автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Бифуркации периодических колебаний при наличии двойных сильных резонансов

На правах рукописи

Копытин Никита Анатольевич

Бифуркации периодических колебаний при наличии двойных сильных резонансов

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003432480

ВОРОНЕЖ - 2010

003492480

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Алгазинов Эдуард Константинович

Ведущая организация: Тамбовский государственный технический университет

Защита состоится 24 февраля 2010 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "2£?" января 2010 г.

профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Родин Владимир Александрович

314.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.20

В.В. Провоторов

Актуальность темы. Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования периодических решений дифференциальных уравнений и изучением их свойств. Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, A.A. Андронова и Э. Хопфа и др.

Несмотря на значительные достижения в теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие ее задачи остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения динамической системы, рассмотренной вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резоиансов. Мало разработано алгоритмов приблиэюенного построения и качественного анализа периодических колебаний, бифурцирую-щих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многолю-дового вырождения. Системы с такими особенностями появляются в радиофизике при моделировании автоколебаний в RC-генераторах, в моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и в др. разделах современного естествознания. Соответствующие моделирующие уравнения не допускает общих формул для их решений (даже при найденных точных значениями коэффициентов главной части редуцированного уравнения), что явилось одной из причин задержки в развитии исследований по данному вопросу. В связи с созданием в настоящее время мощных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов, появились новые возможности в анализе периодических колебаний.

Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих циклов выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А.Рябов, М.Н.Киоса, С.В.Миронов и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях динамических систем

стандартного вида. Задача же приведения произвольной динамической системы к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для систем стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию периодических колебаний.

Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса - Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрублениями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях. Каждый, кто пробовал применять эти подходы в численном анализе конкретных систем, знает о существующих трудностях (см., например, послесловие H.H. Моисеева к монографии Ж. Йосса и Д. Джозефа х).

В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических колебаний, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в работах Ю.И. Сапронова, Б.М. Даринского, В.А. Смольянова, Е.В. Ладыкиной и А.П. Карповой 2, 3, 4.

Диссертация посвящена задаче приближенного вычисления и исследования амплитудно-частотных характеристик периодических колебаний физических систем, моделируемых решениями нелинейных ОДУ 4-го и 6-го порядков

d4u cßu d?u du ( du cfiu d3u\

4locc Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - М.: Мир. 1983. - 302

с.

2Сапронов Ю. И., Смольянов В.А. Обобщенная редукция Каччиополи и бифуркация решений уравнений при разрушении непрерывных симметрий// Математические модели и операторные уравнения. - Воронеж: изд-во ВГУ, 2001. - С. 125-139

3Даринский Б.М., Ладыкина Е.В., Сапронов Ю.И. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 52-67

4Карпова А.П., Сапронов Ю. И. Резонансные бифуркации решений фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и нелинейная динамика// Вестник ВГУ. Том 1. Воронеж: ВГУ, 2008. С.184-194. Карпова А.П., Сапронов Ю. И. Приближенное вычисление амплитуд циклов, бифурцирующих при наличии резонансов// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008, вып. 3. С.12-22.

(¿6Ы ¿ъи ¿4и сРи сРи ¿и тт ( йи йъи\

Г А' ■ ■'■' Л*; =

бифурцирующими из точек покоя при наличии двойных сильных резо-нансов. Здесь

[/ = С/(2) + г7(3)+0^|ы|3 +

ш = 3 или 5 (для уравнения 4-го или, соответственно, 6-го порядка), и^2\и,щ, ..., ит) , и^(и,и1,и\, ..., — квадратичный и кубический однородные полиномы от и, их, их, ..., мт. Такие уравнения появляются при математическом моделировании колебательных режимов в электрических цепях с дополнительными контурами 5,6, модулированных фаз в кристаллах 7,8 и в др. разделах нелинейной физики 9,10.

Под двойным резонансом (типа Рх '■ р2 ■ Рз) подразумевается случай одновременного существования (для соответствующего линеаризованного ОДУ) трех периодических решений ехр(^^ £), Т > 0, и 6 2, к = 1,2,3, 1 < р\ < р2 < Рз, НОО(рх,р2,рз) = 1. Резонанс рх : р2 : рз называется сильным, если существует такой ненулевой набор целых чисел п1,п2,пз, что пхРх + п2р2 + пзрз = 0 и ln.il + \п2\ + \п3\ < 4. Число ¡П11 + \п2\ + |тт-з[ называется порядком резонансного соотношения щрх + п2р2 + щрз = 0. Число, наименьшее из порядков резонансных соотношений, называется порядком данного резонанса. Ниже предполагается, что 1 < р\ < р2 < рз (резонансы типа 1 : 1 отсутствуют). Резонансные соотношения порядка < 4 называются сильными, а остальные — слабыми. Резонанс, для которого существует сильное соотношение, называется сильным (и слабым в противном случае).

5Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука. 1984. 432

с.

6Задорожний В.Г., Попов А.В. "Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех связанных контурах Ван-дер-Поля" (Дифференциальные уравнения. 1999, ЛМ1.)

7Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - Москва, Наука. 1984. - 247 с.

8Даринский Б.М., Колесникова И.В., Сапронов Ю.И. Ветвление фаз кристалла,определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка//' Системы управления и информационные технологии. 2009. Л"» 1(35). - С. 72-76.

93аславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. - М.: Наука. 1988. - 368 с.

10Инфелъд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. - пер с англ. М.: ФизМатЛит, 2006. - 480 с.

■... +

С1ти

Предложенная в диссертации численно-аналитическая схема, созданная на основе метода Ляпунова-Шмидта 11, 12, 13, позволяет проводить конечномерное усечение динамической системы и сводить анализ амплитудно-частотных характеристик периодических колебаний к анализу ветвящихся решений некоторой системы полиномиальных уравнений. Предложенный алгоритм прошел апробацию на задачах резонансного циклогенеза в ряде динамических систем. Платой за успешную работу алгоритмов, созданных на основе изложенной в диссертации модифицированной схемы Ляпунова-Шмидта, является неполучение информации о фазовом портрете динамической системы. Однако имеются соображения и на этот счет: по главной части ключевого отображения можно определять главную часть нормализованной динамической системы (пока не опубликовано). То есть информацию о форме ключевого уравнения можно использовать при построении (локальной) нормальной формы динамической системы и, следовательно, имеется возможность изучения локального фазового портрета и устойчивости рождающихся колебаний.

Сказанное выше позволяет утверждать, что поиск новых алгоритмов, эффективно работающих при анализе бифурцирующих периодических колебаний, является актуальной задачей.

Цель работы и основные задачи. Центральная конструктивная идея диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — сведение (редукция) задачи об изучении бифурцирующих периодических колебаний к задаче о бифуркации решений гладкого конечномерного уравнения с круговой симметрией. Основная задача — разработка и апробация метода изучения амплитудно-частотных характеристик бифурцирующих периодических колебаний при наличии двойных сильных резо-нансов 1 : 2 : 3, 1 : 2 : 4, 1 : 2 : 6, 1 : 3 : 6, 1 : 3 : 9, 1 : 3 : 4 и ДР-

Методы исследования. В математических конструкциях диссерта-

11 Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969.

- 456 с.

12Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности.

- Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

13Зачепа В.Р., Сапронов Ю. И. Локальный анализ фредгольмовых уравнений. Воронеж, ВГУ. 2002. - 185 с.

ции использованы методы нелинейного функционального анализа, теории бифуркаций решений краевых задач, теории инвариантов, теории приближенных вычислений и символьного программирования.

Теоретическим окружением предложенной в диссертации численно-аналитической процедуры является теория гладких 50(2)—эквивариант-ных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах. Использован операторный подход: уравнение колебаний трактуется как операторное уравнение в тройке последовательно вложенных функциональных пространств. Тройка пространств позволяет одновременно рассматривать круговую симметрию и спектральное строение линейной части уравнения (при выделении мод бифуркации).

Описанная схема дает основу для конструктивного бифуркационного анализа широкого класса математических моделей динамических систем. Она позволяет решать и задачу дискриминантного анализа параметрических семейств периодических колебаний.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработан и апробирован алгоритм вычисления главной части ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка, определяющего бифурцирующие периодические колебания в случаях двойного сильного резонанса.

2. Дано описание алгебраического строения главной части ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка (в случаях двойного сильного резонанса).

3. Разработан и обоснован алгоритм вычисления асимптотических приближений к периодическим решениям ОДУ 6-го порядка, бифурциру-ющим из точек покоя при наличии двойного сильного резонанса; разработана и апробирована процедура вычисления асимптотических приближений к амплитудно-частотных характеристикам соответствующих бифурцирующих колебаний.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование методу фредгольмовых уравнений в бифуркационном анализе нелинейных колебаний. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут

найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на международной конференции Proceeding of 16-th International Czech-Slovak Scientific Conference "Radioelektronika 2006". April 25-26, Bratislava, 2006., на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2008, на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук — проф. Б.М. Даринский и Ю.И. Сапронов) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из совместных работ [3,5], написанных с соавторами, в диссертацию включены результаты, полученные лично диссертантом. Списку ВАК соответствует работа [1].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 71 наименований. Общий объем диссертации — 138 стр.

Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой, выполненной в среде Maple.

Содержание работы.

В первой главе изложены основы бифуркационного анализа периодических колебаний посредством формализма фредгольмовых уравнений. Изложены элементы бифуркационного анализа фредгольмовых уравнений с круговой симметрией, описан алгоритм приближенного построения амплитуд бифурцирующих решений.

Рассмотрены банаховы пространства Е, F и гильбертово пространство Н такие, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в Я, и семейство фредгольмовых отображений нулевого индекса / : Е х Km —* F, гладкое по совокупности переменных, представленное в виде

Л(е)х + В(х, х, е) + С(х, х, х, е) + о(||ж|||),

где А(е) — гладкое семейство линейных фредгольмовых операторов нулевого индекса, В, С — квадратичный и кубический операторы.

Предполагается что, задан слабо гладкий гомоморфизм Т : 50(2) —>

0(Н) — из группы 50(2) в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Я (его непрерывность не предполагается) 14. Гомоморфизм Т задает ортогональное действие на пространстве Я:

х Я —► Я, (д,х)у-+у = Тд{х) У{д,х)еСхН.

Предполагается, что Е и^ инвариантны, а / эквивариантно относительно данного действия:

Тд(Е)сЕ, Тд(Е) с Г, /(Тд(-),е) = Тд(/(;е)) Уд е 50(2), е € Кт.

Из эквивариантности / следует эквивариантность его производной (в нуле) А(е) = ¿£(0,е) и инвариантность подпространства N := Яег„4(0).

В работе рассмотрены случаи (сильных) резонансов 1 : 2, 1 : 3, 1 : 2:3, 1:2:4, 1:2:6, 1:3:6, 1:3:9, 1 : 3 : 4 и др.

В случае однократного резонанса предполагается, что зафиксировано разложение Е = N © Я,, Я = N ф Я, сйтЛГ = 4, Л(е)(Лг) С ./V, ,А(е)(Як) С Я; предполагается также, что в Л^ задан базис {в1, ег, ез, в4} (не зависящий от е), в котором матрица А^е) оператора А^е) := А(е)

N

имеет следующий вид:

/ сч(е) -/?х(е) О 0 \

А(е) «1(е) О О

О 0 а2(е) -Ш

О 0 /?2(е) а2(е) )

Собственные значения матрицы А^е) суть следующие комплексные числа: Ах = а1(£)±г/?1(е); Лг = аг(е)±г/32(в). Требуется выполнение условия регулярности в нуле для отображения

в |—> ^сц(е), /?1 (е), с*2(е), /?г(е)

означающего, что ранг матрицы Якоби этого отображения в нуле равен четырем.

Используются ортопроекторы (в Я) V : Е —> Л/", 0, = Х — V. В соответствии с методом Ляпунова-Шмидта, исходное операторное уравнение

14Слабая гладкость означает, что индуцированное действие 50(2) на любом конечномерном инвариантном подпространстве N с Н является гладким.

/(х, е) = 0 записывается в виде системы двух уравнений

Г /(4)(и +«,£) = О,

1 /(оо-4 ){и + ь,е) = О,

где

и = Тх,

v = (2х,

/(4):= /(оо-4)(х,£) :=

Из второго уравнения этой системы следует, в силу теоремы о неявной функции, существование зависимости и = Ф(и, е) = Ф(£,е), £ = и 15. Отображение Ф называется редуцирующим.

После перехода к ключевому уравнению 0(£,е) = 0, где 0(£,г) = /4 \

/(4) I £ £>зез + Ф(£>е)>е > рассмотрено, с целью его анализа, общее ал-

У=1 /

гебраическое отображение с круговой симметрией 0 : К4 —> К4: 6(£) =

(е1(0,в2(0,в3(0!в4(0)т, ем) = = к =

к

^ £ \к\ = +к2 +к3 +к4. Круговая симметрия приводит к коммутируемости Э со стандартным действием окружности (группы 50(2)) на М4), заданным соответствием

Т : (ехр(г^), г} <—► (ехр(рг<р)гьехр(дг<р)22)т

(вектор (ей4 отождествлен с комплексным вектором г = (21, г2)т £ С2, г\ = £1 + г£2, ¿2 = £з + ¿£4), НОБ(р, д) = 1 (симметрия типа р : д).

Для гладкого отображения в при условии круговой симметрии типа 1:2 имеет место следующее представление (теорема 1. А.П. Карпо-/ а! -А О 0 \ / ах О 0 \ / +

1)1 <11 О О О 0 а2 -Ь2 \ О О Ь2 а2 У \ О О

о о

вой):

+

А ах О О

\ о о

( с{1\ + ¿1X2 С2Т1 + й212 О О

о о

а2 ~(32 «2 / -с21\ - й212 с{1\ + <1\Т2

Ш2

\

+

О о{1х + (¿3X2 -С4Х! - (¿4Х2 О с4Т1 + С3Х1 + с/312 /

£+0(|£| ), где

— образующая система инвариантов [1\ = + Х9 = £з2 + & - - £2% + 26беь 24 = "(Й - + 2666).

15Символом л обозначается "снятие" координат с вектора и € N

Коэффициенты а,,а,, с;, di в представлении отображения 0, указанном в теореме, явно выражаются через "операторные коэффициенты" /(х,е).

Для отображения © с круговой симметрией типа 1:3 имеет место следующее представление (теорема 2. А.П. Карповой):

( ai -А A «i о о \ о о

о о

А

\

о

V о

о о

-ß2 а2 /

( CA + CÍ1J2 —С2Х1 - ¿2X2 с2Т\ + dil2 c\L\ + d\%2 0 0 \ 0 0

( a\ bi Ol

0 0 \

0 0

a2 —b2

b2 a2 )

+ 2666 \ (£?-£1)6-2

\

C3J1 + d3l2 -C4Í1 - d4J2 c4 Ji + diX2 C3I1 + d3l2 j

(62-362)6 \

С

+

/

где Ji,l2 Д3Д4 — образующая система инвариантов (I3 = —36£2)6+ (3£& - 63)6, J4 = fo3 - 366% - (362?2 " 63)6)- Коэффициенты ai,ßi,ai,bi,Ci,di допускают явные выражения через "операторные коэффициенты" f(x,e).

Вместо уравнения 0(0 = 0 можно воспользоваться уравнением

0(0 = о, 0(0 = (ё1(О,в2(О,0з(О.04(О)Т. в К0Т0Р°М компоненты Qj представляют собой следующие скалярные произведения: ©i(0 := (0(0, ¿1) , ©2(0 := (0(0, iz 1), ёз(0 := (0(0, z2), ©4(0 := (©(О, iz2),

z 1 := (6,6,0,0)T, (-6,6,0,0)т, г2 := (0,0,6,6)T, iz2 :=

(0,0, — 6,6)Т- Функции ©fe являются инвариантами. Более того, для них имеют место следующие представления:

Oí(0 = aiT3 - hli + (ai + CA + d{I2) h + o(|^|4), 02(0 = bil3 + ей + (ßi + c2l1 + d2I2) h + o(|64), ©з(0 = а2Тз ~ b2li + (a2 + c32i + <№)!2 + o(|£|4), 04(0 = № + a2X4 + (ß2 + c4Ji + d4l2) 12 + o(|64).

Из этой системы уравнений можно исключить в итоге получим

приведенное уравнение ц{1\ + /¿2^2 + Alf + 2ВТ\Т2 + С11 + о(|£|4) = О (при соответствующей перегруппировке слагаемых и переопределении

параметров). Это уравнение позволяет находить соотношения между амплитудными, угловыми (фазовыми) переменными и параметрами, определять количество бифурцирующих решений, вычислять асимптотические представления для частот и амплитуд, а также наблюдать формообразование колебаний. Переход к приведенному уравнению не приводит (при «1 ^ 0 и иг ^ 0) к потере решений и появлению новых решений. Выигрыш от перехода состоит в том, что главная часть ключевого уравнения заменяется на явную зависимость от Т\,12 и систему двух скалярных уравнений относительно 1\,Т2. Причем степени полиномов в левых частях этих уравнений равны 2. На основе этой системы легко осуществить и дискриминантный анализ.

К сожалению, подход, основанный на переходе к приведенному уравнению, теряет свою эффективность при размерности вырождения, превосходящей 4. Поэтому при кратных резонансах потребовалась разработка дополнительных приемов исследования.

В случае двойного резонанса р\ : р2 : р?} ключевое отображение в : К6 — К6, 6(0 = (в1(0,в2(0,вз(0,в4(0.в5(0.вб(0)т. =

где е = к = (кик2,ЬМ,кМ Щ е

к

эквивариантно относительно стандартного действия окружности (группы БО(2)) на М6, соответствующего резонансу р\ : р2 : рз■ Если отождествить вектор £ е М6 (в образе и прообразе отображения 9) с комплексным вектором 2 = {г\^2,гз)т е С3, г\ = £1 + г2 = £з + ¿£4, ¿з = £5 +¿^6, то действие 50(2) задается соответствием

Т : {ехр(г^), г} 1—> (ехр(г рцр)ги ехр(г р2<р)г2, ехр(г р3<р)г3)т. Эквивариантность означает выполнение соотношения

есад)=^(в(о)

Во всех случаях инвариантами действия окружности являются многочлены Д = к = 1,2,3 (инварианты степени 2). Кроме того, имеются следующие инварианты степеней 3 и 4: г\г2, г\г2гз: — в случае 1:2:3; ^¿¡¡г^гз — в случае 1:2:4; г\г2, г\г3 — в случае 1:2:6; г\г2, г\гз — в случае 1:3:6; г%гз — в случае 1:3:9; г\г2, г\г2гз — в случае 1:3:4.

Им соответствуют эквиварианты: для резонанса 1:2:3 — 1) 21, ¿1^2, 2223, г¡23, 2.] 23 (входящие в первую компоненту ключевого отображения), 2) 22, 2?, ¡123, 212223 (для второй компоненты ключевого отображения), 3) 23, 2122, 22\2\ (для третьей компоненты);

для резонанса 1:2:4— 1) 2\, 2122, 2\222з (первая компонента), 2) л2, 2223, г\гз (вторая компонента), 3) 23, 2^22 (третья компонента); для резонанса 1:2:6: — 1) 21, 2\22 (первая компонента), 2) 22, 2$2з (вторая компонента), 3) 23, (третья компонента); для резонанса 1:3:6: — 1) 21, г2 (первая компонента), 2) г2, г223, 2\ (вторая компонента), 3) 2:3, 2% (третья компонента); для резонанса 1:3:9: — 1) 21, 2^22 (первая компонента), 2) 22, Щ23,

(вторая компонента), 3) 23, 2\ (третья компонента); для резонанса 1:3:4: — 1) 21, 2^22 , 222з (первая компонента), 2) 22, 2!23, 2± (вторая компонента), 3) 23, 2\22 (третья компонента); для резонанса 1:2:5: — 1) 21, 2122, 2^3 (первая компонента), 2) 22, г\, 212223 (вторая компонента), 3) 23, 212! (третья компонента); для резонанса 1:3: 5: — 1) гу, 2^22, г\222з, 2^23 (первая компонента), 2) 22, 2%, 2Х23, 2\222з (вторая компонента), 3) 23, 2^22, 2x2\ (третья компонента);

для резонанса 1:4:5: — 1) 2\, 2223 (первая компонента), 2) 22, 2123 (вторая компонента), 3) 23, 2\22 (третья компонента).

Последний набор инвариантов и эквивариантов имеет место для серии резонансов q : р : q + р, р + 5.

Для серии q:p:2q+p, p + q> 5, имеется инвариант 2^2223, а для q:p:q + 2p - 21 ф3.

Для серии q-.p-.2p, имеется инвариант 2^23, а для q-.p-.3p — инвариант 2^23.

Все перечисленные эквиварианты дают вклад в главную часть ключевого уравнения.

Если перейти к полярным координатам 2^ = г^ег!рк, то для резонанса

1:2:3 получим компоненты ключевого уравнения в виде = Х^е1^1 +

аипг2е+ а12Г2ГзеИ?з-&) + + +

з

Ьуг?, 6»2 = Х2г2е^+а21г1е2^+а22г1гзе^-^4а2зг1г2гзе^~^+^

3=1

Ьщг?, = ЛзГзе^^+аз1Г1Г2е^Р^^)+аз2Г?е3^1+аззГ1Г22е!'(2^-^')+

3=1

^зе^3^ Ьз]г]- Разделив полученные уравнения на е^1^2 и е^3, соответ-3=1

ственно, и записав затем соответствующие тождества, используя замену

переменных вида а^ = а^егр, получим в итоге следующее утверждение.

Теорема 3. В случае резонанса 1:2:3 главная часть ключевого

уравнения заменами переменных и параметров приводится к системе

уравнений следующего вида: Л1Г1 + ацт^гг + а\2г2гз + ахзг2гз+ амг^з +

з з

п'Е, = А2Г2 + а21^1 + й22гхг3 + а2зГ1Г2Гз+г2 ^ Ь2^ = Л3гз + а31Г1г2 + 3=1 3=1

3

Й32Г-1 + аззг!г| + г3]Г Ьз^-г] = 0.

3=1

На основе этих уравнений можно вычислять асимптотики амплитуд и частот бифурцирующих решений.

Амплитуды бифурцирующих одномодовых решений определяются соотношениями г\ = г2 = 0, А3Г3 + 633Г3 = 0; г\ = гз = 0, Л2г2 + 622г| = 0; г2 = г3 = 0, А1Г1 + Ьпг1 = 0, а32 = 0.

Соответственно, для амплитуд двухмодовых решений имеем соотношения гх = 0, 012 + Й14Г2 = 0, Л2 + Ь22г2 + Ьгз^з = 0, Л3 + Ь32г2 + ЪыА = 0; г2 = 0, Ах + Ьцг\ + гз(а13гх + Ь13г3) = 0, а21п + а22г3 = 0, Аз + &33Т3 + г\(^р- + Ьз1) = 0; г3 = 0, \1 + Ьпг1 + г2{ап + Ь22г2) = 0, А2 + ь22г22 + + ьп) = 0, о32г? + г2(йз! + а33г2) = 0.

Определяющие соотношения для трехмодовых решений {г\г2г$ ^ 0) можно получить, положив г2 = и2г\, гз = «3Г1 и отбросив в уравнениях множители г1,г2,гз. В результате получим систему уравнений вида

Ах + Йци2Гх + 012и2изГ1 + Й13И3Г2 + аиУ^Щг\ + Г2(&Х1 + Ьх2и\ + бхзИз) = = Х2и2 + о21гх + а22мзГх + а23и2щг\ + г2(621и2 + Ь22и\ + Ь23из) = = А3М3 + а31и2г + а32г2 + аззм2Гх + Гх(631и3 + Ь32и1щ + 633И3) = (Я) Положив А2 = А2И2, Аз = А3и3, сц = аци2 + а,12и2щ, с12 = а\?,Щ + аии2из + Ьп + Ьии1 + Ьхз^з, С21 = <^21 + а22и з, с22 = а23и2щ + Ь2\и2 + 622и^ + ¿»23^3, с31 = а31и2, с32 = а32 + а33и% + Ь31"з + Ь32и\и3 + Ъ33и\, систему (II) сможем записать в виде Ах+сцГх+схгг2 = Аг+сггГх+сгг?"! = Аз + с31гх + с32г\ = 0. Из этой системы нетрудно исключить переменную

г\. Таким образом, изучение системы (К) сводится к изучению системы двух алгебраических уравнений на координатной плоскости. Точный вид коэффициентов редуцированных уравнений нетрудно получить посредством любого компьютерного вычислительного комплекса, содержащего символьное программирование.

Аналогичные теоремы и выводы получены в остальных случаях двойного резонанса (теоремы 4 10).

Полученные соотношения позволяют находить асимптотические формулы периодов и амплитуд колебаний (в зависимости от исходных параметров). определять количество бифурцирующих решений, проводить их классификацию по геометрическому строению форм (профилей) колебаний, изучать взаимные примыкания колебаний разных типов и получать графические изображения сечений дискриминантных множеств.

В третьей главе приведены примеры компьютерной визуализации, представлен алгоритм вычисления решений ключевого уравнения. Этот алгоритм реализован на примере уравнения ^ + ^г^г + + + + + + — ю3 = 0. Примеры геометрических форм соответствующих бифурцирующих 3-модовых колебаний представлены на следующем рисунке (в случае 1:2:3):

Публикации автора по теме диссертации

[1] Копытин H.A. Алгоритм численного исследования резонансных бифуркаций колебательных режимов в электрической цепи с дополнительным контуром/ А.П. Карпова, H.A. Копытин, В.И. Непринцев, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГТУ. Т. 5, №4. 2009. С. 116-119.

[2] Kopitin N.A. Computer model of the oscillator on the basis of nonlinear parabolic problem with boundary conditions. — Proceeding of 16-th International Czech-Slovak Scientific Conference "Radioelektronika 2006"/ V.l. Ne-printsev, A.A. Kuznetsov, N.A. Kopitin// April25-26, Bratislava, 2006.

[3] Копытин H.A. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки/ А.П. Карпова, H.A. Копытин, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во "Созвездие", 2007. - С.69-90.

[4] Копытин H.A. К теории резонансных бифуркаций колебательных режимов в электрической цепи с дополнительным контуром / H.A. Копытин // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крсйна - 2008: Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 76-78.

[5] Карпова А.П., Копытин H.A., Сапронов Ю.И. Ключевые уравнения в динамических системах с 2-кратными резонансами/ А.П. Карпова, H.A. Копытин, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 6. Воронеж: ВГУ, изд-во "Созвездие", 2009. - С.51-58.

[6] Копытин H.A. Редукция Ляпунова-Шмидта в анализе циклогенеза с двойным резонансом/ H.A. Копытин// Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 4. Воронеж: ВГУ, 2009. С.23-31.

Работа [1] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Подписано в печать 15.01.10. Формат 60x84 '/16. Усл. печ. л. 0.93 Тираж 100 экз. Заказ 32

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

1 Математические модели бифуркаций периодических колебаний с применением функционального анализа

1.1 Задача о многомодовых бифуркациях периодических колебаний для генераторов с дополнительными контурами

1.2 Моделирующие уравнения для волн в нелинейных средах.

1.2.1 Об одном обобщении модифицированного уравнения КДФ.

1.2.2 О периодических волнах в нелинейных средах с одномерным параметром порядка.

1.3 Операторный подход.

1.4 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.5 Схема Ляпунова - Шмидта.

1.6 Конечномерные редукции фредгольмовых уравнений

1.7 Дискриминантные множества (бифуркационные диаграммы)

1.8 Отображение в регулярной точке.

1.9 Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений.

1.10 Элементы теории G—пространств, слабо гладкая круговая симметрия.

1.11 Действие окружности на ядре фредгольмова отображения

1.12 Ключевое отображение

1.13 Алгоритм вычисления ключевого уравнения.

1.14 Алгебраическое уравнение в R4 с круговой симметрией и резонансным вырождением типа 1:2.

1.15 Переход к приведенному уравнению.

1.16 Случай резонансов р : q, |р| + \q\ > 4.

1.17 Резонанс 1:

2 Алгебраическое уравнение в R6 с круговой симметрией и сильными резонансными вырождениями

2.1 Алгебраическое уравнение в I6 с круговой симметрией и резонансным вырождением типа 1:2:3.

2.2 Переход к приведенному уравнению.

2.3 Описание алгебраического строения ключевого уравнения посредством инвариантов (в динамических системах с двойными резонансами).

2.4 Одномодовые и двухмодовые решения ключевых уравнений

2.5 Трехмодовые решения ключевых уравнений

2.6 Другие случаи сильного двойного резонанса.

3 Бифуркационный анализ и вычисление амплитудно - частотных характеристик периодических колебаний, описываемых моделирующими ОДУ

3.1 Двухмодовые бифуркации периодических решений уравнения 4-го порядка.

3.2 Алгоритм вычисления коэффициентов главной части ключевого уравнения для ОДУ 4-го порядка.

3.3 Трехмодовые вырождения в периодической задаче для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка

3.4 Построение главной части ключевого уравнения.

3.5 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции

3.6 Алгоритм вычисления главной части ключевого уравнения для ОДУ б-го порядка.

3.7 Алгебраическая форма главной части ключевого уравнения в случае резонанса 1:2:

3.8 Приведенное уравнение.

3.9 Анализ ключевых уравнений с двойными резонансами

3.9.1 Одномодовые и двухмодовые решения.

3.9.2 Трехмодовые решения.

3.10 Другие случаи сильного двойного резонанса.

3.11 О бифуркациях циклов из сложного фокуса.

3.12 Замечания о возможности исследования устойчивости би-фурцирующих циклов и фазовых портретов исходных динамических систем.

3.13 Программы вычисления Ф^2), ©(2) и ©(3) для основного модельного уравнения

3.14 Примеры компьютерных графических изображений профилей бифурцирующих колебаний.

Актуальность темы. Динамические системы с многомодовыми вырождениями и кратными резонансами появляются в радиофизике при моделировании автоколебаний в RC-генераторах, в математических моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики, в моделях океанических волн и в моделях из др. разделах современного естествознания. Соответствующие моделирующие уравнения не допускает общих формул для их решений (даже при найденных точных значениями коэффициентов главной части редуцированного уравнения), что явилось одной из причин задержки в развитии исследований по данному вопросу В связи с созданием в настоящее время мощных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов, появились новые возможности в анализе периодических колебаний.

Несмотря на значительные достижения в теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие задачи теории колебательных процессов остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения колебательного процесса, рассмотренного вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических колебаний, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многомодового вырождения.

Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих циклов выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А.Рябов, М.Н.Киоса, С.В.Миронов и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях систем стандартного вида. Задача же приведения произвольной динамической системы к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для систем, заданных в стандартном виде, трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию периодических колебаний.

Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса - Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрублениями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях. Каждый, кто пробовал применять эти подходы в численном анализе конкретных систем, знает о существующих трудностях (см., например, послесловие Н.Н. Моисеева к монографии Ж. Йосса и Д. Джозефа "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" - М.: Мир. 1983. - 302 с. [28]).

Таким образом, поиск алгоритмов, эффективных для построения и анализа периодических решений тех или иных классов ОДУ, является актуальной задачей.

Платой за успешную работу алгоритмов, созданных в рамках изложенной здесь схемы, является отсутствие информации о локальном фазовом портрете. Однако у авторов есть соображения и на этот счет. Оказывается, что по главной части ключевого отображения классической динамической системы можно определять главную часть нормализованной динамической системы (пока не опубликовано).

В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических колебаний, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в работах Ю.И. Сапронова, Б.М. Даринского, В.А. Смольянова, Е.В. Ладыкиной и А.П. Карповой. Более конкретно, диссертация посвящена задаче приближенного вычисления амплитудно-частотных характеристик периодических du 3 dmu dt + . ■ + dtm решений нелинейных ОДУ 4-го и 6-го порядков cftu d?u du ( du d2u d3u\ lF + a2dfi+aiH + aoU+u{u'di'Wdfi)=0' dQu dAu d?u d2u du TT ( du d5u\ бифурцирующими из точек покоя при наличии двойных сильных резо-нансов. Здесь rn — 3 или 5 (для уравнения 4-го или, соответственно, 6-го порядка), U^2\u,ui, ., ит) , U^(u,ui,ui, ., ит) — квадратичный и кубический однородные полиномы от к, и^щ, ., ит. Такие уравнения появляются при математическом моделировании колебательных режимов в электрических цепях с дополнительными контурами [18], модулированных фаз в кристаллах [26], [9]—[16], [36] и др. разделах нелинейной физики [19], [27], [42].

Предложенная ниже вычислительная схема, созданная на базе метода Ляпунова-Шмидта [39], [38], [5], [43], [40], [25], [57], позволяет произвести конечномерное усечение динамической системы и свести анализ амплитудно-частотных характеристик периодических колебаний к анализу ветвящихся решений некоторой системы полиномиальных уравнений. Предложенный алгоритм прошел апробацию на задачах резонансного циклогенеза в ряде динамических систем [29] - [35].

Теоретическое окружение предложенной здесь вычислительной процедуры составляет теория гладких SO(2)— эквивариатных фредгольмо-вых уравнений в банаховых пространствах. Использован операторный подход: уравнение колебаний трактуется как операторное уравнение в тройке последовательно вложенных функциональных пространств, тройка пространств позволяет одновременно рассматривать круговую симметрию и спектральное строение линейной части уравнения (при выделении мод бифуркации). Описанная схема дает основу для конструктивного бифуркационного анализа, она позволяет решать задачу дискри-минантного анализа параметрических семейств периодических колебаний. Схема достаточно проста, естественна и максимально приближена к рассмотренной задаче. Сформулированные в диссертации условия и предположения реализуются в ряде других задач нелинейной динамики.

Гильбертово пространство Н в диссертации — это пространство периодических функций класса L2 (скалярное произведение — интеграл от произведения функций по отрезку длины, равной периоду). Данное пространство допускает естественную фильтрацию конечномерными подпространствами тригонометрических многочленов, на которых действие окружности является гладким и ортогональным (в индуцированной из Н евклидовой структуре).

Ниже использовано условие постоянства базиса собственных функций (мод бифуркаций) — это (постоянство) частое явление в бифуркационном анализе краевых задач. Зависимость же базиса собственных функций от параметра — мало интересное обобщение. Однако, существуют задачи, в которых возникает необходимость рассмотрения переменного базиса из несобственных функций [37]. В диссертации такие случаи не затрагиваются.

Основной исследовательский инструмент (помимо метода Ляпунова-Шмидта) — повторная редукция ключевого уравнения. Отдельные случаи симметрии (например, четности по отдельным группам переменных), дают возможность повторной редукции к уравнениям меньшего количества переменных.

Основную цель диссертационной работы можно переформулировать как разработку и апробацию метода изучения бифуркации решений фред-гольмовых уравнений с круговой симметрией из точки с 4-мерным и 6-мерным вырождениями. В такой постановке случай 4-мерного вырождения был подробно исследован А.П. Карповой [29] - [35]. В данной диссертации использован подход А.П. Карповой (с некоторыми уточнениями и дополнениями).

Цель работы и основные задачи. Центральная конструктивная идея диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — сведение (редукция) задачи об изучении бифурцирующих периодических колебаний к задаче о бифуркации решений гладкого конечномерного уравнения с круговой симметрией. Основная задача — разработка и апробация метода вычисления и изучения бифурцирующих периодических колебаний при наличии двойных сильных резонансов 1:2:3, 1:2: 4, 1 : 2 : б, 1 : 3 : 6, 1 : 3 : 9, 1 : 3 : 4 и др., создание эффективного комплекса программ для вычисления амплитудно-фазовых показателей бифурцирующих колебаний.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, теории бифуркаций решений краевых задач, теории инвариантов, теории приближенных вычислений и символьного программирования.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработан и апробирован алгоритм вычисления главной части ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка, определяющего бифурцирующие периодические колебания в случаях двойного сильного резонанса.

2. Дано описание алгебраического строения главной части ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка (в случаях двойного сильного резонанса).

3. Разработан и обоснован алгоритм вычисления асимптотических приближений к периодическим решениям ОДУ 6-го порядка, бифурцирую-щим из точек покоя при наличии двойного сильного резонанса; разработана и апробирована процедура вычисления формул для асимптотических приближений к бифурцирующим колебаниям; создан эффективный комплекс программ для вычисления асимптотических приближений к амплитудно-фазовых показателям бифурцирующих колебаний.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на международной конференции Proceeding of 16-th International Czech-Slovak Scientific Conference "Radioelektronika 2006". April 25-26, Bratislava, 2006., на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2008, на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук — проф. Б.М. Даринский и Ю.И. Сапронов) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. В статьях, написанных с соавторами, соавторам принадлежат постановки некоторых задач и разбор отдельных примеров. Статья [1] вышла в издании из "перечня ВАК".

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 71 наименований. Общий объем диссертации — 138 стр.

1. Афанасьев А.П., Устойчивость но Пуассону в динамических и непре-рывных периодических системах/ А.П. Афанасьев А.П., С.М. Дзю-ба М.: ЛКИ. 2007. - 240 с.

2. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений/В.И.Арнольд, А.Н. Варчепко, С.М. Гусейн-Заде// М.: МЦНМО. 2004. 672 с.

3. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании/ B.C. Бардин, С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С.13-22.

4. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю.Н.Бибиков Ленинград: изд. ЛГУ. 1991. 144 с.

5. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах /Н.А.Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин М.: Магистр, 1998. - 658 с.

6. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера / Ю.Г.Борисович, В.Г.Звягин, Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. Т.32, вып.4. 1977. С.3-54.

7. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./Т. Брекер, Л.Ландер М.: Мир, 1977. - 208 с.

8. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат. 1956.

9. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

10. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВГУ. 2000. - С. 41-57.

11. Даринский Б.М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

12. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, B.JI. Шалимов// Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4. -С. 1-5.

13. Darinskii М.М. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter/ M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov// Ferroelectrics. 2002. V. 265. - P. 31-42.

14. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны/ Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

15. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цирующих решений фредгольмовых уравнений/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. - С.72-86.

16. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т. 12. 2004. С.3-134.

17. Задорожний В.Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ В.Г. Задорожний, Е.В. Корчагина// Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48-61.

18. Задорожний В.Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех связанных контурах Ван-дер-Поля/ В.Г. Задорожний, А.В. Попов// Дифференциальные уравнения. 1999, №11. С.1580.

19. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до тубулентности и хаоса. М.: Наука. 1988. - 368 с.

20. Зачепа А.В. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для ОДУ шестого порядка./А.В.Зачепа// Воронежская зимняя математическая школа 2002. Воронеж: ВГУ, 2002. - С.28-29.

21. Зачепа А.В. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ А.В. Зачепа// Сб. трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2003. С.52-58.

22. Зачепа А.В. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка/ А.В. Зачепа// Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. "ТЕ-ФА 2004. С.48-55.

23. Зачепа А.В. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ Ф.А. Белых, А.В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18-33.

24. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений/ ЗачепаB.Р., Сапронов Ю. И.// Воронеж, ВГУ. 2002. 185 с.

25. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. Москва, Наука. 1984. - 247 с.

26. Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. -пер с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 480 с.

27. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж.Йосс, Д.Джозеф М.: Мир. 1983. - 302 с.

28. Карпова А.П. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки/ А.П.Карпова, Н.А.Копытин, Ю.И.Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во "Созвездие 2007.C.69-90.

29. Карпова А.П. Бифуркации решений в резонансной особой точке фредгольмова уравнения с круговой симметрией/ А.П.Карпова// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2007. - СПб., 2007. С.65-72.

30. Карпова А.П. Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и его приложения/ А.П. Карпова, Е.В. Ла-дыкина, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Т. 5, ч. 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. С.45-90.

31. Карпова А.П. Резонансные бифуркации решений фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и нелинейная динамика/ А.П.Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГУ. Том 1. Воронеж: ВГУ, 2008. С.184-194.

32. Карпова А.П. Приближенное вычисление амплитуд циклов, бифурцирующих при наличии резонансов/ А.П. Карпова, Ю.И. Сапронов/ / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008, вып. 3. С. 12-22.

33. Карпова А.П. Зарождение волновых движений несжимаемой вязкой жидкости на двумерном торе/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ № 28. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 10 с.

34. Карпова А.П. К вычислению амплитуд периодических волн в упругой балке на упругом основании/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ № 29. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 16 с.

35. Колесникова И.В. Ветвление фаз кристалла,определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка/ Б.М. Даринский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Системы управления и информационные технологии. Москва-Воронеж, 2009. - № 1(35). — С. 72-76.

36. Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки/ Д.В. Костин // Доклады Академии Наук. 2008. - том 418, № 4. - С. 295-299.

37. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления/ М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Мухамадиев// ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

38. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений/ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Ру-тицкий Я.Б., В.Я. Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

39. Родин В.А. Пространство ВМО и сильные средние рядов Фурье-Уолша/ В.А. Родин// Матем. сб. 1991. Т. 182, вып. 10. - С.1463-1478.

40. Родин В.А. Сильные средние и осцилляции кратных рядов Фурье-Уолша/ В.А. Родин// Матем. заметки. 1994. Т. 56, вып. 3. - С.102-117.

41. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий/ Ю.И. Сапронов// Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997-1006.

42. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций/ Ю.И. Сапронов// Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10.- С. 1299-1310.

43. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах/Ю.И. Сапронов// Математические заметки.- 1991. Т.49, вып.1. С.94-103.

44. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах/ Ю.И. Сапронов// Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 1.- С. 101-132.

45. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах/ Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

46. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа / Г.А.Свиридюк, В.Е.Федоров Челяб. гос. ун-т. 2003. 179 с.

47. Стрыгин В.В., Северин Г.Ю. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами// Вестник ВГУ. Сер.: физика, математика. 2006, №2.

48. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия/ В.А. Треногин, Н.А. Сидоров , Б.В. Логинов// Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. - С. 286-289.

49. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла/ Б.Хэссард, Н.Казаринов, И.Вэн М.: Мир. 1985. 280 с.

50. Poenaru V. Singularites С°° en Presence de Symetrie/V. Poenaru// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

51. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen/E. Schmidt// Math. Ann. 1908. - V.65. - P. 370-399.

52. Zemlyanukhin A. Exact solutions of the fifth-order non-linear evolution eqyations/A. Zemlyanukhin// Regular and chaotic dynamics. 1999. V. 4. N 3. P.67-69.Публикации автора по теме диссертации

53. Копытин Н.А. Алгоритм численного исследования резонансных бифуркаций колебательных режимов в электрической цепи с дополнительным контуром/ А.П. Карпова, Н.А. Копытин, В.И. Непринцев, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГТУ. Т. 5, №4. 2009. С. 116-119.

54. Копытин Н.А. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки/ А.П. Карпова, Н.А. Копытин, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во "Созвездие 2007. С.69-90.

55. Копытин Н.А. К теории резонансных бифуркаций колебательных режимов в электрической цепи с дополнительным контуром / Н.А. Копытин // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008: Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 76-78.

56. Копытин Н.А. Редукция Ляпунова-Шмидта в анализе циклогенеза с двойным резонансом/ Н.А. Копытина// Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 4. Воронеж: ВГУ, 2009. С.23-31.