автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.07, диссертация на тему:Фундаментальные решения двумерных задач теорий упругости для анизотропных и неоднородных сред

. Міністерство ревіти України Запорізький державний технічний університет

Б ОД

* ИЮН 1997 На правах рукопису

Левада Володимир Степанович

Фундаментальні розв’язки двовимірних задач теорії пружності для анізотропних та неоднорідних середовищ

05.02.07 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ЗАПОРІЖЖЯ-199?

Дисертацією с рукопис

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики Запорізького державного технічного університету.

Науковий керівник - кандидат фізико-математичиих наук доцент Левицький Ігор Аркадійович

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор Пожуев В. І.

- кандидат технічних наук, доцент Волкова Т. Д.

Провідна організація - Дніпропетровський державний університет

Захист відбудеться

1997 р. о

на засіданні спеціалізованої вченої рйди К 08.02.03 у Запорізькому державному технічному університеті за адресою:

330063, м. Запоріжжя, МСП-39, вул. Жуковського, 64

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці технічного університету

Автореферат розіслано “ 1997 р.

Вчений секікггар спеціалізованої уь

вченої ради, д.т.н. І І1' Волчок

- з -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність проблеми. Поведінці пружних тіл під дією зосереджених навантажень присвячено велику кількість робіт. При цьому, для розв'язання відповідних крайових задач застосовувалися різні засоби. До другої половини теперішнього століття домінувала методика вирізання окілу точки прикладання навантаження, з послі-дуючим спрямуванням діаметру до нуля. Для двовимірних задач широко використовувались методи Колосова-Мусхелишвілі. Зі створенням теорії узагальнених функцій методи цієї теорії стали використовуватись у механіці. Відмітимо вклад науковців: Андріанов І.В., Власов В.В., Гольдштейн Р.В., Коваленко М.Д., Коляно Ю.М., Кона-шенко С.І., Кушнір Р.Н., Лавренюк В.І., Лазарян В.А., Михайлов Б.К., Образцов І.Ф., Онанов Г.Г., Підстригач Я.С., Шевченко В.П.

Теорія узагальнених функцій дозволила дати єдине означення фундаментального розв'язку рівняння з дельта-функцією у правій частині рівняння.

Інтерес до (фундаментальних розв'язків різко зріс у зв^язку з виникненням та бурхливим розвитком методів граничних елементів / МГ£/. Серцевину цих методів складає знання фундаментальних розв 'язків відповідних рівнянь.

При застосуванні МГЕ до зонально-однорідних середовищ, записують відповідне ГІР до кожної однорідної зони та задоволняпть умовам спряження на лініях розподілу зон. Якшо лінії розподілу -довгі відрізки, то доречно ввести спеціальні (фундаментальні розв'язки, які задовольняють однорідним умовам спряження на внутрішній межі. При використанні такого розв'язку відпадає необхідність дискретизації цієї межи, що істотно знижує розмірність відповідної системи лінійних рівнянь.

Застосування МГЕ до анізотропних середовищ потребує знання відповідних фундаментальних розв’язків. Для плоскої задачі теорії пружності С.Г. Лехницьким методами Т5КЗ було знайдено фундаментальний розв'язок у випадку різних комплексних пружних сталих. Спираючись на цей результат, Г.Томлін у 1974 р. одержав повне розв:,язання задачі для ортотропного випадку та застосував його у МГ£.

С.Краучем був запропонований вариант МГЕ - метод розривних переміщень. Цей метод виявився ефективним для дослідження напруженого стану тіл, що мають тріщини. При цьок/ використовуються розривні розв”язки, отримані за допомогою фундаментальних розв’язків статичних плоских задач теорії пружності для ізотропних середовищ. Розповсюдження цього методу на анізотропні середовища потребує побудови відповідного розривного розв'язку. Виходячи з вищесказаного, можна сформулювати мету дослідження.

Мета даної роботи полягає у побудові фундаментальних розв'язків деяких двовимірних задач теорії пружності для неоднорідних та анізотропних середовищ і, таким чином,розширенні класу задач теорії пружності, ио можуть бути розв'язані МГЕ.

Наукова новизна. У дисертаційній роботі запропоновано оригінальний підхід до знаходження оберненого перетворення Фур'.'є для дуже сингулярних зображень. У роботі введено один клас узагальненних функцій повільного зростання і отримано для нього обернене перетворення £ур'є. Використовуючи цей результат, у дисертаційній роботі побудовані методом інтегральних перетворень:

- фундаментальний розв'язок для задачі згину зонально-однорідної пластини з прямолінійним розподілом,-

- Фундаментальний розв’язок статичної задачі для зонально-однорідної пружної площини;

- йундаментальний розв''рзок задачі згину анізотропної пластини;

- фундаментальні розв'язки статичних задач для анізотропних пружних площини та півплощини.

Достовірність наукових результатів забезпечується: точною постановкою задач та коректністю математичних методів, застосованих для їх розв»язання, можливістю зведення, при відповідних значеннях параметрів, до відомих результатів для однорідних, ізотропних та ортотропних середовищ.

Наукова та практична цінність роботи полягає у можливості застосування отриманих результатів у МГЕ для розв'язання широкого класу задач теорії пружності для неоднорідних та анізотропних середовищ. Результати роботи можуть бути використані у різних галузях машинобудування та гірничій механіці. Робота прийнята до використання у виробництві.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на: Другій Всесоюзній конференції "Механіка неоднорідних структур" /Львів., 1987р./, науковому семінарі в інституті прикладних проблем механіки та математики /Львів,1907р./, наукових семінарах кафедри обчислювальної математики та звітних наукових конференціях Запорізького державного технічного університету /1980-1996 рр./, міжкафедральному тематичному семінарі за спеціальністю 05.02.07 - "Механіка деформівного твердого тіла" Запорізького державного технічного університету Д996р./.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 7 робіт.

Структура та об'єм роботи. Дисертаційна робота включав: '

вступ, три розділи, підсумки. Вона містить 173 сторінки тексту і бібліографічний список, що складається з 75 найменувань літературних джерел.

У вступі обгрунтована актуальність роботи, сформульована мета дослідження, наведено огляд робіт, зв’язаних з темою дисертації, викладено короткий зміст роботи, сформульовано положення^ що виносяться на захист.

У першому розділі введена один важливий клас узагальнених функцій повільного зростання і для нього виконано обернено перетворення Оур'є. йото для побудови фундаментального розв'язку двовимірних еліптичних диференційних операторів зі сталими /кусково-сталими/ коефіцієнтами, який задовольняв однорідним краєвим умовам на лінії Х=0.. застосовується перетворення Фур*є за зміною V., то у багатьох важливих випадках розв'язок у зображеннях має вигляд

що мають порядок нз вице п , нескікчено диференційовані по параметру а, Va20, зодовільняють рівнянням \Л\"*' гп/І(А) = е~°^, п=0,1,2,... (1)

ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

а,(х)£0 0, А. _ параметр перетворення 5ур* є

Для знаходження оригіналу введено наступні регуляризації:

Під

будемо розуміти узагальнені функції £..(•*) є

та умовам узгодженості = -2Л 10(Я) п=і 2

да ' ’ ...

0*2. ЛЛ) г "

ІГ=*ч№,п-1,2,. (3)

^Л£>_ -о|^|

да ~ __ .

У розділі побудовано загальний розв’язок (І) - (4) і одержано обернене перетворення Фур'Є ДЛЯ ЦИХ РОЗВ’ЯЗКІВ.

Ж/* 2 '

2*г&&У</+2&<гН*+Я№ . <5)

4 Ц-і)"*1) +£гг“2-іг'<^”даагн/”'

S.I

t:jk • - будь які сталі. '

Формула (5) постійно використовується у наступних розділах роботи.

Другий розділ присвячений побудові фундаментальних розв’язків статичних задач двовимірної теорії пружности для зонально-однорідних тіл.

Насамперед була розглянута задача згину пластини*

D'&AG(x,y,f, п) = S(x - f)S(y -П) (і-1,2)

при умовах

lhn G = Hm G

.. dG .. cG

Iim lim -r~

л_» *0 V* *-*-0 &x

ДЄ

limD> *-»«о ’3*G A*

limDi j-»«0 ~c?G .^ +

EX

12(1- W)

&

= 1ІШ°:

«-«-О

c^G

dxG <?2G

&cy

c?G ,, , d'G

—r + 12- V.) 71 lJSc 4>l

(6)

(')

(8)

(9)

(10)

Е,,у, - модулі пружності та коефіцієнти Пуассона. ’

Умови І7) - (їо) - умови спряження на лінії розподілу середо-

нщ Х-0 . Ці умова виражають: ііеперершість прогинів, кутів нахилу, ЗГШН2Х молйнтів, узагальнених перерізуачях зусиль.

Засіосуваши до (6) -(10) перетворення фур’ е по У) скориставшись {5)^одергусмо розвозок (6) - ^10)

Ь>Ну-^-4«№г+І]|+

ЬА прі дг>С(

3+4

((у-^2 -{дг+^ХІгу-О+гСх+^Су-фга^^

х+1

—рь-4у-^]

Л\ ,Ц-^'А-уЛ

Я*

(х+50-фгп§і-?+(дг -#ХЬ-Н) . 4-х

прі ^ЗД*<0;

(II)

ДЕ Г = ((х-$і‘+(у-Т})1)‘-, Г={(х + ^)1+0-^)2)\

5= Ц + 2ЦО, -2^# +2^0, + ^0? -2^£Щ -2у,Е\ А -3£$ + у,0[ + уЦ

Дяя #<0 розв'язок одерауало з ("її) одержуємо заиіиою хна -х . £ Еа'(-£) , Ц ва°, на Д. , Уі ка^г ,

нау,.

На рисунках 1 та 2 зобранено чяшшш, від якііх залажкіь отриманий розв'язок '

При О, - О, = С, V, = уг = V з(11)0ДержувМ0 О - —Ї—Г.-* 1пг-(г— п)']-

8 я£) I *

Якщо в і дошути

, що задовольняє одзорі даоїду рів-

^у~ ‘

шгяяи (,6), та умовам (7 ) - (10 ) , отримуємо -• відомий фундамента льшсй розв'язок, для задачі згину однорі дно/'шастлни.

Далі' у розділ/ було розглянуто тестову задачу, що роз— в’язовувалась МЕ2, з використанням знайденого фундаментального розв’язку» Результата показали, що отриманні розв’язок мохе ефективно вшсорастовуватл.сь»

Наступна задача, що розглядалася у цьому розділ/, стосувалася побудови катрицї фундаментальних розв'язків для зокаль-но-одаор/даоГ пружаоТ плодиш.

дх су

V /

\

(Е

Л

‘ \8{х-$8{у-ті)

(12)

(Да).

(0,,£Г,) прих>0 (02,&2) п рпх<0

1™В(а*’£ф 0= !н? \у.

/

де

Д<7,ЗД =

02,1-0- ' 1 + СГ ^

І —*г

рії,

V 2. 2 ;

( 1 ол

о 1

Б8 Вад

А1-0) Р(1-о)п

■2 4 2 )

(13)

„ £(1-^ V ................

(1+у)(1-2у)’ а=їїм/' ’ **“ алоско1 Деформацп .

„ Е -

£>=-----а=и

(1-і/) , дія узагальненого плоского напрухеяого стану.

, - хошонентв. вектора сили, зосередженого у точц;'(£7)

и, V . - перемі щеняя у напрямку в/ сей ОХ і ОУ.

Умови (13) виражають неперервність перемііцєнь та напружень на лінії; розподілу сервдонищ.

Застосовуюча штоднку розв’язання задач ( 6) - (10) та поз-начлвши.

Г<‘ = % = 1,^2 = 0: Г» = % = 1,г2 = 0:^« = % = 0,^ = 1:ГИ “% = 0,/^ = 1; одержуємо матрице фундаментальних розв’язків.

1~а\ П+о,ІХ*~£)2 , 5-,1пг

-Іпг+(-!)**'-ч-- +-

4^ (І—о-,) 4£((1-а,)лтг 4£((1-сг|)л,Д

, 5,(д:+'£)2 $*£ [(*+£)’-(у-'7)21 „ „ „

^ 4ОД-І,) «4Р- ^,г0 (14)

—♦(-!)■ ^Гт2+Н)'йЛІ=£),пр„ гг0,<<(,

я-Д яДг2 яДґ

'0+^,Хх-а(У-»Й , .у,! £ дасУ-'У ЗЛх-ІЇУ-П) ,

ли ~\ _ П .2 т' -А /1/1_,тї *-А П?2

4(1-0-,)лДг2 Я-Д *+£ 4(1-0-,) я-ДДг

-К-іу*' при ^0, х5:0

П ' (1+<т2) ггД£|г ^ <15>

+ $&>->?) +(_іуі А.агдгУіИі цр,і ££0; х<0 лтД/*2 лДг тгД

к,Ц = № і*ї

{Д5,1,^,^,54)^)56,^} (О.Д.сг,,

І 1

У випадку 4 < 0 розв'язок (12), (13) отриуско з (14) , (15) за допомогою замін: £\ вД,, сгх х-»-х, 4 ->-£ т} ->-77.

Одержані розв’язків залегать від чиншшіз, зображених на рис.1 та 2. При р/Елост) параметрів отримуємо відомі розв'язків дія однор/дноі' пруяно'і’ площини. .

Тпетій розкіл присвячено задачам для анізотропних середовищ. Першою розв'язувалась задача побудові фундаментального • розв’язку для згину ані зотропноГ площини. •

ПО)

^’(х.у) - прогин пластин, °ц •-жорсткості анізотропії',. 5(х)8(у)

дельта-функція Дірака. •

Таким чином, розглядається нескінчєна анізотропна пластина, навантажена одиничним поперечний зосередженим назантахешші у точці (0,0). Знаюча \у, коша знаатп усі характеристики згину. ' .

Застосовуичя перетворення Фур'с / використовуюча ( 5) , '

' приходимо до висновку, що розв’язок (16) залежить від вигляду коренів р/вняння ВцР* +’2(Ц1+2ЦЛ)Р2 +^ЦіР+Ці-^-Це рівняння може мата два варіанта коренів: .

1. Р0=аі±іД,, Р^А = а}±і/32І

2. Ри=а+і/3, Р]4=аг-(3; , •

де £г,,а2,а є-Я.

Р, - обернені до комплексних параметр/в згину С.Г. Лехницького Розв'язок (16) має каі.хуякий-вигляд. _

Перший варіант коренів +^(aJ+ai+/??-/?’-2 д,а!)[г/Ц+2Д»0>+аідг)О!].2/?1/?2(а,-^)* (17)

‘[^ -2^<y+QiJc)ln/j -^О, +2^(к+суг)Іп/;]} (

де П =(x\aj+ff)+2a,)y+y1)’, .................

r, =(xl(a)-p])+2 а.ху+х)’, в, =arctg(-^-+-^-),

ХЛ Л

й=2(а„А.а:,А)

Другий варіант коренів.

!^2а9+/Жі!(а 2 +/? :)+2сглу+/)' (,8)

Якщо у (15) покласти а=0, ^=1, то ш отримуємо відомий фундаментальний розв’язок для бігармоничного оператору.

Далі розглядалася задача побудови матриц/ щувдашнталіша РОЗВ’ЯЗКІВ ДЛЯ' аиі зотропної пруянс/ ШОіДШШ. .

Була розглянута плоска задача, за умова, XOY - двоауша друлшоі' симетрії' , а вісь '02 перпендикулярна до ціеУ апоііщя

(10>

46....^Ач)-^ + (Ь,2 ^JSq+b^- b„S2 +2№+Ьгі*)'

by лружаі сталі. . .

Для узагальненого плоского надрубаного стану відповідні рішяняя адоркуеться' з (19) заміно»b,j на6,,=£,—

°а

Розв'язок, задачі (19) заломить від коренів ріашшя ,

(»,.*«-ЬЬ)Р‘ +2[ЬиЬи-ЬиЬіг)Ґ*ІЬігЬа + 24164,6-Ь\-2 Ь13Ьи)Рг +

2(Ь,6Ь1г -ЬпЬ:і)Р + (ЬІЛЬп — Ь}6)~0

Це р/акяиня моле маги два варіант корені а, як і у задач/ (16] У яипадку узагальненого плоского напруги ного стаяу ц/ кореи/ обернені до лошлексяих пружня* сталих С.Г.Лехницьхого.

Вихористо&ушя методику розв’язання попередньо)' задачі , отримуємо розз'язок (19І '

Перила варіант коренів .

0(1лр1ргі 1 -

+/?!Я>г, +А,/?,1пл]}

і'----!—{-л[л^(р, -рЛ+^я.Ъг, +/?,я,іп?;]-ґ1[ля!(«!, -?,)+

7чр,рір{ 1 1 1^*)

+/?,Я,Іпг, +ДЯ»Ь)^]}

^,(х.^) = (х!(а|+^;) + 2а,ї>- + )'1)!, _ .

7(а„а2,/?„А)=/(аг,аІ,А,А).

...*«,а„а2,#,/?:)

Другий вар; ант коренів

(22) (23)

З (20) - (23] буля отримані компоненти тензора напружень. Матриця фундаментальних розв’язків знаходиться з (20) - (2^ наступят чином:

г, -АГ.Іпг + ^-І+К -К, Іпг + ^-1

- ' X

р, -АГ.Ьг + ^И.]*^ -К7 Іпг + ^—1

- ' і

І

г = (хг(аг +Д2)+2алу + ^!р, лі, = (АГус - К,/і)хг +К,ху, {К„К1,К3,К„К},Кі,К,,К„Ог}(Ьп.....Ьи,ct.fi).

Далі у розділі, були побудовантматриці Грина дна ашзатроп-но'Г еівпдоіщшл з непересувним та вільним краєм.

Останньою розглядалася задача побудовл розривних розв’язні в для анізотропної' пружно)' площини.

ГУ1=Г°1 (20

V) Ю.

при у-0, х є (-а,а)

£/(х,+0)-г/(х,-0)= Я,

У(х,+0)-У(х,-0) = В}

Я,(х,Щ = аг(х,-0) т9(х,+0)=т^х,-0)

В,,В2 - сталі.

Парем/ценкя та напру>£ешш. неперервні,

ПрИ (Х,У) ЄЛ! \[-а,а]х{0}

Напруження прямують до 0 при X2 + у2 ->ос

(25)

(26)

(27)

уд

І—,—^

-а <х к

-

Розглядаючи и(х,у), ',(*.у)>, лк узагальнені функці/', позначання чераз ~х~ похідні в сенсі узагальнених функцій, а через А.' звичайні нохГдаі , використовуючи (24) ~(2б)

дх' ду у

празеодиме до рі зяяння. ■

А .£

дх '

VУ(х.уЛ _ Г*44^1 +*26Вг •ЛУ(х.у)) І4,,5| +Ьив,

'Ь„Вх+ЬмВЛдВ( І)

) Зу

(28)

5(Г) - дельта-функція, зосередаеиа на відрізку (-а, а.) . Ви.-. користовуючи знайдену матрицо фундаментальних розв’язків, з (28) отримуємо

їЛ °[дГ , (ЬевВІ+Ь26ВЛ

З (29) було знайдено розв'язок задачі ( 24) - (27) , а

такой - ксшонеыти тензора напружень.

При відповідних сталих цей розв'язок співпадає /з з найде шш Краучем дм Ізотропного випадку.

У підсумках результати роботи сформульовані у вигляді наступних висновків:

1. Введено один клас узагальнених функцій пов/льяого зростання. Для функці £ цього класу виконано обернене перотворения иур* е. Ден результат дає можливість легко отримувати фувдаменталькі розв’язки для РДДУ задач теоріі’цружност/.

2. Використовуючи введений клас узагальнених функцій, побудовано фундаментальний розв’язок для задачі згину зонально-однор/'даоі' ізотропно/’ шіастсни з прямолінійним розподілом середовищ.

3. Побудована матриця фундаментальних розв’язків для зокально-одаорідао'Г црузеяо'Г площини з . прямолінійніш розподілом середовищ.

4. Побудовано фундаментальний розв'язок для задач/ згину анізотропно/' пластини.

5. Побудована ыатргця фундаментальних розв’язків дія анізотропної' прухної піведощшш з непересувним краєм.

6. Побудована матриця фундаментальних розв’язків для анізотропно/ пружно;' площини.

7. Побудована матриця фундаментальних розв'язків для анізотропної' прухяої пі Волощини з вільніш краєм.

8. Побудовано розривний розв’язок дая анізотропно'/'

црушої площини. ' ' ^

Слід відмітати, що одержані фундаментальні розв’язки

виражені у згмлнек/й формі через елементарні Тунісці/', їх використання у МГ£ виглядає,- перспективам. '

Основний змі’ст дисертації" опубліковано у наступних роботах:

1.Левада B.C., Ле вищий И.Л. Построений фундаментального рц-

ce.чия для кусочно-о,инородных пластин 'о прямолхнеіным разде- ■ лом.-//Математическая фязиха.-1981.-вш. 31.-й. 87-92. •

2.Левада B.C., ЛезяцкяЛ-Я.А. Построение матрицы фундаментальных решгклй для упругой кусочно-однородной плоскости с прямолинейным разделом.. —. Новые конструкционные материалы, эффективные методы их получения и обработки, повышения надежности деталей и. конструкций.-Киев: УЖ ВО, 1S31. С. 124126. ■ ■ : ‘ '

3. Левада B.C. Построение фундаментального решения для задачи • изгиба анизотропной пластини.^Прйдн/провоький науковий віс -

ш. - i937.-W4. -C. 17-19.

4. Левада B.C., Лзаищсда И.А. К расчету кусочно-однородных пластин с прямолшизйяш разделом. — Запорожье, 1983,- Is п. в

. Упр. ШИ, Л 14ЄЗ-УХ-Д83. 7 с.

5. Левада В.С, К применение преобразования Фурье для построения фундаментального решения двумерного эллиптического дилере и- • циального оператора. - Запорожье, 198?. - Деп. а Ухр.ШШіТИ

ц 7Сб-Ук-а7. 10 с. .

6. Лэвзда B.C. Построение матрицы фундаментальных решений для анизотропной упругой плоскости.- Запорожье, 1996.- Дел. в ГЯТь Украины, М 475- Уу.96. 13 с.

7. Левада B.C., Нагорный Ю.И., Лспрыгина Г.& Применение мето-

да . конечных и граничных элементов к решений прикладных . задач теорял упругости для неоднородных сред, We-

ханика неоднородных структур: Тезисы докладов Второя Всесоюзной конференции.- Львов, 1927. с. 125.

У роботах, написаних у співавторств/ , автору належать иаюдика розв’язання задач, участь у ї'х досталовді, розв’язугаші/ та аналізі результатів.

Summary

Levada V.S. Fundamental solutions of two-dimensional elasticity problems for anisotropic and nonhomogeneous mediums.

The dissertaion on scientific degree of candidate of technical sciences on specialities 05.02.07. -mechanice of deformable slid body, Zaporozhye, 1997.

Fundamental solution for zoned homogeneous elastic plane, fundamnetal solution for zoned homogeneous plate bending problem, fundamental solutions for anisotropic elastic plane and halfplane, fundamental solution for anisotropic plate bending problem, discontinuous solution for anisotropic elastic plane are obtained by methods of theory of distribution.

Левада B.C. Іундаментальшю решающ двумерных задач теорий упругости для анизотропных и неоднородных сред.

Диссертация на сонсканге ученой степени кандидата, технических наук по специальности 05.02.07 - механика деформируемого твердого тела, Запорокскхй государственный технический университет, Запорожье,1997. .

С использованием аппарата теория обобщенных функциі по-

Ч • .

лучани фундаментальнее решения: для кусочно-однородной упругой плоскости, для задачи, изгиба кусочно-однородной пластины, для анизотропных упругой лдсскоста я полуплоскости, для задача изгиба анизотропной Пластины. Подучено разрывное решение для анизотропной упругой плоскости.

Ключові слова: узагальнена $уякц/я, дельта-фунхція, перетворення Фур’е, анізотропна пружна площина, згяя, де^ормація^ напружений стан.

Аннотаціія