автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы и методы вычисления первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на единичной двумерной сфере

Введение.

Глава 1. Вспомогательные утверждения и теоремы.

1.1 Римановы многообразия.

1.2 Оператор Лапласа-Бельтрами.

1.3 Некоторые вопросы функционального анализа и теории линейных операторов.

Глава 2. Вычисление первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере с потенциалом из С2.

2.1 Оценки числовых рядов.

2.2 Оценка третьей поправки теории возмущений.

2.3 Основные теоремы.

Глава 3. Вычисление первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере с потенциалом, удовлетворяющем условию Липшица.

3.1 Оценка второй поправки теории возмущений.

3.2 Оценка третьей поправки теории возмущений.

3.3 Основные теоремы.

3.4 Вычисление второй поправки теории возмущений.

Постановка задачи. Исследование спектральных свойств дифференциальных операторов с частными производными является одной из важнейших задач общей спектральной теории линейных операторов. Эта область обязана своим развитием конкретным задачам физики, химии, биологии и других естественных наук. Так при рассмотрении колебаний мембраны и трехмерных упругих тел мы приходим к простейшим задачам на собственные значения для многомерных дифференциальных операторов. Эти задачи возникают также в теории оболочек, гидродинамике и других разделах механики. Богатейшим источником задач спектральной теории является квантовая механика.

Следы операторов играют важную роль в различных разделах анализа, в вопросах приближенного вычисления собственных значений, при решении обратных задач спектрального анализа, их изучение представляет и самостоятельный интерес. Пусть

1 д , • л д ч 1 д2 sinO дО дО sin20 dip2 - стандартный оператор Лапласа-Бельтрами на единичной двумерной сфере 52, действующий в гильбертовом пространстве Н = L2{S2) функций, интегрируемых с квадратом по мере Хаара sinOdipdO (</э, 0 - сферические координаты); Хп — п(п + 1), п = 0, оо, - собственные числа оператора Т, vn = 2n + 1 - кратность собственного числа An; V^j, г = 0, 2n, - собственные функции оператора Т, которые образуют систему ортонормированных сферических функций. Обозначим через Р оператор умножения на измеримую по Лебегу функцию р : [0, 27т] х [0,7г] С, где С - множество комплексных чисел. Пусть г = 0,2п, - собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, такие, что

Диссертация посвящена получению формул регуляризованных следов для оператора Т + Р в случае негладкого потенциала. Рассмотрены случаи, когда функция р является дважды непрерывно дифференцируемой и когда она удовлетворяет условию Липшица по двум переменным. При этом основным вопросом является доказательство абсолютной сходимости ряда

В этом случае первый регуляризованный след уже нетрудно вычислить, если воспользоваться методом В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, предложенным в [44].

Историография вопроса. Работы Г. Вейля и Э.Ч. Титчмарша явились причиной появления огромного количества работ, связанных с исследованием распределения собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Сформировались два основ

И"п,г — Tl(n + 1)| < Const. ных метода получения асимптотики спектра. Первый из них - вариационный принцип. Он был существенно развит М.Ш. Бирманом и его школой. Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен, как другие методы, к гладкости коэффициентов, границы области и т.п. С другой стороны, он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. Второй метод называется резольвентным. Он связан с изучением резольвенты рассматриваемого оператора или другой функции от него с последующим использованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральных асимптотик.

Обозначим через N(.А) число (с учетом кратности) собственных значений оператора А, не превосходящих Л. Исследованию асимптотического поведения функции N(А) при |А| —оо посвящено большое количество работ. Г. Вейлем [95] был получен главный член N(А) ~ а\п1т без оценки остаточного члена. Здесь т - порядок оператора А, п - размерность многообразия, на котором он действует. Им же была высказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики N(А) (связанного с граничными условиями, если речь идет о многообразии с краем).

Важным шагом на пути обоснования этой гипотезы явился следующий результат JI. Хёрмандера [82]: пусть А самосопряженный положительный эллиптический дифференциальный оператор на компактном многообразии

М без края. Тогда

N{ А) = а\п1т + 0{Х{п~1)/т) при Л —+оо.

Стандартным инструментом исследования более тонкой структуры спектра является получение формул регуляризованных следов исследуемого оператора. Классическим регуляризованным следом порядка а оператора А называется соотношение вида t-Ak(a)) = B(a), (0.0.1) к где Xk - собственные числа оператора A, a £ IR, а Ак(а) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора выражения. Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [16], где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. К аналогичным результатам пришел в этом же году Л.А. Дикий [19], используя, правда несколько иные методы. Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда [15], М.Г. Гасымова и Б.М. Левитана [14], Р.Ф. Шевченко [67], А.Г. Костюченко [31], В.А. Садовничего [50] и многих других. Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов получены В.Б. Лидским и В.А. Садовничим [35]. Ими было установлено, что доказательство формул типа (0.0.1) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.

Актуальность темы диссертации. Ситуация значительно осложняется при рассмотрении задач, порожденных дифференциальными операторами с частными производными. Это связано прежде всего со сложной структурой спектра. Так например, V. Guillemin [73] детально изучил спектр оператора — А + р на М, где М - симметрическое пространство с гладким потенциалом, и показал, в частности, что оценка

- = 0(1), i = l,Nk, получаемая методами теории возмущений, не может быть улучшена для вещественнозначной р ф const для всех М, за исключением сферы Sn. Здесь A- собственные числа оператора —А, а ц^^ - собственные числа возмущенного оператора. Для Sn показано, что эта оценка может быть улучшена лишь для нечетных р (т.е. р(тх) = —р(х) для каждого х G 5П, где т - антиподальное отображение) до fJ>ki ~ Awl = г = 1, Nk, и О можно заменить на о только для р = 0.

Таким образом, для асимптотического распределения собственных чисел оператора — А + р получены окончательные результаты. И поскольку, дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра по сути невозможно, необходимо перейти к исследованию более тонкой структуры спектра - получению формул регуляризованных следов. При этом даже для обыкновенных дифференциальных операторов, регуляризованные следы являются, вообще говоря, расходящимися, и возникает задача их суммирования.

Один из подходов - суммирование следов со скобками - был впервые реализован для обыкновенных дифференциальных операторов В.А. Садов-ничим, В.А. Любишкиным и М. Мартиновичем [52],[53]. Следующее существенное продвижение в этой проблеме было сделано В.А. Садовничим и В.В. Дубровским, в их работе [44] был рассмотрен оператор Лапласа-Бельтрами — А + р, возмущенный нечетным гладким вещественнозначным потенциалом р на двумерной единичной сфере S2. Позднее в работе тех же авторов [45] было предложено подробное доказательство формулы

В работе [43] эта формула была уточнена, а В.Е. Подольским [86] были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах. Из абстрактных результатов отметим полученные в диссертации В.В. Дубровского [20] формулы суммирования со скобками регуляризованных следов дискретных операторов, для собственных чисел которых имеет место асимптотика А^ = 0(к1+£) при к —> +оо и е > 0.

Другой подход - суммирование по Абелю. В работе [37] В.А. Любишки-ным и В.Е. Подольским была предложена формула суммирования методом Абеля первых регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов порядка т > 0 на римановом многообразии размерности п. Существенным ограничением работы было условие т/п > 1, снятое для компактных симметрических пространств в работах [43] и [79]. Отметим, что суммирование методом Абеля впервые применялось В.Б. Лидским [34] в вопросах разложения по собственным функциям некоторых обыкновенных дифференциальных операторов.

Еще можно указать на результаты А.Н. Боброва [6] - [11] по получению регуляризованных следов для псевдодифференциальных операторов, действующих на компактных многообразиях без края, и на результаты по получению формул следов для дифференциальных операторов в частных производных, связанные либо с исследованием ограниченных возмущений точно решаемых методом разделения переменных модельных задач [40], либо с особенностями геометрии рассматриваемых пространств (следы оператора Лапласа на фундаментальных областях дискретных групп преобразований в работах [24] и [63]).

Новизна полученных результатов. Однако, во всех вышеперечисленных работах существенным ограничением является то, что потенциал р является бесконечно дифференцируемой функцией. Целью диссертации является получение регуляризованных следов для оператора Лапласа на единичной двумерной сфере с негладким потенциалом. Были рассмотрены два случая негладкого потенциала - в первом случае потенциал р является дважды непрерывно дифференцируемой функцией; а во втором случае потенциал удовлетворяет неравенству Липшица по двум переменным. Для каждого случая были проанализированы поправки теории возмущений, доказана абсолютная сходимость ряда и вычислены регуляризованные следы. При вычислении следов использовался подход В.А. Садовничего, В.В. Дубровского суммирование со скобками.

Методы исследования. В диссертации используются методы спектральной теории линейных операторов, функционального и комплексного анализа, а также теории возмущений.

Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Введения, заключения, приложения и списка литературы состоит из трех глав, разбитых на 10 параграфов.

Первая глава содержит вспомогательные понятия и утверждения. В первом параграфе рассматриваются римановы многообразия. Во втором - описывается оператор Лапласа-Бельтрами. В третьем параграфе приводятся вспомогательные утверждения из функционального анализа и спектральной теории линейных операторов.

Вторая глава посвящена вычислению первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере в случае дважды непрерывно дифференцируемого потенциала. В первом параграфе даны оценки некоторых числовых рядов, которые будут необходимы при анализе поправок теории возмущений. Во втором параграфе проанализирована третья поправка теории возмущений, которая используется при доказательстве основного результата. Третий параграф содержит основные результаты второй главы. Здесь доказана абсолютная сходимость следа и получена его формула. В четвертом параграфе описан численное исследование.

Третья глава посвящена вычислению первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере в случае, когда потенциал удовлетворяет условию Липшица. В первом параграфе исследуется вторая поправка теории возмущений. Во втором параграфе проанализирована третья поправка теории возмущений. В третьем параграфе содержатся основные результаты третьей главы. В нем доказана абсолютная сходимость следа и получена его формула.

Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своим научным руководителям профессору Владимиру Васильевичу Дубровскому и доценту Сергею Ивановичу Кадченко за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же выражает огромную благодарность заведующему кафедрой математического анализа Магнитогорского государственного университета Татьяне Константиновне Плышевской за помощь при выходе из возникавших затруднений. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры математического анализа Магнитогорского госуниверситета за конструктивную критику.

Заключение

В диссертации получены следующие результаты.

1. Доказана абсолютная сходимость первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с дважды непрерывно дифференцируемым потенциалом на двумерной сфере.

2. Создан алгоритм вычисления первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с дважды непрерывно дифференцируемым потенциалом на двумерной сфере.

3. Доказана абсолютная сходимость первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на двумерной сфере, удовлетворяющим условию Липшица.

4. Разработан алгоритм вычисления первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на двумерной сфере, удовлетворяющим условию Липшица.

5. Написана программа, производящая вычисления поправок теории возмущений.

1. Агранович М.С. Об эллиптических псевдодифференциальных операторах на замкнутой кривой. // Труды ММО, 1984, 47, с. 22-67.

2. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. // Итоги науки и техники. ВИНИТИ, 1990, 63, с. 5 123.

3. Бэйтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.

4. Бирман M.LLL, Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат.анализ, 1977, 14, с. 5-58.

5. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

6. Бобров А.Н. След оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности Цолля. // Докл. РАН., 1999, 368, № 2, с. 154-156.

7. Бобров А.Н. Спектральные свойства некоторых двумерных краевых задач. // Депонировано в ВИНИТИ РАН 4.11.98, № 3206-В98, 21 с.

8. Бобров А.Н. Регуляризованные следы высших порядков оператора Лапласа с потенциалом на симметрических пространствах ранга 1. // Дифф. уравнения, 1997, 33, № 6, с. 800-804.

9. Бобров А.Н. Формулы следов псевдодифференциальных операторов с периодическим гамильтоновым потоком. // Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук, М.: МГУ, 2000.

10. Бобров А.Н., Подольский В.Е. О сходимости регуляризованных суммстепеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с нечетным потенциалом на сфере. // УМН, 1996, 51, вып. 5 (113), с. 178.

11. И. Бобров А.Н., Подольский В.Е. О сходимости следа степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере Sn. // Функц. анализ, 1997, 31, вып. 4, с. 69-72.

12. Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. О равномерно неэллиптических задачах. // Матем. сб., 1967, 73, № 1, с. 126 154.

13. Васильев Д.Г. Двучленная асимптотика спектра краевой задачи при внутреннем отражении общего вида. // Функц. анализ, 1984, 18, № 4, с. 1 -13.

14. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля. // ДАН СССР, 1963, 151, №5, с. 1014- 1017.

15. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора 2-го порядка. // УМН, 1956, 11, № 1:67, с. 191 198.

16. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // ДАН СССР, 1953, 88, с. 593 596.

17. Гельфонд А.О. Вычеты и их приложения. М.: Наука, 1960.

18. Гуреев Т.Е., Сафаров Ю.Г. Точная асимптотика спектра оператора Лапласа на многообразии с периодическими геодезическими. // Труды МИАН,1988, 179, с. 36-53.

19. Дикий JI.A. Об одной формуле Гельфанда-Левитана. // УМН, 1953, 54, №(8:2), с. 119-123.

20. Дубровский В.В. Теория возмущений и следы операторов. Дисс. . докт. физ.-мат. наук, М.: МГУ, 1992.

21. Дубровский В.В. Регуляризованные следы несамосопряженных операторов. // Мат. заметки, 1999, 65, № 5, с. 783-787.

22. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора. // Электромагнитные волны и электронные системы, 1998, 3, № 2, с. 4 8.

23. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Вычисление первых собственных чисел для краевой задачи Орра-Зоммерфель, с помощью теории регуляризованных следов. // Электромагнитные волны и электронные системы, 1997, 2, № 6, с. 13 17.

24. Дубровский В.В., Кунакова Е.Ю. Формула регуляризованного следа степени оператора Штурма-Лиувилля на треугольнике. // Дифф. уравнения, 1992, 28, №7, с. 1274-1276.

25. Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. 672 е.: ил.

26. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., Л.Государственное объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1939.

27. Иврий В.Я. О точных спектральных асимптотиках для оператора Лапласа-Бельтрами при общих эллиптических краевых условиях. // Функц. анализ, 1981, 15, № 1, с. 74-75.

28. Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда. // Электромагнитные волны и электронные системы, 2000, 5, № 6, с. 4 10.

29. Коган Ю.В. Формулы следов для псевдодифференциальных операторов на окружности. // Вестник МГУ. Сер. матем, 1980, № 6, с. 7-10.

30. Колокольцов В.Н. Новые примеры многообразий с замкнутыми геодезическими. // Вестник МГУ. Сер. матем., 1984, № 4, с. 80 82.

31. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов. // Дисс. . докт. физ.-мат. наук, М.: МГУ, 1966.

32. Костюченко А.Г., Радзиевский Г.Н. О суммируемости методом Абеля n-кратных разложений. // Сиб. матем. ж., 1974, 15, № 4, с. 855-870.

33. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. // Изв. АН СССР. Сер.мат., 1952, 16, №1, с. 325-352.

34. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. // Труды ММО, 1962, 11, с. 3-35.

35. Лидский В.Б., Садовничий В.А.Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций. // ДАН СССР. 1967. Т. 176. № 1. С. 259-262.

36. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций. // Функц. анализ и его прил., 1967, 1, № 2, с. 52-59.

37. Любишкин В.А., Подольский В.Е. О суммируемости регуляризован-ных следов дифференциальных операторов. // Матем. заметки, 1993, 53, № 2, с. 33-38.

38. Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере S2. II Матем. заметки, 1994, 56, № 1, с. 71-77.

39. Подольский В.Е. Суммирование по Абелю регуляризованных следов. // Вестн. МГУ, сер. 1, 1999, № 5, с. 42-48.

40. Роземблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл мат. Фунд. направления, 1989,64, с. 1-248.

41. Садовничий В.А. Теория операторов. Учеб. для вузов. 3-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 1999.

42. Садовничий В.А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных операторов. // Дифф. уравнения, 1974, 10, № 4, с. 1276-1285.

43. Садовничий В.А. О следе разности двух дифференциальных операторов высших порядков. // Дифф. уравнения, 1966, 2, № 12, с. 1611-1624.

44. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере. //ДАН СССР, 1991, 319, № 1, с. 61 62.

45. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1996, 19, с. 37-72.

46. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных. // Дифф. уравнения, 1977, 13, № 11, с. 2033-2042.

47. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретного оператора. // Труды семинара им. И.П. Петровского. М.: Изд-во МГУ, 1994, вып. 17, с. 244 - 248.

48. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И. Вычисление собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами при небольших числах Рейнольдса. // ДАН, 1997, 363, № 6, с. 748 750.

49. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Соченко Н.Ю. Регуляризованные следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой. // Докл. РАН, 2000, 370, № 1, с. 24-26.

50. Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным. //

51. Докл. РАН, 2000, 373, № 1, с. 26-28.

52. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа. // ДАН СССР, 1981, 256, с. 794-798.

53. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов. // ДАН СССР, 1987, 293, №5, с. 1062-1064.

54. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов. // Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 3, с. 55 65.

55. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно ядерным возмущением. // Докл. РАН, 2001, 378, № 3, с. 324-325.

56. Сафаров Ю.Г. Об асимптотике собственных значений задач дифракции.//ДАН СССР, 1985, 281, №5, с. 1058 1061.

57. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабо сжимаемой вязкоупругой жидкости. // Известия ВУЗов. Матаматика.1994. № 1. С. 62 70.

58. Сидоренко С.В. О формулах регуляризованных следов. // УМН, 1999, 54, №5, с. 173-174.

59. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974.

60. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

61. Томин Н.Г. О некоторых формулах первого регуляризованного следа для дискретных операторов. // Мат. заметки, 2001, 70, № 1, с. 109-122.

62. Томин Н.Г. О первом регуляризованном следе дискретного оператора. // Междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина, Москва, 31 авг.-б сент., 1998: Тез. докл., Т.2 Диференциальные уравнения. М., 1998, с. 165-167.

63. Томин Н.Г. О регуляризованных следах операторов с ядерной резольвентой. // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 21-26 авг., 2000: Тез. докл. Владимир,2000, с. 189-190.

64. Томина И.В. Первый регуляризованный след степени оператора Лапласа на прямоугольном треугольнике с углом 7г/6 в случае задачи Дирихле. // Фунд. и прикладная матем., 1995, 1 № 2, с. 569-572.

65. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

66. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

67. Шевченко Р.Ф. О следе дифференциального оператора. // ДАН СССР, 1965, 164, № 1, с. 62 65.

68. Avakumovich V.G. Uber die Eigenfunktionen auf geschlossen Riemanns-chen Mannigfaltigkeiten. // Math. Z., 1956, 65, p. 324-344.

69. Colin У. de Verdiere. Sur le spectre des operateurs elliptiques a bicharacte-ristiques toutes periodiques. // Comment. Math. Helv. 54 (1979), p. 508-522.

70. Carleman T. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differential-gleichimgen. // Ber. Sachs. Acad. Wiss. Leipzig, 1936, 88, p. 119132.

71. Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics. // Inv. Math., 1975, 29, p. 39-79.

72. Gilkey P., Branson P. The asymptotics of the Laplacian on a manifold with boundary. // Commun. Part. Different. Equations. 1990, 15, № 2, P. 245 272.

73. Guillemin V. Some spectral results on rank one symmetric spaces. // Adv. in Math., 1978, 28, p. 129-137.

74. Guillemin V. Spectral theory on S2\ some open questions. // Adv. Math., 1981,42, p. 283-298.

75. Guillemin V. An addentum: Some spectral resalts on rank one symmetric spaces. //Adv. in Math., 1978, 28, p. 138-147.

76. Guillemin V. Some spectral results for the Laplace operator with potentialon the n-sphere. // Adv. in Math., 1978, 27, p. 273-286.

77. Guillemin V. Band asymptotics in two dimensions. // Adv. in Math., 1981, 42, p. 248-282.

78. Guillemin V., Uribe A. Spectral properties of a certain class of complex potentials. // Trans. Amer. Math. Soc., 1983, 279, № 2, p. 759-771.

79. Guillemin V. Spectral theory on S2: some open questions. // Adv. in Math., 1981,42, p. 283-298.

80. Guillemin V. The Radon transform on Zoll surfaces. // Adv. in Math., 1976, 22, p. 85-119.

81. Guillemin V., Uribe A. Clustering theorems with twisted spectra. // Math. Ann., 1986, 273, p. 479-506.

82. Hormander L. The spectral function of elliptic operator. // Acta. Math., 1968, 121, p. 193-218.

83. Hormander L. Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problem. //Ann. Math., 1966, 83, p. 129-209.

84. Ivrii V. Precise spectral asymptotics for elliptic operators. Lect. // Notes in Math., 1984, 1100, p. 1-238.

85. Minakshisundaram S., Plejel A. Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian manifolds. // Canad. J. Math., 1949, 1, № 2, p. 242-256.

86. Podolskii V.E. On the summability of regularized sums of eigenvalues ofthe Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one. // Rus. J. of Math. Phys., 1996, 3, № 4, p. 1-8.

87. Rabinowitz P. A bifurcation theorem for the potential operators. // J. Func. Anal., 1977, 25, p. 412-424.

88. Shamma S.E. Asymptotic eigenfunctions of mixed problems of Stekloff type. // Zs. Angev. Math. Phys., 1972, 23, p. 1-12.

89. Seeley R.T. Complex powers of an elliptic operators. // Proc. Symp. in Pure Math., 1967, 10, p. 288-307.

90. Widom H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere. // Adv. in Math., 1979, 31, p. 63-66.

91. Weinstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential. // Duke Math.J., 1977, 44, 883-892.

92. Weinstein A. Eigenvalue of the Laplacian plus a potential. // "Proceedings. Int. Congress of Math.", Helsinky, 1978.

93. Weinstein A. Nonlinear stabilization of quasi-modes. //"Geometry of the Laplace Operator.", p. 301-318, Proceedings of Symposium in Pure Mathematics Vol. 26, Amer. Math. Soc. Providence, R.I., 1980.

94. Weil H. Uber die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotis-che Spektralgesetze. // J. Reine. Angew., 1913, 143, № 3, p. 177-202.

95. Weil H. Das asymptotische Verteilungsgesatz der Eigenverte linearer parti-eller Differential-gleichungen (mit einer Anwendung auf Theorie Hohlraumstrahlung). // Math. Ann., 1912, 71, p. 441-479.

96. Zoll O. Uber Flachen mit Scharen geschlossener geodatischer Linien. // Math. Ann., 1903, 57, p. 108-133.

97. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Порецков О.А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на двумерной сфере. // Докл. РАН, 2002, 382, № 1, с. 11-14.

98. Порецков О.А. Леммы для числовых рядов. // Магнитогорский государственный университет. Министерство образования России. Магнитогорск, 2001. Депонировано в ВИНИТИ 30.03.01 № 823 В 2001, 16 с.

99. Порецков О.А. Анализ третьей поправки теории возмущений. // Магнитогорский государственный университет. Министерство образования России. Магнитогорск, 2001. Депонировано в ВИНИТИ 30.03.01 № 824 В 2001,7 с.