автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и алгоритмы плоскопараллельного обтекания профиля

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ

05.13.18 —математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2006

Работа выполнена на кафедре гидравлики и гидравлических машин Кубанского государственного технологического университета

доктор технических наук, профессор Рябченко Владимир Ильич.

доктор физико-математических наук, профессор,

заслуженный деятель науки РФ Муравей Леонид Андреевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Потетюнко Эдуард Николаевич. Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится « » (Л № 2006 г. в 0Ю мин. на за-

седании диссертационного совета К 212.208.04 по физико-математическим и техническим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, корпус 2, ЮГИНФО РГУ, к.20б.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « б» Ц.С-0 2006 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совету—

кандидат физико-математических наук, Муратова Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование плоскопараллельных стационарных течений несжимаемой жидкости является актуальным, многие современные технологии требуют исследования таких гидродинамических задач.

Математические и экспериментальные исследования задач гидродинамики представляют собой значительные трудности. Для решения привлекаются методы вычислительной техники и математики, большую роль в исследовании гидродинамических задач играет численный эксперимент, создание эффективных численных алгоритмов имеет принципиальное значение.

Основные математические методы и алгоритмы теории плоскопараллельных течений идеальной жидкости опираются на результаты и методы теории функций комплексного переменного, в их разработку внесли существенный вклад отечественные ученые (Чаплыгин С.А., Лаврентьев М.А., Келдыш М.В., Седов Л.И. и другие).

К важнейшим проблемам гидродинамики относятся задачи теории крыла. Существенное значение при этом имеет изучение и моделирование плоскопараллельных течений несжимаемой жидкости, для определения циркуляции и подъемной силы используется постулат Жуковского-Чаплыгина.

К основным численным методам современной теории крыла относится метод дискретных вихрей (Белоцерковский С.М., Лифанов И.К.), который широко используется и в нестационарных моделях и в моделях вихревого обтекания. Метод дискретных вихрей состоит в представлении комплексной скорости интегральной формулой Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению 1-го рода, ядро интегрального оператора содержит сильную особенность. Численное решение таких уравнений с достаточной точностью встречает определенные компьютерные и теоретические трудности (Лифанов И.К., Горелов Д.Н.).

Диссертация посвящена применению методов теории логарифмического потенциала к задачам плоскопараллельного обтекания, обоснованию моделей и методов, основанных на представлениях функции тока потенциального течения (в отличие от традиционного моделирования комплексной скорости), численным алгоритмам и их некоторым реализациям в задачах теории крыла.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей плоскопараллельного обтекания профиля потенциальным потоком несжимаемой жидкости, в исследовании функции тока и

получении новых ее представлений, в разработке аппроксимирующих алгоритмов и доказательстве их сходимости, в применении к задачам обтекания профилей.

Научная новизна и выносимые на защиту результаты:

1) представление функции тока задачи плоскопараллельного обтекания логарифмическим потенциалом по обтекаемой области, общее однопараметрическое представление функции тока для обтекания профиля с произвольной циркуляцией;

2) леммы о полных на границе системах функций и опирающиеся на них алгоритмы для задач плоскопараллельного обтекания, алгоритм задачи Робена;

3) формула циркуляции, соответствующей минимуму кинетической энергии на профиле, определение точки отрыва потенциального потока;

4) представление функции тока присоединенного вихря Жуковского, присоединенного вихря с минимальной плотностью распределения вихрей, их сходящиеся алгоритмы;

5) модель и алгоритмы задачи обтекания с точечными вихрями, формулы вычисления траекторий движения вихрей,

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена строгими доказательствами предложенных утверждений, доказательствами сходимости приближенных решений, сравнением с известными результатами.

Методы исследования включали в себя методы теории потенциала и функционального анализа, теории функций комплексного переменного, методы линейной алгебры, численные методы для краевых задач математической физики и интегралов.

Апробация работы. Основные результаты были представлены на следующих конференциях:

— IV Всероссийская научная Ыегпе^конференция «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках». Тамбов, ТГУ, апрель-май 2002 г.;

— межвузовские конференции «Компьютеризация учебного процесса и вопросы применения компьютерных и информационных технологий». Краснодар, Краснодарский военный авиационный институт, 1718 мая 2002;

- Международная летняя школа молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления». Ростов-на-Дону, 2-9 июня 2002 г.;

- IX Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики. Абрау-Дюрсо, 15 сентября 2002 г.;

— XIII межвузовская конференция «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 28-30 мая 2003 г.;

— XI и XII Всероссийские научно-технические семинары по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Самарский государственный аэрокосмический университет. Самара, 23-25 июня 2003, 21-23 июня 2005;

— X Всероссийская школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 15-20. 09. 2003 г.;

— Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 26-28 мая 2004 г.;

— Всероссийская школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа». Абрау-Дюрсо, 4-7 сентября 2004 г.;

— I и II всероссийские конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 28-30 мая 2004 г., 29 мая - 1 июня 2005 г.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации модели и алгоритмы могут быть применены для решения и исследования задач обтекания произвольных профилей, задач обтекания профиля с указанной вихревой зоной, с источниками на границе, в задачах экраноплана.

Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе в спецкурсах по численным методам, по гидродинамике, в лабораторных курсах.

Диссертационные исследования были составной частью работ по следующим проектам.

1. «Алгоритмы потенциального и вихревого обтекания низколетящего тела (аэродинамика экраноплана)», проект № 06.01.165 Межотраслевой научно-технической программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства обороны Российской Федерации по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» за 2001 г.

2. «Спутниковые измерения геопотенциала, потенциал Робена и разложение плотности Земли по полигармоническим функциям», проект № Т02-14.0-2492 Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области технических наук, 2002-2003 г.

Публикации. По теме диссертации публиковано 12 работ, из них 2 — в рецензируемых журналах, общий список содержит 24 наименования.

Структура работы: диссертация, изложенная на 101 стр., состоит из введения, четырех частей, заключения, списка литературы и приложения.

Содержание работы

Во введении отмечается актуальность тематики, приводятся основные модели задачи плоскопараллельного обтекания и краткий обзор литературы, формулируются основные результаты, указываются их некоторые возможные применения. .

Пусть Q — ограниченная односвязная область на плоскости R2 с достаточно гладкой границей S (удовлетворяющей условию Ляпунова), Q* - внешняя область, Q+ = R2 \Q .

Требуется построить в области Q* векторное поле w(x) = { и(х), v(jc)}, х = хг), удовлетворяющее условиям:

a) div w(x) = 0, rot vv(jc) = 0, xeQ+;

b) граница S — линия тока течения w(;c);

c) iv(oo) = {м0, v0} — заданная скорость на бесконечности.

Из первого условия а) следует существование функции тока у/{х),

Векторное поле и>(я) = { и(х), v(jc)} можно трактовать как поле скоростей плоскопараллельного потенциального потока несжимаемой жидкости, обтекающей профиль S. Определяемое условиями а)-с) векторное поле существует и не единственно.

Глава 1 содержит полученные результаты по теории потенциала, необходимые для основной второй части.

Определение. Последовательность точек г'" называется множеством, удовлетворяющим условию единственности гармонических функций, если для гармонических функций и(х) и v(x)

из равенств u(zm) = v(zm), т-1,2,..., следует их тождественное равенство, м(х) = v(x).

Ограниченную последовательность точек {г'")( , если она принадлежит соответственно области Q+ или ¡2", отделена от границы и удовлетворяет условию единственности; будем называть базисной. Отметим, что базисные точки zm не могут лежать на линиях уровня гармонической функции (не равной константе), например, на окружности или на линиях уровня потенциала Робена, являющихся замкнутыми кривыми в Q*.

Раздел 1.1 посвящен потенциалу Робена, который играет существенную роль в задачах плоскопараллельного обтекания одного или нескольких профилей. Если его рассматривать как функцию тока тече-

ния, то потенциал Робена определяет чисто циркуляционное потенциальное обтекание профилей.

Потенциалом Робена Щх) называется потенциал, простого слоя

R{x)~l<p\y)E{x-y)dsy s

такой, что Щх) ш R0 = пост при х е Q.

Функция <р'(х) является собственной функцией оператора, сопряженного интегральному оператору потенциала двойного слоя. Приводится доказательство следующего утверждения: потенциал Робена R(x) для круга произвольного радиуса г имеет вид

[г lnj*|, > г,

К(Х) - I . I К

[г !п Г, 1*1 < г.

В частности, для окружности плотность потенциала Робена постоянна, потенциал Робена в единичном круге равен нулю.

Обозначим через и 1?2 (5) подпространства в £2 (■*>), ортого-

нальные соответственно одномерным подпространствам {1} и {?>*), ¿2 (£)■= {ч>* }© Щ (5) = {1} е ьсг (5).

Приведен алгоритм решения задачи Робена - задачи определения плотности <р (х). Он опирается на следующее утверждение: система функций 5т{х)~ £(г'"+|-х)-Е(гт-х), т = 1,2,где

базисные точки гт принадлежат внутренней области полна и линейно независима в 1?г (5).

Обозначим через (,) и || • || скалярное произведение и норму в пространстве Ь2 (£). Система функций 3„(х) дает проекционный алгоритм определения <р*(х): если (/;, <р*)*0, /г'^(х) — проекция Ь на подпространство {¿>„<= ¿2> Л'»' то и С(р'. Проекция представляется в виде

и=!

коэффициенты ее определяются решением задачи минимизации квадратичной функции Р(с...... сЛ/)=|Л(л)-АЛ'(л:)| .

Раздел 1.2 посвящен разложению пространства L2(Q), приводится доказательство в R2 утверждения, формулировка которого была дана в работе ГТ.С. Новикова (ДАН СССР, 1938) для трехмерного случая.

Лемма (Новиков). Если Q - ограниченная область в Л2 с границей Ляпунова, то пространство Lj{Q) имеет следующее разложение в прямую сумму —

где G(Q) - подпространство гармонических в Q функций, а функция р(х) принадлежит N{Q) тогда и только тогда, когда

\p(y)E{x~y)dy = 0, xeQ+. Q

Функции из N(Q) можно назвать плотностями нуль-потенциалов (нуль-плотности). Подпространству N(Q) принадлежат, в частности, функции р(у) = Av(>>) , где v(.y) = önv(>)=0 при yeS.

Далее используется следующее утверждение: если последовательность точек zm е ß+, т = 1,2,..., базисная, то система функций

ym(.x)=E(zm-x), х eß, т = 1,2,..., линейно независима и замкнута в подпространстве G(Q) гармонических в Q функций, G(ß)ci2(ß).

Следующая лемма дает более простое условие принадлежности функции подпространству N{Q) .

Лемма 1.2. Если Q — ограниченная область в Ä2 с границей Ляпунова S, и ее потенциал Робена не равен нулю, R0 * 0, то функция р(х) принадлежит N{Q) тогда и только тогда, когда

fp(y)E(x-y)dy = 0, «Ä. (1)

Q

Условие Д0 * 0 исключить нельзя, так, например, интеграл (1) равен нулю на S, если Q - {х: |х| < 1}, S - единичная окружность и р(х) = 1.

В разделе 1.3 получены некоторые результаты об интегральных операторах логарифмического потенциала по границе S и области Q.

Лемма 1.3. Линейная функция i(x)e L2(S) может быть представлена на S потенциалом простого слоя

= хб5; (2)

s

это представление единственно, если потенциал Робена R0 на S не равен нулю.

Функция <р*(х) также может быть представлена на 5 логарифмическим потенциалом простого слоя, если Я0 * 0.

Лемма 1.5. Линейная функция 1(х) может быть представлена на 5 в виде

(1х)=\е{у)Е{.х-у)<Ь,, *е5; (3)

О

и это представление единственно в подпространстве гармонических функций g(x) е в(<2).

При /?0 = 0 представление (2) не единственно, а функция <р'(х) не может быть представлена интегралом (3), а также потенциалом простого слоя (2).

В разделе 1.4 рассматриваются системы функций полные на границе области, которые могут быть использованы для построения аппроксимирующих алгоритмов в различных задачах обтекания.

Пусть граница 5 удовлетворяет условию Ляпунова, последовательность точек г'", т = 1,2,..., принадлежит 0*, отделена от границы 5

и удовлетворяет условию единственности гармонических функций в Я2 (базисные точки).

Рассмотрим функции цк (х), к- 1,2.....

= ¡Г*(У)Е(*~У)аУ>

0

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1.8. Система функций щ(х), к = 1,2,..., линейно независима и замкнута в ¿2(5), если потенциал Робена К0 для области (2 не равен нулю, если потенциал Робена Я0 для области О равен нулю, Ао=0, то функции /лк(х), к = 1,2,..., принадлежат подпространству 1?г (5) и образуют в полную систему.

Пусть £> - односвязная ограниченная подобласть в ()+, ¿>с{2+ (область £>, в частности, может иметь общую часть границы с границей 5 области (2). Рассмотрим функции

/4(*)= ¡У„,(у)Е(х-у)е1у, 1>

где у,„(у) = Е(г'" - у), у £ О, г'" — базисная последовательность точек в

дополнении ¿>+ к области £>, т = 1, 2.....

Лемма 1.9. Система функций Мт(х)> '" = 1,2,..., замкнута в пространстве ¿2(5) и линейно независима.

Глава 2 является основной. Раздел 2.1 посвящен классическим математическим моделям плоскопараллельных течений. Приводятся свойства комплексного потенциала, задача обтекания а)-с) сводится к построению функции тока. Приводятся основные свойства потенциала Робена.

Опираясь на полученные выше леммы в разделе 2.2 для задачи обтекания профиля S несжимаемой потенциальной жидкостью, т.е. для задачи а)-с), приводится общий вид функции тока у(х),

у/(х) = (и0х2 - v0*|) + J g(y)E(x - у) dy, xeQ+\ (4)

Q

здесь - гармоническая функция, y/(x) = b= пост на S.

Теорема 2.1. Функция тока у(х) задачи обтекания а)-с) представляется в виде (4), где g{y) е G(Q); если потенциал Робена для Q не равен нулю, то это представление единственно в подпространстве G(Q).

Для циркуляции Г на S справедливо равенство r=\g{y)dy.

е

Течения с произвольными циркуляциями можно получать, изменяя в условии у(х) = Ь на границе значение постоянной Ь.

Для выбора необходимой циркуляции удобно использовать следующее общее однопараметрическое представление для функции тока

^(x) = (m0*2-v0jc,) +\g°{y)E(x-y)dy + y\g\y)E(x-y)dsy, х е Q+ , (5)

Q S

где g°(y) — плотность из представления (4) при некотором фиксированном значении b на S. Изменяя параметр у, можно получить функцию тока любого обтекающего потенциального течения w(x),

Обтекаемый профиль S может быть, по предположению Жуковского, заменен вихрем в области Q (присоединенным вихрем Жуковского), который порождает данное обтекающее течение (раздел 2.3). Внешнее течение и присоединенный вихрь по предположению непрерывно продолжают друг друга.

Правая часть в представлении (4) является непрерывно дифференцируемой в R2 (если, например, geLp(Q), р> 2), т.е. внешнее течение непрерывно продолжается в область Q с помощью (4). Следова-

тельно, в (4) при хе() является функцией тока присоединенного вихря Жуковского.

Теорема 2.3. Общее представление функции тока присоединенного вихря в области Q для обтекающего течения а)-с) имеет вид

ГоМ'К'г-эд)4 \&(у)Е(*-у)<1у+ \Ь{у)Е(х-у)<1у, л: 6 0, (6) О Р

где й(>>) - любая из подпространства //(0).

Последнее слагаемое в (6) определяет функцию тока внутреннего вихревого течения в () с условием прилипания на границе Циркуляция на 5 или на окружности большого радиуса г, определяемая этим слагаемым, равна нулю, так как А е N(0).

В разделе 2.4. рассматривается задача минимизации кинетической

энергии Т на границе 5, Т = — <Ь. Для функции тока у/(х) ис-

2 х

пользуется общее представление (5), зависящее от одного параметра у при фиксированном значении Ь. Так как на Я выполнено равенство

т°. применяя операцию дифференцирования

по нормали к 5 в точке х (хе (}+ вблизи границы), переходя на границу при х -> х' е 5 и используя граничное свойство нормальной производной потенциала простого слоя, получим выражение для кинетической энергии Т на профиле 5 —

^о**-*<>*.) + + Г8°(у)

8п(х) Ь I& У 8п(х) у

Т=Р\

2*

<ЬХ.

Приравнивая нулю производную Т'{у), получим следующее значение параметра, минимизирующее кинетическую энергию на границе,

5 д»(.х) 0 5 дф) Г о =--

В главе 3 представлены основные алгоритмы и численные результаты.

Аппроксимация (х) функции тока для основной задачи обтекания а)-с) профиля 6' строится в виде

где ^(х) = Ь при * е 6 - некоторая постоянная, ^ (.у) = ^с„у„(у).

Для определения коэффициентов ск решается задача минимизации фуНКЦИИ р(с,, С2> ..., С/у),

II » II2

Р = - ("(Л ~ У0*1) ~ СпМп (У) •

Необходимое условие экстремума дает для определения коэффициентов сп линейную алгебраическую систему с невырожденной матрицей Грама.

В разделе 3.1 рассматривается задача обтекания при ы0 = у0 = 0, 6*0. Такая функция тока определяет чисто циркуляционное обтекание профиля 5 при л. Ее аппроксимация имеет вид

(*) = \8Ы(У)Е(х - уШ х е & ,

для хорошего качества иллюстраций обычно достаточно брать N = 30~50. Приводится вид линий уровня функции Уо (х) (линий тока чисто циркуляционного обтекания), когда О — полукруг или крыло Жуковского. Данная функция тока является потенциалом Робена, у/0(х) = Я(х).

В разделе 3.2 строится аппроксимация у/ы {х) функции тока для задачи обтекания крыла Жуковского {/л = 0.1) при различных углах атаки а (а = 0°, 10°, 20°, др.) и при различных значениях Ь, определяющих циркуляцию.

В результатах численного эксперимента определяются, в частности. такие значения Ь. что выполняется условие Жуковского-Чаплыгина схода потока с острой кромки.

Рис. 1. «==10°, /--0.03

Рис. 2. а=10°, у = -0.05296,

Для рисунков 1 и 2 применялось представление (5), на первом рисунке коэффициент у подобран так, чтобы выполнялось условие Жуковского-Чаплыгина. На втором у=у0, т.е. представлено течение, имеющее минимум кинетической энергии на границе при том же угле атаки и скорости на бесконечности.

В разделе 3.3 рассматривается задача определения присоединенного вихря Жуковского в обтекаемой области 0. По теоремам 2.1, 2.2 функция тока задачи а) - с) плоского обтекания и одновременно функция тока присоединенного вихря могут быть представлены в виде

в

К этому выражению может быть добавлено последнее слагаемое из представления (5).

Рис.3. Линии уровня фу. Рис.4. о=0, 7=0.2 (Ь=1).

На рисунках 3, 4 показаны линии тока обтекающих течений и соответствующих полукруговой области присоединенных вихрей. Для рисунка 4 циркуляция и коэффициент у подобраны так, что выполняется условие Жуковского-Чаплыгина. Показано расположение базисных точек.

Раздел 3.4 содержит численные решения задачи обтекания крыла, если в области течения имеются точечные вихри. Функция тока с точечным вихрем в точке х = г0 имеет вид

V(•*) = - ) + к |пр° - * + СгОО. Е(х ~ у))-

---- - -

........................."—- ■

liiilieilliie

------------- ----------- —ZTT^ -------

Рис 6. of=0°, у= 0.03.

Скорость w(x) = Vcy/(jr) можно трактовать как мгновенную скорость в точке лг, если х* х0. Предполагается, что вихрь сам себя не движет, поэтому скорость самого вихря в момент времени / = /0 при х= х0 определяется равенством

- г N 1

w('o) = vcl («o*2-vo*i)+ J, x = x0.

*=i

Положение центра вихря через интервал времени Д/ определяется приближенным равенством х(/0 + Дг) = л(/0) + v(r0 )Дt, где x(t0 )~х°.

Глава 4 посвящена задаче обтекания дуг и пластин с вихревой

зоной б,, QiCzQ+, используется рассматриваемое в диссертационной

работе интегральное представление функции тока

V(x) = ("0*2 - voxi) + J s(y)E(x - y)dy, x<= Q+, Й

где g(y) является плотностью вихрей в подобласти Q\. Приближенное представление функции тока для данной задачи имеет вид

N

¥ (x) = (u0x2-v0xl)+Y.c„[rn(y)E(x-y)dy, xeQ+,

где коэффициенты с„ определяются решением задачи аппроксимации в L2(S) функции b-(u0x2-v0x,)

суммами функций /¿¡¡¡(х) (лемма 1.9). Для разных углов атаки и различных значений b получены численные результаты. На рисунках приведены лини тока обтекающих пластину течений, имеющих вихревые области (на рисунках представлено расположение заданной вихревой зоны а также базисных точек).

■шфктттшшщв

\ •■ •■ \ >

Рис.7. w(oo)={0, 1}. Рис. 8. w(°o)= { 1, 1}.

Все алгоритмы реализованы на языке программирования Fortran, графика — на языке Pascal.

Приложение содержит разработанный автором алгоритм нормального (с минимальной нормой) псевдорешения плохо обусловленных линейных алгебраических систем, которые часто возникают в подобных задачах.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Ах = f с матрицей А размера NxM, rank А = K<mm(N, Л/), и приведём её к диагонализированному виду с единичной диагональю м

Xj+ £ bjiXi=gj> (5.1)

/=к+1

Квадрат евклидовой нормы вектора х при условии (5.1), имеет

вид

м , к ( м \2 м ,

= z*,2=zk- X v.- + S^2.

/=1 j=\ V 1=^+1 ) <=К + 1

Задача минимизации квадрата нормы х2, т.е. поиск нормального решения (решения с минимальной нормой) системы (5.1), приводит к системе линейных уравнений

м (к _Л к _

*р + £ Е ъТ„, ъ]; х, = £ р = к+1...,м, .

или, матричном виде,

[е + СтС)х, = Ст&, (5.2)

где С = 5(1: К, К +1: М), Е - единичная, х, = х(К +1: М) - часть искомого решения.

Симметричная положительно определённая матрица Е + СТС имеет полный ранг М — К, система (5.2) может быть решена стандартными методами. Оставшаяся же часть решения восстанавливается непосредственно из (5.1),

м

xj=8j- X bji j = \,...,K.

i=K+1

Алгоритм реализован на языке программирования Fortran, полученная подпрограмма сравнивалась с процедурами библиотек MS 1MSL и НИВЦ МГУ, выложенные на сайте http://www.srcc.msu.su.

Автор выражает благодарность коллективу кафедры гидравлики и ГМ КубГТУ за внимание и поддержку.

Основные результаты.

1. Получено представление функции тока задачи обтекания профиля через логарифмический потенциал по обтекаемой области, предложен общий однопараметрический вид функции тока обтекающего течения с произвольной циркуляцией.

2. Представлена модель присоединенного вихря Жуковского и алгоритм, определяющий присоединенный вихрь с минимальной завихренностью.

3. Предложена модель обтекания профиля с минимальной кинетической энергией и формула минимальной циркуляции. Модель указывает точку схода потока, совпадающую с острой кромкой при малых углах атаки.

4. Представлена модель потенциального обтекания профиля с точечными вихрями в области течения, отличная от модели дискретных вихрей, указан алгоритм вычисления траектории вихря.

5. Доказаны леммы о полных на границе области системах потенциалов, которые дают сходящиеся алгоритмы предлагаемых моделей обтекания.

6. Разработан комплекс программ, получено решение различных задач обтекания.

7. Разработаны методика и алгоритм нормального псевдорешения несовместных систем линейных алгебраических уравнений, проведено сравнение с известными процедурами.

Список публикаций

1. Лежнев М.В, Задача вихревого обтекания траншеи // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях», часть I. Ставрополь, 2000. С. 204.

2. Лежнев М.В., Лежнев В.В. Внешние краевые задачи уравнения Лапласа и метод точечных потенциалов // 4 Всерос. Ыегпй-конф. «Компьютерное и математическое моделирование...». Тамбов,2002. С.28-33.

3. Лежнев М.В. Модель плоскопараллельного обтекания с вихревой зоной // Межвузовская конференция «Компьютеризация учебного процесса и вопросы применения компьютерных и информационных технологий». Краснодар, Краснодарский военный авиационный институт, 2002. С.236-242.

4. Лежнев М.В. Алгоритм вихревого течения в траншее // Труды тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», часть 3. Самара, 2003. С. 112-114.

5. Лежнев М.В. Задача плоского обтекания с вихревой зоной // Управление движением и навигация летательных аппаратов: Сб. тр. XI Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов / Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 2003. С.254-256.

6. Лежнёв М.В., Лежнёв В.В. Несеточный алгоритм краевой задачи для уравнения Лапласа в неограниченной области. Математическое моделирование и краевые задачи // Труды Всероссийской научной конференции. Часть 3. Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. С. 137-140.

7. Лежнёв М.В. Обтекание профиля крыла с вихревой зоной // Тезисы докладов Всерос. школы-семинара «Аналитические методы и оптимизация в механике жидкости и газа (САМГОП-2004)». Новосибирск 2004. С. 50-51.

8. Лежнев В.В., Лежнев М.В. Задача плоского обтекания и метод граничных вихрей. Математическое моделирование и краевые задачи // Труды II Всерос. науч. конф. Часть 3. Самара: Изд. СамГТУ,2005. С.151-153.

9. Лежнев В.В., Лежнев М.В., Рябченко В.И. Задача плоско-параплелыюго обтекания профиля и представление функций потенциалами // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. №2, 2005. С. 23-30.

10. Рябченко В.И., Лежнев М.В. Модель потенциального обтекания профиля // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, №2, 2006. -С. 37-41.

11. Lezhnev M.V. A diagonalization method for solution of rectangular systems of linear equations // Lectures of instructors and abstracts of young scientists of the international summer schooll "Iterative methods and matrix computations". Rostov-on-Don, RSU, 2002. P. 431 -433.

12. Лежнёв M.B. Минимальное решение систем линейных уравнений полного строчного ранга // Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-на-Дону, изд-во РГУ, 2004. С. 151-155.

В публикациях [2, 6, 8, 9, 10] все основные алгоритмы и результаты принадлежат соискателю.

Лежнёв Михаил Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 02.06.2005. Формат 60х84|,16. Бумага Буе1о Сору. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 100 экз.

Тираж изготовлен в типографии ООО «Просвещение-Юг» с оригинал-макета заказчика, г. Краснодар, ул. Селезнева. Тел./факс: 239-68-31.

Введение.

Глава 1. Математические методы и вспомогательные результаты.

1.1. Потенциал Робена.

1.2. Лемма Новикова.

1.3. Представление функции логарифмическими потенциалами.

1 1.4. Системы функций, полные на границе области.

Глава 2. Функция тока задачи обтекания.

2.1. Задача плоскопараллельного обтекания.

2.2. Общее представление функции тока.

2.3. Функция тока присоединенных вихрей Жуковского.

2.4. Модель обтекания с минимальной кинетической энергией на границе

Глава 3. Алгоритмы и численный эксперимент.

3.1. Чисто циркуляционное обтекание (течение Робена).

3.2. Выбор циркуляции, условие Жуковского-Чаплыгина.

3.3. Присоединенные вихри Жуковского.

3.4. Функция тока точечного вихря.

Глава 4. Вихревое обтекание дуги.

4.1. Задача вихревого обтекания пластины.

4.2. Вихревое обтекание угла. 4.3. Обтекание полуэллипса.

4.4. Обтекание полуокружности с различными вихревыми областями.

Работа посвящена применению методов теории логарифмического потенциала к задачам плоскопараллельного обтекания, обоснованию моделей и методов, основанных на представлениях функции тока, численным алгоритмам и их некоторым реализациям в задачах теории крыла.

К основным проблемам гидродинамики относятся задачи теории крыла. Большое значение при этом имеет изучение плоскопараллельных течений безвихревой несжимаемой жидкости [1] - [6].

Одним из основных численных методов теории крыла является метод дискретных вихрей (С.М. Белоцерковский, [7] - [9]). Метод используется для построения циркуляционного обтекания профилей, а также для построения вихревых зон вблизи крыла. Обоснованию этого метода было посвящено большое количество публикаций вплоть до последнего времени ([10] - [19]). Метод дискретных вихрей состоит в представлении сопряженной комплексной скорости интегральной формулой Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению 1-го рода для плотности распределения вихрей на границе. Ядро интегрального оператора содержит сильную особенность, численное решение таких уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности [20] - [23].

Пусть гладкое векторное поле w (х) = { м(д:), v(x) }, х = (xj, х2 ), является гармоническим в односвязной области QcR , т.е. выполняются равенства div Tv(jc)=0, rot w(jc)=0, или uXf + =0, -uXj + v^ =0.

Функция fx(z) :=u(xx, x2)-iv{xx,x2), z=xl +ix2, удовлетворяет уравнениям Коши-Римана и является аналитической в Q.

Обратно, любая однозначная аналитическая в Q функция /2 (z)=а(х] ,х2) + ib(xl, х2) определяет гладкое векторное поле гОО = {а(х), — ¿»(л:)}, соленоидальное и потенциальное в (), так как с1мм>2(х) = 0, = 0 в

Для вектора ^(х) существуют такие функция тока у(х) и потенциальная функция (р{х), что й>(х) = \фХх, <рХг\= {± ^ > + ^} со свойствами а) ^уайф \-grad\j/ и б) линии тока у/(х) = С ортогональны эквипотенциальным линиям <р(х) = . Здесь и далее будем обозначать через /х - производную функции / по переменному х. Условия их1 +ух2 и ~их2 +ух, гармоничности векторного поля й>(.х) в терминах функции тока у/{х) и потенциальной функции <р(х) означают равенства лапласианов этих функций нулю, Ац/(х) = 0 и А(р(х) = 0.

Аналитическая функция = <р{х\> х2)-/у/(х1, хт) называется комплексным потенциалом течения м?(х), где (р{х) и у/{х) - потенциал и функция тока.

Следовательно, если /(г) - комплексный потенциал течения Щх)> то Я где Г- - циркуляция векторного поля м? по кривой 5, и^(х)-^г) - скалярное произведение вектора скорости м>(х) и касательной с1т к кривой 5, N = |(н>(х)-й?и) - поток через эту кривую, (и>(х)-сШ) скалярное произведение вектора скорости и нормали йп к кривой Я.

Комплексные потенциалы /,(г) = —1п2 и /2(2) = —— 1пг,

2/г 2т г = хх + гх2, определяют соответственно поля скоростей точечного источника и точечного вихря единичной интенсивности. Функция г) =- является предельной при /г —> 0 для разделенной разности

2 кг комплексных потенциалов /Х(г + И) и /¡{г-И) и трактуется как комплексный потенциал вихревого диполя, расположенного в точке г = 0.

Предположим дополнительно к условию гармоничности, что векторное поле касается границы 5 области (2, т.е. граница ¿> является линией тока.

Если область <2 - ограниченная, то в этом случае = 0.

Действительно, так как потенциальная функция (р течения гармонична в А<р(х) = 0, а условие касания означает, что ——<р = 0, то <р в дп2 области 0, есть тождественная постоянная. Отсюда получаем, что й>(х) = 0 в 2 (короче, ™{х)<=:Н(0)Г\8{0) => т?(х) = 0). Таким образом, плоские гармонические векторные поля, удовлетворяющие условию касания границы 5, имеет смысл рассматривать только для неограниченных областей.

Модели плоскопараллельного обтекания.

Рассмотрим некоторые модели задач плоского обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкости. Здесь мы будем в основном цитировать книги Прандтля [24] и Лаврентьева М.А. и Шабата Б.В. [25].

При бесциркуляционном обтекании плоского произвольного замкнутого контура у потоком идеальной несжимаемой жидкости приходим к парадоксальному результату: и подъемная сила, и лобовое сопротивление равны нулю. Более того, для профилей с острой кромкой появляется парадокс бесконечной скорости в ней, если она не является точкой схода.

Проблема устранения парадоксов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечной скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности».

Для устранения этих парадоксов предпринимаются многочисленные попытки построения различных моделей обтекания. Одной из первых из них была модель Кирхгофа в задаче обтекания пластины конечной ширины, расположенной перпендикулярно направлению скорости потока на бесконечности (рис.1). В соответствии с общей теорией скорость течения обращается в бесконечность на краях пластины, а воздействие потока на пластину равно нулю.

Рис. 1.

Рис. 2.

Чтобы избавиться от этих противоречий, Кирхгоф предложил схему течения, при которой с краев пластинки происходит срыв струй, т.е. течение заполняет не все дополнение к отрезку, а лишь его часть, ограниченную кривыми у и у' (рис.2), выходящих из концов отрезка; между этими кривыми образуется застойная зона [24]. Кривые у и у' заранее не задаются, а находятся из того условия, что на них давление (и скорость, по интегралу Бернулли) сохраняет постоянное значение.

Эта схема помогает избежать обоих отмеченных парадокса, но имеет несколько существенных дефектов даже в простом случае обтекания плоской пластины. Например, застойная зона, которая в действительности имеет конечные размеры, в модели Кирхгофа бесконечна и для ее создания требуется бесконечно большая энергия. Описанный метод был распространен на случай контура, состоящего из конечного числа отрезков (Седов Л.И.). Также вариационный метод и метод интегральных уравнений позволили решить эту задачу для широкого круга гладких дуг (Лаврентьев М.А., Биркгоф Г. и Сарантонелло Э.) [26].

Другая модель, предложена Рябушинским в начале XX столетия, наряду с основной обтекаемой пластиной I содержит равную ей по ширине другую фиктивную пластину II, расположенную за первой на расстоянии Н (рис.3).

Линии тока у и у' (струи) должны быть определены так, чтобы давление на них (а, значит, и скорость) были постоянными. В этой схеме задача решается и тогда, когда обтекаемый контур представляет собой ломаную с прямолинейными звеньями. Теорему существования и единственности и приближенное решение задачи можно Рис. 3. получить вариационным методом, а также методом интегральных уравнений.

В сороковые годы XX столетия Эфрос новую модель, в которой срывающаяся с пластинки струя у возвращается обратно пластинке и, проходя через нее, уходит в - со вдоль оси симметрии (рис.4). Предполагается, что вдоль этой струи скорость постоянна и, что скорости всюду в потоке меняются непрерывно. Эта модель дает хорошо согласующееся с опытом распределение давления на пластинке; наличие обратной струйки также наблюдается экспериментально. Дефектом является физически невозможное предположение о том, что обратная струя «отсасывается» пластинкой и после прохождения пластинки течет уже по занятому течением пространству, не смешиваясь со старым течением.

Дефект устраняется в схеме Лаврентьева М.А. (1958 г.), которая дает то же распределение давления на пластинке, что и схема Эфроса. В ней делается допущение, что за обтекаемой пластинкой возникают два жидких кольца 3 и 3', которые ограничены пластинкой, отрезком оси симметрии, сходящими с краев пластинки струями у и у' и замкнутыми линиями тока у0 и у'0, ограничивающими кольца изнутри (рис.5). Неизвестные линии у, у' и у0, у'0 определяются из следующих условий: 1) на у и у' скорость движения в кольцах совпадает со скоростью основного потока, обтекающего пластинку, дополненную линиями у и у', 2) на у0 и у'0 скорость имеет заданную постоянную величину. Расчет по этой схеме делается методами, о которых говорилось выше.

Следующие модели основаны на склеивании потенциальных {гармонических) течений с вихревыми.

В одной из таких моделей обтекания пластинки движение жидкости распадается на три независимых течения: 1) в области £>,, ограниченной верхней половиной пластинки, отрезком симметрии (оси Ох) и струей у, срывающейся с верхнего края пластины, 2) в области симметричной относительно оси Ох, 3) в области £)0, дополняющей идо всей плоскости (рис.6). Течение в £>0 предполагается потенциальным, ав и

Рис. 4.

Рис. 5. в - вихревым с постоянными завихренностями -со и со соответственно. Кривые у и у' не задаются, их надо подобрать так, чтобы они были линиями тока, и поле скоростей оставалось непрерывным всюду вне пластинки.

Однако полное математическое решение и исследование задачи натолкнулось на ряд трудностей и еще не завершено [25]. В частности, доказательство существования и единственности и устойчивости решения получить пока не удалось, как и в случае задач обтекания выпуклых тел (рис.7), для которых строятся модели, также основанные на склейке областей с потенциальным и вихревым обтеканием. «Более того, имеются варианты задачи, для которых при машинном счете обнаружено несколько решений» [25, с. 191] (течение в траншее).

Метод дискретных вихрей.

Рассмотрим метод дискретных вихрей, который в настоящее время является одним из основных методов теории крыла [21].

В плоскости Оххх2 рассматривается задача обтекания контура S. В неограниченной области Q+ требуется определить векторное поле скоростей м>(л;) = {м(х), v(x)}, х = (, х2), стационарного течения, удовлетворяющего условиям: a) div w(x) = 0, rot w(x) = 0, b) задана скорость на бесконечности, >v(oo) = {w0,v0}, г

Рис. 6.

Рис. 7. с) граница S является линией тока.

Этот метод опирается на аналитичность комплексной скорости F{z) = u-iv (условие I), условие на бесконечности (условие II) и то, что на S скорость является касательной к границе (условие III). Функция F(z) может быть представлена в области Q+ интегралом Коши

F(z) = ^-J^ds + (u0-iv0), z eQ+. (1)

Im s s — z

Переходя на границу при z^-z'eS по формулам Сохоцкого получаем

-F(z') = -L + (u0-iv0), z'eS,

2m ss - z где интеграл понимается в смысле главного значения Коши (предполагается, что интегрирование по S производится в положительном направлении обхода - против часовой стрелки).

Отметим, что основное интегральное уравнение с сингулярным ядром (1) для комплекснозначной функции F = и-iv может быть сведено с помощью условия III к сингулярному интегральному уравнению 2-го рода для одной вещественной функции.

В методе дискретных вихрей контурный интеграл в (1) приводится к криволинейному интегралу 1-го рода, имеющему физическую трактовку.

Пусть при положительном направлении обхода точкой z контура S имеем dz = dx + idy = exp(ie(z))dt, dt = \dz\9 zeS, 6{z) - угол между направлением положительной касательной и осью Ох1. Вследствие условия III вектор скорости {и, v} и касательный вектор {dx, dy] на части (вообще говоря, неизвестной) границы S направлены одинаково, на остальной части - противоположно, т.е. F{g) = u + iv = ±|F(^)(exp(/^(^))|, или

F(g) = r(s)e~ms\ seS, где y(s) - неизвестная вещественная функция, 0(s) - известная функция для заданного контура.

Итак,

F(s)ds = r(s)e~imeieis)dt = y{t)dt, и мы из (1) получаем (ср. (4.1.14), [21])

3 1 , у(s)dt

-F(z) = -—\-— + (uQ-iv0), zeS;

2 27и sz-s(t) параметр t e [0, j*S*|] осуществляет естественную параметризацию s = s(t) кривой S длины |.S|, dt- длина элемента дуги.

По условию III вектор {-v, и] и касательный вектор (cos^s), sin 6{s)} ортогональны на S, т.е. lm[ei(Ks)(u-iv)\=0, и мы получаем интегральное уравнение метода дискретных - вихрей (уравнение (4.3.8), с. 88, [21]) л V

Im вы

1 г y(t)dt , . ч 2т sz-s(t) 0, zeS, (2) т.е. сингулярное интегральное уравнение 1-го рода с неизвестной функцией у (я) на £.

Интегральный элемент 1

2т г является комплексным потенциалом вихря с центром в точке г = ^(г) е £ и интенсивностью -/(/)<#, т.е. искомая функция /(/) - плотность распределения вихрей на границе.

Основные вычислительные формулы метода получаются из (2) заменой интеграла следующей квадратурной суммой, г,. i=\z-s(t¡)

При определенном выборе г = гк е 5" получаем систему линейных алгебраических уравнений для Л,-; выбор этих точек может качественно влиять на решение системы и на решение задачи обтекания ([21], с. 117).

1. Математические методы и вспомогательные результаты

Результаты, полученные в первой части и используемые далее для задачи обтекания, опираются на основные факты теории логарифмического потенциала [27]. Пусть 8 - граница односвязной ограниченной области С) на плоскости Я2, S = дQ. Интеграл у{х)=\8{у)^—Е{х-у)(Ьу (1.1)

5 дп(У) называется потенциалом двойного слоя; Е(х) = 1п|л:| - фундаментальное решение уравнение Лапласа, - - операция дифференцирования по дп{у) нормали п(у), п(у) = {я/ (у), П2 (у) } ~ единичный вектор внешней для нормали к 5 в точке у е £,

-?—Е{х-у) = п{у)-ЧуЕ{х-у). дп{у)

Будем обозначать скалярное произведение в Я" точкой (между векторов). Через ( , ) и ||| будем обозначать также скалярное произведение и норму в ¿2(£), через (, )д и ||| - скалярное произведение и норму в ¿2(0).

Пусть граница 5 удовлетворяет условию Ляпунова с показателем сс> 0, 5 е С]+а, тогда

9 -Е{х-у) I < С\х - у\а \ х,уе8, дп{у) постоянная С не зависит от х и у [27]. Следовательно, подынтегральное выражение в (1.1) абсолютно интегрируемо по 5, если, например, g{y) непрерывна.

Будем обозначать Выполняются равенства д дп(у)

1,

О,

К (1.2)

4ш

Действительно, при хе()+ функция и{у) = Е{х - у) - гармоническая в (), и равенство нулю следует из необходимого условия для гармонической функции в . При хеО~ равенство следует из формулы

1.1) при /(х) = 1. Для х = х°е5 возьмем в (1.1) вместо О, область

2е =би и /0*0 = 1; тогда интеграл по границе д<2е (в смысле главного значения Коши), состоящей из полуокружности радиуса £ и части границы д() = £, стремится при £ -> О соответственно к значению — 2 по свойству 3) и плюс интеграл по д(); в пределе получим 1 = - + — Е(х° - у)с® , е 5.

Интегральный оператор потенциала двойного слоя

5 дп(у) обозначим через К2, K2g=v. Он имеет полярное ядро к(х,у) со слабой особенностью, если удовлетворяет условию Ляпунова,

2 [х-^р

Число Я = — является, очевидно, собственным числом интегрального оператора К2 с собственной функцией g(y) = 1.

Функция v(jc) является гармонической в Q+ и Q . Рассмотрим ее поведение при переходе на границу из внешней и внутренней областей. Частный случай при g{y) = 1 представляют равенства (1.2). При jc -» х' е S, xeQ+ (xeQ~) предельное значение потенциала двойного слоя v(jc) обращается в граничное значение у(лг') (в "прямое значение потенциала") с добавлением некоторого вычета. Предельные значения при x-^x'eS, xeQ*, обозначим v± (У) = lim v(x), xeQ±. x->x'

Справедливы следующие равенства, аналогичные (1.2) при хх' [27]: если g(y) eC(S) и S - контур Ляпунова, то v±(x') = + -g(^') + v(x'), x'eS. 2

Для сопряженного оператора К2 ядром является функция к (х,у) = к(у,х),

2л -УхУ+ (х2 -у2) дп(х)

К2ё = \g{y)^j-E{x-y)dSy = \g{y)E{x-y)dSy ,

Е{х- у)с15у -—— 5 дп{х) ' дп{х)8 операции интегрирования и дифференцирования по нормали можно менять местами, если, например, g(y) непрерывна на 5.

Аналогично граничным свойствам потенциала двойного слоя и для нормальной производной потенциала простого слоя имеют место следующие предельные равенства на границе: если g(y)eC(S) и х->х'е8, хеОг, то [27]

Г * ■ \g{y)E{x-y)dS} кдп(х)^х" v уj ±\g{x,) + K*2g

Х=Х' 1 х-х

2 5 дп(х) х=х

Операторы К2 и К2 является ограниченными в С(5'), е С1+а, а > 0.

1.1. Потенциал Робена.

В данном разделе рассматриваются свойства потенциала Робена, который играет принципиальную роль в задачах плоскопараллельного обтекания одного или нескольких профилей. Если его рассматривать как функцию тока течения, то потенциал Робена определяет чисто циркуляционное гармоническое обтекание профилей (течение Робена).

Потенциалом Робена Я(х) называется потенциал простого слоя

Я(х)= ¡<р*(у)Е(х-у) (1.3) такой, что

Я(х) = Я0 = пост, х е Q.

Функция (р (х) называется его плотностью.

Если Я(х) принять за функцию тока течения г (х), д д

Д(х) = УсД(х), дх2 ' дхх то векторное поле м>л(х) является касательным к Потенциал Робена определяет чисто циркуляционное безвихревое обтекание профиля.

Функция (р*{х) является плотностью вихрей на границе 8.

Из электростатической трактовки следует, что (р (х) непрерывна и возрастает в угловых точках контура.

Циркуляция Г на /S течения, функция тока которого имеет вид (1.3), равна

Г = 0*,1)= \<p\x)ds. (1.4) 5

Действительно, по определению

Г = \wr - т(х) ds. s

Если т(х) — единичный касательный вектор в направлении положительного обхода контура, то для равенства скалярных произведений требуется определить п(х) как внешнюю для Q единичную нормаль к S (при переходе от V/ к Vc/ происходит поворот по часовой стрелке, как и при указанном переходе от т(х) к указанному п(х)),

Г = \Vcy/ (х) • т(х) ds = ¡VR (х) • п{х) ds = ds, (1.5) s s s dn(x)

Продифференцируем интеграл в (1.3) по п(х) в Q+, перейдем на границу S и подставим в (1.5). Используя среднее равенство в (1.2) для потенциала двойного слоя, получаем д } г= 1 ^<Р\Х)+ \<P*{y)-z-rrE{x-y)ds dsx = s\2 s дп{х) y) f\(p\x)dsx + \(p\y)\-^—E{x-y) dsxdsy = \(p\y) ds ; s 2 s sdn(x) s замена порядка интегрирования возможна, так как все входящие интегралы абсолютно интегрируемы, если SeCl+a, а> 0. Формула (1.4) доказана.

Для R(x) имеет место следующая асимптотика на бесконечности,

R(x) = {(р*, 1) 1п|х| + о(1), |л:| —> оо. Справедливы следующие утверждения 1) - 4) [27].

1) Потенциал простого слоя (1.2) является потенциалом Робена тогда и только тогда, когда его плотность (р (х) есть собственная функция 1 оператора К2 с собственным числом Л = —.

2) Скалярное произведение

Р* А) = \<Р*(у)<ку отлично от нуля. Т.е. Я(х) не ограничен на бесконечности. 1

3) Число Я = - — не является собственным для операторов К2 и К2.

4) Число Л = - простое собственное число.

1.1.1. Покажем, что плотность потенциала Робена на для окружности постоянна. Рассмотрим интеграл по окружности S радиуса г,

Jг (*) = ~ и* - yf dsy = \Е(х - y)dsy . s s

Пусть хе S{, положим х = г (cosa, sin а), у = г (cos (р, sin (р), (р е ( 0, 2л-). Следовательно, ¿¿s^ = г d(p,

2л i х) = j г In г2 (cos (р - cos а)2 + г2 (sin <р - sin a)2 J d(p = о

2л

Г 1 J rlnr2(2-2cos(#>-ar))\d(p = о J rln[r2(2 - 2cos^з) ~\d(p. о

Отсюда получаем, что Jr (х) постоянна на S, а также постоянна в круге, так как Jr(x) - гармоническая функция. Следовательно, во-первых, Jr(x)

- потенциал Робена для Я и его плотность (р (х) - тождественная постоянная, во-вторых, так как

1 2

Jr{x) = ./ДО) = — | 1п|х| (¿у = г1пг, |х|<1. Ал 8

Равенство х)= 0 следует также из № 4.396, 16, Ь = 0 [28]. Мы получаем следующие утверждения: 1) плотность потенциала Робена для произвольной окружности постоянна; 2) потенциал Робена в единичном круге равен нулю.

Окончательно получим, используя, например, асимптотику на бесконечности, значение потенциала Робена Я(х) для окружности произвольного радиуса г с плотностью (р (х) = 1 г 1п|х|, |х| > г, г 1п г, |х| < г.

1.1.2. Рассмотрим в единичном круге = {\х\ < 1} функцию = ^ (*?+*! -1)

Я(х) =

Выполняются равенства

Ам>(х) = 2, Нс=0,

15 ' дп Из интегрального представления имеем 1. 21 Еду + | О и>дЕ дм дп{у) дп(у) ку = 2 |£(х - у)йу - -у)й8у, х е Я ^

При переходе на границу получаем

0 = 2 \Е{х-у) с1у - \Eix-yyiSy Q1 5, при х е5] и, следовательно, имеет место тождество Е(х-у)с1у = 0, хб^. (1.6)

Ы<1

Мы получаем также следующие равенства: во внешности единичного круга 1п|лг -у\йу-п 1п|д;|, |х| > 1, в единичном круге 1п|лг-,у| йу - — (х,2 + лг2 -1), И-1-М<1 2 так как последний интеграл - бигармоническая функция с граничными условиями для функции и>(х) ).

1.1.3. Задачей Робена называется задача определения плотности <р*(х) потенциала (1.3). Традиционно методами теории потенциала задача сводится к спектральной задаче для интегрального оператора К*2 - определению собственной функции <р*(х) с собственным числом Я = ^ [29].

Функция (р (х) необходима, например, для решения внешней задачи Дирихле методами теории потенциала.

В этом разделе представлен проекционный метод решения задачи Робена, использующий функции Зп(х), а в разделе 3.1 - второй метод, примененный в численном эксперименте.

Обозначим подпространство в Ь2{5), ортогональное (р*{х),

2(5) = {<?> £5(5).

Рассмотрим функции

5т{х) = Е(гт+1 -х)- Е(гт -х), хе 5, т = 1,2,., где точки г , принадлежат внутренней области (), отделены от границы и удовлетворяют условию единственности гармонических функций [30]. Справедливо следующее утверждение: система функций 8п(х), т = 1,2,., полна и линейно независима в Щ^).

Система функций с)„(х) дает проекционный алгоритм определения

I *\ я р (х): если функция к (х) такова, что \к,<р и к (х) - ее проекция на подпространство {дп (х)}^, то к-км &С(р . Проекция представляется в виде n n п=1 коэффициенты ее определяются решением задачи минимизации функции 2 т= n п=1

2(5) что приводит к линейной алгебраической системе с матрицей Грама.

1.2. Лемма Новикова.

Данный раздел посвящен разложению пространства Ь2 (0 и доказательству утверждения, формулировка которого была дана в известной статье П.С. Новикова [31] для трехмерного случая, и которое будем называть леммой Новикова.

Предварительно доказывается лемма о полной системе функций в «I подпространстве (7(0 гармонических в О, функций из (0,

С(0с12(0.

Определение. Ограниченная последовательность точек хт, т = 1,2,., называется множеством, удовлетворяющим условию единственности гармонических функций в Я , если функции щ(х) и и2(х), гармонические в некоторой области Q и равные в точках хт, хт е равны тождественно, щ (х) = и2{х), х е £2.

Отметим, что точки хт не могут лежать, например, на линиях уровня гармонической функции (не равной константе), в частности, на линиях уровня любого потенциала Робена, являющихся замкнутыми кривыми.

Далее предполагается, что последовательность точек

1 = 1,2,., удовлетворяет условию единственности гармонических функций и отделена от границы 5, будем называть ее базисной.

Лемма 1.1. Система функций ут(х) = Е(гт -х), хе<2, т = 1, 2,., линейно независима и замкнута в подпространстве (7(0.

Доказательство. Пусть g(x) - произвольная из С7(0, рассмотрим функцию у(х),

Ф)= /яСу)Е(х-у)(1у.

Предположим, что £(*) ортогональна всем ут(х), тогда у(гт) = 0, т = 1, 2,. Отсюда следует, что гармоническая в функция у(х) тождественно равна нулю в Q + : Если £(.у) е Ь2 (0, то у(х) е С1 (Я2), т.е.

Ял, 0. (1.7)

I п ^ Тп Я

Функция у(х) в области <2 удовлетворяет бигармоническому уравнению Д2у(х) = 0, и граничным условиям (1.7). Следовательно, у(х) = 0 в <2~, т.е. £(х) = Ду(х) = 0. Замкнутость доказана.

Для доказательства линейной независимости предположим противное, пусть некоторая конечная линейная комбинация функций ук (х) тождественно равна нулю на £, обозначим ее Г(х), Р{х) = Ъскпукя{х) = 0, хеБ.

Отсюда следует тождественное равенство нулю F(x) в <2~, а также в любой области £>, содержащей () и не содержащей базисных точек гт. Пусть скх ФО, возьмем £>, для которой гкх принадлежит границе. Тогда при х—»я*1 слагаемое Ук{(х) стремится к бесконечности, а сумма остальных слагаемых остается ограниченной, т.е. равенство ^(х) = 0 не может выполняться. Лемма доказана.

Лемма (Новиков). Если 0. - ограниченная область с границей

Ляпунова д(), то пространство Ь2{0) имеет следующее разложение в прямую сумму —

Ш) = 0{0)®Щ0), где 6(0 - подпространство гармонических в (2 функций, а функция р{х) принадлежит N(0) тогда и только тогда, когда р{у)Е{х-у)с1у = 0, х€0+. (1.8) е

Доказательство. Рассмотрим функцию

Ах)= ¡р(у)Е(х-у)4у,, хеО, (1.9) е и пусть функция р(х) е Ь2 (0 удовлетворяет условию (1.8). Положим х = гт, получим, что р(у)±ут(у), т= 1,2,. Из леммы 1.1 следует, что рШШ)

Обратно, пусть р(у)еИ{0) , т.е. р(у)±ут(у). Гармоническая в О* функция /(.х) равна нулю в точках х = гт и, следовательно, равна нулю тождественно, условие (1.8) выполняется. Лемма доказана. Все функции из (7(0 являются гармоническими [32]. Функции из N(0) можно называть плотностями нуль-потенциалов (нуль-плотности). Подпространству N(0) принадлежат, в частности, функции р{у) = ду^) , где v(y)=дnv(y)= 0 при у<е£ (что следует, например, из интегрального представления функции).

Следующая лемма дает более простое условие принадлежности функции подпространству N(0) .

Лемма 1.2. Если Q - ограниченная область с границей Ляпунова д(), и ее потенциал Робена не равен нулю в Q, ф 0, то функция р(х) принадлежит N(0) тогда и только тогда, когда на границе 5 выполняется тождество р(у)Е(х - у)йу = 0, хеБ. б

Доказательство. Необходимость условия следует из леммы Новикова непосредственно вследствие непрерывности в Я2 логарифмического потенциала (1.9).

Для доказательства достаточности предположим противное

8(у) Е С{0) и у)Е{х-у)(1у = Ъ, <2

Рассмотрим решение м>(х) следующей краевой задачи:

Д>ф;) = #(*) (х е 0, = 0.

Из интегрального представления wO) = \g{y)E{x - y) dy + J Q w{y)dE(x-j±dwE дп(у) dn dsy, xeQ, ползаем, переходя на границу и используя предположение о противном, что

О = \у>{у)Е йу - Е(х- у) ds 8 8дп где хе$, откуда следует, что последний интеграл равен нулю на £, т.е. потенциал Робена для Q равен нулю, и мы получаем противоречие. Лемма доказана.

Замечание 1.1. Отметим, что если потенциал Робена равен нулю, то существует отличная от нуля гармоническая функция g(y) такая, что g(y)EО ~ У) dy = 0, х е S. Q

Для доказательства рассмотрим решение и(х) краевой задачи: А и{х) = 0, xeQ, ди

1.10) = а« <р (*)•

Из интегрального равенства при хе() и{х) = |Аи(х)£(х - у) dy + | О 5 получаем следующее равенство на границе дЕ(х-у) ди и—--—--Е дп(у) дп ds v,

0 = fA и{у)Е{х - у) dy- \(р* (у)Е dsy, xeS. Q s

Последний интеграл равен нулю по условию. Следовательно, равенство

1.10) выполняется при g(y) = Аи(у). слоя,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получено представление функции тока задачи обтекания профиля через логарифмический потенциал по обтекаемой области, предложен общий однопараметрический вид функции тока, определяющий обтекающее течение с произвольной циркуляцией в зависимости от одного параметра - множителя при потенциале Робена. Предложена модель обтекания профиля с минимальной кинетической энергией и формула минимальной циркуляции. Модель указывает точку схода потока, совпадающую с острой кромкой при малых углах атаки.

Представлена модель присоединенного вихря Жуковского и алгоритм, определяющий присоединенный вихрь с минимальной завихренностью.

Представлена модель потенциального обтекания профиля с точечными вихрями в области течения, отличная от модели дискретных вихрей, указан алгоритм вычисления траектории вихря.

Доказаны леммы о полных на границе области системах потенциалов, которые дают сходящиеся алгоритмы предлагаемых моделей обтекания.

Разработаны методика и алгоритм нормального решения совместных систем линейных алгебраических уравнений неполного строчного ранга, проведено сравнение с известными процедурами.

Разработан комплекс программ, получено решение различных задач обтекания.

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. -840 с.

2. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. 184 стр. М.: Мир, 1986.

3. Механика сплошных сред в задачах, тт. 1, 2. Под ред. Эглит М.Э. М.: «Московский лицей», 1996.

4. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. Т. 2. М.: ОНТИ, 1935.

5. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. Ленинград: Судостроение, 1979.

6. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. -256 с.

8. Бицадзе A.B. Сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Неймана // Дифференциальные уравнения, 1986. Т.22, №5. -С. 823-828.

9. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: «Янус-IC», 2001.-508 с.

10. Галяутдинов М.И. Проектирование и расчет крыловых профилей вблизи экрана. Кандидатская дисс., Казань, 2001.

11. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред. Часть I. М.: Наука, Физматлит, 2000.

12. Картузова Т.В. Численные исследования обтекания системы произвольных профилей методом граничных элементов. Кандидатская дисс., Чебоксары, 1997.

13. Стуколов C.B. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов. Кандидатская дисс., Кемерово, 1999.

14. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ, 1975. Т.39, №4. -С. 742-746.

15. Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Обобщенный оператор Фурье и его применение в обосновании метода дискретных вихрей // Математический сборник, 1992. 183, №5. С. 79-114.

16. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус-К, 1995.

17. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода «дискретных вихрей» решения сингулярных интегральных уравнений // ППМ, 1975. Т. 39. №4.

18. Поляхов H.H., Шестернина З.Н. К вопросу о сходимости метода дискретных вихрей // Вестник Ленингр. ун-та. Математика, механика, астрономия, 1978. № 7. Вып. 2.

19. Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах: Учебное пособие. Кемерово,КемГУ, 2001.-208 с.

20. Горелов Д.Н. К выбору контрольных точек в методе дискретных вихрей // ПМТФ, 1990. №1.

21. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. -215 с.

22. Горелов Д.Н. О сходимости метода дискретных вихрей, основанного на локальной аппроксимации вихревого слоя // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1984. № 68.

23. Горелов Д.Н., Горлов С.И. Движение профиля вблизи плоского экрана // ПМТФ, 1995. №1.

24. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Ижевск: НИЦ "РХД", 2000. -576 с.

25. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М. Наука, 1973. 416 с.

26. Биркгоф Г., Сарантанелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1965.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. -528 с.

28. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. -1108 с.

29. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. Т.4. М.: «Советская энциклопедия», 1984. -1216 стб., ил.

30. Лежнев В.Г., Данилов Е.А. Задачи плоской гидродинамики. Краснодар, КубГУ, 2000. -92 с.

31. Новиков П.С. Об единственности решения обратной задачи потенциала // ДАН СССР, 1938. Том XVIII, №3. -С. 165-168.

32. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.-424 с.

33. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

34. Лежнев В.Г. Функция тока задачи плоского обтекания, потенциал Робена и внешняя задача Дирихле ДАН, 2004. т.394, №5.

35. Рябченко В.И., Лежнев М.В. Модель потенциального обтекания профиля // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, №2, 2006.-С. 37-41.

36. Лежнев В.В., Лежнев М.В. Задача плоского обтекания и метод граничных вихрей. Математическое моделирование и краевые задачи // Труды второй Всероссийской научной конференции. Часть 3. Самара: Изд-во СамГТУ, 2005.-С. 151-153.

37. Лежнёв В.В., Лежнёв М.В. Несеточный алгоритм краевой задачи для уравнения Лапласа в неограниченной области. Математическое моделирование и краевые задачи / Труды Всероссийской научной конференции. Часть 3. Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. -С. 137-140.

38. Лежнев В.В., Лежнев М.В., Рябченко В.И. Задача плоскопараллельного обтекания профиля и представление функций потенциалами // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического сотрудничества. №2, 2005. -С. 23-30.

39. Лежнев М.В. Алгоритм вихревого течения в траншее // Труды тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», часть 3. Самара, 2003. -С 112-114.