автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение сингулярных интегральных уравнений методом Монте-Карло в задачах механики

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Сингулярные интегралы.

1.1.1 Обзор результатов.

1.1.2 Основные понятия сингулярных интегралов.

1.2 Метод статистического моделирования и краевые задачи.

1.2.1 Идея метода Монте-Карло и его преимущества

1.2.2 Применение метода статистического моделирования при решениии краевых задач.

2 Статистические оценки для численного решения первой основной задачи теории упругости

2.1 Постановка задачи.

2.2 Решение интегрального уравнения.

2.3 Оценки, полученные методом статистического моделирования

2.4 Реализация алгоритма.

3 Статистические оценки для градиента решения в задаче Неймана

3.1 Вывод интегрального уравнения.

3.2 Исследование интегрального уравнения.

3.3 Статические оценки для градиента.

3.4 Моделирования вихрей для решения уравнений Навье-Стокса. Общая схема моделирования

3.5 Реализация алгоритма.

3.6 Пробные расчеты.

Метод статистического моделирования традиционно широко применяется при численном решении задач, таких как задача Дирихле, уравнения Больцмана, уравнения переноса, в которых решение представляется в виде ряда Неймана или его нелинейного аналога.

Особую практическую значимость алгоритмам статистического моделирования придает тот факт, что они допускают естественное распараллеливание. Дополнительную привлекательность имеют те алгоритмы, в которых вычисленные величины могут быть представленны в виде функционала от решения интегрального уравнения, что позволяет оценивать значения во многих точках при однократном моделировании решения интегрального уравнения.

В последние годы предложены новые алгоритмы Ермаковым С.М., Некруткиным В.В. и Сипиным А.С. [19], Сабельфельдом К.К., Симоновым Н. А., Курбанмурадовым О. А. [52], Арсеньевым Д.Г., Ивановым В.М., Кульчицким О.Ю. [1], расширяющие сферу применения этого метода на решение интегральных уравнений с сингулярным ядром, для которых представление в виде ряда Неймана не имеет места. К таким уравнениям приводят, например, задачи теории упругости, гидромеханики. Однако дисперсия оценок в этих алгоритмах была не достаточно изучена или результаты были получены при дополнительных ограничениях ( например, только для случая выпуклых областей).

В настоящей диссертаци предложены новые алгоритмы для решения сингулярных уравнений, (в частности, задач механики). Разработанные алгоритмы реализованы для ряда модельных примеров.

Диссертация состоит из двух частей: первая часть посвящена исследованию сингулярных интегральных уравнений теории упругости и получению оценок с ограниченной дисперсией для их численных решений, а во второй предложены алгоритмы для вычисления градиента от решения некоторого сингулярного уравнения для области в R2 с границей, состоящей из конечного числа гладких кривых. Особое внимание уделено поведению полученных решений вблизи границ области.

Определим основные цели работы —представление решений некоторых уравнений с сингулярным ядром в виде рядов многомерных интергалов, к которым применим метод статистического моделирования. построение статистических оценкок с конечной дисперсией для численных решений сингулярных уравнений при некоторых условиях на область поиска решения. Исследование поведения этих решений в малых окрестностях границы области. реализация разработанных алгоритмов для ряда модельных примеров.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации даются основные понятия теории сингулярных интегралов и краткий обзор основных результатов, полученных предыдущими исследователями.

Далее описываются основная идея метода Монте-Карло, его преимущества и применение для решения краевых задач, предложенное ранее в работах по этой тематике.

Вторая глава диссертации посвящена решению сингулярного интегрального уравнения полученного в результате преобразования уравнений Ламе и построению статистических оценок с конечной дисперсией для этого решения.

В разделе 2.1 дается постановка задачи.

Ищется решение нахождения вектора смещения для упругого изотропного тела, описывающего уравнениями Ламе в виде функционала, плотность которого удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению.

В разделе 2.2 полученное сингулярное уравнение преобразуется к интегральному уравнению, у которого ядро и свободный член ограничены, а решение преобразованного уравнения представляется по методу Фредгольма.

В разделе 2.3 ищутся оценки Монте-Карло с ограниченой дисперсией для численного решения полученного уравнения. Стоит исследовать уменьшение дисперсии в дальнейшем.

В разделе 2.3 решается первая задача теории упругости для шара, использующая алгоритм, полученный вглаве II. Задается несимметричное граничное условие. Приводятся графики результатов.

В третьей главе строятся статистические оценки для градиента решения задачи Неймана для более широкого класса областей и применяются полученные оценоки при решении уравнений Навье-Стокса.

Глава, III условно состоит из двух частей. В первой части строятся статистические оценки для градиента, которые, в отличие от уже известных, не используют предположения о выпуклости области [20] или ее гладкости [61]. Граница области предполагается состоящей из конечного числа кусков гладких кривых. В начале получено представление градиента достаточно гладкой гармонической функции через значения ее производных на границе. Затем на основе этого представления выводится интегральное уравнение для касательной производной на границе. Полученное уравнение преобразуется таким образом, чтобы в новом интегральном уравнении ядро и свободный член были ограничены (это удалось сделать только для случая, когда углы на границе являются прямыми). Решение преобразованного уравнения представляется по методу Фредгольма. Для этого представления строятся статистические оценки с ограниченной дисперсией. Полученные оценки с помощью интегрального представления, полученного в первом параграфе, затем используются для оценивания градиента функции внутри области. Заметим, что данная схема позволяет производить одновременное оценивание в любом количестве точек.

Во второй части главы III приводится общий алгоритм метода моделирования вихрей для решения уравнений Навье-Стокса. В этом методе исходные уравнения приводятся к виду диффузионного движения распределения вихрей. Последнее аппроксимируется конечным набором вихревых элементов, которые диффундируют вдоль поля скоростей, порожденного самими этими элементами. При этом учитывается то условие, что поле скоростей не может пересекать неподвижную границу. Именно это условие и выражается в виде некоторой задачи Неймана. Поскольку на твердых стенках скорость жидкости должна совпадать со скоростью стенки, то разница в указанных скоростях порождает новые вихревые элементы.

Этот алгоритм был реализован и опробован на тестовых задачах. Моделировалось движение жидкости в каверне с движущейся стенкой при различных числах Рейнольдса. Приведены графики расчетов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации.

1. Решение сингулярных интегральных уравнений представлено в виде рядов многомерных интегралов, для вычисления которых применим метод Монте-Карло.

2. Построены несмещенные оценки Монте-Карло с конечной дисперсией для численного решения уравнений Ламе для областей с границей, которая представляет собой связную замкнутую поверхность Ляпунова.

3. Построены статистические несмещенные оценки, имеющие конечную дисперсию вплоть до границы для градиента решения задачи Неймана для более широкого класса областей, которые не используют предположения о выпуклости области или ее гладкости. Граница области предполагается состоящей из конечного числа кусков гладких кривых.

4. Проведены численные эксперименты, в частности решена первая основная задача теории упругости для шара при задании не симметричного граничного условия, используя найденные оценки. Приведены графики расчетов. произведена апробация полученных оценок при решении уравнений Навье-Стокса. Этот алгоритм реализован и опробован на тестовых задачах. Моделировалось движение жидкости для различных областей. Приведены графики расчетов.

Данная работа дает возможность провести сравнительный анализ полученных решений и экспериментальных данных.

Работа носит теоретический и практический характер. Результаты полученные в диссертации могут быть использованы при дальнейшем изучении построения статистических оценок для численного решения сингулярных интегральных уравнений и использовать полученные оценки для решения конкретных задач.

Заключение

1. Арсеньев Д.Г., Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Адаптивные методы вычислительной математики и механики. Стохастический вариант. СПб.: Наука, 1996. 69с.

2. Арсеньев Д. Г. Разработка статических методов решения интегральных уравнений теории упругости: Автореф. дисс. .канд.тех.наук. Спб., 1994. 16 с.

3. Апфиногенов А. ЮЛифанов И. К., Лифанов П. И. Обобщенные сингулярные интегралы и уравнения с ними.//Матем. сборник. 2001. V. 192. No. 8, С. 3.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях (и их приложение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике), М., Наука, 1985. с. 256.

5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.:Мир, 1984. 494 с.

6. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.:Мир, 1982. 248 с.

7. Булавский Ю.В. Вычисление решения интегрального уравнения второго типа. // Материалы VII Всесоюзного совещания "Методы Монте Карло в вычислительной математике и математической физике". Новосибирск, 1985, с. 117-120.

8. Бурчуладзе Т.В., Гегелия Т.Г. Развитие метода потенциала в теории упругости. Тбилиси: Мецниереба, 1985. 226 с.

9. Веку а Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. 379 с.

10. Владимиров B.C. О применении метода Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и соответствующейсобственной функции линейного интегрального уравнения. Теория вероятностей и ее применения. 1956. N 1. С. 113-130.

11. Гелъфанд И.М., Чепцов Н.Н. О численном вычислении континуальных интегралов. ЖЭТФ. 1956. 31, N6, 1106.

12. Гапдель Ю. В., Лифанов И. К., Матвеев А. Ф. Численное решение смешанных задач математической физики, сводящихся к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. Москва, Ин-т Теоретической и Экспериментальной Физики. Препринт, 1984.

13. Ганделъ Ю. В., Мищенко О. В. Математическое моделирование в электродинамике на базе сингулярных интегральных уравнений : проект програмной системы // Математическое моделирование. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996. с. 70-74.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.640 с.

15. Гурса Э. Курс математического анализа, т.З, ч.2, Москва, 1934.

16. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963. 860 с.

17. Елепов Б.С.; Кронберг А.А., Михайлов Г.А., Сабелъфелъд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. / Отв. ред. Б.А. Каргин. Новосибирск: Наука, 1980. 174 с.

18. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. 2-у изд. М.: Наука, 1975. 471 с.

19. Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. 2-у изд. М.: Наука, 1982. 296 с.

20. Ермаков С. М., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики Москва, 1984.

21. Жиглявский А. А. Математическая теория глобального случайного поиска. Л: Изд-во ЛГУ, 1985. 293 с.

22. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. О различных алгоритмах численного решения задачи Дирихле методами статистического моделирования. // Тр. ЛГТУ. Сер. Механика и процессы управления. 1991. N 438. С. 111-117.

23. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Статистические методы численного анализа с адаптацией: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1994. 120с.

24. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент, М., ТОО "Янус", 1995. 520с.

25. Лифанов И. К., Лифанов П. И. Об общем понятии сингулярного интеграла в краевых задачах математической физики. Журнал "Электромагнитные волны и электронные системы", 2000, N5. С. 1724.

26. Камаева Л.И., Сеничак В.М., Хомченко А.Н. Ускоренные алгоритмы метода Монте-Карло для решения задачи Дирехле для уравнения Пуассона. Киев, 1992. 24 с. Деп. в Укр. ИНТЭИ 28.07.92, Ш162-Ук92.

27. В.И. Крылов Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд. М.: Наука, 1967. 500с.

28. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории установившихся упругих колебаний. / Успехи мат. наук. 1953. Т. 8, вып. 3. С. 35-49.

29. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

30. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

31. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. 1988. Т. 32. С. 4249.

32. Марданов А. А. Новые квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов и приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Автореф. дис. . канд. техн. наук. СПб., 2000. 16 с.

33. Мерлин А.В. Об одной квадратурной формуле для вычисления сингулярного интеграла//Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары, 1992. Задачи по элементарной математике. Чебоксары, 1996.

34. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительныеаспекты и приложения в механике. / Под.ред. Т. Круза, Ф. Риццо. М.: Мир, 1978. 210 с.

35. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. Москва, 1957.

36. Михлин С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. 2-е изд. М.: Гостехиздат, 1949. 380с.

37. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Москва, 1977. С. 140 142, 280 - 284.

38. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Москва, 1962. 254 с.

39. Михлин С.Г. К теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, Вест. Ленингр. ун-та, N1, 1956. С.3-24.

40. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Граничные интегральны уравнения и задачи теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 88 с.

41. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд во С. - Петерб. ун - та, 1994. 272 с.

42. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1994. 272 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

44. Мусхелищвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.708 с.

45. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

46. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с. 12.

47. Палъмов В.А., Кульчицкий О.Ю., Иванов В.М. Интегральные уравнения теории вибропроводности и полустатистический метод их численного решения.// Л., 1979. 64 с. Деп. в ВИНИТИ 28.06.79 N 2369-79

48. Партон В.З., Перлип П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

49. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала. 1919. Русский перевод этой статьи помещен в первом выпуске "Успехов математических наук", С. 200-227.]

50. Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1989. 280 с.

51. Сабельфельд К.К., Симонов Н. А., Курбанмурадов О. А. Алгоритмы случайного блуждания на границе. 1992.

52. Сретенский Л.Н Теория ньютоновского потенциала.// М.: Гостечиздат, 1946. 318 с.

53. Свешников А. Г., Боголюбов А. НКравцов В. В. Лекции по математической физике. Москва, 1993. С. 126-132.

54. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.:Наука 1973. 311 с.

55. Фрейдин М.И. Диффузионные процессы с отражением и задача с косой производной на многобразии с краем. Теория вероятносстей и ее применение. 1963, 13, N 2, С.281-283.

56. Хвеладзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр. ин-та матем. Ан ГруССР, 23, 1956, С. 3-158.

57. Редкол.: Юсупова Н.И.и ^.Математическое моделирование в решении научных и технических задач./ Сб.ст.-Уфа: Технология,20-. Вып.2 2001. 104с.

58. Янович Л.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гаусовым мерам. Минск: Наука и техника, 1976.

59. Brosambler G.A. A probabilistic solution of the Neumann problem.// Math.Scand. 1976. N 38. P. 137-147.

60. Ermakov S.M., Kashtanov Y.N. Monte Carlo Neumann function // Proceedings of the 2nd St. Petersburg Workshop on Simulatiox. SPb., 1966. P. 69 74.

61. Cameron R.H. A "Simpsons rule"for the numerical evaluation of Wiener's integral in fuctional space. Duke Math. Journ. 1951, 18, e 1, P. 111.

62. Chorin A. J. Numerical study of slightly viscous flow //J. Fluid Mech. 1973. Vol. 57. N 4. P. 785 -796.

63. Ghoniem A. F., Gagnon Y. Vortex Simulation of Laminar Recirculating Flow // J. Сотр. Physics. 1987. Vol. 68. N 2. P. 346 376.

64. Kashtanov Y. N.7 Kuchkova I. N. Monte Carlo Algorithms For Neumann Boundary Value Problem Using Fredholm Representation.// Advances in

65. Stochastic Simulation Methods. N.Balakrishnan, V. Melas, S. Ermakov, eds. Birkhauser. Boston, Basel, Berlin, 2000, p.17-67.

66. Ladopoulos E. G. Singular Integral Equations, Linear and Non-Linear Theory and its Applications in Science and Engineering. Springer-Verlag, Berlin, New York, 2000.

67. Lifanov I.K. Singular Integral Equations and Discrete Vortices, VSP, Utrecht, The Netherlands, 1996. p. 476.

68. Morozov N., Mikhlin S., Paukshto M. The Integral Equation on the theory of Elastisity, Teubner Verlag, 1995

69. Sabelfeld К. K. Monte carlo Methods in boundary Value Problem. // Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1991.

70. Sabelfeld К. K.7 Shalimova I.A. Spectral Means for PDEs. VSP, The Netherlands, Utrecht. 1997.

71. Sabelfeld К. K., Shalimova I.A. Random walk on sphere methods for iterative solution of elasticity problem/ Monte Carlo Methjds and Appl., Vol.8, No.2, 2002, pp 171-202.

72. Trikomi F.G. Formula d'inversione dell'ordine di due integrazioni doppie "con asterisco", Rend. Accad. Naz. Licei, 3, ser. 6a, fasc. 9, 1926, 535-539.

73. Uba P. A piecewise polynomial approximation to the solution of a weakly singular integral equation of a certain class. In "Problems of pure and applied mathematics". Tartu 1990, pp.205 -207.

74. Yu Dehao. A system of plane elastisity canonical integral equations and its application // J.Comp. Math. 1986. Vol. 4, еЗ. P. 200-211.