автореферат диссертации по электронике, 05.27.01, диссертация на тему:Кинетические явления в структурах на основе графена и его модификаций

На правах рукописи

Свинцов Дмитрий Александрович

КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАФЕНА И ЕГО МОДИФИКАЦИЙ

05.27.01 Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро-и нано- электроника на квантовых эффектах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

М ОКТ 2012

Москва-2012

005053290

005053290

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Физико-технологическом институте Российской академии наук (ФТИАН РАН).

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук Вьюрков Владимир Владимирович Официальные оппоненты:

Лейман Владимир Георгиевич, доктор физико-математических наук, Московский физико-технический институт, профессор кафедры общей физики;

Федирко Валерий Алексеевич, доктор физико-математических наук, Московский государственный технологический университет СТАНКИН, профессор кафедры прикладной математики.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов Российской академии наук (ИПТМ РАН)

Защита состоится 26 сентября 2012 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.204.02 при Физико-технологическом институте Российской академии наук по адресу: г. Москва, Нахимовский проспект д. 36 к. 1,6 этаж, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технологического института РАН.

Автореферат разослан «__»_2012 года.

Ученый секретарь у-

диссертационного совета Д 002.204.02 Вьюрков В.В.

кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы

Графен - двумерная модификация углерода - привлекает внимание исследователей благодаря своим необычным электрофизическим свойствам с момента выхода пионерской статьи Новоселова, Гейма и Морозова [1]. Помимо фундаментального интереса, связанного с «релятивистским» поведением носителей заряда, графен перспективен как материал для приборов нано-, оптоэлектроники и плазмоники.

При обсуждении достоинств приборов на основе графена в литературе повсеместно упоминаются

• Высокая подвижность электронов (предельное значение в подвешенных образцах при Т = 240 К составляет 120000 см2/В с [2,3]);

• Возможность эффективного управления электрическими и оптическими свойствами с помощью внешнего напряжения. Эффективность в данном случае обусловлена низкой плотностью электронных состояний, происходящей из линейности спектра.

Основным препятствием к применению графена в логических схемах является отсутствие запрещенной зоны, приводящее к невысокому (порядка 100) отношению токов открытого и закрытого состояний в полевых транзисторах на его основе (не считая туннельных транзисторов [4]). Поэтому к настоящему времени наноэлектронным приборам на основе графена и его модификаций отводится ниша в высокочастотных аналоговых, плазмонных и оптоэлектронных устройствах [5].

Для выявления перспективных возможностей приборов на основе графена повсеместно применяется математическое моделирование в силу технологической сложности изготовления реальных образцов. Известно множество публикаций, посвященных теоретическому описанию кинетических явлений в графене, причем язык описания варьируется от элементарного (например, описание транзисторов на основе графена по полной аналогии с кремниевыми [6]) до чрезвычайно сложного (вычисление минимальной проводимости с привлечением понятия «дрожащего движения» (2П1егЬе\уе§игщ)). Замечено, что в работах, посвященных моделированию транзисторов на графене, зачастую игнорируются важные результаты, полученные в работах по вычислению проводимости. В результате модели приборов «обрастают» большим количеством нефизических подгоночных параметров.

Важно, что в большинстве работ, описывающих кинетические явления в графене, игнорируется факт сильного кулоновского взаимодействия между носителями заряда. Данный факт значительно сказывается на транспортных явлениях, для описания которых становится применимой гидродинамическая модель, разработанная в данной работе. Гидродинамика электрон - дырочной плазмы в графене имеет значительные отличия от таковой для классических жидкостей в силу ее двухкомпонентности и линейности энергетического спектра частиц.

Гидродинамическая модель успешно описывает наблюдаемые вольтамперные характеристики полевых транзисторов на основе графена без привлечения нефизических параметров и может быть использована для дальнейшей оптимизации конструкций приборов. Особый интерес представляет вопрос о возможности получения высокой надпороговой крутизны характеристики транзистора, важной для применений в аналоговых схемах. Также в рамках модели может быть исследована проблема создания инверсной заселенности в транзисторах на графене, которая имеет первостепенное значение для создания инжекционных лазеров.

В рамках гидродинамической модели возможно описание плазменных колебаний в двумерном электронном газе графена. Данные колебания могут найти применение в приборах для детектирования и генерации электромагнитного излучения различных диапазонов, в том числе терагерцового и инфракрасного [7]. В отличие от предыдущих теорий распространения плазмонов [8,9], гидродинамическая модель позволяет строго рассмотреть вопрос о затухании волн и выявить условия, при которых данное затухание минимально. В работе показано, что плазменные волны в нейтральном графене сильно подавлены электрон - дырочными столкновениями, вместо них основным типом колебаний является электрон -дырочный звук. Подавление плазменных волн может существенно снизить темп рекомбинации фотовозбужденных носителей [10], что является положительным аспектом для создания лазеров на основе графена.

Модификации графена, обладающие запрещенной зоной, могут рассматриваться как перспективные материалы и для цифровой, и для аналоговой электроники. При этом межэлектронное рассеяние в них не так сильно, как в однослойном графене, что позволяет применять баллистические модели для описания короткоканальных приборов. Особого внимания среди модификаций заслуживает двухслойный графен, обладающий довольно экзотическим электронным спектром:

непрямозонным, изотропным, имеющим участок с отрицательной эффективной массой вблизи дна зоны [11]. Эти особенности находят отражение в характеристиках баллистических полевых транзисторов, исследованию которых посвящена отдельная глава работы.

Цель диссертационной работы

Целью данной работы является построение теорий электронного транспорта в однослойном и двухслойном графене, моделирование и анализ характеристик наноэлектронных приборов на основе данных материалов.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

• Построить теорию электронного транспорта в однослойном графене, учитывающую сильное взаимодействие между носителями заряда;

• Проверить корректность данной теории путем сравнения рассчитанных и экспериментально измеренных зависимостей проводимости графена от концентрации носителей заряда;

• Используя основные уравнения развитой теории, промоделировать стоковые и затворные характеристики полевых транзисторов на основе графена;

• Используя развитую теорию, рассчитать спектры коллективных возбуждений в электрон - дырочной плазме графена с учетом затухания;

• Построить баллистическую теорию электронного транспорта в полевых транзисторах на основе двухслойного графена, учитывающую особенности электронного спектра;

• Выявить влияние особенностей электронного спектра двухслойного графена на характеристики транзисторов на его основе.

Научная новизна и достоверность работы

Научная новизна работы состоит в следующих результатах, которые были получены впервые:

• Разработана гидродинамическая модель проводимости графена, учитывающая сильное межчастичное взаимодействие, характерное для данного материала. Экспериментальная зависимость сопротивления графена от напряжения на управляющем электроде объяснена в рамках предложенной модели. Показано, что максимальное сопротивление графена обусловлено сильным электрон - дырочным рассеянием и слабо зависит от температуры. Резкий спад сопротивления по обе стороны от максимума обусловлен эффектом увлечения неосновных носителей заряда основными;

• В рамках гидродинамической модели получены характеристики полевых транзисторов на основе графена. Показано, что квази-плато на стоковой характеристике транзистора является результатом появления нейтральной области с сильным электрон-дырочным рассеянием в канале транзистора;

• Рассчитаны спектры и затухание коллективных возбуждений в электрон - дырочной плазме графена. Показано, что в нейтральной биполярной плазме распространение заряженных плазменных волн сильно подавлено электрон - дырочным рассеянием. В данных условиях слабо затухающим типом колебаний является нейтральный электрон - дырочный звук, скорость которого практически не зависит от концентрации носителей заряда;

• Построена баллистическая модель полевого транзистора на основе двухслойного графена, учитывающая особенности электронного спектра. Показано, что проводимость канала как функция напряжения на затворе при нулевой температуре испытывает скачок, что ранее наблюдалось только для одномерных систем. Следствием этого скачка является рекордно высокая крутизна надпороговой характеристики данного транзистора при комнатной температуре.

Достоверность результатов обеспечивается применением фундаментальных физических теорий и сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.

Положения, выносимые на защиту

• Гидродинамическая модель транспорта носителей заряда, разработанная в диссертации, объясняет основные особенности вольтамперных характеристик полевых транзисторов на основе графена, такие как узкий пик на зависимости сопротивления канала от напряжения на затворе и квази-плато на стоковой характеристике. Данные эффекты обусловлены сильным электрон - дырочным рассеянием и увлечением неосновных носителей заряда основными.

• Зависимость проводимости канала баллистического полевого транзистора на двухслойном графене от напряжения на затворе испытывает скачок при нулевой температуре. Наличие данного скачка приводит к рекордно высокой надпороговой крутизне транзистора при комнатной температуре.

• Доминирующим типом коллективных возбуждений в нейтральной биполярной плазме графена являются электрон - дырочные звуковые волны. Распространение заряженных плазменных волн в данных условиях сильно подавлено электрон - дырочным рассеянием;

Практическая значимость работы

Результаты работы позволяют рассчитывать и оптимизировать характеристики приборов на основе графена и его модификаций. Разработанные модели нашли применение в программном комплексе, разрабатываемом по заказу Министерства образования и науки РФ.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

• 2nd international symposium on graphene devices ISGD-2010, Sendai,

Japan;

• X российская конференция по физике полупроводников, Нижний Новгород, 2011;

• Rusnanoforum-2011, Москва;

• Japan-Russia-USA symposium on modeling of graphene terahertz, nano-mechanical and acousto-optical devices, Aizu-Wakamatsu, Japan, 2012.

Публикации

Основные результаты работы представлены в 4 публикациях, две из которых опубликованы в рецензируемых международных журналах (Journal of Applied Physics, Japanese Journal of Applied Physics), включенных в библиографическую базу Web of Science. Две другие статьи опубликованы в журнале «Вестник МГТУ им. Баумана, Серия «Приборостроение»», входящем в список журналов и изданий, утвержденный Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации. Одна публикация по тематике принята в печать в журнал «Физика и техника полупроводников».

Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора

Общая постановка задачи осуществлялась научным руководителем автора Вьюрковым В.В.. Модели транспорта носителей заряда, представленные в работе, разработаны автором совместно с научным

руководителем. Компьютерное моделирование приборов и анализ полученных характеристик выполнены лично автором.

Непосредственное участие коллег автора в проведенных исследованиях отражено в виде их соавторства в опубликованных работах. Результаты, выносимые на защиту и составляющие научную новизну работы, получены автором лично.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из 4 глав, заключения и приложения. Каждая из глав завершается разделом «Выводы», в котором резюмируются полученные результаты. Общие выводы по работе приведены в заключении.

Содержание диссертации изложено на 98 страницах. Рукопись содержит 25 рисунков. Список литературы содержит 70 ссылок на цитируемые источники. Кроме того, приведен список из 4 публикаций автора по тематике диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 проведен анализ существующих моделей электронного транспорта в однослойном и двухслойном графене.

Рассмотрены различные модели для вычисления проводимости: метод температурных функций Грина [12], решения кинетического уравнения с рассмотрением различных типов рассеяния [13].

Проанализированы работы, в которых производится вычисление минимальной проводимости графена с учетом электрон - электронного рассеяния [14].

Рассмотрены модели полевых транзисторов на основе однослойного и двухслойного графена и выявлено, что большинство работ по транспорту в однослойном графене игнорируют факт сильного межчастичного взаимодействия, сохраняющегося даже при энергии Ферми вдали от дираковской точки. Также показано, что существующие модели транспорта в двухслойном графене не учитывают особенностей электронного спектра, которые могут повлиять на характеристики полевых транзисторов в баллистическом режиме, особенно при низких температурах.

В главе 2 производится вывод уравнений гидродинамики двухкомпонентной электрон - дырочной плазмы графена с сильным взаимодействием между компонентами.

Высокая частота межчастичных столкновений в графене (оценочно Усе = 5 х 1013 Гц) по сравнению с частотой столкновений носителей заряда с фононами и дефектами решетки приводит к установлению локально-равновесных функций распределения электронов и дырок:

Л(р)=

1 + ехр

Т

у -1 /

1 + ехр V

ууг - рХ,+н, т,

/ 0-1)

где иг = 106 м/с - скорость Ферми, а неизвестные значения химических потенциалов дрейфовых скоростей V,У(1 и температур Т, Тн

электронов и дырок определяются из системы уравнений гидродинамики. Вывод этих уравнений производится из кинетического уравнения Больцмана для безмассовых фермионов по процедуре, аналогичной методу Чепмена-Энскога.

Уравнения непрерывности для безмассовых носителей по форме совпадают с таковыми для классических частиц:

дт дт

(1.2)

где Х(, (/ле) и - концентрации электронов и дырок, а Я - темп

рекомбинации, приводящий к выравниванию уровней химических потенциалов носителей.

Особенности электронного спектра носителей графена в полной мере проявляются в уравнениях Эйлера для электронов и дырок:

ТЖ „ Я^ О ' ^ е Ге),\ е И)' V >

2 дт 2

3 д (р„)Ч , д Ур{р„) , ^ дер

+ = (1.4)

2 дt уг дт 2 " дт

в которых ^р^ и (^р^ - средний модуль импульса электронов и дырок, рассчитанный на единицу площади, (р - электрический потенциал, коэффициенты Д, и рн описывают взаимодействие носителей со внешними рассеивателями (фононами и примесями), а коэффициент Рл отвечает за сильное взаимодействие между двумя типами носителей заряда.

Уравнения Эйлера могут быть записаны в привычной для классической гидродинамики форме с помощью введения фиктивной

концентрации носителей и не может быть вынесена за знак дифференцирования. Масса носителей, соответствующая этой плотности Ме к = рск! ,,, составляет 0,024 массы свободного электрона для

нейтрального графена.

Диссипативные слагаемые в правой части уравнения Эйлера получены с помощью линеаризации интегралов столкновений по дрейфовым скоростям частиц, при этом «коэффициенты трения» Д, и ДЛ зависят от механизма рассеяния и концентрации носителей. Особого внимания заслуживает «трение» между электронной и дырочной компонентами, описываемое слагаемым /ЗеИ (V - У(1). Электрон - дырочное рассеяние для нейтрального графена является доминирующим, что выражается условием ДА » /? , ДЛ » Рк. При высоком уровне химического потенциала /л (при большом напряжении на затворе) коэффициент трения спадает экспоненциально Д,Л ~ в силу малости концентрации неосновных носителей.

В рамках уравнений гидродинамики удается вычислить зависимость статической проводимости листа графена С от концентраций носителей, для чего используются стационарные уравнения Эйлера в предположении отсутствии градиента температуры и химического потенциала:

плотности электронов и дырок

которая зависит от

Ре+Ри + РА / Реь Реи (А +Рн) + РА

(1.5)

Gale Voltage, V c

Рис. 1. Рассчитанная зависимость проводимости графенового слоя от напряжения на затворе. На вставках: слева - зависимость удельного сопротивления листа графена от напряжения на затворе, справа -зависимость подвижности носителей от уровня химпотенциала (предполагаемого единым для электронов и дырок)

Рассчитанные зависимости проводимости от

напряжения на затворе по формуле (1.5) приведены на рис. 1, там же на вставках представлены зависимость удельного сопротивления в

окрестности точки

минимальной проводимости и

зависимость подвижности от уровня химического потенциала.

В ранних работах минимум проводимости

нейтрального графена был ассоциирован с минимальностью концентрации носителей заряда в точке нейтральности. Мы утверждаем, что данный эффект обостряется наличием сильного электрон-дырочного рассеяния, что приводит к более узкому пику на зависимости С (), реально

наблюдаемому на эксперименте. Более того, детальный анализ уравнений (1.3), (1.4) показывает, что уже при небольшом отклонении от точки нейтральности, таком, что

U

(1.6)

/1=0

разность скоростей электронов и дырок становится малой ( ~ / + ~ 1 / / Д.,,), т.е. основные носители заряда затягивают

за собой неосновные. Влияние сильного электрон-дырочного рассеяния прекращается уже при небольшом различии между плотностями частиц, при этом сам коэффициент трения Д,й может оставаться достаточно большим по сравнению с Д,. Данный эффект приводит к еще более заметному сужению пика на зависимости сопротивления от напряжения на затворе.

Дополнительным аргументом в пользу теории влияния электрон-дырочного рассеяния на минимальную проводимость, является

независимость проводимости (1.5) при Ие = от температуры. Данный факт был подтвержден измерениями в диапазоне от единиц до сотен градусов Кельвина.

Вычисление проводимости как функции напряжения на затворе является простейшим примером решения гидродинамических уравнений, представленным в главе 2. Дальнейшим развитием применения теории является моделирование характеристик полевого транзистора на основе графена. Для этого система уравнений гидродинамики должна быть дополнена уравнением Пуассона для транзисторной структуры, изображенной на рис. 2.

Наиболее строгая постановка задачи гидродинамики и электростатики с граничными условиями приведена в тексте диссертации. Здесь мы ограничимся описанием аналитической модели, качественно воспроизводящей особенности характеристик транзистора. Основным предположением модели является малость влияния межконактных областей (между истоком и затвором, стоком и затвором) на характеристики прибора. При этом связь между локальным потенциалом в канале <р и зарядовой плотностью в области под затвором дается уравнением плоского конденсатора

^{Ус-9) = (1.7)

Построение аналитической модели полевого транзистора возможно далее в предположении сильной рекомбинации (такой, что характерное время рекомбинации много меньше времени пролета канала частицей). При сильной рекомбинации электрон-дырочная система описывается единым химическим потенциалом, а уравнение непрерывности для компонент плазмы сводится к общему стационарному уравнению непрерывности для плотности тока /:

—(IV= = 0. (1.8)

с1хУ е е " "> йх К '

Интегрирование этого уравнения по длине канала Ь (фактически, по длине подзатворной области) вместе с условием ] - -СА(р / Ах приводит к окончательному выражению для тока транзистора:

1 = ~\с(ср)<1<р. (1.9)

^ о

к

фех= 0; г = | (рех= Уо;

/<=/<4

£ь 9 х ср=у„; • = Уья

Рис. 2. Схематическое изображение поперечного разреза моделируемого полевого транзистора с пояснением граничных условий к уравнениям гидродинамики и уравнению Пуассона в строгой постановке (<ргх) и в приближении плавного канала

Рассчитанные по данной формуле зависимости ](УС) и ](УВ) представлены на Рис. 3.

Рис. 3. Рассчитанные стоковые (слева) и затворные (справа) характеристики полевого транзистора на графене. Длина канала 1 мкм, толщина подзатворного диэлектрика 10 нм, доминирующий механизм рассеяния - акустические фононы

Квази-плато на стоковой характеристике является следствием появления точки минимальной проводимости в канале, данная точка появляется строго при У0 = Ус вблизи контакта стока, как это следует из уравнения (1.7). Заметим, что ранние теории привлекали для объяснения данного квази-плато эффект насыщения скорости, который не может наблюдаться при малых напряжениях на стоке.

Зависимость плотности тока от напряжения на затворе имеет минимум при Ус = Ур / 2, при этом проводимость слоя графена (средняя по

каналу) минимальна. Поведение «хвостов» характеристики ]{УС) зависит от

доминирующего механизма рассеяния,

Уже применение простых аналитических моделей полевого транзистора, основанных на гидродинамической теории транспорта, объясняет основные особенности наблюдаемых характеристик. В работе проанализирована применимость данных приближений. В частности, рассмотрен случай конечной рекомбинации, связанной с испусканием оптических фононов. Также выписаны нелинейные по скорости поправки к

уравнениям гидродинамики и показано, что они имеют порядок (У / иг )2, т.е.

представленные уравнения (1.2)-(1.4) работают при скоростях упорядоченного движения, существенно меньших скорости Ферми, являющейся предельной для электронов в графене.

В главе 3 представлена баллистическая модель полевого транзистора на основе двухслойного графена, учитывающая особенности электронного спектра, образно называемого «Мексиканской шляпой»:

ф)=±^+т+1 ё+^ ■ (1ло)

Данный спектр имеет локальный максимум при р = 0 с отрицательной эффективной массой в его окрестности и локальный минимум при

= (А / 2иг + А21 / + А2) с соответствующей энергией

еащ=ГА/( +Д2)-

Рассматривается классическая баллистическая модель, для которой коэффициент прохождения электроном барьера, создаваемого затвором, может принимать только значения 0 или 1, в зависимости от энергии и импульса налетающего электрона.

Показано, что электроны из контакта истока с энергией е < ст]п + еУс (Ус - высота потенциального барьера в канале транзистора, определяемая напряжением на затворе из модели плоского конденсатора) не могут попасть в канал транзистора, т.к. в области барьера достигают точки экстремума

энергетического спектра и меняют направление групповой скорости. Соответственно, и в канале транзистора состояния с ре[0,рт1п] (состояния

на «колпаке мексиканской шляпы») являются пустыми в отсутствие рассеяния. Если же такое состояние заполняется в результате рассеяния, то данный электрон локализуется на вершине потенциального барьера в канале благодаря отрицательной эффективной массе.

Получена формула для тока транзистора в баллистическом режиме:

/=-¿1 I о-")

в которой р[£) - зависимость импульса частицы от энергии, соответствующая ветви спектра правее точки минимума ртт, /5 и /п -функции распределения электронов в контактах истока и стока, соответственно. Наличие изотропного смещенного минимума в энергетическом спектре приводит, как это видно из (1.11), к скачку кондактанса С = ¿1] / дУ0 при нулевой температуре, равному

ДС = £14Л ЕТД^

Й йг>Р у у^ + Л

Скачок происходит при напряжении на затворе, для которого дно зоны проводимости в канале совпадает с уровнем Ферми в истоке. Если предположить, что в отсутствии внешних напряжений уровень Ферми в графене ц > 0 (что может обеспечиваться, например, контактной разностью потенциалов с подложкой), то зависимость проводимости от напряжения на затворе будет выглядеть, как показано на Рис. 4. Напряжение на затворе отсчитывается от состояния, для которого уровень Ферми в контакте истока проходит через середину запрещенной зоны в канале. Характеристики реальных приборов при этом получатся сдвинутыми на величину, определяемую уровнем Ферми /л (остаточным легированием).

и40

'Е р

-Е 30

20 10

го

о

о о с

сз о

о

и

о

* ч» Ж

// I. А Г = 4 К Г = 77 К Т = 300 к

• с х у/ -

-"'л

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Са1е Voltage Уд, V

1.0

Рис. 4. Зависимость кондактанса й] / (IVп баллистического транзистора на двухслойном графене от напряжения на затворе при различных температурах С увеличением температуры скачок размывается, тем не менее, крутизна зависимости С ( Ус ) остается высокой. Для максимальной крутизны при комнатной температуре получена аналитическая оценка:

= 5х104 (Омм В)"1

(1.13)

при значении параметра Д = 0.2 эВ. Следует отметить, что параметр А (энергетическая асимметрия верхнего и нижнего слоев графена) сам зависит от напряженности поля между слоями. Для обеспечения А = 0.2 эВ между затворами транзистора необходимо приложить постоянное напряжение порядка 20 В при толщине диэлектрика 10 нм, в то время как рабочие напряжения могут быть значительно меньше.

Рассчитаны зависимости плотности тока баллистического транзистора на двухслойном графене от напряжений на стоке и затворе, получены оценки отношения токов открытого и закрытого состояний при различных напряжениях на стоке. При комнатной температуре эти токи отличаются на два порядка, что недостаточно для использования транзисторов на двухслойном графене в логических схемах.

Gate Voltage VG, V

Рис. 5. Рассчитанные зависимости тока баллистического транзистора на основе двухслойного графена при напряжении на стоке Vf) = 0.05 В и различных температурах

В то же время, высокая крутизна надпороговой характеристики (на порядок превышающая аналогичную величину для баллистического КНИ-транзистора) открывает перспективы использования двухслойного графена в высокочастотных аналоговых схемах.

В главе 4 на основании гидродинамической модели проанализированы спектры плазменных волн в однослойном графене. Основным отличием разрабатываемого подхода от прежних описаний плазменных колебаний является независимое рассмотрение осцилляций электронной и дырочной компонент плазмы.

Зависимости частоты плазменных колебаний со от волнового вектора к найдены с помощью анализа малых гармонических возмущений электрического поля, химических потенциалов и скоростей электронов и дырок в уравнениях гидродинамики (1.2)-(1.4) и уравнениях Максвелла.

В предельных случаях симметричной биполярной плазмы (нейтральный графен) и монополярной плазмы удается получить аналитические выражения для спектров плазменных колебаний в структурах с затвором. Для биполярной плазмы имеется две ветви закона дисперсии:

® л*2»2-

г ^2

V.

ч2 ,

= -г

. л

V. + V .

I_е/1

+ . к2и2(1 + 2г)2-

г , V

V. + V .

I еп

(1.14)

(1.15)

где V. есть частота столкновении носителей заряда со внешними рассеивателями, есть частота электрон - дырочных столкновений, г = е2 (р^А / €£0иг - безразмерный параметр, характеризующий транзисторную структуру, а V - характерная скорость колебаний, слабо зависящая от напряжения на затворе и колеблющаяся от /л/3 ДО 17, /л/2 в зависимости от уровня химического потенциала. Ветвь (1.14) является слабо затухающей ), ей соответствуют колебания, в которой скорости

электронов и дырок сонаправлены, а возмущения электронной плотности не происходит. По аналогии с ионным звуком мы называем эту ветвь электрон-дырочным звуком. Насколько известно автору работы, ранее о существовании подобных волн в графене не сообщалось.

Закону дисперсии (1.15) соответствуют плазменные колебания, в которых скорости электронов и дырок направлены противоположно, по этой причине данные колебания сильно подавлены электрон-дырочным рассеянием.

В монополярной электронной системе основным типом колебаний являются электронные осцилляции на фоне неподвижных дырок, их затухание имеет порядок уп. = 2ррД, /(рЕ), а закон дисперсии в пределе

высоких концентраций электронов совпадает с вычисленным в прежних работах:

,ек

со

2 П ^ е

(1.16)

Рассчитанные законы дисперсии для различных концентраций частиц представлены на Рис. 6.

sound

10 20 30 40 50 Wave number, //пГ1

Plasma wave, Vn = 10 V

wave, 1 V

Рис. 6. Рассчитанные законы дисперсии слабозатухающих коллективных возбуждений для нейтрального графена (нижняя ветвь) и графена под затвором при различных напряжениях на затворе

0.4 0.6 Gate voltage, Vq

8 6 / / / / / / / / / / / / / / 1 / / 1 /

/ = 50 nm = 10 nm d = 2 nm

- / / / 11. о!—

(Ь)

0.8

Gate voltage, Ус

Рис. 7. Рассчитанные зависимости коэффициента затухания коллективных возбуждений в графене с затвором: а) для плазменных колебаний Ь) для электрон - дырочного звука (в точке нейтральности), переходящего в колебания неосновных носителей

Рассмотрен вопрос о затухании плазменных

колебаний, важный для практического применения данных процессов в приборах плазмоники. Неустранимым диссипативным процессом для плазменных волн является рассеяние на акустических фононах, что приводит к затуханию порядка

(0.5 ч-1.0) хЮ1

,12 с-!_

Таким образом, фактор добротности для терагерцовых плазменных колебаний в структурах с затвором получается небольшим

(порядка единицы). В работе в качестве возможного решения данной проблемы предложено использовать плазменные волны в структурах без затвора. Одной из

перспективных конструкций является структура с двойным слоем графена, разделенным диэлектриком. Плазменные волны в подобных структурах связываются с фотонами с образованием поляритонов на низкочастотном участке

спектра. При этом затухание уменьшается, что можно интерпретировать как переход энергии электронных

колебаний в энергию поля. Соответствующие законы

дисперсии и коэффициенты затухания для графена без затворов приведены на Рис. 8.

Таким образом, для применений в области терагерцовой плазмоники наибольший интерес представляют не транзисторные структуры с затворами, а структуры с изолированным или двойным слоем графена.

Рис. 8. Законы дисперсии (слева) и коэффициенты затухания (справа) для поляритонов в графене без затвора при разных концентрациях электронов. Доминирующий механизм рассеяния - акустические фононы

В Заключении диссертации изложены основные выводы, составляющие научную новизну работы.

1. Разработана гидродинамическая модель проводимости графена, учитывающая сильное межчастичное взаимодействие, характерное для данного материала. Экспериментальная зависимость сопротивления графена от напряжения на управляющем электроде объяснена в рамках предложенной модели. Показано, что максимальное сопротивление графена обусловлено сильным электрон — дырочным рассеянием и слабо зависит от температуры. Резкий спад сопротивления по обе стороны от максимума обусловлен эффектом увлечения неосновных носителей заряда основными;

2. В рамках гидродинамической модели получены характеристики полевых транзисторов на основе графена. Показано, что квази-плато на стоковой характеристике транзистора является результатом появления нейтральной области с сильным электрон-дырочным рассеянием в канале транзистора;

3. Рассчитаны спектры и затухание коллективных возбуждений в электрон - дырочной плазме графена. Показано, что в нейтральной биполярной плазме распространение заряженных плазменных волн сильно

1.0

14 - £,= 10" ста"3

подавлено электрон - дырочным рассеянием. В данных условиях слабо затухающим типом колебаний является нейтральный электрон - дырочный звук, скорость которого практически не зависит от концентрации носителей заряда;

4. Построена баллистическая модель полевого транзистора на основе двухслойного графена, учитывающая особенности электронного спектра. Показано, что проводимость канала как функция напряжения на затворе при нулевой температуре испытывает скачок, что ранее наблюдалось только для одномерных систем. Следствием этого скачка является рекордно высокая крутизна надпороговой характеристики данного транзистора при комнатной температуре.

В Приложении приведены коды программ, реализующих моделирование транзисторов на основе однослойного и двухслойного графена.

Публикации автора по теме диссертации

Al. D. Svintsov, V. Vyurkov, S. Yurchenko, V. Ryzhii, T. Otsuji "Hydrodynamic model for electron-hole plasma in graphene", Journal of Applied Physics, Vol. Ill, Iss. 8, pp. 083715-083715-10 (2012);

A2. D. Svintsov, V. Vyurkov, V. Ryzhii, T. Otsuji "Effect of "Mexican Hat" on Graphene Bilayer Field-Effect Transistor Characteristics", Japanese Journal of Applied Physics, Vol. 50, Iss. 7, pp. 070112-070112-6 (2011);

A3. Юрченко С.О., Свинцов Д.А., Вьюрков В.В., Рыжий В.И. «Гидродинамическая модель малых возмущений и спектр электрон-дырочных плазмонов в графене», Вестник МГТУ им. Баумана, Серия «Приборостроение», специальный выпуск «Современные проблемы оптотехники» (2011);

A4. Юрченко С.О., Свинцов Д.А. «Парадокс вычисления потока носителей в графене», Вестник МГТУ им. Баумана, Серия «Приборостроение», специальный выпуск «Современные проблемы оптотехники» (2011).

А5. Свинцов Д.А., Вьюрков В.В., Лукичев В.Ф., Орликовский A.A., Буренков А., Охснер Р. «Туннельные полевые транзисторы на основе графена», Физика и техника полупроводников, статья принята в печать;

А6. D. Svintsov, V. Vyurkov, V. Ryzhii, and T. Otsuji "Effect of "Mexican Hat" on Graphene Bilayer Field-Effect Transistor Characteristics", 2nd International Symposium on Graphene Devices - Technical Digest, pp. 28-29;

A7. Вьюрков B.B., Орликовский A.A., Свинцов Д.А., Семенихин И.А. «Полевые нанотранзисторы на сверхтонком кремнии и графене», X российская конференция по физике полупроводников - сборник тезисов, стр. 225;

А8. Вьюрков В.В., Орликовский А.А., Свинцов Д.А., Семенихин И.А. «Нанотранзисторы с ультратонкими кремниевыми и графеновыми каналами», Rusnanoforum-2011 ;

А9. D. Svintsov, V. Vyurkov, S. Yurchenko, V. Ryzhii, T. Otsuji "Collective excitations in graphene bipolar plasma", Japan-Russia-USA symposium on modeling of graphene terahertz, nano-mechanical and acousto-optical devices — Technical Digest.

Список цитируемой литературы

1. K.S. Novoselov. et al. Science 306, 666 (2004);

2. K.I. Bolotin et. al, Phys. Rev. Lett. 101, 096802 (2008);

3. К. I. Bolotin et. al, Solid State Comm. 146, 351 (2008);

4. L. Britnell et. al., Science 335, 947 (2012);

5. K. Kim et. al., Nature, 479, 7373 (2011);

6. H. Wang, D.A. Antoniadis IEEE Trans. El. Dev., 58, 1523-1533,

(2011);

7. M. Dyakonov and M. Shur, Phys. Rev. Lett. 71, (1993).

8. V. Ryzhii, A. Satou, T. Otsuji, J. Appl. Phys., 101, 024509 (2007);

9. A. Principi, R. Asgari, M. Polini, Solid State Comm. 151, 21 (2011);

10. F. Rana, Phys. Rev. В 84, 045437 (2011);

11. E. McCann, D. S. L. Abergel, and V. I. Falco, Eur. Phys. J. Spec. Top. 148 (2007);

12. L.A. Falkovsky and A.A. Varlamov, Eur. Phys. J. В 56, 281-284

(2007);

13. F. Vasko and V. Ryzhii, Physical Review B, 76, 233404 (2007);

14. L. Fritz, J. Schmalian, M. Muller, and S. Sachdev, Phys. Rev. В 78, 085416(2008).

Свипцов Дмитрий Александрович

Кинетические явления в структурах на основе графена и его модификаций

Подписано в печать 25 августа 2012 г. Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 1,25 Тираж 70 экз. Заказ № 77

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физико-технологический институт Российской академии наук (ФТИАН РАН) 117218, г. Москва, Нахимовский проспект д. 36 к. 1

Издательский сектор оперативной полиграфии МФТИ 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9

Введение

Актуальность работы.

Цель диссертационной работы.

Научная новизна и достоверность работы.

Положения, выносимые на защиту.

Практическая значимость работы.

Апробация работы.

Публикации

Личный вклад автора.

Структура работы.

1 Обзор существующих методов описания транспорта в гра-фене

1.1 Зонная структура графена.

1.2 Электронные свойства двухслойного графена.

1.3 Электропроводность графена.

2 Гидродинамическое описание электрон - дырочной плазмы в графене

2.1 Обоснование гидродинамического приближения.

2.2 Вывод гидродинамических уравнений.

2.3 Вычисление диесипативных коэффициентов в уравнении Эйлера

2.4 Проводимость графена и эффект увлечения неосновных носителей

2.5 Моделирование полевого транзистора на основе графена

Случай сильной рекомбинации.

Случай слабой рекомбинации.

2.6 Нелинейная гидродинамика.

2.7 Выводы к разделу.

3 Баллистическая модель транзистора на двухслойном графене

3.1 Определение потенциала в канале: решение электростатической задачи.

3.2 Расчет проводимости и плотности тока.

3.3 Оценка крутизны характеристики.

3.4 Выводы к разделу.

4 Коллективные возбуждения в биполярной плазме графена

4.1 Закон дисперсии плазменных колебаний в графене с затвором

4.2 Аналитическое решение для симметричной биполярной и монополярной системы.

4.3 Скорость и затухание коллективных возбуждений.

4.4 Плазмоны в структурах с различной толщиной подзатворного диэлектрика.

4.5 Спектр плазмон-поляритонов.

4.6 Выводы к разделу.

Актуальность работы

Графен - двумерная модификация углерода - привлекает внимание исследователей благодаря своим необычным электрофизическим свойствам с момента выхода пионерской статьи Новоселова, Гейма и Морозова [1]. Помимо фундаментального интереса, связанного с "релятивистским" поведением носителей заряда, графен перспективен как материал для приборов нано-, оптоэлектроники и плазмоники.

При обсуждении достоинств приборов на основе графена в литературе повсеместно упоминаются

• Высокая подвижность электронов (предельное значение в подвешенных образцах при 240 К составляет 120 ООО см2/В с [2, 3]);

• Возможность эффективного управления электрическими и оптическими свойствами с помощью внешнего напряжения. Эффективность в данном случае обусловлена низкой плотностью электронных состояний, происходящей из линейности спектра.

Основным препятствием к применению графена в логических схемах является отсутствие запрещенной зоны, приводящее к невысокому (порядка 100) отношению токов открытого и закрытого состояний в полевых транзисторах на его основе (не считая туннельных транзисторов [4]). Поэтому к настоящему времени наноэлектронным приборам на основе графена и его модификаций отводится ниша в высокочастотных аналоговых, плаз-монных и оптоэлектронных устройствах [5].

Для выявления перспективных возможностей приборов на основе графена повсеместно применяется математическое моделирование в силу технологической сложности изготовления реальных образцов. Известно множество публикаций, посвященных теоретическому описанию кинетических явлений в графене, причем язык описания варьируется от элементарного (например, описание транзисторов на основе графена по полной аналогии с кремниевыми [6]) до чрезвычайно сложного (вычисление минимальной проводимости с привлечением понятия "дрожащего движения" (zitterbewegung)[7]). Замечено, что в работах, посвященных моделированию транзисторов на графене, зачастую игнорируются важные результаты, полученные в работах по вычислению проводимости. В результате модели приборов "обрастают" большим количеством нефизических подгоночных параметров.

Важно, что в большинстве работ, описывающих кинетические явления в графене, игнорируется факт сильного кулоновского взаимодействия между носителями заряда. Данный факт значительно сказывается на транспортных явлениях, для описания которых становится применимой гидродинамическая модель, разработанная в данной работе. Гидродинамика электрон дырочной плазмы в графене имеет значительные отличия от таковой для классических жидкостей в силу ее двухкомпонентности и линейности энергетического спектра частиц.

Гидродинамическая модель успешно описывает наблюдаемые вольтам-перные характеристики полевых транзисторов на основе графена без привлечения нефизических параметров и может быть использована для дальнейшей оптимизации конструкций приборов. Особый интерес представляет вопрос о возможности получения высокой надпороговой крутизны характеристики транзистора, важной для применений в аналоговых схемах. Также в рамках модели может быть исследована проблема создания инверсной заселенности в транзисторах на графене, которая имеет первостепенное значение для создания инжекционных лазеров.

В рамках гидродинамической модели возможно описание плазменных колебаний в двумерном электронном газе графена. Данные колебания могут найти применение в приборах для детектирования и генерации электромагнитного излучения различных диапазонов, в том числе терагерцового и инфракрасного [8]. В отличие от предыдущих теорий распространения плазмонов [9], [10], [11], гидродинамическая модель позволяет строго рассмотреть вопрос о затухании волн и выявить условия, при которых данное затухание минимально. В работе показано, что плазменные волны в нейтральном графене сильно подавлены электрон - дырочными столкновениями, вместо них основным типом колебаний является электрон - дырочный звук. Подавление плазменных волн может существенно снизить темп рекомбинации фотовозбужденных носителей [12], что является положительным аспектом для создания лазеров на основе графена.

Модификации графена, обладающие запрещенной зоной, могут рассматриваться как перспективные материалы и для цифровой, и для аналоговой электроники. При этом межэлектронное рассеяние в них не так сильно, как в однослойном графене, что позволяет применять баллистические модели для описания короткоканальных приборов. Особого внимания среди модификаций заслуживает двухслойный графен, обладающий довольно экзотическим электронным спектром: непрямозонным, изотропным, имеющим участок с отрицательной эффективной массой вблизи дна зоны [13]. Эти особенности находят отражение в характеристиках баллистических полевых транзисторов, исследованию которых посвящена отдельная глава работы.

Цель диссертационной работы

Целью данной работы является построение теорий электронного транспорта в однослойном и двухслойном графене, моделирование и анализ характеристик наноэлектронных приборов на основе данных материалов. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

• Построить теорию электронного транспорта в однослойном графене, учитывающую сильное взаимодействие между носителями заряда;

• Проверить корректность данной теории путем сравнения рассчитанных и экспериментально измеренных зависимостей проводимости гра-фена от концентрации носителей заряда;

• Используя основные уравнения развитой теории, промоделировать стоковые и затворные характеристики полевых транзисторов на основе графена;

• Используя развитую теорию, рассчитать спектры коллективных возбуждений в электрон - дырочной плазме графена с учетом затухания;

• Построить баллистическую теорию электронного транспорта в полевых транзисторах на основе двухслойного графена, учитывающую особенности электронного спектра;

• Выявить влияние особенностей электронного спектра двухслойного графена на характеристики транзисторов на его основе.

Научная новизна и достоверность работы

Научная новизна работы состоит в следующих результатах, которые были получены впервые:

• Разработана гидродинамическая модель проводимости графена, учитывающая сильное межчастичное взаимодействие, характерное для данного материала. Экспериментальная зависимость сопротивления графена от напряжения на управляющем электроде объяснена в рамках предложенной модели. Показано, что максимальное сопротивление графена обусловлено сильным электрон - дырочным рассеянием и слабо зависит от температуры. Резкий спад сопротивления по обе стороны от максимума обусловлен эффектом увлечения неосновных носителей заряда основными;

• В рамках гидродинамической модели получены характеристики полевых транзисторов на основе графена. Показано, что квази-плато на стоковой характеристике транзистора является результатом появления нейтральной области с сильным электрон-дырочным рассеянием в канале транзистора;

• Рассчитаны спектры и затухание коллективных возбуждений в электрон - дырочной плазме графена. Показано, что в нейтральной биполярной плазме распространение заряженных плазменных волн сильно подавлено электрон - дырочным рассеянием. В данных условиях слабо затухающим типом колебаний является нейтральный электрон - дырочный звук, скорость которого практически не зависит от концентрации носителей заряда;

• Построена баллистическая модель полевого транзистора на основе двухслойного графена, учитывающая особенности электронного спектра. Показано, что проводимость канала как функция напряжения на затворе при нулевой температуре испытывает скачок, что ранее наблюдалось только для одномерных систем. Следствием этого скачка является рекордно высокая крутизна надпороговой характеристики данного транзистора при комнатной температуре

Достоверность результатов обеспечивается применением фундаментальных физических теорий и сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.

Положения, выносимые на защиту

• Гидродинамическая модель транспорта носителей заряда, разработанная в диссертации, объясняет основные особенности вольтамперных характеристик полевых транзисторов на основе графена, такие как узкий пик на зависимости сопротивления канала от напряжения на затворе и квази-плато на стоковой характеристике. Данные эффекты обусловлены сильным электрон - дырочным рассеянием и увлечением неосновных носителей заряда основными.

• Зависимость проводимости канала баллистического полевого транзистора на двухслойном графене от напряжения на затворе испытывает скачок при нулевой температуре. Наличие данного скачка приводит к рекордно высокой надпороговой крутизне транзистора при комнатной температуре.

• Доминирующим типом коллективных возбуждений в нейтральной биполярной плазме графена являются электрон - дырочные звуковые волны. Распространение заряженных плазменных волн в данных условиях сильно подавлено электрон - дырочным рассеянием;

Практическая значимость работы

Результаты работы позволяют рассчитывать и оптимизировать характеристики приборов на основе графена и его модификаций. Разработанные модели нашли применение в программном комплексе, разрабатываемом по заказу Министерства образования и науки РФ.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

• 2nd international symposium on graphene devices ISGD-2010, Sendai, Japan;

• X российская конференция по физике полупроводников, Нижний Новгород, 2011;

• Rusnanoforum-2011, Москва;

• Japan-Russia-USA symposium on modeling of graphene terahertz, nano-mechanical and acousto-optical devices, Aizu-Wakamatsu, Japan, 2012.

Публикации

Основные результаты работы представлены в 4 публикациях, две из которых опубликованы в рецензируемых международных журналах (Journal of Applied Physics, Japanese Journal of Applied Physics), включенных в библиографическую базу Web of Science. Две другие статьи опубликованы в журнале "Вестник МГТУ им. Баумана, Серия "Приборостроение"", входящем в список журналов и изданий, утвержденный Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации. Одна публикация по тематике принята в печать в журнал "Физика и техника полупроводников".

Личный вклад автора

Общая постановка задачи осуществлялась научным руководителем автора Вьюрковым В.В. Модели транспорта носителей заряда, представленные в работе, разработаны автором совместно с научным руководителем. Компьютерное моделирование приборов и анализ полученных характеристик выполнены лично автором.

Непосредственное участие коллег автора в проведенных исследованиях отражено в виде их соавторства в опубликованных работах. Результаты, выносимые на защиту и составляющие научную новизну работы, получены автором лично.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из 4 глав, заключения и приложения. Каждая из глав завершается разделом "Выводы", в котором резюмируются полученные результаты. Общие выводы по работе приведены в заключении.

Содержание диссертации изложено на 98 страницах. Рукопись содержит 25 рисунков. Список литературы содержит 70 ссылок на цитируемые источники. Кроме того, приведен список из 4 публикаций автора по тематике диссертации.

4.6 Выводы к разделу

В данном разделе мы рассмотрели распространение плазменных колебаний в графене с позиций гидродинамической модели, применимость которой обусловлена высокой частотой межчастичных столкновений. Отличием нашего подхода к описанию плазменных колебаний от более ранних работ [9, 10, 59, 11] является двухкомпонентность плазмы и появление дополнительной степени свободы у плазменных колебаний.

Мы показали, что основным типом возбуждений в нейтральной плазме графена являются электрон-дырочные звуковые волны колебания, в которых электроны и дырки движутся в одном направлении и поэтому не испытывают межчастичного трения. Такие колебания сами по себе остаются нейтральными (не вызывают возмущения электронной плотности), а их скорость не превышает скорости Ферми и не зависит от параметров

Частота со, с

Рис. 25: Сравнение "добротности" Яе[ш]/1тп[ш] для плазменных колебаний в графене с затвором и без затвора при одинаковой концентрации носителей Ее = 6 х 1012 см~2 структуры, в которой они распространяются, что позволяет классифицировать данные волны как звук. Возможные механизмы возбуждения данных волн остаются под вопросом принципиально возможна их генерация с помощью создания области с локально-неравновесными носителями заряда (напр., сфокусированным лазерным пучком) и дальнейшего распространения носителей из данной области в виде волн.

В некоторой степени, данный тип колебаний аналогичен электрон - ионному звуку в классической плазме [45], а также акустическим плазменным волнах в полуметаллах типа висмута. Последний тип колебаний был рассмотрен уже много лет назад в работах Константинова и Переля [62]. Также ранее было показано, что данный тип колебаний может повлиять на термодинамические и кинетические свойства материалов [63, 64], равно как и обнаруженные нами электрон-дырочные звуковые волны могут повлиять на термодинамические характеристики графена.

Колебания, возмущающие локальную плотность заряда - истинные плазменные волны - оказываются сильно подавленными электрон-дырочным рассеянием в нейтральных системах. Это может иметь и положительные, и отрицательные последствия для работы приборов на основе графена. С одной стороны, нераспространение плазмонов может снизить темп рекомбинации [12] в неравновесных симметричных системах, например, лазерах на основе графена с оптической накачкой [69]. С другой стороны, приборы плазмоники (детекторы и источники излучений) должны работать в таком режиме, чтобы активная область графена оставалась монополярной.

Что касается монополярных систем, то основным типом колебаний здесь по-прежнему являются плазменные волны - гидродинамическая модель в плане формы спектра не предсказывает ничего нового. Плазменные колебания в двумерных системах с затвором обладают линейной дисперсией [60], а в свободно висящем графене - корневой. Единственным важным отличием предсказаний гидродинамической модели от предсказаний кинетики без учета межчастичных столкновений является несколько больший коэффициент затухания плазменных волн - порядка 1012 с-1. Дело в том, что согласно уравнениям гидродинамики вся электрон-дырочная плазма движется с одной дрейфовой скоростью, в кинетическом же подходе электроны с разными импульсами обладают различной скоростью. Влияние данных факторов на электрическое сопротивление было проанализировано в работе [36] - гидродинамика предсказывала большее сопротивление, чем кинетика. Здесь мы видим аналогичное явление для затухания плазменных волн.

Столь значительный коэффициент затухания заставляет искать структуры для приборов плазмоники, где затухание волн может быть ослабленным. Возможно решение уравнений гидродинамики, согласованных не с уравнением Пуассона (как это делается при рассмотрении квазистатие-ских плазмонов), а с уравнениями Максвелла. При этом получается, что в структурах без затвора на начальном участке закона дисперсии плазменных волн затухание оказывается меньшим благодаря эффективному связыванию колабаний заряда с колебаниями электромагнитного поля. Таким образом мы приходим к описанию слабозатухающих плазмон-поляритонов на поверхности графена, затухание которых может быть в разы слабее затухания квазиститических плазмонов.

Управление характеристиками плазменных волн в структурах без затвора затруднительно, в затворных структурах затухание плазменных волн велико. Выходом из сложившегося противоречия может быть использование двойного слоя графена [70] (не путать с двухслойным графеном!): в плане локализации поля волны он ведет себя правтически как свободно висящий лист графена, но возможно управлению плотсностью заряда в листах с помощью подачи напряжения смещения между ними. Однако исследование плазменных колебаний в структурах с двойным графеном является темой отдельной работы.

5 Заключение

Разработана гидродинамическая модель проводимости графена, учитывающая сильное межчастичное взаимодействие, характерное для данного материала. Экспериментальная зависимость сопротивления графена от напряжения на управляющем электроде объяснена в рамках предложенной модели. Показано, что максимальное сопротивление графена обусловлено сильным электрон - дырочным рассеянием и слабо зависит от температуры. Резкий спад сопротивления по обе стороны от максимума обусловлен эффектом увлечения неосновных носителей заряда основными;

В рамках гидродинамической модели получены характеристики полевых транзисторов на основе графена. Показано, что квази-плато на стоковой характеристике транзистора является результатом появления нейтральной области с сильным электрон-дырочным рассеянием в канале транзистора;

Построена баллистическая модель полевого транзистора на основе двухслойного графена, учитывающая особенности электронного спектра. Показано, что проводимость канала как функция напряжения на затворе при нулевой температуре испытывает скачок, что ранее наблюдалось только для одномерных систем. Следствием этого скачка является рекордно высокая крутизна надпороговой характеристики данного транзистора при комнатной температуре.

Рассчитаны спектры и затухание коллективных возбуждений в электрон - дырочной плазме графена. Показано, что в нейтральной биполярной плазме распространение заряженных плазменных волн сильно подавлено электрон - дырочным рассеянием. В данных условиях слабо затухающим типом колебаний является нейтральный электрон - дырочный звук, скорость которого практически не зависит от концентрации носителей заряда.

1. K.S. Novoselov, A. K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, A.A. Firsov "Electric field effect in atomically thin carbon films", Science 306, 666 (2004);

2. K.I. Bolotin, K.J. Sikes, J. Hone, H.L. Stormer, and P.Kim "Temperature dependent transport in suspended graphene", Phys. Rev. Lett. 101, 096802 (2008).

3. K. I. Bolotin, K.J. Sikes, Z. Jiang, A4. Klima, G. Fudenberg, J. Hone, P. Kim, and H.L. Stormer "Ultrahigh electron mobility in suspended graphene", Solid State Comm. 146, 351 (2008).

4. K. Kim, Jae-Young Choi, T. Kim, Seong-Ho Cho, Hyun-Jong Chung "A role for graphene in silicon-based semiconductor devices" Nature, 479, 7373 (2011);

5. H. Wang, A. Hsu, J. Kong, D.A. Antoniadis, and T. Palacios "Compact virtual-source current-voltage model for top- and back-gated graphene field-effect transistors", IEEE Trans. El. Dev., 58, 1523-1533, (2011);

6. M. I. Katsnelson "Zitterbewegung, chirality, and minimal conductivity in graphene", Eur. Phys. J. B 51, 157-160 (2006).

7. M. Dyakonov and M. Shur "Shallow water analogy for a ballistic field-effect transistor: new mechanism of plasma wave generation by dc current", Phys. Rev. Lett. 71, (1993);

8. V. Ryzhii "Terahertz plasma waves in gated graphene heterostructures", Jpn. J. Appl. Phys. 45, L923 (2006).

9. V. Ryzhii, A. Satou, T. Otsuji "Plasma waves in two-dimensional electron-hole system in gated graphene heterostructures", J. Appl. Phys., 101, 024509 (2007).

10. S. Das Sarma and E.H. Hwang "Dielectric function, screening, and plasmons in 2D graphene", Phys. Rev. Lett. 102, 206412 (2009).

11. F. Rana "Ultrafast carrier recombination and generation rates for plasmon emission and absorption in graphene", Phys. Rev. B 84, 045437 (2011).

12. E. Ale Cann, D.S.L. Abergel, and Vladimir I. Fal'ko "The low energy electronic band structure of bilayer graphene", European Physics Journal: Special Topics 148 (2007);

13. P.R. Wallace "The band theory of graphite", Phys. Rev. 71, 622-634 (1947);

14. A4. Foster and I. Aleiner "Slow imbalance relaxation and thermoelectric transport in graphene", Phys. Rev. B 79, 085415 (2009).

15. A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K. S. Novoselov and A. K. Geim "The electronic properties of graphene", Rev. Mod. Phys. 81, 109-162 (2009).

16. J.C. Slonczewski and P.R. Weiss "Band Structure of Graphite", Physical Review 109, 272-279 (1958).

17. A. B. Kuzmenko, E. van Heumen, D. van der Marel, P. Lerch, P. Blake, K. S. Novoselov, and A. K. Geim "Infrared spectroscopy of electronic bands in bilayer graphene", Phys. Rev. B 79, 115441, (2009).

18. A. Falkovsky "Gate-tunable bandgap in bilayer graphene", J. Exp. Theor. Phys. 110 (2010).

19. M. Cheli, G. Fiori, and G. Iannaccone "A semi-analytical model of Bilayer-Graphene Field Effect Transistor", IEEE Trans. El. Dev. 56 (2009).

20. V. Ryzhii, M. Ryzhii, A. Satou, T. Otsuji, and N. Kirova "Device model for graphene bilayer field-effect transistor", J. Appl. Phys. 105 (2009).

21. S. Das Sarma, S. Adam, E.H. Hwang, and E. Rossi "Electronic transport in two dimensional graphene" arXiv:1003.4731v2.

22. A. Falkovsky and A.A. Varlamov "Space-time dispersion of graphene conductivity", Eur. Phys. J. B 56, 281-284 (2007).

23. K. Ziegler "Robust transport properties in graphene", Phys. Rev. Lett. 97, 266802 .(2006).

24. K. Ziegler "Minimal conductivity of graphene: nonuniversal values from the Kubo formula", Phys. Rev. B 75, 233407 (2007).

25. F. Vasko and V. Ryzhii "Voltage and temperature dependencies of conductivity in gated graphene", Physical Review B, 76, 233404 (2007).

26. F. Rana, P.A. George, J.H. Strait, J. Dawlaty, S. Shivaraman, M. Chandrashekhar, M.G. Spencer "Carrier Recombination and Generation Rates for Intravalley and Intervalley Phonon Scattering in Graphene" Phys. Rev. B 79, 115447 (2009)

27. S. Fratini and F. Guinea "Substrate-limited electron dynamics in graphene", Phys. Rev. B 77, 195415 (2008).

28. S.V. Morozov, K.S. Novoselov, M.I. Katsnelson, F. Schedin, D.C. Elias, J.A. Jaszczak, and A.K. Geim "Giant Intrinsic Carrier Mobilities in Graphene and Its Bilayer", Phys. Rev. Lett. 100, 016602 (2008).

29. P. A. George, J. Strait, J. Dawlaty, S. Shivaraman, M. Chandrashekhar, F. Rana, M. G. Spencer "Ultrafast Optical-Pump Terahertz-Probe Spectroscopy of the Carrier Relaxation and Recombination Dynamics in Epitaxial Graphene", Nano Lett., 8, 4248 (2008).

30. V. Vyurkov and V. Ryzhii "Effect of Coulomb scattering on graphene conductivity'", JETP Lett. 88, 370 (2009).

31. F. Chen, J. Xia, D.K. Ferry, and N. Tao "Dielectric Screening Enhanced Performance in Graphene FET", Nano Lett., 2009, 9 (7), pp 2571-2574.

32. S. Adam, E.H. Hwang, V.M. Galitski, and S. Das Sarma "A self-consistent theory for graphene transport", PNAS 104, 47, 18392-18397, (2007).

33. A. Kashuba "Conductivity of defectless graphene", Phys. Rev. В 78, 085415 (2008).

34. L. Fritz, J. Schmalian, M. Muller, and S. Sachdev "Quantum-critical transport in clean graphene", Phys. Rev. В 78, 085416 (2008).

35. R. Bistritzer, A. H. MacDonald "Hydrodynamic theory of transport in doped graphene", Phys. Rev. В 80, 085109 (2009).

36. G. E. Uhlenbeck and G. YV. Ford, Lectures in Statistical Mechanics (Providence, AMS, 1963).

37. R. Geick, С. H. Perry, G. Rupprecht "Normal modes in hexagonal boron nitride", Phys. Rev. 146, 543-547 (1966);

38. S.Sachdev "Non-zero temperature transport near fractional quantum Hall critical points", Phys. Rev. В 57, 7157-7173 (1998).

39. V. F. Gantmacher and Y. B. Levinson, Carrier Scattering in Metals and Semiconductors (North-Holland, Amsterdam. 1987).

40. S. Piscanec, M. Lazzeri, J. Robertson, A. C. Ferrari, F. Mauri "Optical phonons in carbon nanotubes: Kohn anomalies, Peierls distortions, and dynamic effects", Phys. Rev. B, 75, 035427 (2007).

41. F. Rana "Electron-hole generation and recombination rates for coulomb scattering in graphene", Phys. Rev. В., 76, 155431 (2007).

42. V. Ryzhii, M. Ryzhii, T. Otsuji "Tunneling recombination in optically pumped graphene with electron-hole puddles", Appl. Phys. Lett., 99, 17 (2011).

43. Ф.Г. Басс, В.Г. Гуревич Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда (М. Наука, 1975).

44. Е.М. Lifshitz and L.P. Pitaevsky, Physical Kinetics (Pergamon Press, Oxford, 1981).

45. Суханов А.А., Ткач Ю.А. "Уравнения для распределения поверхностного потенциала в двумерных слоистых системах", Физика и техника полупроводников, т. 18, вып. 7, стр. 1277, (1988).

46. Y.-W. Tan, Y. Zhang, K. Bolotin, Y. Zhao, S. Adam, E.H. Hwang, S. Das Sarma, H.L. Stormer, and P. Kim "Measurement of Scattering Rate and Minimum Conductivity in Graphene", Phys. Rev. Lett. 99, 246803 (2007).

47. J. Martin, N. Akerman, G. Ulbricht, T. Lohmann, J.H. Smet, K. von Klitzing, A. Yacoby "Observation of electron-hole puddles in graphene using a scanning single-electron transistor", Nature Physics 4, 144 148 (2008)

48. L.A. Falkovsky "Symmetry constraints on phonon dispersion in graphene", Physics Letters A, 372, 31 (2008).

49. E. H. Hwang and S. Das Sarma "Acoustic phonon scattering limited carrier mobility in two-dimensional extrinsic graphene", Phys. Rev. B, 77, 115449 (2008).

50. R.S. Shishir and D.K. Ferry "Intrinsic mobility in graphene", J. Phys.: Condens. Matter 21 (2009).

51. H. Wang, A. Hsu, J. Kong, D.A. Antoniadis, T. Palacios "Effect of drain-induced minimum shift on the current saturation in graphene transistors", Journal of Applied Physics (2012) (submitted to print).

52. Shu-Jen Han, Z. Chen, A. Bol, and Y. Sun "Channel-Length-Dependent Transport Behaviors of Graphene Field-Effect Transistors", IEEE Electron device letters, 32, NO. 6, (2011).

53. Г.Е. Пикус Основы теории полупроводниковых приборов (М. Наука, 1965).

54. I. Meric, M.Y. Han, A.F. Young, В. Ozyilmaz, P. Kim, and K.L. Shepard "Current saturation in zero-bandgap, top-gated graphene field-effect transistors", Nature Nanotechnology 3, 654 659 (2008).

55. Y. Zhang, T. Tang, C. Girit, Z. Hao, M.C. Martin, A. Zettl, M.F. Crommie, Y. Shen, F. Wang "Direct observation of a widely tunable bandgap in bilayer graphene", Nature 459, 820-823 (2009).

56. В Wunsch et. al "Dynamical polarization of graphene at finite doping", New J. Phys. 8, 318 (2006).

57. A.V. Chaplik "Possible crystallization of charge carriers in low-density inversion layers", Sov. Phys. JETP 35, (1972).

58. A. Principi, R. Asgari, M. Polini "Acoustic plasmons and composite hole-acoustic plasmon satellite bands in graphene on a metal gate", Solid State Comm. 151, 21 (2011).

59. Константинов О.В., Перель В.И. "Теория акустических плазменных волн в висмуте" Физика Твердого Тела, 1967, том 9, вып. II, стр. 3051-3058.

60. A.S. Esperidiao, A.R. Vasconcellos, R. Luzzi "Acoustic plasmons in photoexcited semiconductors", Solid State Comm., 73, 4, (1990).

61. A.V. Chaplik "Plasma oscillations in a two-dimensional semimetal", JETP Lett. 91, 4 (2010).

62. G. W. Hanson "Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene", J. Appl. Phys. 103, 064302 (2008).

63. M. Jablan, H. Buljan, and M. Soljacic "Plasmonics in graphene at infra-red frequencies", Phys. Rev. В 80, 245435 (2009).

64. A.A. Dubinov, V.Ya. Aleshkin, V. Mitin, T. Otsuji, and V. Ryzhii "Terahertz surface plasmons in optically pumped graphene structures", J. Phys. Condens. Matter 23, 145302 (2011).

65. E.L. Bolda, R.Y. Chiao, J.C. Garrison "Two theorems for the group velocity in dispersive media", Phys. Rev. A 48, 3890-3894 (1993).

66. T. Otsuji, S.B. Tombet, A. Satou, M. Ryzhii, V. Ryzhii "Terahertz-Wave Generation Using Graphene-toward New Types of Terahertz Lasers", IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, 99 (2012).

67. M. Liu, X. Yin, and X. Zhang, "Double-Layer Graphene Optical Modulator", Nano Letters 12 3, 1482-1485, (2012).

68. Публикации автора по теме диссертации

69. Al. D. Svintsov, V. Vyurkov, S. Yurchenko, V. Ryzhii, Т. Otsuji "Hydrodynamic model for electron-hole plasma in graphene Journal of Applied Physics, 111, Iss. 8, 083715083715-10 (2012).

70. A2. D. Svintsov, V. Vyurkov, V. Ryzhii, T. Otsuji "Effect of "Mexican Hat"on Graphene Bilayer Field-Effect Transistor Characteristics Japanese Journal of Applied Physics, 50, Iss. 7, 070112-070112-6 (2011).

71. А4. Юрченко С.О., Свинцов Д.А. «Парадокс вычисления потока носителей в графене», Вестник МГТУ им. Баумана, Серия «Приборостроение», специальный выпуск «Современные проблемы оптотехники» (2011).