автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование кровотока и транспорта кислорода в нормальных и экстремальных условиях

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ- 1ШТЕРБУЕГСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ

ora Qu

2 ДВГ

На правах рукописи

КОПЫЛЬЦОВ Александр Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРОВОТОКА И ТРАНСПОРТА КИСЛОРОДА В НОРМАЛЬНЫХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург - 1996

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., проф. Вагер Б.Г.

д.м.н., в.н.с. Енин Л.Д.

д.ф.-м.н., проф. Хованов Н.В.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики. Технический университет.

Защита состоится " У А" г- ^у1996 г. в _^£йасов

на заседании диссертационного $3вета Д.003.62.01 при Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург 14 линия, д. 39.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке диссертационного совета Д.003.62.01.

Автореферат разослан 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время эффективное исследование человека и различных систем его организма возможно только при автоматизации научных исследований, широком применении вычислительной техники, использовании математического моделирования и разработке математических методов. Одной из важнейших, жизненно необходимых систем организма, является система транспорта кислорода. Диссертация посвящена решению проблемы распространения кислорода в организме человека в нормальных условиях и экстремальных ситуациях.

Построена система математических моделей, описывающих распространение кислорода в организме, и разработаны на их основе алгоритмы и программы для решения задач, связанных с транспортом кислорода к органам и тканям, что важно как в нормальных условиях, так и в экстремальных ситуациях, в частности, при хирургических операциях, глубоководных погружениях, космических полетах. Предложенная система математических моделей, алгоритмов и программ позволила автоматизировать научные исследования в области изучения транспорта кислорода в организме человека и получить ряд новых научных результатов.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В области моделирования транспорта кислорода в организме существует множество моделей и алгоритмов, описывающих реальные процессы на том или ином уровне организации живого (клетки крови, капиллярные сети, сердечно-сосудистая система и др.). Однако моделирование различных процессов на дискретных уровнях не позволяет описать всю систему транспорта кислорода в целом, в частности, остаются не охваченными межуровневые связи, имеющие место в целой системе, б особенности, это относится к процессам регуляции кровотока и транспорта кислорода нейрогуморальной системой, продуктами метаболизма, что значительно снижает ценность таких моделей для экспериментальной медицины. Например, исследование транспорта кислорода в системе микроциркуляции, требует подхода, который учитывал бы кровоток как в микрососудах, так и в более крупных сосудах (артериях, артериолах, капиллярах, венулах, венах), а также внешние регуляторные воздействия, например, нейрогуморальные. Такие системы моделей необходимы как в экспериментальной, так и в клинической медицине (хирургии), где по электроэнцефалограмме, сердечному ритму и частоте дыхания определяется функциональное состояние больного. Эффективная коррекция функционального состояния человека возможна только при точной оценке текущего состояния, которое зависит от процессов, протекающих на всех уровнях организации живого организма и межуровневых взаимосвязей. Разработка моделей и алгоритмов, описывающих внутриуровневые и межуровневые процессы транспорта кислорода и их регуляцию в организме, даст возможность лучше понять это явление природы и найти приложения, полезные для решения широкого круга проблем, как при оценке состояния человека в нормальных

условиях (во время сна, отдыха, на работе), так и в экстремальных ситуациях, связанных с явлением недостатка кислорода (во время хирургических операций, при глубоководных погружениях, при освоении космического пространства, при профессиональной подготовке и отборе военных, спортсменов и др.)- Эти модели и алгоритмы транспорта кислорода в организме могут быть применены для математического моделирования распространения различных веществ, участвующих в биохимических процессах в органах и тканях, что даст возможность исследовать пути распространения продуктов биохимических реакций в организме человека, выделять характеристические признаки патологических состояний органов и тканей, проводить диагностику и корректировать функциональное состояние организма. Разработка подобного математического аппарата, алгоритмов и программ ускоряет решение насущных задач экспериментальной медицины и является необходимой в клинической практике.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. Цель работы состояла в создании системы математических моделей для автоматизации исследований распространения кислорода в организме и разработке на их основе алгоритмов и программ для решения проблем, связанных с транспортом кислорода к органам и тканям в нормальных условиях и экстремальных ситуациях.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

- построить систему моделей, описывающих транспорт кислорода в организме;

- построить математическую модель движения несимметричного эритроцита по капилляру, учитывающую его объем и площадь поверхности;

- разработать алгоритм перемещения совокупности несимметричных эритроцитов по капиллярным сетям;

- построить математическую модель рег.уляции кровотока и транспорта кислорода;

- разработать алгоритм оценки состояния системы транспорта кислорода в организме при физической нагрузке;

- разработать алгоритм оценки состояния системы транспорта кислорода в организме при недостатке информации;

- построить математическую модель распространения респираторных газов при резком изменении наружного давления.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ основаны на использовании аппаратов математической физики и вычислительной математики. В частности, для описания движения плазмы между эритроцитом и стенкой капилляра применялась теория гидродинамической смазки (уравнения Рейнольдса), для имитации транспорта кислорода и продуктов метаболизма - уравнения переноса. При разработке алгоритма оценки состояния системы транспорта кислорода в организме при недостатке информации использовался метод проф. Н.Е.Хо-ванова. При решении уравнений на компьютере применялся метод конечных разностей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе построена новая 3-мерная модель движения эритроцита по капилляру, учитывающая поступательно-вращательное перемещение мембраны эритроцита, объем и площадь его поверхности. На основе этой модели исследовано движение эритроцита в капилляре, причем, впервые, наряду с подвижностью мембраны, формой и положением его в капилляре, учитывается постоянство объема и площади поверхности клетки. На основе проведенного исследования получены численные оценки и аппроксимационные формулы сопротивления, оказываемого эритроцитом при перемещении по сосуду, в зависимости от микрогемодинамических параметров (диаметра сосуда, вязкости плазмы и содержимого эритроцита, модуля Юнга, скорости, объема и площади поверхности клетки).

Предложена модель перемещения совокупности эритроцитов по фрагментам капиллярных сетей мышц и мозга. Получены численные оценки кровотока (амплитудные и частотные характеристики изменения давлений в бифуркациях и скоростей крови в капиллярах) и сопротивления сосудистого русла капиллярной сети. Найдены аппроксимационные выражения разности давлений, за счет которой осуществляется кровоток, от гематокрита, вязкости плазмы, диаметров и длин сосудов, интервалов между поступлениями клеток в капиллярную сеть, скорости, объема, площади поверхности и упругих характеристик эритроцита. Проведена численная оценка кажущейся вязкости крови.

Построена новая модель с обратной связью регуляции кровотока и транспорта кислорода вазоактивными продуктами метаболизма, учитывающая, в частности, скорость производства продуктов метаболизма в ткани и их физико-химические свойства (коэффициенты диффузии, растворимости и проницаемости), транспорт кислорода (продуктов метаболизма) между тканью и эритроцитами (капиллярами), перемещение эритроцитов по капиллярам, диаметры и длины сосудов (артерий, артериол, капилляров, венул, вен), архитектонику сосудистого русла, гематокрит, транспорт продуктов метаболизма между венулами и артериолами, изменение диаметра артериол под воздействием вазоактивных продуктов метаболизма на мышцы артериол, артерио-венозную разность на концах сосудистого русла и гемодинамику в сосудистом ложе. На основе этой модели исследована регуляция кровотока и транспорта кислорода в тканях, причем, впервые, наряду с выделением кислорода эритроцитами и поглощением его тканями, учитывается выделение тканями вазоактивных продуктов метаболизма (в зависимости от скорости потребления кислорода тканями и парциального давления кислорода), их транспорт в венозное русло, и далее в артериолы, где, путем воздействия на мышцы артериол, происходит изменение площади поперечного сечения сосудов, что влияет на гемодинамику в сосудистом русле и, следовательно, на транспорт кислорода в тканях. На основе проведенного исследования получены, в частности, численные оценки и аппроксимационные формулы времени перехода системы транспорта кислорода из одного стационарного состояния в другое и скорости кровотока в зависимости от

- б -

артерио-венозной разности давлений на концах сосудистого русла и скорости потребления кислорода тканями.

Предложена математическая модель распространения респираторных гааов при резком изменении наружного давления (модель роста п-компо-нентных газовых пузырей при декомпрессии) . Получены численные оценки размеров, образующихся пузырей, и времени их формирования для различных дыхательных смесей. Найдены аппроксимационные выражения времени формирования азоти гелий-содержащих газовых пузырей в зависимости от величины перепада наружного давления, начального радиуса микропузыря и расстояния между центрами пузырей. Показано, что пузыри с гелием растут быстрее, но достигают меньших размеров, чем пузыри с азотом.

Построен алгоритм оценки состояния системы транспорта кислорода (СТК) организма при физической нагрузке. Получены численные оценки состояния СТК для практически здоровых добровольцев. Введенный индекс состояния СТК может использоваться для оценки общей физической работоспособности (при средних нагрузках) для работников промышленных предприятий и других организаций.

Предложен алгоритм экспертной оценки и коррекции состояния СТК организма. Этот алгоритм позволяет, в первом приближении, дать экспертную оценку состояния СТК при недостатке информации, что важно, в частности, в том случае, когда имеем дело не со здоровыми добровольцами, а с больными пациентами. Кроме того, этот подход позволяет определить пути коррекции СТК с учетом имеющихся средств.

НАУЧНОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Создан комплекс математических моделей и программ, которые позволяют исследовать: распространение кислорода в организме человека в нормальных и экстремальных условиях, в частности, закономерности движения эритроцитов (основных переносчиков кислорода) в системе микроциркуляции с учетом основных физиологических параметров системы крови и кровообращения; транспорт кислорода из эритроцитов в окружающие ткани и транспорт продуктов метаболизма из ткани в сосудистое русло; регуляцию кровотока и транспорта кислорода вазоактивными продуктами метаболизма; транспорт респираторных газов из ткани в газовые пузыри, образующиеся при декомпрессии; состояние и пути коррекции системы транспорта кислорода. Они используются для анализа закономерностей распределения клеток крови в микрососудах, энергетических затрат на перемещение крови по капиллярам и скорости кровотока в них, транспорта кислорода из эритроцитов в окружающие ткани, что важно для понимания механизма доставки кислорода и удаления продуктов метаболизма из тканей организма при нормальных и измененных (экстремальных) условиях. Они применяются для оценки состояния СТК человека в нормальных и экстремальных условиях. Результаты проведенных исследований нашли практическое применение в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН, Институте экспериментальной патологии, онкологии и радиобиологии УАН (Киев), Институте физиологии и патофизи-

ологии майнцского университета (ФРГ) и других учреждениях. Результата исследований использованы при проведении НИР по программе "Информатизация России" и др. По материалам диссертационной работы в Санкт-Петербургском государственном электро-техническом университете поставлен специальный курс лекций.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Материалы диссертации доложены на Всесоюзном рабочем совещании "Дыхание и транспортная функция крови в условиях гипербарии в покое и при мышечной работе" (Ленинград, 1984), Всесоюзной научной конференции "Актуальные вопросы нарушений гемодинамики и микроциркуляции в клинике и эксперименте" (Москва, 1984), международной рабочей конференции "Computer - Aided Medical Decision - Making" (Прага, 1985), Всесоюзном семинаре "Математические и вычислительные методы в биологии" (Пущино, 1985), Всесоюзной рабочей конференции "Регуляция дыхания и массоперенос газов в организме (Ленинград, 1985), Всесоюзном рабочем совещании "Биомеханика-86" (Москва, 1986), Всесоюзном рабочем совещании "Биомеханика-87" (Ленинград, 1987), Есессюзном рабочем совещании "Моделирование функциональных систем организма" (Киев, 1987), Всесоюзном рабочем совещании "Транспорт газов в системе микроциркуляции" (Гродно, 1987), Fourth World Congress for Microcirculation (Токио, 1987), 4 Simposium Haemorheologie (Юохлунгсборн, Германия, 1987), 6 и 7 Пражских международных симпозиумах социалистических стран (Прага, 1988, 1990), семинаре в Институте механики МГУ им. М.В.Ломоносова (Москва, 1989), европейском коллоквиуме по биомеханике "Bio-mechanical Transport Processes" (Каржес, Франция, 1989), First World congress of Biomechanics (Ла Джолла, США, 1990), 2 Всесоюзной конференции "Система микроциркуляции и гемокоагуляции в экстремальных условиях" (Фрунзе, 1990), региональной конференции "Медико-биологические проблемы экологии Северо-Западного региона" (Ленинград, 1990), Всесоюзной конференции "Функциональные резервы и адаптация" (Киев, 1990), 2 Всесоюзной конференции "Фармакологическая коррекция гипоксических состояний" (Гродно, 1990), 3 Всесоюзном семинаре "Качество программного обеспечения" (Дагомыс, 1991), 1 межгосударственной конференции "Надежность, живучесть и безопасность технических систем" (С.-Петербург, 1992), 12 World Computer Congress (Мадрид, Испания, 1992), международной конференции по качеству программного обеспечения (С.-Петербург, 1992), 4 международной конференции "Качество программного обеспечения информационных технологий" (Дагомыс, 1992), 7 International Conference on Biomedical Engineering (Сингапур, 1992), 9 научно-технической конференции (Пермь, 1992), American-Russian Workshop on Intelligent Engineering and Manufacturing (С.-Петербург, 1992), научно-техническом семинаре "Еероятностные и статистические аспекты проблемы надежности и безопасности программного обеспечения" (Шнек, 1992), международней конференции "Inforrnational Technology and Feople" (Москва, 1993), International Conference on CAD/CAM, Robotics and Factories of the Future

(С.-Петербург, 1993), межгосударственном научно-техническом семинаре "Надежность, отказоустойчивость и производительность информационных систем" (Туапсе, 1993), International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics (С.-Петербург, 1993), семинаре в Институте физиологии Майнского университета (Майнц, Германия, 1995), International Congress of ISOTT (Питсбург, США, 1995), 1 городской научно-практической конференции по лазерной медицине и хирургии (С.-Петербург, 1996), 2, 3, 4 и 5 С.-Петербургских международных конференциях "Региональная информатика" (С.-Петербург, 1993, 1994, 1995, 1995),

ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ. Основное содержание диссертации изложено в 44 работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация объемом 293 страницы содержит 6 глав, 6 таблиц, 4 блок-схемы, 61 рисунок и список литературы (278 наименований).

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показана ее сеязь с проблемой жизнеобеспечения человека в нормальных и экстремальных условиях, сформулирована научная проблема, приводится перечень научных результатов, выносимых на защиту, обосновывается их научная новизна, теоретическая и практическая значимость, а также излагаются сведения по их апробации и реализации.

В первой главе рассматривается распространение веществ в организме человека, в частности, кислорода. Показано, что в данном случае математическое моделирование является эффективным методом исследования. Приведен обзор основных математических моделей. Показано, что существующие модели не решают поставленной проблемы.

Во второй главе кратко изложены особенности строения сердечно-сосудистой системы и предложена система моделей транспорта кислорода (имитирующих, в частности, движение несимметричного эритроцита по капилляру, перемещение совокупности эритроцитов по капиллярным сетям, транспорт кислорода и продуктов метаболизма в тканях, регуляцию кровотока и транспорта кислорода в организме), элементы которой более подробно описаны в последующих главах.

В третьей главе рассматривается движение несимметричного эритроцита (основного переносчика кислорода в организме человека) по капиллярам. Показано, что важными показателями являются постоянство объема и площади поверхности эритроцита. Найдена аналитическая зависимость сопротивления оказываемого эритроцитом от параметров модели.

В четвертой главе рассмотрено движение совокупности несимметричных эритроцитов по капиллярным сетям. Найдена аналитическая зависимость сопротивления, оказываемого кровотоку от параметров модели. Исследован колебательный характер (амплитуды, частоты) движения эритроцитов по капиллярным сетям в зависимости от параметров модели (длин и диаметров капилляров, разности давлений на концах капиллярной сети и т.д.). Рассмотрено влияние внешних факторов на кровоток, в частности,

построена модель, имитирующая рост газовых пузырей при резком изменении наружного давления.

В пятой главе изложена модель регуляции кровотока и транспорта кислорода в ткани. Показано, что важным показателем является время перехода системы транспорта кислорода из одного стационарного состояния в другое. Найдена аналитическая зависимость времени переходных процессов в организме от скорости потребления кислорода тканями, объемной скорости кровотока в ткани и артерио-венозной разности давлений на концах сосудистого русла.

В шестой главе предложены алгоритмы оценивания и коррекции состояния системы транспорта кислорода в организме.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели и задачи, научная новизна, научное и практическое значение.

Первая глава имеет обзорный характер. Е ней рассматриваются сложности связанные с экспериментальным исследованием кровотока и транспорта кислорода в организме. Показано, что в данном случае математическое моделирование является эффективным методом исследования. Приведен обзор основных математических моделей. Показано, что существующие модели не решают полностью поставленной проблемы и требуются дополнительные исследования в области математического и компьютерного моделирования кровотока и транспорта кислорода в организме.

Во второй главе построена система моделей транспорта кислорода в организме. Эта система включает, в частности, модели, описывающие движение несимметричного эритроцита по капилляру, перемещение совокупности эритроцитов по капиллярным сетям, транспорт кислорода и продуктов метаболизма в ткани, регуляцию кровотока и транспорта кислорода, а также, оценку состояния системы транспорта кислорода в организме (блок-схема 1, табл.1.). Элементы системы моделей более подробно рассматриваются в последующих главах.

В третьей главе рассматривается движение несимметричного эритроцита по капилляру. В разд. 3.1. дается описание 3-мерной модели несимметричного эритроцита перемещающегося по капилляру с учетом постоянства его объема и плошдци поверхности. Поверхность эритроцита аппроксимирована усеченным цилиндром (с минимальной 11 и максимальной образующими) , с одной стороны ограниченным полуэллипсоидом вращения с полуосями а и Ь. Его форма однозначно определяется либо через а, Ь, 1ч и 1'2, либо через а, Ь, V (объем) и 5 (площадь поверхности). Положение эритроцита в капилляре определяется растоянием 1 от передней точки эритроцита до оси капилляра и углом в между осями эритроцита и капилляра (рис.1). Зависимость между давлением и скоростью движения плазмы в капилляре описывается упрощенным уравнением Навье-Стокса [Лойцянский

БЛОК-СХЕМА 1

| Енешняя среда |

1

| Легкие |

! »

| Альвеолы |

1 4

| Капилляры |

1

¡Легочные | |артерии | |Легочные | |вены |

1 1

| Сердце |

1 1

| Артерии | | Вены |

4 !

|Артериолы| | Венулы |

I *

| Капилляры |

1

Ткань

Таблица 1

NN п/п Физиологические объекты Объекты моделирования

1 Ткань - Поглощение кислорода и производство продуктов метаболизма - Распространение кислорода и продуктов метаболизма

2 Капилляр - Движение эритроцитов по капилляру - Транспорт кислорода (продуктов метаболизма) между тканью и эритроцитом (капилляром)

3 Капиллярные сети - Движение эритроцитов по капиллярным сетям

4 Кровеносные сосуды - Кровоток по артериям, артериолам, капиллярам, венулам, венам - Изменение диаметра артериол

5 Сердце - Изменение артерио-венозной разности давлений

6 Система транспорта кислорода - Регуляция кровотока и транспорта кислорода - Состояние системы транспорта кислорода

1987, Седов, 1985]. Давление в тонком зазоре между эритроцитом и стенкой капилляра изменяется в осевом и азимутальном направлениях, а в радиальном остается практически постоянным. Течение плазмы в капилляре считается ламинарным. Инерционные силы пренебрежимо малы. С учетом этих предположений можно считать, что в промежутках между эритроцитами движение плазмы описывается законом Пуазейля, а в зазоре между эритроцитом и стенкой капилляра - системой уравнений Рейнольдса для смазочного слоя, которая в цилиндрической системе координат (XI, г, (?) имеет вид

ЭР р. Э г Зи т

- =--I г -1 , (1)

эх! г аг 1 зг -1

Рис.1. Общий вид модели эритроцита в координатах ОХ1Х2Х3. 11 и 1г -наименьшая и наибольшая образующие цилиндрической поверхности, а и Ь -полуоси полуэллипсоида вращения. г и К - точки на оси XI, В - угол между осью капилляра и осью Х1.

ар а г Эю 1

- = ц - |г -1, (2)

Зф Эг 1 Эг -1

ар

--о, (3)

аг

Зw 3(ги) Э(гу)

-+ -+ - = 0, (4)

Зф ЭХ1 Эг

где 11 - вязкость плазмы, и - осевая, V? - азимутальная и V - радиальная компоненты скорости плазмы, Р(Х1,ф) - давление плазмы. При решении уравнений (1) и (2) удобно связывать систему отсчета с передней точкой 0 эритроцита (рис.1); тогда стенка капилляра движется относительно нее со скоростью и, мембрана - со скоростью V/, а граничные условия имеют вид

и = Щ, иг = 0 при г = Я; и = Чь у? = О при г = Р+Ь, (5)

где III и Щ " проекции и и У на ось Х1, К(Х1,ч>) - расстояние от оси Х1 до мембраны эритроцита, Ь(Х1,ф) - ширина зазора между эритроцитом и стенкой капилляра. Кроме того, предполагаются выполненными на поверхности эритроцита и стенке капилляра кинематические условия VI Эг Эг

V ---+ ц - .

г Эф ЭХ1

P, u, v и w - 2Л-периодические функции по ф. Согласно экспериментальным данным ESchmid-Schoenbein, 1984], эритроцит совершает поступательно'- вращательное движение по капилляру с некоторой частотой f. Если частота f вращения мембраны эритроцита известна, то величина W определяется единственным образом [Secomb, 1982]. Интегрируя уравнения (1) и (2) по ширине зазора h с учетом граничных условий (5), получаем

1 ЭР г In (r/R) (hz+2Rhh In (r/R)

u =--|rz - Rz--1 + Wi + (Ui-Wi) -,

4д 3XiL ln(l+h/R) J ln(l+h/R)

1 SP г In(r/R) n w ---jr - R - h -j.

д Зф L ln(l+h/R) J

Интегрируя уравнения (4) по ширине зазора h и подставляя в него выражения и и w, с учетом кинематических условий, получаем дифференциальное уравнение эллиптического типа

azp ар azp ар

Ai - + Аг - + Аз - + A4 - + As = 0, (6)

axiz axi Эф2 ЭФ

коэффициенты которого Ai, Аг, Аз, A4, А5 - известные функщга R, h, д, U, V. Таким образом, если известны D, д, U, f, форма (a, b, V, S) и положение (1, в) эритроцита в капилляре, то можно определить W, R, h, Ui, Wi и, следовательно, коэффициенты уравнения (6), решая которое численными методами, получаем распределение давления в окрестности эритроцита и, следовательно, разность давлений, за счет которой эритроцит движется по капилляру.

При построении модели считается, что U, д, D, V и S известны а priori. Параметры f, a, b, 1 и в определяются из предположений, что эритроцит представляет собой упругое тело, перемещающееся по капилляру прямолинейно и равномерно, и что мембрана эритроцита вращается с постоянной частотой.

В разд.3.2. рассматриваются закономерности перемещения эритроцита по капилляру при различных значениях микрогемодинамических параметров: диаметра капилляра (D), вязкости плазмы (д), скорости (U), объема (V) и площади поверхности (S) клетки в естественной области их изменения. Анализ зависимости величины сопротивления оказываемого клетке ДР при перемещении по капилляру позволил найти аппроксимационную формулу, связывающую ДР с диаметром капилляра (D), вязкостью плазмы (д), объемом (V), площадью поверхности (S), модулем Юнга (Е), длиной (1), скоростью (U) эритроцита и частотой (f) вращения его мембраны

32 рИ г 1 V2 ВЕ ]

ДР--| - +--1,

Б 1- Ва З3 -1

где а - отношение скоростей эритроцита и плазмы, вит- постоянные. Модельные расчеты показывают, что постоянство объема и площади поверхности эритроцита является причиной несимметричности его формы и положения в капилляре, поступательно-вращательного движения его мембраны и приводит к снижению сопротивления его продвижению по сосуду на 10-£0£.

В главе 4 на основе модели движения одиночного эритроцита построена модель движения совокупности эритроцитов по фрагментам' капиллярнах сетей мышц и мозга. Для анализа микрогемодинамики в капиллярных сетях рассмотрено перемещение совокупности клеток по отдельным сосудам и капиллярным сетям. Параметрами, определяющими кровоток в капиллярах, являются: гематокрит, разность давлений на концах сосудов, вязкость плазмы, диаметры капилляров, скорость, геометрические и упругие характеристики эритроцитов. Движение крови в сосуде осуществляется за счет разности давлений ДР на его концах, которая складывается из разностей давлений на концах эритроцитов и столбиков плазмы между ними. Капиллярная сеть представляет собой совокупность сосудов, объединенных определенным образом. Считается, что в одной точке (разветвлении, бифуркации) объединяется не более 3 сосудов. При построении модели предполагается, что известны геометрия капиллярной сети, величины давления на концах сети и частота поступления эритроцитов в сеть. Требуется определить закономерности перемещения клеток в сети. Если в сети имеется п капилляров, объединенных в ш точках (бифуркациях), то можно получить п соотношений, связывающих разность давлений Д?! на концах 1-го капилляра со скоростью кровотока в нем 111, и т соотношений из закона сохранения вещества (п - число капилляров, ш - число бифуркаций). Таким образом, имеем систему п+т алгебраических уравнений с п+гп неизвестными, решая которую находим п скоростей в сосудах и ш давлений в бифуркациях.

Расчеты показывают, что для скоростей кровотока, характерных для микроциркуляторного русла, разность давлений ДР на концах сосуда длиной Ь и диаметром 0 может быть аппроксимирована выражением вида

32ди г I V2 ВЕп т

ДР = - | - +--

Б 1 Осе Б3 ->

где р. - вязкость плазмы, V и Б - объем и площадь поверхности эритроцита, Е - модуль Юнга эритроцита, п - число эритроцитов в капилляре, f -частота вращения мембраны эритроцита, « - отношение скоростей эритроцитов и плазмы, В и г - постоянные. Поскольку гематокрит Н связан с

количеством эритроцитов в капилляре п формулой Н = 4nV/(nDzL), то

32M-UL г 1 V БЕ JlDzH п

ДР = - | - +---1.

D L Ой S3 pf+r 4 J

Если интервалы между поступлениями эритроцитов в сосуд равны с,, время в течение которого эритроцит находится в сосуде Т = L/U, число эритроцитов в сосуде п = Т/с, = L/Uс,, то

32(iUL г 1 V2 BE 1 1

ДР = - | - +---|.

D L Dec S3 uf+r и С, J

Проведена оценка кажущейся вязкости крови е, при различных значениях разности давлений ДР на концах сосуда, его длины ДЬ, диаметра D и интервалов с, между поступлениями эритроцитов в сосуд. Найдена формула зависимости нормированной вязкости крови (относительно вязкости плазмы) е,п в сосудах диаметром менее диаметра эритроцита

a AL (1

¡•n = 1 +

D ДР с,

где а - коэффициент.

Анализ амплитудно-частотных характеристик кровотока по капиллярным сетям показывает, что при увеличении с,, О, Б и уменьшении V скорость кровотока растет, а амплитуда ее колебаний убывает; при увеличении ДР или уменьшении Ь скорость и амплитуда ее колебаний увеличиваются. Сравнение изменений разностей давлений в соседних бифуркациях капиллярной сети показывает, что по мере разветвления сети интервалы изменения давлений в бифуркациях и скоростей в сосудах увеличиваются. Расчеты показывают, что в порядке убывания влияния на кровоток основные параметры располагаются в следующей последовательности: ДР, О, Б, V, Ь, с,. Проведен сравнительный анализ учета параметров моделирования. Показано, что при скоростях кровотока более 1 мм/с можно, в целях экономии машинного времени при расчетах, не учитывать положение эритроцита в капилляре, поскольку оси эритроцита и капилляра практически совпадают.

В разделе 4.4. рассмотрены внешние факторы, влияющие на кровоток по микрососудам, в частности, предлагается модель, имитирующая рост пузырей из многокомпонентных газовых смесей, в которой учтены основные факторы, влияющие на скорость роста пузырей, такие, как плотность центров образования пузырей, физические свойства газов, величины пере-

падов наружного давления. Предполагается, что условия роста пузырей в исследуемом участке ткани одинаковые и их центры образования распределены равномерно. Поэтому формирование пузыря рассматривается в некоторой ячейке - объеме ткани, ограниченном сферой радиуса R, в которой находится "зародыш" пузыря радиусом го. Е нем и окружающей его ткани содержатся газы 0-2, СОг при реально существующих в организме напряжениях и инертные газы N2 или Не при повышенном парциальном давлении. Температура в ячейке считается постоянной (37° С). Давление газа в пузыре (Рв) определяется его радиусом (гЕ), наружным давлением (Рн) и коэффициентом поверхностного натяжения жидкой фазы среды (6):

26

Рв = Рн + - •

Ti

Давление паров воды (Pv) после резкого понижения наружного давления считается постоянным (6,3 кПа), так как его изменение за счет кривизны поверхности даже для пузырей малого размера (гв=0,1 мкм) ничтожно мало (0,07 кПа). Транспорт газов в ткани осуществляется путем диффузии по градиенту концентраций, которые для каждого (i-ro) газа пропорциональны парциальным давлениям (Pi). Их изменение во времени в каждой точке объема среды в радиальном направлении (г) описывается уравнением диффузии

i а?! azPi 2 аРх

Di at Эг2 г аг

где Di - коэффициент диффузии газа в ткани. Скорость изменения массы газов в пузыре, которая пропорциональна объему газов (WB), содержащихся в пузыре при нормальных условиях (давление=101,3 кПа, температу-ра=37° С), согласно закону Фика пропорциональна его плопщи поверхности и градиенту парциальных давлений в пузыре и ткани вблизи его поверхности:

d(wB-wv) п ара i pv

- = -4 Я гв2 L Di - I , Wy = WB - ,

dt i=l Эг j г=гв Рв

где «i - коэффициент растворимости, п - число газов, Wv - объем паров воды при нормальных условиях. Для равномерно распределенных центров образования пузырен приближенно можно считать, что перенос газа через наружную поверхность сферы отсутствует и градиент парциальных давлений в этих точках пространства равен нулю. Приведенная система дифференци-

альных уравнений решалась на ЭВМ методом сеток.

Результаты моделирования, позволили найти аналитическую зависимость времени формирования пузыря (й) от модельных параметров для смесей газов N2, О2, СО2 и Не, 0°, СО2:

I = а Еь ехр (- с К - ё го2),

где го - радиус "зародыша" пузыря, К! - радиус ячейки, К - относительная величина перепада давления, а, Ь, с, (1 - коэффициенты. Расчеты по этим формулам показывают, что время формирования пузыря существенно зависит от плотности "зародышей" пузырей, пузыри с гелием растут быстра , чем с азотом, но достигают меньших размеров. Показано, что в течении нескольких секунд пузыри могут достичь размеров, которые оказывают существенное влияние на гемодинамику в системе микроциркуляции и, следовательно, на транспорт кислорода в тканях.

В пятой главе рассматривается модель регуляции кровотока и транспорта кислорода е ткани. Описание модели приведено в разд. 5.2. Мате- . магическая модель регуляции кровотока и транспорта кислорода в ткани учитывает строение сосудистой сети ( рис.2). Кровоток в сосудистой системе осуществляется за счет разности давлений на концах сети и описывается законом Пуаэейля в артериолах и венулах, а в капиллярах используется обобщенный закон Пуазейля, который учитывает перепады давления на эритроцитах и столбиках плазмы между ними. При моделировании транспорта кислорода из эритроцита в окружающие ткани предполагается, что эритроцит движется прямолинейно и равномерно, в эритроците осуществляется равновесная реакция гемоглобина (НЬ) с кислородом (О2), а в ткани - миоглобина (МЬ) с кислородом. Кроме того предполагается, что транспорт кислорода осуществляется из эритроцита через слой, включающий плазму, эндотелий и интерстициальное пространство, в ткань, где кислород поглощается и выделяются, в ходе биохимических реакций, продукты метаболизма, которые путем диффузии и с потоком крови выводятся из ткани. Транспорт кислорода описывается следующей системой дифференциальных уравнений. В эритроците:

ЗР р(Р,ББ)

- + V УР = 0о2Е V2? + - ,

ЗЬ (ХЕ

азз

- + 7 УБ5 = Бнь

31

ГНЫт = [НЬ] + [НЬ02] ,

рСР.ЗБ) [НЫт

[НЬ02]

53 = -- ,

[НЬ] т

Рис.2. Модель сосудистой сети. А2, АЗ, А4 - артериолы, У2, УЗ, V4 -венулы, С - капилляры между артериолами А4 и венулами У4. Стрелками указано направление кровотока. Числа (6,9,15) обозначают количество артериол АЗ (венул УЗ) (6) отходящих от артериолы А2 (венулы У2), ар-териол А4 (Еенул У4) (9) отходящих от артериолы АЗ (венулы УЗ) и капилляров между артериолой А4 и венулой У4 (15).

р(Р,ЗБ) = к1 СНЬ02] - к2 [НЬ] С02] =

= к1 СНЬ]Т ББ - к2 СНЫт (1-35) «Е Р •

В слое (между эритроцитом и тканью):

- + V УР = Боге ^2Р .

81

В ткани:

ЭР б(Р,Б) Б

- = Иогм У2Р ----

31 ЙМ «м

ЭБ б(Р,Б)

- = Омь ---

31 ГМЫт

ШЬ02]

[МЫТ = СМЫ + [МЬ02] , Б = - ,

[МЫт

6 (Р, Б) = кз ШЬ02] - к4 [МЫ [02] =

= кЗ [МЫт Б - к4 [МЫт (1-Б) ам Р ,

где Р - парциальное давление кислорода, V - локальный вектор скорости кровотока, 0о2Е. Со2с, Оогм _ коэффициенты диффузии кислорода в эрит-ро" лте, слое (плазме, эндотелии, интерстициальном пространстве) и тка-ки, Онь, Омь - коэффициенты диффузии гемоглобина и миоглобина, «е, сад

- коэффициенты растворимости кислорода в эритроцитах и ткани, [НЬ02] -концентрация оксигемоглобина, [НЫ - концентрация гемоглобина, Ш2] -концентрация кислорода, [МЬ02] - концентрация оксимиоглобина, [МЫ -концентрация миоглобина, В - скорость потребления кислорода тканью, Ь

- время, к1, к2, кЗ, к4 - константы скоростей биохимических реакций.

При поглощен™ кислорода тканями выделяются продукты метаболизма, которые диффундируют в ткани и переносятся с током крови к венозной части сосудистого русла. Образование и транспорт продуктов метаболизма в ткани, слое (интерстициальном пространстве и капиллярном эндотелии) и кровеносных сосудах описывается системой дифференциальных уравнений. В ткани:

ЭС те

- = 13мм УгС + В Б" + - .

91 Р + £

В слое (интерстициальном пространстве и капиллярном эндотелии):

ас

- = ВМС У2С .

Э1

В капилляре: ЭС

- + V УС = Пмв чгс ,

ай

где С - концентрация продуктов метаболизма, Е)мм, Вмс. Омб - коэффициенты диффузии продуктов метаболизма в ткани, слое (интерстициальном пространстве и капиллярном эндотелии) и в капилляре, в, т, е, п - коэффициенты.

Поток продуктов метаболизма из венулы в артериолу (из расчета на единицу длины сосуда) [Honing1, 1991]

F = К (Cv-Ca) Й ,

где К - проницаемость ткани для продуктов метаболизма, Cv и Са - концентрации продуктов метаболизма в венуле и артериоле, а - известная функция радиусов артериолы, венулы и расстояния между ними.

Продукты метаболизма диффундируют из венул в артериолы, воздействуют на гладкие мышцы артериол, и радиус артериолы Ra, изменяется следующим образом

Ra, = Emax " (Ртах " Rrrun) e a u ,

где Rmax и Rmin " максимальный и минимальный радиус артериолы, С -концентрация продуктов метаболизма в артериоле, а - постоянная. Полученная система дифференциальных уравнений решалась при предположении, что в начальный момент времени значения функций Р, S, SS, С известны всюду в области их определения. В качестве граничных условий использовались условия симметричности и условия неразрывности потоков веществ на границах: эритроцит - плазма, плазма - эндотелий, эндотелий - ин-терстициальное пространство, интерстициальное пространство - ткань. При решении системы уравнений шаг сетки выбирался в зависимости от размеров капилляра, эритроцита и тканевого цилиндра , по г - от 0,01 до 0,1 мкм, по z - от 0,01 до 0,1 мкм, по t - от 0,001 до 0,1 сек. Таким образом, решая систему уравнений, мы имеем распределение кислорода и продуктов метаболизма в кровеносном сосуде и окружающей ткани.

Согласно расчетам, проведенным в разд.5.3. для стационарных условий, радиус артериол увеличивается при увеличении потребления кислорода тканями, что соответствует экспериментальным данным. Сравнение радиусов артериол при различных скоростях потребления кислорода тканями (G) показывает, что диаметр артериол меньшего сечения достигает своей максимальной величины при меньшем значении G, чем диаметр артериол большего сечения. Например, артериолы 4-ой генерации А4 достигают максимального радиуса при G * 18 мл/100 г/мин, артериолы A3 - при 0 * 20 мл/100 г/мин, а артериолы А2 при G % 24 мл/100 г/мин. При изменении G от минимального значения до максимального, под воздействием ваэоактив-ных продуктов метаболизма на гладкие мышцы артериол, сечение сосудов увеличивается и объемная скорость кровотока Q возрастает. Кровоток увеличивается в 1,64 рааа при увеличении G от 4 до 8 мл/100 г/мин и в 2,23 раза при увеличении G от 3 до 16 мл/100 г/мин. (рис.3). Сравнение с экспериментальными данными показывает, что модель дает хорошую аппроксимацию стационарного состояния кровотока и транспорта веществ в ткани при различных значениях скорости потребления кислорода тканями.

Рис.3, (а) Потребление Ог тканями (мл/100 г/мин) - ось абцисс. Диаметры сосудов (мкм) - ось ординат. (Ь) Потребление Ог тканями (мл/100 г/мин) - ось абцисс. Расход крови (мл/100 г/мин) - ось ординат.

В разд.5.4. оценивается время, затрачиваемое на переход из одного стационарного состояния в другое. Расчеты были проведены для переходов от начальных условии (отсутствие кислорода и продуктов метаболизма в тканях) к стационарным условиям физической нагрузки, а также для переходов из состояния легкой физической нагрузки к интенсивной и обратно. Были получены аппроксимационные формулы для И и I относительно ДР

и С

е ДР + Ь

Ь = аДР6-ЬБ-сДР + с1, и = е ДР + Г--,

Б2

где а, Ь, с, (1, е, ^ д, Ь - коэффициенты. Из этих формул можно получить соотношения

I = ЦДР.Ш, I = 1(и}Б).

Е итоге, имеем явные выражения вида

и = 1)(ДР, В), Ь = 1(ДР,и), t = ии,В), Ь = t{G,¡SP),

для перехода от начальных условий (отсутствие гаслорода и продуктов метаболизма в ткани) к стационарному кровотоку г транспорту продуктов метаболизма в ткани при физической нагрузке. Однако, в живом организме

имеются другие начальные условия, в частности, потребление кислорода в тканях отлично от нуля. Поэтому были проведены расчеты, которые позволили оценить время стабилизации процессов в системе микроциркуляции при переходе от легкой физической нагрузки к тяжелой и обратно. Эти результаты показывают, что Еремя стабилизации переходных процессов от начальных условий, соответствующих легкой физической нагрузке, к интенсивной составляет 0,6-0,7 минуты при артерио-венозной разности давлений на концах сосудистого ложа 75-105 шт Н£. При переходе от интенсивной физической нагрузки к легкой требуется 1,7-2,4 минуты. Сравнение времени перехода от легкой к интенсивной физической нагрузке и обратно показывает, что в последнем случае время переходных процессов в 2,8-3,4 раза больше. Сравнение с экспериментальными данными показывает, что модель дает хорошую аппроксимацию времени переходных процессов в ткани в зависимости от скорости потребления кислорода тканью и разности давлений на концах сосудистого русла.

В шестой главе, на основе экспериментов проведенных на физически здоровых добровольцах, дана оценка состояния системы транспорта кислорода (СТК) организма по сердечному ритму при переходе из одного стационарного состояния в другое. Проводилась функциональная велоэргометри-ческая проба, в ходе которой использовалась ступенеобразная прерывистая, возрастающей мощности, нагрузка, задаваемая на килограмм веса испытуемого. Проба проводилась в положении сидя на велоэргометре в течение 3 минут работы с последующим 3 минутным отдыхом. Результаты экспериментов обрабатывались на ЭВМ.

В основу математической модели, описывающей динамику изменения частоты сердечных сокращений (ЧСС) в зависимости от величины нагрузки и индивидуальных особенностей процессов энергообмена нами положены соотношения

г - а аЧо)п

Ы^) = 11 - е | , ^ < Ь < - при физической

l j

нагрузке

и

- d (t-U)

h(t) = h(t*) e , t* < t, - в покое,

где h - приращение ЧСС, t - время, to - время начала работы, t* - время прекращения работы, and- постоянные. Коэффициент K=a/d , характеризует состояние СТК человека и всегда больше 1. 'Чем К ближе к 1, тем состояние СТК лучше и организм физически здоровее, т.е. более предрасположен выполнять продолжительную средней тяжести мышечную нагрузку. Сравнительное исследование коэффициентов К для различных испытуемых позволяет судить об их физической работоспособности при средних нагрузках и сравнивать их между собой.

Е разд. 6.2. изложен алгоритм оценки функционирования СТК при не-

достатке информации. Е основу алгоритма положен экспертный метод, разработанный ранее для оценки качества программных продуктов. Суть этого подхода состоит в следующем (см. блок-схему 2). Ерачу предлагается выбрать из показателей 3-го уровня (К1 - недостаток кислорода во вдыхаемом воздухе, К2 - снижение легочной вентиляции, КЗ - снижение газообмена между альвеолами и кровью, К4 - смешивание крови большого и малого круга, К5 - снижение содержания гемоглобина, Кб - нарушение способности гемоглобина присоединять кислород, К7 - сердечная недостаточность, КЗ - закупорка отдельных артерий, К9 - закупорка отдельных вен, К10 - недостаточная эластичность определенных артериол, К11 - недостаточное производство ферментов, катализирующих окислительные процессы. По ,смотрению врача выбранные показатели нужно расположить в порядке '.'Ьывания их важности, ввести отношения порядка (немного важнее, важнее, значительно важнее) между каждыми двумя соседними показателями. Численные значения показателей 2-го порядка (01 - сниженное парциальное давление кислорода, 02 - нормальное парциальное давление кислорода, ЮЗ - недостаточное кровоснабжение, 04 - нарушение оттока кроги, - недостаточное снабжение кровью при возросшей потребности, Б6 - нарушения биохимических процессов в ткани) получаются из показателей 3-го порядка, методом сгертки, который подробно описан в диссертации. Применяя свертку к показателям 2-го порядка получаем численные значения показателей 1-го порядка (А1 - недостаточный транспорт кислорода кровью, А2 - недостаточный транспорт крови, АЗ - неспособность ткани использовать поступающий кислород). Применение свертки к показателям 1-го порядка дает численное значение показателя нулевого порядка (гипоксии). С помощью этого алгоритма может быть осуществлена в первом

БЛОК-СХЕМА 2

Показатели

Г

О порядка

Al

А2

АЗ 1 порядка

D1

D2

D3

D4 D5

D6 2 порядка

I I I I

К1 К2 КЗ К4 К5 Кб К? КЗ К9 К10 К11 3 порядка

приближен™ экспертная оценка состояния СТК. Е качестве модификации изложенного выше алгоритма разработан алгоритм коррекции состояния СТК пациента. Суть алгоритма состоит в следующем. Пусть в начальный момент времени состояние СТК пациента характеризуется показателями 3-го порядка К1, К2,...,Кт с числовыми значениями Е1, В2,...,Вт и соответствует уровню гипоксии (Г) с числовым значением Е. Ерач имеет намерение изменить состояние СТК пациента так, чтобы уровень гипоксии (Г) имел значение в некоторой е-окрестности А (А-г, А+е), где А - некоторое число из интервала [0,1]. Предполагается, что в распоряжении врача имеются средства для коррекции состояния СТК пациента, т.е. он может воздействовать медикаментозными и другими средствами на показатели 3-го порядка К1, К2,...,Кд1. Кроме того, предполагается, что при изменении численных значений показателей 3-го порядка Б1, В2,.,..,Вщ на И, К!2,...,Е!т требуются материальные затраты, которые выражаются известной функцией Х(В1,Е2,.,.. ,Вт;Р.1,Н2,... ,1?т). Тогда, производя свертку численных значений выбранных показателей (К1, К2,..,Кт), врач получает значение С уровня гипоксии (Г), которое, вообще говоря, отличаются от желаемого значения А. Если значение С врача удовлетворяет, т.е. ее (А-г, А+е), то это значение С является искомым. В противном случае происходит изменение численных значений показателей 3-го порядка с достаточно малым шагом Дп, таким образом, чтобы расчетное значение уровня гипоксии (Г) было близко к А, т.е. попадало в интервал (А-е, А+е). Таким образом, имеем набор числовых значений показателей 3-го порядка, при свертке которых получаем набор значений уровня гипоксии (Г) с заранее заданной точностью, т.е. в интервале (А-е, А+е). Еыбор окончательного набора значений показателей 3-го порядка (и соответствующих игл значений уровня гипоксии) осуществляется с учетом минимизации материальных затрат, которые необходимы для перехода от исходных показателей 3-го порядка, характеризующих состояние СТК пациента, к желаемым. Окончательное решение о выборе того или иного конкретного способаа коррекции СТК пациента принимает врач. С помощью этого алгоритма может быть осуществлена в первом приближении экспертная оценка и коррекция состояния СТК, которая позволяет существенно сократить число возможных вариантов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы состоят в следующем: 1. Построена система математических моделей, описывающих транспорт кислорода в организме в нормальных условиях и измененных (экстремальных) ситуациях, которая была использована для исследования закономерностей движения эритроцитов (основных переносчиков кислорода) по сосудам, транспорта кислорода из эритроцитов в окружающие ткани и продуктов метаболизма из тканей в сосудистое русло, регуляции кровотока и транспорта кислорода вазоактивными продуктами метаболизма, а также для

оценки состояния системы транспорта кислорода в организме.

2. Построена 3-мерная модель эритроцита, учитывающая объем, площадь поверхности, упругие характеристики эритроцита, вязкость плазмы и его содержимого и позволяющая описать как форму, так и положение эритроцита б капилляре, а также его перемещение по капилляру и движение мембраны эритроцита. На осноге построенной модели движения эритроцита по капилляру дана постановка задачи о сопротивлении ДР, оказываемом эритроциту при его перемещении по капилляру, позволяющая численно оценить ДР и найти аппроксимационную формулу зависимости ДР от скорости, объема, площади поверхности и упругих свойств эритроцита, частоты вращения его мембраны, диаметра капилляра и вязкости плазмы. Выявлено знач?" .е постоянства объема V и площади 3 поверхности эритроцита для кро-ь^хока в микрососудах. Показано, что постоянство У и 5 является причиной несимметричности формы и положения эритроцита б капилляре, посту-пательно-вращзтельного перемещения мембраны эритроцита по капилляру и снижения сопротивления продвижению эритроцита на 10-20%.

3. Предложена и исследована модель перемещения совокупности эритроцитов по капиллярам, включающая модель движения одиночного эритроцита. На основе модели проанализированы различные показатели кровотока в капиллярных сетях. Найдена зависимость разности давлений на концах сосуда ДР от интервалов Бремени с, между поступлениям:! эритроцитов в сеть, длин I. и диаметров 0 сосудов, вязкости плазмы и, гематокрита Н, объема V, площади поверхности Б, упругих свойств и скорости эритроцита, частоты вращения его мембраны Г. Построены гистограммы распределения амплитудных и частотных характеристик давлений в бифуркациях и скоростей в сосудах в зависимости от ДР, С, О, Ь, V, Б. Проведен сравнительный анализ влияния ДР, с,, В, Ь, V и Б на кровоток. Показано, что при увеличении с,, В, Б и уменьшении V скорость кровотока растет, а амплитуда ее колебаний убывает; при увеличении ДР или уменьшении Ь скорость и амплитуда ее колебаний увеличиваются. Проведена оценка кажущейся вязкости крови при различных значениях разности давлений ДР на концах сосуда, его длины ЛЬ, диаметра В и интервалов с, между поступлениями эритроцитов в сосуд. Найдена формула зависимости 2, от ДР, ЛЬ, В и с, в сосудах диаметром менее диаметра эритроцита. Сравнение изменений разностей давлений в соседних бифуркациях капиллярной сети показывает, что по мере разветвления сети интервалы изменения давлений в бифуркациях и скоростей в сосудах увеличиваются. Расчеты показывают, что в порядке убывания влияния на кровоток основные параметры располагаются в следующей последовательности: ДР, Б, Б, V, Ь, с,. Проведен сравнительный анализ учета параметров моделирования. Показано, что при скоростях кровотока более 1 мм/с можно, в целях экономии машинного времени при расчетах, не учитывать положение эритроцита в капилляре, поскольку оси эритроцита и капилляра практически совпадают.

4. Построена математическая модель регуляции кровотока и транспорта

кислорода вазоактивными продуктами метаболизма, учитывающая строение сосудистого русла (артерии, артериолы, капилляры, венулы, вены), диаметры и длины сосудов, вязкость крови, разность давлений на концах сосудистого русла, размеры эритроцита, слой между эритроцитом и тканью (плазма, эндотелий, интерстициальнсе пространство), производство продуктов метаболизма в ткани, транспорт кислорода из эритроцитов в ткань и продуктов метаболизма из ткани в сосудистое русло, влияние вазоак-тивных продуктов метаболизма на мышцы артериол и, следовательно, на диаметры артериол, скорость кровотока и транспорт кислорода в ткани. На основе построенной модели дана постановка задачи о стационарных режимах кровотока и транспорта кислорода, позволяющая численно оценить скорость кровотока, диаметры артериол, перепады давлений б сосудах при различных значениях скорости потребления кислорода тканями, которая зависит от степени физической нагрузки на организм. Найдены аппрокси-мационные формулы времени перехода системы транспорта кислорода из одного стационарного состояния в другое в зависимости от скорости потребления кислорода тканями, разности давлений на концах сосудистого дерева, скорости кровотока. Еыявлено значение скорости потребления кислорода тканями (Б). Показано, что при переходе от легкой физической нагрузки (Б = 10 мл Ог/ЮО г/мин) к интенсивной (Б = 20 мл Ог/ЮО г/мин) время затрачиваемое на переходные процессы во втором случае больше в 2,6-3,4 раза, чем в первом случае. При увеличении Б в 2 раза скорость кровотока возрастает в 2,2-2,8 раза, что сравнимо с экспериментальными дачными (в 2-3 раза).

Е. Разработан алгоритм оценивания состояния системы транспорта кислорода (СТК) человека по сердечному ритму при физической нагрузке. Предложен экономный, с точки зрения затрат времени и средств, подход, позволяющий оценить состояние СТК физически здоровых людей, например, на промышленных предприятиях и в других организациях. Предложен алгоритм экспертной оценки качества и коррекции функционирования СТК при недостатке информации. Этот подход позволяет оценить состояние СТК как практически здоровых людей, так и больных.

6. Построена математическая модель роста п-компонентных газовых пузырей при резком изменении наружного давления. С помощью этой модели исследован транспорт респираторных газов (Ма. 0г> СОг и Не, 0г, СОг) из окружающей ткани в пузырь. Показано, что пузыри с гелием (Не) растут быстрее, чем с азотом (N2), но достигают меньших размеров. Найдена аналитическая зависимость времени роста пузырей от величины перепада наружного давления, расстояний между центрами пузырей и начального радиуса микропузыря. Показано, что в течении нескольких секунд пузыри могут достигать размеров, которые оказывают существенное влияние на гемодинамику в системе микроциркуляции.

Таким образом, на основании выполненных исследований, осуществлено решение научной проблемы, имеющей ванное народнохозяйственное зна-

чение, а тленно, разработанный в диссертационной работе подход, осуществленный в виде найденной совокупности математических моделей, алгоритмов и программ, позволил реализовать на компьютере комплекс новых методов, допускающих гибкое их применение для решения разнообразных актуальных задач, связанных с транспортом кислорода в организме человека, тлеющих ванное значение для жизнеобеспечения людей в нормальных и экстремальных условиях. Указанный подход открывает широкие возможности для дальнейшей автоматизации научны;-; исследований при решении проблемы транспорта кислорода в организме человека.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работа«:

1. Копыльцов А.Е., Кисляков Ю.Я. Математическая модель движения эритроцита в капилляре. Е кн.: Актуальные вопросы нарушений гемодинамики и регуляции микрсциркуляции в клинике и эксперименте. М.: Наука, 1984, с.219-220.

2. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Foct гэзоеых пузырей в биологических тканях при декомпрессии (математическое моделирование). В кн.: Моделирование систем в биологии и медицине. Прага: Дом Техник! ЧСНТО, 1984, с.41-44.

3. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Рост газовых пузырей в биологических тканях при декомпрессии (математическое моделирование). 4 Пражский международный симпозиум социалистических стран "Моделирование систем в биологии и медицине", (тез. докл.). Прага: Дом Техники ЧСНТО, 1934, с.31.

4. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Формирование газовых пузырей в биологических тканях при декомпрессии (математическое моделирование). Биофизика, 1985, т.30, вып.2, с.337-340.

5. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Особенности моделирования движения эритроцита в капилляре. В кн.: Математические и вычислительные методы е биологии. Пущино: Наука, 1985, с.144- 145.

5. Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.V. The mathematical model of erythrocyte motion in the brain capillaries. In: Microcirculation - an update. M.Tsuchiga et al. (eds.). Amsterdam: Elsevier Sc.Publ.B.V., 1987, V.2, pp.57-58.

7. Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.V. The mathematical model of erythrocyte motion in the brain capillaries. In: Program and abstracts of the fourth world congress for microcirculation (Tokyo, Japan). M.Tsuchiga et al. (eds.). Amsterdam: Elsevier Sc.Publ.B.V., 1987, p.326.

8. Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.V. The effect of the erythrocyte size on its velosity in the capillaries (mathematical modelling). In: Proceedings of 4 Simposium Haemorheolog-ie (Kuhlungsborn, DDR), 1987, p.43.

9. Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.V. The rate of gas-bubble growth in tissue under decompression (mathematical modelling). Respiration Physiology, 1988, N 3, pp.299-303.

10. Кислякое Ю.Я., Копыльцов А.Е. Имитация на ЭЕМ движения эритроцита в капилляре. В кн.: Имитация систем в биологии и медицине. Прага: Дом техники ЧСНТО, 1988, с.47-51.

11. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Имитация на ЭВМ движения эритроцита в капилляре. 5 Пражский международный симпозиум социалистических стран (тез. докл.) Прага: Дом техники ЧСНТО, 1988, с.41.

12. Копыльцов А.В. Влияние вязкости плазмы на сопротивление движению эритроцитов по капиллярам. Биофизика. 1989, т.34, вып.6. с.1046-1050.

13. Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.Y. Erythrocyte in the capillary -the mathematical model. In: Biomechanical transport processes. F.Moso-ra et al.(eds.). Mew York: Plenum Press. 1990, pp.217-222.

14. Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.V. Erythrocyte in the capillary -the mathematical model. In: Biomechanical transport processes. European mechanics colloquium. NATO-Workshop. Abstracts. Carges, France.

1989, p.31.

15. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Математическая модель движения несимметричного эритроцита по капилляру. Биофизика. 1990, т.35, вып.З, с.484-489.

16. Bruley D.F., Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.V. Mathematical model of oxygen distribution in brain microareas. In: Abstracts of the First World Congress of Biomechanics (La Jolla, USA). 1990, V.l, p.4.

17. Kislyakov Yu.Ya., Kopyltsov A.V. Erythrocytes in the capillary network - the mathematical model. In: Abstracts of the First World Congress of Biomechanics (La Jolla, USA). 1990, V.l, p.48.

18. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Имитация на ЭВМ движения эритроцитов по капиллярным сетям. В кн.: Имитация систем в биологии и медицине. Прага: Дом Техники ЧСНТО. 1990, с.76-80

19. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В. Имитация на SEM движения эритроцитов по капиллярным сетям. 7 Пражский международный симпозиум социалистических стран (тез. докл.). Прага: Дом техники ЧСНТО, 1990, с.51.

20. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В., Ковальчук B.C. Комплексная система оценки физической работоспособности человека. В кн.: Медико-биологические проблемы экологии Северо-Западного региона. 1990, с.81-84.

21. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В., Ковальчук B.C. Оценка энергетического обеспечения организма человека по экспериментальным данным и на математической модели. В кн.: Функциональные резервы и адаптация.

1990, с.65-68.

22. Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.Е. Компьютерное моделирование движения эритроцитов через капиллярные сети. В кн.: Микроциркуляция и гемокоа-гуляция при экстремальных условиях. Фрунзе: ИЛИМ. 1990, с.165-166.

23. Еынкова Н.А., Кисляков Ю.Я., Копыльцов А.В., Растоскуев В.В. Математическое моделирование гипоксических состояний в микрообластях мозга. В кн.: Фармакологическая коррекция гипоксических состояний. 1991, с.100-101.

24. Еоробьев В.И., Копыльцов А.В., Юсупов P.M. К оценке надежности программных средств. Е кн.: 3 Всесоюзный семинар "Качество программного обеспечения" (Тез. докл.). Дагомыс, 1991, с.120-121.

25. Андреев А.О., Воробьев В.И., Копыльцов А.В., Пальчун Б.П Оптимальный метод предварительной оценки качества программного продукта. Е га..- 1 Межгосударственная конференция "Надежность, живучесть и безопасность технических систем" С.-Петербург: ЛДНТП, 1992, с.33-35.

26. Kopyltsov А.V., Vorobiev V.I., Yusupov P.M. The hardware and software quality from the point of view of the theory of dynamic systems. In: 12th World Computer Congress. Madrid. 1992, pp.121-132.

27. Еоробьев Е.И., Копыльцов А.В., Пальчун Б.П., Юсупов P.M. Методы и модели оценивания качества программного обеспечения. С.-Петербург: СПШРАН. 1992.

28. Копыльцов А.Е. Оценка качества программного обеспечения с учетом человеческого фактора. В кн.: 4 Международная конференция "Качество программного обеспечения информационных технологий", Дагомыс, 1992, С.25-27.

29. Kopyltsov А.V. Mathematical model of erythrocyte motion through the cspillay network. In: Proceeding's of 7th International Conference on Biomedical Engineering. Singapore. 1392, pp.3"-29.

30. Kopyltsov A.V., Boyko A.V. Human factor under creation and exploitation of information technology software. In: International Conference "Informational Technology and People". Moscow, 1993, Part 2, pp.121- 124.

31. Kopyltsov A.V. Human factors in software quality estimation. In: Proceedings of International Conference on CAD/CAM, Robotics and Factories of the Future. 1993, V.2, pp.539-543.

32. Kopyltsov A.V., Vorobiev V.I. Mathematical modelling of software quality estimation. In: 2 St.Petersburg International Conference "Regional Informatics", 1993, St.Peterturg, Part 1, p.120.

33. Копыльцов А.В. Теоретическое моделирование оценки качества программных продуктов. В кн.: Надежность, отказоустойчивость и производительность информационных систем, (Сб. тез. Межгосударственного научно-технического семинара). Туапсе. 1993, с.55.

34. Kopyltsov А.V., Vorobiev V.I. On a software quality estimation. In: International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics. Abstracts. St.Petersburg. 1993. pp.178- 17S.

35. Копыльцов А.В. Об оценке качества программного обеспечения. В кн.: 3 С.-Петербургская международная конференция "Региональная информати-ка-94". Тезисы докладов. 1994, с.127.

36. Kopyltsov A.V. On software quality estimation. In: The 3 St.Petersburg International Conference "Regional Infcrmatics-94". Proceedings of the conference. 1994. pp.181-185.

37. Копыльцов А.В. Об оценке качества программнсго обеспечения. Проб-

лемы информатизации: теоретический и научно-практический журнал. 1994, Вып.3-4, с.46-48.

38. Копыльцов А.В. Математическое моделирование кровотока через узкие капилляры. В кн.: Биомедицинская информатика и эниология. СПб: СПИИ-РАН. 1995. с.60-63.

39. Kopyltsov А. V. Mathematical modelling' of local regulation of blood flow. In: The 4-th St.Petersburg International Conference "Regional Informatics-95". Abstracts of reports. 1995, pp.197-198.

40. Kopyltsov A.V., Groebe K. Mathematical modelling of local regulation of blood flow by venulo-arterioles diffusion of vasoactive metabolites. In: Proceedings of the international congress of International Society of Oxygen Transport into Tissue. August 1995. Pittsburgh (USA), pp.171-177.

41. Копыльцов А.В., Ороско P.А. Модифицированный экспертный метод оценки качества программных продуктов. Е кн.: 5 С.-Петербургская международная конференция "Региональная информатика-96". Тезисы докладов. 1996, с.56.

42. Копыльцов А.В. Математическое моделирование вазомоций артериол. В кн.: 5 С.-Петербургская международная конференция "Региональная инфор-матика-96". Тезисы докладов. 1996, с.160-161.

43. Kopyltsov А.V. A mathematical modelling of transition processes in the microcirculation. In: The 5-th St.Petersburg International Conference "Regional Informatics-96". Abstracts of reports. 1996, p.159-160.

44. Kopyltsov A.V. On theoretical modelling of software quality estimation. In: Proceedings of Fifth European Conference on Software Quality (Dublin, Ireland), 1996.