под общей ред. профессора Н.В. Василенко; Красноярск: НИИ СУВПТ. -2003, с. 154-159.

75. De Cooman G., Kerre E.E. Order norms on bounded partially ordered sets. // J. Fuzzy Mathematics, vol. 2, 1994, 281-310.

76. Захаров B.H., Ульянов C.B. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления. 1. Научно-организационные, технико-экономические и прикладные аспекты. // Известия АН РАН. Сер. Техн. кибернетика, N 5, 1992, с. 171-196.

77. Li Н.Х., Gatland Н.В., Green A.W. Fuzzy variable structure control. // IEEE Trans. SMC Part B: Cybernetics, v. 27, No 2, April 1997, 306 - 312.

78. Laviolette M., Seeman J. W., Jr., Barrett J.D., Woodall W.H. A probabilistic and statistical view of fuzzy methods. // Technometrics, v. 37, 3, 1995, 249 261.

79. Ягер P.P. Множества уровня для оценки принадлежности нечетких подмножеств. В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. // М.: Радио и связь, 1986, с. 71-78.

80. Roubens М. Fuzzy sets in preference modelling and decision analysis. // Proceedings of VIIFSA World Congress, Sao Paulo, Brazil, 1995, v.l, 19 24.

81. Эль-Абуди Е.В. Обобщение одномерной нечеткой классификации на многомерный случай. // Объединенный научный журнал, №12 (70), 2003. с. 17.

82. Асаи К., Ватада Д., Иваи С. и др. Прикладные нечеткие системы // Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. / М.: Мир, 1993.- 368 с.

83. Каплинский А.И., Руссман И.Б., Умывакин В.М. Моделирование и алгоритмизация елабоформализованных задач выбора наилучших вариантов. // Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990,- 168 с.

84. Wang L., Mendel J.M. Fuzzy basis functions, universal approximation and orthogonal least-squares learning. // IEEE Trans, on Neural Networks, v. 3, 5, 807 814, 1992.

85. Орловский C.A. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. // М.: Наука, 1981. 208 с.

86. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта // Под ред. Д.А.Поспелова. / М.: Наука, 1986. 396 с.

87. Эль-Абуди Е.В. Нечеткие декомпозиционные методы решения задач выбора вариантов. // Материалы 1-й Международной научно-технической конференции «Современные инструментальные системы, информационные технологии и инновации», г. Курск, 2003, с. 211-213.

88. Блишун А.Ф., Знатнов С.Ю. Обоснование операций теории нечетких множеств. // В кн.: Нетрадиционные модели и системы с нечеткими знаниями. / М.: Энергоатомиздат, 1991, с. 21-33.

89. Алиев Р.А., Захарова Э.Г., Ульянов С.В. Нечеткие модели управления динамическими системами // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика.Т. 29. // М.:ВИНИТИ АН СССР, 1990, с. 127-201.

90. Макеев С.П. Декомпозиция задачи вычисления функции от взаимодействующих нечетких переменных. // Техническая кибернетика, 5, 1990, с. 207-211.