автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.18, диссертация на тему:Динамика и управление движением робототехнических систем с избыточными входами

Введение.

1. Состояние вопроса и обзор литературы.

1.1 .Робототехнические системы РТС.

1.1.1 .Промышленные роботы.

1.1.2 .Робототехнические системы платформенного типа.

1.2.Критерии качества конфигураций механизмов РТС.

1.2.1. Геометрические критерии.

1.2.2.Нагрузочно - энергетические критерии.

1.2.3. Частотный критерий.

1.3. Обзор литературы.

1.4. Выводы по главе 1.

2. Структура, геометрия и кинематика платформенного механизма.

2.1. Общие сведения. Постановка задачи.

2.2. Уравнение геометрического анализа платформы.

2.3.Решение уравнений геометрического анализа. Особое положение.

2.4.0пределение положения опор манипулятора.

2.5. Исследование точности позиционирования платформы.

2.6. Определение скоростей точек и угловой скорости платформы манипулятора.

2.7. Определение ускоренней точек и углового ускорения подвижной платформы манипулятора.

2.8.Примеры решения обратной задачи о положении манипулятора.

2.9.Примеры решения прямой задачи о положении манипулятора.

2.9.1 .Первый метод решения прямой задачи.

2.9.2.Второй метод решения прямой задачи.

2.10.Пример исследований точности позиционирования платформы.

2.11 .Пример определения скоростей точек платформы.

2.12. выводы по главе 2.

3.Исследование динамики манипулятора с жесткими звеньями.

3.1 .Задачи динамического анализа.

3.2.Силы, действующие в механической системе манипулятора.

3.3 .Определение обобщенных движущих сил.

3.4. определение реакции в кинематических парах.

3.5.Пример динамического расчета манипулятора.

3.6. Выводы по главе 3.

4. Динамика манипулятора с упругими звеньями.

4.1. Динамическая модель платформы с упругими звеньями.

4.2. Приведение жестокостей упругих элементов. Статика упругого механизма.

4.3. Особенности кинематики платформы при учете упруго сти звеньев.

4.4. Колебания манипулятора вблизи положения равновесия.

4.5. Пример расчета статических ошибок манипулятора с упругими звеньями.

4.6. Пример определения собственных частот манипулятора.

4.7. Выводы по главе 4.

5. Управление манипуляционной системой с замкнутой кинематической цепью.

5.1. Использование альтернативных входов.

5.2. Управление при одновременной работе всех двигателей.

5.3. Пример использования альтернативных входов.

5.4. Пример управления при одновременной работе всех двигателей.

5.5. Выводы по главе 5.

Актуальность темы диссертации. Классические робототехнические системы, такие как Unimate, Versatran, Стэнфордский, М20П, IRIS - 11, PUMA, RAMP - 2000 строились на базе механизмов с открытой кинематической цепью. Такая компоновка, обеспечивая требуемую зону обслуживания и маневренность, обладает и некоторыми недостатками. В частности, рабочая нагрузка нагружает всю кинематическую цепь и каждый двигатель воспринимает ее целиком. Ошибки позиционирования робота в целом по существу являются суммами ошибок всех приводов, жесткость всей кинематической цепи по отношению к внешней нагрузке низка из-за того, что упругие элементы системы соединены последовательно и их податливости суммируются. В связи с этим оказывается низка и низшая собственная частота механической системы, что также ведет к снижению точности и к понижению эффективности систем управления движением.

За последние десятилетия появились и нашли широкое распространение так называемые системы с параллельной структурой. Речь идет о робототехнических системах, в которых кинематическая схема используемого механизма является замкнутой. Такое построение механической системы обеспечивает более высокую жесткость всей конструкции. При этом рабочая нагрузка более равномерно распределена между приводами. Благодаря повышению низшей собственной частоты в более благоприятных условиях работает система автоматического управления.

Существует, однако, специфическая особенность таких механизмов, требующая особого внимания конструкторов и разработчиков систем управления.

Как известно, замкнутые механизмы при одном и том же наборе входных переменных (обобщенных координат) могут занимать различные положения в пространстве (имеют несколько различных конфигураций). Если речь идет о механизмах с одной степенью подвижности, они обычно сконструированы таким образом, что переход из одной конфигурации в другую невозможен. В этом случае эти различные конфигурации называются способами сборки, j

При проектировании механизмов со многими степенями подвижности осуществить такой конструктивной запрет на переход из одной конфигурации в другую как правило затруднительно. Положение, при котором две различные конфигурации совпадают, называется особым или сингулярным. В особом положении механизм может двигаться в сторону любой из конфигураций. В качестве примера рассмотрим изображенные на рис. 0.1а две конфигурации шарнирного четырехзвенника. На рис. 0.16 изображено особое положение этого механизма, в котором две конфигурации совпали. Видно, что точка В может совершить малые перемещения в направлении, перпендикулярном прямой АС. в в

Рис. 0.1а А

Рис. 0.16

В общем случае можно утверждать, что в особом положении механизм приобретает дополнительную локальную степень подвижности. При этом количество входов механизма остается прежним, т.е. число степеней подвижности становится больше числа входов. Такой механизм не в состоянии выполнять свои функции в силу следующих причин:

- малые перемещения механизма не заданы однозначно малыми изменениями входных обобщенных координат.

- обобщенные движущие силы не могут уравновесить рабочую нагрузку, приложенную к выходным звеньям механизма.

- при заторможенных двигателях жесткость механизма по отношению к рабочей нагрузке оказывается равной нулю.

- низшая собственная частота механической системы при заторможенных двигателях и упругих приводах равна нулю.

Таким образом, проход механизма через особое положение невозможен. С другой стороны технологические требования могут привести к необходимости прохода через особое положение. В самом деле, формальным признаком особого положения является равенство нулю якобиана системы геометрических уравнений платформы. Если этот якобиан имеет разные знаки в технологически заданных начальном и конечном положениях, технологические требования невозможно выполнить, не проходя через нулевое значение якобиана, т.е. через особое положение.

В связи с этим возникает задача исследовать поведение замкнутого рычажного механизма с несколькими степенями подвижности в окрестности особого положения, оценить степень близости текущего положения к особому положению и найти способ избегать особых положений. В связи со всем, сказанным выше, тема данной диссертации представляется актуальной.

Целью диссертации является исследование кинематики и динамики манипулятора типа Стюарта, а также разработка методов управления движением, обеспечивающих обход особых положений. Обсуждаются различные варианты критериев качества конфигураций манипулятора.

Для достижения указанной цели в диссертации ставятся и решаются следующие основные задачи:

-составление уравнения геометрического анализа манипулятора, -решение уравнений геометрического анализа манипулятора, включая решение прямой и обратной задач геометрического анализа, -исследование точности позиционирования платформы, -исследование скоростей и ускорений точек манипулятора, а также угловых скоростей и ускорений его звеньев.

-исследование динамики манипулятора с жесткими звеньями.

-исследование кинематики и динамики манипулятора при учете упругости звеньев.

-определение собственных частот манипулятора при закрепленных двигателях и упругих передаточных механизмов.

-разработка критериев качества конфигураций манипулятора, основанных на оценке близости текущего положения к особому.

-решение задач управления движением манипулятора, обеспечивающее прохождения особых положений. В основе методов решения этих задач лежит использование избыточных входов.

Основной материал диссертации разделен на пять глав. В первой главе работы рассмотрены основные типы робототехнических систем и приведен обзор литературы, посвященной робототехническим системам с замкнутой кинематической цепью типа платформы Стюарта. Подобного рода механизмы нашли широкое распространение в современной технике в качестве различных имитаторов и тренажеров. В частности, на базе платформы Стюарта построены прецизионные устройства для механической обработки, сварки и окраски, имитаторы космических летательных аппаратов Другой важной областью применения такого рода устройств является станкостроение. Широко известен металлорежущий станок (Гексапод), в котором платформа Стюарта является существенной составной частью конструкции. Большое количество статей, касающихся вопросов геометрии и кинематики механизмов платформенного типа печатается в различных журналах и в интернете.

Во второй главе работы рассмотрены вопросы геометрии, кинематики и точности механизма платформы. В ней получены уравнения геометрии механизма, по существу являющиеся решением обратной задачи геометрии платформы, построен алгоритм решения прямой задачи геометрии платформы и показано, что прямая задача не может быть решена в окрестности особого положения механизма. Дифференцированием уравнений геометрического анализа по времени была получена система линейных уравнений относительно скоростей изменения выходных параметров платформы и показано, что определитель этой системы представляет собой якобиан системы геометрических уравнений, так что система эта не имеет решений в особом положении. Аналогично были получены ускорения выходных параметров платформы.

В заключительной части второй главы были рассмотрены вопросы точности позиционирования платформы. В качестве исходных (первичных) ошибок рассматривались ошибки положения центров шарниров на платформе и на основании, а также ошибки отработки обобщенных координат. Было показано, что ошибки положения платформы являются функциями обобщенных координат и неограниченно растут при приближении платформы к особому положению.

В конце главы рассмотрен пример решения прямой задачи геометрии платформы Стюарта на заданном программном движении, а также определения ошибок позиционирования по заданным первичным ошибкам на той же программной траектории.

Третья глава работы посвящена исследованию динамики механизма платформы с жесткими звеньями. Целью решения задачи динамики механизма является определение действующих сил и моментов, обеспечивающих заданное движение платформы, а также реакций в кинематических парах.

Решение задачи динамики необходимо во-первых для выбора двигателей, способных обеспечить выполнение всей совокупности программных движений, а во-вторых для оценки прочности жесткости и надежности всей механической системы. Из решения задачи динамики механизма легко видеть, что в окрестности особых положений движущие силы и реакции в кинематических парах неограниченно растут.

В заключительной части этой главы рассмотрен пример определения движущих сил и моментов на программной траектории.

В четвертой главе работы рассмотрены вопросы динамики механизма с упругими звеньями. При закреплении положения роторов всех двигателей и приложении к полюсу платформы системы сил и моментов, в упругих элементах возникают деформации, а также уравновешивающие силы упругости и моменты сил упругости. Деформация звеньев механизма вызывает статические ошибки положения платформы. В этой главе рассмотрен метод определения этих ошибок и было показано, что эти ошибки перестают быть малыми при приближении платформы к особому положению.

В заключительной части этой главы рассмотрено движение механизма, совершающего малые колебания вблизи положения равновесия. Такая ситуация возникает в механизме после окончания процесса позиционирования. Поэтому время, необходимо для затухания колебания должно добавляться ко времени позиционирования при оценке производительности механизма. Показано, что в окрестности особых положений низшая собственная частота таких колебаний стремится к нулю, из-за чего динамические ошибки также перестают быть малыми.

В пятой главе работы рассмотрены вопросы управления манипуляционной системой с замкнутой кинематической цепью. Целью решения этой задачи является обход особых положений. Для решения этой задачи рассмотрен метод использования избыточных входов. Механизм, кроме шести необходимых для движения, снабжается еще некоторым количеством ног (двумя). Эти ноги могут работать как одновременно с другими ногами, так и в режиме альтернативного включения. В первом случае все ноги равноправны, все привода одновременно отрабатывают программную траекторию. Во втором случае в каждый момент времени работают лишь шесть приводов, остальные не соединены с двигателями и соответствующие ноги являются пассивными. Каждому набору активных ног соответствует своя система уравнений геометрического анализа и, следовательно, свои особые положения. Поэтому положение, особое при одном наборе активных ног, не является таковым при другом. В случае, если механизм приближается к особому положению, система управления выбирает другую комбинацию активных ног, обеспечивающую наибольшее удаление от особого положения.

Результаты работы представлены в трех опубликованных статьях автора. Диссертация прошла апробацию на семинарах кафедры ТММ и на Неделе Науки СПбГПУ 2002 г.

12

Основные результаты и выводы

1. Пространственный манипулятор типа платформы Стюарта представляет собой замкнутый рычажный механизм с шестью степенями подвижности. В качестве обобщенных координат, однозначно связанных с выходными звеньями двигателей, удобно выбрать длины шести ног платформы. Если при этом число ног превышает шесть, оставшиеся ноги считаются пассивными и отключаются от приводов.

2. Решение прямой задачи геометрии платформы Стюарта, т.е. определение координат полюса платформы и углов ее ориентации как функции обобщенных координат, вообще говоря, неоднозначно, одному набору обобщенных координат может соответствовать различные конфигурации механизма.

3. В окрестностях особых положений, где различные конфигурации совпадают, решение прямой задачи невозможно. Так же невозможно определить в окрестности особых положений скорость и ускорение полюса платформы, а также угловые скорости и ускорения платформы. В окрестности особых положений ошибки положения платформы, вызванные малыми отклонениями геометрических размеров от номинальных и обобщенных координат от программных становятся немалыми.

4. При решении задачи исследования динамики манипулятора с жесткими звеньями осуществляется определение движущих сил, обеспечивающих заданное движение платформы, а также реакций в кинематических парах. Предполагалось, что кинематические пары являются реализацией идеальных связей. Результаты расчета движущих сил показали, что в окрестности особого положения движущие силы неограниченно растут.

5. Динамическая модель манипулятора с упругими звеньями получена в предположении, что элементы звеньев манипулятора и его кинематических пар деформируемы. В положении равновесия, при заторможенных двигателях возникают деформации в упругих элементах механизма, а также уравновешивающие силы упругости. Показано, что статические ошибки платформы в окрестности особого положения, когда определитель матрицы жестокостей стремится к нулю, неограниченно растут.

6. После окончания процесса позиционирования при заторможенных двигателях манипулятор совершает малые колебания вблизи положения равновесия за счет податливости передаточных механизмов и деформации опор. Результаты расчета собственных частот показали, что в окрестности особого положения низшая собственная частота стремится к нулю.

7. Для успешного решения задач управления замкнутыми механизмами необходимо оценивать качество последовательности конфигураций платформы вдоль траектории. В основе оценки должна лежать степень близости механизма к особому положению. Показано, что варианты законов управления практически одинаковы при использовании таких критериев переключения приводов:

- якобиан системы геометрических уравнений платформы;

- сумма квадратов обобщенных движущих сил;

- низшая собственная частота механической системы при учете упругости приводов.

8. Для обхода особых положений при переходе платформы из одной точки в другую предложено использовать избыточное число входов. Эти дополнительные входы могут работать как одновременно с другими, гак и в режиме альтернативного включения. В первом случае все ноги

135 равноправны, все приводы одновременно отрабатывают программную траекторию. Во втором случае в каждый момент времени работают лишь шесть приводов, а остальные два являются пассивными. При этом, на каждом шаге есть 28 вариантов наборов активных приводов.

Публикации автора по теме диссертации

А1.Коловский М.З., Петров Т.Н., Слоущ А.В., Альван Х.М. Оптимальное управление движением позиционирующей платформы Стюарта с избыточными входами// XIII Симпозиум, Динамика виброударных сильно нелинейных систем. Москва, 2001.

А2.Коловский М.З., Евграфов А.Н., Петров Г.Н., Семенов Ю.А., Слоущ А.В., Альван Хассан Мухаммед. Управление движением замкнутых многоподвижных механизмов// В сборнике "Формирование технической политики инновационных наукоемких технологий". Материалы научно-практической конференция. Т.1. СПБ.: Изд-во СПБГПУ. 2002г., стр 110-114.

АЗ.Альван Х.М., Слоущ А.В. Об управлении движением пространственной платформы с несколькими степенями подвижности // Теория механизмов и машин. 2003. №. 1.стр 63 - 69.

1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, Гл. Ред. Физ. мат. лит., 1968. 560с.

2. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

3. Бруевич Н.Г., Сергеев В.И. Основы нелинейной теории точности и надежности устройств. М.: Наука, 1976. - 134с.

4. Бурдаков С.Ф., Первозванский А.А. Динамический расчет электромеханических следящих приводов промышленных роботов. Учебное пособие. -JL: изд. ЛПИ.1982 72с.

5. Бурдаков С.Ф. Элементы теории роботов /механика и управление. Учебное пособие. -JL: изд. ЛПИ, Ленинград, 1985.-88с.

6. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М.: Высшая школа, 1986, 264с. : ил.

7. Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969.-370с.

8. Вейц В.Л., Коловский М.З., Кочура А.Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М.: Наука, 1984. - 351с.

9. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики: М.: Наука, 1986.224с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М. : Наука. Гл. Ред. Физ. -мат. Лит., 1988.

11. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. Изд. М. Высшая школа, 1969. 734с.

12. Динамика и управления роботами./ Под ред. Е.И. Юревича. М.: Наука. 1984.-336с.

13. Евграфов А.Н., Евграфова Е.А., Слоущ А.В. Управление движением плоской платформы с избыточными входами. Конференция по машинам и аппаратам текстильной и легкой промышленности, посвященная 60 литию механического факультета СПбГТУ, СПб, 1998.

14. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами : Учеб. Для вузов М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 400с., ил.

15. Каразин В.И. Теория механизмов и машин. Динамика энергетических машин. СПБГТУ, 1997.56с.

16. Каразин В.И. Теория механизмов и машин. Динамика механизмов. СПБГТУ, 1998. 24с.

17. Кикин А.Б., Пейсах Э.Е. Пакет программ для аналитических преобразований при кинематическом исследовании рычажных механизмов и манипуляторов. В кн.: Динамика и алгоритмы управления роботов - манипуляторов . - Иркутск: ИПИ, 1982, с. 17 -25.

18. Кожевников С.Н. Динамика машин с упругими звеньями. Киев : Изд. АН УССР, 1961. - 160с.

19. Колесников Д.Н., Душутина Е.В., Пахомова В.И. Введение в MATLAB с примерами решения задач оптимизации и моделирования: Учебное пособие. СПбГТУ. СПб. 1995 116с.

20. Коловский М.З., Маслов В.И. Элементы теории роботов и манипуляторов. Учебное пособие. ЛПИ, Ленинград, 1981.

21. Коловский М.З., Слоуш А.В. Основы динамики промышленных роботов. М.: Наука, Гл. Ред. Физ. мат. Лит., 1988. 240с.

22. Коловский М.З. О структуре механизмов и алгоритмах их кинематического и силового анализа. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992.No.4.c.815.

23. Коловский М.З. Теория механизмов и машин /Структура машин и механизмов. Геометрический и кинематический анализ. СПБГТУ. СПБ., 1993.

24. Коловский М.З. Теория механизмов и машин /Силовой расчет. Динамические характеристики механизмов. СПБГТУ. СПБ., 1994.

25. Коловский М.З. О методах кинематического и параметрического исследования механизма с помощью уравнений равновесия. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994.No.4.c.2328.

26. Коловский М.З. Теория механизмов и машин /Динамика машин. СПБГТУ. СПБ., 1995.

27. Коловский М.З. Автоматизация и управление в машиностроении, механотроника. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1997.No.2.c.9298.

28. Коловский М.З., Слоуш А.В. Об управлении движением замкнутых рычажных механизмов с избыточными входами. Труды 2 летней школы Нелинейные колебания 97 . Институт проблем машиноведения РАН. 1998.

29. Коловский М.З., Петров Г. Н., Слоущ А.В. Об определении собственных частот позиционирующей платформы с упругими приводами. Проблемы машиностроения и надежности машин.1999.No.5.c.2730.

30. Коловский М.З., Петров Т.Н., Слуощ А.В. Об управлении движением замкнутых рычажных механизмов с несколькими степенями свободы. Проблемы машиностроения и надежности машин.2000.No.4.c.

31. Корытко О.Б., Юдин В.И. К расчету собственных частот манипулятора промышленного робота в общем случае // Управление робототехническими системами и их очувствление. М.: Наука, 1983.

32. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: Статика и кинематика. Изд. М.: наука, 1982. 352с.

33. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961. 824 с.

34. Медведев B.C., Лесков А.Г., Ющенко А.С. Системы управления манипуляционных роботов. М.: Наука, 1978.

35. Петров Г.Н., Хлебосолов И.О. Теория механизмов и машин. Расчет машинного агрегата. СПБГТУ, 1997. 36с.

36. Платонов А.К. Геометрические преобразования в робототехнике. М.: Знание, 1988. 32с.( новое в жизни , наука, технике. Сер. "математика, кибернетика ";No4).

37. Поздеев Д.А. Динамика приводов промышленных роботов -манипуляторов: учеб. Пособие. Чебоксары, 1990. 56с.

38. Пол Р. Моделирование планирование траекторий и управление движением робота манипулятора, пере, с англ. Главная редакция физ. - мат. Лит. Изд. Наука, 1976, 140с.

39. Попов Е. П., Зенкевич С.Л., Верещагин А.Ф. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. Главная редакция физико -математической литературы изд. Наука, 1978, М., 400с.

40. Рыбак Л.А., Синев А.В., Пашков А.И. Синтез активных систем виброизоляции на космических объектах. М. : Янус - К , 1997. -160с., илл.

41. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. Гл. Ред. Физ. мат. Лит., М.: Наука, 1989. 368с.

42. Янг Д.С., Ли Т.У. Исследование кинематики манипуляторов платформенного типа. Конструирование. 1984. No.2. с.264272.

43. Atul Bajpai, Bernard Roth. Workspace and mobility of a closed loop manipulator. Int. J. Robotics res. 1986. V. 5.No.2. p. 131142.

44. Dietmair P. The Stewart Gough platform of general geometry can have 40 real postures. Advance in robot kinematics : Analysis and control,1998. pp. 7-16. Kluwer Academic publishers.

45. Doik Kim and Wankyun Chung. Analytic singularity equation and analysis of six DOF parallel manipulators using local structurization method. IEEE, Transaction on Robotics and Automation, August1999.vol.15, No.4, c.612621.

46. Dong Soo Kwon, Se Kyong Song . A microsurgical telerobot system with a 6 DOF haptic master device. Pro. Of the 2000 int. Symposium on mechatronics and intelligent mechanical systems for 21 century, Korea ,2000, pp. 65-71.

47. Drof Richard C., Robotics and automated manufacturing, Reston, Virginia, 1983. 190p.

48. Edward Kafrissen, Mark Stephans. Industrial robots and robotics, Reston, Virginia, 1984. 396p.

49. Fichter E.F. A Stewart platform based manipulator; general theory and practical construction. Int. J. Robotics res. 1986. V. 5.No.2. p. 157182.

50. Fu K.S., Gonzalez R.C., Lee C. S. Robotics, control, sensing, vision, and intelligence. McGraw Hill. 1987.580 pp .

51. Huang Yuzhen, Fu Guangwei, Jiang Xueqian, Wu Wenda. Forward displacement analysis of a special Stewart Gough platform.

52. Khalil W., Guegan S. A new method for the dynamic formulation of parallel manipulators, http://www.irccvn.fr.

53. Kolovsky M.Z., Evgrafov A.N., Semenov Y.A., Sloush A.V. Advanced theory of mechanisms and machines. Translated by Lilov L., Springer,2000.

54. Litvin F. L., Zhang Yi ,Parenti Castelli V., Innocenti C. Singularities, configurations, and displacement functions for manipulators. Int. J. Robotics res. 1986. V. 5.No.2. p. 5265.

55. Luc Baron, and Jorge Angeles . The direct kinematics of parallel manipulators under joint sensor redundancy. IEEE, Transaction on Robotics and Automation, February 2000.vol.16, No.l, с.1219.

56. McCarthy J. M. Dual orthogonal matrices in manipulator kinematics. Int. J. Robotics res. 1986. V. 5.No.2. p. 4551.

57. Min Jie Liu, Cong Xin Li, and Chong Ni Li. Dynamics analysis of the Gough Stewart platform manipulators. IEEE, Transaction on Robotics and Automation, February 2000.vol. 16, No. 1, c.9498.

58. Miomir Vukobratovic, Veljko Potkonjak. Dynamics of manipulation robots theory and application, Springer Verlag Berlin, Heidelberg. 1982.303р.

59. Nair R. Maddocks J.H. On the forward kinematics of the parallel manipulators. The International Journal of Robotics Research, Vol 13, No.2 , April 1994, pp. 171-188.

60. Paul В., Rosa J. Kinematics simulation of serial manipulators. Int. J. Robotics res. 1986. V. 5.No.2. p. 1431.

61. Se Kyong Song, Dong Soo Kwon. New methodology for the forward kinematics of 6 DOF parallel manipulators using tetrahedron configurations. IEEE int. On robotics and automation, 2001, pp. 1307 -1312.

62. Wesley E. Snyder, Industrial robots computer interfacing and control, Englewood Cliffs, New Jersey, 1985. 324p.