автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование искусственного замораживания фильтрующих грунтов

На правах рукописи

Павлова Наталья Васильевна

Численное моделирование искусственного замораживания фильтрующих грунтов

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

10 г:ол ¿013

Якутск - 2013

005531606

005531606

Работа выполнена на кафедре информационных технологий и в Центре вычислительных технологий Института математики и информатики СевероВосточного федерального университета имени М.К. Аммосова.

Научный руководитель: Вабищевич Петр Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Головизнин Василий Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом Института проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, Муратова Галина Викторовна, доктор физико-математических наук, профессор, зам. директора Южно-российског регионального центра информатизации ЮФ,

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и

математической геофизики СО РАН

Защита состоится 12 июля 2013 года в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.306.04 при Северо-Восточном федеральном университете имени М. К. Аммосова, расположенном по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Белинского 58, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан 11 июня 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Саввинова Н.А.

бщая характеристика работы

Актуальность работы. Исследование современных прикладных проблем азирустся на применении информационных технологий. Интеллектуальным ядром нформационных технологий является математическое моделирование. Вычнсли-ельные средства (компьютеры и численные методы) делают возможным описание ■войств исследуемого объекта с необходимой полнотой и детальностью на основе гдекватных математических моделей. Исследуемые математические модели вклю-тют системы связанных друг с другом нестационарных нелинейных уравнений с астными производными, системы обыкновенных дифференциальных и алгебраичс-ких уравнений.

Эффективное решение большинства прикладных задач предполагает широкое гспользованис компьютеров и, следовательно, разработку ориентированных на компьютеры численных методов. Вычислительные технологии используются при решении стационарных и нестационарных краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными в сложных расчетных областях.

Исследование изменений температурного режима грунтов является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства объектов в районах многолстнсмсрзлых грунтов. При сезонном оттаивании мерзлых грунтов изменяются их физико-мсханичсские свойства, что приводит к нарушению их несущей способности. Для стабилизации и укрепления инженерных сооружений используется метод замораживания грунтов. Искусственное замораживание фильтрующих трупов применяется практически во всех областях строительства и горного дела. Такая технология, например, широко используется при проходке шахт, тоннелей, метрополитенов, выемке котлованов глубоких фундаментов, гидротехническом строительстве для устройства противофильтрационных завес, предотвращающих проникновение в различные водоносные горизонты больших объемов воды с растворенными вредными веществами.

Научное обоснование технических решений проводится с использованием методов математического моделирования технологических процессов взаимодействия оснований с грунтами. Математические модели процессов искусственного замораживания фильтрующих грунтов представляют собой системы нестационарных нелинейных многомерных уравнений, описывающих тепло- и массоиеренос при наличии фазовых превращений.

При моделировании промерзания грунта помимо фазовых переходов нужно учитывать движение воды. Принципиальный факт, который усложняет численное решение задачи, связан с необходимостью расчета гидродинамических процессов в изменяющейся (динамической) расчетной области. Численное исследование таких процессов может проводиться на основе вычислительных алгоритмов сквозного счета.

Прикладные задачи связаны с необходимостью решения краевых задач в реальной геометрии. Расчетная область является трехмерной и достаточно сложной. Для учета геометрических факторов должны использоваться достаточно большие нерегулярные расчетные сетки. Такие особенности учитываются, в частности, применением конечно-элементных аппроксимаций по пространств}'.

Особенностью моделирования термостабилизации фильтрующих грунтов является ярко выраженная геометрическая разномасштабность моделируемых объектов. При прикладном моделировании, даже при использовании существенно неравномерных расчетных сеток, приходится ориентироваться на сетки достаточно больших размеров: типичная расчетная сетка содержит десятки миллионов ячеек. Численное решение таких задач в настоящее время невозможно без применения вычислительных систем параллельной архитектуры.

Целью диссертационной работы является разработка вычислительных алгоритмов и прикладного программного обеспечения, ориентированных на современные компьютеры параллельной архитектуры, для численного моделирования искусственного замораживания фильтрующих грунтов и его использование для расчстно-тсорстического исследования прикладных проблем искусственного замораживания.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:

• Построение вычислительных алгоритмов сквозного счета для численного решения задач фильтрации жидкости в мерзлых грунтах с учетом фазовых превращений;

• Создание прикладного программного обеспечения современных параллельных вычислительных систем кластерного типа для численного исследования задач фильтрации затвердевающей жидкости в сложных трехмерных областях;

• Тестирование разработанных вычислительных алгоритмов и программного обеспечения на содержательных тестовых двумерных задачах;

• Численное моделирование проблемно-ориентированных задач искусственного замораживания при стабилизации и укреплении инженерных сооружений в районах вечной мерзлоты.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертационной работе олучены следующие научные результаты:

• Разработаны вычислительные конечно-элементные алгоритмы сквозного счета и прикладное программное обеспечение вычислительных систем параллельной архитектуры для численного исследования двух- и трехмерных моделей тспло-и массоперсноса в фильтрующих грунтах с учетом фазового перехода;

• Проведено численное моделирование искусственного замораживания при стабилизации и укреплении инженерных сооружений в районах вечной мерзлоты: температурная стабилизация нефтяных и газовых скважин, укрепление фундаментов зданий и сооружений, замораживание грунтов при проходке стволов рудников или шахт через фильтрующиеся грунты.

Результаты, изложенные в диссертации, имеют большое практическое значение, азработанные вычислительные алгоритмы и программное обеспечение позволяют роводить численные исследования прикладных задач искусственного заморажпва-шя грунтов на мощных вычислительных системах кластерного типа для оценки схничсских решений по температурной стабилизации и укреплении инженерных сооружений в районах многолетнемерзлых грунтов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Всероссийская научная конференция и школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ"(Якутск, 2004, 2007, 2008);

• Всероссийская научная конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2003, 2008);

• Международная конференция по вычислительной математике (МКВМ) (Новосибирск, 2004);

• International Yonng Scicntists Confcrcncc on Mathcmatical Modeling (Liniy, China, 2010);

• VI Международная конференция по математическому моделированию (Якутск. 2011);

• The Fifth International Confcrcncc on Porous Media and Annual Meeting of the International Society for Porous Media (InterPore) (Praguc, Czcch Rcpublic, 2013),

• The 9th International Conference on Large-Scale Scientific Computations (Sozopol, Bulgaria, 2013).

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РС(Я) (2008), грантов РФФИ - Дальний Восток (проект №12-01-98514) и РФФИ (проект №13-01-00719А).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 18 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК [1, 2], 4 статьи [3-6] и тезисы конференций [7—18].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа содержит 52 рисунка и 9 таблиц. Общий объем диссертационной работы составляет 109 страниц.

Содержание работы

Во введении дана краткая характеристика задач тепло- и массопсрсноса при искусственном замораживании фильтрующих грунтов, обоснована актуальность разрабатываемых и исследуемых в диссертации вычислительных алгоритмов и методов решения прикладных задач. Кратко излагается содержание диссертации по главам и дана характеристика основных результатов работы.

В первой главе приводится численное исследование задач промерзания грунта при наличии фазовых превращений. Для моделирования тепловых процессов используется классическая модель Стефана, характеризующаяся заданием постоянной температуры Т = Т* на границе фазового перехода S = S(t). Эта граница разделяет расчетную область Q на две подобласти и (мерзлая и талая зоны):

Q+(f) = {х | х € П, Т{х, t) > Т*}, Ü'(t) = {х | х е П, Т(х, t) < Т*}.

Процесс распространения тепла в пористой среде описывается уравнением теи-юпроводности:

ВТ

(а(ф)+р+1ф') — -<Иу(\(ф)&та,АТ) = 0, ж € П. (1)

Коэффициенты теплоемкости и теплопроводности заданы следующим образом:

а{ф) = р'сГ + ф(р+с+ - р~с~), (О, Т <Т%

X(ф) = Х~ + ф(Х+ - Л"), ~ \ 1, Т>Т\

при условии, что

с~р~ = (1 - т)сжрзк + тс1р1, X' = (1 - т)Хт + тпЛ,:, с+р+ = (1 - т)сЯ1:рж. + тс.и,р.ш, Л+ = (1 - т)А.,,. + тХт.

Здесь с - удельная теплоемкость, р - плотность, Ь - удельная теплота фазового перехода, т - пористость, индексы ее, ик г обозначают соответственно каркас пористой среды, воду и лсд.

Вычислительные алгоритмы сквозного счета базируются на предположении, что фазовые превращения происходят в малом интервале температур [Т* — Д, Т* + Д] . В качестве функции ф можно взять ее кусочно-линейное приближение

Фа =

о, т <т* - д

Т-Т" + А „

2Д

1, Т >Т* + А.

А < Т < Т* + Д, Ф'а = <

0, Т < Т* - Д, Т*-А<Т<Т* + А,

1, Т>Т*+А,

Тогда вместо уравнения (1) будем использовать следующее уравнение:

ВТ

(а(фА) + р,Ьф'А) ^ - а^(Х(фА) 8га(1Т) = 0. (2)

Полученное уравнение (2) является нелинейным параболическим уравнением и дополняется соответствующими начальным и граничными условиями.

Для численного решения задачи проводится дискретизация по пространству методом конечных элементов. Для аппроксимации по времени используется чисто-неявная схема с линеаризацией с предыдущего временного слоя. Численное решение задачи проводится в общей двумерной и трехмерной постановках.

На модельной двумерной задаче исследуется зависимость точности приближенного решения от вычислительных параметров: сеток по пространству, шага по времени и параметра сглаживания Д. Ниже приводятся характерные результаты численных расчетов температуры с учетом фазового перехода при шаге по времени г = 0.1

Рис. 1. Расчетная сетка и граница фязового перехода па различные моменты времени: черный цвет - Д = 0.5, серый - Д — 1 и белый - Д = 2.

Таблица 1. Время счета (сек.) па разных сетках Кол-во процессов

14 807 9.44 7.09 5.31

118 456 76.84 44.71 24.32 13.92 -

947 648 701.4 377.55 209.2 112.1 73.29 -

7 581 184 - - 2041.7 1145.4 668.2 366.48

суток на треугольной ссткс из 2000 ячеек со сгущением вблизи замораживающей колонки. На рис.1 показано, что большой интервал сглаживания, как и слишком малый. приводит к потере точности. В рассматриваемых задачах наилучшим выбором является Д « 1° С.

При приближенном решении трехмерных задач особое внимание уделяется исследованию эффективности распараллеливания. Типичные расчетные данные на различных сетках в зависимости от количества запущенных процессов на вычислительном кластере представлены в табл. 1. При согласовании размера используемых расчетных сеток и числа процессоров обеспечивается высокая степень параллслиза-ции используемого вычислительного алгоритма.

Во второй главе рассматривается задача тепло- и массопсрсноса в фильтрую-

цих грунтах с учетом фазового перехода. Математическая модель включает уравне-шс неразрывности для поровой влаги и закон Дарен. Пренебрегая сжимаемостью, 'равнение для определения пластового давления в области талой зоны имеет слсду-ощий вид:

- = 0, х€ (3)

где х = к _ тензор абсолютной проницаемости пористой среды, р,„ - плотность флюида, р - вязкость флюида.

Уравнение (3) дополним типовыми граничными условиями Дирихле и Неймана на Гд- и Г£). Отдельно выделим подвижную границу фазового перехода 5 на которой задано отсутствие потока, = Б и Гд- и Гу.

Проблемы расчета давления порождены тем, что задача является задачей с подвижной границей 5. Для численного решения задачи без перестроения расчетной сетки воспользуемся методом фиктивных областей, который основывается на переходе к решению задачи в расширенной области. Приближенное решение, зависящее от параметра продолжения е, будем искать во всей расчетной области П. При использовании варианта метода фиктивных областей с продолжением по старшим коэффициентам решение определяется из уравнения

- (Ну (хе gradр) — 0, х € П. (4) Здесь разрывный коэффициент хе(хЛ) задастся выражением

хе(®,*) = < 2

I £ , х € ,

при достаточно малом е. При таком выборе коэффициентов продолжения уравнения (4) моделируют фильтрацию в области П~ с очень малым коэффициентом ке —> 0 при параметре продолжения £ —» 0.

Для численного исследования задачи фильтрации с движущейся границей фазового перехода используется метод фиктивных областей. Численная реализация модели в общей двумерной и трехмерной постановках базируется на методе конечных элементов, программное обеспечение строится с использованием компонент вычислительного пакета РЕшСЭ. Для модельной двумерной задачи исследовалась зависимость точности численного расчета давления от параметра продолжения метода фиктивных областей, от степени аппроксимацпоиного полинома на различных сетках. Полученные численные результаты сравниваются с эталонным решением задачи

Рис.. 2. Распределение давления в области (слева) ив!! (справа): черный цвет - эталонное решение, белый цвет - метод фиктивных областей

на очень подробной сетке. Повышение степени полинома не приводит к значительному улучшению точности решения, но ведет к значительному увеличению времени счета. Влияние параметра продолжения (коэффициент фильтрации в фиктивной области) в рассматриваемой задаче не проявляется при е < Ю-1.

Численное решение задачи в трехмерной области распределения давления рас- | считывалось на сетке из 947 648 тетраэдров. Задача решалась во всей расчетной области О при е = 10~5. В качестве эталонного решения рассматривается приближенное решение на сетке, которая содержит 2 686 976 ячеек, в области П+. Рсзульта- ' ты сравнения приведены на рис. 2, на которой представлены изобары в серединной плоскости.

В третьей главе рассматриваются прикладные задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов с использованием охлаждающих устройств:

(

!

» температурная стабилизация нефтяных или газовых скважин, |

|

• укрепление фундаментов зданий и сооружений, ,

• замораживание грунтов при проходке стволов рудников или шахт.

Для численного моделирования процессов строятся математические модели тсп-ломассопсреноса с учетом температуры замораживающей жидкости в сезонных охлаждающих устройствах, температуры атмосферного воздуха, задаваемого с учетом

сезонного колебания температуры (от —55°С до +35°С), типичного для Якутии. Рассматриваемые прикладные математические модели задач характеризуются большой размерностью расчетной сетки (несколько миллионов ячеек) и поэтому решаются на компьютерах параллельной архитектуры (вычислительном кластере). Вычислительные алгоритмы базируются на конечно-элементной аппроксимации по пространству и использованием неявных линеаризованных схем по времени. Программное обеспечение строится с использованием вычислительного пакета КЬлнСЗ. Расчеты выполнены на вычислительном кластере Ариаи Кузьмин СВФУ им.М.К.Аммосова с хорошей эффективностью распараллеливания на различных сетках. Визуализация результатов расчетов проводится с использование программы Рага\асиг. Результаты численных расчетов (распределения температуры и давления) показывают динамику сформированной (замороженной) ледопородной завесы с выраженным влиянием фильтрационного потока.

В частности, рассмотрен процесс термостабилизации устья нефтяных или газовых скважин. Геометрическая область строится с использованием программы На рис.3 изображена расчетная область протяженностью 40 м по каждому направлению. в середине области находится эксплуатационная скважина радиусом 0.1 м, по которой течет нефть с заданной положительной температурой. Для теплоизоляции скважины использовался цементный слой толщиной 0.2 м. Вокруг скважины в радиусе 1.5 м расположены 8 замораживающих колонок радиуса 0.05 м и заглубленных на 14 м. Площадка скважины сверху имеет отсыпку песком толщиной 2 м, а около скважины выложен пеноплекс размером 10 на 10 м и толщиной 200 мм. Под отсыпкой находится грунт.

Результаты численных расчетов через 5 лет работы скважины в вертикальном срезе представлены на рнс.4 и иллюстрируют эффективность работы сезонно-охла-ждающих устройств. Расчетная сетка содержит 10 903 946 ячеек. Время счета на вычислительном кластере при запуске 64 потоков составило около 14 минут, при этом при запуске на 32 потока - около 21 мин и при 16 потоках - около 40 минут.

В задаче укрепления фундаментов зданий и сооружений расчетная область имеет протяженность 40 м по одному горизонтальному направлению, 50 м по другому горизонтальному направлению и 15 м по вертикальному направлению (рис. 5). Вокруг здания расположено 39 замораживающих колонок с радиусом 0.1 м, заглубленных на 8 м. Расчеты проводились на сетке в 18 927 419 ячеек.

Рис. 3. Геометрическая модель температурной стабилизации скважины

Рис. 4. Температурное поле вблизи скважины - белым цветом выделена граница замораживания

Рис. 5. Геометрическая модель укрепления фундаментов зданий и сооружений

Рис. 0. Распределение температуры при постоянной температуре па замораживающих колонках (сверху) и с использованием сезопно-охлаждающих устройств (снизу)

Рис. 7. Геометрическая модель ствола рудника

На рис. б приводится динамика распределения температуры вокруг замораживающих колонок в вертикальном и горизонтальном срезах с течением по времени при наличии охлаждающих колонок с постоянной отрицательной температуре замораживающих колонок —30° С и при наличии сезонных замораживающих колонок.

Результаты приведены при расчете с шагом т— 1 день на 6 месяцев работы ; замораживающий системы. Время счета на 128 процессах яа 1 час 12 минут. 64 яз 1 1 час 25 минут и на 32 я» 3 часа. Через полгода моделируемой работы замораживающих колонок вокруг оснований (фундамента) зданий лсдопородные тела смыкаются и образуют плотную ледовую завесу, укрепляющую фундамент.

Рассмотрен процесс искусственного замораживания грунта вблизи ствола рудника. На рис.7 изображена трехмерная расчетная область протяженностью 20 м по двум горизонтальным и 15 м по вертикальному направлениям. В середине области находится ствол рудника с радиусом 2.5 м, который окружен цементом толщиной 0.2 м. Вокруг рудника расположено 8 замораживающих колонок с радиусом 0.1 м. Расчетная сетка построена со сгущением вблизи замораживающих колонок и содержит 5 535 275 ячеек. Расчет проводился при временном шаге т — 5 дней.

На рис.8 представлено сравнение изотерм распределения температурного поля ! для различных моментов времени (каждый 2-й месяц) в вертикальном срезе через 1 | год работы замораживающих колонок. Время счета на вычислительном кластере на |

Рис. 8. Искусственное замораживание вокруг ствола рудиика

16 потоках составило около 30 секунд, при запуске на 4 потока - около 75 секунд, а на одном потоке - 260 секунд.

Основные результаты работы:

1. Разработан вычислительный алгоритм сквозного счета для численного моделирования двух- и трехмерных задач тсплопсрсноса с фазовыми переходами на основе конечно-элементной аппроксимации уравнения теплопроводности на треугольных и тетраэдральных сетках. Продемонстрирована высокая эффективность распараллеливания алгоритма на различных расчетных сетках в зависимости от количества, запущенных процессов на вычислительном кластере.

2. Предложены вычислительные конечно-элементные алгоритмы реализации моделей тепло- и массопереноса в фильтрующих грунтах с учетом движущейся границы фазового перехода на основе метода фиктивных областей. Исследовано влияние параметров продолжения (разрывных коэффициентов фильтрации) и степени аппроксимационного полинома на точность приближенного решения (давления) на различных расчетных сетках.

3. На основе разработанных вычислительных алгоритмов и созданного программ-

: ->,ного обеспечения для параллельных вычислительных систем проведено численное исследование прикладных задач искусственного замораживания фильтрующих грунтов:

• температурная стабилизация нефтяных и газовых скважин,

• укрепление фундаментов зданий и сооружений,

• замораживание грунтов с использованием охлаждающих устройств при проходке стволов рудников и шахт.

Список публикаций

1. Павлова Н.В. Конечно-элементная реализация задачи замораживания фильтрующих грунтов / М.В. Васильева, Н.В. Павлова // Математические заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, № 1. С. 202-212.

2. Павлова Н.В. Численное решение нестационарной задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов / М.В. Васильева, Н.В. Павлова // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 148-158.

3. Павлова Н.В. Численное моделирование термостабилизации фильтрующих грунтов / П.Н. Вабищсвич. М.В. Васильева, Н.В. Павлова // Препринты ЦВТ СВФУ. № 2013-3. 2013. С. 1-22.

4. Pavlova N.V. Mathematical modeling of thermal stabilization of vertical wells on high performance computing systems / P.N. Vabishchcvich, M.V. Vasilycva, N.V. Pavlova // Arxiv preprint, arXiv: 1304.1625. 2013. Pp. 1-9.

5. Павлова Н.В. Численное решение задачи тепломассопсреноса с фазовыми переходами в фильтрующих грунтах / Н.В. Павлова // Труды Международной конференции по вычислительной математике (МКВМ-2004). 2004. № 2. С. 585-589.

6. Vasiliev V.I., Pavlova N.V. Artificial freezing of a filtering ground item // Conference of Finite Difference Methods: Theory and Applications. Bulgaria. 1997. Pp. 36-37.

7. Павлова Н.В. Стационарная задача искусственного замораживания фильтрующего грунта / Н.В. Павлова // II Международная конференция по матсматичс-

скопу моделированию: Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1997. С. 171.

8. Павлова Н.В. Численная реализация нестационарной модели искусственного замораживания грунтов / Н.В. Павлова // III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Ин-та матсм., 1998. С. 62.

9. Павлова Н.В. Численное моделирование процесса искусственного замораживания грунтов / Н.В. Павлова // II научно-практическая конференция «Информационные технологии в науке, образовании и экономике». Якутск: Изд-во ЯГУ, 2003. С. 49-50.

10. Павлова Н.В. Разностный метод решения задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов / Н.В. Павлова // Всероссийская школа-ссминар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка». Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2004. С. 34.

11. Павлова Н.В. Численное моделирование процесса искусственного замораживания фильтрующих грунтов / Н.В. Павлова // Тезисы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Т. 2. М.: СП Мысль, 2007. С. 20.

12. Павлова Н.В. Численное моделирование искусственного замораживания фильтрующих грунтов / Н.В. Павлова // V Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ». Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ,

2007. С. 41.

13. Павлова Н.В. Вычислительная реализация модели тспломассопсрсноса при искусственном замораживании фильтрующих грунтов / Н.В. Павлова // Всероссийская научная конференция и VI Всероссийская школа-ссминар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ. Якутск: филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ,

2008. С. 32-33.

14. Павлова H.B. Исследование интерференции двух источников при искусственном замораживании фильтрующих грунтов / Н.В. Павлова // Материалы III Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и Экономикс». Т. 2. Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2008. С. 54-55.

15. Pavlova N.V. Numerical solution of non-stationary problem of artificial freezing of filtering grounds / N.V.Pavlova // International young scientists conference in mathematical modeling. Liniy, China, 2010. Pp. 41-42.

16. Павлова H.B. Модельная задача конвективного теплообмена охлаждающих устройств в насыщенной среде / Н.В. Павлова // VI Международная конференция по математическому моделированию. Тезисы докладов - Якутск: ОАО «Медиа-холдинг Якутия», 2011. С. 153-154.

17. Pavlova N.V. Numerical solution of thermal stabilization problem in filtering grounds / N.V.Pavlova, P.N.Vabishchevich, M.V.Vasilycva // 5th International Conference on Porous Media and Annual Meeting. Prague, Czech Republic, 2013. Pp. 1-2.

18. Pavlova N.V. Mathematical modelling of thermal stabilization of vertical wells on high pcrfomancc computiong systems / N.V.Pavlova, P.N.Vabishchevich, M.V.Vasilyeva // The 9th International Conference on Large-Scale Scientific Computations. Sozopol, Bulgaria, 2013. P. 71.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСКУССТВЕННОГО ЗАМОРАЖИВАНИЯ ФИЛЬТРУЮЩИХ ГРУНТОВ

автореферат

ПАВЛОВА Наталья Васильевна

Подписано в печать 08.06.2013 г. Формат 60x84/16. Печ.л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 4.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики СВФУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

Министерство образования и науки Российской Федерации Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова

На правах рукописи

04201360413

Павлова Наталья Васильевна

Численное моделирование искусственного замораживания фильтрующих грунтов

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Вабищевич Петр Николаевич

Якутск - 2013

Содержание

Введение ................................... 3

Глава 1. Численное моделирование задачи промерзания грунта с фазовым переходом.........................16

1.1. Математическая модель ......................17

1.2. Конечно-элементная дискретизация................21

1.3. Вычислительная реализация....................24

1.4. Численное исследование тестовой задачи.............26

1.5. Численное решение модельной ЗБ задачи.............31

Глава 2. Численное моделирование задачи замораживания фильтрующих грунтов............................37

2.1. Математическая модель ......................37

2.2. Конечно-элементная дискретизация................40

2.3. Численное моделирование фильтрации методом фиктивных областей .................................41

2.4. Численное решение модельной ЗБ задачи.............44

Глава 3. Прикладные задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов ........................50

3.1. Температурная стабилизация вертикальных скважин......51

3.2. Моделирование укрепления фундаментов зданий ........65

3.3. Моделирование замораживания ствола шахты..........87

Заключение .................................99

Литература .................................101

>

Введение

Исследование современных прикладных проблем базируется на применении информационных технологий. Интеллектуальным ядром информационных технологий является математическое моделирование [1-8]. Вычислительные средства (компьютеры и численные методы) делают возможным описание свойств исследуемого объекта с необходимой полнотой и детальностью на основе адекватных математических моделей. Исследуемые математические модели включают системы связанных друг с другом нестационарных нелинейных уравнений с частными уравнениями, системы обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений.

Эффективное решение большинства прикладных задач предполагает широкое использование компьютеров и, следовательно, разработку ориентированных на компьютеры численных методов [9-13]. Вычислительные технологии используются при решении стационарных и нестационарных краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными. При приближенном решении нестационарных задач основное внимание уделяется разностным методам [14-25]. В тоже самое время, аппроксимация по пространству может быть как разностной, так и конечно-элементной. Проблемы применения конечно-элементных аппроксимаций при решении нестационарных задач обсуждаются в [26, 27].

Исследование изменений температурного режима грунтов является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства объектов в районах многолетнемерзлых грунтов. При сезонном оттаивании мерзлых грунтов изменяются их физико-механические свойства, что приводит к нарушению несущей способности фундаментов зданий и сооружений. Для укрепления фундаментов используется метод замораживания грун-

tob [28-31]. Замораживание грунтов может производиться с помощью специальных холодильных установок или с помощью сезонных охлаждающих устройств, не требующих затрат электрической энергии в условиях резко континентального климата Крайнего Севера [32]. Использование сезонных охлаждающих устройств также позволяет производить охлаждение грунтов в районах, где электричество не доступно, например, на нефтепроводах и газопроводах.

Искусственное замораживание фильтрующих грунтов применяется практически во всех областях строительства и горного дела. Такая технология, например, широко применяется при проходке шахт, тоннелей, метрополитенов, выемке котлованов глубоких фундаментов, гидротехническом строительстве для устройства противофильтрационных завес, предотвращающих проникновение в различные водоносные горизонты больших объемов воды с растворенными вредными веществами. При строительстве зданий на многолетне-мерзлых грунтах искусственное замораживание с использованием охлаждающих устройств применяется вблизи свай для обеспечения устойчивости, за счет создания вокруг сваи глыбы замерзшего грунта большой массы, которая предохранит грунт от размораживания в течение летнего периода [33-37].

При строительстве стволов подземных рудников технология термостабилизации фильтрующих грунтов применяется для прохода через водоносные горизонты, что позволяет избежать загрязнения окружающей среды, связанные с утилизацией откачиваемых высокоминерализованных вод. Для создания противофильтрационной завесы, вокруг ствола рудника устанавливаются замораживающие колонны, в которых курсирует хладагент, охлаждаемый специальными компрессионными установками. Создаваемая таким образом плотная ледяная стена призвана защитить ствол от попадания воды, а также позволяет повысить несущую способность массива горных пород [38, 39].

При проектировании инженерных сооружений на вечномерзлых грунтах проводится научное обоснование технических решений. Для этого используют методы математического моделирования технологических процессов взаимодействия оснований, фундаментов зданий и сооружений с грунтами.

Математические модели процессов тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах, искусственного замораживания фильтрующих грунтов представлены, например, в работах [40-47].

Во многих работах исследуются модели, описывающие физические процессы тепломассопереноса в многолетнемерзлых грунтах с учетом влияния взаимодействующих объектов. Например, вопросы обеспечения устойчивости копров вертикальных стволов подземных рудников в алмазодобывающей промышленности рассмотрены в работах [48, 49] и др. В этих работах представлены разработки математических моделей сложных геотехнологических сооружений, предложены численные расчеты задачи температурной стабилизации грунтов в основании башенных копров с использованием охлаждающих устройств (замораживающих скважин).

В работе [50] рассматриваются аналитические решения задачи промерзания подземной ледопородной емкости в фильтрирующем пласте для одномерного случая, приводятся результаты экспериментальных данных для определения теплопритока и среднего безразмерного радиуса промерзания на различные периоды времени. Проблемы определения равновесной формы тел, образовавшихся при застывании фильтрационного потока, рассмотрены в работах [51-53]. В этих работах исследуется настационарный перенос тепла при замораживании фильтрующих грунтов на основе математической модели, учитывающей произвольное расположение хладоисточников. Рассмотрены приближенные подходы к исследованию динамики роста ледопородных ограждений в режиме фильтрационного потока в двумерном случае.

В большинстве случаев (в двумерном и трехмерном) аналитические решения задачи промерзания фильтрующего грунта получить сложно. В связи с этим представляется актуальным численное исследование нестационарных нелинейных многомерных задач тепломассопереноса с фазовыми превращениями.

Основные подходы математического моделирования тепломассообмена в многолетнемерзлых грунтах строятся на локализации области фазового перехода [54-56]. Для численного моделирования процессов теплопереноса с фазовыми превращениями используется классическая модель Стефана, характеризующаяся заданием постоянной температуры на границе фазового перехода [57-60].

При численном решении модели Стефана используются два основных подхода: методы с выделением границы раздела фаз (variable domain methods) и методы без выделения границы, т.е. методы сквозного счета (fixed domain methods) [58, 61, 62]. В первом подходе используются методы, в которых положение свободной границы фазового перехода определяется на каждом временном слое положением соответствующих узлов расчетной сетки. Например, в одномерном случае адаптация к границе раздела фаз может осуществляться за счет использования переменных шагов по времени (ловля фронта в узел сетки). Также к первой группе относятся методы с выпрямлением фронта, когда используется динамическая сетка постоянной структуры с закреплением узлов на границе раздела фаз. Такие методы плохо приспособлены к решению многомерных задач в связи с алгоритмическими сложностями и большими вычислительными затратами [58, 61].

Для приближенного решения многомерных задач широкое распространение получили методы сквозного счета. Для этого используется обобщенная формулировка классической задачи Стефана, при которой условия Стефана

включаются в само уравнение теплопроводности с применением дельта-функции. Выделение или поглощение тепла при фазовом переходе соответствует наличию сосредоточенной теплоемкости на границе фазового перехода.

При моделировании промерзания грунта помимо фазовых переходов нужно учитывать движение воды. Принципиальный факт, который усложняет численное решение задачи, связан с необходимостью расчета гидродинамических процессов в изменяющейся (динамической) расчетной области. Численное моделирование может проводиться на основе вычислительных алгоритмов сквозного счета.

Численное моделирование динамики несжимаемой жидкости и процессов тепло- и массообмена часто проводится на основе использования функции тока и вихря скорости [63-65]. В настоящее время имеется большое многообразие разностных схем для реализации такого подхода. При этом основное внимание уделяется проблемам аппроксимации конвективных слагаемых, граничным условиям для вихря. Ориентируясь на решение общих трехмерных задач, вычислительные алгоритмы приближенного решения уравнений На-вье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости строятся на основе использования стандартных естественных переменных давление, скорость. Основные проблемы численного решения таких задач связаны с расчетом давления, для которого в исходной постановке нет краевой задачи. На основе расщепления по физическим процессам (отделяется перенос, связанный с давлением) строятся эффективные вычислительные алгоритмы, в которых на сеточном уровне формулируется эллиптическая краевая задача для давления.

Для численного решения задач в сложных расчетных областях на фиксированной расчетной сетке используются методы фиктивных областей [66]. Применительной к задачам с фазовыми переходами с учетом гидродинамики различные подходы рассмотрены в обзоре [67]. Из более поздних работ в этом

направлении отметим работу [68].

Прикладные задачи связаны с необходимостью решения краевых задач в реальной геометрии. Расчетная область является трехмерной и достаточно сложной. Для учета геометрических факторов мы должны использовать достаточно большие нерегулярные расчетные сетки. Такие особенности учи-таваются, в частности, использованием конечно-элементных аппроксимаций по пространству.

Особенностью моделирования термостабилизации фильтрующих грунтов является ярко-выраженная геометрическая разномасштабность моделируемых объектов: небольшие диаметры замораживающих колонок и большие размеры ствола рудника, а также самой области моделирования процесса. При прикладном моделировании, даже при использовании существенно неравномерных расчетных сеток, их размеры получаются достаточно больших размеров: типичная расчетная сетка содержит десятки миллионов ячеек. Численное решение таких задач в настоящее время невозможно без применения вычислительных систем параллельной архитектуры.

Инженерные и научные вычисления проводятся на параллельных вычислительных системах, которые обеспечивают параллельную обработку данных на многих вычислительных узлах [69-71]. При разработке современного прикладного программного обеспечения необходимо учитывать эти особенности компьютеров для максимального использования их возможностей. При построении вычислительного алгоритма выделяются относительно самостоятельные подзадачи с возможностью их решения на отдельном вычислительном узле.

Параллельные вычисления поддерживаются различными технологиями программирования. Повышение быстродействия программы на вычислительных системах, которые имеют несколько процессоров, процессор с несколь-

кими ядрами, а также на кластере машин обеспечивается использованием многопоточной модели программирования. Для создания параллельных приложений широко используется OpenMP (Open Multi-Processing). Этот стандарт включает совокупность директив компилятора, библиотечных процедур и переменных окружения, которые предназначены для программирования многопоточных приложений на многопроцессорных системах с общей памятью. При разработке программ для параллельных вычислительных систем с распределенной памятью, для которых затраты на передачу данных между процессами велики, используется стандарт обмена данными MPI (Message Passing Interface).

В настоящее время теоретическое исследование прикладных проблем проводиться на основе широкого применения вычислительных средств (компьютеров и численных методов). Программное обеспечение в рамках концепции компонентного программирования базируется на использовании хорошо проработанных программных единиц для решения отдельных базовых проблем. Вычислительные технологии исследования базируются на построении геометрических моделей, генерации расчетной сетки, использовании того или иного способа аппроксимации непрерывной задачи, приближенному решению дискретных задач, визуализации и обработке расчетных данных.

Функциональное наполнение современных программных комплексов прикладного математического моделирования должно отражать достигнутый уровень развития теории и практики вычислительных алгоритмов и программного обеспечения, самих вычислительных комплексов. Эта цель достигается компонент-ориентированным программированием, которое базируется на использовании хорошо разработанного, оттестированного программного продукта для решения базовых математических задач (общематематического функционального наполнения).

Необходимо использовать наиболее совершенные вычислительные алгоритмы при реализации сложных нелинейных многомерных нестационарных прикладных моделей с учетом параллельной архитектуры (кластерной, многоядерной) современных вычислительных систем. Природа используемых алгоритмов должна быть чисто математической — без привлечения каких-либо других соображений. Иерархия по мере усложнения:

1. Решатели линейных задач — прямые и, прежде всего, итерационные при ориентации на системы большой размерности;

2. Решатели нелинейных задач — общие методы для решения нелинейных систем алгебраических уравнений при реализации;

3. Решатели для систем обыкновенных дифференциальных уравнений — решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые имеем при построении математических моделей.

Решатели должны поддерживать как скалярные, так и параллельные вычисления, отражать современное состояние численного анализа и прикладного программирования. Это означает, в частности, что нужно использовать соответствующее специализированное программное обеспечение, которое разработано специалистами по численному анализу, проверено широкой вычислительной практикой и хорошо оценено мировым научным сообществом.

Подобное прикладное программное обеспечение представлено, в частности, в коллекциях:

• Trilinos [72] — Sandia National Laboratory,

• SUNDIALS [73] — Lawrence Livermore National Laboratory,

• PETSc [74] — Argonne National Laboratory.

Актуализация функционального наполнения разрабатываемых программных комплексов прикладного математического моделирования будет проведена на основе компонентного программирования с использованием подобных свободных программных продуктов решения базовых задач численного анализа (решение линейных и нелинейных систем алгебраических уравнений, решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений).

Например,PETSc (The Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation) [74] представляет собой набор структур данных и процедур, которые, как строительные блоки, применяются в реализации программных кодов крупномасштабных научных вычислений на параллельных (и последовательных) компьютерах. Большие возможности библиотек, решателей PETSc демонстрируются их использоватем во многих работах по прикладному математическому моделированию.

Для численного моделирования физических процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, существуют множество вычислительных паке�