автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Автоматизация технологического процесса обжига цементного клинкера на основе робастного управления

. Московский государственный автомобильно-дорожный институт (технический университет)

од •

на правах рукописи УДК 681.515.01.03

Подлесный Владимир Николаевич

АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ОБЖИГА ЦЕМЕНТНОГО КЛИНКЕРА НА ОСНОВЕ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.07 - Автоматизация технологических процессов и производств (строительство)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-! 995

Рабата выполнена «а кафедре автоматизации технологических процессов и производств Белгородской государственной технологической академии, строительных материалов.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор - Рубанов В.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

. Горшков В.А., кандидат технических наук, доцент Завьялов В.А. Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский и проектно-эксперкментальнын институт организации, механизации и технической помощи строительству, г. Москва.

Защита- состоится "JL_" 1995г. в Ja'

специализированного Совета Д 053.30.07

ьъ

в часов на заседании 1.30.07 при Московскоы государственном автомобильно-дорожном институте (технический университет) по адресу: 125829, ГСП А-47, Москва, Ленинградский проспект, 64, ауд.42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАДИ(ТУ). Автореферат разослан " ^ " ^ЛЛсф^Ц 1995г.

Ученый секретарь

Специализированного совета, .

кандида! технических наук," доцент (¿J,''. Михайлова II B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы обусловлена следующими причинами.

1. Технологический процесс обжига цементного клинкера относится к такому типу объектов управления, для которого внедрение систем автоматизации практически всегда дает значительный экономический эффект. Это связано с тем, что при больших производственных мощностях вращающихся печей потери из-за неточного управления значительны, а расходы на автоматизацию по сравнению со стоимостью печных агрегатов невелики.

2. Одним из факторов, препятствующим автоматизации и существенно снижающим эффективность автоматического управления процессом обжига, является высокий уровень неопределенности вращающейся печи как объекта управления, что выражается в параметрической неопределенности динамических и статических моделей и в неопределенности информации о параметрах технологического процесса, характеризующих подготовку материала и состояние газов по длине печного агрегата. Учет этого фактора приводит к необходимости применения систем автоматизации, имеющих развитое алгоритмическое и математическое обеспечение, и в частности, применения систем автоматизации робастного класса, в которых цель управления достигается за счет использования априорных сведений о характере неопределенности и ее <оличественной оценке. Не менее важно то, что робастные системы шгоматнзацни обладают повышенной живучестью и безопасностью, гак как гарантируют некоторый уровень робасгного качества и фактически исключают ситуацию, когда причиной выхода из режима 1лн аварийного останова объекта управления являются отрицательные |ффекты, вносимые самой системой автоматизации

3. Несмотря на большой интерес к теории робастного управлении, | чаучнон литературе практически огсуюшуюг публикации по рименению данной теории, и в частности, не извести рабош ни обастным системам автоматизации технологическою процесса обжша линкера. Кроме того, в настоящее время в рамках сложившейся еории робастного управления отсутствуют меюды проекшровашы, чшывающие все особенности задач автоматизации технологического роцесса обжига п позволяющие в полной мере использовав реимущесгва робастншо подхода к синтезу управления

Таким образом, диссеркшионнан работа яьляеим ак^алшой и ■ или» П'Шуе! современницу > ОС нлнпии и><!|!1111 И (КЛрС'бКт 1!1М

практики Г)рое»тирогашзя "»стен азтомыгзации технологических процессов и производств.

Научная задана работы состоит в разработке на основе научно-методического аппарата теории робастного управления методики проектирования системы автоматизации технологического процесса обжига цементного клинкера при параметрической интервальной неопределенности объекта управления и ограничениях на робастное качество динамических процессов.

Научная новизна работы заключается в обосновании необходимости и возможности применения при автоматизации технологического процесса обжига цементного клинкера научно-методического аппарата теории робастных систем автоматического управления, что позволяет учесть неопределенность математического описания объекта управления, которую следует рассматривать как аппроксимацию слабоструктурированной модели технологического процесса обжига клинкера из-за его сложности и неопределенности информации о его свойствах; в развитии достаточного подхода к анализу робастной устойчивости интервальных харакеристических полиномов, замкнутых систем с фиксированным регулятором и интервальным объектом управления, интервальных динамических систем с запаздыванием с особенностями, присущими технологическому процессу обжига клинкера во вращающихся печах; в разработке методики построения в плоскости параметров регулятора области робастной устойчивости, а также в обобщении данной методики на задачу параметрического синтеза системы автоматизации процесса обжига клинкера по задашым мерам робастной степени устойчивости и робастной колебательное!», что обеспечивает определенный уровень робастного качества

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные автором методики и алгоритмы обладают относительной простотой и приемлемой точностью получаемых результатов и как рекомендаций по использованию научных выводов в своей разработке доведены до уровня практических инженерных расчетов.

К защите представляются: 1) круговой критерий робастной устойчивости систем автоматизации с интервальным обьекгом управления; 2) методика построения ишервалов робаспюй усюйчнвости сис!ем автоматизации процесса обжжа клинкера с запаздыванием в обьекте управления по одному из времен даиапдышшии в предположении, что осмальние запаздывания фикнфсжины; 3) методика выбора нараме1ров на> фойьн

ПИД-регуляторов системы автоматизации процесса обжига клинкера на основе выделения путем робастного Э-разбиения областей робастной устойчивости, робастной степени устойчивости и робастной колебательности; 4) рекомендации по статической оптимизации и :интезу контуров динамической стабилизации системы автоматизации технологического процесса обжига клинкера в цементной печи, работающей по мокрому способу на газообразном топливе.

Апробация работы. Основные положения диссертационной заботы докладывались и обсуждались на: всесоюзной конференции 'Живучесть и реконфигурация информационно-вычислительных и управляющих систем" (Севастополь, 1991 г.), международной юнференции "Ресурсосберегающие технологии строительных материалов, изделий и конструкций" (Белгород, 1993 г.), всероссий-:кой научной конференции "Динамика процессов и ' аппаратов симической технологии" (Ярославль, 1994 г.), симпозиуме Информационные процессы и технологии" (в рамках международного форума "Информатизация-94", Курск, 1994 г.).

Методы исследования. В работе использовались методы еории робастного управления, теории автоматического управления, «тематического программирования, методы интервального анализа. Эсновные расчеты и моделирование выполнены с помощью средств шфровой и аналого-цифровой вычислительной техники.

Связь с научно-техническими программами. Работа ыполнена в соответствие с инновационной научно-технической [рограммой "Трансферные технологии, комплексы и оборудование" тема: "Системы управления высокой живучести для автоматизации ехнологического процесса и оборудования в производстве цементного линкера"), тематикой госбюджетной лаборатории "Автоматизация и обатизация технологии строительных материалов", а также оздоговорной НИР "Разработка методики и инструментальных средств сследования систем управления неполностью определенными инамическими объектами".

Публикации. Осн( шые научные результаты диссертации зложены в 6 научных работах, в том числе в 2 статьях.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, зключения, списка литературы из 110 наименований и содержит 127 границ основного текста, 41 рисунок, 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована научная задача исследования, изложены научные результаты выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается современное состояние проблемы проектирования систем автоматизации технологического процесса обжига цементного клинкера, а также вопросы формализации описания цементнообжиговой печи как объекта управления и выбора научно-методического аппарата исследования.

Как установлено в результате анализа свойств объекта автоматизации и теоретических основ анализа и синтеза автоматических систем - технологический процесс обжига цементного клинкера в силу ряда факторов относится к классу интервальных объектов автоматизации, эффективное управление которым может быть осуществлено благодаря применению систем автоматизации робастного класса. В свою очередь создание таких систем требует наличия формальных методов анализа и синтеза, учитывающих особенности технологического процесса и моделей объекта автоматизации с одной стороны, и обладающих достаточной простотой в использовании на этапах инженерного проектирования систем автоматизации робастного класса с другой стороны. В следствие этого приобретают актуальность вопросы разработки конструктивных критериев робастной устойчивости и методических основ синтеза робастных законов управления, соответствующих "классическим" принципам построения систем автоматизации технологического процесса обжига и позволяющих синтезировать систему автоматизации робастного класса, по возможности, без существенного изменения ее первоначального структурного и функционального представления.

Таким образом, частными задачами диссертационной работы являются:

1) разработка конструктивных критериев робастной устойчивости систем автоматизации с характерным для технологического процесса обжига свойством интервальности и транспортным запаздыванием;

2) разработка методических основ параметрического синтеза систем автоматизации процесса обжига клинкера по заданным мерам робастной устойчивости и робастной модальности;

3) разработка специализированных программных и аппаратных средств анализа и синтеза робастных систем автоматизации

технологического процесса, обжига клинкера, включая средства отладки и испытания управляющих алгоритмов и программ;

4) разработка на основе полученных теоретических результатов инженерной методики и ее применение к решению задачи автоматизации технологического процесса обжига клинкера в цементной печи, работающей по мокрому способу на газообразном топливе.

Вторая глава посвящена разработке конструктивных критериев и исследованию робастной устойчивости систем автоматизации технологического процесса обжига цементного клинкера.

На основе фундаментальных положений теории робастного управления сформулирован и доказан круговой критерий робастной устойчивости, состоящий в следующем.

Рассмотрим обобщенный характеристический полином системы автоматизации

P{s)=iAЛs)B^^S), (1)

где полиномы В* О) = относятся к регулятору и заданы точно,

/.о

а полиномы Ак(а) описывают цементнообжнговую печь и являются интервальными:

ЛЛз) = £аау.|ла -ЯаН Га*,к. =1,2,...,«.

1-0 1 1

Здесь - коэффициенты номинальных полнномов А"ц(.з), У ^ 0 -общий размах возмущений, а*> 0 - масштабы возмущений. Требуе1си оценить робастную устойчивость полинома (1).

Сформируем функции:

Тц (<«) = «1» О) + аъч а + ац о} +• • •,

Як (<У) = во» + СС2к (о2 + аи а)4 +• •• >

(2)

Тогда, для робастной устойчивости полинома (1) доста ючно, чтобы годограф 2(/й>) = />°(у'й)) / Д(й>) при изменении ш 01 0 до » проходил последовательно в положительном направлении п квадрантов координатной плоскости и не пересекал круга с центром в начале координат и радиусом у (^-круг), где рР(]<о) - функция Михайлова номинального полинома, п - порядок номинального полинома, а максимальный радиус у-круга, охватываемого 2[)а), служит мерой робастной устойчивости (круишой критерий)

Предложенный крктерй! № форме совпадает с известным достаточным критерием Поляка-Цыпкина, но в отношении получаемой меры робастной устойчивости В большей степени приближен к необходимым и достаточным критериям, что подтверждено соответствующим доказательством.

Круговой критерий распространен на системы с запаздыванием, что весьма важно, так как модель технологического процесса обжига цементного клинкера во вращающихся печах в общем случае содержит звено транспортного запаздывания. Это позволило разработать процедуру выделения интервалов робастной устойчивости по времени запаздывания при интервальном объекте управления. Показано, что для случая, когда система без запаздывания робастно устойчива с мерой, большей, чем заданная мера робастной устойчивости у0, и

первая и вторая вспомагательные кривые Михайлова имеют одну точку пересечения, критическое время запаздывания т^ определяется

условием:

Гц, = inf Г*, (3)

Г* »{miní^e <»,)},

' где

. / у n+argRlf(ja)-argQM(ja>)±A

Д<«>-arceos •

В формулах (3) й), - интервал критических частот запаздывания, Oi/U®) н Ru(ja>) - соответственно первая и вторчя вспомогательные функции Михайлова, отнесенные к вычисляемой по формулам (2) величине Л(а>). Замкнутая система будет робастно устойчива с мерой у = Y<¡> когда время запаздывания принадлежит интервалу [0; г„р).

Кроме представленных научных результатов во второй главе исследована возможность повышения вычислительной эффективности известного критерия робастной устойчивости систем с запаздыванием Бирмиша-Щи. Теоретически обоснована модифицированная процедура алгоритма данного критерия, позволяющая существенно снизить вычислительные затраты на его реализацию.

В третьей главе рассматриваются вопросы разработки методических основ проектирования робастных алгоритмов стабилизации параметров технологическою процесса обжига цементной) клинкера

Анализ известной методики робасшош D-разбиении Петрова Калика нм'ачяи. чи> данная мекшнка в тчм-.шивичний част облапает

существенным ограничением, состоящим в том, что полиномы при параметрах D-разбиения должны быть фиксированными, а не интервальными как характерно для задачи выбора параметров настройки ПИД-регуляторов системы автоматизации технологического процесса обжига. Преодолеть указанный недостаток удается, если ограничиться построением достаточной области робастой устойчивости на основе достаточного условия по круговому критерию. Дадим теоретическое обоснование этого результата.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы вида (1). Необходимо в плоскости параметров регулятора (любые два коэффициента полиномов Bt (s)) построить область, в пределах которой мера робастной устойчивости не хуже, чем у0>0.

Приведем (1)'к виду

где V и р • параметры 1>разбиения.

Сформируем необходимые функции кругового критерия и запишем критический случай его формулировки:

|1Г(®) + >И(а»)|-г,Л(«). (4)

где и(е)),У(со)- функции Михайлова номинальной системы.

Представим (4) в форме записи относительно параметров Е>-разбиения:

Он ^ + + у+{Ц)М + Оя =0. (5)

На плоскости параметров (V,//) при фиксированной частоте а кривая (5) образует геометрическое место точек (2(а>, уа), для которых радиус /-круга, охватываемого годографом Z{jcS), равен причем данная кривая разграничивает области с у, большим и меньшим /„ и когда уо=0 вырождается в точку границы 0-разбиения номинального

полинома, соответствующую частоте а». При изменении о от 0 до °о кривая О(е>,у0) "зачернит" часть плоскости (и,/*), где нарушается

условие робастной устойчивости по круговому критерию. Кривая О(а>, у0) может строиться или по каноническому уравнению (для чего

необходимо перейти к каноническому базису) или по параметрическому уравнению вида:

Во втором случае полезно проверить знаки инвариантов кривой второго порядка (5).

Таким образом, алгоритм построения области робастной устойчивости Z),(n,y0) состоит в следующем:

1. С использованием известных правил в плоскости параметров (y,fi) строится граница устойчивости номинального полинома P°(s).

2. Выполняется "расширение" границ устойчивости и если потребуется особых прямых.

Оставшаяся часть области устойчивости номинального полинома P°(s) и есть область робастной устойчивости Dr(n,y^.

Методика построения области робастной устойчивости обобщена на задачу построения областей робастной степени устойчивости и робастной колебательности. Пересечение данных областей определяет область робастного качества, так как выбор параметров регулятора из * этой области для полинома (1) гарантирует выполнение ограничений . на колебательность и время переходного процесса. Отличие предложенной методики от известной методики Ефанова-Крымского-Тляшова состоит в более общей постановке задачи и применении частотного подхода, а не менее конструктивного алгебраического.

, Эффективность разработанных методик во многом определяется эффективностью применяемых средств машинного проектирования, анализа и синтеза. Существующие пакеты прикладных программ исследования систем робастного класса ориентированы на цифровые вычислительные машины. В то же время хорошо известно, что при проектировании алгоритмов управления систем автоматизации, включая отладку и испытание программного обеспечения управляющих контроллеров, целесообразно применять аналого-цифровые моделирующие комплексы, один из которых предложен в виде аналого-цифрового моделирующего комплекса АЦМК-32/86. Данный комплекс отличается использованием в качестве его цифровой части цифрового процессора IBM PC/AT, что позволяет соединить в одной вычислительной структуре перспективные информационные технологии и гибридизацию вычислений. Уровень разработки технического и программного обеспечения моделирующего комплекса позволяет достаточно просто и эффективно организовать вычислительный процесс по имитации динамики объекта управления и внешней среды в системах отладки и испытания программных средств управления, и в частности, алгоритмов робастной стабилизации параметров технологического процесса обжига цементного клинкера.

Четвертая глава посвящена разработке и исследованию системы автоматизации процесса обжига клинкера в цементной печи, работающей по мокрому способу на газообразном топливе.

На основе анализа типовых структур систем автоматизации, представленных в работах В. В. Кафарова, Р. И. Ицелева, Л. Г. Берн-штейна, Я. Е. Гельфанда, М. Блюменталя, Г. М. Гофмана и др. зыбрана иерархическая двухуровневая распределенная система »зтоматиэгции а предложена сс реализация на базе управляющих технических средств "Техноконт" (рис. 1).

Arcnet, Ethernet

Рис. 1

В систему автоматизации входят три независимые локальные :темы стабилизации, каждая которых включает ведущий гтроллер сети Bitbus (ТКМ-51 "Master") и несколько полевых гтроллеров с соответствующим набором датчиков и исполнительных санизмов. Локальные системы стабилизации образуют второй >вень иерархии системы автоматизации - уровень динамической билизации. Контроллеры ТКМ-51 через интерфейс RS-232 связаны 1ЭВМ типа IBM PC/AT, являющейся рабочим местом оператора нологического процесса. Данная ПЭВМ с помощью тветствующего программного обеспечения решает задачи гической оптимизации и формирует оптимальный режим обжига в

н

виде "уставок" (первый уровень иерархии системы автоматизации), обеспечивает режим дистанционного управления печным агрегатом и отображение информации о состоянии технологического процесса. Данные об изменении состава шлама и о других низкочастотных возмущениях поступают через локальную сеть организационно-технического уровня (Arcnet, Ethernet).

На уровне статической оптимизации с использованием статической модели сформулирована и решена задача статической оптимизации режимов обжига. Показано, что оптимальный режим, соответствующий минимуму критерия управления (удельный расход потребляемого тепла на обжиг), является высокочувствительным по отношению к вариациям химических и физических свойств шлама. Рекомендуется режимы обжига выбирать с учетом требований по "грубости", заданных максимально допустимым изменением минимума 'критерия управления при возможных изменениях свойств шлама.

Методика решения задач динамической стабилизации при параметрической интервальной неопределенности объекта управления и ограничении на робастное качество проиллюстрирована на примере выбора параметров ПИ-регулятора контура стабилизации температуры материала в конце зоны сушки.

Рис. 2

Структура системы стабилизации представлена на рис. 2, где - соответственно заданное и фактическое значения температуры материала в конце зоны сушки, °С, АО • необходимое изменение расхода газообразного топлива, мV*. к = 0.0064 16.4-10"' - коэффициент усиления объекта управления, °С/.«5/ч, Г = 26 ± 2.6 - постоянная времени объекта управления, мин, г= 16 - время запаздывания объекта управления, мин.

и

На рис. 3,а приведена область робастной устойчивости замкнутой системы относительно параметров регулятора к/ и кг с мерой робастной устойчивости у» = 2. Область ¿>г(2,2) - »то часть области

устойчивости номинального полинома, оставшаяся после "расширения" кривой 1 в полосу 3. Кривые расширения (2(<о, у0) представляют собой эллипсы, а особая прямая 2 не расширяется, так как ее уравнение (к,=0) не зависит от параметрических возмущений.

На рис. 3,6 представлены соответствующие построения для определения области робссткгго качеств» где - область

робастной степени устойчивости ц-0.015 с мерой у, = 1, 0„ • область робастной колебательности тг »0,256 с мерой у, = 1. При выбранных параметрах регулятора (к,=7.5, Л>=135 (точка А)) мера робастной устойчивости номинального полинома, вычисленная по круговому критерию, равна 3.356 и интервал робастной устойчивости по параметру г с мерой робастной устойчивости у0 = 2 равен 10; 22.341.

Аналого-цифровое моделирование контура системы стабилизации температуры материала в конце зоны сушки с выбранными параметрами регулятора подтвердило соответствие заданным показателям робастного качества.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Исследована возможность рассмотрения технологического процесса обжига цементного клинкера как неполностью определенного объекта управления, что делает целесообразным использование на этапе проектирования системы автоматизации данного процесса научно-методического аппарата теории робастных систем автоматического управления.

2. Сформулированы и доказаны более эффективные, чем известные достаточные критерии робастной устойчивости интервальных характеристических Полиномов, замкнутых систем с фиксированным регулятором и интервальным объектом, интервальных динамических систем с запаздыванием, характерных в случае автоматизации технологического процесса обжига цементного клинкера во вращающихся печах. Усовершенствован алгоритм анализа робастной устойчивости систем с запаздыванием по критерию устойчивости Бармнша-Шн.

3. Разработана методика построения интервалов робастной устойчивости систем автоматизации технологическою процесса обжша

и

Рис. 3

клинкера с элементами запаздывания в объекте управления по одному из времен запаздывания в предположении, что остальные запаздывания фиксировании. Данную методику можно рассматривать как "робастное" расширение классической методики построения интервалов устойчивости систем с фиксированными характеристическими квазиполиномами на основе критерия Михайлова.

4. Разработана методика построения области робастной устойчивости в плоскости параметров системы автоматизации когда полиномы при искомых параметрах являются интервальными, а не фиксированными как в известной постановке задачи робастного О-разбиения Петрова-Поляка. Показано как методика построения области робастной устойчивости может быть использована для построения области робастной степени устойчивости и'робастной колебательности, т.е. для параметрического синтеза систем автоматизации процесса обжига клинкера, обладающих робастным качеством.

5. Разработана и исследована система автоматизации технологического процесса обжига в цементной печн, работающей по мокрому способу на газообразном топливе. На статическом уровне обоснована общая функциональная схема, выбраны управляющие технические средства, оптимизированы статические режимы обжига с учетом требований по их "грубости" при вариациях химических и физических свойств шлама. На динамическом уровне проектирования с использованием полученных теоретических результатов и инженерных методик синтезирована система автоматизации тепловых режимов печи по заданной мере робастного качества. Эффективность системы автоматизации подтверждена аналого-цифровым моделированием динамических процессов при интервальной неопределенности объекта автоматизации. В целом, представленная система автоматизации, с одной стороны, по своему структурному, функциональному и техническому исполнению отражает современный уровень развития практики проектирования систем автоматизации технологического процесса обжига цементного клинкера, а с другой стороны, синтезирована как система автоматизации робастного класса, что является первой попыткой применения научно-методического аппарата теории робастного управления при решении задачи автоматизации цементнообжиговых печей.

6. Предложенные алгоритмы анализа и синтеза систем автоматизации с интервальным объектом управления доведены до уровня инженерных методик и могут быть использованы при

проектировании робастных систем автоматизации технологических процессов в производстве строительных материалов. Для повышения эффективности данных алгоритмов разработан пакет прикладных программ, позволяющий автоматизировать Процесс исследования и совместно с комплексом АЦМК-32/86 отладить и испытать программное обеспечение управляющих контроллеров контуров стабилизации.

Основные положения диссертации изложены в работах:

1. Рубанов В.Г., Подлесный В.Н. Оптимизация химико-технологических процессов обжига //Тезисы докладов всероссийской научной конференции "Динамика Процессов и аппаратов химической технологии", Т. 1, Ярославль, ЯГТУ, 1994.

2. Подлесный В.Н., Мишунйн В.В. Робастная оптимальная система маршрутослежения Транспортного робота / / Тезисы докладов международной конференции "Ресурсосберегающие технологии строительных Материалов, изделий И конструкций" -Белгород, БТЙСМ, 1993.

3. Маркелов A.M., Дубройа В.И., Подлесный В.Н. Анализ живучести сети связи методом имитационного моделирования / / Тезисы докладов всесоюзной конференции "Живучесть и реконфигурация информационно-вычислительных и управляющих систем", Севастополь, 1991.

4. Маматов A.B., Мишунин В В., Подлесный В.Н., Рубанов В.Г. Аналого-цифровой моделирующий комплекс на базе аналогового процессора АВК-32 и ПЭВМ IBM PC/AT // Электронное моделирование, 1995, N1.

6. Отчет о НИР "Разработка методики и инструментальных средств исследования систем управления неполностью определенными динамическими объектами" / A.B. Маматов, В.В. Мишунин, В.Н. Подлесный, В.Г. Рубанов, N гос. per 01940001430, Белгород, 1994.

7. Рубанов В.Г., Подлесный В.Н. Достаточные условия робастной устойчивости интервальных характеристических полиномов // Известия вузов. Электромеханика, 1995, N1.