автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование чувствительности характеристик надёжности дублированных систем в случайной среде

На правах рукописи

ЧАН АНЬ НГИА

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЁЖНОСТИ ДУБЛИРОВАННЫХ СИСТЕМ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 НАР 2015

Москва - 2015

005560051

005560051

Работа выполнена на кафедре прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Рыков Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: Ивницкий Виктор Аронович д.ф.-м.н.,

профессор, профессор кафедры автоматизированных систем управления Московского государственного университета путей сообщения,

Гамкрелидзе Николай Георгиевич д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры высшей математики Российского государственного университета нефти и газа имени И.М. Губкина

Ведущая организация: Московский институт электроники и мате-

матики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Защита диссертации состоится «24» апреля 2015 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной Библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.б. (Отзывы на автореферате просьба направлять по указанному адресу) или на официальном сайте диссоветов РУДН по адресу: http://dissovet.rudn.ru./.

Автореферат разослан марта 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

М.Б.Фомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из центральных проблем изучения природы является анализ устойчивости систем к малым изменениям внешних параметров. Этим вопросам посвящены классические работы Ляпунова, Пуанкаре и до. в области устойчивости систем дифференциальных уравнений.

Большинство современных технических систем, в том числе систем передачи информации и телекоммуникационных систем, функционируют в условиях изменяющейся внешней среды, которые носят как регулярный (смены времён года), так и случайный характер, причём частота этих изменений может быть как соизмеримой с частотой отказов системы, так и быть значительно больше или меньше неё. Влияние этих факторов на надёжность системы представляет значительный интерес в условиях быстро развивающихся технических возможностей современного мира. Поэтому исследование надёжности систем, работающих в случайной среде, является частью глобальной задачи исследования устойчивости систем к внешним воздействиям и представляется актуальным и интересным как в теоретическом, так и в прикладном плане.

С другой стороны одним яз принципиальных вопросов анализа поведения сложных систем является исследование их устойчивости к изменениям их исходных параметров. Применительно к стохастическим системам важным вопросом является исследование чувствительности их выходных характеристик к виду функций распределения входных параметров. Поэтому исследование чувствительности стационарных и не стационарных характеристик надёжности систем к виду распределений времени безотказной работы и времени ремонта их элементов также представляется весьма актуальным.

В диссертации исследуется влияние изменчивости внешней среды на характеристики надёжности системы, с одной стороны, и чувствительность характеристик надёжности систем к виду функций распределения (ф.р.) времени безотказной работы (в.б.р.) и времени ремонта - с другой.

Обзор предшествующих исследований.

Существует ряд работ, посвященных исследованию поведения систем массового обслуживания (СМО), работающих в случайной среде. Одной из первых работ, посвященной этой проблематике, была работа Эйсена и Тай-нитера которые исследовали систему < М/М/1(МЕ) > в предположении,

1 Eisen /Vf., Tainiler М. Stochastic vaxiatioiis in queueing processes // Opens. Res. 1903. V. 11. P. S22-927.

что среда может находиться только в двух состояниях. (Здесь и далее угловые скобки "< >" используются для обозначения замкнутых систем обслуживания, с ограниченным числом источников заявок. Символы GI (GI -General Independent) используется для указания рекуррентного потока отказов на первом месте или рекуррентного механизма восстановления элементов на втором и заменяется символом М для показательных распределений в.б.р. или времени ремонта или специальными символами для иных распределений, например Ек{\) для распределения Эрланга с параметрами (к, А), а обозначение в скобках (ME - Markov Environment) означает, что соответствующая система функционирует в случайной марковской среде.)

Эта система была исследована также в работе Наора и Ехиали 2, а затем обобщена в Ехиали 3 на случай произвольного конечного числа состояний внешней среды.

Ныотс4, использовал матрично-аналитический подход для исследования поведения одно- и много-линейных систем в случайной среде. Затем модели < М/М/ЦМЕ) > и < М/М/оо(МЕ) > исследовались в работах Пюрдю 5 и О'Цинниди и Пюрдю 6.

Дальнейшее развитие этой проблематики развивалось в направлении расширения исследования поведения систем обслуживания в различных направлениях, связанных с обобщением моделей входящего потока, механизма обслуживания и структуры случайной внешней среды. Достаточно подробный обзор современных работ иа эту тему можно найти, например, в работах Клименок, Мушко, Дудина и др. 7,8.

В работах школы Томского государственного университета A.M. Горце-ва и А.А. Назарова исследуются С МО с входящими потоками случайной интенсивности, которые также допускают интерпретацию случайной внешней среды.

2Naor P., Yechiali U. Queueing problems with heterogeneous arrivals and service // Opens. Res. 1971. V. 19. № 3. P. 722-734.

3 Yechiali U. A queueing tipe birth and death process defined as a continuous time markov chain // Opens. Res. 1973. V. 21. .V 2. P. G04-629.

'Neuts M.F. A queue subject to extraneous phase changes // Adv. Appl. Prob. 1971. V. 3. P. 78-119.

5Purdue P. The Af/Ai/1 queue in a markovian environment // Operations Research. 1974. V. 22. № 3. P. 562-569..

0 O'C'inneid?. C.A., Purdue P. The M/M/oo queue in a random environment // J. of Applied Probability. 1986. V. 23. № 1. P. 175-184.

7Kim C.S., Klimenok V., Mnshko V., Dvdin A. The BMAP/PH/N retrial queueing system operating in markovian random environment // Computers & Operations Research. 2010. .V 37. P. 1228-1237.

8 Kim C.S., DudinA., Klimenok V., Khramova V. Erlang loss queueing system with baldi arrivals operating in a random environment // Computers & Operations Research. 2009. № 36. P. 674-697.

Однако вопросам исследования надёжности систем, функционирующих в случайной среде, до настоящего времени уделялось недостаточно внимания. Этим вопросам посвящено одно из направлений исследования в данной диссертации.

Другим важным направлением исследований стохастических моделей является изучение чувствительности их выходных характеристик к виду ф.р. входных. Одним из первых результатов о нечувствительности характеристик систем массового обслуживания к виду ф.р. времени обслуживания была теорема Б.А. Севастьянова 9 о справедливости формул Эрланга для произвольных законов распределения длительностей разговоров при фиксированной их средней продолжительности.

И.Н. Коваленко 10 показал, что при показательном распределении в.б.р. элементов резервированной системы необходимым и достаточным условием нечувствительности стационарных характеристик её надёжности (стационар-пых вероятностей состояний) к виду ф.р. времени ремонта является возможность немедленного начала восстановления отказавшего элемента (т.е. достаточное количество восстанавливающих устройств).

В.В. Рыковым л показано, что это условие достаточно для нечувствительности стационарных характеристик надёжности систем к виду как ф.р. в.б.р., так и времени ремонта. Однако при наличии ограничений на возможность ремонта (в случае ограниченного числа восстанавливающих устройств) этот факт не верен. Для исследования чувствительности характеристик надёжности систем к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта её элементов в диссертации используется метод введения дополнительных переменных12.

В случае, если для марковизации процесса, необходимости введения нескольких дополнительных переменных используются кусочно-линейные марковские процессы (см.13,14). Более подробно метод дополнительных переменных

9 Севастьянов Б. А. Предельная теорема для марковских процессов it ее приложение к телефонным системам с отказами // Теория вероятностей и её применение. 1957. Т. 2. К' 1.

10Коваленко ИМ. Исследования по анализу надежности сложных систем // Киев: Наукова думка. 1976. 212 с.

11 Iiykov V.V. Multidimensional alternative processes as reliability models //' In Modern Probabilistic Methods for Analysis cf Telecommunication Networks. Series: CCIS 356. Springer. 2013. P. 147-157.

12 Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложение к задачам теории надёжности // Тр. VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. - Вильнюс: Гос. изд-ио политической и научной литературы Литовской ССР. 19Б2. С. 309-323.

13Гнеденко Б.В., Коваленко Ii.IL Введение в теорию массового обслуживания // Москва: Дом Книги. 2005. 400 с.

14 Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К. Математические методы в теории надежности // Москва: Книжный дом «Либроком». 2013. 584 с.

представлен также в 15.

Большой вклад в исследование вопросов устойчивости характеристик стохастических систем к случайным внешним воздействиям внесли советские учёные Н.Г. Гамкрелидзе 1е, В.А. Ивпицкий 17.18,19,20^ ц д Каштанов 21.22-23.

Цель диссертационной работы.

Целью исследования является изучение влияния случайности марковской внешней среды и её изменчивости на характеристики надёжности системы, с одной стороны и их чувствительности к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта - с другой. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи.

Задачи исследования.

1. Построить и исследовать марковскую модель надёжности системы, функционирующей в случайной марковской среде.

2. Рассмотреть проблему чувствительности характеристик надёжности дублированных систем < M2/GI/I > и < GI2/M/I > к виду ф.р. в.б.р.

и времени ремонта их элементов при ограничениях на доступность восстановления.

3. Исследовать проблему чувствительности характеристик надёжности систем < M2/GI/l(ME) > и < GI2/M/1(ME) >, работающих в случайной внешней среде, к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов.

4. Разработать программные средства анализа влияния случайности внешней среды на характеристики надёжности дублированных систем и их

ыКёниг Д., Рыков В.В., Штоян Д. Теория массового обслуживания // Москва, РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина (ш Russian). 1979. 11В с.

16Гамкрелидзе Н.Г. Элементы финансовой математики: Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг: Учеб. пособие. // Москва, РГУ нефти и газа. 2000. 36 с.

17Ивпицкий В.А. Об инвариаитности стационарных вероятностей состояний многолинейной системы обслуживания конечного числа различных источников требований при абсолютном приоритете поступающего требования // «Теория вероятностей и её применения», РАН. 1992. Т. 37. № 2.

Ивпицкий В.А. Об инвариантности стационарных вероятностей состояний замкнутой звездообразной сети массового обслуживания при зависимости вероятностей перехода от её состояния // «Теория вероятностей и её применения», РАН. 1997. Т. 42. № 1.

1ЯИвницкий В.А. Теория сетей массового обслуживания // Москва: Физматлит. 2004. 772 с.

^Ивпицкий В.А. Теория нестационарных моментов Марковских сетей. Книга 1. Замкнутые сети массового обслуживания. Книга 2. Разомкнутые сети массового обслуживания. // Изд. «URSS». 2010.

21 Каштанов В.А. Теория надёжности сложных систем // Физматлит. 2010.

22 Каштанов В.А. Надежность систем с облегченным резервом // Вопросы радиоэлектроники, общетехническая серия. 1963. № 9.

23Каштанов В.А., Барзилович Е.Ю., Коваленко И.Н. О минимаксных критериях в задачах надежности // Известия АН СССР Техническая Кибернетика. 1971. » 3.

чувствительности к виду ф.р. п.б.р. и времени ремонта их элементов.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Предложен новый метод математического моделирования объектов, подверженных отказам, работающих в случайной марковской среде. Метод опирается на теорию марковских процессов с конечным пространством состояний и реализован с помощью алгоритмов и численных методов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ в среде МАТЬАВ, для проведения вычислительного эксперимента.

2. Исследована чувствительность характеристик надёжности систем

< М2/а /1 > и < С^/М/Х > к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов при ограничениях на доступность восстановления, которое представляет собой развитие качественных и приближенных аналитических и численных методов исследования математических моделей.

3. Исследовано влияние случайности марковской внешней среды на надёжность систем < М2/С1 /\(МЕ) > и < 01->/М/1(МЕ) > с произвольными законами распределения в.б.р. или времени ремонта их элементов, которое представляет собой комплексное решение новой научно-технической проблемы с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

1. В отличие от предыдущих исследований предложена общая математическая модель анализа надёжности систем, функционирующих в случайной среде. Для марковской модели надёжности системы, функционирующей в марковской случайной среде выписаны дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний и получены формулы для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности систем. Проведён численный анализ влияния случайности среды на характеристики надёжности системы.

2. Рассмотрена проблема чувствительности характеристик надёжности дублированных систем к виду функций распределения в.б.р. и времени ремонта её элементов при ограничениях на его доступность. Получены

явные, выражения для вероятностей состояний такой системы, разработаны программные средства и проведён численный анализ влияния случайности среды на характеристики надёжности при произвольных законах распределения в.б.р. и времени ремонта элементов системы.

3. Разработана модель, программные средства в среде MATLAB и проведено численное исследование чувствительности характеристики надёжности дублированной системы, работающей в случайной марковской среде к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта её элементов и сравнение полученных результатов с соответствующими характеристиками для марковской модели.

Методы исследования.

Поскольку отказы систем и их восстановление носят случайный характер, их изучение опирается на теоретико - вероятностные методы. Поэтому в работе используются методы теории вероятностей, теории случайных марковских процессов, теории массового обслуживания, теории надёжности, в том числе такие специальные методы, как метод введения дополнительных переменных, численные методы решения дифференциальных и алгебраических уравнений, а также специальные программные средства в среде MATLAB.

Обоснованность и достоверность результатов.

Достоверность результатов определяется их строгими доказательствами, а также подтверждаются численными расчетами и вычислительным экспериментом.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая значимость работы состоит в разработке моделей и методов анализа надёжности систем, работающих в случайной среде, включая анализ чувствительности характеристик надёжности систем к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов.

Практическая значимость этих результатов состоит в значительном расширении возможностей оценки надёжности систем в реальных ситуациях.

Примеры применения рассмотренных моделей надёжности систем, работающих в случайной среде, для исследования гибридной системы передачи информации можно найти, например, в 21,25.

24Rykov V., Efrosinin D. Queueing model of the non-reliable hybrid data transmission channel with heterogeneous links 11 Proc. 7th Int. Conf. "Mathematical Methods in Reliability". 2011. P. 272-279.

25 Vishnevsky V., Kozyrev D-, Rykov V. On the reliability of hybrid system information transmission evaluation // Queues: flows, systems, networks (Modern Probabilistic Methods for Analysis of Telecommunication Networks. Proceedings of BWWQT-2013. Edds: A.Dudin, V.Klimenok, G.Tsarenkov, S.Dudin). 2013. P. 192-202.

Реализация результатов работы.

Результаты диссертации были использованы в лабораторных и практических занятиях в курсах "Прикладные задачи теории вероятностей" и ''Компьютерная безопасность", читаемых для студентов направлений "Прикладная математика и информатика" и "Компьютерные науки" РУДЫ.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на

1. Втором Международном семинаре "Прикладная теория вероятностей и теоретическая информатика" в рамках XXXI Международного семинара по проблемам устойчивости стохастических моделей (Москва, 23-27 апреля 2013 г.),

2. Семнадцатой Международной конференции "Распределенные компьютерные и коммуникационные сети: управление, вычисление, связь (ВССКТ - 2013)" (Москва, 07-10 октября 2013 г.),

3. 10-ой Российской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных систем" (Горно-Алтайск, 9-13 июня 2014 г.).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных и научно-практических семинарах в Российском университете дружбы народов, РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина, НИУ-ВШЭ.

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 2 — тезисы докладов на международных конференциях, 3 — статьи в научных журналах. Основные результаты представлены в работах, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК и получены лично соискателем. В работах. опубликованных в соавторстве, руководителю принадлежит постановка задачи и предложение путей её решения, детальная разработка моделей и методов их исследования, доказательство утверждений, разработка алгоритмов и программных средств для проведения численных расчетов, численный анализ и интерпретация полученных результатов принадлежат соискателю.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из списка сокращений, введения, трех глав, заключения и списка литературы из 68 наименования. При ссылке на раздел слева добавляется номер главы. Нумерация теорем сквозная, формул, рисунков и таблиц привязана к номерам глав. Текст изложен на 124 страницах, включая 82 рисунков, 21 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе диссертации представлены результаты исследований [1, 2] марковской модели надёжности системы облегчённого резервирования, функционирующей в случайной марковской среде, частные случаи (холодного и горячего резервирования) которого представлены в работах [3, 4]. Приведены дифференциальные уравнения для вероятностей состояний такой системы и соотношения для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности её работы. Получено выражение для производящей функции моментов (п.ф.м.) в.б.р. системы. С целью исследования влияния случайности внешней среды и её изменчивости на характеристики надёжности системы вводится параметр изменчивости среды с, характеризующий её влияние на интенсивности отказов и восстановлений элементов в различных состояниях среды.

В разделе 1.1 приводится общая модель системы из п неоднородных элементов, которая функционирует в случайной марковской среде, принимающей т значений. Состояния такой системы могут быть описаны п + 1 -мерными векторами j = (jo,ji, ■ ■ ■,jn). первая компонента j0 которых описывает состояния внешней среды и принимает тп значений (jo = 1, m), а бинарные компоненты д., (к = 1 ,п), указывают состояния элементов системы. Множество состояний такой системы обозначим через

Е = {(jo, ji, ■ • ■, Зп) : jo = М™, jk = {0,1}, {к = T7n)}.

Общее число состояний конечно и равно N = m х 2" состояний. Множество работоспособных и отказовых состояний обозначим Eq и Е\ соответственно.

В разделе 1.1.1 рассмотрена однородная модель марковской системы надёжности, функционирующей в случайной среде, принимающейт состояний, описываемой марковским процессом с матрицей интенсивностей переходов (МИП) Л = [Afc.j]. При этом предполагается, что при смене состояния внешней среды элементы системы мгновенно меняют интенсивности отказов и восстановления. Поведение такой системы описывается двумерным марковским процессом

Щ = (Jo(t), J(t)),

с пространством состояний Е, при этом первая компонента принимает т значений и описывает состояния внешней среды, а вторая J(t) указывают число отказавших элементов системы в момент времени t и принимает п + 1 значение, j = ji + ■ ■ ■ + jn-

При сделанных предположениях процесс Z(t) — (Jo(i), J it)) является двумерным марковским процессом с пространством состояний Е и блочной МИП Q = [QXiV] специального вида.

В разделе 1.1.2 получена система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятности состояний процесса Z[t)

= (n[(t), ... Х(0) = Ы*) = p{Jo(t) = к, J(t) = j})

с начальным распределением 7^(0) = akSjfl, где подвектора тгд.(£) описывают вероятности состояний системы, когда она работает в&-ой среде. Обозначим, кроме того, через а = (ai,..., ат) начальное распределение внешней среды и через е0 = (1,0,..., 0) вектор размерности тг + 1, первая (нулевая) компонента которого равна 1, а остальные 0, соответствующий полностью исправному состоянию системы, когда все элементы системы исправны.

Теорема 1. Система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний процесса Z(t) с начальным условием п (0), принимает вид

тг (t) = п (t)Q, тг (0) = (aie0, ■•• ,ате0), (1)

которая с учётом структуры матрицы Q может быть представлена в виде системы уравнений, соответствующих работе системы в различных средах.

В качестве следствия 1.1.2 получена система уравнений изменения внешней среды.

В разделе 1.1.3 представлены стационарные вероятности состояний системы, которые существуют благодаря неразложимости процесса и конечности числа его состояний и совпадают с предельными вероятностями тг, — limj-j.oa irz{t) и удовлетворяют системе уравнений равновесия (СУР), или глобального баланса, которая для вектора стационарных вероятностей 7Г = {тг2, гбЕ}с дополнительным условием нормировки имеет вид

£'q = 0, /1=1. (2)

Получено также представление этих уравнений с учётом структуры МИП.

В разделе 1.1.4 представлено распределение времени безотказной работы. Предположим, что отказовое множество имеет вид Е\ = (Jx<к<тп(к,п). Обозначим далее через Т время безотказной работы системы, представляющее собой момент первого достижения компонентой J(î) процесса Z(t) отка-зового множества Еу,

Т = inf{V, : J(i) G Ei}, и через F(t) = Р{Г îS t} её ф.р.

оо

Теорема 2. Преобразование Лапласа (ПЛ) f(s) = J c~stdF(l) ф.р. в.б.р. F(t)

имеет вид

f{s) = siBl(a)l = ~ê'0 Eo(rs - Qo,o)_1Qo,iï, (3)

где Qo o

M Qo, 1 обозначены блоки матрицы Q, соответствующие переходам из состояний множества Eq в Е0 и Е\ соответственно.

В разделе 1.1.5 представлены несколько вариантов численного анализа модели из двух элементов п — 2, работающей в случайной марковской среде, принимающей два возможных состояния m = 2. Для численного анализа в среде МАТЛАБ разработана программа расчёта стационарных и не стационарных характеристик надёжности системы. Результаты расчётов представлены в виде таблиц и графиков. Проведено сравнения с системой < М2/М/1 >, работающей в неслучайной (стабильной) среде.

В разделе 1.2 представлены результаты для частных случаев моделей холодного и горячего резервирования.

В разделе 1.3 представлены результаты для модели неоднородных систем с ограничениями на возможность восстановления, работающих в стабильной и случайной средах. Для неоднородных моделей при наличии ограничений на возможность восстановления для построения марковского процесса необходимо помнить, какой из отказавших элементов ремонтируется, что приводит к необходимости расширения пространства состояний системы.

В разделах 1.3.1 и 1.3.2 представлены результаты для неоднородной системы из двух элементов (п = 2), работающей в стабильной среде в случаях отсутствия и наличия ограничений на доступность ремонта.

Для этих систем получены системы уравнений для стационарного режима, которые представлены в соответствующих теоремах 1.3.1, 1.3.4 и найдены их аналитические решения, которые используются в дальнейшем для численного анализа и сравнения с результатами для однородных систем.

В разделе 1.3.3 исследована модель неоднородной системы < Мо/М/2(МЕ) > из п — 2 элементов, функционирующей в случайной марковской среде, принимающей m -— 2 состояния. Для описания этой системы приходится использовать трёхмерный марковский процесс, пространство состояний Е которого в этом случае имеет вид

Е = Шо, juh) ■ h = {1,2},i,.. = {0,1}, (к = 1,2)},

где jo означает состояние природы, a j- состояние к-то элемента (к — 1,2).

Получены уравнения для вероятностей состояний системы < М^/М/2(MЕ) >, работающей в случайной марковской среде (теорема 1.3.7), численное решение которых использовано в следующем разделе для анализа поведения системы и сравнения его с поведением аналогичных систем в стабильной среде.

В разделе 1.3.4 представлено несколько вариантов численного анализа. Для сравнения характеристик надёжности систем, работающих в случайной и не случайной средах, с ограничениями на доступность восстановления были согласованы соответствующие параметры отказов и восстановления элементов системы. Результаты представлены в виде таблиц и графиков.

Наконец в разделе 1.4 приводится заключение по результатам исследования в первой главе.

Во второй главе рассматривается проблема чувствительности характеристик надёжности дублированных систем холодного резервирования < M2/GI/I > и < GIi/M/\ > к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов при ограничениях на доступность восстановления и также представленных в работе [5]. Для этих систем выписаны дифференциальные уравнения в частных производных для нестационарных и обыкновенные дифференциальные уравнения для стационарных вероятностей микро-состояний. Для стационарных вероятностей микро- и макро-состояний этих систем получены явные формулы их зависимости от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта. Проведено численное исследование влияния законов распределения в.б.р. и времени ремонта элементов на стационарные и не стационарные характеристики надёжности этих систем и их сравнение с соответствующими характеристиками в марковском случае. Не смотря на явную зависимость стационарных вероятностей состояний систем от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов, численный анализ показал, что при "быстром" восстановлении эта зависимость становится исчезающе малой.

В разделе 2.1 даётся постановка задачи и вводятся обозначения. Будем обозначать ф.р. в.б.р. и времени ремонта элементов системы через А(х)

и В{х) соответственно. Предполагается, что они абсолютно непрерывны, и плотности распределения (п.р.) обозначаются через а(х) и Ь(х). Соответствующие средние значения и интенсивности отказов и восстановлений обозначаются

а —

xa{x)dx

(1 - A{x))dx, и Ь =

xb{x)dx = (1 — В(х))ах

а(х) ■■

а(х)

и /3(х) =

Ь{х)

1 — А(х)' ' 1 — В(х)

Наконец для производящей функции моментов в.б.р. и времени ремонта (ПЛ их плотностей а(х) и Ь(х)) используются обозначения

a(s) =

е sxa(x)dx, и • b(s) =

e~sxb{x)dx.

В разделе 2.2 представлены результаты для системы холодного дублирования < M2/GI/I >. Для марковизации процесса числа неисправных элементов N(t) в качестве дополнительной переменной X(t) используется время, затраченное к моменту t на обслуживание отказавшего элемента. Обозначим через тго(£) вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии i = 0 и через х) плотность распределения вероятностей того, что в момент времени t система находится в состоянии г (г = 1,2), и время затраченное на обслуживание отказавшего элемента находится в интервале (х,х + dx],

7Т0 (t) = P{N(t) = 0}, 7Тi{t\x)dx = P{iV(f) = ц x < X{t) < x + dx} (г = 1,2).

Теорема 3. Функции 7To(f) и х), (г = 1, 2) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных

*fl = -0^0(4) +J Tnii;«)^«, № + = _(a + iS(a:)0)7ri(t;a:)i ^ + ^ = -p(x)Mt;x)+an1(f,x),

с граничным уыовием лч(£; 0) = атго(£) + J vr2(i; u)ft{u)du.

о

Следствие 1. Вероятности состояний системы в стационарном режиме удовлетворяют системе уравнений

атго = Ж1{и)Р{и)(1и, о

тп(а;) = -(о + /3(х))7п(а;), к -к2(х) = -Р[х)ж2(х) + «7Г1 (ж),

с граничным условием 7Гх(0) = ащ + ^ П2(и)/3(и)д,и.

о

Теорема 4. Решение системы уравнений (5) имеет вид

(5)

7г0 = С\а ^(а), тг2(:г) = С1(1-е-м)(1-В(х)),

(6)

где постоянная С\ определяется соотношением С\ = а(р+Ь(а)) 1 и р — аЬ. Следствие 2. Вероятности макро-состояний системы < Мг/С?//! > рав-

7Г0 :

Ь(а)

Щ

1 - Ь{а)

Т2

аЪ - (1 - Ь(а))

(7)

р + Ь(а) р + Ь(а) р + Ь(а)

В разделе 2.3 представлены результаты для системы холодного дублирования < а^/М/У >. Используя в качестве дополнительной переменной время, прошедшее с момента очередного начала работы прибора и вводя п.р. вероятностей состояний

щ(Ь-,х)с[х = Р{ЛЧ£) = г; х < Х(г) < х + ¿х} (г = 0,1), 7г2ф = Р{ЛГ(0=2},

аналогично предыдущему случаю для этих функций получена система дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема 5. Функции (£) и 7Г;(£; х), (г = 0,1) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных

С + еп&х1 = _а(хЫь х) + х)>

= -/3тг2(0 + }а(гфг1(£;г0<йх,

с граничным условием 7^(4; 0) = / тг0(£; и)п{и)<1и + /Зтг2(4).

Следствие 3. Вероятности состояний системы в стационарном реокимл удовлетворяют системе, уравнений

7Гц(х) = -а(х)тг0(х) +/Зтг^х),

ад = -(аф+яад,

оо

/Зтга = /^(и)«^)^,

(9)

с граничным условием Я"1(0) - / щ{и)а{и)ди + /Зтго.

о

Теорема 6. Решение системы уравнений (9) имеет вид

ад = С1е-^(1 - А[х)),

тг2 = сф~ла{р)л

где постоянная Сх определяется соотношением Сх = /3(р~1 +а(в))~1 и р

(10)

.-1

Следствие 4. Вероятности макро-состояний определяются формулами

тго = М-(1-а(^))(вД + й(/3))-1 = (р-1-(1-й(^)))(р-1 + а(/3))-1, 1Г1 = (1 - й(0))(а,3 + «(/?)) 1 = (1 - а((3))(р~1 + аШ-1, тг2 = аШар + а{Ц))^ = а{р){р-'+а{Р)У\

(И)

Отмечается, что при показательных распределениях в.б.р. или времени ремонта полученные выражения совпадают с соответсвующими результатами для марковской модели, представленными в главе 1.

В разделе 2.4 приводятся результаты числеиного исследования и сравнительного анализа с марковским случаем. Для численного анализа рассмотрены два примера, когда в качестве общих распределений С7/ используются Гамма-распределения (Г) с п.р.

р(0 =

чЫГ г (с)

и распределение Гнеденко-Вейбулла (СИ') с п.р.

p(t) = cft^e-W,

где, с - параметр формы, 7 - параметр скорости.

Аналитические выражения для стационарной вероятности отказа 7Г2(/3) системы в зависимости от скорости ремонта в этих случаях представлены в теореме 2.4.1 и использованы для численного анализа, результаты которого представлены в виде таблиц и графиков.

Наконец в разделе 2.5 приводится заключение по результатам исследований в главе 2.

В третьей главе представлены результаты исследования чувствительности характеристик надёжности систем, работающих в случайной марковской среде, к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов.

В разделе 3.1 уточняются постановки задачи и обозначения. Используются обозначения аналогичные тем, что приняты в главе 2, при этом все величины и функции снабжаются индексами, указывающими номер состояния внешней среды.

В разделе 3.2 для исследования системы < M2/GI/1(ME) > холодного дублирования вводится марковский случайный процесс

Z(t) = (Щ, N(t); X(t)),

где, I(t) - состояние внешней среды в момент времени t, N(t) - число отказавших элементов в момент времени t, X(t) - время, затраченное на восстановление ремонтирующегося в момент времени t элемента, и через

7rw,(i; x)dx = P{/(t) = i, N(t) = I, x < X{t) < x + dx}

обозначаются п.р. вероятностей (по непрерывной компоненте) его состояний.

Получены уравнения Колмогорова для вероятностей состояний этой системы, представлены в теореме 3.2.1, а соответствующие уравнения для стационарного режима представлены в следствии 3.2.2. Соответствующие уравнения в терминах преобразований Лапласа представлены в следствии 3.2.4.

В разделе 3.3 представлены результаты исследования системы холодного дублирования < GI2/M/1(ME) >, работающей в случайной марковской среде. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний этой системы содержат дополнительные члены, связанные с переходом внешней среды из одного состояния в другое и представлены в теореме 3.3.1, а соответствующие

уравнения для стационарного режима в следствии 3.3.2. В следствии 3.3.4 представлены уравнения для стационарных вероятностей состояний системы в терминах ПЛ.

В разделе 3.4 приводятся результаты численного исследования поведения дублированной системы надёжности, работающей в случайной марковской среде, в частном случае совпадающих распределений в.б.р. и времени ремонта.

Наконец в разделе 3.5 приводится заключение по результатам исследований в главе 3.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Rykov V., Тгап A.N. On markov reliability model of a system, operating in markov random environment // XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. (Moscow, 23 - 27 April 2013)- Moscow: Institute of Informatics Problems, RAS, 2013, P. 114-116.

2. Rykov V., Ttan A.N. Research of the reliability of a homogeneous redundant warm standby system in a random environment // International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN - 2013) (Moscow, 07-10 October 2013)- 2013, P. 156-162.

3. Rykov V.V., Trail A.N. On reliability of binary systems in a random environment // Automatic Control and Computer Sciences, 2013, Volume 47, № 6, P. 342-351. (Исследование надёжности бинарной системы в случайной среде // Автоматика и Вычислительная Техника, 2013, No.6, С.73-85.)

4. Чая А.Н. Исследование надёжности однородной системы облегчённого резервирования в случайной среде // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2014, № 1, С. 30-42.

5. Рыков В., Чая А.Н. О чувствительности характеристик надежности систем к виду функций распределения времени безотказной работы и восстановления их элементов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2.014, № 3, С. 65-77.

Чан Ань Нгиа

Исследование чувствительности характеристик надёжности дублированных систем в случайной среде

В диссертации рассматривается две актуальных проблемы теории надёжности: влияние случайности марковской внешней серды на характеристики надёжности систем и чувствительность характеристик надёжности систем к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта. Первая задача рассматривается в главе 1 в рамках марковских моделей систем надёжности, работающих в марковской случайной среде. Во второй главе рассматривается вторая проблема в рамках дублированной системы надёжности, в которой только одно из двух распределений (в.б.р. или времени ремонта) отлично от показательного. Получены выражения для стационарных вероятностей состояний таких систем, которые показывают наличие в них явной зависимости от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта. Однако численные исследования показали, что эта зависимость быстро убывает при "быстром восстановлении". В третьей главе обе эти проблемы рассматриваются для систем из предыдущей главы, работающих в случайной марковской среде.

Tran Anh Nghia

Investigation of the sensitivity of the double redundant reliability characteristics of systems in random environment

The thesis deals with two actual problems in reliability theory. The first one is the influence of the random environment to the reliability characteristics of systems and the second one is the investigation of the sensitivity of the life and repair times of the element distributions shape to the systems reliability characteristics. In first chapter of thesis the first problem is considered in framework of Markov reliability models, operating in Markov random enviroment. In the second chapter the second problem is considered for simple double redundant systems with only one distribution (life or repair times) not equal exponential distribution. The explicit formulas for probability distribution are obtained for both cases and they .show the theoretical dependence of the failure probability on the shape of non-exponential distribution. However, the numerical investigations show vanishing sensitivity of this probability from the shape of non-exponential distribution. In the third chapter both this problems are considered. The double redundant reliability systems with only one of two (life or repair times) non-exponential distributions operating in Markov random environment is considered.

Подписано в печать:

18.02.2015

Заказ Л'» 10550 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Объем: 1 усл.п.л. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230. Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru