автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные алгоритмы для некоторых уравнений неклассического типа

Государствишый комитет Российской Федеращш по высшему образованию 1(Г, ,. , Яку1скш"|го«удар«тш;нный)1тзе{ма!тст

5 43 ^ им, М.К.Аммосова

1 1 НОЙ 193В

На правах рукописи

АНТОНОВ Юрий Саввич

УДК 519.633

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ НЕКЛАССИЧЕСКОГО ТИПА

05.13,18 Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканне ученой степени кандидата фшнко-ма тематических наук

Якутск 1996

Работа выполнена на кафедре информатики и вычислительного эксперимента математического факультета Якутского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, доцент Егоров И.Е.

Научный консультант - академик АТН РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Врагов В.Н.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Воеводин Л.Ф., кандидат физико-математических наук, доцент Попов C.B.

Ведущая организация - Институт математического моделирования Российской академии наук, г. Москва

Защита диссертации состоится " 11 " H^^i^ 1996 г.

в 4 ^ ' часов на заседании диссертационного совета

К 064.57.02 в Якутском государственном университете им.

М.К. Аммосова. (677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЯГУ.

Автореферат разослан " 4 " ^УК Т 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К- 064.57.02 /"

д.ф.-м.н. В.И. Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Неклассические задачи математической физики - это актуальный раздел математики. Многие из этих задач имеет лрко выраженное прикладное значение. Это, например, изучение математических моделей трансзвуковых режимов обтекания; определение характеристик вязких потоков газа, течений жидкостей при наличии излучения, ионизации; исследование явлений, происходящих при срыве потока, в следе за телом; различные задачи физики плазмы и т.д. Эти задачи, как правило, не поддаются аналитическому исследованию. В то же время разработано много различных методов их реализации, включая физические и вычислительные эксперименты. С другой стороны имеются классы задач, теоретически довольно хорошо исследованные, имеющие важное прикладное значение, но для которых численные алгоритмы реализации еще хорошо не изучены. К таким классам задач относятся, например, краевые задачи для уравнений смешанного типа, для вырождающихся уравнений, для уравнений, меняющих направление параболичности на решении, и т.д.

В данной работе из задач первого типа рассмотрена упрощенная система кинетических уравнений Власова. Из задач второго типа изучены различные краевые задачи для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени.

Цель работы: Разработка вычислительных алгоритмов для некоторых краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени и системы уравнений Власова-Максвелла.

Задачами исследования являются построение разностных схем; доказательство устойчивости и сходимости разностных схем; оценка точности численных алгоритмов; реализация численных алгоритмов.

Научная новизна:

1. Предложены, обоснованы и численно реализованы разностные схемы решения краевых задач для линейных

и нелинейных параболических уравнений с меняющимся направлением времени.

2. Для системы кинетических уравнений Власова предложен прием, позволяющий уменьшить погрешность вычислений.

3. Разработаны комплексы программ для персональных компьютеров, реализующие предложенные вычислительные алгоритмы.

Достоверность выводов и результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечиваются: -обоснованностью используемых математических моделей; -полученными априорными оценками;

-применением теоретически обоснованных и апробированных численных методов;

-проверкой работоспособности разработанных алгоритмов и оценкой погрешности счета программ на тестовых примерах;

-сравнением результатов, полученных в численных расчетах, с данными других авторов.

Практическая ценность. Полностью консервативный алгоритм в методе крупных частиц, рассмотренный в первой главе, может найти применение в различных задачах газовой динамики. Численные алгоритмы, рассмотренные во второй и третьей главах, могут применяться при расчетах противоточных течений в приближении пограничного слоя.

Апробация работы. Отдельные разделы и основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе-семинаре по неклассическим уравнениям (Новосибирск, 1981 г., Улан-Удэ, 1985 г.), на Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1994), на Международной конференции по математическим моделям и численным методам механики сплошных сред (Новосибирск, 1996), на Международном семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Самара, 1996), на семинарах по дифференциальным уравнениям ИМ СО АН СССР, НГУ, ЯГУ.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 работ. Работы [3]-[8] содержат формулировки основных результатов диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 наименований. Объем диссертации составляет 111 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, определены цель, задачи и методы исследования.

В первой главе рассматривается система кинетических уравнений Власова-Максвелла в одномерном приближении без учета действия магнитного поля. Для численной реализации этой системы применяется метод частиц, который в 1957 году был разработан Ф.Х. Харлоу и М.У. Евансом. В 1963 году М.А. Ритч в своей работе предложил другую модификацию этого метода. Дальнейшее развитие метод частиц получил в работах О.М. Белоцерковского, Ю.М. Давыдова, A.A. Самарского, B.C. Имшенника, В.А. Енальского, С.Г. Алиханова, П.З. Чеботаева, H.H. Анучиной, Ю.А. Березина, В.А. Вшивкова, В.И. Хоничева, В.И. Яковлева и др.

В данной работе решение системы уравнений Власова-Максвелла ищется с помощью полностью консервативного метода крупных частиц. Суть такого подхода состоит в том, что при условии движения только одной частицы сумма кинетической и потенциальной энергии должна давать полную энергию без дополнительных погрешностей. Задача существенно упрощается, если рассматривать не энергию, а разность энергий на соседних временных слоях. Рассмотрены случаи, когда частица не переходит границ пространственной ячейки; частица переходит границу; частица перескакивает через ячейки; частица отражается от границы. Показано, что во всех случаях, кроме случая перескакивания, полностью консервативный чи-

сленный алгоритм дополнительной погрешности в сумма-торное тождество, апроксимирующее интегральный закон сохранения энергии, не вносит. Изучено влияние предлагаемого численного алгоритма на импульс системы. При этом тоже рассматривается не сам импульс, а разность ипуль-сов на соседних временных слоях. Показано, что дополнительная погрешность в эту разность предлагаемым алгоритмом вносится только в случаях перескока через ячейки или нарушения квазинейтральности. Проведенные численные расчёты подтверждают эффективность предложенного вычислительного алгоритма.

Во второй главе рассматриваются итерационные численные алгоритмы для параболических уравнений с меняющимся направлением времени. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени относятся к уравнениям смешанного типа. Основы теории краевых задач для этих уравнений были заложены Ф. Трикоми и М. Чибрарио. Важные результаты в этом направлении были получены в работах Ж.Л. Лионса, Г. Фикера, A.B. Бицадзе, М.М. Смирнова, O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой, В.А.Солонникова и др. В конце 70-х годов В.Н. Враговым, С.А. Терсено-вым, С. Пагани, Г. Таленти, Б.А. Бубновым, А.И. Кожано-вым, И.Е. Егоровым и рядом других авторов было начато построение общей теории краевых задач для гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени впервые исследовались в работах М.С. Вауенди, П. Грисварда, O.A. Олейник, Е.В. Радкевича, A.M. Пахушева, О. Арена, A.A. Керефова. С тех пор такие задачи являются предметом многих математических исследований. Отметим, например, работы Т.Л. Джур&ева, Н.В. Кислова, С.Г. Пяткова, В.Е. Федорова, H.A. Романовой. В этих работах рассматриваются существование, единственность и устойчивость решений этих задач. Исследуется постановка, начальных и краевых условий для уравнений с переменным направлением по времени. Анализируется гладкость полу-

ченных решений. В работах C.B. Попова выводятся и исследуются условия ортогональности, которым должны удовлетворять классические решения краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени.

Работ по численным расчетам уравнений с меняющимся направлением времени очень мало. В работе П.Н. Вабищеви-ча предложен итерационный метод, основанный на декомпозиции области по альтернирующему методу Шварца. В работе В.И. Васильева и O.A. Тихоновой предложен итерационный процесс поеледовательного уточнения приближенного значения решения на линии изменения направления времени. В работе Н.М. Охлопкова для численной реализации первой краевой задачи применяется метод фиктивных областей.

В данной главе все предлагаемые автором алгоритмы являются итерационными.

В первом параграфе второй главы рассмотрена следующая задача

du ô^u

с(х) — = sign (д(х, t)) — + f{x,t), (x,t) Ê Qt,

и(х, 0) = <р(х), 1-2 < X < /4, «(г,Т) = Ф(аг), h <х< /3, (1)

u(lut) = /i_(t), u(U,t) = p+(t), 0 <t<T,

u(+£,0 = "(-Î.<)> 0<i<r,

Здесь c(r) > S > 0. Условие g(Ç,t) = 0 определяет достаточно гладкую неубывающую кривую х — £(t) такую, что /2 = £(0), /3 = £(Т). Будем считать, что g(x,t) > 0, когда (х, t) G Q и g(x,t) < 0, когда (x,t) G QЗдесь

Q+ = {(г, 01 Î(<) < x < /4, 0 < t < T}, Qï = {(x,t)\h <r<Ç(t), 0 <t<T}, Qt = Q$\JQï.

Для задачи (I) определяется обобщённое решение. Это обобщённое решение аппроксимируется сумматорным тождеством, которое, в свою очередь, заменяется разностной задачей

ChVt = г4г+) + /ь > (x-ih,t- кг) е <3+,

у? = ^(iTi), TV2/i < ih < N4I1 = Ц, (2)

= МИ- 0 < кт < Кг = Т;

ChVt^-Vzx }+fh, (z = ih,t = kr) EQt,

у? = Ф(г7г), = ЛГхЛ < ih < N3h, (3)

0 <fcr<T;

(уе+1-Уе)(<,+ ) = (%-^-1)<<г_). (4)

Здесь у, с/,, Д - разностные аналоги функций и, с, /,

JVift = /1; ЛГ2Л = Ь; = /з; N4A = /4; ЛГ{Л = 0 < (Т± < 1, h, т - шаги пространственно-временной сетки,

Из сумматорного тождества получаются оценки, гарантирующие при сг^ > 0.5, /г —>- 0, т —> 0 слабую сходимость в W2,0(Qt) линейных интерполяций решения задачи (2)—(4) к обобщенному решению t) задачи (1).

Лля численной реализации задачи (2)-(4) предлагается следующий итерационный процесс. На первом этапе на линии x^—h дается начальное приближение. На втором этапе решается задача (2),(4). Тем самым определяется решение на линии X£ + h. На последнем, третьем, этапе находится решение задачи (3)-(4), Сходимость итерационного процесса доказывается с помощью принципа максимума.

Численные расчёты проводились в случаях, когда: 1) = 0 - вертикальная прямая; 2) <?(£,<) ~ 0 - прямая

/ = х; 3) д(х,1) = 0 - линия вида £ = х2/Ч] 4) д{х,Ь) = 0 - пара вертикальных прямых. Коэффициент с(х) брался кусочно постоянным.

Проводилось также сравнение приближенных решений с точными на модельных задачах. Численные расчёты подтверждают пригодность используемых численных алгоритмов.

Во втором параграфе второй главы рассматривается задача (1) с однородными краевыми условиями. Основное различие этого параграфа в построении итерационного алгоритма. Если в параграфе 2.1 предыдущая итерация задается в узлах на некоторой линии, то теперь все узлы области или используются для вычисления следующей итерации. Это позволяет резко увеличить процесс перекачки граничных, начальных и других условий в следующую итерацию. Как показывает сравнение результатов этого параграфа с результатами первого, скорость сходимости увеличивается в десятки раз. Кроме того, применение этого метода упрощает алгоритм вычислений, так как задача не разбивается на несколько задач, а решается сразу сквозной прогонкой по всей области. Получаемые при этом коэффициенты прогонки удовлетворяют условиям, полученным в работах А.Ф. Воеводина. Численные расчёты показали, что в задачах со сложной линией смены направления времени даже необязательно, чтобы узлы сетки принадлежали этой линии. Сгущение пространственной сетки около области изменения направления времени позволяет получить приемлемую точность.

Различие этого параграфа от первого состоит также и в том, что при построении разностной схемы не используется сумматорное тождество. Это позволяет расширить класс рассматриваемых задач, так как теперь можно не накладывать условий ортогональности, которые для некоторых классов задач должны выполняться обязательно.

Из полученных оценок следует, что разностная задача при сг^ > 0.5 разрешима, и ее решение при /1 —► 0, г —► 0 2 1 0 1 О

слабо сходится в (6/,')Г) к решению из

2 1 о ! о

итЧЗтОП иг (Ят) дифференциальной задачи. Здесь <3т' = {(*,<)! к<х< Ц, Л' < * < Т— /г'}, = {(г'/1, кт)| N1/1 < гк < ДГ4/г, /г' < кт < Кт - Л'}, /г'> 0, & = 1,...,

Для численной реализации разностной задачи применяется итерационный алгоритм. Полученное приближённое реше-

2 1 ® 1 О

ние слабо сходится в И^' И-72' (Сд) к решению исход-

ной задачи.

В проведенных численных экспериментах рассматривались те же примеры, что и в первом параграфе. Полученные результаты показали преимущество алгоритма сквозного счета по сравнению с численным методом, рассмотренным в первом параграфе.

В третьем параграфе второй главы рассматривается следующая задача

ди д^и ,

и(ж,0) = <р(х), 0 < г < ¿,

(5)

и(х,Т) = ф(х), -1<х< 0,

«(±/,0 = /<±(<)> о < г < т.

Лля задачи (5) при некоторых условиях на решение выводятся условия склейки решений на линии х — £(<). Сходимость приближенного решения к решению дифференциальной задачи доказывается, как и во втором параграфе, разбиением разностной задачи на две задачи. Для реализации

предложенного численного алгоритма применяется итерационный процесс сквозного счета.

Результаты численных расчётов тестировались на задачах с точными решениями.

В третьей главе сначала рассматривается линейная задача, рассмотренная во второй главе. Лля этой задачи предлагается численный алгоритм решения, основанный на регуляризации разностной задачи. Затем, во втором параграфе, изучается модельное нелинейное уравнение с меняющимся направлением параболичности. Неклассические задачи для нелинейных уравнений рассматривались в работах Ж.-Л. Лионса, O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой и В.А. Солонникова, Б.Л. Рождественского и H.H. Яненко и др. Нелинейные уравнения с изменением направления параболичности также рассматривались многими авторами. В частности, можно привести работы С.Г. Пяткова, А.Г. Под-гаева, О.Б. Бочарова и В.Н. Монахова. В прикладных задачах нелинейные уравнения с изменением направления параболичности применялись в работах X. Бояджиева и В. Бешкова, H.H. Яненко, H.A. Ларькина, В.А. Новикова, Т.И. Зеленяка.

В первом параграфе третьей главы рассматривается задача

, .ди д2и , ,, ч . c(x,t)— = — - du + f(x,t), (x,t)eQT,

и(х,0) = 0, h<x<l2,

(6)

u(x,T) — 0, h <x< ¡2,

u(li, ¿) = 0, u(l2,t) = 0, 0 <t<T.

Условие c(£,t) = 0 определяет достаточно гладкую неубывающую кривую а; = пусть l\ = £(0), h = ЦТ). Предположим, что c(x,t) > 0, когда (x,t) £ Q^, и c(x,t) < 0, когда (г, t) € Of - Здесь

0+ = {(г, 1)\ф) <x<h, 0 <t<T),

Q^ = {(M)Ki <* <ф), 0 <t<T}, Qt = Q^\JQT-

Будем считать

d(x,t)> 0, 6 > 0, d — d/2 > 6, d+ ct/2 > 6.

Построен дискретный аналог неклассической задачи (6). Доказано, что решение разностной задачи на гладких решениях сходится в L2(Gh) к решению задачи (6) со скоростью 0(т + h2).

Для численной реализации разностной задачи применяется метод регуляризации. Из полученных оценок следует, что полученное приближённое решение сходится к решению разностной задачи со скоростью порядка 0(\fe).

Результаты численных расчётов сравнивались с результатами, полученными с помощью схемы сквозного счета. Были проведены также численные эксперименты на задачах с точными решениями. Хотя алгоритм сквозного счета дает меньшую погрешность, следует заметить, что рассмотренный в этом параграфе алгоритм более предпочтителен, так как позволяет не применять итераций.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается следующая модельная задача

ди c)2it , , . , _

U~dt = Jx? + (M) G Qt,

u(x,0) = <p(x)>0, 0<x<l,

(?)

u(x,T) = Ф(х) < 0, 0 < x < 1, u(0, t) = 0, «(1,0 = 0, 0 <t<T. Будем считать

1 fin

> 6 > 0.

d-i 2

ôt

Задача (7) аппроксимируется разностными выражениями. Решение полученной разностной задачи слабо сходится в

Lz{Gh) к обобщенному решению задачи (7). Для численной реализации разностной задачи применяются два алгоритма.

В первом нелинейный коэффициент берётся с предыдущего временного слоя. В этом случае для численного метода верны все рассуждения первого параграфа этой главы.

Во втором нелинейный коэффициент рассматривается на том же временном слое, где ищется решение. В этом случае для решения разностной задачи применяется итерационный процесс. Сходимость этого процесса следует из полученных в этом параграфе оценок.

Численные расчеты проводились на тестовых примерах. Оба алгоритма вполне пригодны для реализации рассмотренной задачи.

Основные результаты диссертации опубликованы в ра-

ботах:

1. Антонов Ю.С., Протодьяконова Л .Г. Полностью консервативный метод "крупных частиц" // Методы решения задач математической физики. Якутск, 1980. - С. 17-29.

2. Антонов Ю.С., Санников A.A. Численное решение одной задачи газодинамики // Методы решения задач математической физики. Якутск, 1980. - С. 30-33.

3. Антонов Ю.С., Иванова Е.В. Численное решение одного линейного уравнения с переменным направлением по времени // TV республиканская конференция молодых ученых и специалистов, посвященная XIX съезду ВЛКСМ. Часть II. Тезисы докладов. Якутск, 1982.- С. 9-10.

4. Антонов Ю.С. Численный алгоритм для одного модельного параболического уравнения с переменным направлением по времени // Методы прикладной математики и математической физики: Сборник научных трудов. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1987. - С. 29-31.

5. Антонов Ю.С. Численный алгоритм нахождения обобщенного решения для одного модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Международная конференция по математическому моделированию.

Тезисы докладов. Якутск, 1994. - С. 11-12.

6. Антонов Ю.С. Условие склейки решений для одного модельного уравнения с переменным направлением по времени. (Рукопись деп. ВИНИТИ, №5288-84) б с.

7. Антонов Ю.С. Численное решение одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Математические заметки ЯГУ. Якутск, 1996. Т. 3, №1. - С. 3-8.

8. Антонов Ю.С. Разностные схемы сквозного счета для параболических уравнений с переменным направлением времени // Международная конференция по математическим моделям и численным методам механики сплошных сред. Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. - С. 130-131.