автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методика анализа эволюционных систем с распределенными параметрами

доктора физико-математических наук
Волосов, Константин Александрович
город
Москва
год
2007
специальность ВАК РФ
05.13.01
Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Методика анализа эволюционных систем с распределенными параметрами»

Автореферат диссертации по теме "Методика анализа эволюционных систем с распределенными параметрами"

На правах рукописи

ВОЛОСОВ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ

Методика анализа эволюционных систем

с распределенными параметрами

05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка иифорчации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007 г

003158782

Диссертация выполнена па кафедре "Прикладная математика 1"в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ)

Официальные оппоненты - доктор физико-математических паук,

профессор Зайцев В Ф

доктор физико-математических наук, профессор Мартинсон Л К

доктор физико-математических паук, профессор Хаметов В М

Ведущая организация -Институт проблем механики РАН

Защита состоится "23 " 0< ГЯ&РЯ 2007г в /4 часон на заседании диссертационного совета Д 212 133 01 при Московском государственном институте элек1ропики и математики (технический университет) по адресу 109028, Москва Б Трехсвяппе н.ский пер , 1-3/12,стр 8 аудитория 318_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики

Автореферат разослан " 20 " Сгк^ЬР* 2007 г

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу университета

Ученый секретарь диссертационного совета к т и , доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы Проблема анализа пелинейиых эволюционных систем с распределенными параметрами является одной из основных задач системного анализа Для анализа свойств таких систем необходимо уметь строить новые точные решения квазилинейных уравнений для всех типов задач и асимптотические решения, главный член которых является решением ОДУ Отсюда вытекает актуальность темы дайной работы В диссертации рассмотрены эволюционные системы с распределенными параметрами, связанные с квазилинейными дифференциальными уравнениями с частными производными, которые возникают в различных процессах в теории оптимального управления, нелинейных процессах тепломассопереноса, в физике и биологии, теории нелинейных волн, при распространении возмущений в движении реологических жидкостей и т д

Цель работы Целыо данной работы является формирование комплексною, систематического подхода к изучению нелинейных эволюционных систем с распределенными параметрами, возникающих в различных областях науки и техники Предложено обоснование повой эффективной методики 1 построения точных решений в параметрической форме нелинейных и квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка С помощью этой методики можно изучать эволюционные системы путем построения новых ючнмх решений в параметрической форме в многомерном случае Одна из целей работы- распространение новой методики на эволюционные системы связанные с самоорганизацией, распространением пространственных воли, а также описанием диссипагнвпых структур В комбинации с известными асимптотическими и численными методами построенные точные решения уравнений с частными производными оказываются полезными в многомерном случае

Конкретно ставились следующие цели

1)Построить точные решения для нелинейных эволюционных систем, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с помощью конструктивной замены независимых переменных в двухмерном и многомерном случаях Распространить предложенную методику на квази шиейные параболические уравнения с коэффициентами, зависящими от независимых переменных

2)Построить точное решение задачи синтеза оптимального управления движением тела постоянной массы с ограничениями В частности, решить задачу синтеза оптимального управления колебаниями маятника, находящегося под воздействием гауссовских и пуассоновских возмущений, с трением и без него Ставила«, цель с помощью разработанной методики исследовать и решить задачу построения точных решений квазилинейных параболических уравнений с переменными коэффициентами-уравнения Гамильтона -Якоби -Беллмапа и установить их связи с решениями линейных параболических уравнений

3) Построить точное решение задачи синтеза оптимального управления движением тела переменной массы < ограничением на ресурс управления в детерминированом случае

4) С помощью предлагаемой методики ставилась цель построить точные решения и исследовать свойства для стационарного режима систем, описываемых эллиптическими уравнениями Показать возможность исследования широкого класса таких задач с помощью предложенного метода

5) Построить методику исследования процессов распространения нелинейных волп

хтермин "методика"применяется в значении "совокупность методов практического выполнения "

в нелинейных средах, которые описываются квазилинейными певырождающимися гиперболическими уравнениями с помощью точных решений в параметрической форме

6) Изучить системы двух полулинейных уравнений и построить точные решения задачи Коши со специальными начальными данными в распространенных в приложениях случаях таких систем

7) Изучить асимптотические решения по гладкости и указать все типы особенностей на фронте слабого разрыва квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений Найти необходимое условие существования решения квазилинейного вырождающегося гиперболического уравнения, описывающего распространение нелинейных волн в среде с медленно меняющимися свойствами Построить точные и асимптотические решения

Методы исследований. В диссертации использованы элементы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория ОД^' уравнений, численные методы, асимптотические методы, групповые методы построения точных решений, теория оптимального управления и теория случайных процессов

Научная новизна полученных результатов В диссертации получены следующие новые результаты

1 Разработапа новая методика построения точных решений дифференциальных уравнений с частными производными в параметрической форме, основанная па предложенной автором конструктивной замене независимых переменных Задача п со роения решения исходного уравнения с частными производными второго порядка сводится к системе четырех уравнений первого порядка с частными производными и установлены условия ее разрешимости

2 В тех случаях, ко1да решение в параметрической форме не разрешается, в исходных переменных предложена комбинированная методика из п 1) с численными методами для исследования многомерных задач для квазилинейных уравнений с частными производными Построены примеры решений уравнений Фитц-Хью-Нагумо Семенова, Зельдовича, уравнения близкого к уравнению Колмогорова~Петровско1 о-Пискунова-Фишера

3 Построено семейство точных решений класса задач синтеза оптимального управления колебаниями маятника, находящегося под воздействием случайных возмущений

4 С помощью предложенной методики установлена связь решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения с переменными коэффициентами -Гамильгопа-Якоби-Беллмана с решениями линейного параболического уравнения

5 Найдены точные решения для ряда задач синтеза оптимального управления движением тела переменной массы с ограничением па ресурс управления в детермилиро-ваном случае

6 Построены новые классы точных решений задачи Коши со специальными начальными данными систем двух полулинейных параболичеа- их уравнений

7 Проведена полная классификация особенностей, возможных в квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнениях Найдены необходимые условия существования решения и построены асимптотические решения задачи Коши со специальными начальными данными, в среде с медленно меняющимися свойствами для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравгений

Обоснованность выводов диссертации Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами, приведенными в диссертации, а 1акже пуб-

ликациями в ведущих рецензируемых журналах в России и за границей в США, Великобритании, Германии

Практическая ценность работы Некоторые полученные в работах автора и приведенные в диссертации результаты вошли в справочники 2 Конкретные ссылки приведены во Введении диссертации Новый метод исследования с помощью предложенной конструктивной замены переменных и построение точных решений в параметрической форме позволяют исследовать свойства нелинейных эволюционных систем с распределенными параметрами в многомерном случае

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Прикладная математика 1" Московского государственного университета путей сообщений, па кафедре "Прикладная математика" Московского i осударственного института электропики и математики (технический университет), на семинаре Института Проблем механики РАН, па семинаре по математичеа ой физике Института Прикладной математики им Келдыша, на кафедре "Кибернетика" Московского государственного института электропики и математики (технический университет), па кафедре "Дифференциальны*' уравнения и математическая физика" Университета "Дружбы пародов", на кафедре "Дифференциальные уравнения " в Московском государственном университете им Ломоносова, на кафедре "Математическая физика" Самарского государcißeunoro университета, па кафедре "Высшая математика "Московского технического университета связи и информатики, на кафедре "Математического анализа" Российского государственного педагогического университета им А И Герцена (Санкт-Петербург) Представленные материалы диссертации докладывались на международных конференциях третья международная конференция ''Средства математического моделирования", Санкт-Петербург, июнь 2001, XX Joint Session of Petrovskn Semmai and Moscow Mathematical Society, международная конференция, посвященная 100-тетию со дня рождения И Г Петровского, 22 мая 2001, международная конференция, посвященная 70-летию академика А М Ильина Уральское Отделение РАН, Башкирский научный центр, Институт математики Уфа, 2002, четвертая международная конференция "Средства математического моделирования" Санкт-Петербург, июнь 2003, "Современная математика и ее приложения", г Суздаль копферепция-3,2003, VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" Москва ИПУ им В А Трапезникова РАН, июнь 2004, IV международная конференция "Идентификация систем и задачи управлеиия"81срго'05 , Москва, ИПУ им В А Трапезникова, 25 янв 2005, Научная конференция "Герцеиовские чтения -2006 " 14-19 апреля, РГПУ Санкт-Петербург IX Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" Москва, ИПУ им В А Трапезникова РАН, 31-2 июня 200G, Международная конференция посвященпая 100 летию со дня рождения А Н Тихонова, "Тихонов и современная математика" МГУ, 19-24 июнь 2006, Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г Суздаль, Институт математики Стеклова, МГУ им Ломоносова, Владимир- кий государственный уии-версит 10-15 июль 2006, "ГОТАМ"Symposium 25-30 август 2006, Институт математики Стеклова, Конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" г Самара, Самарский государственный университет 1- 2 февраля 2007, Научная конференция

2Полянин А Д , Зайцев В Ф , Журов А Н , Казенин Д А Методы решения нелинейных уравнений М Физматлит, 1998 см С 236, С 263, Полянин А Д, Зайцев В Ф Справочник по нелинейным равнениям математической физики М Физматлит, 2002, Polyanm A D , Zait «vVF Moussiaux A Handbook of Fist Order Partial Differential Equations, 2002, London, Taylor and Francis итп

"Герценовские чтения -2007 ", РГПУ, Санкт-Петербург 16-21 апреля 2007, XXII Jomt Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society, Международная конференция И Г Петровского, 26 мая 2007 (Организаторы предоставили возможность сделать доклад сверх программы, учитывая важность темы ), Международный конгресс 2007, "Нелинейный динамический анализ 2007", посвященная 150-летию со дня рождения А М Ляпунова, Сапкт -Петербург, 4-26 июня 2007

Публикации. По теме диссертации опубликованы 17 научных работ, включая 13 научных работ в центральных, рецензируемых научных журналах по списку ВАК, а также результаты диссертации частично опубликованы в сборниках и в двух монографиях па русском и английском языках С учетом публикаций в трудах конференций, всего опубликовано 35 научных трудов

Структура и объем диссертации Диссертация содержит введение, шесть i пав, заключение, список используемой литературы и приложение Работа состоит из 252 страниц, включая 20 рисунка, и список литературы, состоящий из 204 наименований, одной таблицы Приложение составляет 13 страниц

Содержание диссертации

Во введении дано обоснование актуальности выбранной автором темы днссер1ации, сформулирована цель работы, дано обоснование научной новизны и ее практическая ценность, а также в сжатом виде изложено содержание глав диссертации В первой главе проведена разработка и обоснование методики исследования пг> примере эволюционных систем описываемых квазилинейных уравнений с частными производными с коэффициентом переноса, зависящим от решения и независимых переменных коэффициентов в параметрическом виде 3 В §1 1 описана история вопроса и приведены примеры В §1 2 изла1 ается методика конструктивной замены переменных на примере задачи Коши со специальными начальными данными дчя квазилинейного параболического уравнения

Z\-(K{Z))Z'xjx + F(Z) = 0, (1)

где K{Z), F(Z) в этом параграфе зависят только от Z Метод построения решения приводится предполагая, что все используемые функции имеют необходимую гладкость Пусть <5 новые независимые переменные, а х = x(£,6),t = t(£,<5) Сделаем замену переменных

Z(x,t)lx=x((S>t=i((,{) = U({,6) (2)

Предположим, что якобиан замены переменных DetJ = x\t's — t\x's ^ 0 и \DetJ\ < оо Тогда существует, хотя бы локально, обратное преобразование £ = i), 8 = S(x, t) Известно

дх „,7dS dt 35 дх dt

её= DetJdi' * = ~DetJlTx> m = -DetJTt> es = DetJ£ (3)

Обозначим

K{Z)%\x=Ai S) (=i(i, «, = K(f,i), K(Z)§|„x(i, J} „ = T(Z,6) Очевидно, что существует обратная замена, тогда Z(x,t) = хотя

бы локально

^Нумерация теорем и примеров в автореферате соответствует

их нумерации в диссертации

Из (2) из (3), вытекают два равенства

Уравнение (1) принимает вид

T(U) - - %~)/detJ + I<(U)F(U) = 0 (5)

Необходимое условие разрешимости системы двух уравнений (4) с учетом (2) (3) можно записать в виде

дхд Y дх д . У . dt д Т dt д Т

dSdCK(U)i + д$д5[К(иу д6д£[К(иу д£д61К(иу W

В результате получим систему четырех уравнений (4)-(6) относительно производных х s,t (J /> Следующее утверждение устанавливает условия разрешимости системы (4)-(6)

Теорема 12 2 Нелинейная алгебраическая система (4)-(6) относи 1Сльно производных т (,т ¡,t t'g разрешима и ее решение имеет вид

ßr , , , , , , , 9 I I J

- = (K{-FKUt(UlT(-TiUe)-(-TUsY( -TTfU( +

TU'sT'(U\ - У Г'6т\и'( + TY'SY'(U\ + )])/P,($,i) = (7)

dx / / iii

^ = K[-FKU S[U ST (-T ¡U ¿-TT (U s + УУ ¡T (U s +

Т?6и\и\ - YT'SY\U'S + TY'sY'fU's - TY'¿jPx{i, S) = Ф2(£, 5), (8) = K\-YY\ + FKU'( + TU\]{U'6Y\ - У^Ш/Р.^,*) = Ф3({, 6), (9)

9t = K[-YY'S + FKU's + TU\][U\Y\ - У'^/АЙ, 6) 1* Ф4«, ¿), (10)

86

где

Теперь построим функции <5), t(£,, 6) Хорошо известно, что условие разрешимости системы такого типа яв 1яются равенства

X {{ = X * == 4 5£ (11)

Отсюда вытекает утверждение

Теорема 12 3 Пусть выполнены равенства (11), тогда справедливы утверждения

1) Имеет место тождество

( ё^- - ЩЦ^)/Т = - где функции Ф„г = 1,4 определены равепсгвами

(7)-(10)

2) Пусть система (7)-(10)локалыго разрешима, тогда из двух условий разрешимости (11) следует равенство, а именно

- = 0 (12) до оЕ,

Следствие 12 3 Если какая-то тройка функций U, Y, Т удовлетворяет соотношению (12), то соответствующая линейная система разрешима в квадратурах

Замечание 12 3 Три функции U, Y, X не определяются из (12) единственным образом

Теоремы 1 2 2, 1 2 3 и следствие 12 3 дают новый метод построения точных решений уравнения (1) в параметрической форме

В §1 3 предложенная методика применяется для построения примера решения Зельдовича-Компаиейца-Баренблат) а квазилинейного параболического уравнения

Пусть в (1) K(Z) — kZF = 0, к > 1 Рассмотрим задачу Коши со специальными начальными данными при t = t0 > 0 Применим предлагаемую методику4 Использзя имеющийся в пашем распоряжении произвол в выборе связи функций U, Y, Т, положим

У&6) = Щ, r(f,i) = f

Тогда соотношение (12) превращается в уравнение на одну функцию U q ,iu>"i)u'¿и"«-и'¡)\и'iS-u'¡и"«} ч а лик-1)щ'я2-и\и"«ци'би"К~и'ео"е>)\ _п gi\ f > ао Р 1 ~ ' д

P(f, 6) = (U's)3U"u + и\и\а[и\0и'( - 2(С/',)2] + U"si\U's{U\f - (i/'i)2i/"«]

Одно из решений этого уравнения имеет вид

U(i,S) = ехр(—Отсюда следует, что система (7)-(10)примет вид

' _ 2*Ei|(»+l)f+(*-l)f'] ' _ к Ei \2(k+l)6+(k—i)£2] _ 2кт12(к+1)6+(к-1)(21 Х ( №-1)?' ' S ~ i.k-l)6i ' 1 i — (fc-l)i3 '

ft = -^Wgiy^', где обозначено Ег = ехр[-^]

После интегрирования этой системы имеем

х = *({, S) = 4 = '•'=

Выразив £ и S через г и t и подставив в U(£,$), придем к формуле

Z = (Ci2/i)1/('c""1', С = 5Щ+1)

Наиболее просто это сделать, если вычислить :r2/f

_2 П _ 2t(t+l)E! _ 2fc(fc+l) схр( —(fc—l)^2/|2(fc+l)<5]) •W" — (fc-l) - (Jfe—X)

После возведения в степень получим

Якобиан преобразования имеет вид J =

В §1 4 устанавливаем некоторые примеры связи междз неизвестными функциями U,Y,T

Способ А. Предположим, что

Y(f,6) = G{e,U), m,ö) = w(U) + v(V)G{i,U) (13)

4Этот пример был первым, осмысление и обобщение закономерностей в нем в [10) привело к резуль-

татам данной работы

Утверждение 14 1 Пусть выполнен пункт 2) в теореме 12 3 Пусть (?(£,[/) - дважды непрерывно дифференцируемая функция двух переменных, ш(11) и у(и) дважды непрерывно дифференцируемые функции одной переменной Тогда соотношение (12) принимает вид

[К(и)у"(У) - К'{Щу {и)}вг + [2К{и)т'(II) - К'(и)ь)'(и) + К(и)ги" (1))\в2 + \ЗР(и)у'{и)К2 + 2-шьК + тиК'(и)]0 - К2™?{Щ + и,гК'(и) + FЛ'V(£/) = 0(14)

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях функции в и приравнивая их к нулю, получим систему из четырех уравнений на две функции ш, V

[К(и)у"(II) - К'{и)ь\и)] = 0, [2К(и)т\и) - К\и)т'{и) + К{и)и"{и)} = 0, [ЗР(и)у (1))К2 + 2и1ь'К + тиК'(и)] = 0, К2юР'(и) + ги2К'((1) + РК2т {и) = 0 Оказывается, всем четырем \ равнениям можно удовлетворить При этом явный вид функций II), и (') остается произвольным

Ниже приведены случаи, в которых (14) разрешимо

Пример 14 2 Пусть в (1) функция К (и) = 1, имеет вид

2 А273

Р{г) = -д- ± (а, - г)(ао - г) (15)

Тогда уравнение (1) будет отличаться от уравнения Колмогорова-Пегровского-Писку иова-Фишера лишь на слагаемое 2Л'г3

Если выбрать и(!У) = + АС, ги(и) = -З.Р((У)/2 , где А—копетанга, то (14) удовлетворяется

Пример 14 3 Пусть в (1)

^) = Я(а1-^)(а0-2) (16)

Уравнение (1) в этом случае превращается в уравнение Фитц-Хью-Нагумо-Сечепова Если аа — 0, то (1)превращается в уравнение Зельдовича

Если выбрать г>(£/) = ^ - т(и) = -3^(!/)/2, то (14) удовлетворяется

В обоих примерах 1 4 2, 1 4 3 система (7)-(10) имеет вид

щ = ((Ц1/) + - (Р(и)у + ш + у2в + С2у + вш -

(т + у0)0'()и'()/Ри (17)

^ = ((<7и + и)Сг - [/V + г/2(? + т> + в2у + вго - (ю + иС)^ц]и'{),/Рь (18)

81 + Р2 и\) дг _ Р2 Ц'6

д(~ Р\ ' дб~ Р, '

где Р1 = Рш + ш2+ уюв - СР^ву + ш), Р2 = (Р + йу + ги - вв'и)

Очевидно, что якобиан 7 = ° £ ' не обращается в нуль После того, как выписали систему (17)—(19), семейство точных решений уравнения (1) в параметрической форме построено Выбираем ф} нкции V, и> как указано в примерах 14 2,143, при этом функции

С? и 1} остаются пока произвольными, мы получаем разрешимую в квадратурах систему (17)-(19) Выбираем различные функции О и С/ и решаем систему (17)-(19), делая обратную замену переменных, получим по формуле (2) конкретное семейство решений квазилинейного уравнения (1) для случаев (15), (16) Метод позволяет строить и другие семейства решений уравнения (1), для этого надо по другому удовлетворить (12) Рассмотрим уравнение Зельдовича Пусть в (1) К(г) = 1, <ц = 1, а0 = 0

Из утверждения 1 4 1 и примера 14 3 следует, что вторые два уравнения системы (19) удовлетворяются = 6\/2, = 0

Тогда, получим систему двух уравнений на функцию (?(£, С/)) в'и = [(1 - и)и2 4 \/2(ЗС/ - = -[9^(11 + р)р2]/(2в)

Интегрируя дапну.о систему получим соотношение

^2(1 - Ц) - Щр _ + + р)) = ^ (2())

\>2 р

где р = ЩС/- 1) -

Уравнения (17),(18) для функции х(£,(5), которая имеет вид

, 6(Ц-и* + р-ЗЦр) и\ . _ у,

е~ и — и2 + р г Ъ&и) 1

Предложение 14 3 Решение задача Коши для уравнения (1) при Л'(/Г) = I, =

—и2( 1 — II) со специальными начальными данными имеет вид е [0,1] в парамет-

рической форме

■20м)и=1({, = и

где функция /(£,6) = 6\/2£, а функция 6) определяется системой (21) Произвольная, дважды дифференцируемая функция и(£ ¿) отображает область определения Я2 в отрезок [0,1], а функция <?(£, 17) определена трансцендентным уравнением (20) □ Решения такого вида в литературе называются кипком В параграфе приведены примеры вычисления решений уравнения Фитц-Хью-Нагумо-Семенова Кроме того в этом параграфе описан Способ В разрешения (12) Функция <?(£,£/) заменяется в формулах аналогичных (14) на функцию М{5, £7) В §1 5 рассмотрена задача Коши со специальными начальными данными для полулинейного уравнения, которое отличается от уравнения Колмогорова-Петровского -Пискуиова-Фишера четвертым сла1аемым

Заметим,что корни уравнения —Z(a0 — 2) + = 0, например, имеют вид -¡?1 =0, — 0, 9999997 = а0, при значении параметра Л = Ю-3 Выбираем произвольно функции (? ,11 и обратное преобразование находим с помощью численных методов, решая систему (17)-(19) В да1 ном случае выбраны такие начальные данные, которые позволяют описать задачу о возт кновение волны и выход на автомодельное решение, то есть решение типа кипка Пусть С(€, [/)=£ + ¿Л

1/(5,5) = (1 + ехр(^) + ехр(^))-1 + (1 + ехр(^) + ехр(^))-1 Графики решения приведены в диссертации В §1 6 методика описанная в §1 2 обобщается на

более широкий класс уравнений, с коэффициентами, зависящими от независимой переменной и функции Рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение с переменными коэффициентами

Z't - (Р(х, t, Z)Z'X)X + f(x,t,Z) = 0 (23)

Система нелинейных ал. ебраических уравнений, описанная в теореме 1 6 3 5 в этом сл> чае имеет решение Оно вычисляются также как и в параграфе 1 2 Обозначим решение через

Ц =5.(С, г, *(?, ¿), i(f,i)), J = ih(C, i,x(i, 5), <5)), (24)

^ = 9з(С, <5, г«, 5), t(f, <5)), § =л(?, <5, 5), i)), (25)

i ч,е функции р,,г = 1,4 имеет громоздкий вид и поэтому приведем и\ здесь в более простом случае

Теорема 16 1 Пусть в (23) Р(х, t, Z) = P(t, Z)

Тогда, нелинейная алгебраическая система, аналогичная (41-(6) относи!ельно производных х {,х s,t\,t s разрешима и имеет решение

x'i = P[(fPU's+T-J's-YY's)T\U'i-(fPT's + TT's + YY'sP't)(U'i)2 + (Yrs+TY's +

YU'sP'iWsY't-TU'iVtfyP^S) ^ *&«)).

х'ц = P[fPU's + TU'f - YY's)T'( - UPT'sU's + TTsU's - T(Y'S)2 + YU'«} '¡P't)U'( + U'S(YT'S - ГУ, + YU'tPft)Y'd/P1{Z,S) = flj(e,i,i(i,i)),

i'f = P[fPU'( + TU\ - YY\}(Y'SU\ - Y'¡U'i)/P\(i,5) ^ д3&6, l(S,6)),

t's = P[fPU's + TU's - YY'S]{Y'SU'( - U'SY'¿/P^, 5) = лК.МК,«)). где Pi(£,5)) = Y[fPU's + TU'6 - УУ'г]!^ - [.fPYTs + ТУГs - fPTY'f - T2Y'{ + Y2Y'sP't)U\ + [y27vj - fPTlfs - T2U's + U'sY2P't]Y\

Тождество аналогичное описанному в теореме 1 2 3 в данном случае имеет вид Теорема 164 Пусть Р = P(x,t,Z) в (23) Пусть |24)-(25)является решением системы, приведенной в теореме 16 3 (см сноску внизу), аналогичной системе (4)-(6) 1)Тогда, имеет место тождество

ьгкд <(£,<5),я(€.<5))]{]|1'{=91(4, j, t, ¡с), *'s=92(i s, 1, *), i's=94(i, f, I, x), «'<=«(£, 6, I x) =

[ffiK. (i S t x), *'j=ia(i. 6, t, x), <'{=ss(i, i, t *>. *'<=»•({, t, X)

(26)

2) Из двух условий разрешимости (11) следует условие разрешимости

[[%(i,«Г,f-

S,t((, 5))]i]ta;'i=pi(i, S, 1 x), i'i=sa(i, г, t, x), i's=g3(£, 6, <, i), l'<=94(i, « t. *) =

= 0 (27)

5ee здесь не приводим, тк она аналогична системе (4)-(б)

В данном случае справедливо следствие, аналогичное следствию 12 3 В §1 6 построено одно решение способом А Однако, приведем здесь

Пример 1 6.1 В этом примере рассмотрен еще один, способ С построения решения системы, аналогичной (4)-(6) для уравнения (23), где Р = P{t,Z)

Можно выразить из уравнений (4), где функция K(U) заменена па P(i(£, про-

изводные х х 5

х\ = (-Tt\ + PU\)/Y, X, = (-Tt's + PU's)/Y (28)

Подставим эти равенства в аналоги уравнений (5),(6) Если функции У,Т имеют вид Y(t,5) = r(t,V), T(S,6)=w{t,U)

Тогда функции r(t, U), w(t, U) могут быть представлены в виде w(t, и) = C0(t)r(t, и) + r(t, U) [P(i, s)/r(t, s)]'tds,

= - /„' C0(tj>)dif> + fyo(P(t,s)/r(t,s))ds, где {/„-константа, удовлетворяют системе аналогичной (4)-(6),и (27), при -)том функция i(i,U) определяется из нелинейного обобщения уравнения Абеля второго рода /(£, U)P{t U) + w{t, V) - г г и = О Функция остается произвольной

В п 1 7 изучаются эволюционные структуры, приводящие к образованию пространственных стру? тур, например, автоволн Построено решение в параметричо( кой форме для полулинейных параболических уравнений с частными производными в трехмерном случае

Z\ - Z"xx - Z"yу + / = 0 (29)

Сделаем замену переменных

z(х, у, i)lx=x(( sг,т) t-t(i,i,T) = Л, г), (¿0)

Предположим, что существует обратное преобразование, хотя бы локально, £ = £(:с y,t),5 = 6(х, у, t), т = т(х, у, t), то есть

^ = (y'sX( ~ х sy ¿i/detJ, ^ = (x'st'i - t'sx'^/detJ, ~ = (у st5- tsy\)/detj,

Ц = Ы/т - t'sy'T)/detJ, = (x'etT - xTts)/detJ, ^ = {y'Tx's ~ y'sx'T)/detJ,

= (VrU ~ tTy'()/detJ, ^ = (t'Tx\ - x'Tt'()/detJ, ^ = (x'Ty'( - y'rx't)/detJ, detj = j/,.® sti ~ xTy'ft'f - y'Ttsx( + ггу'6х\ + xTtsy'( - iтх ¡у ( 0 (31)

Введем обозначения

dZ d Z

i r) i=t({ <r) = ^(f, <5, 7") (32)

Эти уравнения в переменных 5, т громоздки и поэтому приведем только одно

+ + Vst'e~tsy'(] + *т[~УеЩ' + = ~YdctJ (33)

Уравнение (29) в переменных <5, т принимает вид

[ПС, 6, г) + f(V& 5, r))]detJ + l—l-x'tt'f +1 sx t\ - - tsy\) ■

-^[-X ¡i J -Г I. ¿X £j — -^ц/ 4l Ç - l 5У Çj

ar , , dY , , , MM , dM , dY , dY ,„ - ЯГ2/ rt t + -щ:У rt 6 +1 rl-gçX s - —X i + -^y t - -щу t]] = 0 (34)

Из (32) следуют необходимые условия разрешимости в переменных f i,r Эти соотношения с учетом (31) можно переписать в виде

dM(t(x,y,t),6(x,y,t),T(x,y,t)) dY(gx,y,t),5(x,y,t),T(x,y,t)) = Q дх ду '

dT(Ç(x,y,t),6(x,y,t),T(T,y,t)) _ dY(Ç(x,y,t),6(x,y,t),T(x,y,t)) = Q

дх dt

dM(j(x, y,t),S(x,y,t),r(x,y,t)) dT(j(x y,t),5(x,y,t),T(x,y,i)) _

Эти уравнения в переменных <5, т громоздки и поэтому приведем только одно

1Л--gç—У 6 + —^—У {] + —^— [У i' {-1 <з/ £1 +

+ г/г[-l^ii--ад f{1+ Ю [ rJ!t-TTit] +

_ tvt] + - = о (36)

В трехмерном случае нелинейная алгебраическая система семи уравнений вида (33),(34),(36), которые записаны в переменных Ç, S, т относительно девяти переменных- производных х х ¡, х т, у у у т, £{, t s, tT является недопределепной Поэтому имекя большой функциональный произвол

В п 1 7 приведем пример решения этой системы способом С Из уравнений вида (33) в переменных 6, т можно выразить производные у где ш принимает значения <5, г

Тогда получим у и = ■ — Подставляем эги выражения в уравнения

вида (34),(36) получим утверждение

Теорема 1 7.1. Пусть в (29) функция / = f(Z), а функция G(Ç,6,t,U) -дважды непрерывно дифференцируемая функция четырех переменных, a w(U), r(U)- дважды непрерывно дифференцируемые функции одной переменной

Тогда функции У(£, ô, г), А/(£, S, т), Г(£, 6, т), х(£, 5, т) имеют вид

Ш, S, г) = crw(U), Уâ, г) = c2w(U), M(l ,6,т) = w(U), x(^S,r)=r(U)+G(^5,r,U) (37)

и описывают точное решение уравнения (29), где U = U(Ç,S,T),c1^0,cl?iO Функция w(U) определяется из ОДУ

f(U) = w(U)l(4 + l)w'(U)-cl] (38)

Функция г/(£, S, г)имеет вид

, S, г) = -C<(Ç, i, г) - c2r(i/) - c2<?(Ç, S, г, СГ)А(Г/) + [ +

где сз = const □ Дважды диффереицируемые функции G(f, <5, т, £/)> r(U), /(£, <5, т), а также функция U ('), остаются произвольными Обратное преобразование находим численным методом Надо решить численно одно ОДУ первого порядка (38)

Рассмотрим уравнение (29), в том случае, когда корни уравнения / = f{t,Z) = О зависят от времени Имеет место следующее утверждение

Теорема 17 2 Пусть в (29) / = f{t,Z), функция G(£,5,t,U) -дважды дифференцируемая функция четырех переменных, a h(t,U), w(t,U), r(t,U1 -дважды дифференцируемые функции двух переменных, где U = t/(£,6, т), схф 0, О

Тогда, точное решение уравнения (29) в параметрической форме имеет вид

5, г) = cu>(t, U) + v>(t, U) f" К«, <5, т) = <*>..(*, U)

M(£,6,i) = w{t,U), 5, t) = r(t, U) + h(t U)G(S,5,t U) (40)

Функция j/(f, <5, г) имеет вид

<5, т) = —cit(Ç, S, г) - car(i, f/) - c2G(£, б, r, t/)/i(i, tT) dp

Ju0 w(t,p)

fv

+ / ■ ■ V + C3, i/o, Ci = const (41)

Функция w(t,U) определяется из уравнения с частными производными

- 2(w(i, U)fw"vu + w(t, U)f'u(t, U) - w'vf{t, U) = 0 (42)

Из уравнения (34), в котором надо заменить функцию / = /(t, U), следует уравнение

f&U)

пт+*+ -^тгЧ ~ = 0 (43)

щг,и) JUo w2(t,p)

После дифференцирования (43) получим уравнение (42)

Дважды дифференцируемые функции (?(£, <5,r, t/), r(t,U), h(t,U), t(£,5,r) атакже функция U ('), остаются произвольными

Вторая глава посвящена рассмотрению ряда задач оптимального управления В §2 1 рассматривается постановка задачи синтеза оптимального управления колебаниями математического маятника Пусть управляемое движение материальной точки описывается уравнениями

= хг, х2 = —u>2xi — 2аХ2 + u(t, xj, хг) + cr(t)£(t), ^i(O) = x°i, х2{0) = х°г (44)

Здесь введены обозначения I -время, 0 < 4 < Т, Х\, х2 , - фазовые координаты и -управляющая сила, £(4) - гауссовский белый шум единичной интенсивности, сг(1)~ ограпичепная функция, представляющая интенсивность возмущения, и/ - собственная частота, а-коэффициент трения

На величину управления и наложено следующее ограничение Допустимым управлением и будем называть такое управление, что функция и со значениями в Я1 интегрируемая на отрезке [О,Т] для любых и введена переменная

Здесь п - вещественное положительное число п > 1, п = > где к в — 1,2

Число п является параметром задачи разным значениям п соответствуют разные способы задания максимального значения переменной д (45) Отметим, что обычно рассматривается случай п = 2, а случай п — 1 -отвечает импульсному управлению и рассмотрен отдельно в [3]

Цель управления - минимизация одного из следующих функционалов

Здесь Е - знак математического ожидания, <f(x) -дифференцируемая, четная неотрицательная функция своих аргументов, таких что <р'(х) >0, х > 0, ¥>(0) = 0

Предпола, ается, что = 1,2 убывает по переменной х, при ее возрастании

Далее осуществляется понижение порядка системы (44),(45) методом введения вспомогательной фупкции(с трением и без него) 7

В §2 1 приведен перечень функций (новой переменной) с помощью которых можно понизить порядок системы, и следовательно, в этих перечисленных случаях решения, построенные в данной работе, справедливы Приведем здесь только два случая

В задаче минимизации функционалов, зависящих лишь от конечною состояния фазовой переменной Х\ Е {*p(xi(T))}, при наличии трения а ф 0 следует ввести сле,.1уюшую переменную

y(t) = (х2(i) + axi) exp(~а(Т - t)) sin(Vk(T - t)) + v/fcii(i) ехр(-а(Г - i)) соь(\ik(T -y{T) = Vk xx{T),k = Ш2 - a2, y{t) = Mt)(u + a(t)m) fx{t) = exp(~a(T - t))sm(Vk(T - t))

В задаче минимизации функционалов, зависящих лишь от конечно1 о состояния фазовой переменной х2 Е{.р(х2(Т))}, при наличии трения а ф 0 следует ввести следующую новую переменную

y(i) = x2(t)Vkexp(-at(T - t)) cos{Vk(T -1)) - (wV + ax2) exp(~a(T - i)) sin(Vk(T -y(T) = Vkx2(T), к = J2 - a2, y{t) = h(t)(u + <r(t)£(t)) h{t) = (\/kcos(\/k(T - t)) - asm(Vk(T - t))) exp(-a(T - t))

6Такие значения параметра связаны с наличием модуля

7Этот метод применялся в работах Ф Л Черноусько, М Б Бородовского, А С Братуся ЖВМ и МФ 1974 -Т 14-С 68-78, ПММ 1975 -Т39-Ы 5-С 797-805 Формулы (44),(45) с трением впервые доложены автором на конференции БЮрго'Об 25 01 2005

(45)

£M*i(T))}, ЕМт2(Т))}

(46)

Обобщая представленные в п 2 1 случаи, будем рассматривать далее следующие уравнение движения

у = Ш(и + <г(*Ж<)). Я = -|«Г где г = 1,2 (49)

где /,(<) - пепрерыво дифференцируемая функция из (47),(48), на отрезке 0 < £ < Т Далее их обозначаем через f(t) Очевидно, что правая часть (49) не зависит от у Предполагается, что наблюдению доступна пара у,д Здесь и = и(4,х!,хг,д) -функция управления, далее просто и

В §2 2 введена функция Веллмаиа Б(у, д, 4) = шГ Е(1р(х,(Т))), г = 1,2-мшшмалыгое значение математического ожидания одного из функционалов (46), которое может быть достигнуто по траектории допустимого управления и(£, у, д) при начальных условиях t =. ¿0*2/ — Уо->1 — Чо в задаче оптимального управления, описываемой уравнениями состояния (49) Здесь 4 € [0, Т] Предполагая существование и достаточную гладкость функции Веллмаиа, проведен вывод уравнения Гамильтопа-Якоби-Беллмана

Я = ^21(т)5та + (п-1)5„(г)(^||-У (50)

с начальным условием

5(2/,9,0) = <р(у), где дп(т) = |/(£)Г', в^т)^,, = а(£), (51)

причем, переменные £ и г связаны соотношением

т= /1'/4(в)Л,а/1=-Ц (52)

Л " -1

Так как по предположению ^(у) - четная, непрерывная дифференцируемая функция, а уравнение (50) не меняется при замене переменной у на —у, поэтому функция д, т) является четной по переменной у для любых значений переменных д, г Следовательно, эту задачу можно рассматривать только при у > 0 с дополнительным краевым условием

3,(0,9, г) = 0 (53)

Отсюда следует возникновение свободной границы 7„ подлежащей определению, па которой функция 5(г/, д, г) равна нулю

В §2 2 сформулирована задача Коши для уравнения Гамильтопа-Якоби-Беллмапа в детерминированном случае Здесь следует положить^ = 0) в (50), и обозначение дп(т) заменить на рп(г) Уравнение Гамильтопа-Якоби-Беллмана примет вид

^«(п-^т)^)' (54)

с начальным условием (51)

В §2.3 рассмотрим уравнение Гамильтопа-Якоби-Беллмана в стохастическом случаемо) К этой задаче применена методика исследования, предложенный в главе 1 В §16 предложен способ С решения таких задач Положим значение параметра п = 2 для упрощения приведенных выкладок, а затем приведем общие формулы В области непрерывности функции 5 сделаем конструктивную замену переменных

Введем обозначения

92 92

^•|»=»«Дч)«=чК''й,т=г((Д|,) = У($,6,Г]), —| »=»({ бл)л=,к Дч),т=т«Дч) = М(£,6,т)),

92

^Г !»=»(?,ад,9=9(5.« Ч).т=г«,в ч) = , <5, 7?) (56)

Будем считать, что функции У, М, Т пока неизвестны и определяются ниже В переменных д, г? из-за громоздкости, приведем здесь только одно уравнение

, .ас/ , аи ,. ди., , , ,, , ., эи , эи, г , . , , 9Ж7 (~ Жт г) + 9^9 *т (~ т *я (] + т 4 9? ~ 9 £Ж! = '77)1 ( ^

Тогда уравнение (50) прииимает вид

V2 1 ЯУ

\т,6,п) -9(т(!Лп))Ш\detJ- 5Мт(*,г,т4 -

<эу ,. ау., , , ,. ,,, дУ , эуи п

а?г г) + 5 ~ т 59«] + т "[9 ~9 £ = { ]

Дополним выписанные соотношения равенствами, которые следуют, с необходимостью из (56)

Зу д — у. Зу^т = 5"т у; 1Г —- ¿"тд )

в переменных 5, т]

9М(£(у, д, т), ¿(у, 1?, т), Г)(у, д, г)) дУ(£(у, д, т), 6(у, д, т), т](у, д, г)) ^ 0

= 0, = 0, (60)

ду дц

дТ(£{у, д, т), 6(у, т), т?(у, д, г)) 9У(?(г/, 9, т), <%, т), ?7(у, д, г))

ду дт

дМ(£{у, д, т), 6(у, 9, г), т)(у, д, г)) дТЦ(у, 9, т), <5(у, 9, т), ч(у, 9, т))

9т 9д

Уравнения (60) в переменных 6, т) громоздкие и поэтому приведем здесь также только одно из них

, дМ&б.т,) , . 9ЩМ.Г1) . , . вМ((,8,г1),_. - . ' , . --а?—9 4 —95—9 —[9 { £ ~ 49

9 "I-- *--95- -дб-1 "у ( ~ у "

' - ' - , , дУ(£,6,у), , , , ,

—^—[у «т {- т «г/ {] + —^—[г/ чг«- г 4] = о, (61)

В трехмерной ситуации нелинейная алгебраическая система семи уравнений вида (57) (58),(61) относительно девяти переменных-производных

!/'{> у'«> У 1,1 Я с 91,' т'«> т'*> т'ч является педоопределеппой Поэтому имеется большой функциональный произвол Система семи уравнений легко решается предложенным выше способом С А именно, из первых трех уравнений вида (57) выразим производные д^, д¡, д'

• ,ех , VЛЬ ь п) ~ Уу'Л(> 4 п) - Тт'м, г, у)

<7 о, Ч) =-¡^-. \ьг)

где j принимает последовательно значения из множества J = {£, <5, 77}

Подставим эти выражения для производных в уравнения вида (58), (61) Предполагая, что функция U принимает значение нуль па некоторой кривой, введем переменную w = у — Q{q) ф(т)

Одним из основных результатов работы является утверждение Теорема 2 3 1.

1) Решение задачи Коши (50), с начальными данными из C2[R] (51) допускает представление (55), где

U{i,6, т?) = Ф(T,y-Q(q) ф(т))|т=т(£,гч)„=!,кдч),,=,(£,{ч) дважды непрерывно дифференцируемая функция трех переменных Q{g) = y/q, ф{т) = Ф{т) = Л 9{s)ds,

2) Дважды непрерывно дифференцируемые функции

-Л/(Ç, <5, л), 6, rj) определяют значения производных точного решения (56) и имеют вид

Ф „(г, w) U=ï-Q(,)0(r),r=T(£A,) у=у((Ач) 4=q(( S l)

M(i, 6, T) =

-Ф W{T,W)Q ^)Ф{т)\и,=у-(Ця)ф(т), г=г(еАг,),!,=»1£А11)Л=,({Ач), Г(£,<5,т) =

[Ф г " Ф«,0(9)Ф ¡W=t/—Q(q)tfi(r), T=T(i,6,4)y=VliS,4),q=q(iiv)

(63)

Уравнения системы вида (57),(58),(61) перечисленными функциями удовлетворяются тождественно

3) Функция Ф(т, w) удовлетворяет задаче Коши для линейного параболического уравнения, которое следует из (58) после подстановки в нее (62),(63)

Фт = Ф(0, tu) = ф(и,), (64)

и дополняется условие Ф(т, 0) = 0 на границе 7„ определяемой уравнением w = 0 Решение уравнения (50) восстанавливается по формуле (55)и в данном ( лучае имеет явный вид при п > 1

S = Ф(и>, г)|ю=!,_л„(,,г), (65)

где

Кп{<1,т) = д1/п(Ф„(т))(п~1>/п, Ф„(т) = Г g„{s)ds (66)

J о

4) Оптимальное управление в стохастической задаче (50),(51) имеет вид

и= Г -|/(i)lV(n_1)(»^j)l/"sign/(i), y>Rn(q,T)

lo, 0 < у < т)

Таким образом, и в других многомерных задачах с переменными коэффициентами данная методика исследования и построения решения может быть полезен

Анализируя полученные закономерности, и упрощая их можно построить решение детерминированной задачи (54),(51)

Теорема 2 3 2 П> сть <р(у) - четная, непрерывно дифференцируемая функция, [¿>(0) = 0, Б(у,д,т) -единственное решение задачи Коши (54),(51) при (<71(т) = 0)

1) Тогда, точное решение уравнения (54),(51) допускает представление

5(у,д,т) = ф)и=у-р„[Яг), (68)

где Рп{д,т) = 91/п1вп(т))1_1/п, е»(т) = ¡;Р„Шз

2) Оптимально управление в задаче (54),(51) имеет вид

и= / -1Д')1"(а^)1/"«5п/(«). у>РпЫ,Т)

10 , 0 <у<Р„(д,т)

(69)

□ В данном случае фуг кция 5(у, д, т) обращается в нуль на кривой уп, уравнение которой г = 0 в силу ■ ".ойства начальною условия Кроме того в §2 3 приведены примеры численных расчетов В §2 4 предлагаемая методика распространяется на более сложную задачу построения синтеза оптимального управления движением тела постоянной массы, находящейся под воздействием пуассоповских и гаусовских возмущений, описывается уравнениями

(1(тоХ\) = {—ш2Х\ — 2ах2 + и х1(0)=ж°1, х2(0) = т°2 (70)

Здесь введены обозначения Ь -время, 0 < I < Т, х\, х2 , - фазовые координаты, и -управляющая сила, £(4) - гауссовский белый шум единичной интенсивности, с(<)-ограниченная функция, представляющая интенсивность возмущения, и - собственная частота, а-коэффициент трения <;(£)- описывает пуассоновский случайный процесс с парамером Л(£), /г(£)-ограииченные функции, описывающая интенсивность соответствующих возмущений

На величину \ правления и наложено следующее ограничение допустимым управлением и будем называть такое управление, что функция и со значениями в Я1 является интегрируемой на отрезке [0, Т] для любых X], х2 и введена переменная

д = £ |и((,Яьа:2)Г<й < оо при хи х2, £ (71)

Минимизируется один из функционалов (46) Вывод уравнения Гамильтона -Якоби-Беллмана проводится аналогично §2 2

Задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмаиа имеет вид

З'т — (га — 1)дп(т) ( У" М,)-

У ТПН00 д /

(т)5"ув 4- А, (т)(5(г/ + /г, (т), д, г) - 5(;/, д, т)) = 0, (72)

с начальным условием

8(у,я,0) = <р(у) (73)

Здесь

Аг(т) = А(0|м(т), А1(г) = А(01«-М (74)

Остальные обозначения совпадают с принятыми в §2 3 Оптимальное управление в задаче (72 ) ,(73) примет вид

и=( 'увУУмр^Я«)). А* = (п - I)"1 (75)

Сделаем замену переменных (55), обозначения (56) и уравнения (57),(61) ос гаготся без изменений Дополнительные слагаемые добавляются только в уравнение (58) Система полученных уравнений решается аналогично §2 3 имеем теорему подобную теореме 2 3 1 Окончательно получим утверждение

Пусть функция Ф(го,г) является решением линейного параболическою уравнения Колмог орова

<ЭФ а, (г)2 дЧ

I 2 ^ + МТ)(Ф(И + '1"Т)"Ф(Щ'1))' (70)

с начальным условием Ф(и>, 0) = ц>{ги)и дополняется условием, которое определяет крив\ ю 7п Ф(0,т) = 0 8

Теорема 2 4 1 Пусть существует единственное решение задачи Коши (72) со специальными начальными данными (73)

1)Тогда решение уравнения (72)допускает представление решения

5(г/,9,т) = Ф(г«,т), •«; = !/-(—)1/"( Г 9^)<г5)(1-1/">, (77)

™о J о

где функция Ф(ад, т) решение задачи (76) для уравнения Колмогорова

2) Оптимальное управление вычисляется по формуле (67)

Заметим, что решения построенные с помощью предложенной методики в примерах 1 4 2, 1 4 3, в Предложении 14 3, примере 1 6 1, и в §1 5, в §1 7 возможно связаны с групповыми свойствами уравнения, но эта связь не очевидна С другой стороны, решения построенные в §1 3, главе 2 связаны со сложными группами преобразований уравнений

В §2 5 решена задача синтеза оптимального управления движением тела переменной массы в детерминированном случае Анализируя и обобщая полученные в §2 3 решения построено решение описанной ниже задачи, причем существует предельный переход на случай постоянной массы по параметру 7 = 0 Целью управления является минимизация квадратичной функции фазовой переменной к фиксированному моменту времени

Пусть управляемое движение материальной точки переменной массы описывается уравнениями

^Нф^и, х1(0) = х\, х2(0) = г°2

__(78)

8Фундаментальное решение уравнения (76) построено в работе В Б Колмановского, А С Братуся Диффурав ~3977-Т8^ 9-С 1558-1569 Численные расчеты проводила аспирантка Е С Чумерина МГУ ВМ и К, 2005-К 2-С 96-107

Здесь введены такие же обозначения, что и в задаче (44) Как и ранее, здесь введена переменная д (45) Переменная д имеет смысл не израсходованного ресурса управления

Предположим, что полная масса тела состоит из собственной постоянной массы та и величины, пропорциональной не израсходованному ресурсу управления

т(г)

Цель управления в детерминированном случае - минимизация функционала (т] (Г))2 Тогда система (78) дополняется вторым уравнением из системы (49) и может быть записана в виде

II = х2, х2 = (т0 + 7<г(«))~1и,

д=-Н", х,(0) = х°,, х2(0)=х°2 (80)

В §2 5 построено точные решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмапа в детерминированном случае, {п > 1), которое после замены переменой (обратное время) г = 1 — Т, имеет вид

5Г = х.&с! + (п - 1) ( ) Щ I ДО гп = т0 + -уд,

Ж = 5'ч + 7-С2т-15'12, (81)

с начальным условием

Б(0,х1,х2,д) = х12 (82)

Оптимальное управление имеет вид

/ 1С' | \1/(п-Х)

- ^^ (83)

Задачу Коши (81),(82) со специальными начальными да! пыми можно представить в

виде

5'т = хг&*1 - (я - 1)^, где, и = ( Л " 'ьщп($„),

т = т„ + 79 (84)

Справедливо следующее утверждение Теорема 2 5 1

Пусть функция 5(т, х-,, х2-<?) - решение задачи Коши со специальными начальными данными (81),(82) в области

£>1 = {х!+х2т > х2^л(—зег,?)}

Х2п~*

Тогда функция в(т,х 1,3:2,5) и и(т,х 1,х2, д) в области имеют вид 5(т, х 1,х2,д) = + х2т — х2 —' Л ^—, и(т,Х1,х2,д) = и ( —) <; = —^яг

где функции Л(с, ?),£<*(?. 9) удовлетворяют системе уравнений в частных производных первого порядка, причем первая функция выражается через вторую

ЗА _ Ц((п - + (1 - 2га)Л) дЛ (га - \)Цп 8А =

дя " п(т + яи) ' 8я + (1 + п-уи^) дд 1 '

аЛ = (пу + {/1~")((и — 1)? + (1 — 2га)Л) .

а? п(п-1)(то + ?У) ' ^ '

причем выполнено условие имеет вид Л(0,0) = 0 Функции А(я,я) выражаются через функцию II(я, д) и ее производные

= + тяЦ\ - Ц(т. + 2я2У\) + и2(тф'„ - 27(т + <г21/'<)) 3(-3уи3 + тЦ\ - 2фЦ\ + и2(-1 + -пи'„ - 27<г£/'<))

(8^

Функцию U{i,g) определяет следующее утверждение Теорема 2 5 2

Существуе! замена переменных в системе (86)-(87), такая что

¿M) = tMfl)!-^

Тогда функция U\ (в) удовлетворяет ОДУ первого порядка

£/i{l - 2га -f {2(1 - 2п)7 + 3(га - 1)0} í/i + (7га - 8)7^,2 + (2 - 3ra)ra7C/i"~1 + 7{га2(20 - 67) - 0 + п(4-у - 0)}t/i" + 70{(4га2 - 2 - Зга)7 + 3(тг - 1 )29}Ui"+i + 8(га - Л Ví/i"+2} +

(-1 + 2BUl + Z^Ui2)^ - 2 - n-yUt"'1 + 2(n - ifidUS) = 0,

ae

(89)

с начальным условием (0) = 0 Функция Р(в) имеет вид

а функция А(я,д) = п

Отметим, что равенства (86),(87) совпадают с равенством смешанных производных 5г2т = 5т,г2, 5119 = 5,Х1, соответственно Это проверяется непосредственными вычислениями В итоге имеем одно ОДУ первого порядка (89) с начальным условием ¡7,(0) = 0

В третьей главе, в §3 рассмотрены стационарные решения квазилинейных эллиптических уравнеций Предлагаемая методика работает и в этом случае В §3 2 приведены примеры точных решений в парамерической форме Построено точное решение уравнения с кубической нелинейностью

В четвертой главе, в §4 1 рассмотрены квазилинейные гиперболические певы-рождающиеся уравнения Предлагаемая методика дала возможность построить примеры точных решений В §4 2 рассмотрен трехмерный случай, аналогично §1 7

В пятой главе изучена задача Коши со специальными начальными данными для полулинейных параболических систем Для выяснения структуры решений применяется тест Пенлеве Условия его применимости для таких задач бы ш неизвестны ранее

В §5 1 обсуждается вид явных формул, описывающих нелинейные решения (кинки) полулинейных параболических систем Обсуждется возможность использования теста Пе-илеве Тест Пенлеве к таким системам ранее не применялся В §5 2 исследуются решения в модели реакции Белоусова-Жаботинского

- ихх = 1/{1-и- в), в1 - вхх = -Вив, (90)

Теорема 5 2 1 П}сть существует решение задачи Коши (90) со специальными начальными данными Тогда решения системы (90) представимы в виде

и= 1 (1 — В)(2 ехр т — ехр 2т

(1+ехрт)2' (1 + ехр г)2

т = ах + Ы, а2 = В/6, Ь = -5В/6, (91)

и _ 1 — 2 ехр г) в ^ (1 — В) ехр 2т / (1 + ехрт)2' (1 + ехрг)2 '

т = ах + Ы, а2 = -В/6, Ь - -5В/6, р = Ъ/а, (92)

1 де х = — р 1 + с, р скорость, с— произвольная константа

В §5 3 исследована задачи Коши со специальными начальными данными для системы

Цг - ихх = {/(1 - и2 - в2), вг - вхх = -Ви2в, (93)

Предложение 5 3 1 Пусть существует решение задачи Коши со специальными начальными данными системы (93) Тогда, при В = 2, решение (93) представнмо в виде

<21 + ехр 72 а __ ±п

01 -Ь 7*1 + ехр г2 а] + Т] + ехр т2

г^—а^х + Ь^, т2 = о2а: + Ь24,

= -2аь Ь2 = 1, а2 = 1, (94)

где 01 произвольная константа

Далее исследуются задачи Коши со специальными начальными данными системы

иг - ихх = и2( 1 -и-в), вг- вхх = -Ви2в, (95)

Предложение 5 3 2 Пусть существует решение задачи Коши со специальными начальными данными системы (95) Тогда решение системы (95) представимо в виде

ах + а2 ехрт2 а2(1-В)т! _

а 1 + а2(т, -I- ехр т2)' ai + а2(п + ехр т2)' Г] = ail + bji, r2 = а2ж + b2t,

&! = -2аю2, а2 = В/2, 62 = В/2, (96)

где произвольная константа

Далее изучаем задачи Коши со специальными начальными данными для системы

Ut - Uxx = U(1 - U2 - 0), 8t - = -ВС/20, (97)

Предложение 5 3 4 Пусть существует решение задачи Коши со специальными начальными данными системы (97) Тогда при В = 1, решение представимо в виде

v = 1 ~ ехр п 0 _ ехрт2

1 + ехр Ti + ехр т2' 1 + ехр т\ +■ ехр т2' 7i = аух + М, Т2 = 0-2Х + b2t,

h= О, ai = y/2, а2 = 1/А h = -1/2, (98)

Существуют решения со специальными начальными данными имеющими особенность, которая потом сглаживается и исчезает

В §5 4 изучаются полулинейные уравнения, к которым в §1 2 была применена разра-ботанныя методика построения точных решений Оказывается, построенные в §1 2 классы точных решений обладают инвариантными свойствами Рассмотрим задауу Коши со специальными начальными данными для уравнения

з

И( - + h2u)ux - fcoUxr + V>tu' = 0, (99)

i=i

где hi h2, fco, ¥>>,' = 1,3 константы

Теорема 5 4 1 Пусть К класс функций, которые яа яются решениями уравнения

(99)

1) Тогда функции Ми Q являются решениями уравнения (99) п образуют не пустое подмножество К класса К, такое, что выполнено соотношение согласования

((У(Mt - Qt)dx)A(h2 - m) - 2(М2 - Q2)(h22 + 12fc0^ - h2m) -4(M - Q)(hih2 + 4fc0^2 - h^m) + 16k0C0'(t) +

4fc0(ft2 + 3m){Mx - Qx) = 0, (100)

где m — (±y/(hl + &ко<Рз))

2)Фупкции M и Q из подмножества К, а функция Н(х, <) имеет вид

K(x,t) = cot-¡т^)-я{хт-н2±ущтш^) ^ (101)

J 4«о

где С0 константа, и решение уравнения (99) представимо в виде

1 + ехр (H(x,t))

Далее приведены примеры

В §5 5 изучена возможность построения решений задачи Коши со специальными начальными данными с помощью решений других задач Коши с другими специальными начальными данными для системы Курасава-Танаки

щ — ихх — и + uv + и3 = 0, vt — vxx + Bvu2 = 0 (ЮЗ)

Утверждение 5 5 1 Пусть существуют два решения двух задач Коши со специальными начальными данными системы (103) (M0,Qo), (Л/i, <5i) и функция Я(г, i) имег вид

H(x,t) = Ci± ~ J (М0 — M{]dx (104)

где С\ константа, и выполнены условия согласования, аналогичные (100)' Тогда функции и(х, 4),г»0г, 4) вычисленные по правилу

( и\= 1 ( М0 МЛ ( 1 \ V V ) 1 + е" V <?0 Яг )\ е" )

является новыми решениями задачи Коши с другим начальными условием системы (103) В §5 5 приведены примеры таких решений

В шестой главе изучены свойства решений вырождающихся квазилинейных гиперболических уравнений Оказывается, что локальное поведение непрерывного решения в окрестности линии сл<1бого разрыва, на которой функция непрерывна, а ее призводпые терпят разрыв 10, определяет характер поведения всего решения глобально Это свойство определяет важность нижеприведенного исследования

В п 6 1 рассмотрена структура особенностей квазилинейного вырождающегося I иперболического уравнения

где показатели степеней кп > т, т > 0, д > 0 Будем предполагать, что в некоторой окрестности границы носителя решения выполнено неравенство > 0, при условии непрерывности потока на фронте слабого разрыва В диссертации гриведены точные примеры, из которых видно, что сделанные предположения могут иметь место Результаты полученные В Г Даниловым и В П Масловым, при участии автора, связанные с структурой слабого разрыва вырождающихся квазилинейных параболических уравнений, проведены в [5]-|7]и в книгах [15)-[17] и не входят в данную диссертацию

Однако, аналогичную методику исследования можно распространить на определенный класс решений квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений (105)

Здесь предполагаем непрерывность потока и гладкость поверхности вырождения, и получаем асимптотику решения по гладкости Кроме того, несмотря на отсутствие априорной оценки, приведенная ниже теорема дает информацию о влиянии возмущений на гладкость решения, а именно любые возмущения правой части уравнения, Удовлетворяющие условиям п 2) Определения 6 11, не меняют показателя степени главного члена асимптотики решения по гладкости

Определение 6 11 Функция и(х, ¿) называется локальным самоподобным асимптотическим по гладкости решением квазилинейного вырождающегося гиперболического уравнения (105) в области П, если при (х, 4) е П выполняются следующие условия

1) Функция и(х, 4) представима в виде

где 3(х,1)~ некоторая бесконечно дифференцируемая функция, такая, что

9из-за громоздкости их здесь не приводим

10Определения приведены, например, в книге Самарский А А , Галактионов В А , Курдюмов С П , Михайлов А И Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений -М Наука,1987, 480 с , подробные ссылки на работы других авторов приведены в диссертации, см также

(105)

и(х, £) = х(х, г, Б(х, £)) + д(х, г)

(106)

[15],[17)

S(x0,t0) = 0, Ф O, ^)|s=o ф 0, (х0, to) € П

Функция х(х< т), т — S(x, í) при г —> +0 разлагается в асимптотический ряд по системе функций {ф,(х ¿,r)}, принадлежащих множеству V'fi), таких, что праведливо предположение

Х{х, t, т) = Т,фг(х, t т), причем hm ~> 0, при гчО

Функция д(х, ^принадлежит

С°°при (x,í) fÉ {(т, í) S(x,t) = 0} и равномерно по (г,<) € Л для любого ÍV > 0 справедлива оценка

x(x9ts(li)l = hi(x,t,S(x,t)), и выполнено неравенство h,(x,t,S(x,t))/Sf" < Chi для любых i,¡ € Я, где Си-констапта

2)Lu = gi{x,t,S), где s, 6 при (i,í) £ {(x,í) S(x,t) =0}

и x(fís(2t)i = h2(x,t,S(x, t)),S- > +0, и выполнено нераьепство h2(x,t, S(v,t))/SN < Ch2 для любых i,(eí!, где С^-константа

3) Выполнено условие непрерывности потока

lim ^I^J = 0> при S —» 0 Ограничения па параметры к, ra, m приведены

в таблице Более подробно см в |17]

Теорема 6 11 Пусть токальное сачоподобное асимпютнчесное решение квазилинейного гиперболического уравнения (105) в области Q с}щсстует То1ДД в окресгпосчп линии (х, t) е fi, где S(x, t) — 0 функция и представима в виде

и(х, t) = W0{x, t)S(x t)a + h3(x, £, S(x, t)), S(x t)" > 0, (107)

где W0(x,t) 6 C°°(Q), W0 > 0, и существует предел lim[A3(T,í S(x, t))/S(x, í)n] = 0, при S(x t) —> 0 для любых x, t G Л

Тогда в окрестности слабого разрыва локальное самопозобное асимптотическое решение по гладкости уравнения (105) может иметь только те главные особенности, которые приведены в таблице 1 Таблица 1.

а Условия существования Прямая проходи! через точки

i 1 —m 2 JI m—q bn—m m < 1, q > 2m — 1, kn > 1 q < 1, 2m q + 1, kn > + 1 m > q, 2m — q < 1, kn ^ m + n(m — q) kn > m, m(n — 1) + kn(2 — n) < 1 (Mi, Mi) (Mi,M4) (M3,M4) (M2,M3)

На вспомогательной плоскости X, Y показателям степеней соответствуют точки A/i(l,-2), М2(кп, -п - 1), Af3(m,-1), M4(q, 0)

Точки М„ г = 1 — 4 являются вершинами многоугольника Ньютона в одноименном методе

В §6 2 рассмотрены асимптотические решения квазилинейного вырождающегося гиперболического уравнения с медленно меняющимися коэффициентами

+£2 S - «*5<а<*- *>*<«>£>+^ f>£ --(108)

где е € [0,1] малый параметр Предположим, что существует константа, такая что для любых x,t справедливо равенство sup|-^feiL| = const

Рассмотрим задач)' построения асимптотического решения уравнения (108), а именно, задачу Коши со специальными начальными данными, которые имеют свойства

а0 < u{x,t,e) < oí, al!-.-,*, = а0, и|х-.с» = ai — 0 (109)

Используемый подход близок к алгоритму, который разработан (В Г Данилов, В П Мас-лов) для построения ограниченных при £ —► 0 решений, и область изменения которых ограничена, в данном случае [a0, ai]

При построении асимптотического решения, существенным является вид зависимости коэффициента переноса К(и) и функции F(u) в окрестности точек и = ao, и = ai Предположим, что имеет место представление

К(и) = К(аа) + /i('J — ao)*-1 + n(u — оо), k > 1, hm — 0, при и —► a0

Пусть имеет место представление

F(u) = v(u - a0)q + г2(и - ао) , q > 0, hm„^ao = 0 при и -> a0

F(ai) = 0, ~£~\u=ai < 0, Здесь п = 1, т = 1, если сравнивать с (105) Сначала рассмативаются свойства ОДУ, которым удовлетворяет i лавный член асимптотического решения Как доказано в [15],[17], построение ограниченного при е —» 0 асимптотического решения тесно связанно с краевой задачей для ОДУ которое в данном случае имеет вид

~ i{{K{w) ~b2)^]~F=w|t=0=a°' =ai (110) Теорема 6 2 1. Краевая задача для уравнения (110) преобразованием (см §1 1 главу

1)

= |e=lv (ш)

сводится к краевой задаче для уравнения

65 ~ -{к{в) -ь2)пв)=где R={к{в) ~b2)F(e)'

eic—oo = Оо, ei(-,oo = ai (112)

Предположим, что алгебраическое уравнение не имеет корней К(в) - Ь2 ф 0 при значениях 0 £ (ao, ai) 12

Лемма 6 2 1 Пусть уравнение K(W) — Ь2 ф 0 не имеет корней принадлежащих интервалу W € (a0,ai)

Тогда, необходимое условие существования решения краевой задачи (112) имеет вид

Лемма 6 2 2. Пусть выполнено неравенство

(K(W) - P)F(W) > 0, W € (ao, a»), ци = f(0) > g(6),

где R{Q) = (K(Q) — b2)F(0), 0 € (ao,aj) и выполнено равенство

Нз = 2и существует решение задачи (112) при значепчи скорости

Ь > 2у/(К(в) - t?)F(Q)

11Основные определения даны в [17}

12Свойства ОДУ - эталонных уравнений изучались автором в работах (14]-(17] и многими авторами ранее, ссылки приведены в диссертации

Тогда существует решение задачи (110)- W(£) и выполнено неравенство согласования К(ао) > 4/хг/ □

Далее переходим к построению рещения задачи с переменными, медленно меняющимися коэффициентами Следуя, разработанному асимптотическому метода [15] -[17] (В Г Данилов, В П Маслов при участии автора), построено ограниченное при е —> 0 решение задачи (108),(109), которое надо искать в виде

и(х, t,e) = Wi(j+ е9(|, t) + r3(|, t, s), t), гдeS(x, f, e) = /3°{t){x + <p°(f)) - (113)

Выполнено неравенство r3(| t,e)/e2) < Co для любого x, t Здесь Co-константа независящая от e и обозначено через £ = | +£g(f,t), т = f Таким образом, функция t) является функцией двух переменных и по переменной f имеет слабую особенность в точке £ = 0

Лемма 6 2 3

Пусть выполнены условия

k > 1, к + q = 2, ^К(а0) + max[ *(l,t) ] > 2^/ЦР при всех т ей, 16 [О,Г] Тогда b = b(t) = у/к (do) + —, t € [0,Г], где функция удовлетворяет ОДУ

^ = ^(во)А(-^.О (111)

и функция Wi(£,i) является решением задачи (110), где переменная 1 играет роль параметра Справедливы асимптотические представления функции i)

при £ -н. 0, = ао- с,(0Г + КО. а = тгЦ = (115)

/С — 1 А — (J

При £ —♦ оо имеет место оценка

а»)

где константа I дается формулой

о

Функция д(т, 4) определяется следующей леммой Лемма 6 2 4. Функция имеет вид

д{тЛ) = -[ ехр(/(0)[Г/оЫ)ехр(-/07))Ж/]<г£, Х = 0, (118)

./о Л

дх,г д\Ух

/3°

(119)

Для функции д справедливы оценки д = 0(т), т —> О, д = 0(т2), т оо □

Теорема 6 2 2 Пусть выполнены леммы 6 4 1-644 Тогда асимптотическое локализованное решение задачи (108),(109) имеет вид (113), причем функция /3°(/) в (113) имеет вид /3°(г) = Функции ^(4) а (4) еС°°([0,Т])13

Далее в §6 2 рассматриваются другие случаи и примеры Результаты вынесенные на защиту

1)разработапа новая методика построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка параболического, эллиптического и гиперболического типов в параметрической форме Методка основана на конструктивной замене независимых переменных и решения

Для квазилинейных параболических пе вырождающихся уравнений с частными производными второго порядка исходное уравнение сводится к системе четырех уравнений первого порядка с частными производными Доказано, что условие разрешимости этой системы сводится к одному равенству с помощью ранее неизвестного тождества см Теоремы 1 2 1 - Теорема 12 3

Построены решения в явной и параметрической форме полулинейного параболического уравнения Фитц-Хью-Нагумо-Семенова, уравнения Зельдовича , уравнения близкого к уравнению Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера с большим функциональным произволом ( См глава 1) Построены семейства точных решений полулинейных классических параболических уравнений в параметрической форме в трехмерной ситуации, для функций f(Z) и /(4,2) Построены примеры в которых решение вычисляется через решение уравнения Абеля второго порядка ( §1 7) Аналогично строятся решения квазилинейных параболических уравнений, коэффициенты которых зависят от неизвестной функции и независимых переменных ( §1 6)

2)Методика распрстранепа на построение точных решений уравнения Гамильтона -Якоби-Беллмана вида (50) соответствующих задаче синтеза оптимального управления математическим маятником находящимся под воздействием случайных возмущений Теорема 2 3 1 ,Теорема 2 3 2,Теорема 2 4 1 Решения задач для квазилинейных параболических уравнений с переменными коэффициентами выражаются, в данном случае, через решения задач для линейных параболических уравнений Решена задача синтеза оптимального управления движением тела переменной массы, находящейся под воздействием гауссовские случайные возмущения в детерминированном случае

13см подробнее в [17]

3)Описан и обоснована методика построения новых классов точных решений в параметрической форме квазилинейных эллиптических уравнений Приведены примеры построения решений, в частности решено уравнение с кубической нелинейностью См главу

3 Теоремы 3 11-313

4)Построены с помощью предлагаемого метода решения квазилинейного певырол-дающегося гиперболического уравнения в двумерном и трехмерном случаях См главу

4

5) Исследована важная в приложениях система уравнений Белоусова-Жаботипского и Курасава-Танаки Найдены примеры решения задач Коши < о специальными начальными данными См главу 5

6) Проведена классификация особенностей, которые могу г распространяться по ненулевому фону в моделях, связанных с квазилинейными вырождающимися гиперболическими уравнениями, методом многоугольников Ньютона Построены асимптотические решения задачи Коши со специальными начальными данными, с медленно меняющимися коэффициентами для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений Найдены необходимые условия существования таких решений

Основные результаты опубликованы в следующих работах-

Основные публикации по теме диссертации

[1] Волосов К А , Федотов И А Асимптотическое представление решения квазилинейного параболического уравнения в окрестности фронта / /ЖВМ и МФ —1983,-N 5-С 93-101 Volosov К А , Fedotov I A Asymptotic representations of the solution of a quasilineai parabolic equation in the vicinity of a front (Russian), //Zh Vychisl Mat 1 Mat Fiz 23(1983)-n 5-p 1249- 1253

В данной работе автор провел разностную апроксимацию задачи, написал программу и произвел расчеты на компьютере

[2] Братусь А С , Волосов К А Точные решения уравнения Беллмапа для задач оптимальной коррекции с интегральным ограничением па суммарный ресурс управления // Докл АН -2002-Т 385 -N 3, С 319-322 Bratus A S , Volosov К A Exact solutions of the Hamilton-Jacobi- Bellman equation for problems of optimal correction with an integral constraint on the total control resources // (Russian) Dokl Akad Nauk 385 (2002)- n 3-p 319322

[3] Братусь А С , Волосов К А Точные решения уравнения Беллмапа для задач оптимальной коррекции с интегральным ограничением на суммарный ресурс управления // ПММ - 2004-Т 68-N 5- С 48-55 Engl tran in J Appl Math and Mech Bratus A S , Volosov К A Exact solutions of the Hamilton-Jacobi- Bellman equation for problems of optimal correction with a limited total control resourse // (Russian) Pnkl Mat Mekh 68(2004)- n 819 -832

[4] Bratus A S , Volosov К A Regularization of the Hamilton-Jacobi- Bellman equation with nonhnearity of the module type in optimal control problems Journal of Mathematical Sciences Publisher cosultarts Bureau An Inpnnt of Springer Verlag New-York LLG -2005-v 126,-n 6 april - ,p 1542-1552

http //dx doi org/10 1007/sl0958- 005-0042-1, http/www sprmgeronhne com/authois ISSN 1072-3374 (paper) 1573-8795(Onhne)DoI 10 1007/sl0958-005-0042

В работах [2]-[4] автор построил решения и провел численные расчеты примеров

[5] Волосов К А , ДаниловВ Г, Маслов В П Асимптотика волн горения в нелинейных неоднородных средах с медленно меняющимися свойствами // Доклады АН СССР-1986 -Т 290-N 5-С 1089-1094 English transi m Sovet Math Dokl

[6] Волосов К A , Данилов В Г, Маслов В П Структура слабого разрыва решений квазилинейных вырождающихся параболических уравнений //Мат зам -1988-Т 43-N6-С 829-839

[7] Волосов К А , Данилов В Г, Колобов H А , Маслов В II Локализованные уединенные волны //Док АН СССР- 1986-Т 287-N 6-С 535-538 English transi ш Sovet Math Dokl

Опишем личный вклад автора в работах [5]-[7],[14]-[17]

В 1983 году автор придумал пример, изложенный впервые в (14] с 57 В [15] это пример 2 2 на с 78 , а в [17] это пример 2 3 на с 32, а также в ¡16]

Обобщением этою примера является формула (111) написанная совместно с В Г Даниловым Доказагельство приведенное впервые в [14] с 48 См также в |15] с 67, в [17] с 19, а также в |16]

С помощью этого преобразования автор вычислил асимптотики эталонных уравнений, что необходимо для построения асимптотических решений в работах [5]-[7],[14]-[17] см ,например, формулы (115),(116) автореферата Автором написаны в основном §1 4, 2 3,П 1-П4 в [15|, и аналогичные параграфы в [16[,[17]

[8] Волосов К А , Данилов В Г Модель термического окисления кремния // Журнал Математического моделиров - 1989-Т 11-N 1-С 58-67

В работе [8] автором построено асимптотическое локализованное решение системы нелинейных j равнений, одно из которых квазилинейное параболическое Такой же метод используется в п 6 2 данной работы Проведены численные расчеты

|9] Волосов К А , Данилов В Г, Логинов A M Точные самоподобные двухфазные решения системы полулинейных параболических уравнений '/Теор и математ физика -1994- Т101-N 2-С 189-199

http //aiXiv org/find/math-ph/0103014/au +Volosov_K (Engl )

В работе [9] автор провел анализ нелинейных систем с помощью программы символьных вычислений па компьютере Осуществил практическую сторону реализации теста Пеплеве Провел численные расчеты примеров

[10] Волосов К А Преобразование приближенных решений линейных параболических решений в асимптотические решения квазилинейного параболического уравнения //Мат зам - 1994- T56-N 6- С 122-126

Volosov К A Tïansformation of Approximate solutions of lmer parabolic équations mto asymptotic solutions of quasilmear parabolic équations // Mathematical Notes -1994-v 56-n 5-6-p 1295-1299

[11] Волосов К A Одевание решений для некоторых неинтегрируемых задач и инвариантные свойства анзаца метода Хирота-Сатсумы// Дифурав- 2005-T41-N 11-С 1572-1575 Volosov К A Dressing of Solutions for Some Nonmtegrable Problems and Invariant properties of ansatz of the Hirota Method Differential Equations, 2005 ,v 41,N 11, p 1647-1651

]12] Волосов К A Построение решений квазилинейных параболических уравнений в параметрическом виде // Дифф урав - 2007- T43-N 4 - С 492-497 Differential Equations 2007-Vol 43-No 4- p 507-512

[13] Волосов К A Об одном свойстве аизаца метода Сатсума-Хирота для квазилинейных параболических уравнений Мат заметки - 2002-Т 71-N 3- -С 373-389 Volosov К А А

Property of the Ansats of Hirota's Method for Quasilmear parabolic Equations Mathematical Notes - 2002-v 71-n 3-p 339-354

[14] Маслов В П , Данилов В Г, Волосов К А Математическое моделирование технологических процессов изготовления БИС М ВИНИТИ,1984

[15] Маслов В П , Данилов В Г, Волосов К А Математическое моделирование процессов тепломассопереноса (эволюция диссипативных структур) С добавлением Н А Колобова, М Наука,1987, 352 с

[16] Danilov V G , Maslov V Р , Volosov К A Mathematical Models m Computer-component Technology Asymptotle Methods of Solution m Mathematical Aspects of Computer Engineering M MIR, Edited by V P Maslov, К A Volosov 1988,

[17] Danilov V G ,Maslov V P and Volosov К A Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes Kluver Academic publishers Dordrecht,Boston, London, 1995

В работах [15], [17] кроме описанного выше, автор прове i классификацию особенностей для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений (см §6 1) Автор применил разработанную Масловым В П , Даниловым В Г тюрию построения асимптотических решений для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений для квазичинейпых вырождающихся гиперболических уравнений (см §6 2)

Апробация работы проведена па 19 конференциях

ВОЛОСОВ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ

Методика анализа эволюционных систем с распределенными

параметрами

Специальность 05 13 01 -Системный анализ, управление и обработка информации

Подписано к печати 06' 03. 2.001ег Формат бумаги 60x90 1/16 Заказ 4О

Объем 2 печ л Тираж - 100 экз

Типография МИЭМ, 113054,г Москва, ул М Пионерская, 12

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Волосов, Константин Александрович

Введение

1 Глава 1. Эволюционные системы описываемые квазилинейными параболическими уравнениями. Параметрическая форма решения.

1.1 Введение. Анализ одномерного случая.

1.2 Построения решений в параметрической форме квазилинейных параболических уравнений с коэффициентом переноса, зависящим от неизвестной функции.

1.3 Пример построения решения квазилинейного параболического уравнения.

Решение Зельдовича-Компанейца-Баренблатта.

1.4 Примеры построения семейств решений полулинейных уравнений Фитц-Хью-Нагумо-Семенова, Зельдовича.

1.5 Пример построения семейств решений уравнения, близкого к уравнению Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера.

1.6 Метод построения решений в параметрической форме для квазилинейных параболических уравнений с коэффициентом переноса, зависящим от независимой переменной и от функции.

Список иллюстраций

1 Распределение температуры Т и концентраций реагирующих веществ при горении. Кривая 1 показывает концентрацию вещества А. Кривая 2 - концентрацию вещества В- ведущего центра.

2 Область локализации функции ¿>(т, х\, жг, Я.) > 0 обозначена через — Вп 1 с границей 7П и область, которая обозначена через в ней функция 5(т, ^2? я) =

3 Кривая 1 -стационарное решение, кривая 2-эволюционирующее решение уравнения ФХНС.

4 Сравнение начальных данных построенного решения уравнения Фитц-Хью-Нагумо-Семенова приведенного в Предложении 1.4.1.-кривая 1 и решения (1.53) при С,; = 1,г = 1,2-кривая 2.

5 Сравнение начальных данных построенного решения уравнения Фитц-Хью-Нагумо-Семенова приведенного в Предложении 1.4.1. и решения (1.53) в большом масштабе.

6 Начальные данные для задачи (1.66), (1.67) для уравнения, отличающегося от уравнения Колмогорова -Петровского-Писунова-Фишера одним слагаемым.

7 Результаты численного расчета обратного преобразования по точному решению в параметрической форме для уравнения (1.67). Происходит выход на автомодельное решение типа кинка.

8 Численное решение уравнения Абеля и его аппроксимация.

9 Линии уровня начальных данных в задаче расчета автоволн.

10 Результаты расчета обратного преобразования точного решения эволюции автоволн при малых временах. Линии уровня.

11 Изменение оптимального управления и и фазовая траектория детерминированной системы и ресурс q(t). Здесь п = 2,Т = 10,/ = Т — t для системы (2.10) в параграфе 2.1 с начальными данными х\ = 4, = 2, go — 1.

12 Изменение оптимального управления и и фазовая траектория детерминированной системы.

13 Изменение оптимального управления и и фазовая траектория в случае когда параметр п близок к единице.

14 Столкновение особенности с кинком. Уничтожение особенности и образование кинка.

15 Аннигиляция (взаимное уничтожение) двух кинков, область изменения которых два различных отрезка пересекающихся в одной точке.

16 Выход на стационарное решение системы Куросава-Танаки. Аннигиляция кинков.

17 Ограниченное при е —> 0 решение квазилинейного параболического уравнения. Кривые 1,2 соответствуют различным значениям параметра е.

18 Первые два варианта расчета для значений параметров приведенных в первой и второй строке таблицы 1 методом Ньютона.

19 Вторые два варианта расчета для значений параметров приведенных в третьей и четвертой строке таблицы 1 методом Ньютона.

20 Решения квазилинейного гиперболического уравнения, распространяющиеся слево направо, в среде по ненулевому фону и имеющие особенность на фронте слабого разрыва на большем корне а\ > ао функции Р{а\) = 0.

Введение 2007 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Волосов, Константин Александрович

В диссертации рассмотрен метод (методика1) изучения эволюционных систем с распределенными параметрами с помощью точных решений, которые строятся новыми способами.

Общее понятие абстрактной системы сформировальсь в конце двадцатого века. Оно обладает большой общностью и дать его строгое определение достаточно сложно. Существует цикл работ В.Н. Афанасьева, В.Б. Колмановского, Ф.Л.Черноусько, В.Р. Носова, А.А.Меликяна, А.С.Братуся и других (см. ниже и [5], [24], [28], [160], [161]) по изучению различных эволюционных систем в различных областях науки и техники.

Цитирую [5]: "на описательном уровне под саморазвивающейся эволюционной системой можно понимать техническую, физическую, биологическую, экологическую и любую иную систему, для которой характерны изменения, протекающие в ней с течением времени. Математически эволюционные системы могут описываться различными способами. Укажем наиболее часто встречающиеся классы эволюционных систем и способы их описания:

-непрерывные системы, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

-дискретные системы, описываемые конечно-разностными уравнениями;

-системы с распределенными параметрами, описываемые эволюционными квазилинейными дифференциальными уравнениями с частными производными, параболического, гиперболического типа;

-системы с последействием, для описания которых

1термин "методика"применяется в значении "совокупность методов практического выполнения." используются функционально-дифференциальные уравнения.

Такие системы возникают тогда, когда протекание процесса определяется не только состоянием системы в данный момент, но также и преди-сторией процесса, [5], [28];

-стохастические системы. Стохастической системой может быть любая из вышеназванных систем, для описания которой используются вероятностные понятия и методы."

В этом описании выделены жирным шрифтом системы, которые в той или иной мере исследованы в данной работе. Ниже приведены некоторые примеры таких систем.

В книге [151] А.Е.Семечкина приводит исчерпывающую библиографию и прослеживает ".эволюцию системных исследований, начиная от мировоззренческих и методологических подходов ученых-представителей различных школ, до информационного обеспечения процедур системного анализа". В этой книге указнана роль и место нелинейных математических моделей в этой науке.

Развитие общей теории систем и, в частности, систем управления объектами с распределенными параметрами привело к созданию структурной теории.В основе этой теории лежит понятие распределенного блока который соответствует определенному физическому процессу в сплошой среде ."(См. об этом подробнее в [34]) Системный анализ дает возможность ".анализировать и синтезировать взаимосвязанные распределенные системы, в отдельных частях которых могут протекать процессы различной физической природы: тепловые, электрические, механические, магнитные и многие другие". Отметим, что в [34] основное внимание уделено линейному случаю. Подобную идею в теории оптимального управления движением развивал в своем докладе "Задачи динамики и управления для гибридных систем "А.Б. Куржанский 5 июня 2007 года в Санкт-Петербурге на международном когрессе "Нелинейный динамический анализ-2007".

В диссертации рассмотрены некоторые случаи нелинейных систем. Все рассмотренные нелинейные системы объединяются наличием ряда общих черт и общим взглядом на построение решений как традиционными точными и асимптотическими методами, так и оригинальными методами, предложенными автором. Эти новые методы базируются, на некотором интересном свойстве дифференциальных уравнений с частными производными.

На его основе можно строить новые точные решения не традиционным способом, как в двухмерном, так и многомерном случае. Эти результаты опубликованы в [62],[64], обсуждались на конференциях и докладывались на семинарах, (см. ниже.) Академик В.П.Маслов представил статью по данной теме в редакцию журнала Доклады РАН. Однако, ее нет в списке литературы согласно правилам ВАК.

В настоящее время общепризнанным является тот факт, что без применения математических методов исследования и последующего вычислительного эксперимента, практически невозможно провести исчерпывающее исследование и расчет сложного процесса. При этом сложные модели расщепляются на более простые, как на физическом, так и на математическом уровне.

Похожей точки зрения придерживаются и в [146]: ". модели многих задач механики и физики, как правило, очень сложны и не поддаются детальному теоретическому исследованию. Однако ряд их важных свойств можно понять, если разбить исходную задачу на более простые блоки или модули". Модульный анализ задачи и предварительное изучение свойств отдельных модулей требует развития качественных и аналитических методов исследования задач системного анализа.

Такой подход дает ряд преимуществ: уменьшение затрат, металлоемкости, времени анализа, что особенно важно при анализе крупногабаритных объектов; возможность анализа критических режимов, которые в реальности привели бы к разрушению объекта, к большим материальным потерям и жертвам, экологической катастрофе и т.д.

Такой подход позволяет выполнять анализ объектов "на микро-, макро-и метауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов протекающих в объекте. "

Все рассмотренные в диссертации модели эволюционных систем являются нелинейными. И следовательно, в них проявляются характерные свойства, присущие нелинейным моделям определенного типа. Эти свойства выявлены в большом количестве исследований и суммированы, например, в [148], [118], [184]. Ниже цитируем эти работы.

Обсудим свойства, вытекающие из нелинейности модели эволюционной системы, и укажем их связь с диссертацией.

Первое следствие нелинейности [148] отсутствие принципа суперпозиции, свойственное линейным, однородным задачам. "Это объясняет, большое множество возможных направлений развития (эволюции) диссипативного процесса, а также определяет возникновение в сплошной среде дискретных пространственно- временных масштабов. Они характеризуют свойство нелинейной среды независящее от внешнего воздействия. Процесс эволюции диссипативного процесса приводит к самоорганизации". Первый шаг самоорганизации это появление пространственных диссипативных структур.

Здесь следует напомнить работы Г.Хакена, Р.Эшби, X. фон Форстера, И. Пригожина, и многих других работы которые описаны и проанализированы в [151]. Кроме того, следует упомянуть, в этой связи, работы Д.М.Гвишиани, О.И.Ларичева,С.В.Емельянова, С.П.Капицы описанные в обзоре приведенном в [151]. Работы С.П. Курдюмова, Г.Г.Малинецкого [107], [110] имеют конкретные точки соприкосновения с диссертацией в Главе 5,6. Исследования проведенные в этих главах дополняют эти работы. См.также по вопросу о самоорганизации структур [116], [118].

Изучение эволюционных систем связанных с полулинейными параболическими уравнениями является актуальной проблемой. Задача о химических часах рассмотренная И.Пригожиным описывается такой системой [151]. Важной задачей является моделирование эволюции решений, выход на автомодельное решение и выход на стационарное решение. (В том случае, когда стационарное решение существует.) Широко известна задача о распространении решения, которое описывает волны в среде с медленно меняющимися свойствами. В многомерной ситуации математические модели, связанные с уравнениями Фитц-Хью-Нагумо-Семенова и их обобщениями описывают эволюцию автоволн и спиральных волн [81], [82], [109], [202].

Следующий этап изучения таких систем связан с поиском возможности управления ими [ 29].

Свойства решений некоторых задач для полулинейных уравнений и систем обсуждалось в перечисленных работах следующих авторов: В.С.Бермана [18], [19], Ю.П.Гупало , А.Д.Полянина [80], Я.Б.Зельдовича, Г.И.Баренблатта, В.В.Либрович, Г.М.Махвиладзе [93]—[95], А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, Н.С.Пискунова [105], С.Лефшец [113], А.В.Лыкова, Б.М.Берковского [115],

Дж.Марри [116] , В.П.Маслова, В.Г.Данилова, К.А.Волосова [118], [184], [53], Э.Скотта [149],

Э.И.Андрианкина [1]-[2], С.Н.Аристова [4], В.Г.Данилова , П.Ю.Субычева [86], [88], В.Г.Данилова, В.А.Лукашева [81], [82].

В сборнике [150] проведен обзор работ не только по интегрируемым уравнениям связанным с обратной задаче рассеяния, но и по работам связанным с полулинейными уравнениями. В перечисленных работах приведено большое количество других работ, прямо или косвенно касающихся обсуждаемых вопросов. Нет никакой возможности привести все ссылки. Следует отметить важные работы R. Hirota в [150] , A.C. Newell [199], J. Murray [198], Т. Kawahara, М. Tanaka [194], B.F.Knerr [196], а также работы M.Ablowits, A. Zeppetella, J.Weiss, M. Tabor, F. Gareillo, R.Y.Field, подробные ссылки на которые приведены в [59], [200], [176] .

Большое количество точных решений полулинейных уравнений приведены в справочниках. См. В.Ф.Зайцева, А.Д. Полянина, A.B. Вязь-мина, А.И. Журова, Д.А. Казенина [98], [99], [135], [136], [201]. В эти справочники включены и результаты автора.

В диссертации в параграфе 1.7 главы 1 предложен новый метод построения точных решений полулинейных уравнений в параметрической форме в трехмерном случае. Произвольный, не фиксированные, дважды непрерывно дифференцируемые замены переменных исследователи- классики делали и ранее,смотри, например, широко известные учебники по уравнениям математической физики В.С.Владимирова, А.Н.Тихонов, А.А.Самар< а также см. С.К. Годунов [79], Н.М.Беляев [13]. Целью исследования в этих работах, обычно, была классификация линейных уравнений с частными производными и приведение их к стандартному виду. В диссертации развивается и обобщается классический подход, использующий замену переменных, с целью построения точных решений квазилинейных и нелинейных уравнений с частными производными. Мы откажемся от исходного скалярного уравнения второго порядка с частными производными и переходим к системе уравнений первого порядка с частными производными на некоторую вектор--функцию, которая содержит в качестве своих компонент как искомое решение, его производные, так и координатные функции замены переменных. Анализ условий разрешимости этой системы приводит к обнаружению неизвестных ранее тождеств. Если появляется необходимость получить более конкретный вид решения, надо конкретизировать функциональный произвол содержащийся в условии разрешимости. Это дает новые возможности изучения эволюционных систем и возможность построения новых точных решений в параметрической форме.

В книге [137] А.Д. Полянина,В.Ф.Зайцева, А.И. Журова на с. 10 дано описание понятия "точное решение нелинейных уравнений математической физики". Решения построенные в главе 1-4 диссертации попадают в третий пункт этой классификации, а именно описываются, системами ОДУ, а в общей ситуации, системой уравнений первого порядка с частными производными. Решения построенные в главе 5 попадают в пункт 8 классификации методов приведенных в книге [137] А.Д. Полянина,В.Ф.Зайцева, А.И. Журова на с. 10, а именно для их построения использовался тест Пенлеве.

Теперь рассмотрим модели, связанные с диссипативными структурами. Диссипативные структуры, введенные И. Пригожиным, являются основными объектами молодой, бурно развивающейся области науки-синергетики, тесно связанной с системным анализом и "самоорганизацией".

Подробная библиография по этому разделу приведена в Дж. Марри,

B.Г. Данилов, В.П.Маслов [116]-[118], [184], А.А.Самарский, В.А.Галактионов,

C.П.Курдюмов, А.И.Михайлов [148], Э.Скотт [149], сборник переводов

Б.А.Дубровина, И.М.Кричевера, под редакцией С.П.Новикова [150], Д.Теркот, Дж.Шуберт [154], V.Krinsky [202].

Речь идет о некоторых определенным образом строго локализованных или почти локализованных ( эффективная локализация) в пространстве решениях модельных нелинейных задач, эволюционирующих во времени и пространстве. Исследования показывают, что нелинейности изменяют не только количественные характеристики процессов, но и качественную картину их протекания. Нелинейности значительно усложняют теорию, так как анализ соответствующих математических моделей требует принципиально новых методов исследования, тесно связанных с теорией нелинейных уравнений в частных производных.

Наиболее общим свойством локализованных структур, которые присутствуют всюду в макромире, является наличие границы. При этом среди многообразия структур можно выделить как структуры с резко обозначенной границей, так и структуры границы которых размыты, (например, см. Рис. 1)

Примером пространственных дисспативных распределений и структур в биологии развития являются автоволны. См. вышеприведенные ссылки. Один пример локализованной структуры в макромире с ограниченным носителем, который является односвязным множеством, с резкой границей является рассмотрен во введении в [118].

Уравнение, изученное в [118] имеет вид

0.1) является вырождающимся квазилинейным параболическим уравнением в многомерном случае.

Коэффициент диффузии здесь пропорционален безразмерной концентрации е), которая является непрерывной функцией. Здесь имеет место естественный малый параметр г < 1. а(£), 6(£)-заданные функции времени, описывающие распределение ресурсов, поддерживающих жизнедеятельность популяции и закономерность рождения и гибели.

Подобными уравнениями моделируется эволюция и других биологических объектов.

С математической точки зрения, это уравнение имеет локализованные решения, тождественно равные нулю вне некоторой односвязной области при любом значении малого параметра е.

Другим примером может служить процесс горения. В случае двух реагирующих газов процесс описан в [94], [95].

На Рис.1 показано распределение температуры Т и концентраций реагирующих веществ (кривая 1- концентрация вещества А, кривая 2- концентрация вещества - В ведущего центра). Так как химические реакции горения протекают с выделением тепла, зона продуктов реакции имеет максимальную температуру. Зона, в которой находятся реагенты, имеет более низкую температуру, при которой вероятность протекания химической реакции мала.

Процесс горения описывается известным уравнением Я.Б. Зельдовича. Одно из наиболее известных модельных уравнений в безразмерных переменных имеет вид - £2сНу (ёгас! и) - 72и2(1 - и) = 0, (0.2)

С/6

Здесь е)— безразмерная температура, 7- заданная непрерывная функция, характеризующая неоднородность среды, е - малый параметр,

Рис. 1: Распределение температуры Т и концентраций реагирующих веществ при горении. Кривая 1 показывает концентрацию вещества А. Кривая 2 - концентрацию вещества В- ведущего центра. возникающий при переходе к безразмерным переменным, связан с критериями подобия. Здесь коэффициент переноса постоянный.

С математической точки зрения в описываемой математической модели существует решение - функция, которая имеет область определения х Е Ä1, t Е [О, Т] , а область изменения функции и Е [0,1]. При этом, вне зоны горения решение экспоненциально мало при er 1—> 0, т.е. локализовано приближенно. Строгая локализация имеет место в пределе при е i—» 0. Ширина фронта волны порядка £ . Такие уравнения, как указано выше, являются полулинейными.

В трехмерном случае имеется небольшое количество, в основном обладающих разным видом симметрий, решений. При произвольных непрерывных начальных данных задачи Коши принято проводить численные исследования. При этом строится неявная разностная схема в довольно большой, прямоугольной области на регулярной сетке. (Мы описываем простейший вариант.) Затем используется, например, метод переменных направлений. (См. [142], [146].) Трудоемкость такого исследования и затраты различных ресурсов весьма значительны.

В трехмерном случае в параграфах 1.7 Главы 1, в Главах 2-4 диссертации предлагается восстанавливать решение численным методом, при этом появляются ощутимые преимущества, более подробно описанные в тексте работы.

Такое свойство решения, как локализация хорошо изучено для квазилинейных параболических уравнений и появилось в работах Г.И.Баренблатта [14]-[17], Я.Б. Зельдовича, А.С.Компанееца [92]-[94], Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшица [111]. Это свойство изучалось далее в поздних работах С.Н.Антонцева [3], A.A.Самарского, В.А.Галактионова, С.П.Курдюмова, С.А.Посашкова,

Н.В.Змитриенко [12, 34, 35, 72-74, 96, 143-148]. См. также работы следующих авторов: И.С. Граника, J1.K. Мартинсона, К.Б.Павлова [77], [124]-[127], [133], A.C. Романова [134], A.C. Калашникова [102], В.П. Коробей-никова [107], О.А.Олейник [131], М.И. Вишика [21], [37], А.И.Вольперта, С.И. Худякова [39], [40], П.П. Волосевича, Е.И. Леванова [41]- [43], В.Н. Gilding , R.O.Kershner [190,195], B.B. Пухначева [139], С.И.Похожаева [138], Г.А.Рудных, Э.И.Семенова [140]. И работы А.С.Братусь [31]-[35],[180], В.П.Маслоь , В.Г. Данилова, К.А.Волосова [83]-[87], [117]-[121], [182] [185], [44]-[58]. См. также работы: B.C. Белоносова, Т.П. Зеленяка [32], Б.М. Берковско-го [175], Е.В.Толубинского [155], В.В.Бублика [178], B.F.Knerr [196], D.A. Larson [197], Л.К.Эдванса [163],Г.Эккера [164], M.J. Ablowitz, A. Zeppetella [166].

Свойство локализации используется в анализе эволюционных систем, которых касаются перечисленные работы. В этих системах протекают тепловые, диффузионные, гидродинамические, электромагнитные и другие процессы. При изучении этих явлений и процессов остаются вопросы, на которые впервые получены ответы в диссертации в Главе 6.

Для того, чтобы обсудить понятия строгой локализации и эффективной локализации решения и сравнить их, рассмотрим известную первую краевую задачу для квазилинейного параболического уравнения

Это уравнение описывает нелинейные процессы переноса в случае степенной зависимости коэффициентов переноса [14] (Г.И. Баренблатт) от переносимой величины и и ее градиента

В частности, при п = 1, уравнение (0.3) можно рассматривать как кп > 1, q > 0, t е [0,Т], 7(г) G С2([0,Т]).

0.3) уравнение нелинейной теплопроводности [72-74, 96, 143-148], а при к = 1 уравнение (0.3) можно рассматривать как уравнение переноса импульса в неньютоновской, дилатантной жидкости [134] в изотермическом случае. В общем случае [14] это уравнение турбулентной фильтрации. Обычно рассматривают монотонные > 0 , неотрицательные локализованные и > 0 решения уравнения (0.3) с граничными условиями u(0,t)=u1(t), ie[0,T], и\ е С1([0, Т]), и(оо, t) = 0, (0.4) и начальными условиями

0.5)

I 0, х е (—оо,Хо].

Здесь sup щ < оо. Кроме того, требуется выполнение условия непрерывности и ограниченности потока дик дх дик дх J Ix=xf(t) = 0, xf(0) = х0 = const < 0,, te[0,T\, sup дик дх п-1 дик дх оо. (0.6)

Предполагается, что выполнено условие согласования 111(0) = Ио(0).

Определения строгой локализации и эффективной локализации приведены в [148] и в первом параграфе Главы 6. Задача (О.З)-(О.б) изучалось также в [51].

Следующим фундаментальным следствием нелинейности является необходимость определения обобщенного решения.

При произвольных начальных и граничных условиях необходимо учитывать, что решения обобщенные.

Рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение ди д (дик\ . к > 1,и(х,г) > 0,ж е д1, г е [О,Г]. (0.7)

Следуя работам [102], [130], [131] О.А.Олейник, А.С.Калашникова, приведем определение обобщенного решения уравнения (0.7), как неотрицательную непрерывную функцию и(х,Ь), удовлетворяющую условию Гёльдера по переменным х, для которой в области

Г2 = [Х0,Х\] С выполняется тождество 1 рх 1 / {шрг + икрХх — Р(и)(р)с1х(И — / шр<1х \\10 — о ^ хо «/ Хо

- [ 1 ик<рх(Щ?0 = 0, (0.8)

Ло каковы бы ни были числа ¿о < ¿1? хо < и пробная (основная, финитная) функция имеющая непрерывные производные функции (рх, (рхх и равная нулю при х = хо и х = х\. См. также О.А.Ладыженская, В.А.Солонникое Н.Н.Уральцева [112], С.Н.Антонцев [3],и [52]. В этих работах показано , что разрывы производных решения и(х,£) уравнений (0.7) могут наблюдаться только при выходе на нулевой невозмущенный фон, т.е. в точках, где и — 0 и уравнение вырождается. (Это линия слабого разрыва). В данной работе, при построении решений, в главе 6 приходится учитывать тот факт, что решения имеют слабую особенность на линии слабого разрыва, а вне ее обобщенное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению в обычном классическом смысле.

Параболические уравнения выводятся в предположении о мгновенной релаксации потока переносимой величины. Если это не так, то изучают модели связанные с гиперболическими квазилинейными уравнениями [128 ]

Математические модели переноса связанные с квазилинейными гиперболическими уравнениями объединяют в себе все полезные свойства : а) Понятие локализации решения изменяется в определенном смысле (см. Главу 6.). б) Возмущения распространяются с конечной скоростью по ненулевому фону. с) Решение имеет слабый разрыв, отделяющий область, в которой функция изменяется от невозмущенной области, в которой функция решения постоянна.

1) Число возможных вариантов различных степенных особенностей на фронте слабого разрыва, как показано в данной работе, равно четырем. Причем, в двух случаях фронт слабого разрыва движется и в двух случаях неподвижен.

В диссертации продолжено изучение локализованных решений квазилинейных гиперболических уравнений и приведены новые результаты в параграфе 6.2-6.4 Главы 6.

Все выше описанные уравнения могут содержать естественный малый параметр и переменные, медленно меняющиеся коэффициенты. Таким образом, подводя итог сказанному, с математической точки зрения, рассматриваемый класс задач характеризуется явлением локализации и конечной скоростью распространения возмущения, т.е. носитель решения есть замкнутое подмножество области, в которой решается задача, и меняется со временем таким образом, что его граница движется в пространстве с некоторой конечной скоростью. На границе носителя решение имеет слабый разрыв, поэтому одновременно с задачей построения асимптотического решения в [53,54, 118] по малому параметру и по гладкости, возникает задача о распространении особенности (слабого разрыва).

В работе [123] проведена классификация особенностей допускаемых нелинейным гиперболическими уравнениями без вторых производных по переменной х(без диффузии). Часть этих результатов приведена в [184].

В отличии от моделей связанных с линейными гиперболическими уравнениями в которых может распространяться любая наперед заданная особенность, и в моделях связанных с линейными параболическими уравнениями, в которых любая особенность мгновенно сглаживается, в квазилинейных параболических уравнениях существует, и притом конечное, число типов особенностей, которые могут распространяться по нулевому фону.

Эти особенности в общем положении имеют вид |?2о|, где щ— расстояние вдоль нормали к фронту слабого разрыва (граница носителя), а показатель а > О степени определяется конкуренцией различных процессов и отвечающих им нелинейных слагаемых в уравнении.

При классификации типов особенностей решения на фронте слабого разрыва используются знания о ветвлении решений. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений рассмотрена М.М.Вайнбергом, В.А.Треногиным в [36], см. также [156].

Классификация особенностей квазилинейных параболических уравнений проведена в работах D.G. Aranson [167]-[169], Л.Д.Покровского, С.Н.Тараненко [153]. Однако в этих работах не рассматриваются так называемые "резонансы". В диссертации (см.[54] с участием автора) доказано, что асимптотические ряды по гладкости содержат не только степенные функции, но и логарифмические функции и рассмотрены "резонансы"в решениях квазилинейных параболических уравнениях. В [87], [184] приведена полная классификация особенностей квазилинейных параболических уравнений и вычислены асимптотические решения в окрестности фронта слабого разрыва.

В диссертации описанные выше идеи применяются к квазилинейшлм гиперболическим уравнениям.

В диссертации автором впервые проведена полная классификация особенностей квазилинейных гиперболических уравнений с вторыми производными по пространству и вычислены асимптотические решения в окрестности фронта слабого разрыва (см.[118]).

Используя подход [54] можно показать, что в моделях с квазилинейными гиперболическими уравнениями не существует "резонансов".

Среди работ оптимального управления можно выделить задачи, в которых решение стохастического уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, с точки зрения нелинейных уравнений в частных производных, локализовано.

См. работы: Ф.Л. Черноусько, В.Б.Комановского [159]—[161], A.C. Братусь, Ф.Л.Черноусько [24], М.Б.Бородовского, A.C. Братусь, Ф.Л.Черноусько [25]-[30], [177], J.Bather, Н. Chernjff [171], A.Bensoussan [172-174], а также Д.Е. Охоцимского, В.А.Ресина, H.H. Ченцова [132], В.Н. Афанасьева, В.Б. Кол-мановского, В.Р.Носова [5], и Д.М.Азимов [9].

Построенное в них уравнение Гамильтона-Якоби- Беллмана для функции математического ожидания функционала S(t, Х\,Х2, q) является квазилинейным уравнением и его следует рассматривать с некоторыми краевы

Рис. 2: Область локализации функции S(t,x 1,^2, ç) > 0 обозначена через — Dni с границей 7п и область, которая обозначена через Dn2, в ней функция ¿'(т, ^2, <?) = О ми и начальными условиями. В детерминированном случае возникает большой круг проблем связанный с негладкими (обобщенными ) решениями уравнения Гамильтона -Якоби, который обсуждался в работах H.H. Кра-совского и его сотрудников в свердловской школе по теории оптимального управления [103], А.И.Субботина [152] (где приведена подробная библиография по этому вопросу), A.Bensousan, J.L.Lions [172-174], Ф.Л.Черноусько, А.А.Меликяна [161].

Значительные разработки в этой области проведены В.П.Масловым, М.В.Федорюком, [121], [106], В.М.Хаметовым [158].

Функция £(т, Х\, Хч-, <?) является непрерывной и отличной от нуля в области 0п1 в , и равна тождественно нулю в области Вп2- Эти области разделяет граница 7п. Рис.2.

На этой линии, по нормали к ней и по касательной, функция непрерывна, при этом существуют и ограничены первые и вторые производные.

Это относится, например, к уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана, которое возникает в задаче оптимального управления колебаниями дБ дБ 2 дБ . [ \3'Х2\\п/{п~1) . ъ-т -^+1* -(п -1} ; 5 «

1 г)2Ч

2^)^ = 0, (0.10) где & Б'Х2 также обозначения производных.

Это стохастическое, квазилинейное параболическое уравнение с переменными коэффициентами.

Функция 5 = Б(т,Х1,Х2,0) четырех переменных.

В данной работе в Главе 2 рассматривается вариант задачи для этого уравнения, и построено его точное решение в явной и параметрической форме методикой предложенной в главе 1.

Групповые свойства уравнений, обсуждаемых в работе, исследовались Н.Х.Ибрагимовым с сотрудниками в [10], [11], [193], В.А.Дороднициным в [89]—[91], Е.М.Воробьевым [65]-[71], [203], [204].

В диссертации групповые свойства исследованы в главе 2 для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в задаче управления колебаниями математического маятника и движением тела переменной массы.

В работе С.М. Авдошина, В.В.Белова , В.П.Маслова, А.М.Чеботарева [170], которую автор редактировал совместно с В.П.Масловым, рассматривалось уравнение Беллмана. Введение специальных операций в алгебре на кольцах дают возможность перейти здесь к линейному уравнению. Эта работа являлась для автора отправной точкой и привела к результатам Главы 2.

Полученное в данной работе решение стохастической задачи оптимального управления колебаниями маятника, находящегося под действием гауссовских возмущений. Эта задача является очень важной для приложений по следующим причинам:

Во первых, надо иметь в виду широкое распространение и применение маятников в различных областях науки и техники;

Во вторых, в диссертации построено точное новое решение в стохастическом случае связано с решениями задачи Коши для линейного параболического уравнения с произвольными начальными данными;

В третьих, каждый случай, когда удается построить точное решение, связанное с решениями линейного параболического уравнения важен для теории. В теории уравнения Бюргерса известно, например, преобразование Коула-Хопфа;

В четвертых, в задаче построен синтез оптимального управления не только в детерминированном, но и в стохастическом случае.

К данной задаче применена методика главы 1. Таким образом показано, что методика, разработанная в диссертации может быть полезна при анализе и решении многомерных задач.

Таким образом Главы 1-4 объединены единым подходом к ряду задач.

Асимптотические методы и различные подходы к построению решения обсуждаются в работах Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского [20], М.В. Ка-расева, В.П.Маслова [100], Н.Н.Моисеева [129], В.М.Хаметова [158], В.Г.Данилова

81]—[82], В.Г.Данилова, В.П. Маслова [83] [87], В.И.Арнольда, В.В. Козлова А. И. Нейштадта [6]-[8].

В диссертации асимптотические решения используются в Главе 6.

В конце 20 века появилась программа символьных преобразований "Математика" .

Интегрированные системы символьной математики ( компьютерной алгебры) - новое направление в развитии программного обеспечения, существенно расширяющее области применения компьютера. Число публикаций по этой тематике значительно возрастает. Обширная библиография и история вопроса приведена в [70], [91]. Сегодня без этих систем не могут обходиться ни математики- аналитики, ни ученые- теоретики, которые занимаются высоко интеллектуальной деятельностью связанной с решением особо сложных математических и научно-технических задач. Их роль в образовании описана, например, в указанных выше работах. Дело в том, что система "Математика ", является еще и языком программирования высокого уровня. В целом, все положительные свойства этой системы позволяют исследователю делать предположения, в символьном виде, об анзаце (заготовке) решений уравнений с частными производными, анализировать уравнения объемом информации 5-100 Мегабайт, проводить различные (не только классические ) преобразования и т. д. Именно такой подход позволил найти новые скрытые свойства уравнений с частными производными в данной работе. Этот подход имеет огромные перспективы для аналитического исследования различных задач. При решении задач, представленных в диссертации мы сталкиваемся с одной из серьезных проблем символьной математики, а именно разбуханием результатов аналитических преобразований.

Это никаким образом не является недостатком компьютерной математики. Просто так нарастает сложность решения данной математической задачи в соответствии с канонами абстрактной математики. В [91] (см. стр.29 ) более подробно обсуждаются причины, которые могут приводить к таким эффектам. Научные сотрудники и математики- рецензенты настолько привыкли к упрощенным результатам, что громоздкие решения, получаемые с помощью символьной математики, способные их раздражать. Однако, полученные новые результаты в данной диссертации, возможно помогут преодолеть психологические проблемы, и будут содействовать применению символьной математики на практике. Основная роль при этом все равно остается за человеком-математиком, с его фантазией, интуицией и сложными ассоциациями.

В данной работе использовалась версия "Математика 4.0.1 "лицензия номер Ь2 967-7796.

Цель работы.

Целью диссертации является формирование комплексного, систематического подхода к изучению нелинейных эволюционных систем с распределенными параметрами, возникающих в различных областях науки и техники. Предложено обоснование нового эффективного метода построения точных решений в параметрической форме нелинейных и квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка. С помощью этого метода можно изучать эволюционные системы путем построения новых точных решений в параметрической форме в многомерном случае. Одна из целей диссертации - распространение нового метода на эволюционные системы связанные с самоорганизацией, распространением пространственных волн, а также описанием диссипативных структур. В комбинации с известными асимптотическими и численными методами построенные точные решения уравнений с частными производными оказываются полезными в многомерном случае.

Конкретно ставились следующие цели:

1)Построить точные решения для нелинейных эволюционных систем, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с помощью конструктивной замены независимых переменных в двухмерном и многомерном случаях. Распространить предложенный метод на квазилинейные параболические уравнение с коэффициентами, зависящими от независимых переменных. Указать область применимости данного метода.

2)Построить точное решение задачи синтеза оптимального управления движением тела постоянной массы с ограничениями. В частности, решить задачу синтеза оптимального управления колебаниями маятника, находящегося под воздействием гауссовских и пуассоновских возмущений, с трением и без него. Ставилась цель с помощью разработанного метода исследовать и решить задачу построения точных решений квазилинейных параболических уравнений с переменными коэффициентами-уравнения Гамильтона -Якоби -Беллмана и установить их связи с решениями линейных параболических уравнений.

3) Построить точное решение задачи синтеза оптимального управления движением тела переменной массы с ограничением на ресурс управления в детерминированом случае.

4) Ставилась цель построить точное решение и исследовать свойства для стационарного режима систем, описываемых эллиптическими уравнениями, и показать возможность исследования широкого класса таких задач с помощью предложенного метода.

5) Ставилась цель распространить метод главы 1 на случай исследования нелинейных волн в нелинейных средах, которые описываются квазилинейными невырождающимися гиперболическими уравнениями.

6) Изучить системы двух полулинейных уравнений и построить точные решения в распространенных в приложениях случаях таких систем.

7) Изучить асимптотические решения по гладкости и указать все типы особенностей на фронте слабого разрыва квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений. Найти необходимое условие существования решения квазилинейного гиперболического уравнения, описывающего распространение нелинейных волн в среде с медленно меняющимися свойствами. Построить точные и асимптотические решения.

Методы исследований. В диссертации использованы элементы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория ОДУ уравнений, численные методы, асимптотические методы, групповые методы построения точных решений, теория оптимального управления и теория случайных процессов.

Научная новизна полученных результатов.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Разработан новый метод построения точных решений дифференциальных уравнений с частными производными в параметрической форме, основанная на предложенной автором конструктивной замене независимых переменных. Задача построения решения исходного уравнения с частными производными второго порядка сводится к системе четырех уравнений первого порядка с частными производными и установлены условия ее разрешимости.

2. В тех случаях, когда решение в параметрической форме не может быть выражено через элементарные функции, предложен комбинированный метод, объединяющий алгоритм п.1 с численными методами. Построены примеры решений уравнений Фитц-Хью-Нагумо-Семенова, Зельдовича, уравнения близкого к уравнению Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера.

3. Построено семейство точных решений класса задач синтеза оптимального управления колебаниями маятника, находящегося под воздействием случайных возмущений.

4. С помощью предложенного метода установлена связь решений для квазилинейного параболического уравнения с переменными коэффициентами -Гамильтона-Якоби-Беллмана с решениями линейного параболического уравнения.

5. Найдены точные решения для задачи синтеза оптимального управления движением тела переменной массы с ограничением на ресурс управления в детерминированом случае.

6. Построены новые классы точных решений систем двух полулинейных параболических уравнений.

7. Проведена полная классификация особенностей, возможных в квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнениях. Найдены необходимые условия существования решения и построены асимптотические решения, в среде с медленно меняющимися свойствами для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений.

Обоснованность выводов диссертации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами, приведенными в диссертации, а также публикациями в ведущих рецензируемых журналах в России и за границей: в США, Великобритании, Германии.

Научная и практическая ценность работы.

Предложен новый метод исследования эволюционных систем с распределенными параметрами. Полученные в работах автора и приведенные в диссертации результаты использованы в справочниках [136] стр.233, стр.236, 263, в [137] , использованы в работах авторов [125], [127], [140] (и других, не только приведенных в списке литературы). Более того, полученные в диссертации результаты использованы в работах моих соавторов и в работах их учеников, например, в работе аспирантки [162]. Точные решения, построенные с помощью конструктивной замены переменных в рамках данного метода, могут быть использованы для получения новых свойств и помогут исследовать важные аспекты качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах.

1)Семинар кафедры Прикладная математика 1, Московского государственного университета путей сообщений, руководитель д.ф-м.н, проф. A.C. Братусь). (Было сделано три доклада.)

2) Семинар кафедры Прикладная математика, Московского государственного института электроники и математики (технический университет.) руководитель лауреат госуд. премии России, д.ф-м.н, проф. М.В. Ка-расев.) (Было сделано два доклада.)

3) Семинар Института Проблем механики РАН. руководитель академик Ф.Л. Черноусько). (Было сделано два доклада.)

4) Семинар по математической физике Института Прикладной математики им. Келдыша. руководители д.ф-м.н, проф.В.В. Веденяпин, д.ф-м.н, проф.В.А. До-родницин, д.ф-м.н, проф. Г.Г. Малинецкий, секр. д.ф-м.н, проф. Ю.Н.Орлов ) (Было сделано два доклада.)

5) Семинар кафедры "Кибернетики"Московского государственного института электроники и математики (технический университет). руководитель акад., д.ф-м.н., проф. В.Н. Афанасьев.)(Было сделано два доклада.)

6) Семинар кафедры "Дифференциальные уравнения и математическая физика"Московского университета "Дружбы народов" руководитель д.ф-м.н., проф. А.Л. Скубачевский. )

7) Семинар кафедры кафедры "Дифференциальные уравнения "в

МГУ им. Ломоносова руководитель д.ф-м.н., проф. В.В. Жиков. )

8) Семинар кафедры "Математическая физика"Самарского государственного университета

9) Семинар кафедры "Высшая математика "Московского технического университета связи и информатики (руководитель д.ф-м.н., проф. В.Г. Данилов. )

10) Семинар кафедры "Математического анализа "Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена.

Материалы диссертации докладывались на международных конференциях:

1) Третья международная конференция . Средства математического моделирования . Санкт-Петербург., июнь 2001.

2) XX Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society, Международная конференция посвященная 100-летию со дня рождения И.Г.Петровского, 22 мая 2001.

3) Международная конференция посвященная 70-летию академика А.М.Ильина. Асимптотики в дифференциальных уравнениях. Урал. Отделение РАН Башкирский научный центр. Институт математики. Уфа. 2002.

4) Четвертая международная конференция. Средства математического моделирования. Санкт-Петербург., июнь 2003.

5) Sovremennaya Matematika I Ее Prilozheniya, Contemporary Mathematics and Its Applications, Suzdal, Conference -3,2003.

6) VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "Москва. ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, июнь 2004.,с.28.

7) IV международная конференция "Идентификация систем и задачи управ-ления"Москва, ИПУ им. В. А. Трапезникова, 25 янв.2005.

8) Научная конференция "Герценовские чтения -2006 "14-19 апреля, РГПУ Санкт-Петербург. 2006,труды конференции.,РГПУ, с.35-40. Сделано два доклада по методике разработанной в главе 1 и по задаче оптимального управления телом переменной массы- п.2.5 глава 2.

9) IX Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "Москва. ИПУ им В. А. Трапезникова РАН, 31-2 июня 2006.

10) Международная конференция посвященная 100 летию со дня рождения А.Н.Тихонова, "Тихонов и современная математика"МГУ, 19-24 июня 2006,изд.МГУ, с. 133-134. Сделано два доклада по методике разработанной в главе 1 и по задаче оптимального управления телом переменной массы- п.2.5 глава 2.

11) International conference of differential equations and dynamical systems. 10-15.07.2006, Суздаль, Институт математики Стеклова, Владимирский гос. Университет,

МГУ им. Ломоносова, Владимирский государственный университе.Труды конференции., изд ВГУ, С. 56-60.

12) IUTAM Symposium. 25-30. 08.2006 Институт математики Стеклова, Труды симпозиума., с. 147-149.

13) Конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения "г. Самара,

Самарский государственный университет 29 января- 2 февраля 2007 г.

14) Научная конференция "Герценовские чтения -2007 "16-21 апреля, РГ-ПУ, Санкт-Петербург. 2007, с.39-41.

15) XXII Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society, Международная конференция И.Г.Петровского, 21-26 мая 2007. Организаторы предоставили возможность сделать доклад сверх программы 26 мая 2007 в ауд.1624, в И часов.

16) Международный конгресс 2007. "Нелинейный динамический анализ 2007". Посвященный 150-летию со дня рождения академика А.М.Ляпунова, 4-8 июня 2007.

Публикации.

По теме диссертации опубликованы 17 научных работ, включая 13 научных работ в центральных, рецензируемых научных журналах по списку ВАК, а также результаты диссертации частично опубликованы в сборниках и в двух монографиях на русском и английском языках. Всего, с учетом публикаций тезисов докладов на конференциях 35 научных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, четыре главы, приложение, заключение и список используемой литературы и приложение. Работа состоит из 263 страницы, включая 20 рисунков, и список литературы состоящий из 204 наименований, таблица 1. Приложение составляет 13 страниц и содержит программы и тексты файлов "Математика 4.0".

Заключение диссертация на тему "Методика анализа эволюционных систем с распределенными параметрами"

Заключение

1)разработан новый метод построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка параболического, эллиптического и гиперболического типов в параметрической форме. Метод основан на конструктивной замене независимых переменных и решения.

Для квазилинейных параболических не вырождающихся уравнений с частными производными второго порядка исходное уравнение сводится к системе четырех уравнений первого порядка с частными производными. Доказано, что условие разрешимости этой системы сводится к одному равенству с помощью ранее неизвестного тождества, см. Теоремы 1.2.1- Теорема 1.2.3.

Построены решения в явной и параметрической форме полулинейного параболического уравнения Фитц-Хью-Нагумо-Семенова, уравнения Зельдовича, уравнения близкого к уравнению Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера с большим функциональным произволом.( См.глава 1). Построены семейства точных решений полулинейных классических параболических уравнений в параметрической форме в трехмерной ситуации, для функций f{Z) и /(£,,£). Построены примеры в которых решение вычисляется через решение уравнения Абеля второго порядка (

§1.7). Аналогично строятся решения квазилинейных параболических уравнений, коэффициенты которых зависят от неизвестной функции и независимых переменных ( §1.6).

2)Метод применен для построения точных решений уравнения Гамильтона -Якоби-Беллмана вида (50) соответстующих задаче синтеза оптимального управления математическим маятником находящимся под воздействием случайных возмущений. Теорема 2.3.1.,Теорема 2.3.2,Теорема 2.4.1. Решения задач для квазилинейных параболических уравнений с переменными коэффициентами выражаются, в данном случае, через решения задач для линейных параболических уравнений. Решена задача синтеза оптимального управления движением тела переменной массы, находящейся под воздействием гауссовские случайные возмущения в детерминированном случае.

3)Описан и обоснован метод построения новых классов точных решений в параметрической форме квазилинейных эллиптических уравнений. Приведены примеры построения решений, в частности решено уравнение с кубической нелинейностью. См.главу 3. Теоремы 3.1.1.- 3.1.3.

4)Построены с помощью предлагаемого метода решения квазилинейного невырождающегося гиперболического уравнения в двумерном и трехмерном случаях. См. главу 4.

5) Исследована важная в приложениях система уравнений Белоусова-Жаботинского и Курасава-Танаки. Найдены примеры решения задач Коши со специальными начальными данными. См. главу

5.

234

6)Проведена классификация особенностей, которые могут распространяться по ненулевому фону в моделях, связанных с квазилинейными вырождающимися гиперболическими уравнениями, методом многоугольников Ньютона. Построены асимптотические решения задачи Коши со специальными начальными данными, с медленно меняющимися коэффициентами для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений. Найдены необходимые условия существования таких решений.

Библиография Волосов, Константин Александрович, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Андрианкин Э.И. Тепловая волна, излучающая энергию с фронта.// ЖТФ 1959.- Т.29.- Ж11.-С.1368-1372.

2. Андрианкин Э.И. Распространение не автомодельной тепловой волны. // ЖЭТФ,- 1978.- Т.35.-Ж2.-С.428-432.

3. Антонцев С.Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды.- Новосибирск.: Инс-т гидродинамики СО АН СССР. 1986.-108 с.

4. Аристов С.Н. Периодические и локализованные точные решения уравнения. // ПМТФ,- 1999.-Т.40,- №.1.-С.22-26.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления.-М.: Высшая школа,2003.-614 с.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.:Наука,1974.-432с.

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1975.-240 с.

8. Арнольд В.П., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики.// Итоги науки и техники. Соврем, проблемы математики. Фундаментальные направления .- М.: ВИНИТИ, 1985.-Т.З.-5-305 с.

9. Азимов Д.М. Активные участки траекторий движения ракеты. Обзор исследований.// Автоматика и телемеханика.- 2005.11.-С. 14-34.

10. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики. //Математическое моделирование . Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики.-М.:Наука,1987.-С. 22-56.

11. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эврисический подход. // Соврем, проблемы математики. Новейшие достижения. Итоги науки и техники., М.: ВИНИТИ,1989.-T.34.-C.3-83.

12. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.:Наука, 1992.-5И с.

13. Беляев Н.М. Методы нестационарной теплопроводности. М.:Высшая школа, 1978.-С.328.

14. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде.// ПММ.-1952,-Т.16,- Ж1,- С.67-68.

15. Баренблатт Г.И. О автомодельных движениях сжимаемой жидкости в пористой среде.// ПММ.- 1952.-Т.16.- Ж6.-С.679-698.

16. Баренблатт Г.И. О автомодельных решениях задачи Ко-ши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде. //ПММ.-1956.-Т.20.- №.6,- С.761-763.

17. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Ленинград.: Гидрометеоиздат,- 1978-255 с.

18. Берман B.C. Нестационарное распространение волн горения в среде с медленно меняющимися свойствами.// ПММ,- 1978,- Т.42.-№3.-С.450-457.

19. Берман B.C. О решении одной нестационарной задачи о распространении фронта химической реакции.// ДАН. СССР.-1979.-Т.242.-№2,- С.265-267.

20. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний,- М.:Наука,1974.-345с.

21. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности. // УМН.-1983.- Т.38,- Ж4.-С. 133-187.

22. Бабицкий В.И. Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах,- М.: Наука, 1985.-320с.

23. Беллман Р. Динамическое програмирование.-М.: Из-во иностр. лит., 1960.-400с.

24. Братусь A.C., Черноусько Ф.Л. Численное решение задач оптимальной коррекции при случайных возмущениях.// ЖВМ и МФ.-1974,- Т. 14,- №. 1. -С. 68-78.

25. Братусь A.C. Решение некоторых задач оптимальной коррекции с погрешностью исполнения управляющего воздействия.// ПММ.-1974.- Т.38.-Ж3.- С.433-440. Engl. tran. in J.Appl. Math, and Mech.

26. Бородовский М.Б., Братусь A.C., Черноусько Ф.Л. Оптимальная импульсная коррекция при случайных возмущениях.//ПММ.- 1975,- Т.39.-№ 5. -С. 797-805. Engl, tran. in J.Appl.Math, and Mech.

27. Братусь A.C. Метод приближенного решения уравнения Беллмана для задач оптимального управления системами, подверженными случайным возмущениям.//ПММ.-1975.-Т.39,- №.2,- С.235-245 . Engl. tran. in J.Appl. Math, and Mech.

28. Братусь A.C., Колмановский В.Б. Приближенное оптимальное управление движением под воздействием пуассоновских и гауссовских случайных процессов.// Дифф.урав.-1977.-Т.8.- № 9,- С. 1558-1569.

29. Братусь А.С.,Посвянский В.П. Стационарные решения в замкнутой распределенной системе эволюции Эйген-Шустер.// Диффер.урав.-2006.-Т.42- Ж12.-С.13-17.

30. Братусь A.C. Приближенное решение одной задачи оптимального управления с вероятностным критерием. // ПММ.-1977.- Т.41.-М,- С.13-23. Engl. tran. in J.Appl. Math, and Mech.

31. Белоносов B.C., Зеленяк Т.Н. Нелинейные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск.: НГУ,1976.-155 с.

32. Братусь А.С. Волосов К.А. Точные решения уравнения Беллмана для задач оптимальной коррекции с интегральным ограничением на суммарный ресурс управления.//ПММ.- 2004,- Т ,68.-№.5,- С.48-55. Engl, tran. in J.Appl.Math. and Mech.

33. Бутковский А.Г. Характеристика систем с расперделен-ными параметрами.(справочное пособие) -М.:Наука,1979.-224с.

34. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 4 изд. -М.: Наука, 1980.-688с.

35. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления нелинейных уравнений. -М.: Наука, 1969.-528 с.37. ] Вишик М.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков. //Мат. сборник., 1962.-Т. 59,- С. 289-325.

36. Власов С.Н., Пискунова JI.B., Таланов В.И. Структура поля вблизи особенности , возникающей при фокусировке в кубической среде. //Журн. Эксперим. И теорет. Физики.-1978,- Т.75.- №.5.-С. 1602-1609.

37. Вольперт А.И., Худяков С.И. О задаче Коши для квазилинейных вырождающихся уравнений второго порядка.// Мат. сборник,- 1969.- Т.78.-ЖЗ,- С.374 -396.

38. Вольперт А.И., Худяков С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975,- 395 с.

39. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Маслянкин В.И. Бегущие волны в теплопроводной поглощающей среде.// Препринт ИПМ. им. Келдыша. АН СССР,- №.55.-1980,- 17 с.

40. Волосевич П.П., Дягтярев Л.М., К}фдюмов С.П. и др. Процесс сверхвысокого сжатия вещества и иниционирова-ние термоядерной реакции мощным импульсом лазерного излучения. //Физика плазмы. -1976,- Т.2- №6,- С.883-897.

41. Волосов К.А. Течение степенной жидкости в диффузорах и конфузорах. //Жур. Механика композит, материалов. Деп. в ВИНИТИ. 1981-№ 2310-81.

42. Волосов К.А. О решениях Гамеля уравнений движения неньютоновских жидкостей со степенным реологическим законом.// Инжен. Физический Журнал.- 1981.-Т.26.-№.5.-Деп в ВИНИТИ № 5308-80.

43. Волосов К.А. Температурные волны в движущейся среде.// Инжен. Физический Журнал.- 1981.- Т.26.-№ 5.-С.929-930.Деп.в ВИНИТИ 2507-81.

44. Волосов К.А. К вопросу о влиянии мелкомасштабных фазовых неоднородностей на свойства неустойчивых резонаторов.// Жур. Прикладной спектроскопии.- 1981.- Т. 35.-№.4,- С.710-713.

45. Волосов К.А. Модель диффузии межкристалического кремния в процессе термического окисления.// Уральское отд. АНСССР. Инст. Матем. Сб. Асимптотические решения задач математической физики. Уфа. 1990.-е. 17-32.

46. Волосов К.А., Павлов К.Б., Романов A.C., Федотов И.А. Метастабильное состояние в процессах переноса описываемых Квазилинейным параболическим уравнением.// ПМТФ.-1982,- №.5.- С. 89-92.

47. Волосов К.А., Романов A.C. О стационарных решениях в процессах описываемых нелинейным уравнением теплопроводности.// Инжен. Физический журнал.- 1982.- Т. 17.-№.3.-С.68-72.

48. Волосов К.А., Романов A.C. Методы решения дифференциальных уравнений в инженерной практике. //Труды МГТУ им. Баумана.М.:Изд.МГТУ,1983,- Ж398.-С.61-70.

49. Волосов К.А., ДаниловВ.Г., Маслов В.П. Асимптотика волн горения в нелинейных неоднородных средах с медленно меняющимися свойствами .//Доклады АН СССР,- 1986.-Т.290.-Ж5.-С. 1089-1094. English transi, in Sovet Math.Dokl.

50. Волосов K.A., Данилов В.Г., Маслов В.П. Структура слабого разрыва решений квазилинейных вырождающихся параболических уравнений.//Мат. зам.- 1988.-Т. 43.-№6.-С.829-839.

51. Волосов К.А., Данилов В.Г., Колобов H.A., Маслов В.П. Локализованные уединенные волны .// Док.

52. АН.СССР.- 1986.-Т.287.-Ж6.-С.535-538. English transi, in Sovet Math.Dokl.

53. Волосов К.A., Данилов В.Г. Модель термического окисления кремния .// Журнал Математического моделиров. -1989.-Т.11.-М.-С. 58-67.

54. Волосов К.А. Модель диффузии межкристалического кремния в процессе термического окисления. Асимптотические решения задач математической физики. // Урал. Отделение АН СССР. Башкирский научный центр. Институт математики. Сб. Уфа. 1990.

55. Волосов К.А. Температурные волны в нелинейной среде, с источником. Задачи матем. физики и асимптотика их решения.// Урал. Отделение АН СССР. Институт математики. Сб. Уфа . 1991.

56. Волосов К.А., Данилов В.Г., Логинов А.М. Точные самоподобные двухфазные решения системы полулинейных параболических уравнений. / / Теор. и математ. физика,- 1994.- Т. 101,- №2,- С. 189-199. http://arXiv.org/f ind/math-ph/0103014/au:+VolosovK. (Engl).

57. Волосов К.А. Новый способ построения решений квазилинейных параболических уравнений в параметрическом виде.// Диф. урав,- 2007,- Т.43,- №4,- С.492-497. English transi. Differential Equations. 2007.-Vol.43.-No. 4.-P.507-512.

58. Волосов К.А. Построение решений квазилинейных параболических уравнений в трехмерном случае. Моделирование автоволн. // Герценовские чтения. 16-20 апр. 2007-СПб.:БАН,2007.-С.39-44.

59. Воробьев Е.М. Частичные симметрии и многомерные интегрируемые дифференциальные уравнения.// Дифф. урав.-1989.-Т.25.- №3.-С.461-465.

60. Воробьев Е.М. Инвариантные и частично инвариантные решения краевых задач. //Докл. АН СССР.- 1989.-Т.306,- №4.-С.836-840.

61. Воробьев Е.М. Групповой анализ краевой задачи для уравнения ламинарного погранслоя. // Математическое моделирование,- 1991,- T.3.-M1.-C.116-123.

62. Воробьев Е.М. Частичные симметрии систем дифференциальных уравнений.// Док. АН.СССР.- 1986.-Т.287.-№5.-С.408-418. English transi, in Sovet Math.Dokl.

63. Воробьев Е.М. Редукция дифференциальных уравнений с симметриями. // Известия АН СССР. Сер.матем.-1980.-Т.44.- Ж4.-С.806-820.

64. Воробьев Е.М. Введение в систему "Математика". М.: Финансы и статистика, 1998.-261 с.

65. Галактионов В.А., Курдюмов С.П.,Михайлов А.П.,Самарский A.A. Об одном подходе к к сравнению решений параболических уравнений.// В книге "Режимы с обострением:эволюция идеи".под.ред.Г.Г.Малинецкого.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2006.-З12с.

66. Галактионов В.А., Посашков С.А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений градиентной диффузии.//ЖВМ и МФ. -1994.-Т.34-№3-С. 373-384.

67. Гельфант И.М., Фомин С.М. Вариационное исчисление.-М.:Физматгиз,1961- 228с.

68. Гикхман И.И. Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов М.:Наука,1977.-568с.

69. Граник И.С., Мартинсон JI.K. Движение фронта тепловой волны в нелинейной среде с поглощением.//Инж.физ.журн- 1980.-Т.35.-М С.728-731.

70. Грюканов М.Ф., Коктабаев Н.К. Нелинейные волныпри сжатии -иинча, ограниченного торцами. //Физика плазмы.-1981.-Т.7.-№6.- -С. 1189-1194.

71. Годунов С.К. Уравнения математической физики-М.:Наука, 1979.- 391 с.

72. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массотепло-обмен реагирующих частиц с потоком,- М.:Наука,1985.-ЗЗбс.

73. Данилов В.Г. Лукашев Е.А. Асимптотическое решение типа спиральных волн для уравнений модели нелинейного ревербератора малой амплитуды.// Биофизика-1990-Т.35.-Ж5,- С. 859-863.

74. Данилов В.Г. Лукашев Е.А. Математическая модель нелинейного ревербератора малой амплитуды.// Биофизика-1990.- Т.35.-№5.-С. 855-858.

75. Данилов В.Г., Маслов В.П. Квазиобратимость функций, упорядоченых операторов в теории псевдодифференциальных операторов.//Сб.ВИНИТИ. Современные проблемы математики: Итоги науки и техники. -1976.-Т.6 С.1-160.

76. Данилов В.Г., Маслов В.П. Асимптотика решений уравнений реакция диффузия.// Мат.заметки - 1988.-Т.44.-№ 1- С. 152-163.

77. Данилов В.Г. Глобальные формулы для решений квазилинейных параболических уравнений с малым параметроми некорректность. // Мат.заметки 1989 - T.46.-N® 1.- С. 129-140.

78. Данилов В.Г., Субычев П.Ю. Точные однофазные и двухфазные решения полулинейных параболических уравнений.// Преринт МИ им. Стеклова.ДН СССР, 1988.-46 с.

79. Данилов В.Г. Применение асимптотических методов в задачах тепломассопереноса. -Автореферат диссертации на соискание ученой степени д.ф-м.н. -М., 1989.-324 с.

80. Данилов В.Г., Субычев П.Ю. Точные однофазные и двухфазные решения полулинейных параболических уравнений.// ТМФ 1991.-Т.89.-М.-С.25-47.

81. Дородницин В.А. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нелинейной теплопроводности с источником или стоком.// М. Препринт №57 ИПМ АН СССР.-1979.-32 с.

82. Дородницин В.А. об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником.// ЖВМ и МФ.-1982.-Т.22.-^6-С. 1393-1399.

83. Дьяконов В.П. Mathematica в математических и научно-технических расчетах.- М. Солон-Пресс.2004 696 с.

84. Зельдович Я.Б., Компанеец A.C. К теории распространения тепла при теплопроводности зависящей от температуры. В книге "К 70летию А.Ф.Иоффе. М.:Изд.АН СССР,-1950.-С.61-71.

85. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени. // ЖФХ.-1948.-Т.22.-№1.-С. 27-48.

86. Зельдович Я.Б.Приближенная теория цепных реакций.// Кинетика и катализ.-1961.-№2.-С.305-314.

87. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.П., Либрович В.В., Мах-виладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва.-М.:Наука.-1980 478 с.

88. Змитриенко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский A.A. Метастабильная локализация тепла в среде с нелинейной теплопроводностью и условия ее проявления в эксперименте.// Препринт.ИПМ АН СССР 1979.-№ 103.-67 с.

89. Ито К, .Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. -М.: Мир, 1968-ЗООс.

90. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения.-М.:Физматлит,2001.-560.

91. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения.- М.Международная программа образования, 1996.-496.

92. Карасев М.В., Маслов В.П. Квазиклассические солитон-ные решения уравнения Хартри. //Теор. и мат. физика-1979.-Т.40.-№2.-С.235-244.

93. Каладжаро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны.Пер. с англ. Под ред. В. Е. Захарова. М.: Мир, 1985.-472с.

94. Калашников A.C. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением.// ЖВМ и МФ,- 1974,- Т.14.-№.4,- С.891-905.

95. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.:Наука, 1985.-520 с.

96. Колмогоров А.Н., Фомин С.В, Элементы теории функций и функционального анализа.М.:Наука,1968- 496 с.

97. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение в одной биологической проблеме.//Белютень МГУ.сек.А.-1937- Т.1.-№6,- С.1-25.

98. Колокольцов В.Н., Маслов В.П. Задача Коши для однородного уравнения Беллмана.// Докл. АН СССР.- 1987-Т.296-№4.-С. 796-800.

99. Князева E.H., Курдюмов С.П. основания синергетики.Режимы с обостением, самоорганизация,темпомиры-СПб.:Алетейя,2005.- 414с.

100. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977. - 399 с.

101. Кринский В.И., Михайлов А. С.Автоволны, серия Физика.-М.:Изд.Знание, 1984,- № 10,- с.64.

102. Курдюмов С.П. Режимы с обострением: эволюция идей. Под. ред. Г.Г.Малинецкого. -2-е изд. испр. и доп.-М.:ФИЗМATJIИТ, 2006- 312 с.

103. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика.т.6., Гидродинамика.- М.:Наука,1986.- 300с.

104. Ладыженская O.A., Соллоников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.Наука, 1967 - 736 с.

105. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. Пер.с англ. М.:ИЛ,1970.-300с.

106. Людвиг Г., Хейль М. Теория пограничного слоя с диссипацией и ионизацией., пер. с анг., Проблемы механики. 1978.,№4.-148 с.

107. Лыков А.В.,Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны.М.:Энергия,1974.-300с.

108. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях.-М.:Мир,1983.- 400 с.

109. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование технологических процессов изготовления БИС.МИЭМ М.: ВИНИТИ, 1984.-132 с.

110. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса (эволюциядиссипативных структур) С добавлением Н.А.Колобова, М.:Наука,1987.-352 с.

111. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Об условиях типа Гюгонио для бесконечно узких решений уравнения простых волн.// Сиб.мат.жур,- 1983.-т.24.-№ 5.-С.50-64.

112. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.:Наука, 1976.- 140 с.

113. Матвеев В.В., Салле М.А. Darboux Transformation and Solutions. Springer Series in Nonlinear Dynamics, Springer-Varlag, New-York, 1991.-210 c.

114. Маслов В.П. Три алгебры связанные с негладкими решениями квазилинейных гиперболических уравнений.// Успехи математических наук.-1980.-Т.35.-С. 150-180.

115. Мартинсон Л.К. Локализованные тепловые структуры в среде с объемным поглащением тепла.// ПМТФ- 1981-№ 2,- С.70-73.

116. Мартинсон JI.K., Павлов К.Б. К вопросу о пространственной локализации тепловых возмущений в теории нелинейной теплопроводности.//ЖВМ и МФ 1972,- № 12-С. 1048-1053.

117. Мартинсон JI.K., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики.- М.:Изд. МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2002,- 376с.

118. Моисеенков В.Б. Гиперболическое решение в среде со слабой дисперсией. //Укр.мат.жур- 1978-Т.ЗО.-Х® 2.-С.254-262.

119. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.:Наука, 1981.-399с.

120. Олейник O.A. Математические задачи теории пограничного слоя.//УМН.-1968.-Т.23.-№3.-С.З-65.

121. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу Юй-Линь Задачи Коши и краевые задачи для уравнения типа нестационарной фильтрации.-// Изв.АН СССР.сер.мат.-1958.-Т.22,-№5.-С. 667-704.

122. Охоцимский Д.Е., Рясин В.А.,Ченцов H.H. Оптимальная стратегия при корректировании. //Докл.АН СССР-1967.-T.175.-JV® 1.-С.47-50.

123. Павлов К.Б. Пространственная локализация тепловых возмущений при нагревании сред с объемным поглаще-нием тепла.// Жур.ПМ ТФ.- 1973.-№ 5.-С.96-101.

124. Павлов К.Б., Романов A.C. Об изменении области локализации возмущений в процессах нелинейного переноса.// Изв.АН СССР. Механ. жидкости и газа,- 1980.-№ 6.-С.57-62.

125. Полянин А.Д., Журов А.И., Точные решения нелинейных уравнений механики и математической физики.// До-кл.АН СССР.-1998.- Т.360.-№ 5.-С.640- 644.

126. Полянин А.Д., Вязьмин A.B., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям тепло и массопереноса.-М.:Факториал, 1998.- 386 с.

127. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики (Учебная физико-математическая литература)-М.:Физматлит, 2005.-448.

128. Похожаев С.И. О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами.// Функц. Анализ и его прилож.-1967.-Т.1- № З.-С.66-73.

129. В.В.Пухначев Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений. //Док. АН СССР.- 1987.- Т.294.-№ 3.-С.535-538.

130. Рудных Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии.// Сиб. Матем. жур.2000-Т.41-С.1141-1166.

131. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР.-М.: Наука, 1969.

132. Самарский A.A. Теория разностных схем-М.:Наука,1977.-655с.

133. Самарский A.A., Курдюмов С.П., Волосевич П.П. Бегущие волны в среде с нелинейной теплопроводностью. // ЖВМ и МФ 1965.-T.29.-JY2 6.-С. 199-217.

134. Самарский A.A., Змитриенко Г.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.И. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемными источниками тепла. //Докл. АН CCCP.-1976.~-Т.227 №.2,- С.321-324.

135. Самарский A.A., Змитриенко Г.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.И. Метастабильная локализация тепла в среде с нелинейной теплопроводностью и условия ее проявления в эксперименте. //Препринт ИПМ АН СССР.-1979 №67.

136. Самарский A.A. Численные методы решения многомерных задач механики и физики.//ЖВМ и МФ.-1980.-Т. 20.6.-С. 1418-1428.

137. Самарский А.А.,Змитриенко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.И. Эффект метастабильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью.//Докл. АН СССР.-1975.- Т.223.- № 6.- С.1244-1347.

138. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.И. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений., М.:Наука,1987.~ 480с.

139. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике пер.с англ. М.:Сов. радио,1977.-368с. Scot A. Active and Nonlinear Wave Propagation Media in Electronics, Wiley Interscience, New York.- 1970.

140. Солитоны. Редакторы Р.Буллаф, Ф.Кодри. перевод с англ. Б.А.Дубровина, И.М.Кричевер, под ред. С.П.Новикова. М.:Мир,1983.-408с.

141. Семечкин А.Е. Системный анализ и схемотехника.-M.:SVS-Apryc,2005.-536 с.

142. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. Под редакцией H.H. Красовского. //Уральское отделение АН СССР., Институт матем. и механики. М.:Наука,1991.-216 с.

143. Теркот Д., Шуберт Дж.Геодинамика.,Т.2.-М.:Мир,1975.320с.

144. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса. Киев. :Наукова думка, 1969.-375 с.156. под редакцией Треногина В.А., Юдовича В.И., Келлер Дж.Б., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения . М.:Мир,1974.- 255 с.

145. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970.- 720 с.

146. Хаметов В.М. Асимптотика решений задачи Коши для линейного параболического уравнения второго порядка с малой дисперсией.// Матем.заметки 2000 - Т.68 - № 6-С.917-934.

147. Черноусько Ф.Л. Автомодельные решения уравнения Беллмана для задач оптимальной коррекции случайных возмущений.// ПММ.-1971.-Т.35.-№ 2.-C.333-342 Engl, tran. in J.Appl.Math. and Mech.

148. Черноусько Ф.Л., Колмановский B.B. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.:Наука, 1978.-352 с.

149. Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска- М.:Наука,1978.-272 с.

150. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными, .пер.с анг. Новосибирск.:Тамара Рожковская, 2003.- 562 с.

151. Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы.-М.:Мир,1974.

152. Acrivos A., Shah V.J., Peterson Е.Е. Momentum and heat Transfer in laminar boundary- layer of non-newtonian fluids past external surfase.// A.I.ch.E.J.-1960.-Vol.6.-No.2.

153. Ablowitz M.J., Zeppetella A. Explicit Solutions of Fisher"s equation for Special Wave Speed.// Bellitin of Math.Biology. -1979-Vol.41.-P.835-840.

154. Aronson D.G., Weinberger H.F. Nolinear diffusion in population genetics. Ed. J.A. Goldstein. //Lecture Notes to Mathematics N.Y.,Springer.-Vol. 449 - 1975.

155. Aronson D.G. The porous medium equation, in "Nomlinear Diffusion problems".(A. Fasano and M. Primicerio , Eds.) P. 1-46, Lecture Notes in Mathematics,// Springer-Verlad, Berlin, 1986.-P.1224,

156. Aronson D.G., Weinberger H.F. Nonlinear diffusion in population genetics combustion, and nerve pulse propagation, in "Partial Differential Equations and Retated

157. Topics" (Goldstein J.A. Ed.) p.5-49,// Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1975.-P.446

158. Avdoshin S.M., Belov V.V., Maslov V.P., Chebotarev A.M. Design of Computational Media: Mathematical Aspects, in Mathematical Aspects of Computer Engineering M.:MIR, Edited by V.P. Maslov, K.A. Volosov.1988,

159. Bather J.,Chernjfï H. Sequential in the ejntrol of a space-ship (finite fuel)// J.Appl. Probabil.-1967.-V.4.-N.3.- C.548-604.

160. Bensoussan A.,Lions J.-L. Nouvelle formulation de problèmes de contrôle impulsionnet et applications. //.C.r.Acad. .Sci. Paris. Ser. A.-1973-Vol.276.-No.18-P. 1189-1192.

161. BensoussanA. Perturbation Methods in Optimal Control Chichester: Wiley.- 1988,- 573 p.

162. BensoussanA., Lions J.-L. Contrôle impulsionnel et inequations qasi-variationnelles devolution.,//C.r.Acad.Sci.Paris.-Ser.A.-1973.-Vol.276 -No.20,P.1333-1338.

163. Berkovsky B.M., Bashtovoi V.G.The finite velocity of heat propagation from the view- point of the kinetic theory. //Intern. J. Head and Mass Transfer.--1977.-Vol.20.-No.6-P.621-626.

164. Boussinesq J. Nheorie de l'intumescence liquide appelee onde solitaire ou de translation se propadeant dans un Canal rectangulaire Comptes Rendus.-1871.-Vol.72.-P.755-759.

165. Bratus A.S., Dimenberg M.F. Iourtchenko D.V., Noori M. Hybrid solution method for Dynamic programming equations for MDOF stochastic systems. //Dynamics and Control.-2000.-No.10.-P. 107-116.

166. Bublic V.V. The exac solutions of equations for dynamics of viscous heat conducting gas. //Intern. Conf. Meth. Aerophys. Reseach. Proc. Pt.l.-Novosibirsk 1993.-P.41-43.

167. Casal P. Surleuseuble des solutions de Fequatijn de la couche limite.-//J.de Mecanique.- 1972 -Vol.1.- № 3.-P.459-469.

168. Danilov V.G. Asymptotical solutions describing localized head structures in plasma. Nonlinear and turbulent processesin physics., Proc. of the III Int. workshop, Kiev,Aptil 1987// Kiev.:Naukova Dumka, 1988.-Vol2.-P. 124-127,

169. Danilov V.G., Maslov V.P., Volosov K.A. Mathematical Models in Computer-component Technology: Asymptotle Methods of Solution, in Mathematical Aspects of Computer Engineering. Edited by V.P. Maslov, K.A. Volosov.M.:MIR,1988.-P.238-383.

170. Danilov V.G.,Maslov V.P. and Volosov K.A. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes. Kluver Academic publishers.Dordrecht/Boston/London 1995.-316 p.

171. Danilov V.G., Volosov K.A. Asimptotic solutions in mathematical models of nonlinear heat transfer. Proceedings contributed papers.// Int. Conf. on Plasma Phys.Kiev, 1987.-Vol.4.-P. 332-335

172. Dimentberg M.F. Statistical dynamics of nonlinear and time-varying systems. NY., John Wiley & Sons Inc., 1988.-609 p.

173. Dimentberg M.F. Bratus A.S., Iourtchenko D.V. Optimal bounded control of steady- state random vibrations. //Probabilistic Engineering Mechanics. 2000.-No.15.-P.381-386.

174. Dimentberg M.F. Bratus A.S., Iourtchenko D.V. Bounded control of random vibration:hybrid solution to HJB equations. // Mechanica. 2002.-No.37,-p.l29-141.

175. Englar H.P. Relation between traveling wave solutionsof quasi-liner parabolic equations.// Proc. Acad. Math. Soc.l985.-Vol.93.-No.2.-P.297-302.

176. Grank J. The mathematical of diffusion Oxford. Clerendon Press.1956.

177. Hopf E. The partial differential equation.//Comm. Pure Appl. Math.- 1950.-Vol.3-P.201-230.

178. Ibragimov N.H. CRC handbook of Lie Group to Differential Equations. Ed.Boca Raton:CRC Press, 1994-Vol. 1.-429 p.

179. T.Kawahara, M.Tanaka Interaction of traveling fronts on exact solution of nonlinear diffusion equations. //Phys lett.A 97 -1983,- P.311-330.

180. Kershner R.O. Oncertain properties of generalized solutions of quasilinear degenerate parabolic equations,// Acta Math. Acad.Sci. Hungaricae.-1978.-Vol.32.-No.3.-P.301-330.

181. Knerr B.F. The behaviour of the support of solution of the equation of nonlinear heat conduction with absorption in one dimension. //Trans.Amer. Math. Soc.-1979.Vol.249.-No.2-P.409-424.

182. Larson D.A. Transient Bounds and Time- Asymptotic Behavior of Solutions to Nonlinear Equations. SI AM Appl.Math.-1978.-Vol.34,- No 1.-P.93-104.

183. Murray J.Lectures on Nonlinear Differential Equations. Modelsin Biology Oxford.:Clarendon Press, 1977 - 227p.

184. Newell A.C., Whithead, Finite bandwidth, finite amplitude convection,// J.Fluid Mech.- 1969.-Vol.38.-279-286 p.

185. M.C. Nucci, P.A. Clarkson The nonclassical method is more general than the derect method for symmetry reductions. An example of the Fitzhugh- Nagumo equation.//(Phys.Lett.A.)-1992.-Vol.l64.-P. 49-56,1992.

186. Polyanin A.D. ,Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Eqnations. Chapman & Hall/CPC,- 2004.-840 pp.

187. Selforganig grtich: Autowaves and structures for form equilibrium. Ed. V. Krinsky.Sprinder-Verlag., 1984.-82 p.

188. Vorob'ev E.M. Nonclassical and conditional symmetries. In CRC Handbook of Lie Group Analysis if Differential Equations.- CRC Press,- 1996.-Vol.3,p.291-328.

189. Vorob'ev E.M. Symmetries of compatibility conditions for systems of differential equations./'/ Acta Applicandae Mathematical-1993.-Vol.26.-R61- 86.