автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрия комплексного пространства применительно к формированию областей устойчивости и оптимизации параметров регулируемых систем

РГ6 од

- ц онт да

М1Н1СТЕРСТВО ОСВ1ТИ ТА НАУКИ УКРА1НИ КШВСЬКИЙ НАЦЮНАЛЬНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ БУД1ВНИЦТВАIАРХ1ТЕКТУРИ

МАРТИН Свген Володимировин.

У^К 514.1!

ГЕОМЕТРЫ КОМПЛЕКСНОГО ПРОСТОРУ СТОСОВНО ФОРМУВАННЯ ОБЛАСТЕЙ СТ1ЙКОСТ1 ТА ОПТИМ13АЦН ПАРАМЕТР1В РЕГУЛЬОВАНИХ СИСТЕМ

Спсшальнють 05.01.01 - Прикладна геометрш, шжснсрна графжа

автореферат дисертацн на здобуття наукового ступеня доктора техшчних наук

Кшв - 2000

Дисертащею е рукопис

Робота виконана у Державному ушверсите-п "Льв'шська пол1техшка"

Науковий консультант:

доктор техшчних наук, професор

ГУМЕН Микола Степанович, професор кафедри нарисноТ геометр ¡"1, ¡нженерноТ та комп'ютерноТ графки Нащонального техшчного ушверситету УкраТни "КиТвський полггехшчний ¡нститут"

-Заслужений пращвник народноТ оевгги УкраТни, доктор техшчних наук, професор Скидан 1ван Андршович, завщувач кафедри нарисноТ геометра та ¡нженерноТ" графики Донецького державного техничного ушверситету

-доктор техшчних наук, доцент Ковалъов Юрж Миколайович, професор кафедри нарисноТ геометрн та ¡нженерноТ графжи КиТвського м1жнародпого ушверситету цившыю'Т ав1ацп

-доктор техшчних наук, доцент Матвшчук Ярослав Миколайович, доцент кафедри радюф1зики Льв1вського Нащонального ушверситету ¡меш1вана Франка

Провщна установа:

Тавршська державна агротехтчна академ1я Мшагропрому УкраТни Захист вщбудеться "о '" МЧ-У .. 2000 р. о 1\ годит

на заЫдаиш спещаизованоТ вченоТ ради Д 26.056.06 КиТвського Нащонального ушверситету будавництва \ архггектури за адресою: 01037, КиТв-37, Повпрофлотський проспект, 31 У £')

3 дисертащею можна ознайомитися в бШлютещ КиТвського Нащонального ушверситету буд1вництва 1 архпектури

Авторефератрешеланий " (/ " ■^■^"¡-сР Си ■(_2000 р.

Вчений секретар

спещашзованоТ вченоТ ради Д 26.056.06

кандидат техшчних наук, доцент В.О.Плоский

Офщшш опоненти:

Загальна характеристика роботи

Суть науково! проблеми полягае у створен}», на засадах системного шдходу, формал1зованих геометричних засоб!в визначення багатовим1рних областей стшкосп регульованих систем та розв'язку багатокритер1альних задач оптим1зацп шляхом обчислення компромкних екстремум1в семейства багатошарових многовидт фазового комплексного простору п функщй к комплексна змшних.

Юнцевим результатом розв'язаноТ проблеми е розроблеш методи та запропоноваш практичш рекомендаци по пщвищенню ефективносп функцюнування ¡снуючих регульованих електромехашчних систем.

Наяв1П методи визначення стшкосп регульованих систем враховують одночасну змпгу не бшьше одного...двох параметр1в, тод1 як тшьки спигьна взаемодш одночасно вах параметр1в вщображае реальну картину Ух впливу.

За повну геометричну модель зв'язку м1ж вЫма змшними багатопараметричноТ електромехашчноУ системи пропонуеться розглядати в1дпогидний многовид багатовим1рного комплексного фазового простору цих параметр1в. Тод1 ¡снуюч1 модел1 часткових залежностей розглядаються як окрем1 перер1зи такого многовиду.

Наявшсть повно1 залежност1 вщкривас дослщнику шлях до розв'язку багатокритер1альних задач опттшацп, що формал1зовано зводяться до визначення координат екстремальних точок многовиду.

Актуальшсть роботи визначаеться назршою необхщшстю створення формашзованих геометричних засоб1в розв'язку прикладних тсхшчних задач електромеханжи, зокрема у дослщженнях

багатопараметричних регульованих систем \ процеав, що дають змогу усшшно застосовувати сучасну обчислювальну техшку. Особливо акту алый результати роботи на початкових етапах проектування, коли виникае нсобхшпсть вибору оптимальних д1апазошв змши багатьох параметр1в системи одночасно.

Анашз тих та шших математичних моделей гпдтверджус сутшсть геометричного шдгрунтя юнцевих результата у дослщженнях регульованих електромехашчних систем. Грунтовному математичному числовому, а попм ф1зичному дооидженню регульованоТ системи передуе виб1р конструктивних параметр1в. Одш з них наперед задаш конструктором, а деяю можуть бути змшет в певному д1апазош $ вимагають вибору Ух оптимальних значень. Останнш фактор потребуе вщповщального пщходу, виходячи, насамперед, з вимоги стшкосп режиму. Методи розрахунку регульованих систем, особливо стшкосп та оптим1зацн, мають шд собою геометричне шдгрунтя 1 використовують в тш чи шппй М1р1 методи граф1чних вщображень. Такий зв'язок е взаемовигщним, оскшьки вимагае розвитку допом1жних

геометричних засоб1в виршення розма'гшх прикладних задач. Одержан! методи геометричного моделювання знаходять практичне застосування у розробщ та дослщженш регульованих електромехашчних систем, зокрема електрообладнання.

Пщ кертництвом акад. В.е.Михайленко розроблеш методи геометричного моделювання електричного поля поблизу високовольтних лшш електропередач. ВЬуашзащя картини силових лшш сприяе полегшенню визначення полоси вщчуження поблизу ЛЕП.

У ироцеа дослщжень, проведених пщ кер1вництвом проф. М.С.Гумена, розроблений на основ! анашзу многовид1в багатови\прного евклщового простору метод геометричного моделювання усталених режим ¡в роботи електричних мереж. Враховуючи необхщну кшькють режимних параметр1в досл1джувано1 регульованоТ системи, метод ефективний при комп'ютерних розрахунках П' критичних параметр1в.

Проблем! визначення надшност! регульованих систем, зокрема радюелектронноУ апаратури, слугують розроблеш пщ кер1вництвом проф. В.М.Перв!ковоТ методи на основ! геометричного моделювання многовид1в багатовим1рного евклщового простору.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках науково-дослщноТ роботи "Розроблення теоретичних засад створення високоефективних електротехшчних та електромехашчних систем 1 '¿X елеметтв для об'екпв з динам1чним навантаженням та Тх моделювання" (шифр ДВ "ВЕЕС") згщно Координацшного плану Мшосвгги Укра'ши з фахового напрямку "Електроенергетика, електротехшка" розд1пу 69 Координацшного плану "Пауков! основи удосконалення виробництва, передач! та використання електроенерпг".

Основш проблемш питания та постановка задач1 дослщжсння. Анал!з ¡снуючих засоб!в досл!дження регульованих систем засвщчус Ух глибоку геометричну основу. Кожний з них ув1брав у себе в переважнш М1р'1 методи прикладноГ геометрн, як! забезпечують Тх математичну ч!тк!сть, посл!довн!сть ! повноту перетворення шформаци у контекст! наперед заданих вихщних умов. Перел!чен! методи, засноваш на геометричн!й штерпретацп функцн комплексно! змшноГ, дозволяють досл!дити зм!ну не бшьше одного...двох параметров. Так1 обмеження с причинен!, перш за все, вщомою граф!чною моделлю функцн як вщображення значень множини аргумента у вщповщну множину значень функцн, заданих у сво'1Х площинах. Збшынення юлькосп змшних параметр!в дозволяе, очевидно, сформувати геометричну модель многовиду у фазовому простор!, вим!ри якого становлять параметри системи. Така геометрична модель слугуе засобом визначення оптимальних значень параметр!в, що мае практичне використання, особливо у випадку дослщження компромгсного екстремуму декшькох функцш оптим^зацн. Таким чином, розробка шженерного методу формування областей стшкосп,

визначення належносп 1м сукупносп параметр1в системи та виб1р серед них оптимальних з використанням метод! в функцш комплексних змшних, багатовим!рно1 геометрп, теори отташаци належить до ще невир^шених до нас завдань прикладноТ геометрп. Вивчення 1 анал1з особливостей многопидт комплексного простору, формування простих 1 практичних геометричних моделей значно розширюе границ! Ух застосування у практищ проектування регульованих систем. Практичш вимоги удосконалення ¡снуючих метод1в е пщтвердженням актуальное^ розроблених метод ¡в розв'язку 1 анал1зу наведених проблем.

Формування ал го ритм ¡в розв'язку таких задач вимагае розвитку геометричних аспекта функщй комплексних змшних стосовно теори стшкост! систем на баз1 теоретичних основ багатовим1рноТ геометрп, теорп оптмпзацп для побудови моделей як основи розв'язку техшчних задач формування областей стшкосп та оттизаци регульованих систем.

Стутгь дослвдженосп тематики. Методи теори функцп комплексно! змшно! мають прикладне значения при розв'язанш ф1зичних ! техшчних задач, зокрема при дослщжснш стшкосп регульованих систем. Незаперечш досягнення теори цих анал1тичних функщй е запорукою усшшного втшення и основних положень у практику, яка, вт1м, виявляе певш обмеження та застереження, вказуючи напрямки подальших дослщжень. Огляд вщомих джерел дозволяе зробити таю висновки:

1. Розроблеш положения способу вщображення образ1в та прообраз1в функцп пикористаш для визначення стшкосп регульованих систем при змпп одного ... двох ¡Т гшраметр1в.

2. Основи геометричноТ теори функцш комплексних змшних передбачають вивчення плоских множин значень и" аргумента 1 функцп.

3. Вшсутне поняття графжа функцп комплексноТ змпшоУ, под1бне до графиса функци дшсноУ змишоУ.

4. Вимагають геометричного обфунтування способи формування фазового простору функцп комплексних змшних 1 вщповщних комплексних креслень для представления у ньому комплексних многовидш.

5. Розроблеш методи геометричноТ оптим1заци параметр1в функцш дшсноТ змшнш засобом многовщцв евклщового и-вим1рного простору не уможливлюють одночасного дослщження кшькох функцш оптим1зацп комплексних зшнних.

6. Уа методи досл1джень регульованих систем не враховують дов1рчих областей задавания параметрт з точшстга IX виготовлення чи експериментального визначення.

Мета роботн полягае у розробщ метод1в формування многовид1в фазового простору функщй комплексних змшних як геометричноТ основи моделей з доврчими областями границь стшкосп та оштшацп параметр1в регульованих систем.

Основш завдання дослщження:

1. Виконати анал1з геометр ичноУ структури фазового простору функцп комплексних зм!нних стосовно формування моделей багатопараметричних регульованих систем.

2. Розробити комплексш креслення фазового простору функцп комплексних змшних та и р1зновщпв.

3. Дата в границях фазового простору граф ¡ч ну штерпретацш многовид1в як геометричних моделей функцш комплексних змшних ¡з багатовим1рним комплексним пщпростором УУ аргументе.

4. Розробити алгоритми геометричного моделювання параметр1в многочлешв у комплексному простора

5. Обгрунтувати геометричш засади дов1рчих областей параметр1в регульованих систем у комплексному просторг

6. Дати обгрунтування трубчастих каркаЫв многовидт у фазовому простор! функцп комплексно!' змшноУ.

7. Розробити теоретичш основи геометричного моделювання областей стшкост] регульованих систем.

8. Розробити алгоритми геометрично'У оптимпацн параметр1в електрообладнання.

9. Впровадити результата дослщження у виробництво в р1зних галузях вггчизняноУ промисловосп, зокрема у виробництв1 та модершзацп електрообладнання загальнопромислових мехашзм1в, таких як системи натягу паперового полотна, головш мехашзми бурових установок тощо.

Методи дослщження. Розв'язання поставлених у робот1 завдань виконувалось на баз! метод1в багатовим1рно1, нарисноУ, анагптичноУ, диференщальноУ, обчислювальноУ геометра, геометричноТ теорн функцш комплексних змшних, основних понять теорп неч1тких множин, теорн кривих л1нш та поверхонь, векторного числення 1 математичного анал1зу, метод1в комп'ютерного моделювання, метод1В дослщження 1 моделювання процеЫв у теорн автоматичного регулювання.

Теоретичною та шформацшною базою проведения дослщжень стали роботи вчених:

- у галуз1 теорп функцш комплексних змшних: Е.М.Голузша , А.О.Бщадзе, С.Бохнера, У.Т.Мартина, ОЛ.Маркушевича, Г.Е.Пухова, А.Г.Свешшкова, Б.А.Фукса, 1.М.Яглома та ш.;

- у галуз1 багатовим1рно1 геометра: Х.Буке, КЛ.Валькова, В.Я.Волкова, М.С.Гумена, ГС.Джапарщзе, М.С.Курнакова, С.М.Ковапьова, А.В.Павлова, Ф.М.Перельман, ВЛ.ПервковоУ, В.П.Радщева, Б.А.Розенфельда, Е.С.Федорова, П.В.Фшшпова, П.Шоуте, М.М.Юдицького та ¡н.;

- у галуз1 кривих лшш та поверхонь: С.М.Ковальова, Г.СЛванова, В.С.Михайленко , В.М.Найдиша, В.А.Надолинного, В.С.ОбуховоТ, А.В.Павлова, О.Л.Пщгорного, А.М.Пщкоритова, 1.А.Скидана, та ¡н.;

у галуз1 теори нечетких множин: П.Ванга, Л.А.Заде, К.Кларка, В.М.Найдиша, К. Не го ¡та, С.Ханаса, В.Хьоле та ¡п.;

у галуз1 оптиишаци регульованих систем \ процеав: Б.Бащн, Л.М.Вивальнюка, М.С.Гумена, ЮЛ.Дегтярева, Ю.М. Ковальова, В.е.Михайленко, Т.Шупа та ¡н.;

у галуз1 аксонометрГк М.С.Гумена, В.М.Найдиша,А.В.Павлова, В.М.Перв1ково1, Н.Ф.Четверухша, М.М.Юдицького та ¡н.;

у галуз1 комп'ютерного моделювання та обчислювальноУ техшки: ЮЛ.Бадаева , С.М.Грибова, Л.М.Куценко, В.е.Михайленко, В.М.Найдиша, К.О.Сазонова та ш.;

- у галуз1 дссл1дження та моделювання процеав в теор11 регульованих систем: В.I.Арнольда, М.С.Гумена, Н.НЛващенко, В.е.Михайленко , Л.М.Тихомирова, ВЛ.ПервжовоУ, В.О.Плоского та ¡н.

Наукова новизна роботи полягае у створенш ушверсального методу геометричного моделювання многовид1в фазового комплексного простору функцш комплексних змшних з дов1рчими областями параметр1в 1 на Ух основ1 - методт формування областей стшкост1 та опттшацн параметр1в регульованих систем. В пронес 1 роботи встановлено:

1. Комплексне креслення фазового простору функцш комплексних змшних та Ух ргановщнв.

2. Ввсдене розширення фазового простору аргументу функцн комплексноУ змшноУ.

3. Дослщжеш геометричш законом1рносп формування многовшпв комплексного простору.

4. Встановлений геометричний змкт основних понять теорЛ' функцш комплексних змшних: функщя, похщна, аналггичшеть тощо.

5. Розроблеш теоретичш обгрунтування дов1рчих областей параметр1в у комплексному простор!.

6. Запропоноваш методи геометричного моделювання областей стшкосп регульованих систем.

7. Розроблеш алгоритми геометричноУ оптим1заци параметр1в електрообладнання.

8. Вперше сформовано геометричну модель п-вюмрного фазового простору вщображення функцюнальноУ залежност1 кшькох комплексних змшних.

9. Виявлено сутшсть гошдноТ двовим!рного многовиду комплексного простору як дотичноУ до частинноУ графшноУ залежносп у ачшй комплекенш тривим!рнш гшерплощиш р!вня комплексноУ функцп дшсноУ змшно!.

10. Наочний графоаналетичний метод вщображення многовидш як граф1чних залежностей функщй комплексних змшних.

11. Запропоноваш трубчасп та каналов! каркаси многовщцв комплексного простору як дов1рч1 облает! параметр!в.

Достов!ршсть результат!в досл!джень п!дтверджена достатньою для ¡нженерних розрахунк!в зб!жн!стю розрахункових ! дшених даних параметр!в регульованоУ системи, пор!внянням одержаних результат!в за допомогою багатовтапрних геометричних моделей ! окремих класичних метод!в як окремих випадк!в таких моделей, розрахунками контрольних приклад!в.

Практичне значения роботи:

Розроблен! методи моделювання багатопараметричних залежностей функцш комплексних змшних у вигляд! многовид!в е наочними \ простими у використанн!. Геометрична форматзащя техн!чних задач спрощуе Тх розв'язання за допомогою сучасноТ компьютерно'! техшки. Принциповою перевагою е також ушверсальшсть алгоритм!в та програмного забезпечення багатокритер!альноУ оштпзацн, що задае передумови для створення б!льш досконалих конструкций прилад!в та прнстроУв, бьтьш економних технологш.

Результата роботи реал130ва1Й у таких напрямках:

Розроблен! способи формування областей стшкосп регульованих систем апробоваш при модершзацн електроприводу натягу паперового полотна на Жидач!вському целюлозно-паперевому комбшат!, регульованого приводу бурового насоса установки "Уралмаш-4Э". Запропонований спос!б спряжения труб за допомогою дуги узагальненоТ лемшекати Гумена прийнятий для використання в УМТ "Льв!втрансгаз". Спос!б опттпзацн параметр!в використаний при знаходженн! компром!сного екстремуму параметр!в мапопотужного трансформатора системи керування тиристорного перетворювача у Бориславському УБР.

Основш з отриманих результат!в роботи використат у програм! курсу "Теор!я автоматичного регулювання" для студенев спещальносп 7.0922.03.

На захист виносяться положения, що становлять наукову новизну

роботи.

Особистий внесок здобувача. У дашй робот! особистий внесок здобувача полягае в розробленш наукових положень щодо геометричних засоб!в фазового простору функщй комплексних зм1нних стосовно формування в них многовид!в як граф!к1в цих функц!й для розв'язку прикладних задач дослщження регульованих систем.

У виконаних у сп!вавторств! працях особисто автором запропонований споЫб графоанал!тично1 оптим!зацй" параметр!в електрообладнання, а також визначено вплив форми траектор11 на ст!йк1сть руху матер!алу, розроблена математична модель параметр!в пружно'! електромехан!чно1 системи з заданою формою геометричноУ характеристики навантаження, наведен! особливост! моделювання н реальних параметр!в,

визначення стшкосп робочого режиму, конструювання та вибору геометричних параметр1в промислового устаткування.

Апробация роботи. Основний 3míct роботи доповщався на: науково-техшчних конференщях професорсько-викладацького складу Державного ушверситету "Львшська пол1техшка" (1987...1999р.р.); республжанськш науково-техшчшй конференцй "Розробка професивних cnocoöiB сушки p¡3HHx матер1ал1в та Bupoöiß на ochobí досягнень теорн тепло-i масообмшу" (м.Кшв, 1987р.); ceMÍHapi "САПР виробт i технолопчних процеав у машинобудуванш" (м. Волгоград, 1988 p.); VII республкансьюй конференцй "ГНдвищення ефективносп, удосконалення npoueciß i anapaTÍB xímí4hhx виробництв" (м-jlbbíb, 1988р.); конференцн "Комп'ютерна геометр1я i граф1ка в шженершй ocbítí" (м. Н.Новгород, 1991 р.); науково-техшчшй конференцй "Проблеми граф1чноТ технолопТ" (м. Севастополь, 1991 р.); науково-методичнш конференцй "Перспективи розвитку машинноТ графюи у викладанш гра^чних дисцишпн" (м. Одеса, 1992 р.); мЬкнародшй науково-методичнш конференш!' "Геометричне моделювання. 1нженерна та комп'ютерна графжа" (м.Льв1в, 1994р.); м1жнародному CHMno3¡yMÍ "Geodesja i geometría ¡nzjnierska w budownictwie i inzynierii" (м.Жешув, 1996р.); м!жнародних науково-практичних конференщях "Сучасш проблеми геометричного моделювання" (м.Мелшшоль, 1995-1999 p.p.); м!жнародному науковому CHMno3ÍyMÍ "Нарисна геометрш. 1нженерна та комп'ютерна графжа" (м.Льв1в, 1996 р.); науковому ceMÍHapi при кафедр! нарисноТ геометрй, инженерно!' та комп'ютерноТ графой НТУУ "КПГ' гид кер1вництвом акад. Павлова A.B. (м.КиТв, 1997р.); науковому ceMÍHapi при кафедр! нарисноТ геометрй, шженерно! та машинноТ графжи i кафедр1 арх1тектурних конструкцш КНУБА шд кер!вництвом акад. Михайленка B.C. (м.КиТв, 1997-1999р.р.); м1жнародшй науково-методичнш конференцй "1нженерна графка та геометричне моделювання ¡з застосуванням комп'ютерних гехнолопй" (м.Р1вне,1997р.); м1жнародшй науково-практичнш конференцн "Сучасн5 проблеми геометричного моделювання" (м.Хармв, 1998р.); М1жвуз1вському ceMÍHapi "Прикладна геометр1я, ¡нженерна i комп'ютерна графжа" Загальнотехшчного в1дд1лення АН вищоТ школи УкраТни (м. КиТв, 1997-1999р.р.); засщанш кафедри нарисноТ геометрй, шженерноТта комп'ютерноТ графжи НТУУ "КПГ' (м.Кшв, 1999 р.); заЫданш кафедри нарисноТ геометрй', ¡нженерноТ та машинноТ графам КНУБА (м.КиТв, 1999 р.)

Публкаци. Результати дослщжень викладеш в 49 роботах.

Структура та обсяг роботи. Дисертащя складаеться з вступу, шести роздшв, загальних buchobkíb, списку використаних джерел, додатюв, мае повний обсяг 390 CTopiHOK, м ¡стать 278 найменувань б]блiorpa<{iiY на 25 CTopiHKax, 150 рисунюв на 97 CTopiHKax; з них основноТ частини 267 сторшок друкованого тексту, в тому чиаи чотири таблиц!.

Основний зм1ст дисертацн

У встуш приведен! результати аншпзу дослщжень структури комплексного простору, обгрунтована актуальшсть розроблення його геометричних засобт стосовно формування областей стшкост1 та оптим1заци регульованйх систем, сформульоваш мета 1 задач1 роботи.

У першому роздин обгрунтовано введения фазового простору для дослщження многовид1в як графшв функцн' комплексних змшних на основ1 и анаштичного виразу:

со=а(г)=со(х+1у)-и+^=и(х,у)+1у(х,у), (1)

де г=х+1у, со=и+1У -комплексш значения прообраз'ш I образ1в складових функцн комплексно! змшноУ; г - уявна одиниця, що задовольняе умовк ('"=-1.

Фазовий проспр функцн одно!' комплексно!' змшноУ запропоновано формувати, використовуючи геометричну модель звичайного комплексного числа 1=х+1у розширеноУ комплексно!' площини з прямокутною системою координат. Преобрази 1 образи функцн комплексно!' змшноУ розмщеш у двох комплексних шощинах, вщповщно г 1 (О. Запропонована модель фазового простору функцн комплексно!' змшноУ, заснована на твердженш про взаемну перпендикуляриють юлькох попарно перпендикулярних прямих, мае чотири координатних ос1, вим1ри яких являють складов! значень комплексних аргументу 1 функцн (рис. 1).

Положения довшьноУ точки графжа функцн комплексно!' змшноУ отримаемо, здшснивши додавання вектор1в значень аргументу г 1 функцн а> (рис. 2).Такий принцип узагальнений на випадок функцн кшькох комплексних змшних на приклад! функцн двох комплексних змшних й)=<м(гу,г2,Шроекцн точки А чотиривим1рного фазового простору являють: Ахуш Аху» Ауип ^хим на КОМПЛеКСШ ТрИВИм1рШ ШДПрОСТОрИ ОХ1уи, сш'у/у, о1ушу, охшу, Аху, Ат Аут ААуш Ат на комплексш двовим1рш гпдпростори ох1у, охг'у, 01>1У, охи, о/ум, ошг, Аа Ау, Аш - на ос1 ох, о ¡у, ои, от

Координати у-то'1 точки такого простору визначають комплексш числа як основа геометричних моделей многовидш. Тому для функцн и комплексних змшних УУ фазовий п-вимфний проспр е комплексним К" , окремим випадком якого слугуе евклщовий п-вимфний прост1р ЕР.

Граш чотирьох комплексних тривим1рних пщпростор1в формують нпсть двовим1рних площин, чотири з яких являють розширеш комплексш площини ох1у, о ¿у и, ох iv, ош'у, одна площина охи дшсних змшних 1 одна площина огуп уявних змшних. Комплексне креслення чотиривим1рного фазового простору отримаемо, сум!стивши нерел1чеш площини з площиною креслення. Однозначне завдавання проекцш многовиду як графика функцн

комплексно!' змшноТ забезпечуе комплексне креслення, яке мютить три з шести комплексних площин. Особливкпо його е визначення оа, навколо яко'1 необх^дно здшснювати оберт. При побудов! образу функци комплексно!' змшно!' задають насамперед значения х-незалежноТ змшно!' и аргумента. Решту складових визначаемо як функци дшсноУ змшно!' х: у-у(х); и=и(х,у(х)); у=у(х,у(х)). Сумютимо площину охи з площиною креслення. Площини охгу га сда'у повернемо до сумщення з площиною охи. Отримаемо комплексне креслення фазового простору (рис.3,а). Кр1'м наведеного, можлив! ¡ниц вар1анти побудови комплексних креслень фазового простору функци комплексно!' змшно!', засноваш на способ! моделювання комплексного числа та розгортки комплексних пщпросторт (рис.3, б).

Многовиди у чотиривим!рному комплексному простор! запропоновано формувати, використовуючи 'Гх проекцп" у двох з чотирьох комплексних мдпросторах ох[уи та охсуIV (рис. 4). Область визначення функци комплексно!' змшно!" розташована у розширенш комплексшй площин! г. Розглядаючи проскцн многовиду у вказаних комплексних п!дпросторах маемо, що у кожному з них проекщя являе двовим!рну поверхню, визначену зпдно аналггичних вираз!в як складових (1). У кожному комплексному шдпростор! поверхш являють направляюч! тривим!рних комплексних пперцнлшдр!в, тв!рними для яких слугують прям!, паралельн! осям ои, о/у комплексно!' площини значень функци о). Взаемний перетин обох комплексних гшерцшнндр!в у чотиривим!рному комплексному простор! визначае двовим!рний комплексний многовид со=а(г) як граф!к функци комплексно!' зшнно!'.

Проведемо пперплощину рвня, наприклад у=ур гаралельну координатн!й пперплощиш нульового р!вня охик. Така г!перплощина у комплексному простор! в ид ¡лить одновим!рну л!н!ю. 1!' аналшиний вираз одержимо на основ! аналогичного виразу функц!!' комплексно!" зм!нно!' при значенш у=у/.

а)=и+м=и(х,у1)+Мх, у^=и(х)+п>(х), (2)

який являе анаштичний вираз комплексно!' функц!!' дшсно!' змшно!' х. Множина лшй як графшв комплексно!' функщ1 дшсно!" змшно!' складае каркас многовиду як графжа функц!!' комплексно!" зм!нно!'. Каркас можна отримати також за допомогою пперплощин р^вня х-хр н=«;, паралельних координатним г!перплощинам нульового р!вня, вщповщно о/ушу, ох1у1у, ох1уи. 1м вщповщають лшн - графой комплексних функцШ д!йсно!" зм!нно1:

со = и + IV = , у)+ м{х1,у)= и(у)+ /у(у)

о) = =и(х,у)+1"у(х,>')5та ш = м + гу; = и(х, у)+1у{х, у} (3)

Кр1м наведених, можливе використання проекцюючих пперплощин. Тод! граф!к у-го!" комплексно!" функц!!' дшсно!" зм!нно!' залежить вщ обрано!" системи осей координатного простору. Наприклад, при використанш системи

Рис i Модель <разо6ого простору рункца юнп/ехст зтнивг

ту Охи A i От У* Лж]

iymUmjУ UmÜmtei]

AÀ_02

4ч,_âs

t—t

M

- íV

Ar

ч*

q;

8)

1У

Рис.2. /JptoÔQHHfi ßer/nopiS Рас. 3. Елюри для бШроження комплексных ¡тнних многЫШб як грартб

у <розобому npocmopi

Рис. 4. Визнапення геометричного образу

проекцюючих гшерплощин у^=арс+с1^у(х) отримаемо каркас

многовиду згщно аналпичного виразу: С0 = И = и(х,у)+ 1у(х, у) = и{х, >'(х))+ 1у(х, у(х)) = и(х)+ 1у(х) або (0 = и + /V = и(х, у)+ п(х, у)= и(л(у) у)+ ¿у(х(у) у) = и(у)+ ¿у(у) (4)

В якос-п с1чних можуть бути використаш проекцюкга пперцшпндри. При цьому характер лппй каркаав многовид1в визначаеться слщами-проекщями комплексних гшерплощин особливого положения та гшерцшиндр1в : незалежно вщ вигляду аналпичного виразу функци комплексно! змшноТ при використанш в якосп Ычних комплексних гшерплощин особливого положения такт л1ни роз1мкнут1, якщо вироджеш слщи-проекцп комплексних гшерцилшдр1в замкнеш, то Тм вщповщають замкнеш лшн графшв комплексних функцш дшсноТ змшноТ. На рис.5 приведен! зображення лшш як графшв комплексних функщй дшсноТ змшноТ, що складають каркас двозначноТ функци комплексно!' змшноТ

ы2+1=Я2, (5)

де /?- дшсне число.

■Шни вщповщають складовим со зпдно виразу:

оз = и + IV = ±

, г>2 , 2 2 „2 2,2

г + к -х ¡г-к -у +х

(6)

де г = -^(я2 + у2 -х2)+4х2у2 для випадку проекцюючоТ пперплощини

у=у(х) та проекцюючого пперцшпндра ¡з виродженим слщом-проекщею х2+у2=1?.

У другому роздин розглянуп питания стосовно графоаналггичного вщображення елемештв фазового простору функци комплексних змшних. Запропоноваш комплексы! креслення та аксонометричш зображення фазового простору функци одно!' та кшькох комплексних змшних уможливлюють графоаналггичне вщображення многовщцв зпдно аналпичного виразу функци. Розглянуп особливосп вщображення лшшно! аналггичноТ функци оз=аг+Ь, якщо уа п параметри являють комплексш числа 0)=и+1У; г=х+1_у; а=а/+1'а2; Ь=Ь;+гТ>2. (7)

Для випадку перетину многовиду як графка функци комплексно! змшно? снною проекцюючою гшерплощиною, вироджений слщ яко! мае вигляд:

у=кх+й, (8)

це к'к1 - Д1йсш числа, отримуемо одновим1рну лшоо як результат перетину ще! пперплощини ! функци комплексно!' змшноТ, що слугуе граф1чною залежшстю комплексно! функци дшсноТ змшно! зпдно аналогичного виразу: С0=и+^х(агка2)+Ь1-сЬ2+1(х(1ш1+а2)+<1а1+Ь2); (9)

де и=х(а1-ка2)+Ьг<1а2;

У=х(ка1+а2)^-йа1+Ь2-

а, Q

Рис. 5. Вгдображення многобиМ як ipapiM Ьаштначних ФКЭ

Похщна комплексно? функцп дшсноТ змшноТ складае: </ш ¿и 1<1У , ... .

-— = — + —= а1-ка2+1(ка1+а2) (10)

ах ах ах

\ вщповщае кутам у та Р нахилу до ос! х и проекцш у площинах вщповщно охи та охп> (рис.6). Кут нахилу 5 перетину графка функцп комплексно!" змшноТ та пперплощини (8), вироджений слщ-проекщя якоТ являе вщр!зок АВУ, до розширеноТ комплексноТ площини значень аргумента г, е кутом, утвореним вщр1зком АВ та йога проекщею АВУ. 3 чотирьох комплексних трившшрних пщпростор1в ох1уи,ох1ум,о1ушу,охшу площина аргумента г е спшьною тшьки для двох таких. пщпростор1в. Тому проекцп вщр1зка у тривишрних пщпросторах треба розглядати у тих, як1 мютять зазначену площину.

Показано, що вщношення кут1в нахилу проекцш вщр1зка прямоТ як графжа лшшноТ функцп комплексноТ змшноТ .3 лнпйно залежними складовими аргумента, розташованих у комплексних вщповщно три- 1 двовим1рних пщпросторах, до площини комплексного аргумента е функщею кутового коефвдента аналйичного виразу п аргумента.

Величина кута нахилу вщр1зка прямо! - графка лшшноТ функцп' комплексноТ змшноТ пропорщйна модулю комплексного коеф!шента при ТТ аргумент!:

«8 = |а|. (11)

Запропоновано споаб визначення дшсноТ величини кута 8 нахилу вщрвка 1 його дшсноТ величини на комплексному кресленш функцп комплексноТ змшноТ (рис. 7), поширений на випадок функцп кшькох комплексних змшних.

Проаншзовано положения особливих точок функцп комплексноТ зм1нноТ на приютад1 лшшноТ. Зокрема для випадку перетину и графша проекцюючою гшерплощиною слщи прямоТ знаходяться у тривюшрних комплексних падпросторах. Так, при значенш х=0 маемо слщ прямоТ у комплексному тривтайрному п!дпростор1 о/ушу з координатами:

у = = и + ¿V = -йа2 + Цйа1 +Ь2) . (12)

Таким слщом е, наприклад точка В перетину прямоТ з координатного гшерплощиною огуш'у (див. рис. 6).

Геометричний зм1ст вшьного члена Ь полягае у визначенш положения точки - значения функцп у комплекснШ площиш ош'у. Значения коефщента й переносить положения ще'Т точки ¡з зазначеноТ площини в один ¡з координатних купв комплексних пщпростор1в фазового простору. Розглянуп випадки паралельносп прямоТ та площини у фазовому простор!, паралельшсть площин.

Ум ~Уим-Уум~-;-rf , ,2

(14)

Визначено геометричний образ - точку перетину М двох площин у фазовому npocropi:

а^щ+п^хац+Ьц-уаи+Цуац+хаи+Ьи); ®2 —1*2+ iv2 = ха21 + Ь2\ - уа22 + i(ya2l + ха22 + Ь22), координата яке! складають:

_ fei-bllXal 1 -«2-Ь[гХд12~д22). {aU~a2\Y +{а\2~а22?

\h2~h2iaU-a2\)+{h\-b\Üfl\2~a22}. (а11 -а21)2 + (а21 ~а22^

иМ =и1М ~и2М ~

= (Qll~a2l)(al к \)+{^12-а221а\ф2]-"2Ф\ iM^-frA Р22~а\&2\). («Ц-«2|)2+(«12"«22)2

VM =VIM=V2M =

= (fln-«2lXalfa-a2A2)+(«12-fl22Xa12^22-a22^12)+(fcll-fc2l)(a12Q21-flllü22)

{an-a2if+{al2-a22f Запропоновано алгоритм його визначення на комплексному кресленш з використанням комплексних пперплощин р1вня (рис.8).

3 комплексного креслення визначаемо також взаемну ортогональшеть обох прямих: на комплексну площину аргументу z кут перетину прямих т i п проекцюеться у дшену величину i е прямим для прийнятоУ ортогонально! координатноУ системи фазового простору.

Розглянуто геометричну cyTHicTb похщноУ функци комплексно!' змшноУ (рис. 9).

Прийнято, що наближення до точки B(x,y,u,v) зпдно гранищ _ lim "fc + h)-u{z)+ i(v(z + h)- v(z))

h-tO h

вщбуваеться у ичних комплексних пперплощинах ргвня х=х0, y=yo, и=ио, v=v0. Кожна пперплощина р1вня видшяе на двом5рнш поверхш o)=co(z) одновим]'рну лшио-графж комплексно']' функци дшсноУ змшноУ. Отримаш вирази визначення похщноУ функци комплексноУ змшноУ з урахуванням визначеноУ геометричноУ cyri УУ частинних похщних по ортогональних напрямках як куйв нахилу проекцш функцш комплексноУ змшноУ у тривммрних комплексних пщпросторах:

Ф = Wy- itgVy = tg<f>x + itgwx =tgVy+ itgWx = tg<P* ~ itg<Px ■ (16)

Проведений анал1з геометричних моделей многовщпв функци комплексних змшних. Показано, що для такох функци, зокрема двох комплексних зшнних

i0 = C0(Zi,Z2) = м + iv = u(x1,x2,yi,y2) + iv(xj,x2,y1,y2) (17)

формування комплексного многовиду здшснюеться за

допомогою двох розширених комплексних площин ц та гъ взаемне положения яких утворюе комплексний пщпросгпр аргумен-пв. Такий пщпроспр мае чотири вим1ри. Тому для однозначного завдавання геометричного образу аргументу необхщно формувати три його зображення на трьох двовишрних площинах, в якосп яких можуть виступати, наприклад комплексш площини обох аргументов та одна з площин Тх комплексного пщпростору. Незалежно вщ вим1рност1 функци комплексних змшних комплексне креслення мктить також дв1 площини складовнх значень функци.

Проведено анал1з геометричних образ1в як графшв функшй комплексних змшних. Показано, що функция комплексно) змпшоУ являе просту функщю. Накладання додатковоТ умови М1Ж складовими н аргумента спричинюе утворення складно!" функци як комплексно! функци дшсно"! змшно!'. 1Т графтом слугуе одном1рна линя як результат перетину двовтапрноТ поверхш як графжа функци комплексно"! змшноТ 1 тривим1рно'| комплексно')' пперплошини. Остання може бути гшерплощиною р1вня або ироекцюючою. Виродженим слщом-нроекщею !"! у нлощиш г аргумента слугуе залежшсть м1ж його складовими у=у(х). Розглянут! шип вартнти накладання зв'язив м1ж змшними, вщповщш дослщженням проф. М.С.Гумена многовшпв евюпдового /¡-вимфного простору:

а) (0=0(11); б) со-=оХц); в) (л=оХц); (18)

(о=со(12); г2=г(ц); г^Ш-

У кожшй з наведених складних функцш можлив! також зв'язки м1ж складовими Тх аргумент у вигляд! залежностей:

у,=у(х,) та у2=у(х2). (19)

Зокрема кожшй з двох функщй комплексних змшних (18,а) у комплексних пщпросторах ш'у та ох21у2шу вщповщае двовим1рний комплексний многовид у вигляд! поверхш (або площини у випадку лпнйних анаттичних вираз!в). У шестившшрному комплексному простор! ох^у^угип таю поверхш чи площини складають основи комплексних гшерцилшдр!в у вщповщних координатних комплексних пщпросторах ох]1у!ШУ та ох21у2шу. Одночасно вказаш основи складають направляюч! зазначених чогиривтшрних гшерцилшдр!в, тв1рними для яких являються прям!, паралельш координатним осям комплексних площин г; та ц вщповщно. 3 шшого боку там поверхш складають слщи-проекцп гшерцшпндр1в на координатш комплексш пщпростори ох^у/и^ та ох21у2ш\> вщповщно. Взаемний перетин двох чотиривим1рних гшерцилшдр1в у шестивтнрному комплексному простор! складае двовим1рна множина точок цього комплексного простору, спшьна для обох гшерцшпндр^в. Очевидно, така множина являе поверхню, кожна точка якоТ належить одночасно обом пперцилшдрам 1 задовольняе (18,а).

У випадку, якгцо накладена одна з додаткових умов (19),

наприклад залежшсть у]=у(х!) М1ж складовими аргумента ц, то першШ функци (18,а) вщповщае комплексна функщя дшсноТ змшноТ

0)=и+Ы=(0(х1) (20)

Проекщя (20) у комплексному пщпростор! ох ¿у ¡им являе одновим]'рна крива як основа комплексного гшерцшпндра у цьому ж комплексному шдпросторь Такий комплексний гшерцшиндр е тривтпрним ¡3 слщом-проекшею у комплексному ш'дпростор! у вигляд! криво!" лпш. Взасмний перетин тривтпрного та чотирнвилнрного пперцплшдра у шестивим1рному комплексному простор! ох^у^у^т складае одновим!рну лпшо, кожна точка яко! належить одночасно обом г!перцил!ндрам ! задовольняе (18,а) та одну з умов (19).

На основ! анал1зу многовид!в явно! функци комплексно! змшно! 0),= 0X0)2), яку отримуемо з двох однопараметричних функцш комплексно! змшно! а>1=а)(г), 0)2=0X1) запропонований споЫб формування фазового простору ! многовид!в як граф1к!в к функшй п комплексних зм!нних: Щ^аХц.цЛ).....г„);

(»2=0X11,12,1з,-1„); (21)

0)к=а(г1Л2Лз.....г„).

Многовид кожно! з функшй сок комплексних змшних формуегься на основ! и анал^ичного виразу у простор!, розм!ршсть якого визначимо за формулою: Ср=2(п+1). Проведемо з'еднання фазових простор!в к функцш п комплексних змшних таким чином, щоб координатш площини !х аргументе сп!впали. В утвореному фазовому простор! ох11у!х21у2...хп1упи;^¡и21У2..."к^к складов! являють комплекси! п!дпростори, зокрема ох11у,Х21у2...х„1у,и1П1,ох11у,х21у2---хп1уп1ф2,...,ох]1у,х21у2...хп1упщЬк, а також 2к-вим!рний комплексний тдпроспр ои1п1и2п2...икпк . Кожна пперповерхня являе направляючу 2п-вим!рну поверхню комплексного гшерцшпндра у комплексному шдпростор! , наприклад ох11у1х21у2—х„1упи^у1 , тв!рною для якого е прям!, паралельш, наприклад осям ои2,окъ...,ои^Ьк.

Перетин к гшерцшищцмв у комплексному 2(п+к) -вим!рному простор! утворюе комплексний многовид, розм!рн!сть якого знаходимо за формулою для комплексного простору:

г = 2), (22)

¡=1

д ее? - кшьюсть гшерцшиндр!в; т1 - розм!рн!сть гшерцшпндра.

Такий многовид складае направляючу (и+г)-вим!рного комплексного гшерцшпндра.

Для граничного представления утвореного

многовиду як геометричного образу явноУ функцп комплексно! змшно'У, записано!' у випвд, наприклад:

(О,=СО(С02,(О3,...,(Ок), (23)

використовуемо споаб видшення лшй каркасу у вигляд1 комплексних функцш дшсноТ змшноУ згщно виразу (20). В результат! отримаемо каркас многовиду розм1рност1 гт , кожна точка якого визначена координатами , значения яких визначеш сукупшстю г^Лз.—Лп аргументов функцш комплексних змшних .

У третьему роздШ показано, що розглянуп в попередшх главах многовиди простору являють частковий випадок отриманого на основ! характеристичного р1впяння регульованоУ системи

апг"+ ап.,г"'+...+а,г+а0 = 0 (24)

многовиду як графша многочлена Р(г) з комплексними коефщ1ентами а1=ц+1"/]. При постшних значениях а) такий многочлен е функщею комплексноУ змишоУ

Р{1) = ш(г) = м + (V = (со;;(У] + (11 ~ ' 5«п((р7- + (« - ¿V)), (25)

7=0 *=0

де г7- = + у2 = (х2 + у2)<-п'к)/2 - модул! постшного коефвдента а, 1 аргумента г, Ф; = = - аргумента вщповщних

параметр1в со(г). Його областю визначения слугуе розширена комплексна площина аргумента, тому значень функщя ш(г) набувае у чотирьох тривим1рних комплексних пщпросторах. Уявна вкь о/у площини аргумента подшяе двовим1рну поверхню як графк многочлена Р(г) на дв1 частини, для точок яких визначеш вщповщно вщ'емш та додатш значения складовоУ х. Окрем1 рвновиди анаштичиих вираз1в дозволяють отримати графжи у випвди одновтнрних лшш з постшною складовою значения функцп. Зокрема при значениях складовоУ 05 1 степенях згщно чисел л=1,5,9,13,... аналггичний вираз для границ! подшу мае вигляд:

0)(г) = -(У13'+У5>'5+У9>'9+-)+1Уо- (26)

Для цього випадку маемо постшну уявну складову функцп со(г) у вигшад тривимфноУ комплексноУ гшерплощини р1вня У0= у0.

Якщо гранищ замкненоУ област1 визначения задаш пперплощинами р1вня ^=сопД або ул=согий, то проекци лшш як графшв комплексних функций дшсноУ змшноТ формують складов! виразу:

ю(г) = (<х„ + гу„)(*0 +1у)п + (а„_1 +гу„ч)(х0 +/у)пЧ + ...

+ («1 +1'у1)(х0 + 1у) + а0 +гу0.

Для замкнено! облает! з границею у вигляд! слщу-проекцп проекцюючого комплексного пперцшнндра !Т складов! представимо залежними вщ параметра t: x=x(t); y-y(t). Значения комплексно'! функцн" дшсноТ змшноТ t визначають положения точок криво! як перетину комплексного пперцшнндра з двовтпрною поверхнею. Проанал!зовано фазовий npocrip многочлена з yciMa зм!нними складовими: P(z) =ffl(z) = u + iv = u(z,aj) + iv(z,aj). (28)

Фазовий npocrip многочлена e р!зновидом простору функцн кшькох комплексних змшних.

Приймемо тепер складов! значения функцн комплексних змшних пост!йними: co=u+iv=const, де и=и0, v=v0, що вщповщае постшност! значень многочлена з комплексними коефпаентами P(z). Значения и0 та iv0 являють вироджен! слщи комплексних ппергающин р!вня, паралельних 2(п+3)-BHMipiiHM комплексним п!дпросторам вщпов1дно oxiyiv OoljoV-iiYi--• a]¡Yr ■ ■ та oxiyuaciYoCCiYi...aJiYj-.-CcniYn.TaK¡ г!перплощини видшяють на комплексн!й rinepnoeepxHi po3M¡pnocTÍ I многовиди, po3M¡pH¡CTb яких складае 1-2. Очевидно, утвореш многовиди е перер!зами комплексно!' rinepnoeepxni комплексними пперплощинами р!вня, заданих значениями и0 та iv0. Якщо значения складових функцн комплексно!' змшно"! е нульовими, то анаттичний вираз многочлена при змшних комплексних значениях ycix його коеф!ц!ент!в прийме вигляд:

япг"+ап_1 z""1+... + a1z + a0=0. (29)

Фазовий npocrip часткового випадку многочлена P(z) являе, таким чином, комплехений niflnpocTip ycix його комплексних коеф!ц!енпв a¡,z.

В свою чергу, отриманий комплексний niflnpocTip являе фазовий npocTip значень функцй" комплексних 3míhhhx, яку формуемо зпдно виразу (29). Для задано!* облает! значень аргумента z в якосп, власне, функцн комплексно'! змшно!" може бути прийнятий будь-який з комплексних коефщкнпв многочлена P(z), наприклад:

flo - °о + ¿Yo = °(а¡¿) ■ (30)

Показано, що графшом и слугуе комплексний многовид, точки якого задовольняють умов! (29). Для будь-яко!" imnoi" множини точок пщпростору комплексних аргумента функц!Т комплексних 3míhhhx з множиною точок одного знаку х i и значень iy0, ям вщр!зняються В1Д в!дпов!дних (29), отримуемо обмежеш комплексним многовидом облает! у фазовому простор!, для яких знак многочлена може бути меншим або бшьшим нуля. Його проекцш на комплексний шдпростф коеф!ц!ент!в a¡ дозволяе знаходити обласп многовиду, точки яких задовольняють (29).

У четвертому роздин запропонований cnoci6 графоанал!тичного в!дображення многовид!в як граф!к!в функцн комплексно!" змшно!' трубками у комплексному простор!. Bíh уможливлюе формування каркас!в таких

многовиддв з урахуванням дов1рчих областей визначення параметр1в. Це дае можливють розширити сфери застосування основних понять теорн нечетких множин, зокрема в прикладнш геометри стосовно розробки метсдав дослщження регульованих систем. В основу способу покладено поняття "нечггкосп" ("йигтевв") теорп математичних множин, що характеризуе ступшь належност1 об'екта певнШ множит. В термшах геометр^' цьому вщповщае ступшь належност1 точки як миттевого стану процесу поверхш, яка його моделюе. Запропонована геометрична штерпретащя довфчих областей чисел, для чого ¡нтервали значень числа и як .параметра регульованоУ системи визначеш в дов1рчш облает! у вигляд! значения дов1рчо1 функщУ О:

О II <11 - Дн;

0(и)= 1 при V; (31)

О I! > и + Дм.

Нехай Ф е асоцшованою з точкою Е областю допустимого вщхилення точки Е гид УУ дшеиого положения. Тод1 для двох областей Ф1 \ Ф2, що в1дпов1дають точкам £;, Е2, вщетань у дов!рчш обласп визначаеться : як найменша з вщетаней м1ж точками двох областей

рг(ф„ф2) = ^{р(£„£2)}

Е^ФрЕгеФг (32)

як верхня граница наибольших вщетаней М1Ж точками двох областей

Рн(Ф1.Ф2)=8ирЙ^,Ф2)р(£2,Ф,)} (33)

Тод1 вщетань у дов1рчш обласп р? асоцшованих областей Ф1,Ф2, що вщповщають точкам Е,, Еъ визначаеться штервалом

Рс(Ф1,Ф2)<Рг(Е1,£2)<Рн(Ф1,Ф2). (34)

Очевидно, що обида складов! рР (Е1, Ег) для точкових множин щентичш. Тому введения таких асоцшованих областей Ф^Фг, що вщповщають точкам Еь Еъ з одного боку вадображае нечшасть в дослщжуваних системах чи процесах, а з другого — дозволяе визначити ¡нтервальну функцйо рр (Е/, Е2) як вщетань у дов1рчш обласп параметр1в. На основ! пропонованоУ лонгометрики у дов1рчих областях - визначення вщетаней м1ж елементами простору - можна застосувати гономерику Уе(аьа2) - визначення купв, заданими в дов1рчих областях двома вщрпками, кутом нахилу вщр1зка до ос1, до площини проекщй тощо.

Лшй в дов1рчих областях з-пом1ж а/, а/ та а2, а2 , ям утворюють з

вксю ох максимальш тамипмальн1 Чтт{а?,х)утт(а1,х)

кути, являють внутршш опорш прям1 пар ФЬФ2 1 ФьФ3, як1 визначають асощйоваш облает! вщповщних точок. Тод1 значения кута м1ж прямими у дов!рч1й обласи

Уг(а1>а2) =

V-) _

пил! а2 ,х

а2,Х>

ах^я^

(35)

Запропонований пйш'д реал!ЗОваний при формуванн! каркасов дов1рчих областей многовщцв як графшв функцн! комплексних змшних у вигляд! дискретно! множини перер1з1в пперплощинами р!вня у] , паралельними координатном) шдпростору охш\>. Тод1 каркас у дошрчш облает! утворюготь трубки у комплексному простор! (р(и),ср(у), для яких осями слугують залежност! дшених значень складових комплексних функцш д!йсно! змшно! з вщхиленням а вщ дшеного положения. Так! трубки обмежують частини комплексного простору трубчатими поверхнями Щф у/г] з осями и/х), \>/х). Дов!рча належн!сть точки Е комплексному многовидов! со визначаеться належшетю и деякш трубщ <р/. Ее фу => Ее со . (36)

На щй основ! запропоновано визначати дов!рчу в1дстань М1ж опуклими замкненими областями з урахуванням неточност! визначення параметр!в регульованих систем. Складений за таким способом алгоритм дозволяе визначати розмщення замкнено! опукло! облает! параметр!в вшносно границ! облает! ст!йкост! регульовано! системи.

У п'ягому роздкгп на баз! геометричних моделей многовид!в як графшв функш комплексно! змшно! розроблено способи графоанал!тичного в!дображення областей ст!йкост! регульованих систем. Показано, що характеристичний полшом являе частковий випадок многочлена Р(г) з Д1йсними коефщентами:

Р(г)=аяп+а11п1+... +ап.,г+ап. (37)

Формования областей корешв многочлена з однаковою кшьмстю корен!в з вц'емною дшеною частиною грунтуеться на використанн! властивост! комплексних чисел, коли нульове комплексне значения многочлена Р(г) мае р1вш нулю одночасно д!йсиу ! уявну частину. При кшькох змшних параметрах, наприклад д0 = т.а, = \1,ап_х = т] характеристичне р!вняння для гранищ областей корен!в мае вигляд:

т^УЧц^У1"1 +... + Щу + ап =0. (38)

Видигамо дшену ! уявну частину ! прир!вняемо !х окремо до нуля. Обидв! частини м!стять члени з ствмножником ц, члени з ствмножником х, члени з сп!вмгожником г|! втьш члени:

и(у)=|гР1(у)+Л<21(}')+ Щ (у)+ *1Ы=

у

У

де

РАуШуЪ&ЮШУШуЬРгМ'ЪЫ'Щу) - многочлены вщ.у. Тод! зв'язки м1ж змшними запишемо, наприклад у виглядц

ц = т\(!У,т), Л = (40)

У комплексних тривим1рних шдпросторах отц1у та оЦ'Пгу

залежностям (40) вщповщають двовтпрш поверхш П2 \ Пг (рис.10). У чотиривим1рному комплексному простор! оцтг|1у поверхш П2 1

Я2 слугують направляючими тривим1рних гшерцилшдр1в П} 1 /73, проекцюючих по вщношенню до зазначених комплексних шдпростор1в. Тв1рними цшнщнв е прям1, паралельш осям вщиовщно оц 1 от. Взаемний перетин гшерцшнндр1в визначае двовимфний многовид К2 як графк залежност! (40). Спроекцюемо многовид К2 на шдпрост1р параметр1в регульованоУ системи о/лтг] паралельно напрямку ос1 о/у. Довшьна точка утвореноУ двовим1рноУ поверхш мае координати //, % 1], кожна з яких також визначена для певного значения четвертоУ координати у. У а три координати цг,Т] при заданому значенш координатор задовольняють умови (40). Точки обмежених щею поверхнею областей вщповщають параметрам характеристичного р1вняння з р!зною кшькютю його корешв з вщ'емною дгасною части ною. Точки, належш самш поверхш, задовольняючи умови (40), являють границю облает! корешв з однаковою кшьмстю корешв з вщ'емною дшеною частиною. Очевидно, для видшення з-пом1ж областей обласп стшкосп треба розв'язувати характеристичне ртняння п-01 степеш.

Спроекцюемо многовид К2 на пщпростори параметр1в регульованоУ системи, одним з втир1в яких слугуе уявна частина аргумента. Його проекци будуть вщображеш на двовтирш площини у випицц графшв залежностей т=тС/у), т]=т)(1у), ц=1М1у)- Для кожного значения у=у0 з графшв визначаемо значения параметрш Цо, То, т]0, при пщетановщ яких у характеристичне р1вняння отримуемо тотожшеть. Проекцй облаем стшкост1 на площини визначимо за знаком дшсноУ частини многочлена P(z) для параметрш т = т0 + Дт;'п = т]0 + Дт|;р. = р0 +Дц, взятих для значения у=у0, згщно виразу :

(т1 + ДлХо'о Г + (*+ьФо У+ +(ц+ДцХо'о)+ап =

(41)

= ^(¡УоТ + ^УоТ 1 + — + Лр(1у0)= и(у0)+ /у(у0)=Р(г) .

Розглянуп також питания графоаналггичного вщображення замкнеиих областей корешв характеристичного р!вняння, а також врахування нелшшних зв'хзмв окремих параметр1в регульованоУ системи.

Рис. 10. BidoöpcDKeHW a&iacmeö KopemS дм трьох na рамеmpiS

Рис. 9. fjoxiâva функци конгиексш змЬ/hoí

У шостому роздип викладеш методика 1 алгоритм визиачення областей стшкосп та оитимальних значень регульоваиих систем з використанням геометричних засоб1в комплексного простору.

Приведена методика геометричноТ оитим!зацп електрообладнання. При знаходженш точок компромюного екстремуму т функцш оптташацн п аргумента запропоновано проводи™ дослщження на екстремум проекцн многовиду у простор! з в им ¡рами значень функщй оптим1зацц:

и.1=и(и2,из,...иу..,ик), (42)

де и^и(х!,х2,...,хп).

Точки многовиду в _ такому шдпростор! визначеш одразу п аргументами, як1 задають кожний його вим1р щ. Значения точок компром1сного екстремуму визначимо, проглвши дотичну до многовиду гшерплощину з вагами прюритетносп "к/.

— + — + ... + —= 1. (43)

А., Х2 Кк

Показано, що при наявност! залежност! м!ж аргументами, наприклад х1=х(х2,х3,...,х„), кожну з скпадових виразу (42) можна представити як функцпо цього аргумента. Тод1 отримаемо граф1к залежност! М1Ж значениями функцш оптим1зацн як многовид з вилпрами ну, кожний з яких визначений множиною аргументе.

При вщсутнш залежносп м1ж аргументами х] для множини

незалежних кпж собою аргумент х;,х2.....хп отримусмо систему

багатошарових многовщцв. Нехай серед п змшних х маемо I взаемно незалежних та 5 залежних вщ них змшних х так, що /+5=п. Отже, перил I незалежних змшних можна довшьно змшювати незалежно один вщ одного 1 решти, тод1 як х змшних, як залежш вщ I змшних, визначаються щоразу прийнятим набором фшсованих значень змшних I. Тод1 кожна з х залежних змшних визначаеться I заданими змшними [ систему багатошарових многовщнв задають I незалежних змшних з-пом1ж х1,х2,...,х1,..,хп у к-вимфному пщпростор! и!,и2,...,ик параметр1в.

Приведен! приклада розв'язку задач по визначенню компром!сного екстремуму електрообладнання та облает! стшкосп. Показано, що вихщ в п-втанрний простор формування областей ст!йкост! дозволяе формувати на основ! анализу многовиду в комплексному простор! сукупшсть параметр!в, яы визначають умови стШкоТ робота системи. Досл!дженням многовиду в простор! параметр!в знаходять найбшыну його площу перер!зу для вибору значень параметр!в стосовно оптшмзаци окремих ланок регульованих систем.

Висновки

В дисертащйнш робой акумульоваш основш результата проведених нами дослщжень стосовно визначення геометричних засоб1в фазового простору функцш комплексних змшних. Розроблеш методи формування р1зновид1в такого простору, графоаналггичного вщображення в аксонометрн I на комплексному кресленш многовидт у якоеп графт'в функщй комплексних зшнних, методи Ух конструювання комплексними функщями д!йсно1 змшноУ як окремого випадку многочлешв з комплексними коефщентами. 3 Ух використанням одержано прост! графоаналгтичн! способи формування областей стшкосп' регульованих систем та визначення компромюного екстремуму на основ1 анал!зу багатошарових многовидш комплексного простору.

3 одержаних наукових результатов найбшын значим! являють:

1. Встановлеш геометричш законом1рност'1 формування графоаншптичних залежностей геометричних систем комплексних чисел на приклад! двовим!рних множин звичайних комплексних чисел. Розроблено основи теоретичного дослщження геометричних принцигпв вщображення п-пим1рних многовидт комплексного простору. Створено базову чотиривигпрну модель фазового простору для граф1чного вщображення залежностей двох комплексних змптих, узагальнену для к функцШ п комплексних змшних.

2. Розроблеш геометричш засоби для вщображення многовидш у комплексному простор!. Здшснено геометричну штерпретащю зв'язку м1ж елементами множин прообраз1в та образ ¡в комплексних змшних параметр1з. Запропоновано та обгрунтовано використання комплексних креслень комплексного простору з1 змшними ус1ма комплексними параметрами, комплексною 1 дшсною змшною як узагальнення багатовилпрного розширеного евклщового простору.

3. Дооиджеяо особливост! подання геометричних форм комплексного простору у вигляд1 дискретних каркаав лшш перетину многовидгв комплексного простору та комплексних гшерплощин особливого положения. Встановлений зв'язок м1ж вщображенням аналггичних залежностей кшькох комплексних та комплексних функщй дшсноУ змшноУ 1 на цш основ! розроблен! способи формування дискретних каркаав, обгрунтоваш для випадку залежносп двох комплексних зм!нних. Отримаш принципово нов! результата розв'язку деяких задач багатовишрноУ геометри комплексних змшних стосовно виршення прикладних проблем дослщження регульованих систем.

4. Вперше встановлено зв'язок м!ж множиною залежностей комплексних зм!нних ! многочленом з комплексними коефвдентами. Запропонован! засоби в!дображення многовщпв як граф!чних залежностей многочлешв

з довшьною кшьюстю змшних комплексних параметр1в, для випадив розширеного двовим!рного комплексного пщпростору одно! комплексно! змшно! i запропонованого способу розширення багатовимфного фазового простору аргумента функци комплексно! змшно!.

5. Запропоноваш, обфунтоваш та розроблеш засади використання дов^рчих областей задавания параметр1в трубками у комплексному npocTopi при формуванш дискретних каркас ¡в многовщцв комплексного простору. Встановлено можливють i доцшыпсть представления МНОГОВИД1В комплексного простору з урахуванням дов1рчих областей дшсних чисел. Новизну являе прикладне застосування mothbîb, понять i означень Teopiï неч1тких множин при геометричнш штерпретаци взаемозв'язюв параметр1в регульованих систем.

6. Розроблеш геометричний апарат формування многовид1в та !х проекцш у комплексних шдпросторах pi3Ho! poJMipuocTÎ з урахуванням комплексного пщпростору п аргументе функцш комплексних змшних. Проанал1зовано фазовий npocTip коефщ1ент1в характеристичних р1внянь регульованих систем. Дослщжеш особливосп взаемного положения многовщцв та дотичних гшерплощин загалыюго положения стосовно визначенш комиромшного екстремуму к функций оптшшацп п аргумент.

Практичним висл ¡до м слугують запропоноваш способи формування багатовим1рних областей стшкосп регульованих систем для кшькох змшних парамет-piB та алгоритм розв'язку багатокритер1альних оптим!зацшних задач конструювання електрообладнання. ïx достхшршсть i цшшсть пщтверджена актами про впровадження, пор1Вняннями з контрольними прикладами.

Перспективними напрямами подальшого розвитку дослщжень являють розроблення геометричиих принцитв вщображення многовщцв комплексного простору з розширеними n-вимфними комплексними пщпросторами аргумента функцюнальних залежиостей комплексних змшних, формування многовид1в у дшсних та уявних шдпросторах комплексного простору стосовно дослщження спйкосп регульованих систем з нелшшними зв'язками параметр ¡в, створення 3aco6iB вщображення складних функцюнальних залежиостей комплексних параметров стосовно оттапзаци параметр1в регульованих систем з нелшшними обмежувачами.

Список опублжованих праць за темою дисертацп

OcHOBiii публжаци: 1. Гумен М.С., Андрейко I.I., Мартин G.B., Анохш B.C. Графоанаштична оптшдаащя м1кротрансформатор1в // Опттпзащя виробничих процеав i техшчний контроль у машинобудуванш i приладобудуванш.- Льв1в: ДУ "Льв1вська полггехшка", 1999.- Вип. 359.-С.41-44.

2. Гумен М.С., Мартин G.В. До грас{мчного вщображення фазового простору функцш комплексних змшних // Прикладна геометрия та ¡нженерна графжа .-К.: КДТУБА, 1998 - Вип.63 -С.41-43.

3. Гумен М.С., Мартин C.B. До графшного моделювання многовщцв комплексного простору // Прикладная геометрия и инженерная графика. -Мелитополь: ТГАТА, 1998,- Вып. 4.-Т.2.-С.58-61.

4. Гумен М.С., Мартин C.B. Визначення кута нахилу графка лшшно!' функцп комплексно!" 3mîhhoï // Прикладна геометрия та ¡нженерна графка .К.: КДТУБА, 1998,- Вип.64-С.50-53.

5. Гумен М.С., Мартин G.B. Графоаналггичний метод знаходження областей CTiiiKCCTi регульованих систем // Прикладна геометрш та ¡нженерна графша .-К.: КДТУБА, 1999,- Вип.65-С.37-41.

6. Гумен М.С., Мартин G.B. Формування комплексного креслення перетину лшшних шдпростор1в як графшв функшй комплексно!' змшно!" // Прикладная геометрия и инженерная графика.- Мелитополь: ТГАТА, 1999.-Вып. 4.-Т.5. -С.44-46.

7. Гумен М.С., Мартин G.B. Графоаналггичне вщображення многовид1в розширеного комплексного простору // Прикладная геометрия и инженерная графика,- Мелитополь: ТГАТА, 1999,- Вип.4.- Т.8 С.27-30.

8. Гумен М.С., Мартин G.B. До конструювання многовидш у фазовому npocTopi ФКЗ // Прикладна геометр!я та ¡нженерна графика,- К.: КНУБА, 1999.-Вип.66.-С.58-61.

9. Мартын Е.В. Устройство для моделирования пульсирующей нагрузки двигателя.-АС 12739бО.-Опубл. в Б.И.,1986.-Вып.44.

10. Мартын Е.В. Асинхронный вентильный каскад.-АС 1429274.-Опубл. в Б.И., 1988.-Вып.37.

11. Мартын Е.В. Определение момента сопротивления поршневого насоса // Динамика, прочность и проектирование машин и приборов.- Львов: ЛПИ, 1989.-Вып.230.-С.71-73.

12. Мартын Е.В. Графоаналитическое моделирование поверхностей устойчивости систем автоматического регулирования // Geodezja i geometria inzynierska w budownictwie i inzynierii .- Rzeszow: Politechnika Rzeszowska, 1996.-S.51-54.

13. Мартин G.B. Heninri метрики для моделювання систем i npoueciB з нестрого визначеними параметрами // Прикладна геометр1я та ¡нженерна графнса. - К.: КДТУБА, 1997.-Вип.62.-С. 103-106.

14. Мартин G.B. Геометрична ¡нтерпретащя лшеаризацп диференщальних р1внянь елеменпв САР // Електроенергетичш та електромехашчш системи,- Льв1в : ДУ "Льв1вська полЬехшка", 1997.-Вип.301.-С.59-60.

15. Мартин G.B. Комплексне креслення для вщображення функцп комплексно!' змшно!' // Прикладная геометрия и инженерная графика. -Мелитополь: ТГАТА, 1998,- Вып. 4.-Т.З.-С.89-92.

16. Мартин е.В. Застосування фазового простору функцШ комплексних змшних для оптишзацн параметр1в електрообладнання // Оптишзащя виробничих npoueciB i техшчний контроль у машинобудуванш i приладобудуванш.-Льв!в: ДУ "Льв1вська полггехннса", 1998,-Вип. 321.-С.57-59.

17. Мартин е.В. До визначення перетину двох площин у фазовому npocTopi функцп комплексно!" змшно'! // Прикладна математика,- JlbBÎB : ДУ "JlbBÎBCbKa полггехшка", 1998,- Вип.346.-С.10-12.

18.Мартин е.В. Геометрия ni модел1 функцш комплексно!' змшно!' у дослщженш регульованих систем // Оптим!защя виробничих npouecie i техшчний контроль у машинобудуванш i приладобудуванш.-Льв!в: ДУ "Льв!вська шштехшка", 1999,-Вип. 371.-С.34-38.

19.Мартин C.B. Cnoci6 з'еднання труб, МПК F16L25/00// Промислова власшсть,- 1998.-№5.-С.2.393.

20.Мартин C.B. Визначення в!ддал! М1Ж дов!рчими областями комплексних параметр!в // Прикладна математика.-Льв!в: ДУ "Льв!вська полгеехшка", 1999.-Вип.364.- С. 94-97.

21.Мартын Е.В., Голубейко Г.Д., Босак О.М. Моделирование режимных параметров механизмов с учетом геометрической характеристики нагрузки // Динамическая прочность машин и приборов,- Львов : ЛПИ, 1988.- Вып.220,-С.24-26.

22.Мартын Е.В., Леськив М.В. О повышении устойчивости моделей электомеханических систем // Электроэнергетические и электромеханические системы,-Львов.: ЛПИ, 1987.-Вып.213.-С. 60-61.

23.Мартын Е.В., Нагирна Г.Р. О выборе графического метода оптимизации работы асинхронной машины // Автоматизация производственных процессов в машиностроении и приборостроении.-Львов: ЛПИ, 1988.-Вып.27.-С. 31-32.

24. Мартин C.B., Сичило С.Й., Напрна Г.Р. Bn6ip геометричних параметр!в в!броприводу сушарки // Динамша, м!цшсть та проектування машин та прилад!в.-Льв!в:ЛП1, 1991.-Вип.259.- С. 94-95.

25.Мартын Е.В., Шуминский Я.Е., Босак О.М. Выбор конструкции упаковочного агрегата // Динамика, прочность и проектирование машин и приборов.-Львов: ЛПИ, 1990.-Вып.240.-С.127-128.

ДодатковЁ публжацм:

26.Гумен М.С., Лещш Н.П., Мартин C.B. Огптнзащя експлуатащйних характеристик кривол!н!йних дшянок трубопровод!в // Оптим!зац1я виробничих npouecie i техшчний контроль у машинобудуванш i приладобудуванш,- Льв!в: ДУ "Льв!вська шштехшка", 1999.- Вип. 359.-С.44-47.

27.Мартин C.B. Формування меж областей стШкосп у проекцшх поверхн! // Електроенергетичш та електромехан!чш системи.- Льв!в : ДУ "Льв1вська полкехшка", 1997.-Вип.301.-С.85-87.

28.Мартин C.B. Геометр ичш модел1 в досгндженнях стшкосп регульованих систем // Прикладна геометр1я та шженерна графка,- К.: КДТУБА, 1998.-Вип.63.-С. 178-180.

29.Мартин е.В. Формування областей корешв многочлешв // Прикладна геометр1я та шженерна графка.- К.: КДТУБА, 1999.-Вип.65.-С.159-162.

30. Мартин е.В. Визначення деяких метричних характеристик лппйно!' анаштично!" функци комплексних змшних // Прикладна геометр ¡я та шженерна графша.-К.: КДТУБА, 1998,-Вип. 64.-С. 112-115.

31.Мартин е.В. Про геометричне визначення noxi/jiioï функцн комплексно!" зишно! // Прикладная геометрия и инженерная графика.-Мелитополь: ТГАТА, 1999,- Вип.4.-Т.5,- С.72-74.

32. Гумен М.С., Мартин C.B. Комплексний багатовим!рний npocTip як узагальнення комплексно"! площини // Сб. трудов IV Международной научно-практ. конференции "Современные проблемы геометрического моделирования?'. - Мелитополь: ТГАТА, 1997.-Ч.1.-С. 54-56.

33.Гумен М.С., Мартин C.B. Застосування функшй комплексно!" змшно! у формуванш границь областей стшкосп регульованих систем // Сб. трудов IV Международной научно-практ. конференции "Современные проблемы геометрического моделирования". -Мелитополь: ТГАТА, 1997.-Ч.2.-С.25-27.

34.Гумен М.С., Мартин C.B. Геометрична ¡нтерпретащя модел1 комплексного простору // 36. праць М1жнародно1' науково-практично! конференцн "Сучасн1 проблеми геометричного моделювання,'.-Харк1в: Х1ПБ МВС Украши, 1998.-Ч.1.-С. 139-143.

35.Мартын Е.В. Автоматизация проектирования электрических схем // Тезисы докл. семинара " САПР изделий и технологических процессов в машиностроении".-Волгоград.: Дом техники НТО, 1988.-С.29.

36.Мартын Е.В. О моделировании развертки угла поворота вала вибропривода сушилки // Повышение эффективности совершенствования процессов и аппаратов химических производств.Ч.З.-Тезисы докладов VII республ. конф.-Львов.:ЛПИ,1988.-С. 80.

37.Мартин C.B. Визначення областей стшкосп систем автоматичного регулювання // Сб. трудов III Международной научно-практ. конференции "Современные проблемы геометрического моделирования". -Мелитополь: ТГАТА, 1996.-С.115.

38.Мартин C.B. Розбиття простору параметр1в систем автоматичного регулювання // Сб. трудов III Международной научно-практ. конференции "Современные проблемы геометрического моделирования". -Мелитополь: ТГАТА, 1996.-С.114.

39.Мартин C.B. Вщображення меж областей стшкосп в однопараметричну множину кошк // М-ли м1жнародного паукового симпоз1уму "Нарисна геометрш. Шженерна та комп'ютерна граф1ка".-Льв1в: ДУ "Льв1вськапол!техшка", 1996.-С. 30.

40.Мартин C.B. Фазове представления багатопараметричних процесш систем автоматичного регулювання // М-ли м1жнародного наукового симпоз1уму "Нарисна геометр!я. 1нженерна та комп'ютерна графжа".-Льв1в: ДУ "Льв1вська полггехшка", 1996.-С. 31.

41.Мартин G.B. Р1вняння площини, дотичшп' до поверхш параметров САР// М-ли ьпжнародного наукового симпоз1уму "Нарисна геометр ¡я. 1нженерна та комп'ютерна графжа".-Льв1в: ДУ "Льв1вська полггехшка", 1996.-С. 32.

42.Мартин G.B. Нечто каркаси моделей n-параметричних регульованих систем i npouecÎB // Сб. трудов IV Международной научно-практ. конференции "Современные проблемы геометрического моделирования". -Мелитополь: ТГАТА, 1997.-Ч.2.-С. 123-125.

43.Мартин G.B. Моделювання областей параметр!в многочлешв у комплексному npocrapi // 1нженерна граф1ка та геометричне моделювання ¡з застосуванням комп'ютерно!" технологи.- Р1вне: УДАВГ, 1997.-С. 69-72.

44.Мартин G.B. Формування комплексного простору корешв многочлен!в // 36. праць М1жиародно1 науково-практично'1 конференцн "Сучасн! проблеми геометричного моделювання".-Харк1в: Х1ПБ МВС Украши, 1998.-Ч.1.-С. 144-147.

45.Мартин C.B., Волошкевич П.П. Створення технолопчних схем засобами системи Автокад // Тезисы докладов Международной научн.-практ. конф. «Современные проблемы геометрического моделирования».-Мелитополь: ТГАТА, 1995.-С. 219.

46.Мартын Е.В., Голубейко Г.Д., Босак О.М., Сычило С.И. Применение ППП Графор для построения графиков // Тезисы докладов семинара «САПР изделий и технологических процессов в машиностроении».-Волгоград: Дом техники НТО, 1988.-С.26-27.

47.Мартын Е.В., Нагирна Г.Р., Сычило С.И. Моделирование динамики вибросушилки // Повышение эффективности совершенствования процессов и аппаратов химических производств. Ч.З .-Тезисы докладов VII республ. конф. -Львов: ЛПИ, 1988.-С. 108.

48.Мартын Е.В., Рыхлинская С.И. Прикладные программы машинной графики в курсе графических дисциплин // Проблемы графической технологии. Тезисы докл. научн.-техн. конф.-Севастополь: СВВМИУ, 1991,-С. 95-96.

49.Мартын Е.В., Сычило С.И. О разработке математической модели вибросушилки // Разработка прогрессивных способов сушки материалов и изделий на основе достижений теории тепло- и массообмена.-К.: УКРНИИНТИ, 1987.-Вып.1.-С.46.

Анотаци

Мартин е.В. Геометр1я комплексного простору стосовно формування областей стшкосп та оптшмзаци параметр1в регульованих систем.- Рукопис.

Дисерташя на здобуття наукового ступеня доктора техшчних наук за спещальшстю 05.01.01 - прикладна геометр1я, ¡нженерна граф1ка.- КиТвський Нашональний ушверситет буд1вництва \ архггектури, Кшв, 2000 р.

Розроблеш та обгрунтолаш геометричж засоби фазового простору функцш комплексних змшних в якосп основи формування областей стшкост1 та оптим1заци парамстрт регульованих систем. Запропоноваш геометричш модел1 я-вим!рного комплексного простору 1С для формування многовщцв, що являють графики функцш комплексних змшних. Дослщжеш особливост1 графоаншптичного воображения областей параметр1в многочлешв для загального випадку функци комплексних змшних у фазовому простор! та його комплексних пщпросторах з однаковою к/льюстю корешв з вщ'еыною дшсною частиною. Запропоноваш геометричш засоби та алгоритми воображения многовид1в як границь нодшу ;г-вим!рного простору параметр1в многочлешв.

Розроблеш на основ1 доанджень многовщцв комплексного простору геометричш засоби у вигляд1 моделей та ал го ритм ¡в по формуванню областей стшкост1 та визначенню параметр1в електроообладнання. Ц1 результата апробоваш та прийнят! до використання у практищ конструювання регульованих систем електропривод1в загальнопромислового устаткування.

Ключов1 слова: геометрична модель, фазовий просгпр, функцш комплексно! змшноУ, багатокритер1альна оптим1зацш, регульована система.

Мартын Е.В. Геометрия комплексного пространства применительно к формированию областей устойчивости и оптимизации параметров регулируемых систем.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика.-Киевский Национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2000 г.

Представлены основные результаты разработки геометрических моделей фазового пространства функций комплексных переменных применительно к формированию областей устойчивости и выбора оптимальных значений параметров регулируемых систем. Для исследования многообразий в качестве графиков функций комплексной переменной разработана четырехмерная модель её фазового пространства. На этой основе предложены геометрические модели л-мерного комплексного пространства К". Исследования особенностей их представления в фазовом пространстве

использованы при разработке комплексных чертежей.

Предложенные геометрическая модель и комплексный чертеж фазового пространства функции комплексной переменной положены в основу анализа графических зависимостей таких функций, используя их проекции в двух комплексных и одном действительном двухмерных подпространствах. Предложено определять многообразие каркасом линий, представляющих графики комплексных функций действительной переменной при помощи трехмерных гиперплоскостей особого положения. Показано, что в качестве секущих могут быть использованы проецирующие гиперплоскости и гиперцилиндры. При этом характер линий каркасов получаемых многообразий определяется следами-проекциями комплексных гиперплоскостей особого положения и гиперцилиндров.

Исследованы особенности графоаналитического отображения линейной аналитической функции комплексной переменной. Показано, что угол наклона отрезка как графика сложной функции комплексной переменной и нескольких комплексных переменных к комплексной плоскости аргумента определяется модулем комплексного коэффициента при соответствующем аргументе функции.

Проведен анализ операций пересечения и объединения многообразий в комплексном пространстве функции комплексных переменных. Предложен графоаналитический способ определения угла наклона отрезка и его действительной величины в комплексном пространстве. Исследованы особые положения графиков функции комплексной переменной. Рассмотрена геометрическая сущность производной функции комплексной переменной. Получены выражения для углов наклона её проекций в трёхмерных комплексных подпространствах. Предложен способ линеаризации многообразий в комплексном пространстве. Произведён анализ его геометрических образов для разных случаев задания функций комплексных переменных с учетом зависимостей между их составляющими.

Для случая многомерного фазового пространства исследованы свойства многочлена с комплексными коэффициентами применительно к формированию областей с одинаковым количеством корней с отрицательной действительной частью. Многообразия фазового пространства функции одной комплексной переменной представляют частный случай рассматриваемого многочлена. Рассмотрены случаи выделения замкнутых и разомкнутых областей на двумерных поверхностях, представляющих его графические зависимости. Произведён анализ фазового пространства со всеми переменными составляющими многочлена. Показана возможность получения ограниченных многообразием областей в фазовом пространстве, для которых знак действительной части многочлена может быть больше или меньше нуля. Его проекция на комплексное подпространство коэффициентов позволяет определять области с множеством точек с одинаковым знаком действительной части аргумента функции комплексной переменной.

Предложено формирование каркасов многообразий в фазовом пространстве функций комплексной переменной с учетом доверительных областей задания параметров трубками, разработаны графоаналитические способы определения углов и расстояний между областями параметров, заданными в доверительных областях.

На основании анализа областей фазового пространства разработаны способы формирования областей устойчивости регулируемых систем проецированием многообразия на п-мерное подпространство параметров регулируемой системы и двухмерные координатные комплексные плоскости фазового пространства многочлена с действительными коэффициентами, иллюстрированные примерами формирования многомерных областей устойчивости различных электромеханических систем.

Разработана методика геометрической оптимизации параметров электрооборудования на основании анализа многообразий фазового пространства к функций п комплексных переменных. Формирование многообразий предложено производить выделением в каждой из функций комплексного пространства аргументов с последующим их объединением. Исследование компромиссного экстремума функций оптимизации предложено производить исследованием точек касания получаемых многослойных многообразий в ¿-мерном подпространстве значений функции и соответствующей гиперплоскости, положение которой определено весами приоритетности. Показано, что количество многослойных многообразий определено I независимыми переменными среди х},х2,...,х^...,х„ переменных функций оптимизации. Использование «-мерных подпространств для определения областей устойчивости позволяет определять двухмерные сечения наибольшей площади для выбора параметров, соответствующих устойчивым режимам работы регулируемых систем, и определения среди них значений, соответствующих заданным критериям оптимизации. Разработанные на основании исследований фазового пространства функций комплексных переменных графоаналитические модели и рекомендации по формированию областей устойчивости и оптимизации параметров регулируемых систем приняты к использованию в практике конструирования и модернизации электрооборудования общепромышленных механизмов.

Ключевые слова: геометрическая модель, фазовое пространство, функция комплексной переменной, многокритериальная оптимизация, регулируемая система.

Martyn E.V. Geometry of complex space for forming areas stability and optimization of parameters regulate systems.- Manuscript.

Thesis for a doctors degree by speciality 05.01.01.- Applied geometry and engineering graphics.- The Kyiv National University of building and architecture.-Kyiv, 2000.

In the present thesis the geometry means of the phase space of functions of complex variable quantity are elaborated and grounded as a basis of forming of the region stability and optimisations parameters of the regulate systems. Geometrical models of /¡-measurable complex space K" are offered to form the surfaces which are graphs of functions of the complex variable quantity. The peculiarities of the feature graph and analytics reflection of areas parameters equations there are researched for general occasion of the function of complex variable quantity of roots with the negative real part. Geometry means and the algoritms of reflection surfaces as the dividing limits of n-measure space parameters equations are suggested.

It is elaborated on the basis of research surfaces of complex space the geometry means in the form of models and algoritms forming the areas of stability and the definition of compromise extreme parameters of the electrical equipment. These results are tried and accepted for using in designing of regulate systems of an electrical bring for industrial equipment.

Key words: geometry modelling, phase space, function of complex variable quantity, multicriterial optimization, regulate system.

Пщписано до друку 17.03.2000 p. Формат 60x84 '/16. rianip офсетний Друк на р130графь Умовн. друк. арк. 2,33 Умовн. фарбо-вщб. 2,27 Тираж 100 прим. Зам. 111

Видавництво Державного ушверситету "JlbBiBCbKa пештехшка" вул. Ф.Колесси, 2, 79000, Лыив