автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.02, диссертация на тему:Анализ и синтез систем управления с нестабильными параметрами методом типовых уравнений с максимальной степенью устойчивости

На правах рукописи

Гущин Михаил Александрович

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕСТАБИЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ТИПОВЫХ УРАВНЕНИЙ С МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ УСТОЙЧИВОСТИ

Специальность: 05.02.02 - машиноведение, системы приводов и детали машин

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

16 МАЙ 2013

005057980

Санкт-Петербург 2013

005057980

Работа выполнена в Балтийском Государственном Техническом Университете «ВОЕНМЕХ» имени Д.Ф. Устинова, г. Санкт-Петербург

Научный руководитель: Д.т.н., профессор, Заслуженный деятель

науки и техники РФ A.M. Потапов

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Королев Владимир Александрович

кандидат технических наук, доцент Черкасов Олег Федорович

Ведущая организация: Государственный научный центр Российской

Федерации Федеральное государственное автономное научное учреждение "Центральный научно-исследовательский и опытно-конструкторский институт

робототехники и технической кибернетики"

Защита диссертации состоится « ЯЬ» 2013 года в і б часов на

заседании Совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д.212.010.03 Балтийского Государственного Технического Университета «ВОЕНМЕХ» имени Д.Ф. Устинова по адресу: 190005, г. Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д.1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « 2013 года.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета / /Петров Ю.В./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Проблема создания и исследования квазиоптимальных по качеству многомерных динамических нелинейных и, особенно, приводов с нестабильными параметрами, высокого порядка (4 и выше) в последние годы становится особо актуальной в теории и практике управляемых машин и механизмов и в общей теории управления. Имеется развитая теория и достаточно много пакетов прикладных программ (ПП) проектирования и настройки, известны аналитические методики анализа и синтеза приводов и систем управления, но методы теории нестационарности сложны для практики и остаются спорные вопросы и «белые пятна» и в теории и в практике их применения.

Данная работа носит теоретический и прикладной (инженерный) характер и посвящена исследованию типовых приводов и систем управления (СУ) - нелинейных и с нестабильными параметрами. Исследования построены на базе метода типовых уравнений (стандартных коэффициентов, стандартных полиномов и т.д.), которые дальше будем называть типовыми нормированными характеристическими уравнениями (ТНХУ). Как показывают многие работы, наиболее перспективными из них являются ТНХУ с максимальной степенью устойчивости (ТНХУ-МСУ или ТНХУ-СУ).

Цель данной работы - обобщить исследования структур и характеристик типовых уравнений с максимальной степенью устойчивости (ТНХУ-МСУ), и на их базе разработать более эффективные и удобно применимые на практике методики и расчетные алгоритмы настройки и исследования нелинейных СУ и приводов с нестабильными параметрами.

Решаемые задачи:

- исследовать влияния настроек на точность и качество переходных процессов типовых СУ для структур ТНХУ-МСУ;

- дать анализ динамических характеристик структур ТНХУ-МСУ высокого порядка (5-10);

- оценить устойчивость параметрически возмущенных структур ТНХУ-МСУ с нестабильными параметрами;

- представить ТНХУ-МСУ в форме ЛАХ и разработать новый метод синтеза САУ в частотной области на основе этих структур эффективнее метода Бесекерского;

- показать аналитическую взаимосвязь показателей качества САУ во временной, частотной и корневой областях для структур ТНХУ и ТНХУ-МСУ любого порядка.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложен новый эффективный частотный метод синтеза САУ в форме ЛАХ на основе ТНХУ-МСУ и полностью разработаны алгоритмы его применения.

2. Разработаны легко применимые на практике методики и алгоритмы исследования и настройки нелинейных приводов и СУ с нестабильными параметрами с МСУ на заданные показатели качества.

3. Получены аналитические взаимозависимости показателей качества САУ во временной, частотной и корневой областях.

Практические результаты:

1. Практически (на многих цифровых примерах) показана большая эффективность настройки САУ (в среднем, по времени переходного процесса на 30%, по перерегулированию на 80%), особенно систем с нестабильными параметрами, на максимальную степень устойчивости по сравнению с обычной настройкой.

2. Результаты синтеза разных структур САУ по ЛАХ с МСУ эффективнее, чем по известному методу Бесекерского-Федорова, по показателям качества (в среднем, по времени переходного процесса на 40-60%, по перерегулированию на 60-80%, по запасам по амплитуде и фазе на 50-100%);

3. Проведена экспертная оценка влияние настроек для типовых нелинейных САУ на показатели качества (например, точность и качество переходных процессов) и предложены структуры и варианты настроек.

4. Получены зависимости, позволяющие «связать» показатели качества в разных областях (например, предпоследний определитель Гурвица Нп_г с запасом по амплитуде в (дБ) - и т.д.). Это удобно для многих практических задач.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- метод и рабочие алгоритмы синтеза САУ в форме ЛАХ на основе ТНХУ с максимальной степенью устойчивости;

- методика выбора «желаемой» структуры в форме ТНХУ-МСУ и ее настройка в плоскости показателей качества приводов и СУ с нестабильными параметрами;

- динамические характеристики структур ТНХУ-МСУ с 4 по 10 порядок в стационарных и нестационарных режимах;

- методика оценки влияния настроек на точность и качество переходных процессов нелинейных САУ для разных структур ТНХУ-МСУ;

- аналитические взаимозависимости показателей качества САУ во временной, частотной и корневой областях.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждены на 2-х Всероссийских и международных НТК и опубликованы в одной

монографии и 5 статьях и докладах. Материалы диссертации внедрены так же в учебный процесс в курсы «Основы проектирования следящих систем и комплексов» и «Проектирование автоматических систем» в БГТУ «ВОЕНМЕХ» имени Д.Ф. Устинова. По материалам диссертационной работы в 2012 году немецким издательским домом «LAP LAMBERT Academic Publishing» опубликована монография. Всего имеется три акта внедрения результатов на двух предприятиях и в учебный процесс.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены основные проблемы создания и исследования квазиоптимальных многомерных систем высокого порядка, сформулирована цель и поставлены задачи данной диссертационной работы. Отражены практические результаты, а так же апробация работы.

В первой главе диссертационной работы изложены известные основы и сущность типовых уравнений и методика их построения [6]. Как известно, целью параметрического синтеза является определение оптимального или квазиоптимального корректирующего вектора:

ге = [ае1,...,аеп]7'. (1)

Алгоритм весьма тривиален и состоит в «приведении» исходной модели, представленной в нормальной форме записи:

х = Ах + Ви у = Сх

к «желаемой» оптимальной или квазиоптимальной структуре (модели) с заданными показателями качества (известной реакцией на «скачок», заданным распределением корней, желаемой частотной характеристикой, запасами по фазе и амплитуде и т.д.) за счет выбора требуемых параметров корректирующего вектора (1).

Так же показана квазиоптимальность ТНХУ по точности и быстродействию во временной и частотной областях [6,*].

* A.M. Потапов, A.A. Потапов. Теория и характеристики типовых уравнений с МСУ четвертого порядка // Робототехника и мехатроника. Сб. трудов, РАН. М-СПб, 1996, стр. 153-163

Частотные возможности ТНХУ оцениваются по логарифмическо-частотным характеристикам в сравнении с оптимальными характеристиками по Солодовникову-Матвееву и «близки» к ним - широкополосные с большими запасами по фазе и амплитуде.

Анализ структур с МСУ проводился в сравнении с хорошо известными структурами управления в форме ТНХУ - GL (Грехема-Летропа, США) и В (Баттерворда - Англия).

Под максимальной степенью устойчивости подразумевается:

„ _ г _ -Лп-1 ^ *

Чтах Lmax ~ п

При этом, если А'0 = 1.0, то J^Jjc, = 1.0 и \Rexi\ < 1.0. (2)

Очевидно, что Т]тах соответствует минимальная длительность (t2mln) реакции системы на скачке. Если выбрать ТНХУ с Т]тах, то запас устойчивости

у = min будет: у = -z = max, при с -* max, а ß -» min. (3) \piJ ß

При этом перерегулирование - впо -> 0.

Так как xi i+1 = —с ± jßi или Xj = —с,

то, выполняя условие (2) и выбирая различные корни, можно удовлетворить условию максимального запаса устойчивости (3). Тогда колебательность

системы: ц = (-) = —^— = min.

^c'min Ymax

Следовательно, ТНХУ с максимальной степенью устойчивости (ТНХУ-МСУ или ТНХУ-СУ или еще проще - СУ-1, СУ-2,...) обладают высоким быстродействием, малым перерегулированием и большим запасом устойчивости.

Во второй главе произведен анализ настроек на точность и качество переходных процессов. Методика «показана» на типовых системах четвертого порядка. Анализ точности нелинейных стационарных СУ 4-го порядка в форме ТНХУ проводится с разными настройками инвариантных сигналов т[ по каналу управления, в гармоническом режиме, при наличии типовых нелинейностей. Выбрано семь типовых схем и шесть ТНХУ (GL, СУ-1, СУ-2, СУ-3, СУ-4 и СУ-5). Настройки ведутся по известным методикам, предложенным A.M. Потаповым, через коэффициенты гармонической линеаризации. Нелинейности учитываются в любом канале СУ - канал компенсации, прямая цепь, скоростная обратная связь и др. Учитываются от одной до трех нелинейностей.

Цель анализа - провести анализ влияния настроек т[ из условия минимизации установившейся ошибки СУ и качества переходного процесса (НИ) и свести результаты в таблицу с «количественной» оценкой той или

иной настройки для всех вариантов структур и схем (для удобства по «5-ти» бальной системе). Учитываемые нелинейности: зона нечувствительности, насыщение, сухое трение,

нечувствительность-насыщение (ограничение), статический люфт.

Исследовались два режима: гармонический с параметрами ад = 0.05sin0.52t и режим единичного скачка ад = l(t) при нулевых начальных условиях.

Исследования базируются на идеях Е.П. Попова о расчете одночастотных вынужденных гармонических колебаниях нелинейных систем и сама методика предложена A.M. Потаповым. Были выбраны различные варианты расположения нелинейности, а так же варианты с несколькими нелинейностями одновременно.

Результаты расчетов более 1200 настроек и установившихся ошибок для каждой из них нелинейных следящих систем на основе ТНХУ сведены в таблицы. По результатам расчетов построены графики Qy(t).

Произведена оценка качества переходных процессов путем моделирования, используя метод «припасовывания». Рассмотрены различные варианты нелинейностей — зона нечувствительности, насыщение, нечувствительность-насыщение, сухое трение и люфт. Результатом данного исследования стала таблица «предпочтительного выбора» для того или иного уравнения той или иной настройки для каждого из рассмотренных случаев. Пояснения к таблице 2:

5 - характер процесса сходящийся;

4 — характер процесса сходящийся, но отклонение первой гармоники от амплитуды входного сигнала существенное и процесс сходится медленно;

3 — систему при прохождении сигнала через нелинейность начинает «выбрасывать». Но после прохождения нелинейности система стабилизируется. Иногда эти «выбросы» очень значительны, поэтому нужно быть готовым к такому поведению системы;

2 - характер процесса «медленно» расходящийся;

1 - характер процесса расходящийся, система неустойчива.

*- Показывает, что при одинаковом характере переходного процесса, предпочтительной является данная настройка. Общий вывод по приоритетным уравнениям: СУ-2 и СУ-5.

Таблица 1. Характеристики ТНХУ

GL СУ-1 СУ-2 СУ-3 СУ-4 СУ-5

іЦ 2.1 3.0 4.0 3.1 2.9 2.9

А; 3.4 4.25 6.0 4.467 4.1 4.17

А\ 2.7 3.0 4.0 3.2 2.9 3.0

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

4.7 5.05 7.8 5.5 6.8 5.05

1.6 3.9 0 1.2 5.2 3.04

ч 0.422 0.75 1.0 0.775 0.725 0.725

д 3.003 0.88 0 0.54 0.95 1.47

г 0.333 1.135 00 1.85 1.05 0.82

Таблица 2. Сводная таблица выбора предпочтительной настройки

Канал компенсации Прямая цепь Обратная связь по ско] гости

Зона іечувств Насы щен. Нечувств Насыщ Зона іечувств Насы шен. Нечувств Насыщ Зона течувств Сухое грение Люфт Насы щен. Нечувств Насыщ

Интеграл. 1 4 4 4 4 3 1 1 4 1 1

-J о Уср. интеграл 4 4* 4 4 4 3 1 1 4* 1 1

Линейная 1 4 4* 5 5 3* 1 t 4* 1 1

Интеграл. 3 3 3* 3 3 5 4 1 1 4*

>> и Уср. интеграл 3 3* 3 3 3 1 4 1 1 4 1

Линейная 3* 3 3 3* 4 1 4 1 1 4 1

Интеграл. 1 1 2 4 4 1 2 1 4 2 1

>> и Уср.интеграл 1 1 1 1 4 1 2 1 5 2 1

Линейная 5 1 2 5 5 1 2 1 5 5 1

Интеграл. 3 3 3* 4 4 3 г 1 4 2 1

>> и Уср.интеграл 3 3* 3 1 4 1 2 1 4 2 1

Линейная 3* 3 3 5 1 3* 2 1 4* 2 1

Интеграл. 1 3 3 3 3 1 3 1 1 1

Уср.интеграл 1 3* 3* 3 3* 1 3 1 4 1 1

Линейная 3 3 3 3* 3 1 3 1 4 1 1

Интеграл. 1 3 4 4 4 1 1 1 5 1 1

>> о Уср.интеграл 1 3 3 4 4 1 1 1 5* 1 1

Линейная 1 3* 4* 5 5 1 1 1 5* 1 1

В третьей главе продолжен детальный анализ ТНХУ-МСУ и произведена оценка их динамических характеристик при вариациях параметров [5,6]. Произведен анализ характеристик при вариациях параметров разными способами и сопоставим результаты. Тем более каждый способ имеет свои как «сильные», так и «слабые» стороны.

Первый способ анализа устойчивости - аналитический, заключающийся в получении так называемых функций чувствительности первого порядка для диагональных определителей матрицы Рауса-Гурвица:

с"! -дЛ. 4 ~ ал', '

где Hj - j-ый диагональный определитель матрицы Рауса-Гурвица.

Разбраковка проводилась по точности при нестационарности параметров системы при гармоническом входном воздействии вида:

ад = а„ sin<u)Ht.

По выражению для установившейся погрешности следящей системы (СС) при гармоническом входном воздействии:

0у(*>н) = 0„(ш„) sin(w„t + 8) + ©п. , при допущениях, что 0СХ = 0 и время t = const, используя выражения

= (4)

и предположение, что инвариантные сигналы от входной управляющей координаты отсутствуют, получаем следующие функции чувствительности ошибки для нестационарных параметров А'0 — А'3:

= -2амсон(А'0 -

В(&>п) . с3(шн)'

5л/ю = г^^сл, - ЛзЫн2)7=== ;

5л, («„) - 2ам^н -Щ^ТЩ -

В(ш„)й>Ц-С(ш„)

-«-«VI -->-»' ¿Щ^лсЧ^

Графики функций (4) и (5) для всех структуры СУ-1 показаны на рисунке 3. Функции и всех

А1 А3

ТНХУ имеют по две «особые» точки, в которых ординаты графиков этих функций равняются нулю. Таким образом, в этих точках изменение коэффициентов А[ и А'3 не оказывают никакого влияния на ошибку системы, следовательно, зная частоту эквивалентного -о.б гармонического режима шкэ =

/йа.

абсциссу

Рисунок 3. Графики функций чувствительности ошибки для нестационарных параметров А'0 — А'3

критической точки Лк, мы можем из соображений обеспечения

минимальной ошибки выбрать коэффициент нормирования. Чтобы выбрать одну из этих точек, введены в рассмотрение среднеквадратичные функции чувствительности ошибки системы с учетом изменений коэффициента А'0. Графики приведены на рисунке 4.

Разбирая графики, мы приходим к выводу, что для настройки системы на минимум

установившейся погрешности в гармоническом режиме, в качестве шн при расчете коэффициента нормирования, следует выбирать частоты из диапазона 0 < о)н < соа, где ша - частота точки пересечения прямой, проведенной параллельно оси абсцисс через точку минимума 55£( (а)н) а'.

Рисунок 4. Графики среднеквадратичных функции чувствительности ошибки системы с учетом изменений коэффициента А0

Таким образом, рекомендуемый в учебнике по теории управления Е.П. Попова метод настройки

»і

К '«И-

Ш-

Я'

Черноруцкого не приводит к неустойчивым структурам, но существенно «проигрывает»

настройке на максимальную степень устойчивости.

Далее приведена достаточно простая, а главное - наглядная методика выбора настройки и построения областей устойчивости в

плоскости показателей качества нестационарной системы управления. Для построения

графиков использовалась система 4-го порядка, т.к. системы более высокого порядка, как было выяснено, ведут себя аналогично.

Построим графики зависимостей частотных

показателей (АЬ и М ), временных

показателей (впо и /2и) и предпоследнего определителя Гурвица при изменении гг го (рассматриваются случаи, когда все г,

Таблица 3. Результаты настройки МСУ и ПЧ

Урав нение т *2„ ! Ь > нс^с

гг=г3=0.5 г2=0.5 ПЧ 10.78 5 60.12 19.855/1.84

СУ-2 18 2 27.68 9.79/0.544

СУ-3 18 5 55.94 18.46/1.03

гг=г3=0.6 г2=0.6 ПЧ 10.78 3 38.59 13.44/1.247

СУ-2 18 1 14.57 7.84/0.435

СУ-3 18 3 33.69 11.97/0.669

г1~г3-0.66 г2=0.706 ПЧ 10.78 2 27.45 10.676/0.99

СУ-2 18 1 10.45 8.87/0.493

СУ-3 18 1 22.3 7.3/0.41

• I •

I

. 4-4..

Рисунок 6. Вариант выбора настройки при известном разбросе параметров

И.......ГГЛГ......"■ 1............'............**......."1............;.......*Т..........*....................................

И і Я

13 т

:ч і:

її

2! 10 •¿Г"

и

КІІ

20 40 ;

п

35 :

1 * * 3«"

1ГІ

Г \ I !о"

0.6

\С

Рисунок 7. Вариант выбора настройки по ТЗ

изменяются одинаково). По полученным данным (точкам) просто строятся приближенные (аппроксимированные) графики, представленные на рисунках (6 и 7).

На рисунках видно, что предпоследний определитель Гурвица «ведет себя» аналогично с частотными функциями, характеризующими запасы по фазе и амплитуде. Из этих графиков можно сделать и другой вывод.

Теперь можно на основании зависимостей той или иной характеристики от г, просто и наглядно выяснить, какая система и как будет «себя вести» при заданных ограничениях. Допустим, нам задано максимально возможное перерегулирование и время регулирования. По данным этих графиков можно выяснить для каждой системы ее возможные режимы работы. Для этого необходимо провести горизонтальную линию, соответствующую границе требований к системе. При пересечении с графиком нужного параметра проводим вертикальную прямую и наглядно получаем «крайние» режимы работы. Тут же получаем информацию о частотных характеристиках, то есть о запасах по фазе и амплитуде в «рабочем» диапазоне. И наоборот, если заданы минимальные запасы, то сразу же можно узнать всю необходимую информацию о временных характеристиках.

В пятой главе рассматривается новый [1,6] метод синтеза САУ на базе ТНХУ-МСУ в форме JIAX. Решается задача совмещения в одном методе достоинств частотных и дифференциальных методов синтеза, а также замены показателя колебательности «М> в известном методе синтеза В. А. Бесекерского, достаточно произвольного критерия, на стандартные временные характеристики/время регулирования, перерегулирование и др./, которые присутствуют в любом ТЗ на проектирование Метод и алгоритмы синтеза с примером подробно изложены в [1] и не имеет ограничений по порядку САУ и ее структуре. Здесь из-за ограниченного объема кратко поясним суть методики на примере САУ 4-го порядка.

Для исходного уравнения

х4 + А'3х3 + А'2х2 + А[х + 1 = О

имеются варианты корней

В1

и ограничения из уравнений Виета:

Передаточная функция замкнутой системы:

В1: Ф„(р) =

= ' °>*2 = ■

В2: фАР) = -<-, -гт , ВЗ: ФЛР) = —~ .

Щ=с ; <ая1 =лЛс = 1/с. (ц = с = 1 * с"'

Заметим, что фактически имеем 4 варианта корней. Итак, вид ЛАХ-МСУ полностью определяется величинами и ои2 и систему (9) можно

представить относительно этих величин:

4142=!; с<«„, < 1; 1 <й»„2 <с-'; #,=с<у-'; (10)

Из этих условий вытекают четкие свойства нормированной ЛАХ-МСУ [1]. Можно показать, что система неравенств (10) для ЛАХ-МСУ и-порядков будет иметь вид:

л/2 (я-2)

При чётном«: с<1; с < < 1; 1<гиятх<с 2 . (11)

¿=1 (■-I)

2 /7 ГТ ГТ '"~2)

При нечётном «: с<1; ; с<й>„^в "-^-¿«„^ <с 2 . (12)

Графически это рисунки 8 и 10. При синтезе системы с МСУ выберем степень устойчивости на основе временных критериев (, впо %) На рисунках 9 и 11 приведены диаграммы качества для четных и нечетных порядков. Они построены на основе анализа всех вариантов корней зависимостей (11) и (12) и определенного выбора сопрягающих частот <ун1-при фиксированных с.

Анализ всех зависимостей дает ожидаемые результаты. С ростом порядка уравнения растут значения впо и (р при одних и тех же значениях с. Для случая комплексных корней существует ограничение при выборе с > 0.75, иначе структуры становятся неустойчивыми. При уменьшении с можно добиться более быстродействующих переходных процессов. Резкие переходы в графиках 1р = f (с) объясняются появлением «перебегов» в переходном процессе.

Алгоритм формирования ЖЛАХ-МСУ следующий:

1) По заданному максимальному перерегулированию из графика зависимости &л„жор(с) определяется нижняя граница значения степени

устойчивости . То есть при любых структурах со значением с > ст1П перерегулирование будет гарантированно меньше заданного;

•2) Определяется значение нормированного времени регулирования 1ри для выбранной структуры: из графика зависимости '/>„„„,,, (с) или из построения

КО;

3) Нормированная желаемая передаточная функция будет иметь вид: а) при четном порядке:

4) Назначается коэффициент нормирования к, из условия обеспечения заданной динамической точности и заданного быстродействия:

где 1,1 - нормированное и заданное значения времени регулирования соответственно;

Оад„ - максимальная скорость изменения задающего воздействия; вдоп - заданная максимально допустимая динамическая ошибка. Для обеспечения заданной точности можно нормированную ЛАХ сдвигать вправо для того, чтобы система имела необходимую добротность по

скорости: ка = —^ .

вдо„

После этого можно воспользоваться формулой для определения кл 5) При наличие инвариантных сигналов проводится их синтез[1]. На примере сравнения данного метода с методом ЖЛАХ Бесекерского получены следующие результаты:

ЛАХ-МСУ: <?„„ = 0%, 1р = 0.0299 е.; ЖЛАХ Бесекерского: впо = \2%, =0.393с.

Метод ЛАХ-МСУ удобен и очень практичен при синтезе систем максимального быстродействия, а так же для систем, работающих в нестационарных условиях и при переменной нагрузке.

В шестой главе предложены аналитические взаимосвязи показателей качества систем автоматического управления во временной, частотной и комплексной областях [2,4,6]. Здесь получены аналитические зависимости, связывающие запасы по амплитуде и фазе, определенные по ЛАХ и по коэффициентам характеристического полинома, например, ТНХУ.

Ф„0>) =-г =-т>

(_р2+2^юн1р + а>:,У (р2 +2ср + 1)2 б) при нечетном порядке:

<».(/>) =---ЕГ =---

(р + щ)(р2 + 2^еолр + а2н1) 2 (р + с)(рг+2рс + с -') 2 Передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

1-2

Т.е. ищем: АЬ = /(А,)и Д<р = /(Д), где А, - коэффициенты характеристического полинома любого порядка.

В общем случае: Д£ = 20 ^ ДА.

Из рисунка 12 следует, что: -1 = -АА -17(и>), где н>- та частота, при которой мнимая составляющая АФХ обращается в ноль, или

У(п>) = 0.

Выражение (13) позволяет найти: ю = /(Д), и далее вычислить АА для любого уравнения, а затем по (13) и Д£,дБ.

Так, ДА = 1-й (к).

Поэтому, если, например, характеристический полином:

р" +А„,1р"~1 +...+А1р + А0 =0, то, выделяя вещественные и мнимые части (14) получим:

и(ы) = /и(А„п-) И К(и') = Л(4,и').

Для разомкнутой системы: и (к) = и О) - А0. Если имеется ТНХУ, то: Аа =1.0 и и (к) = £/(и>) -1. Теперь об оценке запаса по фазе. Так как: Лср = 180° + ф(шс),

а А V

е-}

-ио

\ «А дф^/

\ , \ І / \ і/ ч* л' 1 """

1 ■0

Рисунок 12. АФЧХ устойчивой системы

(14)

где:

ф(шс) = -аг^-

(15)

(16)

(17)

Пусть

(18)

Находим сос из условия |(Г(]'сос)[ = 1 и выражения (15) Иначе это: гУр2(сос) = 1-К2(мс).

г,(ш) = и;(а>) г2(со) = 1-Г2(а>)

Совместно решая систему уравнений (18), из условия г1((о) = г2(со) находим . Далее, по зависимостям (17) и (16) определяем величину - Дер.

В ряде случаев полезно знать зависимость АЬ и Дір от корней, или

Д£ = /(с,Э,).

Воспользуемся приведенной выше методикой и формулами Виета и покажем это на примере системы 4-го порядка.

Пусть: хц = —с±і-у/к, -с2 и х34 =-с±ід/к

где к, к, =с2+р^ и к2 =с2+Рг.

В соответствии с уравнениями (15), (19) и (9) имеем:

цр{а) = -Ас + (20)

В теории управления приняты одинаковые по названию характеристики качества - запас устойчивости по модулю /по усилению/ - АЬ в дБ и у в обычных единицах, т.е. частотные и корневые оценки, которые имеют совершенно разные значения. Но иногда полезно иметь их аналитическую зависимость. Покажем это на уже рассмотренном выше случае, для п=4, хотя никаких ограничений по порядку уравнения нет.

Найдем зависимость Л£ = /(с, Д, у): Д£ = 20 ^

(ш)

(21)

В то же время [2]: у = ~ или с = . (22)

Представим (21) сучетом (22): Д£ = 20^1-2у2р^(к, +к2) + І^.

Известна косвенная оценка запаса устойчивости по предпоследнему определителю Гурвица (#„_,), но это лишь число, определяемое по коэффициентам характеристического уравнения. Пусть #„_, равен 10 или 40. Но эти цифры мало что «говорят». Очевидно, чем больше число, тем лучше [2], но связь с другими оценками получена только для структур с МСУ [2]. Вопрос «сколько надо?» и «как //„_, представить через известные показатели качества?» остается.

Вычислим Д£ = УГ#„_,,с,Д).

Воспользуемся зависимостями (9) и (19)-(21) и выражением для //„_,. Покажем на том же примере СУ-3.

Как известно, #„_, = а[а'2а'3 - а\ - а'3 .

Учитывая (9) и (20) получим: Н„_х = 4с2(8с2А-, +8с2к2 +к] +к] +2к,к2 -4) ,

+к2)_ к,кг~

_2(8с2і, +8с2Л, +к2 +2кхкг -4) 2

Чаще задаваясь Аітрсб, находим при разных корнях зависимости (23) и требуемые #„_,.

Заметим, что полезно иметь аналитические зависимости определителя Гурвица от величин у, Ц и с. Как давно и справедливо отмечали Я.З. Цыпкин, А.Г. Ивахненко и другие, г] и //п_, напрямую характеризуют быстродействие системы для колебательных процессов. Покажем, что и числовая оценка Яп , может быть связана не только с коэффициентами уравнения движения, но и другими более привычными показателями и точными алгебраическими зависимостями.

или и (ю) = -

(23)

Так, для п = 4 ТНХУ-МСУ имеем:

и

X

-1--V, при к^к2.

Очевидно, колебательность: ц = -.

Y

Для п = 5, при = : у =

Н4+{а:А;-1)2-Л2А;+Л;{Л-2)2 sVVc^-c2^;^;-^;)2)

Таким образом, получены достаточно тривиальные алгебраические зависимости, которые представляются нам полезными и перспективными ввиду отсутствия ограничения в порядке систем.

В итоге исследований получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый метод и рабочие алгоритмы синтеза линейных и гармонически линеаризованных САУ произвольного порядка с МСУ на базе ТНХУ и JIAX более эффективный, чем известный метод Бесекерского-Федорова по показателям качества (в среднем, по времени переходного процесса на 40-60%, по перерегулированию на 60-80%, по запасам по фазе и амплитуде на 50-100%).

2. Получены зависимости, связывающие показатели качества САУ во временной, частотной и корневой областях (предпоследний определитель Гурвица Нп_1 с запасом по амплитуде ДЦдБ); коэффициенты уравнения движения с запасами по амплитуде ДЦдБ) и фазе Д<р(град); í/n_i со степенью устойчивости и т.д.) для 4-го, 5-го и 6-го порядков, что удобно для многих практических задач.

3. Предложена удобно применимая на практике методика выбора «желаемой» структуры ТНХУ-МСУ и ее настройка в плоскости показателей качества нестационарной САУ.

4. При сравнительном параметрическом синтезе модели силового привода-манипулятора методом Г.С. Черноруцкого (изложенного в учебнике по САУ Е.П. Попова «Теория линейных систем автоматического регулирования и управления» //М., Наука, 1989г., с. 186) и методом ТНХУ показан эффект настройки на максимальную степень устойчивости, особенно при нестабильных параметрах - до 30% по времени переходного процесса и в 3 раза по перерегулированию.

Заключение

5. Предложена методика выбора настроек САУ для нелинейных систем любого порядка и с любым числом гармонически линеаризованных нелинейностей. Полученная статистика (для 4-го порядка ТНХУ более 1200 вариантов настроек) указывает на значительное влияние настроек на показатели качества системы. Результаты сведены в таблицу и дана 5-ти балльная оценка, характеризующая устойчивость САУ при конкретной настройке. Публикации:

В изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. A.M. Потапов, М.А. Гущин. Частотный анализ и синтез систем управления с максимальной степенью устойчивости // «Мехатроника, автоматизация, управление» №5, 2007, с.3-10.

2. A.M. Потапов, М.А. Гущин. О связи показателей качества систем автоматического управления во временной, частотной и корневой областях // Мехатроника, автоматизация, управление, №2, 2011г, с.50-53.

Другие издания:

3. A.M. Потапов, М.А. Гущин. Анализ устойчивости структур с максимальной степенью устойчивости в нестационарных режимах // труды 9-й Всероссийской НТК, т.5. «Экстремальная робототехника», РАРАН НПОСМ, СПб, 2006, с.275-282.

4. A.M. Потапов, М.А. Гущин. О связи показателей качества и настройке типовых структур с МСУ // Труды 10-й Всероссийской НТК, т.5, РАРАН НПОСМ, СПб, 2007, с 166-173.

5. М.А. Гущин. Оценка влияния на устойчивость и точность структур с МСУ в нестационарных режимах // Актуальные вопросы ракетно-космической техники и технологий: сборник трудов студентов, магистрантов, аспирантов и молодых учёных БГТУ. Выпуск 4/ БГТУ "ВОЕНМЕХ"; 2006, с 190-194.

6. М.А. Гущин. Анализ и синтез нелинейных нестационарных систем // монография, LAP Lambert Academic Publishing, ISBN: 978-3-659-197703, 2012,137c.

Подписано в печать 20.03.2013. Формат 60*84/16. Бумага документная. Печать трафаретная. Объем 1.25 п.л. Тираж 100 экземпляров. Заказ №36.

Балтийский государственный технический университет

Типография БГТУ

190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул. д.1

БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. УСТИНОВА

ФАКУЛЬТЕТ МЕХАТРОНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

КАФЕДРА МЕХАТРОНИКИ И РОБОТОТЕХНИКИ

_________ _ , На правах рукописи

fh г

ГУЩИН Михаил Александрович

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕСТАБИЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ТИПОВЫХ УРАВНЕНИЙ С МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ УСТОЙЧИВОСТИ

Специальность:

05.02.02 - машиноведение, системы приводов и детали машин

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -д.т.н., проф., заслуженный деятель науки и техники РФ Потапов A.M.

Санкт-Петербург 2013

Введение

Оглавление

5

Глава 1. Исследование метод типовых нормированных характеристических уравнений для анализа и синтеза линейных и нелинейных систем управления со стабильными и нестабильными параметрами......9

1.1. Суть метода..............................................9

1.2. Квазиоптимальность ТНХУ по точности и быстродействию......13

1.3. Структуры ТНХУ с максимальной степенью устойчивости (ТНХУ-МСУ)............................................24

1.4 ТНХУ и модальное управление.............................27

1.5 Выводы по первой главе...................................28

Глава 2. Анализ влияния настроек на точность и качество переходных

процессов систем четвертого порядка........................29

2.1. Условия анализа...........................................29

2.2. Исходные данные..........................................29

2.3. Методика решения задачи..................................31

2.4. Расчет на точность нелинейной СУ с одной нелинейностью в гармоническом режиме.....................................34

2.5. Количественная оценка настройки систем.....................38

2.6. Выводы по второй главе....................................41

Глава 3. Оценка динамических характеристик ТНХУ-СУ при вариациях

параметров..............................................42

3.1. Постановка задачи........................................42

3.2. Предварительные замечания................................42

3.3. Анализ изменения характеристик по функциям чувствительности................................................43

3.4. Анализ влияния вариаций параметров по коэффициентам кратности................................................48

3.5. Динамика ТНХУ-МСУ высокого порядка при вариациях параметров...............................................50

3.6. Анализ структур, прошедших селективный отбор..............68

3.7. Выводы по третьей главе..................................96

Глава 4. Анализ устойчивости структур ТНХУ-МСУ в нестабильных

режимах при вариации параметров и выбор настройки..........97

4.1. Оценка динамических характеристик структур ТНХУ-МСУ

при вариациях параметров..................................97

4.1.1. Четвертый порядок.......................................98

4.1.2. Пятый порядок.........................................101

4.1.3. Шестой порядок........................................103

4.2. Сравнительный параметрический синтез модели Попова-Черноруцкого и ТНХУ-МСУ при вариациях параметров.......106

4.3. Методика выбора настройки и построения областей устойчивости в плоскости показателей качества системы управления с нестабильными параметрами...............................110

4.4. Выводы по четвертой главе................................113

Глава 5. Частотный анализ и синтез систем управления с максимальной

степенью устойчивости..................................114

5.1. ТНХУ-МСУ и ЛАХ. Формирование аналитических

зависимостей для построения ЛАХ-МСУ....................114

5.2. Формирование критериев синтеза структур с МСУ............119

5.3. Пример синтеза системы методом ЛАХ с МСУ и методом ЖЛАХ Бесекерского.....................................122

5.4. Анализ предельных циклов методом ЛАХ при вариациях параметров..............................................127

5.5. Выводы по пятой главе..................................132

Глава 6. Аналитическая взаимосвязь показателей качества систем автоматического управления во временной, частотной и комплексной областях...................................133

6.1. Предварительные замечания..............................133

6.2. Связь запасов по усилению и фазе с коэффициентами характеристического полинома.............................134

6.3. Связь предпоследнего определителя Гурвца с запасами по усилению и корнями......................................141

6.4. Выводы по шестой главе...................................142

Заключение...................................................143

Список Литературы.............................................145

Приложение 1. Варианты настроек с двумя нелинейностями........149

A. Нелинейность в скоростной обратной связи и компенсационном сигнале..................................................149

Б. Нелинейность в скоростной обратной связи и канале сигнала

рассогласования............................................160

B. Нелинейность в канале сигнала рассогласования и компенсационном сигнале..................................168

Г. Выводы..................................................173

Приложение 2. Варианты настроек систем с тремя нелинейностями . .175

Приложение 3. Оценка качества переходных процессов при

разных настройках........................................204

Введение

Проблема создания и исследования квазиоптимальных по качеству многомерных динамических нелинейных и, особенно, приводов с нестабильными параметрами, высокого порядка (4 и выше) в последние годы становится особо актуальной в теории и практике управляемых машин и механизмов и в общей теории управления. Имеется развитая теория и достаточно много пакетов прикладных программ (1111) компьютеризации процессов проектирования и настройки, известны аналитические методики анализа и синтеза приводов и систем управления, но методы теории нестационарности [1] сложны для специалиста и остаются спорные вопросы и «белые пятна» и в теории и в практике их применения.

Общая классическая теория нестационарных систем автоматического управления (САУ) широко известна и принадлежит, в основном, отечественным ученым. Это - Н.Д. Егупов, К.А. Пупков, Ф.А. Михайлов, Е.Д. Теряев, В.А. Карабанов, Л.Г. Евланов и многие другие. Из зарубежных -A.A. Заде и Д'Анжелог. Среди многих публикаций, особенно последних лет, можно выделить монографию [1], где прослежена не только «история» создания теории нестационарных САУ, но и подробно (630 страниц!) обсуждаются новые и перспективные направления исследования этих систем. Это - геометрические метод, аппарат проекционных аппроксимаций и техника матричных операторов и даже некоторые положения вейвлет-анализа. При этом дана солидная библиография (более 400 наименований). Не касаясь детального обсуждения возможностей применения этой классической теории, замечу лишь, что, к сожалению, многие методы требуют весьма хорошей математической подготовки специалиста и далеко не всегда доведены до реальных приложений и пакетов программ. Поэтому на практике пока по-прежнему часто применяются приближенные, упрощенные методики исследований, как например, метод «замороженных коэффициентов» или «сечений» пространства параметров системы.

Далее для краткости изложения рассматриваемый класс задач -параметрически возмущенные привода и системы управления (СП и СУ) с нестабильными параметрами будем называть - нестационарные системы (как «частный» их раздел). Данная работа носит теоретический и прикладной (инженерный) характер и посвещена исследованию типовых приводов и систем управления (СУ) - нелинейных и с нестабильными параметрами. В теории практике синтеза САУ, как известно, из аналитических методов наибольшее распространение получили частотные методы (метод ЛАХ) и дифференциальные (модальные) методы пространства состояния [2-8 и др.]. Во второй «группе» методов одним из простых и удобных, например для ЦВМ, является метод типовых уравнений (стандартных коэффициентов, стандартных полиномов и т.д.), которые дальше будем называть типовыми нормированными характеристическими уравнениями (ТНХУ) [2,3,4 и др.]. Как показывают многие работы [2,25-27 и др.] наиболее перспективными из них являются ТНХУ с максимальной степенью устойчивости (ТНХУ-МСУ или ТНХУ-СУ). Далее подтвердим это.

Цель данной работы - обобщить исследования структур и характеристик типовых уравнений с максимальной степенью устойчивости (ТНХУ-МСУ), и на их базе разработать эффективные и удобно применимые на практике методики и расчетные алгоритмы настройки и исследования нелинейных СУ и приводов с нестабильными параметрами.

Решаемые задачи:

- исследовать влияния настроек на точность и качество переходных процессов типовых СУ для структур ТНХУ-МСУ;

- дать анализ динамических характеристик структур ТНХУ-МСУ высокого порядка (5-10);

- оценить устойчивость параметрически возмущенных структур ТНХУ-МСУ с нестабильными параметрами;

- представить ТНХУ-МСУ в форме JIAX и разработать новый метод синтеза САУ в частотной области на основе этих структур эффективнее метода Бесекерского;

- показать аналитическую взаимосвязь показателей качества САУ во временной, частотной и корневой областях для структур ТНХУ и ТНХУ-МСУ любого порядка.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложен новый эффективный частотный метод синтеза САУ в форме JIAX на основе ТНХУ-МСУ и полностью разработаны алгоритмы его применения.

2. Разработаны легко применимые на практике методики и алгоритмы исследования и настройки нелинейных приводов и СУ с нестабильными параметрами с МСУ на заданные показатели качества.

3. Получены аналитические взаимозависимости показателей качества САУ во временной, частотной и корневой областях.

Практические результаты:

1. Практически (на многих цифровых примерах) показана большая эффективность настройки САУ (в среднем, по времени переходного процесса на 30%, по перерегулированию на 80%), особенно систем с нестабильными параметрами, на максимальную степень устойчивости по сравнению с обычной настройкой (например, Черноруцкого).

2. Результаты синтеза разных структур САУ по JIAX с МСУ эффективнее, чем по известному методу Бесекерского-Федорова, по показателям качества (в среднем, по времени переходного процесса на 40-60%, по перерегулированию на 60-80%, по запасам по амплитуде и фазе на 50-100%);

3. Проведена экспертная оценка влияние настроек для типовых нелинейных САУ на показатели качества (например, точность и качество переходных процессов) и предложены структуры и варианты настроек.

4. Получены зависимости, позволяющие «связать» показатели качества в разных областях (например, предпоследний определитель Гурвица Ятг_1 с запасом по амплитуде в (дБ) - А/, и т.д.). Это удобно для многих практических задач.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- метод и рабочие алгоритмы синтеза САУ в форме ЛАХ на основе ТНХУ с максимальной степенью устойчивости;

- методика выбора «желаемой» структуры в форме ТНХУ-МСУ и ее настройка в плоскости показателей качества приводов и СУ с нестабильными параметрами;

- динамические характеристики структур ТНХУ-МСУ с 4 по 10 порядок в стационарных и нестационарных режимах;

- методика оценки влияния настроек на точность и качество переходных процессов нелинейных САУ для разных структур ТНХУ-МСУ;

- аналитические взаимозависимости показателей качества САУ во временной, частотной и корневой областях.

Материалы диссертационной работы обсуждены на 2-х Всероссийских и международных НТК и опубликованы в одной монографии (опубликована в Германии) и 5 статьях и докладах. Монография полностью соответствует диссертационной работе. Материалы диссертации внедрены так же в учебный процесс в курсы «Основы проектирования следящих систем и комплексов» и «Проектирование автоматических систем» в БГТУ «ВОЕНМЕХ» имени Д.Ф. Устинова, в дипломное и курсовое проектирование.

Работа состоит из введения, 6-ти глав, заключения и 3-х приложений, объемом 239 страниц.

Глава первая

Исследование метода типовых нормированных характеристических уравнений для анализа и синтеза линейных и нелинейных систем управления со стабильными и нестабильными параметрами

1.1. Суть метода

Рассмотрим общий случай обыкновенной линейной или линеаризованной системы управления (СУ), представленной в нормальной форме записи:

х = Ах + Ви

у = Сх ^ " '

где х и у - векторы состояния и выходных величин;

А, В, С- собственная («), входная (т) и выходная (п) матрицы СУ; и — вектор входных воздействий.

Коэффициенты матриц А я В являются функциями настраиваемых, нестабильных или варьируемых параметров (ге). Поэтому

Целью параметрического синтеза является определение оптимального или квазиоптимального корректирующего вектора

В простейших случаях, когда настраиваемые или варьируемые параметры могут быть «выделены» в математических моделях и тем более связаны с координатами системы, алгоритм синтеза удобен для применения на практике [5-8 и др.].

Пусть исходное дифференциальное уравнение движения линейной системы имеет вид:

А = ДО) и В,=Вг(®).

(1.2)

ае - [аг,,....,агп]г.

(1.3)

и-1 я-1 m

(D" + Ya,D• )6(t) = (D" +YjaJDJ )av (t) + V(0 + я0, (1.4)

(=0 7=1 7=0

где #(0 , «ДО - ошибка системы и управляющее воздействие; fit) - возмущение (обычно, моментное) на систему; n d

D =--символ производной по времени;

dt

I

ai, ëj и я о - постоянные коэффициенты, определяемые параметрами системы.

Это уравнение без корректирующих цепей. По аналогии с методом JIAX, желаемым уравнением движения системы назовем уравнение:

п-1 n m

со" )в{1) = + ZGJD'/(0 + в0, (1.5)

1=0 1=1 7=0

где Ai = at + сгг^ Bt = А^ — ат[\ Gj = gj — <JTj; В0 = а'0 — ои0;

т, и тj - крутизны компенсационных сигналов (/-ая производная от

управляющего и у'-ая от возмущающего воздействий);

и

т1 - крутизны демпфирующих сигналов (z'-ая производная от выходной координаты);

сг, Щ- постоянные коэффициенты.

Уравнению (1.5) соответствует «желаемое» характеристическое уравнение

Г+^А.Л^О, (1.6)

г=0

где Д - z'-й корень уравнения.

Вводя подстановку X = квх, где кв = коэффициент нормирования,

получаем нормированное характеристическое уравнение:

+1 = 0, (1.7)

А

где А = - нормированные коэффициенты ТНХУ.

кв

Заметим, что коэффициент нормирования можно выбрать из любых условий, ведь это нормирование по Вышнеградскому, предложенное А.Г. Ивахненко.

Например, выбираем: tH2 - кBt2- из условия заданного времени реакции на скачок (t2);

ап-1

кн = —;— - из условия исключения старшего демпфирующего сигнала

А-\

коррекции;

соп = квсон - из условия назначения «желаемой» полосы пропускания и т.д.

После выбора (1.7) и построения (1.6) и (1.5), составляющие корректирующего вектора определяются просто по зависимостям

- А -а, ■ А я

=--S и rJ (1.8)

сг a а

И что замечательно - компенсационные сигналы для возмущений г, и г;

определяются без «знания» возмущений. Их не требуется измерять, вычислять, что часто проблема - точно и иногда и технически почти невозможно. Это - классическая вторая форма инвариантности B.C. Кулебакина [7].

Итак, суть метода типовых нормированных характеристических уравнений (ТНХУ) состоит в «приведении» исходной модели (1.1) к «желаемой» оптимальной или квазиоптимальной модели (структуре) с заданными показателями качества (известной реакцией на «скачок», заданным распределением корней, желаемой частотной характеристикой и запасами по фазе и амплитуде и т.д.) за счет выбора требуемых параметров корректирующего вектора (1.3).

Трудоемкость в формировании «желаемых» структур высокого порядка состоит, как известно, в удовлетворении противоречивых требований: обеспечение максимального быстродействия и максимальной точности при минимальном времени регулирования и минимальном (заданном) перерегулировании (на скачке); максимальных запасов устойчивости и максимальных характеристик при значительных вариациях параметров за счет нестационарности СУ; неполное управление полюсами при полном обеспечении «желаемых» характеристик и т.д.

Наиболее распространенные и удобные при компьютеризации методы пространства состояний базируются на модальном управлении [2-4]. Как известно, модальное управление - это обеспечение заданного распределения полюсов замкнутой системы, т.е. собственных значений матрицы [А — ЛЕ].

Это характеристический полином:

Э{Х) = \А- ЛЕ| = Лп + ЛП_1ЯП~1 + - + АХЛ + А0 = 0. (1.9)

Задача синтеза состоит в полном или неполном определении вектора (1.3) при приведении исходной структуры к желаемой. В общем случае вектор (1.3) включает в себя не только корректирующие цепи (как при модальном управлении), но и схемно-конструктивные параметры. Подобные методы синтеза точнее называть квазимодальными.

Это общий (стандартный) подход, но различия начинаются с выбора «желаемой» структуры. Здесь превалируют два метода - доминантный метод (Черноруцкого, Шубладзе и др.) и метод типовых уравнений (Ивахненко, Яворского и др.). Первый [3,4] базируется на выборе, обычно, пары комплексно-сопряженных полюсов, определяющих процессы в системе. Второй [5-9 и др.] выбирает размещение всех полюсов и, фактически, задает желаемое характеристическое уравнение в форме (1.4).

Известно много противоречивых рекомендаций по выбору типовых нормированных характеристических уравнений (ТНХУ) [5-8 и др.].

Первой работой является монография А.Г. Ивахненко [5], где предложен метод ТНХУ и впервые рассмотрен критерий распределения полюсов (корней) и отмечены большие возможности структур с максимальной степенью устойчивости (ТНХУ-СУ или структур с МСУ). Он же впервые предложил нормированные структуры характеристических полиномов, что в дальнейшем практически всегда применяется [6-8].

Структуры ТН�