автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы решения задач дифракции волн в неоднородном полупространстве

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ р г . л П И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

ЛОЖЕЧКО ВАДИМ ВАДИМОВИЧ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1997

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук профессор Шестопалов Юрий Викторович

доктор физико-математических наук профессор Самохин Александр Борисович (МГИРЭА(ТУ)) кандидат физико-математических наук доцент Серов Валерий Сергеевич (МГУ)

Московский Энергетический Институт (Технический Университет)

199?

года в

О.

ча-

Зашита состоится " сов %О минут на заседании диссертационного совета К.053.05.87 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан

199 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доцент

В.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение математических моделей дифракции электромагнитных волн на цилиндрических поверхностях в кусочно-однородной среде занимают важное место в современной радиофизике, дефектоскопии, геофизике. Одним из наиболее распространенных методов строгого решения задач дифракции является метод интегральных уравнений. Однако область его применения ограничена и не охватывает ряд важных с точки зрения практических приложений задач дифракции на металлодиэлектри-ческнх рассеивателях, граница которых может быть бесконечной и (или) неодносвязной, а диэлектрическая проницаемость среды описывается произвольной кусочно-постоянной функцией. Особое место занимают рассеиватели, поперечное сечение которых образовано областями с некомпактными непериодическими границами (бесконечные экраны с произвольными неоднородностями). Здесь разработка математических моделей требует постановки специальных условий на бесконечности, учитывающих геометрию некомпактных участков и позволяющих корректно описать все типы собственных колебаний и волн в системе. В связи с этим возникает необходимость введения в рассмотрение обобщенных постановок соответствующих краевых задач. Дальнейшее развитие подхода, опирающегося на понятие обобщенного решения, и его применение для решения задач прикладного характера связано с использованием проекционных методов построения приближенного решения и прогрессом вычислительной техники.

С неоднородными граничными задачами электродинамики тесно связаны соответствующие спектральные, описывающие собственные колебания и волны открытых резонаторов и волноводов. Здесь наиболее перспективными в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах являются металлодиэлектрические волноводы, например, микрополосковые линии передачи, на основе которых создаются интегральные схемы СВЧ, выполненные в виде как планарных, так и объемных многослойных конструкций. Для таких волноводов характерно меньшее, чем у металлических волноводов, затухание и они, как правило, свободны от недостатков, присущих чисто диэлек-

трнческим структурам. ■

Открытые волноведущие структуры и резонаторы принципиально отличаются от экранированных, поскольку даже в предположении идеально проводящих граничных поверхностей возможны потери на излучение и, кроме того, в спектральных задачах ставится условие на бесконечности, содержащее спектральный параметр и определяющее их характер. Поэтому корректное описание резонансных свойств и распространения волн в открытых структурах возможно только на основе специально разработанных математических моделей, учитывающих все вышеуказанные факторы.

Одним из наиболее универсальных методов решения сложных нелинейных спектральных задач электродинамики является метод оператор-функций одной или многих комплексных переменных. Суть этого метода состоит в том, что исходная оператор-функция для дифференциальных уравнений краевой задачи в полной электродинамической постановке заменяется какой-либо другой, возможно несамосопряженной, более удобной для исследования, и доказывается их спектральная эквивалентность на изучаемой области значений параметров. Метод оператор-функций позволяет связать воедино однородные (спектральные) и неоднородные задачи для операторных уравнений, так как одновременно позволяет определить области локализации спектра и резольвентного множества операторов, т.е. докалывать теоремы существования и единственности решения. Впервые этот метод с использованием интегральных уравнений и результатов теории потенциала был наиболее последовательно применен в работах A.C. Ильинского и Ю.В. Шестопалова для построения спектральной теории МПЛ. Подход, основанный на использовании понятия обобщенного решения и метода оператор-функций применялся Ю.Г. Смирновым для доказательства полноты системы собственных и присоединенных волн экранированного частично заполненного волновода с нерегулярной границей.

Целью работы является:

1. Разработка универсальной математической модели, позволяющей на основе анализа краевых задач в обобщенной постановке с использованием метода оператор-функций исследовать задачи дифракции, о собственных колебаний и волнах и восстановления фор-

мы и электродинамических характеристик цилиндрических метал-лодиэлектрических рассеивателей широкого класса с некомпактной границей;

2. Разработка, обоснование и реализация алгоритма построения приближенного решения задач дифракции на основе метода Галер-кина.

3. Численное моделирование свойств рассеянных полей в дальней и ближней зонах в резонансном диапазоне частот.

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:

1. Построена математическая модель задач дифракции волн для широкого класса рассеивателей с некомпактной границей, позволяющая корректно описывать резонансные свойства и рассчитывать комплексный спектр собственных колебаний и волн.

2. Доказана фредгольмовость задач о спектре собственных колебаний и волн открытых цилиндрических резонаторов и волноводов широкого класса с неоднородным диэлектрическим заполнением.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения задач дифракции плоской волны на металлодиэлектрических рассеи-вателях широкого класса в обобщенной постановке, единственность решения задач восстановления диэлектрической проницаемости и формы металлодиэлектрических рассеивателей по данным рассеяния.

4. Разработан и обоснован алгоритм приближенного решения задач дифракции на металлодиэлектрических рассеивателях широкого класса с некомпактной границей.

Практическая ценность работы:

1. Разработан комплекс программ для численного моделирования рассеянных полей для задач дифракции волн на рассеивателях с различным характером нерегулярности металлизированной границы и неоднородности диэлектрического заполнения.

2. Проведено исследование влияния изменения параметров, характеризующих возбуждающее поле и металлодиэлектрический рас-сеиватель на поведение рассеянных полей в дальней и ближней зонах. Выявлены области, где проявляются резонансные свойства рассеивателей.

Обоснованность и достоверность результатов диссертационной работы обусловлена корректностью постановок исследуемых задач и полным математическим обоснованием предложенных алгоритмов. Сходимость приближенного решения к точному проверялась путем изменения числа узлов в квадратурных формулах и размерности матриц СЛАУ. Полученные результаты согласуются с работами других авторов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях "Day on Diffraction-'94", "Day on Diffraction'95" (Санкт-Петербург, 1994, 1995), международных симпозиумах "Progress in Electromagnetics Research Symposium" (PIERS'94) (Нордвийк, Голландия, 1994), "Journees Internationales de Nice sur les Antennes" (JINA'94) (Ницца, Франция, 1994), научно-исследовательских семинарах Института Радиотехники и Электроники РАН, кафедр математической физики и общей математики факультета ВМиК, кафедры математики Физического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [1-7].

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 121 странице машинописного текста и состоит из введения, четырех глав основного текста и списка литературы, содержащего 57 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертационной работе проведено описание существующих методов решения ряда граничных задач электродинамики, дан обзор литературы по исследуемой проблеме, обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, ее научная новизна и кратко изложено содержание. Приведены основные положения и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены постановки задач дифракции Е- и Н-поляризованной плоской волны на идеально проводящих экранах с произвольными конечными цилиндрическими неоднородностями (желобами, щелями, и т.д.),диэлектрическими включениями (стерж-

нями) и лентами, расположенными над экраном. Используя парциальные условия излучения, задачи о спектре собственных колебаний Е- и Я-типа открытых цилиндрических частично заполненных резонаторов широкого класса в обобщенной постановке сводятся к задачам на собственные числа для голоморфных фредгольмовых несамосопряженных оператор-функций, действующих в некотором подпространстве класса Соболева, что позволяет одновременно доказать отсутствие конечных точек накопления множества собственных чисел и сформулировать теоремы существования и единственности для соответствующих неоднородных задач (задач дифракции). Сечение исследуемых структур плоскостью, перпендикулярной образующей, представляет собой неограниченную двумерную область О. из класса Пд с некомпактной границей, допускающую постановку на бесконечности парциальных условий в форме Райхардта-Свешникова. Некомпактные участки границы областей fi из класса Пд образованы двумя лучами {х| х2 = 0, |х| > Д}; Q \ В(О, R) = {г| х2 > 0, |ar| > Я}, где B(Q,R) = {х| |х| < R}. В круге B(0,R) граница области Q представляет собой конечную совокупность кусочно-гладких линий и удовлетворяет условию конуса (рис. 1).

Задача дифракции Е- (Н-) поляризованной плоской волны сводится к определению продольной компоненты и1 (и2) электрического (магнитного) поля в области для которой краевая задача в классической постановке имеет вид:

(1) и' е Hits для всех S > О,

#1,6 = Н и б С2(П \ Г) П C1{ilj\Ss) П C(Qj), j = 1 ,N),

H2,s = {tt| и € С2{П \ Г) П C^ttj \Ss),j = l,N),

(2)

Au'(x) + ц;2ф)и'(х) = 0, ¿ = 1,2,

J(|V«'|2 + |«'|2) dx < oo для любого 6 > О, Ss

U1'2 = UoTÜo + U1'2, |®|>г, г > R,

oo

и{(р,<р) = p = N >

n=0

где £(.т) — вещественная положительная кусочно-постоянная функция с кусочно-гладкими линиями разрыва Г; е(х) = 1, \х\ > R;

= {а;| е(а;) = £j = const}; S$ — объединение ¿-окрестностей точек нарушения гладкости дй\ Uq = егш(а,х)] Uq = е,ш(а,х); а^ = - cos/?; »2 = — sin/3; 7г — (3 — угол между направлением распространения плоской волны и осью Ох i; а = (ai,— «2); i>\(ip) = sin пер; — cos тар.

Определение комплексных значений частоты ы (собственных чисел), при которых существует нетривиальное решение однородной задачи (1)-(7) (Uq = Uq — 0) представляет собой задачу о спектре собственных колебаний Е- (Н-) типа открытого цилиндрического частично заполненного резонатора с сечением в виде области fí. Обобщенная постановка краевой задачи, соответствующей (1)-

(7) при i = 1 (E-поляризация) состоит в следующем: требуется найти распределение и из класса V'(Q), удовлетворяющее следующим условиям:

(8) и € Нг(ПГ),г > Д,

(9) Ди + Ли = 0вП,

(10) u = UQ-Üo + U\ \x\>r>R,

где для функции U1 справедливо представление (7);е:(х) € Loo(fir); £(х) = 1, jx| > ñ; ür = í2nB(0,r); Hl(Qr) — подпространство Hl(Qr) функций с нулевым следом на сШ ПВ(0,г).

(6)

Если е(х) — кусочно-постоянная функция, то всякое классическое решение (задачи (1)-(7)) является обобщенным; всякое обобщенное решение, принадлежащее Н 1,5 для всех 5 > 0 является классическим.

Однородная задача (8)—(10) (Щ = Vо = 0) на собственные числа эквивалентна задаче на собственные числа для действующей в Н1(£1Т) оператор-функции ш

на римановой поверхности С(г') ее определения. Оператор-функции .4 и В определяются посредством полуторалинейных форм на Н1(ПГ)

[Л(ш)и,и]Н1(Пг) = у"(1 + ш2е(х))иб(Ь:, Пг

[В(и;г')и, у]н1(Пг) =

С г О

где С'г = {х| х2 > 0, |а;| = г}; (г',ы) 6 (Я, г) х С(г'). На основании теоремы Реллиха о компактности вложения доказывается полная непрерывность операторов А к В при любых фиксированных г' € (Я, г) и и € С(г'). Обозначим через Я{К) множество всех ш е Ст'(г') при которых оператор г') непрерывно обратим и положим а{К) = С(г') \ Я(К). Из голоморфности и фредгольмовости Л"(и;; ;•') в С(г'), а также включения сг[К) С С(г') П {и>| 1т а; < 0), следует отсутствие конечных точек накопления сг(К) в С(г'). Множество всех собственных чисел однородной задачи (8)—(10) не имеет ненулевых конечных точек накопления и принадлежит {и;| 1т а; < 0}.

Если и> не является собственным числом однородной задачи (8)-(10), то соответствующая неоднородная задача имеет единственное решение, удовлетворяющее в Я2(£2Г) уравнению

К{и>, г')и = и0{г')

для любого г' 6 (Я, г), не являющегося корнем уравнений =

0, п = 1,2,.... Элемент По(г') определяется посредством вариационного соотношения

К^п г) =

Сг 10

-2-й ио)Фп(0 -—ФЛч>) Мл

п=1 п

для всех V € Я1(0Г).

В области решение представимо равенством (10), где постоян-

ные с„ в (7) определяются разложением в ряд Фурье функции и\ст, ■ Далее рассматривается задача о спектре собственных волн открытого частично заполненного волновода, сечение которого плоскостью, перпендикулярной образующей, представляет собой область, допускающую постановку на бесконечности парциальных условий излучения в форме Райхардта-Свешникова (рис. 2). Собственные волны определяются как нетривиальные решения однородной системы уравнений Максвелла с зависимостью епх* от координаты, являющейся образующей. Эти решения отвечают некоторым комплексным значениям спектрального параметра 7 и выражаются через продольные составляющие П и Ф электрического и магнитного полей, для которых краевая задача имеет вид:

(И)

п € Яи, Ф € Я2)«, V«* > О,

(12) ЛП + к2П = 0, Аф + рф = 0, з:еО\Г,

Р = ы2Е(Х) - 72, 1ти = 0,

(13)

(14)

№ = [Ф]|г = 0,

(16) /(^П|2 + IУФ|2 + |П|2 + |Ф|2) ¿X < оо,

п-0

со

Ф = £ с\н£Хкр)ф1{ч>), Р>г,г> II.

п=0

Предположим, что£-(г) = Е\, х Е £(я) = £2, х в С

В(0, Я) и £2 > £1 > 0 (рис. 2). Тогда задача на собственные числа в обобщенной обстановке, соответствующая (11)—(17) эквивалентна в С(г') \ задаче на собственные числа для оператор-функции

ЦТ,г,)=14К + 12(А1 + £1В(г,г')-(£1+£2)и2К)+

+(£1 - £2)^75 + £Х£2 (и4К - и2А2 - и2В(у,г')),

действующей вЯ = Н1{0.г) X Н1(ЛГ). Операторы в (18) определяются посредством полуторалинейных форм в Я

[М1,9\н = + V/2V52) йх

Пг

[АгГ,д]н = /(ч/г^Я! + д2) пг

[К1,д]н = ¡{1191+/292) с1х пг

г

[вЬУ)1,д) =

^ Я^1)(^1(7)г') /

Нк'^ЬУ) )

Через С(г') здесь обозначена риманова поверхность оператор-функции В(7, г').

Множество собственных чисел задачи в обобщенной постановке, соответствующей (11)—(17) не имеет конечных точек накопления в С\ {7! 1ш7 = 0,|7| > ы^/^Г} и не имеет общих точек с отрезком {7| 1п1 = 0}.

Во второй главе рассматриваются задачи определения электродинамических характеристик и формы локально неоднородных металлодиэлектрических рассеивателей с сечением в виде областей ГI из класса Пд по дифракционному полю. В математическом отношении эти проблемы сводятся К обратным задачам, соответствующим (8)—(10).

Используя теоремы существования и единственности решения задач дифракции в обобщенной постановке, классические результаты о единственности решения задач восстановления электродинамических характеристик локально неоднородных диэлектрических рассеивателей и формы идеально проводящих рассеивателей обобщаются на случай металлодиэлектрических рассеивателей широкого класса.

Сформулируем математическую постановку обратной задачи восстановления диэлектрической неоднородности поданным рассеяния. Пусть заданы: неограниченная область из класса Пд; на некотором частотном интервале (шх,^) 6 С \ {0} — зондирующая плоская волна Щ и диаграмма направленности дифракционного поля С/1 Ю(^) = \\тр-.004и1(р,(р-,ш)/{Но'\и}р). Требуется определить функцию е(х) из класса Ьоо(Оя)-

Обозначим через Ее множество функций е(х), е(х) = 1 в Й\ В(0,Е) и е(а:) 6 £оо(^д)> для любых двух элементов которого и £2 найдутся подобласть Г2г С 5(0, Я) с кусочно-гладкой границей, удовлетворяющей условию конуса, и положительное <5, такие ЧТО £"1 = £2 почти ВСЮДу В О, \ Пх И Либо £х — £2 > <$> Либо £2 ~ £х >6 почти всюду в Пх. Тогда при некоторых дополнительных условиях, накладываемых на сШ, решение обратной задачи в рассматриваемой постановке единственно в Ее.

Математическая постановка обратной задачи восстановления формы рассеивателя состоит в следующем: пусть в области {я| ar2 > 0}иВ(0,Д) задана функция е(х) € 1оо(В(0,Л)) иф) = 1 )z| > R; на некотором интервале (w 1,0*2) G С\{0) задана зондирующая плоская волна и диаграмма направленности дифракционного поля U1. Требуется определить область О, из класса Пд. Обозначим через Rq множество областей Q из Пд, для любых двух элементов которого f2i и 0.2 справедливо включение Cli П 0.2 € Пд, и граница каждой связной компоненты ПхДПг удовлетворяет условию конуса.

Решение обратной задачи восстановления формы рассеивателя в сформулированной постановке единственно в Дп-

В третьей главе строится и обосновывается алгоритм приближенного решения задачи (8)—(10) на основе метода Галеркина.

Рассмотрим вспомогательную задачу: найти распределение и из класса удовлетворяющее условиям

(19) Ли + и2е(х)и = 0 в Or,

(20) и1зпя = Vi гда V б

Предположим, что Iти > 0, и не является собственным числом однородной задачи (19), (20) и для некоторого положительного 8 ^R-s с где Щ = {Х1 > < |®| < J?}- Обозначим через ь-ь Яг(Г2г) линейный непрерывный оператор, ставящий в соответствие каждой функции ф G Ях(Пд) элемент ф* 6 Hl(Slr), равный ф в Пд и удовлетворяющий (19), (20) с у> = Ф\ся\ через Нф — замыкание в Ях(Пд) линейной оболочки системы {i>n}%Li, Фп — Н1п1)(ир)ф1п{ср) и положим Щ = БНф, и'0 = S{U0 - и0), Ф* = Бфп. Отметим, что Я^ — подпространство Я^Пг). Представим точное решение задачи (8)—(10) в области Пг в виде

U = Uq + w.

Элемент w принадлежит Я^. Обозначим через Я* линейную оболочку системы {^Г}?=i- Галеркинское приближение wn элемента w

определяется как элемент из Я*, удовлетворяющий для всех и € Я* вариационному соотношению

У(У(и>„ 4- - и2£(х){юп + и*0)д) ¿х- !

«г С г

+ I, - / # „(!), ' ^ (

О Я/ '(<«"• )

Я < г' < г.

дп

у ¿г = О,

Галеркинское приближение гип однозначно определяется при любом п, и последовательность юп сходится к ю в Я1(ПГ).

Таким образом, в общем случае решение исходной задачи (8)-(10) в неограниченной области с некомпактной границей сводится к построению базисных функций метода Галеркина путем решения задачи Дирихле (19), (20) в обобщенной постановке в ограниченной области и определению коэффициентов разложения из СЛАУ, соответствующей (21). Аналогичный подход для построения приближенного решения применен для случая Я-поляризации.

Четвертая глава посвящена построению алгоритмов численного решения задачи (8)—(10) для конкретных структур на основе метода, развитого в главе 3, и описанию результатов численного моделирования рассеянных полей в дальней и ближней зонах.

Назовем модельными структуры, где базисные функции метода Галеркина ф* в области Йд либо выписываются явно, либо определяются при помощи метода разделения переменных и частичных областей. В качестве примера рассматриваются цилиндрические рассе-иватели, сечение которых плоскостью, перпендикулярной образующей, приведено на рис. 3, а также более сложные структуры (рис. 4), содержащие острые ребра. На основе метода, описанного в главе 3, построены и реализованы на ЭВМ алгоритмы численного решения задач для модельных структур, а также задач дифракции волн на частично заполненном полукруглом канале в идеально проводящем экране (рис. 5). Исследовано поведение диаграмм направленности, поперечников обратного рассеяния и полей в ближней зоне в зависимости от параметров, характеризующих возбуждающее поле, ли-

нейные размеры и диэлектрические свойства неодпородностей. Показано, что влияние диэлектрических включений оказывается весьма существенным и проявляется, в частности, в увеличении числа и усложнении формы боковых лепестков диаграмм направленности, а также поведения поля в ближней зоне. Зависимость интенсивности излучения в направлении отражения в соответствии с законами геометрической оптики от диэлектрической проницаемости и линейных размеров включений носит довольно сложный осциллирующий характер даже для простейших структур. С увеличением частоты возбуждающего поля характер осцилляций усложняется. Выделены области значений параметров, характеризующих рассеиватель и возбуждающее поле, где проявляются резонансные свойства, такие как, например, аномально малая амплитуда рассеянного поля в направлении отражения.

Для ряда структур вычисляются комплексные собственные числа задачи о спектре собственных колебаний и исследуется зависимость их распределения от диэлектрической проницаемости включений. Показано, что распределение спектра собственных колебаний на комплексной плоскости тесно связано с распределением локальных экстремумов на графике зависимости поперечников рассеяния от вещественных значений частоты возбуждающего поля. Экстремумы "указывают" на наличие собственных чисел соответствующей задачи о спектре собственных колебаний, вещественная часть которых располагается в окрестности соответствующего экстремума.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. На основе парциальных условий излучения Райхардта-Свеш-нпкова и анализа краевых задач в обобщенной постановке, которые сводятся к исследованию операторных уравнений с голоморфными фредгольмовыми оператор-функциями, построена математическая модель, позволяющая на базе единого подхода рассматривать задачи дифракции, о собственных колебаниях и волнах и восстановления характеристик открытых частично заполненных резонаторов и вол-

новодов широкого класса.

2. Сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности для задач дифракции волн на металлодиэлектрических рассенвателях широкого класса в обобщенной постановке, а также теоремы единственности решения задач восстановления диэлектрической неоднородности и формы рассеивателя по данным рассеяния.

3. На основе метода Галеркина разработан, обоснован и реализован в виде комплекса программ алгоритм приближенного решения задач дифракции волн на металлодиэлектрических рассеивателях с некомпактной нерегулярной границей.

4. Проведено численное моделирование рассеянных полей в дальней и ближней зонах. Исследовано поведение рассеянных полей в зависимости от параметров, характеризующих возбуждающее поле, линейные размеры и диэлектрические свойства неоднородностей. Выявлены области значений, где проявляются резонансные свойства рассейвателей.

Публикации автора, отражающие содержание работы:

[1] Ложечко В.В., Шестопалов Ю.В. О задаче возбуждения открытых цилиндрических резонаторов. — ЖВМиМФ, 1995, т. 35, № 1, с. 71-83.

[2] Ложечко В.В., Шестопалов Ю.В. Свойства спектра собственных колебаний одного класса открытых цилиндрических резонаторов. — Вестник МГУ, 1994, № 4, с. 54-61.

[3] Lozhechko V. V. and Shestopalov Yu. V. Partial Radiation Conditions and Some Inverse Problems of Waves Scattering, Proc. of the Day on Diffraction'94 International Seminar, St. Petersburg, May 30-June 3, 1994, p. 27.

[4] Lozhechko V. V. and Shestopalov Yu. V. Direct and Inverse Scattering by Screens with Cavities, Proc. of the 1994 Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS'94), Noordwijk, The Netherlands, July 11-15, 1994 (El. Proc. on CD-ROM, 4 p.).

[5] Lozhechko V. V. and Shestopalov Yu. V. Methods of Solution to the Problems of Direct and Inverse Scattering by a Family of Open Domains, Proc. of the 1994 Journees Internationales de Nice sur Ies Antennes (JINA 94), France, November 7-10, 1994, p. 22-26.

[6] Lozhechko V. V. and Shestopalov Yu. V. Uniqueness of Reconstructing the Boundary Contour and Dielectric Permittivity in the Problems of Inverse Scattering by Open Domains with Non-Compact Boundaries, Proc. of the Day on Diffraction'95 International Seminar, St. Petersburg, Russia, May 29-31, 1995, p. 41.

[7] Ложечко В.В., Шестопалов Ю.В. Дифракция на цилиндрических рассеивателях с некомпактными границами. — Зарубежная радиоэлектроника, 1996, М 1, с. 5-9.