Компьютерное моделирование систем с большим числом частиц и задач вихревой динамики

Ердакова, Надежда Николаевна

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование систем с большим числом частиц и задач вихревой динамики

кандидата физико-математических наук: Ердакова, Надежда Николаевна
город: Ижевск
год: 2012
специальность ВАК РФ: 05.13.18
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Компьютерное моделирование систем с большим числом частиц и задач вихревой динамики»

Автореферат диссертации по теме "Компьютерное моделирование систем с большим числом частиц и задач вихревой динамики"

На правах рукописи

ЕРДАКОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ И ЗАДАЧ ВИХРЕВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 Г^НВ 2072

Ижевск 2012

005009408

Работа выполнена на Кафедре теоретической физики и Лаборатории нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения Удмуртского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Алексей Владимирович Борисов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Анатолий Павлович Маркеев, Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится «/5» февраля 2012 г. в /5 часов 00_ минут на заседании диссертационного совета Д 212.130.09 при Московском инженерно-физическом институте по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31. Тел. 324-84-98, 323-92-56.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ. Автореферат разослан «13» января 2012 г. Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, Сергей Юрьевич Мисюрин, Институт машиноведения РАН им. А. А. Благонравова

Ведущая организация: Институт прикладной механики

Уральского отделения РАН (ИПМ УрО РАН)

доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время в связи с бурным развитием компьютерных технологий с одной стороны и методов качественного анализа динамических систем с другой стороны появляются новые возможности для исследования нерешенных проблем нелинейной динамики. Актуальной задачей становится разработка современных компьютерных комплексов, с помощью которых можно изучать динамику сложных систем, в том числе с большим числом степеней свободы. Численно реализованные топологические методы в нелинейных интегрируемых системах и выполнение компьютерных исследований при изучении систем многих частиц ведет к новым результатам в областях динамики, где чисто аналитические методы не позволяют получить описание эволюции системы.

В диссертационной работе представлены аналитические и численные методы нелинейной динамики и статистической механики, с помощью которых, с одной стороны, можно исследовать динамику интегрируемых систем, с другой стороны — анализировать вопросы, связанные с проблемами статистической механики в системах с большим числом степеней свободы.

Изучение вопросов неравновесной статистической механики, главным образом, анализ механизма стремления динамической системы к состоянию термодинамического равновесия, подробно развиваемый в работах В. В. Козлова [4,5], является крайне значимой задачей нелинейного анализа, прикладной и теоретической механики. Несмотря на многолетний интерес к данной проблеме, восходящей к работам Гиббса и Пуанкаре, эти вопросы и по сей день остаются актуальными в научной среде, находятся в сфере постоянного научного обсуждения [12,14,21].

С точки зрения физики в целом и теоретической и прикладной механик в частности приоритетной проблемой, поставленной перед статистической механикой, является объяснение такого явления движения жидкости как турбулентность. Проблема турбулентности — глобальная многосторонняя иерархическая проблема. Имея как минимум пятивековую историю [10] и современные качественные научные результаты [7,19], турбулентность как задача до сих пор остается нерешенной. На данный момент развито несколько моделей турбулентности, широко используются различные подходы (теоретический, феноменологический, компьютерный эксперимент), возникают новые задачи, связанные с моделированием процесса, учетом

вязкости, критериями перехода потока в турбулентный режим, перемешиванием и т. д. Такой разносторонний подход к решению задачи определяет ее феномен как одну из центральных задач механики и гидродинамики. На сегодняшний дет при описании проблемы турбулентности широко используются статистические методы и вихревое представление модели процесса, что, в свою очередь, подчеркивает значимость развития современных методов в исследованиях вихревой динамики.

В первой части диссертационной работы рассмотрены новые модельные задачи статистической механики, построенные согласно понятиям, моделям и гипотезам, развитым за многолетнюю историю вопроса. С помощью разработанного комплекса программ численно реализованы эксперименты с системой многих частиц в отрезке, проверены теоремы и гипотезы различных источников [4,9,11]. В частности, исследована модель гамиль-тоновой неконсервативной системы многих частиц, асимптотически теряющей свойство обратимости, но приходящей лишь к состоянию статистического равновесия, что противоречит представлению о связи теплового равновесия с потерей динамической памяти [9].

Во второй и третьей частях диссертационной работы с помощью разработанных компьютерных методов исследована актуальная и хорошо известная задача о движении вихрей в кольцевой области. Впервые задачу о движении точечных вихрей в круге рассмотрел А. Гринхилл в 1877 г. [16], который с помощью метода зеркальных отображений исследовал движение одного и двух вихрей внутри и вне круговой области. Исследованиями устойчивости полигональных вихревых конфигураций внутри и вне круга в разное время занимались Дж. Дж. Томсон [20], в честь которого данные конфигурации названы «томсоновскими», Т.Хавелок [17], решивший в 1931 году задачу о линейной устойчивости томсоноских конфигураций внутри круга, Л.Куракин [6], изучающий данную задачу в нелинейной постановке, и др. В наше время по задаче о движении вихрей в круговой области ставятся натурные эксперименты с жидкостями и магнито-гидродинамическими средами [8,15], в связи с проблемой описания динамики сверхтекучего жидкого гелия II между вращающимися концентрическими цилиндрами в работах [3,18] возникает задача о движении точечных вихрей в кольцевой области. Благодаря методам качественного анализа, развитым в работе [2], топологическим методам [1] и компьютерным технологиям появилась возможность провести полное исследование динамики двух вихрей в кольцевой области, получить классификацию движения двух вихрей в кольцевой

области при равных по модулю интенсивностях вихрей, разрешить задачу о нахождении критериев существования устойчивых полигональных конфигураций вихрей в кольцевой области.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование одномерных динамических систем с большим числом степеней свободы и динамики точечных вихрей в кольцевой области методами математического моделирования и теории динамических систем.

Методы исследования

Исследование математических моделей в диссертационной работе основывается на сочетании численных и аналитических методов нелинейной динамики. При построении математических моделей и в ходе их аналитического исследования использовались законы сохранения и методы гамиль-тоновой механики. При построении численных решений применялись аналитические и численные методы нахождения корней уравнений и интегрирования уравнений движения. Для исследования динамики интегрируемых систем использовались топологические методы бифуркационного анализа и теории устойчивости. При исследовании полигональных конфигураций вихрей в кольце использовались методы линейной алгебры. Для получения статистического описания одномерных систем многих частиц применялись аналитические и численные методы расчета статистических характеристик. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке С++ и в пакете прикладных программ MAPLE.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

• разработаны математические модели одномерного газа в отрезке при различных условиях;

• разработаны алгоритмы исследования динамики и статистического описания моделей одномерного газа в отрезке, на основе которых реализован комплекс программ, позволяющий проводить численное моделирование процессов релаксации одномерных систем многих частиц;

• изучено влияние параметров исследуемых одномерных систем многих частиц на процесс их релаксации;

• проведено аналитическое и численное исследование системы двух вихрей в кольцевой области;

• показано, что система двух вихрей в кольцевой области интегрируема по Лиувиллю;

• разработан пакет программ, в рамках которого реализованы численные методы анализа динамики системы двух точечных вихрей в кольцевой области (в том числе методы топологического анализа и теории устойчивости);

• доказан факт существования относительных хореографий для случая равных интенсивностей вихрей;

• выполнена полная классификация типов движения системы двух вихрей в кольцевой области в зависимости от параметров системы при равных по модулю интенсивностях вихрей;

• найдены критерии устойчивости полигональных конфигураций системы N вихрей в кольцевой области.

Научная новизна работы

• Предложены математические модели и численные методы статистического описания одномерного газа в отрезке при различных условиях.

• С помощью компьютерного эксперимента показано, что:

- одномерная система невзаимодействующих (статистически независимых) частиц газа (свободных и в поле тяжести) приходит лишь к состоянию статистического равновесия; данная система обратима во времени, в том числе после установления равновесия;

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке с подвижной стенкой, движущейся по заданному периодическому закону и перераспределяющей энергию в системе, не может служить моделью термостата, так как система не приходит в состояние теплового равновесия (система необратима во времени);

- система невзаимодействующих частиц газа в отрезке, разделенном подвижным поршнем конечной массы (отличной от массы частицы), взаимодействующим с остальными частицами по законам сохранения классической и релятивистской энергии и импульса, приходит в состояние термодинамического равновесия с плотностью распределения частиц по координатам и скоростям, зависящей от средней энергии системы; данные системы обратимы во времени в том числе и при численной реализации.

• Построен гамильтониан системы двух вихрей в кольцевой области и проведена редукция системы к одной степени свободы; получены уравнения движения приведенной системы двух вихрей в кольцевой области.

• Выполнены бифуркационный анализ системы двух точечных вихрей в кольцевой области и классификация типов движения при равных по модулю интенсивностях.

• Проведена классификация абсолютного движения вихрей в кольцевой области в зависимости от областей фазового портрета приведенной системы в случае равных интенсивно стей.

• Указаны условия устойчивости полигоналных конфигураций системы N вихрей в кольцевой области в зависимости от параметров кольца.

Обоснованность и достоверность результатов

Достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных на законах сохранения энергии и импульса, применением численных и аналитических методов интегрирования различной степени точности с оценкой погрешности расчета, а также сравнением результатов численных расчетов с тестовыми результатами, полученными ранее другими авторами для частных случаев.

Апробация результатов

Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Кафедры теоретической физики УдГУ, также докладывались на российских и международных конференциях:

1) Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования. Ижевск, 4-6 февраля, 2009 г.;

2) Динамические системы, управление и наномеханика. Ижевск, 2428 июня, 2009 г.;

3) Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану. Ижевск, 12-15 мая, 2010 г.;

4) Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 19-24 января, 2010 г.;

5) Геометрия, динамика, интегрируемые системы. Белград, Сербия, 713 сентября, 2010 г.;

6) Геометрия, динамика, интегрируемые системы. Синтра, Португалия, 9-16 сентября, 2011 г.

Теоретическая и практическая ценность

1) Разработанный в рамках диссертационной работы программный комплекс по исследованию динамических и статистических закономерностей одномерного газа позволяет проведение численных экспериментов по апробации теорем и гипотез статистической механики.

2) Созданный в рамках диссертационной работы программный комплекс по исследованию динамики двух вихрей в кольцевой области может быть использован для проведения бифуркационного анализа и классификации движения в других системах вихревой динамики и классической механики.

3) Результаты анализа динамики двух точечных вихрей в кольцевой области могут быть использованы в теоретических и практических приложениях систем сверхтекучего гелия, моделей сильно намагниченной плазмы, где поведение электронов и ионов математически эквивалентно вихревому движению.

4) Методы, развиваемые в работе, могут быть применены в исследованиях других интегрируемых и неинтегрируемых нелинейных систем.

На защиту выносятся

• Математические модели одномерного газа в отрезке при различных условиях;

• Комплекс программ, позволяющий проводить математическое моделирование процессов релаксации одномерных систем с большим числом частиц.

• Результаты вычислительных экспериментов по исследованию динамических и статистических закономерностей различных моделей одномерного газа.

• Программный комплекс для исследования, визуализации и топологического анализа динамики системы двух точечных вихрей в кольцевой области.

• Результаты бифуркационного анализа, анализа устойчивости и классификации движения системы двух вихрей в кольцевой области.

• Результаты анализа условий устойчивости полигональных конфигураций системы N вихрей в кольцевой области.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, перечисленных в конце автореферата, в том числе в 4 работах научных журналов списка ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 105 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (65 наименований).

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы исследования, а также кратко изложено содержание диссертации по главам. Указаны цели диссертации, основные методы исследования, научная новизна результатов.

В первой главе приведено статистическое описание одномерного газа, описаны модельные задачи одномерного бесстолкновительного газа при различных условиях, разработанный программный комплекс и результаты компьютерных экспериментов по исследованию динамических и статистических закономерностей.

Объектом исследования являются системы, состоящие нз N = 1 — -10-Ю6 числа частиц, движущихся в пределах отрезка [0,1] либо свободно, либо под действием постоянной силы. Таким образом, уравнения движения при численном моделировании интегрируются аналитически. В любой момент времени состояние системы описывается координатами и скоростями частиц Хг{Ь), Уг(1), г = 1,... ЛГ, которые рассчитываются на основании динамических уравнений по заданным начальным данным (без каких-либо дополнительных допущений). Для качественного статистического анализа системы использовался больцмановский подход [13], основанный на построении одночастичной функции распределения частиц газа по координатам и скоростям Юг (х, у). Для упрощения графического вывода и без ограничения общности отдельно рассматривались одночастичные распределения частиц по координатам гп^х) = / щ(х, у) ¿V и скоростям = = / ии\х, у) йх, а также четыре первых неприводимых момента координат Мп(х) и скоростей Мп(и)

М1(х) = (х), М2(х) = (х2)~(х)2...,

М\(у) — (у), М2(У) = (У2)~{У)2..., (1)

выражаемые через моменты координат (хп) = / хпи.\ (х) (1х и скоростей {уп) = / упш1(у)<1у. В численном эксперименте одночастичные функции распределения по координатам ъи^х) и скоростям ы^'о) рассчитывались путем сортировки координат хг(Ь) и скоростей частиц по ячейкам шириной ¿\х и Ли соответственно. Для верификации установления теплового равновесия по текущему значению температуры газа Т и значению гравитационного поля д вычислялись функции распределения Максвелла и Больц-мана. В п. 1.2 описаны интерфейс программного комплекса и алгоритмы численного построения одночастичных функций распределения частиц га-

за по координатам ыг{х) и скоростям четырех первых неприводи-

мых моментов системы Мп(х), Мп(;и), функций распределения Максвелла и Больцмана.

Построены модели и выполнены расчеты для следующих систем газа в отрезке.

Идеальный бесстолкновительный газ в отрезке

Модель системы. Частицы двигаются свободно, ударяясь о границы отрезка. Законы движения частиц между ударами аналитически интегрируются согласно кинематическим соотношениям

«<(*) =

где х*, V*, — координата, скорость и время 1-ой частицы в момент к-го удара.

Компьютерный эксперимент показал, что система невзаимодействующих частиц асимптотически стремится к состоянию статистического, нетеплового равновесия. Наблюдается расслоение (стратификация) фазо-

Цх)

ф)

0.5

1.x

0.5

1.x

Рис. 1. Эволюция одночастичного распределения частиц газа по координатам гУг(ж). Конечное распределение — равномерное на отрезке [0,1] (начальное распределение №о(х) — равномерное на отрезке [0,0.5])

вого объема (рис. 2), занимаемого системой, который сохраняется в соответствии с теоремой Лиувилля, но расслаивается, и при £ —► оо мы получаем бесконечно расслоенный фазовый объем. С точки зрения одночастичной функции распределения частиц газа по координатам и скоростям ги4(ж, и) получается функция, разрывная почти в каждой точке, но непрерывная после усреднения по ячейкам Ах, Дг>.

Независимо от исходных начальных распределений итоговое распределение по координатам и скоростям при Ь —> оо становится непрерывным

-3

о о.5 X

О 0.5 г 0 0.5 X 0 0.5 х

3 V

1

0.5

3 V

Рис. 2. Стратификация фазового объема и эволюция одночастичного распределения частиц по скоростям в случае несимметричного начального распределения

гио(у). Конечное распределение имеет вид ъй(у) = 1/2[гоо(г;) +гоо(—г*)] (начальное распределение и>о(у) — прямоугольное [0,1])

(по координатам — равномерным, т. е. дги/дх — 0, а по скоростям — симметричным, т.е. ги(и) = 1/2[гио(и) +ш0(-г>)]) (рис. 1, 2).

Данные системы заведомо обратимы во времени, и используемая точность расчетов не приводит к потере обратимости в ходе компьютерного эксперимента.

Идеальный бесстолкновительный газ в гравитационном поле

Модель системы. Частицы двигаются в гравитационном поле, ударяясь о границы отрезка. Законы движения частиц между ударами аналитически интегрируются согласно соотношениям

аг<(*) = + - + -

где V*, — координата, скорость и время 1-ой частицы в момент к-го удара.

Компьютерный эксперимент показал, что и резкое, и постепенное (адиабатическое) «включения» гравитации приводят к установлению статистического равновесия в системе, итоговое распределение по координатам отлично от распределения Больцмана (рис. 3).

w(x)

2.9

1.4

ч

=5=54 S

w(v)

0.37

0.5

Рис. 3. Итоговые распределения частиц по координатам 'Ш(х) и скоростям ад(г>) в момент времени Ь = 2471 при условии мгновенного включения гравитационного поля д = 10 в момент £ = 0. Приведены функции Больцмана и Максвелла при соответствующих значениях поля д (д = 10) и температуры Т (Т = 3.776). Начальное распределение по координатам гуо(ж) — равномерное на отрезке, по скоростям гоо(«) — нормальное (Т = 1)

Идеальный бесстолкновительный газ в отрезке с движущимся тяжелым поршнем

Также было проверено имеющее место мнение, что система газа в отрезке, левый конец которого колеблется с малой амплитудой по заданному закону

xi =f(t), f(t) = f(t + Tl), где Tl — период колебаний, может служить моделью газа, взаимодействующего с термостатом.

Модель системы. Частицы движутся свободно или в гравитационном поле, ударяясь о границы отрезка, левый конец которого движется

по периодическому закону Х(Ь) = f(Wt) с периодом Ть частицы после удара о стенку (поршень) меняется:

Рассмотрены законы движения поршня:

2тг W

. Скорость

кусочно-линеиная функция

кусочно-параболическая функция

f(Wt) =

где А — амплитуда колебания поршня, Т^ — период колебания поршня.

A(l-2Wt),te [о, ад, A(-l + 2Wt),t€[TL/2,TL]i

Л(1-8(Ш)2),ге [0,ГЛ/3],

8A(m-l)2,te[TL/3,22y3],

A(l-8(Wt-l)2),e{2TL/3,TL],

частота колебания поршня.

Компьютерный эксперимент показал, что данная система не описывает реальный физический термостат и достигает лишь состояния статистического равновесия. Добавление к такой системе однородного гравитационного поля также не приводит к установлению распределения Больцмана по координатам. Получаемые фазовые портреты определяются начальными условиями и динамикой системы: влиянием колебаний поршня и ускорением свободного падения.

Кроме того, экспериментально было установлено, что данная система необратима во времени. С некоторого времени I в стохастическом слое наблюдается экспоненциальное разбегание траекторий (рис. 4).

Рис. 4. Фазовый портрет системы частиц в отрезке с тяжелым поршнем, двигающимся по кусочно-параболическому закону (А = 0.1, IV = 10), в момент времени г = 0 (начальное состояние), 4 = 35 (момент обращения времени) и £ = 70 (момент, соответствующий возврату системы в исходное состояние). Начальное распределение по координатам и>0(ж) — равномерное на отрезке [0, 0.5], по скоростям ю0{у) — равномерное на отрезке [0, 7]

Бесстолкновительный газ в отрезке с поршнем конечной массы Модель системы. Частицы двигаются свободно или в поле тяжести и сталкиваются с подвижным поршнем, реализованным в виде непроницаемой частицы конечной массы, делящей отрезок с частицами на два интервала. Удар происходит по законам упругого столкновения. Закон изменения скоростей частицы и поршня при ударе:

, 2 УМ + у(М + то)

V =----

М + т '

у, _ У(м -т) + 2у

М + т,

где V, V', М — скорость (до и после удара) и масса поршня, у, у', т — скорость (до и после удара) и масса частицы.

Компьютерный эксперимент показал, что в такой системе со временем устанавливается термодинамическое равновесие, при этом частицы равномерно распределены по отрезку, а одночастичнос распределение по ско-

тог>2

ростям совпадает с максвелловским уом(?) = Сме 2^ при соответствующем значении средней энергии (е) = Т, значение См определяется из условий нормировки (рис. 5, 6).

о

0.6 0.3

-2 0 2 о 0 0.3 0.6 0.9 х Рис. 5. Двухэтапный приход поршня к положению равновесия, итоговые максвел-ловское распределение частиц по скоростями и>(у) и фазовый портрет системы (положение поршня отмечено прямой). Число частиц справа и слева от поршня — щ = 105 и П2 = 2 ■ 105 соответственно. Время расчета t = 395. Начальное распределение частиц по скоростям справа и слева от поршня и>о(и) — равномерное, симметричное [—1,1]

Кроме того, такая система обратима во времени не только «в принципе», но и в численном эксперименте не наблюдается накопления ошибок счета. Возврат к начальному состоянию возможен в любой момент времени (при достаточной точности вычислений), в том числе и после установления равновесия.

Добавление к такой системе гравитационного поля приводит к уста-

тдх

новлению распределения Больцмана по координатам й!в(х) = Све Т , где Св — нормировочная постоянная (рис. 6).

Бесстолкновительный релятивистский газ в отрезке с поршнем конечной массы

Модель системы. Модель реализована аналогично модели — в предыдущем эксперименте, но частицы взаимодействуют с подвижным порш-

Рис. 6. Полученные одночастичные распределения по координатам и>(х) и скоростям й(у), совпадающие с функциями Больцмана гйв(х) и Максвелла гйм(у) (выделены черным цветом) при соответствующих значениях поля д и температуры Т в системе. Число частиц справа и слева от поршня щ = 5 ■ 105 и п2 = 102, значение поля д = 5, масса частицы газа т = 1, масса подвижного поршня М = 10

не/и по закону сохранения релятивистских энергии и импульса:

Р1 +Р2=Р[ +р'2,

+ т2с4+ ^р\с2 + АЯС4 = ^2с2 + т2с4 + ^2с2 + М2С4;

где р1,р'1,т~ импульс (до и после рассеяния) и масса частицы, р2,р'2,М — импульс (до и после рассеяния) и масса поршня, с — скорость света.

1 г 1/ 1 1 \ 1 ||

/л ¿П .1

-4-2 0 2 4 V

Рис. 7. Полученное одночастичное распределение по импульсам го(р). Пунктиром изображены начальное распределение гу0(р), равномерное на отрезке [-1,1], и функция Гаусса при соответствующем значении температуры системы 7Ъ. Черным изображена функция Больцмана при соответствующем значении температуры

у/ р2с2+т2 с4

Тв релятивистского газа и>в{р) = С в е Тв

Компьютерный эксперимент показал, что данная динамическая система асимптотически (Ь —► оо) приходит к состоянию термодинамического равновесия. Состояние равновесия характеризуется равномерным распределением частиц по координатам и релятивистской функцией распределения Больцмана (Гиббса) по импульсам (рис. 7), отличной от распределения Гаусса. Эксперимент не подтверждает связь экспоненциальной зависимости равновесной функции распределения с центральной предельной теоремой теории вероятностей.

Данная система, также как и предыдущая, обратима во времени, в том числе и после установления теплового равновесия, что, в свою очередь, опровергает предположение о потере системой динамической памяти в состоянии теплового равновесия.

Вторая глава посвящена аналитическому и численному исследованию динамики нелинейной системы двух точечных вихрей с интенсивностями Г1, Гг в идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной абсолютно гладкими стенками в форме кольца; внутренний и внешний радиусы кольца равны Гщ и Гош соответственно (рис. 8).

Рис. 8. Два точечных вихря с радиус-векторами г 1 и Гг внутри кольцевой области (а) и две бесконечные последовательности образов вихрей знакопеременной интенсивности, полученные методом зеркальных изображений (Ь). Гх, Г 2 — интенсивности вихрей; па,г0т — внутренний и внешний радиусы кольцевой области

С помощью метода зеркальных изображений найдена функция тока

системы и уравнения движения:

' \

Ег* £ ь.

а=1 к= — оа

\г~Ч~2кга{Ь) |

г —

го л 2 к

Хп -

5Ф ду

У а = -

<ЭФ

дх

где га(£) — радиус-вектор а-го вихря в момент времени д = шение внутреннего и внешнего радиусов кольца. Построен гамильтониан системы

Гт ГомХ

Г2 со / „2 \ /

к=1

Л2/с

+

(2)

(3)

■отно-

(4)

Г2 оо ,

¿=1

г2

' от 2к ~2 4

1 -

Г2 2

Г" ~

№ ^ ,„ Г4ш(Г22 - гСпга)^* + г\д^){г1 - 2{г1г2)д2к +

■5>

4?г Ы (^-2г02и((г1г2)д2Чг2г2294'=)(г04и(9^_2г02ш(г1г2)^+г?г22)'

где Н0 — гамильтониан системы двух вихрей в цилиндре:

Г?

Н0

ГЛ 1п (г? + г| - 2(Г1Г2)) + £ 1п (г02и, - г?)+

4ж

+ Э1п - г\) + ^ 1п {г\г1 - 2^(пга) + Г04ш). (5)

Замечание. Сходимость рядов в выражениях (2) и (4) показана в п. 2.1 диссертационной работы.

Показано, что система имеет дополнительный первый интеграл — момент завихренности „

/ = Г1г2 + Г2Г2, (6)

и проведена редукция к системе с одной степенью свободы. Полученные уравнения движения приведенной системы исследуются с помощью компьютерных методов разработанного комплекса программ. В п. 2.4 описан интерфейс комплекса и алгоритмы численного исследования динамики

и топологического анализа системы:

- нахождение области возможных движений;

- численное интегрирование уравнений движения и построение фазового портрета приведенной системы;

- поиск неподвижных точек отображения;

- построение бифуркационных диаграмм;

- визуализация движения исходной двумерной системы.

Для системы двух вихрей в кольцевой области при разных значениях отношения радиусов кольца д (при равных по модулю интенсивностях вихрей) численно получены:

• бифуркационные диаграммы, представляющие собой кривые на плоскости первых интегралов Н, I, соответствующие неподвижным точкам приведенной системы;

• отображения Пуанкаре приведенной системы для различных областей бифуркационных диаграмм;

• траектории движения реальной системы.

На рис. 9 приведена одна из полученных бифуркационных диаграмм и соответствующие фазовые портреты и траектории движения для случая вихревой пары (Г1 = —Г2 = — 1) в кольцевой области при д = 0.1.

Для случая равных интенсивностей вихрей доказана теорема о существовании относительных хореографий, то есть о представлении произвольного абсолютного движения вихрей в кольцевой области в виде движения вихрей по замкнутым кривым в равномерно вращающейся системе координат. Опираясь на данный факт, проведена классификация абсолютного движения вихрей в зависимости от областей фазового портрета приведенной системы.

Также показано, что система двух вихрей между параллельными стенками является предельным случаем системы двух вихрей в кольцевой области при стремлении радиусов кольца к бесконечности.

В третьей главе гамильтониан системы двух вихрей в кольцевой области (4) выражен через эллиптические 0-функции и рассмотрена задача о нахождении критериев устойчивости полигональных (томсоновских) конфигураций N вихрей в кольцевой области в зависимости от отношения радиусов кольца д =

ющие неподвижным точкам

Для томсоновских конфигураций N вихрей в кольцевой области с помощью системы аналитических вычислений Мар1е вблизи состояния равновесия исследованы собственные значения матриц квадратичной части га-[ мильтониана и матриц линеаризации векторного поля, по которым определены критерии устойчивости систем. Показано, что при N < 7 существуют устойчивые томсоновские конфигурации вихрей в кольцевой области. На плоскости параметров (а, д), где а — радиус томсоновской орбиты вихрей, построены области существования устойчивых томсоновских конфигураций вихрей для случаев N = 2,3,4,5,6 (рис. 10). Показано, что при д = 0 критические значения радиусов а совпадают с хорошо известными результатами для томсоновских конфигураций вихрей в цилиндрической области.

(

ч

0.3-

N=5

0.25

0.15

0.05

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6 а

Рис. 10. Зависимости критических значений радиусов а томсоновских конфигураций от отношения д внутреннего и внешнего радиусов для систем N = 2,3,4,5,6 вихрей в кольцевой области. Области устойчивых томсоновских конфигураций располагаются под кривыми

Основные результаты, полученные при выполнении диссертационной

1) Предложены математические модели и численные методы статистического описания одномерного газа в отрезке при различных условиях, на основе которых реализован комплекс программ, позволяющий проводить численное моделирование процессов релаксации одномерных систем многих частиц. С помощью компьютерного эксперимента показано, что:

• одномерная система невзаимодействующих (статистически независимых) частиц газа (свободных и в поле тяжести) приходит лишь к состоянию статистического равновесия; данная система обратима во времени, в том числе после установления равновесия;

Заключение

работы:

• система невзаимодействующих частиц газа в отрезке с подвижной стенкой, движущейся по заданному периодическому закону и перераспределяющей энергию в системе, не может служить моделью термостата, так как система не приходит в состояние теплового равновесия (система необратима во времени);

• система невзаимодействующих частиц газа в отрезке, разделенном подвижным поршнем конечной массы (отличной от массы частицы), взаимодействующим с остальными частицами по законам сохранения классической и релятивистской энергии и импульса, приходит в состояние термодинамического равновесия с плотностью распределения частиц по координатам и скоростям, зависящей от средней энергии системы; данные системы обратимы во времени в том числе и при численной реализации.

2) Исследована динамика системы вихрей в кольцевой области.

• Построен гамильтониан системы двух вихрей в кольцевой области, проведена редукция системы к одной степени свободы; получены уравнения движения приведенной системы двух вихрей в кольцевой области.

• Выполнены бифуркационный анализ системы двух точечных вихрей в кольцевой области и классификация типов движения при равных по модулю интенсивно стях.

• Проведена классификация абсолютного движения вихрей в кольцевой области в зависимости от областей фазового портрета приведенной системы в случае равных интенсивностей.

• Указаны условия устойчивости полигональных конфигураций системы N вихрей в кольцевой области в зависимости от отношения радиусов кольца.

Литература

[1] Болсинов A.B., Борисов A.B., Мамаев И.С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // Успехи математических наук, 2010, т. 65, вып. 2(392), с. 71-132.

[2] Борисов A.B., Мамаев И.С. Математические методы динамики вихревых структур. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005. 368 стр.

3] Зуева Т. И. Движение вихрей в кольцевой области // Физика низких температур, 2000, т. 26, № 2, с. 119-127.

4] Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. М.Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008.

5] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

6] Куракин Л. Г Об устойчивости томсоновских вихревых конфигураций внутри круговой области // Нелинейная динамика, 2009, т.5, №3, с. 295-317.

7] Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей // ЖЭТФ, 1975. N. 68, вып. 5(11). С. 1868 -1882.

8] Паттерман С. Гидродинаимка сверхтекучей жидкости. М.: Мир, 1964.

9] Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986.

0] Фриш У. Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. Перевод с англ. А. Н. Соболевского под ред. М. Л. Бланка. М.: Фазис: 1998.

1] Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. М.Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. (Оригинальное издание: М.-Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1943.)

2] Berman G.P., Izrailev F.M. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: Fifty Years of Progress // Chaos, 2005, vol. 15, 015104.

3] Boltzmann L. On Certain Questions of the Theory of Gases // Nature, 1895, vol. 51, pp. 413-415.

4] Bunimovich L. Kinematics, Equilibrium, and Shape in Hamiltonian System: The "LAB"effect // Chaos, 2003, vol. 13, № 3, pp. 903-912.

5] Edwards D. F., Taylor J. B. Negative temperature states of two-dimensional plasmas and vortex fluids // Proc. Roy. Soc. London, 1974, vol. A 336, p.257.

6] Greenhill A.G. Plane Vortex Motion // Quart. J. Pure and Appl. Math., 1877/78, vol. 15, № 58, pp. 10-30.

7] Havelock Т. H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation // Phil.Mag. 1931, v. 11, № 70, pp. 617-633.

8] Fetter A. Low-lying superfluid states in a rotating annulus // Phys. Rev., 1967, vol. 153, no. 1, pp. 285-296.

9] Fincham A.M., Maxworthy Т., Spedding G.R. Energy dissipation and vortex structure in freely decaying, stratified grid turbulence // Dyn. Atmos. and Oceans, 1996, vol. 23, pp. 155-169.

20] Thomson J. J. A treatise on the motion of vortex rings. London: Macmillan, 1883.

21] Zaslavsky G.M. From Hamiltonian Chaos to Maxwell's Demon // Chaos, 1995, vol. 5, №4, pp. 653-661.

Основные публикации по теме диссертации

1) Васькин В.В., Ердакова H.H., Мамаев И.С. Статистическая механика нелинейных динамических систем // Нелинейная динамика, 2009, 5 (3). С. 385-402.

2) Васькин В.В., Ердакова H.H. Статистическая механика релятивистского газа в отрезке // Нелинейная динамика, 2009, 5 (4). С. 561-567.

3) Васькин В.В., Ердакова H.H. Динамика двух точечных вихрей в кольцевой области // Нелинейная динамика, 2010, 6 (3). С. 531-547.

4) Ердакова Н. Н. Томсоновские конфигурации в динамике двух вихрей в кольцевой области // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2010, 4. С. 71-76.

5) Ердакова H.H. Тепловое и статическое равновесие динамических систем с большим числом степеней свободы // Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования: труды Первой междунар. конф., Ижевск, 4-6 февраля, 2009 г.

6) Ердакова Н. Н. Тепловое и статистическое равновесие динамических систем с большим числом степеней свободы // Динамические системы, управление и наномеханика: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 24-28 июня, 2009 г.

7) Ердакова H.H. Статистическая механика газа в отрезке. Релятивистский и нерелятивистский случай // Регулярная и хаотическая динамика: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 19-24 янв. 2010 г.

8) Ердакова Н. Н. Задача о движении двух вихрей в кольцевой области // Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану: тез. докл. Междунар. конф., г. Ижевск, 12-15 мая 2010 г.

9) Ердакова Н. Н. Задача о движении двух вихрей в кольцевой области// Сборник тезисов Второй международной конференции "Геометрия, динамика, интегрируемые системы", Белград, Сербия, 2010 г.

Г

Подписано в печать 12.01.2012. Формат 60 х 84 1/16.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,4. Уч. изд. л. 1,5. Бумага офсетная № 1. Тираж 100 экз. Заказ № 11-65. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

Текст работы Ердакова, Надежда Николаевна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

61 12-1/439

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

"УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра теоретической физики

Лаборатория нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения

На правах рукописи

ЕРДАКОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ И ЗАДАЧ ВИХРЕВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор А. В. Борисов

Ижевск — 2012 год

Содержание

Введение................................. 4

Глава 1. Компьютерные и статистические методы в динамических системах с большим числом степеней свободы.......... 15

1.1. Статистическое описание одномерного газа. Статистическое равновесие и слабый предел.................... 18

1.2. Модели систем, постановка вычислительного эксперимента, программный комплекс....................... 21

1.2.1. Модели систем одномерного газа............. 21

1.2.2. Постановка вычислительного эксперимента....... 24

1.2.3. Описание интерфейса программного комплекса..... 26

1.3. Результаты компьютерного эксперимента............. 29

1.3.1. Идеальный бесстолкновительный газ в отрезке..... 29

1.3.2. Идеальный бесстолкновительный газ в гравитационном поле.............................. 31

1.3.3. Идеальный бесстолкновительный газ с движущимся тяжелым поршнем....................... 34

1.3.4. Идеальный бесстолкновительный газ с поршнем конечной массы .......................... 38

1.3.5. Идеальный бесстолкновительный газ с поршнем конечной массы. Релятивистский случай............ 42

1.4. Аналогия с биллиардом....................... 44

Глава 2. Динамика двух точечных вихрей в кольцевой области 46

2.1. Уравнения движения вихрей и их гамильтоново представление 48

2.2. Интеграл момента и редукция к системе с одной степенью свободы ....................................................................52

2.3. Качественный анализ динамики при равных по модулю интен-сивностях..............................................................54

2.4. Методы численного анализа и описание интерфейса программного комплекса........................................................58

2.5. Классификация движения вихрей при равных по модулю ин-тенсивностях..........................................................61

2.5.1. Случай равенства абсолютных значений интенсивно-стей вихрей. Абсолютная динамика и хореографии ... 61

2.5.2. Случай вихревой пары......................................69

2.6. Предельный переход в систему двух вихрей в полосе............71

Глава 3. Томсоновские конфигурации вихрей в кольцевой области 76

3.1. Представление гамильтониана системы вихрей в кольцевой области через эллиптические функции................................77

3.2. Типы критических точек и их устойчивость......................80

3.3. Томсоновская конфигурация двух вихрей и ее устойчивость . . 82

3.4. Томсоновские конфигурации системы N вихрей (-/V ^ 3) и их устойчивость ..........................................................86

3.5. Предельный переход в систему вихрей вне цилиндра............94

Заключение................................................................96

Литература................................................................99

Введение

Актуальность темы

В настоящее время в связи с бурным развитием компьютерных технологий с одной стороны и методов качественного анализа динамических систем с другой стороны появляются новые возможности для исследования нерешенных проблем нелинейной динамики. Актуальной задачей становится разработка современных компьютерных комплексов, с помощью которых можно изучать динамику сложных систем, в том числе с большим числом степеней свободы. Численно реализованные топологические методы в нелинейных интегрируемых системах и выполнение компьютерных исследований при изучении систем многих частиц ведет к новым результатам в областях динамики, где чисто аналитические методы не позволяют получить описание эволюции системы.

В диссертационной работе представлены аналитические и численные методы нелинейной динамики и статистической механики, с помощью которых, с одной стороны, можно исследовать динамику интегрируемых систем, с другой стороны — анализировать вопросы, связанные с проблемами статистической механики в системах с большим числом степеней свободы.

Изучение вопросов неравновесной статистической механики, главным образом, анализ механизма стремления динамической системы к состоянию термодинамического равновесия, подробно развиваемый в работах В. В. Козлова [46, 47], является крайне значимой задачей нелинейного анализа, прикладной и теоретической механики. Несмотря на многолетний интерес к данной проблеме, восходящей к работам Гиббса и Пуанкаре, эти вопросы и по

сей день остаются актуальными в научной среде, находятся в сфере постоянного научного обсуждения [2, 5, 31].

С точки зрения физики в целом и теоретической и прикладной механик в частности приоритетной проблемой, поставленной перед статистической механикой, является объяснение такого явления движения жидкости как турбулентность. Проблема турбулентности — глобальная многосторонняя иерархическая проблема. Имея как минимум пятивековую историю [63] и современные качественные научные результаты [57, 11], турбулентность как задача до сих пор остается нерешенной. На данный момент развито несколько моделей турбулентности, широко используются различные подходы (теоретический, феноменологический, компьютерный эксперимент), возникают новые задачи, связанные с моделированием процесса, учетом вязкости, критериями перехода потока в турбулентный режим, перемешиванием и т. д. Такой разносторонний подход к решению задачи определяет ее феномен как одну из центральных задач механики и гидродинамики. На сегодняшний день при описании проблемы турбулентности широко используются статистические методы и вихревое представление модели процесса, что, в свою очередь, подчеркивает значимость развития современных методов в исследованиях вихревой динамики.

В первой части диссертационной работы рассмотрены новые модельные задачи статистической механики, построенные согласно понятиям, моделям и гипотезам, развитым за многолетнюю историю вопроса. С помощью разработанного комплекса программ численно реализованы эксперименты с системой многих частиц в отрезке, проверены теоремы и гипотезы различных источников [46, 59, 65]. В частности, исследована модель гамильтоновой неконсервативной системы многих частиц, асимптотически теряющей свойство обратимости, но приходящей лишь к состоянию статистического равновесия, что противоречит представлению о связи теплового равновесия с потерей динамической памяти [59].

Во второй и третьей частях диссертационной работы с помощью разработанных компьютерных методов исследована актуальная и хорошо известная задача о движении вихрей в кольцевой области. Впервые задачу о движении точечных вихрей в круге рассмотрел А. Гринхилл в 1877 г. [12], который с помощью метода зеркальных отображений исследовал движение одного и двух вихрей внутри и вне круговой области. Исследованиями устойчивости полигональных вихревых конфигураций внутри и вне круга в разное время занимались Дж. Дж.Томсон [30], в честь которого данные конфигурации названы «томсоновскими», Т. Хавелок [14], решивший в 1931 году задачу о линейной устойчивости томсоноских конфигураций внутри круга, JI. Куракин [51], изучающий данную задачу в нелинейной постановке, и др. В наше время по задаче о движении вихрей в круговой области ставятся натурные эксперименты с жидкостями и магнито-гидродинамическими средами [58, 8], в связи с проблемой описания динамики сверхтекучего жидкого гелия II между вращающимися концентрическими цилиндрами в работах [44, 10] возникает задача о движении точечных вихрей в кольцевой области. Благодаря методам качественного анализа, развитым в работе [38], топологическим методам [37] и компьютерным технологиям появилась возможность провести полное исследование динамики двух вихрей в кольцевой области, получить классификацию движения двух вихрей в кольцевой области при равных по модулю интенсивностях вихрей, разрешить задачу о нахождении критериев существования устойчивых полигональных конфигураций вихрей в кольцевой области.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование одномерных динамических систем с большим числом степеней свободы и динамики точечных вихрей в кольцевой области методами математического моделирования и теории динамических систем.

Методы исследования

Исследование математических моделей в диссертационной работе основывается на сочетании численных и аналитических методов нелинейной динамики. При построении математических моделей и в ходе их аналитического исследования использовались законы сохранения и методы гамильтоновой механики. При построении численных решений применялись аналитические и численные методы нахождения корней уравнений и интегрирования уравнений движения. Для исследования динамики интегрируемых систем использовались топологические методы бифуркационного анализа и теории устойчивости. При исследовании полигональных конфигураций вихрей в кольце использовались методы линейной алгебры. Для получения статистического описания одномерных систем многих частиц применялись аналитические и численные методы расчета статистических характеристик. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке С++ и в пакете прикладных программ МАРЬЕ.