автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование эмиссии электронов из острийных катодов сложной конфигурации

Санкт-Петербургский Государственный Университет

Ы& прэБил ^кишш»

с/

Ермошина Марина Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭМИССИИ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ ОСТРИЙНЫХ КАТОДОВ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

2004

Работа выполнена на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Николай Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Андрианов Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Петренко Виктор Васильевич

Ведущая организация:

Якутский Государственный Университет им. М.К. Аммосова.

Защита состоится « 25 » февраля 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан « 20 » января 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук,

профессор Г. И. Курбатова

24 $¿25$

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Возросший интерес к процессам полевой электронной эмиссии (ПЭЭ) связан с разработками некоторых типов плоских дисплеев, а так же различных приборов, использующих ПЭЭ. Полевые источники электронов широко используются в вакуумных приборах, электроннолучевых трубках, высокочастотных генераторах и т.д. Интерес к ПЭЭ связан и с исследованиями поверхностей на молекулярном уровне с помощью электронных микроскопов, в частности, со сканирующим туннельным микроскопом (СТМ) и атомным силовым микроскопом (АСМ). На основе принципа действия СТМ создаются новые технологии, например, технология производства компьютерных жёстких дисков "millipede", разрабатываемая исследовательским центром IBM. Основным элементом

у

электронных микроскопов являются острия или системы острий, каждое из которых имеет сложную геометрическую форму. Однако существующие методы проектирования и оптимизации электронно-оптических систем, как правило, используют модели, не учитывающие свойств источника электронов, что существенно ограничивает их возможности. Создаются и используются модели ПЭЭ для плоских структур, т.е. электроды аппроксимируются плоскими идеальными проводниками. Построение математических моделей ПЭЭ для острийных эмиттеров сложной конфигурации позволит на качественном и количественном уровне интерпретировать экспериментальные данные и выработать рекомендации по практической реализации приборов и устройств, основным элементом которых являются острийные структуры. Именно поэтому задача построения математических моделей для исследования используемых на практике острийных систем, включающих взаимодействие точечного заряда с электродом сложной конфигурации и расчёт траектории заряда является

актуальной. рос. национальная

&t;&JU;oTcKA

L'OO 7

^.Петербург

Л

Цель работы. Целью диссертационной работы стало создание математических моделей, адекватно описывающих явление полевой электронной эмиссии из острийных эмиттеров. Математические модели должны включать в себя моделирование взаимодействия точечного заряда с электродом сложной конфигурации и моделирование траекторий зарядов. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать математическую модель распределения потенциала с учётом сил зеркального изображения для острийных полевых эмиттеров сложной конфигурации.

2. На основе математической модели рассчитать электронные траектории для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа с учётом сил зеркального изображения.

3. Реализовать комплекс программ, позволяющих решать прикладные задачи моделирования потенциала и электронных траекторий для полевых источников электронов.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического моделирования и численного эксперимента.

Положений, выносимые на защиту:

1. Математическая модель распределения потенциала с учётом сил зеркального изображения для острийных полевых эмиттеров сложной конфигурации.

2. Расчёт электронных траекторий для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа с учётом сил зеркального изображения.

3. Комплекс программ для решения прикладных задач моделирования потенциала и электронных траекторий для полевых источников электронов.

Научная новизна работы. Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы, получены впервые и являются новыми.

Практическая значимость. Разработанные математические модели, учитывающие сложную форму полевого эмиттера электронов, позволят проводить сравнение экспериментальных данных с выводами теории как на качественном, так и на количественном уровне, в то время как при использовании теории полевой эмиссии из эмиттеров плоской конфигурации сравнение может осуществляться только качественно. Предложенные модели позволят усовершенствовать работу приборов, для которых острийные структуры являются основным элементом (СТМ, АСМ, высокочастотные генераторы, плоские дисплеи и т.д.).

Опубликованные работы. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, список которых приведён в конце автореферата.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на VII и VIII международных конференциях Beam Dynamics and Optimization (Санкт-Петербург, 2000г, Саратов, 2001г), на XXX и XXXI всероссийских конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 1999, 2000гг), а также на научных семинарах кафедры Моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной Математики - Процессов Управления Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы включает 54 наименования. Работа изложена на 104 страницах и 8 страницах приложения, содержит 38 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена цель работы, указаны новизна и практическая значимость работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются общие теоретические вопросы, связанные с разработкой математических моделей, описывающих ПЭЭ. Рассмотрена физическая модель, введены основные определения. Приводятся наиболее употребляемые типы моделей расчёта потенциала, создаваемого силами зеркального изображения для острийных систем.

В случае взаимодействия заряженной частицы с плоскостью потенциал рассчитывается из уравнения Лапласа с граничными условиями на катоде и аноде. В случае сложной конфигурации острия единого метода вычисления взаимодействия заряженной частицы с электродом с учётом сил зеркального изображения не существует. Уравнения Лапласа с граничными условиями на острие и на поверхности достаточно сложно решить аналитически, а существующие модели предлагают метод вычисления потенциала, жёстко привязанный к определённой конфигурации острия. Т.е. для каждой аппроксимации острия нужно искать свой метод расчёта потенциала с учётом сил зеркального изображения. Для практического применения это очень неудобно, так как форма реального острия сложна и требует точной аппроксимации.

В связи с этим ставятся следующие основные задачи диссертационной работы: построить математическую модель, адекватно описывающую взаимодействие точечного заряда с электродом сложной конфигурации, а также рассчитать электронные траектории в СТМ для адекватного сопоставления экспериментальных и теоретических результатов.

Вторая глава посвящена математическому моделированию потенциала между электродами.

Проведена оценка плотности объёмного заряда, показавшая, что вероятность одновременного нахождения двух электронов в пространстве между остриём и поверхностью ничтожно мала, и для рассматриваемой конфигурации сканирующего туннельного микроскопа плотностью объёмного заряда можно пренебречь. Следовательно, можно рассчитывать электростатический потенциал из уравнения Лапласа, а не уравнения Пуассона, учитывающего объёмный заряд.

Знание формы острия необходимо для определения электрического поля и потенциала между катодом и анодом. Определение этих величин является сложной задачей, поэтому чаще всего используют аппроксимации, которые заменяют истинную форму острия какой-либо правильной математической формой. В качестве аппроксимаций формы реального острия предложены поверхности вращения второго порядка. Рассмотрены параболоид и гиперболоид вращения. Для поверхностей второго порядка в ортогональных криволинейных координатах найдено решение уравнения Лапласа для потенциала.

В третьей главе предложен новый метод расчёта электростатического потенциала с учётом сил зеркального изображения. Метод разработан для эмиттеров сложной конфигурации, и представляет собой метод расчёта потенциала, как интеграла по поверхности зеркального изображения. Метод разработан для двухмерного и трёхмерного случаев. Отдельно рассмотрен двухмерный случай, так как эмиттер аппроксимируется поверхностью вращения второго порядка, следовательно, система аксиально симметрична.

Поверхностью зеркального изображения называется геометрическое место точек, являющихся зеркальными изображениями источника

излучения, находящегося в точке с координатами (х0>у0,г0), относительно

касательных плоскостей к точкам некоторой поверхности К. Рассмотрено два варианта: для двухмерного случая кривая зеркального изображения построена с использованием методов теории исключения, и для трёхмерного случая поверхность зеркального изображения построена методами аналитической геометрии в пространстве.

Рассмотрение двухмерного случая основано на методах, предоставляемых теорией исключения. Пусть кривая К\ г-/(х), где

/(*)<= R[;c],deg/>l, аппроксимирует остриё. Выписаны уравнения, которые позволяют методом исключения получить уравнение кривой зеркального изображения:

Ф{х,г) = Ох{гх{х-х0)+2/{х12-20)-(х2 -х2)-(г2 -22))=0 (1), где йх — дискриминант полинома по переменной X, остальные переменные считаются параметрами.

Методы аналитической геометрии позволяют записать уравнение кривой зеркального изображения в параметрическом виде:

ха = хя{х{,ух), ук = уц(х{,ух), гк = га(хх,у,) (2),

где хк,уя,гк — переменные кривой зеркального изображения, х1 и у, — параметры. Для построения поверхности зеркального изображения необходимо в произвольной точке поверхности К построить касательную плоскость и нормаль. Затем надо сдвинуть нормаль параллельным переносом к точке (х0,у0>г0). Поверхность зеркального изображения является геометрическим местом точек, являющихся отражением точки (х0,у0,г0) относительно пересечения касательной плоскости и сдвинутой нормали в каждой точке поверхности К.

Так как двухмерный случай является частным случаем трёхмерного, рассмотрим трёхмерную математическую модель.

Пусть поверхность К:/(х,у) задает форму острия. Источник, находящийся в точке с координатами(х0,у0,г0), — точечный заряд <у. Потенциал, создаваемый силами зеркального изображения в точке с координатами (х, у, г), рассчитывается по формуле:

о).

4щ И г(х,у,г)

сс о

Здесь У1т(х,у,2) — потенциал, создаваемый силами зеркального изображения, е0 — электрическая постоянная, а, /?, <5, у — переменные

интегрирования, Я(.хк,ук,гк) — плотность заряда, <18 =

¿хх<1ух

дхх дух

— элемент площади поверхности зеркального изображения, где гк = {х1г(хх,ух):,уя(х{,у^)!гп(хх,ух)) — вектор переменных поверхности

зеркального изображения, г(х,у,г) ~ л](х-хГ1)2 +(у-ук)2 +{г~га)2 — расстояние отточки (х,у,г), в которой рассчитывается потенциал, до точки, принадлежащей поверхности зеркального изображения.

Для упрощения расчёта потенциала введены параметры поверхности зеркального изображения хх и ух. Параметры мо1уг быть определены, например, как абсцисса и ордината точки, принадлежащей поверхности К (относительно которой строится зеркальное изображение заряда). Переменные поверхности зеркального изображения хи,уп>гя будут являться функциями параметров дг, и у,.

Переменные интегрирования а, Д 5, и у определяются, исходя из физического смысла задачи. Так как метод поверхности зеркального изображения состоит в том, что для расчёта потенциала, создаваемого силами зеркального изображения, эмиттер заменяется поверхностью зеркального изображения, интеграл будем брать по той части поверхности

зеркального изображения, которая находится внутри эмиттера (рис.1). Переменные интегрирования рассчитываются, как значения параметров х1 и 7,, при которых поверхность зеркального изображения пересекает поверхность, задающую форму эмиттера, — = /(хя,ул).

1е-09 1в-09

Рис.1. Поверхность зеркального изображения.

Плотность заряда может быть представлена в виде: Я 1

4я" -*()2 + 0\> ~У\? + (2о -/0|»2 где Е — напряжённость электрического поля.

Потенциал, создаваемый силами зеркального изображения, представим, как интеграл по параметрам поверхности зеркального изображения:

(4),

Р У Я[ХК'Уго2п)

дх, ду1

с!х|ф,1

4да0 « £ л](х -хн)2 + (у-уп)2 +(г-г1()2

Потенциал, создаваемый поверхностью зеркального изображения, должен удовлетворять условию

V0{x,y,z)+Vln,{x,y,z)=0 (6),

на поверхности, где потенциал, создаваемый точечным зарядом, определяется по формуле:

= —!------4 (7).

^-ХГНУо-УТЛ^Г

Для расчёта потенциала была написана программа на Maple 8. Для конкретных конфигураций системы будет показано, что условие (6) выполняется с достаточной степенью точности.

Для проверки метода рассмотрена сферическая модель острия, позволяющая аналитически рассчитать потенциал, создаваемый силами зеркального изображения. Для расчётов были использованы величины, характерные для классического полевого диода (расстояние между катодом и анодом d-\-\0~2м, радиус кривизны вершины острия гй =М0"6л/). Проверка дала удовлетворительный результат: потенциал, создаваемый кривой зеркального изображения, и потенциал, рассчитанный аналитическим методом, совпали с точностью до 5%.

Метод поверхности зеркального изображения был применён для конфигураций сканирующего туннельного микроскопа и классического полевого диода. Эмиттер СТМ был аппроксимирован гиперболоидом вращения второго порядка. В расчётах были использованы характерные размеры микроскопа: расстояние между катодом и анодом d~2-КГ9м, радиус кривизны вершины острия г0 = Ы0~9л<. График потенциала, создаваемого поверхностью зеркального изображения в проекции у - 0, для рассматриваемой конфигурации представлен на рис.2.

Рис.2. Потенциал, создаваемый поверхностью зеркального изображения в проекции у = 0, для конфигурации СТМ.

Эмиттер классического полевого диода был аппроксимирован параболоидом вращения второго порядка. График потенциала, создаваемого поверхностью зеркального изображения в проекции у = 0, для рассматриваемой конфигурации представлен на рис.3.

Рис.3. Потенциал, создаваемый поверхностью зеркального изображения в проекции у = 0, для конфигурации классического полевого диода.

Для рассмотренных конфигураций СТМ и классического полевого диода показано, что условие (б) выполняется с точностью до 5%.

Четвёртая глава содержит численный эксперимент по расчёту электронных траекторий для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа с учётом сил зеркального изображения.

Электронные траектории были найдены из уравнений Лагранжа в криволинейной системе координат вытянутого эллипсоида вращения:

х = a sin 7jsh4 c°s <Р

■ у = a sin 7/sh£ sin <р (8).

z = a cos rfchg

Уравнения Лагранжа в системе координат вытянутого эллипсоида вращения с учётом инвариантности относительно координаты (р имеют вид:

±(dL\_dL_ d_( dL^

Ж{дт]) дт] сИ\д%

где функция Лагранжа, определяемая как разность кинетической и потенциальной энергий электрона:

\

ц

(9),

mv

L =--el

In

tg

f * \ 'TJo

•In

«If

(10),

где e — заряд электрона, V0 — прикладываемая разность потенциалов между электродами, t]0 — параметр, определяющий аппроксимацию острия.

В аналитическом виде уравнения (9) с функцией Лагранжа в виде (10) решить достаточно сложно, поэтому были применены численные методы. В данной работе использовался метод Рунге-Кутты 4 порядка, для расчётов была написана программа на Maple 8. На входе программы

задаются начальное положение частицы, её начальная" скорость, параметры острия и потенциал на поверхности Уй.

Как видно из рис.4, электронные траектории различны, что позволяет сделать вывод о необходимости учёта воздействия сил

зеркального изображения при моделировании острийных систем.

----

1.5ЯВ

I

16-09 59-10

4&-10 ' ' -2*10 ^ 20-10 ' ' 4*10 X

Рис.4. Траектории электрона: чёрная линия — без учёта сил зеркального изображения, серая линия — с учётом.

В приборах, основанных на применении полевой острийной эмиссии, невозможно абсолютно точно установить остриё, всегда существуют некоторые отклонения. Именно поэтому необходимо рассчитать изменения потенциала при вариациях граничных условий. Для конфигурации электронно-оптической системы была показана устойчивость электронных траекторий к вариациям граничных условий. Характерные

параметры системы, радиус кривизны острия г = 9-10"7Л1, расстояние

между электродами с? = 9-1СГ7л/. Подобные электронно-оптические

системы представляют особый интерес, так как дают возможность получить

пучки электронов малого сечения с большой плотностью тока, что

обеспечивает большую яркость получаемого изображения. Такие системы

14

применяются, например, в литографии. Эмиттер электронно-оптической

системы был аппроксимирован гиперболоидом вращения. Граничные условия задаются на острие и плоскости, следовательно, от оси симметрии может быть отклонено острие или плоскость. Задачу об отклонении острия несложно свести к задаче об отклонении плоскости. Для заданной конфигурации было решено уравнение Лапласа с граничными условиями на острие и на плоскости. Получено приближённое аналитическое решение

(параметр у г.пячан с vгIтn^l^ откппнр.нип ппппкпс.ти \с V = у

Расчёты показали, что при малых углах V изменение взаимодействия заряженных электродов незначительно (рис.5). Это позволяет сделать вывод об устойчивости взаимодействия проводящих электродов сложной конфигурации при вариациях граничных условий.

(11).

Рис.5. Траектории электронов: серая линия — аксиальный случай, чёрная — неаксиальный случай.

В заключении сформулированы и проанализированы выводы по результатам диссертации:

1. Построены математические модели распределения потенциала полевой эмиссии из острийных эмиттеров, формы которых аппроксимированы поверхностями вращения второго порядка.

2. Предложен новый метод расчёта потенциала с учётом сил зеркального изображения. В отличие от существующих методов, взаимодействие точечного заряда с электродом сложной конфигурации может быть рассчитано практически для любой аппроксимации острия,

3. Построено распределение потенциала, создаваемого силами зеркального изображения, для конфигураций сканирующего туннельного микроскопа и классического полевого диода. Показано, что условие, накладываемое на метод физической моделью, выполняется с достаточной степенью точности.

4. Построена математическая модель электронных траекторий для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа. Методами

. численного эксперимента показана адекватность физической модели.

5. Методами численного эксперимента показано, что модель электронных траекторий устойчива к вариациям граничных условий, что демонстрирует корректность решённой задачи.

6. Построена модель электронных траекторий с учётом воздействия сил зеркального изображения. Различие траекторий, рассчитанных с учётом и без учёта сил зеркального изображения, показывает необходимость учёта сил зеркального изображения в математических моделях полевой электронной эмиссии.

7. Создан комплекс программ для решения прикладных задач моделирования потенциала и электронных траекторий для полевых источников электронов.

В приложении приведены тексты прикладных программ, реализованных в математическом пакете Maple 8.

Публикации по теме диссертации:

1. Алексеева М.С. Расчёт электронных траекторий в сканирующем туннельном микроскопе. // Процессы управления и устойчивость. Труды XXX научной конференции. С. -Петербург, 1999, С. 199-202.

2. Ермошина М.С. Расчёт взаимодействия заряженной частицы с проводящим электродом сложной конфигурации. // Процессы управления и устойчивость. Труды XXXI научной конференции. С. -Петербург, 2000, С. 155-157.

3. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Field emission from tips with complex geometry: a new image-charge method. // Abstracts of 7-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2000. S. -Petersburg, 2000, P. 15.

4. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Field emission from tips with complex geometry: a new image-charge method. // Proceedings of the 7-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2000, p.39-42.

5. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Configuration stability of electron trajectories in electron-optical system. // Abstracts of 8-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2001. Saratov, 2001, p. 18.

6. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Configuration stability of electron trajectories in electron-optical system. // Proceedings of the 8-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2001, p.47-50.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 16.01.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3122. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

Оу'/Л-ОЬУЗ РНБ Русский фонд

2007-4 13545

2 ЯНВ 2ß!

о Чл > (Л <?. ->о <

~L>

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Физическая модель.

1.2. Аппроксимация формы эмиттера.

1.3. Методы расчёта потенциала.

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Математические методы расчёта потенциала.

1.3.3. Физические методы расчёта потенциала.

1.3.4. Выводы.

1.4. Методы расчёта электронных траекторий.

1.5. Выводы.

1.6. Постановка задачи.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛА МЕЖДУ ЭЛЕКТРОДАМИ.

2.1. Проведение оценки плотности объёмного заряда.

2.2. Моделирование потенциала для различных аппроксимаций конфигурации системы.

2.2.1. Расчёт потенциала в ортогональной системе координат.

2.2.2. Аппроксимации эмиттера гиперболоидом вращения.

2.2.3. Аппроксимация эмиттера параболоидом вращения.

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТЕНЦИАЛА, СОЗДАВАЕМОГО СИЛАМИ ЗЕРКАЛЬНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Построение двумерной математической модели.

3.2.1. Построение кривой зеркального изображения методами теории исключений.

3.2.2. Кривая зеркального изображения.

3.2.3. Метод кривой зеркального изображения.

3.3. Построение трёхмерной математической модели.

3.3.1. Построение поверхности зеркального изображения методами аналитической геометрии.

3.3.2. Поверхность зеркального изображения.

3.3.3. Метод поверхности зеркального изображения.

3.4. Проверка метода на примере сферической модели острии.

3.5. Применение метода для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа.

3.6. Применение метода для конфигурации классического полевого диода.

3.7. Выводы.

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТРАЕКТОРИЙ.

4.1. Расчёт траекторий точечных зарядов для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа.

4.2. Расчёт устойчивости электронных траекторий при вариациях граничных условий для конфигурации электронно-оптической системы.

4.3. Расчет траекторий электронов с учетом сил зеркального изображения.

4.4. Выводы.

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена построению математической модели полевой электронной эмиссии для острийных эмиттеров сложной конфигурации методами математического моделирования и численного эксперимента. В рамках модели решаются проблемы взаимодействия точечного заряда с электродом сложной конфигурации и расчёта траекторий зарядов для острийных структур.

Рассматриваемые в диссертационной работе задачи связаны с возросшим интересом к полевой эмиссии в связи с разработками некоторых типов плоских дисплеев, а так же различных приборов, использующих полевую электронную эмиссию [1]. Полевые источники электронов широко используются в вакуумных приборах, электронно-лучевых трубках, высокочастотных генераторах и т.д. Интерес к полевой эмиссии связан и с исследованиями поверхностей на молекулярном уровне с помощью электронных микроскопов на основе полевых электронных катодов, в частности, со сканирующим туннельным микроскопом (СТМ) и атомным силовым микроскопом (АСМ) [2-5]. На основе принципа действия СТМ создаются новые технологии, например, технология производства компьютерных жёстких дисков "millipede".

Существующие методы проектирования и оптимизации электронно-оптических систем, как правило, используют модели, не учитывающие свойств источника электронов, что существенно ограничивает их возможности. Создаются и используются модели полевой эмиссии для плоских структур, т.е. электроды аппроксимируются плоскими идеальными проводниками [6,7]. Построение математических моделей полевой электронной эмиссии для острийных эмиттеров сложной конфигурации позволит на качественном и количественном уровне интерпретировать экспериментальные данные и выработать рекомендации по практической реализации приборов и устройств, основным элементом которых являются острийные структуры. Именно поэтому задача построения математических моделей для исследования используемых на практике острийных систем, а так же нахождения взаимодействия точечного заряда с электродом сложной конфигурации и расчёта траектории заряда является актуальной.

Цель работы. Целью диссертационной работы является создание математических моделей, адекватно описывающих явление полевой электронной эмиссии из острийных эмиттеров. Важнейшей составляющей моделирования стало нахождение взаимодействия точечного заряда с электродом сложной конфигурации и расчёт электронных траекторий.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать математическую модель распределения потенциала с учётом сил зеркального изображения для острийных полевых эмиттеров сложной конфигурации.

2. На основе математической модели рассчитать электронные траектории для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического моделирования и численного эксперимента.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель распределения потенциала с учётом сил зеркального изображения для острийных полевых эмиттеров сложной конфигурации.

2. Расчёт электронных траекторий для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа с учётом сил зеркального изображения.

3. Комплекс программ для решения прикладных задач моделирования потенциала и электронных траекторий для полевых источников электронов.

Научная новизна работы. Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы, получены впервые и являются новыми.

Практическая значимость. Разработанные математические модели, учитывающие сложную форму полевого эмиттера электронов, позволят проводить сравнение экспериментальных данных с выводами теории как на качественном, так и на количественном уровне, в то время как при использовании теории полевой эмиссии из эмиттеров плоской конфигурации сравнение может осуществляться только качественно. Предложенные модели позволят усовершенствовать работу приборов, для которых острийные структуры являются основным элементом (СТМ, АСМ, высокочастотные генераторы, плоские дисплеи и т.д.).

Опубликованные работы. По теме диссертации опубликовано 6 работ

8-13].

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на VII и VIII международных конференциях Beam Dynamics and Optimization (Санкт-Петербург, 2000г, Саратов, 2001 г), на XXX и XXXI всероссийских конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 1999, 2000гг), а также на научных семинарах кафедры Моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной Математики - Процессов Управления Санкт-Петербургского Государственного Университета.

4.4. Выводы

В результате моделирования электронных траекторий были получены следующие результаты:

1. Рассчитаны траектории электронов для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа. Уравнение Лагранжа решено методом Рунге-Кутты 4 порядка.

2. Показана устойчивость электронных траекторий при вариациях граничных условий для конфигурации электронно-оптической системы, используемой в литографии.

3. Получено аналитическое выражение для потенциала в задаче с отклонением одного из электродов, которое может быть использовано при моделировании систем с несимметрично расположенными электродами.

4. Для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа рассчитаны электронные траектории с учётом сил зеркального изображения. Различие электронных траекторий, рассчитанных с учётом и без учёта сил зеркального изображения, подтверждает тот факт, что для расчёта характеристик различных приборов, использующих полевую эмиссию, необходимо учитывать воздействие сил зеркального изображения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предложены математические модели нолевой электронной эмиссии из острийных структур. Основные результаты математического моделирования, численных расчетов и численных экспериментов можно резюмировать следующим образом:

1. Построены математические модели полевой электронной эмиссии из острийных эмиттеров, формы которых аппроксимированы поверхностями вращения второго порядка.

2. Предложен новый метод расчёта распределения потенциала с учётом сил зеркального изображения. В отличие от существующих методов, взаимодействие точечного заряда с электродом сложной конфигурации может быть рассчитано практически для любой аппроксимации острия.

3. Построено распределение потенциала, создаваемого силами зеркального изображения, для конфигураций сканирующего туннельного микроскопа и классического полевого диода. Показано, что условие, накладываемое на метод физической моделью, выполняется с достаточной степенью точности.

4. Построена математическая модель электронных траекторий для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа. Методами численного эксперимента показана адекватность физической модели.

5. Методами численного эксперимента показано, что модель электронных траекторий устойчива к вариациям граничных условий, что демонстрирует корректность решённой задачи.

6. Построена модель электронных траекторий с учётом воздействия сил зеркального изображения. Различие траекторий, рассчитанных с учётом и без учёта сил зеркального изображения, показывает необходимость учёта сил зеркального изображения в математических моделях полевой электронной эмиссии.

7. Создан комплекс программ для решения прикладных задач моделирования потенциала и электронных траекторий для нолевых источников электронов.

1. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. // СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1998, с.276.

2. Бинниг Дж., Рорер Г. Растровый туннельный микроскоп // В мире науки, 10 (1985), с.26-33.

3. Эдельман B.C. Сканирующая туннельная микроскопия. Обзор. // Приборы и техника эксперимента, 5 (1989), с.25-49.

4. Эдельман B.C. Развитие сканирующей туннельной микроскопии. // УФН, 161 (1991), №3, с. 168-171.

5. Руска Э. Развитие электронного микроскопа и электронной микроскопии. // УФН, 154 (1988), №2, с.243-259.

6. Модинос А. Авто-, термо- и вторично-электронная эмиссионная спектроскопия. // М.: Наука, 1990, с.320.

7. Добрецов Л.Н., Гомоюнова М.В. Эмиссионная электроника. // М.: Наука, 1966, с.564.

8. Алексеева М.С. Расчёт электронных траекторий в сканирующем туннельном микроскопе. // Процессы управления и устойчивость. Труды XXX научной конференции. С. -Петербург, 1999, с.199-202.

9. Ермошина М.С. Расчёт взаимодействия заряженной частицы с проводящим электродом сложной конфигурации. // Процессы управления иустойчивость. Труды XXXI научной конференции. С. -Петербург, 2000, с.155-157.

10. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Field emission from tips with complex geometry: a new image-charge method. // Abstracts of 7-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2000. S. -Petersburg, 2000, p. 15.

11. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Field emission from tips with complex geometry: a new image-charge method. // Proceedings of the 7-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2000, p.39-42.

12. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Configuration stability of electron trajectories in electron-optical system. // Abstracts of 8-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2001. Saratov, 2001, p. 18.

13. Denissov V.P., Ermoshina M.S. Configuration stability of electron trajectories in electron-optical system. // Proceedings of the 8-th International Workshop: Beam Dynamics and Optimization 2001, p.47-50.

14. Великая революция в мире малого // Chip, 6 (2002), с.22.

15. Fowler R.H., Nordheim L. Electron emission in intense electric field // Proceedings of Royal Society A, 119 (1928), № 781, p. 173-181.

16. Spindt C.A., Holland C.E., Schwoebel P.R., Brodie I. // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 16 (1998), p.758.

17. Varajun' M.I., Denissov V.P. Mathematical modeling of the field electron emission from tips emitters. // Proceedings of the 6-th International Workshop: BDO-99. Saratov, 1999, p.51-54.

18. Nicolaescu D. Physical basis for applying the Fowler-Nordheim J-E relationship to experimental I-V data // Journal of Vacuum Science and Technologies В, 11 (1993), №2, p.392-395.

19. Modinos A., Xanthahis J.P. // Surface Science, 249 (1991), p.373.

20. Wei L., Baoping W., Li G., Hanchun Y., Yan T. Analysis of the emission performance of field emitter with Laplace interpolation method // Applied Surface Science, 161 (2000), p. 1-8.

21. Kantorovich L.N., Foster A.S., Shluger A.L., Stoneham A.M. Role of image forces in non-contact scanning force microscope images of ionic surfaces // Surface Science, 445 (2000), p.283-299.

22. Miskovsky N.M., Park S.H., He J., Cutler P.H. Energy exchange processes in field emission from atomically sharp metallic emitters // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 11 (1993), №2, p.366-371.

23. Georgieva S., Vichev D., Drandarov K. // Vacuum, 47 (1996), №10, p.l 1431144.

24. Egorov N.V., Vinogradova E.M. Solution of boundary-value problem in bispherical coordinates // Proceedings of 3-th Inter. Workshop: BDO-96, S.Petersburg, 1996, p.274-278.

25. Mesa G., Dobado-Fuentes E., Saenz J.J. Image charge method for electrostatic calculations in field-emission diodes // Journal of Applied Physics, 79 (1996), №1, p.39-43.

26. Y. Ohkavara, T. Naijo, T. Washio, S. Oshio, II. Ito, II. Saitoh. Field emission properties of AlZnO whiskers modified by amorphous carbon and related Films // Japanese Journal of Applied Physics, 40 (2001), №12, p.7013-7017.

27. Jensen K.L., Yater J.E. Advanced emitters for next generation rf amplifiers // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 16 (1998), №4, p.2038-2049.

28. Hagmann M.J., Valeyev V.G. // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 18 (2000), №2, p.l 119-1121.

29. Lang N.D., Kohn W. Theory of metal surfaces: induced surface charge and image potential // Physical Review B, 7 (1973), №8, p.3541-3550.

30. Lang N.D., Williams A.R. Theory of atomic chemisorption on simple metals // Physical Review B, 18 (1978), №2, p.616-636.

31. Miwa R.H., Srivastava G.P. Atomic geometry, electronic structure and image state for the Si( 1 1 1) In( 4 x 1) nanowire // Surface Science, 473 (2001), p.l 23-132.

32. Вольф Г.В., Фёдоров Д.В. // Физика Твёрдого Тела, 43 (2001), №3, с.385-390.

33. Lindell I.V., Dassios G., Nikoskinen K.I. Electrostatic image theory for the conducting prolate spheroid // Journal of Physics D: Applied Physics, 34 (2001), p.2302-2307.

34. Pan Li-H., Sullivan Т.Е., Pcridier V.J., Cutler P.M., Miskovsky N.M. Three-dimensional electrostatic potential, and potential-energy barrier, near a tip-base junction // Applied Physics Letters, 65 (1994), №17, p.2151-2153.

35. Tatarenko N.I., Solntsev V.A., Rodionov A.N. // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 16 (1998), №6, p.647.

36. Mesa G., Saenz J.J. Three-dimensional image interaction for nonsmooth emitters // Applied Physics Letters, 69 (1996), №8, p. 1169-1171.

37. Kiejna A. Stabilized jellium-simple model for simple metal surfaces // Progress in Surface Science, 61 (1999), p.85-125.

38. Garcia-Hernandez M., Bagus P.S., Illas F. A new analysis of image charge theory // Surface Science, 409 (1998), p.69-80.

39. Kiejna A. // Physical Review B, 43 (1991), p. 14695.

40. Hirai Y. // Surface Science, 287/288 (1993), p.605.

41. Purcell S.T., Binh V.Th., Baptist R. // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 15 (1997), p.1666.

42. Borisov A.G., Kazansky A.K. Comment on the paper by M. Garcia-Hernandez, P.S. Bagus, F. Illas, "A new analysis of image charge theory" // Surface Science, 429(1999), p.345-347.

43. Garcia-Hernandez M., Bagus P.S., Illas F. Reply to the comment by A.G. Borisov, A.K. Kazansky // Surface Science, 429 (1999), p.348-350.

44. Forbes R.G. The electrical surface as centroid of the surface-induced charge // Ultramicroscopy, 79 (1999), p.25-34.

45. Joyce P., Krzyzewski Т., Steans P., Bell G. // Surface Science, 492 (2001), №3, p.345-353.

46. Garcia N., Rohrer H. // Journal of Physics: Condensed Matter, 1 (1989), p.3737.

47. Shifren L., Akis R., Ferry D.K. Correspondence between quantum and classical motion: comparing Bohmian mechanics with a smoothed effective potential approach // Physics Letters A, 274 (2000), p.75-83.

48. Hoffstaetter G.H. // Ultramicroscopy, 81 (2000), p.l 11-121.

49. Ximen J., Ximen H., Zhou Li // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 11 (1993), №1, p.275-280.

50. Wang C., Wang В., Zhao H., Sin J.O., Poon M.C. Numerical modeling of the disk-edge field emitter triode // Journal of Vacuum Science and Technologies B, 15 (1997), №2, p.394-422.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. //М.: Наука, 1978, с.190-193.

52. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. // СПб.: изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2001.

53. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. 5 том. // М.: Мир, 1977.