автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Методы геометрического моделирования многофакторных процессов на базе проекционных алгоритмов

' г-

На правах рукошси

^ Красильникова Галина Анатольевна

МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ НА БАЗЕ ПРОЕКЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ

Специальность 05.01.01 - Прикладная геометрия

2 инженерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (государственном техническом университете)

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Якунин В.И.

кандидат технических наук, профессор Волопшнов В.А. ,

доктор технических наук Наджаров К.Ы. кандидат технических наук, профессор Тарасов Б.Ф.

Ведущая организация: Научно-производственное предприятие

"Завод им. В.Я. Климова"

Защита состоится "21 " ноября 1995 г. в 12 часов на заседании диссертационного Совета Д 063.51.07 "Прикладная геометрия и инженерная графика" в Московской государственной академии пищевых производств, ауд. 509.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГАШ.

Просим Вас принять участие в обсухдении диссертации или прислать свой отзыв в двух экземплярах с подписью, заверенной гербовой печатью по адресу диссертационного Совета: 125080, Москва, Волоколамское шоссе, д.II.

Автореферат разослан " 20 " октября 1995 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

И.Н.Акимова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При исследовании многофакторных процессов и обработке многомерных данных наряду с абстрактными аналитическими моделями используются модели геометрические. Одним из важных достоинств геометрических моделей является возможность получения наглядных представлений об изучаемых явлениях.

Кроме наглядных геометрических моделей, заметную роль в инженерной практике играют расчетные геометрические модели, предназначенные для передачи информации о количественных соотношениях параметров исследуемых процессов.

Существуют различные подходы к созданию геометрических моделей. Для одних целей синтезируется универсальная модель пространства, на которой возможно осуществлять любые геометрические операции, допустимые в исходном пространстве. В других случаях конструируется специализированная модель, предназначенная для реализации конкретного геометрического алгоритма. Модели первой группы являются объектами изучения начертательной геометрии, модели второй группы - номографии.

В целом ряде работ демонстрируется получение расчетных геометрических моделей с помощью проекционных методов. Однако такой подход без использования современных компьютерных технологий не получил практического применения.

Специалисты, умеющие качественно строить номографические модели при помощи ЭВМ, как правило, не используют проекционных методов и тем самым сужают возможности номографии для решения широкого круга научных и инженерных задач.

Таким образом, возникает настоятельная необходимость соединить преимущества проекционных методов получения расчетных геометрических моделей с возможностями классической номографии на основе новых теоретических исследований в этих областях и современных инструментальных средств компьютерной геометрии и графики.

Цель работы - разработка способов моделирования многофакторных процессов на базе проекционных алгоритмов и программных средств компьютерной геометрии и графики.

Исходя из поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

- разработка способов создания специализированных геометрических моделей (конструктивно-минимальных схем) на основе общих алгорит-

3

мов решения задач проекционной геометрии;

- получение аналитических эквивалентов для ряда исследуемых геометрических конструкций;

- разработка способов повышения оперативной мощности проекционно-числовых моделей;

- разработка способа представления экспериментальных данных на проекционо-чиеловой модели с возможностью управления ее формой;

- разработка программного комплекса для автоматизированного построения проекционно-числовых моделей на базе алгоритмов классической номографии и алгоритмов начертательной геометрии;

- составление алгоритмов синтетического конструирования проекци-онно-числовых моделей для обработки экспериментальных данных в среде системы компьютерной геометрии и графики;

- внедрение результатов исследований в промышленность и учебный процесс.

Методика исследований. Решение задач, поставленных в диссертационной работе, базируется на методах начертательной, аналитической, проективной геометрии, геометрии многомерных пространств, вычислительной техники и компьютерной графики.

Теоретической базой проведенных исследований являются работы:

- по вопросам геометрического моделирования, теории геометрических преобразований, теории проективной геометрии, теории номографии -Четверухина Н.Ф., Котова И.И, Глаголева H.A., Фролова С.А., Бусыгина В.А., Иванова Г.С., Рыжова H.H., Тевлина A.M., Тузова А.Д., Надаарова K.M., Валькова К.И., Волкова В.Я., Волошинова В.А., Филиппова П.В., Михайленко В.Е., Подгорного А.Л., Хованского Г.С., Якунина В.И. и других;

- по вопросам представления и обработки экспериментальных данных - Адлера Ю.П., Марковой Е.В., Грановского Ю.В., Налимова В.В., Новицкого П.В., Первиковой В.Н. и других;

- по вопросам автоматизации построения геометрических моделей -Борисова С.Н., Чибисова В.В., Полозова B.C. и других.

Научная новизна. Научную новизну проведенных исследований определяют следующие результаты:

- разработан ряд специализированных проекционно-числовых моделей на основе некоторых ключевых операций, получены новые канонические Форш в аналитическом виде;

- разработан способ повышения оперативной мощности модели посредством движения ее элементов и на его основе разработана методика пост-4

роения проекционно-числовых моделей для определенного класса уравнений;

- даны рекомендации по выбору аппарата проецирования и по расположению особых элементов исследуемой поверхности по отношению к проецирующим образам в операционных пространствах различной размерности;

- разработана методика обработки экспериментальных данных в таблицах с двумя, тремя и четырьмя входами с линейной интерполяцией по каждой переменной, обеспечивающая получение математической модели в виде геометрической структуры;

- создана элементная база, ноше алгоритмы и программы для автоматизированного конструирования проекционно-числовых моделей;

Практическая ценность. Результаты исследований позволяют:

- расширить возможности отображения многофакторных процессов, т.е. пополнить арсенал существующих номографических моделей новыми, полученными на базе аппарата проекционного моделирования;

- получить эффективное изображение поверхности на плоской модели, отображающей экспериментальные данные со всеми ее характерными особенностями, минуя этап получения модели в аналитическом виде;

- упростить процесс конструирования и вычерчивания проекционно-числовых моделей путем использования современных средств компьютерной геометрии и графики, повысить качество представления данных.

На защиту выносятся положения, представляющие научную новизну и перечисленные выше.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на Республиканской научно-методической конференции "Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовке специалистов для народного хозяйства" (г.Ленинград, ЛПИ, 1984г.); на Уральской научно-технической конференции "Геометрическое моделирование и начертательная геометрия" (г.Пермь,1988г.); на Республиканской научно-методической конференции "Основные направления повышения качества подготовки инженерных кадров в свете перестройки высшего образования" (г.Ленинград, ЛПИ,1988г.); на IX Всесоюзном научно-методическом семинаре "Инженерная и компьютерная графика" (г.Севастополь, СВВМИУ, 1989г.); на 46 -ой научной конференции Ленинградского инженерно-строительного института (1989г.); на семинаре-совещании "Инженерная и компьютерная графика: актуальные вопросы теории и практики" (г.Севастополь, 1990г.); на конференции "Прогрессивные технологические процессы в механообрабатывахщем и сборочном производстве" (г.Ленинград, ДЩГО, май, декабрь 1992г.).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав,

5

заключения, библиографии и приложений. В ней содержится 144 страницы машинописного текста, в том числе 27 страниц рисунков, 75 наименований использованных источников.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ и одна находится в печати. В этих работах отражены основные теоретические и прикладные аспекты проведенных исследований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дан краткий анализ состояния вопроса, сформулирована цель и основные решаемые задачи, доказывается научная новизна и практическая значимость результатов работы.

В первой главе исследуется структура проекционно-числовой модем дается многомерная интерпретация геометрических построений на плоской ~а также рассматриваются способы получения специализированных геометр« ческих схем для конструирования проекционно-числовых моделей.

В процессе конструирования геометрических моделей в самых разнооС разных формах используется операция проецирования, сопоставляющая эле менты двух множеств Ш и (т). Если каждому элементу множества пос тавить в соответствие некоторые числа, то. геометрическую конструкци можно применять для расчетных целей.

Осуществление преобразования п - т может происходить в пространствах различной размерности. В предельном пространстве Дл+т в качестве посредника между двумя множествами выступает некоторая поверхность При понижении размерности операционного пространства сам алгоритм, обеспечивающий преобразование п ~ и подвергается моделированию, и его конструкция становится все более сложной.

Цроцесс конструирования проекционно-числовых моделей требует пред варительного изучения используемых геометрических алгоритмов, которые в этом случае представляют собой некоторый механизм преобразования вхо ных параметров модели в выходные, и сами становятся объектами моделиро вания. Каждый геометрический алгоритм тесно связан с размерностью сво его операционного множества (суммарная размерность всех геометрических множеств участвующих в формировании составных частей данного алгоритма которое также подвергается геометрическому моделированию. Очевидно, чт чем меньше размерность, тем проще алгоритм, однако повышенная размер ность для алгоритма означает большую свободу при его конструировании, классической номографии этот эффект соответствует "приспособляемости 6

моделей. Поэтому одной из важных задач в области конструирования про-екционно-числовых моделей является поиск средств для снижения размерности геометрического алгоритма на проекционной модели с сохранением общей ее структуры и относительной приспособляемости.

Другой, не менее важной задачей в этой области является определение возможности использования фиксированной ключевой операции проек-ционно-числовой модели при увеличении параметров входа , т.е. повышения оперативной мощности геометрического алгоритма при сохранении его размерности. Решению этих двух проблем посвящена теоретическая часть диссертационной работы.

Структура проекционно-числовой модели, вид ключевой операции зависят от многих факторов, а именно: от выбранного аппарата проецирования (вида и расположения центральных и проецирующих образов), от способа перехода к картинной плоскости и расположения в ней исключенных элементов модели, от выбранной системы отнесения.

Если поверхность Z*1, отображающая некоторую зависимость хп+1 = /Гг; ,хг,...,хп) расположена в предельном пространстве вместе с координатной системой, то при моделировании ее на щоскости определится общая структура проекционно-числовой модели: каждая координатная ось будет представлена несколькими прямыми, а поверхность f1 некоторым многосвязным отношением. Отметив на координатных осях точки с нужными числовыми отметками и выявив структуру геометрического алгоритма, можно определить (та-1 )-ую координату точки, принадлежащей поверхнности.

Если та же поверхность расположена в открытом пространстве, то для ее отображения можно использовать п - арную сетку занумерованных гиперплоскостей и, вводя еще одно семейство помеченных гиперповерхностей, получить некоторый аналог сетчатой номограммы в пространстве fin. Рассекая попарно все элементы•семейств картинной плоскостью и выявляя вид ключевой операции, посредством которой выделяется одна из линий ответного семейства, получим структуру проекционно-числовой модели для исследуемой поверхности.

Основная трудность при конструировании проекционно-числовой модели заключается в реализации многосвязного отношения в первом случае и поиске вида ключевой операции во втором.

Возможные упрощения схемы геометрических построений без разрушения вида модели могут быть осуществлены за счёт её модификации, при которой максимальное количество проективитетов и коллинеаций, устанавливающих связь между элементами модели приводится к тождеству. В этом случае будем говорить о конструктивно-минимальной схеме (KMC)

7

модели.

В качестве примеров получения KMC, пригодных для конструирования номографических или проекционно-числовых моделей, рассматривается процесс трансформации схемы построения избыточного поля проекций для некоторых проекционных систем.

I .Неоднородная проекционная система пространства В3 состоит из двух центральных образов - точки S1 и прямой зг; проекционных пространств плоскости 1С,' и прямой р2'. Переход от операционного пространства к картинной плоскости осуществляется двумя линейными прербразовани-

ями: коллинеацией | j и проективитетом %21 |(р2 ]> гДе (%2)

и (р2) поле и прямолинейный ряд картинной плоскости. Точка общего положения М моделируется парой произвольно выбранных точек (но не инцидентных исключенным образам модели) U1 с(я}), и М2(р2).

Дополнительную проекцию точки К будем получать проецированием ее из центра S3, занимающего общее положение в системе центральных образов, на плоскость %3'. Третье проекционное пространство в будет представлять собой плоскость %3. Исключенная плоскость а = S1 -зг отображается в картинной плоскости прямой а\г и точкой Х2С р2, исключенная плоскость р = S3-sz отображается в %к прямой ззг и точкой Y2c р , а исключенная прямая п = Sf -S3 точками U1 и U3.

Установив проективные соответствия между полями, можно по заданным проекциям и М3 построить проекцию И2 (рисЛа), которая представляет собой двойную точку проективитета, определенного на прямой р2 - \и2, х2, t21\K\Vz. y2, М23\.

Для использования данной схемы в качестве проекционно-числовой модели производится ряд преобразований - U^ U2= U3, ш в из, а все проективные соответствия устанавливаются перспективными. Тогда схема приобретает вид конструктивно-минимальной, пригодной для конструирования специализированной модели. После введения координатной системы ixoy) так, чтобы элементы KMC заняли по отношению к ней частное положение (рис.16), определится уравнение, связывавдее проекции точек.

Каноническая форма для данной ключевой операции получится заменой в уравнении координат точек соответствующими функциями

V V А

Цри дальнейшей модификации проекционно-числовой модели приобретает вид номограммы из выравненных точек, что показывает на тесную связь номографии с проекционно-числовым моделированием. 8

2.Рассматривается процесс трансформации схемы построения избыточного поля на модели G^. Исключенными элементами модели являются прямые 321, 331 в ПЛОСКОСТИ %1; 312, 332 в %г и 313, 323 В 1С .

Структура схемы общего вида определяется наличием трёх пар проективных рядов точек хЦ^. таких- что ^^ точки

пар прямых Kj-321'331, Кг=з/2-зз2 и К3=313-323 являются соответственными в установленных проективитетах (рис.2а).

Преобразования полей %213 и х^3 назначаются тан, чтобы (згз)= Х13(321) для х% и (3i3)=x^3(3i2), (ззг)=хг231хг13(331)1 для Тогда проективные соответствия х]г> Х1гз и Х31 вырождаются в тождества и схема общего вида преобразуется в KMC свободную от процедур реализации проективитетов. Последняя может быть с успехом использована как ключевая операция для пространственно-числовой связи шести параметров (рис.26).

Для полученной схемы находится аналитический эквивалент с учетом возможности введения в поля модели функциональных сеток произвольного вида. Задача решается для частного варианта представленной геометрической схемы при совмещении прямых зз1=ззг с несобственной прямой картинной плоскости, а координатная система вводится так, чтобы элементы KMC заняли по отношению к ней определенное положение (рис.2в).

Аналитическую форму указанной геометрической конструкции представим в виде: __ />2

US6 = TZ

34

S12~S34

+ 8-,

~ Тзл °34 '

Для различных модификаций определены уравнения бинарных полей с учбтом параметров упрвления формой и положением проекционно-числовой модели. Если в поле (/5б,#5б) построить семейство линий /5 = /56'856

и изменить некоторым образом вид функций £Г2, /34, ё34, то можно

получить уравнение вида /5 = + /12£34-

Конструктивно-минимальная схема и соответствующая ей каноническая форма нашли практическое применение в механообрабатываицем производстве при расчетах точности механической обработки фасонных поверхностей вращения.

Полученные модели позволили оперативно производить количественный

9

и качественный анализ взаимосвязи между геометрическими параметрам резца, заменив собой достаточно сложные и громоздкие уравнения точное

3. Использование методов проекционного моделирования позволил! решить задачу компактного графического представления взаимосвязи параметров при исследовании процессов воспроизведения импульса линейноп ускорения на испытательном стенде.

В исследуемой задаче сумма действующих параметров равна шест! и, г, о), 2?, I), причем набор независимых параметров может быть составлен из любой четверки. Следовательно, проекционно-ге.ометрическиь эквивалентом, моделирующим взаимодействие параметров, можно назначит! подпространство Я4, расположенное в предельном пространстве Я6 шш модель этих объектов на плоской картине в виде некоторого многосвязного отношения. Последнее может быть реализовано на чертеже схемой-алгоритмом, связывающим тройку проекций М1 - М2 - М3 для точки ¡1 с Я4 с Я и позволяющим по данным двум изображениям, например ¿?;, М2, находить проекцию точки И в третьем поле (рис.За).

Отсчет параметров Лиг осуществляется на модели в поле (тс?.); К и I - в поле (%г), Т и ы - в поле (ъ3). При совмещении прямой РС с несобственной прямой плоскости чертежа схема проекционно-числовой модели принимает вид конструктивно-минимальной схемы (рис.Зб). Расчет координатных семейств в каждом из полей выполняется на основе исходных данных и представленной геометрической схемы.

Проекционно-числовая модель процесса воспроизведения импульса линейного ускорения, построенная по приведенной методике, позволяет быс тро и эффективно определять параметры испытательного стенда для получения заданной амплитуды и длительности.

Во второй главе рассмотрены способы повышения оперативной мощности проекционно-числовой модели посредством движения ее элементов на примере распространенной номографической модели из выравненных точек.

Показано, как при геометрической трансформации шкал повышается количество входных параметров. Так, при последовательном перемещении шкал на своих носителях, количество параметров увеличивается с трех до шести. Если к перемещению шкал добавить их поворот, то количество независимых параметров можно увеличить до девяти. В этом случае повышается оперативная мощность ключевой операции.

В работе сделан анализ связи исключенных элементов модели с ее оперативной мощностью. Исследуется эффект повышения оперативной мощности ключевого алгоритма для отображения полиномиальной зависимости 10

= °0 *

•4х Vел

(11=2,3,4...)

(I)

1аеЛ + 1а1

1<1<(п-1) 1<^<J<(n-1)

Эта зависимость эквивалентна гиперповерхности гЛ"'с- Дп, которая содержит (п-1) семейство линейных образующих, параллельных координатным плоскостям я{Огп. Рассматривается преобразование (п-1) - 1 на модели, состоящей из шкал. Исходя из этого определяется проекционная система пространства Я", включающая в себя: п центральных образов-гиперплоскости Тп~г, принадлежащие одной гиперплоскости С1-'; проекционные пространства - прямые р;', р2' •••рп'. Переход от операционного пространства к картинной плоскости и^ осуществляется проективитетами 1, %21...., сопоставляющими точкам проекционных прямых прямолинейные ряды картинной плоскости (р;),(р2),...,(рп)

Исключенная гиперплоскость Сп~' отображается

точками X*. X*,

... ,Х*п на соответствунвдх прямых. Исследуемая поверхность со-

держит исключеннный образ, состоящий из (п-1) гиперплоскостей параллельных координирующим осям х1 и пересекающихся в некоторой точке К. Каждая точка такой гиперплоскости обладает тем свойством, что при (п-2) фиксированных координат ответная координата хп не зависит от х{. Координаты критической точки К(х*,х*,... ,х*) определяются при решении системы уравнений, полученных при равенстве нулю частных производных по каждой переменной

дх /дх. = О.

П I

а11 0 °12 а1(п-1)

?22 + Ъг 0 а2(п-П X = 0. (2)

й(п-1)(п-1) 'а1(п-1) а2(п-1У~° Х(п-1)

Каждое из уравнений соответствует гиперплоскости Исследу-

емая поверхность вместе с координатной системой располагается в йп

-.п-2 сп-2

.п-2

совпали с цент-

так, чтобы особые гиперплоскости , ,... .-гг_, ральными гиперплоскостями проекционной системы пространства Я*. Тогда координатам критической точки будут соответствовать на модели исклю-

ченные точки X*, X*. ..., X*.

При понижении размерности исходного пространства (фиксируются переменные х хп_2.....хг), определятся координаты критических точек поверхности на каждом, более низком уровне. Этим координатам в х^ будет соответствовать набор исключенных элементов, необходимых для конструирования проекционно-числовой модели. Выбрав в качестве шкал прямые - х{, хк, хп, и, используя остальные для задания траектории движения выбранных шкал при определенном расположении исключенных точек,

II

получим схему проекщошо-чиеловой модели для фиксированной ключево! операции, эквивалентную уравнению (I).

В работе подробно рассматривается процесс конструирования проек-ционно-числовой модели для уравнения (I) при п = 3,4,5, схемы которых представлены на рис.4 - 6. При расположении исключенннных точек моделв {X*,7*,2"), как это показано на рис.4а, движение шкалы х зависит от принимаемых значений переменной у. Движение этой шкалы можно заменит бинарным полем (х.у) (рис.46). По значениям входных параметров хк, ук при использовании разрешающей прямой определится искомый параметр г.

Рассматривается уравнение и = А}х + А^у + А3г + В,ху + Вггг + В^уг + В . (3)

Это уравнение эквивалентно гиперповерхности Т3 <- В4, которая содержит три семейства прямолинейных образующих, параллельных координатным плоскостям хОа, уОа и гОи. Для построения проекционно-числовой модели необходимо определить критические значения ¿г**, у*", г**, решив систему линейных уравнений

А} + В,у + = 0 (4)

■ Аг + В,х + В3г = 0 (5)

Аэ + В ¿г + В^у = О . (6)

Гиперповерхность Р3 содержит три исключенные плоскости, параллельные координирующим осям {х, у, г) и пересекающиеся в точке с координатами х**, у**, г** , и**.

На проекционных прямых х, г и и исключенная плоскость

(сечение исключенного образа при у = ук) отобразится точками I*. !7*, которые будут соответствовать координатам точки принадле-

жащей линии пересечения плоскостей (4) и (6). Исключенные точки, полученные в сечениях, будем называть исключенными точками первой ступени. При у = у** координаты точки К совпадут со значениями х**, г** и и".

На рис.5а показано расположение шкал, исключенных элементов первой и второй ступеней при фиксированном значении ук, а также траектории движения шкал х и и в зависимости от значения у. Для удобства работы с моделью движение шкалы и заменяется стационарным бинарным полем (у,и), а движение шкалы х осуществляется в бинарном поле [у,г). Положение линий семейства у поля (у,и) будет определяться прямыми пучка с центром в точке г**, соответствующими значениям параметра у ("рис.56).

Для отображения гиперповерхности Р4 пространства Я5 на проекци-

онно-числовой модели необходимо выявить ее исключенные элементы, решив систему уравнений (2) при п = 5. Решение даст четыре исключенные значения третьей ступени - х***, х**т, х**т, г"* соответствующие координатам точки пересечения четырех особых гиперплоскостей Б3 С4. Подстановкой этих значений в уравнение (2) определится х**".

Для конструирования проекционно-числовой модели необходимо получить критические значения при фиксированной переменной, например, и^, т.е. определить точку пересечения особых плоскостей в четырехмерном сечении пространства В5, а также критические значения, соответствующие точке пересечения прямых в трехмерном сечении фиксированного подпространства В4.

Располагая необходимым набором исключенных элементов, можно получить схему проекционно-числовой модели (рис.6а), а также траектории движения шкал. Шкалы х1 и х5 перемещаются в бинарных полях (х},х4). Поле, в котором движется шкала х1, кроме этого, будет перемещаться по стрелке в зависимости от значения х3. Ответная переменная д* определится при совмещении х*** и х*5" с заданными значениями х*, х*. установке бинарного поля в положение, соответствующее х^, и использовании разрешающей прямой.

Рассматривается процесс отображения уравнения (I) на проекционно-числовой модели при п = 4, но при усложнении взаимосвязи входных параметров (добавлении члена, характеризующего тройное взаимодействие входных параметров на выходной параметр). Рассматривается гиперповерхность, соответствующая этому уравнению для выявления ее особых геометрических элементов.

Поверхность содержит три семейства прямолинейных образующих, параллельных координатным плоскостям. В трехмерных и двумерных сечениях (при фиксации соответственно одной или двух переменных) особые геометрические образы первой ступени будут иметь тот же характер, что и в случае гиперповерхности, эквивалентной уравнению (I). Характер особых элементов второй ступени при этом изменится - они будут представлять собой нелинейные образы в предельном пространстве. Вследствие этого изменится и общая структура проекционно-числовой модели. Она будет состоять из двух частей, каждая из которых соответствует определенному набору исключенных точек модели: X'*, У*^, 2"*, и'* и Г*, Г"г*. 2*г*, и*г*.

Далее в этой главе исследуется взамосвязь исключенных элементов аппроксимирующей поверхности с точностью отображения экспериментальных данных на проекционно-числовой модели, характеризуемых уравнением (I)

13

при п = 3,4,5. При значительной диффузности исходных данных используется метод медианных центров.

Опираясь на геометрические представления о форме поверхности в заданном пространстве факторов и выявляя связь табличных данных с ее особыми элементами, определяются все коэффициенты уравнения, которые непосредственно связаны с исключенными точками геометрической модели. После выявления значений исключенных точек осуществляется переход к конструированию проекционно-числовой модели и ее корректировке посредством движения элементов модели с целью еще более точного приближения последней к исследуемому процессу.

При п =3 аппроксимирующая поверхность содержит две особые прямые, координаты точки пересечения которых {х*, у* и г*) находятся на основании данных таблицы I

Таблица I

|к XI Хп |

1 г1 гт

1 г1 гт .....I

Строятся прямые г = ^^х) при у1 и г = Тп(х) цри уп, а также 2 = /,(у) при х1 и г = /п(у) Цри хп, которые в пересечении определяют проекции исключенной точки поверхности.

На рис.7а показана схема определения критических точек для таблицы I, в которой параметрам ...соответствуют значения выходной переменной для т проводимых опытов при различных уровнях факторов. На рисунке диффузионный разброс отображен полосой рассеяния цри определенных фиксированных значениях входных параметров. При использовании метода медианных центров для усреднения экспериментальных данных определятся точки А, В, С и д. Пересечение прямых и с2*йг даст проекции точки КСК^), а следовательно и исключенные точки про-екционно-числовой модели.

Для проверки модели (рис.76) на соответствие экспериментальным данным, определяется значение выходного параметра, соответствующее средним уровням факторов хср и уср. Если на модели величина не выходит за пределы интервала неопределенности '••,2ср' то П0ЛУ~ ченная модель считается адекватной исследуемому цроцессу.

Если же величина г* выходит за пределы заданного интервала, то ср _

улучшение модели производится за счет перемещения шкал. По откорректированной модели определяются новые исключенные элементы, которые, ис-14

пользуются для расчета коэффициентов уравнения.

х*у*(г* - г*) у*(г* - г*) +-*- ; а.. =--г-

ао = 2 1 ' "11

(хгх*)(у1-у*) " (Х Гх*)(уГу*) хГсг* - г*) ^ г* - г*

(хсх')(усу*) 12 (х1-х*)(у1-у*)

В работе подробно описывается процесс обработки данных для таблиц с тремя и четырьмя входами. На основе полученных исключенных значений параметров различных ступеней разрабатываются геометрические алгоритмы (схемы) для конструирования проекционно-числовой модели.

Разработанная методика представления данных использовалась при экспериментальных исследованиях процесса электрогидроимпульсной обрезки, калибровки деталей из полых тонкостеннных заготовок. На рис. 9 представлена одна из проекционно-числовых моделей для расчета точностных параметров указанного процесса. На основании табличных данных были найдены исключенные элементы модели, необходимые для ее конструирования (рис.9,а). После определения выходного параметра для средних уровней факторов, модель подверглась модификации посредством движения ее элементов, с целью приблизить экспериментальные данные к расчетным данным (рис.9,6). Определение коэффициентов уравнения производился на основании новых значений исключенных точек модели.

Полученные аналитические и проекционно-числовые модели для расчета точностных параметров процесса позволили уменьшить погрешность расхождения опытных данных с расчетными более, чем в два раза по сравнению с использованным ранее для их обработки МНК, что повысило качество проектирования указанных технологических процессов.

Третья глава посвящена автоматизации цроеквдонно-числового моделирования в задачах обработки данных.

Представление данных на цроекционно-числовой модели, как было рассмотрено ранее, может осуществляться двумя способами. Аналитический эквивалент приводится к некоторой существующей канонической форме, для которой разработаны аналитические или графические способы построения проекционно-числовых моделей, эквивалентные этим формам. Или данные, для которых выбран вид аппроксимирующей поверхности, непосредственно отображаются на модели, а затем, если это необходимо, приводятся к аналитической форме. Поэтому и машинно-графические способы их представления могут быть различными.

I. Одно из направлений автоматизации аналитических методов интер-

15

»

претации геометрического алгоритма связано с машинной номографией. Опираясь на имеющиеся достижения в этой области, в работе решен ряд задач для качественного изготовления предметной модели: разработаны алгоритмы и программы автоматического выбора шага дискретизации шкал, семейств линий и бинарных полей, разработаны способы управления формо и размещением элементов проекционно-числовых моделей на экране и чер теже автоматически или интерактивно.

В процессе создания элементной базы пространственно-числового кодирования был предложен удобный для практического использования метод аппроксимации кривых ломаными линиями.

■ На основе этого метода разработан алгоритм для автоматизированного выбора шага варьируемого параметра при построении бинарных полей Для определения качества аппроксимации кривой выбраны следующие критерии:

а) каящая точка на кривой должна находиться от ломаной на расстоянии S, меньше некоторого заданного S1;

б) угол наклона касательной к кривой в каждой точке не должен от личаться от угла наклона соответствующего звена ломаной линии больше угла <р,.

Для решения данной задачи не рассматривались другие свойства кри вой, связанные с дифференцированием (точностью определения кривизны, точек касания, экстремумов и т.п.).

На базе существующих алгоритмов машинной номографии и вновь разработанных на основе конструктивно-минимальных схем, создан программный комплекс "NOMOS". При его вызове и указании на запрос о количестве переменных в функции обеспечивается автоматический переход к одному из возможных вариантов геометрической модели.

2. Для конструирования проекционно-числовой модели синтетическим способом удобно использовать системы машинной геометрии и графики. Подобная система, разработанная на кафедре начертательной геометрии СПбГТУ, позволяет производить геометрические построения в интерактивном режиме графического редактора, запоминая алгоритм построения и предоставляя возможность автоматического его выполнения при изменении входных параметров.

Система предусматривает создание функциональных блоков для реали зации конкретных геометрических алгоритмов и использование их в более сложных геометрических структурах.

На рис. 8 представлена блок схема геометрического алгоритма расчета входных параметров, необходимых для конструирования проекционно-16

lcZ

a)

Z\ У oP Уп

I --I l r---1

IL

cp

»«I-

X,

cp

У, У op Уп Lz*=y*~

б) Рис.7

Рис.8

числовой модели представления табличных данных по разработанной методике.

Экспериментальные данные таблицы с четырьмя входами при определенных фиксированных значениях входных параметров поочередно поступают на цреобразователь J6I, который представляет собой функциональный блок реализации геометрического алгоритма расчета исключенных элементов первой ступени. После обработки данных методом медианных центров полученные значения исключенных элементов группируются в зависимости от принадлежности особому геометрическому образу в сечении аппроксимирующей поверхности при одном из фиксированных параметров входа. Далее выбранные значения поступают на преобразователь реализующий геометрический алгоритм нахождения координат точки пересечения трех плоскостей.

Расчитанные исключенные элементы второй ступени обрабатываются преобразователем J63, который позволяет определять координаты точки пересечения четырех гиперплоскостей в пространстве й4,- исключенные точки чретьей ступени. Далее необходимый набор значений поступает на функциональный блок реализации геометрического алгоритма конструирования проекционно-числовой модели, для создания которого разработаны алгоритмы-инструкции по его выполнению.

Описанные выше автоматизированные системы геометрического моделирования разработаны в среде Турбо Паскаль для использования на персональном компьютере класса IBM PC .

Все геометрические модели и иллюстрации в представленной работе выполнены при использовании средств компьютерной геометрии и графики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволили получить следующие основные научные и практические результаты:

1. Разработан ряд специализированных схем для конструирования проекционно-числовых моделей на основе общих алгоритмов решения задач в области геометрического моделирования.

2. Получены новые канонические формы для проведения расчетов и эешения разнообразных задач многофакторного анализа.

3. На основе исследований возможности повышения оперативной мощ-юсти существующих моделей разработана методика построения проекци->нно-числовых моделей для уравнения гиперповерхности пространства Яп,

21

содержащей (п-1) семейство линейных образующих, параллельных координатным плоскостям х.Ох .

I п

3. Выявлена связь критических точек уравнения с исключенными эле ментами поверхности и даны рекомендации по выбору элементов системь проецирования и расположению исследуемой поверхности по отношению г ним для упрощения конструирования проекционно-числовых моделей.

4. Разработана методика представления экспериментальных данных, позволяющая моделировать их в виде поверхности и производить расчет выходного параметра по заданным входным с последующей корректировкой модели посредством движения ее элементов.

. 5. Получены формулы для расчета коэффициентов уравнения регресга на основе полученной геометрической модели и ее характерных элементе»!

6. Разработана элементная база, новые алгоритмы и программы для автоматизированного конструирования проекционно-числовых моделей.

7. Полученные в работе результаты нашли применение при решении £ дач расчетов точности механической обработки фасонных пoвepxнocтeí вращения в механообрабатывавдем и сборочном производстве, а также пр> исследовании процессов электрогидроимпульсной обрезки, калибровки полых тонкостенных цилиндрических заготовок.

Результаты исследований в виде разработанных программных средст* и различных вариантов расчетных геометрических моделей, построению автоматизированными методами, используются в научных исследованиях I лабораториях, а также в учебном процессе СПбГТУ.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Волоишнов В.А., Красильникова Г.А. О канонической форме для одной проекционно-числовой модели //Геометрическое моделирование инженерных объектов и технологических процессов: Сб.науч.тр./0Ш1., Омск,1989.- с. 42-44.

2. Волоишнов В.А., Красильникова Г.А. О проекционно-числовом моделировании процессов воспроизведения импульса линейного ускорения нг испытательном стенде//Испытательные и поверочные стенды: Сб.науч.трудов /ЛГТУ.- Л.,1992. С. 40-43.

3. Красильникова Г.А. К вопросу о повышении оперативной мощности расчетных моделей //Вопросы начертательной геометрии и ее приложения / Межвуз. сб. науч. трудов.-Ярославль, ЯПИ, 1988, с.88.

4. Красильникова Г.А. 0 проекционных эквивалентах для некоторых полиномиальных зависимостей //Геометрические модели и их применение: Межвуз. сб. науч. трудов./ Рыбинский авиационный технологич. ин-т. -22

Ярославль, 1990, с.47-50..

5. Красильникова Г.А. Позиционные отношения на проекционных моделях как ключевые операции для компьютерной номографии //Геометрическое моделирование и компьютерная графика:СО. научн.тр./СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1992.-с.26-32.

6. Красильникова Г.А. Построение проекционно-числовой модели для табличных данных с двумя входами по ее исключенным элементам //Геометрическое моделирование и компьютерная графика:Сб. научн.тр./СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1995./находится в печати/.

7. О канонических формах для некоторых видов ключевых операций /Волошинов В.А., Красильникова Г.А.; Ленингр.политехи.ин-т.-Л., 1990. -24 е.; ил.-Библиогр.4 назв.- Рус.-Деп. в ВИНИТИ 16.08.90, * 4639-В90.

8. Геометрическое моделирование и его связь с машинно-графической визуализацией данных /Волошинов В.А., Половинкин М.Д., Красильникова Г.А.; Ленингр.политехи.ин-т.-Л., 1990.- 30 е.; ил.-Библиогр.б назв.- Рус.-Деп. в ВИНИТИ 10.07.89, * 4506-В89.

Отпечатано на ротапринте СПбГТУ

195251, Санкт-Петербург Политехническая ул. ,29