автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование предельных отклонений параметров приземления тяжелых самолетов при автоматической посадке

На правах рукописи

ДЕНИСОВ КИРИЛЛ ГЕННАДЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ПРИЗЕМЛЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ САМОЛЕТОВ ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОСАДКЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ па соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань - 2007

003069617

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им А Н Туполева

11аучный руководи |ель доктор технических наук, доцент Роднищев Николай Егорович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Маликов Александр Иванович

кандидат технических наук, доцент Сомов Евгений Иванович

Ведущая организация Летно-исследоваягельский институт им М М Громова (г Жуковский)

Защита диссертации состоится «18» мая 2007г в 14 часов на заседании диссертационного сонета Д 212 079 01 в Казанском государственном техническом университете им А Н Тупо^ва но адресу 420111, г Казань, ул К Маркса 10, зал заседаний Ученого совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им А Н Туполева

Автореферат разослан «_»_2007г

Ученый секретарь диссертационного совета

д ф м н, профессор

Данилаев П Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Постоянно растущие требования к точности и надежности функционирования тяжелых самолетов и их систем в условиях автоматической посадки приводят к проблеме оценки вероятности предельных отклонений параметров приземления и фазовых координат вектора состояний, характеризующих уровень безопасности приземления

Анализ современного состояния работ по оценке малых вероятностей предельных отклонений параметров и компонент вектора состояний самолета, а также исследования Кузьмина В П и Ярошевского В А показывают, что на данный момент проблема оценки уровня безопасности посадки достаточно полно не решена В основном, для решения этой задачи применяются методы статистических испытаний, различные приближенные методы на основе предположений о нормальном распределении исследуемых характеристик и методы теории диффузионных Марковских процессов

Полномасштабное описание статистического моделирования автоматической посадки самолета БОИНГ 757/767 показывает, что с помощью метода статистических испытаний с достаточно хорошей точностью вычисляются математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение компонент вектора состояний самолета и его систем, тогда как «хвосты» распределений существенно отличаются от гауссовских, которые используются при оценке малых вероятностей предельных отклонений

Методы оценки предельных отклонений на основе диффузионных Марковских процессов строятся, в основном, на приближенном решении уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка относительно плотности распределения траекторий компонент вектора состояний самолета и его систем Однако, основным недостатком этих методов является неопределенность в ответе на вопрос - насколько точно приближение описывает действительную плотность распределения, а также колебательный характер аппроксимаций распределения на «хвостах» В последнее время появились также работы по оценкам оптимальных параметров взлетно-посадочной полосы Кана Ю С, Кибзуна А И, Тимофеевой Г А на основе оптимизации функции квантили и обобщенного доверительного множества в условиях неполной информации, которые используют нормально распределенные случайные величины

Наличие этих обстоятельств обуславливает актуальность разработки новых методов оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета, на основе экстремальных возмущений, позволяющих определить наиболее вероятные предельные отклонения фазовых траекторий и параметров систем

Цель исследования - развитие методов оценки уровня безопасности систем управления самолета на основе теории экстремальных возмущений, позволяющей наиболее точно определить вероятности предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и параметров приземления Разработка современных программных средств решения задач оценки малых вероятностей, определяющих уровень безопасности посадки

Объектами исследования являются стохастические модели процесса автоматической посадки самолета ИЛ96-300 с разнообразной структурой случайных возмущений, учитывающих

• Аддитивные шумы, обусловленные внешними возмущениями ветровыми возмущениями, турбулентностью атмосферы, высокочастотными и низкочастотными радиотехническими помехами системы взлета и посадки и др

• Случайные параметры, учитывающие случайные отклонения конструктивных и энергетических параметров систем самолета, уклона ВЕЛ, искривления радиосигнальных зон, залегания курсовой зоны, интервал времени выравнивания самолета и др

Задачи исследования

•Изучение состояния вопроса по методам оценки предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и параметров его систем

•Определение статистических характеристик вектора состояний самолета при воздействии экстремальных возмущений

•Определение наиболее вероятной экстремальной траектории вектора компонент процесса посадки

•Разработка метода и алгоритма определения наиболее вероятного выхода компонент вектора состояний и параметров за предельно допустимые значения

•Разработка модели предметной области программного комплекса, решающего задачи автоматизированного вывода уравнений статистик процессов и получения оценок маловероятных событий по методу экстремальных возмущений

•Разработка способа генерации, представления и решения систем уравнений большой размерности программными средствами

•Оценка эффективности метода экстремальных возмущений на основе сравнения других методов на примере точного решения задачи оценки предельных отклонений

•Оценка предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300 при автоматической посадке в боковом движении, на основе метода экстремальных возмущений

Методы исследований Теоретически исследования базируются на использовании современной теории стохастических систем, теории оптимального управления, математического программирования, стохастических дифференциальных уравнений, теории диффузионных Марковских процессов, методов вычислений и др Программная реализация численных методов экстремальных характеристик процесса автоматической посадки самолета осуществлена на основе современных программных средств в средах Matlab, Visual Studio NET, и платформы Microsoft .NET Framework Научная новизна работы

1 Разработана модель экстремального возмущения траектории нелинейных стохастических систем

2 Описаны уравнения статистик нелинейных стохастических систем при воздействии экстремальных возмущений

3 Выведены соотношения между корреляционными моментами компонент экстремальных возмущений

4 Разработан алгоритм процедуры определения вектора экстремальных возмущений

5 Решена задача оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета ИЛ96-300 по параметрам приземления в боковом движении (отклонения центра тяжести от оси взлетной полосы, отклонения угла крена, угла курса, угла скольжения )

6 Разработан программный комплекс оценки уровня безопасности по алгоритмам метода экстремального возмущения

7 Разработана новая методика создания интерфейсов пользователя на основе автоматного программирования

8 Исследованы и использованы основные методики метапрограмми-рования для генерации вычислителей

Практическая ценность работы определяется тем, что метод экстремальных возмущений, позволяет достаточно точно решить задачу по оценке уровня безопасности автоматической посадки самолета и построить численные алгоритмы оценки предельных отклонений параметров и характеристик процесса автоматической посадки

Разработанный программный комплекс позволяет проводить автоматизированный анализ нелинейных стохастических систем по методу экстремальных возмущений

Исследование выполнялось в рамках выполнения совместных НИР проводимых ФГУП «ЛИИ им M M Громова» и кафедры Прикладной Математики и Информатики КГТУ им А H Туполева, по Федеральной целевой программе «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002-2010 годы и на период до 2015 г » (шифр «Безопасность»)

Прикладные исследования были выполнены также в рамках госбюджетной НИР «Научные основы построения информационных технологий высокопроизводительных вычислительных систем, сетей, методов средств информационной безопасности» Per № НИР 1 10 05 в соответствии с научным направлением «Прикладная математика», по плану приоритетных фундаментальных и прикладных исследований Академии наук Республики Татарстан

Реализация результатов работы Результаты диссертационной работы, и их программная реализация были использованы в ЛИИ им M M Громов при разработке методики оценки уровня безопасности автоматической посадки тяжелых самолетов по III категории

Апробация результатов работы Основные положения и результаты диссертации доложены 2-ой международной конференции «Авиакосмические технологии и оборудование» АКТО-2004 г Казань и на IX международной научной конференции, посвященной 45-летию Сибирского Государственного аэрокосмического университета им M Ф.Решетнева (10-12 ноября 2005г, г Красноярск)

Публикации По материалам диссертационной работы имеется 7 публикаций, одна из которых опубликована в журнале рекомендованном ВАК По технологии автоматного программирования разработанной для данного программного комплекса и реализованного в других проектах были получены 2 авторских свидетельства

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, основных выводов и результатов, списка литературы и приложений Работа изложена на 155 стр машинописного текста, содержит 72 таблицы, 35 рисунков, 1 приложение, библиография включает 48 наименований Автор защищает

• Постановку задачи определения экстремального возмущения траектории нелинейных стохастических систем,

• Оценку статистических характеристик процесса посадки самолета при воздействии экстремальных возмущений

• Алгоритм процедуры определения экстремальных возмущений

• Оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета ИЛ96-300 по параметрам приземления в боковом движении (отклонения центра тя-

жести от оси взлетной полосы, отклонения угла крена, угла курса, угла скольжения)

• Программный комплекс оценки уровня безопасности по алгоритмам метода экстремального возмущения

• Метасистему вывода, генерации библиотек вычислителей дифференциальных уравнения относительно статистических характеристик исходной системы

• Методику создания интерфейсов пользователя на основе автоматного программирования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы проводимых исследований на основе анализа полученных ранее результатов, сформулированы цели работы, основные задачи и приведена структура диссертации

В первой главе рассматривается задача исследования статистических характеристик процесса автоматической посадки самолета при воздействии экстремальных возмущений Для оценки этих характеристик используются дифференциальные уравнения, описывающие режим посадки с разнообразной структурой действующих на него возмущений и случайных параметров Эти уравнения в векторно-матричных обозначениях имеют вид

X = v{t,X,u,a)+Kt,X)N(t), X(t0)=X0,tz[t0,tf] (1)

Здесь t — время, t0,tf - начальная и конечная точки рассматриваемого интервала времени [t0,tf] Х(г) — п - мерная случайная вектор-функция фазовых координат tj/{t,X,u,a) - п -мерный вектор нелинейных функций фазовых координат u(i) - непрерывная, не случайная г0 - мерная вектор-функция управления а — не случайный т - мерный вектор управляющих параметров, определяющий конструктивные и энергетические номинальные параметры системы h(t,X) - (их г) - мерная матрица коэффициентов возмущений N(t) - г-мерный вектор нормальных белых шумов с компонентами единичной интенсивности и нулевым математическим ожиданием, описывающий действующие на систему аддитивные внешние возмущения

Для получения вероятностных характеристик отклонений траекторий используется теория больших уклонений для случайных процессов, основу которой составляет оценка вероятности

pj(max|A-(0-zx(0|<5 j, (2)

того, что траектория X(t) системы (1) на заданном интервале времени [tü,tf ] пройдет в заданной малой S - окрестности фиксированной опорной траектории МО

Для оценки вероятности (2) в качестве фиксированной опорной траектории zx(t) рассматриваются траектории, которые обусловлены действием экстремальных возмущений вектора состояний системы (1), приводящих к смещению ее в пространстве состояний относительно заданного по глиссаде движения и прохождению траектории X(t) в момент времени t=tf через предельно-допустимые точки хТ1„ ,*?"„„

Экстремальное возмущение N(i) представляется при этом аддитивным возмущением N(0 = я(0 + #(0> где fj(t) - возмущение, приводящее к смещению опорной траектории zx(t) в пространстве состояний, а 4(0 — возмущение, определяющее флуктуации траекторий вектора состояний Х(1) в S- окрестности относительно опорной траектории zx(t)

В соответствии с теорией больших уклонений, вероятность прохождения траектории X(t) вдоль опорной траектории zx{t) определяется по формуле

max | X(t)-zx(t)\<6 J ке^'"'', J(p(t)) (3)

где J(fi(t)) ~ величина «функционала действия», определяющего энергию смещения опорной траектории zx(i) Из соотношения (3) следует, что наиболее «вероятной» опорной траекторией zx(t) при экстремальном возмущении p(t) оказывается кривая z*(0, для которой значение «функционала действия» ЛЖ0)= тш J(ßO) минимально, эта опорная траектория z'x(t) как наиболее ве-

г,(')еЛ

роятная совпадает с условным математическим ожиданием mx(t) траекторий X(t) при реализации /7(0 экстремального возмущения z'x(j) = arg mny(/i(/)), z'x(t)=mx(0

Возмущение/¿(i), по аналогии с каноническим разложением случайных функций, определяется разложением

tf/)=Ce/J(f), (4)

где Са - диагональная матрица независимых случайных величин, /3(0 - г-мерный вектор координатных функций

Относительно экстремальных возмущений ¿¡(t) = Caß{t), определяются статистики вектора состояний системы (1)

При этом предполагается, что вектор состояний системы X{t)=mx(t) + X°(t), где mx(t) = A/[X(r) |/7(/)], а X°(t) - флуктуационная составляющая

Статистические характеристики, в соответствии методом статистической линеаризации, определяются уравнениями

= V„ (t, т, ,0(0, и, а) + В(т„0(О)Д(') + .*(')), (5)

dt

= А(т„00Ш1) + 0{1)Л\тх,0(0) + Жш^ОМЖ;, (/,/) + Ki; (/,Oß'(m,,0(0), (6) dt *

^ = ^й„в(/)М0 + Я(й„в(0)С,(')- Ч/0) = о, (7)

где 0(О=М[Х°(О^'°(О1ЖО]. ^if(i,0 = l-B(ihx,0(t))-"{t)Cß(t),

Уравнения (7-9) представляют собой замкнутую систему порядка 2п+^ + пг, где J(inx,6(t)) и B(mx,0(t)) — (их и) и (их г) - мерные матрицы коэффициентов линеаризации, n(mx,e(t)) - n-мерный вектор с компонентами »,(«,,*(/)) =Zi/teA:iA<f,0

На основе соотношений между корреляционными моментами возмущения, действующего на объект, и экстремального возмущения определяется вид координатных функций (8) соответствующих прохождению траектории через предельную точку

<4 ('/)'=' ('/>'=■

St/1/'1) = 2р(') весовые функции определяемые решением сопряженной системы уравнений

^M = -±aj,(mxM0)г,(0. V/) = 1 (9)

at /.1

при р = к и zp(f/) = 0 когда

Элементы а матрицы С„ экстремального возмущения определяются из условия максимальной вероятности прохождения опорной траектории zx{t)—mx(t) через допустимую точку хк ао„, т е из условия минимума функционала (10)

J(m'C))= ZJ|/<>W' = IX2 -» min 0°)

при наличии дифференциальных связей (5) - (7), (9) и терминального ограничения типа равенства

где <(0) = Е |

(Wl /.

Lw

, "„('/)-(П) Решение этой задачи осуществляется методом последовательных приближений на основе метода неопределенных множителей функционала Ла-гранжа

Во второй главе, показана эффективность метода экстремальных возмущений при решении задачи оценки уровня безопасности предельных отклонений при автоматической посадке параметров приземления и компонент вектора состояний в боковом движении (рис 1) самолета ИЛ 96-300, обусловленного едиными требованиями летной годности ЕЗЕНЛГ -ВПвСБ А\УО 131 (с)

Положение самолета определяется координатами его центра масс в системе хОг, связанной с землей, углом рыскания у/ и углом крена у К фазовым координатам относятся также скорости изменения этих величин г, у/, у Ось Ох совпадает с продольной осью ВПП Величина г характеризует боковое уклонение центра масс самолета от оси ВПП, за счет изменения боковой составляющей скорости ветра и продольной составляющей \УХ Управляющими воздействиями являются отклонения элеронов (угол <5Э) и руля направления <5„

Движение самолета ИЛ 96-300 в горизонтальной плоскости на режимах автоматической посадки описывается стохастической системой дифференциальных уравнений с переменной структурой 19-го порядка относительно исходного режима по линии курса в равносигнальной зоне КРМ

1 -у- = а11&е>, +<7|2Дй>, + апД/?„ + аы Д/?„ +а1!(0,43^Я + 0,57)6г. +

2 =а2]&соу + а22Дй>, +а2,ДД, + + а25(0,43^Я + 0,57)С/. + а,6.р(Х,) +

с/дД

3 = о31Д<У, + апАа)х + о„ ДД, + ¿¡„Дг + а„ + + а36 (0,431§ Я + 0,57)С/. + о„(< +<")

4

Л 57,3 ' « л

5_ = Да,,

6 р„

Л К0 у

7 = _ К„ + (0,43Я + 0,57)^ Л

Нцт =(¿-3700)^, если Я„„ >10,8.»

с/Я 5

8 —=--, если Нт <10,8л(

Л К-ы.'

9 ^ = _П-(0.431еЯ + 0,57)С/,(Ду/_АД)

Л ь

Ж Тч>п V £ У "

- - л £ л & л ^ О' "ч- ^Ч»

1 (3700 + 19,08 Я , ~ , „

12.— = — -:--г, если Я„„ -5,8>30 к

Л Т„ ^ 57,3 Тк

¿г, 1 [9000-157,6 Я Л "" ТА 57,3 7-,

если Нт — 5,8 < 30 л<

если Я„т - 5,8 > 30 м

,,</!/„ 1 ГК„-(0,431вЯ + 0,57){/ д„ч 3700 + 19,08Я ~ Т1

13 ^Г--

если Ячя -5,8 > 30л<

Л/и _-(0,431ЁЯ + 0,57)^(д^_д^) + 9000-157,б Я^

Л ГД 57,3 г ™ 57,3

если Я„„ -5,8>30л(

л ^ ^ Я 14 57,3 ; 57,3 * 10

если Я„„, -5,8 £30 Л1

^ = . -(0.431ВЯ + 0,57^, V 9000-157,6 Я _

Л Ткф \ 14 57,3 к * ) 57,3 1 10

15 ^ = Г + Гю>)

= «16,А/?„ + о,62Д^+а,63(0,431еЯ + 0,57)С/.+ ахь, + о?) - п.

л

<л г,

Т г

18 —^ = (К^ До>, - 2,856о-; - )

Ш (У,

Уравнения с 1 по 5 описывают боковое движение самолета с учетом ветровых возмущений Уравнение 6 описывает боковые порывы ветра, уравнения 7-9 описывают кинематику движения Уравнение 10 описывает сигналы РТС, а 11 случайный процесс искривления равносигнальной зоны ГРМ Уравнения 12-14 описывают сигналы САУ на режиме АЗП Уравнения 15-19 описывают сигналы САУ контура элеронов, контура и канала руля направления

Изменение структуры обусловлено различными режимами посадки и соответствующими моментами переключения типовых нелинейностей системы управления В процессе посадки в системе управления самолета ИЛ96-300 предусмотрено к = 96 переключений

Решение задачи по оценке предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и параметров приземления требует совместного решения

• системы уравнений 19-го порядка с переменной структурой относительно математических ожиданий ж,,0=1, ,19) параметров приземления,

• сопряженной системы 19 — го порядка с переменной структурой относительно весовых функций г,,0 = 1, ,19), характеризующих влияние возмущений на параметры приземления,

• решение системы 190-го порядка с переменной структурой относительно элементов матрицы корреляционных моментов

• решение системы 190 — го порядка с переменной

структурой относительно функций чувствительности, обусловленных экстремальным возмущением

Таким образом, определение вероятности предельных отклонений параметров приземления по методу экстремальных возмущений предусматривает решение 96 систем дифференциальных уравнений 418- го порядка, для которых разработан программный комплекс, позволяющий решать задачи автоматизированного построения оценок предельных отклонений вектора состояний стохастической системы

Результаты оценок предельных отклонений и параметров приземления процесса автоматической посадки самолета ИЛ96-300, соответствующих допустимым значениям вероятностей, представленных в таблице 1, приведены в таблицах 2-4

В таблице 2 представлены характеристики параметров приземления «в среднем» В таблице 3 приведены характеристики параметров приземления «в предельном случае» при встречном ветре 12,5 м/с В таблице 4 представлены характеристики параметров приземления «в предельном случае»при боковом ветре 8 м/с

Таблица 1

Критические параметры Допустимые значения Вероятность

Боковое отклонение точки касания от оси ВПП |г| < 16 2,5 х 1(Г8

Угол крена 1Н<з 2,5 х 1(Г7

Угол курса 1И>ю 8 х 10""

Угол тангажа при касании т>ю 4,2 х 1(Г5

Таблица 2

Вес-Само-ле-та(т) Центр тяжести Угол крена Г(?Р) Угот курса Угол скольжения /? (гр )

а Р(7«т>16) Р{у >8) а9 ?<М>> 10) Р(Р>Щ

140 2,38 1,3 10" 1,3 2,44 10" 1,14 5,59 10"'8 0,9882 1,4 1023

160 2,386 1,5 10" 1,302 2,59 10" 1,15 1,2 10 17 0,9891 1,6 1023

175 2,393 1,73 10" 1,305 2,83 104 1,23 1,4 10 17 0,9903 1,8 1023

Таблица 3

Вес-Самолета (т) Центр тяжести Z„ » С" ) Угол крена Угол курса Угол скольжения ß ( гр )

Р(гцт>16) <*г П? >8) /•Cv =»io) P(ß> 10)

140 2,391 1,66 10 й 1,312 3,48 10"9 1,21 5,31 10"16 0,99 3,64 10"23

160 2,401 1,66 10" 1,312 3,48 10 9 1,28 5,59 10 10 1,03 3,78 10 ^

175 2,417 1,67 10 " 1,312 3,48 10 9 1,3 5,68 10"16 1,05 3,87 10 23

Таблица

Вес-Самолета (т) Центр тяжести Угол крена Г(гр) Угол курса V(?p) Угол скольжения ß ( гр )

Р (2цт>16) Р(У >8) i(«/>10) P(ß >10)

140 2,43 3,59 10 " 1,321 4,5 10' 1,34 2,85 10 13 1,02 3,47 10 22

160 2,431 3,6 10"11 1,321 4,5 10 9 1,37 2,9 10 13 1,03 3,487 10 22

175 2,441 3,61 10 11 1,321 4,5 10"9 1,38 2,93 10'13 1,03 3,497 10 22

Результаты приведенные в таблице показывают, что оценки параметров приземления при возмущениях «в среднем» и критических значениях ветра не превосходят вероятности предельных значений отклонений представленных в табл 1 и удовлетворяют требованиям безопасности автоматической посадки по III категории летной годности ЕЗЕНЛГ - ВП в CS AWO 131(c)

В третьей главе представлен программный комплекс решения задач автоматизированной оценки вероятностей предельных отклонений параметров приземления и вектора состояний самолета

Программный комплекс генерирует различные вычислители систем дифференциальных уравнений и осуществляет их решение в соответствии с алгоритмом метода экстремальных возмущений Для этого предлагается использование методологии создания программного обеспечения - метапрограммирова-ние В качестве платформы программирования выбрана современная среда исполнения программ NET Framework I 1, позволяющая реализовать достаточно гибко все требования к ПО с высокой скоростью разработки В качестве языка программирования используется язык С# NET

Программный комплекс состоит из компонент, выполняющих функции автоматизированного программирования Центральным модулем является пишущая программа, которая, на основе типового шаблона, представленного в

текстовом виде, и специальных стандартных подпрограмм,

компилирует рабочую программу Рабочая программа вместе со вспомогательными подпрограммами используется непосредственно для проведения расчетов Она представляет собой скомпилированную сборку NET Framework и выполняется как так и в автономном, так и в автоматизированном режиме, в составе комплекса Одной из вспомогательных подпрограмм является, например, подпрограмма разбора типовых нелинейностей

Обобщенная схема работы программного комплекса представлена на Рис 2

Рис 2 Схема работы программного комплекса

Для компиляции модулей вычислителей в DLL, реализована генерация программного кода на основе CodeDom и базовой библиотеки System CodeDom Compiler, которая представляет собой «Объектную Модель Кода» и отвечает за представление программного кода в виде дерева, отображающее вложенные элементы программы (пространства имен, классы, поля, атрибуты, методы, переменные, выражения и т д ) CodeDom используется для генерации такого дерева из сгенерированных уравнений в памяти компьютера, которое может быть в последствие скомпилировано в отдельную библиотеку (для возможно последующей работы с уравнениями)

Для распознавания исходных выражений и представление их в виде синтаксического дерева создана специализированная библиотека, реалищующая компиляцию уравнений относительно статистических характеристик в отдельные модули-библиотеки для использования их в последующих вычислениях

На основе составленного дерева в памяти компьютера формируется класс, где вычисление выражений реализовано как статический метод, куда передается вектор значений вектора состояний, математических ожиданий и дисперсий, поскольку чаще всего, именно эти параметры необходимы для статистической линеаризации нелинейностей

На последнем этапе формируется одна общая библиотека с

методами вычисления компонент вектора состояний, и статистических характеристик Она используется при решении дифференциальных уравнений каким-либо численным методом и, возможно, сохранение ее на диск для дальнейшего анализа либо повторного вычисления

Генерация и компиляция вычислителей в библиотеки и дальнейшая работа с ними, позволила получить выигрыш в скорости работы программы практически на два порядка, по сравнению со случаем генерации синтаксических деревьев в памяти компьютера В дополнение к этому, если анализ одной системы проводить несколько раз, то достаточно один раз сгенерировать необходимые библиотеки и в дальнейшем работать с ними

Для реализация пользовательского интерфейса была использована теория автоматов, основная идея которого, заключается в использовании конечных автоматов для описания поведения программы В данной работе эта идея нашла свое воплощение в реализации индуктивного пользовательского интерфейса, для чего была разработана специальная библиотека, - которая позволяет реали-зовывать основные рутинные операции автоматически по заранее подготовленным XML шаблонам и требует усилий лишь низкоквалифицированного программиста

Разработанная библиотека и пакет программ для реализации автоматного интерфейса были также использованы при создании программного комплекса для ОАО «Татнефть» и 20 структурных подразделений (всего около 1000 раб мест) На данный программный комплекс автор имеет 2 авторских свидетельства

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

При оценке предельных отклонений траекторий нелинейных стохастических систем получены следующие результаты

1 Разработана модель экстремального возмущения траектории нелинейных стохастических систем

2 Получены уравнения статистик нелинейных стохастических систем при воздействии экстремальных возмущений

3 Разработан алгоритм процедуры определения вектора экстремальных возмущений

4 Решена одна из важных задач оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета ИЛ96-300 по параметрам приземления в боковом

движении (отклонения центра тяжести от оси взлетной полосы,

отклонения угла крена, угла курса, угла скольжения )

5 Разработан программный комплекс для оценки уровня безопасности по алгоритмам метода экстремальных возмущений, способы генерации вычислителей, метод создания интерфейсов пользователя на основе автоматного программирования Данный программный комплекс сдан в опытную эксплуатацию 9-го отделения ЛИИ им Громова

6 На основе метода экстремальных возмущений исследованы оценки уровня безопасности параметров приземления и компонент вектора состояний самолета при автоматической посадке, по возмущениям в среднем и при критических значениях возмущений встречного и бокового ветра

Проведенные решения задач по оценке вероятности выхода траектории за предельно допустимые значения с использованием разработанного программного комплекса показывают, что разработанные программные средства работоспособны

Полученные результаты подтверждают адекватность применения методики экстремального возмущения для получения сертификационных оценок уровня безопасности самолетов гражданской авиации

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1 КГ Денисов «Исследование предельных отклонений параметров приземления тяжелых самолетов при автоматической посадке» Вестник КГТУ им.А H Туполева, г Казань №1, 2007 г С 71 - 73

2 НЕ Роднищев, КГ Денисов, В M Ворончихин, Е Г Харин «Оценка вероятности предельных отклонений процесса автоматической посадки самолета» Материалы конференции «Авиакосмические технологии и оборудование» Казань, 2004 г С 649 - 655

3 КГ Денисов «Программный комплекс оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета» Материалы конференции «Авиакосмические технологии и оборудование» Казань, 2004 г С 655 - 659

4 КГ Денисов «Разработка программных средств для оценки маловероятных событий при автоматической посадке самолета» Материалы IX Международной конференции посвящ 45-летию СибГАУ им M Ф Решетнева «Ре-щетневские чтения», Красноярск 2005 г С 292 - 293

5 Родиищев НЕ, Денисов КГ «Проблема оценки маловероятных событий при автоматической посадке самолета» Материалы IX Международной конференции посвящ 45-летию СибГАУ им М Ф Решетнева «Ре-шетневские чтения», Красноярск 2005 г. С 266 - 268

6 КГ Денисов «Определение вероятности предельных отклонений компонент вектора состояний самолета по методу экстремальных возмущений» СЭТС(Социально-экономические и технические системы исследование, проектирование, организация) Камская государственная инженерно-экономическая академия (КамПИ) №15, 2006 г 7с {Электронное издание)

1 Денисов К Г и др Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006612998 ГШ «Автоматизированная информационная система поддержки управления изобретательской деятельностью предприятия «Патенты» 2006 г

8 Денисов КГ и др Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №20066129971Ш «Автоматизированная информационная система поддержки управления рационализаторской деятельностью предприятия «Рационализация» 2006 г

9 Денисов КГ «Способ создания программ для проведения статистических оценок компонент вектора состояний нелинейных стохастических систем» СЭТС(Социально-экономические и технические системы исследование, проектирование, организация) Камская государственная инженерно-экономическая академия (КамПИ) №3, 2007 г 7с ( Электронное издание )

Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Печ л 1,0 Уел печ л 0,93 Уел кр -отт 0,93 Уч -изд л 0,99 Тираж 100 Заказ К В 5,

Типография Издательства Казанского государственного технического университета им А Н Туполева 420111, Казань, К Маркса, 10

ВВЕДЕНИЕ.

1. Глава 1. Разработка метода и алгоритма оценки предельных отклонений траекторий динамических систем.

1.1 Анализ современного состояния методических разработок по оценке маловероятных событий.

1.1.1 Оценка предельных отклонений на основе метода статистических испытаний.

1.1.2. Оценка предельных отклонений на основе теории диффузионных марковских процессов.

1.1.3. Оценка предельных отклонений на основе теории больших уклонений»

1.2 Построение метода оценки предельных отклонений траекторий динамических систем.

1.2.1. Основные положения.

1.2.2. Определение основных характеристик экстремальных возмущений.

1.2.3 Определение статистик компонент вектора состояний системы при воздействии экстремальных возмущений.

1.2.4 Соотношения между корреляционными моментами компонент экстремальных возмущений.

1.2.5 Экстремальные возмущения предельно допустимых опорных траекторий.

1.2.6 Формирование рекуррентной процедуры определения вектора экстремальных возмущений.

1.2.7 Определение вероятности выхода траектории за допустимые значения по функционалу действия.

1.2.8 Порядок проведения расчетов по оценке вероятности выхода траектории за предельно-допустимые значения.

1.3 Сравнительный анализ метода экстремальных возмущений.

1.3.1. Определение вероятности выхода за допустимый предел компоненты вектора состояния линейной системы.

1.3.2. Определение вероятности выхода за допустимый предел компоненты вектора состояния нелинейной системы.

2. Глава 2. Расчет вероятности предельных отклонений параметров бокового движения самолета.

2.1. Описание процесса автоматической посадки.

2.2. Оценка предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300.

2.2.1 Оценка предельных отклонений методом статистических испытаний.

2.2.2 Оценка предельных отклонений на основе теории Марковских процессов.

2.2.3. Решение задачи на основе метода экстремальных возмущений.

2.2.4 Сравнительный анализ полученных результатов.

3. Глава 3. Программный комплекс для оценки предельных отклонений компонент вектора состояний стохастических систем.

3.1.Проектирование и структура программного комплекса.

3.2.Функциональная схема работы программного комплекса.

3.3 Особенности реализации программного комплекса.

3.4 Реализация библиотеки вычислителя.

3.5 Автоматный интерфейс пользователя.

В настоящее время на самолетах гражданской авиации эксплуатируется несколько систем управления, предназначенных для захода на посадку в сложных метеоусловиях. Международной организацией гражданской авиации ICAO установлен ряд эксплуатационных категорий (посадочных метеоминимумов), характеризуемых дальностью видимости на ВПП и высотой принятия решений[68]. Эксплуатационная категория III предусматривает автоматическую посадку и рулений по ВПП при дальности видимости 200м (для IIIB - 50м, IIIC - полное отсутствие видимости).

Возможности эксплуатации самолета в условиях той или иной категории ICAO определяются как летно-техническими характеристиками самого самолета, так и установленного на нем бортового и наземного оборудования установленного на аэродроме.

Основополагающее требование, предъявляемое к системам автоматической посадки самолета - обязательное выполнение условий обеспечения заданного уровня безопасности полета. В отношении к точностным характеристикам системы такие условия нормируют уровень и частоту возникновения недопустимых ошибок управления. Уровень ошибок характеризуется предельно-допустимыми значениями параметров движения самолета. Частота ошибки оценивается вероятностью Р их появления и ограничивается величинами Рдоп = 10"4.10"8[60]. Доверительная вероятность оценки принимается равной Рдов = 0.9

Определение соответствия системы требованию по вероятности недопустимых ошибок управления выполняется по совокупности расчетно-экспериментальных работ. Первоначально подтверждается достоверность математической модели возмущенного движения самолета. Это осуществляется по критериям динамического и статистического подобия. Используются результаты оценочных летных испытаний и статистического моделирования. Затем с использованием этой модели любым подходящим расчетно-аналитическим методом определяется искомая вероятность^ 1]

Так как математическая модель возмущенного движения самолета представляет собой нелинейную стохастическую систему большого числа дифференциальных уравнения (20.30 порядка), предпочтительным методом оценки вероятностных характеристик является метод статистических испытаний. Вследствие простоты использования такой метод широко применяется в инженерной практике. Вопрос состоит только в том, как довести требуемый объем статистического моделирования до приемлемого уровня.

Оказывается, что для оценки столь малых вероятностей статистическое моделирование в приемлемом объеме можно провести, если выполнить его по схеме существенной выборки, однако заранее четко спланировать объем моделирования не представляется возможным. Объем зависит от конкретных характеристик исследуемой системы, а именно от степени различия между искомой вероятностью и ее допустимой величиной. Чем меньше это различие, тем больше реализаций требуется. Потребный объем моделирования меняется от случая, когда его проводить вообще не нужно, до случая, когда по каждому оцениваемому параметру движения самолета необходимо иметь несколько миллионов реализаций.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая задача совершенствования методов оценки малых вероятностей -вероятностей выхода компонент вектора состояний самолета за предельно допустимые значения.

Анализ современного состояния работ по оценке предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и его систем показывает, что на данный момент проблема оценки малых вероятностей не решена достаточно полно. В основном, для получения оценок вероятностей выхода компонент вектора состояний за некоторые предельно допустимые значения, используются методы статистических испытаний и методы на основе теории диффузионных Марковских процессов, которые не лишены существенных недостатков. Например, полномасштабное описание статистического моделирования автоматической посадки самолета БОИНГ 757/767 [10] показывает, что с помощью метода статистических испытаний можно с достаточно хорошей точностью вычислить математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение компонент вектора состояний самолета и его систем, тогда как так называемые «хвосты» распределений могут существенно отличаться от гауссовских распределений.

Методы оценки предельных отклонений на основе диффузионных Марковских процессов строятся, в основном, на приближенном решении уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка относительно плотности распределения траекторий компонент вектора состояний самолета и его систем. Однако, основным недостатком этих методов является неопределенность в ответе на вопрос - насколько точно приближение описывает действительную плотность распределения, а также колебательный характер аппроксимаций распределения на «хвостах». В последнее время появились также работы по оценкам оптимальных параметров взлетно-посадочной полосы Кана Ю.С., Кибзуна А.И., Тимофеевой Г.А. на основе оптимизации функции квантили и обобщенного доверительного множества в условиях неполной информации, которые используют нормально распределенные случайные величины.

Наличие этих обстоятельств обуславливает актуальность разработки новых методов оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета, на основе экстремальных возмущений, позволяющих определить наиболее вероятные предельные отклонения фазовых траекторий и параметров систем.

Цель исследования - развитие методов оценки уровня безопасности систем управления самолета на основе теории экстремальных возмущений, позволяющей наиболее точно определить вероятности предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и параметров приземления. Разработка современных программных средств решения задач оценки малых вероятностей, определяющих уровень безопасности посадки.

Объектами исследования являются стохастические модели процесса автоматической посадки самолета ИЛ96-300 с разнообразной структурой случайных возмущений, учитывающих:

• Аддитивные шумы, обусловленные внешними возмущениями: ветровыми возмущениями, турбулентностью атмосферы, высокочастотными и низкочастотными радиотехническими помехами системы взлета и посадки и др.

• Случайные параметры, учитывающие случайные отклонения конструктивных и энергетических параметров систем самолета, уклона ВПП, искривления радиосигнальных зон, залегания курсовой зоны, интервал времени выравнивания самолета и др.

Основная трудность при расчете экстремальных возмущений состоит в необходимости решения так называемой двухточечной краевой задачи для системы большого числа дифференциальных уравнений (несколько сот уравнений). Нужно расписать уравнения возмущенного движения самолета, провести их статистическую линеаризацию, назначить итерационную процедуру определения экстремальных возмущений, разработать программу для ПК и провести расчет.

Для выполнения работ по обеспечению всепогодных полетов необходимо создать программный комплекс по оценке безопасности полета.

Для поставленной цели в диссертации решались следующие основные задачи:

•Изучение состояния вопроса по методам оценки предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и параметров его систем.

• Определение статистических характеристик вектора состояний самолета при воздействии экстремальных возмущений.

• Определение наиболее вероятной экстремальной траектории компонент вектора состояний и параметров самолета в процессе посадки.

•Разработка метода и алгоритма определения наиболее вероятного выхода компонент вектора состояний и параметров за предельно допустимые значения

•Разработка модели предметной области программного комплекса, решающего задачи автоматизированного вывода уравнений статистик процессов и получения оценок маловероятных событий по методу экстремальных возмущений

•Разработка способа генерации, представления и решения систем уравнений большой размерности программными средствами.

• Оценка эффективности метода экстремальных возмущений на основе сравнения других методов на примере точного решения задачи оценки предельных отклонений.

• Оценка предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300 при автоматической посадке в боковом движении, на основе метода экстремальных возмущений

Методы исследований. Теоретически исследования базируются на использовании современной теории стохастических систем, теории оптимального управления, математического программирования, стохастических дифференциальных уравнений, теории диффузионных Марковских процессов, методов вычислений и др. Программная реализация численных методов экстремальных характеристик процесса автоматической посадки самолета осуществлена на основе современных программных средств в средах Matlab, Visual Studio.NET, и платформы Microsoft .NET Framework.

Научная новизна работы.

1. Разработана модель экстремального возмущения траектории нелинейных стохастических систем.

2. Описаны уравнения статистик нелинейных стохастических систем при воздействии экстремальных возмущений

3. Выведены соотношения между корреляционными моментами компонент экстремальных возмущений

4. Разработан алгоритм процедуры определения вектора экстремальных возмущений

5. Решена задача оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета ИЛ96-300 по параметрам приземления в боковом движении (отклонения центра тяжести от оси взлетной полосы, отклонения угла крена, угла курса, угла скольжения)

6. Разработан программный комплекс оценки уровня безопасности по алгоритмам метода экстремального возмущения.

7. Разработана новая методика создания интерфейсов пользователя на основе автоматного программирования.

8. Исследованы и использованы основные методики метапрограммирования для генерации вычислителей

Практическая ценность работы определяется тем, что метод экстремальных возмущений, позволяет достаточно точно решить задачу по оценке уровня безопасности автоматической посадки самолета и построить численные алгоритмы оценки предельных отклонений параметров и характеристик процесса автоматической посадки.

Разработанный программный комплекс позволяет проводить автоматизированный анализ нелинейных стохастических систем по методу экстремальных возмущений.

Исследование выполнялось в рамках выполнения совместных НИР проводимых ФГУП «ЛИИ им. М.М. Громова» и кафедры Прикладной Математики и Информатики КГТУ им. А.Н. Туполева, по Федеральной целевой программе «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002-2010 годы и на период до 2015г.» (шифр «Безопасность»).

Прикладные исследования были выполнены также в рамках госбюджетной НИР «Научные основы построения информационных технологий высокопроизводительных вычислительных систем, сетей, методов средств информационной безопасности» Per. № НИР 1.10.05 в соответствии с научным направлением «Прикладная математика», по плану приоритетных фундаментальных и прикладных исследований Академии наук Республики Татарстан.

Реализация результатов работы Результаты диссертационной работы, и их программная реализация были использованы в ЛИИ им. М.М. Громов при разработке методики оценки уровня безопасности автоматической посадки тяжелых самолетов по III категории.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертации доложены на 2-ой международной конференции «Авиакосмические технологии и оборудование» АКТО-2004 г. Казань и на IX международной научной конференции, посвященной 45-летию Сибирского Государственного аэрокосмического университета им. М.Ф.Решетнева (10-12 Ноября 2005г., г.Красноярск)

Публикации. По материалам диссертационной работы имеется 7 публикаций, одна из которых опубликована в журнале рекомендованном ВАК. По технологии автоматного программирования разработанной для данного программного комплекса и реализованного в других проектах были получены 2 авторских свидетельства.

Диссертация состоит из введения, трех глав, основных выводов и результатов, списка литературы и одного приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Сформулирована задача оценки предельных отклонений компонент вектора состояний и параметров динамических систем со случайными возмущениями которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями со случайными параметрами, аддитивными и мультипликативными шумами. Показано, что решение этой задачи, может быть получено, на основе экстремальных возмущений системы

2. Получены аналитические выражения замкнутой системы уравнений относительно основных статистических характеристик (математического ожидания, корреляционной матрицы, матрицы функций чувствительности) системы под воздействием экстремальных возмущений. Выведены соотношения между корреляционными моментами экстремальных возмущений и определены координатные функции экстремального возмущения обеспечивающих прохождение траектории через предельную точку.

3. Для определения наиболее вероятной траектории проходящей через предельную точку, сформулирована и решена задача определения экстремального возмущения основе принципа максимума Понтрягина, разработан общий алгоритм определения экстремального возмущения и соответствующих ему предельных отклонений параметров и компонент вектора состояний системы.

4. Для преодоления трудностей с выводом и решением большого количества уравнений, описывающих математические ожидания компонент вектора состояний, дисперсий, корреляционных моментов, функций чувствительности, сопряженных систем относительно импульсных весовых функций и др., разработан программный комплекс, позволяющий в автоматическом режиме провести расчеты по оценке предельных отклонений по алгоритмам метода экстремальных возмущений.

5. Разработана логика работы программного комплекса обеспечивающая создание удобного пользовательского интерфейса для ввода исходных систем дифференциальных уравнений, развертку этих уравнений относительно статистик и генерацию вычислительных программ, на основе шаблонов и алгоритмов рекурентных процедур.

6. В отличие от применяемых современных технологий разработки программных средств предложено использование новых методов программирования: автоматного программирования и метапрограммирования.

7. Метод экстремальных возмущений реализован по оценке предельных отклонений параметров приземления и компонент вектора состояний самолета ИЛ96-300 при автоматическом приземлении в боковом движении. Показано, что метод экстремальных возмущений может быть использован для оценки уровня безопасности автоматической посадки по нормам единых требований летной годности ЕЗЕНЛГ - ВП в CS AWO 131(c) с вероятностью в интервале 10"6 < р* < 10~8.

Результаты проведенных исследований по методике оценки маловероятных событий показывают, что для оценки малых вероятностей выхода компонент вектора состояний, а также конструктивных и энергетических параметров самолета и его систем за допустимые пределы при автоматической посадке, целесообразно использовать метод экстремальных возмущений на основе теории диффузионных Марковских процессов.

Проведенные решения задач по оценке вероятности выхода траектории за предельно допустимые значения с использованием разработанного программного комплекса показывают, что предложенные автором технологии эффективны при разработке программного обеспечения.

Полученные результаты подтверждают правильность выбранного направления и требуют проведения дальнейших исследований по совершенствованию методики и программных средств.

1. Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. М.: Наука, Физматлит, 1995. 304с.

2. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Аналитические и численные методы исследования. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 160с.

3. Ермаков С.М. Метод Монте-Крло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971. 328с.

4. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. с.

5. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312с.

6. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и Функции Хаара. -М.: Наука, 1969. 288с

7. Арушанян О.Б., Залектин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциаль-ных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 336с.

8. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986.Т. 288. №4. С. 777-780.

9. И.Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под редакцией В.Н. Вапника. -М.: Наука, 1984. 816с.

10. Стратонович P.JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966.

11. И.Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. -М.: Мир, 1978.

12. М.Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Нукова Думка, 1969.

13. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. -М.: Наука, 1980. 368с.

14. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974.

15. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. М.: Наука, 1977.

16. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. М.: Наука, 1984.

17. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

18. Роднищев Н.Е Оценка уровня безопасности полета самолета ТУ-154М с АБСУ-153-3 на режимах посадки. Идентификация ветровых возмущений, действующих на самолет в процессе летных испытаний. Отчет КАИ № 50 -89 ПМ, 1989.

19. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие танстендентные функции. М.: Наука, 1974. Т.2. 296с.

20. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики.-М.: Физматгиз, 1963.104с.

21. Качмарж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. 507с

22. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Физматгиз, 1963. 360с.

23. Роднищев Н.Е. Приближенный анализ точности дискретного оптимального управления нелинейных стохастических систем методом семиинвариантов. //Изв. вузов. Авиац. техника. 1987. № 1.

24. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний М.: Наука, 1975. 432с.

25. Казаков И.Е. Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983. 384с.

26. Мальчиков С.В. Приближенный метод определения закона распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1970. № 5. С 42 60.

27. Мальчиков С.В. Определение закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы. // Автоматика и телемеханика. 1973. № 11. С 16-21.

28. Дашевский M.JI. Техническая реализация моментно-семиинвариантного метода анализа случайных процессов // Автоматика и телемеханика. 1976. № 10. С 23-26.

29. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразования. -М.: Сов. радио, 1978. 376с.

30. Казаков И.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1956. Т. 17 №5. С 387-409.

31. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. -М.: Наука, 1976. 448с

32. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. К.: Наукова думка, 1978. 260с.

33. Пухов Г.Е. Войтенков И.Н. Основы стохастических дифференциальных преобра-зований // Электронное моделирование. 1988. Т. 10. № 6. С 3 11.

34. Ки J.H. On the analysis of nonlinear stochastic system // IX Междунар. Конф. По нелинейным колебаниям. Киев, 1981. Т. 1. С 200 207.

35. Синицын В.И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением // ДАН СССР. 1989. Т. 309. № 3. С 541 -544.

36. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных сигналов. М.: Сов. радио, 1965. 198с.

37. Артемьев В.М., Демидов Г.В. Определение плотности распределения решения дифференциального уравнения с помощью сплайнов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984. Т. 15. № 4.С. 3-10.

38. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действие малых случайных возмущений. М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. 424с

39. Вентцель А.Д. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 176с

40. Фейман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. -М.: Мир, 1968.

41. Кениг К.Э. Методика оценки уровня безопасности самолета Ту-154М с АБСУ-154-3 на режиме автоматической посадки по категории III А (по критерию точности управления). Отчет АНТХ «Авис». 1990.

42. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. 352с

43. Калугин А.П., Старцева Н.А., Сапегин К.В., Бабкина Н.Д. Предложения по алгоритму и пакету прикладных программ расчета на ЦВМ экстремальных возмущений для самолета с системой автоматической посадки. Отчет ЛИИ № 286-95-IX. 1996.

44. Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. -М.: Машиностроение, 1969.

45. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. -М.: Наука, 1976. 568с.

46. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. -М: Наука, 1976. 560с.

47. Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. Киев: Наукова думка. 1977. 252с.

48. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. -М.: Наука, 1977. 568с.

49. Кашкарова А.Г., Шин В.И. Модифицированные семиинвариантные методы анализа стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1986. №2. С 69-79.

50. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Шин В.И. Программная реализация метода нормальной аппроксимации в задачах анализа нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1987. № 2. С 62-68.

51. Каталуев А.Н., Малевинский М.Ф., Соломаха Г.М. Оценка точностных характеристик динамических систем на основе сплайнов Лагранжа // Изв. РАН Теория и системы управления. 2002. № 3 С. 56 63.

52. Тай М.Л. Условия сопряжения для плотности вероятности перехода многомерного марковского процесса // Изв. вузов, Радиофизика. 1965. № 8 С. 834-836.

53. Роднищев Н.Е. Необходимые условия оптимальности управления разрывных нелинейных стохастических систем с ограничениями // Изв. РАН, Теория и системы управления. № 6,2001.

54. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. -М.: Сов. радио .1968.256с.

55. Гнедеко Б.В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука. 1988.

56. Кожевников Ю.В. Осреднение управлений разрывных стохастических систем с пуассоновским потоком разрывов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1966. № З.С.11 22.

57. Роднищев Н.Е. Принцип оптимальности в среднем толерантных систем // Изв. вузов. Авиационная техника. 1986. № 2.

58. Единые западноевропейские нормы летной годности ЕЗЕНЛГ-ВП. Всепогодные полеты. Технический перевод №466.

59. Ворончихин В.М., Роднищев Н.Е., Харин Е.Г. Разработка методики оценки маловероятных событий применительно к режиму автоматической посадки. Технический отчет КГТУ, 2002г.

60. Калугин А.П., Старцева Н.А., Сапегин К.В, Бабкина Н.Д. Предложения по алгоритмам и пакету прикладных программ расчета на ЦВМ экстремальных возмущений для самолета с системой автоматической посадки. Технический отчет ЛИИ № 286-95-IX, 1996г.

61. Понтрягин Л.С., В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко «Математическая теория оптимальных процессов». Москва, «Наука», 1969г.

62. Новоженов Ю.В. Объектно-ориентированные технологии разработки сложных программных систем. М.: 1996

63. Калянов Г.Н. CASE. Структурный системный анализ (автоматизация и применение). М., "Лори", 1996.

64. Марка Д.А., МакГоуэн К. Методология структурного анализа и проектирования. М., "МетаТехнология", 1993.

65. Федоренко Р.П. «Приближенное решение задач оптимального управления». Москва, «Наука», 1978г.

66. Кейн В.М. «Оптимизация систем управления по минимаксному критерию». Москва, «НАУКА», ГРФМЛ, 1985г. 248с.

67. Fichtl G.H. «Nonstationary atmospheric boundary-level turbulence simulation» Journ. Of Aircraft, 1975 v. 12, №8

68. Luers J.K., Reeves J.B. «Wind shear effects on the landing of aircraft». Journ. Of Aircraft, 1975 v. 12, №7.