автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций

На правах рукописи

Кузнецов Валентин Николаевич

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧНЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

05.23.17 — Счроигельнпя механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Саратов 2000

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете.

Официальные оппоненты: - доктор технических наук

профессор Кузнецов В.В.

- доктор физико-математических наук

профессор Проценко А.М.

- доктор технических наук профессор Сенйцкий Ю.Э.

Ведущая организация - Институт проблем точной-механики ■ и управления РАН. « ^

Защита состоится 25 мая 2000 года в 14.00 ч. на заседании диссертационного совета Д.063.58.03. в Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, г.Саратов, ул. Политехническая, 77. СГТУ, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан _ _ 25 апреля 2000 г

Ученый секретарь диссертационного

ИНОЗЕМЦЕВ В.К,

общая характеристика работы

Актуальность темы. Расчет на устойчивость, как известно, является одним из важнейших элементов расчета при проектировании тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники: судостроении, ракетостроении, строительстве, машиностроении и т.д.

Первые фундаментальные результаты в направлении решения задач устойчивости оболочечных конструкций были получены в начале девятнадцатого века. Появление и развитие новых направлений в науке и технике предопределили интерес к этой теме, и число публикаций, связанных с проблемами устойчивости, в настоящее время растет с каждым годом. Их анализ показывает, что актуальными являются исследования, связанные о определением области устойчивости параметров, с прояснением качественной картины механизма потери устойчивости. Причем здесь удачно сочетаются и дополняют друг друга теоретические разработки, основанные на аналитических методах, методах функционального анализа, топологических методах, и исследования, основанные из привлечении численных методов. Эта взаимосвязь прослеживается и в данной диссертации.

Известный метод В.В. Петрова - метод последовательного возмущения параметров - дает эффективную численную реализацию схемы Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействия нагрузок, но и поздействия агрессивных сред.

В данной работе рассматриваются теоретические приложения метода последовательного возмущения параметров, а именно, развивая идеи этого метода, автор предлагает новую методику линеаризации в задачах расчета динамической устойчивости оболочечных конструкций. Эта методика, которую в дальнейшем будем называть "линейной аппроксимацией по отдельным параметрам", позволила теоретическим путем получить новые результаты доя достаточно широкого класса нелинейных моделей пластин и оболочек в задаче определения области устойчивости параметров и в задаче определения скорости сходимости проекционных методов, в частности, широко применяемого при численном решении задач устойчивости пластин и оболочек метода Бубнова-Галеркина. Теоретические исследования дополняются в работе численным экспериментом.

'Цель работы:

— разработка и математическое обоснование методики линеаризации уравнений, которая позволяет теоретическим путем для достаточно широкого класса уравнений нелинейной механики тонкостенных оболочечных конструкций решать перечисленные ниже задачи, возникающие при расчете динамической устойчивости;

— нахождение области изменения параметров уравнений, описывающих состояние пластин и оболочек, при которых соответствующая нелинейная модель имеет устойчивое решение;

— определение порядка скорости сходимости проекционных методов, в частности, метода Бубнова-Галеркина, применяющихся при численном решении задачи устойчивости пластин и оболочечных конструкций;

— проведение численного эксперимента, позволяющего оценить точность приближения решения проекционными методами уравнений, описывающих состояние пластин и оболочек, что с учетом всех возможных ситуаций невозможно сделать теоретическим путем.

Научная новизна:

— разработана новая методика линеаризации уравнений, позволяющая осуществить единый подход в исследовании задачи устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций и решении вопросов скорости сходимости проекционных методов. Новизна этого подхода по сравнению с известными методами линеаризации состоите том, что в результате его применения решение перечисленных выше задач сводится к случаю определенного класса линейных операторных уравнений, который: а) является единым для рассматриваемых задач; б) не зависит от выбора модели. Более того, этот класс линейных операторных уравнений таков, что в нем поставленные задачи решаются также на основании единого подхода, базирующегося на операторных методах;

— доказана сходимость в пространстве Соболева известного численного метода В.В. Петрова - метода последовательного возмущения параметров. Этот результат, важный сам ио себе, является основополагающим при математическом обосновании предлагаемой методики линеаризации;

— найдены явные оценки области изменения параметров уравнений, описывающих состояние пластин и оболочек, при которых соответствующая нелинейная модель имеет устойчивое решение. Применение разработанной в диссертации методики линеаризации позволило получить здесь новые результаты;

- доказано утверждение о порядке гладкости решения нелинейных уравнений рассматриваемой модели в зависимости от порядка гладкости начальных условий и нормальной нагрузки. А именно, применяя предложенную методику линеаризации, показано, что решения таких уравнений в области единственности имеют непрерывные частные производные к-го порядка, если этам свойством обладают начальные условия и нормальная нагрузка.

Этот результат является новым в теории нелинейных уравнений в частных производных и представляет самостоятельный интерес. Здесь он является предварительным при доказательстве утверждения о скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина;

- получена оценка порядка скорости сходимости метода Бубновй-Гаперкина к устойчивому решению нелинейной модельной задачи в зависимости от порядка гладкости начальных условий и нормальной нагрузки. А именно, показано, что порядок скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина в области однозначности совпадает с порядком гладкости начальных условий и нормальной нагрузки.

Это новый результат в теории нелинейных уравнений в частных производных. Существенным моментом при получении этого результата явилось применение разработанной в диссертации методики линеаризации, а также привлечение методов ограниченных полугрупп операторов;

- в результате численного эксперимента выяснено влияние параметров, характеризующих внешние воздействия, на точность сходимости метода Бубнова-Галеркина.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью математических формулировок и решений задач исследования, сопоставлением ряда результатов с аналогичными результатами экспериментальных исследований и с результатами, полученными ранее другими авторами.

Практическая значимость уаботы. Во-первых. обеспечивается надежность результатов, связанных с применением ряда численных методов при расчете устойчивости оболочечных конструкций. Во-вторых, предложенная в диссертации методика линеаризации может применяться при качественном исследовании решений нелинейных уравнений строительной механики и математической физики. Далее, результаты диссертации могут быть использованы для исследований, связанных с выявлением картины потери устойчивости строительных конструкций и с вопросами сходимо-

сти'численных методов. Результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов строительных специальностей.

Апробация и внедрение работы. Результата диссертационной работы докладывались на IV Международной конференции но механике неоднородных структур (Терноиоль, 1995), ла зимней школе но современным методам теории функций и смежным вопросам прикладной математики и механики (Воронеж, 1995), на XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996), на IV Международной конференции по нелинейной механике (Ивано-Франковск, 1996), на VI межвузовской конференции но математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 1996), на XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997), на 9— й Саратовской зимней школе по современным проблемам теории функций и их приложений (Саратов, 1998), на зимней школе по современным методам теории функций и смежным вопросам прикладной математики и механики (Воронеж, 1999).

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете в рамках научного направления «Современные проблемы нелинейной механики пространственных конструкций, взаимодействующих с реальными полями и средами» (проблема 01.1В.05, номер государственной регистрации 01970004712). Результаты диссертации нашли применение при разработке библиотеки прикладных программ для расчета устойчивости и НДС гибких оболочек. Они нашли применение в учебном процессе на кафедре высшей математики СГТУ при чтении спецкурсов для студентов строительных специальностей.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [1]-ПЗ].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы из 87 наименований и содержит 16 рисунков. Общий объем работы 220страниц.

основное содержание работы

Введение содержит постановку задачи, краткий обзор исследований, непосредственно примыкающих к теме диссертации, дастся анализ полученных результатов с точки зрения их новизны по сравнению с известными, приводится краткое содержание работы.

В петой главе определяется класс нелинейных моделей оболочек, для которых допустима предлагаемая автором методика линейной аппроксимации по отдельным параметрам. Показано, что к этому классу относятся модели, удовлетворяющие следующим ограничениям:

- любая неизвестная функция, входящая в уравнения системы, однозначно выражается через функцию прогиба \у;

- область СI, определяемая серединной поверхностью оболочки, является ограниченной областью с кусочно гладкой границей;

- граничные условия рассматриваются в форме Неймана, что,в частности, отвечает жесткому закреплению краев оболочки; для прямоугольных в плане оболочек допустимо шарнирное закрепление краев оболочки.

Отметим, что эти ограничения связаны с особенностями предлагаемой методики.

Замечание /. В работе рассматриваются модели пологих оболочек, но требование пологости оболочки не является принципиальным ограничением. Все полученные здесь результаты переносятся и на случай непологих оболочек, но при этом их доказательства приобретают очень ¡ромоздкий вид.

Замечание 2. В работе рассматриваются модели, отражающие только геометрическую нелинейность.

Замечание 3. Решения модельных задач рассматриваются в пространстве Ь°°([0,Т),Н2 (&)) (в пространстве Н2(П) в статическом случае), где

•у

Н (П)- пространство Соболева.

Показано, что класс нелинейных моделей, для которых выполняются приведенные выше ограничения, является достаточно широким. В этот класс входят известные модели Кирхгофа. Тимошенко (как в смешанной форме, так и в перемещениях) и другие. В качестве примера статической модели, принадлежащей к рассматриваемому классу, приведем модель Маргсрра-Власова-Муштари, которая в статическом случае выглядит следующим образом

8 Ь,

. „„ г., ¿2Р ¿)2\У Э2Р г2ъ/ л Э2Р где выражение Ц\\\г) =—г--— +—---—2-

Вхду ¿у 2

отражает

йх^ ду"

Гауссову кривизну деформируемой поверхности.

К этому же классу относится известная динамическая модель Тимошенко

Вц1у'

у а2\у к2е

ё гл 2

1-ц

дк

су

+ Р) + Д^Рн-^-

^Д Р + Л^ \У = 0

у ¿V

е а2

6К Е

6К2Е ГЙУ/

!12[1 + р)1<5У

(2)

И этой же главе приводится описание методики линейной аппроксимации по отдельным параметрам, которая осуществляет единый подход к решению таких задач, как задача устойчивости решений, гладкости решений, задача о порядке скорости сходимости проекционных методов к решению для всего определенного выше класса нелинейных моделей. Эта методика сводит задачу изучения перечисленных выше свойств решений моделей к изучению соответствующих свойств решений некоторой последовательности линейных операторных уравнений. Ее достоинство заключается в том, что вид этих линейных операторных уравнений не зависит от выбора модели и, тем самым, результаты, полученные в направлении решения поставленных задач, имеют место для всего класса нелинейных моделей, рассматриваемых в работе. В основе построения последовательности линейных операторных уравнений лежит известный метод В.В.Петрова - метод последовательного возмущения параметров.

Пусть задана некоторая нелинейная модель оболочки из рассматриваемого класса, пусть IIе— некоторое решение, отвечающее набору параметров q0(вeличины нагрузок, геометрические и физические характеристики

-1

оболочки и т.д.) и

-1 -о -1 раметров q ,где я

и'- некоторое решение, отвечающее набору ла-<е.

Применим здесь метод последовательного возмущения параметров в

-1 -о —*

пределах от ц до ч . Эго приводит к последовательности функций { и п

которая, согласно методу В.В.Петрова, на каждом шаге получается в результате решения соответствующей системы линейных уравнений. Далее, в определяющем уравнении модели относительно функции прогиба \У(т.е. в уравнении, где функция прогиба имеет частные производные более высокого порядка) все неизвестные функции, кроме и их частные произ-

_*

водные заменим известными функциями из последовательности { ип}, полученной в результате применения метода последовательного возмущения параметров, и их частными производными. В итоге строится последовательность линейных операторных уравнений вида

-<р1П(х,у)А!\У- <р2,п(х>У)АгУ ~ -<РЗ,п(х>У)аЗ^ = <Р4,П(х>У) в статическом случае;

а,-^ = -а2А0Ш + ф,^,х,у)А^ + <(>2пО,х,у)А2\¥ +

д{ ^

+ Фз,пО>х>У)Аз^ + <р4>п (1,х,у), 1 е [0,Т]

в динамическом случае,

где А о - либо оператор - Д, либо Д в зависимости от рассматриваемой

нелинейной модели, А — оператор Лапласа; А; (¡=1,2,3) - операторы вида

=2

Ф; „ - некоторые функции из пространства Ь2(£2) в случае (3) или

Ц° ((О, Т), Ь 2 (П)) в случае (4).

Например, для статической модели (1) соответствующие операторные уравнения имеют вид

2 д2\У Э2\У д2^

Ф1>п (х, у)—-у - Ф2.П (х .у)—Т - Фз,в (х> у) -г^Г = Ф4,п (х> у).

дх2 ¿У дхдУ

11 д2¥„ Ь д2Р* 2Ь д2Т* Ь ♦ ч

О Зу2 ' Б 5x2 ' о йхду Р Р

где функции (Wn, Fn) получаются на п-м< шаге метода последовательного нагружения, т.е. последовательного изменения нормальной нагрузки в пределах от qt до q0;

q0=q1+EAqn + , F* = F'+ £ AFm , где (AWm,AFm)

I t 1

определяются в результате решения соответствующей системы линейных уравнений.

Для динамической модели (2) линейные операторные уравнения имеют

вид

уд2 к2Е.„, „ „ ^VT

-~Т = -.-AW + ф, (t,x,y)—5-+Ф2,п0.х,у)—

gat2 '-Н дх2 ду

¿2W

Ф3>п(1,х,у)——+q>4 (t,x,y),

дхду

d2F* 82F* d3F*

где ([>),„ = —у♦ <Р2,» = —, <Рз,п = -2 ——, ду дх2 дхдУ

. с* k2EiVx,n k2F,Vy,n q

I -г дх 1-г ду h' * * * *

где функции (Wn,Fn,v|/x>n,ij/yin) получаются на n-м шаге метода после-

довательного нагружения.

Замечание. Как следует из результатов, полученных в работе, существенным является только вид операторных уравнений (3), (4), а также тот

факт, что последовательность {II п} получена в результате применения именно метода последовательного возмущения параметров.

Вопросы переноса свойств решений (единственности, гладкости, порядка скорости сходимости проекционных методов к решению) линейных операторных уравнений вида (3), (4) на случай нелинейных моделей из определенного выше класса рассматриваются далее в соответствующих главах диссертации.

Подводя итог, отметим, что применение методики линейной аппроксимации при изучении свойств решений (устойчивости, гладкости, порядка скорости сходимости проекционных методов к решению) любой нелинейной модели из рассматриваемого класса предполагает:

- изучение (или принятие и сведению уже известных) соответствующих свойств решений линейных операторных уравнений вида (3), (4);

— осуществление предельного перехода от свойств решений линейных уравнений вида (3), (4) к случаю нелинейной модели.

Замечание. Отметим, что каждый из приведенных здесь шагов при изучении того или иного свойства решений нелинейной модели сам по себе является задачей, требующей решения.

Далее в работе дается математическое обоснование этой методики и показывается, что сс применение к ряду задач, встающих при расчете устойчивости, приводит к новым результатам в направлении их решения.

Во второй главе дается математическое обоснование методики линейной аппроксимации по отдельным параметрам и рассматриваются вопросы устойчивости решения нелинейных моделей как в статическом , так и в динамическом случаях.

Устойчивость решения U° нелинейной модельной задачи в статическом случае предполагает единственность решения при соответствующем наборе параметров q° и сохранение свойства единственности при незначительном изменении этих параметров. В динамическом случае устойчивость решения предполагает единственность решения (при малом изменении параметров) на всем временном интервале [0,'Г].

Отметим далее, что для линейных операторных уравнений вида (3) и (4) условия единственности решений хорошо известны, а именно, линейные операторные уравнения вида (3) будут иметь единственное решение, если при любом п операторы Л п

An(W)=A0W-9,>nAjW-<p2jnA2W-<p3jnA3W (5)

являются положительно определенными . самосопряжёнными на линеале где Н0(Í2 ) линеал вида

aw

H0(ÍJ) = |w|r=-

5r\

:0;\УеЬ2(Ш,если А0 =А2;

H0(Q) = {WL = 0; W еL2(Q) j, если А0 = -А;

¿2W

Н0(£2)= W|r =

дх

d2W

г+ ду2 ÍÍ - прямоугольная в плане оболочка.

= 0;WeL2(Q)L если А0=А2,

С.Г. Крейн показал, что линейные операторные уравнения (4) будут иметь единственное решение, если при любом 1е[0,Т] операторы Ап вида АпШ = А0\У-ф11ЛА1\У-<р2;ПА2Ш-(рз,пАз\У - (6) являются положительно определенными самосопряжёнными вг Ь2(&Х

Следующие теоремы устанавливают сходимость метода В.В.Петрова -метода последовательного возмущения параметров - в пространстве Соболева и говорят о возможности осуществления предельного перехода от свойств решений линейных операторных уравнений вида (3) и (4) к случаю нелинейной модели.

Теорема 2.1.17. Пусть линейный оператор А вида

з2\у

АШ = А0\У-<1>,(х,у)^-5- ■-ч>2(х,у)~-Ф,(х,у)^-, (7) дх£ ду2 5х5у

где функции Ф, (х, у) однозначно определяются решением и0 нелинейной системы уравнений из рассматриваемого класса нелинейных моделей, является положительно определенным в пространстве 1.2(1П)•

Тогда существует такая достаточно малая окрестность параметра с[ отвечающего решению и0, что для (['из этой окрестности можно указать такую последовательность разбиений параметра ([ в пределах от с[' до с[°, что соответствующая последовательность функций {и*}, полученная в результате применения метода коследовагельного возмущения параметров, сходится в пространстве Соболева к решению и0 нелинейной модели.

В динамическом случае верна

Теорема 2.1.18. Пусть при каждом I е [О, Г] линейный оператор А вида

д2уМ 8Э2У/

АЛ' =А0\У-<р10,х,у)—г-<р2(*.х»У)—л~_Фз({>х'У)"г—г-» (8) да2 ду2 дхду

где функции ф;(1,х,у) однозначно определяются решением 77О

и нелинейной модели из рассматриваемого класса нелинейных уравнений, является положительно определенным в пространстве Ь2(0),

Тогда существует такая достаточно малая окрестность параметра , отвечающего решению и0, что для ([ в пределах от ([' до с[0, что соот-

ветствующая последовательность функций {U„j, полученная в результате применения метода последовательного возмущения параметров, сходится в пространстве Соболева к решению U0 нелинейной модели.

Теорема 2.1.19. При условиях теоремы 2.I.17. (2.I.18.) линейные операторы Ап вида (5)((6)) являются положительно определенными (при любом te[0,T]) в пространстве функций L2(il).

Замечание. Для моделей (1) и (2) функции <Pj совпадают с проекциями функций напряжений, возникающих в серединной поверхности оболочки под действием нормальной нагрузки на основные направления: стх, оу,

сУху, а также величинами продольных нагрузок Рх, Ру и сдвигом т.

Следующий результат в дальнейшем играет важную роль при переносе свойств решений линейных операторных уравнений (3), (4) на решения нелинейных моделей.

Теорема 2.1.20. При условии теорем 2.J.17, 2.1.18 последовательность {Wn ¡решений операторных уравнений (3) и (4) сходится в пространстве

Соболева к функции прогиба W0, которая определяется решением нелинейной модели.

В направлении решения задачи устойчивости решения U° нелинейной модели доказаны:

Teope.ua 2.2.3. Пусть U° - некоторое решение нелинейной статической

модели, отвечающей параметру q°. И пусть для этого решения оператор вида (7) является положительно определенным в пространствcL2(0) ■ То-77°

гда и является устойчивым решением.

Теорема 2.2.4. Пусть U^ - некоторое решение нелинейной динамиче-

-о

скои модели, отвечающее параметру q и пусть для этого решения при любом t е [0,Т] оператор вида (8) является положительно определенным в

пространстве IIo(Q). Тогда XJ° является устойчивым решением на всем временном интервале [0,Т].

Следующее утверждение можно назвать теоремой о локальной устойчивости.

Теорема 2.2.5. Существует такая величина £>0, что при условии

- < е, решение нелинейной модели и, отвечающее нагрузке я, будет устойчивым решением.

Замечание. Доказательство приведенных здесь теорем проводилось в работе следующим образом: на ряде конкретных моделей вырабатывалась единая для них схема доказательства соответствующих фактов, учитывающая только общие свойства моделей рассматриваемого класса.

Приведем формулировки теорем 2.2.3 и 2.2.4 в случае, когда функции коэффициентов (р; операторов (7) и (В) совпадают с проекциями на основные направления функции напряжений, возникающих в серединной поверхности оболочки под действием нормальной нагрузки.

Теорема 2.2.6. Пусть при действии на оболочку поперечной нагрузки возникают точки напряжения, что оператор А вида

А\У = А0\У-схх(х,у)А1№'-СТу (х,у)А2 М'- 2тху(х,у)А3\У (9)

является положительно определенным в пространстве Ь2(£2),Тогда оболочка остается в устойчивом состоянии.

Теорема 2.2.7. Пусть под действием поперечной нагрузки возникают такие напряжения, что при любом 1 6 [0,Т] оператор А вида

ЛW = A0W-ax(t,x,y)A1W-ay(t,x,y)A2W-2тxy(t,x,y)A3W является положительно определенным в пространстве функций Ь2(£2)„ Тогда оболочка остается устойчивой на всем временном интервале.

Теоремы 2.2.6 и 2.2.7 дают критерий устойчивости решения в терминах функции напряжений. Этот критерий позволяет в ряде случаев судить об устойчивом состоянии оболочки.

Например, в случае прямоугольной или круглой пластинки, к которой в центре приложена поперечная нагрузка, из известных результатов С.Г.Михлина относительно положительной определенности операторов вида (7) и теорем 2.2.3,2.2.4 следует, что пластинка, прогибаясь, будет оставаться в устойчивом состоянии. Ранее этот результат относительно круглой пластинки, но иным способом, был получен Н.Ф.Морозовым.

В третьей главе да я случая нелинейной динамической модели исследуется задача о порядке скорости сходимости проекционных методов, в частности, метода Бубнова-Галеркина, нашедшего широкое применение при численном решении вопросов расчета устойчивости, и тесно связанная с этой задачей задача о гладкости решений.

Отметим, что в этой главе рассматриваются оболочки, прямоугольные в плане. Это ограничение связано с методом решения поставленных задач, а именно, с привлечением аппарата ограниченных полугрупп операторов.

Замечание. В работе решение поставленных задач проведено для случая нелинейной динамической модели Маргерра-Власова-Муштари. Но методика приведенных здесь доказательств может быть перенесена на случай любой динамической методики из рассматриваемого класса, и поэтому полученные результаты имеют место для любой нелинейной динамической модели из этого класса.

Задача о гладкости решений исследуется в работе с помощью методики линейной аппроксимации по отдельным параметрам. Следуя этой методике, сначала вопросы гладкости решений рассматриваются для линейных операторных уравнений вида (4). В случае динамической модели Маргср-ра-Власова-Муштари соответствующие операторные уравнения выглядит следующим образом

у52\У Б 7

= \У+ Ьп{\У) + гп, 16[0,Т]

& а2 ь

\У(0,.)=\¥о (10)

<л

. ..... д2рп д2ы д\ <э2ш д2к

где Ьп(\¥)=-

ду2 Зх2 дх2 ду2. дхду дхду'

п

Здесь доказана

Теорема 3.2.1. Предположим, что: 32Р

а) функции-2— непрерывны по времени;

сЦсЬ^

» О .2 «

б) оператор Ап =—Д -ц, является положительно определенным;

Ь

в) при любом I е [0,Т] функции \Уд, \Yi.q принадлежат области опре-

1т

деления оператора А , где Д-оператор Лапласа, действие которого рассматривается на линеале Н0(С2).

Тогда дня любого I е [0,1] решение Wn задачи (10) принадлежит

области определения оператора Л2г.

Этот новый результат в теории линейных операторных уравнений получен в работе путем применения аппарата ограниченных полугрупп операторов.

Далее в работе осуществляется предельный переход на случай нелинейной модельной задачи. Как результат этого предельного перехода получена следующая теорема о гладкости решений:

Теорема 3.2.2. Пусть функции напряжений ах, сту, тху являются

функциями, непрерывными на временном интервале [0,Т] и пусть нормальная нагрузка q и начальные условия У/р, XV) принадлежат области определения оператора Л2г, действие которого рассматривается в пространстве Нд(П). Тогда решение модели Маргерра-Власова-Муштари (в области устойчивости) при любом (е[0,Т] принадлежит области определения оператора Л2гхЛ2г, действующего на линеале : П0(Г>)хП0(О).

Результат, полученный в теореме 3.2.2., позволил доказать следующее ут верждение о природе сходимости метода Бубнова-Галеркина к решению нелинейной модельной задачи:

Георема 3.2.7. Пусть выполняются условия теоремы 3.2.2. Тогда ско-

# *

рость сходимости последовательности функций {\УП > Рп}, полученных в результате применения метода Бубнова-Галеркина к системе нелинейных уравнений модели Маргерра-Власова-Муштари, к решению (\У,Р) этой модели в пространстве Ь°°((0,Т), Н0(О)хЩ(П)) имеет порядок, равный

0

' 1 ^

\N2r,

Этот новый результат о порядке скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина имеет важное значеиие как для теоретических исследований, так и для использования этого метода при численных расчетах.

В четвертой главе проводится численный эксперимент, который позволяет определить влияние таких параметров, как амплитуда и частота воздействующей нагрузки при вынужденных колебаниях пластинки под действием продольной нагрузки рх = ро sin cot. Известно, что в этом случае частоты собственных колебаний пластинки зависят от величины © и р0. В плоскости (со,Ро) возникают области, где наблюдаются явления pe-

зонанса. При значительном увеличении амплитуды колебаний резко изменяется характер движения точек пластинки: картина колебательного процесса сменяется картиной хаотичного движения. В результате в плоскости (м,р0) возникают области хаотичного движения точек пластинки, которые изучались в работах В.А.Крысько. В процессе изучения этих областей выделялись и классифицировались подобласти, примыкающие к области хаоса, которые определялись количеством бифуркаций удвоения периодов вынужденных колебаний.

Цель приведенного в дисертации численного эксперимента - определение влияния параметров (со,ро), в зависимости от попадания в одну из таких подобластей, на точность сходимости метода Бубнова-Галеркина, которая определяется не только порядком сходимости, но и константами, определяемыми величиной норм частных производных к-т порядка, и которые не удается определить теоретическим путем.

Результаты численного эксперимента иоказали, что в случае приближения параметров (ю,р0) к зонам хаоса происходит значительное ухудшение сходимости метода Бубнова-Галеркина; биения Хонфа-Лндронова и другие проявления резко меняют структурные свойства функции прогиба W(l). Эют факт еще раз указывает- на то, какие сложности могут возникать при применении численных методов, в частности, проекционных, в задачах нелинейной динамики.

Численный эксперимент проводился на базе модели Маргерра-Власова-Муштари, отвечающей шарнирному опиранию пластинки по кои-туру, с начальными условиями

W(0,.) = 10-3 sin лх sin лу, — (0,») = 0.

5t

Вычисления проводились для модели, приведенной к безразмерному виду. Для нахождения "точного" решения использован метод конечных разностей с последующим применением метода Pyire-bCyrra.

При нахождении приближенного решения функции прогиба W и усилий F приближенно искались в виде

4

W» a¡j(t)sinijKsin $жу

Т ' <п>

F» ]Г p¡j(t)sminxsinjrcy

где'коэффициенты a¡j(t) и P¡j(!) находились но схеме Бубнова. Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась методом Рунге-Кутта. При этом значения функций P¡j(t) в очередной точке

tx находились из системы алгебраических уравнений итерационным методом Ныогона.

Области хаоса строились в следующих областях изменения частот 9<ю<14 н 50<й)<60.

В этих интервалах изменения частот в плоскости (со.рц) наносились сетки ((»¡,poj) с шагом 0,2 для со и 0,5 для ро, где0< р0 ¿6.

Для каждой точки сетки (co¡,poj) в результате "точного" решения модельной задачи определялась траектория W(t) центральной точки пластинки М(0,0). Кроме того,решение системы позволяло получать графики фазовых портретов W(W) и графики функций Wt4'|-Q(Wt). Одновременно

привлекалась стандартная программа дискретного преобразования Фурье, в результате чего строилась периодограмма, отражающая влияние отдельных гармоник при разложении функции W(t) в ряд Фурье.

Так, па рисунке 1 приведены графики, соответствующие случаю, когда управляемые параметры (го.рд) принадлежат области жесткой потери устойчивости. Особенно ярко хаотическое движение центральной точки в период резонанса отражено на фазовом портрете W(W).

На рисунках 2,3,4 траектория точки М(0,0), соответствующая "точному" решению задачи,обозначена сплошной линией, а траектория этой точки, которая определяется шестнадцатью слагаемыми ряда (7), полученными методом Бубпова-Галеркина, обозначается пунктирной линией.

На рисунке 2 приведены две траектории центральной точки, отвечающие параметрам (2,1; 2,6) и (7,2; 2,6). Эти точки лежат в относительно спокойных зонах, примыкающих к зоне хаоса, которые характеризуются низким качеством бифуркаций удвоения периодов, и здесь мы наблюдаем практическое совпадение "точного" и приближенного решения.

На рисунках 3 и 4 наблюдается резкое ухудшение точности приближения методом Бубнова-Галеркина. Отклонение приближенного решения от точного решения достигает 10%. Эти случаи характеризуются тем, что точки (3,4; 14,8), (2;62) находятся совсем рядом с областями хаоса. Величины ро=3,4; ро=2 являются сравнительно большими.

Таким образом, на основе данных численного эксперимента можно сделагь следующий вывод.

Точность приближения метода Бубнова-Галеркина существенно зависит от параметров, характеризующих внешние воздействия. В частности, при продольных периодических нагрузках такие факторы, как величина Ро и близость точки (ро,и) к зоне хаоса значительно ухудшают сходимость этого метода. Таким образом, для получения более точной оценки сходимости метода Бубнова-Галеркина нужно теоретические исследования дополнять исследованиями, основанными на численном эксперименте.

w( 0.5,0.5)

.о -,

0.0

-4.0

o.o

Px=2 C0=

20.0 40.0

60.0

80.0

w {0.5, 0.5 )

50.0

1500

1000

4.000

w^rl 0.5, 0.5)

o.ooo

w ( 0.5, 0.5)

"l -4.000

4.0 -4.0

PeriodogramPx=2

• • » *.

"чч

wt ( 0.5, o.;

0.0

и-1-1-;-1-1-1-r

4.0

a__JL

-iX,_ !.. i

.j_i_

0 - 2

8 10 12 14 16

Frequence

18

Рис. 1,

Рис. 2 21

Рис.3

Рис.4. 23

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Приложение идей известного метода В.В.Петрова — метода последовательного возмущения параметров - к задачам расчета устойчивости оболо-чечных конструкций позволило автору выработать новую методику линеаризации (так называемую линейную аппроксимацию по отдельным параметрам). Особенность этой методики состоит в том, что она для достаточно широкого класса нелинейных моделей сводит задачу теоретического исследования таких свойств их решений, как устойчивость, гладкость, порядок скорости сходимости проекционных методов к решению, к случаю определенного класса линейных операторных уравнений, вид которых, что очень важно, не зависит от выбора модели.

2. Дано математическое обоснование предложенной методики линейной аппроксимации. Здесь, в частности, для нелинейных моделей оболочек, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам, доказана сходимость в пространстве Соболева метода В.В.Петрова - метода последовательного возмущения параметров.

3. Методика линейной аппроксимации но отдельным нарамеграм применена при изучении вопросов устойчивости решений нелинейных моделей (как в статическом, так и в динамическом случаях); вопросов скорости сходимости, широко используемого при численном решении задач устойчивости методойБубнова-Галеркина (в динамическом случае). Встающая в этой связи задача о гладкости решений нелинейных моделей (в динамическом случае) также исследуется: с помощью линейной аппроксимации но отдельным параметрам. Применение предложенной методики позволило получить новые результаты в направлении решения перечисленных выше задач.

4. На базе нелинейных моделей, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам, получено условие устойчивости оболочеч-ных конструкций, выраженное через функцию напряжений (как в статическом, так и в динамическом случаях); получены явные оценки области изменения параметров (величин нагрузок, геометрических и физических характеристик оболочки и т.д.), при которых оболочечная конструкция сохраняет устойчивое состояние.

5. Для класса динамических нелинейных моделей, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам, доказано утверждение о гладкости решений в "классической постановке". А именно, показано, что решения таких уравнений п области единственности имеют непрерыв-

ные частные производные к-го порядка, если только этим свойством обладают начальные условия и нормальная нагрузка.

6. Для класса динамических нелинейных моделей, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам, показано, что порядок скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина в области устойчивости совпадает с порядком гладкости начальных условий и нормальной нагрузки.

7. В результате численного эксперимента установлено, что точность приближения решений динамических моделей механики методом Бубнова-Галеркина существенно зависит от параметров, определяющих внешние воздействия. Поэтому при определении констант при оценке скорости сходимости проекционных методов необходимо сочетание теоретических исследований и исследований, основанных на численном эксперименте.

8. Совокупность полученных выводов позволяет утверждать, что в диссертации разработан новый подход к решению задач при расчете динамической устойчивости тонкостенных оболоч; пых конструкций.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАГ.ОТЫ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Операторный подход в задаче устойчивости геометрически нелинейных пластин и оболочек// Тезисы докладов и сообщений зимней школы по современным методам теории функций и сложным вопросам прикладной математики и механики.-Воронеж: Изд-во ВГУ, 1995,- С.38.

2. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Операторный подход в задаче динамической устойчивости геометрически нелинейных пластин и оболочек,-Сарат. гос.техн.ун-т.-Саратов, 1995,- Юс. - Деп. в ВИНИТИ 25.04.95, №1170-В.

3. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Сходимость одного проекционного метода для ортотропных пластин и оболочек// Тезисы докладов IV Международной конференции по механике неоднородных структур.- "Гер-нополь, 1995.-С.389.

4. Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Полякова C.B. Нелинейные колебания пластин и оболочек под действием продольных периодических нагрузок - Сарат. гос.техн. ун-т. Саратов, 1995.- Деп. в ВИНИТИ 13.12.95, №3284-В95.

5. ' Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А. Гладкость решений и сходимость проекционных методов для уравнений геометрически нелинейных пластин и оболочек// Труды Российско-Польской конференции по механике деформируемых тел. - Саратов: СГТУ, 1995. -С.40-44.

6. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Устойчивость геометрически нелинейных пластин м оболочек в температурном поле// Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин,- Казань, 1996. — Т2.-С.25-30.

7. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Вопросы устойчивости решений связанной задачи тсрмоупругости теории пластин и оболочек// Труды IV Международной конференции по нелинейной механике. - Ивано-Франковск, 1996-Ч.1.-С.71-74.

8. Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А. Эквивалентные операторы и вопросы сходимости проекционных методов для уравнений нелинейной механики// Труды VI Межвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам. - Самара: Изд-во Са-марск. техн. ун-та, 1996- Ч.1.- С.51-53.

g . Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Полякова C.B. Операторные методы в геометрически нелинейной задаче статической устойчивости пластин и оболочек// Изв. вузов. Математика - 1998.- №2.- С.40-46.

Ю- Кузнецов В.Н. О единственности решений одного класса операторных уравнений с переменными коэффициентами// Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы по современным проблемам теории функ-. иий и их приложений - Саратов: Изд-во СГУ, 1998 - С.93.

11. Кузнецов В.Н. К задаче единственности решений для нелинейных уравнений механики// Тезисы докладов Воронежской зимней школы по современным методам теории функций и смежным вопросам. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1999.- C.113.

j2_ Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к задачам о гладкости решений и скорости сходимости метода Бубнова-Гадеркина для нелинейных уравнений механики// Труды межвузовской конференции но современным проблемам нелинейной механики конструкций-Саратов: СГТУ, 2000.С. 27-32.

13. Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров и задача устойчивости решений нелинейных уравнений механики// Труды межвузовской конференции но современным проблемам нелинейной механики конструкций-Саратов: СГТУ, 2000. С. 32 -36.

Введение.

Глава 1. Описание класса уравнений нелинейной механики тонкостенных конструкций, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам. 2. С

§1.1. Метод последовательного возмущения параметров и линейная аппроксимация по отдельным параметрам нелинейных уравнений механики. 1\

§12. Описание уравнений нелинейной механики, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам. ЬУ

§ 1.3. Выводы по первой главе диссертации. 52.

Глава 2. Решение задачи динамической устойчивости для нелинейных моделей механики, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам. Л

§ 2.1. Сходимость метода последовательного возмущения параметров и задача единственности решений нелинейных уравнений механики. 5"

§ 2.2. Описание области динамической устойчивости параметров для нелинейных моделей механики тонкостенных конструкций.

§ 2.3. Выводы по второй главе диссертации. ¡

Глава 3. Задача гладкости решеннй и вопросы сходимости проекционных методов для уравнений нелинейной механики тонкостенных конструкций.ЬЗЗ

§ 3.1. Эквивалентные операторы и вопросы сходимости проекционных методов для одного класса операторных уравнений с переменными коэффициентами.13Г

§32. Вопросы гладкости решений и сходимости проекционных методов для уравнений нелинейной механики.

§ 3.3. Выводы по третьей главе диссертации.

Глава 4. Численный эксперимент в задаче определения скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для нелинейных колебаний пластинки под действием продольных периодических нагрузок.

§ 4.1. Численная схема и алгоритм ее решения для точного решения задачи.

§ 4.2. Численная схема и алгоритм ее решения получения приближенного решения задачи методом Бубнова-Галеркина.

§ 4.3. Численная схема и алгоритм ее решения построения зон хаоса в плоскости воздействующих параметров. *

§ 4.4. Результаты численного эксперимента, их обсуждение. *

Актуальность темы. Расчет на устойчивость, как известно, является одним из важнейших элементов расчета при проектировании тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники: судостроении, ракетостроении, строительстве, машиностроении и т. д.

Первые фундаментальные результаты в направлении решения задач устойчивости оболочечных конструкций были получены в начале девятнадцатого века. Появление и развитие новых направлений в науке и технике предопределили интерес к этой теме, и число публикаций, связанных с проблемами устойчивости, в настоящее время растет с каждым годом. Их анализ показывает, что актуальными являются исследования, связанные с определением области устойчивости параметров, с прояснением качественной картины механизма потери устойчивости. Причем здесь удачно сочетаются и дополняют друг друга теоретические разработки, основанные на аналитических методах, методах функционального анализа, топологических методах, и исследования, основанные на привлечении численных методов. Эта взаимосвязь прослеживается и в данной диссертации.

Известный метод В. В. Петрова - метод последовательных возмущений параметров - дает эффективную численную реализацию схемы Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействия нагрузок, но и воздействия агрессивных сред. [63], [64], [ 66]. Но, как видно из данной работы, метод последовательных возмущений параметров может применяться не только при численных расчетах, но иметь приложения и теоретического характера. Развивая идеи этого метода, автор предлагает новую методику линеаризации в задачах расчета динамической устойчивости обол очечных конструкций. Эта методика, которую в дальнейшем будем называть "линейной аппроксимацией по отдельным параметрам", позволила теоретическим путем получить новые результаты для достаточно широкого класса нелинейных моделей в задаче определения области' устойчивости параметров и в задаче определения скорости сходимости проекционных методов, в частности, широко применяемого при численном решении задач устойчивости метода Бубнова - Галеркина. Теоретические исследования дополняются в работе численным экспериментом.

Все сказанное выше позволяет говорить об актуальности темы диссертации.

Краткий исторический обзор.

Расчету на устойчивость оболочечных конструкций посвящено огромное количество работ, как теоретического плана, так и в плане привлечения численных методов.

Первые фундаментальные результаты здесь были получены на рубеже девятнадцатого столетия Лоренцем Ритцем [ <£], С. П. Тимошенко [70], [■!$*], Саутуэллом

Среди более поздних исследований, посвященных развитию аналитических, топологичеких методов и методов функционального анализа с целью определения критических нагрузок и выяснения качественной картины механизма потери устойчивости нужно отметить работы отечественных ученых А. С. Вольмира [>], [Г], [6], В. В. Новожилова [И], В. В. Болотина [ г ], [ 3], М. А. Красносельского [¿9], С. Г. Крейна [зо], И. И. Воровича [ //], С. Г. Михяцна [¿7], П. Е. Товстик [73] и многих других.

Начиная с середины пятидесятых годов, наблюдается бурный рост числа публикаций, в которых задачи устойчивости решаются с привлечением численных методов. Среди работ отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие таких известных, численных методов, как методы ортогональной прогонки, разностные методы, различные вариационные методы, в том числе методы конечных элементов, применительно к нелинейным моделям, нужно отметить работы В. В. Болотина ], А. С. Вольмира [4 ], [£ ], Э. И. Григолюка [16 ], [Н], [и], А. В. Саченкова [б?], В. Д. Клюшникова [1Ь], [2/], М. С. Корниышна [м], [#), В. А. Крысько в/], [32], [33] и многих других.

Трудности, связанные с выбором "правильного" решения модели, соответствующего как критическому, так и закритическому деформированию оболочки, побудили к созданию и изучению новых численных методов решения нелинейных моделей. Среди таких методов нужно выделить метод В. В. Петрова - метод последовательного возмущения параметров [бV], [65"], [66], метод В. Н. Шалашилина - метод наилучшего параметра [/б], [#-], метод В. И. Феодосьева [*ь], [??], [п] и другие.

В настоящее время насчитывается огромное количество статей и книг, посвященных проблеме устойчивости оболочечных конструкций. Достаточно полное освещение этих работ до середины семидесятых годов приведено в обзоре Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова [/¿"].

Остановимся на ряде работ, которые в той или иной степени связаны с результатами диссертации.

Отметим, что существуют различные трактования понятия динамической потери устойчивости. При применении численных методов понятие динамической потери устойчивости связывается с особым поведением графика функции прогиба для отдельных точек оболочки. Так, например, А. С. Вольмир в качестве динамического критерия устойчивости принимает быстрый рост функции прогиба при незначительном изменении нагрузки [ ¿1 ]. Б. А. Кантор считает, что оболочка начинает прохлопывать, если прогиб в центре достигает значения большего относительной высоты оболочки [23]. Есть и другие взгляды на критерий потери устойчивости. При теоретических же исследованиях устойчивое состояние оболочки отождествляется с единственностью решения модельной задачи. При этом задача устойчивости заключается в определении области допустимых значений параметров, при которых соответствующая модель имеет единственное решение. В качестве параметров могут выступать как величины внешних воздействий, так и величины характеризующие отдельные функции (функция напряжений, функция прогиба, функция усилий).

Именно в такой постановке на базе линейной статической модели пластинки задачу устойчивости решал С. Г. Михлин ], рассматривая в качестве параметров сжимающие напряжения.

В такой же постановке И. И. Ворович, используя топологический метод, основанный на вычислении индекса вращения некоторого вполне непрерывного векторного поля на удаленной сфере, показал локальную устойчивость для широкого класса нелинейных моделей оболочек в статическом случае [м].

Именно в такой постановке задача устойчивости решалась в диссертации.

Задача единственности решений линейных динамических моделей механики изучалась С. Г. Крейном [зс]. В основе его исследований лежал метод сильно непрерывных полугрупп операторов применительно к операторным уравнениям вида у = -А(1)у + /{1)1 г <= [о, г], где при любом / е [О, Г] положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве. В результате С. Г. Крейн получил результаты о существовании и единственности решений для ряда динамических линейных моделей механики. Но аппарат сильно непрерывных полугрупп операторов в том виде, в котором был использован в работе Крейна, не позволил получить результаты для нелинейного случая.

Иному подходу, основанному на операторных методах.' к решению задачи единственности посвящена диссертация С. В. Кузнецовой [¿tg ]. Обоснование этот подход получил в работах В. А. Крысько и В. Н. Кузнецова [ ], [3 6 ]. Суть этого подхода заключается в том, что для нелинейной модели оболочки строится линейный оператор, зависящий от тех же параметров, что и первоначальная модель. При этом показывается, что при тех значениях параметров, когда линейный оператор является положительно определенным, соответствующая модель имеет единственное решение. В результате определяется область однозначности параметров нелинейной задачи. Недостаток такого подхода заключается в неопределенности класса нелинейных уравнений механики, для которых можно построить соответствующий линейный оператор, что связано с отсутствием единого алгоритма построения таких операторов. Вид линейного оператора каждый раз зависел от выбранной модели.

В данной диссертации устраняется этот недостаток. Анализ и развитие идей расчетного алгоритма метода В. В. Петрова - метода последовательного возмущения параметров [64], [6.Г], [¿6] - позволило автору выделить достаточно широкий класс нелинейных моделей оболочек, для которых в задаче единственности решений допускается линеаризация -линейная аппроксимация по отдельным параметрам, которая сводит задачу единственности к линейным операторным уравнениям, вид которых не зависит от выбора модели. Существенным моментом при этом явилась механическая интерпретация метода В. В. Петрова в зависимости от меняющихся параметров. Она позволила дать математическое обоснование предложенной методики линеаризации, а именно, найти единую методику доказательства законности обратного перехода от линейных операторных уравнений к нелинейной модели при решении задачи устойчивости.

Отметим, что наряду с методом В. В. Петрова существует достаточно много других расчетных алгоритмов, основанных на линеаризации. Это и известный метод упругих решений А. А. Илюшина [гс], метод переменных параметров упругости и метод дополнительных деформаций И. А. Биргера [х ] и метод дифференцирования по параметру [//] и многие другие. Но в силу методики доказательства сходимости этих методов, заключающейся в сходимости итерационных процессов без учета механического смысла (например, [/?], [ / ]), они оказались неприемлемыми для наших целей.

Та же самая методика - линейная аппроксимация по отдельным параметрам - позволила автору исследовать задачу о скорости сходимости проекционных методов, в частности метода Бубнова - Галеркина, нашедшего широкое применение при численном решении задач устойчивости. С этой целью в диссертации первоначально изучается задача о гладкости решений нелинейных моделей.

Относительно задачи гладкости решений нелинейных уравнений механики нужно сказать следующее.

В статическом случае под теоремами о гладкости решений в литературе понимают утверждения относительно принадлежности решения модельной задачи произведению пространств Соболева 1У'2 (П) при условии, что граница области О является гладкой и нормальная нагрузка q принадлежит пространству Ш"'4,2 (П) или IV'2'2 (Л) (например, [Щ). Величина п определяет порядок гладкости решения.

Несмотря на то, что задача о гладкости решений в статическом случае в диссертации не рассматривалась, для полноты обзора остановимся на результатах, полученных в направлении решения этой задачи. В целом данная задача далека от окончательного решения: здесь получены только отдельные результаты. Например, используя теоремы вложения Петре [56] и результаты Аглеона [$<?] относительно гладкости решений задачи Дирихле для области с достаточно гладкой границей, в [Г^ ] показано, что решение геометрически нелинейной модели Кармана принадлежит пространству ¡V42 Ц?4'2 (¿2), если только нормальная нагрузка ц е Ь2 (¿2). Метод доказательства этого факта не позволяет распространить утверждение теоремы на случай более высокого порядка гладкости.

При доказательстве утверждений о гладкости решений нелинейных уравнений в частных производных часто используют аппроксимацию решений решениями уравнений более простого вида. При этом результаты о гладкости предварительно получают для приближенных уравнений. В этом направлении получены результаты о гладкости решений отдельных нелинейных уравнений в частных производных в работах Бредйса и Стампаккья а также Леви и Стампаккья [86].

Отметим, что предложенная в диссертации методика линейной аппроксимации по отдельным параметрам позволила свести задачу о гладкости решений для достаточно широкого класса нелинейных моделей к линейному операторному уравнению с положительно определенным оператором, и здесь автору кажется реальным решение задачи о гладкости, тем более что в работе де Джорджи [8£] получен результат о гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка.

Остановимся теперь на вопросах гладкости решений модельных задач механики в динамическом случае. Эта задача исследовалась в диссертации в следующей постановке. Гладкость решения предполагает его принадлежность произведению пространств С((0,Т), ГКЛк)\ где 0(Лк) — область определения (в пространстве ¿¿(/З)) к-ой степени оператора Лапласа. Величина к — определяет порядок гладкости решения. Задача заключается в том, чтобы показать, что решение системы нелинейных уравнений является гладким, если гладкими (того же порядка) являются начальные условия и действующие нагрузки.

Отметим, что задача о гладкости решений для нелинейных уравнений механики в динамическом случае долгое время не поддавалась решению. В начале семидесятых годов эту задачу как важную, но нерешенную для нелинейных уравнений в частных производных отметил в своей монографии "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач" Ж.-Л.Лионс. В комментариях к этой книге он возлагал надежды на решение этой задачи методом нелинейных полугрупп операторов. Но последние результаты в этой области [ 1Ц ] не принесли ничего нового для решения задачи о гладкости. Как будет видно из диссертации, при решении задачи о гладкости в динамическом случае важную роль сыграли новые результаты, полученные в последние годы в теории линейных полугрупп операторов.

Задача о гладкости решений нелинейных уравнений механики непосредственно связана с задачей о скорости сходимости проекционных методов. Актуальность последней задачи в связи с применением численных методов при исследовании решений нелинейных моделей механики является очевидной.

Хотя задача . о скорости сходимости проекционных методов рассматривалась в диссертации только для динамического случая, для полноты картины остановимся на вопросах сходимости и в статическом случае.

Задача о скорости сходимости проекционных методов в этом случае заключается в доказательстве утверждения о том, что порядок скорости сходимости таких методов определяется порядком гладкости нормальной нагрузки, точнее на две единицы больше.

Отметим, что данная задача далека от решения. Здесь можно отметить отдельные результаты. Так, в работе [|£] И. К. Даугаветом были получены "хорошие" оценки скорости сходимости метода Бубнова - Галеркина, но только для обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае для операторного уравнения

А™ = /, где А — нелинейный оператор, задача сходимости метода Бубнова -Галеркина исследовалась в работах С. Г. Михлина [ £ь ] и М. М. Красносельского В этих работах в случае, когда Л = А0+К, где А о имеет обратный оператор и А0' К — ограниченный обратный и, в случае, когда Ао — имеет вполне непрерывный обратный оператор и К — ограниченный оператор, доказана сходимость метода Бубнова - Галеркина, что, в свою очередь, нашло приложение для широкого класса нелинейных уравнений механики. Применяемые при этом методы исследования не позволили получить "хорошие" оценки скорости сходимости метода Бубнова - Галеркина.

В динамическом случае задача о скорости сходимости проекционных методов решена в диссертации в следующей постановке: показать, что скорость сходимости проекционных методов для нелинейной модели имеет тот же порядок, что" и порядок гладкости начальных условий и нормальной нагрузки.

Данную постановку задачи можно назвать "классической". Это связано с тем, что в классической теории приближений 2 ^-периодических функций тригонометрическими полиномами порядок сходимости частичных сумм определяется порядком гладкости приближаемой функции [#].

Автору не известны результаты решения задачи о скорости сходимости в "классической" постановке даже в линейном случае. Возникающие здесь трудности объясняются тем, что решение этой задачи требовало развития новых методов. Так в данной диссертации методика линейной аппроксимации по отдельным параметрам позволила свести задачу о скорости сходимости проекционных методов к линейному операторному уравнению вида

V = -Л(0и> + /(4 (е[0,Т] <Г(о) = 1Г0 (1)

0) = 1¥1 где А(() при любом t является линейным положительно определенным оператором определенного вида.

Задачей исследования решений операторных уравнений вида (1) занимался С. Г. Крейн [3«]. Но его методы исследования, в основе которых лежали результаты теории сильно непрерывных полугрупп операторов, позволили ему доказать лишь теоремы существования и единственности решения линейного уравнения (1).

Только последние результаты теории ограниченных полугрупп операторов, в особенности методов эквивалентных операторов, развитие которого получил в работах Т. А. Кузнецовой в связи с вопросами приближений в банаховых пространствах [ге ], [ ], позволили автору получить решение задачи о скорости сходимости проекционных методов в "классической" постановке для операторных уравнений вида (1).

Для геометрически нелинейных моделей типа Кирхгофа - Лява и типа Тимошенко результаты о скорости сходимости метода Бубнова - Галеркина в классической" постановке опубликованы автором в соавторстве с В. А. Крысько и Т. А. Кузнецовой в работах (¿9], рН].

В диссертации решение задачи о скорости сходимости проекционных методов в "классической постановке" приводится для достаточно широкого класса нелинейных уравнений механики.

Следует отметить, что порядок сходимости проекционных методов не определяет окончательно точность приближения этими методами, так как не определяет константы, участвующие в оценках приближения. Известно только, что эти константы зависят от величины норм производных к-го порядка решения модельной задачи, где к— порядок гладкости решения [jr^]. Но динамика поведения тонкостенной конструкции представляет очень сложную картину. Например, поведение функции прогиба зависит от многих параметров, характеризующих внешние воздействия, геометрические и физические свойства самой конструкции. Поэтому неизбежно возникает необходимость в численном эксперименте с целью определения влияния параметров на точность приближения проекционным методом.

Вопросы влияния таких параметров, как амплитуды начальных возмущений, кривизны оболочки, начальные условия, на точность сходимости метода Бубнова - Галеркина в задаче о собственных колебаниях оболочки изучались с помощью численных методов в монографии В. А. Крысько [з/].

В последние годы в работах В. А. Крысько и его учеников изучаются области хаоса и прилегающие к ним подобласти в плоскости параметров (со.ро) при вынужденных колебаниях пластин и оболочек под действием продольных периодических нагрузок вида рх = р0 sin cot [AS], ).

В настоящей диссертации проводится численный эксперимент, цель которого выяснить влияние расположения воздействующих параметров в одной из подобластей, примыкающих к зоне хаоса (классификация таких областей приведена в [ ]), на точность сходимости метода Бубнова -Галеркина в случае вынужденных колебаний пластинки под действием продольных периодических нагрузок.

Отметим, что при решении основных вопросов неоднократно использовались факты относительно существования решений нелинейных моделей в случае гильбертова пространства и пространства Соболева. Задача существования решений в этом случае хорошо изучена. В этом направлении можно отметить работы Н. Ф. Морозова [53], И. И. Воровича [3 ], [/<?], [И], О. А. Ладыженской [ГГ], С. Г. Михлина [57], С. Г. Крейна [30], М. И. Вишика, М. М. Карчевского [Л] и многих других.

Постановка задачи

Как видно из исторического обзора задача динамической устойчивости оболочек решалась в основном с привлечением численных методов. Теоретические исследования, связанные с определением области допустимых значений параметров, при которых соответствующая модель имеет единственное решение, проводились только в отдельных случаях. Отсутствовала методика, позволяющая решать эту задачу для достаточно широкого класса уравнений. Отсутствовала методика, позволяющая исследовать вопросы сходимости проекционных численных методов в "классической" постановке.

Поэтому в данной диссертации ставились и решались следующие задачи:

1. Разработать методы, которые позволили бы для достаточно широкого класса уравнений нелинейной механики тонкостенных конструкций получить, возможно, полное решение следующих вопросов:

• описать область изменения параметров, при которых соответствующая модель будет иметь единственное решение;

• решить вопрос о скорости сходимости проекционных методов в "классической" постановке, то есть показать, что порядок гладкости начальных условий и нормальной нагрузки определяет порядок сходимости проекционного метода.

2. Провести численный эксперимент, позволяющий ответить на ряд вопросов относительно точности приближения проекционных методов, ответ на которые не удается получить в результате теоретических исследований.

Методы решения задачи

Решение задач, поставленных в работе и связанных с теоретическими исследованиями, достигается путем линеаризации этих задач и их решения в нелинейном случае. В отличие от известных методик линеаризации, в данной диссертации предлагается методика, которая появилась в результате развития известного метода В. В. Петрова - метода последовательного возмущения параметров, и которая для достаточно широкого класса нелинейных уравнений оболочек сводит поставленные задачи к случаю определенного класса линейных операторных уравнений, и что очень важно, вид которых не зависит выбора модели. Для линейных операторных уравнений эти задачи решаются на основании единого подхода, базирующегося на теории ограниченных полугрупп операторов, в частности, на методе эквивалентных операторов, развитие которого получило в последние годы в связи с вопросами приближения в банаховых пространствах.

В основе численного эксперимента лежат известные факты, касающиеся зон неустойчивости (хаоса) оболочек, возникающих при продольных периодических воздействиях и обусловленных явлением резонанса. Изучение таких зон интенсивно происходит в последние годы.

Объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем ее составляет страниц.

Выводы по диссертации.

Заключение.

1. Перспективы развития метода последовательного возмущения параметров в задаче качественного исследования решений нелинейных уравнений математической физики

Отметим, что метод последовательного возмущения параметров находит применение при качественном исследовании решений не только нелинейных уравнений механики. Возможности этого метода значительно шире.

Укажем на одно обобщение этого метода, который позволяет строить последовательность нелинейных уравнений определенного вида, решения которых сходятся к решению первоначальной задачи.

Рассмотрим нелинейное уравнение параболического типа

1>0 (1) от где функция и удовлетворяет граничным и = 8 на 1-Гх(0,Т) (2) и начальным условиям

Щ*,0)-ив(*Х*бО (3)

А - нелинейный монотонный оператор, т.е.

А(и1)-А(иг),и1-и2)^0 при любых и 1Г2 из V с Н (V- плотно в Н, Н - пространство гильберта).

Примерами таких уравнений является, например, нелинейное уравнение диффузии ([ ]), которое возникает во многих приложениях: теория распространения тепла, диффузия газа и т.д. д1Г = ]Г 3 и р-2 ас/ дt ^ дх.1 ^ 1 дх, где р> 1. Причем и = g на -Г о) =£/„(*), х&а

Рассмотрим оператор А вида

4) У

4<Р)=-±-г Г

СЬС; сЬс,

5)

4 отображает пространство Соболева в пространство где ~ + = 1. (В качестве Н здесь рассматривается пространство Ь2 (о), а в качестве V рассматривается пространство Ж ^(О)).

В [Г"4] показано, что оператор (5) является монотонным. Другим примером является уравнение типа Шредингера ди Ы 1Ш-\и\ри

6) где р заданное положительное число. Краевые условия

7 = 0 на Г х,о)=£/0(х),. хеО

Опять же в показано, что

Яе((/ДС/, -|£/2|ри2}и, -С/2)>0

В [74] приведено изложение основных положений теории функциональных полугрупп нелинейных операторов применительно к решению уравнений вида (1). m

Остановимся на некоторых фактах из этой теории.

Определение 1. Пусть Н банахово пространство. Нелинейная сжимающая полугруппа на Н - это семейство операторов T{t)\H —>//, t > 0, удовлетворяющих условиям:

1) T(t + s) = T(t) • T(s), при всех /, s Z 0, Г(о) = Е ;

2) ||7^(/)х - < ||х - у||, при каждом t>0 и любом х е Н;

3) Для любого хеН отображение t ->T{t)x непрерывно на [0,со). Определение 2. Оператор А, определенный по формуле h ' называется порождающим для полугруппы (Т,(/)}, t > 0.

Определение 3. Оператор А называется т -диссипативным, если {Е - ИЛ) 1 всюду определен на Н при любом h> 0 и является (при любом h > 0 ) оператором сжатия.

В [ ] показано, что существует взаимнооднозначное соответствие между сжимающими полугруппами (линейных и нелинейных) операторов и т -диссипативными (линейными и нелинейными) операторами. При этом, если А - т -диссипативный нелинейный оператор, то операторы ТА (t) вводятся как разрешающие операторы для задачи Коши

-{t)=AU{t),t> О • dtK) W' (7) u(q)=u0gd(a) то есть функция U{t), определенная формулой U{t) = TA(f)^ есть решение задачи Коши (7).

Чтобы показать, что в случае m -диссипативного оператора А задача Коши (7) имеет решение (единственное), а тем самым, существует полугруппа нелинейных операторов {ТА (/)}, />0, в [14] рассматривается аппроксимация Эйлера - Иосиди оператора А. А именно, рассматривается семейство нелинейных операторов вида

Аь^Е-МУ-Е), И>0 (8)

Относительно операторов Ак вида (8) в [ Щ ] доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Для любого к>0 оператор Аи является Липшиц непрерывным оператором.

Теорема 2. Семейство операторов Ан сходится в резольвентном смысле к оператору А, т.е. I

Иш(£ - ЛАИ )-1 х = (Е -ЛА)~] х Теорема 3. Для любого /г > О А(г является т -диссипативным, и пусть I(0 , ¿>0, соответствующая сжимающая полугруппа операторов. Тогда на любом ограниченном интервале функции ^ (О* при И -> О равномерно сходятся к функции ( -» Тл(/)х при любом хеН.

Наряду с задачей Коши (7) рассматривается последовательность задач Коши вида д, - (9) с/(о)=с/0

В силу теоремы 1 задача (9) имеет единственное решение и Ж), которое можно найти, например, методом итераций. А в силу теоремы 3 последовательность решений иА (?) сходится к решению задачи Коши (7) при /г —> 0. Таким образом, задача (7) имеет единственное решение.

В работе [74 ] показано, что в случае гильбертова пространства оператор А является т -диссипативным, и, следовательно, к нелинейной задаче (1), (2), (3) применимы вышеприведенные рассуждения.

Наряду с уравнением (1) рассматривается последовательность нелинейных уравнений вида ди dt где

Ю) 1 V1 1

А„=п Е--А\ -Е [У П J J

Граничные и начальные условия для уравнения (10) оставляем те же, что и для уравнения (1).

U = g на Г (11)

С/(х,о)=1/0(х), xeQ (12)

Задача (10), (11), (12) имеет единственное решение U„, которое можно найти, например, методом итераций. Последовательность решений \Un} сходится при п ~> оо к решению U задачи (1), (2), (3). Таким образом, имеет место

Теорема 4. Нелинейное уравнение (1) с краевыми условиями (2), (3) имеет единственное решение в пространстве

Метод, который позволяет строить последовательность функций {t/„} как решений последовательности нелинейных задач (10), (11), (12) является обобщением метода линейной аппроксимации по отдельным параметрам. Этот метод можно назвать методом нелинейной аппроксимации по фиктивному параметру (в качестве фиктивного параметра выступает величина h > 0).

-ter

Этот метод позволяет в ряде случаев (вышеприведенные примеры и другие) доказать единственность решений нелинейных уравнений параболического типа, указать область изменения параметров, входящих в уравнение, при которых соответствующая задача будет иметь единственное решение. При этом реализация утверждений типа теорем существования и единственности значительно проще, чем известны ранее, основанные, например, на теории монотонных операторов (например, [54]).

Можно рассмотреть приложение этого метода в вопросах гладкости решений и сходимости проекционных методов для нелинейных уравнений типа (1). Но в данной работе эти вопросы рассматриваться не будут.

-13 6

1. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика -1951 — 15-6-с.81-88.

2. Болотин В.В, Динамическая устойчивость упругих систем М.: Гостехиздат- 1956-381 с.

3. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости //

4. Проблемы механики твердого деформируемого тела Л.: Судостроение - 1973 - с.83-88

5. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука - 1967982 с.

6. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки М.: Гостехиздат - М.: 1956-420 с.

7. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек М.: Наука1972-432 с.

8. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикладная математика и механика 1944 -№2 - с.44-59

9. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологихоболочек М.: Наука - 1989 - 373 с.

10. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Докл. АН- 1959 126 - №4 - с.740-743

11. Григолюк Э.И. Теоретические и экспериментальные исследования устойчивости оболочек за пределами упругости // Итоги науки. Механики. Устойчивость и пластичность 1964 - М.: ВИНИТИ- 1966 -с.7-81

12. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрическихоболочек // Итоги науки. Механика твердого деформированного тела 1967-М.: ВИНИТИ - 1969.

13. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек М.: Наука - 1978- 360 с.бГриголюк Э.И.Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела М.: Наука - 1988 - 232 с.

14. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Докл. АН 1959 - Т.126 - №4 - с.740-743.

15. Даугавет И.К. О быстроте сходимости метода Галёркина для обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов, математ. -№5 1958 - с.158-165

16. Егурнов Н.В. Динамическая потеря устойчивости гибких пологих прямоугольных в плане оболочек с учетом связанности полей деформаций и температуры // Кандидатская диссертация Саратов-1983.

17. Илюшин A.A. Пластичность М.: Гостехиздат - 1948 - 273 с.

18. Карчевсий М.М. О разрешимости геометрически нелинейных задач теории оболочек // Изв. вузов, математ. 1995 - №6 - с.30-36

19. Комаров С.А. Выпучивание пластин и оболочек при комбинированномпрофильно-поперечном нагружении // Диссертация на соискании уч. степ, к.т.н. Саратов - 1996

20. Кантор Б.А. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек-Киев: Наукова думка 1971 - 136 с.

21. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методыих решения М.: Наука - 1964 - 192 с.

22. Клюшников В.Д. Возможные вариационные формулировки условия устойчивости упругих пластин // Докл. АН 1973 - т.247 - №6- с.1338-1341

23. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем М.: Наука- 1980 312 с.

24. Клюшников В.Д. О некоторых особенностях явления неустойчивости запределом упругости // Успехи механики деформируемых сред- М.: Наука 1975 - с.265-268

25. Красносельский М.А. Токологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений М.: Гостехиздат - 1956 - 320 с.

26. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве М.: Наука - 1967 - 320 с. •

27. Крысько В А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек

28. Саратов: Издательство СГУ 1976 - 216 с. I. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая потеря устойчивости гибких оболочек из композитного материала // Механика полимеров - 1975 - №6 --c.il 08-11112Л?

29. Крысько В.А., Дедюкин И.Ю. О критериях динамической потери устойчивости оболочек // Герикл. механика 1994 — т.ЗО — №10 -с.67-71

30. Крысько В .А., Петров, В.В., Мицкевич С.А. Сложные колебания и жесткая потеря устойчивости геометрически нелинейных пластин при продольных нагрузках // Труды 18 Международной конференции по теории оболочек и пластин Саратов - 1997 -т. 1-е. 160-174.

31. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Сходимость одного проекционного методадля ортотронных пластин и оболочек // Тезисы докладов IV Международной конференции по механики неоднородных структур Тернополь - 1995 - с.389

32. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Устойчивость геометрически нелинейныхпластин и оболочек в температурном поле.// Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин -Казань 1996 - т.П - с.25-30

33. Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А. Гладкость решений и сходимость проекционных методов для уравнений геометрически нелинейных пластин и оболочек // Труды Российско-Польской конференции по механике деформируемых тел -Саратов 1995 - с.40-45

34. Крысько В.А.,'Кузнецов В.Н. Вопросы устойчивости решений связной задачи термоупругости теории пластин и оболочек // Труды IV Международной конференции Ивано-Франковск - 1996 -ч.1-с.71-74.

35. Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Полякова C.B. Нелинейные колебания пластин и оболочек под действием периодических продольных нагрузок Саратов - Сарат. техн. ун-т - 1995 - Деп. в ВИНИТИ 13.12.95, №3284-В95

36. Кузнецов В.Н. О единственности решений одного класса операторныхуравнений с переменными коэффициентами // Тезисы докладов 9ой Саратовской зимней школы по современным проблемам теории функций и их применений Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та- 1998-с.93

37. Кузнецов В.Н. К задаче единственности решений для нелинейных уравнений механики // Тезисы докладов Воронежской зимней школы по современным методам теории функций и смежным проблемам Воронеж: Изд-во ВГУ - 1999 - с.113 v

38. Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров и задача устойчивости решений нелинейных уравнений механики // Труды межвузовской конференции по современным проблемам нелинейной механики конструкций Саратов: Издательство СГТУ - 2000 - с.

39. Кузнецова C.B. Операторный подход в геометрически нелинейной задачеустойчивости изотропных оболочек под действием продольных нагрузок Диссертация на соискание уч. степени к.т.н. - Саратов - 1998

40. Кузнецова Т.А. Отыскание полугруппы операторов, целой экспоненциального типа на заданных подпространствах Диссертация на соискание уч. степени к.физ.-мат.н. - Саратов - 1980

41. Кузнецова Т.А. Эквивалентные операторы и вопросы сходимостипроекционных методов дляодного класса операторныхуравнений // Тезисы докладов 8ой Саратовской зимней школы по современным проблемам теории функций Саратов: Изд-во1. СГУ -1996 -с. 69

42. Купцов Н.П. Теория приближений и полугруппы операторов // Успехи математ. наук 1968 - т.23 - с. 117-179

43. Лионе Ж.-М. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач -М.: Мир 1972 -587 с.

44. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа М.: Наука - 1964 - 416 с.

45. Маслов В.П. операторные методы М.: Наука - 1973 - 543 с.

46. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике М.: Наука-1970 - 510 с.

47. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов М.: Наука -1966-432 с.

48. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН 1957 - 114, №5 - с.968-971

49. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек Казань: Таткнигиздат - 1957-471 с.

50. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек Л.: Судпромгиз - 1951 - 412 с.

51. Овчинников М.Г., Петров В.В. Определение долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивной средой // Строит. Механика и расчёт сооружений 1982 - №2 - с. 13-18

52. Петров В,В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек // Диссертация на соиск. уч. степени д.т.н. Саратов - 1971

53. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек Саратов: Изд-во СГУ - 1975 - 173 с.

54. Петров В.В., Овчинников Н.Г., Ярославский В.И. Расчет пластин и оболочек из нелинейно-упругостного материала Саратов: Изд-во СГУ- 1976-133 с.

55. Петров В.В., Иноземцев В.К., Синева Н.Ф. Теория Наведенной неоднородности и ее применения к проблеме устойчивости пластин и оболочек Саратов: Изд-во СГТУ - 1996 - 312 с.

56. Саченков A.B. Об устойчивости оболочек за пределом упругости // Изв.

57. Казанского филиала АН. Серия физ.-мат. и техн. наук 1956 -№10-с,81-100

58. Свирский И.В. Метод Бубнова Галеркина и последовательные приближения - М.: Наука - 1968 - 278 с.

59. Соболев С.Л. Приближение функционального анализа к математической физике Л.: Наука - 1950 - 320 с.

60. Tumoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibration of prismatic bar // Philosophical Magazine -1921 41, №6 - ss.744-746izo

61. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного- М. : Физмат 1960- 624 с.

62. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // ПММ 1963 - Т.27 - №2 - с.7-12

63. Agmon S. The Lp approach to the Dirichlet problem. // J. Ann. Sc. Norm. Sup.

64. Jons J.L., Magenes;E. Problèmes aux limites non homogens et applications //

65. Они представляют собой фундаментальные теоретические положения в области обоснования применения численных методов решения нелинейных задач строительной механики.

66. Полученные результаты были использованы в НИР кафедры высшей математики, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов строительной специальности.1. СГГУ