автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Гидродинамическое моделирование пластовых систем на основе метода линий тока

На правах рукописи

УДК 622 276+519 63+532 5

ООЗОВ2ТЗТ

СИДЕЛЫШКОВ Константин Анатольевич

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТОВЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ЛИНИЙ ТОКА

Специальность

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертции на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ижевск 2007

003062737

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет» (ИжГТУ)

Научный руководитель

заслуженный изобретатель Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Лялин В.Е

Официальные оппоненты

заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Ямпольский В.З. (Институт «Кибернетический центр» ГОУ ВПО «Томский политехнический университет»),

заслуженный деятель науки Удмуртской Республики, доктор физико-математических наук, профессор Тененев Б. А. (ИжГТУ)

Ведущая организация

ГОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет» (г. Уфа)

Защита состоится 25 мая 2007 г в 10 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 065 04 в ИжГТУ по адресу 426069, г Ижевск, ул Студенческая, 7

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью, просим выслать по указанному адресу

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института Автореферат разослан 19 апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Бендерский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальное 1ь темы Двадцать первый век приносит новые проблемы дня мировои экономики Динамичный глобальный рынок требует изменения сущес1в\ющеп парадигмы в нефтяной отрасли, поскольку потребность в нефти продолжает доминировать в общемировой сфере энергопотребления

Моделирование месторождений явтяется одной из многих современных технологий, используемых при разработке и добыче нефти Оно используется для сравнения различных механизмов добычи, и предоставляет базу для экономического анализа потенциальных сценариев подготовки месторождения Кроме того, к данному типу моделирования предъявляются все большие требования, так как нефтегазовые площади стареют, и процесс добычи становится все более сложным Успешное, экономически обоснованное использование современных технологий интенсификации добычи нефти и повышения нефтеотдачи обеспечивается путем создания компьютерных цифровых геолого-гидродинамических моделей пластовых систем и протекающих в них процессов

Существующие коммерческие программные пакеты для проведения моделирования представляют широхии набор инженерных средств, обеспечивающих принятие оптимального решения в управлении месторождением Применение подобных срсдств определятся выбранным типом модели от эксплуатационной модели, охвашваюшей небольшой участок, до полной стратегической модели масштаба месторождения Современные геолого-гидродинамические модели месторождений могут содержать мшиионы блоков, и ли показатели непрерывно увеличиваются с развитием компьютерной техники Хотя стандартные симуляторы месторождений предоставляют различные возможности по его управлению и разработке, точность выдаваемых ими прогнозов в одинаковой степени зависит от разрешающей способности модели Из-за существующих вычислительных ограничении, высоко-детализированную сетку геологической модели (несколько миллионов блоков) подвергают осреднению до сетки с сошями тысяч блоков Одно из решений усовершенствования симулятора основано на достижениях компьютерного прогресса в об части аппарашых средств ЭВМ При этом применяются современные методы распараллстивания одной большой задачи на ряд более мелких подзадач, выполняемых на отдельных процессорах и даже компьютерах Второй подход состоит в том, чтобы непосредственно улучшить эффективность моделирования При таком решении остается возможность использования стандартных компьютерных средств, но с получением достаточно точных прогнозов за меньшее время

Задаче разработки и применения методов непосредственного улучшения компьютерного моделирования месторождений, а также проблеме их интегрирования с уже существу ющими технологиями, посвящено множество последних работ по данной теме, что обусловливает актуальность представленного исследования

Объектом исследовании являклея дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), математическое моделирование нефшюго пласта, аналитические и численные методы решений ДУЧП, гидродинамика жидкостей и газов внутри однородных и неоднородных пористых средах, установившаяся и неустановившаяся многокомпонентная многофазная фильтрация жидкостей и газов

Предметом исследования являются теория гиперболических ДУЧП, меюд

конечных объемов (МКО), линии тока, математическое описание алгоритмов и методов дискретизации и решения системы уравнений фильтрации, прогнозирование эксплутационны* характеристик скважин после проведения гидродинамического моделирования, комплексная интерпретация исходных данных моделирования

Цель работы состоит в проведении комплексных исследований для получения научно-обоснованных решений, направленных на увеличение эффективности компьютерного гидродинамического моделирования пластовых систем на основе метода линий тока (МЛТ), что будет способствовать повышению скорости получения прогнозов эксплутационпых характеристик для продуктивных пластов, а также упрощению процесса управления и контроля комплексной интерпретации исходных данных дая моделирования месторождений

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи

- представить обобщенные уравнения мноюфазной многокомпонентной фильтрации в 1МРЕ8-формулировке (формулировка «неявное давление - явная насыщенность») для выделения транспортных уравнений в многомерной постановке,

- получить полный набор аналитических решений для одномерных случаев несмешивающегося и смешивающегося двухфазного вытеснения, а также дисперсионно-конвективного уравнения, в постановке задачи Римана,

- провести сравнение численных ТУО-схем (схемы с уменьшением общей вариации) высокого разрешения и классических разностных схем решения одномерных транспортных уравнений для выбора основы численного отображения в МЛТ,

- определить процедуру оптимального распределения линии тока между нагнетающими скважинами и гранями блоков их содержащих для устанавливаемого пользователем числа испускаемых линий тока в системе с множеством скважин,

- разработать алгоритм выбора пропущенных блоков при обратной трассировке линий тока для снижения времени, заграчиваемого на обработку таких неучтенных при прямой трассировке блоков,

- провести вычислительные эксперименты по гидродинамическому моделированию пластовых систем на базе МЛТ с аналитическим и численным отображениями одномерных решений вдоль линий тока, сравнить результаты моделирования с результатами, полученными стандартным симулятором на базе метода конечных разностей (МКР),

- исследовать численную диффузию, возникающую при численном отображении в МЛТ- и в МКР-симуляторе, сравнить уровень схемной диффузии в многомерных решениях, полученных после объединения численных одномерных решений вдоль линий тока на базе ТУО-методов и классических разностных схем,

- изучить степень влияния неоднородности пласта, числа линий тока и количества обновлений на результаты МЛТ-моделирования, определить границы применимости аналитического отображения,

- провести вычислительные эксперименты по моделированию многосква-жинных систем с постоянными и переменными режимами скважин, сравнить результаты МЛТ-чоделироваиич с результатами, полученными МКР-симулятором,

- выявить способы развития МЛТ для решения более сложных случаев совместного движения флюидов в контексте его применения для комплексной интерпретации данных

Методы исследования. В работе применялись теоретические и экспериментальные методы исследования

При выводе mhoi омерных фанспортных уравнений и уравнений для давления испочьзовагась многокомпонентная (композиционная) модель фильтрации с учетом межфазного массобмена между компонентами Кривые коэффициентов относительной фазовой проницаемости строились на базе модели Брукса-Кори Аналитические решения для одномерно! о случая нссмешивающегося двухфазного вытеснения выводились на основе метода характеристик Для получения полного набора возможных решений одномерной двухкомпонентной фильтрации применялся метод построения выпуклой оболочки В работе использовался МКО для численных решений ДУЧГТ После дискретизации уравнения для давления полученная система линейных алгебраических уравнений решалась методом двусопряженных градиентов

Вычислительный эксперимент проводился в среде MATLAB путем написания соответствующих программных функций (М-код) на высокоуровневом языке для технических расчетов Визуализация результатов осуществлялась с помощью встроенной в пакет интерактивной среды для анализа данных

В качестве МКР-симуля гора использовался коммерческий гидродинамическим симулятор TEMPEST MORE фирмы Roxar

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов подтверждена сопоставительным анализом разработанных и существующих математических моделей и методов, а гакже итогами проведения вычислительного эксперимента

Математические модели, алгоритмы и прикладные программы, используемые п работе, основаны на положениях теории вероятности, вычислительной гидродинамики, подземной i идромеханики и флюидодинамике, теории гиперболических систем, теории рашостных схем, теории поля

Достоверность экспериментальных результатов обеспечена моделированием фильтрации флюидов с разнообразной физикой вытеснения, разной степенью неоднородности пласта, различными начальными и граничными условиями и хорошей согласованностью прогнозируемых эксплугациоиных характеристик, полученных МЛ!- и МКР-симуля юрами

На защиту выносятся результаш решений по увеличению эффективности компьютерного гидродинамического моделирования пластовых систем на основе метода линий тока, в том числе

- IMPES-формулировка уравнений многофазной многокомпонентной фильтрации с учетом капиллярного давления, влияния массовых сил и членов-источников в многомерной постановке,

- построение дерева всех возможных аналитических решений для одномерных случаев двухкомпонентного двухфазного вытеснения в постановке задачи Римана в зависимости от начальных и граничных условий,

- сравнение численных TVD-схем высокою разрешения и классических разностных схем дискретизации одномерных транспортных уравнений с полным набором аналитических решений на примере двухкомпонентной фильтрации,

- меюдика оптимального распределения линий тока между нагнетающими скважинами и гранями блоков их содержащих на основе информации о расходах,

- алгоритм выбора пропущенных блоков, основанный на сортировке этих блоков таким образом, чтобы при обратной трассировке строились сначала наиболее дтинные линии тока,

- проведение вычислительного эксперимента по гидродинамическому моделированию пластовых систем на базе МЛТ и его сравнение со стандартным МКР-симуляюром на примере различных режимов фильтрации и систем заводнения,

- рекомендации по возможному использованию МЛТ-моделирования при комплексной интерпретации данных

Научная новизна результатов диссертационного исследования, полученных лично автором, заключается в следующем

- на основе теории нелинейных гиперболических ДУЧП выявлены и проклассифицированы шесть возможных типов аналитических решений неустановившейся двухкомпонентной двухфазной фильтрации в постановке задачи Римана в зависимости от начального и нагнетаемого состава компонентов в предположении локально! о термодинамического равновесия фаз,

- обосновано применение численных Т\Т)-схем высокого разрешения как основы численного отображения в МЛТ, которые, сохраняя второй порядок точности в области I ладкого решения, лучше воспроизводят разрывы в истинном решении и не создают искусственных колебаний при соблюдении СРЬ-условия,

- предложена методика распределения линий тока между нагнетающими скважинами и гранями блоков их содержащих, которая наглядно показывав! области с высокой скоростью фильтрации за счет большего числа линий тока проходящих через эту область, с другой стороны позволяет ботее точно определить долю индикатора для таких областей, которые, как правило, представляют больший интерес для инженеров-нефтяников,

- разработан алгоритм выбора пропущенных блоков, который существенно уменьшил количество обрабатываемых неучтенных при прямой трассировке блоков, последовательность выбора пропущенных блоков определяется их близостью к добывающим скважинам,

- создано программное обеспечение проведения вычислительного эксперимента, позволяющее проводить гидродинамическое моделирование пластовых систем с различными системами расположения скважин и режимами их работы, оно позволило провести сравнительный анализ результатов МЛТ-моделирования с результатами, полученным стандаршым МКР-симулягорам,

- определены области возможного использования МЛТ-моделирования в рабочем процессе комплексной интерпретации данных, которое может оказаться эффективным средством уменьшения стоимости и сложности процесса интеграции разнородной информации

Практическая полезность исследования состоит в том, что оно связано с моделированием течений жидкостей в пластовых системах на базе МЛТ, являющегося одним из современных подходов непосредственного улучшения эффективное ш компьютерною модетирования месторождений При таком решении остается возможность использования стандартных компьютерных средств, но с потучением достаточно точных прогнозов

Ценность аналитического решения уравнений многофазной многокомпо-

неигной фильтрации заключается в следующем быстрая интерпретация лабораторных экспериментов, строительный блок для определенных численных методов, совершенивование моделей относительных проницаемостей, сравнительный анализ численных методов, когда аналитическое решение выступает в роли эталонного Кроме того, решение задачи Римана дает также информацию о структуре системы уравнений, и может бьпь использовано как строительный блок для получения решений задач с более сложными начальными и граничными условиями

Современное MJTT-моделирование это мощное средство, дополняющее традиционные подходы в управлении разработкой и добычей углеводородов Подобная технология может помочь геологам и геофизикам использовать, помимо статических данных (каротажных, сейсмометрических и т д ), динамическую информацию в их анализах уже на этапе структурного моделирования Основной акцент при использовании МЛТ-моделирования делается на облегчении процесса адаптации моделей по истории разработки месторождения

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на российских и международных научно-технических конференциях и конгрессах 4-м научном симпозиуме «Геоинформациопные технологии в нефтепромысловом деле» - секции «А» 6-го международного конгресса нефтегазопромышленников России (Уфа, 2005), международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2005-2006), семинаре в Институте проблем нефти и газа РАН (Москва, 2006), 33-й международной конференции «Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе» (Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 2006), 6th international conference «Vibroengineering 2006» (Каунас, Литва, 2006), 34-й международной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе» (Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 2007)

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертации опубликованы в 17 научных работах, в том числе 2 тезиса докладов и 9 докладов на международных конференциях (при этом 1 доклад на английском языке), 6 статей в журналах и сборниках (при лом 2 статьи в электронном журнале) Автор имеет 10 научных трудов в изданиях, выпускаемых в РФ и рекомендуемых ВАКом для публикации основных результатов диссертаций

Структура диссертационной работы Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, изложенные на 214 стр машинописного текста В работу включены 83 рис и список литературы из 141 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обоснование актуальности темы, формулировку цели и задач работы, основные положения, выносимые на защиту, и определяет содержание и методы выполнения работы

В первой главе проведен анализ проблем повышения эффективности компьютерного моделирования пластовых систем Рассмотрены этапы, исходная информация и цель создания трехмерных геолого-гидродинамических моделей нефтяных место-ролздений Проведен обзор существующих на сегодняшний день технологий повышения эффективности моделирования залежей, указаны их достоинства и недостатки

Во в юрой главе даны теоретические аспекты математического модели-

рования пластовых систем Введено понятие пористой среды, описан способ моделирования неоднородного с точки зрения абсолютной проницаемости коллектора, предложено использовать индекс неоднородности

В работе приведены основные уравнения многофазной многокомпонентной фильтрации Определяющая форма уравнений неразрывности для многокомпонентного многофазного по I ока в дифференциальном виде выглядит так

где ф - пористость (обьем порового пространства в единичном объеме пористой среда), ац - массовая доля г -го компонента в у -й фазе, р1 - плотность у -й фазы, Б -насыщенность у -й фазой (объем занимаемым / -й фазой, в единичном объеме порового пространства), и - вектор скорости фильтрации у -й фазы в случае многомерного потока, - тензор дисперсии ; -го компонента в у -й фазе, qJ -объем у -фазы,

добываемой из в единичного объема пласта в единицу времени (положительный при нагнетании), пр - общее число фаз, п( - обшее число компонентов в системе

Кроме того, для уравнения (1) устанавливаются дополнительные ограничения =1 (2), У^й^ -1,у=1 пр (3) Условие (2) означает, что флюиды заполняют все поровое пространство Молярная доля компонентов в каждой фазе должна удовлетворять условию (3)

Воспользуемся обобщенным уравнением Дарси предложенного Маскетом для моделирования скорости фильтрации й = (УР^р^ЧО^ (4), где

к - тензор абсолютной проницаемости, кГ] - относительная проницаемость для у -й фазы, - вязкость у -й фазы, Р - даниениь в у -й фазе, g - ускорение свободного падения, О - глубина как функция основных координат

Нижний индекс для давления в уравнении (4) означает, что давления в разных фазах имеют разную величину, др> гими словами фазы разделены кривой поверхностью раздела с ненулевым мелефазным натяжением Связь между этими давлениями всегда представляется через функцию капиллярного давления в следующем виде Рк-Р1=Рс1],к = 1 по, у=1 пр, /с * у (5)

Для решения уравнений (1) оно переписывается в форме ЦУЕРЕБ Данное представление в простом виде возможно только для несжимаемых флюидов В результате преобразований получено основное уравнение для давления для многофазной фильтрации V

к (Л,ЧР -Я^й-ЛУРс) = -д, (6), где общая подвижность флюидов гРавИ1ационная подвилноегь Капил~

лярныйчлен ЯуРг = ^""_]Л/\'Р1/1, Л = кг1/ц1 -подвижность у-й фазы

Основное уравнение для насыщенности (транспортное уравнение) записано в виде фС'(() + й1 + V С,+У Т, = д,- г = 1 пс (7), где гравитационная вектор доли I -го компонента в общем потоке С, = к^^й^Д/ ТО и капилляр-

ный вектор доли / -го компонента в общем потоке Т^УСЦ^' о^ /"((Я^х,

Уравнение (7) является ДУЧП параболического типа из-за влияния дисперсионного члена V При Г = 0 оно становится 1 игтерболическим

В работе получены аналитические решения транспортных уравнений для одномерного потока Уравнение в случае чистой конвекции удобно решать в безразмерном виде с использованием масштабных переменных 1„ - и^/фЬ, а 0—х\Ь,иС)~ и/ищ

ôt„ * 1 &„ " '

. "<■> (8)

где для простоты считается, чго пористость ф и плотности р, фаз есть величины постоянные До того как уравнение сможет быть решено, должны быть наложены определенные начальные и граничные условия Будем искать решения при постоянном начальном составе, определенном на полубесконечной области как <pt (дг0, 0) = ср'"", 0 < xD < оо, I = 1 rtc (9) и граничном условии, которым является постоянный состав натнетаемого флюида, записываемого в виде (р1 (о, /0 ) = (р[щ, tD > 0, i = 1 пс (10), где <pt - общая массовая или объемная доля / -го компонента, верхние индексы mit и inj обозначают нагнетаемый и начальный составы i -го компонента соответственно Такие задачи можно рассматривать с точки зрения распространения разрыва непрерывности, первоначально расположенного в точке xD = 0, поэтому условия (9) и (10) часто записывают в следующем виде

<pXxd> 0):

<Р,п <Р,г>

<0 ,>0'

¿ = 1

(11)

где нижние индексы /ил обозначают нагнетаемый и начальный составы / -го

компонен га соответственно

V

-У а)

f п к""

б) 5,

Задачи, в которых начальное состояние (иногда называемое правым состоянием) и вышерасположенное граничное условие (иногда называемое левым состоянием) являются постоянными, известны как задачи Римана

Рассмотрим одномерный двухфазный поток несмешиваюшихся и не-Рис 1 Пример решения задачи Римана с одиночной сжимаемых жидкостей че-волпои разрежения для двухфазного потока рез несжимаемую порис-

тую среду в отсутствии гравитационных и капиллярных эффектов Тогда система уравнений (8) примет вид единственного (скапярного) квазилинейного уравнения + = 0 (12), где функция распределения потоков / оп-

ределяется как = л, / Л,.

Будем считать, что фазовые вязкости постоянные и не зависят от температуры и давления Таким образом, характер уравнения является прямым следствием выбранной модели для относительной проницаемости Для простоты относительные проницаемости рассматриваются как функции только насыщенностей Для построения решения уравнения (12) можно использовать метод характеристик Можно показать, что построение решения при заданной форме функции приведет к неоднозначным решениям далее при гладких начальных условиях Это нефизическое поведение говорит о том, что классическое решение должно быть заменено решением со слабым разрывом Молено показать, что автомодельное решение задачи Римана (12) является комбинацией постоянных состояний, ударных волн, объединяющих постоянные состояния, и волн разряжения, соединяющих постоянные состояния или слабые разрывы Существуют три возможных типов волны одиночная волна разрежения, одиночная ударная волна и смешанная вотна

Волна разрежения это гладкое решение Ясно, что решение будет существовать, только если скорость характеристик монотонно возрастает от левого до правого положения Иначе характеристики пересекутся на плоскости (х0, и решение не будет однозначным Пример решения с одиночной волной разрежения показан на рис 1 Рисунок включает в себя а) функ-

Рис 2 Пример решения задачи Римана с одиночной ударной вотаой

цию с указанием тевого и правого состояния, б) производную от , в) решение для некоторого момента времени , г) характеристики на плоскости (х0, г0)

Ударная волна это движение скачка (фронта) насыщенности, характеризующая наличие разрыва в решении Появление разрывов есть результат так называемых слабых решений, при которых возможна ситуация когда скорость характеристики // в левом состоянии больше, чем в правом состоянии Другими словами, характеристики пересекутся, и решение станет неоднозначным Такая неоднозначность устраняется введением скачка насыщенности, при переходе через который насыщенность меняется на конечную величину

Рис 3 Пример решения задачи Римана со смешанной волной

На рис 2 показан случай одиночного разрыва между двумя постоянными состояниями, включающий (а) функцию /х с указанием левого и правого состояния, (б) производную от /х, (в) решение для момента времени г0 - 1, (г) характеристики на плоскости (х0, ) Решение удовлетворяет условию энтропии Олейник, означающее, что на линии разрыва должны пересекаться две приходящие характеристики, несущие начальные значения насыщенности

В случае, когда левое и правое состояния невозможно соединить с помощью простой волны, требуется смешанная волна, состоящая из волны разряжения и ударной волны Левое и правое состояния должны располагаться в областях с разным типом выпуклости, так что скорость характеристик уже не является монотонной

Решение состоит только из одной волны разрежения и одной ударной волны, потому что функция имеет только одну точку перегиба Более того, поскольку точка перегиба соответствует максимальному значению производной /¡', то волна разрежения всегда медленнее ударной волны Обе волны соединяются в некоторой промежуточной точке 5*, называемой пост-разрывным значением

Решение, которое включает1 смешанную волну, показано на рис 3 с аналогичными обозначениями, как и в ранних случаях

Рассмотрим двухфазный поток в пористой среде, в каждой фазе которого присутствуют два компонента Примером может служить случай вытеснения газом, образованного преимущественно легкими компонентами (такими как метан СН4 или С02), нефти, содержащей некоторое количество жидкого углеводорода (скажем декан СЮ) Считается, что компоненты обладают ограниченной взаимной растворимостью определенное количество СЮ испаряется в газовую фазу, а некоторый объем СН4 или С02 растворяется в жидкой фазе Данная проблема является современным обобщением хорошо известной задачи Баклея-Леверетта

Будем исследовать одномерную двухкомпонентную двухфазную (с неизменным объемом при перемешивании) фильтрацию, полагая при этом флюиды и пористую среду несжимаемыми, а также отсутствие эффектов гравитации и капиллярного давления Тогда уравнение (8) сводится к единственному (скалярному) квазилинейному уравнению С,'(/о) + /:]'(*о) = 0 (13)

Поскольку функция имеет более сложную форму, чем функция в случае двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей, то волна, соединяющая левое и правое состояния, может содержать два разрыва передний и

с;о5

Рис 4 Пример решения задачи Римана со смешанной волной для двухфазного двухкомпонентного потока

s,ns,

задний (см рис 4) Несмотря на отличие в получаемых решениях все ограничения (на скорость и условие энтропии) действуют и для этого случая вытеснения

Существуют шесть возможных типов волн и, соответственно, решений для данной формы функции В зависимости от начального и нагнетаемого состава компонента 1 получаются различные решения бинарного вытеснения, полный набор которых показан на рис 5 Из рисунка видно, что выбор подходящего решения в соответствии с начальным и граничным условиями требует определенного процедуры или алгоритма В работе применялся универсальный подход к построению решений, кото-метод построения выпуклой оболочки В

Рис 5 Схематическое дерево всех возможных решший бинарного вытеснения

S соответствует ударным волнам, 1Z соответствует волнам разрежения

рый не зависит от формы функции Р,, диссертации приводятся все возможные решения, полученные данным способом

В работе получены численные решения транспортных уравнений для одномерного потока В качестве широко используемого численного метода решения уравнения гиперболического типа эффективно использовался МКО

«si1

| rira

| — -La _

>Vn MM«

а) Смешанная вочна SfcS^

а) Смешанная волна

»1

б) Смешанная волна б) Смешанная волна

Рис 6 Классические чнсчеппые схемы Рис 7 ТУП-схемы высокого разрешения (для 100 блоков в момент времени г, =0,5) (для 100 бюков в момент времени /„ =0 5)

Из сравнения рис 6 и 7 можно сделать следующие выводы Классические методы Лакса-Вендроффа. Рихтмаейра и МакКормака второго порядка точности не подходят для решения гиперболических задач Если истинное решение содержит разрывы, эти методы приводят к появлению нефизических осцилляций вблизи разрывов и, фактически, являются неустойчивыми даже при соблюдении СБЬ-

условия кроме юго, они неверно воспроизводят характер процесса вьпеснения Три метода (мето ты разностей против потока, Лакса-Фридрихса и Русанова) имеют первый порч ток аппроксимации и правччыго имитируют характер процесса фильтрации Однако метод Лакса-Фридрихса приводит к излишней численной диффузии в решении Метод разностей против потока показал его универсальность и пригодной ь, ч1о под1верждае1ся ею использованием как основы численного отображения Однако этот метод имеет первый порядок точности, поэтому приводит к заметной искусственной диффузии в решении по сравнению с методами более высокого порядка аппроксимации ТУО-схемы. сохра1ТЯЯ второй порядок точности в области гладкого решения, лучше воспроизводят разрывы в истинном решении и не создают искусственных колебаний при соблюдении СРЬ-условия Хотя все ТУО-схемы дают примерно одинаковые результаты, однако выбор того или иного ограничителя, на наш взгляд, следует из того, насколько проще, с вычислительной точки зрения, он реализуется по сравнению простейшим методом разностей против потока Это имеет значение при МЛТ-моделировании с численным отображением, когда вдоль каждой линии тока решается одномерная задача вытеснения, при этом количество этих линий и соответственно решений достаточно велико

В главе предложен численным способ решения уравнения для давления на основе МКО Описана процедура учета членов-источников для численного моделирования скважин и граничных условий

Последовательность основных действий при моделировании на базе МЯГ в данном случае сводится к следующему 1) решение ДУЧП для давления в новый момент времени /л+| с учетом заданных на основной сетке граничных условий и поля подвижности, рассчитанного на предыдущем шаге но времени ?„ (ТМРЕБ-метод), 2) определение поля общих скоростей на основе закона Дарси, 3) трассировка линий тока, 4) решение одномерной транспортной задачи вдоль каждой линии тока, 5) отображение одномерных решений обратно на основную сетку

Как только распределение давления было найдено, для трассировки линий тока определяется поле общих скоростей на основе закона Дарси Для определения вектора скорости на грани сеточного блока, окончательный шаг требует преобразования скорости фильтрации в поровую скорость V, = и, ¡ф Трассировка пиний тока может происходить с использованием простейшего метода Эйлера или более точного метода Рунге-Кутта Однако в данной работе был использован алгоритм Поллока, который является достаточно простым и консервативным методом трассировки

Для преобразования многомерного транспортного уравнения в МЛТ используется параметр времени пролета (ТОР) г Время пролета определяется как время, требуемое для частицы преодолеть расстояние от точки нагнетания до точки отбора С использованием соответствующего координатного преобразования многомерное транспортное уравнение расщепляется на множество одномерных, решаемых вдоль каждой линии тока аналитически или численно

Число линий тока, которые начинаются на грани нагнетающего блока, может быть постоянным для всех скважин, может меняться от скважины к скважине в зависимости от расхода ()ц закачиваемого флюида, а также может варьироваться в соответствии с расходом через каждую грань нагнетающего блока В

настоящей работе использовался последний способ Сначала определялось число испускаемых линий тока для каждой скважины = jüQ„ , где ~ZQU -

суммарный расход от всех нагнетающих скважин; Nsl - общее число линий тока, задаваемое пользователем Линии тока распределялись равномерно по всем граням нагнетающего блока, однако их число для разных граней определялось как п%, = n^eUq fuce j Q^ , где qJaCi - расход через грань блока с общим расходом

Затем определялся расход для каждой линии тока qsl = qßcejrifaie Данный подход,

с одной стороны, наглядно показьгвает области с высокой скоростью фильтрации за счет большего числа линий тока проходящих через эту область, с другой стороны позволяет более точно определить долю индикатора для таких областей, которые, как правило, представляют больший интерес для инженеров-нефтяников

После того как решены одномерные уравнения вдоль линий тока, происходит их обратное отображение на основную сетку Для этого каждому блоку назначается та или иная величина насыщенности фазой на основании известной информации вдоль линий тока, проходящих через данный блок Отображение происходит путем средневзвешенного суммироваггия по всем линиям тока, где в качестве веса берется приращение времени пролета А г

Дгтя бопьшинства случаев моделирования не все сеточные блоки будут содержать хотя бы одну линиго тока Для этих пропущенных блоков время пролета все равно дотжно быгь определено для определения свойств флюида в этом блоке Назначение ТОР пропущенному блоку достигается за счет простой трассировки в обратном направлении к ближайшему блоку, содержагцему среднее значение TOF или нагнетающую скважину Линия тока должна обязательно проити через пропущенный сеточный блок, поэтому необходимо правильно выбрать его грань, откуда начнется обратная трассировка При этом точка входа для этой грани в общем случае выбирается произвольно

В некоторых случаях может оказаться так, что количество пропущенных блоков будет очень большим Тогда обратная трассировка может потребовать больше времени, чем прямая При этом нет ггеобходимости проводить обратную трассировку дтя каждого пропущенного блока Это связано с тем, что, как указывалось ранее, пропущенные блоки образуются в области медленного течения флюидов и поэтому не требуют высокой точности обработки В работе предлагается простой алгоритм, который может существенно уменьшить количество обрабатываемых пропущенных блоков Orr основан на том, чтобы отсортировать пропущенные блоки таким образом, чтобы при обратной трассировке строить сначала наиболее длинные линии тока

Обозначим множество индексов пропущенных блоков, полученных по-

сле прямой трассировки по методу Поплока, и множество у/^ индексов добывающих скважин Рассчитаем для каждого пропущенного блока расстояния до добывающих скважин области г Выберем для каждого пропущенного блока минимальное расстояние с образованием соответствующего множества признака «близости» пропущенного блока к добывающим скважинам (// = nun (г j Тог да отсортируем множест-

iC КО ИР f Ti ЦОППХ'ч^ЩО

itl SinT-йииултшр iЛ RUFEST MORI!

Рис. 8. Распределения индикатора в момент 10 - 0,75

¡a iymsitd в соответствии с ц/г так, что получим нойОе множество i//bact индексов пропущенных блоков, которые будут участвовать при обратной трассировке. При этом она будет начинаться с тех пропущенных блоков, которые находятся ближе всего к какой-либо из добывающих скважин. Обозначим первый элемент множества Ц'Ьис.. как Ь,, Результатом обратной трассировки будет множество tylntai пропущенных блоков, через которые прошла линий тока, назначенная Ьу. При чем (t\ и !//„„,„.) С Ц>Ыкк. Теперь перед началом нож.™ обратной трассировки исключим из у/шк индексы тех блоков, через которые прошла линия тока па предыдущем шаге, т.е. \ (т} UJ//№ii)

Процедура обратной трассировки заканчивается когда = 0.

В третьей главе приведены результаты гидродинамического моделирования с аналитическим и численным отображениями одномерных решений вдоль линий тока. Показана визуализация потока с помощью линий тока для различных способов заводнения и степени неоднородности пласта Продемонстрировано использование линий тока,для баланса системы расположения скважин.

В главе получены результаты гидродинамического моделирования на базе МЛТ с аналитическим отображением на примере фильтрации меченой жидкости и несме-иш Бающегося двухфазно-Рис. 9. Сравнение жеплутационных го вытеснения. Д:м

характеристик добывающей скиажииы фильтрации меченой

жидкости с постоянным режимом скважин линии тока не меняются во времени. В уравнении для давления отсутствуют нелинейности. Поэтому трассировка линий тока с отображением одномерного аналитического решения для доли индикатора даст точное решение проблемы.

На рис, 8 сравнение профилей доли индикатора, полученных МЛТ-симулятором и TEMPEST MORE в момент tD = 0.75. Видно, что TEMPEST MORE приводит к заметному размыванию фронта вытеснения (рис. 86) по сравнению с МЛТ-с и мул я тором (рис. 8а).

Кривые экс плутал ионных характеристик добывающей скважины /для двух разных методов представлены на рис. 9. Из-за значительной численной диффузии TEMPEST MORE приводит к заметно более раннему времени прорыва ~ 0,6, тогда как МЛ'Г-симудятор дает прогноз прорыва в момент времени lr, ~ 0,7 (рис. 9а).

Результаты моделирования на базе МЛ1 зависят от числа проведенных в области линий тока В случае сильно недородного пласта может потребоваться бесконечное число линий тока для покрытия всех блоков сетки Однако, используя обратную трассировку линий тока для каждого пропущенного блока, число чиний может быть выбрано конечным

Двухфазная не-смешивающаяся фильтрация может моделироваться на базе МЛТ с отображением аналитического одномерного решения Ключевое отличие от случая фильтрации меченой жидкости состоит в том, что поле подвижности меняется со временем Уравнение (12) является нелинейным, также как и уравнение для давления, т к общая подвижность Я, зависит от насыщенности Для учета этого линии тока требует периодического обновления Хотя после обновления вдоль линий тока присутствует недородное начальное условие, оно игнорируется

Чем чаще происходит обновление, тем лучше МЛТ-симулятир учитывает вариации в подвижностях фаз в процессе вытеснения Влияние количест-' ва обновлений линий тока на результаты моделирования приведены на рис 10 Из рисунка видно, То) с увеличением числа обновлений графики характеристик сходятся к некоторой кривой Начиная с N^=25, дальнейшее увеличение числа обновлений не приводит к увеличению точности То есть при шаге А/о=0,05 достаточно произвести обновления примерно на половине шагов по времени Это одна из причин высокой скорости симуля-торов МЛТ по сравнению с обычными численными симуляторами

МЛТ также идеально подходит для ранжирования множества геостатистических реализаций На рис 11 приведены результаты МЛТ-моделирования для реализаций двух типов пластов с Н1 = 0,0625 и Н1 = 0,5 Всего генерировалось 20 карт проницаемостей для каждого значения индекса неоднородности На рис 11 точками обозначены кривые, соответствующие максимальным, минимальным и средним значениям характеристик Одним из применений подоб-

а) 6)

Рис 10 Влияние количества обновлений линии тока

Рис 11 Применение МЛТ для ранжирования равновероятных реализаций пласта

ного ранжирования может служить использование реализаций, которые приводят к оптимистическому и/или пессимистическому прогнозу, для проведения гидродинамического моделирования в стандартном численном симуляторе,

В работе приведены результаты моделирования на базе MJ1T с численным отображением одномерных численных решений вдоль линий тока. 1 ¡осле того как заново рассчи таны поле давлений и траектории линий тока, первый шаг состоит в том, чтобы узнать распределение насыщенности вдоль обновленной линии тока. Информация о насыщенности как функции времени пролета сохраняется для каждой линии тока, проведенной от нагнетательной до добывающей скважин. Значение новой насыщенности записывается с шагом АтЬ!к всякий раз, как линия тока входит В новый сеточный блок. В работе использовалась блоч но-центрированная сетка вдоль линии тока. Это способ является достаточно быстрым, поскольку список блоков, через которые линия тока проходит, получается автоматически при трассировке. До того как функция S от г может быть передана одномерной численной решающей программе, она приводится к сетке с одинаковым шагом г.

Число узлов при использовании для равномерной г-сетки равняется числу сеточных блоков, пересекаемых линией тока, помноженному на множитель кЫк, который ус танавливается пользователем.

На рис. 12 показаны распределения индикатора при отображении численного решения, найденного схемой разностей против потока и TVD-схемой с МС-оГраничителем. И в том и в другом случае двумерное решение содержит искусственную диффузию вследствие численной аппроксимации ДУЧП. Однако из сравнения рис. ) 2а и 126 хорошо видно, что схема разностей против потока приводит к большей схемной диффузии, чем TVD-схема. Это приводит к более раннему времени прорыва для метода разностей против потока, хотя это не так заметно как для TEMPEST MORE.

В работе проведено гидродинамическое моделирование двух компонент пой двухфазной фильтрации для четверти пятиточечного шаблона заводнения однородного пласта размером 100x100 блоков. Характеристики вытесняющего и вытесняемого флюида (отношо:, ч вязкостен, доли компонента в фазах и т.д.) соответствуют примеру, описанному выше. Все результаты сравнивались с решениями, полученными MJ1T с аналитическим отображением. Определено, что наиболее сильные отличия в графиках коэффициента от дачи между аналитическим и численным отображениями наблюдаются для случаев смешанных 7ZS - и S7ZS-волн. Особенно существенно это отличие для сильно недородного пласта с HI = 0,5. Кроме того, в диссертации показано, что экегшутационные кривые мало чувствительны к выбору кш, И уже при к. -2 результаты становятся практически неотличимы друг от друга.

Для более точного описания нелинейно-стей при вытеснении линии тока должны обновляться в соответствии с изменением поля подвижностей. Проблема в том, что при таком обновлении линии тока меняют свое положение в пространстве, поэтому, в общем случае, начальная информация вдоль линий тока неоднородна по значениям насыщенности фазой. Однако при аналитическом отображении используется одномерное решение, полученное при постоянном значении начальной насыщенности вдоль линии тока как одномерной системы. Обоснованность такого подхода связана с тем, насколько сильно меняют свое положение линии тока. Если изменения значительны, то многомерное решение, полученное аналитическим отображением, будет заметно отличаться от решения, при котором учитываются новая начальная информация после обновления линий тока.

В главе проведены численные эксперименты с многоскважи иными системами при постоянных и переменных режимах скважин, МЛТ как с аналитическим, так и с численным отображениями может применяться для моделирования таких пластовых систем. Естественно, что при аналитическом отображении режимы скважин не должны меняться во всем цикле моделирования, В качестве тестовой задачи был взят пример несмешивающегося двухфазного вытеснения для схемы расположения скважин, представленной на рис. 13,

Результаты моделирования приведены на рис. 14, где сравниваются МЛТ-симулятор с двумя типами отображений и коммерческий симулятор TEMPEST MORE, Для скважины Р2 ШТГ-симулятор и TEMPEST MORE дали практически идентичные кривые коэффициента обводненности (рис. 14а), однако для скважины Р1 оба симулятора показа.!и заметное расхождение по данной характеристики . Кроме того, VIПТ-симулятор с аналитическим отображением дал существенное превышение по коэффициенту отдачи (рис, 146) для добывающей скважине Р1. Тогда как МЛТ-симулятор с численным отображением занизил отдачу в скважине Р2 по сравнению с TEMPEST MORE.

Ш практике часто встречается случаи, когда режимы работы скважин меняются со временем их эксплуатации. Все это приводит к задаче с переменными граничными условиями, поэтому невозможно использовать МЛТ с аналитическим отображением.

Рис, IS, Схема расположения скважин

Рис. ¡4. Эксплуатационные характеристики добывающие скважин Р! и Р2 дли схемы расположения на рис. 13

Однако МЛТ-снм\ лятор с численным отображением все еще может применяться

Гидродинамическое моделирование пласта с расположением скважин на рис 13 показало, что уже в

V —- TtM»»ST WO*€ J I

i I

P1 i

tn

—' * I

Рис 15 Эксплутационные характеристики добывающих скважин Р1 и Р2 с отключением скважины Р2 в момент tn = 2

момент времени tD = 2 обводненность в добывающей скважине Р2 достигает такого уровня, при котором ее эксплуатация практически не приводит к увеличению объема добытой нефти (см рис 14) В связи с этим можно отключить скважину Р2, чтобы повысить дебит скважин ы PI На рис 15 показаны результаты моделирования с отключением эксплутационной скважины Р2 в момент времени tD =2 Из рис 15 видно, что отключение скважины Р2 привело к почти мгновенному прорыву в скважине Р1 (рис 15а), что, естественно, отразилось на остальных эксплутационных показателей скважин МЛТ-симулятор и TEMPEST MORE показали хорошую сходимость по всем показателям

В работе также приведены результаты моделирования на случай, когда скважина Р2 наоборот вводится в систему, первоначально представляющей собой четверть пятиточечного шаблона заводнения с одиночной добывающей скважиной Р1 Оба снмулятора показали отличную сходимость, что обусловлено малыми изменениями линий тока, т е фильтрация осуществляется при режиме близком к стационарному

Четвертая глава посвящена развитию метода линий гока и его применению в процессе комплексной интерпретации данных Объединение всех доступных данных для моделирования - важный аспект при оптимальном управлении разработкой месторождения и надежном прогнозировании При решении этих проблем МЛТ требует своего развития для учета влияния массовых сил, сил поверхностного натяжения и сжимаемости флюидов

Вектор суммарной скорости (который определяет линию гока) является суммой векторов скорости каждой из фаз, но фазовые векторы не параллельны друг другу при наличии тяготения Решение может быть получены с использованием тн оператора расщепления Концепция оператора расщепления проста и состоит в решении уравнений материального баланса за два шага первый «конвективный шаг» берется для линий тока, который загем предваряегся «гравитационным» шагом для линий силы тяжести - параллельной вектору ускорения свободного падения g

При заводнении и добыче нефти с применением различных методов интенсификации, происходит захват нефти вследствие сложных взаимодействий между вязкими, массовыми и капиллярными силами. Для учета капиллярного давления можно использовать схожую методику. Вязкие силы создают конвективное движение вдоль линий тока. Транспортное уравнение преобразуется с использованием оператора времени пролета. Капиллярные силы учитываются уже для основной сетки. Мри этом шаг в конечно-разностиой сетке можно представить в виде шага корректора. Шаг корректора необходим для перераспределения флюидов внутри пласта, но без изменения их общего количества.

В случае потока

ГНС

(Ч1Л

лрОН^иэемОСТ!^

Интеграция

даклых а рэ1№глах

Иерархия рлапиплчий

' |1 сцд I. : ' -м*

ИСЩеЛ Ьф У..!-' "'

- сейсчнчеолх

¿ЭННЫХ

Ранжирование ~ Осрздчсмие Адаптация-по

реализаций хар&ггеристик разработки

Рис 16. Рабочий процесс комплексной интерпретации длапых

Блок с серой заливкой - область применения МЛТ

сжимаемой жидкости, линии тока могут начинаться или заканчиваться в любом сеточном блоке, даже если блок не содержит скважины. Алгоритм трассировки Поллака и в тгом случае. Однако требустсм значительное видоизменение математического описания ,!шя учета зависимости между насьпцен-ностями/состава жидкости от давления вдоль каждой линии тока, а также учет непостоянного расхода жидкости. Однако когда МЛТ используется для моделирования по-настоящему сжимаемой системы, присущее данному методу преимущество по скорости может значительно уменьшиться в зависимости от размера модели и основных механизмов вытеснения.

Типичный рабочий ^ процесс комплексной ин-

й терпретации данных приве-

£ ден на рис. !6. Процесс за-

трагивает интеграцию и согласованно асе.х доступных источников данных, а именно статические и динамические источники информа-% _ а г* ции. В этой дорогостоящей,

комплексной и сложной срсде создания репрезентативной модели месторожде-

i,

ч ,

1 «Я * * ■

><лж> Нагнетании) вод*, ктви жюда Рис. П. Оценка эффективности нагнетаншш* скважин на основе информации, предоставляемой МЛТ

ния, МЛТ-моделироваиие может оказаться эффективным средством уменьшения стоимости и сложности процесса интеграции. Области возможною использования МЛ 1 '-моделирования показаны на рис. 16 блоками с серой заливкой.

Важным компонентом процесса оптимизаций эксплугационных характеристик месторождения является возможность сравнивать и классифицировать качество работы нагнетающих скважин. Необходимым является метод, при котором опреде-

ляется величина выноса добытой нефти как функции нагнетаемого объема Это тот самый тип информации, который линии тока предоставляют естественным образом

На рис 17 показаны данные для установившегося заводнения График зависимости между нагнетаемым объемом и выносом добытой нефти для каждой нагнетаемой скважины дает четкую картину качества работы скважин на всем месторождении Устанавливая пограничную эффективность, равную отношение объемов добытой нефти к нагнетаемой воде в процентах (10% в этом примере), график может быть разбит на четыре квадранта, обозначенные под номерами 1,2,3 и 4

Квадрант 1 представляет наиболее эффективные нагнетающие скважины, т е те скважины, которые производят наибольшее количество нефти на каждый баррель нагнетаемой воды Квадрант 4 включает наименее эффективные скважины Эти скважины прямые кандидаты на закрытии, в частности, когда ограничен объем воды Скважины в квадранте 3 производят менее 10% нагнетаемого объема, но значительное количество по абсолютной величине и требуют более детального анализа Аналогично, скважины в квадранте 2 производят менее 10% нагнетаемого объема, но с другой стороны не требуют больших по абсолютному значению объемов нагнетаемой воды

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования получены следующие выводы

1 Математическое моделирование многофазной многокомпонентной фильтрации является, по существу, все еще открытым вопросом Фактически, движение смеси флюидов, состоящих из различного числа компонент, представляет собой сложную с точки зрения физики задачу, поскольку необходимо учитывать различные процессы на разных масштабах одновременно В микроскопическом масштабе преобладают капиллярные силы, тогда как силы трения (вязкость) и тяжести обычно учитываются при крупномасштабном описании Однако помимо этою необходимо учитывать массообмен между фазами, существенно проявляющий себя при явлениях, характерных в технологиях добычи нефти путем закачки газа пргг высоком давлении или поверхностно-активных веществ

2 Реигение задачи Римана на бескоггечной областгг и кусочно-постоянными начальными условиями с одиночным разрывом является чрезвычайно значимым для практического применения Множество лабораторных экспериментов фактически воспроизводят условия задачи Римана первоначально среда имеет однородные насыщенности, а пропорция нагнетаемых флюидов остается постоянной в течение эксперимента

3 Преимущество МЛТ состоит в том, что ограничения на устойчивость основной сетки эффективно устраняются из решений полученных для каждой линии Таким образом, может быть взят достаточно большой временной шаг при использовании этого метода Кроме того, для неоднородных систем поле распределения давления слабо зависит от свойств жидкости Это значит, что величина давления требует нечастой корректировки на протяжении процесса вытеснения для точного учета нелииейностей в распределении давления

4 Для фильтрации меченой жидкости МЛТ с аггалитическим отображением дает точное многомерное решение и может использоваться при вьгчисле-

нии уровня численной диффузии, возникающей в численных решениях Хотя отображение аналитических решений требует однородных начальных условий вдоль линий тока, однако, когда [ечение флюидов определяется главным образом неоднородностью пласта и в меньшей степени зависит от меняющегося поля подвижностей, МЛТ показывает хорошую точность и согласованность с решениями, полученными другими методами

5 Отображение аналитического одномерного решения - это очень быстрый метод с практически нулевой численной диффузией Однако такое отображение ограничено рядом задач, которые могут быть решены с достаточно высокой степенью точности Другие случаи, приводящие к сильной неоднородности начальных условий вдоль линий тока, не могут правильно моделироваться МЛТ с аналитическим отображением Примерами могут служить пласты с неоднородным начальным распределением флюидов, а также системы с переменными режимами скважин

6 Отображение численных решений вдоль линий тока обобщает МЛТ на более сложные случаи фильтраций, которые могут возникнуть внутри пласта Например, переменные режимы скважин могут моделироваться с хорошей точностью и согласованностью с решениями, полученными стандартными МКР-симуляторами Гем не менее, высокая скорость метода сохраняется В МЛТ транспортное уравнение эффективно отделяется от основной сетки, поэтому для него не действуют глобальное СГЬ-условис, ограничивающее шаг конвективного массопереноса по времени у традиционных численных схем

7 Т\Т>-схемы получения численных одномерных решений приводят к меньшей искусственной диффузии по сравнению с методом разностей против потока Основным источником схемной диффузии в МЛТ с численным отображением является усреднение значений насыщенности вдоль линии тока при обратном отображении на основную сетку Для любого сеточного блока с одной или более линиями тока, его свойства получаются на основе информации вдоль линий тока, проходящих через блок В масштабе сеточного блока в каждый момент времени происходит процесс усреднения значений насыщенной ей, где в качестве веса берется параметр времени пролета Затем полученные таким способом свойства блока повторно восстанавливаются вдоль линий тока и продвигаются вперед во времени Чем чаще происходит отображение обратно на основную сетку, тем больший эффект перемешивания мы получим, т е тем выше уровень численной диффузии

8 Для МЛ Г-симуляторов не так остро стоит проблема устойчивости и соответственно связанные с этим ограничения Однако учет капиллярных и гравитационных эффектов (и особенно сжимаемость флюидов) с помощью оператора расщепления может потребовать более частых шагов по времени по сравнению с обычным МЛТ Несколько шагов при решении расщепленных уравнений для насыщенности можно, в принципе, свести к одному временному шагу Этот шаг впоследствии может быть не принят, если ошибка материального баланса превысить некоторый предел, устанавливаемый пользователем Для пластов, состоящих из крупных неоднородных зон, рекомендуется использовать полностью автоматическую подпрограмму выбора шага по времени

9 МЛТ не лишен недостатков Переход от реальной многомерной задачи к решению множеству одномерных естественно приводит к потере каких-либо

свойств зависящих от направления Например, одномерное преобразование не может учесть тензорный характер коэффициента гидродинамической дисперсии, перетоки между соседними линиями тока и т п Это связано с представлением линий тока в виде независимых одномерных систем

НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1 Сидельников К А , Васильев В В Анализ применения технологии моделирования пластовых систем на базе метода линий тока // Геоинформационные технологии в нефтепромысловом сервисе Тез докл 4-го Научн симпозиума - секция «А» 6-го международного конгресса нефтегазопромышленни-ков России - Уфа, 2005 -С 117-118

2 Сидельников К А , Васильев А В Этапы и исходная информация создания геолого-гидродинамических моделей месторождения углеводородов // Геоинформационные технологии в нефтепромысловом сервисе Тез докл 4-го научн симпозиума - секция «А» 6-го международного конгресса нефтегазо-промышленниковРоссии -Уфа, 2005 -С 119-120

3 Сидельников К А , Васильев В В Анализ современных способов увеличения эффективности моделирования нефтяных месторождений // Надежность и качество Труды международного симпозиума / Под ред H К Юркова - Пенза Изд-во Пенз гос ун-та, 2005 - С 227-230

4 Сидельников К А, Васильев А В Решение матричных уравнений алгебраическим многосеточным методом при моделировании течения жидкости в нефтяных пластовых системах // Надежность и качество Труды международного симпозиума / Под ред H К Юркова - Пенза Изд-во Пенз гос ун-та, 2005 - С 224-226

5 Лялин В Е , Сидельников К А Концепции математического моделирования пластовых систем на базе метода линий тока // Нефтегазовое дело Электронный научный журнал - 2005 - www ogbus ru

6 Сидельников К А , Васильев В В Анализ применений математического моделирования пластовых систем на базе метода линий тока // Нефтегазовое дело Электронный научный журнал - 2005 - www ogbus ru

7 Лялин В Е , Сидельников К А Современные модели линий и трубок тока для описания многофазной фильтрации в неоднородном пласте // Известия ТулГУ Серия Математика Механика Информатика - Т 11 Вып 4 Информатика -Тула Изд-во ТулГУ, 2005 -С 126-146

8 Сидельников К А, Лялин В Е Основные области применения метода линий тока при разработке нефтяных и газовых месторождений // Известия ТулГУ Серия Математика Механика Информатика -Т 11 Вып 3 Информатика -Тула Изд-во ТулГУ, 2005 - С 167-179

9 Лялин В Е , Сидельников К А Аналитические решения некоторых задач многофазной многокомпонентной фильтрации // Нефтегазовое дело Науч-но-техническии журнал - 2005. - № 3 - С 79-92

10 Лялин В Е , Сидельников К А Моделирование двумерной фильтрации меченой жидкости методом трубок тока // Надежность и качество Труды международного симпозиума В 2-х томах / Под ред H К Юркова - Пенза Изд-во Пенз гос ун-та, 2006 -Т 1 -С 263-267

i !

w

11 Сидельников К A, Лялин В Е Моделирование двумерной двухфазной фильтрации методом трубок тока // Надежность и качество Труды международного симпозиума В 2-х томах / Под ред H К Юркова - Пенза Изд-во Пенз гос ун-та, 2006 -Т 1 -С 267-271

12 Lyalm, VE, and К A Sidelnikov, Modeling tracer displacement using streamlines // Proceedings of the 6th international conference «Vibroengmeenng 2006» - Kaunas, Lithuania Kaunas University of Technology, 2006 -P 191-194

13 Сидельников KA Применение метода линий тока для гидродинамического моделирования площадных пластовых систем // Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе Материалы 33-й междн конф -Украина, Крым, Ялта-Гурзуф Приложение к журналу «Открытое образование», 2006 - С 190-192

14 Сидельников К А Особенности использования смешанного метода линий тока и конечных объемов для полуаналитического решения площадных задач // Информационные технолог ии в науке, социологии, экономике и бизнесе Материалы 33-й междн конф - Украина, Крым, Ялта-Гурзуф Приложение к журналу «Открытое образование», 2006 - С 192-194.

15 Сидельников К А Решение задачи двухкомпонентного вытеснения методом линий тока // Известия ТулГУ Серия Математика Механика Информатика -Т 12 Вып 3 Информатика - Тула Изд-во ТулГУ, 2006 -С 168-181

16 Сидельников К А Применение TVD-схем при отображении численных одномерных решений в методе линий тока на примере двухфазной фильтрации // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе Материалы 34-й междунар конф - Украина, Крым, Ялта-Гурзуф Прилож кжурн «Открытое образование», 2007 - С 107-108

17 Сидельников К А Применение TVD-схем при отображении численных одномерных решений в методе линий тока на примере двухкомпонентной двухфазной фильтрации // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе Материалы 34-й междунар конф - Украина, Крым, Ялта-Гурзуф Прилож кжурн «Открытоеобразование»,2007 - С 109-110

К.А. Сидельников

Лицензия ЛР № 020764 от 29 04 98

Подписано в печать 18 04 2007 Формат 60x84 1/16 Отпечатано на ризографе Уч-издл 1,89 Уел печ Л 1,39 Тираж 100 экз Заказ № 714/1

Издательство Института экономики УрО РАН 620014, г Екатеринбург, ул Московская - 29

Введение.

Условные обозначения.

1. Проблема повышения эффективности компьютерного моделирования пластовых систем.

1.1. Исходная информация для моделирования нефтяных месторождений.

1.2. Этапы создания трехмерных геолого-гидродинамических моделей нефтяных месторождений.

1.3. Проблема компьютерного моделирования месторождений.

1.4. Технологии повышения эффективности компьютерного моделирования нефтяных месторождений.

1.4.1. Технология обработки с массовым параллелизмом.

1.4.2. Решение матричных уравнений алгебраическим многосеточным методом

1.4.3. Параллельное моделирование месторождений.

1.4.4. Моделирование на базе методов линий тока.

1.5. Постановка цели и задач исследований.

2. Теоретические аспекты математического моделирования пластовых систем.

2.1. Моделирование пористой среды.

2.1.1. Понятие пористой среды.

2.1.2. Алгоритм генерация неоднородного поля проницаемости (индекс неоднородности).

2.2. Уравнения многофазной многокомпонентной фильтрации флюидов.

2.2.1. Определяющие уравнения фильтрации флюидов.

2.2.2. Представление в гиперболической форме (IMPES-формулировка).

2.2.3. Транспортные уравнения для многомерного потока.

2.3. Аналитические решения транспортных уравнений для одномерного потока.

2.3.1. Транспортные уравнения для одномерного потока.

2.3.2. Уравнения в случае чистой конвекции.

2.3.3. Начальные и граничные условия.

2.3.4. Аналитическое решение задачи Римана (двухфазная фильтрация несмешивающихся флюидов).

2.3.5. Аналитическое решение задачи Римана (двухкомпо-нентная двухфазная фильтрация флюидов).

2.3.6. Аналитическое решение задачи Римана (дисперсионно-конвективное уравнение).

2.4. Численные решения транспортных уравнений для одномерного потока.

2.4.1. Классические разностные схемы.

2.4.2. Численные TVD-методы высокого разрешения.

2.5. Численное решение уравнения для давления.

2.5.1. Численное представление уравнения для давления.

2.5.2. Учет членов-источников.

2.6. Метод линий тока и связанные с ним модели.

2.6.1. Определение поля распределения общих скоростей.

2.6.2. Трассировка линий тока.

2.6.3. Параметр времени пролета (TOF).

2.6.4. Преобразование координат для линий тока.

2.6.5. Система с множеством скважин.

2.6.6. Отображения одномерных решений на основную сетку

2.6.7. Пропущенные блоки.

2.7. Полученные результаты и выводы.

3. Гидродинамическое моделирование с аналитическим и численным отображениями одномерных решений вдоль линий тока.

3.1. Визуализация потока флюидов с помощью линий тока.

3.2. Аналитическое отображение одномерных решений вдоль линий тока.

3.2.1. Фильтрация меченой жидкости.

3.2.2. Несмешивающаяся двухфазная фильтрация.

3.3. Численное отображение одномерных решений вдоль линий тока.

3.3.1. Восстановление начальных условий вдоль линий тока.

3.3.2. Фильтрация меченой жидкости.

3.3.3. Двухкомпонентная двухфазная фильтрация.

3.4. Многоскважинные системы.

3.4.1. Системы с постоянными режимами скважин.

3.4.2. Системы с переменными режимами скважин.

3.5. Полученные результаты и выводы.

4. Развитие метода линий тока и его применение в процессе комплексной интерпретации данных.

4.1. Развитие метода линий тока для учета разномасштабной природы многофазной фильтрации.

4.1.1. Влияние массовых сил.

4.1.2. Влияние сил поверхностного натяжения.

4.1.3. Учет сжимаемости флюидов.

4.1.4. Моделирование сложных процессов вытеснения.

4.2. Области применения симуляторов на базе метода линий тока.

4.2.1. Основные преимущества метода линий тока.

4.2.2. Симбиоз МКР- и MJJT-принципов моделирования.

4.2.3. Ремасштабирование и осреднение моделей.

4.2.4. Адаптация по истории разработки месторождения.

4.2.5. Показатели размещения скваэ/сины.

4.3. Полученные результаты и выводы.

Актуальность темы. Двадцать первый век приносит новые проблемы для мировой экономики. Динамичный глобальный рынок требует изменения существующей парадигмы в нефтяной отрасли, поскольку потребность в нефти продолжает доминировать в общемировой сфере энергопотребления.

Моделирование месторождений является одной из многих современных технологий, используемых при разработке и добыче нефти. Оно используется для сравнения различных механизмов добычи, и предоставляет базу для экономического анализа потенциальных сценариев подготовки месторождения. Кроме того, к данному типу моделирования предъявляются все большие требования, так как нефтегазовые площади стареют, и процесс добычи становится все более сложным. Успешное, экономически обоснованное использование современных технологий интенсификации добычи нефти и повышения нефтеотдачи обеспечивается путем создания компьютерных цифровых геолого-гидродинамических моделей пластовых систем и протекающих в них процессов.

Существующие коммерческие программные пакеты для проведения моделирования представляют широкий набор инженерных средств, обеспечивающих принятие оптимального решения в управлении месторождением. Применение подобных средств определятся выбранным типом модели: от эксплутациоииой модели, охватывающей небольшой участок, до полной стратегической модели масштаба месторождения. Современные геолого-гидродипамические модели месторождений могут содержать миллионы блоков, и эти показатели непрерывно увеличиваются с развитием компьютерной техники. Хотя стандартные симуляторы месторождений предоставляют различные возможности по его управлению и разработке, точность выдаваемых ими прогнозов в одинаковой степени зависит от разрешающей способности модели. Из-за существующих вычислительных ограничений, высоко-детализированную сетку геологической модели (несколько миллионов блоков) подвергают осреднению до сетки с сотнями тысяч блоков. Одно из решений усовершенствования симулятора основано на достижениях компьютерного прогресса в области аппаратных средств ЭВМ. При этом применяются современные методы распараллеливания одной большой задачи на ряд более мелких подзадач, выполняемых на отдельных процессорах и даже компьютерах. Второй подход состоит в том, чтобы непосредственно улучшить эффективность моделирования. При гаком решении остается возможность использования стандартных компьютерных средств, но с получением достаточно точных прогнозов за меньшее время.

Задаче разработки и применения методов непосредственного улучшения компьютерного моделирования месторождений, а также проблеме их интегрирования с уже существующими технологиями, посвящено множество последних работ по данной теме, что обусловливает актуальность представленного исследования.

Объектом исследования являются дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП); математическое моделирование нефтяного пласта; аналитические и численные методы решений ДУЧП; гидродинамика жидкостей и газов внутри однородных и неоднородных пористых средах; установившаяся и неустановившаяся многокомпонентная многофазная фильтрация жидкостей и газов.

Предметом исследования являются теория гиперболических ДУЧП; метод конечных объемов (МКО); линии тока; математическое описание алгоритмов и методов дискретизации и решения системы уравнений фильтрации; прогнозирование эксплутационных характеристик скважин после проведения гидродинамического моделирования; комплексная интерпретация исходных данных моделирования.

Методы исследования. В работе применялись теоретические и экспериментальные методы исследования.

При выводе многомерных транспортных уравнений и уравнений для давления использовалась многокомпонентная (композиционная) модель фильтрации с учетом межфазного массобмена между компонентами. Кривые коэффициентов относительной фазовой проницаемости строились на базе модели Брукса-Кори. Аналитические решения для одномерного случая несмешиваю-щегося двухфазного вытеснения выводились на основе метода характеристик. Для получения полного набора возможных решений одномерной двухкомпо-нентной фильтрации применялся метод построения выпуклой оболочки. В работе использовался МКО для численных решений ДУЧП. После дискретизации уравнения для давления полученная система линейных алгебраических уравнений решалась методом двусопряженных градиентов.

Вычислительный эксперимент проводился в среде MATLAB путем написания соответствующих программных функций (М-код) на высокоуровневом языке для технических расчетов. Визуализация результатов осуществлялась с помощью встроенной в пакет интерактивной среды для анализа данных.

В качестве МКР-симулятора использовался коммерческий гидродинамический симулятор TEMPEST MORE фирмы Roxar.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов подтверждена сопоставительным анализом разработанных и существующих математических моделей и методов, а также итогами проведения вычислительного эксперимента.

Математические модели, алгоритмы и прикладные программы, используемые в работе, основаны на положениях теории вероятности, вычислительной гидродинамики, подземной гидромеханики и флюидодинамике, теории гиперболических систем, теории разностных схем, теории поля.

Достоверность экспериментальных результатов обеспечена моделированием фильтраций флюидов с разнообразной физикой вытеснения, разной степенью неоднородности пласта, различными начальными и граничными условиями и хорошей согласованностью прогнозируемых эксплутациопных характеристик, полученных MJTT- и МКР-симуляторами.

На защиту выносятся результаты решений по увеличению эффективности компьютерного гидродинамического моделирования пластовых систем на основе метода линий тока, в том числе:

- IMPES-формулировка уравнений многофазной многокомпонентной фильтрации с учетом капиллярного давления, влияния массовых сил и членов-источников в многомерной постановке;

- построение дерева всех возможных аналитических решений для одномерных случаев двухкомпонентного двухфазного вытеснения в постановке задачи Римана в зависимости от начальных и граничных условий;

- сравнение численных TVD-схем высокого разрешения и классических разностных схем дискретизации одномерных транспортных уравнений с полным набором аналитических решений на примере двухкомпонентной фильтрации;

- методика оптимального распределения линий тока между нагнетающими скважинами и гранями блоков их содержащих на основе информации о расходах;

- алгоритм выбора пропущенных блоков, основанный на сортировке этих блоков таким образом, чтобы при обратной трассировке строились сначала наиболее длинные линии тока;

- проведение вычислительного эксперимента по гидродинамическому моделированию пластовых систем на базе MJIT и его сравнение со стандартным МКР-симулятором на примере различных режимов фильтрации и систем заводнения;

- рекомендации по возможному использованию MJIT-моделирования при комплексной интерпретации данных.

Научная новизна результатов диссертационного исследования, полученных лично автором, заключается в следующем:

- на основе теории нелинейных гиперболических ДУЧП выявлены и проклассифицированы шесть возможных типов аналитических решений неустановившейся двухкомпонентной двухфазной фильтрации в постановке задачи Римана в зависимости от начального и нагнетаемого состава компонентов в предположении локального термодинамического равновесия фаз;

- обосновано применение численных TVD-схем высокого разрешения как основы численного отображения в МЛТ, которые, сохраняя второй порядок точноста в области гладкого решения, лучше воспроизводят разрывы в истинном решении и не создают искусственных колебаний при соблюдении CFL-условия;

- предложена методика распределения линий тока между нагнетающими скважинами и гранями блоков их содержащих, которая наглядно показывает области с высокой скоростью фильтрации за счет большего числа линий тока проходящих через эту область, с другой стороны позволяет более точно определить долю индикатора для таких областей, которые, как правило, представляют больший интерес для инженеров-нефтяников;

- разработан алгоритм выбора пропущенных блоков, который существенно уменьшил количество обрабатываемых неучтенных при прямой трассировке блоков; последовательность выбора пропущенных блоков определяется их близостью к добывающим скважинам;

- создано программное обеспечение проведения вычислительного эксперимента, позволяющее проводить гидродинамическое моделирование пластовых систем с различными системами расположения скважин и режимами их работы; оно позволило провести сравнительный анализ результатов МЛТ-моделирования с результатами, полученным стандартным МКР-симулягорам;

- определены области возможного использования MJTT-моделирования в рабочем процессе комплексной интерпретации данных, которое может оказаться эффективным средством уменьшения стоимости и сложности процесса интеграции разнородной информации.

Практическая полезность исследования состоит в том, что оно связано с моделированием течений жидкостей в пластовых системах на базе MJTT, являющегося одним из современных подходов непосредственного улучшения эффективности компьютерного моделирования месторождений. При таком решении остается возможность использования стандартных компьютерных средств, но с получением достаточно точных прогнозов.

Ценность аналитического решения уравнений многофазной многокомпонентной фильтрации заключается в следующем: быстрая интерпретация лабораторных экспериментов; строительный блок для определенных численных методов; совершенствование моделей относительных проницаемостей; сравнительный анализ численных методов, когда аналитическое решение выступает в роли эталонного. Кроме того, решение задачи Римана дает также информацию о структуре системы уравнений, и может быть использовано как строительный блок для получения решений задач с более сложными начальными и граничными условиями.

Современное MJlT-моделирование это мощное средство, дополняющее традиционные подходы в управлении разработкой и добычей углеводородов. Подобная технология может помочь геологам и геофизикам использовать, помимо статических данных (каротажных, сейсмометрических и т.д.), динамическую информацию в их анализах уже на этапе структурного моделирования. Основной акцепт при использовании MJlT-моделирования делается на облегчении процесса адаптации моделей по истории разработки месторождения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на российских и международных научно-технических конференциях и конгрессах: 4-м научном симпозиуме «Геоинформационные технологии в нефтепромысловом деле» - секции «А» 6-го международного конгресса нефтегазопромышленников России (Уфа, 2005); международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2005-2006); симпозиуме в Институте проблем нефти и газа РАН (Москва, 2006); 33-й международной конференции «Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе» (Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 2006); 6th international conference «Vi-broengineering 2006» (Каунас, Литва, 2006); 34-й международной конференции «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе» (Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 2007).

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертации опубликованы в 17 научных работах, в том числе: 2 тезиса докладов и 9 докладов на международных конференциях (при этом 1 доклад на английском языке), 6 статей в журналах и сборниках (при этом 2 статьи в электронном журнале). Автор имеет 10 научных трудов в изданиях, выпускаемых в РФ и рекомендуемых ВАКом для публикации основных результатов диссертаций.

Структура диссертационной работы. Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, изложенные на 214 стр. машинописного текста. В работу включены 83 рис. и список литературы из 141 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования получены следующие выводы.

1. Математическое моделирование многофазной многокомпонентной фильтрации является, по существу, все еще открытым вопросом. Фактически, движение смеси флюидов, состоящих из различного числа компонент, представляет собой сложную с точки зрения физики задачу, поскольку необходимо учитывать различные процессы на разных масштабах одновременно. В микроскопическом масштабе преобладают капиллярные силы, тогда как силы трения (вязкость) и тяжести обычно учитываются при крупномасштабном описании. Однако помимо этого необходимо учитывать массообмен между фазами, существенно проявляющий себя при явлениях, характерных в технологиях добычи нефти путем закачки газа при высоком давлении или поверхностно-активных веществ.

2. Ценность аналитического решения уравнений многофазной многокомпонентной фильтрации заключается в следующем: быстрая интерпретация лабораторных экспериментов; выявление структуры решения, способной определить более эффективные методы добычи флюидов в подповерхностном слое; строительный блок для определенных численных методов; моделирование на базе метода линий/трубок тока; совершенствование моделей относительных проницаемостей; сравнительный анализ численных методов, когда аналитическое решение выступает в роли эталонного.

3. Решение задачи Римана на бесконечной области и кусочно-постоянными начальными условиями с одиночным разрывом является чрезвычайно значимым для практического применения. Множество лабораторных экспериментов фактически воспроизводят условия задачи Римана: первоначально среда имеет однородные насыщенности, а пропорция нагнетаемых флюидов остается постоянной в течение эксперимента. Решение задачи Римана дает также информацию о структуре системы уравнений, и может быть использовано как строительный блок для получения решений задач с более сложными начальными и граничными условиями.

4. Моделирование течений жидкостей в пластовых системах на базе МЛТ является одним из современных подходов непосредственного улучшения эффективности компьютерного моделирования месторождений. При таком решении остается возможность использования стандартных компьютерных средств, но с получением достаточно точных прогнозов. Преимущество МЛТ состоит в том, что ограничения на устойчивость основной сетки эффективно устраняются из решений полученных для каждой линии. Таким образом, может быть взят достаточно большой временной шаг при использовании этого метода. Кроме того, для неоднородных систем поле распределения давления слабо зависит от свойств жидкости. Это значит, что величина давления требует нечастой корректировки на протяжении процесса вытеснения для точного учета нелинейностей в распределении давления. Возможность брать достаточно большой временной шаг и только периодической корректировки линий тока основная причина, почему метод линий тока на порядок быстрее более традиционных методов. Из-за сеточных ограничений, в обычных методах берется малое приращение времени, что приводит к множественному пересчету распределений давления и насыщенности - процесс с большими вычислительными затратами.

5. Для фильтрации меченой жидкости МЛТ с аналитическим отображением дает точное многомерное решение и может использоваться при вычислении уровня численной диффузии, возникающей в численных решениях. Хотя отображение аналитических решений требует однородных начальных условий вдоль линий тока, однако, когда течение флюидов определяется главным образом неоднородностью пласта и в меньшей степени зависит от меняющегося поля подвижностей, МЛТ показывает хорошую точность и согласованность с решениями, полученными другими методами.

6. Отображение аналитического одномерного решения - это очень быстрый метод с практически нулевой численной диффузией. Однако такое отображение ограничено рядом задач, которые могут быть решены с достаточно высокой степенью точности. Другие случаи, приводящие к сильной неоднородности начальных условий вдоль линий тока, не могут правильно моделироваться MJIT с аналитическим отображением. Примерами могут служить пласты с неоднородным начальным распределением флюидов, а также системы с переменными режимами скважин.

7. Отображение численных решений вдоль линий тока обобщает МЛТ на более сложные случаи фильтраций, которые могут возникнуть внутри пласта. Например, переменные режимы скважин могут моделироваться с хорошей точностью и согласованностью с решениями, полученными стандартными МКР-симуяторами. Тем не менее, высокая скорость метода сохраняется, хотя и уменьшается по сравнению с аналитическим отображением. В МЛТ транспортное уравнение эффективно отделяется от основной сетки, поэтому для него не действуют глобальное CFL-условие, ограничивающее шаг конвективного мас-сопереноса по времени у традиционных численных схем.

8. TVD-схемы получения численных одномерных решений приводят к меньшей искусственной диффузии по сравнению с методом разностей против потока. Основным источником схемной диффузии в МЛТ с численным отображением является усреднение значений насыщенности вдоль линии тока при обратном отображении на основную сетку. Для любого сеточного блока с одной или более линиями тока, его свойства получаются на основе информации вдоль линий тока, проходящих через блок. В масштабе сеточного блока в каждый момент времени происходит процесс усреднения значений насыщенностей, где в качестве веса берется параметр времени пролета. Затем полученные таким способом свойства блока повторно восстанавливаются вдоль линий тока и продвигаются вперед во времени. Чем чаще происходит отображение обратно на основную сетку, тем больший эффект перемешивания мы получим, т.е. тем выше уровень численной диффузии. Однако по сравнению с обычными МКР-симуляторами МЛТ-симулятор с численным отображением приводит к заметно меньшей искусственной диффузии.

9. Для МЛТ-симуляторов не так остро стоит проблема устойчивости и соответственно связанные с этим ограничения. Однако учет капиллярных и гравитационных эффектов (и особенно сжимаемость флюидов) с помощью оператора расщепления может потребовать более частых шагов по времени по сравнению с обычным МЛТ. Несколько шагов при решении расщепленных уравнений для насыщенности можно, в принципе, свести к одному временному шагу. Этот шаг впоследствии может быть не принят, если ошибка материального баланса превысить некоторый предел, устанавливаемый пользователем. Для пластов, состоящих из крупных неоднородных зон (синтетические тесты и лабораторные эксперименты), рекомендуется использовать полностью автоматическую подпрограмму выбора шага по времени.

10. Моделирование пластовых систем - это сложная область и в большинстве случаев требует экспертных знаний для получения достоверных результатов. Графический интерфейс пользователя и блок-схемы помогают пользователям в том, что берут часть рутинной работы на себя. Полезная и эффективная визуализация результатов просто необходима для их интерпретации и проверки. Однако не секрет, что подавляющее большинство пользователей рассматривают симуляторы месторождений как черный ящик, который как передаточная функция принимает реальные данные и проецирует их в предполагаемое будущее. При этом совсем не требуется глубокого понимания решения и его получения. Все что требуется - это ответы за разумное время. Для идеальных симуляторов (или симуляторов будущего) это значит, что не должно быть ограничений на те или иные техники моделирования, т.е. выбор той или иной методики должен производиться в рамках одного симулятора, но не при его выборе. Подобный симбиоз идей в рамках одного «интеллектуального» симулятора, вероятно, будет являться предметом будущих исследований моделирования месторождений.

11. Современное МЛТ-моделирование это мощное средство, дополняющее традиционные подходы в управлении разработкой и добычей углеводородов. В целом, промышленность все еще ищет наиболее подходящее применение данной технологии, а именно возможность интегрирования данной технологии с уже существующими симуляторами отдельных компаний. Следующие несколько лет привнесут в технологию дополнительную ясность для нахождения ее более широкого применения. Неразумно ждать, что большинство компаний использующих стандартные технологии моделирования сразу начнут использовать МЛТ-моделирование. Тем не менее, уже сегодня подобная технология может помочь геологам и геофизикам (как правило, относящихся к группе пользователей) использовать, помимо статических данных (каротажных, сейсмометрических и т.д.), динамическую информацию в их анализах уже на этапе структурного моделирования. Основной акцент при использовании МЛТ-моделирования делается на облегчении процесса адаптации моделей по истории разработки месторождения.

12. МЛТ не лишен недостатков, к которым можно отнести следующее ограничение. Переход от реальной многомерной задачи к решению множеству одномерных естественно приводит к потере каких-либо свойств зависящих от направления. Например, одномерное преобразование не может учесть тензорный характер коэффициента гидродинамической дисперсии, перетоки между соседними линиями тока и т. п. Это связано с представлением линий тока в виде независимых одномерных систем. Очевидно, что для некоторых практических задач подобные ограничения могут оказаться приемлемыми. В других же случаях придется искать более подходящую модель, лучше отвечающей условиям задачи. Однако модели не заменяют хороших лабораторных экспериментов, которые ставятся для понимания природы изучаемого процесса или для измерения значимых параметров уравнений, которые решаются при моделировании. Часто самое большое, что можно получить в результате исследования, -это лишь некоторые указания для относительного сопоставления доступных вариантов. В других случаях можно ожидать гораздо большего, но, не учитывая какой-либо физический механизм при построении модели, нельзя изучить его влияние на процессы в пласте с использованием данной модели.

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем: Пер. с англ. / Под ред. М.М. Максимова. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -416 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: М.: «Недра», 1982 г.

2. Амикс Дж., Басс Д., Уайтинг Р. Физика нефтяного пласта. М.: Гостоптехиздат, 1962. - 572 с.

3. Андерсон Д., Таннехилл Дж, Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: Пер. с англ. Т. 1-2. - М.: «Мир», 1990.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: «Недра», 1984. - 211 с.

5. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика: Учебное пособие для вузов. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544 с.

6. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. М.: «Недра», 1993. - 416 с.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1-2. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

8. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов: Учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 736 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев. К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. - М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 544 с.

10. Брусиловский А.И. Фазовые превращения при разработке месторождений нефти и газа. М.: «Грааль», 2002. - 575 с.

11. Бурже Ж., Сурио П., Комбарну М. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов: Пер. с фр. / Под ред. В.Ю. Филановского, Э.Э. Шпильрайне. М.: «Недра», 1988. - 424 с.

12. Варфоломеев Д.Ф., Хамаев В.Х. Химия нефти и газа. Уфа: 1977.61 с.

13. Васильев А.В., Лялин В.Е. Анализ применения трехмерных геолого-гидродинамических моделей нефтяных месторождений // Надежность и качество. Труды международного симпозиума / Под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - С. 201-204.

14. Гиматудинов Ш.К. Физика нефтяного и газового пласта: Учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: «Недра», 1971. - 312 с.

15. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. - 340 с.

16. Голф-Рахт Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов: Пер. с англ. / Под ред. А.Г. Ковалева. М.: «Недра», 1986.-608 с.

17. Дащенко А.Ф. и др. MATLAB в инженерных и научных расчетах. -Одесса: «Астропринт», 2003. 216 с.

18. Джордж А., Лю. Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. М.: «Мир», 1984. - 333 с.

19. Долгопольский А. Модель неопределенности // Нефтегазовая вертикаль. 2004. - №14.

20. Ермилов О.М., Ремизов В.В., Ширковский Л.И., Чугупов Л.С. Физика пласта, добыча и хранение газа. М.: «Наука», 1996. - 541 с.

21. Желтов Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта. М.: «Недра», 1975.-216 с.

22. Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений: Учебник длявузов. М.: «Недра», 1986. - 332 с.

23. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред: Пер. с англ. / Под ред. Ю.К. Зарецкого. М.: «Недра», 1974.-240 с.

24. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики: Пер. с нем. / Под ред. А.Н. Тихонова. М.: Издательство иностранной литературы, 1950. - 576 с.

25. Итенберг С.С. Интерпретация результатов геофизических исследований разрезов скважин. М.: «Недра», 1972. - 312 с.

26. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 128 с.

27. Катц Д.Л. и др. Руководство по добыче, транспорту и переработке природного газа: Пер. с англ. / Под ред. Ю.П. Коротаева, Г.В. Пономарева. -М.: «Недра», 1965.-676 с.

28. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 672 с.

29. Котяхов Ф.И. Физика нефтяных и газовых коллекторов. М.: «Недра», 1977.-287 с.

30. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов АЛО. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: «ФИЗ-МАТЛИТ», 2001. -608 с.

31. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Пер. с нем. и англ. Т. 1-2. -М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными: Пер. с англ. / Под ред. О.А. Олейник. -М.: «Мир», 1964. 830 с.

33. Лапук Б.Б. Теоретические основы разработки месторождений природных газов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 292 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: М.-Л.: Гостоптехиздат, 1948.

34. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л.: ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. - 244 с.

35. Лялин В.Е., Сидельников К.А. Аналитические решения некоторых задач многофазной многокомпонентной фильтрации // Нефтегазовое дело. Научно-технический журнал. 2005. - № 3. - С. 79-92.

36. Лялин В.Е., Сидельников К.А. Концепции математического моделирования пластовых систем на базе метода линий тока // Нефтегазовое дело. Электронный научный журнал. 2005. - www.ogbus.ru.

37. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде: Пер. с англ. М.А. Геймана Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. - 628 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949.

38. Маскет М. Физические основы технологии добычи нефти: Пер.с англ. М.А. Геймана. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 606 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: M.-JL: Гос-топтехиздат, 1953.

39. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределенность. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 368 с.

40. Мищенко И.Т. Скважинная добыча нефти: Учебное пособие для вузов. М.: ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2003.-816 с.

41. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: Пер с англ. / Под ред. С.П. Аллилуева и др. М.: Издательство иностранной литературы, 1958.-Т. 1.-933 с.

42. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB: Пер. с англ. 3-е изд. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2001. -720 с.

43. Несис Е.И. Методы математической физики: Учебн. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: «Просвещение», 1977. - 199 с.

44. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: «Недра», 1996.-447 с.

45. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: «Недра», 1970. - 339 с.

46. Норри Д., ДК Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ.-М.: «Мир», 1981.-304 с.

47. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. -2-е изд., испр. и доп. М.: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2005. 260 с.

48. Оркин Г.К., Кучинский П.К. Физика нефтяного пласта. М.: Гос-топтехиздат, 1962.-299 с.

49. Орте га Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ. / Под ред. А.А. Абрамова. М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986-288 с.

50. Пирвердян A.M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. М.: «Недра», 1982.-192 с.

51. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x.-Т. 1-2.-М.: «Диалог-МИФИ», 1999.

52. Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика: Учебное пособие. -М.: «Недра», 1972.-360 с.

53. Рабиа X. Технология бурения нефтяных скважин: Пер. с англ. / Под ред. В.Г. Григулецкого. М.: «Недра», 1989. -413 с.

54. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. -М.: «Высшая школа», 1998. 384 с.

55. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. / Под ред. П.И.Чушкина. М.: «Мир», 1980.-616 с.

56. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: «Мир», 1989. - 190 с.

57. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. - 553 с.

58. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. 3-е изд., доп. - М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. -424 с.

59. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. -М.: «Мир», 1979.-392 с.

60. Сидельников К.А. Решение задачи двухкомпонентного вытеснения методом линий тока // Известия ТулГУ. Серия. Математика. Механика. Информатика. Т. 12. Вып. 3. Информатика. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. - С. 168-181.

61. Сидельников К.А., Васильев В.В. Анализ применений математического моделирования пластовых систем на базе метода линий тока // Нефтегазовое дело. Электронный научный журнал. 2005. - www.ogbus.ru.

62. Сидельников К.А., Васильев В.В. Анализ применения технологии моделирования пластовых систем на базе метода линий тока // Геоинформационные технологии в нефтепромысловом сервисе: Тез. докл. IV Научн. симпозиума 25-26 мая 2005 г. Уфа, 2005. - С. 117-118.

63. Сидельников К.А., Лялин В.Е. Моделирование двумерной двухфазной фильтрации методом трубок тока // Надежность и качество. Труды международного симпозиума: В 2-х томах / Под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - Т. 1. - С. 267-271.

64. Сидельников К.А., Лялин В.Е. Основные области применения метода линий тока при разработке нефтяных и газовых месторождений // Известия ТулГУ. Серия. Математика. Механика. Информатика. Т. И. Вып. 3. Информатика. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. - С. 167-179.

65. Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. Добыча нефти. / Под общ. ред. Ш.К. Гимагу-динова. М.: «Недра», 1983. - 455 с.

66. Стрижов И.Н., Ходанович И.Е. Добыча газа. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 376 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: М.-Л.: Гостоптехиздат, 1946.

67. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебп. пособие для вузов. 4-е изд., испр. - М.: «Наука», 1972. - 736 с.

68. Тришин Ф.В. Реальность виртуальная, польза реальная // Нефть и жизнь. 2004. - № I. - С. 22-24.

69. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебное пособие для университетов и педагогических институтов. -Т. 1-3. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

70. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. М.: «Мир», 1980. - 277 с.

71. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: «Мир», 1969. - 167 с.

72. Фукс Г.И. Вязкость и пластичность нефтепродуктов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 328 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: Под. ред. М.М. Кусакова. - M.-JL: Гостоптехиз-дат, 1951.

73. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в релогически сложных средах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 288 с.

74. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения: Пер. с англ. -М.: «Мир», 1992.-368 с.

75. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров: Пер. с англ. / Под ред. Р.С. Гутера. 2-е изд., испр. - М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 400 с.

76. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика: Учебное пособие для вузов. М.: Гостотехиздат, 1963. - 397 с.

77. Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред. М.: «Недра», 1985.-288 с.

78. Щелкачев В.Н, Отечественная и мировая нефтедобыча история развития, современное состояние и прогнозы: Монография. - М.: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. Губкина, 2001. - 128 с.

79. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика: Учебное пособие для студентов нефтегазовых специальностей университетов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 736 с.

80. Abou-Kassem, J.H., Farouq Ali, S.M. and M.R. Islam, Petroleum reservoir simulation: a basic approach, Gulf, Houston, 2006.

81. Ahmed, R., Numerical schemes applied to the Burgers and Buckley-Leverett equations, M.S. Thesis, University of Reading, 2004.

82. Ahmed, Т., Reservoir engineering handbook, 2nd ed.,Gulf, Houston,2001.

83. Al-Sunaidi, H.A., Advanced reservoir simulation technology for effective management of Saudi Arabian oil fields. www.worldenergy.org/wecgeis/ pub-lications/default/techpapers/17thcongress/l227.asp.

84. Ames, W.F., Numerical methods for PDE, 2nd ed., 1977.

85. Anderson, J.D., Jr., Computational fluid dynamics: The basics with application, McGraw-Hill, New-York, 1995.

86. Applied petroleum reservoir engineering / B.C. Craft and M.F. Hawkins, 2nd ed., Prentice-Hall, New York, 1991.

87. Aris, R., Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Dover, New York, 2005.

88. Ask, A.K., Dahle, H.K., Karlsen, K.H. and H.F. Nordhaud, A local streamline eulerian-lagrangian method for two-phase flow // Dept. of Mathematics, University of Bergen, Norway.

89. Ates, II., Use of streamline simulations for integrated reservoir modeling, Ph.D. Thesis, The University of Tulsa, 2005.

90. Baker, R., Streamline Technology: Reservoir History Matching and Forecasting = Its Success, Limitations, and Future // Journal of Canadian Petroleum Technology, 2001. Vol. 40. -№4. - P. 23-27.

91. Barrett R. etc., Templates for the solution of linear systems: Bulding blocks for iterative methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

92. Batycky, R.P., A three-dimensional two-phase field scale streamline simulator, Ph.D. Thesis. Stanford University, 1997.

93. Batycky, R.P., Thiele, M.R. and M.J. Blunt, A streamline simulator to model field scale three-dimensional flow // 5th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, 3-6 September 1996. Leoben, Austria.

94. Batycky, R.P., Thiele, M.R. and M.J. Blunt, A streamline-based reservoir simulation of the House Mountain waterflood // SCRF, 1997. Stanford Univer-sity-SUPRIC Research Group.

95. Bear, J., Dynamics of fluids in porous media, Dover, New York, 2005. Reprint. Originally published: American Elsevier, New York, 1972.

96. Berenblyum, R.A., Shapiro, A.A. and E.H. Stenby Reservoir streamline simulation accounting for effects of capillarity and wettabilty // 9th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, 30 August 2 September 2004. - Cannes, France.

97. Brennen, C.E., Fundamentals of multiphase flows, CUP, Pasadena,2005.

98. Bretti, G., Modeling and numerics for porous media and traffic flow, Ph.D. Thesis, Universit? degli Studi di Roma "La Sapienza", 2003/2004.

99. Castellini, A., Flow based grids for reservoir simulation: M.S. Thesis, Stanford university, 2001.

100. Christie, M., Subbey, S., Sambridge, M. and M. Thiele, Quantifying prediction uncertainty in reservoir modeling using streamline simulation // 15th ASCE Engineering Mechanics Conference, 2-5 June 2002. Columbia University, New York, NY.

101. Chung, T.J., Computational fluid dynamics, CUP, Cambridge, 2002.

102. Dake, L., Fundamentals of reservoir engineering, Elsevier, New York,1978.

103. Fanchi, J.R., Principles of applied reservoir simulation, 2nd ed., Gulf, Houston, 2001.

104. Ferziger, J.H. and M. Peric, Computational Methods for fluid dynamics, 3rd, rev ed., Springer, Berlin, 2002.

105. Fetel, E. and J.-J. Royer, Two phase flow simulation with streamlines // Course note, 2005.

106. Finlayson, B.A., Numerical methods to problems with moving fronts, Ravenna Park, Seattle, 1992.

107. Jasak H., Error analysis and estimation for the finite volume method with applications to fluid flows, Ph.D. Thesis, University of London, 1996.

108. Juanes, R., Displacement theory and multiscale numerical modeling of three-phase flow in porous media, Ph.D. Thesis, University of California, 2003.

109. Kwon, W.Y. and H. Bang, The finite element method using MATLAB, CRC, 1997.

110. Lee, H., Ordinary and partial differential equation routines in C, С++, Fortran, Java, Maple, and MATLAB, Chapman & Hall/CRC, 2003.

111. LeVeque, R.J., Finite volume methods for hyperbolic problems, CUP, New York, 2002.

112. Li. R, Chen Z., W. Wu., Generalized difference methods for differential equations: Numerical analysis of finite volume methods, Marcel Dekker, New-York, 2000.

113. Lomax, H., Pulliam, Т.Н. and D.W. Zingg, Fundamentals of computational fluid dynamics, 1999.

114. Lyalin, V.E., and K.A. Sidelnikov, Modeling tracer displacement using streamlines // Proceedings of the 6th international conference "Vibroengineering 2006". Kaunas, Lithuania: Kaunas University of Technology, 2006. - P. 191-194.

115. Manassah, J.T., Elementary mathematical and computational tools for electrical and computer engineers using MATLAB, CRC, 2001.

116. Neta, В., Numerical solution of partial differential equations, Monterey,2003.

117. Orr, F.M. Jr., Theory of gas injection processes, Stanford University,1. Stanford, 2005.

118. Prevost, M., The streamline method for unstructured grid, M.S. Thesis, Stanford University, 2000.

119. Saad Y., Iterative methods for sparse linear systems, 2nd ed., 2000.

120. Stuben, K., Delaney, P., and S. Chmakov, Algebraic Multigrid (AMG) for Ground Water Flow and Oil Reservoir Simulation. www.scai.fraun-hofer.de/fileadmin/download/samg/PaperModflow.pdf.

121. Thiele, M.R. Streamline simulation // 6th International Forum on Reservoir Simulation, 3-7 September 2001. Schloss Fuschl, Austria.

122. Thiele, M.R., Batycky, R.P. and L.K. Thomas, Miscible WAG simulations using streamlines // 8th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, 3-6 September 2002. Freiberg, Germany.

123. Thiele, M.R., Batycky, R.P. and M.J. Blunt, A streamline-based 3D filed scale compositional reservoir simulator// SPE Reservoir Engineering, Oct. 5-8 1997. San Antonio, Texas, U.S.A.

124. Thiele, M.R., Modeling multiphase flow in heterogeneous media using streamtubes, Ph.D. Thesis, Stanford University, 1994.

125. Trottenberg, U., Oosterlee, C.W. and A. Schuller, Multigrid, Academic Press, Cornwall, 2001.

126. Tureyen, O.I., Karacali, O., and J.A. Caers, Parallel, Multiscale Approach to Reservoir Modeling // 9th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, 30 August 2 September 2004. - Cannes, France.

127. Versteeg, H.K. and W. Malalasekera, An introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method, Longman, New York, 1995.

128. Vora, H.K., Capillary number dependent streamline simulations, M.S. Thesis, University of Oklahoma, 2002.

129. Wesseling, P., Principles of computational fluid dynamics, Springer, Berlin, 2001.