автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод симплексных покрытий для решения линейных задач оптимального управления

Введение.

Глава 1. Численный метод решения линейной задачи оптимального быстродействия.

1.1. Постановка задачи и геометрическая интерпретация.

1.2. Основной алгоритм решения задачи.

1.3. Доказательство сходимости основного алгоритма.

1.4. Результаты численного моделирования.

1.5. Модифицированный алгоритм.

1.6. Обоснование сходимости модифицированного алгоритма.

1.7. Сравнительный анализ численных результатов.

1.8. Обобщение метода на задачу оптимального по быстродействию перевода линейной системы на выпуклый компакт.

Глава 2. Численный метод решения линейной задачи минимизации ресурсов.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вычислительный алгоритм решения задачи.

2.3. Обоснование сходимости.

2.4. Вычислительные аспекты метода решения.

Глава 3. Численный метод решения линейной задачи с однородным выпуклым функционалом.

3.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

3.2. Вычислительный алгоритм решения.

3.3. Доказательство сходимости.

3.4. Результаты численного моделирования.

Математическое моделирование многих динамических процессов, возникающих на практике (промышленное производство, экономика, экология, химия, биология, движение летательных аппаратов и т.д.) является в настоящее время основным инструментом получения знаний о их поведении при различных способах воздействия. Одна из главных целей моделирования — поиск такого управляющего воздействия, при котором достигается в некотором смысле "максимальный эффект". Например, минимальные затраты ресурса (времени) на производство единицы продукции или перевод управляемого объекта из начального состояния в заданное конечное состояние.

Наиболее удобным и распространенным средством описания динамических процессов являются дифференциальные уравнения. Возникающие при этом задачи, как правило, хорошо известны в теории оптимального управления. Однако подавляющее большинство из них не имеют простого (аналитического) решения и требуют разработки численных методов.

Актуальной проблеме разработки эффективных методов численного решения линейных задач оптимального управления и посвящена настоящая диссертация.

Линейные задачи оптимального управления привлекают внимание исследователей по двум основным причинам: возможностью простого описания и возможностью получения конструктивных и эффективных методов и алгоритмов решения; возможностью использования линеаризации нелинейных задач и, следовательно, возможностью управления нелинейными системами с помощью линеаризованных моделей.

Как правило, для линейных задач удается доказать также локальную и глобальную сходимость предлагаемых методов решения, исследовать скорость сходимости и получить оценки скорости сходимости.

Мы ограничимся рассмотрением линейных детерминированных задач, в которых управляемая система описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями без запаздываний в фазовых координатах и управлении. Исследование свойств решений любых задач преследует конечную и, по-видимому, главную цель — найти решение задачи или в явном виде, или, если этого сделать невозможно, предложить численный метод его поиска. Методы решения опираются на теоретические факты и, естественно, используют теоремы о виде оптимального управления, о конечности числа переключений, о существовании оптимального управления, о единственности и телесности областей достижимости линейных систем. Следует подчеркнуть, что телесность области достижимости зависит только от области управления и параметров системы, а не от вида функционала задачи, фазовых и терминальных ограничений.

Известно, что принцип максимума сводит задачу оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. Характерным для задач оптимального управления является то, что аналитическое решение задачи удается получить лишь в редких случаях. В связи с этим большую роль играют численные методы построения оптимального управления. Потребности практики и бурный прогресс вычислительной техники стимулировали разработку вычислительных методов оптимального управления.

Работы в области создания численных методов оптимального управления интенсивно ведутся с начала 60-х годов, т.е. с появлением принципа максимума JI. С. Понтрягина [65] и динамического программирования Р. Беллмана [10]. Трудности при решении задач оптимального управления вызваны необходимостью решать краевую задачу, большой размерностью систем, наличием ограничений на управление и фазовые координаты, многоэкстремальностью. Они привели к большому разнообразию вычислительных методов их преодоления.

Методы решения задач оптимального управления можно условно разбить на:

1) методы решения двухточечной краевой задачи, полученной из принципа максимума (к ним можно отнести некоторые методы, описание которых можно найти в работах [14, 17, 36, 39, 61, 70, 77, 121,131]);

2) градиентные методы в пространстве управлений, основанные на формуле приращения для первой вариации функционала (к ним можно отнести некоторые методы из [14-15, 60, 66, 73, 75, 88, 99, 100, 110, 115, 118, 120, 134]);

3) методы последовательных приближений, основанные на принципе максимума (см., например, [1, 18-21, 29, 30, 42, 43, 45, 50, 51, 53, 55-58, 63, 67, 78, 79, 86]);

4) методы, связанные с варьированием и перебором траекторий в пространстве фазовых состояний (см. [8, 52, 59, 82, 102, 125]).

Следует отметить, что подавляющее большинство предложенных методов можно отнести к методам последовательных приближений.

Опишем способ получения двухточечной краевой задачи из принципа максимума на примере задачи с терминальными ограничениями.

Пусть динамический процесс описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u, x(to) = xQ. (1)

Здесь х — n-мерный вектор фазовых координат; и — m-мерный вектор управления, принадлежащий классу измеримых функций, и G U, где U С Rm — заданное множество; A(t) и Bit) — непрерывные матрицы размеров п х п и п х т соответственно.

Требуется найти такое допустимое управление u(t), минимизирующее функционал

J (и) = F(x(tk)) mm (2) и при котором удовлетворяются терминальные ограничения hi{x(tk))= 0, г = 177 (г < п), (3) где F, hi, г = 1, г, — заданные функции, tk — конечное время.

Выпишем гамильтониан 7{(ifi(t),x{t),u(t),t) и сопряженную систему

U(ip(t),x(t),u{t),t) = (i(>{t\A(t)x + B{t)u), дП . , . dF(x(tk)) ' dhj(x(tk)) . т— ^ = = —+ * = 1'та> (4) где Xj — множители Лагранжа, (•,•) — скалярное произведение векторов. Для оптимальности управления необходимо выполнение условия максимума функции Гамильтона t),x(t),u(t),t) =max'H(^{t),x(t),u,t). (5)

Из (5), в принципе, можно выразить u(t) через x(t),ijj(t),t, т.е. получить зависимость uit) = u\x{t)^(t),t). (6)

Подставляя (6) в (1) и (4), получаем двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений (1), (4). После исключения множителей Лагранжа Ai,., Хг получим из условий трансверсальности и ограничений (3) функциональную зависимость x(tk) и ф{рк)'fii(x(tk)i ip{tk)) =0, i = 1, п. Если задать вектор начальных условий для сопряженной системы %jj{tо) = z, то получим полный набор начальных условий для систем дифференциальных уравнений (1) и (4). Решив задачи Коши (1) и ф = —А*^)ф, ф(Ьо) = z, находим функции x(t)^(t),u(t) на интервале [to,tk] и вычисляем значения функций <fi(x{tk)^(tk))- В результате, исходная краевая задача свелась к системе нелинейных уравнений ф0) = 0, (7) где Ф(г) = . ,Ф„(г), Ф,-= (fi(x(tk)^(tk)). Для решения системы уравнений (7) можно использовать метод Ньютона. Суть его такова. Задается начальное приближение z° для вектора z и находятся последующие приближения zs на основе итерационного процесса

-[ф'МГ^И, (8) где Ф (z) — матрица производных функции Ф(^). Метод Ньютона (8) не всегда сходится. Поэтому используются различные его модификации, одной из которых является следующая: zs+1 = zs - as^\zs)]~4(zs), где регулирующий параметр as, 0 < as < 1 подбирается на каждой итерации. Кроме метода Ньютона и его модификаций для решения системы уравнений (7) используются и другие численные методы, например, метод секущих, градиентный метод минимизации суммарной невязки, метод переноса граничных условий (метод прогонки) и другие.

К достоинствам методов решения задач оптимального управления, основанных на решении краевых задач, следует отнести алгоритмическую простоту, малый объем необходимой памяти ЭВМ. К недостаткам — плохую сходимость при отсутствии хорошего начального приближения.

Градиентные методы в пространстве управлений основаны на использовании формулы первой вариации функционала. Итерационный процесс нахождения оптимального управления строится следующим образом. Выбирается из априорных соображений некоторое начальное приближение u(°\t) для оптимального управления. Последовательные приближения u(s\t) определяются так:

Ю =«<»>(*)+ ^>0, s > 0, где —- = , В(t)) подсчитываются на каждой 5-й итерации.

Коэффициент fis выбирается на каждой итерации так, чтобы значение функционала J (и) на каждой итерации убывало. Для учета краевых условий (3) в конце процесса управления используется метод проекции градиента или метод штрафных функций.

К достоинствам градиентных методов следует отнести сходимость из более широкой области начальных условий, т.е. они менее чувствительны к выбору начального приближения по сравнению с методом Ньютона. К недостаткам — большую вычислительную сложность по сравнению с методами, основанными на решении краевой задачи, и более высокие требования к памяти ЭВМ.

Методы последовательных приближений основаны на принципе максимума. Суть этих методов для задачи оптимального управления со свободным правым концом (т.е. г — 0) состоит в следующем. Задается в качестве начального приближения к оптимальному произвольное допустимое управление Решается задача Коши с этим управлением и находится соответствующая траектория x^°\t). Используя находится решая задачу Коши для сопряженной системы (4). Следующее управление u^(t) вычисляется из условия максимума гамильтониана x°(t), u,t) по и е U при каждом t £ Итерационный процесс описывается формулой R(uW(t)), где через R обозначен оператор, который ставит в соответствие каждому допустимому управлению u^s\t) новое приближение Процесс продолжают до тех пор, пока последующие приближения не будут отличаться друг от друга в пределах заданной точности. Полученное управление удовлетворяет необходимому условию — принципу максимума JI.C. Понтрягина. Однако, такой процесс не всегда сходится. Для обеспечения сходимости применяется ряд способов. Например, управление определяется из условия максимума по и Е U гамильтониана H(^p^(t),xs{t),u,t) не на всем интервале [to,tk], а лишь на его части где to < t* < t^. На интервале сохраняется прежнее управление, т.е = u^s\t), t G [^сь^)- Подбором параметра t* добиваются уменьшения значения функционала. Параметр t*s служит для обеспечения сходимости.

Для обеспечения сходимости иногда в систему (1) вводится малый параметр е так, чтобы при е = 1 получалась исходная система, а при е —>• 0 описанный итерационный процесс быстро сходился: либо х = A(t)x + eB(t)u, либо х = e(A(t)x + B(t)u), 0 < е < 1.

Постепенно (по шагам) увеличивают е до £ = 1, полагая на каждой итерации в качестве начального приближения оптимальное управление для предыдущего значения £.

Обеспечить сходимость можно также по итерационной схеме: u^s+1\t) = (1 -p8)v,M(t)+/38R(uW(t)), 0 < р8 < 1.

Параметр j3s выбирают из условия минимума функционала по (3 на s-й итерации или ограничиваются монотонностью убывания функционала на каждой итерации. Параметры позволяют обеспечить сходимость итерационного процесса.

Методы последовательных приближений, основанные на принципе максимума, менее чувствительны к выбору начального приближения по сравнению с методом Ньютона и его модификациями, но требуют большего объема вычислений.

Методы варьирования и перебора траекторий в пространстве фазовых координат. Перебор траекторий производится на некоторой дискретной сетке. Полный перебор на принятой дискретной сетке в фазовом пространстве проводится методом последовательного анализа вариантов или методом динамического программирования. Эти методы позволяют найти абсолютный минимум функционала, но требуют большой памяти ЭВМ и большого объема вычислений в случае достаточно большого числа узлов сетки. Поэтому часто используют другие методы, которые требуют значительно меньшего объема памяти и вычислений, однако обеспечивают лишь локальный минимум. Это перебор в заданной трубке, окружающей некоторую фазовую траекторию. Чтобы снизить объем вычислений, берут достаточно узкую трубку. После нахождения экстремали внутри данной трубки строится новая трубка, окружающая полученную на предыдущем шаге экстремаль, и процесс вычислений продолжается.

Другой метод локальных вариаций траектории состоит в следующем. Производится варьирование траектории в дискретных точках, отстоящих на время At, по каждой из компонент вектора х, причем при варьировании k-ой точки все остальные считаются фиксированными. Если в результате вариации значение функционала уменьшилось, то продолжается движение в этом направлении. Метод локальных вариаций представляет сочетание дискретизации задачи с методом покоординатного спуска.

Достоинством этих методов является возможность учитывать ограничения на фазовые координаты. Учет ограничений сводится просто к их проверке и к отбрасыванию в процессе перебора тех траекторий, которые им не удовлетворяют. К недостаткам следует отнести большой объем вычислений, трудность задания опорной траектории, сходимость к локальному минимуму.

Среди задач оптимального управления особое место занимает задача линейного быстродействия (см., например, [3-5, 9, 12, 22, 33, 34, 43, 44, 46, 48, 54, 62, 68, 69, 71, 74, 80, 82, 84, 89, 90, 106, 108, 114, 116, 119, 131]). Исключительный интерес к задаче быстродействия связан с тем, что время перевода управляемой системы представляет большую практическую ценность и в задачах оптимального быстродействия сконцентрированы практически все принципиальные трудности, возникающие при решении других задач оптимального управления. Для задачи быстродействия получены условия существования и единственности оптимального управления и разработан ряд численных методов решения.

Сделаем краткий обзор известных методов решения задач линейного оптимального быстродействия.

Требуется найти допустимое управление u(t), переводящее систему (1) из начального состояния xq в нулевое конечное состояние x(tfс) = 0 за минимально возможное время Т = t^ — to.

Одним из первых методов решения поставленной задачи был, по-видимому, метод Нейштадта [119] и Итона [106]. Этот метод называют также методом поворота опорной гиперплоскости. Рассматривается случай скалярного управления [B{t] = b(t), < 1, где b(t) — непрерывная функция). Суть метода состоит в следующем.

Берётся произвольное начальное условие ?p0(to) — ip(tо) ф 0 для сопряженной системы ф = (12) находится решение ij;(t) = где Ф(£, to) — фундаментальная матрица системы (12) и определяется управление u(t): u(*,^(f0)) = sign6>(f).

Вводится в рассмотрение функция h(t) = ip(to)(x(t) + жо), где t x(t) = J Ф*(т^о)Ь(т)и(т,ф(Ьо))с1т. Интегрированием системы (1) при to нулевых начальных условиях определяется наименьший момент времени t = tk, при котором h(tk) = 0.

Следующее приближение для начального условия сопряженной системы берется по схеме ф(1 о) = ^s+l{t0) = ф3{к) + aa(x(tk) + я?о), > 0. (13)

Единственное условие на выбор параметра as: (i(js+1(to), х°) < 0.

Итерационный процесс заканчивается, когда < £- Так проводится поиск такого начального условия сопряженной системы (12) и соответствующего ему управления, переводящего систему (1) в ^-окрестность начала координат. Параметр as в (13) введен для того, чтобы обеспечить сходимость последовательности к оптимальному значению начального условия системы (12). Этим параметром обеспечивется поворот опорной гиперплоскости. Следует отметить, что в методе Нейштадта-Итона есть неопределенность в выборе параметров as, от которых зависит сходимость итерационной процедуры.

Метод Пшеничного Б.Н. [68, 69] по сути является обобщением метода Нейштадта-Итона, дающий один из способов устранения неопределенности в выборе параметров as. В монографии Федоренко Р.П. [83] дано подробное обсуждение этого метода и метода Нейштадта-Итона, их особенностей, достоинств и недостатков.

Прямая реализация метода Нейштадта-Итона для многих конкретных систем дает медленно сходящиеся процессы [105]. Поэтому метод Нейштадта-Итона был неоднократно модифицирован и обобщен также на другие классы задач [60, 68-71, 105 и др.].

В работе [71] дан краткий обзор методов Нейштадта-Итона [106, 119], Пшеничного Б.Н. [68], Кирина Н.Е. [46] и Демьянова В.Ф. [31]. Эти методы относятся к градиентным методам в сопряженном пространстве и состоят в сведении исходной задачи к последовательности задач максимизации линейной формы от конечного состояния.

Гиндес В.Б. [28] для задачи минимизации нормы конечного состояния предложил метод решения, названный позднее в отечественной литературе методом выпуклых оболочек. Идея метода в следующем.

Имеется р точек zl £ R,(Т), i = 1,р (р < п + 1), где R(Т) — область достижимости системы (1) за время Т. Находим точку д, ближайшую к началу координат в выпуклой оболочке а — [z1,., zp] точек z1,., zp. Оставляем в совокупности {z1,. ,zp} лишь I точек, лежащих в грани, ближайшей к началу координат. Добавляем к совокупности {z1,., z1} в качестве (I 4- 1)-й точки точку х(д), где х(д) — решение системы (1) в момент времени t = Т при экстремальном управлении и = ид: t G [0,Т], if)(t) — решение сопряженной системы (2) при граничном условии ф(Т) = —д. Положив р = I + 1, заканчиваем итерацию. Если на некоторой итерации выполняется одно из неравенств

Ы|<е, \\д\\-(д/\\д\\,х{д))<£, то процесс заканчивается.

О.В. Васильев и А.И. Тятюшкин [22] модифицировали метод Демьянова [31], введя нормировку вектора конечного состояния х (ф11) в итерационную процедуру (13): ф8 + а(х{ф8)/\\х(ф3)\\ - ф8).

Нормировка позволила выбирать параметр а на ограниченном интервале [0,1]. Их работа в основном посвящена обоснованию необходимости создания пакета, в котором перед решением задачи проверяется управляемость исходной системы и в зависимости от исходных данных выбирается метод решения. В работах [30, 37, 78] дано описание функционального наполнения созданных таких пакетов, которые ориентированы не только на решение задач оптимального управления, но и на решение задач линейного программирования. В пакетах МАПР и КОНУС, в частности, для решения задачи линейного быстродействия реализованы модификации уже упоминавшихся методов поворота опорной гиперплоскости и выпуклых оболочек.

В работе [54] предложен метод решения линейной задачи быстродействия, использующий, как и в методе Нейштадта-Итона, многократные вычисления функции tip)

N(p) = -х0- / to)B(r)u(T,p)dr, р е {£ G Д" : (£, х0) < 0), to где t(p) — корень уравнения h{t) = 0 относительно t. Предложенный метод основан на алгоритме центрированных сечений (АЦС). Базисом АЦС является следующий факт: если М С Rn — выпуклое тело объёма v, то любая гиперплоскость, проходящая через центр тяжести М, 1 г рассекает М на части объема > 1 — - v. На каждом шаге АЦС п + 1/ многогранник, содержащий искомую точку, делится на две части гиперплоскостью, проходящей через центр тяжести, и часть, заведомо не содержащая искомую точку, отбрасывается.

Поиск оптимального начального значения фо состоит из двух этапов. На первом этапе строится п линейно независимых векторов yi,. ,уп, образующих с фо острый угол: yi = — xq, yi = i) i = 2, n, где pi, ., pn-i — какие-либо попарно неколинеарные векторы из D. По ним определяются векторы vi,.,vn из условия (V(,yj) = Sij, — символы Кронекера. Находится точка а — (аг1,., а71-1) соответствующего симплекса М}~ такая, что

Фо = VI + аг(У2 ~ ^l) + • • • + an-l(vn - vni) (^>0, i = a1 + . +a71'1 <l).

Далее применяется АЦС или какая-либо его модификация.

В книге Кирина Н.Е. [47] описан метод последовательных оценок и дана его модификация для решения задачи оптимального быстродействия. В модифицированном методе использованы идеи метода Франка-Вульфа [32] и многошаговых методов спуска [81]. Он является "комбайном" алгоритма минимизации расстояния от области достижимости R(Tfc) до начала координат и уточнения времени T^+i путем вычисления момента встречи начала координат с опорной гиперплоскостью к множеству

Щтк).

Киселев Ю.Н. и Орлов М.В. [43, 44, 62] рассмотрели задачи быстродействия с гладкой границей области управления U для систем (1) с A(t) = А — постоянной матрицей, Bit) = Е — единичной матрицей. Множество U — выпуклый компакт с опорной функцией с(ф) = тах(ф, и), uGU ф Е Rn- Предполагается, что ттс(ф)>0, S — {ф £ Rn \ Ц^Ц = 1}, ipGb с{ф) Е C2[Rn \ {0}], rank с"{ф) = п- 1 V^ Е S. Исходная задача сведена к решению нелинейной системы x(p,t)=x о, ||р|| = 1 (14) t относительнор и t. Здесь х(р, t) — — J e~rAu(p, r)dr, и(р, г) = с'(ф(р, г)), о

Ф{Р)т) — решение сопряженной системы (12) с начальным условием ф{0) = р. Для решения нелинейной системы (14) предложен алгоритм решения. Он состоит из последовательного использования метода Ньютона и нахождения так называемого времени Нейштадта. Для решения негладких задач быстродействия предлагается вначале сгладить ее процедурой сглаживания. Она состоит из замены области управления с негладкой границей U = {и G R1 : \и\ < Ъ} на область U^ имеющую форму сжатого эллипсоида, большой осью которого служит отрезок [—&,&]. Опорная функция к 11ц определяется выражением

1 2 0 < fjL < 1.

Решение гладкой задачи (1) с областью управления Uц при достаточно малом параметре /j, дает некоторое приближение к решению исходной негладкой задачи.

Александров В.М. [3, 5] предложил численный метод решения линейной задачи быстродействия, который можно отнести к методам вариации точек переключения управления. Этот метод основан на определении квазиоптимального управления. Оно строится по начальным значениям фазовых координат управляемой системы с некоторыми весовыми коэффициентами Nij, т. е.

Uj(t) = Е NijXiMsignlBffl^t)], (j = Щ, i=1 где — решения сопряженной системы (2) с некоторыми ненулевыми начальными условиями ^(^о) = Фо\ согласованными с Xi(to).

Весовые коэффициенты выбираются из условия

Щ\х^0)т8ьХ\ = Mj (i = 1, Щ j = I~ш), где ±Жг(^о)тах, г = 1,п — точки пересечения границы области достижимости R(T), Т = tk — to, с осями координат фазового пространства.

Метод вкратце можно описать так. Задаются произвольно на отрезке [£о, tk] п — 1 точка переключения ti квазиоптимального управления. Определяется начальное условие сопряженной системы, соответсвующее управлению с такими точками переключения. По нему доопределяются остальные точки переключения. Строится квазиоптимальное управление с весовыми коэффициентами, своими для каждого участка знакопосто-янства управления. Варьируются величины управляющих воздействий так, чтобы получить предельно допустимое значение. Это приводит к отклонению фазовой траектории Ax(tk) ф 0. По рассогласованиям фазовой траектории Ax(tk) определяются приращения AU точек переключения и приращение At к конечного момента времени. С уточненными ф, fj) и

Ъ, ф)'< точками переключения управления и уточненным конечным моментом времени итерация повторяется. Итерационный процесс прекращается, когда полученное управление имеет предельно допустимое значение на всех участках знакоиостоянства, т.е. \uj(t)\ = Mj,j = 1,ти < е.

В монографии Срочко В.А. [74, гл. 3, 3.3.3] численное решение линейной задачи быстродействия проводится на основе метода параметризации [35]. Рассматриваемая система имеет более общий вид, чем (1): член B(t)u заменен на непрерывную по всем аргументам функцию b(u,t). В качестве параметра параметризации выбирается конечный момент времени. Для каждого значения параметра не превосходящего оптимального момента времени решается вспомогательная задача минимизации расстояния от области достижимости до целевой точки. Вспомогательная задача приводится к канонической форме. Полученная в результате редукции задача может быть решена с помощью соответствующего метода нелокального улучшения (см. гл. 1-2 и начало гл. 3).

Следует подчеркнуть, что приведенный список работ далеко не полон. В него не были включены методы, основанные на штрафных функциях, методы решения задач быстродействия для систем с запаздыванием, для систем с распределенными параметрами и систем со случайными и детерминированными возмущениями.

Из анализа основных направлений развития численных методов решения задач оптимального управления и самого факта существования множества методов решения непосредственно следует, что не существует универсального метода решения задач оптимального управления. Каждый из предложенных методов обладает определенными достоинствами и недостатками. Поэтому актуальна проблема разработки новых численных методов решения задач оптимального управления, максимально учитывающих специфику решаемых задач и обладающих малой вычислительной трудоемкостью. Решению этой проблемы и посвящена диссертация.

Научная новизна определяется следующими результатами, полученными автором. Предложен метод покрытия n-мерными смежными симплексами внутренности строго выпуклых тел. На основе его разработаны: численный метод решения задачи линейного оптимального быстродействия и предложена его модификация; численный метод решения задачи оптимального по быстродействию перевода линейной системы на выпуклый компакт; численный метод решения линейной задачи минимизации ресурсов; численный метод решения линейной задачи перевода из точки в точку с минимизацией однородного выпуклого функционала.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

The IASTED International Conference "Automation, Control, and Information Technology" ACIT 2002 (June 10-13, Novosibirsk, Russia); XII Байкальской международной конференции (Иркутск, 2001); Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000); The Third International Conference Differential Equations and Applications (Saint Peterburg, 2000); International Conference "Mathematics in Applications"(Novosibirsk, 1999); International Workshop "Nons-mooth and Discontinuons Problem of Control and Optimization" (Chelyabinsk, 1998); 11-й Байкальской Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения "(Иркутск, 1998); Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998); Third International Workshop "New Computer Technologies in Control Systems" (Pereslavl-Zalessky, 1996); Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996); 10-й Байкальской школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1995); Международном семинаре "Методы и программное обеспечение для исследования систем автоматического управления" (Иркутск, 1991); Всесоюзном семинаре "Системы управления, следящие приводы и их элементы "(Москва, 1991); Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения"(Иркутск, 1989); Международном советско-польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения "(Минск, 1989).

Результаты диссертации опубликованы в работах [89-98, 126— 128], а также использованы в прикладных НИР по темам "Разведение-СО", "Родео-МО" и "Целлон-СО".

Диссертация состоит из трех глав, введения и заключения. В первой главе рассмотрены: численный метод решения линейной задачи оптимального быстродействия (алгоритм 1.1), его модификация (алгоритм 1.2) и его обобщение на задачу оптимального по быстродействию перевода линейной системы на выпуклый компакт (алгоритм 1.3). Описан метод покрытия внутренности строго выпуклого компактного тела из Rn смежными га-мерными симплексами с вершинами на границе множества Q. Доказано, что такое покрытие существует. Для любого е > 0 показано, что генерируемая алгоритмом 1.1 последовательность пар (решений), состоящая из времени и экстремального управления, сходится за конечное число итераций к е-оптимальному решению. Под ^-оптимальным решением здесь понимается такая пара (T',u'(t))) что управляемая система под действием управления u'(t) (t Е [О,Г']), Т' < Т0пт переходит в е-окрестность начала координат. При доказательстве используются покрытия внутренностей областей достижимости ЩТ) гг-мерными смежными симплексами, вершины которых лежат на границе R(Г). Найдена связь между коэффициентами разложения решения задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями min^-||a;||2, (15) х£а 2 где <т — [z1,., zn+1] — гг-мерный симплекс с вершинами z1 Е <9R(T) (г = 1, п + 1), по вершинам симплекса о и коэффициентами разложения начала координат Rn и конца траектории свободного движения управляемой системы (управление u(t) = 0, (t Е [0,Т]) по вершинам того же симплекса ст. Этот факт позволил создать модифицированный метод (алгоритм 1.2), в котором не требуется находить решений вспомогательных задач (15). Показано, что генерируемая алгоритмом 1.2 последовательность пар {Tk, un+1(t)i t Е [0, Tfc]} сходится за конечное число итераций к е-оптимальному решению при любом е > 0.

Использование симплексов оказалось плодотворным и для задачи оптимального по быстродействию перевода линейной системы на выпуклый компакт G. Разработан численный метод (алгоритм 1.3) решения указанной задачи. Показано с использованием свойств покрытий смежными симплексами, что алгоритм 1.3 при любом £ > 0 через конечное число итераций дает ^-оптимальное решение. Под ^-оптимальным решением здесь понимается такая пара (X", u'(t)), что управляемая система под действием управления u'(t) (t Е [0,Т']), Т' < Т0Пт переходит в е-окрестность компакта G, т.е. штЦж^') — х\\ < е, где Т0Пт ~ время xEG оптимального перевода управляемой системы из начального состояния на компакт G, х(Т') — конечное состояние управляемой системы.

Во второй главе рассмотрен численный метод решения линейной задачи минимизации расхода ресурсов (алгоритм 2.1). Доказано, что алгоритм 2.1 через конечное число итераций при любом е > 0 дает е-оптимальное решение. Под е-оптимальным решением здесь понимается такое экстремальное управление u'(t) (t Е [0,Т]), что управляемая система под его действием переходит в ^-окрестность начала координат. Алгоритм 2.1 генерирует последовательность n-мерных симплексов сг&} с вершинами z\ (i = 1, п + 1), являющимися концами траекторий управляемой системы при экстремальных управлениях доставляющих при каждом к свое одно и то же значение функционала и), т.е. ^[и]^) = Ik (i = 1, п + 1). Показано, что последовательность сходится к оптимальному значению функционала.

Третья глава посвящена разработке метода решения линейной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым однородным критерием качества (алгоритм 3.1). Алгоритм 3.1 генерирует последовательность тг-мерных симплексов {о"*;} с вершинами, являющимися концами траекторий управляемой системы при экстремальных управлениях, доставляющих при любом к одно и то же значение функционала Показано, что последовательность сходится к оптимальному значению функционала. Доказано, что алгоритм 3.1 через конечное число итераций при любом е > 0 дает г-оптимальное решение. Под е-оптимальным решением здесь понимается такое экстремальное управление u'(t), t Е [0,Т], что управляемая система под его действием переходит в е-окрестность начала координат.

В каждой главе представлены иллюстративные материалы. Рассмотрены конкретные задачи и приведены результаты счета, оформленные в виде таблиц и графиков. Проведен численный анализ полученных результатов.

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Дан способ покрытия внутренности строго выпуклых компактных тел смежными симплексами. Доказано существование такого покрытия внутренности строго выпуклого компактного тела симплексами, у которых все вершины лежат на границе тела.

2. Разработан численный метод решения линейной задачи оптимального быстродействия, основанный на построении последовательности смежных симплексов {сг&}, каждый из которых входит в покрытие внутренностей областей достижимости R(Tfc) смежными симплексами. При достаточно общих предположениях доказана глобальная сходимость метода. В методе на каждой итерации требуется поиск решения вспомогательной задачи типа min ||ж||, где а — n-мерный симплекс.

3. Найдена связь между коэффициентами разложения решения вспомогательной задачи по вершинам симплекса а и коэффициентами разложений начала координат фазового пространтства Rn и конца траектории свободного движения управляемой системы по вершинам этого же симплекса о. Эта связь позволяет отказаться от поиска решений вспомогательных задач.

4. Разработан модифицированный метод решения задачи оптимального быстродействия. Он не требует поиска решений задач квадратичного программирования, что уменьшает затраты вычислительного времени на поиск оптимального решения. Доказана глобальная сходимость модифицированного метода.

5. Разработан численный метод решения задачи оптимального по быстродействию перевода линейной системы на заданный выпуклый компакт G. Он генерирует две последовательности смежных симплексов, входящих в покрытия внутренностей областей достижимости и компакта G соответственно. Доказана глобальная сходимость метода.

6. Разработан численный метод решения линейной задачи минимизации расхода ресурсов. В основе его лежит построение последовательности смежных симплексов. Доказана сходимость метода.

7. Разработан численный метод решения задачи перевода управляемой системы из заданного начального состояния в начало координат с минимизацией строго выпуклого интегрального критерия качества. Он является обобщением метода решения задачи минимизации ресурсов на более общие функционалы, а именно, на однородные строго выпуклые интегральные функционалы, зависящие только от управления. Доказана его сходимость.

1. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтря-гина// Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 1995. Т. 211. С. 3-31.

2. Александров В.М. Приближенное решение задачи линейного быстродействия// Автоматика и телемеханика. 1998. N2 12. С. 3-13.

3. Александров В.М. Численный метод решения задачи линейного быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. X® 6. С. 918-931.

4. Александров В.М. Приближенное решение линейной задачи на минимум расхода ресурсов// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39. № 3. С. 418-430.

5. Александров В.М. Численное решение задачи линейного быстродействия/ / Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. № 1. С. 23-42.

6. Н.В. Балашевич, Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 6. С. 838-859.

7. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение вариационных и краевых задач методом локальных вариаций// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 947-961.

8. Башков Е.А. Алгоритм решения задачи быстродействия по амплитуде и "мере" управления// Теория оптимальных процессов. Киев: Изд-во Инст. кибернетики. 1974. С. 15-23.

9. Белман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

10. Болдырев В.И. Численное решение задач оптимального управления// Изв. АН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С. 85-92.

11. Болдырев В.И. Численное решение задачи линейного быстродействия/ / Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 637-648.

12. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

13. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

14. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975.

15. Бурмистрова Л .В. Исследование нового метода аппроксимации выпуклых компактных тел многогранниками// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40, № 10. С. 14751490.

16. Васильев О.В., Терлецкий В.А. Оптимальное управление краевой задачей// Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 1995. Т. 211. С. 121-130.

17. Васильев О.В. Методы оптимизации в функциональных пространствах. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1979.

18. Васильев О.В. К вопросу о численном решении задачи терминального управления// Труды Иркутского ун-та. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1968.

19. Васильев О.В., Бельтюков Н.Б., Терлецкий В.А. Алгоритмы оптимизации динамических систем, основанные на принципе максимума// Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1991. С. 17-38.

20. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. К численному решению задач линейного быстродействия// Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та. 1973. Вып. 2. С. 57-69.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Построение последовательных приближений для некоторых задач оптимального управления// Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 27. № 2. С. 5-17.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Современное состояние теории оптимальных процессов// Автоматика и телемеханика. 1972. Т. 33. № 9. С. 31-62.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: из-во БГУ им. В.И. Ленина, 1973. Т. 33. № 9. С. 31-62.

25. Гантмахер Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

26. Гиндес В.Б. Один метод последовательных приближений для решения линейных задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10. N2 1. С. 216-223.

27. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. 2. С. 367-387.

28. Горнов А.Ю., Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Численное решение задач оптимального управления в пакетном режиме// Пакеты прикладных программ. Опыт разработки. Новосибирск: Наука, 1985. С. 3-17.

29. Демьянов В.Ф. К построению оптимальной программы в линейной системе// Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. JV5 1.

30. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. J1.: Изд-во Ленинградского университета, 1968. С. 3-11.

31. Дубовицкий А.Я., Рубцов В.А. Линейные быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. № 5. С. 937-949.

32. Дюркович Е. Численный метод решения линейных задач быстродействия с оценкой точности// Доклады АН СССР. 1982. Т. 265. № 4. С. 793-797.

33. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

34. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. О численных методах решения задач оптимального управления// Кибернетика. 1966. № 1. С. 72-78.

35. Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Численные методы оптимизации управляемых процессов// Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернетика. 1989. № 4. С. 14-31.

36. Иванов В.А., Кожевников С.А. Одна задача синтеза оптимального по расходу топлива управления линейными объектами второго порядка с производными управления// Известия РАН. Теория и системы управления. 1996. № 4. С. 77-83.

37. Исаев В.К., Сонин В.В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач/ / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 6. С. 1114-1116.

38. Каменев Г.К. Об аппроксимационных свойствах негладких выпуклых дисков// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 10. С. 1464-1474.

39. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

40. Киселев Ю.Н. Оптимальное управление. М.: Изд-во МГУ, 1988.

41. Киселев Ю.Н. Быстро сходящиеся алгоритмы для линейного оптимального быстродействия// Кибернетика. 1990. Т. 62. № 6. С. 47-57.

42. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Численные алгоритмы линейных быстродействий// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31. № 12. С. 1763-1771.

43. Киселев Ю.Н. Построение точных решений для нелинейной задачи оптимального быстродействия специального вида// Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. Вып. 3. С. 847-868.

44. Кирин Н.Е. К решению общей задачи линейного быстродействия// Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. № 1. С. 16-22.

45. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л.: изд-во Ленинградского гос. университета, 1975.

46. Коробов В.И., Скляр Г.М. Оптимальное быстродействие и тригонометрическая проблема моментов// Известия АН СССР. Сер. математическая. 1989. № 4. С. 868-885.

47. Красовский Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем// В сб. "Механика в СССР за 50 лет". М.: Наука, 1968. Т. 1. С. 179-244.

48. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

49. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 6. С. 1132-1139.

50. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 2. С. 203-217.

51. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 1. С. 14-34.

52. Левин А.Ю. Линейные оптимальные быстродействия и центрированные сечения// Вестник Ярославского ун-та. 1975. Вып. 12. С. 87-93.

53. Любушин А.А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. № 6. С. 1414-1421.

54. Любушин А.А. О применении модификации метода последовательных приближений для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 1. С. 30-35.

55. Любушин А.А., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления// Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1983. J0 2. С. 147-159.

56. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах. М.: Наука, 1993.

57. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний// Кибернетика. 1966. № 3. С. 1-29.

58. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

59. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

60. Орлов М.В. Линейная задача быстродействия: численный алгоритм// Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1986. № 4. С. 41-46.

61. Орлов М.В., Чуркин Е.Б. Численное решение задачи синтеза для задачи быстродействия с линейным входом по управлению. Пакет Синтез-2.0// Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1997. № 2. С. 35-39.

62. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.

63. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1982.

64. Попов B.C., Федоренко Р.П. О стандартной программе решения задач оптимального управления. Препринт № 100: Институт прикладной математики АН СССР, 1983.

65. Попов В.А. К сходимости метода последовательных приближений в задачах оптимального управления// Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2068-2077.

66. Пшеничный Б.Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 1. С. 52-60.

67. Пшеничный Б.Н., Соболенко Л.А. Ускоренный метод решения задачи линейного быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. № 6. С. 1343-1351.

68. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

69. Рабинович А.В. Об одном классе методов итерационного решения задач быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. 3. С. 433-445.

70. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем// Автоматика и телемеханика. 1959, Т. 20, № 10-12.

71. Срочко В.А. Градиентный метод решения одного класса задач быстродействия// Труды Иркутского ун-та. Иркутск: Иркутский гос. университет. 1969. Вып. 64. С. 101-108.

72. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

73. Срочко В.А., Мамонова Н.В. Квазиградиентный метод решения задач оптимального управления// Известия высших учебных заведений. Сер. Математика. 1996. Т. 415. № 12. С. 84-91.

74. Тагайназаров С. Опорный критерий оптимальности в линейной задаче оптимального управления// Вестник Белорусского Государственного университета им. В.И. Ленина, Сер. I. 1992. № 1. С. 33-36.

75. Тихонов А.Н., Галкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 2. С. 416-423.

76. Тятюшкин А.И. Численное решение задач оптимального управления// Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск: Наука. 1986. С. 208-217.

77. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992.

78. Тятюшкин А.И. Алгоритм поиска оптимального управления в задаче линейного быстродействия// Алгоритмы и программы решения задач линейной алгебры и математического программирования. Иркутск: Изд-во Иркутского гос. ун-та. 1979. С. 115-128.

79. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960.

80. Федоренко Р.П. К обоснованию метода вариаций в фазовом пространстве для численного решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 6. С. 1396-1402.

81. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

82. Формальский A.M. Задача быстродействия в системах с ограниченными по величине и импульсу управляющими силами// Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. Вып. 5. С. 836-849.

83. Хритоненко Н.В. Управляемость гамильтониана в задаче терминального управления// Вестник Белорусского Государственного университета им. В.И. Ленина, Сер. I. 1990. № 2. С. 72-74.

84. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

85. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления// Итоги науки и техники. Серия "Математический анализ". 1977. Т. 14. С. 101-166.

86. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 3. С. 488-491.

87. Шевченко Г.В. Численный алгоритм решения линейной задачи оптимального быстродействия и его модификация// — Новосибирск, 2002. — 27 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики, № 93).

88. Шевченко Г.В. Численный алгоритм решения линейной задачи оптимального быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42. № 8. С. 1184-1196.

89. Шевченко Г.В. Итерационный метод решения линейной задачи минимизации расхода топлива// Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск: Ир. ВЦ СО РАН, 1997. № 2. С. 61-66.

90. Шевченко Г.В. Итерационный метод решения линейной задачи минимизации расхода топлива// Тезисы докладов 10-й Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: Сибирский энергетический институт СО РАН, 1995. С. 223-224.

91. Шевченко Г.В. Линейная задача оптимального управления с выпуклым однородным функционалом// Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 757-763.

92. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления// Космические исследования. 1966.1. Т. 4. № 5. С. 651-669.

93. Balakrishnam A.V. On a new computing technique in optimal control// SIAM J. Control. 1968. V. 6. No. 2. P. 149-173.

94. R.O. Barr. An efficient computational procedure for a generalized quadratic programming problem// SIAM J. Control. 1969. V. 7. No. 3. P. 415-429.

95. Bulirsch, R. Miele, A. Stoer, J. Well, K.H. Optimal Control. Calculus of variations, optimal control theory and numerical methods// ISNM. International Series of Numerical Mathematics. V. III. Basel: Birkhaeuser, 1993.

96. Boldyrev, V.I. Numerical solution of optimal control problems// Journal of Computer and Systems Sciences International. 2000. V. 39. No. 3. P. 415-422.

97. Caetano M.A.L., Yoneyama T. New iterative method to solve optimal control problems with terminal constraints// J. Guad. Control Dyn. 1996. V. 19. No. 1. P. 262-264.

98. Computing methods in optimization problems. Ed. By A.Bakakrishian, L. Neustadt. New York-London, 1964.

99. Eaton J.H. An iterative solution to time-optimal control// J. Math. Analys. and Applic. 1962. V. 5. No. 2. P. 329-344.

100. Elnagar G.N., Razzahi M. A collocation-type method for linear quadratic optimal control problems// Optim. Control Appl. Methods. 1997. V. 18. No. 3. P. 227-235.

101. Fadden E.J., Gilbert E.G. Computational aspects of the time-optimal control problem. Comput. Methods Optimizat. Problems. New York-London: Acad. Press, 1964.

102. Foy W.H. Fuel minimization in flight vehicle attitude control// IEEE Trans. Automat. Control. 1963. V. AC-8. P. 84-88.

103. Gregory J. Numerical methods for extremal problems in the calculus of variations and optimal control theory// Bull. Am. Math. Soc., 1988. New Ser. V. 18. No. 1. P. 31-34.

104. Hales К.A., Flugge-Lotz I., Lange B.D. Minimum-fuel attitude control of a spacecraft by an extended method of steepest-descend// Int. J. Non-linear Mech. 1968. V. 3. No. 4. P. 413-438.

105. Hurtado J. E., Junkins J. L. Optimal near-minimum-time control// J. Guid. Control Dyn. 1998. V. 21. No. 1. C. 172-174.

106. Knapp C.H., Frost P.A. Determination of optimum control and trajectories using the maximum principle in association with a gradient technique// IEEE Trans. Automat. Control. 1965. V. 10. No. 2. P. 189-193.

107. Knudsen H.K. An iterative procedure for computing time optimal control// IEEE Trans. Automat. Control. 1964. V. Ac-9. No. 1. P. 23-30.

108. Liu S.-W., Singh T. Fuel/time optimal control of spacecraft maneuvers// J. Guid. Control Dyn. 1997. V. 20. No. 2. P. 394-397.

109. Miele A. Recent advances in gradient algorithms for optimal control problems// J. Optimizat. Theory and Appl. 1975. V. 17. No. 5-6. P. 361430.

110. Neustadt L.W. Synthesizing time optimal control systems// J. Math. Analys. and Applic. 1960. V. 1. No. 3-4. P. 484-493.

111. Okamura K. A simplified steepestassent method// Trans. ASME. 1966. V. E33. No. 2. P. 452-454.

112. Pelczevski J. Computation of the time-optimal control for some linear systems// Control Cybern. 1988. V. 17. No. 1. P. 7-17.

113. Polak E. An historical survey of computational methods in optimal control// SIAM Rev. 1973. V. 15. No. 2. P. 553-584.

114. Redmond J., Silverberg L. Fuel consumption in optimal control// J. Guid. Control Dyn. 1992. V. 15. No. 2. P. 424-430.

115. Ryah E.P. Synthesis of time-fuel-optimal control: a second-order example// Int. J. Control. 1980. V. 31. P. 379-387.

116. Seywald H., Kumar R. R. Some recent developments in computational optimal control// IMA Vol. Math. Appl. 1997. V. 93. P. 203-233.

117. Shevchenko G.V. Optimal time moving to the convex compact// Abstracts of International Conference honoring academician Sergei K. Godunov "Mathematics in Applications". Novosibirsk: S.L. Sobolev Institute of Mathematics Publisher, 1999. P. 132-135.

118. Singh T. Fuel/time optimal control of the benchmark problem// J. Guid. Control Dyn. 1995. V. 18. No. 6. P. 1225-1231.

119. Snow D.R. Singular optimal controls for a class of minimum effort problems// J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1964. V. A2. No. 2.

120. Subrahmanyam M.B. A computational method for solution of time-optimal control problems by Newton's method// Int. J. Control. 1986. V. 44. P. 1233-1243.

121. Ulemj, I. Linearization method based on X-variation of a control in optimal control problem with terminal constraints//J. Mong. Math. Soc. V. 1, № 1, 1997. P. 44-54.

122. Yamashita, Y.; Shima, M. Numerical computational method using genetic algorithm for optimal control problem with terminal constraints and free parameters// J. Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. V. 30. Ш 4. 1997. P. 2285-2290.

123. Zadeh L.A., Neustadt L.W, Balakrishnam A.V. Computing methods in optimization problems. New York-London: Acadevic Press. 1969.

124. Zboon, Radhi A.; Yadav, Shuiv Prasad; Mohan, C. Penalty method for an optimal control problem with equality and inequality constraints// Indian J. Pure Appl.Math. V. 30. № 1. 1999. P. 1-14.