автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы управления на скользящих режимах при возмущениях и погрешностях измерений

СЕВРЮГИН СЕРГЕЙ ЮРЬЕВИЧ

АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ И ПОГРЕШНОСТЯХ ИЗМЕРЕНИЙ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 О НОЯ 2011

Казань 2011

005001639

Работа выполнена в «Казанском национальном исследовательском техническом университете им. А.Н. Т)полева-КАИ»

Научный руководитель

кандидат технических наук, доцент Мещанов Арсен Сергеевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Титов Борис Александрович

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор Сиразетдинов Рифкат Талгатович

Уфимский государственный авиационный технический университет

Защита диссертации состоится » /г^У^^у 2011 года в ¡¿> часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в «Казанском национальном исследовательском техническом университете им. А.Н. Туполева-КАИ»

по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10, зал заседаний Ученого со-

вета.

Автореферат размещен на сайте «КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ» wvyw.kai.ru и направлен для.размещения в сети Интернет Министерством образования и науки Российской Федерации по адресу référât vak@mon. gov.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ».

Автореферат разослан 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, /¿иЛ

профессор П.Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Технические объекты в процессе своего функционирования подвергаются постоянному воздействию неопределенных возмущений. Помимо этого, иногда приходится сталкиваться с проблемами в измерении координат состояния, в частности, с погрешностями измерений датчиков и неполным измерением состояния, вызванным отказами некоторых из них. Важно учитывать эти неопределенности при проектировании систем управления, особенно для летательных аппаратов, с целью обеспечения надежности и безопасности полета. Среди различных методов, позволяющих управлять объектами при ограниченных неопределенностях, важное место занимают методы теории систем с переменной структурой (СПС) на скользящих режимах, в которых управляющие воздействия являются разрывными в зависимости от состояния системы. Скользящие режимы обладают известными преимуществами: во-первых, понижается порядок системы дифференциальных уравнений, во-вторых, часто системы уравнений такого режима оказываются инвариантными к неопределенным возмущениям. Исследования в данной области являются одними из наиболее актуальных в настоящее время.

Основные результаты по теории СПС были изложены в работах C.B. Емельянова, Е.А. Барбашина, В.И. Уткина, Б.Н. Петрова, С.К. Коровина, а также в работах и монографиях коллективов этих авторов. Дальнейшее развитие теория СПС и, в особенности, скользящих режимов получила в работах Э.М. Джафарова, Г.И. Лозгачева, Л.Г. Ащепкова, А.Г. Лукьянова, Д.Б. Изоси-мова, В.В. Кашканова, С.А. Красновой, В.А Уткина, А.В Уткина, В.А. Афанасьева, С.Е. Рывкина, в работах Г.Л. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова, А.С Ме-щанова, Е.Ю. Самышевой, P.M. Хайруллина, выполненных в Казанском национальном исследовательском техническом университете им. А.Н. Туполева-КАИ, в работах зарубежных ученых J.-J. Е. Slotine, J.K. Hedrick, Е.А. Misawa, David К., Arie Levant, L. Fridman и многих других авторов. В последние годы исследованиям СПС было посвящено большое количество работ в России, США, Китае, Израиле и ряде других стран.

В то же время сравнительно малоисследованными остаются:

- вопросы построения СПС на скользящих режимах при ограниченных неопределенных возмущениях, для которых не выполняются известные условия инвариантности (приведенный вектор неопределенных возмущений должен выражаться через столбцы матрицы входа управления);

- вопросы влияния погрешностей измерений координат состояния на инвариантность к неопределенностям;

- вопросы управления на скользящих режимах при неопределенностях и неполной информации о состоянии.

Таким образом, задача синтеза управления на скользящих режимах при неопределенностях остается актуальной научно-технической задачей.

Целью работы является развитие и разработка алгоритмов разрывных управлений на скользящих режимах, обеспечивающих при относительно несложной реализации требуемое качество переходных процессов с учетом по-

стоянного воздействия ограниченных неопределенных возмущений, погрешностей измерений и неполноты информации о состоянии системы управления; применение результатов исследований в управлении объектами авиационно-космической техники.

Для достижения указанной цели в диссертации решаются задачи.

1. Синтез разрывного управления, приводящего систему при неопределенных возмущениях, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности, в скользящий режим, возникающий в начале координат.

2. Синтез разрывного управления для приведения системы в скользящий режим с инвариантностью в нем к неопределенным параметрическим и внешним возмущениям при погрешностях в измерениях координат состояния.

3. Синтез разрывных управлений в системах с линейными объектами, обеспечивающих экспоненциальное уменьшение евклидовой нормы вектора отклонений от невозмущенного движения при неполной информации о состоянии на скользящих режимах.

4. Практическое применение разработанных алгоритмов разрывных управлений и их многообразий скольжения для различных объектов. Анализ результатов моделирования, заключение по возможности эффективного применения полученных управлений.

Объектом исследования являются управляемые системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.

Предметом исследования являются методы и алгоритмы синтеза разрывных управлений и многообразий скольжения для динамических объектов.

Методы исследования. В работе использованы методы системного анализа, теории дифференциальных уравнений, классической и современной теории автоматического управления, математического моделирования, теории управления полетом авиационно-космических летательных аппаратов, численного моделирования процессов управления. Расчеты и моделирование выполнены на персональном компьютере в системе МаАаЬ.

Научная новизна.

1. Разработан алгоритм разрывного управления, обеспечивающий, по сравнению с известными, инвариантность к неопределенным возмущениям в начале координат без наложения ограничений на структуру и параметры объекта управления для выполнения известных условий инвариантности.

2. Разработаны новые алгоритмы управления на скользящих режимах, инвариантных, по сравнению с известными, к неопределенным возмущениям при погрешностях измерений и воспроизводящих желаемые модельные движения с точностью до погрешности измерений.

3. Разработаны новые алгоритмы управлений, эффективных по качеству переходных процессов, с обеспечением экспоненциального уменьшения нормы вектора отклонений от невозмущенного движения с целью применения для управления системами при неопределенных возмущениях и неполной информации о состоянии.

4. На основе разработанных общих алгоритмов получены новые эффективные управления авиационно-космическими объектами и программы моделиро-

вания процессов управления.

Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием математического аппарата, основных законов механики. Все выводы и алгоритмы получены на основе методов анализа и синтеза, со строгим доказательством выдвигаемых положений, с использованием допущений, общепринятых в теории управления и промоделированы на численных примерах систем управления. Результаты моделирования согласуются с данными методик и алгоритмов. Полученные алгоритмы и методики не противоречат результатам исследований других авторов.

Практическая ценность результатов заключается в том, что предложенные алгоритмы позволяют решать задачи синтеза систем управления объектами авиационно-космической техники при постоянном воздействии неопределенных возмущений, а также при наличии неопределенностей и неполноты в измерении координат состояния. Проведение исследований проводилось в рамках НИР по гос. контракту № 02.740.11.0206, было поддержано РФФИ (проекты №№ 06-01-00804-а, 09-01-97000-а, 11-08-00066), а также Министерством образования и науки РФ в рамках аналитических ведомственных целевых программ «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» (гос. per. № 01.2.00605662), «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (гос. per. № 01.2.00962321).

Реализация результатов работы подтверждена актами использования:

- в проектных разработках по созданию систем управления оптико-элекггронными комплексами Федерального Государственного унитарного предприятия «Научно-производственное объединение «Государственный институт прикладной оптики»;

- в учебном процессе Казанского национального исследовательского технического университета им А.Н. Туполева-КАИ.

Основные положения, выпосимые на защиту.

1. Алгоритм управления с гарантированной терминальной инвариантностью к неопределенным возмущениям, использующий решение основной задачи управления.

2. Алгоритмы векторных разрывных управлений и их многообразий скольжения в системах с линейными стационарными объектами в условиях неопределенных погрешностей измерений.

3. Алгоритм управления на скользящем режиме при неопределенных возмущениях и погрешностях измерений в системах с линейными нестационарными объектами.

4. Алгоритмы управления, обеспечивающего экспоненциальное уменьшение нормы вектора отклонений от невозмущенного движения, применение данных алгоритмов для управления на скользящих режимах системами при неполной информации о состоянии.

Апробация работы.

Основные результаты работы были представлены на конференциях и семинарах: III - IV Республиканская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Автоматика и электронное приборостроение» (Казань, 2006 -

2007); XIV - XIX «Туполевские чтения» (Казань, 2006 - 2011); Вторая международная конференция «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 2007); V Международная юбилейная научно-практическая конференция «Автомобиль и техносфера» 1САТ8'2007 (Казань, 2007); седьмой всероссийский семинар по аналитической механике, устойчивости и управлению движением, посвященный столетию со дня рождения профессора Аминова Монгима Шакуровича (Казань, 2008); IX Международный симпозиум «Энергоресурсоэффективность и энергосбережение» (Казань, 2008); Международная научно-практическая конференция «Современные технологии - ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения» (Казань, 2008, 2010); Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (Казань,

2009); Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «X Королевские чтения» (Самара, 2009); Пятая международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО'2010 (Москва

2010); 2-я Российская конференция с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ'Ю (Москва, 2010), Пятнадцатый Всероссийский семинар по управлению движением и навигации летательных аппаратов (Самара, 2011).

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в 26 печатных работах, в том числе 4 статьи в печатных изданиях, рекомендованных ВАК, 19 материалов и 3 тезиса докладов конференций, семинаров и симпозиумов различного уровня.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав основных результатов работы, заключения, списка литературы, 4-х приложений. Работа изложена на 203 страницах машинописного текста, в том числе основной текст на 159 листах, содержит 53 рисунка. Список литературы включает 107 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведены цель и задачи исследования, отражена их практическая ценность, сформулированы основные научные положения и результаты работы, дается краткое содержание глав.

В первой главе предложен алгоритм построения разрывных управлений, обеспечивающий инвариантность системы управления к неопределенным возмущениям в начале координат с решением основной задачи управления.

Рассматривается управляемая система с линейным объектом

А = Л(г)х + 6(0и + £>(/)^(/) (1)

описывающая в заданных ограниченных областях С1Х, С1и, I = <

т

движение в отклонениях х — ...,.*„) от программного движения, и-стабилизирующее управление, ^(/) -^0(/) + А/г(г)- / - мерный вектор неопределенных внешних возмущений. Матрицы Д= Д) (¿) + ЛД?)

и столбцы А(/) = 60(0+A6(i),F(i) содержат номинальные (измеряемые или вычисляемые) слагаемые A0,D0 и b0, F0 и неопределенные слагаемые AA,AD и ДЪ, AF(t), элементы которых имеют известные граничные значения.

Решены следующие задачи:

1) синтезировано разрывное управление и, приводящее систему (1) в скользящий режим, возникающий в начале координат

" I I "

s = s(x,t) = = YiSj(x,t)signsJ = 0 при х = 0, (2)

J=1 7=1

где s(x,t) > О V* е D.x, \/teI\ signsj = 1 при Sj> О,

SignSj =0 При Sj = 0, Sign Sj =-l при Sj <0, Sj(x,t) - cJT(t)x,

c* (0 = (c\ (!)>■ ■ ■ >cn (0)^ ■ линейно независимые на рассматриваемом интервале I векторы;

2) дана методика устранения причин, которые могли бы нарушить скользящий режим в начале координат и тем самым инвариантность в нем системы (1) к неопределенным возмущениям;

3) дана методика нахождения таких значений параметров разрывного управления и, чтобы наряду с инвариантностью к возмущениям решалась следующая основная задача управления (3) с минимизацией функционала J:

|Xj(0| <q max |xt(t0)\, i = \,n, t e /;

*Со)еП,0 _

\x, (tk )!<«/= const, i = 1,«; (3)

\u{t) + unp(t)\<\,tbL,

где unp(t) - программное управление движением объекта, - допустимая область начальных отклонений от программного движения, Oxq с: С1х, q -коэффициент (1 <q< 2), определяющий перерегулирование системы.

Для решения первой задачи разрывное управление и в системе (1) будем находить в виде суммы

и = и0+нд + uF, (4)

где щ предназначается для управления в системе (1) при отсутствии неопределенных возмущений АА, AD, Ab, F, а Мд и Up - служат для преодоления влияния данных возмущений в процессе приведения системы (1) в начало координат s = 0 (2).

Для приведения (попадания и дальнейшей принадлежности) изображающей точки (и.т.) системы (1), (4) на поверхность s = 0 (2) потребуем, чтобы выполнялось достаточное условие попадания в малую окрестность этой поверхно-

5

сти s = 0 (начала координат)

., ч ds dx Л s = s(x,t)=——<0 ах dt

и необходимое и достаточное условие существования скользящего режима

lim i < 0 (6)

5-»+0

Представим производную s как сумму

i = s0 + &s, (7)

где слагаемое ¿0 находится по системе (1) при отбрасывании неопределенностей, а Дл дополняет ¿0 до s при их учете. Получаем:

in =

YJc'r{t)bü{t)signsj >1

Un +

+ I^T(0D0(0F0(0,

(В)

As = ■

^c->T(t)(AA(t)x + Ab(t)u0)signsj M

;ZcJT(t)b(t)signsj >1

«Д +

^c^iOsignsjiDiOAFit) + AD(OF0(i))

7=1

" T

Xcjr(t)b(t)signsj l/=l

UF (9)

Для построения управления w0 воспользуемся алгоритмом, имеющим количество логических переключающих устройств равное единице (Мещанов A.C.). В соответствии с ним управление щ имеет две структуры Uq , щ , которые переключаются по закону

«О при sg> О,

«0=\

[м0 при sg<О,

и в силу выражения (8) принимают вид

(10)

4=Kf(x,t)x,

где

^j^/iO+^^o-^W^W-i^iO^^j/^ifJibWX 4(0 - '-Й

столбец матрицы AqO), а строка cr(t)=YlcjT(t)signsJ =(cl(t),...,c„(t)) с эле-

/=1

ментами С|.(/) = ^Г с/!(t)s!gnsj , / = 1 ,п, должна удовлетворять общему для систем

>1'

с переменной структурой условию существования разрывного управления

Управления и^,ир в силу (9) примут вид:

1 " с1 (06о (01=1

KcT(t)b0(t)). (12)

¿ (0А) со] -ь X (О^ог (0+i Kif h (0|

J = 1 1=1 (=1 J

Таким образом, суммарное разрывное управление и (4) со слагаемыми Uq , ид, ир приводит систему (1) в скользящий режим на «поверхности» 5 = 0

(2), то есть в начало координат, независимо от действия на систему внешних и параметрических возмущений.

Для решения второй задачи при нахождении значений параметров разрывного управления и (4) необходимо иметь в виду, что возможно существование областей скользящего режима на тех гиперплоскостях, на которых управление и претерпевает разрывы. Очевидно, это может произойти на гиперплоскостях

sj = ¿т(t)x = 0, j = hñ', g = dT(t)x = 0. (13)

Уравнения скользящего режима на Sj = с^ (t)x = 0 можно получить, например, по методу эквивалентного управления В.И. Уткина. Совершенно аналогично может быть получена система скользящего режима на гиперплоскости

g = dT(t)x = 0.

Предлагаются следующие способы настройки параметров разрывного управления и (4):

1) исключение скользящих режимов на гиперплоскостях Sj = 0,g = 0 в рассматриваемых допустимых областях Qx, Q„,/;

2) сохранение таких скользящих режимов на гиперплоскостях sj = 0,g = 0,

для которых в рассматриваемой области скорость убывания s функции s не меньше требуемой.

Третья задача настройки параметров разрывного управления и с помощью персонального компьютера из условия инвариантности к неопределенным возмущениям в начале координат, а также из условий выполнения ограничений

(3) на вектор состояния и управление, решается как основная задача управления (ОЗУ) известными методами с развитием на случай неопределенных возмущений.

Во второй главе предложены алгоритмы управления на скользящих режимах линейными объектами при неопределенных возмущениях .и погрешностях измерений.

Рассматривается управляемая система

х = А(()х + В{1)и + (14)

гда'е/ = (г0,(к1 1к«х>, *еПжСДи, иеПиа11т, РеПрсЯ'я Л(1) = Л0 + АА(11 ВЦ) = В0 + &В(1),

д=До(о+А£ко, р=р0(о+т.(). (15)

Номинальные (с индексом «О») и неопределённые (с символом «Д») составляющие в суммах (15) содержат в свою очередь слагаемые

+4+4, в0=в¥+в1

АА = АА1+ЛА2, АВ - АВ1, АО = АО1 +А02. ^

Индекс «м» означает совпадение таких составляющих с матрицами правой части модельной системы, индекс «1» - выполнение условий инвариантности скользящего режима к данной номинальной или неопределённой составляющей, индекс «2» - невыполнение условий инвариантности.

Условия инвариантности скользящего режима на (и-т)-мерном фиксированном многообразии скольжения

й[я = (5и...,ат)Т = Сх = 0), С — /и х и, (17)

запишутся в виде:

ЛЛ'^Л! лв'=<л1 д(18)

Вектор действительного (истинного) состояния х(() системы (14) представляют собой отклонение вектора полного (абсолютного) движения Х{г) от программного Х,1р((): х(1) = ХЦ)-ХпрЦ). В управлении и применяется вычисляемый вектор хв

хв(0 = Хд(0-Хд1р(0 = я(0+ &*(*), (19)

где и - их 1 - векторы показаний датчиков состояния полной

системы при измерении соответственно векторов Х(1) и Х„/0 (вектор хдпр(0 находится как решение уравнений динамики датчика), Ах(?)=хй(/)-

~ХПр(0) - вектор суммарных погрешностей измерений. Если динамика датчиков не учитывается, то в уравнении (19) полага-стся хдпр (0 = Х„р (О

и ползаем обычные выражения для вычисляемого вектора отклонений хв(г) и погрешности измерений Ах(г):

хв(0 = Хд(0-Х„р(1), Ах(0 = хв(0-х(0 = Хд(0-Х(0.

Вводится модельная система. По сравнению с исходной системой (14) модельная не содержит никаких неопределённых возмущений:

% = А%хм +В^им +£)ц'1/,0(0, (20)

где оптимальное в каком-либо смысле модельное управление им формируется по одному из известных принципов управления.

Формируются фиксированные многообразия скольжения. Для системы (14) они формируются с применением только вычисляемого вектора хв

5(^ = (5'1)...,л;я)г=Схв=0), С-тих л. (21)

Решены следующие задачи:

1) найдены условия инвариантности к неопределённым возмущениям (АЛ1,

А81, АО1) и к отличиям от модельной системы (Лд,^, скользящих режимов в системе (14) на многообразии 5 (21);

2) синтезированы алгоритмы формирования матрицы С для воспроизведения с начала скользящего режима (с момента попадания I = /п изображающей точки (и.т.) системы на многообразие 5) модельного движения системы (20) с заданной точностью;

3) синтезировано разрывное управление и, приводящее систему (14) в скользящий режим на многообразии 5 (21) в условиях погрешностей измерений;

4) синтезировано разрывное управление для линейных нестационарных объектов с целью последующего применения для управления оборотами ротора турбореактивного двигателя.

Для решения первой задачи доказывается, что если в исходной системе (14) при действии номинальных отличий В\, от модели (20) и не-

определенных возмущений АА = АЛ1 + АА2, АВ = ДБ1, ДО = ДО1 + ДО2 выполняются для скользящего режима на многообразии 5(17) условия инвариантности (18) к отличиям 4, В\, Д^1, £>о и к возмущениям

ДЛ1, Д51, ДО1, то в скользящем режиме на многообразии 5 (21) исходная система (14) будет также, как и при точном измерении вектора х для многообразия £ (17), инварианта к номинальным отличиям А^, в\, и к неопределенным возмущениям А41, АВ1, АО1.

Для решения второй задачи сначала рассматривается случай, когда система скользящего режима в исходных координатах

х = [Е-В^(СВ^у]С][(А^ +4+М2)Х + А02Р]-В^(СВ^Г1СМ, (22) 2 2 2

не зависит от А0, АА , АО Р и Ах, Ах. Доказывается, что на данном режиме тождественно воспроизводится желаемое модельное движение системы (20) с момента попадания / = /п и.т. на многообразие 5 (21). Для этого, приравнивая правые части (22) и (20), находим достаточное условие воспроизведения в виде

+ + = 0, (23)

либо, полагая им - Котхм в виде системы линейных алгебраических

уравнений с постоянными коэффициентами

Uo + B^f К omf СТ = 0 пхт. (24)

Матрица Кот угфавления ии находится тем или иным известным методом по

заданному качеству переходных процессов. Затем находится матрица СТ. Нахождение матрицы С рассматривается и для систем регулярной формы.

Алгоритмы построения матрицы С развиваются и для случая учета отличий от модели и наличия неопределенностей, когда

AI ф О, АА2 * О, AD2 * 0 и Ах * 0, Ах * 0. Построение осуществляется не в обычном скользящем режиме, а в многошаговом, когда матрица С, согласно известному методу многошагового терминального управления (Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов A.C., Сиразетдинов Т.К.) находится заново, например по системе (24), в начале t - tj каждого шага,

teh i = 0,k — 1, разбиения рассматриваемого интервала времени

I ~ ('о»'а] • Матрица Ковт, а по ней и матрица С, в начале каждого шага находятся достаточно быстро заново, в соответствии с заданными показателями качества переходных процессов. С указанной целью обеспечения требуемого качества предлагается сопоставление модельной системы с системой скользящего режима не в исходных координатах, а в вычисляемых. Это не потребует точного знания состояния *м(*,-) исходной системы (14) в начале каждого шага /,-,

но обеспечит точность ее приведения в состояние xu(t^) = x* = 0 только до суммарной погрешности измерений Аx{tk). Представим в модельной системе (20) с учетом выполнения равенства (24) правую часть в виде

^м (25)

Вычисляемый вектор хв выразим через модельный хм:

xB=xM+z, (26)

где z - вектор отклонений вычисляемого вектора хв от модельного хи. Получим систему в отклонениях z вектора хв от модельного движения:

z = В* (cß")_1 C^AqZ +- Bq (ев" j'1 cj[-A"Ax +

+ (Л2 + М2\хв -Ax)+D2F(t) + Ах} (27)

Далее находится оценка j|z(f)|| и показывается, что при достаточно малом шаге /,• выполняется условие ||z(?)|j < с, где е > 0 - требуемая точность воспроизведения модельного движения xM(t). А так как |*B|j -»|рсм||, то |х|] = ||хв-Ах|->-||хм-Дх||>|||хм|-||Дх|| и отклонение нормы |[х(/)|| вектора действительного состояния от модельной нормы ||хм|] не превышает нормы суммарной погрешности |Ах|. Такие же результаты следуют и для исходной системы в регулярной форме.

Для решения третьей задачи приведения системы в вычисляемых координатах, а с ней и системы (14), в скользящий режим на многообразии S (21) разрывное управление и представим в виде суммы

и = и0+ид, (28)

где и0 является номинальным управлением и решает задачу при отсутствии неопределённых возмущений АА, АВ, AD, AF и неопределённых погрешностей измерений Ах,Ах, а составляющая Ид преодолевает или усиливает влияние перечисленных неопределенностей (соответственно в случаях их противодействия или способствования процессу приведения). Производная s запишется в

виде суммы: _

s = (su...,sm)T =s0+sA, sj=s0j+3y, j = l,m. (29)

Согласно известному методу определения номинального управления (Мещанов A.C.), получаем

и0 =(и0Ъ...,и0т)Т =(CB0)-\Kgg + Ks3-(CA0xe +CD0F0m. (30) Структура Ид задается в виде

ид=(СЙ0)-1ид, «1=("1Д,...,*4л)Г> (31)

где составляющие м*д ,j = \,m, формируются в виде сумм

U*JA = UjAA +и*АВы0 + U*jD0AF +ujADF0 + U*jADAF + + ";МДх + «Щх + U*M + U*ABua ■ (32)

Слагаемые составляющих (32) находятся в силу выполнения достаточных условий попадания фазовых траекторий на гиперплоскости скольжения.

Для решения четвертой задачи в целях большего приближения к объекту управления (ТРД, обороты которого стабилизируются в условиях погрешностей измерений), предлагается детальный алгоритм синтеза управления на скользящих режимах в системах уравнений, имеющих форму Фробениуса.

В третьей главе представлен синтез матрицы управления, обеспечивающей экспоненциальное уменьшение евклидовой нормы вектора отклонений от невозмущенного движения в заданное число раз за конечное время переходного процесса.

Рассматривается управляемая система с линейным нестационарным объектом, представленная уравнением в отклонениях Az(i) движения z(t) в некоторой исходной системе от желаемого модельного движения zM(f):

Az = (A0(t)-Ku(t)GT(t)K(t))Az, (33)

где Az = (Az1,...,Az„)r, tel = (t0,tk], tk«*>-, A0(t), Ku(t), G(t), K(t) -и x и, nxm,mxq, qx л - номинальные (известные) матрицы переменных коэффициентов; матрицы A0(t) и K(t) являются заданными, а матрицы G(t) и Ku(t) настраиваемыми для управляемости системы (33) и выполнения условий асимптотической устойчивости нулевого решения Аг = 0 и заданных прямых

11

показателей качества переходных процессов. Решены следующие задачи:

1) найдена такая матрица управления Ku(t), чтобы норма |Дг(*)|экспоненциально уменьшалась за заданное время T = tk-t0 в заданное число ¿ раз к >1;

2) полученные результаты применены для управляемых систем с линейным нестационарным объектом, представленных системой дифференциальных уравнений в обычной форме

x = Â(t)x + B(t)u, и = K(t)x, (34)

где x = (xh...,x„)T, tel = (t0,tk], i*<<*>; A(t), B(t), K(t)~ nxn, nxm, mxn - номинальные матрицы переменных коэффициентов. Найдена матрица управления K(t) по известным матрицам Â(t), B(t) ;

3) полученные результаты развиты для случая линейных стационарных объектов.

Для решения первой задачи применяются известные алгоритмы, основанные на развитии следствия неравенства Важевского, теоремах об экспоненциальной устойчивости линейных нестационарных систем и применении известных методов поиска настроечных параметров.

Для решения второй задачи достаточно во всех алгоритмах и их формулах заменить матрицы A^(t), -KT(t)G(t), кЦ(?) соответственно на A(t), B(t), K(t), а матрицы A0(l), -GT(t)K(t), Ku(t) на

A1 (t), B> (0, K1 0). Данные замены обусловлены тем, что системе дифференциальных уравнений в обычной форме записи (34) соответствует система

y = {4(t)-KT{t)G(t)KÏ(t))y (35)

с некоторым вектором у = {уъ...,уп)тотличным от вектора Az(/), а все остальные результаты не зависят от того исследуется система (33) или система (35).

Для решения третьей задачи все алгоритмы, применяемые для систем с линейным нестационарным объектом, также действительны. Различия в том, что элементы матриц А0,В0,К в системе (33) будут постоянными. Для систем с линейным стационарным объектом предлагается алгоритм, основанный на использовании симметрической матрицы. В данном случае, если квадратичная

форма Azt(rt +r}sz<0, где R = (A0-KUGTК), что означает отрицательность всех собственных значений матрицы то норма ||Az(/)|| убывает в каждый момент времени. Этот результат можно развить и на случай синтеза матрицы управления Ки. Для этого удобно применить следствие критерия Сильвестра для симметрических постоянных матриц: для экспоненциального затухания в системе (33) (ее стационарном случае) нормы ||Az(f)|| за конечное время T = tk-t0 полуинтервала Ik={tb,tk] в к или большее число раз, к>\,

достаточно, чтобы выполнялись неравенства

Л? < 0; Д* > 0; Д? < 0,..;(-1)" Д** > 0; (36)

(-1)"Д?ХМе/,=('оЛ]> (37)

А.$й

где Д/ -последовательные главные миноры симметрической матрицы Мн = М + ЕИ = (от,5), 1и£ = ту + ЗуИ, 1,) =

где + /г>(- 1п(1 /к)/Т)>0, ^.-сим-

вол Кронекера.

Также рассмотрен случай, когда данный алгоритм решения не дает. В этом случае достаточно применить простейшее неособенное преобразование координат. Помимо этого найдены оценки (ограничения) на норму ||ЛТИ|| по известным ограничениям на максимальное значение тах||Дг(*)|| нормы вектора

Дг(0 и на максимальное значение нормы тах|- А^О^ДгЦ управления т

~КиС КАг. Для случая линейного нестационарного объекта системы (33) нахождение таких оценок существенно усложняется в связи с необходимостью нахождения аналитического решения.

В четвертой главе приведены результаты численного моделирования разработанных алгоритмов управления различными объектами и проведен анализ полученных данных.

Рассмотрена задача угловой стабилизации конусообразного космического летательного аппарата (КЛА) при спуске в атмосфере. Найдено разрывное управление, приводящее систему в скользящий режим на поверхность, которая стягивается в начало координат, обеспечивая тем самым терминальную инвариантность к неопределенным внешним и параметрическим возмущениям. При моделировании учитывается инерционность в срабатывании реактивных двигателей - как каждого двигателя в отдельности, так и обоих одновременно. При этом показывается, что учет инерционности двигателей не ухудшает прямых показателей качества процессов управления. Продольное возмущенное движение КЛА при спуске в атмосфере представлено системой дифференциальных уравнений четвертого порядка в нормальном вроде

х = А(1)х + 6(г)м + £>(0^(0, (38)

где составляющими вектора х = (хх,х2,хъ,хл)Т являются отклонения соответственно по углу тангажа, его производной, по углу наклона вектора скорости к линии горизонта, по высоте:

хх=А9 = Э„р~3, хг = А3, х3=А6 = 9пр-в, х4=АН = Нпр-Н,

и - управляющее воздействие (напряжение, подаваемое на электромагнитный клапан расхода топлива), пропорциональное тяге двигателей. Из системы (38) с учетом малости угла отклонения вектора скорости к линии горизонта от программного значения (и постоянства за время переходного процесса), выделяет-

ся система углового движения КЛА относительно центра масс (по отклонению угла тангажа = д,9 = Зпр -3 и его производной х2 Функция переключе-

ния задается в виде

л = сТх = ЬМЫ

$1=2Хх+х2, а 2 — Х\, £ =

(39)

где

Т \Т 97*

С = (с SignSl+C signs2) = (c^,c2) = (2signs^+signs2,signs^).

Управление строится в соответствии с результатами, полученными в главах .1, 2. Показан учет влияния погрешностей измерений на процессы управления.

Из рис. 1,2 без учета погрешностей измерений следует: монотонность затухания процесса управления по координате ху (по отклонению угла тангажа от программного значения), скольжение возникает на прямой ^ (рис. 2); равенство нулю установившегося значения хх, несмотря на постоянное воздействие на систему управления неопределенных внешних .Р(г) и параметрических возмущений; требуемое время затухания переходных процессов /„„ < 1,5 с. На рис. 3,4 с учетом погрешностей измерений показаны процесс управления по координате а также процесс управления по вспомогательной прямой переключений 5) ■ Появление статической ошибки по координате х\ обусловлено наличием погрешностей измерений.

Рис. 1. Процесс управления по отклонению угла тангажа, рад

Рис. 2. Процесс управления по вспомогательной функции переключений ^

Рис. 3. Процесс управления по отклонению угла тангажа при погрешностях измерений, рад

-1-• 1 1 1 1

1

I

/ :

1У

Рис. 4. Процесс управления по вспомогательной функции переключений 51 при погрешностях измерений

Рассмотрена задача стабилизации угловой скорости вращения вала турбореактивного двигателя (ТРД) отдельно при неопределенных возмущениях, а также при дополнительном учете погрешностей в измерениях координат состояния. Обеспечивается выполнение условий инвариантности к неопределенным ограниченным возмущениям при погрешностях измерений. При моделировании учитывается также инерционность (динамическая погрешность) датчика углового ускорения.

Линеаризованные уравнения одновального ТРД ЛА с нерегулируемым соплом и дозвуковым выходным диффузором, исполнительного устройства и датчика угловой скорости - тахогенератора имеют вид:

Та) + а = кдОт+к{/1(!\ Ст = кии + /2(г), х^к^а, (40) где оз - отклонение угловой скорости вращения ротора от установившегося значения на определенном режиме полета, рад/с; От - отклонение расхода топлива, кг/с; и — управляющее напряжение, В; х, - отклонение выходного напряжения тахогенератора, В; кд, , ки, ктг и Т - коэффициенты передачи

(рад/кг, рад/(с • Н), кг/(с2 • В), В ■ с!рад) и постоянная времени (с). На рис. 5, 6 показаны процессы стабилизации по функции переключений и по напряжению с тахогенератора при динамической погрешности датчика угловых ускорений.

\

\

\

V

1 \

Рис. 5. Процесс уменьшения функции переключений я до нулевых значений

Рис. 6. Переходный процесс стабилизации оборотов ротора по напряжению с тахогенератора Х1=кша,В

В четвертом разделе главы рассмотрена задача стабилизации продольного движения летательного аппарата на заданном режиме полета при неопределенностях и неполной информации о состоянии. Показано применение алгоритмов синтеза управления из главы 3. Промоделирован случай неполной информации о состоянии, вызванной отказом датчика угловой скорости и угла тангажа.

Рассмотрена система уравнений продольного движения самолета на режиме полета с заданными скоростью V = 265,68 м/с и высотой Я = 11000 м со скалярным управлением и по рулю высоты (составляющая 8а по тяге в стабилизации не участвует, полагается равной нулю). Система преобразована к нормальному виду:

AV- n12T}V0a - nunV0S+nAt]V0SA +

ä = n21^-AV-n22Tja + n23rjS + y + T}f2;

3 = y;

y = -

Ü3lR_ + M2llL Vo VQ

AV-(n0n22rj2 -n22n2)a-n0n23T]2S-

-(«o +Пгъ)ПУ-пвт128ъ-n0t]2f2 +n2f3, где u,a,3,y - отклонения от невозмущенного движения самолета по скорости, углу атаки и углу тангажа с производной. Применяя алгоритмы, полученные в главе 3, а также метод управления на скользящих режимах с идентификатором состояния (Мещанов A.C.), получаем в случае отказа датчика угловой скорости и угла тангажа следующие результаты. Из рис. 7, 8 видно, что процессы по координатам исходной системы z1 =v, z2 = а стабилизируются за заданное время переходного процесса tm = 20 с. Заключительная часть процессов для исходной (zl, z2) и модельной (zml, zm2) систем в связи с быстрым уменьшением нормы вектора отклонений Аz (за четверть времени переходного процесса модельной системы) практически полностью совпадает.

\ I

10 13 20 25 30

Рис. 7. Процессы по скорости 2\=и, м/с в исходной и модельной системах

Рис. 8. Процессы по углу атаки г2 = а, рад в исходной и модельной системах

Анализ результатов численного моделирования показал, что они полностью согласуются с разработанными алгоритмами.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан алгоритм разрывных управлений, обеспечивающих приведение системы в скользящий режим в начале координат в условиях действия неопределенных ограниченных внешних и параметрических возмущений. Проведено исследование причин, нарушающих такой скользящий режим, а также развит метод решения основной задачи управления с учетом неопределенных возмущений.

2. Разработаны алгоритмы управления на скользящих режимах, инвариантных к неопределенным внешним и параметрическим возмущениям при погрешностях измерений координат состояния: найдены условия инвариантности к неопределённым возмущениям и к отличиям от модельной системы скользящих режимов; найдены алгоритмы формирования матрицы многообразия скольжения для воспроизведения с начала скользящего режима модельного движения с точностью до установившейся погрешности измерений; найден алгоритм формирования разрывного управления, приводящего систему в скользящий режим в условиях погрешностей измерений; разработан алгоритм разрывного управления для линейных нестационарных объектов с целью последующих применений для управления авиационно-космическими объектами.

3. Разработаны алгоритмы управлений в системах с линейными объектами, обеспечивающих экспоненциальное уменьшение евклидовой нормы отклонений от невозмущенного движения, а также рассмотрено применение данных алгоритмов для управления системами при неполной информации о состоянии на скользящих режимах.

4. Разработаны алгоритмы управления для авиационно-космических объектов и программы в системе Matlab, численно промоделированы системы управления с указанными объектами. Полученные результаты полностью согласуются с результатами предложенных в диссертации алгоритмов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах, рекомендованных ВАК:

1. МещановА.С., Севрюгин С.Ю. Метод управления с гарантированной терминальной инвариантностью к неопределенным и номинальным возмущениям // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010. №3. С. 196 - 203.

2. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Управление с терминальной инвариантностью к возмущениям и минимальными энергетическими затратами, стабилизация полета КЛА в атмосфере//Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010. №4. С. 183 - 191.

3. Севрюгин С.Ю. Алгоритмы синтеза векторного управления в системах с линейными стационарными объектами // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2011. №1. С. 181 - 187.

4. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Многошаговый скользящий режим в воспроизведении модельных движений в системах с линейным стационарным объектом при неопределенных возмущениях и погрешностях измерений // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2011. №2. С. 141-151.

В других изданиях:

5. Севрюгин С.Ю. Управление угловой скоростью ротора ТРД при неопределенных возмущениях и ошибках в измерениях // III Республиканская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Автоматика и электронное приборостроение», посвященная 55-летию факультета АЭП. Материалы конференции. Казань, 2006. С. 90 - 91.

6. Севрюгин С.Ю. К высокоточной стабилизации оборотов ДПТ при неопределенных возмущениях по параметрам генератора и момету сопротивления // Ш Республиканская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Автоматика и электронное приборостроение», посвященная 55-летию факультета АЭП. Материалы конференции. Казань, 2006. С. 88 - 89.

7. Севрюгин С.Ю. Стабилизация оборотов ротора ТРД при неопределенных параметрических возмущениях и ошибках в измерениях // XIV Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Тезисы докладов. Том III. Казань, 2006. С. 118 - 119.

8. Севрюгин С.Ю. Стабилизация оборотов вала двигателя при неопределенностях по параметрам генератора и моменту сопротивления // XIV Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Тезисы докладов. Том Ш. Казань, 2006. С. 120 - 122.

9. Севрюгин С.Ю. Метод снижения энергетических затрат на управление при неопределенных возмущениях и ошибках в измерениях // IV Республиканская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Автоматика и электронное приборостроение». Материалы конференции. Казань, 2007. С. 79 - 81.

10. Севрюгин С.Ю. Стабилизация оборотов с малыми энергетическими затратами на управление при неопределенности по параметрам генератора и моменту сопротивления // IV Республиканская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Автоматика и электронное приборостроение». Материалы конференции. Казань, 2007. С. 91 - 93.

11. Севрюгин С.Ю. Управление мягкой вертикальной посадкой многоразовых возвращаемых космических аппаратов // XV Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Материалы конференции. Том П. Казань, 2007. С. 211 -213.

12. Севрюгин С.Ю. Стабилизация оборотов ТРД с малыми энергетическими затратами при неопределенностях в возмущениях и измерениях И XV Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Материалы конференции. Том II. Казань 2007 С. 209 - 211.

13 .Мещанов А. С., Севрюгин С.Ю. Метод уменьшения энергетических затрат на управление в скользящем режиме при неопределенности и его применения // Вторая международная конференция «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании». Сборник трудов. Екатеринбург, 2007. С. 39-41.

14.Афанасьев В.А., Маливанов H.H., Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Методы уменьшения энергетических затрат в управлении при неопределенности // V Международная юбилейная научно-практическая конференция «Автомобиль и техносфера» ICATS'2007. Материалы конференции. Казань, 2007. С. 235.

\S. Масалов A.B., Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю., Ференец A.B. Идентификация неопределенных возмущений в управлении с малыми энергетическими затратами // V Международная юбилейная научно-практическая конференция «Автомобиль и техносфера» ICATS'2007. Материалы конференции. Казань, 2007. С. 236.

16. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Многошаговое терминальное управление в решении задач стабилизации, слежения и приведения в скользящие режимы при неопределенных возмущениях // Седьмой всероссийский семинар по аналитической механике, устойчивости и управлению движением, посвященный столетию со дня рождения профессора Аминова Монпима Шакуровича. Материалы семинара. Казань, 2008. С. 52 - 53.

17. Севрюгин С.Ю. К приведению в скользящий режим, стабилизации и слежению при неопределенности методом терминального управления // XVI Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Материалы конференции. Том II. Казань, 2008 С. 301 -303.

18. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Методы синтеза многомерных линейных нестационарных систем управления // Современные технологии - ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения. Материалы Международной научно-практической конференции Т. 2. Казань, 2008. С. 71-75.

19.Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. К уменьшению энергетических затрат на управление динамическими объектами в скользящих режимах // IX Международный симпозиум «Энер-горесурсоэффективность и энергосбережение». Материалы симпозиума. Казань, 2008 С. 166 -172.

20 .Афанасьев В.А., Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю., Ференец A.B. Методы идентификации и интерполяции параметров и возмущений подвижных объектов на переходных режимах // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий. Сборник материалов XXI Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. Часть 1. Казань, 2009. С. 264 - 266.

21. Севрюгин С.Ю. Идентификация и интерполяция параметров и возмущений на переходных режимах полета // X Королевские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием. Тезисы докладов. Самара, 2009. С. 40.

22. Севрюгин С.Ю. Об идентификации и интерполяции параметров и возмущений на переходных режимах // XVII Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Материалы конференции. Том Ш. Казань, 2009. С. 146 - 148.

23. Севрюгин С.Ю. Управление при неопределенности и неполной информации в стабилизации продольного движения самолета // XVIII Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Материалы конференции. Том IV. Казань, 2010. С. 602 - 604.

24. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Стабилизация продольного движения самолета при неопределенностях и отказах датчиков // Современные технологии - ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения. Сборник докладов Международной научно-практической конференции. Т. II. Казань, 2010. С. 521 - 527.

25. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Управление с терминальной инвариантностью к возмущениям и минимальными энергетическими затратами, применения в стабилизации полета спускаемого космического летательного аппарата // Параллельные вычисления и задачи управления РАСО'2010. Труды пятой международной конференции. Москва, 2010. С. 395-414.

26.Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Синтез скользящих режимов в системах с неопределенными возмущениями и погрешностями в измерениях и их применение для стабилизации оборотов ротора турбореактивного двигателя [Электронный ресурс] // Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения УЮТ 10. Труды конференции. Москва, 2010. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). 10 с.

/ П

Формат 60 X 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 1,25, Усл.печ.л. 1,16, Уч-печ.л. 1,03.

_Тираж 100. Заказ Olli._

Типография Казанского государственного технического университета 420111, Казань, К.Маркса, 10.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ С ГАРАНТИРОВАННОЙ , ТЕРМИНАЛЬНОЙ ИНВАРИАНТНОСТЬЮ К НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ И НОМИНАЛЬНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ.

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3. Построение разрывного управления.

1.4. Условия существования скользящего режима в начале координат.

1.5. Методика решения основной задачи управления при неопределенных возмущениях.

1.6. Выводы.

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ И ПОГРШЕНОСТЯХ В ИЗМЕРЕНИЯХ.

2.1. Введение.

2.2. Синтез многообразий скольжения и векторных разрывных управлений в системах с линейными стационарными объектами.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Скользящий режим в условиях неопределенных погрешностей измерений.

2.2.3. Алгоритмы воспроизведения желаемых модельных движений с точностью до погрешности измерений.

2.2.4. Синтез разрывного управления с неопределенными ограниченными погрешностями измерений.

2.3. Синтез управления на скользящем режиме при неопределенных возмущениях в системах с линейными нестационарными объектами.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Уравнение скользящего режима и условия инвариантности.

2.3.3. Построение разрывного управления.

2.3.4. Условия выполнения ограничений на время и координаты процесса управления при быстром попадании на прямую скольжения.

2.3.5. Выполнение ограничений и минимизация функционала качества процессов управления при попадании за конечное время.

2.3.6. Возможности применения алгоритма для линейных объектов общего вида.

2.4. Построение управления при неопределенных возмущениях с учетом погрешностей в измерениях.

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Вывод уравнений скользящего режима и нахождение условий инвариантности к неопределенным возмущениям.

2.4.3. Построение разрывного управления.

2.4.4. Оценки параметров управления и погрешностей измерений, условия вхождения ошибки в пятипроцентную трубку.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА ВЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ В

СИСТЕМАХ С ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

О СОСТОЯНИИ.

3.1. Введение.

3.2. Синтез управления в системах с линейным нестационарным объектом.

3.3. Синтез управления в системах с линейным стационарным объектом.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В СКОЛЬЗЯЩЕМ РЕЖИМЕ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ПОГРЕШНОСТЯХ ИЗМЕРЕНИЙ И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О СОСТОЯНИИ.

4.1. Введение.

4.2. Применение результатов исследования в задаче угловой стабилизации космического летательного аппарата.

4.3. Моделирование системы стабилизации угловой скорости вращения вала турбореактивного двигателя.

4.4. Стабилизация продольного движения летательного аппарата при неопределенностях и неполной информации о состоянии.

4.4.1. Постановка задачи.

4.4.2. Синтез многообразия скольжения и разрывного управления при неполной информации о состоянии.

4.5. Выводы.

Известно, что любой технический объект в процессе свого функционирования подвергается постоянному воздействию различных неопределенностей. Эти неопределенности могут быть параметрическими, вызванными разбросом параметров объекта управления от одного режима работы к другому (например, они могут быть вызваны старением элементов системы и т.д.), и внешними, вызванными в свою очередь различными внешними факторами (например, ветровые возмущения для летательных аппаратов, наличие сухого трения и т.д.). Важно учитывать эти неопределенности при проектировании систем управления, особенно для летательных аппаратов, с целью обеспечения надежности и безопасности полета. Среди различных методов, позволяющих управлять такими объектами, часто выделяют системы, в которых управляющие воздействия являются разрывными в зависимости от состояния системы.

Одним из методов решения задач с разрывным управлением является синтез системы с переменной структурой (СПС) на скользящих режимах. Исследования в данной области являются одними из наиболее актуальных в настоящее время. Задача синтеза в системах с разрывными управлениями обычно сводится к построению поверхностей переключений в фазовом пространстве, на которых функции управления претерпевают разрывы. При выполнении определенных соотношений, в таких системах на данных поверхностях может возникнуть специфический вид движения - скользящий режим. В скользящем режиме переключение с одной структуры управляющего устройства на другую происходит теоретически с бесконечно большой частотой. При этом структуры и параметры управляющего устройства, а также логику переключения структур подбирают так, чтобы в некоторой области фазового пространства, все фазовые траектории движения изображающей точки вели к гиперплоскости скольжения. В результате изображающая точка, единожды попав на поверхность переключения, уже не может её покинуть и движется в фазовом пространстве в соответствии с дифференциальным уравнением скользящего режима. Скользящие режимы обладают известными преимуществами: во-первых, понижается динамический порядок системы, во1 вторых, часто системы уравнений скольжения оказываются инвариантными к неопределенным возмущениям.

Основные результаты по теории СПС были изложены в работах C.B. Емельянова, Е.А. Барбашина, В.И. Уткина, Б.Н. Петрова, С.К. Коровина, а также в работах и монографиях коллективов авторов. Дальнейшее развитие теория СПС, и в особенности скользящих режимов, получила в работах В.И. Уткина, Э.М. Джафарова, C.B. Емельянова, С.К. Коровина, Г.И. Лозгачева, Л.Г. Ащепкова, А.Г. Лукьянова, С.М. Цонкова, Д.Б. Изосимова, В.В. Кашканова, С.А. Красновой, В.А Уткина, A.B. Уткина, В.А. Афанасьева, В.И. Гурмана, в работах Г.Л. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова, A.C. Мещанова, Е.Ю. Самышевой, P.M. Хайруллина, выполненных в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева, в работах зарубежных ученых J.-J. Е. Slotine, J.K. Hedrick, Е.А. Misawa, David К., Arie Levant, L. Fridman и многих других авторов. В последние годы исследованиям СПС было посвящено большое количество работ в России, США, Китае, Израиле и в ряде других стран [2, 11, 13, 14, 16, 19, 20, 25-28, 31-33, 50, 51, 53-55, 57, 67, 74, 75, 78-99, 101-107].

Известными и распространенными методами построения управлений являются методы В.И. Уткина, в которых число логических переключающих устройств может принимать значения от единицы (на примере скалярных управлений) до п, а с уменьшением их числа возрастает число связей задаваемых параметров поверхностей скольжения (коэффициентов в случае гиперплоскостей скольжения) с параметрами объекта управления. Это только в условиях существования скользящего режима. Дополнительную связь дает условие попадания и.т. в малую окрестность. В результате при числе ЛПУ меньшем п-1 образуются такие необходимые соотношения параметров поверхностей скольжения и объекта, которые могут привести к потере устойчивости, не говоря о выполнении требований к показателям качества. С увеличением же числа ЛПУ понижается надежность, увеличиваются масса и габариты УУ при аналоговом исполнении и возрастают требования к скорости и объему вычислений в случае компьютерной реализации закона управления, так как очень большое число совершаемых для каждого ЛПУ логических операций на скользящем режиме умножается на число ЛПУ. При данном числе, равном размерности системы п, число указанных соотношений, необходимых для выполнения, ограничивается только одним условием существования управления, общим для всех известных методов приведения систем управления в скользящий режим, а именно - отличием от нуля определителя произведения матрицы коэффициентов многообразия скольжения на матрицу входа в систему уравнений управления. Однако, в этом случае метод управления В.И. Уткина не предусматривает выполнения условий существования скольжения, что не исключает только асимптотического приведения системы в скользящий режим, т.е. не за конечное время, а только при i—>• оо и в начале координат. А это снижает преимущества скользящих режимов в уменьшении на них размерности систем и выполнения условий инвариантности.

В связи с изложенным в диссертации, выбор типа управления для дальнейшего совершенствования в смысле повышения его эффективности был остановлен на методе, разработанном A.C. Мещановым. Данный метод лишен перечисленных недостатков, так как в скалярном случае управление требует только одно ЛПУ и не накладывает ограничений на задание поверхности скольжения (помимо общего для всех типов управлений условия их существования). Для векторного управления число ЛПУ ограничивается его размерностью, равной т (по сравнению с т п в методе В.И. Уткина) без дополнительных ограничений, кроме условия существования управления.

В то же время неисследованным или сравнительно малоисследованным остается широкий круг вопросов, связанных с построением СПС, представляющих важное теоретическое и практическое значение. В частности, к таким вопросам можно отнести построение разрывных систем на скользящих режимах: инвариантных к неопределенным возмущением при погрешностях в измерениях координат состояния; с терминальной инвариантностью (в начале координат) к любым ограниченным возмущениям; при неполной информации о состоянии. Представленная диссертация посвящена решению этих вопросов.

В работе решаются следующие задачи:

1. Построение разрывного управления, приводящего систему в скользящий режим, возникающий в начале координат, с решением основной задачи управления.

2. Построение разрывного управления для приведения системы в скользящий режим с инвариантностью в нем к неопределенным параметрическим и внешним возмущениям при погрешностях в измерениях координат состояния.

3. Разработка алгоритмов синтеза управлений в системах с линейными объектами, обеспечивающих экспоненциальное уменьшение евклидовой нормы вектора отклонений от невозмущенного движения и применение данных алгоритмов для управления системами при неполной информации о состоянии.

4. Практическое применение алгоритмов построения разрывных управлений и многообразий скольжения для различных объектов. Анализ результатов моделирования, заключения по возможности построения управлений по предложенным алгоритмам и методикам.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 109 наименований и четырех приложений.

4.5. Выводы

1. Полученные результаты численного моделирования на ПК полностью согласуются с выводами разработанных в главах 1-3 алгоритмов и методик.

2. Показана возможность применения предложенных алгоритмов для управления возмущенными системами, описываемыми системами дифференциальных уравнений, представленными в диссертации.

3. Проиллюстрирована возможность эффективного управления линейными системами не только при неопределенных возмущениях, но и при неполной информации о состоянии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построение эффективных управлений, обладающих достаточно высоким качеством процессов управления при относительно несложной их реализации, является одной из актуальнейших задач в теории автоматического управления. В приведенной работе показаны варианты построения таких управлений в скользящем режиме при ограниченных неопределенных возмущениях, погрешностях измерений и неполной информации о состоянии. При этом решены следующие задачи.

1. Показано построение разрывных управлений, обеспечивающих приведение системы в скользящий режим в начале координат в условиях действия неопределенных ограниченных внешних и параметрических возмущений, когда условия инвариантности к ним скользящих режимов не выполняются. Проведено исследование причин, нарушающих такой скользящий режим, а также дана методика решения основной задачи управления.

2. Разработаны алгоритмы управления на скользящих режимах, инвариантных к неопределенным внешним и параметрическим возмущениям при погрешностях измерений координат состояния.

3. Получены алгоритмы синтеза управлений в системах с линейными объектами, обеспечивающих экспоненциальное уменьшение евклидовой нормы отклонений от невозмущенного движения, а также рассмотрено применение данных алгоритмов для управления системами при неполной информации о состоянии на скользящих режимах.

4. На численных примерах объектов управления показано практическое применение алгоритмов построения разрывных управлений для различных объектов авиационной и космической техники.

Полученные результаты найдут эффективное применение для управления различными объектами, которые могут быть описаны системами дифференциальных уравнений, представленными в диссертации.

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем // Автоматика и телемеханика, 1974. №7. С. 33-47.

2. Александров А.Ю., Платонов A.B. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями // Автоматика и телемеханика, 2008. №7. С. 3 18.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

4. Андреевский В.В. Динамика спуска космических аппаратов на Землю. М.: Машиностроение, 1970. 232 с.

5. Афанасьев В.А., Мещанов A.C., Сиразетдинов Т.К. Многошаговое терминальное управление системами при неопределенностях с учетом ограничений // Кибернетика и вычислительная техника, 1987. Вып.73. С. 79-86.

6. Афанасьев В.А., Мещанов A.C., Сиразетдинов Т.К. Многошаговое терминальное управление линейными системами при параметрических и постоянно действующих возмущениях // Изв. вузов. Авиационная техника, 1984. № 4. С. 11-18.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.

8. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб: Профессия, 2003. 752 с.

9. Боднер В.А. Теория автоматического управления полетом. М.: Наука, 1964. 700 с.

10. Боднер В. А., Рязанов Ю.А., Шаймар данов Ф.А. Системы автоматического управления двигателями летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 248 с.

11. Васильев С.Н. К устойчивости одного класса гибридных систем // Изв. ИПУ. Математика, 2009. Т. 2. № 2. С. 1-8.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

13. Гурман В.И., Ни Минь Кань. Реализация скользящих режимов как обобщенных решений задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика, 2008. №3. С. 51 59.

14. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Ухин М.Ю. Улучшение управления, реализующего скользящий режим // Автоматика и телемеханика, 2008. №3. С. 161-171.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

16. Дыда A.A., Маркин В.Е. Системы управления с переменной структурой с парными и нелинейно деформируемыми поверхностями переключения // Проблемы управления, 2005. №1. С. 22 -25.

17. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 336 с.

18. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. М.: Наука. Физматлит, 1997. 352 с.

19. Емельянов C.B., Коровин С.К. Системы управления с переменной структурой. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Техническая кибернетика, 1980. 13. С. 151-198.

20. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин C.B. Нелинейные системы, управляемость, стабилизируемость, инвариантность // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернет. ВИНИТИ, 1988. 23. С. 3-107.

21. Зотеев А.И. Синтез систем с переменной структурой. I // Труды КАИ. вып. 121, 1970; II. Труды КАИ. вып.117, 1970.

22. Казанцев О.В., Калмыков A.B., Мещанов A.C. Методы разрывного управления с учетом ошибок измерений для линейных объектов с неопределенностями // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998. №3. С 34 -38.

23. Казанцев О.В., Калмыков A.B., Мещанов A.C. Методы управления линейными нестационарными объектами с неопределенностями наскользящих режимах // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 1998. №2. С 27 -30.

24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.

25. Краснова С.А., Кузнецов С.И. Оценивание на скользящих режимах неконтролируемых возмущений в нелинейных динамических системах // Автоматика и телемеханика, 2005. №10. С. 54 69.

26. Краснова С.А., Уткин В.А., Уткин A.B. Блочный синтез управления механическими системами в условиях неопределенности // Мехатроника, автоматизация, управление, 2009. №6. С. 41 54.

27. Краснова С.А., Уткин В.А., Уткин A.B., Нгуен Тхань Тиен. Прямой метод синтеза системы управления рабочим органом манипулятора при неполных измерениях // Проблемы управления, 2008. №1. С. 10 18.

28. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

29. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1963. 432 с.

30. Лебедев A.A., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970. 244 с.

31. Лебедев A.B., Филаретов В.Ф. Система с переменной структурой для централизованного управления движением автономного подводного аппарата // Мехатроника, автоматизация, управление, 2009. №4. С. 73 -78.

32. Лозгачев Г.И. Синтез систем автоматического регулирования с переменной структурой на основе метода функций Ляпунова // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1979. № 5. С. 189- 193.

33. Лукьянов А.Г. Синтез поверхностей разрыва в системах с разрывным скалярным управлением. Проблемы управления в технике, экономике, биологии. М., 1981. С. 18-23.

34. Мещанов A.C. Критерии экспоненциальной устойчивости и затухания процессов линейных нестационарных систем // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2004. № 2. С. 46-52.

35. Мещанов A.C. Синтез многоуровневых векторных управлений для скользящих режимов заданного порядка. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева, 2007. № 4. С. 47-51.

36. Мещанов A.C. Методы построения разрывных управлений и поверхностей переключения в многомерных системах // Изв. вузов. Авиационная техника, 1981. № 2. С. 39-44.

37. Мещанов A.C. О приведении в скользящий режим многомерных разрывных систем с нелинейным нестационарным объектом управления // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, 1985. 258 с.

38. Мещанов A.C. О режимах движения в системах с разрывом управления // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 1976. №2. С. 61 67.

39. Мещанов A.C. Об одном алгоритме управления в системах переменной структуры // Труды КАИ. вып. 187. Казан, авиац. ин-т. Казань, 1975. С. 42 -48.

40. Мещанов A.C. Обоснование метода многошагового терминального управления по упрощенным моделям в нелинейных нестационарных системах с неопределенными возмущениями. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 1999. № 4. С.65-70.

41. Мещанов A.C. Разрывное управление манипулятором летательного аппарата // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 1989. №3. С. 31-38.

42. Мещанов A.C. Разрывное управление манипулятором с инерционными приводами. I // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 1991. №3. С. 13-20.

43. Мещанов A.C. Разрывное управление манипулятором с инерционными приводами. II // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника, 1992. №1. С. 20-24.

44. Мещанов A.C. Синтез многообразия скольжения и управления с идентификатором состояния при неопределенности // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2008. № 3. С. 92-97.

45. Мещанов A.C. Уравнения скольжения на подвижных многообразиях и синтез векторных управлений для нелинейных объектов при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева, 2008. № 2. С. 51-56.

46. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Метод управления с гарантированной терминальной инвариантностью к неопределенным и номинальным возмущениям // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010. №3. С. 196 203.

47. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Многошаговый скользящий режим в воспроизведении модельных движений в системах с линейным стационарным объектом при неопределенных возмущениях и погрешностях измерений // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2011. №2. С. 141-151.

48. Мещанов A.C., Севрюгин С.Ю. Управление с терминальной инвариантностью к возмущениям и минимальными энергетическими затратами, стабилизация полета KJIA в атмосфере // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010. №4. С. 183 191.

49. Мышляев Ю.И. Алгоритмы управления линейными объектами в условиях параметрической неопределенности на основе настраиваемогоскользящего режима // Мехатроника, автоматизация, управление, 2009. №2. С. 11-16.

50. Нгуен Куанг Хынг, Уткин В.А. Задачи управления электродвигателем постоянного тока // Автоматика и телемеханика, 2006. №5. С. 102 -118.

51. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.

52. Петров Б.Н. Избранные труды: В 2-х томах. Т.1. Теория автоматического управления. М.: Наука, 1983. 432 с.

53. Петров Б.Н. Избранные труды: В 2-х томах. Т.2. Управление авиационными и космическими аппаратами. М.: Наука, 1983. 328 с.

54. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 1983.

55. Руденко А. В. Об аппроксимации скользящих режимов в системах с ограничениями на частоту переключений // Кибернетика и вычислительная техника. Киев, 1987. №75. С. 44-48.

56. Рыбкин С.Е., Изосимов Д.Б., Байда С.В. Регуляризация переключений компонент многомерного разрывного управления в реальном скользящем режиме // Проблемы управления, 2006. №1. С. 54 60.

57. Севрюгин С.Ю. Алгоритмы синтеза векторного управления в системах с линейными стационарными объектами // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2011. №1. С. 181 187.

58. Севрюгин С.Ю. Стабилизация оборотов ротора ТРД при неопределенных параметрических возмущениях и ошибках в измерениях // XIV

59. Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Тезисы докладов. Том III. Казань, 2006. С.118 -119.

60. Севрюгин С.Ю. Управление при неопределенности и неполной информации в стабилизации продольного движения самолета // XVIII Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. Материалы конференции. Том IV. Казань, 2010. С. 602 604.

61. Сиразетдинов Т.К., Богомолов А.И. Аналитическое проектирование сложных систем. I // Изв.вузов. Авиационная техника, 1978. № 2. С. 8391.

62. Сиразетдинов Т.К., Дегтярев Г.Л., Ватолин В.В. Программный модуль глобальной минимизации функции многих переменных / Научно-технический отчет. Лаб. ДУСО. НИЧ КАИ, 1982.

63. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 455 с.

64. Теория систем с переменной структурой. / Под ред. С.В.Емельянова. М.: Наука, 1970. 592 с.

65. Уткин A.B. Метод расширения пространства состояния в задаче синтеза автономного управления // Автоматика и телемеханика, 2007. №6. С. 81 -98.

66. Уткин В.И. Об уравнениях скользящего режима в разрывных системах. Ч. 1 и 2 // Автоматика и телемеханика, 1971. №12. С. 42 54; 1972. №2. С. 51-61.

67. Уткин В.И. Системы с переменной структурой: состояние проблемы, перспективы // Автоматика и телемеханика, 1983. №9. С.5-25.

68. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.368 с.

69. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974. 272 с.

70. Уткин В.И., Янг К.Д. Методы построения плоскостей разрыва в многомерных системах с переменной структурой // Автоматика и телемеханика, 1978. № 10. С. 72—77.

71. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями // Мат. сб., 1960. Т. 51(93). №1. С. 99 128.

72. Фурасов В.Д. Динамика развития: модели, индексы, оценки. М.: Academia, 1998. 228 с.

73. Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.352 с.

74. Черкасов Б.А. Автоматика и регулирование воздушно-реактивных двигателей. М.: Машиностроение, 1988. 360 с.

75. Шевяков А.А. Автоматика авиационных и ракетных силовых установок. М.: Машиностроение, 1970. 660 с.

76. Choi Hyeung-sik, Park Yong-heon, Cho Yongsung, Lee Minho. Global sliding-mode control. Глобальное управление в скользящем режиме // IEEE Contr. Syst. Mag., 2001. Vol. 21. № 3. C. 27-35.

77. Christopher Edwards, Chee Pin Tan. Sensor fault tolerant control using sliding mode observers. Устойчивое к ошибкам датчиков управление с использованием наблюдателей на скользящих режимах // Control Engineering Practice, 2006. Vol. 14. №8. P. 897 908.

78. Halim Alwi, Christopher Edwards, Chee Pin Tan. Sliding mode estimation schemes for incipient sensor faults. Схемы оценки на скользящих режимах возникающих ошибок датчиков // Automática, 2009. Vol. 45. №7. P. 1679 -1685.

79. Hirschorn R. Sliding-mode control variations. Вариации управлений на скользящих режимах // IEEE Transactions on Automatic Control, 2007. Vol. 52. №3. P. 468-480.

80. J. Shi, H. Liu, N. Bajcinca. Robust control of robotic manipulators based on integral sliding mode. Робастное управление на интегральных скользящих режимах манипуляторами робота // International Journal of Control, 2008. Vol. 81. №10. P. 1537- 1548.

81. J. Stéphant, A. Charara, D. Meizel. Evaluation of a sliding mode observer for vehicle sideslip angle. Оценка наблюдателя на скользящем режиме для угла заноса транспортного средства // Control Engineering Practice, 2007. Vol. 15. №7. P. 803 -812.

82. Levant A. Quasi-continuous high-order sliding-mode controllers. Квазинепрерывные регуляторы на скользящих режимах высокого порядка // IEEE Transactions on Automatic Control, 2005. Vol. 50. №11. P. 1812-1816.

83. Levant A., Alelishvili L. Integral high-order sliding modes. Интегральные скользящие режимы высокого порядка // IEEE Transactions on Automatic Control, 2007. Vol. 52. №7. P. 1278 1282.

84. Levant Arie. Homogeneity approach to high-order sliding mode design. Использование свойств однородности для получения скользящего режима высокого порядка // Automatica, 2005. Vol. 41. №5. P. 823 830.

85. Liaw Der-Cherng, Liang Yew-Wen, Cheng Chiz-Chung. Nonlinear control for missile terminal guidance. Нелинейное управление наведением ракеты на конечном участке // Trans. ASME. J. Dyn. Syst., Meas. and Contr., 2000. Vol. 122. № 4. P. 663-668.

86. Orlov Yu.V., Utkin V.I. Sliding mode control in indefinite dimensional system. Управление с использованием скользящих режимов для систем неограниченной разрядности // Automatika, 1987. Vol. 23. №6. P. 753-757.

87. Ricardo Julián Mantz, Hernán De Battista, Fernando Daniel Bianchi. VSS global performance improvement based on AW concepts. Усовершенствование работы СПС, основанное на концепции AW // Automática, 2005. Vol. 41. №6. P. 1099 1103.

88. Ryan E.P. A variable structure approach to feedback regulation of uncertain dynamical systems. Подход к регулированию вероятностных динамических систем на основе переменной структуры // Int. J. Contr., 1983. Vol. 38. №6. P. 1121-1134.

89. Sinswat V., Fallside F. Eigenvalue/eigenvector assignment by state-feedback // Int.J. Control, 1977. Vol. 26. № 3. P. 389—403.

90. Slotine J.-J. E. , Coetsee J. A. Adaptive sliding controller synthesis for nonlinear systems. Синтез адаптивного скользящего контроллера для нелинейных систем // Int. J. Contr., 1986. Vol. 43. №6. P. 1631-1651.

91. Sun Chang-sheng, Chen Jie, Dou Li-hua, Tian Jie Синтез регулятора для танка, использующего блок векторного управления // Beijing ligong daxue xuebao = J. Beijing Inst. Technol., 2000. Vol. 20. № 5. P. 593-596.

92. Wolowich W.A. On the stabilisation of controlable Systems. IEEE Transaction on Automatic Control, 1968. Vol. 13. №5. P. 569 572.

93. Xinkai Chen. Adaptive sliding mode control for discrete-time multi-input multi-output systems. Адаптивное управление на скользящем режиме для дискретных систем со многими входами и выходами // Automática, 2006. Vol. 42. №3. P. 427-435.

94. Yuri В. Shtessel, Ilya A. Shkolnikov, Arie Levant. Smooth second-order sliding modes: Missile guidance application. Гладкие скользящие режимы второго порядка: Применение для наведения ракеты на цель // Automática, 2007. Vol. 43. №8. P. 1470 1476.