автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Минимаксные регуляторы в системах, описываемых уравнениями параболического типа

ВВЕДЕНИЕ . *.

ГЛАВА I. МИНИМАКСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ ПРИ ТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

§ 1.1. Минимаксное управление при полном измерении состояния без помех

§ 1.2. Минимаксное управление системами, описываемыми краевыми задачами Неймана для уравнений параболического типа при полном измерении состояния без помех

§ 1.3. Минимаксное управление системами, описываемыми краевыми задачами Дирихле душ уравнений параболического типа при полном и точном измерении

§ 1.4. Некоторые частные случаи аналитического решения уравнения типа Риккати

§ 1.5. Оптимальный выбор стратегии управления системами, описывающимися параболическими уравнениями

§ 1.6. Импульсное минимаксное управление

§ 1.7. Минимаксное управление при неполном измерении состояния без ошибок измерения

ГЛАВА II. МИНИМАКСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ ПРИ НЕТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

§ 2.1. Минимаксное управление при неполном и неточном измерении

§ 2.2. Минимаксное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными при неточных измерениях

§ 2.3, Некоторые методы решения уравнения типа

Риккати

§ 2.4. Оптимизация области допустимых возмущений при неточных измерениях

Задачи управления системами с распределенными параметрами ( СРП ) составляют одну из актуальных проблем прикладной математики и кибернетики. Систематическое изучение ее было начато в трудах советских ученых еще в конце 50-х и начале 60-х годов. В настоящее время трудно указать какую-нибудь естественно-научную, техническую или промышленную область, где бы не возникали задачи, связанные с использованием CHI.

Теория оптимального управления СЕЛ в последнее время получила значительное развитие. Непрерывно расширяется и область приложения этой теории. Воцросы программного управления [36,37,38,42] синтеза управления при полном и точном измерении [11,13,39,95, 118 ] , проблемы анализа и синтеза систем с подвижным воздействием [18,20,113,116 ] , информационные и управляющие системы в сплошных средах [27,93 ] , идентификация систем с распределенными параметрами [43,54] , прикладные направления [14,16,19, 38,41,71] постоянно привлекают внимание многих ученых ( см. обзор по материалам отечественной [15,17,35] и зарубежной [ 92 ] печати ).

В последние годы интенсивно развивается теория позиционного управления СРП, изучающая задачи управления по принципу обратной связи, системами, функционирующими в условиях неопределенности 21,87,88,89 ] . В отличии от проблем программного управления, в которых искомое управляющее воздействие выбирается априори до начала управления в виде некоторых функций времени и не корректируются затем в должной мере в процессе функционирования объекта, в задачах позиционного управления эти воздействия формируются по ходу управления на основании доступной информации о реализующихся состояниях управляемого объекта.

В настоящее время существует много работ, посвященных синтезу СШ, на которые не действуют помехи, для случаев, когда производятся полные и точные измерения состояния, т.е. когда состояние системы измеряется во всей области без ошибок измерения [11,12,13,65,95,107,109 ] . Однако, такое управление практически не реализуемо, поскольку на практике в большинстве случаев можно измерять или состояние в конечном числе точек или некоторый функционал от состояния. Таким образом, неполнота измерения является характерной особенностью СРП. Поэтому задачи синтеза оптимального управления СРП при неполном измерении являются очень актуальными. Задачами синтеза СРП цри точном, но неполном измерении занимались Т.К. Сиразетдинов, Л.Г. Дегтярев, А.И. Егоров и др. В работах [33,34,95,96] рассматриваются задачи синтеза оптимального и субоптимального управления с использованием метода динамического программирования Р. Беллмана. Другой подход разрабатывается в работах [25,38,40] .В этих работах предполагается, что производятся точные измерения состояния системы в конечном числе точек ( пространственных или пространственных и временных ). По этим данным строится какой-либо интерполяционный полином и управление представляется в виде обратной связи от этого полинома. Находятся оценки отклонений приближенного решения от точного, исследуются вопросы сходимости приближенного решения к точному.

Использование локального критерия качества и критерия обобщенной работы дает возможность наиболее просто решать задачу оптимального синтеза СРП цри неполном измерении. Такой подход развивался в работах [ 5,31 ] .

Задача управления СРП существенно усложняется, если управляемая система функционирует в условиях неопределенности. Наиболее изученными являются задачи синтеза СРП, на которые действуют стохастические помехи типа белого шума с известными средними и ковариационными функциями. В случае, когда измерения производятся без ошибок, синтез стохастических СРП осуществляется в виде обратной связи от наблюдаемых сигналов. Если же измерения производятся с ошибками типа белого шума, статистика которых известна, то управление обычно ищут в виде обратной связи от оценки состояния. Такие задачи изучались в работах [29,30,79,82,119,122 ] .

В статье [35] дается обзор работ, выполненных в основном в последнее десятилетие и посвященных синтезу оптимального управления в детерминированных СРП при неполном измерении их состояния [33,34,53,96 ] , оцениванию состояния случайных полей [80,117, 120 ] , синтезу оптимального управления в стохастических системах 29,30,82,119 ] , практическому использованию теоретических результатов для решения задач управления СРП [4,5,32 ] .

Однако, реальная постановка задачи часто включает в себя возмущения неизвестной ( или частично неизвестной ) природы. В таких случаях естественно развивать теорию минимаксного С гарантированного ) управления и оценивания. Тот факт, что во многих прикладных задачах неизвестен не только вероятностный характер возмущений, но и сама природа, а задана лишь область их возможных значений, стимулировал появление ряда работ по минимаксному оцениванию и управлению как для систем с сосредоточенными параметрами [10,24,26,48,50,52,57,58,81,83,100,101 ] , так и для СРП [11,21,79,80,84,88,89,98 ] . Основополагающие работы в этом направлении получены в работах H.H. Красовского [ 55 ] , А.Б. Куржанского [57,58,59,60] , Ф.Л. Черноусько [100,101,

103 ] , Ю.С. Осипова [ 87,88,89 ] , Б.Н. Бублика [ 10,11 ] , А.Г. Наконечного [ 79,80,81,82 ] , Н.Ф. Кириченко [48,49,50] и др.

В данной диссертационной работе рассматриваются задачи построения минимаксных регуляторов для распределенных систем параболического типа. Поскольку решение задач минимаксного управления сводится к решению некоторых уравнений типа Риккати ( §§ I.I, 2.1 ), которые возникают также при решении, например, задач оценивания ( стохастического [ 117,119] или минимаксного [ 68,80] ), задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов [11,65,95,118 ] и т.д., то в работе определенное внимание уделено аналитическому ( § 1.4 ) и численному ( § 2.3 ) решению этого уравнения. Отметим, что вопросам решения интегро-дифференциального уравнения типа Риккати посвящены также работы [11,12,38,95,110 ] .

В последние годы важное место в проблеме управления занимают вопросы оптимального выбора стратегии управления, т.е. задачи оптимального расположения управляющих элементов, определения оптимальных законов движения подвижных источников, оптимальных моментов времени действия управлений и т.д. [ 18,20,104,108,111, 113,116 ] . Поэтому в диссертационной работе рассматриваются также задачи выбора оптимальной стратегии минимаксного управления для систем, описываемых уравнениями параболического типа С §§ 1.5, 1.6 ), приводятся результаты численных экспериментов.

Дадим теперь краткий обзор диссертации по главам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Решены задачи синтеза минимаксного управления для систем с распределенными параметрами, функционирующих в условиях неопределенности цри а) полном и точном, б) неполном и точном, в) неточном измерениях состояния. Для систем, описывающихся обобщенными уравнениями параболического типа с краевыми условиями Неймана и Дирихле построены оптимальные решения соответствующих задач для распределенных, сосредоточенных, граничных, подвижных и других управлений при различном характере измерений.

2. Предложены некоторые методы решения уравнения типа Риккати, к которым сводится решение задач минимаксного управления. Исследованы некоторые частные случаи, когда решение интегро-дифференциального уравнения типа Еиккати удается представить в аналитическом виде.

3. Для систем, описывающихся уравнением теплопроводности в прямоугольной области, решены задачи оптимального выбора стратегии управления, т.е. задачи оцределения оптимального расположения точечных управлений и задачи определения оптимальных законов движения подвижных источников внутри области и на ее границе. Приведены результаты численных экспериментов.

4. Рассмотрена и решена задача импульсного минимаксного управления, предложены некоторые алгоритмы решения задачи оптимального выбора моментов времени действия управлений, а также задачи совместного определения оптимального расположения точечных управлений и моментов времени реализации управляющих воздействий.

1. Аджубей Л.Т., Лобок А.П. Синтез оптимального граничного управления для двумерного уравнения теплопроводности с помощью конечноразностных аппроксимации. В сб.: Вычислительная и прикладная математика, 1980, вып. 41, с. 78 - 85.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. - 429 с.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами,-М.: Наука, 1976. 424 с.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков: Вица школа, 1977. -315 с.

5. Балакришнан A.B. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974. - 259 с.

6. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев : Наукова думка, 1965. -798 с.

7. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф. Основы теории управления. -Киев : Вища школа, 1975. 328 с.

8. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Минимаксные оценки и регуляторы в динамических системах. Киев, 1978.32 с. - ( Препринт / АН УССР, Ин-т кибернетики ; 78 - 31 ).

9. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Регуляторыи минимаксные фильтры для систем с распределенными параметрами. Киев, 1979, - 40 с. - ( Препринт / АН УССР, Ин-т кибернетики ; 79 - 36 ).

10. Бублик Б.Н., Невидомский А.И. Синтез оптимального граничного управления для уравнения теплопроводности, Докл. АН УССР. Сер. А, 1978, № I, с. 63-65.

11. Бублик Б.Н., Невидомский А.И. Синтез оптимального сосредоточенного управления для уравнения теплопроводности.

12. В сб,: Модели и системы обработки информации, 1982, вып. I, с. 78 87.

13. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М. : Наука, 1975. - 568 с.

14. Бутковский А.Г. Обзор некоторых новых направлений, идей и результатов в проблеме управления системами с расцределен-ными параметрами. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1983, Ш 2, с. 112 - 122.

15. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системамис распределенными параметрами. М. : Наука, 1965. - 474 с.

16. Бутковский А.Г, Управление системами с распределенными параметрами (обзор). Автоматика и телемеханика, 1979, № II, с. 6 55.

17. Бутковский А.Г., Даринский Ю.В., Цустыльников Л.М. Подвижное управление системами с распределенными параметрами. -Автоматика и телемеханика, 1976, № 2, с. 15-25.

18. Вутковский А.Г., Малый O.A., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М. : Металлургия, 1972. -439 с.

19. Ваковский А.Г., Бустылышков JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М. : Наука, 1980. - 397 с.

20. Вайсбурд И.Ф., Осипов Ю.С. Дифференциальная игра сближения для систем с распределенными параметрами. Прикл. математ. и механика, 1975, т. 39, вып. 5, с. 772 - 775.

21. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М. : Изд-во МГУ, 1974. - 374 с.

22. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1981. - 512 с.

23. Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф., Ляшко В.И. Практическая устойчивость, минимаксное оценивание и адаптивность динамических систем. Киев, 1982. - 59 с. - ( Препринт /

24. АН УССР, Ин-т кибернетики ; 82 39 ).

25. Григоров A.B. Минимаксное оценивание состояний и планирование эксперимента для систем с внутренними шумами : Автореф. дис. . канд.-мат. наук. Киев, 1980. - 21 с.

26. Губарев В.Ф., Самойленко Ю.И. Распределенные системы автоматического регулирования положения равновесия плазменногошнура в Токамаке. Журн. техн. физики, 1974, т. 44, вып. 4, с. 65 - 71.

27. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. -М. : ИЛ, 1963. 895.с.

28. Дегтярев Г.Л. Оптимальное замкнутое управление стохастическими процессами с распределенными параметрами. Изв. вузов. Авиационная техника, 1977, № 4, с. 34 - 38.

29. Дегтярев Г.Л. Оптимальное управление в стохастических системах с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1979, № 9, с. 59-65.

30. Дегтярев Г.Л., Лифанов В.Г. Синтез оптимального управления космическим аппаратом с упругими элементами при случайных возмущениях. Изв. вузов. Авиационная техника, 1981, № 4, с. 23 - 27.

31. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. К задаче синтеза оптимального управления в распределенных системах при неполном измерении. Изв. вузов. Авиационная техника, 1977, № 2,с. 45 49.

32. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Оптимальное управление процессами с распределенными параметрами при неполном измерении. Автоматика и телемеханика, 1977, № 5, с. 5 - 10.

33. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Синтез оптимального управления с распределенными параметрами при неполном измерении состояния (обзор). Изв. АН СССР. Техн. кибернетика,1983, № 2, с. 123 136.

34. Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности для систем с распределенными параметрами. Математический сборник. Новая серия, 1966, т. 69, вып. 3, с. 371 - 421.

35. Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессами теплопередачи. Еурн. вычисл. матем. и мат. физики, 1972, т. 12, № 3, с. 791 - 799.

36. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М. : Наука, 1978. - 463 с.

37. Егоров А.И., Бачой Г.С. Метод Беллмана в задачах управления системами с распределенными параметрами. В сб. : Прикладная математика и программирование, Кишинев, Штиинца, 1974, вып. 12, с. 33 - 39.

38. Егоров А.И., Гасанов З.М. О синтезе оптимального управления для систем с распределенными параметрами. Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-тех. и мат. наук, 1978, № 3, с. 3-10.

39. Егоров А.И., Дугин Н.С. Управление индукционным нагревом металлов. В сб. : Математические методы оптимального управления системами с распределенными параметрами. Фрунзе, Илим, 1973, с. 41 - 45.

40. Егоров А.И., Рафатов P.P. О приближенном решении одной задачи оптимального управления. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1972, т. 12, № 4, с. 943 - 960.

41. Живоглядов В.П. Оптимизация замкнутых систем управления с адаптивным распределенным контролем косвенных показателей.-Автоматика и телемеханика, 1970, Jfc 10, с. 83 90.

42. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М. : Наука, 1975.495 с.

43. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М. : Наука, 1974. 479 с.

44. Канторович Л.А., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977. - 741 с.

45. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М. : Мир, 1977. - 650 с.

46. Кириченко Н.Ф. Аналитическое конструирование минимаксных регуляторов в линейных системах. Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, & 7, с. 591 - 594.

47. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. -Киев, Вища школа, 1978. 182 с.

48. Кириченко Н.Ф. Минимаксное управление и оценивание в динамических системах. Автоматика, 1982, № I, с. 32 - 39.

49. Кириченко -Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и уцравляемос-ти движения. Киев, Изд-во Киев, ун-та, 1972. - 212 с.

50. Кириченко Н.Ф., Цыганкова Л.А. Оптимизации практической устойчивости линейных систем. Киев, 1978. - 20 с.

51. С Препринт / АН УССР, ИН-т кибернетики ; 78 71 ).

52. Кожинский О.С. Статистические методы математического описания систем с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1966, № 8, с. 85 - 92.

53. Красовский H.H. Теория управления движением. М. : Наука, 1968. - 476 с.

54. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве. М. : Наука, 1967. - 464 с.

55. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М. : Наука, 1977. - 392 с.

56. Куржанский А. Б., Пшцулина И. Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях I, II, III. Дифференциальные уравнения, 1976, № 8, с. 1434 - 1446; № 9, с. 1568 - 1579; В 12, с. 2149 - 2158.

57. Куржанский А.Б. Об информационных множествах управляемых систем. Дифференциальные уравнения, 1977, №11, с. 1957 -1965.

58. Куржанский А.Б., Никонов О.И. Оптимальное управление ансамблем траекторий. Тр. Ин-та мат. и мех. Уральск, науч. центра АН СССР, 1977, вып. 24, с. 53 - 67.

59. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. -М. : Наука, 1973. 407 с.

60. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М. : Наука, 1967. - 736 с.

61. Леондес К.Т. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. М. : Мир, 1980. - 407 с.

62. Лионе Ж.-Л. Об оптимальном управлении распределенными системами, Успехи мат. наук, 1973, т. 28, вып. 4, с. 15- 46.

63. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными цроизводными. М. : Мир, 1972. -414 с.

64. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М. : Мир, 1971. - 371 с.

65. Лобок А.П. Минимаксные регуляторы в системах с распределенными параметрами. Вестн. Киев, ун-та. Моделирование иоптимизация сложных систем. 1983, вып. 2, с. 62 67.

66. Лобок А. П. Построение минимаксных оценок правой части систем параболического типа. Вестн. Киев, ун-та.« Моделирование и оптимизация сложных систем. 1982, вып. I, с. 99 -105.

67. Лобок А. П. Построение оптимальных регуляторов для одномерного уравнения параболического типа методом конечноразност-ной аппроксимации. В сб. : Вычисл. и прикл. математика, 1981, вып. 45, с. 104 - ПО.

68. Дурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М. : Наука, 1975. - 478 с.

69. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М. : Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1952. - 392 с.

70. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М. : Наука, 1965. - 520 с.

71. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М. : Мир, 1966. - 504 с.

72. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1976. - 391 с.

73. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М. : Гостехиздат, 1957. 517 с.

74. Морен К. Методы гильбертового цространства. М. : Мир, 1965. - 570 с.

75. Наймарк M.Â. Линейные дифференциальные операторы. М. :1. Наука, 1969. 526 с.

76. Наконечный А. Г. К теории минимаксного управления системами с распределенными параметрами. В кн. : Оптимальное управление в механических системах. Тезисы III Всесоюзной конференции ( Киев, 1979 г. ) - Киев, 1979, т. II, с. 95.

77. Наконечный А. Г. Минимаксные оценки в системах с распределенными параметрами. Киев, 1979. - 55 с. - ( Препринт /

78. АН УССР, Ин-т кибернетики ; 79 46 ).

79. Наконечный А.Г. Минимаксные оценки параметров. В сб. : Вычисл. и црикл. математика, 1979, вып. 39, с. 17 - 24.

80. Наконечный А. Г. О построении минимаксных регуляторов для линейных стохастических систем. Кибернетика, 1979, № 5, с. 143 - 145.

81. Наконечный А.Г., Владимирова А.И. Минимаксные регуляторыв линейных динамических системах. Докл. АН УССР. Сер. А, № 5, с. 75 - 77.

82. Невидомский А.И», Лобок А.П. Синтез оптимального подвижного управления при квадратичном критерии качества. В кн. : Оптимальное управление в механических системах. Тезисы

83. I Всесоюзной конференции ( Киев, 1979 г. ) Киев, 1979, т. II, с. 102 - 103.

84. Никольский С.М. Приближение функции многих переменных и теоремы вложения. М. : Наука, 1977. - 455 с.

85. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами. Докл. АН СССР, 1975,т. 223, В 6, с. 1314 1317.

86. Осипов Ю.С. Позиционное управление в параболических системах. Пришг. матем. и механика, 1977, т. 41, вып. 2, с. 213 - 225.

87. Осипов Ю.С., Охезин С.П. К теории дифференциальных игр в параболических системах. Докл. АН СССР, 1976, т. 226, № 6, с. 1267 - 1270.

88. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. -. М. : Мир, 1973. 321 с.

89. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мтценко Е.Ф. Математическая теория оптимальных цроцессов. -М. : Наука, 1969. 376 с.

90. Пузыре в В. А. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (обзор). Зарубежная радиоэлектроника, 1975, & 7, с. 38 - 57.

91. Самойленко Ю.И. Некоторые задачи управления электромагнитным полем. Кибернетика, 1970, № 3, с. 75 - 81.

92. Сейдж Э., Мелса Дк. Теория оценивания и ее црименение в связи и управлении. М. : Связь, 1976. - 495 с.

93. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М. : Наука, 1977. - 479 с.

94. Сиразетдинов Т.К. Синтез систем управления с распределенными параметрами при неполном измерении ее состояния. -Изв. вузов. Авиационная техника, 1971, № 3, с. 35 43.

95. Тихонов А.М., Арсенин В,Я. Методы решения некорректных задач. М. : Наука, 1974. - 196 с.

96. Хапалов А.Ю. Задача минимаксной среднеквадратической фильтрации для параболической системы. Дрикл. матем. и механика, 1978, т. 42, вып. 6, с. 1016 - 1025.

97. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.-М. : ИД, 1962. 829 с.

98. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипсоидов I, II, III. -Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1980, $ 3, с. 3 II; В 4, с. 3 - II; № 5, с. 5 - 12.

99. Черноусько Ф.Л, Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемой системы. Лрикл. матем. и механика, 1981, т. 45, вып. I, с. II - 19.

100. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М. : Наука, 1978. - 351 с.

101. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М. : Наука, 1978. - 272 с.

102. Aidarous S.E., Gevers M.R., Installe M.J. Optimal sensors' allokation strategies for a class of stochastic distributed systems. Int. J. Control, 1975, vol. 22, N 2, p. 197 -213.

103. Cornick D.E., Michel A.N. Numerikal optimization of distributed parameter systems by the conjugate gradient method. -IEEE Trans. Autom. Control, 1972, vol. AC-17, H 3, p. 358 -362.

104. Davison-E. J., Maki M.C. Tile numerikal solution of the matrix Rikkati differential equation. IEEE Trans. Autom. Control, 1973, vol. AC-18, N 2, p. 71 - 73.

105. Friedman M., Tavin Y. Computation of optimal controls fortwo classes of non-linear distributed parameter systems.-Int. J. Control, 1973, vol. 18, N 4, p. 705 712.

106. Herring K.D., Melsa J.L* Optimum measurement for estimation. IEEE Trans. Autom. Control, 1974, vol. AC-19, N 3, p. 264 - 266.

107. Kim M., Erzberger H. On the design of optimum distributed parameter system with boundary control function. IEEE Trans. Autom. Control, 1967, vol. AC-12, N1, p. 22 - 28.

108. Meyer G.G., Payne H.J. An iterative method of solution of the algebraic Riccati equation. IEEE Trans. Autom. Control, 1972, vol. AC-17, N 4, p. 550 - 551.

109. Nakamori Y., Miyamoto S., Ike da S., SawaradiY. Measurement optimization v/ith sensitivity criteria for distributed parameter systems. IEEE Trans. Autom. Control, 1980, vol. AC-25, N 5, p. 889 - 901.

110. Tzafeestas S. On optimal distributed parameter filtering and fixed-interval smoothing for colored noise. IEEE Trans. Autom. Control, 1972, vol. AC-17, N 4, p. 448 - 458.

111. Vit K. Iterative solution of the Riccati equation. IEEE Trans. Autom. Control, 1972, vol. AC-17, N 4, p. 258 -259«

112. Wong J.K., Soudack 'A.C. Stochastic optimal pointwise regulation control for linear discrete-time distributed parameter systems. Int. J. Control, 1975, vol. 22* N 5, p. 593 - 609.

113. Yu T., Seinfeld J.H. Observability and optimal measurement location in linear distributed parameter systems. Int. J. Control, 1973, vol. 18, N 4, p. 785 - 799*