автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Исследование стохастических систем методами разложимых условно регенерирующих процессов

Введение

Глава I. Регенерирующие и условно регенерирующие процессы

1.1. Свойство регенерации и условной регенерации

1.2. Регенерирующие и условно регенерирующие процессы.

1.3. Условная независимость и регулярные условные распределения. Некоторые формулы

1.4. Тождество регенерации

Глава 2. Переходные функции. Теоремы существования

2.1. Радоновы пространства

2.2. Регулярные условные распределения и переходные функции.

Глава 3. Разложимые условно регенерирующие процессы

3.1. Рекуррентные и однородные УРП.

3.2. Рекуррентные и однородные вложенные УРП

3.3. Разложимые УРП.

3.4. Разложимые УРП в ТМО.

3.5. Регенерирующие процессы в теории систем . ?

Глава 4. Некоторые предельные теоремы для нерекуррентных процессов восстановления и вложенного восстановления

4.1. Асимптотические теоремы

4.2. Предельные теоремы для эксцесса и дефекта процессов восстановления.

4.3. Нерекуррентные процессы вложенного и марковского восстановления

Необходимость исследования современных объектов большой сложности путем создания их математических моделей привело к возникновению и развитию самых разнообразных математических методов как аналитических, так и алгоритмических или вычислительных. Многообразие их связано с невозможностью вместить все разнородные системы в рамки одного метода, однако можно отметить следующие общие моменты: обычно предполагается, что система состоит из взаимосвязанных частей, подсистем, которые в свою очередь могут быть разбиты на более простые составляющие, а взаимодействие или обмен информацией между ними происходит лишь в некоторые дискретные, вообще говоря, случайные моменты времени - смысл такого структурного представления в том, что вместо дельного сложного объекта мы изучаем свойства его отдельных, более простых составляющих, и связи между ними . Такую структуру имеют многие вычислительные, транспортные, информационные системы, которые чаще всего не являются марковскими, но обладают следующим свойством: в моменты взаимодействия подсистем дальнейшее функционирование системы зависит только от ее состояния в этот момент времени и, может быть, еще закона управления системой.

Наиболее простым является случай, когда можно считать, что случайный процесс, описывающий данную систему, составлен из независимых одинаково распределенных циклов, т.е. является регенерирующим процессом в обычном понимании, как его ввел В.Смит. Однако такое представление возможно далеко не всегда: первый камень преткновения - независимость. Отказ от независимости циклов приводит к процессам с различными типами точек регенерации, полумарковским процессам, полумарковским процессам с добавочными траекториями. Другое препятствие - отсутствие однородности: например, моменты поступления вызова в пустую систему, моменты освобождения системы или моменты окончания обслуживаний не однородны, кроме того, в моменты поступления вызова в пустую систему "будущее" не зависит от "прошлого", в моменты освобождения зависит от времени, оставшегося до появления новой заявки, в моменты окончания обслуживания будущее зависит как от времени до появления следующего требования, так и от числа заявок в системе, такие моменты естественно называть моментами условной регенерации, причем условия, определяющие будущее функционирование системы после указанных моментов различны по мощности. Это приводит к необходимости группировки моментов регенерации по однородности. Следующее затруднение связано с тем, что на периодах регенерации система достаточно сложна, и для вычисления ее характеристик следует разложить процесс на периоде регенерации на ряд более простых подпроцессов, например, свести описание к периоду обслуживания одной заявки - а на нем все уже достаточно просто: число требований в системе - процесс восстановления, время, оставшееся до поступления нового требования - кусочно-линейная функция, и вычислить их распределение несложно. Теория массового обслуживания, теория телетрафика, теория надежности, управления запасами дают примеры систем, характеристики которых вычисляются с помощью развитых в данной работе методов разложимых условно регенерирующих процессов.

Для случайного процесса, описывающего такую систему, задача формализуется следующим образом: требуется найти распределения процесса с помощью распределений (или условных распределений) процесса на периодах условной регенерации, т.е. между моментами условной регенерации, и распределения процесса в эти моменты.

Если моменты условной регенерации однородны, т.е. распределения процесса на периодах условной регенерации инварианты и вычисляются непосредственно, то решение этой задачи не представляет больших трудностей, иначе приходится группировать моменты условной регенерации по однородности. В этом случае возникает следующая задача - период условной регенерации между однородными моментами (т.е. со случайными концами) разбивается в случайную сумму более мелких периодов, на которых распределения процесса вычислить проще, и так далее до минимальных периодов, на которых распределения можно посчитать непосредственно. Следует отметить, что на периоде со случайными концами однородность и соответствующие равенства или уравнения приобретают специфический вид, кроме того условия (состояние или управление) в различные моменты условной регенерации, определяющие "будущее" процесса, могут быть различными, т.е. моменты условной регенерации могут отличаться по силе (регенерации). Так, наиболее сильной является регенерация в смысле Смита / I /, когда распределения на периодах попросту независимы.

Процессы, допускающие указанную редукцию к минимальным периодам, называются разложимыми - такие процессы особенно часто встречаются в системах обслуживания. Развитые в данной работе методы позволили получить рекуррентные формулы для вычисления распределений и других характеристик разложимых условно регенерирующих процессов либо аналитически, либо с помощью моделирования вложенных марковских цепей, порожденных процессом в моменты условной регенерации. Полученные формулы можно рассматривать также как эффективный алгоритм моделирования широкого класса стохастических систем средствами вычислительной техники.

Следует также отметить, что предложенные методы избавляют от необходимости марковизовать процесс, что в лучшем случае повышает размерность процесса на несколько компонент - соответственно повышается размерность интегралов и иных функционалов в формулах, описывающих характеристики процесса - а это далеко не всегда необходимо. Зато появляются свои особенности во-первых из-за того, что переходные функции у процессов, определенных непосредственно, т.е. траекториями, не заданы, и как раз их и хотелось бы определить, а во-вторых они не обладают свойствами переходных вероятностей или соответствующих условных мер марковских процессов - эти вопросы рассматриваются далее.

Основные проблемы, рассмотренные в настоящей работе, а также методы их решения сначала проиллюстрируем на примере однолинейной системы обслуживания с произвольными законами поступления A(i) и обслуживания ВЦ) и неограниченной очередью.

Пусть ^ - число требований в системе в момент t , ^ - остаточное время ожидания появления новой заявки - требуется найти распределение процесса ( ^ , ), т.е. = - . Если AU) абсолютно непрерывна, то моменты поступления требований в пустую систему являются моментами регенерации в обычном смысле, т.е. смысле Смита, и определяемые ими циклы однородны, поэтому

Рк = J Pjt-irx^Utv) где PK } - распределение на первом neриоде регенерации; a U IT (v) - функция восстановления ft— 0 T Itf) - распределение периода регенерации) удовлетворяет уравнению восстановления

Ull>)= \ TOw)d Vi-из)

Необходимо обратить внимание на следующие обстоятельства: выполнение свойства регенерации в смысле Смита в момент Хк связано с требованием абсолютной непрерывности A(i) ; во-вторых, однородность циклов не означает совпадение распределений на всех периодах по каждому аргументу - распределение на п. -ом периоде совпадает с первым лишь почти наверно относительно распределения Т^ , т.е. почти наверное совпадение по v имеет место относительно разных вероятностей на Т и лишь при абсолютной непрерывности A(t) возможна редукция их всех к мере 1е-бега; в-третьих, непосредственно посчитать PKU,3q и Т~пг) весьма непросто.

Для решения этой задачи период регенерации t разбивается на период занятости л и свободный период, и распределение на t выражается через распределение на периоде занятости и распределение в момент освобождения системы, т.е. в момент jr процесса ^ и самого зг : к и где Рк Utx)= P{Ot=ki I <r} , a Q iu$)= кроме того Tm-ii tfW.e^) то есть описание системы свелось в периоду занятости.

Далее рассмотрим период занятости. Для него в моменты окончания S^ выполняется интуитивно ясная независимость будущего процесса ( , ^ ) от прошлого при условии известных значений и в фиксированный момент S^ , однако специфичность iv ситуации уже в том, что не будут моментами остановки ( ^ , попытка же расширить соответствующие б" -алгебры приведет к увеличению размерности процесса и соответствующих интегралов, не вызванному никакой необходимостью, поскольку все полученные формулы справедливы и без этого, далее рассматриваются и другие причины, по которым прошлое и будущее отличаются от "марковских". Моменты будут моментами вложенной условной регенерации в смысле данных далее определений, а сам двумерный процесс однороден на от , и Л где Р* С "РI£ ' 5 - условное распределение на периоде обслуживания, U. (5. ч )=X Р { -j ^ \ £ и L >oj

J л=0 П 1 ч 1 он </' о,,.,

- вложенная функция условной регенерации, которая удовлетворяет уравнению вложенной условной регенерации

- Ь Z Я с* и; 0*4.1) здесь QjLi.s.y^PlpcJfU^fl

ТГ - 7Г

Эти уравнения определяют Рк ittx) и Q (s.jp через соответствующие характеристики на периоде обслуживания р , т.е. описание системы свелось к минимальному периоду - р , на котором процесс ( ^ , 4-f. ) не однороден, но выглядит просто, и нужные распределения вычисляются непосредственно: 0 при к>2 , и соответственно s' °

H s ы при KM , где * - знак свертки.

Рассмотрим теперь проблематику диссертации более подробно.

Регенерирующие процессы как специальный класс случайных процессов были определены и систематически исследованы В.Л.Смитом / I /, где они рассматривались как процессы, составленные из независимых циклов - конечных (обрывающихся) случайных процессов, определенных на независимых промежутках времени - периодах регенерации, причем распределения циклов на различных периодах предполагались инвариантными.

Отказ от независимости периодов регенерации позволил ввести некоторый класс скачкообразных процессов, названных полумарковскими /1,2,3/. Для полумарковских процессов циклы - постоянные функции, определенные на условно независимых промежутках времени, периодах, два соседних периода независимы при условии, что состояние в момент окончания цикла фиксировано, причем процесс в моменты окончания циклов образует вложенную марковскую цепь. ПМП задаются конструктивным образом с помощью начального распределения и полумарковской матрицы (или другими эквивалентными путями, см. /4, 5 / или полумарковского ядра в случае несчетности пространства состояний / 6, 7 /. Близкими к полумарковским являются процессы марковского восстановления с добавочными траекториями, в основу которых положен тот факт, что ПМП могут рассматриваться как компонента двумерного марковского процесса. 1MB с добавочными траекториями могут быть заданы либо конструктивным путем / 8 / с помощью циклов, полумарковской матрицы и вложенной марковской цепи, либо аксиоматически / 9 / с помощью многомерного случайного процесса, включающего циклы и добавочные траектории. С однородностью процесса относительно сдвига на момент остановки и условной независимостью от прошлого в этот момент связывается понятие регенерации в / 10, II /.

Другого характера обобщение понятия регенерации и регенерирующего процесса связано со строгой стационарностью циклов без предположений о независимости их / 12 /. Для таких процессов справедлива формула для стационарного распределения, имеющая такой же вид, как и для обычных регенерйрующих процессов, и соответствующая эргодическая теорема.

Итак, одна из проблем состоит в том, что многие процессы, например в ТМО, задаются непосредственно, т.е. траекториями, и задача заключается в нахождении их распределений или условных распределений (заметим, что в теории марковских процессов стандартной является обратная задача - построение процесса или семейства по заданной переходной функции). Для решения этой задачи необязательно, чтобы случайные моменты, определяющие процесс, были моментами остановки, не говоря уже о том, что определение, являются ли они моментами остановки рассматриваемого процесса, может быть вовсе нетривиальной (и дополнительной) задачей. Поставленная задача решается в диссертации в весьма общих предположениях о характере независимости в определяющие моменты и структуре пространства состояний процессов.

Указанные особенности легли в основу определения условной регенерации как независимости будущего стохастического процесса от предыстории в случайный момент времени при условии определенной б -алгебры событий в этот момент. В зависимости от того, насколько широка эта <5 -алгеора, регенерация может быть более или менее сильной, наиболее сильными являются регенерация в случае тривиальности этой с -алгебры или регенерация в смысле Смита. Причем G -алгебры прошлого и будущего здесь уже, чем в марковском случае для случайного момента, являющегося моментом остановки.

Следует также отметить, что в основополагающем определении регенерирующих процессов, данном В.Смитом, нет каких-либо конкретных предположений о связи периода регенерации с "содержимым" цикла (типа свойства момента остановки), и это не случайно, а связано с определенными свойствами систем обслуживания, одной из главных областей применения этих процессов. Некоторые из этих свойств уже рассматривались на примере системы GJ/GJ/l/00 , но на самом деле они имеют место и в самых простых системах: так например, если рассмотреть известную систему M/GM/00 , то вследствие экспоненциальности времен поступления в момент окончания обслуживания первого требования будущее зависит только от числа требований в системе в момент р , и под прошлым до момента £ , т.е. содержимым цикла Со,р] , естественно понимать траектории ^ до р , а под будущим -после р , но на Г О, р] ^ совпадает с процессом восстановления, порожденным поступающим потоком, который не зависит от fi - для марковского прошлого ситуация противоположна {js должен бы быть не только моментом остановки, но и измерим относительно прошлого), а траектории будущего после р> определяются сдвигами времени на длительности последующих обслуживании, которые также не зависят от ^ на Сй,р] , т.е. и будущее - не "марковское будущее". Аналогична ситуация для полумарковских процессов.

Соответственно данному определению условно регенерирующие процессы - это случайные процессы, удовлетворяющие свойству условной регенерации в некоторые случайные моменты времени (не обязательно моменты остановки) - моменты условной регенерации. Такие случайные процессы постоянно возникают в системах обслуживания, а также в моделях реальных стохастических систем с дискретным вмешательством случая, их частными случаями являются скачкообразные процессы (полумарковские и прочие), регенерирующие процессы в смысле Смита, процессы марковского восстановления с добавочными траекториями. Тесно связанные с ними также процессы обновления в смысле Боровкова / 13 /.

Задача описания процесса в целом через его поведение на отдельных периодах условной регенерации, т.е. выражение распределения на всей прямой, через распределение или условное распределение на периоде условной регенерации, решается в весьма общих предположениях.

Такое представление имеет смысл, если распределения или условные распределения цикла найти проще, чем распределение в целом, и оказывается наиболее плодотворным, если эти распределения на различных периодах инвариантны - такие процессы названы рекуррентными. Причем, если условие однородности, и тем более строгой стационарности / 12 /, циклов выполняется далеко не всегда, то требование инвариантности условных распределений менее ограничительно. В этом случае распределение процесса выражается через распределение на периоде регенерации (например, первом) и функцию условной регенерации, аналог функции марковского восстановления, которая удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению марковского восстановления.

Однако и нахождение условного распределения на периоде-регенерации может быть непростой задачей, которую удается решить, если период допускает разбиение на более мелкие периоды - периоды вложенной условной регенерации, на которых процесс имеет более простой вид. Моменты вложенной регенерации могут отличаться по силе регенерации от моментов регенерации и не удовлетворять условию рекуррентности или иметь другой, специфический вид рекуррентности или однородности. Определяемая ими однородная вложенная функция условной регенерации удовлетворяет уравнению вложенной условной регенерации - специального вида уравнению типа уравнения марковского восстановления. Итерация этой процедуры позволяет свести описание процесса к минимальным вложенным периодам регенерации - процессы, допускающие процедуру вложения, называются разложимыми.

Кроме того, уравнения условной регенерации и уравнения вложенной, условной регенерации позволяют установить сходимость мер, определяемых полумарковскими ядрами к произведению меры Лебега на инвариантное распределение вложенной цепи / 14 / при W00 и, следовательно, на бесконечности выразить одномерное распределение через распределение на минимальном периоде и инвариантное распределение вложенной цепи.

Теория массового обслуживания является основной областью применения разложимых условно регенерирующих процессов, в качестве других можно назвать теорию надежности и теорию агрега-тивных систем /15, 16 /.

Дадим теперь краткий обзор результатов настоящей работы.

В главе I рассматриваются регенерирующие и условно регенерирующие процессы.

В § I.I даются определения регенерации и условной регенерации и рассматриваются связанные с ниш б -алгебры, дается их интерпретация, обсуждаются введенные понятия в связи с системами обслуживания.

В § 1.2 определяются регенерирующие и условно регенерирующие процессы (УРП), показывается, что конструкция Смита приводит к введенному в этом параграфе процессу. Дается определение циклической измеримости и соответствующей б" -алгебры на стохастическом интервале, доказывается циклическая измеримость случайных процессов с односторонне непрерывными траекториями, рассматриваются регенерационные свойства процесса, сдвинутого на начальное время. Затем определяются условно регенерирующие процессы в узком смысле, исследуются их свойства, обсуждается связь УРП с процессами обновления в смысле Боровкова / 13 /.

§ 1.3 посвящен регулярным условным распределениям, связанным с условной регенерацией.

В § 1.4 выведено тождество регенерации, рассмотрен связанный с ним оператор сдвига на стохастическом интервале.

Глава 2 посвящена двум проблемам: существованию переходных функций и полумарковских ядер на периодах регенерации и близкой к ней проблеме аппроксимации мер компактами.

В § 2.1 определяется и исследуется класс пространств (не обязательно метризуемых), на которых топологические меры радо-новы, т.е. аппроксимируются снизу бикомпактами, показывается, что он содержит все пространства борелевски изоморфные отрезку.

В § 2.2 доказывается существование условных мер и переходных вероятностей на периодах условной регенерации в широком классе пространств состояний и изучаются их свойства.

Результаты главы 3 касаются рекуррентных и однородных разложимых процессов. В ней получены уравнения условной регенерации и вложенной регенерации, формулы для распределений и условных распределений, изложенные методы применены для исследования нестационарной однолинейной системы обслуживания.

Уравнение условной регенерации и формула распределений имеют обычный вид П d^i-sS)^ uLsdx) 0 l

PUteTl=i V^) (I P^bsJlU.cds,^) для однородного процесса, и

•t

Р U^ Г} = J тгМ*) ( I p^i Г)Щ С % о х для рекуррентного, где Q. - полумарковское ядро,

IL (.s.-ip - функция условной регенерации, а - условная переходная функция на периоде условной регенерации, равная Р(jГ) для однородного процесса.

Уравнение вложенной условной регенерации i/j, H.h-fc.crvll Qtx^^'iul.^i'i-Qfi^r") о хй 0 Л,

-Л л ^ Л позволяет при Х^Х выразить ядро Qi^i, Г) через ядро л1

QcxH.T ) и функцию вложенной условной регенерации, имеющие Л более простой вид, если О.Сх.^Г) не удается посчитать непосредственно. Условные распределения также выражаются через более простые условные^ распределения на вложенном периоде о V для однородного случая и соответственно - для рекуррентного.

Структуре разложения соответствует группировка моментов условной регенерации по силе и однородности, когда процесс лишь выборочно однороден или рекуррентен и регенерации различны по силе. Эта идея и вся конструкция разложения иллюстрируется примером однолинейной системы обслуживания.

Полученные формулы находятся в прямой связи с суммировао о нием случайного числа случайных слагаемых, поскольку период условной регенерации раскладывается в случайную сумму вложенных. Заметим, что связь теории массового обслуживания и теории надежности с задачами случайного суммирования указывалась Б.В. Гнеденко еще в / 17 /.

Разложимые регенерирующие процессы применены также к изучению агрегативных систем, выделен оператор скачков и получены рекуррентные формулы, позволяющие свести описание системы к описанию наиболее простых ее составляющих - элементов и структуры их взаимосвязей.

Как отмечается в главе I, однородный сильно регенерирующий процесс порождает рекуррентный процесс восстановления ^ , однако, если однородность не предполагается, то независимые периоды б* , порождающие ^ не обязаны иметь одинаковое распределение. Оказывается, что асимптотика ^ остается устойчивой и при отказе от требования его рекуррентности. В § 4.1 определены нерекуррентные процессы восстановления и исследованы их свойства, доказано, что для любого г>0 , отку т / 1-+°° г и да М^Г^кл1 , где , а также Um . и-v*» к=/ ^-^оо t т

В § 4.2 определяются к -равномерные процессы восстановления и изучаются свойства эксцесса (перескока) и дефекта -Pt , в частности, досказывается, что Jinj jMasds

О • У Г / Wl^+бГ^ ^ и почти наверное ит ^ Jciscls--2 . в следующем параграфе рас0 сматриваются нерекуррентные процессы вложенного и марковского восстановления.

Поскольку процесс восстановления обычно понимается как модель мгновенной замены однотипных элементов, результаты главы

4 допускают следующую наглядную интерпретацию: естественно под однотипностью элементов понимать равенство их средних характеристик - математического ожидания, дисперсии или иных моментов, традиционное же предположение одинаковой распределенности времен работы является дополнительным и излишним для сохранения известной асимптотики моментов числа восстановлений и свойств эксцесса или дефекта восстановления.

Рассмотренное обобщение позволяет расширить возможности применения теории восстановления и марковского восстановления на более широкий класс реальных процессов.

1. W. L. Smi/Ui. RegewAatuire зЬоскмИс ргослдШ. Pw.Roy Soc., A.232,/355.

2. P. Levij. Рхош-ьиб лвюгс- man-kovtettA. Ргос.ЗиХ. Cowp. МаД.С Amatviclam^

3. L.Takctcs. ВСгопуоз iCpu^u ггсилге.ил sztochaoziicuA ^awabKMbfCcui Ш. akcicl. Mxbh. Kuiato. mi Kdzf.J,19£4.

4. E. CLntcji. Markov" xcmaoqI tUorty.Aclv.AffV. PwM. -/,2/969.

5. В.С.Королюк, А.Ф.Турбин. Полумарковские процессы и их приложения, "Наукова думка11, Киев, 1976.

6. ЕГ. CinicJi. On талкот}- on wi&LHoAy дрй.сл&.Ръос. Сат^г. PW. Sot., 66,m9.

7. А.П.Черенков. Теоремы существования для полумарковских процессов с произвольным множеством состояний. Мат.зам., 3, 1974.

8. R.P^e, R. Schouaft(L. Jfa. extfrte.net anc( uviiiyus-MM of ii&Honiu/ тел.4ишл Markov ummoJI Дин. AfaMa.S-tat. 37, 6

9. M. SA/cU. Мая-W xtnMJai ргооит viUi шШСолц piih&.Ann. Ma.Ui.Sicd.

10. Б.П.Харламов. 0 множестве моментов регенерации случайных процессов. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 41, 1974.

11. Б.П.Харламов. 0 связях сежду случайными кривыми, заменами времени и моментами регенерации случайных процессов. Зап. научн.семин. ЛОМИ, 55, 1976.

12. П.Франкен, А.Штреллер. Стационарные обобщенные регенерирующие процессы. Теор. вер. и ее прим., ХХ1У, I, 1979.

13. А.А.Боровков. Теоремы эргодичности и устойчивости для одного класса стохастических уравнений и их приложения. Теор.вер. и ее прим., ХХШ, 2, 1978.

14. J. Jaxocl. ТкяГоге^ dz VLKowvtUjLtyitYii et cCadiif с cation роил chccinM ^ekwc-m-ftA^-ou^nm^. Аил. Упл£. PoinccsvC. VII, JJ2.J911.

15. Н.П.Бусленко. Моделирование сложных систем. Наука, М., 1968.

16. Н.П.Бусленко, И.Н.Коваленко. О математическом описании элементов сложных систем. ДАН СССР, 187, № 6, 1969.

17. Б.В.Гнеденко. О связи теории суммирования независимых случайных величин с задачами теории массового обслуживания и надежности. Rev. Rou.wi. matk. рстл et appl

18. Е.Б.Дынкин. Марковские процессы. Физматгиз, М., 1963.

19. А.Д.Вентцель. Курс теории случайных процессов. Наука, М., 1975.

20. И.И.Гихман, А.В.Скороход. Введение в теорию случайных процессов. Наука, М., 1965.

21. К.Деллашери. Емкости и случайные процессы. Мир., М., 1975.

22. М. Лоэв. Теория вероятностей. ИЛ, М., 1962.

23. Г.П.Климов. Стохастические системы обслуживания. Наука, М., 1966.24. "D. G-. Kgndciit. vSome. c/i Uul Uvlcxu^ of yueu&l. J.R. 6Ш.Soc. В.,M1S,195-1.

24. M.5. вагбЫ.!. RecMXttHXX ancf. fmt paMftjfc. -iimu. Ptoc. C&mfa. PUl Soc. ^9,1953.

25. И.Ахмаров, Н.П.Леонтьева. Условия сходимости к предельным процессам и усиленный закон больших чисел для систем обслуживания. Теор. вер. и ее прим., XXI, 3, 1976.

26. Дж. Л.Дуб. Вероятностные процессы. ИЛ, М., 1956.

27. С.Ю.Жолков. О радоновых пространствах. ДАН СССР, 262, № 4, 1982.

28. X Ox-to^ S. Шаж. On Uul exigent* of а иллмим. inva^vd u.nduia. tiw{oTM.a.Uoh. Дпп. M&~bk. (2), *f0.

29. П.Биллингсли. Сходимость вероятностных мер. Наука, М., 1977.

30. П.Халмош. Теория меры. ИЛ, М., 1953.

31. К.Куратовский. Топология, т. I. Мир, М., 1966.

32. L. Sckvia/rte. Ra-don. mZQAuneS) on ojiAilxbrbLj -topcZojjCc.a.1 ърьсаъ avici cLjlind-ucal тчмилел . Oxford Un/лг. PxcM. /3/3.

33. Ж.Неве. Математические основы теории вероятностей. Мир, М., 1969.

34. J. DLeudonne. Un zumpfe Miwitxd кдп 4uAC£pfrve d ищ tln^ctuAJL (t^oxmt еГеграс£ compCd. С. R. Accid. Su. Ро/чЬ, 209, Ш.

35. П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. Наука, М., 1977.

36. G. CAcXjuxt. Enozmikh k-avial^tic^uib el k-ioabiiwtM. Awn.^W. Fduiie/t.Gun/Ate 9i

37. M.SiOh. On. ana^bx aefo in iopoCojt'ca? apace*. ТтапА. Avuet. МаШ. Sot. ,96 i960.

38. H. ptofrk. A coiwLiucHon Uthi duesupiive iAwuj dvtb лис/ ^acw. Pxoc. Pt^ujl Aymp. of G-en.bp.aw<^ Модели аичЛ, РыЬь,43С2.

39. А.В.Архангельский, В.И.Пономарев. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. Наука, М., 1974.

40. W. Huxe/urCCY. 2? ил. TUeo-Ut сйл. аУ1и1у,Шс{&п Мшущ. Fund. Maih.^

41. S. Ma^u/Lk&wic?. Elwl piojekiivz Mwyz dm kfa-Mt PCA ш FuMlbhAttoLum, Fund. Math. Ql, 1937.

42. А.Н.Ширяев. Вероятность. Наука, M., 1980.

43. К. Kwtatovwlu . Sua иы цгмгабСыиоп oU. ta шкои d bnaOMttiftul, Fuvtcl. Мь1М.}22,№к.

44. A.H. Si ока. Noyi-4tf)aia£& Handiet*. Rozpzawy МлЯ 28, W2.'

45. В.В.Рыков. Регенерирующие процессы с вложенными периодами регенерации. Кибернетика, № 6, 1975.

46. С.Ю.Жолков, В.В.Рыков. Разложимые регенерирующие процессыв теории массового обслуживания. Труды 1У Всее.школы-совещ. по ТМО, ВНИИСИ, М., 198I.

47. S.Jotkof.V Rykov. OenixcLli^ed ^wjcmtatLVt ръоемзеб ul^ ewfeeWwl xt^ene^fliiiOvL pwiods a.nd Ы\е1г appUcaiCoyi. Мь.Ы\. Орел. Sicd. Opitml-zodiovi)

48. Н.П.Бусленко, В.В.Калашников, И.Н.Коаваленко. Лекции по теории сложных систем. Сов.радио, М., 1973.

49. В.В.Калашников. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций. Наука, М., 1978.

50. С.Ю.Жолков. О стохастической модели агрегативных систем.Сб. трудов семин. по теории сложн.сист. и метод, их модел., ВНИИСИ, М., 1980.

51. Д.Р.Кокс, В.Л.Смит. Теория восстановления. Сов.рацио, М., 1967.

52. Г.Роббинс, Д.Сигмунд, И.Чао. Теория оптимальных правил остановки. Наука, М., 1977.

53. J. L. Doo£ • iUcruj faWi-tM. point of viztf 6<f- UVL Uuo^ ofTТАИЛ. AwUL/l. Ma.-0i.Soc. 63.W*.

54. B.B.Конюховский. Асимптотика моментов числа восстановлений. В сб.: Мат. вопр. упр. пр-вом, вып. 2, изд. МГУ, М., 1970.

55. С.Ю.Жолков. Некоторые предельные теоремы для нерекуррентных процессов восстановления и вложенного восстановления. Труды 1У Всес. школы-совещ. по ТМО, ВНИИСИ, М., 1981.

56. А.А.Боровков. Теория вероятностей. Наука, М., 1976.

57. Ha-tot^ Иггот^а. Sowl iktoчлш Сн an witndtd ие.пш-а1 I} Koc(cu Haik. Rn/>U. Ht3,№3.