автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование равновесных состояний нелинейных систем с мультипликативным взаимодействием процессов

На правах рукописи

Тушин Александр Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ПРОЦЕССОВ

Специальность: 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 я НОЯ 2013

Москва-2013

005541141

005541141

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ» на кафедре управления и информатики.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор Державин Отто Михайлович доктор технических наук, профессор кафедры «Проблемы управления» МГТУ МИРЭА Романов Михаил Петрович кандидат технических наук, доцент кафедры «Системы автоматического управления и контроля» Национального исследовательского университета «МИЭТ» Тарасова Галина Ивановна Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технологический университет «Станкин»

Защита состоится «19» декабря 2013 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.157.08 при ФГБОУ ВПО «НИУ МЭИ» по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д.14, Малый актовый зал МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «НИУ МЭИ».

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим присылать по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д.14, Учёный совет МЭИ.

Автореферат разослан « /У » НелЬ^Х 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.08 кандидат технических наук, доцент

Анисимов Д.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Модели нелинейных динамических систем с мультипликативными взаимодействиями процессов широко распространены на практике и встречаются при описании объектов и систем различной физической природы. Они часто встречаются при описании процессов в электромеханических системах, при исследовании динамики твердого тела, геомагнитного поля и атмосферных процессов Земли, исследовании процессов в экологических системах, при системном анализе заболеваемости, описании динамики химических процессов и в других случаях.

Известные подходы к исследованию процессов в данных системах базируются, в основном, на результатах имитационного моделирования. В ряде работ, посвященных анализу технических объектов, производится линеаризация моделей с последующим использованием линейной теории управления для исследования динамики в малой окрестности установившихся режимов. Анализ модели с помощью более общих методов исследования нелинейных систем имеет место лишь в отдельных работах (второй метод Ляпунова).

Несмотря на распространенность систем с мультипликативными связями процессов, они не рассматриваются с позиций единого класса нелинейных систем. Отсутствует анализ возможностей и особенностей применения наиболее распространенных классических методов исследования нелинейных систем при исследовании объектов данного класса. Значимость этой задачи определяется также целесообразностью распространения методов исследования нелинейных технических систем на системы другой природы, порождающие при описании модели мультипликативного типа. Поэтому задача разработки обобщенной модели систем с мультипликативными взаимодействиями процессов и исследование особенностей ее динамики является актуальной.

Цель работы. Разработка обобщенной модели и исследование ' равновесных состояний динамических объектов с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного характера.

Основные задачи. Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

1. Анализ математического описания объектов и систем различной физической природы с мультипликативным взаимодействием процессов и разработка их обобщенной модели.

2. Исследование влияния мультипликативных связей переменных на динамические свойства модели.

3. Исследование динамики систем при малых отклонениях от положения равновесия.

4. Исследование устойчивости в большом равновесных положений мультипликативных систем.

5. Исследование периодических режимов мультипликативных систем.

Методы исследования — теория управления, теория дифференциальных

уравнений, функциональный анализ, имитационное моделирование.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана обобщенная модель динамических систем различной физической природы с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного характера и получены зависимости общих динамических свойств модели от масштабного соотношения линейной и мультипликативной компонент ее уравнений в нормальной форме Коши.

2. Разработана общая классификационная таблица для мультипликативных систем второго порядка, устанавливающая возможные типы динамики системы в окрестности особых точек в зависимости от параметров ее модели.

3. Для мультипликативных систем предложена модифицированная форма квадратичной функции Ляпунова, позволяющая увеличить точность оценки размера области выполнения условий устойчивости по второму методу Ляпунова по сравнению с оптимальной квадратичной формой.

4. Показана возможность распространения на системы с нелинейным элементом мультипликативного типа метода гармонического баланса исследования периодических режимов. Для модели общего вида получены уравнения гармонического баланса по основной гармонике с постоянной составляющей и предложен графоаналитический метод их решения, оперирующий с характеристиками только линейных звеньев исходной модели.

Практическая значимость полученных результатов состоит в

следующем:

• Основные теоретические результаты работы доведены до уровня их практического применения (методики применения, классификационные таблицы).

• Разработан программный модуль, позволяющий на основе полученных результатов проводить исследования возможных установившихся режимов, определять их устойчивость с нахождением областей устойчивости, определять наличие автоколебаний с нахождением их параметров.

Достоверность полученных результатов. Обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается результатами имитационного моделирования, сравнением с известными экспериментальными данными, а также сопоставлением полученных в работе результатов с результатами, полученными для частных случаев другими исследователями, представленными в литературных источниках.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на трех научно-технических конференциях и семинарах и опубликованы в 6 печатных работах, включая 2 статьи в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемых источников. Текст диссертации изложен на 136 страницах. Список литературы включает 76 наименований. В работе содержится 34 рисунка и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы: обоснована ее актуальность, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и ее практическая полезность.

В первой главе приводятся результаты анализа литературных источников, посвященных системам с мультипликативными связями процессов. Нелинейные динамические системы данного типа встречаются в различных областях: электромеханике, теоретической механике, при описании физических процессов в атмосфере, экологии, биологии, химии и других областях. Исследование систем проводится с позиций анализа их математического описания, методов исследования, динамических свойств. В результате анализа сформулированы цель работы и основные решаемые в ней задачи.

Анализ моделей различных объектов показал, что математическое описание нелинейных динамических систем с мультипликативными связями процессов может быть представлено единой обобщенной моделью в нормальной форме Коши следующего вида:

<1х П П_1 п

= + ^ ^ КкХуХк1 £ = !7та (1)

Далее в первой главе рассматриваются некоторые общие свойства обобщенной модели мультипликативных систем.

Особенность структуры модели (1), а именно наличие суммы линейной и нелинейной форм в правых частях уравнений, определяет интерес к вопросу влияния их соотношения на динамику системы. Формализация данной задачи и ее решение проводилось путем сравнения модели (1) с моделью, отличающейся масштабами коэффициентов при линейной и нелинейной формах, следующего вида:

П 71-1 п

"¿r = ZCi''yi + Z X i = (2)

} =1 V=1 fc=v + l

Пусть в системе (2) коэффициенты отличаются от системы (1) масштабом нелинейной части:

сц = аи, 4k = rKk> г* 0 - const. (3)

После подстановки соотношений (3) в (2) получаем систему, которая с точностью до обозначения rys = xs совпадает с системой (1). Отсюда следует, что:

• Количество особых точек в модели (2) по сравнению с (1) не'изменяется; координаты особых точек в фазовом пространстве для различных г изменяются по прямым, соединяющим их с началом координат, обратно пропорционально коэффициенту г.

• Процессы модели (2) отличаются от процессов модели (1) только масштабами по оси ординат в г-1 раз.

• Суждения об устойчивости особых точек модели (2) не изменяются относительно их свойств устойчивости в модели (1).

• Области устойчивости или неустойчивости особых точек изменяются обратно пропорционально масштабному коэффициенту г.

Если коэффициенты систем (1) и (2) отличаются масштабом линейных частей:

cij = may, 4k = blk> тФО- const. (4)

To после подстановки значений (4) в систему (2), последняя приводится к виду:

V J j=1 V=1 fc=v+l

Ее сравнение с системой (2) с учетом (3) позволяет заключить, что для системы (5) сохраняется справедливость всех выводов, сделанных относительно (2) с учетом (3), если положить г = т"1. Кроме того, в данном случае в т раз будут отличаться не только значения процессов моделей (5) и (1), но и масштаб их времени.

В общем случае, когда параметры моделей (1) и (2) отличаются масштабами как линейной, так и нелинейной форм:

су = mat], dlvk = lblvk, т, I * 0 - const (6)

выводы о динамике системы (2) с учетом (6) соответствуют выводам,

полученным для системы (5), если принять г = гггН.

Далее рассматривается модель (1) с разложением нелинейных функций

модели в ряд Тейлора в особой точке х°, которая имеет вид: п п-1 п

a(AXi) sr1 V V" ■ _

dt =2_laijAxi +/-, 2_j Kkbxvkxk, i = l,n (7)

j=1 v=lk=v+l

n

где ciij = ay + ^ Как следует из (7) разложение в ряд Тейлора

S=1

ограничивается членами только второго порядка, число которых не превышает значения ^п(п — 1), а структура модели (7) полностью сохраняет структуру исходной модели (1).

В работе показывается, что преобразование исходной модели (1) к модели в отклонениях переменных щ (i = 1,п) от особой точки получаемое заменой переменных Xi = + щ, приводит последнюю к виду, совпадающему с (7) при Axt = щ, i = 1, п.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости равновесных положений при малых отклонениях от них переменных. Задача решается с помощью первого метода Ляпунова. Исследование устойчивости основывается на модели первого приближения, получаемой из модели (7) отбрасыванием нелинейных членов уравнений:

= УаиАх;Л=й1 или = (8)

М U dt

Как известно, для устойчивости положения равновесия в некритических случаях необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы (8) были отрицательными.

В работе проведено исследование устойчивости в малом положений равновесия нелинейной мультипликативной системы второго порядка общего вида:

(йх1 , .

| = апхг + а12х2 + Ь\2хгхг

\ &х2 сИ

— 0-21^1 + а22Х2 "I"

Показано, что в системах второго порядка имеют место две особые точки -тривиальная и смещенная, выражения для координат которых могут быть представлены в общем виде:

-01 -02 ( \А\ И|\

где

а12\ в_(а11 ЬЬ\ г _(¿12 £112 а22)'"-{а21 ЬУ' - [ь!2 а22 определители соответствующих матриц.

А = (й11

А и21

(10)

\А\. |В|. |С| -

Характеристическое уравнение для модели первого приближения имеет вид:

I2 -(ТгА)1+\А\ =0 где Тг А- след матрицы А.

Согласно критерию Гурвица, условия устойчивости в малом ймеют вид: ТгА < 0, > 0 для тривиальной особой точки и р > 0, |А| <0 для смещенной а12\В\2+а21\С\2 |В||С|

Таблица 1

особой точки, где р = ■

Тип особой точки Тривиальная Смещенная

уст. узел |Л| > 0,ТгА < 0, (ТгА)2 > 4|Л| |Л| <0,р>0,р2 <4\А\

уст. фокус |Л| > 0,ТгА < 0, (ТгА)2 < МА\ \А\ < 0,р > 0,р2 > 4|А|

седло \А\<0,ТгА*0 |Л| > 0,р * 0

неуст. фокус \А\ > 0,ТгА > 0,(ТгА)2 < 4\А\ |А| < 0,р < 0,р2 > 4|Л|

неуст. узел \А\ > 0,ТгА > 0,(ТгА)2 > 4|Л| |Л| < 0, р < 0,р2 < 4\А\

Анализ условий устойчивости позволил для некритических случаев произвести классификацию особых точек (10) по всем возможным видам динамики системы в их малой окрестности. Таблица 1 устанавливает связь условий на параметры модели (9) с типом каждой особой точки. Из нее следует, что обе особые точки не могут быть одновременно устойчивыми. При этом, одна из неустойчивых точек всегда является «седлом», в то время как вторая может иметь тип «фокус» или «узел».

Далее во второй главе проводится исследование двух типов моделей мультипликативных систем высокого порядка, распространенных на практике. Первая модель произвольного порядка описывает физические системы, характеризующиеся нелинейным взаимодействием двух процессов:

йх П

= ^Г Оу X] + Ь&^Хг, £ = 1, п (11)

; = 1 1 Получены в общем виде выражения для координат особых точек системы (11):

—01 7Г -02 ( \А\ |Л| \А№\ |Л||/д\

* ,х "I ш' 1^1' '"' -кт)

где матрица Р] образуется путем замены ) — го столбца матрицы А элементами столбца коэффициентов при нелинейных членах уравнений.

Согласно (12) следует, что в системе (11) произвольного порядка существует два положения равновесия, соответствующие тривиальной и смещенной особым точкам. Перейдя к модели первого приближения и составив для него характеристическое уравнение, можно найти условия устойчивости в малом особых точек. Например, для систем четвертого порядка эти условия имеют вид:

ТгА< 0, 2>>0, |Л| > 0, ТгА^АЦ < й, йЫ-ТгА^Ац ) > (ГгЛ)2|л|

¡=1 1=1 \ ¡=1 / >

где й = 1((ТгА) - ЗТгА2ТгА + 2ТгА3*), Аи - минор элемента аи матрицы Л. Для систем третьего порядка условия устойчивости представляются следующим образом:

п п

ТгА< О, |л|>0, ТгА^Аа<\А\

¡=1 ¡=1 Их анализ показал, что в данном случае система имеет либо одно устойчивое положение равновесия, либо не имеет ни одного.

Другая из рассмотренных систем описывается моделью третьего порядка, нелинейные формы которой не содержат переменные, соответствующие производной уравнения:

= а11х1 + ^>23Х2Х3

^ = а22х2 + Ь13хгх3 (13) ■

¿х3 з

— &33Х3 + °12Х1Х2

В работе получено, что при выполнении условия: sign ^ = sign = sign система (13) имеет пять положений равновесия, соответствующих особым точкам с координатами:

х01 = (0; 0; 0); ~х2 = {-т^, т2; т3); х03 = (?%; ш2; -т3); x0i = (m*; - т2; т3У, х05 = (-т^ -т2; -т3) где mi = (sign|i)-J|g, ш2=Щ, m3= JgjJ. При нарушении

данных условий система имеет одно положение равновесия, соответствующее тривиальной особой точке. Исследование устойчивости особых точек показало, что смещенные особые точки являются неустойчивыми, а устойчивость точки х01 имеет место при выполнении условий: а1г < 0, а2г < 0, а33 < 0.

Третья глава посвящена исследованию областей устойчивости равновесных положений на основе второго метода Ляпунова. Вначале рассматривается возможность использования для нелинейных систем мультипликативного типа функции Ляпунова вида квадратичной ф<}рмы:

V(x) = х TQx, (14)

где Q = - симметрическая положительно определенная матрица порядка п. Условия теоремы Ляпунова выполняются если:

= xT(ATQ + QA)x < 0 (15)

at

Решение общей задачи исследования областей устойчивости положений равновесия будет проводиться в два этапа. На первом этапе производится выбор оптимальных в смысле введенного критерия параметров квадратичной формы функции Ляпунова. На втором этапе для полученной квадратичной формы в соответствии с введенными оценками производится определение истинной области устойчивости.

В работе разработана процедура нахождения наилучших параметров квадратичной формы. В качестве оценки области выполнения условий теоремы Ляпунова (14), (15) принят максимальный объем Р гиперэллипса с центром в особой точке, полностью лежащий в данной области:

0п ч ц

J (16)

где ак (к = 1 ,п) - полуоси гиперэллипса, Г - гамма-функция.

Тогда решение задачи первого этапа наилучшего выбора параметров qу

матрицы Q квадратичной формы (14) может быть сведено к решению

следующей оптимизационной задачи: найти значения параметров Цц квадратичной формы (14), обеспечивающих максимум объема Р гиперэллипса, вписанного в область выполнения условий (15). Формализация задачи может быть представлена в следующем виде:

_ I?3*- (17)

при выполнении Лей, где Н = > < о] - область х выполнения условий теоремы

Ляпунова; к-<х\х- =

V ¡=1 1

- множество х, принадлежащих

поверхности гиперэллипса, М = [тГ5]" - матрица с элементами, определяемыми направляющими косинусами углов 0„ (г> = 1,п — 1) между направлениями осей гиперэллипса и осями системы координат; а = (а1,...)ап)г,ч = (д11,...,чпп)7',0 = (01,...,0П_1)Г; С,В,? - области допустимых значений параметров а, ц, 0 соответственно.

Наряду с оценкой (16) в работе рассматривается более простая оценка в виде величины радиуса Я гиперсферы с центром в особой точке, вписанной в данную область, показывающая минимальное расстояние от особой точки до границы выполнения условий (15). Оптимизационная задача нахождения наилучших параметров квадратичной формы с применением данной оценки существенно упрощается по сравнению с (17):

(18)

Я -¥ шах

дев

при выполнении Л' с Н, где Н' =

¡=1 )

множество х,

принадлежащих поверхности гиперсферы.

На втором этапе для полученных параметров квадратичной формы проводится определение области устойчивости с использованием оценки вида (16). Решается задача нахождения максимального объема гиперэллипса, вписанного в область выполнения условий теоремы Ляпунова для полученной квадратичной формы, при условии сходимости к особой точке всех процессов с начальными значениями, соответствующими множеству точек, ограниченных поверхностью гиперэллипса. В работе показано, что условие сходимости процессов, порожденных начальными условиями, соответствующих внутренним точкам гиперэллипса, будет выполняться, если оно выполняется

для множества точек его поверхности. Тогда решаемая задача может быть представлена следующим образом:

Р Гд*, а, 0) -» тах (19)

аеС,0еР

при выполнении К с. Н и ||х|| -> 0 при Ь -» со для всех х(.0)ек, где - найденные на первом этапе параметры квадратичной формы. Оценка области Рк° соответствует максимальному значению критерия (19). Аналогично в работе введена оценка области устойчивости вида гиперсферы с радиусом

На модельных примерах было проведено сравнение областей устойчивости, соответствующих оптимальным параметрам квадратичной формы, найденных по критериям (17) и (18). Так для системы:

Г(1Хл

= -2Х, + Зх2 - 0,5хгх2

(20)

I йх2

—— -хг- 4х2 + 1,1X1*2 ах

функции Ляпунова (14), полученные по критериям гиперэллипса и гиперсферы, имеют параметры 7(х) = 0,7x1 + 0,81х1х2 + 0,33х| и У(х') = 0,76x1 + 1,04ххх2 + 0,44х| соответственно. Фазовый портрет (20) представлен для каждой из них на рис. 1, где пунктирными линиями обозначены расходящиеся процессы, сплошными - сходящиеся, а области невыполнения условий теоремы Ляпунова отмечены серым цветом.

Рис.1 Фазовый портрет системы (20) с областью К, полученной по критерию (17) и (18) на левом и правом графике соответственно. Сравнение результатов с помощью обеих оценок показало преимущество оптимизации по критерию (17) (увеличение Р° в 3 раза и в 4 раза).

Для уменьшения жесткости достаточных условий второго метода Ляпунова в работе предложена модифицированная квадратичная форма функции Ляпунова вида:

У(х) = х Ох + х2 Кх2

(21)

где (},К - симметрические положительно определенные матрицы порядка п.

Критерии оптимальности гиперэллипса и гиперсферы для функции (21) аналогичны критериям (17) и (18) за исключением того, что оптимизация идет по элементам как матрицы (}, так и матрицы К: Р -» _ шах _

при выполнении Л с Я.

где к = (ки,..., кпп)т, в - область допустимых значений к, с сохранением остальных обозначений совпадающих с (17). Оценку области сходимости по (22) обозначим Рм°.

Как показали исследования различных моделей, оптимальная модифицированная квадратичная форма функции Ляпунова улучшает оценки области сходимости в смысле ее размера по сравнению с оптимальной квадратичной формой. Так, например, для модели (20) оптимальная функция (21) имеет вид У(х) = 0,73x1 + 0,94хгхг + 0,бх| + 0,08x^1, а область устойчивости, оцениваемая по (16), возросла (рис. 2) с Рк° - 88,6 до Р° -128,2 и составила 94% от истиной области устойчивости, которая равна Рг — 135,7. Обозначения на рис. 2 совпадают с обозначениям на рис. 1.

Рис.2 Фазовый портрет системы (20) с областью к, полученной по критерию гиперэллипса для функции Ляпунова (21).

Исследование других систем, в том числе и более высокого порядка, также подтвердило, что модифицированная квадратичная форма функции Ляпунова дает лучшие в смысле размера оценок области устойчивости результаты по сравнению квадратичной формой. Рассмотренные в работе примеры показали для функции (21) улучшение до 50% оценок области сходимости, более того они близки к оценкам истинной области устойчивости, а именно составляют от нее более 80%.

В четвертой главе рассматривается применение метода гармонического баланса для определения периодических режимов и их параметров в системах с

нелинейным элементом мультипликативного типа. В общем виде такая система представлена следующей структурной схемой:

Нелинейный элемент

ад)

~1У1 &

Щ(.р)

Уз

ШV)

У2

I____

Рис. 3 Структурная схема системы общего вида с одним нелинейным элементом мультипликативного типа.

Особенность нелинейного элемента, описываемого уравнением г(£) = Ух(О ■ Уг(0< заключается в наличии не одного, а двух входов. Кроме того, для нелинейного элемента нельзя построить эквивалентный комплексный коэффициент усиления в классическом определении, поскольку при подаче на его входы гармонического сигнала определенной частоты, на его выходе гармонические составляющие данной частоты будут отсутствовать. Поэтому в методе гармонического баланса входные сигналы нелинейного элемента должны рассматриваться как гармонические сигналы в совокупности с постоянными составляющими.

Рассмотрение прохождения гармонического сигнала с постоянной составляющей х(£) = а + А бш &)£ по замкнутому контуру (рис. 3) приводит к тригонометрическому уравнению относительно искомых параметров автоколебаний. Выделяя в нем постоянную составляющую, синусные и косинусные составляющие первой гармоники и приравнивая их нулю, получена система уравнений гармонического баланса, которая после преобразований может быть приведена к следующему виду: (1т]ЛГ0<о) = 0 1 + ак1к2 Яе IV(]ы) = О ,23)

1 _ а + кгк2а2 + -к^А2 = О

где Ш(р) = Ж1(р)Ж2(р) + и = к^/^ш), Щ(]ш)\ш=0 = 1.

В работе предложены два метода решения уравнений гармонического баланса. Первый - аналитический. Исходная система уравнений автоколебаний, приводимая к виду (23) позволяет предложить алгоритм определения

параметров ее решений (значений постоянной составляющей а?, амплитуды Av и частоты <uv), сводящийся к решению только одного уравнения:

1. из решения первого уравнения определяются значения частот cúv возможных периодических процессов;

2. значения постоянных составляющих av при известных значениях частот cov вычисляются по соотношению, вытекающему из второго уравнения:

Ov = ~[к\к2 ReWOv)]-1

3. амплитуды гармонических решений Av при найденных значениях а» и a)v, находится по соотношению, вытекающему из третьего уравнения:

А = 1-2 (Оу + kik¡^)

krk2 RCW2(joúv)

Второй метод решения уравнений гармонического баланса графоаналитический (рис. 4):

1. для нахождения решений строится годограф W(joi)-,

2. частоты cúv находятся как частоты, на которых годограф W(Jai) пересекается с вещественной осью;

3. абсциссы точек пересечения дают значения ReW(jcov) Для определения постоянной составляющей а,,;

4. значения амплитуд вычисляются из последнего соотношения в (23). Отсюда, в частности, следует, что необходимым условием наличия решений уравнений гармонического баланса является требование, чтобы годограф W(J(ü) имел пересечения с вещественной осью, при со Ф 0 и со Ф оо.

Для систем с одним нелинейным элементом в работе получены уравнения гармонического баланса, с учетом не только основной, но и второй гармоники сигнала, то есть для решения вида: x(t) = а + A sincot + В sin[2wt + /?].

> » lmW(jw)

RelVO^)/^^0'^

\о)! b>2 — Re W(jo)

W(jc¿)

Рис. 4 Графоаналитическое определение решений системы (23).

Из уравнений гармонического баланса, как по основной гармонике, так и с учетом второй, следует, что определение наличия периодических решений и их параметров производится без привлечения специальных характеристик нелинейного элемента типа эквивалентного комплексного коэффициента усиления, а только на основании характеристик линейных элементов модели.

Проверки полученных результатов проводилась путем сравнения решений уравнений гармонического баланса как по основной гармонике, так и с учетом второй гармоники с результатами имитационного моделирования, а также с известной информацией из литературы по некоторым моделям. Так для модели межвидовой конкуренции Вольтерра-Лотки:

(Лх

— = ах — сух йу

в литературе приведены параметры, при которых существуют периодические режимы. Решения уравнений гармонического баланса подтвердили наличие периодических движений в системе, у которых амплитуда А принймает любое значение при сохранении одинаковыми других параметров сигнала. Сравнительная картина результатов, полученных путем решения уравнений гармонического баланса и моделирования процессов, приведена в таблице 2.

Таблица 2.

Параметры процесса х(Ь) а CÚ

Решение по первой гармонике -2 2,45

Решение с учетом второй гармоники -1,62 2,57

Моделирование процесса х(р) -1,78 2,24

Как следует из таблицы 2, найденные из уравнений гармонического баланса параметры автоколебаний отличаются от полученных путем имитационного моделирования в пределах 15%.

В работе показана возможность исследования методом гармонического баланса автоколебаний мультипликативных систем с несколькими нелинейными элементами. Так для модели (13) с тремя нелинейными элементами получены уравнения гармонического баланса, как по первой, так и с учетом второй гармоники сигнала. При значениях параметров ап = 1, а22 = —2, а33 = —3, Ь\з — 2, ¿13 = —3, bf2 = —2 оба типа уравнений гармонического баланса дают по четыре периодических решения по основной гармонике и с учетом второй, соответственно: x°r(t) = a¡ + sin cú¡t , (s = t3) и x°r (t) = ars+Ars sin(úrst + 8J sin(2cujt + /?J),(s = 1^3), где r = 1Д -номер решения.

На рис. 5 приведены временные графики процесса х®1 первого решения, полученные путем моделирования (сплошная толстая линия), из уравнений по основной гармонике (сплошная тонкая), и из уравнений с учетом второй гармоники (пунктирная).

Сравнительная картина параметров данных процессов приведена в таблице 3. Из нее следует, что значения постоянной составляющей по уравнениям получаются завышенными в два раза. Однако погрешность определения основных параметров - максимального значения и частоты автоколебаний — при расчете по основной гармонике лежит в пределах 75-80% и существенно снижается при учете второй гармоники до 32-34%.

Таблица 3.

Параметры процесса 1 а тах*!1 й)

Решение по первой гармонике 0,59 0,59 0,64

Решение с учетом второй гармоники 0,6 , 3,01 2,32

Моделирование процесса 0,31 2,25 3,43

В пятой главе приводится программный модуль к среде МАТЪАВ, который позволяет проводить следующие исследования нелинейных систем мультипликативного типа: в графическом режиме задавать параметры динамической системы; найти значения координат всех равновесных состояний; определить их устойчивость; построить фазовый портрет системы в окрестностях каждой особой; найти значения параметров модифицированной функции Ляпунова и полученные на ее основе оценки области устойчивости; определить наличие периодических решений и найти их параметры.

Пример интерфейса модуля с выбранными режимами исследования и значениями параметров исследуемой модели представлен на рис. б.

Рис. 6 Графический интерфейс модуля. С помощью программного модуля произведено исследование системы гарантированного питания типа «двигатель постоянного тока - синхронный генератор» с управлением по току возбуждения:

= -141'я - 0,025(яш - 421всо + 24 • 103 • ^ = 0,0212гя - 8,351В + 3,29024<у - 2,88 • 10"61> - 1045,7 (24)

= 2 • 10-5г'| + 0,033б1я1в - 16,2664

Задача исследования заключается в определении области начальных значений переменных, которые гарантировали бы устойчивую динамику выхода в рабочий режим. У модели (24) возможно четыре положения равновесия с координатами: х01 = (¿я = 336,03; гв = 1,24; со - 318,9); х02 = (13 9 6,23; -0,48; 307,99); х03 = (-3,81; -127,02; -4,51); х04 = (11,4 ■ 105; -680; -90 ■ 107), из которых х01 и х03 являются устойчивыми. Интерес представляет только положение равновесие х01, соответствующее рабочему режиму системы. С практической точки зрения интересен диапазон частот со, на котором система сходится к рабочему режиму. Для определения этого интервала произведена оценка области устойчивости положения равновесия х01 по модифицированной квадратичной форме и критерию оптимальности ее параметров в виде гиперэллипса.

В таблице 4 представлено сравнение областей сходимости полученных с помощью модифицированной квадратичной формы Ляпунова и по результатам имитационного моделирования системы. Расхождение этих оценок на нижней границе диапазона составляет 0,4%, на верхней - 6%.

Таблица 4.

Оценка области устойчивости со

Оптимальная модифицированная форма функции Ляпунова 309,9 328

Моделирование системы 308,5 - 347,3

Модуль позволил определить границы области сходимости процессов, не прибегая разработке имитационной модели системы (24).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана обобщенная модель динамических систем различной физической природы с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного характера. Получены зависимости общих динамических свойств модели от масштабного соотношения линейной и мультипликативной компонент ее уравнений в нормальной форме Коши.

2. Разработана общая классификационная таблица для мультипликативных систем второго порядка, устанавливающая возможные типы динамики системы в окрестности особых точек в зависимости от параметров ее модели. Для двух распространенных моделей высокого порядка проведено исследование возможных установившихся режимов и их устойчивости при малых отклонениях.

3. Разработан алгоритм нахождения для мультипликативных систем параметров функции Ляпунова вида квадратичной формы, оптимальных в смысле критерия размера области выполнения условий устойчивости, согласно второго метода Ляпунова.

4. Для мультипликативных систем предложена модифицированная форма функции Ляпунова, позволяющая увеличить до 50% по сравнению с оптимальной квадратичной величину оценки области выполнения условий устойчивости по второму методу Ляпунова.

5. Метод гармонического баланса исследования периодических режимов распространен на исследование замкнутых систем с нелинейным элементом мультипликативного типа. Получены уравнения гармонического баланса по постоянной составляющей и основной гармонике и предложен графоаналитический метод их решения, оперирующий с характеристиками только линейных звеньев модели.

6. Получены уравнения гармонического баланса, учитывающие помимо постоянной составляющей и основной гармоники наличие второй гармоники сигналов и также использующие характеристики только линейных звеньев модели системы.

7. Разработан программный модуль для системы МАТЬАВ, позволяющий проводить исследование равновесных состояний динамических систем с мультипликативными связями процессов.

8. Для системы типа «двигатель постоянного тока - синхронный генератор» определена область начальных условий, гарантирующая устойчивый переход процессов в установившийся режим.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Державин О.М., Тушин A.C. Некоторые свойства нелинейных динамических систем с мультипликативными связями переменных // Вестник МЭИ.- 2012 г.- №5.- С. 73-79.

2. Державин О.М., Тушин A.C. Об исследовании устойчивости нелинейных систем мультипликативного типа // Вестник МЭИ .2012 г.- №6.- С. 198-203.

3. Державин О.М., Тушин A.C. О динамике нелинейной системы с мультипликативными связями переменных. Международный форум информатизации "МФИ-2010": Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии". В 3 т. Т.З. -М.: Изд-во МЭИ, 2010 г. - С. 280-289.

4. Державин О.М., Тушин A.C. Исследование устойчивости равновесных состояний нелинейных систем с мультипликативными связями. Международный форум информатизации "МФИ-2011": Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии". В 3 т. Т.1. - М.: Изд-во МЭИ, 2011 г. - С. 142148.

5. Державин О.М., Тушин A.C. Исследование областей устойчивости нелинейных динамических систем мультипликативного типа. Международный форум информатизации "МФИ-2012": Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии". В 3 т. Т.З. -М.: Изд-во МЭИ, 2012 г. - С. 33-38.

6. Державин О.М., Тушин A.C. О подобии процессов в нелинейных мультипликативных системах. Международный научно-технический семинар «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (ХХП;2013;Алушта): Труды / Моск. авиац. ин-т им. С. Орджоникидзе (МАИ) и др. - М. : Научтехлитиздат, 2013 г. - С. 75-76.

Подписано в печать 06'fl'Л 043 Г. Зак.41б" Тир. Ю0 П.л Ш Полиграфический центр МЭИ, Красноказарменная ул., д.13 -

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ»

На правах рукописи

04201450405

Тушин Александр Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ПРОЦЕССОВ

Специальность: 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка

информации (по отраслям)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Державин О. М.

Москва 2013г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................5

1. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ..........9

1.1. Динамические системы с нелинейными взаимодействиями процессов мультипликативного типа................................................................9

1.2. Общие свойства моделей мультипликативных систем.....................21

1.2.1. Модель в отклонениях относительно произвольной особой точки..............................................................................................................23

1.2.2. Модель системы с учетом постоянного воздействия..................26

1.2.3. Модель первого приближения.......................................................29

1.2.4. Влияние на динамику соотношений линейной и нелинейной форм модели..................................................................................................30

1.3. Выводы по главе 1.................................................................................36

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЯХ ОТ НИХ........................................................................................................................38

2.1. Общие исходные соотношения исследования устойчивости в малом мультипликативных систем.............................................................................38

2.2. Исследование устойчивости в малом положений равновесия модели общего вида мультипликативной системы второго порядка.......................41

2.2.1. Определение особых точек............................................................41

2.2.2. Нахождение условий устойчивости особых точек и динамики процессов в их окрестностях.......................................................................43

2.2.3. Классификация особых точек и нахождение соответствующих условий на параметры системы...................................................................46

2.3. Исследование устойчивости положений равновесия системы произвольного порядка с мультипликативной нелинейностью одного типа....................................................................................................................53

2.4. Исследование модели с мультипликативной связью «чужих» переменных в уравнениях................................................................................60

2.5. Выводы по главе 2.................................................................................68

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ ВТОРЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА...........................................................................................................71

3.1. Исследование устойчивости с помощью функции Ляпунова вида квадратичной формы........................................................................................71

3.2. Постановка и решение задачи наилучшего выбора параметров квадратичной формы функции Ляпунова.......................................................74

3.3. Определение областей устойчивости с помощью квадратичной формы функции Ляпунова...............................................................................77

3.4. Разработка и исследование модифицированной функции Ляпунова для мультипликативных систем......................................................................86

3.5. Выводы по главе 3.................................................................................92

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ТИПА...................................................................94

4.1. Особенности нелинейного элемента мультипликативного типа.....94

4.2. Нахождение периодических процессов на основе баланса по постоянной составляющей и основной гармонике сигналов.......................95

4.3. Нахождение периодических процессов с учетом гармонического баланса по второй гармонике.........................................................................100

4.4. Примеры исследования периодических режимов............................102

4.4.1. Исследование модели Вольтерра-Лотки межвидовой конкуренции.................................................................................................102

4.4.2. Исследование системы с несколькими нелинейными элементами мультипликативного типа..........................................................................105

4.5. Выводы по главе 4...............................................................................110

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ.............................................................................................112

5.1. Разработка программного модуля МАТЬАВ исследования нелинейных систем с мультипликативными связями переменных...........112

5.2. Определение допустимых режимов работы системы гарантированного питания.............................................................................121

5.3. Выводы по главе 5...............................................................................125

3

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ................................................128

ПРИЛОЖЕНИЕ...................................................................................................135

ВВЕДЕНИЕ

Цель диссертации состоит в разработке обобщенной модели и исследовании равновесных состояний динамических объектов с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного характера.

Актуальность работы. Модели нелинейных динамических систем с мультипликативными взаимодействиями процессов широко распространены на практике и встречаются при описании объектов и систем различной физической природы. Они часто встречаются при описании процессов в электромеханических системах, при исследовании динамики твердого тела, геомагнитного поля и атмосферных процессов Земли, исследовании процессов в экологических системах, при системном анализе заболеваемости, исследовании динамики химических процессов и в других случаях.

Известные подходы к исследованию процессов в данных системах базируются, в основном, на результатах имитационного моделирования. В ряде работ, посвященных анализу технических объектов, производится линеаризация моделей с последующим использованием линейной теории управления для исследования динамики в малой окрестности установившихся режимов. Анализ модели с помощью более общих методов исследования нелинейных систем имеет место лишь в отдельных работах (второй метод Ляпунова).

Несмотря на распространенность систем с мультипликативными связями процессов, они не рассматриваются с позиций единого класса нелинейных систем. Отсутствует анализ возможностей и особенностей применения наиболее распространенных классических методов исследования нелинейных систем при исследовании объектов данного класса. Значимость этой задачи определяется также целесообразностью рассмотрения методов

исследования нелинейных технических систем на системы другой природы, порождающие при описании модели мультипликативного типа. Поэтому задача разработки обобщенной модели систем с мультипликативными взаимодействиями процессов и изучение особенностей ее динамики является актуальной и в подобной постановке в литературе не встречается.

Задачи диссертации

1. Анализ объектов и систем различной физической природы с мультипликативным взаимодействием процессов и разработка их обобщенной модели.

2. Исследование влияния мультипликативных связей переменных на динамические свойства модели.

3. Исследование динамики систем в малой окрестности от положения равновесия.

4. Исследование устойчивости в большом равновесных положений мультипликативных систем.

5. Исследование периодических режимов мультипликативных систем.

Методы исследования - теория управления, теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, имитационное моделирование.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана обобщенная модель динамических систем различной физической природы с нелинейными взаимодействиями процессов мультипликативного характера. Получены зависимости общих динамических свойств модели от масштабного соотношения линейной и мультипликативной компонент ее уравнений нормальной форме Коши.

2. Разработана общая классификационная таблица для мультипликативных систем второго порядка, устанавливающая связь возможных типов

динамики системы в окрестности особых точек с условиями на параметры ее модели.

3. Для мультипликативных систем предложена модифицированная форма функции Ляпунова, позволяющая существенно увеличить по сравнению с оптимальной квадратичной величину области выполнения условий устойчивости по второму методу Ляпунова.

4. Показана возможность распространения на системы с нелинейным элементом мультипликативного типа метода гармонического баланса исследования периодических режимов. Для модели общего вида получены уравнения гармонического баланса по постоянной составляющей и основной гармонике и предложен графоаналитический метод их решения, оперирующий с характеристиками только линейных звеньев исходной модели.

Практическая значимость результатов

• Основные теоретические результаты работы доведены до уровня их практического применения (методики применения, классификационные таблицы).

• Разработан программный модуль, позволяющий на основе полученных результатов проводить исследования возможных установившихся режимов, определять их устойчивость с нахождением областей устойчивости, определять наличие автоколебаний с нахождением их параметров.

Достоверность полученных результатов. Обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается результатами имитационного моделирования, сравнением с известными экспериментальными данными, а также сопоставлением полученных в работе результатов с результатами, полученными для частных случаев другими исследователями, представленными в литературных источниках.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на трех научно-технических конференциях и семинарах и опубликованы в 6 печатных работах, включая 2 статьи в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемых источников. Текст диссертации изложен на 136 страницах. Список литературы включает 76 наименований. В работе содержится 34 рисунка и 4 таблицы.

1. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Динамические системы с нелинейными взаимодействиями процессов мультипликативного типа

Динамические системы с нелинейным характером взаимодействия процессов имеют широкое распространение на практике. Ниже приведены некоторые из известных моделей.

Электромеханические системы

А. Модель двигателя постоянного тока смешанного возбуждения

В работе [70] исследуется динамика системы гарантированного питания с двигателем постоянного тока при наличии сериесных обмоток, то есть системы: "двигатель постоянного тока смешанного возбуждения — трехфазный генератор". При управлении по возбуждению она описывается следующей системой уравнений:

сИя

ия = 1ягя + ^Я

IИв

ив = ¿вгв + Ьв — + с30)Ц МДВ = (А ¿я + С2£в)£я

мДв=;-^+мст + мг

+ СгШя + С2С01В

(1.1)

1/в = Кус — К2 (с - ^дат^))

где ия, ив - напряжения якоря и обмотки возбуждения соответственно, гя, ¿в -токи якоря и обмотки возбуждения яа) - частота вращения ротора двигателя. Остальные обозначения относятся к константам, определяемым

9

электрическими и механическими параметрами объекта и значениями уставок.

В этой системе момент нагрузки Мг не зависит от частоты вращения со, что предполагает оснащение генератора стабилизатором напряжения. Данное описание двигателя является стандартным и его можно встретить в литературе, посвященной исполнительным двигателям автоматических устройств [32, 33,40, 41, 58].

В работе [70] исследуется устойчивость системы в малой окрестности рабочего режима путем линеаризации модели (1.1) с последующей проверкой переходных процессов на основе (1.1) путем имитационного моделирования.

Путем преобразований систему (1.1) можно привести к виду модели в нормальной форме Коши:

(йхг

dt

= а4х2 + а5х3 + а6х2х 3 + с2 С1-2)

dx2

dt

dxз _ 2

= a7xl + а8Х1Х2 + с3

где хх = iH, х2 = iB, х3 — а> и alt... .clq,^,^, с3 — const. Правые части уравнений модели (1.2) представляют собой сумму двух форм относительно переменных - линейных и нелинейных, с нелинейностями мультипликативного типа.

Б. Модель трехфазного асинхронного двигателя

Еще одним примером электромеханической системы может служить

трехфазный асинхронный двигатель, рассмотренный в работе [4].

Рассматриваемая система представляет собой схему из повышающего

выпрямителя и комбинации "инвертор - асинхронный двигатель". Модель

асинхронного двигателя описывается следующей системой уравнений:

10

сИ5а

(И

(И

лФга

дЛ

¿фгр

ап V

]

= _й2 Ьа + йфга + а3рПфгр + а3Уза = -О-гЬр - О-ъР^Фга + 8фгр +

(1.3)

■ А, ■ Л ? п

га Фг^за) ~у J i¿

где фгсс, фгр — компоненты потока ротора, ¿зсс, ¿5р — компоненты тока статора, П - угловая скорость. Аналогичные системы нелинейных уравнений приводятся в других работах, посвященных управлению асинхронными двигателями [73, 39].

Система (1.3) исследуется путем рассмотрения ее линеаризованной формы в окрестности рабочего режима.

Обозначив ¿5а = хъ = х2 , фга = х3 , фгр = х4 , Л = х5, систему (1.3) можно привести к виду:

( с1х! &хг

йг с1х4

сИ йх5

= а3х2 + я4X4 С15Х3Х5 Н" с2

= Я12Х5 + а13Х2Х з + ^4^X4 + С3

(1.4)

Структура модели (1.4) аналогично модели (1.2). В отличии от нее уравнения системы (1.4) не содержит мультипликативных составляющих с переменной, соответствующей производной уравнения.

В. Модель энергоблока

Так же мультипликативные взаимодействия встречаются в сложных объектах, чья математическая модель имеет более высокий порядок. Примером такого случая может служить модель энергоблока СГ2-500-4У2 [46], которая описывает процессы в энергоблоке и представляет собой систему дифференциальных уравнений двенадцатого порядка:

¿1 йх2

(И

¿х з

£П ~сй

¿X 5

¿г

¿хь dt йх7

ИГ

с1х8

йх9

— Яц*! + 0^12-^2 "I" а13Х3 а14х4 ^412*4*12

= а21х± + а22х 2 + а23х3 + с2 = а31Х! + а32х2 + а33х3

= 0^41^1 + Я44Х4 + £145X5 + Ь^12х^х12

— Я54Х4 + = а67х7

= а78х3

— &86Х6 + а87х7 + а88Х8 + а812*12 + с8

(1.5)

¿х10

(И ¿ХЦ

— а910Х10 + с9

<а

¿х12

— аюи*!! + с10

— а119х9 + а1110х10 + а1Ш^п + Ьх д

— &126Х6 + ^14Х1Х4 + ЬЦХ1Х5 + ^24Х2Х4 "I" ^34*3*4

где q = V(ащ*! + а112х2 + а113х3)2 + (а114х4 + а115х5)2, ^ - х5 - проекции потокосцеплений на оси координат; х6 — х8 - момент турбины, его первая и вторая производная соответственно, х9 - напряжение возбудителя, х10, х1г -внутренние переменные автоматического регулятора вращения, х12 -скольжение. Можно видеть, что не все уравнения в приведенной модели (1.5) содержат нелинейности.

Еще одной особенностью приведенных выше моделей систем в форме Коши, описывающих электромеханические системы, является, за исключением (1.2), наличие собственной составляющей в линейной части всех уравнений.

Модель динамики твердого тела

В работах [10, 16, 38, 36, 37, 43] приводится модель вращения твердого тела относительно неподвижной точки в вязкой среде при отсутствии внешних сил. Принимая форму тела простой, что не приводит к образованию вихрей, описание динамики движения тела при малых угловых скоростях в общем случае имеет вид:

М = М ХАМ + ВМ (1.6)

где М — вектор кинетического момента в системе координат, связанной с телом; А - диагональная матрица размерности 3; В - матрица размерности 3.

Динамика таких систем, как правило, исследуется моделированием. В работах [38, 10, 28] находятся параметры системы (1.6), при которых в фазовом пространстве имеют место движения типа странный аттрактор:

гМг = агМг + а2М2 + а3М2М3

■ М2 = а4М2 + а5М± + а6М1М3 (1.7)

,М3 = а7М3 + а8М1М2

Для модели (1.7) при а2 = а4 = 0 в [38] рассматривается случай системы

Гринхилла [6], в которой траектории стремятся к нулю, оставаясь на

некотором конусе. Там же найдены параметры (1.7), соответствующие

наличию предельного цикла движений в фазовом пространстве.

В работах [22, 38] приводятся условия существования у систем вида (1.6) неавтономных интегралов движения.

В приведенных системах уравнения не содержат мультипликативную составляющую по собственной переменной.

13

Модель Рикитаки

Геомагнитное поле Земли, как показывают исследования [72], имеет случайный характер периодов инверсии и вариации. Такое поведение магнитной оси возникает из-за того, что земное динамо работает в режимах, близких к неустойчивому состоянию. Т. Рикитаки была предложена электромеханическая модель двойного динамо (рис.1), для объяснения процессов в магнитном поле Земли.

Рис. 1. Модель двойного динамо.

При вращении диска 1 со скоростью сх)1 в магнитном поле В в нем возникает ток, направленный от периферии к центру или наоборот, в зависимости от направления а)1 и В. Это в свою очередь приведет к образованию тока 1г в контуре А, который начнет влиять на ток в диске 2. Такое взаимодействие изменит скорость вращения второго диска а)2, а следовательно и возбуждаемого им тока /2. Аналогичным образом диск 2 будет влиять на диск 1. В результате данные процессы можно описать следующей системой уравнений:

(

¿1 т

(И2

■"2 бХ

£¿0)!

к йЬ

&г

(1.8)

= Мш - Мх2\х1г = Му,2