автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Качественное и численное исследование движения твердого тела в сопротивляющейся среде

На правах рукописи

АНДРЕЕВ Алексей Витальевич

КАЧЕСТВЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

15 АПР 2015

Москва - 2015 005567300

005567300

Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Арутюнов Арам Владимирович

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Шамолин Максим Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор кафедры "Аэрокосмические системы" МГТУ имени Н. Э. Баумана Щеглов Георгий Александрович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела нелинейного анализа и проблем безопасности ВЦ РАН Карамзин Дмитрий Юрьевич

Ведущая организация:

Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина

Защита диссертации состоится "15" мая 2015 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 на базе Российского университета дружбы народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, дом 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, дом 6 (отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу) или на официальном сайте диссоветов РУДН по адресу: http://dissovet.rudn.ru/.

Автореферат разослан " ^ " апреля 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М. Б. Фомин

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальность темы. При изучении задачи движения твердого тела в среде возникают два аспекта. Первый заключается в построении как можно более точной модели взаимодействия тела со средой. Второй аспект заключается в том, чтобы на базе построенной модели каким-либо образом изучить полученные уравнения движения. Таким образом, возникает необходимость с одной стороны принять удовлетворительную модель воздействия среды, а с другой стороны суметь проинтегрировать численно или аналитически полученные динамические системы.

Диссертационная работа разрабатывалась в рамках темы факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

1.2. Цель работы. В диссертации ставились следующие цели исследования:

• проведение обстоятельного анализа динамических систем, описывающих движение твердого тела конусообразной формы в среде при разных модельных ограничениях;

• поиск новых случаев интегрируемости в динамике твердого тела, помещенного в поток среды. Благодаря многообразию физических характеристик в такого рода задачах следует ждать обнаружение других случаев интегрируемости;

• изучение условий устойчивости прямолинейного поступательного движения твердого тела конусообразной формы.

1.3. Научная новизна работы определяется следующими основными результатами:

• получено два новых типа семейств фазовых портретов в пространстве квазискоростей в задаче о плоскопараллельном движении твердого тела в сопротивляющейся среде. Каждый типичный портрет полученного семейства абсолютно груб. Данные семейства состоят из бесконечного числа топологически неэквивалентных фазовых портретов. При этом переход от одного типичного фазового портрета к другому происходит через перестройку бесконечной степени вырожденности [1 А, 2 А];

• в задаче о плоскопараллельном движении твердого тела в сопротивляющейся среде при наличии дополнительной следящей силы получены новые случаи интегрируемости. Результаты относятся к случаю, когда все взаимодействие среды с телом сосредоточено на той части поверхности тела, которая имеет форму плоской пластины [З А];

/

• получены достаточные условия устойчивости ключевого режима движения — прямолинейного поступательного торможения твердого тела в сопротивляющейся среде. Указаны достаточные условия рождения усточивых (неустойчивых) автоколебаний около ключевого режима для тел, передней частью поверхности которого является круговой конус [З А, 4 А].

1.4. Обоснованность и достоверность полученных результатов

обеспечивается применением строгих математических методов, а также совпадением типов фазовых портретов, которые получены аналитически, с портретами, построенными с помощью написанного пакета прикладных программ.

1.5. Общая методика исследования. В теоретической части используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При написании комплекса программ используются классические численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.6. Теоретическая и практическая значимость. Развитие методов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений позволило до конца исследовать несколько задач плоскопараллельного движения тела, взаимодействующего со средой. Методы исследования с помощью плоских топографических систем Пуанкаре успешно применены для изучения исследуемых систем. Данные результаты могут быть эффективно использованы в теории нелинейных колебаний.

Полученные случаи интегрируемости позволяют в дальнейшем изучать динамические системы с диссипацией и получать полные наборы, вообще говоря, трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.

Анализ систем, проведенный при изучении вопросов устойчивости прямолинейного поступательного движения тела (ключевого режима), позволяет сконструировать составное твердое тело с передним торцом в виде конуса, инерционно-массовые характеристики которого смогут удовлетворить условия асимптотической устойчивости ключевого режима.

Представленные в работе исследования проводились в рамках темы факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

1.7. Реализация результатов работы. Результаты диссертации использовались в научно-исследовательских работах (НИР), проводимых в РУДН и Институте механики МГУ имени М. В. Ломоносова.

1.8. Апробация работы. Вот неполный список конференций, совещаний и семинаров, на которых результаты диссертационной работы были доложе-

ны:

• Всероссийская конференция молодых ученых, Москва, МГУ, март 2012 г.;

• Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 26 января — 1 февраля 2011 г.;

• VI Международная научная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий», Воронеж, 10-16 сентября 2013 г. (ПМТУКТ-2013);

• Научный семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики" имени В. В. Трофимова механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под рук. Д. В. Георгиевского и М. В. Шамолина (2012-2014);

• Ломоносовские чтения на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова (2012-2014);

• Четвертая международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященная 90-летию со дня рожд. Л. Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г.;

• Международная конфереция "Метод функции Ляпунова и его приложения" (МП,-2014). Крым, Алушта, 15—20 сентября 2014 г.

1.9. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 научных работах, список которых в хронологическом порядке приведен в конце диссертации.

1.10. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и библиографии из 119 наименований. Диссертация изложена на 83 страницах текста, содержит 17 рисунков.

2 ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение начинается с обзора литературы, а также более конкретно описываются различные аспекты рассмотрения проблемы.

Поставим подробно задачу плоскопараллельного движения. Предположим, что однородное твердое тело массы т совершает плоскопараллельнос движение в среде, и что некоторая часть внешней поверхности тела представляет собой конус, находящийся в условиях струйного обтекания средой. Это означает, что воздействие среды на тело сводится к силе Э (приложенной в точке ./V) (рис. 1). Остальная часть поверхности тела может быть размещена

а:

О

С

-о

N

У

Рисунок 1 - Воздействие среды на твердое тело

внутри объема, ограниченного струйной поверхностью, и она не испытывает действия среды.

Предположим, что координата гду точки ТУ приложения силы воздействия среды определяется лишь одним параметром — углом атаки а: = Я(а).

Силы лобового Яг и бокового Яу сопротивления (рис. 1) будем представлять в квадратичном виде по скорости точки £>: = —в(а)г;2е1, = —Ь(а)у2еу, |уд| = V. Таким образом, тройка функций Л(а), в(а), Ь(а) определяет воздействие среды на твердое тело в условиях квазистационарности.

Допустим, что среди движений тела существует режим прямолинейного поступательного тормооюения. Это возможно при выполнении двух условий, а именно: (1) скорости движения всех точек тела параллельны оси (2) перпендикуляр, опущенный из центра масс С тела на ось .Оу, принадлежит линии действия силы Я. Если формально провести ось Бг, перпендикулярную плоскости рисунка, и считать, для простоты, Бгх плоскостью геометрической симметрии тела, то это обеспечит выполнение условия (2) при движении, удовлетворяющем условию (1).

Введем первые три фазовые координаты: V — величина скорости точки Б относительно потока (рис. 1), а — угол (атаки) между вектором Уд скорости точки Б и осью Их, Г2 — проекция абсолютной угловой скорости тела на ось Бг. Коэффициенты 5 и 6 обычно представляют в виде в = 1/2рРсх, Ь = 1/2рРсу, где сх,су — уже безразмерные коэффициенты, соответственно (р — плотность среды, Р — характерная поперечная площадь). Мы также вводим безразмерную фазовую переменную "типа Стру-

халя" ш — QD/v (D — характерный размер). Таким образом, в дальнейшем в уравнениях движения возникают следующие три функции фазовых переменных: R, s и Ь, которые будем называть функциями воздействия среды.

Прямолинейное поступательное (невозмущенное) движение задается уравнениями a(í) = 0, w(t) = 0. Линеаризованная модель силового воздействия среды содержит четыре параметра s,bi,k,h, которые определяются геометрическими параметрами конуса.

Изучение свойств движения рассматриваемых классов тел в Институте механики МГУ им. М. В. Ломоносова было начато экспериментами ио регистрации движения в воде однородных круговых цилиндров. Эксперимент позволил остановиться на важных выводах. Первый: режим прямолинейного поступательного торможения тела (в воде) неустойчив, по крайней мере, но отношению к углу ориентации тела. Второй вывод, полученный из проведенного натурного эксперимента, следующий: при моделировании воздействия среды на тело необходимо учитывать дополнительный параметр, который вносит в систему диссипацию.

Для конусов различной формы углы атаки вполне могут принимать практически любое значение из интервала (0,7г/2), и лишь при углах, близких к 7г/2, неизбежен так называемый замыв боковой поверхности. Поэтому возникает необходимость продолжения функций воздействия среды R,b и s на интервал (0,7г/2). Но мы будем продолжать данные функции на всю числовую прямую.

Опорным для нас является результат С. А. Чаплыгина, который для плоскопараллельного движения бесконечной пластины получил эти функции явно. Он показал, что коэффициент квадратичного по скорости центра пластины сопротивления пропорционален аналитической функции — косинусу угла атаки, а расстояние от центра давления до центра пластины — пропорционально его синусу. Последний факт позволяет перенести его результаты на семейство тел, часть внешней поверхности которых имеет форму конуса.

Нелинейные динамические уравнения плоскопараллельного движения тела представим следующим образом:

i> cos а — áv sin а + Q.v sin а + crû2 = ——-v2, (1)

m

v sin a + àv cos a — ilv cos a + aÙ =——-v2, (2)

m

IÙ = -F{a)v2 + <rb(a)v2 - hxüv, (3)

где I — центральный момент инерции тела, m — его масса, а — расстояние CD (рис. 1, С — центр масс), при этом F(a) = R(a)s(a), а коэффициент h\ > 0 характеризует дополнительный момент, зависящий от угловой скорости.

Для качественного описания тройки функций R(a), s(a) и 6(a), входящей в систему (1)-(3), используется экспериментальная информация о свойствах струйного обтекания. Вводимые классы достаточно широки: они состоят из функций достаточно гладких, 2я--периодичсских (s — четная, a R, Ь — нечетные), удовлетворяющих следующим условиям: (R,b)(a) > 0 при a G (0,7г), причем (R, Ь)'{0) > 0, {R, Ь)'(тг) < 0 (классы функций {Д}, {Ь}); s(q) > 0 при а 6 (0,7г/2), s(q) < 0 при а 6 (тг/2,тг), причем s(0) > 0, s'(tt/2) < 0 (класс функций {s}). Как R, Ь, так и s меняют знак при замене а на а + п. Поэтому

R е {Л}, Ь е {6}, Я s {s}. (4)

В частности, аналитические функции

R = До(а) = Л sino 6 {R}, Ь = Ь0(а) = h sin а 6 {Ь}, s = so(q) = В cos а е {s}, А, Ь1; В > 0, служат типичными представителями описанных выше классов.

В дальнейшем в рассматриваемых динамических системах возникает произведение F(q) = R(a)s(a). Из вышеперечисленных условий следует, что F — достаточно гладкая нечетная ^-периодическая функция, удовлетворяющая условиям: F(a) > 0 при a G (0,7г/2), F'(0) > 0, F'(п/2) < 0 (класс функций {F}). Таким образом,

F € {F}. (6)

В частности, аналитическая функция

F = F0(a) = АВ sin a cos а € {F} (7)

служит типичным представителем описанного выше класса.

Итак, для исследования обтекания тела используются классы динамических систем, определенные с помощью тройки функций воздействия среды, что значительно усложняет проведение качественного анализа.

У системы (1)-(3) третьего порядка возможно отщепление независимой подсистемы второго порядка. Действительно, система (1)-(3) является эйлеровой однородной системой по части квазискоростей (Г1, v) степени однородности 2, поскольку после замены независимого переменного (времени í) по формуле dq = vdt,v ф 0 (< • >= d/dt — vd/dq = v <'>), получаем новую систему, эквивалентную системе (1)-(3) (уз' = и>):

v' = v<¡>í(a,uj), (8)

< о ,, , i . s(q) . b(a)

а = cj + —ф(а, w) cos a + crur sino -I--sma--cosa, (9)

I тп m

ш'= ~jip(a,u) -u$i{a,Lj), (10)

где

ф(а,ш) = F[a) — crb(a) + h\u>,

ri ч а / / \ 2 S(Q) ■

Wi(a.w) = — w(a,w)sina — aw cosa--cosa--sina.

4 ' I m m

В системе (8)—(10) третьего порядка появляется независимая подсистема (9), (10) второго порядка, которая может быть рассмотрена самостоятельно на своем фазовом цилиндре S^a mod 2п} х R1-^}.

В первой главе проводится исследование самого интересного в прикладном отношении класса движений твердого тела — свободного торможения в сопротивляющейся среде. Данный материал фактически представляет собой введение в нелинейную задачу о свободном торможении. В ней получены некоторые частные решения полной системы, подготовлен материал для проведения качественного интегрирования динамических уравнений в пространстве квазискоростей. Получены новые семейства фазовых портретов на двумерном цилиндре, состоящие из бесчисленного множества фазовых портретов с различными качественными свойствами. Исследуется система следующего вида:

. а . „ п а2, о

á = и + —АВ sm a cos¿ а ——оi sin a cos а + — hw cos a+

2 . В . b i .

+ au) sm a H--sin a cos a--sin a cos a,

m m

i AB • a, • h aлn ■ i

ш = —— s,n a cos a + y »i sm a — —uj — — ABoj sm a cos a+

O2 , о (T , •> . ч В л b\ . 2 H--biuj sin a--hu>- sm a + crui cos a H--ш cos a -I--ш sm a,

11 mm

полученная из системы (9), (10) при условиях (5).

Переходя к безразмерным параметрам Pi,... ,Рз и дифференцированию

q = Qa, ш = ша, d/dQ = ad/dq, [Q] = [w] = 1,

a2AB a\ _ ah Bo bxa (12)

A = —, = — ft--, ft- —, 13ь-—,

опуская при этом черту в дальнейшем над безразмерной переменной Q, а также по-прежнему обозначая штрихом производную по безразмерной величине Q, имеем систему (11) в виде

а = ш + Pi sin a cos2 a — ft sin a cos a + ftw cos a+ + up" sin a + /З4 sin a cos a — /35 sin a cos a, ^

J = -pi sin a cos a + ft sin a - ftw - Pi w sin2 a cos a+ . .'.v,, + ftw sin2 a - P3W2 sin a + w3 cos a -f 04u cos2 a + ft w sin2 a. _

(11)

Безразмерные параметры 0k, к = 1,..., 5, естественно назвать: /?i — параметром момента силы (лобового) сопротивления; 02 ~ параметром момента боковой силы; 0¿ — параметром дополнительного демпфирующего момента; Pi — параметром силы (лобового) сопротивления; 05 — параметром момента боковой силы. Имеем, таким образом, пятипараметрическое семейство систем (13) на двумерном фазовом цилиндре {(а,а>) 6 R2 : a mod 2л-}.

Для начаола рассматривается случай наличия двух пар сил, а именно, предположим, что выполнены следующие условия:

= & = 0. (14)

При этом система (13) примет вид

а' = ш + 0х sin a cos2 a — 02 sin a cos a + w2sina, J = —0i sin a cos a + ftsina — 0\lj sin2 a cos a+ (15)

-I- 02u> sin2 a + w3 cos a.

У системы (15) существуют точки покоя на плоскости R2{a,w}, которые задаются следующими соотношениями:

a = 2for, ке Z, ш = О, (16)

а = (2/с+1)тг, ке Z, w = 0, (17)

а = | + 2/тг, I € Z, ы = —1, (18)

а = -| + 2/тг, íeZ, ы = 1. (19)

Системы (10), (17) задают точки, в которые ортогонально проектируются частные решения системы (8)—(10) вида

v(q) = г>0ехр(—кд), к > 0, a(q) = S7T, s 6 Z, aj(q) = 0, (20)

при четном s соответствующие ключевому режиму.

Точки покоя (16)—(19) назовем явными положениями равновесия (ЯПР). Определение 2.1 Неявными полоо/сениями равновесия (НПР) системы (15) на плоскости называются точки покоя, не леэюащие на прямых

{(a,w) € R.2 : sinacosa = 0}.

Необходимым условием существования НПР является их представление через систему cosa = 0г/0\, cj = 0. При

02 >01 . (21)

НПР не существуют.

У системы (8)—(30) при условиях (5) существуют частные решения вида

v{q) = v°exp(-Kq), к > 0, = v{0), a{q) = a° = a(0) ф ixk/2, k G Z, w{q) = 0.

У системы (l)—(3) при условиях (5) существуют частные решения вида

= 1 Щ к > °> уо = и(°)>

1 + v0Kt (23)

a(i) eh а0 = q(0) ^ Trfc/2, À: G Z, fi(i) = 0.

Предложение 2.1 ij Точки покоя (16) всегда являются неустойчивыми: седлами, если Дг > Pi, отталкивающими точками, если @2 < Pi- Причем, при выполнении последнего условия данные точки покоя являются фокусами, если р2 — Pi + 4 > 0, и узлами, если /?2 — Pi + 4 < 0.

2) Точки покоя (17) всегда являются притягивающими: фокусами, если Pi + Pi — 4 < 0, и узлами, если /?2 + Pi — 4 > 0.

3) Точки покоя (18), (19) всегда являются отталкивающими фокусами.

В силу отделения от системы третьего порядка (8)-(10) независимой подсистемы второго порядка (9), (10) (а в дальнейшем и системы (15)) фазовые траектории в R+{t>} х R2{a, w} лежат на поверхностях, являющихся двумерными цилиндрами.

Поверхность {(а,ш,и) G В' : Ф1 (a,w) = 0} (о функции Ф1 см. (8)) является цилиндром, который разрезает фазовое пространство на области, в каждой из которых проекция векторного поля на v-ось имеет фиксированный знак. Замечание 2.1 Для любых R G {Л}, Ь G {Ь}, s G {s} векторное поле системы (9), (10) (или (15)) обладает свойством центральной симметрии относительно точек (ттк,0),к G Z, т.е. в координатах (а,и>) векторное поле системы меняет направление при замене

а + irk \ ( -а + п к\

W J"4 у*

Будем изучать те динамические системы, которые допускают выполнение равенства (21). Поэтому в общем пространстве физически допустимых параметров M2 = {(Pulh) G R2 : /9i > 0, /?2 > 0} в основном будем'изучать область J2 = {{Pi, Pi) е M2 : Р2> Pi}-

Введем семейство полос на плоскости: П(Пь„2) = {(a,w) £ R2 : ai < а < а2}, при ЭТОМ П(_1Г/2,7Г/2) = П, П(„./2,37г/2) = П'.

У системы (15) существуют траектории, уходящие на бесконечность на плоскости R2{a,w}. Их а- и w-предельными множествами являются бесконечно удаленные точки (-(2к + 1)тт + 0, +00), (2for - 0, +00), ((2к + 1)7Г -0, -оо), (-2Ьг + 0, -оо), к G Z.

У системы (15) отсутствуют замкнутые фазовые характеристики, охватывающие фазовый цилиндр Э^а тос! 2л} х К1 {а;}, составленные из траекторий рассматриваемой системы.

Предельные циклы могут существовать только лишь вокруг точек покоя (17)—(19). Вокруг точек покоя (18), (19) не существует замкнутых кривых, составленных из траекторий системы (15).

Пространство параметров ,/2 системы (15) разбивается на два множества:

= 7о и ^ конечной меры. Для параметров из множества у системы (15) не существует замкнутых кривых, составленных из траекторий системы (15). Для параметров из множества .Д у системы (15) могут существовать предельные циклы.

Рассмотрим систему (15) для случая параметров ./ц. Сепаратриса, выходящая из начала координат в полосу 1Т(_7Г/2,о) (П(о,тг/2)) имеет в качестве (¿-предельного множества точку (—7г,0) ((-7г,0)).

Назовем сепаратрису, выходящую из бесконечности в полосу П^^о), ключевой. Дадим определение индекса сепаратрисного поведения (ИСП). Определение 2.2 ИСП (будем обозначать его 1вр) называется рациональное число ], выбираемое из множества

{з 6 <э : з = \ N0}.

По определению 1вр = j, если ключевая сепаратриса (выходящая из бесконечности в полосу П^-я- п)/ имеет в качестве ш-предельного множества точку (27Г7 — 7Г, 0).

Видно, что если 3 € Z, то ключевая сепаратриса 3 раз охватывает цилиндр (по координате а).

Таким образом: при ^ = 0 предельным множеством ключевой сепаратрисы является притягивающая точка (—7Г,0) (рис. 2, гвр = 0, П <-» ш)\ при 7 = 1/2 предельным множеством ключевой сепаратрисы является седло (0,0); при j = 1 предельным множеством ключевой сепаратрисы является притягивающая точка (л-,0); при 3 = 3/2 предельным множеством ключевой сепаратрисы является седло (2к, 0); при 3 = 2 продельным множеством ключевой сепаратрисы является притягивающая точка (37Г, 0) и т.д. Теорема 2.1 Определение 2.2 корректно.

Также в первой главе обстоятельно рассмотрен случай наличия силы лобового сопротивления и ее момента, в предположении, что в системе присутствует дополнительная зависимость момента от угловой скорости тела. Таким образом, выполнены следующие условия:

& = А = 0. (24)

Щ-ойлвоти. лежание по разные отогоны от оепаратрио. ухадяиих

glj-H» в»СКОН»ЧКОСТЬ _„_____

Рисунок 2 - Фазовый портрет без неявных положений равновесия,

isp = О

Во второй главе исследуются динамическая часть уравнений плоскопараллельного движения твердого тела в сопротивляющейся среде при наличии некоторой следящей силы, заставляющей во все время движения центр масс тела двигаться прямолинейно и равномерно, что означает наличие в системе неконсервативной пары сил. Показано, что у рассматриваемой системы динамических уравнений существует полный набор первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.

Предположим, что на тело наряду с силой воздействия среды действует некоторая следящая сила Т, проходящая через центр масс С тела. Тогда динамические уравнения представим следующим образом:

2 — s(a) 1 тг\

v cos а — av sin а — Пи sin а + ail =-v, (25 J

т

v sin а + av cos а + fit) cos а — егП =-v , (26)

m

Ш = F{a)v2 - ab(a)v2, (27)

где I — центральный момент инерции тела, m — его масса, а — расстояние CD (рис. 1, С — центр масс), F(a) = R(a)s(a). При этом Т = {Т^Тг} -разложение следящей силы в осях Dx, Dy.

Если же рассматривается более общая задача о движении тела при выполнении равенства (Vc — скорость центра масс)

Vc = const, (28)

то на тело действует пара сил. Поэтому в уравнениях (25), (26) должна стоять величина, тождественно равная нулю: Т\ — s(a)v2 = О, Т2 — b(a)v2 = 0. Очевидно, что для этого нужно выбрать величину следящей силы Т в виде Ti(a, П) = s(a)v2, Т2(а, Q) = b(a)v2. (29)

Случай (29) выбора величины Т следящей силы является частным случаем возможности отделения независимой подсистемы второго порядка после некоторого преобразования системы третьего порядка (25)-(27). Действительно, пусть выполнено следующее условие на величины Т-у,Т2:

Г1=7На,П) =

= rí (а, ^ + t¡ (а, 0) П„ 4- r¡ (а, 0) fi2 = Г, (а, ,2, (30) Т2 = Т2(а,П) =

= * ") + ^ (*' i) + ^ (*' ") "2 = Г2 (а' ?) Л (31)

Систему (25)-(27) можно переписать в виде (вводя далее новые безразмерные фазовую переменную и дифференцирование по формулам П = щиш, < ■ >— щи <'>, Щ > 0, щ = const):

г/= г>Ф(а,о>), (32)

а' = — и + сгщш2 sin а + [F(a) — ab(a)] cos a—

T\ (а, п\ш) — s(a) . T2 (a, щш) — b(a)

--^---1 sin a -\------^ cos a,

тпщ mni

J = - crb(a)] - uj-^—[F(a) - <rb(a)]sina+

In\ I Til

3 Ti (a, щш) - s(a)

+ oniui cos a — w-cosa— (33)

mn i

To (a, щи) — b(a) .

—to——^-sm a,

mn i

Ф(а, ш) = — агцш2 cos a + -^-[F(a) - стб(а)] sina+

Irii

Ti (а, щш) - s(a) T2 (a, mw) - 6(a) .

H--cos a -I--sin a.

тпщ mni

Видно, что в системе третьего порядка (32), (33) может быть выделена независимая подсистема второго порядка (33).

В дальнейшем для простоты рассмотрим систему (32), (33) при отсутствии боковой силы, т.е. выполнено равенство Ь(а) = 0. Подобно Чаплыгину, динамические функции s и у примем в виде

s(a) = В eos a, у (а, ^ J = уо(а) = A sin a, А, В > 0, (34)

(имеется лишь зависимость от угла а). Тогда, благодаря условиям (28), (34), получим аналитическую систему

v' = г>Ф(а, w), (35)

а' = — и) + Ь sin а cos2 а + boj2 sin а, ^

и' = sin а cos а — boj sin2 a cos а 4- boj3 cos a, Ф(а,и>) = —boj2 cosa 4- 6 sin2 a cos a,

при этом b — ащ, n§ = AB/I, щ = щ.

От системы (35), (36) отделилась независимая система второго порядка (36). У нее существует аналитический интеграл, а именно, функция

Ф1(и,а,ш) = г>2(1 + 6V - 2bu> sin а) = V¿ (37)

постоянна на се фазовых траекториях.

Равенство (37) задает единственный аналитический (даже непрерывный) первый интеграл системы (35), (36) во всем фазовом пространстве. Разберем вопрос существования дополнительного первого интеграла системы (35), (36) и сопоставим системе (36) неавтономное дифференциальное уравнение

dw т + Ры[ш2-т2] . , .

=-, п , а \ 2 21' Т = SmQ- (38'

dr -ш + рт + рт[ш2 — t¿\

Введем обозначения: С\=2-Ъ, С2 = b > О, С3 = -2-Ь < 0. Тогда, после замены переменных щ = ш -т, V\ = и> + т уравнение (38) преобразуется к

du\ (- (l + щ + + buivH = dvi ( ( 1 - r pi + + bu2vi} .

2) 1 2 1 1 4 1 (.V 2У 2

Если щ = г>1<1, v2 = рь то уравнение приведется к уравнению Бернулли:

2Р1{С3к + С2 + 2С211Р1} = ^{С, - С312}, (39)

ч

заменой Р1 = 1/^1 легко сводящемуся к линейному неоднородному:

д[=а1{и)д1 + а2{и), (40)

2(С3«1 + С2) АС2Ь , ,

а1{к) = Сз42 — С\ ' ^ - (41)

Решение однородной части уравнения (40) найдется из равенства

ЯшЛк) = ЬехрИ^О, И^,) = 2 I (42)

При вычислении интеграла (42) необходимо рассмотрены три случая.

Ввиду громоздкости вида полученного первого интеграла приведем его лишь в случае III:

fsina + wl 1

ехр ^ --^ -

(sina-ш J

— 4ш sin а + 4w2 (ш — siria)2

= Ci = const. (43)

Теорема 3.1. Система (35), (36) обладает полным набором первых ип,-тегралов, один из которых является аналитической функцией, а второй — трансцендентной функцией фазовых переменных, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.

Аналогичные результаты получены и при учете зависимости момента сил от угловой скорости тела.

В третьей главе при изучении модели взаимодействия твердого тела со средой найдены достаточные условия устойчивости ключевого режима движения — прямолинейного поступательного движения. Показано, что при некоторых условиях возможно также присутствие в системе либо устойчивого, либо неустойчивого автоколебательных режимов.

Исследуем устойчивость тривиального решения системы (9), (10) при отсутствии дополнительной зависимости момента от угловой скорости тела {h\ = 0), которое, очевидно, и соответствует ключевому режиму. При h\ = 0 система (9), (10), в которой обезразмерим дифференциование и переменную и>: <'>>—> щ <'>, rig = AB/I, А = у'(0), В = 5(0), и> >-> щи>, примет вид

с tj2

a' = ш + -—Fía) cosa —-—b(a) cosa + ащш2 sina+ In0 Ino

s(a) . 6(a) ....

+ —— sin a--cosa, (44)

тщ тщ

J = — ifía) + -r-zb(a) — -^—wF(a) sina+ 1щ 1щ Ino

o"2 , . . . n sí a) bía) .

+ -z—üjb[a) sin a + ащш cos a 4- ui-cos a + cj-sin a. (45)

1щ тщ тщ

Введем следующие безразмерные положительные параметры: дх = 2В/тщ, ¡12 = ащ, цз = Ь\/тщ, ¡J,4 = obi/In^, где b 1 = b'(0). Их естественно назвать: /i¡ — параметром силы лобового сопротивления; a12 — параметром момента лобового сопротивления; ¿¿з — параметром боковой силы; /Х4 — параметром момента боковой силы.

Исследуя устойчивость тривиального решения системы (44), (45), выпишем соответствующее характеристическое уравнение: Л2 + /¿"jA + К2 = 0, где

К\ = 4 - 1) + № - AM, К2 = у (/¿2 - AÍ2/Í4 + у - /¿з) + 1 -

/ц.

Предложение 2.2 При выполнении следующих двух неравенств

шп2 и\ , М1М2М4 M1M3 , ,JC-,

ti2f!4 + /*з>М1+№, + + + + (46)

тривиальное решение системы (44), (45) асимптотически устойчиво.

Для возможного рождения предельного цикла около начала координат исследуем устойчивость тривиального решения системы (44), (45) при критическом сочетании параметров

Д2/Щ + Из = Mi + /л2. (47)

Для этого сделаем следующую замену фазовых переменных в системе (44), (45): а = о, ш = Mi/2a + u)0w, w0 = \Л - M2/4 - щ, переводящую ее в систему следующую:

а' = |шо|и) + Cía3 + C2a?w + C3aw2 + 01 {{a2 + w2)3/2),

w' = -|wD|tt + C4a3 + C5a2w + C6aw2 + CTw3 + ô2((a2 + w2)3/2),

где Ci,..., Ce — функции старших производных функций воздействия среды. Введем следующий вспомогательный индекс:

In = 6С1 + 2С3 + 2 Сь + 6СТ = ^ + 4—+

1щ тпщ

+ 5(М1 + ,х2) = s"(0), /3 = F"'(0), h = Ъ"'{0). (49)

In0 ШПо

Предложение 2.3 Если In < 0 (In > 0) и при этом выполнено неравенство (М2М4 + Мз - №)2 + 4^4 < 4, (50)

то начало координат фазовой плоскости R2{a,u>} системы (48) при критическом соотношении параметров (47) является слабым устойчивым (неустойчивым) фокусом.

Условие (50) в данном случае является необходимым, поскольку лишь при его выполнении начало координат на плоскости R2{a, w} является фокусом.

Введем вспомогательное обозначение: /j, = р.2ц4 + fi3 — fii — ц2. Очевидно, что в критическом случае (47) выполнено равенство д = 0. Теорема 2.2 Пусть для системы (48) выполнено неравенство (50). Тогда: 1) Если In < 0, то для любых фиксированных ¡i2, ¡i¿, Ил найдутся такие ¿i,S2 > 0, что при ¡i е (0, íi) начало координат является сильным устойчивым фокусом; при ¡1 £ (—52,0) начало координат является сильным неустойчивым фокусом, окруженным устойчивым предельным циклом, размер которого растет с уменьшением fj. от 0 до —52 как у/Щ.

2) Если In > 0, то для любых фиксированных ßi, Аз, ßi найдутся такие ¿1,62 > О, что при [I € (—¿2,0) начало координат является сильным неустойчивым фокусом; при ß 6 (0, <5i) начало координат является сильным устойчивым фокусом, окруженным неустойчивым предельным циклом, размер которого растет с ростом ß от 0 до ¿1 как \f\p\-

Проверка условия In < 0 (In > 0) в каждом конкретном случае довольно затруднительна, в отличие от проверки условий ß > 0 (ß < 0).

Рассматривается также движение составного твердого тела в воде: цилиндра диаметром 30 мм (D = 2R = 30 мм), передней частью которого является круговой конус массы т = 80, 5 г. Угол разворота конуса равен 82°, что означает сх = 0, 635, су = 0,14. Безразмерный центральный момент инерции тела равен I = 11,1 = I/pR5, где I — размерный момент инерции, р — плотность воды. Расстояние CD от центра масс тела до точки D (передней точки конуса

— вершины) равно а = 17,5 мм.

Условия колебательного движения примет вид k > kt = 0,121, где kt

— некоторое критическое значение к. Видно, что при к < к, тривиальное решение соответствующей системы соответствует грубому седлу на фазовой плоскости. При к > kt есть надежда на асимптотическую устойчивость тривиального решения.

В приложении приводится программа для изучения фазовых портретов, приведенных в работе.

Список публикаций соискателя

1-А. Андреев A.B., Шамолин М.В. Семейства фазовых портретов в задаче о движении твердого тела в сопротивляющейся среде // Международная конфереция "Метод функции Ляпунова и его приложения" (MFL-2014), Тезисы докладов. Крым, Алушта, 15-20.09.2014. - Симферополь: Тавр, национ. ун-т. - 2014. - С. 51-53.

2-А. Андреев A.B., Шамолин М.В. Моделирование воздействия среды на тело конической формы и семейства фазовых портретов в пространстве квазискоростей // ПМТФ, 2015, № 3, с. 11-19.

3-А. Андреев A.B., Шамолин М.В. Математическое моделирование воздействия среды на твердое тело и новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, 2014, № 10(121), с. 109-115.

4-А. Андреев A.B., Шамолин М.В. Методы математического моделирования воздействия среды на тело конической формы // Современная математика и се приложения, 2015, т. 93, с. 135-144.

Андреев Алексей Витальевич (Россия)

Качественное и численное иследование движения твердого тела в

сопротивляющейся среде

В диссертации исследуется задача движения в сопротивляющейся среде твердого тела, имеющего передний участок в виде конуса. Получено два новых типа семейств фазовых портретов в пространстве квазискоростей. Каждый типичный портрет полученного семейства абсолютно груб. Данные семейства состоят из бесконечного числа топологически неэквивалентных фазовых портретов. В задаче о плоскопараллельном движении твердого тела в сопротивляющейся среде при наличии дополнительной следящей силы обнаружены новые случаи интегрируемости. Получены достаточные условия устойчивости ключевого режима движения — прямолинейного поступательного торможения твердого тела. Указаны достаточные условия рождения усточивых (неустойчивых) автоколебаний около ключевого режима для тел, передней частью поверхности которого является круговой конус.

Aleksey Andreev (Russia)

Qualitative and numerical investigation of the motion of a rigid body

in a resisting medium

The author considers the problem of a motion of a rigid body in a resisting medium, when the body has the circular convex as the front part of its external shape. We obtain two new families of the phase patterns on the phase cylinder of quasi-velocities. Any kind of the phase pattern is structural stable itself. This family consists of the infinite set of topologically nonequivalent phase patterns. In problem of plane-parallel rigid body motion in a resting medium under assumption of the additional tracking force, we also obtain new cases of integrability. We get the sufficient conditions of key regime stability, i.e., the rectilinear translational deceleration, and also the conditions of existence of auto-oscillations in the system considered.

Подписано в печать:

10.03.2015

Заказ Лг2 10616 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru