автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Анализ и расчет электрических цепей с помощью функционально-степенных рядов

; АНКТ-НЕТЕРЁУРГСКИЙ ОРДЕНА МША И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛВД ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.И.УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) •

5 -

На правах рукописи

Щербаков Сергей Валерьевич

АНАЛИЗ И РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТШЕННЫХ РЯДОВ

Специальность 05.09.05- Теоретическая^

АВТОРЕФЕРАТ

диссвртацйи на соискание ученой стегти кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 1992

Работа выполнена в Санкт-Петербургском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции электротехническом институте имени В.И.Ульянова (Ленина)

Научный руководитель - доктор технических наук

профессор Бычков Ю.А.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук ирофессор Синицкий Л.А. кандидат технических наук Коровкин Н.В.

Ведущая организация - ОКЕС имени Я.М.Свердлова

Защита состоится " 2" и'КМЬЗ, 1992 г. в (О час. на заседании специализированного совета К 063.36.08 Санкт-рргского ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции ртческого института по адресу: 197376 , Санкт-| ул; Птю(Ь. Попова ,5.

"'та

Автореферат разоо—

Ученый секретарь специализированного совета Балабух А.И.

:;'|яациД ] ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность. Прогресс в области микроэлектроники, широкое применение вычислительной техники и развитие теории нелинейных явлений - все это оказало сильное влияние как на сами электрические цепи, так и на методы их проектирования и расчета. Качественное усложнение элементной базы с одновременным ужесточением требований к электро- и радиотехнической аппаратуре привело к усилению, особенно на этапе проектирования, роли математического моделирования.

Приближение результатов моделирования к процессам, протекавшим в реальной электрической цепи, возможно при гармоничео-ком сочетании принципов построения модели электрической пэпи и способов ее расчета. Корректное, с этой точки зрения, выполнение первого этапа моделирования, т.е. построение модели цепи , связано с необходимостью учета и использования таких специфических свойств и особенностей цепи, как статические и динамические нелинейные эффекты, дробно-рациональные зависимости параметров, неоднозначность характеристик элементов цепи и т.д.

Динамику модели, учитывающей все перечисленные особенности, описывает в' общем случае система нелинейных неавтономных нестационарных интегродифференциальных уравнений. Анализ существующих и широко используемых методов расчета таких уравнений динамики выявил следующее: " - критичность к форме описания динамики модели;

- отсутствие, в силу выбранного аппарата исследования,'возможности выявления характерных особенностей нелинейных явлений, таких как разрывы первого и второго рода, в том числе и дифференцируемые; *

- отсутствие опенок достоверности результатов расчета;

- невозможность использования для широкого класса цэпей и расчета различных режимов.

• Таким образом, актуальна задача разработки метода расчета, ориентированного на широкий класс нелинейных мотзлаС с произвольной формой описания их динамики и обладающего потенциальной способностью выявления характерных особенностей челинейних явлений, а также обеспечивающего возможность оценки результатов

При решении поставленной задачи перспективным является использование аппарата функционально-степенных рядов и обобщенных функций. Этот подход и нашел развитие в данной работе.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом НИР С.- Петербургского ЭТИ ни.В.И.Ульянова(Ленина) на 1989-1992 года и проводиюй согласно программе н Информатизация образования и науки РСФСР

Цель работк и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка на основе выбранного аппарата исследования методики построения области существования точного решения уравнения динамики модели нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи с сосредоточенными параметрами.

Исходя из сформулированной цели, в диссертации определен следующий круг подлежащих решению задач:

1) разработка, в рамках выбранного аппарата исследования, процедуры определения существования и единственности решения уравнения динамики модели электрической цепи;

2) получение формул для верхней оценки локальной погреш-. ности расчета, возникающей на каждом шаге расчета и обусловленной заменой ряда Тейлора, аппроксимирующего решение, полиномом конечного порядка;

3) получение формул для определения верхней границы полной погрешности расчета, т.е. погрешности после выполнения более чем одного шага расчета;

4) разработка на основе полученных оценок методики построения области существования точного решения уравнения динамики модели цепи с заданным уровнем локальной и полной погрешности расчета;

5) формализация перечисленных процедур, в том числе и операций над степенными рядами, с целью оптимизации объема вычислений;

6) разработка процедуры выбора шага расчета и порядка полинома Тейлора, аппроксимирующего решение, как результат соответствия объективным свойствам модели цепи и субъективным трь-

• буванаям заданной точности;

7) определение области численной устойчивости аналитичес-1 .пн-числанного метода;

8) расширенна класса моделей, расчет которых возможен чч

основе функционально- степенных рядов.

Методы исследований. В диссертационной работе для решения поставленных задач используется аппарат обобщенных функций , обобщенного преобразования Лапласа и функционально-степенных рядов. Результаты работы получены с применением современной теории электрических цепей, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений теории численной устойчивости. Для аналитически-численного расчета переходных процессов использовалась вычислительная техника.

Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:

1. Разработана процедура, позволяющая пошагово и на основе аппарата функционально- степенных рядов определить существование и единственность решения нелинейного неавтономного интегро-диффвренггаального уравнения , описывающего динамику модели цепи.

2. Получены новые формулы для оценки остаточного члена ■ формулы Тейлора. ' ■

3. Получены рекррентные формулы для верхней оценки полной погрешности расчета нелинейного интвгродиффереяциального уравнения с помощью одношагового метода па основе функциональяо-сто-пенных рядов.

4. Разработана методика построения области существования точного решения нелинейного неавтономного янтегродифЪеренциаль-иого уравнения.

5. Получены новые формулы для определения коэ'№пшентоп ряда Тейлора, аппроксимирующего решение нелинейного интегролиФ-ференпиального уравнения. #

6. Получены новые формулы для определения коэффициентов Результата при возведении ряда Тейлора в дробно-^иипональную степень, а также при произведении рядов подобного типа.

7. В зависимости от совокупности объективных и субгзкшышх требования, предъявляемых к расчету, предложен способ автлглт-ческого изменения шага расчета и порядка метода, осно/.-чннсю нг аппарате функционально-степенных рядов.

8. Определена область численной устойчивое?;: м^годэ, исп-);;т.— зутаего для аппроксимации рэлэняя Функпяокалько-сгепгош'? ряды.

д.. Разработана процедура расчета нелинейных моделей с невыделенной линейной частью, для расчета которых использование функционально-степенных радов Тейлора ранее считалось невозможный.

Практическая ценность работы. Использование разработанной методики позволяет получить результат, имеющий качественное отличие от результатов, получаемых при использовании других широко известных численных методов. Результатом расчета уравнения динамики модели электрической цепи, при использовании разработанной методики, является не только приближенное решение, но а построенная на его основе область, в которой гарантировано содержание точного решения уравнения динамики. Размеры этой облас ти могут регулироваться в зависимости от требований заданной точности, локальной ш полной.

Для построения требуемой облаете разработана / в виде еданстгенного неравенства / удобная в пользовании процедура выбора шага расчета, удовлетворяющая всему спектру предъявляемых требований. Выбранный таким образом шаг соответствует:

- собственным свойствам модели электрической ц&аа;

- требованиям выбранного аппарата исследования;

- требованиям заданной точности; .

- условиям численной устойчивости процедуры раячь-га.

Предложенные формулы и способы построения облзегл существо-вадея точного решения уравнения динашки достаточна полно формализованы и хорошо реализуемы на 3Ш,

С целью повышения степени универсальности используемого аппарата исследования, разработана процедура расчета нелинейных моделей с невыделенной линейной частью пра нулевых предначальны; условиях.

Использование полученных результатов позволяет не только исследовать'переходные процессы в электрических цагшх, но и тестировать результаты мод&ыровашя, полученные с помощью гцуг^х. численных методов.

Выполненные в дцссергалдоиной районе исследования входяг составной частью в комплекс иаучио-асйяьцавательских работ, проводимых кафедрой ТОЭ С.-Петербургского ЭШ им, В.Н.Ульяноьа (Ленина).

Результаты исследований испяльзуются в учейноы ариш^со

С.-Петербургского ЭТИ им.В.И.Ульянова ( Ленина) для студентов специальностей 18.01, 18.05, 21.07.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава С.-Петербургского ЭТИ им. В.И.Ульянова (Ленина) в 1989-1992 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей. Кроме того, полученные результаты вошли в книгу Ю.А.Бычкова "Расчет систем управления на основе кусочно- степенных моделей. Анализ, синтез, оптимизация", Л., Энергоатомиздат, 1991.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего.57 наименований. Основной текст работы изложен на 145 страницах машинописного текста. Работа содержит 15 рисунков и 10 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель исследования. '

В первой главе выделен класс электрических цепей, расчету к исследованию переходных процессов в которых посвящена диссертационная работа. Ограничений, накладываемых на цепь, всего два: детерминированность параметров цепи и воздействий, сосредоточенность параметров.

При тщательном учете всех характерных свойств и особенностей реальной цепи, динамику модели нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи с сосредоточенными параметра»/:? описывает составленная на основе законов Кирхго&а слелупяал система интегродиффарэнциальных уравнений:

. А(ъ)хШ + Н(х,$Д), (I)

гдеЬ- оператор обобщенного дифференцирования, тако.", что Сс^(I) - <£,({,)» и (£,({,) - единичная ступенчатая л иелулъспт. г/нкга::; В"' - оператор интегрирования, нижний предел которого есть предначальный момент времен/ в каждом интервале, интагряг'}-вания; А(С),6(В) - соответственно, квадратная и прлюу;ол;.нал г.'лгржа о п о л л н о м.и иг ь н а да от Ь и С' элементами; ХИ) и £(1) -

матрицы-столбцы реакций и воздействий; H(3\f>t) - матрица-столбец, строки которой представляют собой сумму членов, обра-;, зовашшх произведением времени, переменных во времени коэффициентов, реакций, воздействий, их обобщенных производных любого пордцка в произвольных дробно-рациональных степенях, а также Интегралами от подобных произведений.

Проведен анализ существующих методов решения нелинейных .дифференциальных уравнений, описывающих динамику модели цепи. В результате выявлен ряд недостатков, главными из которйх являются следующие:

- требование, чтобы уравнение динамики было дифференциальным и приводилось к нормальной форме Коши;

- отсутствие оценок достоверности результатов расчета.

Показано, что для адекватного построенной моцоли электрической цепи, учитывающей, в рамках указанных ограничений, все характерные свойства и особенности реальной цепи, способа ее расчета наиболее перспективным является подход, основывающийся на использовании аппарата обобщенных функций, обобщенного преобразования Лапласа и функционально-степенных рядов.

В качестве основы для дальнейших исследований и расчета переходных процессов' выбран аналитически-численный метод, сформулированный Ю. А. Бычковым.

Метод позволяет искать решение OC(t) уравнения динамики (l) в классе.обобщенных функций, т.е. в следующей виде:

J ОО

xct) -- 3C-(t) + X4t) - Т. SrS/U) * £ RitVi! , (2)

-/.ч ¿'° I-*0 '

где ОС (t) - сингулярная, 3C4t) - регулярная составляющие решения 3C(t); Sj - весовые коэффициенты; 6j(l) - дельта-функции от нулевого до Т-го порядка; Ri - коэффициенты разложения регулярной составляющей решения в ряд Тейлора в правой полуокрестности точки с абсциссой t=0*, Rt = 3C+(l,(t).

Использование функционально-степенных рядов позволяет .во-первых, применить к уравнению (l) обобщенное преобразование • Лапласа, что обеспечивает корректный переход от предначальных условие к начальный, т.е. выявление разрывов первого рода (как влдно из выражения (2) , в том числе и дифференцируемых) ; .во-вторых, определить потерю аналитичности регулярной составление i решения, т.е. выявить разрывы второго род$; в третьих, сне-

нить получаемый результат, так как в пределах интервала сходимости ряд Тейлора сходится к точному решению ЭСЧО уравнения(1),

Сингулярная составляющая решения имеет замкнутую форму , что определяет возможность ее точного вычисления. Регулярная составляющая определяется пошагово и приближенно, в силу замени на каждом шаге расчета & ряда Тейлора полиномом ОС^С^)

порядка I .

Сформулированы основные задачи исследования.

1. Формирование оценок достоверности результатов расчета.

2. Разработка процедуры выбора шага расчета & и порядка I аппроксимирующего полинома Тейлора,

3. Определение области численной устойчивости .аналитически -численного метода.

4. Повышение степени формализации и универсальности аналн-. тически-численного метода.

Вторая глава посвящена разработке методики построения области существования точного рейения уравнения динамики модам электрической цепи. Достижение поставленной цели связано с необходимостью решения следующей триединой задачи:

1) определение существования и единственности решения уравнения динамики (1) ;

■ 2) оценка модуля локальной погрешности расчета, возникающей изг-за замены на каждом шаге ряда Тейлора полиномом;'

3) оценка полной погрешности расчета^ т.е. погрешности после выполнения более чем одного шага расчета.

Для решения первой задачи использовался подход Копи, так называемый "метод мажорант", обобщенный и развитый на случай интегродифференпиального уравнения (1) . На основе признаков Вейерштрасса, Абеля и Лейбница показано, что существование и единственность решения Х*Ш уравнения динамики (1) в интервале исследования Т следует из возмэжности получения приближенного аналитически-численного решения с шагом расчета , определяемым следующим образом:

9Ч , ~ Сз)

где если существует максимум 1Яц| соеди коэМяплектои

I ^ | ; д^- > если существует максимум |Я»Л;| ко»р>.~

гиентов Ц^Д! | ; йЬ = 1г . где п - это величин* тага рагта,

необходимого для создания максимума среди коэффициентов

1 Rl | , либо максимума I Rx | li/k1. среди коэффициентовIR-Jn/ü;

Leizi .

Предложенная процедура определения существования и единственности решения уравнения динамики имеет ряд достоинств: во-первых, параллельно с решением поставленной задачи решается вопрос о возможности получения этого решения с помощью выбранного аппарата исследования; во-вторых, пошаговый характер процедуры позволяет легко и корректно согласовать ее с процедурой аналитически-численного метода (неравенство (3)); в третьих, при выборе шага расчета в соответствии с неравенством (з) автоматически выполняется условие

I; < f , ~ (4)

где П - радиус сходимости ряда Тейлора, аппроксимирующего решение X'up, tj£[o;T]. .

На основе "метода мажорант" получены формулы для верхней оценки |дХ(^)|модуля локальной погрешности ¿ГСС(&), обусловленной заменой на шаге расчета h ряда Тейлора, аппроксимирующего решение , полиномом Х1*'(п) порядка X .

Iдос(&)| = )RJ (е^-1 - Е fiVu) ; lAX(fc)I - IRKA!l Л<1; (c)

Ux(&)| - | (e - ZJ-iAO ;

UX(&)| - IRIM!Я1*1/ (i'*i)!, in.

1

Полученные оценки обладают необходимыми для численного метода асимптотическими свойствами, позволяющими выбором шага расчета % в пределах , определяемых неравенством (з) , или порядка I аппроксимирующего полинома, определять регулярную составляющую решения в пределах шага расчета с любой конечной наперед заданной точностью 2 на основании следупцех'о неравенства:

1ахАМ . (в)

Из выражений (5) вытекают такие пределы:

иих<?0!*о ; ?1т|дХ(М=о. ~(7)

С учетом обозначений Хенрачи для процедуры одношагового метода, полная погрешность Д Х(^-)расчета регулярной состгшлявдэй решения ХЧ^) уравнения динамики (1) определяется слвдуппим образом:

ДХ(^) » + Лс(^) ,

где - шаг расчета, выбираемый в соответствии с неравенством (3); - погрешность , обусловленная нзточним знанием

предначалъннх условий, начиная со второго газга рчсчзта.

На основе теоремы Пикара, оценок (5) и с учетом возгонной локальной неустойчивости решения ХЧ^)в точке разложения его в ряд Тейлора, получена следующая рекуррентная формула для определения верхней границы I дХ({.^|полной погрешности расчета:

1дХЦ/>| -- О + ЛД;) |

¿^.¿^Т, (в)

т«| * ,)»)

где А] - коэффициент, учитывающий локальную неустойчивость решения осчу.

Используя полученную оценку (8) и приближенное аналитически-численное решение Хх для лвбой точки из интервала исс.тз-дсваняя Т область существования точного решений X Ч'Ьр может быть записана в следующем виде:

х;ар-1 дйари ^ х;а/кихар |. (э)

Показано, что в том случае, когда в точке разложения регулярной составляющей решения в ряд Тейлора модель (1) локально устойчива, то и формула (а) преобразуется к олояущему т-

X о ______

1 ДХСЬМ = £ 1дХ(ГО|. -(Ю)

' ти

Полученные формулы (в) , (ю) позволяют, используя общеизвестные операции лад степенными рядами, построить область, гдэ находятся точные значения не только для репен-я уравнения динамики, но и для любой производной М-го порядка от этого решения. Необходимые для построения указанных областей формулы приведены в диссертационной работе.

Ка основе формул (8) , (Ю) и свойств (7) предложена проце.

дура уточнения формы точного решения ОСЧ'Ь) уравнения динамики цепи. Степень такого уточнения определяется только вычислительными мощностями, которыми располагает исслепователь.

Таким образом, расчет аналитически- численным методом уравнэния динамики (1) с шагом, определяемым в соответствии с неравенством (3) , позволяет построить область, в которой гарантировано содержание точного решения данного уравнения и отвечающего заданному предначальному условию. Очень важным является то обстоятельство, что при выборе шага расчета в соответствии с неравенством (3) возможность получения приближенного решения Хх(0 обеспечивает одновременно и возможность указания максимально возможного отклонения |дХШ| этого решения от точного хчи .

3 третьей главе рассмотрены вопросы, связанные с формализацией процедуры построения области (9) и разработкой способов определения ее границ с заданным уровнем полной погрешности расчета|дХ(Т)|или локальной погрешности расчета € .

Эффективность использования разработанной методики построения области существования точного решения определяется простотой отыскания максимумовI,Ц}к/к!|среди тех или иных коэффициентов соответственно. После выполнения • всех необходимых преобразований, требуемых аналитически-численным методом, - изображение регулярной составляющей решения имеет следующий вид:

00

А<р) р 6-Лг • Си) .

На основе выражения (п) и анализа имеющихся рекррентных формул, в диссертационной работе получены новые формулы , свя-знвапцие между собой коэффициенты Кь >^п-г> а также корни полинома А(р)

Так, если корни полинока А(р) некратные, то

где <1" г'°

Если среди корней имеются кратные, то

'(Яй'чС'чЛЖ „ й (И)

'Де рк - кратность корня Хк ; Срк»1 ; С1 - бино-

шальнио коэффициенты треугольника Паскаля.

Выражения (12), (13) позволяют представить любой коьффапи-знт. К;, ряда Тейлора в следующем виде:

Тогда „ . «о п т .

осЧ1Г= Е Х'ЧЧЬ • Е £ й?1^». (к)

(«а ¡ч

Таким образом, любой коэффициент ряда Тейлора, т.е. любая тройзводная от решения уравнения динамика модели нелинейной электрической пепи, представляется сушлой составляющих каждая и& которых в явном виде зависит от ■) -го корня ночхноид А(р) , а через коэффициенты Ля.г-связана и с другим. корням:; этого полинома. Качественное отличие кусочно-линейной мзд&г.: от нелинейной 'заключается в том, что в интервале постоянства параметров кусочно-линейпоЯ ждет составляющий К^ зависит только от I -го корня,.при этом внутренняя связь с другими корнями отсутствует.

В диссертационной работе на качественном и йоличестюзнном уровне вскрыто влияние линейной А (О) и нелинейной частей

уравнения (1) на формирований коэффициентов ряда Тейлора.

Проведенные исследования и представление регулярной составляющей решения в виде выражения (15) позволили сформировать условия, регламентирующие наличие максимума среди тех или иных коэфгТициентов. При этом выявление факта существования того или иного максимума возможно без предварительного определения самих коэффициентов , а только используя коэффициенты полиномов А(р) п й<р) , входящих в выражение (и) .

Показано, что отсутствие знания корней полинома А(р) не является ограничивающим фактором, так как в этом случае привлечение известных теорем я опенок алгебры всегда позволяет фориали-?ояать поиск максимумов

а значит на основе

двух последних оценок (0) и опенок (8) , (10) построить область существования точного решения (9) .

С целью оптимизации объема вычислений получены Формулы для определения коэффициентов результата при возведении ряда Тейлора в дробно-рациональную степень, а также при перемножении рядов подобного рода. Выполнение указанных операций имоот место при переходе от уравнения (Г) к уравнению, нзлинейному только по нремени Ь , с целью обеспечения возможности применения преобразования Лапласа.

Наличие оценок локальной погрешности и полной погрешности расчета позволяет разработать два способа построения области(9) соответственно с заданным уровнем полной 1дХ(Т)|и локальной V погрешности расчета.

Построение» области (9) о заданным уровнем полной погрешности раочета }дХ(Т)| связало о выполнением следующего неравенства!

1дХ(Т)| 4 |дХ(Т)|, ' (*6>

гдо1лХ(Т))» точность, достигнутая к концу интервала исследования в определенная по Формуле (й) или (10) .

При расчето, о полью выполнения условия (1б) , входным параметром аналитически-численного метода является порядок I полинома Тейлора, аппроксимирующего рошенио. Выбор шага есть пнутренняя проиепура мптода. Достижение требуемой точности (16) осуществляется в результате одной-дпух проб значений 1= Зг9 .

Второй способ заключается в построении требуемой области (з) при условии выполнения неравенства (б) Показано, что в это;,! случае при использовании двух первых опенок (5) аналитически -численный метод является явным относительно шага расчета методом с фиксированным порядком. Выбор величины шага расчета носат объективно-субъективный характер: с одной стороны, необходимо обеспечить выполнение неравенства (3); с другой стороны, необходимо гарантировать выполнение условия (б). При лепользэг.аш -тзух последних оценок (5) аналитически-численны." метод яэ/яэгея неявным методом с переменным'порядком. 3 этом случае выбор зага расчета (неравенство (3)) осуществляется из условия соответствия собственным свойства!.: модели лепи. Порток же кеточз I вчбдра-

~ П -

отся с палью удоьлвтиорешр' тр^оваийй заиашмй тинпчити»

При прочих равных условиях выбор ЯВНОГО или НОЙВЙУГО 1/3хода расчета регламентируется критерием, имеющим следующий вид}

. (17)

Расчет аналитически-числошшм методом ураваишш динамика (1) на основе шнкштт критерия (1?) позволяет псстроить область существования точного решения ('?) с опппшьннн гшш расчот^ и порядком аппрокси№7;уйЕ5<з;о иодинст.

Как и для любого другого эдел&ннош метода, вцбор шага расчет?! является основным вопросом и для анаянтиадекй-чяслетю-го метода. 3 проллагзокой процедуре выбора величина йага расчета в шдз неравенства (3) длина шага являотзя роэульглтом исследования собственных свойств мепи, Внутренней сззойстса модели, определяя допустимую ветчину гвага р,ютвга, соизмерит ее о "размером язметлшя" реааиия , алг.роксашруемого ря-

дом Тейлора. Йизсте с гш, свя:<ь вели таны мчгя, через оценки (5) с допускаемой погрешностью позволяет созтнйстя ее с требованиями заданной точности. Таким образом, »о псе'* интервале исследования Т , величина шага расчета является результатом оптимиза-Iш по лвуы направлениям: как в отномеши объективных свойств шд/ш цепа, так и с точгш зрания субъективны^требований заданной точноеГй.

Логсаэзно, что объьтттв спойб'/во т&ярлежРО чжш образом шага расчага, :ш.ятнт&йся в яЪшшш "ради чины в соответствии <у ргрвж&зтт тчдеяшм изменения самого ре-пения Х*(1) уравнения динамики (1) , позволяет эффективно использовать литически-численний метод для расчета перйХб'Дшгс ппоггб'5£ЭВ в яггетких электрических цепях.

Четвертая глава посвящола анализу «годаиости и численной устойчивости иётода, повшению степени универсальности используемого аппарата Функтонально-стеовйда рядов.

Показ'ано, что аиалзтячес^-адвле.чный метод является согласованным.с порядком сорлаео&гжюетя1£М . Так как метод являясь однолаговым, нуль-угт'ойздз, то оба эти свойства определяют сходимость аналитически—1численного метода.

С дспользояагьйлм .выражений (12)-(15) и положений класси-

ческой теории численной устойчивости показано, что при и шаге расчета, удовлетворяющем неравенству (з), метод абсолют но устойчив^ т.е. с ростом числа шагов полная погрешность расчета развивается устойчивым образом. При Кс(\)>0 , аналитически-численный метод по-прежнему может быть рекомендован для практического использования, так как шаг, удовлетворяющий, нера венству(з) .обеспечивает рост погрешности расчета с меньшей скоростью чем само решение Х*(1) , т.е. относительную устой чивость процедуры расчета.

С помощью выражений (14), (15)показано, что из выполнения неравенства (з) следует выполнение неравенства (4), что в свою очередь позволяет эффективно и корректно использовать аппарат Функционально-степенных рядов для расчета моделей, имеющих в своих реакциях разрывы первого и второго рода.

Таким образом, решение уравнения динамики (1) аналитически -численным методом с шагом, соответствующим неравенству (3), возможно до тех пор, пока может быть построена область существования точного решения,пРи этом величина шага соответствует:

- объективным свойствам модели электрической цепи;

- ограничениям, накладываемым выбранным аппаратом исследование

- требованиям численной устойчивости процедуры расчета; '

- субъективным требованиям заданной точнсти.

Разработана методика расчета нелинейных моделей с невыделенной линейной частью при нулевых предначальных условиях. Трудность пои исследовании данных моделей связала с невозможностью представления решения в виде ряда Тейлора. На основе полученных оценок достоверности и с учетом возможности корректного перехода от предначальных условий к начальным, в диссертации предложен алгоритм расчета моделей подобного рода.

Полученные в диссертационной работе результатч получили подтверждение в ходе численного моделирования на примере ряда нелинейных моделей, содержащих в своих реакциях и их прочз-ьодных разрывы первого л второго рода, облздаящих жесткостью и локально* неустойчивость?.

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В рамках выбранного математического аппарата исследования иазработана процедура определения существования и единственности решения, отвечающего заданному предначалъчому условию, уравнения динамики.модели электрической цепи.

2. Получены формулы для верхней оценки локальной погрешности, возникающей при замене на каждом шаге расчета ряда Тейлора, аппроксимирующего решение, полиномом. Полученные формулы связывают параметры, характеризующие объективные свойства ".сдали цепи, шаг расчета, порядок аппроксимирующего полинома и максимально возможное удаление приближенного репзния, в пределах шага расчета, от точного решения уравнения динамики.

3. Получены рекуррентные.формулы для определения верхней границы модуля полной погрешности расчета регулярней составляющей решения. Предложенные формулы учитывают везюлну» локальную неустойчивость решения в точке разложения его в ряд Тейлора»

4. Разработана методика построения области сущесгиова^дя точного решения уравнения динамики модели цепи. Предложены способы решения поставленной задачи с заданным уровнем полной ч локальной погрешности расчета.

5. Формализованы операции, связанные с построением области существования точного решения, а также с работой со степенным рядами. Кроме того, получены новые формулы для определения коэффициентов ряда Тейлора, аппроксимирующего решение уравнения динамики модели цепи. '

• 6. Разработана процедура выбора шага расчета и порядка аппроксимирующего полинома, соответствующая как объективным свойствам модели цепи, так и субъективным требования;,! заданной точности. Величина шага расчета согласована с ограничениями, накладываемыми выбранным аппаратом исследования и требованием численной устойчивости процедуры расчета.

7. Определены области абсолютной и относительной численпой устойчивости аналитически-численного метода.

8. Разработана процедура расчета нелинейных моделей с нз-вцделенной линейной частью при нулевых предначалышх условиях что расширило класс моделей, расчет которых возможен с помащьп Ф>нкционально-степенных рядов.

- IG -

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бычков Ю.А., Кооулин А.Е., Щербаков C.B. Оценка точности аналитически-численных решений уравнений динамики нелинейны: систем // Приборостроения. -' 19Э0. - №9. - С. 24-27.

2. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Эффективный способ формирования коэффициентов результирующего полинома при возведении полиномов Тейлора в дробно-рациональные степени и перемножении и: // Изв.ЛЗГИ. - 1990. - № 424. - С. 11-15.

3. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Построение с заданной точностью и с оптимальным шагом расчета переходных процессов в жестких цепях аналитически-численным методом // Теорет.электро-тех. - 1991. 52. - Ç.,3-17.

4. Щербаков C.B. Выделение аналитически-численным методом особых точек в реакциях нелинейных цепей // Изв.ЛЭТИ. - 1921. • № 439. -iç. 16-20.

5. Бычков Ю. А., Щербаков C.B. Численная устойчивость аналитически-численного метода расчета нелинейных цепей и систем на основе функционально-степенных рядов // Автоматизация пр-вау

* Ленингр.гос.ун-т. - 1992. - № 9- - С. 15-25.

6. Бычков Ю. А., Щербаков C.B. Вычисление по заданной точности и оптимизация шага расчета и порядка полинома Тейлора, аг проксимирупцего решение, при анализе цепей аналитически-численным методом // Сб.науч.работ по ТОЭ / Моск.энерг.ин-т. - 1992. № 1. - С.12-18.

7. Бычков Ю.А., Щербаков С.В,, Косулин А.Е. Существование, единственность, устойчивость и оценка точности решения, В кн.: Бычков Ю.А. Расчет систем управления на основе кусо.чно-степея-ных_моделей. Анализ, синтез, оптимизация. - Л., Энергоатомизда' • 199 Ï. Гл.' 1.3. - С. 39-52.