автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование движения сжимаемой жидкости методами группового анализа

На правах рукописи

УРАЗБАХТИНА Лилия Зинфировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ МЕТОДАМИ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

- 3 ЛЕН

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2009

003486979

Работа выполнена на кафедре математики в ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Научный руководитель д-р физ.-мат. наук, проф.

ХАБИРОВ Салават Валеевич

Официальные оппоненты д-р физ.-мат. наук, проф., в.н.с. Института

математики с ВЦ УНЦ РАН ЖИБЕР Анатолий Васильевич

канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры Высшей математики Новосибирского государственного технического университета ЧИРКУНОВ Юрий Александрович

Ведущая организация Институт вычислительного моделирования

СО РАН, г. Красноярск

Защита диссертации состоится «^»СС&хё/л 2009 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.288.06 при ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» по адресу: 450000, г. Уфа, Республика Башкортостан, ул. К. Маркса, д. 12, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан <Д> ПОЛИ/Л 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ■

д-р физ. - мат. наук, проф. БУЛГАКОВА Г. Т.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию методов к классификации, построению, исследованию математических подмоделей некоторых физических процессов методами группового анализа. Разработанные методы проведены на подмоделях, описывающих движение жидкости или металлов при больших давлениях (до 10й Ра) и высоких температурах (до 106 град).

Математическая модель движения сжимаемой жидкости — уравнения газовой динамики. Главная трудность в описании газодинамических процессов - это их нелинейность. Отсюда и идет многообразие методов анализа и конкретных закономерностей, которые не укладываются в какую-либо одну стандартную схему. Краевые задачи для квазилинейных систем дифференциальных уравнений в многомерном пространстве решать сложно. Теоремы существования, единственности и устойчивости доказаны лишь в простых случаях, поэтому и численные методы оказываются не обеспеченными надлежащим обоснованием. Уравнениям газовой динамики удовлетворяет множество процессов и явлений, но конкретно заданное явление может описываться упрощенной моделью - подмоделью. Например, академик М. А. Лаврентьев предложил описывать кумулятивные струи, возникающие при пробивании струей брони, с помощью потенциальных движений жидкости. Устойчивость этой струи описывается подмоделями сжимаемой жидкости.

К настоящему времени разработан хорошо себя зарекомендовавший способ регулярного упрощения моделей - групповой анализ уравнений газовой динамики, основанный на симметрийных (групповых) свойствах уравнений относительно некоторых преобразований. Групповой анализ является единственным общим методом построения точных решений дифференциальных уравнений независимо от их типа. Каждая упрощенная

подмодель описывает класс явлений, а точное решение подмодели -происходящий процесс (модель).

Задача о групповом свойстве уравнений газовой динамики решена в работах Л. В. Овсянникова. Начало группового анализа положено академиком Л. В. Овсянниковым и продолжается его учениками и последователями: В. В. Пухначевым, В. К. Андреевым, С. В. Хабировым, С. В. Головиным, Е. В. Мамонтовым, А. П. Чупахиным, А. А. Талышевым, С. В. Мелешко, Ю: А. Чиркуновым, А. А. Черевко и другими. Ими проводятся исследования по ГНТП «Подмодели».

Актуальность работы заключается в моделировании движения сжимаемой жидкости упрощенными моделями - подмоделями. В процессе моделирования получены новые точные решения уравнений газовой динамики, описывающих нестационарное движение сжимаемой жидкости.

Цель работы

Целью работы является развитие методов группового анализа для построения и исследования новых подмоделей, описывающих движение сжимаемой жидкости при больших давлениях и высоких температурах. Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач.

1. Разработать способ понижения порядка подмоделей. Реализовать его на инвариантных подмоделях трехмерных подалгебр, для которых инвариантное решение ищется в виде решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Построить дифференциально - инвариантные подмодели для двух трехмерных подалгебр. Исследовать вопрос о редукции дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.

3. Выписать все инвариантные подмодели с линейным полем скоростей для четырехмерных подалгебр, у которых инвариантное решение ищется в виде решения систем алгебраических уравнений.

4. Дать физическую интерпретацию полученных точных решений инвариантных подмоделей.

Методы исследования. Аналитические результаты получены с помощью

методов группового анализа, теории дифференциальных уравнений.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Способ понижения порядка инвариантных подмоделей, основанный на использовании фактора нормализатора, а также использующий дополнительные интегралы, найденные по аналогии с нахождением интеграла Бернулли и интеграла закрутки.

2. Редукция дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.

3. Аналитический метод нахождения решений инвариантных подмоделей с линейным полем скоростей, построенных на четырехмерных подалгебрах.

Научная новизна

1. Предложен способ понижения порядка инвариантных подмоделей, основанный на использовании фактора нормализатора, а также использующий дополнительные интегралы, найденные по аналогии с нахождением интеграла Бернулли и интеграла закрутки, позволяющий интегрировать подмодели.

2. Доказана редукция дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.

3. Проведена классификация инвариантных подмоделей с линейньм полем скоростей с обобщениями, позволяющими единым способом представить все решения, соответствующие целому классу подмоделей. Все проведенные в работе классификации выполнены для ранее не изученных подмоделей сжимаемой жидкости.

4. Предложенный способ полного приближенного интегрирования инвариантной подмодели основан на введении малого параметра, связанного с гиперзвуковым приближением, и отличается от известных способов получением интегрируемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоретическая значимость

Разработанный способ понижения порядка инвариантных подмоделей трехмерных подалгебр, дает возможность полностью интегрировать системы, а также в некоторых случаях получать системы линейных дифференциальных уравнений. В ходе проведения классификации дифференциально - инвариантных подмоделей выяснилось, что разные инвариантные подмодели объединяются в одну дифференциально -инвариантную подмодель, тем самым расширяется возможность для решения более общих краевых задач. Доказано, что возможна редукция дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.

Практическая значимость

Методы исследования и анализа подмоделей дают возможность решать задачи о процессах, происходящих при движении сжимаемой жидкости. Полученные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов. Проведена визуализация следующих процессов: сжатие выделенного сферического объема в отрезок; расширение выделенного сферического объема в эллипсоид с одним фиксированным размером; сжатие шара в эллипс; протекание жидкости через щель.

Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена строгостью доказательств полученных результатов.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

— 36-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2005 г.;

— 37-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2006 г.;

— III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, Абрау-Дюрсо, 2006 г.;

— 38-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2007 г.;

— Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред», Бирск,2007 г.;

— 39-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2008 г.;

— IV Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, Абрау-Дюрсо, 2008 г.;

— Международная конференция «MOGRAN-13. Симметрии и точные решения дифференциальных и интегрально-дифференциальных уравнений», Уфа (Россия), 2009 г.;

— Семинар по математическому моделированию ИМ с ВЦ РАН под руководством д. ф.- м. н. А. В. Жибера, 2009 г.;

— Теоретический семинар института механики УНЦ РАН под руководством д. ф.-м. н. С. Ф. Урманчеева, 2009 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ [1]-[1 !]• Из них - 8 в виде статей (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК), 3 — в виде тезисов. Результаты докладывались на 8 конференциях, 2 семинарах.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов, заключения, приложения и списка литературы, который содержит 60 наименований. Объем диссертации 144 страницы машинописного текста, включая 13 рисунков, 2 таблицы, приложение А.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана структура диссертации, изложены ее основные

результаты, дается обоснование актуальности работы, приведен обзор

литературы по теме исследования, основные понятия и определения.

В работе рассматриваем уравнения газовой динамики (УГД)

р—+ Ур = 0, ^ + Р<КуП=0, ^ = 0 (1)

Л Л ш

со специальным уравнением состояния

р = Вр1ЧР(8), (2)

которое описывает движение жидкости и твердых тел при больших

давлениях и высоких температурах. Здесь и - вектор скорости, р - плотность,

р - давление, 8 - энтропия, В,у-постоянные, Ву >0,7* 0,1 (условие

нормального газа), <1/ск =о, + П-V.

УГД допускают 13-мерную алгебру Ли Ь13с базисом операторов,

записанным в декартовой системе координат

х,=ах) х2=зг х3=аг, х4=13х+эи, х5=1ау+ау,

Х6=1Э2+3И, Х7=уаг-аЭу+уд„-\уЭу, Х8 = гд„-хд2 + \У5„-иЭ„, Х9 =хЭу -уЭх +иду -уда, Х10=Э1, хп=1д,+х.дх+уду+2дг, х12 = -аа0~(у-2)рар-ур5р, х13=ар, гДеу=2у(у-1г1.

Для алгебры Ь|3 построена оптимальная система подалгебр (Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Препринт института механики УНЦРАН. Уфа. 1998. 33с.).

Первая глава посвящена вычислению дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования. В первом параграфе даются основные определения. Дифференциальные инварианты находятся как решение системы дифференциальных уравнений: Ха Б = 0, а = 1...г,

к

где Ха-продолженные па производные операторы базиса подалгебры, к -

к

порядок производных, входящих в продолжение.

Для любой подгруппы Ог существует конечный базис дифференциальных инвариантов, из которого любой дифференциальный инвариант этой подгруппы получается из инвариантов базиса с помощью конечного числа функциональных операций и операторов инвариантного дифференцирования (ОИД). В следующих параграфах описан алгоритм нахождения дифференциальных инвариантов и ОИД. Результаты вычислений сведены в таблицу приложения А. Таблица состоит из следующих элементов.

1. 24 серии двумерных подалгебр алгебры Ь!3. Для каждой подалгебры вычислен базис из 11 функционально независимых дифференциальных инвариантов первого порядка и по 4 оператора инвариантного дифференцирования.

2. 70 серий 3-х мерных подалгебр алгебры Ь,3. Вычислен базис из 10 функционально независимых дифференциальных инвариантов первого порядка и по 4 оператора инвариантного дифференцирования.

3. 113 серий 4-х мерных подалгебр алгебры Ь13. Для каждой подалгебры вычислено 5 точечных инвариантов.

Полученная таблица лежит в основе построения подмоделей. Система УГД, записанная через инварианты подалгебры, называется подмоделью. Если из инвариантов подалгебры определяются все функции, то на ней можно строить инвариантные подмодели, иначе можно строить дифференциально - инвариантные подмодели. Представление решения подмодели получается следующим образом. Инварианты, зависящие от

функций, назначим новыми функциями, зависящими от независимых переменных. Инвариантное решение - это решение инвариантной подмодели. Число инвариантов подалгебры, зависящих от независимых переменных определяет тип системы (системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы дифференциальных уравнений в частных производных, системы алгебраических уравнений). Далее в работе будут рассматриваться подмодели следующих видов.

> Инвариантные подмодели для трехмерных подалгебр, у которых из инвариантов определяются все функции. Инвариантное решение ищется в виде решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

> Дифференциально — инвариантные подмодели для трехмерных подалгебр, у которых из инвариантов не определяется одна функция, и, значит, подмодель представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных.

> Инвариантные подмодели для четырехмерных подалгебр, у которых из инвариантов определяются все функции. В этом случае подмодель представляет систему алгебраических уравнений.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В пятом параграфе реализован способ понижения порядка инвариантных подмоделей, задаваемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, с помощью фактора нормализатора подалгебры и за счет дополнительных интегралов, не связанных с симметриями нормализатора. Дополнительные интегралы получаются эвристическим путем по аналогии с известными примерами. Рассмотрено 10 трехмерных подалгебр. Получено 3 подмодели, сводящиеся к уравнению Риккати, которое является интегрируемым при некоторых соотношениях на параметры подалгебры. Например, подмодель для подалгебр 3.3', 3.2' состоит из уравнения

-За(з2 -Р2)Рз5 = р32 +1 - 6а2(32 + (2а2р2 - 1)р23-2, (3)

где а - постоянная подалгебры. Уравнение (3) является интегрируемым при выполнении соотношения л/12ар = 1,В = 7Р2.

Для пяти подалгебр подмодели сводятся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, системы для подалгебр 3.1'(с = О, Ь Ф 0) и 3,4'(с = 0, Ь # 0) являются линейными:

» /К-1 в ч р, , . К, 1 . „ з К, --5-—. Рг ---п—2Р2 1-+ —.

23 8 (э -1) (32-1)' (Э2-1) ¿У 2 2 2 (Б2-1) 5

где К,,К2 - постоянные, ш2,р2,з - инварианты подалгебры.

В §6 изучены две 3-х мерные подалгебры 3.2" и 3.18. Из инвариантов этих подалгебр не определяются все газодинамические функции. Поэтому на них можно строить дифференциально - инвариантные подмодели (ДИП). Определение. Дифференциально - инвариантной подмоделью ранга г + г, называется представление уравнений газовой динамики как многообразия размерности г + г, в пространстве независимых дифференциальных инвариантов, проекция которого в пространство инвариантов нулевого порядка имеет размерность г. Для трехмерных подалгебр возможны ДИП пяти рангов: 2+0,2+1,2+2, 3+0, 3+1.

В §6.1 рассмотрена подалгебра 3.2". Инварианты подалгебры выражаются через плотность, что затрудняет доказательства теорем редукции. ДИП 2+0 объединяет в себе две инвариантные подмодели, соответствующие двум двумерным подалгебрам <Х1,1д1Х12-Х]0-Х13 > при б = 1 и <Х1,Х10+Х13> при е = 0. ДИП ранга 3+0 - это новая подмодель. ДИП ранга 2+1 и 2+2 редуцируются к инвариантным подмоделям.

Инварианты подалгебры 3.18 выражаются через независимые переменные, что облегчает доказательства теорем редукции. В §6.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. ДИП ранга 2+0 совпадает с инвариантной подмоделью на подалгебре, порожденной операторами

<Х10+Р0Х|3, X, +Х|2 +уР,Х13 >, Ро(? + 1) = 0, где Р0,Р, - произвольные постоянные.

Утверждение 1. ДИП ранга 2+0 допускает только оператор X,.

Оператор X, в инвариантах подалгебры будет оператором растяжения. Параметры более общего растяжения примем за средние величины так, чтобы в ДИП 2+0 появился малый параметр е. Решение системы будем искать в виде ряда по малому параметру (гиперзвуковое приближение):

ûo = ZQokEk>Po=XPok£k. Ф^ЕФок^Л^ЦРок^. к>0. Утверадение 2. Нулевое приближение системы является гиперзвуковым приближением газовых течений. Точное решение нулевого приближения имеет вид:

и00=Сзехр(С,у), v00=q'u00, w00=q'u0o. Роо =|u00r2C1C2[c2Z-Cizy + Q4C; -Cj-'Cj]"', Фоо = |иооГС5 +ВР м.

где Cj = С,(1), i = 1,5 ;С3С4 > 0, u00C3>0, и00С4>0. Параметр 1 определяется из равенства С3 ехр(С,у) = С4 exp(C2z). При еш получены рекуррентные системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Правые части этих систем зависят от функций из предыдущих приближений. Решения систем могут быть найдены для любого m в квадратурах. В работе также найдено решение в квадратурах для первого приближения.

Теорема 2. ДИП ранга 3+0 редуцируется к инвариантной подмодели на подалгебре X, +Х,2.

Теорема 3. ДИП ранга 2+1 редуцируется к ДИП 2+0. Теорема 4. ДИП ранга 2+2 редуцируется к ДИП ранга 2+0.

Среди четырехмерных подалгебр имеется 31 подалгебра, на которой можно строить инвариантные подмодели с линейным полем скоростей. В §7 проинтегрирована 31 инвариантная подмодель с линейньм полем скоростей. В этом случае представление решения для компонент скорости записывается в виде П = A(t)x + u0(t), где A(t)- линейный оператор. Представления для функций р, р будем считать произвольными, т.е. рассмотрим частично

инвариантное решение дефекта 2. Замечено, что для всех подалгебр выполняется равенство А' + А2 = 0. Решение этого операторного равенства может быть 4 действительных видов с точностью до выбора системы

координат:

? Л

:1. А =

м

О О

Х21+1

о

^+1

с2. А =

1

О А.

О

11 + 1 О

О

о

V

у+1

сЗ. А =

1

(Х.1 + 1)2 -г

0

1

н+1 1

о

X

и^+1)3 (хх+1)2 хг+\

с4.

А =

г-'а'а-'

Р«Г'

-(ЗсГ1 2~' сГсГ1

О X

ЛД + 1.

р^0,а = (а2+р2)12+2а1 + !.

Подставив представления решения в УГД, получаем две подмодели.

т- Ву2

Подмодель I: а = й|, + Ай0 ■Ф 0, а' + А а = &гА(1 + ■—- И0 (I)),

у-1

Я'о + й-А^-^ +уЬ-АК0 = 0,11; + 110и0-а + (у-1)ггАК1 =0. у-1

Искомые функции р, р имеют вид

8 = г-х, р^моз+вд1«7-», Р=-

(у-Р

(ЛоСФ + Я.^^+Ро

Подмодель II: а = й'0 + Аи0 = 0.

Функции плотности и давления определяются по формулам

р = р0 ехр(-|п:АЛ),р = Вуру +р0,р0,р0 - постоянные.

В §8 приведена двухфазная модель течения жидкости. Для подалгебры 4.60 в однофазном движении инвариантное решение существует лишь при значении параметра у = 1 / 3. В двухфазной модели введены новые функции перетоков импульса Р, массы I и энергии Е. Для подмодели подалгебры 4.60 они имеют вид

1 = Мг~а,Р = (Р,(2,11), Е = Е„га + МНг~а + Е.г'^НТ"1, Б = Н(р-Врт), где М^.Р.О.Л - произвольные постоянные, удовлетворяющие системе (Зу + 1)р0У0=2уМ, ио(ар0У0+М)=Р-1, р0(у02а-\У02)+р0 =(}-МУ0, ^о(ро^о(а +1)+м) = Я, ро'Е, = и0 + У0(р0 -Врт0),

ЕоРо + Е, = у(у -1)"' МВр5 + О0 • Р - 2"' Ром|О0;

и0,У0,\*/0,р0,р0 - постоянные инварианты. При у * -1/3 постоянные М,Е0,Е,, определяются через постоянные и0,У0,Ш0,р0,р0, которые

могут быть произвольными.

В третьей главе дана физическая и геометрическая интерпретация некоторых точных решений УГД. Будем рассматривать только те точные решения, для которых возможно сжатие конечного объема в бесконечно малый объем. Все рассмотренные ниже точные решения описывают нестационарное трехмерное движение сжимаемой жидкости.

В §9 рассмотрено частное решение нулевого приближения ДИП 2+0 для подалгебры 3.18. Уравнения движения частиц в пространстве имеют вид

х = 10 -1 + х01, Су = у, = г0 -1 + у01, г = г01у0,г (Ч -1 + У01), где х01,у01,г0| - начальное положение частицы. Движение куба жидкости можно рассматривать как протекание через щель (ось х) (см. Рисунок 1). В результате происходит деформация куба. Минимальный объем

А^У^Ук имеет з момент (см.

2(а + 2у0) . а + 2у0

Рисунок 2), где а - длина ребра куба, у0 - минимальная координата точек

куба по оси у в начальном положении.

Рисунок 1 Рисунок 2

В §10 рассматриваем 4-х мерную подалгебру 4.12. Уравнения движения частиц в пространстве имеют вид х = х0 -14, у = ъ = где х0, у0> \у0 -лагранжевы координаты.

Движение выделенного объема жидкости, ограниченного сферой при КО (см. Рисунок 3), можно представить как сжатие в двух направлениях с неизменным третьим размером. Движение выделенного объема жидкости, ограниченного сферой при О0(см. Рисунок 4), можно представить как расширение в сечениях у, г с одним неизменным размером в направлении оси х.

5 ю ТГ

20 25 30

Рисунок 3

1С 20

Рисунок 4

В §11 рассмотрено решение с линейным полем скоростей (случай с1). Уравнения движения частиц имеют вид х1 = Хд(1-^)(10где х'0-начальное положение частицы в момент I = 10. На рисунке 5 изображено движение куба жидкости, который при движении в разные моменты времени попадает на координатные плоскости. При движении между ними куб обжимается со всех сторон.

Рисунок 5

Рисунок 6

В §12 рассмотрено решение с линейным полем скоростей (случай с2). Уравнения движения частиц таковы

(1„-1,)2 10-12

где х0,у0,20- начальное положение частицы в момент 1 = 10. На рисунке 6 представлено движение объема жидкости, ограниченного сферой, который при движении испытывает два плоских сжатия.

Заключение.

1. Предложен способ понижения порядка инвариантных подмоделей, основанный на использовании фактора нормализатора, а также использующий дополнительные интегралы, найденные по аналогии с нахождением интеграла Бернулли и интеграла закрутки.

2. Установлена редукция дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.

3. Разработан аналитический метод нахождения решений инвариантных подмоделей с линейным полем скоростей, построенных на четырехмерных подалгебрах.

4. Дана физическая интерпретация нестационарных трехмерных явлений, описываемых подмоделями сжимаемой жидкости с линейным полем скоростей, с помощью многопараметрического семейства точных решений. Установлено, что эти явления описывают процессы объемного сжатия и расширения, протекания жидкости через щель.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф. - м.н. С. В. Хабирову за постановку задачи, внимание к работе и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Дифференциально - инвариантные подмодели трехмерных подалгебр для сжимаемой жидкости / Уразбахтина Л. 3. // Сибирский журнал индустриальной математики. Том X. №2(30). 2007 г. - С. 128-137.

2. Интегрирование дифференциально - инвариантных подмоделей / Уразбахтина Л. 3. // Труды института математики и механики УрО РАН. Том 13. №4. 2007 г.-С. 129- 137.

В других изданиях

3. Простые решения уравнений сжимаемой жидкости / Уразбахтина Л. 3. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. - 2005 г. -С. 217-221.

4. Частично инвариантное решение ранга 3 дефекта 2 для подалгебры из двух переносов и растяжения для уравнений сжимаемой жидкости / Уразбахтина Л. 3. // Проблемы теоретической и прикладной математики:

Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН.-2006 г.-С. 277-280.

5. Дифференциально - инвариантные подмодели для одной трехмерной подалгебры / Уразбахтина JI. 3. // Актуальные проблемы прикладной математики и механики: материалы III Всероссийской конференции. Екатеринбург: УрО РАН. - 2006 г. - С. 99-100.

6. Дифференциально - инвариантная подмодель стационарного типа почти двумерных движений газа / Уразбахтина JI. 3. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. - 2007 г. - С. 219-223.

7. Гиперзвуковое приближение для одной инвариантной подмодели / Уразбахтина JI. 3. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН.-2008 г.-С. 180-183.

8. Редукция дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным / Уразбахтина Л. 3. // Труды института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 6. - Уфа- 2008 г. - С. 143-149.

9. Исследование частного решения одной инвариантной подмодели, найденного с помощью гиперзвукового приближения / Уразбахтина Л. 3. // Актуальные проблемы прикладной математики и механики: материалы III Всероссийской конференции. Екатеринбург: УрО РАН. - 2008 г. - С.61- 62.

10. Симметрийные подмодели трехмерных подалгебр I Уразбахтина Л. 3. // MOGRAN-13: материалы международной конференции. Уфа: УГАТУ -2009 г. - С.27.

11. Инвариантные подмодели ранга один газовой динамики со специальным уравнением состояния / Уразбахтина Л. 3. // Уфимский математический журнал. Т,1. №3-2009 г. - С. 139-153.

Соискатель

УРАЗБАХТИНА Лилия Зинфировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ МЕТОДАМИ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 11.11.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр.-отт 1,0. Уч.-изд.л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 555

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический

университет Центр оперативной полиграфии УГАТУ 450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

Введение.

ГЛАВА 1. Дифференциальные инварианты.

§1 Дифференциальные инварианты. Теорема о дифференциальных инвариантах.

§2 Инварианты двумерных подалгебр.

§3 Инварианты трехмерных подалгебр.

§4 Инварианты четырехмерных подалгебр.

ГЛАВА 2. Симметрийные подмодели для 3-х и 4-х мерных подалгебр.

§5 Инвариантные подмодели ранга 1 для 3-мерных подалгебр.

§5.1 • Подмодели, сводящиеся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению.

§5.2 Подмодели, сводящиеся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

§5.3 Подмодели, сводящиеся к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений.

§5.4 Подмодель для самонормализованной подалгебры.

§6 Дифференциально — инвариантные подмодели для

3-мерных подалгебр.

§6.1 Подалгебра 3.2".

§6.2 Подалгебра 3.18.

§7 Простые решения и их обобщения для 4 -мерных подалгебр.

Инвариантные подмодели ранга ноль с линейным полем скоростей.

§8 Двухфазная модель жидкости на примере подалгебры 4.60.

ГЛАВА 3. Движения жидкости для точных решений.

§9 Движение жидкости для частного решения нулевого приближения

ДИП ранга 2+0 подалгебры 3.18.

§10 Движение жидкости для инвариантной подмодели ранга ноль подалгебра 4.12).

§ 11 Движение жидкости для подмодели II (случай cl).

§12 Движение жидкости для подмодели II (случай с2).

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию методов к классификации, построению, исследованию математических подмоделей некоторых физических процессов методами группового анализа.Разработанные методы проведены на подмоделях, описывающих движение жидкости или металлов при больших давлениях (до 1014Ра) и высоких температурах (до 106 град).Математическая модель движения сжимаемой жидкости - уравнения газовой динамики. Главная трудность в описании газодинамических процессов - это их нелинейность. Отсюда и идет многообразие методов анализа и конкретных закономерностей, которые не укладываются в какуюлибо одну стандартную схему. Краевые задачи для квазилинейных систем дифференциальных уравнений в многомерном пространстве решать сложно.Теоремы существования, единственности и устойчивости доказаны лишь в простых случаях, поэтому и численные методы оказываются не обеспеченными надлежащим обоснованием. Уравнениям газовой динамики удовлетворяет множество процессов и явлений, но конкретно заданное явление может описываться упрощенной моделью - подмоделью. Например, академик М. А. Лаврентьев предложил описывать кумулятивные струи, возникающие при пробивании струей брони, с помощью потенциальных движений жидкости. Устойчивость этой струи описывается подмоделями сжимаемой жидкости.К настоящему времени разработан хорошо себя зарекомендовавший способ регулярного упрощения моделей — групповой анализ уравнений газовой динамики, основанный на симметрийных (групповых) свойствах уравнений относительно некоторых преобразований [14], [60]. Каждая упрощенная подмодель описывает класс явлений, а точное решение подмодели — происходящий процесс (модель).Задача о групповом свойстве уравнений газовой динамики решена в работах Л. В. Овсянникова. Начало группового анализа положено академиком Л. В. Овсянниковым и продолжается его учениками и последователями: В. В. Пухначевым, В. К. Андреевым, В. Хабировым, В. Головиным, Е. В. Мамонтовым, А. П. Чупахиным, А. А. Талышевым, В. Мелешко, Ю. А. Чиркуновым, А. А. Черевко и другими [2-5,7-11,15,16,1820,22,38,39,41-48,50-53,56-58]. Ими проводятся исследования по ГНТП «Подмодели»[17],[21], нацеленной на наиболее полном использовании симметрии уравнений газовой динамики для построения и классификации классов точных решений (подмоделей) этих уравнений. Были предложены способы упорядочивания подмоделей: по уравнениям состояния [21], по признаку подобия [44], по рангу [17], по дефекту [14], по свойству эволюционности [4, 44], по признаку регулярности [19]. В ходе выполнения программы, наряду с аналитическими методами, был разработан ряд компьютерных программ [38].Целью работы является развитие методов группового анализа для построения и исследования новых подмоделей, описывающих движение сжимаемой жидкости при больших давлениях и высоких температурах.Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач.1. Разработать способ понижения порядка подмоделей. Реализовать его на инвариантных подмоделях трехмерных подалгебр, для которых инвариантное решение ищется в виде решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.2. Построить дифференциально — инвариантные подмодели для двух трехмерных подалгебр. Исследовать вопрос о редукции дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.3. Выписать все инвариантные подмодели с линейным полем скоростей для четырехмерных подалгебр, у которых инвариантное решение ищется в виде решения систем алгебраических уравнений.4. Дать физическую интерпретацию полученных точных решений инвариантных подмоделей.Аналитические результаты получены с помощью методов группового анализа, теории дифференциальных уравнений. Для визуализации полученных моделей использовалась ЭВМ. Основные результаты, выносимые на защиту 1. Способ понижения порядка инвариантных подмоделей, основанный на использовании фактора нормализатора, а также использующий дополнительные интегралы, найденные по аналогии с нахождением интеграла Бернулли и интеграла закрутки.2. Редукция дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.3. Аналитический метод нахождения решений инвариантных подмоделей с линейным полем скоростей, построенных на четырехмерных подалгебрах.Результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах: — 36-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2005 г. — 37-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2006 г. — III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, Абрау - Дюрсо, 2006 г. — 38-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2007г. — Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред», Бирск, 2007 г. — 39-ая региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, УрО РАН, 2008г. — IV Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, Абрау - Дюрсо, 2008 г. — Международная конференция «MOGRAN-13. Симметрии и точные решения дифференциальных и интегрально-дифференциальных уравнений», Уфа (Россия), 2009 г. — Семинар по математическому моделированию ИМ ВЦ РАН под руководством д. ф.- м. н. А. В. Жибера, 2009 г. — Теоретический семинар института механики УНЦ РАН под руководством д. ф.-м. н. Ф. Урманчеева, 2009 г.По теме диссертации опубликовано 11 работ [27-37]. Из них - 8 в виде статей (в том числе, 2 — в журналах из списка ВАК [31,32]), 3 - в виде тезисов.Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов, заключения, приложения и списка литературы, который содержит 60 наименований. Объем диссертации 144 страницы машинописного текста, включая 13 рисунков, 2 таблицы, приложение А. Основное содержание работы заключается в следующем: Программа «Подмодели» включает несколько основополагающих пунктов.1. Групповое свойство - наиболее широкая допускаемая группа.2. Групповая классификация: расширение допускаемой группы при специализации произвольных элементов модели.3. Оптимальная система подалгебр: классификация неподобных подалгебр алгебры Ли допускаемой группы.4. Одевание оптимальной системы. Снабжение таблицей специально выбранных дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования.5. Классификация подмоделей: инвариантных, частично инвариантных, дифференциально — инвариантных.6. Нахождение интегралов и законов сохранения у подмоделей.7. Нахождение существенно различных решений подмоделей: симметрийный анализ подмоделей.8. Физическая интерпретация точных решений: выявление особенностей, области определения (предельные множества), сопряжения решений через слабые и сильные разрывы.9. приближенная инвариантность и интегрирование.Для регулярного нахождения точных решений уравнений газовой динамики, используют оптимальную систему подалгебр алгебры Ли, допускаемой системой. Система уравнений газовой динамики, записанная через инварианты подалгебры, называется подмоделью. Точные решения — это решения уравнений подмодели. Если из точечных инвариантов (инварианты порядка 0) подалгебры можно определить все газодинамические функции, то подмодель называется инвариантной. В противном случае можно строить дифференциально-инвариантные подмодели (ДИП), в которые входят известные частично инвариантные решения (ЧИР) [55].Групповое свойство системы УГД (1) с общим уравнением состояния заключается в том, что она остается неизменной при некоторых преобразованиях переменных t, х, u, р, р .4. t' = at, х' = ах - равномерное растяжение пространства независимых переменных.Преобразования (1) — (6) переводят решение в решение УГД. Поэтому в дальнейшем все точные решения рассмотрены с точностью до преобразований (1) - (6).Векторное пространство операторов (3), (5) замкнуто относительно коммутатора и является алгеброй Ли. Коммутатор алгебры вычисляется по правилу: [Xj,Xj] = XjXj -Xj Xj [54]. Составим таблицу 1 коммутаторов операторов (3), (5). В таблице введены обозначения: Xj := i, i = 1 13.Пустые клетки означают, что соответствующий коммутатор равен нулю.Таблица 1 -2 -1 -3 -2 -1 -3 -5 -6 -4 -2 -5 -8 -3 -6 -9 -1 -4 -7 -1 -2 -3 -10 -10 -4 -5 -6 -713 у13 Подалгеброй алгебры Ли называется подпространство, замкнутое относительно коммутатора. Две подалгебры подобны, если существует автоморфизм, переводящий одну подалгебру в другую [49]. Конструктивно вычисляются лишь внутренние автоморфизмы. Если взять по одной подалгебре из класса подобных по внутренним автоморфизмам, то получится оптимальная система допускаемых подалгебр. Для УГД с уравнением состояния (2) оптимальная система допускаемых подалгебр построена в работе [49].Для любой подгруппы Gr существует конечный базис дифференциальных инвариантов, т. е. такой конечный набор скалярных дифференциальных инвариантов, что любой дифференциальный инвариант этой подгруппы получается из инвариантов базиса с помощью конечного числа функциональных операций и операторов инвариантного дифференцирования.Оператор Y называется оператором инвариантного дифференцирования (ОИД) подгруппы G r , если для любого дифференциального инварианта F действие YF также является дифференциальным инвариантом этой группы.Множество операторов инвариантного дифференцирования подгруппы G r является алгеброй Ли над полем инвариантов этой подгруппы.Мы будем пользоваться теоремой о конечности базиса дифференциальных инвариантов для нахождения ОИД. Вычислим инварианты нулевого порядка.Продолжим операторы по формуле (6), и найдем дифференциальные инварианты первого порядка (первые интегралы системы (7)). Затем подберем ОИД так, чтобы, подействовав ими на инварианты нулевого порядка, получить некоторые дифференциальные инварианты первого порядка. Если таким образом определятся все четыре оператора инвариантного дифференцирования, то задача будет решена.В следующих параграфах описан алгоритм нахождения дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования для 2-х, 3-х и 4-х мерных подалгебр из оптимальной системы подалгебр. На конкретных примерах показано как работает теорема о конечности базиса дифференциальных инвариантов. Результаты вычислений сведены в таблицу приложения А. В таблице имеется 1. 24 серии двумерных подалгебр. Для каждой подалгебры вычислен базис из 11 функционально независимых дифференциальных инвариантов и по 4 оператора инвариантного дифференцирования.2. 70 серий 3-х мерных подалгебр. Вычислен базис из 10 функционально независимых дифференциальных инвариантов и по 4 оператора инвариантного дифференцирования.3. 113 серий 4-х мерных подалгебр. Для каждой подалгебры вычислено 5 точечных инвариантов.Вторая глава состоит из четырех параграфов. В пятом параграфе проведена классификация инвариантных подмоделей ранга 1 для 10 трехмерных подалгебр. Инвариантные подмодели ранга 1 можно строить на трехмерных подалгебрах, у которых из инвариантов определяются все газодинамические функции. Инвариантная подмодель представляет собой систему из 5 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.Основная задача найти интегралы у этой системы. Согласно теореме Коши — Ковалевской [26] любая подмодель является интегрируемой локально.Однако очень сложно найти интегралы глобально в простой алгебраической форме. С помощью фактор - нормализатора подалгебры можно понизить порядок системы или найти интегралы. Чем выше порядок нормализатора, тем больше интегралов можно определить. Если размерность нормализатора равняется 3, то подалгебра самонормализованна и симметрии, наследуемых из L,3 у подмодели нет. Также порядок инвариантной подмодели можно понизить за счет дополнительных интегралов, не связанных с симметриями нормализатора. Дополнительные интегралы получаются эвристическим путем по аналогии с известными примерами.В уравнениях подмодели входят параметры: алгебраические или постоянные интегралов. При некоторых соотношениях на параметры появляются новые интегралы, и подмодель может стать интегрируемой.Классификация подмоделей проводится по порядку упрощений инвариантной подмодели.В результате классификации получено 3 подмодели, сводящиеся к одному уравнению Риккати, которое является интегрируемым при некоторых соотношениях на параметры подалгебры.Для пяти подалгебр подмодели сводятся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений.В §6 изучены две 3-х мерные подалгебры 3.2" и 3.18. Из инвариантов этих подалгебр невозможно определить все газодинамические функции.Поэтому на них можно строить дифференциально - инвариантные подмодели (ДИП). Способ построения ДИП описан в работе [55]. Согласно определению, для трехмерных подалгебр возможны ДИП пяти рангов: 2+0, 2+1,2+2,3+0,3+1.2. U = V3,9 = -2a/V3+V)/((a-l)/t),p 1 / 3=-t/(a-l) , где \|/(s) - произвольная функция.ДИП ранга 3+0 новая подмодель. ДИП ранга 2+1 и 2+2 редуцируются к инвариантным подмоделям. ДИП ранга 3+1 совпадает с частично инвариантным решением ранга 3 дефекта 2. Для нее найдены частные решения (6.37), (6.38).Инварианты подалгебры 3.18 выражаются через независимые переменные, что облегчает доказательства теорем редукции [32,33,35].Доказаны следующие утверждения.Утверждение 1. ДИП ранга 2+0 допускает только оператор Х{.Оператор Xj в инвариантах подалгебры будет оператором растяжения.Параметры более общего растяжения примем за средние величины так, чтобы в ДИП 2+0 появился малый параметр е. Решение системы будем искать в виде ряда по малому параметру (гиперзвуковое приближение): uo=Z aokS k»Po=ZPokS k, Ф = Ефок е 1 с> ро=£ рок е к> к > 0 .Параметр 1 определяется из равенства С3 е х р ^ у ) = С4 exp(C2z).Система (10) является системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Правые части этой системы зависят от функций из предыдущих приближений. Решение системы может быть найдено для любого m в квадратурах. В работе найдено решение в квадратурах для первого приближения (6.57).Теорема 2. ДИП ранга 3+0 редуцируется к ИП на подалгебре Xj + Х,2.Теорема 3. ДИП ранга 2+1 редуцируется к ДИП 2+0.Теорема 4. ДИП ранга 2+2 редуцируется к ДИП ранга 2+0.В §7 проинтегрированы все инвариантные подмодели ранга ноль с линейным полем скоростей. Такие подмодели можно строить на 4-хмерных подалгебрах, у которых нет инвариантов, зависящих от независимых переменных. В таблице приложения А имеется 31 подалгебра, на которых можно строить инвариантные подмодели с линейным полем скоростей. В этом случае представление решения для компонент скорости записывается в виде u = A(t)x + u0(t), где A(t)- линейный оператор. Представления для функций р, р будем считать произвольными, т.е. рассмотрим частично инвариантное решение дефекта 2. Замечено, что для всех подалгебр выполняется равенство А' + А = 0. Существует решение этого операторного уравнения. Матрица А может быть 4 видов (случай cl, с2, сЗ, с4). Подставив представления решения в УГД, получаем две подмодели.1. Подмодель I: (7.2), (7.3), (7.10) - (7.12).2. Подмодель II: (7.3), (7.17).При уф— постоянные M,E0,Ej,P,Q,R определяются через постоянные. U0,V0, W0,p0,p0, которые могут быть произвольными.В третьей главе дана физическая и геометрическая интерпретация некоторых точных решений УГД, найденных в главе 2. Будем рассматривать только те точные решения, для которых возможен коллапс. В реальном движении коллапс это сжатие конечного объема в малый объем. При движении жидкости (или металла при больших давлениях и высоких температурах) в точках коллапса металл сильно сжимается. Значит, могут происходить наноструктурные превращения. Движение выделенного объема указывает на конструкции труб, в которых такие превращения возможны.Все рассмотренные ниже точные решения описывают нестационарное трехмерное движение сжимаемой жидкости.В §10 рассматриваем 4-х мерную подалгебру 4.12.Движение выделенного объема жидкости, ограниченного сферой при t<0 (см. Рисунок 8), можно представить как сжатие в двух направлениях с неизменным третьим размером. Если в качестве пробного тела взять катушку с током, то при схлопывании в магнитной катушке возникнут гигантские магнитные поля.Движение выделенного объема жидкости, ограниченного сферой при t>0 (см. Рисунок 9), можно представить как расширение в сечениях у, z с одним неизменным размером в направлении оси х.В §11 рассмотрено решение с линейным полем скоростей (случай cl). х1 Уравнения движения частиц имеют вид х1 = — (t -1 ;), t — t где XQ- начальное положение частицы в момент t = t 0 . На рисунке 11 изображено движение куба жидкости. Куб при движении в разные моменты времени коллапсирует на координатные плоскости. При движении между координатными плоскостями куб обжимается со всех сторон. Такое движение можно рассматривать как плоскую ковку металла со всех сторон.В §12 рассмотрено решение с линейным полем скоростей (случай с2).Заключение содержит результаты и выводы проделанной работы.Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф. - м.н., профессору В. Хабирову за постановку задачи и внимание к работе.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Предложен способ понижения порядка инвариантных подмоделей, основанный на использовании фактора нормализатора, а также использующий дополнительные интегралы, найденные по аналогии с нахождением интеграла Бернулли и интеграла закрутки.

2. Установлена редукция дифференциально — инвариантных подмоделей к инвариантным подмоделям.

3. Разработан аналитический метод нахождения решений инвариантных подмоделей с линейным полем скоростей, построенных на четырехмерных подалгебрах.

4. Дана физическая интерпретация нестационарных трехмерных явлений, описываемых подмоделями сжимаемой жидкости с линейным полем скоростей, с помощью многопараметрического семейства точных решений. Установлено, что эти явления описывают процессы объемного сжатия и расширения, протекания жидкости через щель.

1] Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике // Динамика газовых эллипсоидов/ М.: Наук. 1980. гл. VII. С. 261-299.

2] Гарифуллин А. Р. Подмодели сжимаемой жидкости на двумерных подалгебрах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. VI. №1(13). С. 15 - 26.

3] Головин С. В. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1997. Т. 38. №1. С. 3 - 10.

4] Головин С. В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики // ПМТФ. 2002. Т.43. №4. С. 3 - 14.

5] Головин С. В. Групповое расслоение и точные решения уравнения трансзвукового движения газа // ПМТФ. 2003. Т. 44. №3. С. 51 - 63.

6] Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.:Наука. 1983. 280 С.

7] Мамонтов Е. В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1999. Т. 40. №2. С. 50 - 55.

8] Мамонтов Е. В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Е уравнений газовой динамики // ПМТФ. 2001. Т. 42. №1. С. 33 - 39.

9] Мамонтов Е. В. Инвариантные решения уравнений Клебша // Труды международной конференции. Стерлитамак. 2008. С. 123-127.

10] Мелешко С. В. Групповая классификация уравнений движений газа в постоянном поле сил // ПМТФ. 1996. Т. 37. №1. С. 42 - 47.

11] Мустаев А. Ф. Подмодели винтовых галилеево — инвариантных течений в газовой динамике // Изд - во БашГПИ.Уфа. 1999. 27 с.

12] Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. Т.1. 1987. 464 с.

13] Овсянников Л. В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111. №1. С. 47-49.

14] Овсянников JI. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 399 с.

15] Овсянников JI. В. О свойстве х - автономии // Докл. РАН. 1993. Т. 330. №5. С.559-561.

16] Овсянников Л. В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т.30. №10. С. 1792 - 1799.

17] Овсянников Л. В. Программа Подмодели. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, вып. 4.С. 30-55.

18] Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения//ДАН. 1995. Т. 343. №2. с.156-159.

19] Овсянников Л. В., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики. ПММ. Т. 60, вып.6. 1996. С.990 -999.

20] Овсянников Л. В. Регулярные типа (2, 1) подмодели уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1996. Т. 37.№2. С. 3 - 13.

21] Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы «Подмодели» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 3. С. 439-444.

22] Овсянников Л. В. О периодических движениях газа // ПММ. Т.65, вып.4. 2001. С. 567-577.

23] Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: ИКИ. 2003. 336 с.

24] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989. 639 с.

25] Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: ГИТТЛ. 1955. 804 с.

26] Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2002 г. 256 с.

27] Уразбахтина Л. 3. Простые решения уравнений сжимаемой жидкости // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й

Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. -2005 г. -С. 217-221.

28] Уразбахтина JI. 3. Частично инвариантное решение ранга 3 дефекта 2 для подалгебры из двух переносов и растяжения для уравнений сжимаемой жидкости // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. -2006 г. -С. 277-280.

29] Уразбахтина JI. 3. Дифференциально - инвариантные подмодели для одной трехмерной подалгебры // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН. - 2006 г. - С. 99-100.

30] Уразбахтина JI. 3. Дифференциально - инвариантная подмодель стационарного типа почти двумерных движений газа // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. -2007 г. - С. 219-223.

31] Уразбахтина JI. 3. Дифференциально - инвариантные подмодели трехмерных подалгебр для сжимаемой жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. Том X. №2(30). 2007 г. - С. 128-137.

32] Уразбахтина JI. 3. Интегрирование дифференциально - инвариантных подмоделей // Труды института математики и механики. Том 13. №4. 2007 г. -С. 129-137.

33] Уразбахтина JI. 3. Гиперзвуковое приближение для одной инвариантной подмодели // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. -2008 г. -С. 180-183.

34] Уразбахтина JI. 3. Исследование частного решения одной инвариантной подмодели, найденного с помощью гиперзвукового приближения // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Екатеринбург: УрО РАН. - 2008 г. -С.61- 62.

35] Уразбахтина Л. 3. Редукция дифференциально - инвариантных подмоделей к инвариантным // Труды института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 6. - Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. - С. 143-149.

36] Уразбахтина Л. 3. Симметрийные подмодели трехмерных подалгебр // Тезисы докладов Международной конференции MOGRAN-13. Уфа: УГАТУ -2009 г.-С.27.

37] Уразбахтина Л. 3. Инвариантные подмодели ранга один газовой динамики со специальным уравнением состояния // Уфимский математический журнал. Т.1. №3 - 2009 г. - С. 139-153.

38] Черевко А. А. Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике. Диссертация на соискание ученой степени к. ф. — м. н. Новосибирск. 2005. 164 с.

39] Чиркунов Ю. А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУЭУ. 2007. 362 с.

40] Чупахин А. П. О барохронных движениях газа // Докл. АН. 1997. Т. 352, №5. С. 624-626.

41] Хабиров С. В. Нестационарное инвариантное решение уравнений газовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума // ПММ. Т.52, вып.6. 1988. С.967 - 975.

42] Хабиров С. В. Применение контактных преобразований неоднородного уравнения Монжа - Ампера в одномерной газодинамике // Докл.АН.1990. Т. 310. №2. С. 333 -336

43] Хабиров С. В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа- Ампера // Математический сборник. 1990. Т. 181. №12. С. 1607 -1622.

44] Хабиров С. В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Докл. АН. 1995. Т.341. №6. С.764 - 766.

45] Хабиров С. В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике // ПММ. 1996. Т.60, вып. 1. С. 53 - 65.

46] Хабиров С. В. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Математические заметки.1996. Т. 59, вып. 1.С. 133-141.

47] Хабиров С. В. Подмодель вращательных движений газа в однородном поле сил // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 2. С. 263 - 271.

48] Хабиров С. В. Подмодель вращательных движений в газовой динамике // ПМТФ. 1998. Т. 39. №6. С. 37 - 45.

49] Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Препринт института механики УНЦ РАН. Уфа. 1998. 33с.

50] Хабиров С. В. Течения газа со спиральными поверхностями уровня // ПМТФ. 1999. Т. 40. №2. С. 34 - 39.

51] Хабиров С. В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики к каноническому виду // Математические заметки. 1999. Т.66, вып.З. С. 439444.

52] Хабиров С. В. Инвариантные решения уравнений газовой динамики // Вестник УГАТУ. 2001. №1(3). С. 47 - 52.

53] Хабиров С. В. Нерегулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 1 уравнений газовой динамики // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. №5. С. 1168 - 1181.

54] Хабиров С. В. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа: Гилем. 2003. 192 с.

55] Хабиров С. В. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45. №3. С. 682701.

56] Хабиров С. В. Непрерывное радиальное ограниченное движение газа под действием поршня // ПМТФ. 2004. Т. 45. №2. С. 124 - 135.

57] Хабиров С. В. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа // Математические заметки. 2006. Т. 79, вып. 4. С. 601-606.

58] Хабиров С. В. Частично инвариантные решения для подмодели радиальных движений газа // ПМТФ. 2007. Т. 48. № 5. С. 26 - 34.

59] Dyson F. J. Dynamics of a Spinning Gas Cloud // Journal of mathematics and mechanics. 1968. Vol. 18. №1. P. 91-101.

60] Lie S., Engel F. Teorie der Transformationsgruppen. Bd. 1-3. Leipzig, Teubner.1888, 1890, 1893.

Заключение

1. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике // Динамика газовых эллипсоидов/ М.: Наук. 1980. гл. VII. 261-299.

2. Гарифуллин А. Р. Подмодели сжимаемой жидкости на двумерныхподалгебрах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. VI. №1(13). 15-26.

3. Головин В. Об одном инвариантном решении уравнений газовойдинамики // ПМТФ. 1997. Т. 38. №1. 3 - 10.

4. Головин В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовойдинамики//ПМТФ. 2002. Т.43. №4. 3 - 14.

5. Головин В. Групповое расслоение и точные решения уравнениятрансзвукового движения газа // ПМТФ. 2003. Т. 44. №3. 51 - 63.

6. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.М.:Наука.1983.280С.

7. Мамонтов Е. В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовойдинамики // ПМТФ. 1999. Т. 40. №2. 50 - 55.

8. Мамонтов Е. В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Е уравненийгазовой динамики // ПМТФ. 2001. Т. 42. №1. 33 - 39.

9. Мамонтов Е. В. Инвариантные решения уравнений Клебша // Трудымеждународной конференции. Стерлитамак. 2008. 123-127.

10. Мелешко В. Групповая классификация уравнений движений газа впостоянном поле сил // ПМТФ. 1996. Т. 37. №1. 42 - 47. 1.. Мустаев А. Ф. Подмодели винтовых галилеево — инвариантных течений в газовой динамике // Изд - во БашГПИ.Уфа. 1999. 27 с.

11. Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. Т.1. 1987.464 с.

12. Овсянников Л. В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АНСССР. 1956. Т. 111. №1. 47-49.

13. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:Наука. 1978. 399 с.

14. Овсянников Л. В. О свойстве х - автономии // Докл. РАН. 1993. Т. 330.№5. 559-561.

15. Овсянников Л. В. Изобарические движения газа // Дифференциальныеуравнения. 1994. Т.30. №10. 1792 - 1799.

16. Овсянников Л. В. Программа Подмодели. Газовая динамика // ПММ.1994. Т. 58, вып. 4.С. 30-55.

17. Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантныерешения//ДАН. 1995. Т. 343. №2. с.156-159.

18. Овсянников Л. В., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантныеподмодели уравнений газовой динамики. ПММ. Т. 60, вып.6. 1996. 990 999.

19. Овсянников Л. В. Регулярные типа (2, 1) подмодели уравнений газовойдинамики // ПМТФ. 1996. Т. 37.№2. 3 - 13.

20. Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы«Подмодели» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 3. 439-444.

21. Овсянников Л. В. О периодических движениях газа // ПММ. Т.65, вып.4.2001. 567-577.

22. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. МоскваИжевск: ИКИ. 2003. 336 с.

23. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.:Мир. 1989. 639 с.

24. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.:ГИТТЛ. 1955. 804 с.

25. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальныеуравнения. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2002 г. 256 с.

26. Уразбахтина Л. 3. Простые решения уравнений сжимаемой жидкости //Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. -2005 г. 217-221.

27. Уразбахтина Л. 3. Дифференциально - инвариантные подмодели дляодной трехмерной подалгебры // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН. - 2006 г. - 99-100.

28. Уразбахтина Л. 3. Дифференциально - инвариантная подмодельстационарного типа почти двумерных движений газа // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. -2007 г. - 219-223.

29. Уразбахтина Л. 3. Дифференциально - инвариантные подмоделитрехмерных подалгебр для сжимаемой жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. Том X. №2(30). 2007 г. - 128-137.

30. Уразбахтина Л. 3. Интегрирование дифференциально - инвариантныхподмоделей // Труды института математики и механики. Том 13. №4. 2007 г. - С . 129-137.

31. Уразбахтина Л. 3. Гиперзвуковое приближение для одной инвариантнойподмодели // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. -2008 г. - С . 180-183.

32. Уразбахтина Л. 3. Редукция дифференциально - инвариантныхподмоделей к инвариантным // Труды института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 6. - Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. - 143-149.

34. Уразбахтина Л. 3. Инвариантные подмодели ранга один газовойдинамики со специальным уравнением состояния // Уфимский математический журнал. Т.1. №3 - 2009 г. - 139-153.

35. Черевко А. А. Исследование дифференциальных уравнений вихряОвсянникова в газовой динамике. Диссертация на соискание ученой степени к. ф. — м. н. Новосибирск. 2005. 164 с.

36. Чиркунов Ю. А. Групповой анализ линейных и квазилинейныхдифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУЭУ. 2007. 362 с.

37. Чупахин А. П. О барохронных движениях газа // Докл. АН. 1997. Т. 352,№5. 624-626.

38. Хабиров В. Нестационарное инвариантное решение уравненийгазовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума // ПММ. Т.52, вып.6. 1988. 967 - 975.

39. Хабиров В. Применение контактных преобразований неоднородногоуравнения Монжа - Ампера в одномерной газодинамике // Докл.АН.1990. Т. 310. №2. 333-336

40. Хабиров В. Неизэнтропические одномерные движения газа,построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа- Ампера // Математический сборник. 1990. Т. 181. №12. 1607 1622.

41. Хабиров В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравненийгазовой динамики // Докл. АН. 1995. Т.341. №6. 764 - 766.

42. Хабиров В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике //ПММ. 1996. Т.60, вып. 1. 53 - 65.

43. Хабиров В. Винтовые движения в газовой динамике с давлением иплотностью, зависящими только от времени // Математические заметки. 1996. Т. 59, вып. 1.С. 133-141.

44. Хабиров В. Подмодель вращательных движений газа в однородномполе сил // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 2. 263 - 271.

45. Хабиров В. Подмодель вращательных движений в газовой динамике //ПМТФ. 1998. Т. 39. №6. 37 - 45.

46. Хабиров В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемыхуравнениями газовой динамики. Препринт института механики УНЦ РАН. Уфа. 1998. 33с.

47. Хабиров В. Течения газа со спиральными поверхностями уровня //ПМТФ. 1999. Т. 40. №2. 34 - 39.

48. Хабиров В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики кканоническому виду // Математические заметки. 1999. Т.66, вып.З. 439444.

49. Хабиров В. Инвариантные решения уравнений газовой динамики //Вестник УГАТУ. 2001. №1(3). 47 - 52.

50. Хабиров В. Нерегулярные частично инвариантные решения ранга 2дефекта 1 уравнений газовой динамики // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. №5. 1168 - 1181.

51. Хабиров В. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа: Гилем.2003. 192 с.

52. Хабиров В. Классификация дифференциально инвариантныхподмоделей // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45. №3. 682701.

53. Хабиров В. Непрерывное радиальное ограниченное движение газа поддействием поршня // ПМТФ. 2004. Т. 45. №2. 124 - 135.

54. Хабиров В. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальныхпрямолинейных движений газа // Математические заметки. 2006. Т. 79, вып. 4. 601-606.

55. Хабиров В. Частично инвариантные решения для подмоделирадиальных движений газа // ПМТФ. 2007. Т. 48. № 5. 26 - 34.

56. Dyson F. J. Dynamics of a Spinning Gas Cloud // Journal of mathematics andmechanics. 1968. Vol. 18. №1. P. 91-101.

57. Lie S., Engel F. Teorie der Transfonnationsgruppen. Bd. 1-3. Leipzig,Teubner.1888, 1890, 1893.