автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование электродинамического ускорения и торможения лайнера в устройстве обострения мощности

л

На правах рукописи

РОДИН Александр Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО УСКОРЕНИЯ И ТОРМОЖЕНИЯ ЛАЙНЕРА В УСТРОЙСТВЕ ОБОСТРЕНИЯ МОЩНОСТИ

Специальность 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-2 ДЕК 2010

Москва - 2010

004615042

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Галанин Михаил Павлович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,

профессор Кувыркин Георгий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Фаворский Антон Павлович

Ведущая организация: Национальный исследовательский

ядерный институт «МИФИ»

Защита состоится " ЗУ " 2010 года в Ц_ ч. (¿0 мин. на

заседании диссертационного сбвета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан" 1% " йТС^г^^ц^ 2010

года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к. ф.-м. н. ¿/{а О.В. Щерица

Общая характеристика работы

Постановка общей задачи. Использование импульсного преобразования электромагнитной и кинетической энергии заняло прочное место в энергетике физического эксперимента, начиная с цикла работ П.Л. Капицы, который и разработал первые электромашины ударного действия. Эти эксперименты позволили продвинуться в область физики высоких плотностей энергии благодаря созданию взрывных магнитокумулятивных генераторов (ВМГ), основанных на предложении А.Д. Сахарова. Обратимый двойной цикл преобразования электромагнитной энергии в кинетическую и обратно мог обещать при определенных условиях реализацию резкого увеличения плотности электромагнитной энергии или развиваемой мощности электрических импульсов. Такие попытки ранее предпринимались. Реализуемая подобным образом генерация мощных электрических импульсов во внешней цепи является, по-видимому, более сложной задачей, в особенности если при этом стремиться к высокой величине коэффициента полезного действия всего устройства.

Сжатие быстрых лайнеров в последнее время рассматривается как возможный источник генерации импульсов рентгеновского излучения с энергией масштаба десятков МДж. ТРИНИТИ, НИИЭФА, РНЦ «Курчатовский Институт» и ВНИИТФ разрабатывают проект «Байкал»1 на основе индуктивных накопителей энергии, которые в процессе передачи энергии от ступени к ступени с увеличением мощности генерируют электрический импульс с параметрами, необходимыми для сжатия лайнеров.

Установка «МОЛ» (Магнитный Обостритель Лайнер), создаваемая в ТРИНИТИ (её схема приведена на рис. 1), предназначена для исследования работы всех ступеней модуля установки "БАЙКАЛ" и генерации электрического импульса мегаджоульного уровня1. Первые два каскада усиления мощности электрического импульса для «МОЛ» (индуктивный накопитель и магнитный усилитель) созданы и введены в строй. Третьим каскадом обострения мощности является магнитный компрессор (МК). Работы по МК начаты в 2001 году.

В отличие от ВМГ, в котором рабочая зона сжатия магнитного потока

1 Проект «Байкал». Отработка схемы генерации электрического импульса / Э.А. Азизов [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2001. №. З.С. 3-17.

размещена непосредственно внутри разгоняемой оболочки, в МК для вывода тока на внешнюю нагрузку к лайнеру необходимо подключить неподвижные токовые шины. Это обусловило выбор двойной полосковой линии со сходящимися пластинами лайнера в качестве ускорителя (показано на рис. 2). Данная геометрия устройства имеет следующие преимущества:

- поскольку сжатие потока производится двумя движущимися во встречном направлении проводниками, которые подлежат замене в каждом импульсе, то остальные элементы испытывают умеренные нагрузки в сравнительно «мягком» процессе разгона и не разрушаются;

- часть магнитного потока ускоряющего поля пронизывает внутреннюю сжимаемую полость между пластинами, как показано на рис. 2.6, и может быть использована как начальный сжимаемый поток, поэтому имеется возможность обойтись без специальной системы создания начального магнитного поля.

На рис. 2.а приведены размеры (в мм) экспериментального макета, построенного в ТРИНИТИ, составляющего четверть полного устройства МК1.

Отметим сравнительную простоту изготовления лайнера и возможность его точной установки с помощью торцевого натяжного устройства. Конструкция контактных площадок на торцах обеспечивает переход тока лайнера к неподвижным токоподводам, однако ставит задачу предотвращения обрыва ленты (и токовой цепи лайнера) при ее удлинении в процессе ускорения.

Актуальность проблемы. Моделирование электродинамического разгона с использованием простой модели, в которой лайнер считается плоской и абсолютно жесткой пластиной, имеет неплохое соответствие с результатами экспериментов2. Во всяком случае, в численных расчетах по данным моделям с сосредоточенными параметрами (с учетом правильной зависимости поведения индуктивности на базе разгона) удается определить величину скорости. Точность расчетов скорости составляет 100 м/с при ее абсолютной величине V- 1 км/с, а время схождения пластин можно определить с точностью до 10 мкс при времени ускорения 100 - 120 мкс для лайнеров с различной шириной (21 - 25 см). Но одного этого соответствия недостаточно для оптимизации режимов работы магнитного компрессора, предназначенного для генерации коротких импульсов тока.

2 Power Peaker Based on Plate MC-Generator Driven by Electrical Current / V.P. Baktin fet al.] // Ninth Int. Conf. On Megagauss Magnetic Field Generation and Related Topics: Proceeding. Sarov: VNII£F, 2004. P. 324 - 330.

Рис. 1. Схема установки МОЛ

3 - Конденсаторная батарея

4 - Магнитный

компрессор 5 - Повышающий

усилитель

2 - Индуктивный

накопитель

прерыватель напряжения 6 - Плазменный

прерыватель тока 7 - Пультовая

лента-лайнер <1=2 мм -поместить в индуктор перед работой натяжение ^ Виток индуктора ускоряющего поля а В уск У///, о

1 я С-1 1 <1 ч у ^Г ----- /1 А ----- ¡)<8> 0 ®

б индуктор

Рис. 2. а) Конструкция ускорительного витка и лайнера (лайнер вынут из витка индуктора), б) поперечное сечение сечение генератора в собранном виде, указано направление протекания токов, направление ускорения лайнеров и конфигурация ускоряющего магнитного поля.

Режим компрессии магнитного поля предъявляет особые требования к строгой геометрической форме зазора между пластинами в момент сжатия магнитного поля. Для короткого генерируемого импульса отдача кинетической энергии тонкого лайнера должна проводиться одновременно по всей его плоскости. Искажение плоской формы приводит к неодновременному процессу торможения различных участков пластин и растягиванию выходного электрического импульса во времени. С этой точки зрения желательно, чтобы амплитуда деформации пластины не превышала ее толщины. Однако величина этой амплитуды будет определяться особенностями физического ме-

5

ханизма ускорения или, что более вероятно, неустойчивостями данного объекта, имеющего конечные размеры. Появление таких неустойчивостей обнаружено экспериментально.

Отметим, что экспериментальные результаты, приведенные разработчиками МК в опубликованных работах3, показали удовлетворительное поведение ленты при ускоряющих токах, близких к рабочим режимам 2.5-3 МА. Более того, на фотографиях теневой киносъемки лайнера, показанных на рис. З.а-б, видно, что ленты лайнера в продольном сечении двигаются параллельно друг другу, при этом профиль лайнера вплоть до момента сжатия магнитного потока остается относительно тонким и его видимая толщина по оценке не превышает 10 мм.

Рис. 3. а,б - кадры теневой киносъемки лайнера; в - следы границы ленты, падающей на контактную наклонную поверхность в торце ускорителя

Информация о движении лайнера в поперечном сечении получена по измерению «следов» пластины лайнера (рис. З.в), падающей на клиновые скосы, расположенные в зоне закрепления концов ленты. Из анализа «следов» следует, что границы деформируемой ленты в процессе ускорения заметно приближаются к средней плоскости витка. Такое сужение ленты может быть связано, например, с заворачиванием краев лайнера. Заворачивание может происходить из-за естественного процесса «пинчевания» тока, однако за-

3 Галанин М.П., Потоцкий А.П. Моделирование разгона и торможения лайнера в устройствах обострения мощности // Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50, №2. С. 256 - 264. 6

травочный стартовый механизм этого движения, по-видимому, обеспечивает неоднородность ускорения пластины, изначально находящейся у поверхности витка.

Из приведенной информации видно, что характер движения пластины лайнера существенно отличен от простых представлений ускорения проводящего листа с однородным распределением плотности тока. Хорошо известно, что распределение тока по пластине с конечной шириной неоднородно. В этом же убеждают результаты вычисления индуктивности ускорителя МК2, в которых отмечена резкая концентрация плотности тока на краях ленточного лайнера. Однако вопрос о реальной картине деформации пластинчатого лайнера во время ускорения до самого последнего времени оставался открытым.

Быстротечность и условия проведения эксперимента затрудняют получение более подробной информации о движении ленты в поперечном сечении компрессора и вблизи контактных поверхностей. Анализ самой деформированной ленты после проведения экспериментального запуска МК мог бы в значительной степени прояснить, как именно развивался процесс ее деформирования, но большая часть ленты в конце эксперимента уничтожается (превращается в порошок). На рис. 4 показана фотография одного из уцелевших фрагментов лайнера: анализ такого искореженного куска металла не позволяет сделать однозначных выводов о процессе деформирования лайнера на различных этапах экспериментального запуска МК.

В силу перечисленных выше причин математическое моделирование и вычислительный эксперимент являются практически единственным способом получения подробной информации о движении ленты лайнера в магнитном компрессоре.

Целью диссертации является разработка математических моделей движения лайнера, их программная реализация и численное моделирование электромагнитного ускорения и торможения лайнера в магнитном компрессоре.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие основные задачи:

1. Построение двумерных математические моделей процессов ускорения и торможения лайнера, соответствующих различным сечениям магнитного компрессора.

2. Разработка и программная реализация вычислительных алгоритмов для построенных математических моделей.

3. Проведение цикла вычисли- тельных экспериментов на основе

7

разработанного программного комплекса, сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными.

Рис. 4. Фрагмент ленты лайнера после проведения экспериментального запуска МК

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования и вычислительного эксперимента, основанные на применении теории электродинамики, теории механики сплошных сред, проекци-онно-сеточных методов и метода возможных перемещений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена строгостью используемого математического аппарата и подтверждена сравнением результатов численного моделирования с известными данными.

Научная новизна и практическая значимость. Разрабатываемый магнитный компрессор пластинчатого типа является оригинальным предложением российских ученых. Несмотря на схожие принципы генерации выходного импульса тока (сжатие магнитного потока) с ВМГ, используемыми достаточно широко, МК имеет принципиальные отличия и свои особенности, обусловленные способом разгона лайнера и его геометрией. Выполненные работы и полученные результаты являются оригинальными в силу уникальности исследуемого объекта.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент по-

зволяюг восполнить недостаток экспериментальных данных об особенностях движения лайнера в магнитном компрессоре. Кроме того, вычислительный эксперимент является гибким и удобным инструментом для проведения возможных оптимизационных расчетов с целью выбора наилучших значений параметров МК.

На защиту выносятся следующие положения:

• Разработанные автором пространственно двумерные математические и численные модели, соответствующие продольному сечению магнитного компрессора, в рамках которых лайнер рассмотрен в приближениях упругого тела, упругопластического тела (для случая произвольных деформаций) и вязкой несжимаемой жидкости, а также модель движения упругопластического лайнера в поперечном сечении магнитного компрессора.

• Результаты численного моделирования ускорения и торможения лайнера в продольном и поперечном сечениях магнитного компрессора с использованием различных приближений для описания движения лайнера.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих семинарах и конференциях: конференция «Студенческая научная весна-2007» (МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2007); V International Seminar on Mathematical Models and Modeling in Laser-Plasma Processes (Москва, 2008); VI International Seminar on Mathematical Models and Modeling in Laser-Plasma Processes (Budva, Montenegro, 2009); международная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» (Москва, 2009); семинар ТРИНИТИ (Троицк, 2009); VII International Seminar on Mathematical Models and Modeling in. Laser-Plasma Processes (Москва, 2010); научная сессия НИЯУ МИФИ-2010 (Москва, 2010); семинар отдела №11 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Москва, 2010); 15th International Conference "Mathematical Modelling and Analysis" (Druskininkai, Lithuania, 2010); Fourth International Conference "Computational Methods in Applied Mathematics" (Poznan, Poland).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 14 печатных работах, в том числе в двух статьях в изданиях из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ [13, 14], в шести препринтах [1 -3, 7 - 9] и в шести тезисах докладов [4-6,10 - 12].

Личный вклад соискателя. Все исследования в диссертационной работе проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа представлена на 166 страницах и содержит 86 иллюстраций. Список литературы содержит 79 наименований.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект №09-01-00151).

Содержание работы

П!

Рис. 5. Характерные схемы сечений пространственной области: плоскостью у = const (показаны электротехнические цепи устройства); б - плоскостью z = const

Глава 1 посвящена математическим моделям, использованным для описания движения лайнера в компрессоре. В разделе 1.1 приведена информация о структуре МК, принципах его работы и перечислены предположения, заложенные в двумерные приближения. В работе использованы следующие модели: продольная модель, соответствующая сечению (рис. 5.а) исходной пространственной области плоскостью у = const (все переменные не зависят от «у»), и поперечная модель, соответствующая сечению (рис. 5.6) плоскостью z = const (все переменные не зависят от «z»). В моделях учтена «эффективная» протяженность системы в третьем направлении (/ и /_ соответственно), которая в значительной степени определяет процесс перекачки энергии из внешней электрической цепи в кинетическую энергию лайнера. Здесь и далее лайнер, индуктор и относящиеся к ним элементы и величины помечены соответствующими индексами А и В.

В разделе 1.2 рассмотрена математическая модель электродинамических

процессов и показана обоснованность использования МГД-приближения

уравнений Максвелла. В безразмер- ном виде данные уравнения имеют

ю

следующий шя4:

^=rot([v*H]-E),

гоШ = 47гаЕ = 4ж}, <ИуН=0.

Здесь, Е и Н - напряженности электрического (б системе координат, где вещество покоится) и магнитного полей, V - вектор скорости движения точек среды (в данном случае лайнера), j - плотность тока.

В поперечной модели для векторных переменных выбраны следующие приближения: Я = (Нх,Ну,0)т, Е = (0,01 = (0,<Ш1', у = (Рх,иу,0)г,

А = (0,0, Л). Из уравнений Максвелла получены скалярные уравнения для векторного потенциала А5:

АА = 0 в диэлектрике, где I£ - ток, протекающий по к -му проводнику (индуктору или лайнеру),

D/Dt = d/dt + (v,V) - производная по времени при фиксированных лагранже-вых координатах (o/ct - производная при фиксированных эйлеровых переменных).

В продольной модели для векторных переменных выбраны следующие

приближения: Н = (0,Я,0)г, E = (Ex,0,Es)T, l = UxAjz)r, v = (üJC,0,ü=)r.

Геометрические особенности продольного сечения позволяют выразить напряженность магнитного поля в диэлектрических подобластях через значения полных токов, протекающих через проводники. Значение Н в проводниках задается уравнением:

4 Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. М.: Наука, Физмат-лит, 1995. 320 с.

5 Галанин М.П., Храмцовский С.С. Решение пространственно трехмерных задач электромагнитного ускорения в системе длинных проводников. М., 1998. 20 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 29).

Ала--ja—dS+It =ДЛ в проводниках,

S,

Для описания внешних электрических цепей использованы уравнения Кирхгоффа, в которые входят слагаемые, обеспечивающие связь процессов во внешних цепях с процессами внутри ускорителя.

Раздел 1.3 посвящен различным математическим моделям движения лайнера, в которых он рассмотрен как упругое тело, как упругопластическое тело или как вязкая несжимаемая жидкость. В разделе приведена информация об используемых тензорах деформаций и напряжений, а также их производных, причем, следуя работе С.Н. Коробейникова6, особое внимание уделено свойству объективности рассматриваемых величин.

В лагранжевых переменных уравнения движения деформируемого тела имеют следующий вид:

°ра = Ча.(8+5-Чаи)+0р/рГ.

Здесь Vа --—к^. - оператор дифференцирования по лагранжевым координатам (возможно применение как глобальных, так и текущих, координат), и, V - вектор перемещений и вектор скорости среды (точек лайнера), и - вектор ускорения, f - вектор объемных сил, действующий на тело (в рассматриваемой задаче - это сила Лоренца, { = Ц х Н]), °р - плотность вещества в начальный момент времени, Б - второй тензор условных напряжений Пиолы-Кирхгоффа.

Для термоупругого лайнера использовано следующее определяющее соотношение:

Б^АЕ^^мЕу-МТ-Т^,

где Я, ц - коэффициенты Ламе, Т^ - температура в начальный момент времени, Р = (ЗЯ+2/л)ат, ат - коэффициент линейного теплового расширения. Поскольку в процессе движения лайнера возникают значительные деформации, то в тензоре деформаций Грина-Лагранжа учтены квадратичные слагаемые:

Б..Л V 2

ди. ди. ди ди,

_г_ +_¿. +_к._к.

да . да. да. да . 3 ' ' 1)

В данной модели все уравнения записаны в глобальной лагранжевой

6 Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: изд-во СО РАН, 2000. 262 с. 12

системе координат, соответствующей конфигурации тела в начальный момент времени.

Для упругопластического лайнера использована теория пластического течения для случая произвольных деформаций тела, которая включает в себя следующие предположения6:

- тензор скорости деформаций |1 (с компонентами —)

V 2{8ху дх,

можно представить в виде суммы упругой (Iе и пластической <1^ составляющих:

- определяющее соотношение имеет вид:

где - производная Хилла тензора напряжений Коши, СЕ - тензор коэффициентов жесткости тела;

- пластическая составляющая тензора скоростей деформаций определена по ассоциативному закону пластического течения:

д/ 08

где в' - девиатор тензора напряжений с компонентами ¡'у ='гу ' ^

имеет смысл множителя Лагранжа, / - функция текучести Мизеса.

В данной модели все уравнения записаны в текущей лагранжевой системе координат, использована функция текучести для тела с изотропным упрочнением.

Модель вязкой несжимаемой жидкости основана на системе уравнений Навье-Стокса:

сУУ V = 0.

Здесь р - гидродинамическое давление, г| = р V - коэффициент динамической вязкости, у - коэффициент кинематической вязкости, второе уравнение задает несжимаемость среды.

В разделе 1.4 рассмотрены уравнения баланса электромагнитной энергии, механической и внутренней энергии, а также полной энергии в рассматриваемой системе.

Глава 2 посвящена численным моделям движения лайнера магнит-

13

ном компрессоре.

В разделе 2.1 приведена информация о триангуляции расчетной области: для продольной модели расчетная область соответствует половине продольного сечения (сечение имеет одну ось симметрии), сетка строится только в проводящих подобластях (в диэлектрике магнитное поле выражается через токи во внешних цепях); для поперечной модели расчетная область соответствует одной четвертой части поперечного сечения, сетка строится во всей области (на рис. 6 показана сетка в один из моментов времени для расчета с упругопластическим лайнером). Для триангуляции использована программа Спс1<1ег20, которая позволяет сгущать сетку в заданных подобластях7. Описаны алгоритмы перестройки сетки в диэлектрической подобласти, по которой движется лайнер.

В разделе 2.2 рассмотрена численная модель электродинамических процессов. Для дискретизации математических уравнений применен метод Га-леркина-Петрова с использованием следующих пробных функций: стандартные кусочно-линейные функции срп кусочно-постоянные функции , определенные на ячейках Дирихле и функции , кусочно-постоянные в пределах

сеточного треугольника. Для дискретизации уравнений внешних цепей использована неявная разностная схема; получившиеся уравнения решаются совместно с уравнениями для векторного потенциала (поперечная модель) или напряженности магнитного поля (продольная модель), что обеспечивает самосогласованность задачи.

В разделе 2.3 рассмотрены численные модели, описывающие движение лайнера. Для получения дискретных уравнений в моделях упругого и пластического лайнера применен принцип возможных перемещений:

Г (р\1-0р/р{)-5\1ас= \ V .(в+Б-У и)-8псЮ.

о0 од а а

В момент времени / + Д/ данный принцип можно представить в следующем виде6:

где - компоненты тензора деформаций в момент времени / + Д?, 1+А'Я

7 И.А. Щеглов. Программа для триангуляции сложных двумерных областей 0псИег20. М., 2008. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 60).

14

- виртуальная работа внешних сил.

Для вычисления компонент второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгоффа на новом шаге по времени использованы инкременталь-

ные аналоги определяющих соотношений и инкрементальные аналоги уравнений, связывающих между собой различные производные по времени тензоров напряжений Коши и Пиолы-Кирхгоффа.

После дискретизации уравнений по пространству с использованием конечных элементов первого порядка получены линеаризованные уравнения движения в матричном виде:

М'+л'и + 'ки = '+А,11-'Р,

где М - матрица масс, I) - вектор приращений узловых перемещений, - вектор внешних сил, 'Р - вектор внутренних сил. Для дискретизации данных уравнений по времени использован метод Ньюмарка.

Рис. 6. Сетка для упругопластического лайнера (часть расчетной области)

В модели упругопластического лайнера для вычисления приращений пластической деформации применен метод дополнительных деформаций, в котором непосредственно использована информация о кривой деформирования материала лайнера, полученная в эксперименте.

Для дискретизации уравнений Навье-Стокса в модели жидкого лайнера применен метод Галеркина-Петрова с использованием конечных элементов первого (давление считается функцией кусочно-постоянной в пределах сеточного треугольника) и второго порядка (давление считается функцией кусочно-линейной в пределах сеточного треугольника).

В разделе 2.4 приведена информация о структуре программного комплекса, написанного на языке Fortran.

В главе 3 представлены результаты моделирования движения лайнера в магнитном компрессоре.

В разделе 3.1 приведены сведения о физических и геометрических параметрах задачи. В разделе 3.2 обсуждены имеющиеся экспериментальные данные.

В разделе 3.3 показаны результаты вычислительных экспериментов для поперечного сечения: сначала рассмотрены расчеты без замыкания цепи лайнера, а потом - расчеты с замыканием цепи. На рис. 8-10 приведены положения лайнера в различные моменты времени для расчетов с использованием разных моделей. Расчетная область соответствует одной четвертой части всего поперечного сечения (рис. 5.6), т.е. показана половина одной ленты. От-

16

тенками серого показана скорость по оси «х». Единица обезразмеренного времени соответствует 10"3 с, единица обезразмеренной скорости - 100 м/с.

0.8

0.6

0.4

0.2

'УХ1

1-0.5 -1 1-1.5 1-2 в-2.5

1-3

-3.5 ¡-4 1-4.5

¡"5

-5.5 -6 ¡-6.5 1-7 -7.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 8. Положение упругого лайнера в моменты времени (сверху вниз) 1=0.0,1=0.0524,1=0.0790,1=0.0980,1=0.1240,1=0.1455

0 0.2 0.4 0

-8.11236

-8.1687

-8.33515

Рис. 9. Положение жидкого лайнера в моменты времени (сверху вниз) 1=0.0, ¡=0.0520,1=0.0790,1=0.0980, 17 1=0.1230^=0.1495

Из полученных результатов видно, что расчетная форма лайнера в процессе движения существенно зависит от выбранной модели: по упругому лайнеру бегут волны (рис. 8); в расчетах с жидким и пластическим лайнером центральная часть пластины совершает плоскопараллельное движение, при этом за счет деформации краев ширина лайнера уменьшается. Эти характеристики движения согласуются с экспериментальными данными. Процесс деформации краев пластины для двух моделей происходит по-разному: в жидком лайнере наблюдается расплющивание краев (рис. 9); края пластического лайнера образуют отчетливый загиб (рис. 10). В то же время интегральные характеристики: скорость и координата центра масс лайнера, полная ускоряющая сила, сила тока в цепях индуктора и лайнера - совпадают с небольшой погрешностью для разных моделей (рис. 7).

В расчетах без замыкания цепи лайнера наблюдалось сжатие магнитного потока, которое приводило к торможению ленты лайнера. Но в данных расчетах сжимаемый магнитный поток не успевал полностью остановить лайнер и расчеты прекращались, когда лайнер достигал нижней части расчетной области (вступал в контакт со встречно летящей пластиной). Замыкание цепи приводит, как и полагалось из исходных предпосылок3, к появлению более мощного сжимаемого магнитного потока внутри лайнера и полному торможению пластины (за исключением ее краев в жидком и пластическом лайне-

ре).

0.6 — шмшшш

0.8

X

0.4

■маннам

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 10. Положение упругопластического лайнера в моменты времени (сверху вниз) 1=0.0,1=0.0520,1=0.0760,1=0.0995,1=0.1235,1=0.1355 В работе рассмотрены две геометрические конфигурации МК: в первом варианте лайнер шире индуктора, во втором - уже (рис. 7-10 соответствуют расчетам с первой конфигурацией). Показано, что выбор конфигурации играет существенную роль в движении лайнера. Кроме вычислительных экспериментов для модели пластического лайнера с экспериментальной кривой деформирования проведены расчеты для моделей с модифицированными кривыми деформирования, задающими материалы с другими выбранными свойствами. В работе приведены и обсуждены результаты этих расчетов.

В разделе 3.4 представлены результаты вычислительных экспериментов для продольного сечения: рассмотре- ны расчеты без замыкания и с замы-

19

канием цепи лайнера. На рис. 11-12 приведены положения лайнера в различные моменты времени для расчетов с использованием разных моделей. Расчетная область соответствует одной четвертой части всего продольного сечения (рис. 5.а). Оттенками серого показана скорость по оси «х».

Из полученных данных следует, что движение жидкого и пластического лайнеров (рис. 11) соответствует фотографиям теневой съемки лайнера в процессе его движения (рис. З.а-б): лента лайнера ложится на контактную поверхность призмы, при этом центральная часть ленты совершает плоскопараллельное движение и не претерпевает больших продольных изгибов. Отсутствие значительных деформаций в центральной части ленты объясняется тем, что, как и предсказано3, максимальные напряжения в лайнере сосредоточены вблизи движущейся границы контакта ленты и призмы. Скорость пластического течения меньше скорости движения лайнера, поэтому волна возмущения не успевает распространиться в центральную часть ленты.

Результаты, полученные для модели упругого лайнера, не соответствуют экспериментальным данным: при различных углах наклона призмы и различных контактных условиях по центральной части лайнера всегда бегут упругие волны, под действием сил упругости лайнер останавливается и начинает двигаться в противоположном направлении (рис. 12).

В отличие от реальной экспериментальной установки в продольной модели из-за ограничений, связанных с двумерным приближением, не происходит захвата потока магнитного поля из контура ускорения. Сжимаемое пластинами лайнера магнитное поле можно создать искусственно, задавая начальное напряжение на обкладках конденсатора в цепи лайнера. Если создаваемое поле являлось достаточно мощным, то в вычислительных экспериментах наблюдалось полное торможение лайнера сжатым магнитным полем. В работе приведены результаты расчетов с различными значениями параметров в цепи лайнера.

В заключении суммированы полученные результаты работы и сделаны выводы о применимости построенных моделей.

Основные выводы и результаты работы

1. Построено семейство пространственно двумерных математических моделей, соответствующих продольному сечению магнитного компрессора, в рамках которых лайнер рассмотрен в приближениях упругого тела, упруго-пластического тела (для случая произвольных деформаций) и вязкой несжимаемой жидкости. Завершена работа над семейством моделей, соответст-

вующих поперечному сечению компрессора, в том числе построена модель, в которой лайнер рассмотрен в приближении упругопластического тела.

2. Для численного моделирования ускорения и торможения лайнера в магнитном компрессоре в рамках построенных моделей разработаны и программно реализованы вычислительные алгоритмы, основанные на методе возможных перемещений и методе Галеркина-Петрова.

3. Проведен цикл вычислительных экспериментов для различных моделей. Показано, что характеристики движения жидкого и упругопластического лайнера согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Результаты модели упругого лайнера не соответствуют экспериментальным данным. В целом модель упругопластического лайнера наиболее адекватно описывает движение лайнера в магнитном компрессоре.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1.Галанин М.П., Родин А.С. Исследование обусловленности системы линейных алгебраических уравнений для задачи определения электромагнитного поля в системе длинных проводников. М., 2005. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 123).

2. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин А.С. Математическое моделирование электромагнитного ускорения лайнера в различных двумерных приближениях. М., 2007. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 4).

3. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин А.С. Математическое моделирование электромагнитного ускорения лайнера с учетом его контакта с твердой поверхностью. М., 2008. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 59).

4. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин А.С. Математическое моделирование электромагнитного ускорения лайнера в различных двумерных приближениях // Пятый Международный научный семинар «Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах»: Резюме докладов. Москва, 2008. С. 19-22.

5. Galanin М.Р., Lotockii А.Р., Rodin A.S. Mathematical models of liner motion in a magnetic compressor // Sixth International Seminar "Mathematical Models & Modeling in Laser-Plasma Processes": Programme and Abstracts. Budva (Monténégro), 2009. p. 28.

6. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин А.С. Математическое моделирование движения лайнера в магнитном компрессоре // Международная конференция «Современные проблемы вы- числительной математики и матема-

21

тической физики»: Тезисы докладов. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. с. 312-313.

7. Родин A.C. Модель движения пластического лайнера в магнитном компрессоре и ее применение. М., 2009. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №50).

8. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения лайнера в продольном сечении магнитного компрессора. М., 2009. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 57).

9. Движение лайнера в магнитном компрессоре: сравнение моделей упругого, жидкого и пластического лайнера / A.C. Родин [и др.] М., 2009. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 58).

10. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения пластинчатого лайнера в магнитном компрессоре // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ-2010. М.: МИФИ, 2010. Т. 2. С. 104-106.

11. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование ускорения и торможения упругопластического лайнера в магнитном компрессоре // Знание. Понимание. Умение. 2010. №3. С. 259.

12. Galanin М.Р., Lotockii А.Р., Rodin A.S. Sheet liner motion in a magnetic compressor: elastic, liquid and plastic liner models comparison // 15th International Conference "Mathematical Modelling and Analysis": Absracts. Druskininkai (Lithuania), 2010. P. 79.

13. Движение лайнера в поперечном сечении магнитного компрессора / A.C. Родин [и др.] // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. №2. С. 65-84.

14. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения лайнера в различных сечениях магнитного компрессора // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, №10. С. 35-55.

Подписано в печать:

27.10.2010

Заказ № 4376 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

В1. Постановка общей задачи.

В2. Актуальность работы.

ВЗ. Цели работы.

В4. Содержание работы.

Глава 1. Математические модели движения лайнера в магнитном компрессоре.

1.1. Описание используемых двумерных моделей.

1.2. Математическая модель электродинамических процессов.

1.2.1. Математическая модель электродинамических процессов для поперечного сечения.

1.2.2. Математическая модель электродинамических процессов для продольного сечения.

1.2.3. Уравнения внешних электрических цепей.

1.2.3.1. Уравнения электрических цепей для продольной модели.

1.2.3.2. Уравнения электрических цепей для поперечной модели.

1.3. Математические модели движения лайнера.

1.3.1. Используемые системы координат, тензоры деформаций и напряжений и уравнения движения.

1.3.1.1. Выбор системы координат.

1.3.1.2. Используемые тензоры деформаций и напряжений.

1.3.1.3. Понятие объективности тензоров. Объективные производные тензоров.

1.3.1.4. Сопряженные тензоры напряжений и деформаций.

1.3.1.5. Уравнения движения.

1.3.2. Определяющие соотношения для упругого материала.

1.3.3. Определяющие соотношения для термоупругого материала.

1.3.4. Определяющие соотношения для упругопластического материала.

1.3.5. Определяющие соотношения для вязкой несжимаемой жидкости.

1.4. Энергетические соотношения.

Глава 2. Численные модели движения лайнера в магнитном компрессоре.

2.1. Построение сетки.

2.2. Численная модель электродинамических процессов.

2.2.1. Численная модель электродинамических процессов для поперечного сечения.

2.2.2 Исследование оператора задачи для поперечной модели.

2.2.2.1. Дифференциальный оператор.

2.2.2.2 Разностный оператор.

2.2.2.3. Исследование спектра оператора.

2.2.3. Численная модель электродинамических процессов для продольного сечения.

2.3. Численные модели, описывающие движение лайнера.

2.3.1. Численная модель движения упругого лайнера.

2.3.1.1. Дискретные уравнения движения гиперупругого лайнера.

2.3.1.2. Дискретные уравнения движения гипоупругого лайнера.

2.3.1.3. Схема Ньюмарка решения динамических задач.

2.3.1.4. Итерационный метод решения нелинейных задач.

2.3.1.5. Вычисление значений тензора напряжений Коши.

2.3.2. Численная модель движения термоупругого лайнера.

2.3.3. Численная модель движения упругопластического лайнера.

2.3.4. Численная модель движения жидкого лайнера.

2.3.5. Численная модель процесса теплопроводности.

2.4. Информация о программном комплексе.

2.4.1. Структура программного комплекса.

2.4.2. Проведенные тесты.

Глава 3. Результаты численного моделирования движения лайнера в магнитном компрессоре.

3.1. Физические параметры.

3.2 Экспериментальные результаты.

3.3. Результаты численного моделирования для поперечной модели.

3.3.1. Расчеты без замыкания цепи лайнера.

3.3.1.1. Широкий лайнер.

3.3.1.2. Узкий лайнер.

3.3.2. Расчеты с замыканием цепи лайнера.

3.3.3. Выводы по моделированию движения лайнера в поперечном сечении.

3.4. Результаты численного моделирования для поперечной модели.

3.4.1. Расчеты без замыкания цепи лайнера.

3.4.1.1. Расчеты с упругим лайнером.

3.4.1.2. Расчеты с жидким и упругопластическим лайнером.

3.4.2. Расчеты с замыканием цепи лайнера.

3.4.3. Выводы о моделировании движения лайнера в продольном сечении.

1 В1. Постановка общей задачи

Использование импульсного преобразования электромагнитной и кинетической энергии заняло прочное место в энергетике физического эксперимента, начиная с цикла работ П.Л. Капицы, который и разработал первые электромашины ударного действия. Эти эксперименты позволили продвинуться в область физики высоких плотностей энергии благодаря созданию взрывных магнитоку-мулятивных генераторов (ВМГ), основанных на предложении А.Д. Сахарова [57]. Обратимый двойной цикл преобразования электромагнитной энергии в кинетическую и обратно мог обещать при определенных условиях реализацию резкого увеличения плотности электромагнитной энергии или развиваемой мощности электрических импульсов. Такие попытки ранее предпринимались. Например, получение мегагауссных магнитных полей с помощью электромагнитного разгона цилиндрических лайнеров реализовано. С.Г. Алихановым [3]. Такие устройства и сегодня используются для физических исследований в лабораториях [50]. Реализуемая подобным образом генерация мощных электрических импульсов во внешней цепи является, по - видимому, более сложной задачей, в особенности если при этом стремиться к высокой величине коэффициента полезного действия всего устройства.

1 I

Сжатие быстрых лайнеров в последнее время рассматривается как возмож1 ный источник генерации импульсов рентгеновского излучения с энергией масI штаба десятков МДж. ТРИНИТИ, НИИЭФА, РНЦ «Курчатовский Институт» и

ВНИИТФ разрабатывают проект «Байкал» на основе индуктивных накопителей 5 энергии, которые в процессе передачи энергии от ступени к ступени с увеличением мощности генерируют электрический импульс с параметрами, необходимыми для сжатия лайнеров [2].

Рис. В1. Схема установки МОЛ

Стенд модуля "МОЛ" установки "БАЙКАЛ" Магнитный усилитель Индуктивный накопитель Пультовая

Конденсаторная батарея

Плазменный прерыватель тока

Повышающий прерыватель напряжения

Установка «МОЛ» (Магнитный Обостритель Лайнер), создаваемая в ТРИ-НИТИ (её схема приведена на рис.В1), предназначена для исследования работы всех ступеней модуля установки "БАЙКАЛ" и генерации электрического импульса мегаджоульного уровня [2, 69]. Первые два каскада усиления мощности электрического импульса для «МОЛ» (индуктивный накопитель и магнитный усилитель) созданы и введены в строй [5]. Третьим каскадом обострения мощности является магнитный компрессор (МК). Работы по МК начаты в 2001 году. В отличие от ВМГ [66], в котором рабочая зона сжатия магнитного потока размещена непосредственно внутри разгоняемой оболочки, в МК для вывода тока на внешнюю нагрузку к лайнеру необходимо подключить неподвижные токовые шины. Это обусловило выбор двойной полосковой линии со сходящимися пластинами лайнера в качестве ускорителя (показано на рис. В2). Данная геометрия устройства имеет следующие преимущества:

- поскольку сжатие потока производится двумя движущимися во встречном направлении проводниками, которые подлежат замене в каждом импульсе, то остальные элементы испытывают умеренные нагрузки в сравнительно «мягком» процессе разгона и не разрушаются;

- часть магнитного потока ускоряющего поля пронизывает внутреннюю сжимаемую полость между пластинами, как показано на рис. В2.6, и может быть использована как начальный; сжимаемый поток, поэтому имеется возможность обойтись без специальной системы создания начального магнитного поля В0.

На-рис. В2.а приведены размеры (в мм) экспериментального макета, построенного в ТРИНИТИ, составляющего четверть полного устройства МК [2];

Отметим сравнительную простоту изготовления лайнера и возможность его точной установки с: помощью торцевого натяжного устройства. Конструкция контактных площадок на торцах обеспечивает переход тока лайнера к неподвижным токоподводам, однако ставит задачу предотвращения обрыва ленты (и токовой цепи лайнера) при ее удлинении в процессе ускорения:

Рис. В2. а) Конструкция ускорительного витка и лайнера (лайнер вынут из витка индуктора); б) поперечное сечение сечение генератора в собранном виде, указано направление протекания токов, направление ускорения лайнеров и конфигурация ускоряющего магнитного поля.

В2. Актуальность работы

Как показано в [70], моделирование электродинамического разгона с использованием простой модели, в которой лайнер считается плоской и абсолютно жесткой пластиной, имеет неплохое соответствие с результатами экспериментов. Во всяком случае, в численных расчетах по данным моделям с сосредоточенными параметрами (с учетом правильной зависимости поведения индуктивности на базе разгона) удается определить величину скорости. Точность расчетов скорости составляет 100 м/с при ее абсолютной величине V— 1 км/с, а время схождения пластин можно определить с точностью до 10 мкс при времени ускорения 100-120 мкс для лайнеров с различной шириной (21 - 25 см). Но одного этого соответствия недостаточно для оптимизации режимов работы магнитного компрессора, предназначенного для генерации коротких импульсов тока. Режим компрессии магнитного поля предъявляет особые требования к строгой геометрической форме зазора между пластинами в момент сжатия магнитного поля. Для короткого генерируемого импульса отдача кинетической энергии тонкого лайнера должна проводиться одновременно по всей его плоскости. Искажение плоской формы приводит к неодновременному процессу торможения различных участков пластин и растягиванию выходного электрического импульса во времени.

С этой точки зрения желательно, чтобы амплитуда деформации пластины не превышала ее толщины. Однако величина этой амплитуды будет определяться особенностями физического механизма ускорения или, что более вероятно, неус-тойчивостями данного объекта, имеющего конечные размеры. Появление таких неустойчивостей обнаружено экспериментально.

Отметим, что экспериментальные результаты, приведенные разработчиками МК в опубликованных работах, например, в [19], показали удовлетворительное поведение ленты при ускоряющих токах, близких к рабочим режимам 2.5-3 МА. Более того, на фотографиях теневой съемки лайнера видно, что ленты лайнера в продольном сечении двигаются параллельно друг другу, при этом профиль лайнера вплоть до момента сжатия магнитного потока остается относительно тонким и его видимая толщина по оценке не превышает 10 мм.

Информация о движении лайнера в поперечном сечении получена по измерению «следов» пластины лайнера, падающей на клиновые скосы, расположенные в зоне закрепления концов ленты. Из анализа «следов» следует, что границы деформируемой ленты в процессе ускорения заметно приближаются к средней плоскости витка. Такое сужение ленты может быть связано, например, с заворачиванием краев лайнера. Заворачивание может происходить из-за естественного процесса «линчевания» тока, однако затравочный стартовый механизм этого движения, по-видимому, обеспечивает неоднородность ускорения пластины, изначально находящейся у поверхности витка.

Из приведенной информации видно, что характер движения пластины лайнера существенно отличен от простых представлений ускорения проводящего листа с однородным распределением плотности тока [41]. Хорошо известно [39], что распределение тока по пластине с конечной шириной неоднородно. Подробно распределение токов в таких условиях исследовано в [67]. В этом же убеждают результаты вычисления индуктивности ускорителя МК [7, 70], в которых отмечена резкая концентрация плотности тока на краях ленточного лайнера. Однако вопрос о реальной картине деформации пластинчатого лайнера во время ускорения до самого последнего времени оставался открытым.

Быстротечность и условия проведения эксперимента затрудняют получение более подробной информации о движении ленты в поперечном сечении компрессора и вблизи контактных поверхностей. Анализ самой деформированной ленты после проведения экспериментального запуска МК мог бы в значительной степени прояснить, как именно развивался процесс ее деформирования, но большая часть ленты в конце эксперимента уничтожается (превращается в порошок). На рис. ВЗ показана фотография одного из уцелевших фрагментов лайнера: анализ такого искореженного куска металла не позволяет сделать однозначных выводов о процессе деформирования лайнера на различных этапах экспериментального запуска МК.

Рис.ВЗ. Фрагмент ленты после проведения экспериментального запуска МК

В силу перечисленных причин математическое моделирование и вычислительный эксперимент являются практически единственным способом получения подробной информации о движении ленты лайнера в магнитном компрессоре. Кроме того, вычислительный эксперимент является гибким и удобным инструментом для проведения возможных оптимизационных расчетов с целью выбора наилучших значений параметров МК.

Следует отметить, что разрабатываемый магнитный компрессор пластинчатого типа является оригинальным предложением российских ученых. Несмотря на схожие принципы генерации выходного импульса тока (сжатие магнитного потока) с ВМГ, используемыми достаточно широко, МК имеет принципиальные отличия и свои особенности, обусловленные способом разгона лайнера и его геометрией. Выполненные работы и полученные результаты являются оригинальными в силу уникальности исследуемого объекта.

ВЗ. Цели работы

Целью диссертации является разработка математических моделей движения лайнера, их программная реализация и численное моделирование электромагнитного ускорения и торможения лайнера в магнитном компрессоре.

10

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие основные задачи:

1. Построение двумерных математические моделей процессов ускорения и торможения лайнера, соответствующих различным сечениям магнитного компрессора.

2. Разработка и программная реализация вычислительных алгоритмов для построенных математических моделей.

3. Проведение цикла вычислительных экспериментов на основе разработанного программного комплекса, сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными.

В4. Содержание работы

3.4.3 Выводы о моделировании движения лайнера в продольном сечении

Расчетная область для продольной модели включает в себя призмы, расположенные в торцах компрессора. Особый интерес представляет моделирование контакта ленты с поверхностью призмы, поскольку во время работы устройства этот контакт может служить источником неоднородностей, которые не могут быть учтены в поперечной модели.

Анализ проведенных расчетов позволяет сделать следующие выводы о характере движения лайнера:

1) Поведение жидкого и пластического лайнеров соответствует фотографиям теневой съемки лайнера в процессе его движения, приведенным на рис. 3.2.1. Лента лайнера ложится на поверхность призмы, при этом центральная часть ленты совершает плоскопараллельное движение и не претерпевает больших продольных изгибов. При качественном сходстве результатов двух моделей наблюдаются количественные различия: скорость жидкого лайнера незначительно больше скорости пластического тела.

2) Отсутствие значительных деформаций в центральной части ленты объясняется тем, что, как и предсказано в [19], максимальные напряжения в лайнере сосредоточены вблизи движущейся границы контакта ленты и призмы. Скорость пластического течения меньше скорости движения лайнера, поэтому волна возмущения не успевает распространиться в центральную часть ленты.

3) В проведенных расчетах кроме условия прилипания ленты к поверхности призмы также ставились условия, задающие движение лайнера по призме по закону трения Кулона. Полученные результаты показали, что при подобном движении в верхней части ленты образуются большие пластические деформации и увеличивается риск обрыва ленты.

4) Поведение упругого лайнера не соответствует экспериментальным данным: при различных углах наклона призмы и различных контактных условиях по центральной части лайнера всегда бегут упругие волны и под действием сил упругости лайнер останавливается и начинает двигаться в противоположном направлении.

5) В расчетах с замыканием цепи лайнера (в отличие от экспериментальной установки и поперечной модели) захвата потока магнитного поля из контура ускорения не происходит в связи со спецификой продольной модели. Поэтому при номинальных значениях параметров в цепи лайнера электромагнитного торможения пластины не наблюдается. Сжимаемый пластинами лайнера магнитный поток можно создать искусственно, задавая отличное от нуля начальное

158 напряжение на обкладках конденсатора в цепи лайнера. Проведенные расчеты показали, что таким образом можно моделировать процесс электромагнитного торможения ленты магнитным полем. В работе исследовано, как данный процесс зависит от выбранных значений индуктивности и начального напряжения в цепи лайнера.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Построено семейство пространственно двумерных математических моделей, соответствующих продольному сечению магнитного компрессора, в рамках которых лайнер рассмотрен в приближениях упругого тела, упругопла-стического тела (для случая произвольных деформаций) и вязкой несжимаемой жидкости. Завершена работа над семейством моделей, соответствующих поперечному сечению компрессора, в том числе построена модель, в которой лайнер рассмотрен в приближении упругопластического тела.

2. Для численного моделирования ускорения и торможения лайнера в магнитном компрессоре в рамках построенных моделей разработаны и программно реализованы вычислительные алгоритмы, основанные на методе возможных перемещений и методе Галеркина-Петрова.

3. Проведен цикл вычислительных экспериментов для различных моделей. Показано, что характеристики движения жидкого и упругопластического лайнера согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Результаты модели упругого лайнера не соответствуют экспериментальным данным. В целом модель упругопластического лайнера наиболее адекватно описывает движение лайнера в магнитном компрессоре.

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: учебник для втузов. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 347 с.

2. Проект «Байкал». Отработка схемы генерации электрического импульса / Э.А. Азизов и др. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2001. №. 3. С. 3 17.

3. Алиханов С.Г., Бахтин В.П., Топорков Д.А. Некоторые особенности получения сверхсильных магнитных полей с помощью Z пинч лайнера // Сверхсильные магнитные поля. Физика, техника, применение / Под ред. Титова В.М., Швецова Г.А. М.: Наука, 1984. 218 с.

4. Амосов A.A., Дубинин Ю.А., Копченов Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. 682 с.

5. Взрывные размыкатели стенда МОЛ на токи 50 и 1000 кА / В.А. Афанасьев и др. // ПТЭ. 2008. № 4. С. 56-63.

6. Батыгин В.В., Топтыгин H.H. Современная электродинамика. Часть 1. Микроскопическая теория. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 736 с.

7. Биргер И.А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 1. С. 47-56.

8. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. 184 с.

9. Бураго Н.Г., Галанин М.П., Кувыркин Г.Н. Основные вариационные принципы механики сплошной среды : учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 104 с.

10. Буренин A.A., Быковцев Г.И., Ковтанюк JI.B. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Доклады АН. 1996. Т.2. С. 199-201.

11. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука, 1998. 528 с.

12. Быковцев Г.И., Шитиков A.B. Конечные деформации упругопластиче-ских сред // Доклады АН СССР. 1990. Т. 311. №1. С. 59-62.

13. Математическое моделирование электромагнитного ускорения проводящей пластины в компрессоре потока / М.П. Галанин и др. М., 2005. 29 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 138).

14. Галанин М.П., Гузев М.А., Низкая Т.В. Численное решение задачи термопластичности с дополнительными параметрами состояния. М., 2007. 20 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 8).

15. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Левашов В.Ф. Расчет электродинамического ускорения плоских пластин в лабораторном магнитокумулятивном генераторе. М., 2001. 30 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 3).

16. Галанин М.П., Лотоцкий А.П. Электродинамическое ускорение плоских пластин в лабораторном магнитокумулятивном генераторе // Математическое моделирование. 2003. Т. 15, № 3. С.29-42.

17. Галанин М.П., Лотоцкий А.П. Моделирование разгона и торможения лайнера в устройствах обострения мощности // Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50, №2. С. 256 264.

18. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование электромагнитного ускорения лайнера в различных двумерных приближениях. М., 2007. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 4).

19. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование электромагнитного ускорения лайнера с учетом его контакта с твердой поверхностью. М., 2008. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 59).

20. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения лайнера в продольном сечении магнитного компрессора. М., 2009. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 57).

21. Движение лайнера в магнитном компрессоре: сравнение моделей упругого, жидкого и пластического лайнера / М.П. Галанин и др. М., 2009. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 58).

22. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения пластинчатого лайнера в магнитном компрессоре // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ-2010. М.: МИФИ, 2010. Т. 2. С. 104-106.

23. Движение лайнера в поперечном сечении магнитного компрессора / М.П. Галанин и др. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. №2. С. 65-84.

24. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения лайнера в различных сечениях магнитного компрессора // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, №10. С. 35-55.

25. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. М.: Наука, Физматлит, 1995.320 с.

26. Галанин М.П., Родин A.C. Исследование обусловленности системы линейных алгебраических уравнений для задачи определения электромагнитногополя в системе длинных проводников. М., 2005. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 123).

27. Галанин М.П., Храмцовский С.С. Решение пространственно трехмерных задач электромагнитного ускорения в системе длинных проводников. М., 1998. 20 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 29).

28. Галанин М.П., Щеглов И.А. Двумерная и трехмерная триангуляция // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. М.: Янус-К, 2008. Т. VII, Ч. 1. С. 319-342.

29. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

30. Голованов А.И., Султанов Л.У. Расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел МКЭ // Математическое моделирование систем и процессов. 2004. № 12. С. 4-11.

31. Демирчан К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168 с.

32. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002. 168 с.

33. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2008. 512 с.

34. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

35. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Ленинград.: Энергоатомиздат, 1986. 488 с.

36. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: МГУ, 1994. 189 с.

37. Кнопфель Г.А. Сверхсильные магнитные поля. М.: Мир, 1972. 392 с.

38. Ковтанюк Л.В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневосточный математический журнал. 2004. Т.5, №1. С. 110-120.

39. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: изд-во СО РАН, 2000. 262 с.

40. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть

41. М.: Гос. Изд. Физматлит, 1963. 584 с.

42. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть

43. М.: Гос. Изд. Физматлит, 1963. 728 с.

44. Кукуджанов В.Н. Численные методы решения нелинейных задач механики деформируемого тела. М.: МФТИ, 1990. 96 с.

45. Курганов Д.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах решения уравнений Навье-Стокса в естественных переменных. М., 2001. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 39).

46. Марчук Г.И., Агошков В.К. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Физматлит, 1981. 416 с.

47. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 544 с.

48. Одэн Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

49. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теории, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1982. 232 с.

50. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392 с.

51. Родин A.C. Модель движения пластического лайнера в магнитном компрессоре и ее применение. М., 2009. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 50).

52. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 438 с.

53. Сахаров А.Д. Взрывомагнитные генераторы // Успехи физ. наук. 1966. Т. 88. № 4. С. 725-734.

54. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

55. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

56. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

57. Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести // Энциклопедия «Машиностроение». T.I-3. Кн. 1. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. М.: Машиностроение, 1994. С. 226-272.

58. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1977. С. 226-272.

59. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматлит, 1962. 655 с.

60. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлахова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

61. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Механика твердого тела. 2000. № 1. С. 109-128.

62. Основные типы взрывомагнитных генераторов и их применение / В.К. Чернышев и др. // Мегагауссная и мегаамперная импульсная технология и применения / Под ред. В.К. Чернышева, В.Д. Селемира, Л.Н. Пляшкевича. Т. 1. Саров: ВНИИЭФ, 1997. С. 242-248.

63. Шнеерсон Г.А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверхсильных токов. М.: Энергоатомиздат, 1992. 414 с.68. . Щеглов И.А. Программа для триангуляции сложных двумерных областей Gridder2D. M., 2008. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 60).

64. Multi-wire array implosion physics study X-ray facility "Baikal" based on 900 MJ inductive store / V.V. Alexsandrov et al. // 13 th International conference. Beams^OOO: Proceeding. Nagaolca (Japan). 2000. p.214.

65. Power Peaker Based on Plate MC-Generator Driven by Electrical Current / V.P. Baktin et al. // Ninth Int. Conf. On Megagauss Magnetic Field Generation and Related Topics: Proceeding. Sarov: VNIIEF, 2004. P. 324 330.

66. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engeneering Analysis. Englewood Cliffs. New York: Prentice-Hall, 1982. p. 413.

67. Dvorkin E.N. Finite strain elasto-plastic formulations using the method of mixed interpolation of tensorial components // Computational Mechanics. 1996. № 18. P. 290-301.

68. Fortin M., Brezzi F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods // Springer Series in Computational Mathematics. 1991. Vol. 15. p.355.

69. Kitagawa H., Seguchi Y., Tomita Y. An incremental Theory of Large Strain and Large Displacement Problems and its Finite Element Formulation // IngenieurArchiv. 1972. № 41. P. 213-224.

70. Lee E.H. Elastic-plastic deformations at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36, № 1. P. 1-6.

71. Nemat-Nasser S. Cerain basic issues in finite-deformation continuum plasticity // Meccanica. 1990. № 25. P. 223-229.

72. Simo J.C., Meschke G. A new class of algorithms for classical plasticity extended to finite strains. Application to geomaterials // Computational Mechanics. 1993. № 11. P. 253-278.

73. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Butterworth Heinemann. 2000. Vol. 1. p. 707.