автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.17, диссертация на тему:Исследование и разработка алгоритмов параметрического синтеза устройств СВЧ в радиотехнических системах

Смирнов Александр Анатольевич

На правах рукописи

РП? од

- 4 т 2000

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА УСТРОЙСТВ СВЧ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.12.17 — Радиотехнические и телевизионные

системы и устройства

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Рязань 2000

Работа выполнена на кафедре радиоуправления и связи в Рязанской государственной радиотехнической академии.

Научный руководитель: кандидат технических наук,

доцент Маторин А.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ильинский А.С.,

доктор технических наук, доцент Васильев Е.П.

Ведущая организация: ОАО «Фазотрон» НИИ «Рассвет»

(г. Рязань)

Защита состоится « 2 » июня 2000 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 063.92.01 в Рязанской государственной радиотехнической академии по адресу: 391000, г. Рязань, ГСП, ул. Гагарина, д.59/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГРТА. Автореферат разослан « гч » 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент ""''¡Г^У В.И. Жулев

/.5"-И, о + /йг- 015ьи,0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большая насыщенность областей науки и техники радиоэлек->онной аппаратурой (РЭА) приводит к необходимости снижения массогабаритных пара-етров РЭА, повышения надежности и информационной емкости радиоканала, повыше--1Я быстродействия систем обработки информации и др. Один из подходов к решению их важнейших задач основывается на обработке сигналов сверхвысоких частот (СВЧ). рактическая реализация РЭА СВЧ базируется на технологии интегральных схем (ИС) СВЧ. роектирование устройств на ИС СВЧ требует, с одной стороны, создания эффективных ^числительных методов анализа, синтеза и статистического моделирования таких уст-эйств, а, с другой - строго электродинамического подхода при разработке математических оделей функциональных узлов ИС СВЧ.

Большой вклад в создание электродинамических основ проектирования и математи-:ского моделирования ИС СВЧ внесли российские ученые Вайнштейн JI.A., Веселов Г.И., икольский В.В., Гвоздев В.И., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Г., Ильинский A.C., Светиков А.Г., Шестопалов В.П., Сазонов Д.М., Каценеленбаум Б.З., Вольман В.И. и другие, а ноке сотрудники их научных школ.

Разработка устройств СВЧ (как и любой радиотехнической системы) включает три еобходимых этапа - анализа, синтеза и статистического моделирования. При этом все эти щачи приоритетно взаимосвязаны, т.е. каждая последующая задача эффективно решается элько при успешном решении предыдущей.

В основе современных методов анализа устройств СВЧ лежит принцип декомпози-ии. В соответствии с этим подходом анализ устройств СВЧ производится в два этапа. На ервом - строится модель устройства, состоящая из отдельных, так называемых базовых, тементов. Поэтому существенно важным является формирование достаточно полной биб-иотеки базовых элементов, обеспечивающей анализ и параметрический синтез устройств !ВЧ широкого класса. На втором этапе анализа определяется система параметров всего стройства в целом по известным характеристикам базовых элементов с помощью специ-пьных алгоритмов объединения. В этом аспекте одним из важных является вопрос о выбо-е и применении наиболее эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов объе-инения.

Основным этапом проектирования устройств СВЧ является параметрический син-

тез. Задача параметрического синтеза сводится к оптимизации соответствующих выхо, ных характеристик путем направленного изменения электрических параметров базовь элементов синтезируемого устройства. Методы решения задачи параметрического синте: устройств СВЧ относятся к классу нелинейных многоэкстремальных задач условной опт: мизации. Это обширное направление, которому посвящено огромное количество работ, тра] тующих проблему как с математических, так и с прикладных позиций. Наибольший вкл; в развитие методов локальной оптимизации внесли труды Дэвидона У., Флетчера Р., Пауэ. ла М., Бройдена К., Гольдфарба Д., Шанно Д., Гилла Ф. и Мюррея У., Фиакко А. и Mai Кормика Г., Барда Й., Гринштадта Дж., Розенброка X., Нелдера Дж. и Мида Р., Хука Р. Дживса Т. и других. Такое многообразие работ создает значительные трудности при выб< ре метода оптимизации для решения задачи параметрического синтеза устройств СВЧ. Сл1 дует отметить также, что для решения задачи синтеза устройств СВЧ в настоящее врел< используются относительно простые и неэффективные (с точки зрения вычислительны затрат) методы оптимизации. Поэтому представляет научный интерес исследование и ра работка эффективных методов и алгоритмов локальной оптимизации с учетом специфик задач параметрического синтеза устройств СВЧ.

Решение многоэкстремальных задач синтеза локальными методами оптимизаци (пусть даже самыми эффективными) не позволяет однозначно ответить на вопрос: получ< ны лучшие результаты или нет?

Ответ на этот вопрос может дать использование методов глобальной оптимизаци! Анализ широкого круга работ, посвященных этому направлению, показывает, что Teopt глобальной оптимизации исключительно богата идеями, хотя и значительно менее прор; ботанными, чем в случае локальной оптимизации. Основные принципы и методы глобал! ной оптимизации получили развитие в работах Торна А., Бранина Ф., Леви А. и Монтавл А., Ге Р., Диксона Л., Евтушенко Ю.Г., Данилина Ю.Г. и Пиявского С.А., Моцкуса Й.Б Жилинскаса А.Г., Шалтяниса В.Р., Стронгина Р.Г., Растригина Л. А., Ермакова С.М., Жш лявского A.A., Беллмана Р., Моисеева H.H., Васильева Ф.П., Батищева Д.И. и других. Такс состояние вопроса создает трудности в использовании алгоритмов глобальной оптимиз; ции при параметрическом синтезе устройств СВЧ. Кроме того, практическое применен« существующих методов для определения глобального экстремума с заданной точность! требует слишком больших вычислительных затрат. В этой связи актуальными являютс

:следование и разработка алгоритма оптимизации, состоящего из двух этапов - глобаль-эго и локального. На глобальном этапе находится только область глобального экстремума, го требует меньшего числа вычислений. На локальном - уточняется местоположение ппо-шьного экстремума с помощью одного из эффективных методов локальной оптимизации.

Значимость результатов параметрического синтеза устройств СВЧ определяется со-вдением расчетных характеристик и характеристик, полученных на этапе практической :ализации устройства. Это, в свою очередь, требует разработки методики статистического 1ализа устройств СВЧ, позволяющей определить статистическую устойчивость результате синтеза. Основой статистического анализа служит использование метода Монте-Карло теории непараметрических оценок функции плотности распределения вектора выходных фактеристик и ее основных моментов. Вопросы непараметрического оценивания функ-ии плотности распределения нашли отражение в работах Крамера Г., Бартлета М., Парзе-з Э., Розенблатта М., Девроя JL, Тихонова В.И., Ермакова С.М., Вапника В.Н., Епанечни-зва В.А., Надарая Э.А., Ченцова H.H. и других.

Вопросы синтеза, статистического моделирования и приоритетно связанные с эти-и проблемами задачи анализа устройств СВЧ как в научно-теоретическом плане, так и в сследовательско-вычислительном не достаточно полно отражены в литературе. Недоста-эчная проработка таких исследований связана, с одной стороны, с вычислительной слож-остью существующих алгоритмов анализа и синтеза, с другой - с отсутствием мощных рограммных средств.

Таким образом, вопросы исследования и разработки эффективных методов и алго-итмов анализа и синтеза устройств СВЧ, а также создания на их основе программного эмплекса являются важными и актуальными.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных алгоритмов нализа, параметрического синтеза устройств СВЧ и программного комплекса на их осно-е, обеспечивающих повышение качественных показателей устройств СВЧ современных адиотехнических систем.

Основные задачи научных исследований: . Разработка универсального алгоритма анализа устройств СВЧ, включающего процедуру расчета внутренних режимов и обеспечивающего эффективный параметрический синтез. . Формирование библиотеки базовых элементов как основы анализа и параметрического

синтеза широкого класса устройств СВЧ.

3. Исследование и разработка эффективных алгоритмов параметрического синтеза ус ройств СВЧ.

4. Разработка методики статистического анализа устройств СВЧ, позволяющей определил статистическую устойчивость полученных результатов синтеза.

5. Создание на базе полученных результатов программного комплекса параметрическо1 синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ.

Научная новизна диссертации определяется целью работы, кругом поставлены»

задач, методами их решения и.результатами, полученными впервые:

1. Предложен и исследован двухэтапный алгоритм параметрического синтеза устройсп СВЧ, состоящий в использовании на первом этапе методов динамического программ! рования и метода Фиакко и Мак-Кормика на втором. На примерах решения многоэкстр( мальных тестовых задач показано, что двухэтапный алгоритм обеспечивает высокую в роятность решения представительного класса тестовых задач уже при малом числе с< точных узлов. Установлено, что и при решении локальных тестовых задач эффекта: ность предложенного алгоритма с точки зрения вероятности решения и среднего числ вычислений целевой функции значительно превосходит (на 30-40 %) лучшие из методе локальной оптимизации.

2. На примерах синтеза реальных устройств СВЧ с использованием минимаксного и сре; неквадратического критериев подтверждена эффективность двухэтапного алгоритма ог тимизации при определении оптимального параметрического вектора. Показана робасп ность предложенного алгоритма синтеза к выбору вектора начальных параметров пр заданных ограничениях, что полностью исключает трудоемкую процедуру предварител ных оценок его на начальном этапе разработки устройств СВЧ.

3. Исследованы и реализованы различные методы локальной оптимизации квазиньютоно! ского типа с целью их использования в двухэтапном алгоритме синтеза устройств СВ1 Проведен анализ эффективности различных формул пересчета приближений обранда ной матрицы Гессе в квазиньютоновских методах. Предложена модификация рассмоп ренных методов, основными аспектами которой являются:

- использование на этапе выбора величины шага процедуры сплайн-интерполяции, не тр< бующей дополнительного вычисления градиента;

применение двухэтапной схемы пересчета прямой аппроксимации матрицы Гессе с использованием факторизации Холесского, гарантирующей численную положительную определенность приближенной матрицы;

■ введение адаптивной процедуры перехода от одной схемы численного определения градиента к другой.

Проведенная модификация позволяет сократить объем вычислительных затрат в среднем на 20-50 %. Методом статистических испытаний на представительном классе тестовых задач найдены оптимальные значения относительного конечно-разностного интервала для различных схем численного определения градиента, а также порога адаптационной процедуры.

. Дан анализ эффективности методов глобальной оптимизации с точки зрения их использования в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ. Исследованаэффекгивность метода динамического программирования, относящегося к классу декомпозиционных методов поиска глобального экстремума. Предложена модификация этого алгоритма, основу которой составляет:

■ применение интерполяции с использованием полинома Лагранжа при нахождении глобального экстремума функции оптимального соответствия;

использование процедуры адаптивного сдвига сеточных узлов на каждой итерации поиска.

Разработан и исследован вариант метода динамического программирования с использованием квазислучайной сетки. Показано, что предложенные методы повышают точность выхода в область глобального экстремума в среднем на 30-50 % и сокращают количество вычислений целевой функции в 2-10 раз. Результаты исследований подтверждают, что использование методов динамического программирования на первом этапе оптимизации позволяет найти хорошее начальное приближение, тяготеющее к достаточно глубокому локальному (в наилучшем случае - глобальному) экстремуму. . На базе полученных результатов создан программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ - «Модель-С».

Наибольшую научную значимость имеют исследование эффективности различ-ых методов локальной и глобальной оптимизации, модификация методов динамического рограммирования, Фиакко и Мак-Кормика, атакже предложенный на их основе двухэтап-

ный алгоритм параметрического синтеза устройств СВЧ.

Прастическая ценность работы состоит в том, что исследованные и развиты методы и алгоритмы реализованы в виде программного комплекса параметрического eut теза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ - «Модель-С».

Результаты диссертационной работы использованы и внедрены в учебном процесс на кафедре радиоуправления и связи Рязанской государственной радиотехнической акад< мии (РГРТА); в НИР «Математическое моделирование и синтез многоэлементных излуч; ющих структур. Активные антенны для телекоммуникаций и ТВ вещания, излучаю ни системы для радиочастотной гипертермии»; на предприятии ОАО «Фазотрон» НИИ «Рас свет», что подтверждено соответствующими актами.

Разработанные алгоритмы параметрического синтеза и статистического анализ могут применяться для синтеза различных радиотехнических систем, включая радиолою цию, радионавигацию, радиосвязь и радиоуправление.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, по, тверждаются выбором математических моделей, адекватно отражающих реальные физ1 ческие объекты, использованием эффективных, хорошо зарекомендовавших себя матем« тических методов анализа устройств СВЧ, многочисленными результатами тестирован! модифицированных алгоритмов огггимизации на представительном классе тестовых зада и реальных устройств СВЧ, контролем точности численных результатов при расчетах i ЭВМ, сравнением с экспериментальными результатами и результатами других авторо Достоверность полученных результатов подтверждается также успешным внедрением использованием предложенных алгоритмов.

В рамках сформулированной в работе проблемы на защиту выносятся следук щие результаты и положения:

1. Двухэтапный алгоритм решения задачи параметрического синтеза устройств СВЧ, вклк чающий использование методов динамического программирования на первом этапе методов локальной оптимизации квазиньютоновского типа на втором. Модификация программная реализация методов динамического программирования, Фиакко и Mai Кормика.

2. Теоретические и численные результаты исследования эффективности двухэтапного а: горитма в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ.

. Алгоритм анализа, обеспечивающий расчет внутренних режимов и эффективный параметрический синтез устройств СВЧ, и его программная реализация. . Методика статистического анализа устройств СВЧ, позволяющая определить поля допусков и статистическую устойчивость результатов анализа и синтеза. . Программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ - «Модель-С».

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались обсуждались на IV научно-методической конференции РРТИ «Методы обучения и орга-изации учебного процесса в вузе» (г. Рязань, 1993 г.), V Международной научно-техничес-ой конференции «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработ-и информации на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ» (г. Сергиев Посад, 995 г.), VII Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (с. )хотино, 1996 г.), V Международной научно-методической конференции вузов и факульте-ов телекоммуникаций (г. Москва, 1998 г.), Всероссийской научно-технической конферен-,ии студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в адиоэлекгронике» (г. Рязань, 1998 г.), IX научно-методической конференции РГРТА (г. язань, 1999 г.), Молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения» (г. Москва, 999 г.), I Всероссийской научно-технической конференции «Компьютерные технологии в ауке, проектировании и производстве» (г. Нижний Новгород, 1999 г.), а также на ежегод-ых научно-технических конференциях РГРТА (г. Рязань, 1994-1999 гг.)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 15 работ, в том числе учебно-методическое пособие, 3 статьи в центральной печати, 4 статьи в вестнике РГРТА, тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях, получены два сви-етельства об официальной регистрации программ для ЭВМ в Российском агентстве по агентам и товарным знакам. Материалы теоретических и экспериментальных исследова-ий, связанные с диссертацией, представлены в 1 заключительном отчете по хоздоговорен НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти пав основного текста, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 252 траницы, в том числе 162 страницы основного текста, 95 рисунков, 6 таблиц, список лите-атуры из 155 наименований и приложение на 90 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темь сформулированы цели и задачи исследований, научная новизна и практическая значимосп основные результаты и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены основные задачи разработки устройств СВЧ. Обоснс ван выбор матрицы рассеяния (¿'-матрицы) в качестве системы универсальных параметро устройств СВЧ с точки зрения построения на ее основе численно устойчивых и эффектш ных алгоритмов анализа.

Рассмотрены различные алгоритмы анализа устройств СВЧ. Обоснован выбор де композиционного циклического алгоритма как наиболее универсального и эффективного

Формально этот алгоритм может быть записан в виде:

Л[х,а] = Б (со),

где - оператор численной реализации декомпозиционного алгоритма

х = х2 ■ ■■хк ]Т - вектор параметров базовых элементов или параметрический вектор X = {х е Яд,: Ь, < х, < а,,;' = 1,...,ЛГ} - ограниченная замкнутая область допустимых пг раметров, со - круговая частота, Б (со) - частотно-зависимая система параметров устро? ства СВЧ, включающая в себя матрицу рассеяния и, в общем случае, коэффициенты перс дачи и отражения, определяющие внутренний режим работы устройства.

Рассмотрена задача параметрического синтеза устройств СВЧ как нелинейна многоэкстремальная задача условной оптимизации. При ее решении в качестве целево функции использована взвешенная /'-норма вектора невязки между расчетными и требу< мыми характеристиками устройства:

1 м\ I р

7 = 1

где Р = ... ^ ]Т - вектор характеристик устройства, V = [К, У2... К£ ]Т - вектор тре буемых характеристик, к которому надо приблизиться в области X, Д (а>к) > 0 - весовы функции, смысл которых заключается в формализации фактора относительной важност как /'-й характеристики, так и части диапазона рассматриваемых частот. Каждая из компс нент вектора Г может быть получена по некоторым правилам из элементов матрицы рас

еяния и (или) из характеристик внутреннего режима, т.е. /•} = /Д.S), i = 1,...,Z, ,ще /, -еобходимая функция в диапазоне частот.

При синтезе целевая функция строилась с использованием одного из двух критериев минимаксного и среднеквадратического:

l L м ,

Ф,(х) = тах , Ф2 = ДК).

iOjfc еДа> i=1 ,=и=1

Показано, что основными свойствами целевых функций являются: невозможность налитического определения градиента, наличие ограничений на параметрический вектор многоэкстремальность.

С учетом многоэкстремального характера целевых функций предложен алгоритм араметрического синтеза, состоящий из двух этапов - глобального и локального. На пером этапе с использованием одного из методов глобальной оптимизации находится грубое риближение оптимального параметрического вектора х* = arg min Ф(х) (область глобаль-

хеХ

ого экстремума). А на втором этапе компоненты вектора х * определяются с заданной очностью одним из локальных методов.

Во второй главе проведен анализ эффективности различных методов локальной птимизации в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ. Критериями эффектив-осги служили скорость сходимости, число вычислений целевой функции и надежное ре-jeime задачи с заданной точностью. Поэтому было проведено исследование ньютоновс-их и квазиньютоновских методов, обладающих сверхлинейной сходимостью.

Эти методы (как и многие другие) являются итерационными. В результате основное равнение для к-й итерации записывается в виде:

£ = 0,1,2...,

це hk > 0 - скалярная величина (длина шага), обеспечивающая неравенство D(3ca +hkdk)< Ф(хк), dk - направление поиска.

Проведен анализ различных процедур вычисления длины шага. Предложено исполь-ование на этапе выбора hk процедуры сплайн-интерполяции, которая исключает допол-ительное вычисление градиента, что обеспечивает сокращение вычислительных затрат в .5-2 раза, особенно с ростом размерности решаемых затрат.

Исследованы различные правила вычисления направления поиска dk , которые оп-

ределяют «лицо алгоритма» минимизации и его эффективность.

Так, в методе Ньютона направление поиска определяется системой линейных алгеб раических уравнений: Скйк Ск - матрица Гессе, матрица вторых частных про

изводных, а §к - вектор градиента функции ф(3с). Отмечено, что численное определение матрицы Гессе на каждой итерации существенно снижает скорость сходимости (из-за на личия ошибок округления и усечения), а также значительно увеличивает объем вычисли тельных затрат. Все это исключает возможность практического применения методов Нью тона в задачах синтеза устройств СВЧ.

В квазиньютоновских алгоритмах направление поиска Цк вычисляется по формуле с!к = -Нк§к, ще IIк - приближение обратной матрицы Гессе. Матрица Нк на перво! итерации является единичной и преобразуется от итерации к итерации в соответствии о следующей формулой пересчета: Нк+1 = Нк + 1!к, где 1/к - некоторая поправочная матри ца.

Исследована эффективность различных формул пересчета приближений обращен ной матрицы Гессе, использующих поправки разных рангов:

1. Симметричной формулы ранга один (БШ-формулы)

1 _ т

нк+1=нк+—-„ - чТ- ^к~Нкук){5к-Нкук)

(Ч-НкУк) У к

где вектор 1к = хк+1 - хк называется к-ы шагом, а ук = ~ёк~ соответствующе приращение градиента.

2. Симметричной формулы Пауэлла-Бройдена (РБВ-формулы)

„ _ (** ~ Нкук)у] + ук(,¿к - Нкук)т (^ ~Нкук)тук _ _т "к+1~"к+ -Т- _ /-Т- \2 УкУк .

УкУк (У к У к)

3. Формулы Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно (ВРСБ-формулы)

нм=нк-н^;Ик + Щ-+(?кнкук)щ$,гдег = ЪУк

УкНкУк skyk ¿¡ук уТщук

4. Формулы Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (БРР-формулы)

НкУкЯНк , Хк^к

нк+1 =нк--

ЯнкУк *кУк'

Исследованы квазиньютоновские алгоритмы другого типа, предполагающие непос-юдственную оценку Вк самой матрицы Гессе Ок, а не обратной к ней. В этом случае [аправление спуска определяется из уравнения Вкйк = -§к, которое решается с использо-¡анием разложения Холесского матрицы Вк = ЬкСк Ьгк. Использование факторизации Хо-[есского позволяет:

. Выявить ситуации, когда матрица Вк обусловлена так плохо, что вычисляемый вектор <1к из-за ошибок округления не будет направлением спуска. При этом факторы разложения можно подправить так, что обусловленность реализующей матрицы станет приемлемой.

!. Избежать потери положительной определенности матриц Вк, что на практике имеет место в обычных квазиньютоновских методах из-за ошибок округления.

Каждой квазиньютоновской формуле для пересчета оценки обратной матрицы Гес-:е Нк соответствует (в том смысле, что из ВкНк = I следует Вк+1Нк+1 = /, где / - еди-шчная матрица) формула пересчета матрицы Вк : . Преобразованная симметричная формула ранга один (БЯ1 -формула)

- -т

ы = к +дТ?"'где = У* + ■

\. Преобразованная ВРСБ-формула

- -т - -т п . &к&к , УкУк

к+1 ~Бк + -т- +"

8к^к Ук*к '

1. Преобразованная БРР-формула

- -т - -т _

„ Як Я к УкУк ,, 2 —Т \ — —Т - Ук Як

Вы + V* = ^---

8к ук*к Икякс1к

1спользование преобразованных формул пересчета исключает операцию умножения мат-

1ицы на вектор.

Проведена программная реализация алгоритма, использующего преобразованную $РС8-формулу. Результаты численного моделирования с использованием этого алгоритма юказали его недостаточную надежность при решении тестовых задач для случайного на-[ального вектора х0.

В этой связи была предложена двухэтапная схема пересчета матриц Вк . Если на чальное значение длины шага Ик таково, что не удовлетворяется услови Ф(*4 + ИкИк) < Ф(хк), и окончательное значение Ик вычисляется с использование» сплайн-интерполяции, то пересчет осуществляется стандартным образом - по преобразо ванной ВРОБ-формуле. При удачном вычислении начального значения Ик, т.е. при соблю дении условия <&{хк + Ькс1к) < Ф(3сл), пересчет ведется по следующей формуле:

где предложенная автором поправка ранга один была получена на основе леммы Шермана Моррисона-Вудбери. Использование такой двухэтапной схемы пересчета позволяет повь: сигь надежность алгоритма при сокращении вычислительных затрат на 6-12 %.

Проведено исследование влияния процедур численного определения градиента н эффективность квазиньютоновских методов. Для односторонней и двухсторонней схе! численного определения градиента предложена оценка абсолютного конечно-разностноп интервала, определяемая по формуле Д} = 5( 10"3+|*7|), У = 1,...,Аг,где 5 -относитель ный конечно-разностный интервал, одинаковый для всех компонент вектора градиенте Получена оптимальная величина интервала 8 е[10~5,10"4] на основе решения представи тельного класса тестовых задач методом статистических испытаний.

Предложена адаптивная процедура перехода от одной схемы численного определе ния градиента к другой. Условие перехода определяется следующим неравенством:

где <7 > 0 - величина, показывающая «существенность» убывания целевой функции от ит( рации к итерации (порог адаптационной процедуры). Получена статистическая оценка ог тимальной величины д е[10_3, Ю-2] при решении тестовых задач. Установлено, что ис пользование предложенной адаптивной процедуры приводит к сокращению числа вычис лений целевой функции на 20-40 %.

Рассмотрены особенности применения квазиньютоновских алгоритмов в метод барьерных функций (методе Фиакко и Мак-Кормика) при решении задач на условный экст ремум. При этом выражение для целевой функции записывается в ввде:

1 I^ibi-x^i-di))'

ie r > 0 - коэффициент штрафа, С, (х) - функциональные ограничения, вытекающие из :ловий устойчивости или физической реализуемости устройства.

Исследована специальная процедура спуска по направлению dk, включающая про-:рку соблюдения ограничений и эффективное правило сокращения недопустимого шага, [етодом Монте-Карло на широком классе тестовых задач найдена статистически значимая тгимальная величина изменения коэффициента коррекции шага а

е(1.04,1.06) . Найден-

эе значение коэффициента а обеспечивает сокращение объема вычислительных затрат на •10 %.

Разработана программная реализация методов Фиакко и Мак-Кормика (классичес->го и модифицированного). Классический метод Фиакко и Мак-Кормика строится на базе шиньютоновского метода с DFP-формулой пересчета. Для модифицированного метода иакко и Мак-Кормика исследована эффективность различных квазиньютоновских фор-ул пересчета: DFP-, BFGS-, PSB-, SRI- и преобразованной BFGS-формулы с разложением з Холесскому.

Оценка эффективности и надежности разработанных алгоритмов оптимизации про-вдилась на представительном множестве тестовых задач с использованием следующих •атистических критериев:

Оценка вероятности решения класса тестовых задач Рт = w;-1 Рт j >где PTj =nTjln - вероятность решения, а nTj - число решений j-й задачи; п - число начальных точек, из которых решается каждая из m тестовых задач.

Среднее число необходимых вычислений целевой функции для класса тестовых задач Мф = т~{ Л^фу , где Мф; = -среднее,а ифу - суммарное число необ-

ходимых вычислений целевой функции при решенииу-й задачи.

Сравнение полученных результатов тестирования показало высокую эффективность эедложенных модификаций метода Фиакко и Мак-Кормика (рис. 1). Так, использование одифицированного метода Фиакко и Мак-Кормика сокращает среднее число вычислений плевой функции на 20-50 % (рис. 2). Среди различных формул пересчета наиболее эффек-

тивными являются преобразованная ВРСБ-формула с разложением по Холесскому и ЭР формула.

1000 г м, 800 600 400 200 0

1

N задачи 4 5

50 40 30 20 10 О

гд,% / V пр.ВРСБ модиф. >

// Ч \

БРРмодиф.

N задачи

1

4

5

Рис. 1. Среднее число вычислений целевой функции при решении тестовых задач

Рис. 2. Относительный выигрыш модифицированного метода Фиакко и Мак-Корми

Все разработанные алгоритмы оптимизации обладают универсальностью и позв ляюг с высокой эффективностью решать задачи параметрического синтеза устройств СВ В третьей главе проведен сравнительный анализ эффективности различных мет дов поиска глобального экстремума:

- основанных на использовании алгоритмов локальной оптимизации;

- использующих ограниченную скорость изменения целевой функции;

- основанных на редукции размерности;

- основанных на использовании статистических моделей целевых функций;

- глобального случайного поиска;

- методов декомпозиции

в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ.

Установлено, что с точки зрения объема вычислительных затрат и возможности пр граммной реализации наиболее предпочтительными являются алгоритмы глобального сл чайного поиска и методы декомпозиции.

На представительном классе многоэкстремальных тестовых задач исследована пр граммная реализация случайного мультистарта. Алгоритм основан на случайном разбро точек с равномерным законом распределения в множестве оптимизации X и проведен! локального спуска из всех этих точек модифицированным методом Фиакко и Мак-Корм ка. Показано, что случайный мультистарт, не обеспечивая высокой вероятности решен: тестовых задач, требует очень большого объема вычислительных затрат.

Исследована эффективность метода динамического программирования. Этот метод "носится к классу методов декомпозиции поиска глобального экстремума, которые позво-[юг задачи большой размерности свести к последовательному решению ряда задач мень-ей размерности.

В основе реализованного алгоритма лежит итерационный процесс, на каждом этапе 1Торого находится вектор Зс"+1 путем решения (ТУ- 1)-шаговой задачи динамического про->аммирования. Так, на к-м шаге решения для всех хк,хм еХ и фиксированных значе-ш хпк+2,...,х"„ параметрического вектора х" (вектора, полученного на предыдущем

апе) рассчитывается функция

= .....^^

е х1(хк),...,хк_{(хк) - так называемые функции оптимального соответствия, построение на (&-1)-м шаге. Таким образом, на каждом шаге оптимизации рассматриваются все мбинации лишь двух переменных хк и хк+х, поскольку считается, что оптимальные знания к-1, к-2 и т.д. переменных были определены на предшествующих шагах расчета.

Соотношения Пк к = 1,2,...,7^-1, используются как рекуррентные для оп-:деления систем функций оптимального соответствия х^хк+1), ] = 1,2,... Д. На после-1ем, (М-1 )-м шаге решения задачи динамического программирования с помощью постро-[ной системы функций оптимального соответствия х •(хы), ] = 1,2,..., N -1, определяли вектор х"+1 такой, что Ф(5с"+1) < Ф(х"). Вектор х"+1 используется в качестве ¡ходного для следующего этапа итерационного процесса.

Практическая реализация данного алгоритма проводится на дискретном множестве, ида каждая из ^переменных может принимать т задаваемых на сетке значений.

На примерах решения тестовых задач показана эффективность применения метода шамического программирования на первой стадии двухэтапного алгоритма с целью вы-да в область глобального экстремума. При этом надежное решение этих задач достигать при числе сеточных узлов т > 10 - 20. Это приводит к увеличению вычислительных трат особенно с ростом размерности решаемых задач.

Проведена модификация данного алгоритма с целью повышения его эффективнос-I при малом числе сеточных узлов т < 3 - 8. Основу проведенной модификации состав-

ляет:

- применение интерполяции с использованием полинома Лагранжа при нахождении пк бального экстремума функции оптимального соответствия;

- использование процедуры адаптивного сдвига сеточных узлов на каждой итерации пои ка.

Поскольку с увеличением размерности решаемых задач применение регулярной сел приводит к хорошо известному в теории эффекту «затенения», разработан и исследовг вариант метода динамического программирования с использованием квазислучайной се ки. Результаты исследований показали, что предложенный метод оказался значительно э<] фекгивнее классического, практически не уступая модифицированному.

Показано, что предложенные методы повышают точность выхода в область глобал ного экстремума в среднем на 30-50 % и сокращают число вычислений целевой функции 2-10 раз.

Результаты исследований подтвердили, что использование методов динамическо! программирования на первом этапе оптимизации позволяет найти хорошее начальное пр1 ближение, тяготеющее к достаточно глубокому локальному (в наилучшем случае - глобал ному) экстремуму.

Предложен и исследован двухэтапный алгоритм параметрического синтеза устройс СВЧ, на первом этапе которого используются методы динамического программирован! (модифицированный или с квазислучайной сеткой), а на втором - модифицированный м тод Фиакко и Мак-Кормика. На примерах решения многоэкстремальных тестовых зад; показано, что двухэтапный алгоритм обеспечивает высокую вероятность решения Рт = рассматриваемого класса тестовых задач уже при малом числе сеточных узлов т< 3-5

Установлено, что и при решении локальных тестовых задач эффективность двух тапного алгоритма с точки зрения вероятности решения и среднего числа вычислений ц левой функции значительно превосходит (на 30-40 %) лучшие из квазиньютоновских мет дов локальной оптимизации.

В четвертой главе проведен параметрический синтез реальных устройств СВЧ использованием предложенного двухэтапного алгоритма, атакже исследована устойчивое полученных решений методом статистических испытаний.

Дана оценка различным методам анализа чувствительности устройств СВЧ. Отме-:но, что анализ чувствительности в классической постановке позволяет только частично »едвицеть отклонения реальных характеристик от расчетных, поскольку получаемые оценки тстонений носят точечный характер.

Для определения полей допусков входных параметров, при которых обеспечивается данный уровень отклонения выходных характеристик устройств СВЧ, использован метод атлетических испытаний (Монте-Карло). Основой метода служит циклическое определе-1е характеристик устройства при случайных выборках значений параметрического векго-I х из соответствующих полей до пусков. Исследованы различные методы формирования учайных величин с нормальным законом распределения. Использован датчик Бокса и юллера как наиболее быстрый и обеспечивающий высокую точность требуемого распре-ления.

Результатом статистического анализа устройства СВЧ является получение состоя-льных, несмещенных оценок выборочных моментов (математического ожидания, дис-:рсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса) и плотностей распределения выходных рактеристик.

Рассмотрены различные непараметрические методы оценки плотности вероятности (_у) по выборке значений выходного параметра у{ ,уг,...,уп :

Аппроксимирующая плотность вероятности (АПВ) - гистограммная оценка с использованием кубической сплайн-интерполяции, обеспечивающей убывание суммарной ошибки приближения быстрее чем п ~215, где п - объем выборки.

Ядерная оценка с использованием различных ядер аппроксимации: окно Розенблатга, гауссово ядро, оптимальное ядро (Епанечникова), ядра Бартлета. Проекционная оценка с использованием ряда Эджворта.

Перечисленные оценки были применены в задачах статистического анализа устройств 34 для определения поля допусков выходных характеристик.

На широком классе устройств СВЧ (согласующих устройств, усилителей, коммути-ющих, селективных и частотно-избирательных устройств) с использованием минимакс-1го и среднеквадратического критериев подтверждена эффективность двухэтапного алго-ггма синтеза при определении оптимального параметрического вектора х *. Для приме-

ра на рис. 3-8 приведены топологии и результаты синтеза:

- согласующей неоднородной микрополосковой линии для согласования входного сопр тивления транзистора, которое на частоте 1 ГГц аппроксимируется комплексным сопр тивлением (рис. 3,4);

- двухканального коммутатора СВЧ нар-1-п диодах в диапазоне от 1 до 2 ГГц, особенно тью которого является использование широкополосных микрополосковых короткозам]

0,8

2л

У4

2»] ^ ^

хххх1хххх.1хххх1ххху

ТОРОС

/

Рис. 3. Эквивалентная схема микрополоскового согласующего устройства

0,6 0,4 0,2

950

975

1000

]_ Г, МГц 1025 1050

Рис. 4. Значение коэффициента отражения согласующего устройства

1

Рис. 5. Топология двухканального коммутатора СВЧ на р-1-п диодах

0 -15

-30 -45

-60 I- после оптимизации

1000 1250 1500

Г, МГц 1750 2000

Рис. 6. Глубина развязки в коммутаторе в режиме запирания

XX

КЗ

'"1 ¿1 Рис. 7. Топология узкополосного планарного микрополоскового фильтра

0 гЬ,дБ

Г, МГI 945 965

Рис. 8. АЧХ узкополосного планарного микрополоскового фильтра

кающих шлейфов (рис. 5,6);

узкополосного планарного микрополоскового фильтра на основе близкорасположенных широких пленочных проводников с выборкой металла (рис. 7,8).

В результате оптимизации наблюдается улучшение выходных характеристик на 20-| %, в зависимости от используемых критериев синтеза, числа варьируемых параметров, а кже накладываемых ограничений.

Разработана методика синтеза планарного микрополоскового фильтра с использова-:ем минимаксного критерия. Она позволяет синтезировать фильтры такого типа как с рав-1ВОЛНОВОЙ, так и с максимально плоской АЧХ (рис. 8).

Исследование предложенных алгоритмов синтеза показало их робастность к выбо-вектора начальных параметров х0 при заданных ограничениях, что полностью исклюет трудоемкую процедуру предварительных оценок его на начальном этапе машинного юектирования устройств СВЧ.

Проведен статистический анализ синтезированных устройств СВЧ. Показана эф-:ктивность использования аппроксимаций функции плотности вероятности в виде АПВ, ра Бартлета и ряда Эджворта с точки зрения точности и вычислительных затрат. Провер-по критерию %2 показала, что при уровне значимости а = 0.05 полученные распреде-ния для исследованных устройств можно отнести к классу нормальных.

Результаты статистического моделирования подтверждают хорошую устойчивость лученных решений.

В пятой главе рассмотрены назначение, структура, особенности программной реа-зации и пользовательский интерфейс программного комплекса «Модель-С».

Программный комплекс «Модель-С» обеспечивает анализ, параметрический синтез эпределение статистических характеристик многоэлементных устройств СВЧ.

Разработан графический интерфейс пользователя, обеспечивающий: взаимодействие жду основными компонентами математического ядра комплекса и пользователем, про-спу и удобство ввода/вывода информации, унификацию отдельных программных моду-й и наглядность представления полученных результатов.

Решение задачи анализа в комплексе «Модель-С» проводится с использованием де-мпозиционного циклического алгоритма. При его программной реализации использован

ряд дополнительных приемов:

- введена специальная процедура, позволяющая вынести за тело основного алгоритма и обходимые вспомогательные расчеты. Это снимает априорную неопределенность тре€ емого объема памяти для вспомогательных матриц;

- разработан алгоритм анализа внутренних режимов;

- разработана и протестирована библиотека базовых элементов, включающая 57 базовь элементов (двухполюсники, четырехполюсники, многополюсники, отрезки линий, с средоточенные элементы, транзисторы, неоднородности полосковых и микрополоск вых линий) и имеющая возможность расширения.

Эти приемы приводят к сокращению вычислительных затрат при параметрическом сит зе устройств СВЧ на 40-60 %.

Задача параметрического синтеза устройств СВЧ в программном комплексе «М дель-С» решается с использованием разработанной библиотеки подпрограмм, охватыва! щей исследованные методы оптимизации: методы динамического программирования модифицированный метод Фиакко и Мак-Кормика с различными формулами пересчета При проведении параметрического синтеза выбираются вид целевой функции, вар ируемые параметры и границы их изменения.

Задача вероятностного анализа в программном комплексе «Модель-С» решает методом Монте-Карло с использованием нескольких видов непараметрических оценок: АП различные виды ядерных оценок, проекционные оценки (разложение в ряд Эджворта).

Рассмотрен пользовательский интерфейс программного комплекса «Модель-С» примере синтеза «классического» устройства СВЧ.

Программный комплекс «Модель-С» разработана на языке Си и Ассемблер. Испо; зование языка Си и Ассемблера при разработке математического ядра и интерфейса приЕ дит к уменьшению размера исполняемого модуля и увеличению производительности б а: вых алгоритмов. Проведено исследование влияния оптимизирующих свойств совреме ных Си-компиляторов на производительность вычислительных программ. Показано, ч наиболее компактный и производительный код генерирует компилятор Watcom C/C++10 который и был использован для создания программного комплекса «Модель-С».

Программный комплекс работает на компьютерах типа IBM PC с VGA адаптер! под управлением MS-DOS версии 3.30 и выше, занимает около 200К пространства на ж<

)м диске.

В заключении представлены основные результаты и выводы, полученные в работе, таны перспективы их практического использования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Предложен и исследован двухэтапный алгоритм параметрического синтеза устройств СВЧ, состоящий в использовании на первом этапе методов динамического программирования и метода Фиакко и Мак-Кормика на втором. На примерах решения многоэкстремальных тестовых задач показано, что двухэтапный алгоритм обеспечивает высокую вероятность решения Рт = 1 представительного класса тестовых задач уже при малом числе сеточных узлов т <3-5. Установлено, что и при решении локальных тестовых задач эффективность предложенного алгоритма с точки зрения вероятности решения и среднего числа вычислений целевой функции значительно превосходит (на 30-40 %) лучшие из методов локальной оптимизации.

На примерах синтеза реальных устройств СВЧ с использованием минимаксного и сред-неквадратического критериев подтверждена эффективность двухэтапного алгоритма оптимизации при определении оптимального параметрического вектора х *. Показана ро-□астность предложенного алгоритма синтеза к выбору вектора начальных параметров х0 при заданных ограничениях, что полностью исключает трудоемкую процедуру предварительных оценок его на начальном этапе разработки устройств СВЧ. Исследованы и реализованы различные методы локальной оптимизации квазиньютоновского типа с целью их использования в двухэтапном алгоритме синтеза устройств СВЧ. Проведен анализ эффективности различных формул пересчета приближений обращенной матрицы Гессе в квазиньюгоновских методах. Предложена модификация рассмотренных методов, основными аспектами которой являются:

использование на этапе выбора величины шага процедуры сплайн-интерполяции, не тре-5ующей дополнительного вычисления градиента;

применение двухэтапной схемы пересчета прямой аппроксимации матрицы Гессе с использованием факторизации Холесского, гарантирующей численную положительную определенность приближенной матрицы;

введение адаптивной процедуры перехода от одной схемы численного определения гра-

диента к другой.

На примерах решения тестовых задач показано, что проведенная модификация позво: ет сократить вычислительные затраты в среднем на 20-50 %. Методом статистическ испытаний на представительном классе тестовых задач найдены оптимальные значен относительного конечно-разностного интервала для различных схем численного опре; ления градиента, а также порога адаптационной процедуры.

4. Дан анализ эффективности методов глобальной оптимизации с точки зрения их испог зования в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ. Исследована эффективное метода динамического программирования, относящегося к классу декомпозиционн] методов поиска глобального экстремума. Предложена модификация этого алгоритг> основу которой составляет:

- применение интерполяции с использованием полинома Лагранжа при нахождении гг бального экстремума функции оптимального соответствия;

- использование процедуры адаптивного сдвига сеточных узлов на каждой итерации по! ка.

5. Разработан и исследован вариант метода динамического программирования с исполь: ванием квазислучайной сетки. Показано, что предложенные методы повышаютточнос выхода в область глобального экстремума в среднем на 30-50 % и сокращает количссп вычислений целевой функции в 2-10 раз. Результаты исследований подтверждают, ч использование методов динамического программирования на первом этапе оптими: ции позволяет найти хорошее начальное приближение, тяготеющее к достаточно глу( кому локальному (в наилучшем случае - глобальному) экстремуму.

6. На базе полученных результатов создан программный комплекс параметрического а . теза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ -.«Модель-С».

7. Разработанные алгоритмы параметрического синтеза и статистического анализа мог применяться для синтеза различных радиотехнических систем, включая радиолокаци радионавигацию, радиосвязь и радиоуправление.

В приложении приведены описание библиотеки базовых элементов и исходные т< сты программного комплекса «Модель-С», а также акты внедрения результатов диссер ционной работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Маторин A.B., Жгутов Е.В., Смирнов A.A. «Модель-С» - программа автоматизированного расчета многоэлементных устройств СВЧ // Методы обучения и организации учебного процесса в вузе: Труды IV научно-методической конференции РРТИ. Рязань, 1993. С. 68-73.

Козлов И.А., Селиванов C.B., Смирнов A.A. Решение полиномиальной задачи Золотарева для синтеза цепей и устройств // Радиотехника. 1994. №3. С. 32-35. Маторин A.B., Смирнов A.A., Купцов И.В. Параметрический синтез многоэлементных устройств СВЧ методом типа динамического программирования // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1995. №3. С.25,26.

Маторин A.B., Смирнов A.A. Анализ на персональных ЭВМ многоэлементных тонкопроволочных антенн методом интегродифференциальных уравнений // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1996. Т.4. №2. С.79,80.

Маторин A.B., Смирнов A.A. Алгоритм параметрического синтеза многоэлементных тонкопроволочных антенн и устройств СВЧ // Вестник РГРТА. 1997. Вып. 2. С. 85-92. Маторин A.B., Смирнов A.A. Результаты разработки методики и учебно-исследовательского программного комплекса параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ //Вестник РГРТА. 1998. Вып. 4. С. 71-82. Маторин A.B., Смирнов A.A. Оценка эффективности двухэтапного метода нелокальной оптимизации на основе решения тестовых задач // Вестник РГРТА. 1998. Вып. 5. С. 42-45.

Маторин A.B., Смирнов A.A., Купцов И.В. Анализ и параметрический синтез устройств СВЧ / Учеб. пособие. Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 1997.80 с. Маторин A.B., Смирнов A.A. Учебно-исследовательский программный комплекс автоматизированного проектирования устройств СВЧ // Тезисы докладов Международной научно-методической конференции вузов и факультетов телекоммуникаций. Москва, 1998. С.96.

.Маторин A.B., Смирнов A.A. Автоматизированное проектирование и статистический анализ устройств СВЧ // Новые информационные технологии в радиоэлектронике: Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. Рязань, 1998. С.57-59.

П.Маторин A.B., Смирнов A.A. Программный комплекс параметрического синтеза статистического анализа устройств СВЧII Компьютерные технологии в науке, пр ектировании и производстве: Тезисы докладов I Всероссийской научно-техническ конференции. Нижний Новгород, 1999. 4.1. С.17.

12.Маторин A.B., Смирнов A.A. Практика применения учебно-исследовательского пр граммного комплекса автоматизированного проектирования устройств СВЧ // Тру IX научно-методической конференции РГРТА. Рязань, 1999. С. 23-26.

13.Смирнов A.A., Пархонин Д.Е. Параметрический синтез и статистический анализ мн гоэлементных устройств СВЧ // Тезисы докладов молодежной научной конференц «XXV Гагаринские чтения». Москва, 1999. Т.2. С. 697.

14.Математическое моделирование и синтез многоэлементных излучающих структур. Р тивные антенны для телекоммуникаций и ТВ вещания, излучающие системы для рада частотной гипертермии: Отчет о НИР / РГРТА; Научный руководитель Маторин А Тема № 48-94 Г. № ГР 01990003051. Инв. № 02990001791. Рязань, 1999.

15.Маторин A.B., Смирнов A.A. Оценка влияния современных Си-компиляторов на npoi водительность вычислительных программ // Вестник РГРТА. 1999. Вып. 6 (в печати)

Соискатель

Смирнов A.A.

0. Введение.

1. Многоэлементные устройства СВЧ в радиотехнических системах.

1.1. Задачи разработки устройств СВЧ.

1.2. Выбор системы параметров при построении математических моделей устройств СВЧ.

1.3. Принцип декомпозиции. Математическая модель многоэлементного устройства СВЧ.

1.4. Алгоритмы численного анализа устройств СВЧ.

1.5. Параметрический синтез устройств СВЧ как нелинейная многоэкстремальная задача условной оптимизации.

1.6. Двухэтапный алгоритм параметрического синтеза устройств СВЧ.

1.7. Выводы.

2. Алгоритмы локальной оптимизации в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ.

2.1. Модельная схема методов локальной оптимизации.

2.2. Сравнительный анализ эффективности методов локальной оптимизации в задачах синтеза устройств СВЧ.

2.2.1. Метод Ньютона и квазиньютоновские алгоритмы.

2.2.2. Влияние процедур численного дифференцирования на эффективность квазиньютоновских методов.

2.2.3. Методы условной оптимизации.

2.3. Критерии останова.

2.4. Практическая реализация методов локальной оптимизации. Оценка их эффективности на основе решения тестовых задач.

2.5. Выводы.

3. Алгоритмы глобальной оптимизации в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ.

3.1. Методы поиска глобального экстремума, основанные на использовании алгоритмов локальной оптимизации.

3.2. Алгоритмы минимизации функций с ограниченной скоростью изменения.

3.3. Методы глобальной оптимизации, основанные на использовании статистических моделей целевых функций.

3.4. Глобальный случайный поиск.

3.5. Метод динамического программирования и его модификации.

3.6. Оценка эффективности методов динамического программирования в двухэтапном алгоритме глобальной оптимизации на примере решения тестовых задач.

3.7. Выводы.

4. Параметрический синтез и статистический анализ реальных устройств СВЧ.

4.1. Анализ чувствительности устройств СВЧ.

4.2. Статистический анализ устройств СВЧ.

4.3. Примеры параметрического синтеза и статистического анализа реальных устройств СВЧ.

4.4. Выводы.

5. Программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ "Модель-С".

5.1. Назначение, структура и особенности функционирования программного комплекса "Модель-С".

5.2. Пользовательский интерфейс программного комплекса "Модель-С"

5.3. Выводы.

Актуальность темы. Большая насыщенность областей науки и техники радиоэлектронной аппаратурой (РЭА) приводит к необходимости снижения массогабаритных параметров РЭА, повышения надежности и информационной емкости радиоканала, повышения быстродействия систем обработки информации и др. Один из подходов к решению этих важнейших задач основывается на обработке сигналов сверхвысоких частот (СВЧ). Практическая реализация РЭА СВЧ базируется на технологии интегральных схем (ИС) СВЧ. Проектирование устройств на ИС СВЧ требует, с одной стороны, создания эффективных вычислительных методов анализа, синтеза и статистического моделирования таких устройств, а, с другой - строго электродинамического подхода при разработке математических моделей функциональных узлов ИС СВЧ.

Большой вклад в создание электродинамических основ проектирования и математического моделирования ИС СВЧ внесли российские ученые Вайнштейн JI.A., Веселов Г.И., Никольский В.В., Гвоздев В.И., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Г., Ильинский A.C., Свешников А.Г., Шестопалов В.П., Сазонов Д.М., Каценеленбаум Б.З., Вольман В.И. и другие, а также сотрудники их научных школ [1-20,23,24].

Разработка устройств СВЧ (как и любой радиотехнической системы) включает три необходимых этапа - анализа, синтеза и статистического моделирования. При этом все эти задачи приоритетно взаимосвязаны, т.е. каждая последующая задача эффективно решается только при успешном решении предыдущей.

В основе современных методов анализа устройств СВЧ лежит принцип декомпозиции [1-10,12,14,17,20]. В соответствии с этим подходом анализ устройств СВЧ производится в два этапа. На первом - строится модель устройства, состоящая из отдельных, так называемых базовых, элементов. Поэтому существенно важным является формирование достаточно полной библиотеки базовых элементов, обеспечивающей анализ и параметрический синтез устройств СВЧ широкого класса. Для этого в ББЭ вводятся отрезки различных линий передачи, связанные линии, полосковые и микрополоско-вые неоднородности, полевые и биполярные транзисторы, сосредоточенные элементы, различные многополюсники и т.д. На втором этапе анализа определяется система параметров всего устройства в целом по известным характеристикам базовых элементов с помощью специальных алгоритмов объединения [2,5,7,17,20]. В этом аспекте одним из важных является вопрос о выборе и применении наиболее эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов объединения.

Основным этапом проектирования устройств СВЧ является параметрический синтез. Задача параметрического синтеза сводится к оптимизации соответствующих выходных характеристик путем направленного изменения электрических параметров базовых элементов синтезируемого устройства. Методы решения задачи параметрического синтеза устройств СВЧ относятся к классу нелинейных многоэкстремальных задач условной оптимизации. Это обширное направление, которому посвящено огромное количество работ [27-31,34-37,40,43-48,50-53,55-60,63,64,66-70], трактующих проблему как с математических, так и прикладных позиций. Наибольший вклад в развитие методов локальной оптимизации внесли труды Дэвидона У., Флетчера Р., Пауэлла М., Бройдена К., Гольдфарба Д., Шанно Д., Гилла Ф. и Мюррея У., Фиакко А. и Мак-Кормика Г., Барда Й., Гринштадта Дж., Розенброка X., Нелдера Дж. и Мида Р., Хука Р. и Дживса Т. и другие. Такое многообразие работ создает значительные трудности при выборе метода оптимизации для решения задачи параметрического синтеза устройств СВЧ. Следует отметить также, что в настоящее время в задачах синтеза устройств СВЧ используются относительно простые и неэффективные (с точки зрения вычислительных затрат) методы оптимизации. Поэтому представляет научный интерес исследование и разработка эффективных методов и алгоритмов локальной оптимизации с учетом специфики задач параметрического синтеза устройств СВЧ.

Решение многоэкстремальных задач синтеза локальными методами оптимизации (пусть даже самыми эффективными) не позволяет однозначно ответить на вопрос: получены лучшие результаты или нет?

Ответ на этот вопрос может дать использование методов глобальной оптимизации. Анализ широкого круга работ, посвященных этому направлению [72-120], показывает, что теория глобальной оптимизации исключительно разнообразна идеями, хотя и значительно менее проработанными, чем в случае локальной оптимизации. Основные принципы и методы глобальной оптимизации получили развитие в работах Торна А., Бранина Ф., Леви А. и Монтавло А., Ге Р., Диксона JL, Евтушенко Ю.Г., Данилина Ю.Г. и Пиявского С.А., Моцкуса И.Б., Жилинскаса А.Г., Шалтяниса В.Р., Стронгина Р.Г., Растригина JI.A., Ермакова С.М., Жиглявского A.A., Беллмана Р., Моисеева H.H., Васильева Ф.П., Батищева Д.И. и других. Такое состояние вопроса создает трудности использования алгоритмов глобальной оптимизации при параметрическом синтезе устройств СВЧ. Кроме того, практическое применение существующих методов для определения глобального экстремума с заданной точностью, требует слишком больших вычислительных затрат. В этой связи актуальным является исследование и разработка алгоритма оптимизации, состоящего из двух этапов - глобального и локального. На глобальном этапе находится только область глобального экстремума, что требует меньшего числа вычислений. На локальном - уточняется местоположение глобального экстремума с помощью одного из эффективных методов локальной оптимизации.

Значимость результатов параметрического синтеза устройств СВЧ определяется совпадением расчетных характеристик и характеристик, полученных на этапе практической реализации устройства. Это, в свою очередь, требует разработки методики статистического анализа устройств СВЧ, позволяющей определить статистическую устойчивость результатов синтеза.

Основой статистического анализа служит использование метода Монте-Карло и теории непараметрических оценок функции плотности распределения вектора выходных характеристик и ее основных моментов. Вопросы непараметрического оценивания функции плотности распределения нашли отражение в работах Крамера Г., Бартлета М., Парзена Э., Розенблатта М., Девроя Л., Тихонова В.И., Ермакова С.М., Вапника В.Н., Епанечникова В.А., Надарая Э.А., Ченцова H.H. и других [121-140].

Вопросы синтеза, статистического моделирования и приоритетно связанные с этими проблемами задачи анализа устройств СВЧ как в научно-теоретическом плане, так и в исследовательско-вычислительном не достаточно полно отражены в литературе. Недостаточная проработка таких исследований связана, с одной стороны, с вычислительной сложностью существующих алгоритмов анализа и синтеза, с другой стороны, отсутствием мощных программных средств. Необходимы определенные наработки в методах и программных средствах, чтобы появилась возможность решения задач параметрического синтеза устройств СВЧ с наперед заданной точностью.

Таким образом, вопросы исследования и разработки эффективных методов и алгоритмов анализа и синтеза устройств СВЧ, а также создания на их основе программного комплекса являются важными и актуальными.

Целью диссертационной работы является исследование и разработка эффективных алгоритмов анализа и параметрического синтеза устройств СВЧ, а также создания программного комплекса на их основе. Основные задачи научных исследований:

1. Разработка универсального алгоритма анализа устройств СВЧ, включающего процедуру расчета внутренних режимов и обеспечивающего эффективный параметрический синтез.

2. Формирование библиотеки базовых элементов, как основы анализа и синтеза широкого класса устройств СВЧ.

3. Исследование и разработка эффективных алгоритмов параметрического синтеза устройств СВЧ, включающего фильтры, трансформаторы, переключатели, фазовращатели, мостовые (гибридные) соединения, согласую-ще-симметрирующие устройства, активные СВЧ элементы, работающие в линейном режиме.

4. Разработка методики статистического анализа устройств СВЧ, позволяющей определить статистическую устойчивость полученных результатов синтеза.

5. Создание на базе полученных результатов программного комплекса параметрического синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ.

Наибольшую научную значимость имеет исследование эффективности различных методов локальной и глобальной оптимизации, модификация методов динамического программирования, Фиакко и Мак-Кормика, а также предложенный на их основе двухэтапный алгоритм параметрического синтеза устройств СВЧ.

Практическая ценность работы состоит в том, что исследованные и развитые методы и алгоритмы реализованы в виде программного комплекса параметрического синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ - "Модель-С".

Разработанные алгоритмы параметрического синтеза и статистического анализа могут применяться в различных радиотехнических системах, включая радиолокацию, радионавигацию, радиосвязь и радиоуправление.

Результаты диссертационной работы использованы и внедрены в учебном процессе на кафедре радиоуправления и связи Рязанской государственной радиотехнической академии (РГРТА); в НИР "Математическое моделирование и синтез многоэлементных излучающих структур. Активные антенны для телекоммуникаций и ТВ вещания, излучающие системы для радиочастотной гипертермии"; на предприятии ОАО "Фазотрон" НИИ "Рассвет", что подтверждено соответствующими актами.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, подтверждается выбором математических моделей, адекватно отражающих реальные физические объекты, использованием эффективных, хорошо зарекомендовавших себя математических методов анализа устройств СВЧ, многочисленными результатами тестирования модифицированных алгоритмов оптимизации на представительном классе тестовых задач и реальных устройств СВЧ, контролем точности численных результатов при расчетах на ЭВМ, сравнением с экспериментальными результатами и результатами других авторов. Достоверность полученных результатов подтверждается также успешным внедрением и использованием предложенных алгоритмов.

В рамках сформулированной в работе проблемы на защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Двухэтапный алгоритм решения задачи параметрического синтеза устройств СВЧ, включающий использование методов динамического программирования на первом этапе и методов локальной оптимизации квазиньютоновского типа на втором. Модификация и программная реализация методов динамического программирования, Фиакко и Мак-Кормика.

2. Теоретические и численные результаты исследования эффективности двухэтапного алгоритма в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ.

3. Алгоритм анализа, обеспечивающий расчет внутренних режимов и эффективный параметрический синтез устройств СВЧ, и его программная реализация.

4. Методика статистического анализа устройств СВЧ, позволяющая определить поля допусков и статистическую устойчивость результатов анализа и синтеза.

5. Программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ - "Модель-С".

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV научно-методической конференции РРТИ "Методы обучения и организации учебного процесса в ВУЗе" (г. Рязань, 1993 г.), V Международной научно-технической конференции "Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ" (г. Сергиев Посад, 1995 г.), VII Международной школе-семинаре "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (с. Охотино, 1996 г.), V Международной научно-методической конференции вузов и факультетов телекоммуникаций (г. Москва, 1998 г.), Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в радиоэлектронике" (г. Рязань, 1998 г.), IX научно-методической конференции РГРТА (г. Рязань, 1999 г.), Молодежной научной конференции "XXV Гага-ринские чтения" (г. Москва, 1999 г.), I Всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 1999 г.), а также на ежегодных научно-технических конференциях РГРТА (г. Рязань, 1994-1999 г.)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 15 работ, в том числе 1 учебно-методическое пособие, 3 статьи в центральной печати, 4 статьи в вестнике РГРТА, 6 тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях, получены два свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ в Российском агентстве по патентам и товарным знакам. Материалы теоретических и экспериментальных исследований, связанные с диссертацией, представлены в 1 заключительном отчете по хоздоговорной НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 252 страницы, в том числе 162 страницы основного текста, 95 рисунков, 6 таблиц, список литературы из 155 наименований и

5.3. Выводы

1. Разработан графический интерфейс пользователя, обеспечивающий:

- простоту и удобство ввода/вывода информации;

- унификацию отдельных программных модулей;

- наглядность представления полученных результатов.

2. Разработана и протестирована библиотека базовых элементов, включающая 57 базовых элементов и имеющая возможность расширения.

3. Разработан пакет минимизации, охватывающий исследованные методы оптимизации: методы динамического программирования, модифицированный метод Фиакко и Мак-Кормика с различными формулами пересчета.

4. Осуществлена программная реализация исследованных алгоритмов с использованием оптимизирующего компилятора \Vatcom С++ 10.0, обеспечивающего высокую производительность и компактность генерируемого кода.

5. На базе полученных результатов создан программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ - "Модель-С". основными аспектами которой являются:

- использование на этапе выбора величины шага процедуры сплайн-интерполяции, не требующей дополнительного вычисления градиента;

- применение двухэтапной схемы пересчета прямой аппроксимации матрицы Гессе с использованием факторизации Холесского, гарантирующей численную положительную определенность приближенной матрицы;

- введение адаптивной процедуры перехода от одной схемы численного дифференцирования к другой.

На примерах решения тестовых задач показано, что проведенная модификация позволяет сократить вычислительные затраты в среднем на 20-50 %. Методом статистических испытаний на представительном классе тестовых задач найдены оптимальные значения относительного конечно-разностного интервала для различных схем численного определения градиента, а также порога адаптационной процедуры. 5. Дан анализ эффективности методов глобальной оптимизации с точки зрения их использования в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ. Исследована эффективность метода динамического программирования, относящегося к классу декомпозиционных методов поиска глобального экстремума. Предложена модификация этого алгоритма, основу которой составляет:

- применение интерполяции с использованием полинома Лагранжа при нахождении глобального экстремума функции оптимального соответствия;

- использование процедуры адаптивного сдвига сеточных узлов на каждой итерации поиска.

Разработан и исследован вариант метода динамического программирования с использованием квазислучайной сетки. Показано, что предложенные методы повышают точность выхода в область глобального экстремума в среднем на 30-50 % и сокращает число вычислений целевой функции в 210 раз. Результаты исследований подтверждают, что использование мето

149 дов динамического программирования на первом этапе оптимизации позволяет найти хорошее начальное приближение, тяготеющее к достаточно глубокому локальному (в наилучшем случае - глобальному) экстремуму.

6. На базе полученных результатов создан программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ- "Модель-С".

7. Разработанные алгоритмы параметрического синтеза и статистического анализа могут применяться в различных радиотехнических системах, включая радиолокацию, радионавигацию, радиосвязь и радиоуправление.

1. Автоматизированное проектирование антенн и устройств СВЧ / Д.И. Воскресенский, С.Д. Кременецкий, А.Ю. Гринев, Ю.В. Котов. М.: Радио и связь. 1988.

2. Автоматизированное проектирование устройств СВЧ / В.В. Никольский, В.П. Орлов, В.Г. Феоктистов и др.; Под ред. В.В. Никольского. М.: Радио и связь. 1982.

3. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных антенных решеток / Под ред. Д.И. Воскресенского. 2-е изд., доп. и перераб. М.: Радио и связь. 1994.

4. Васильев Е.П. Автоматизированное проектирование микроэлектронных устройств СВЧ. Программа анализа ПОИСК: Метод, указания / Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань. 1997. 40 с.

5. Гупта К., Гардж Р., Чадха Р. Машинное проектирование СВЧ устройств: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1987.

6. Дафф И.С. Обзор исследований по разреженным матрицам // ТИИЭР.1977. Т. 65. № 4. С. 5-46.

7. Козлов В.И., Юфит Г.А. Проектирование устройств СВЧ с помощью ЭВМ. М.: Сов. радио. 1975.

8. Левин О.И. Комплекс программ параметрического синтеза каскадных устройств и трактов. Обмен опытом в радиопромышленности / НИИЭИР. М.1978. Вып. 4-5, С. 112-115.

9. Ю.Машинное проектирование устройств и систем СВЧ / Под ред. В.В. Никольского. М.: МИРЭА. 1978.11 .Машинные методы проектирования СВЧ устройств в 2-х т. / Под ред. A.C.

10. Ильинского и В.В. Никольского. М.: МГУ. 1976.

11. Микроэлектронные устройства СВЧ / Под ред. Г.И. Веселова. М.: Высш. шк. 1988.

12. И.Михайлов В.Б. Пакет программ схемотехнического проектирования аналоговых СВЧ-микросхем // Автоматизация проектирования, №2. 1997. С.9-29.

13. Мишустин Б.А. Автоматизированный анализ линейных радиоэлектронных устройств / Под ред. Д.М. Сазонова. М.: МЭИ. 1985. 64 с.

14. Новые рубежи САПР в электронной технике. Автоматизированное проектирование СВЧ устройств // Электроника. 1985. № 4. С. 43-46.

15. Радченко В.В. Анализ и оптимизация характеристик активных и пассивных микрополосковых СВЧ-устройств на персональных ЭВМ // Электронная техника. Сер. СВЧ-техника. Вып. 2 (466). 1995. С. 45-53.

16. Сазонов Д.М., Гридин А.Н., Мишустин Б.А. Устройства СВЧ. М.: Высш. шк. 1981.

17. Система автоматизированного проектирования СВЧ гибридных микросхем / С.И. Ребров, С.А. Зайцев, А.Н. Королев и др. // Электронная промышленность. 1979. Вып. 7(79). С. 48-51.

18. Сквозное автоматизированное проектирование микроэлектронной аппаратуры / З.Ю. Готра, В.В. Григорьев, Л.М. Смеркло, В.М. Эйдельнант. М.: Радио и связь. 1989.

19. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств / С.И. Бахарев, В.И. Вольман и др.; Под ред. В.И. Вольмана. М.: Радио и связь. 1982.

20. Тьаюрсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир. 1977.

21. Тюхтин М.Ф., Носов Ю.Л. Автоматизация конструкторского проектирования с применением САПР. Учебн. пособие / Казан, авиац. инст. Казань. 1987.36 с.

22. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.1. M.: Физматгиз. 1963.24.4ya J1.0., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. Алгоритмы и вычислительные методы. М.: Энергия. 1980.

23. RF and microwave CAD: a review of present status // Microwave J. №1. 1993. P. 139-146.

24. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее применения. М.: Мир. 1972.

25. Аоки М. Введение в методы оптимизации. Основы и приложения нелинейного программирования. М.: Наука. 1977.

26. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир. 1982.

27. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь. 1988.

28. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Финансы и статистика. 1979.

29. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения. Киев: Вища школа. 1983.

30. Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь. 1985.

31. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука. 1983.

32. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1988.

33. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир. 1985.

34. Гусин С.Ю., Омельянов Г.А., Резников Г.А., Сироткин B.C. Минимизация в инженерных расчетах на ЭВМ. М.: Машиностроение. 1981.

35. Деннис Дж., мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир. 1988.

36. Завьялов Ю.С. Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука. 1980.

37. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной reoметрии. М.: Машиностроение. 1985.40.3ангвилл У.И. Нелинейное программирование. М.: Сов. радио. 1973.

38. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука. 1984.

39. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. М.: Наука. 1988.

40. Ларичев О.И., Горвиц Г.Г. Методы поиска локального экстремума овражных функций. М.: Наука. 1990.

41. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука. 1978.

42. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988.

43. Немировский A.C., Нестеров Ю.Е. Оптимальные методы гладкой выпуклой минимизации // ЖВМиФМ. 1985. Т. 25. № 3. С. 356-369.

44. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука. 1979.48,Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир. 1975.

45. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир. 1983.

46. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир. 1974.

47. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983.

48. Поляк Б.Т. О скорости сходимости метода штрафных функций. // ЖВМиМФ. 1971. Т. 11. № 1.С. 3-11.

49. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука. 1975.

50. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир. 1984.

51. Рейклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. В 2-хкнигах. М.: Мир. 1986.

52. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для инженеров химиков. М.: Мир. 1968.

53. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

54. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1977.

55. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир. 1973.

56. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука. 1986.

57. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение. 1976.

58. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука. 1970.

59. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука. 1979.

60. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир. 1972.

61. Форсайт Дж., Мальколм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир. 1980.

62. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир. 1967.

63. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1979.

64. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир. 1975.

65. Хорн P.A., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир. 1989. 70.Численные методы условной оптимизации / Под ред. Ф. Гилла и У. Мюррея. М.: Мир. 1977.

66. Gill P.E., Golub G.H., Murray W. Sanders M.A. Methods for modifying matrix factorizations // Math. Comp. 1974. № 28. P. 505-535.

67. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

68. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

69. Бистрицкас В.Б. Приближенное решение уравнений динамического программирования // ЖВМиМФ. 1985. Т.25. №8. С.1131-1142.

70. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Сов. радио, 1975.

71. Вайсборд Э.М. О сходимости одного метода случайного поиска // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. №3. С. 54-59.

72. Вайсборд Э.М. О сходимости одного метода случайного поиска глобального экстремума многоэкстремальной функции // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1969. № 1. С. 47-49.

73. Вайсборд Э.М., Юдин Д.Б. Многоэкстремальная стохастическая аппроксимация // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. № 5. С. 3-13.

74. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: Изд. БГУ, 1975.

75. Ганшин Г.С. Вычисление наибольшего значения функций нескольких переменных // Кибернетика. 1983. № 2. С. 61-63.

76. Жилинскас А.Г. Глобальная оптимизация. Аксиоматика статистических моделей, алгоритмы, применения. Вильнюс: Мокслас, 1986.

77. Зализняк Н.Ф., Лигун A.A. Об оптимальных стратегиях поиска глобального максимума функции // ЖВМи.МФ. 1978. № 2. С. 314-321.

78. Иванов В.В., Гирлин С.К., Людвиченко В.А. Проблемы и результаты глобального поиска для гладких функций // Вопр. кибернетики. 1985. Т. 122.1. С.3-13.

79. Катковник В.Я. Линейные оценки н стохастические задачи оптимизации. М.: Наука, 1976.

80. Лбов Г.С. Алгоритмы поиска приближенного значения глобального экстремума функции // Проблемы случайного поиска, вып. 8. Рига: Зинатне, 1980, С. 92-115.

81. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

82. Моисеев Н.П. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

83. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, ч. 1, 2. М.: Наука, 1965, 1967.

84. Моцкус Й.Б., Моцкус Л.Й. Байесовый подход к глобальной оптимизации и приложения // Теория оптимальных решений, вып. 12. Вильнюс: Ин-т матем. и киберн. АН ЛитССР, 1987, С. 54-70.

85. Нефедов В. Н. Отыскание глобального максимума функции нескольких переменных на множестве, заданном ограничениями типа неравенств // ЖВМиМФ. 1987. №. 1. С. 35-51.

86. Пиявский С.А. Алгоритмы отыскания абсолютного минимума функций // Теория оптимальных решений, вып. 2. Киев: ИК АН УССР, 1967. С. 13-24.

87. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функции // ЖВМиМФ. 1972. № 4. С. 888-896.

88. Поповкин В.И., Маторин A.B. Синтез антенных решеток методом типа динамического программирования // Радиотехника и электроника, 1974. Т.19. №10. С.2029.

89. Пшеничный Б.Н., Марченко Д.И. Об одном подходе к нахождению глобального минимума // Теория оптимальных решений, вып. 2. Киев: ИК АН УССР, 1967. С. 3-12.

90. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.

91. Соболь И.М. Точки, равномерно заполняющие многомерный куб. М.: Знание, 1985.

92. Стронгин Р.Г. Информационный метод многоэкстремальной минимизации при измерениях с помехами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1969. №6. С. 118-126.

93. ЮО.Стронгин Р.Г. Класс информационных алгоритмов для поиска глобального экстремума//Вопросы кибернетики. 1985. Т. 122. С. 121-134.

94. Стронгин Р.Г. Простой алгоритм поиска глобального экстремума функции нескольких переменных и его использование в задаче аппроксимации функции//Радиофизика. 1972. № 7. С. 1077-1084.

95. Стронгин Р.Г. Численные методы многоэкстремальной минимизации. М.: Наука, 1978.

96. Федорова И. Поиск глобального оптимума в многоэкстремальных задачах // Теория оптимальных решений, вып. 4. Вильнюс: Ин-т матем. и ки-берн. АН. ЛитССР. 1978. С. 93-100.

97. Харламов Б.П. Алгоритмы стохастического поиска максимума в детерминистическом поле // Тр. МИ АН СССР. 1965. Т. 79. С. 71-75.

98. Хасьминский Р.З. Применение случайного поиска в задачах оптимизации и опознования // Проблемы передачи информации. 1965. № 3. С. 113117.

99. Юб.Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана // Докл. АН СССР. 1978. Т.242. №5. С. 10231026.

100. Шалтянис В.Р. Об одном методе многоэкстремальной оптимизации // Автоматика и вычисл. техника. 1971. № 3. С. 33-38.

101. Ширяев A.M. Вероятность. М.: Наука, 1980.

102. Bially Т. Space filling curves: their generation, and their application to band with reduction // IEEE Trans, on Inform. Theory. 1969. V. 15, №6. P. 658-664.

103. Branin F.H. A widely convergent method for finding multiple solutions of simultaneous non-linear equations // IBM J. Res. Develop. 1972. V. 16. P. 504522.

104. Brooks S.H. Discussion of random methods for locating surface maxima // Operations research. 1958. V. 6. P. 244-251.

105. Devroye L. Progressive global random search of continuous functions // Mathematical Programming. 1978. V. 15. P. 330-342.

106. Ge R.P. A filled function method for finding a global minimizer // Presented at the Dundee Biennial Conference on Numerical Analysis. Dundee, 1983.

107. Ge R.P., Qin Y.F. A class of filled functions for finding global minimizers of a function of several variables // J. Optirniz. Theory and Applic. 1987, V. 54, №2. P. 241-252.

108. Kirkpatrick S., Gelatt C.D., Vecchi M.P. Optimization by simulating annealing // Science. 1983. V. 220. P. 671-680.

109. Levy A.V., Montalvo A. The tunelling algorithm for the global minimization of functions // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1985. V. 6, №1. P. 15-29.

110. Mockus J. Bayesian approach to global optimization. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.

111. Schagen I.P. Stochastic interpolation functions: applications in optimization // J. Inst. Appl. 1980. V.26. P.93-101.

112. Schagen LP. The use of stochastic processes in interpolation and approximation // Intern. J. Computer Math., sec. B. 1980. V.8. P. 63-76.

113. Torn A. A search-clustering approach to global optimization // Towards Global Optimization 2. Amsterdam: North Holland, 1978. P. 49-62.

114. Айвазян C.A., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

115. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

116. Айду Ф.А. Сплайны в задаче непараметрической оценки плотности //1. АиТ. 1987.

117. Вапник В.Н., Стефанюк А.Р. Непараметрические методы восстановления плотности вероятностей // АиТ. 1978. 8. С.38-52.

118. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио. 1973.

119. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Сов. радио, 1965.

120. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.128.3акс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976.

121. Калахан Д. Методы машинного расчета электронных схем. М.: Мир, 1970.

122. Кендалл М.Дж., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

123. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ. 2-е изд. М.: Мир, 1975.

124. Маттей Г.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи, тт. 1,2. М.: Связь, 1971.

125. Надарая Э.А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси: ТГУ, 1983.

126. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971.

127. Сызранов В.А., Ильченко М.Е. Компактные полоснопропускающие мик-рополосковые фильтры. // 7-я Международной Крымская конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" (КрыМиКо'97): материалы конференции. Севастополь. 1997. Т.1. С. 146-148.

128. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.

129. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп.1. M.: Радио и связь, 1982.

130. Ченцов H.H. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.: Наука, 1972.

131. Шалыгин A.C., Палагин Ю.Н. Прикладные методы статистического моделирования. JL: Машиностроение, 1986.

132. Шапиро Е.И. Непараметрические оценки плотности вероятности в задачах обработки результатов наблюдений // Зарубеж. радиоэлектроника, 1976. №2. С.3-36.

133. Маторин A.B., Жгутов Е.В., Смирнов A.A. "Модель-С" программа автоматизированного расчета многоэлементных устройств СВЧ // Методы обучения и организации учебного процесса в ВУЗе: Труды IV научно-методической конференции РРТИ. Рязань. 1993. С. 68-73.

134. Козлов H.A., Селиванов C.B., Смирнов A.A. Решение полиномиальной задачи Золотарева для синтеза цепей и устройств // Радиотехника. 1994. №3. С. 32-35.

135. МЗ.Маторин A.B., Смирнов A.A., Купцов И.В. Параметрический синтез многоэлементных устройств СВЧ методом типа динамического программирования // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1995. №3. С.25,26.

136. Маторин A.B., Смирнов A.A. Анализ на персональных ЭВМ многоэлементных тонкопроволочных антенн методом интегродифференциальных уравнений // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1996. Т.4. №2. С.79,80.

137. Маторин A.B., Смирнов A.A. Алгоритм параметрического синтеза многоэлементных тонкопроволочных антенн и устройств СВЧ // Вестник РГРТА. 1997. Вып. 2. С. 85-92.

138. Маторин A.B., Смирнов A.A. Результаты разработки методики и учебно-исследовательского программного комплекса параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ // Вестник РГРТА. 1998. Вып. 4. С. 71-82.

139. Маторин A.B., Смирнов A.A. Оценка эффективности двухэтапного метода нелокальной оптимизации на основе решения тестовых задач // Вестник РГРТА. 1998. Вып. 5. С. 42-45.

140. Маторин A.B., Смирнов A.A., Купцов И.В. Анализ и параметрический синтез устройств СВЧ / Учебн. пособие. Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань. 1997. 80 с.

141. Маторин A.B., Смирнов A.A. Учебно-исследовательский программный комплекс автоматизированного проектирования устройств СВЧ // Тезисы докладов Международной научно-методической конференции вузов и факультетов телекоммуникаций. Москва. 1998. С.96.

142. Маторин A.B., Смирнов A.A. Практика применения учебно-исследовательского программного комплекса автоматизированного проектирования устройств СВЧ // Труды IX научно-методической конференции РГРТА. Рязань. 1999. С. 23-26.

143. Смирнов A.A., Пархонин Д.Е. Параметрический синтез и статистический анализ многоэлементных устройств СВЧ // Тезисы докладов молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения". Москва. 1999. Т.2. С. 697.