автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритм и методика определения параметров многомерной линейной динамической модели тягового энергопотребления участка железной дороги

На правах рукописи

ВОЛНЬПСИН Александр Николаевич

АЛГОРИТМ И МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЯГОВОГО ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ УЧАСТКА ЖЕЛЕЗНОЙ ДОРОГИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2008

Работа выполнена в ГОУВПО «Самарский государственный университет путей сообщения» на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах»

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Кацюба Олег Алексеевич.

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Геращенко Сергей Иванович; кандидат технических наук, профессор Леушин Виталий Вениаминович.

Ведущая организация - Куйбышевская железная дорога, филиал ОАО «РЖД», г. Самара

Защита диссертации состоится Afclt? , в « » часов, на заседании диссертационного совета Д212 186.04 в ГОУВПО «Пензенский государственный университет» по адресу 440026, г Пенза, ул Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУВПО «Пензенский государственный университет», с авторефератом - на сайте университета: www //pnzgu ru

Автореферат разослан « » 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор Смогунов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В связи со значительными финансовыми затратами на приобретение энергоресурсов, актуальной является задача разработки системы управления энергетическими ресурсами Первоочередным этапом создания данной системы является разработка систем и процедур планирования, приобретения и мониторинга потребления энергоресурсов Таким образом, становится актуальным решение научно-технических проблем повышения качества прогнозирования и управления тяговым энергопотреблением посредством совершенствования структуры известных информационно-управляющих систем и разработки методов прогнозирования и управления с их расширенными функциональными возможностями

Модель процесса тягового энергопотребления может быть представлена как динамическая, многофакторная система, математическое описание которой может быть произведено в пространстве входных-выходных сигналов в операторной форме. Тогда можно выбрать эту модель в виде линейной динамической системы определенного порядка, описываемой линейным разностным уравнением Казалось бы, определение параметров такой системы не представляет особого труда, но в реальности наталкиваются на такую труднопреодолимую преграду как наличие аддитивных помех измерений во входных и выходных переменных, вызванных несовершенством применяемых технологий учета и средств измерения. Определение состоятельных оценок параметров в таких случаях представляет собой трудноразрешимую, а порой и вовсе не решаемую задачу, так как применение общеизвестных методов либо невозможно, либо существенно затруднено

В соответствии с этим актуальным является построение модели процесса тягового энергопотребления, для получения состоятельных оценок параметров которой предлагаются методика и алгоритм идентификации многомерных линейных динамических объектов при априорной неопределенности (отсутствии информации о законах распределения помех наблюдения).

Таким образом, разработка модели тягового энергопотребления на базе параметрической идентификации и ее применение к решению задачи прогноза энергопотребления на участке железной дороги, представляется актуальной

Целью диссертационной работы является повышение точности оперативного прогноза тягового энергопотребления участка железной дороги на основе моделирования процесса энергопотребления с учетом эксплуатационных параметров перевозочного процесса.

Основными задачами исследований являются- анализ процесса тягового энергопотребления участка железной дороги как объекта моделирования;

- анализ существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических объектов при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности;

- разработка алгоритма идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических объектов, основанного на использовании критерия в виде отношения двух квадратичных форм, оценивающего размер ошибки предсказания;

- создание на основе предложенного критерия и алгоритма программного обеспечения (ПО), его использование для построения модели тягового энергопотребления участка железной дороги и осуществление на базе этой модели прогноза энергопотребления.

Методы исследования. В данной диссертационной работе были использованы такие инструменты, как методы системного анализа; элементы математической статистики, теории идентификации, теории матриц, линейной алгебры; прикладное программирование и математическое моделирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждаются соответствием результатов теоретических исследований экспериментальным тестам и расчетам математического моделирования.

Научная новизна предлагаемой диссертационной работы заключается в реализации модели тягового энергопотребления участка железной дороги с учетом данных перевозочного процесса с использованием алгоритма идентификации параметров реализуемой модели на основании критерия, обобщающего классический метод наименьших квадратов для многомерных по входу динамических систем в условиях априорной неопределенности.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

1) для определения параметров модели тягового энергопотребления в форме линейных разностных уравнений в условиях априорной неопределенности разработан критерий, обобщающий классический метод наименьших квадратов для многомерных по входу динамических систем и выраженный в форме отношения двух квадратичных форм;

2) для построения модели тягового энергопотребления разработана методика определения оценок параметров на основе минимизации предложенного критерия с учетом отношений дисперсий воздействующих помех,

3) реализован алгоритм прогнозирования процесса тягового энергопотребления участка с использованием данных перевозочного процесса: массы поездов и времени их проследования по участку.

Практическая значимость. Построена модель тягового энергопотребления участка железной дороги с использованием разработанного программного обеспечения, реализующего предложенный алгоритм параметрической идентификации многомерных по входу линейных динамических объектов на основе введенного модифицированного метода наименьших квадратов. Модель применена к решению задачи прогноза тягового энергопотребления.

Реализация и внедрение результатов. Разработанное программное обеспечение использовано в деятельности ЦПК «Энергосбыт» (ЦПК - центр планирования и контроля) Куйбышевской железной дороги в следующем виде:

- мепгодик и рекомендаций для расчета моделей распределения тягового энергопотребления, получаемых на основе анализа данных перевозочного процесса;

- программного обеспечения для идентификации моделей тягового энергопотребления, реализующего разработанные в диссертационной работе алгоритмы параметрической идентификации.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1) модель тягового энергопотребления участка железной дороги в виде многомерной по входу линейной динамической системы с аддитивными помехами измерений во входных и выходных переменных, использующая параметры перевозочного процесса: массу поездов и время их проследования по участку;

2) критерий модифицированного МНК, позволяющий оценивать параметры предложенной модели без знания законов распределения воздействующих помех;

3) алгоритм идентификации параметров линейных многомерных по входу динамических систем на основе многократного решения систем линейных алгебраических уравнений, позволяющий определять состоятельные оценки параметров лишь при априорном знании отношений дисперсий помех во входных и выходном сигналах;

4) методика и алгоритм прогнозирования процесса тягового энергопотребления, позволяющие повысить точность получаемого оперативного прогноза за счет использования эксплуатационных данных перевозочного процесса.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации докладывались и обсуждались на 12-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Пущино, январь 2005 г); XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Казань, май-июнь 2005 г.); 5-й Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления БЮРЯСОб» (г. Москва, январь 2006 г.), XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Воронеж, май-июнь 2006 г.); 3-й Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, июнь 2006 г.).

Публикации. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ, получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем работы: 132 страницы основного машинописного текста, 30 рисунков, 9 таблиц. Список использованной литературы содержит 102 источника.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы, цель и содержание поставленной задачи, направления и методы решения, приведены сведения об использовании результатов работы, об ее апробации и публикациях.

В первой главе раскрывается такая проблема организации энергоснабжения железнодорожного транспорта, как контроль и учет за расходованием электроэнергии, осуществление своевременных прогнозных значений потребляемой электроэнергии. Показываются структуры, призванные в условиях реформирования энергетики страны решать перечисленные выше задачи. На примере конкретного участка рассматривается вопрос обеспечения электроэнергией объектов железнодорожного транспорта с последующим контролем расхода электроэнергии с использованием автоматической системы контроля и учета энергии на базе современных цифровых устройств

Обосновывается возможность осуществления прогноза тягового энергопотребления участка железной дороги с использованием модели энергопотребления, построенной с привлечением математического моделирования объекта на базе параметрической идентификации. При этом модель тягового энергопотребления представляет собой многомерную по входу линейную стационарную динамическую систему с аддитивными помехами измерений во входных и выходных переменных, представленную на рис. 1,

Рис 1 Многомерная по входу динамическая система с помехами по входу и выходу

где х, =

Л1 >■ • • > Л1

£ _Г £0) М

попи-

сываемую уравнением заданного порядка с дискретным временем 1= ..,-1,0,1,... вида

»1=1 7=1 т=0

ОХ м^^+^О"),

где 2/ — входные и выходной сигналы соответственно (в качестве входных переменных были приняты установленные корреляционным анализом параметры перевозочного процесса, вес находящихся на участке поездов и время их следования по участку, выходной сигнал - интересующий нас процесс тягового энергопотребления);

, Ь^ - значения оцениваемых коэффициентов;

с1 - число входных переменных,

г, г) - порядок разностных уравнений по входам и выходу; (у)

м>) ', у,- доступные исследователю входные и выходной сигналы с помехами;

£,,0) ,£,^0) - помехи измерения в выходном и у-м входном сигналах соответственно.

При построении модели требуется по наблюдаемым конечным

выборочным реализациям последовательностей величин у, и при известных порядках г я ^ определить оценки неизвестных истинных значений параметров Ь0 и а0.

Проведенный анализ существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических объектов с помехами наблюдений показывает необходимость использования модифицированного метода наименьших квадратов, преимуществом которого является минимальное использование априорной информации

Во второй главе теоретически показывается состоятельность оценивания параметров описываемой выше многомерной по входу линейной динамической модели.

Рассматривается стационарная динамическая система, описываемая многомерным по входу линейным разностным уравнением (1).

Выполняются следующие условия:

1) множество В, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной системы, является компактом;

2) помехи ^(г), } =1,^ статистически независимы и

удовлетворяют следующим условиям:

1 (/ + 1)/^(г0),...,(/)) = 0 почти наверное (п. н.)

Д(^)20 + 1)/^00).-^10)) = С1(г + 1)<тг1<с« П.Н «1)4(0)<л!1)п н е(£,и)(1 +1) /4<у) (/0>,..., (/)) = 0 п. н.

)2(/ +1)/(г0),• • • 0)) = Си)0 +1)<жи) <оо п. н

£(ЙО))4(0)<тсО1) п. н., где е - оператор математического ожидания;

статистически не зависят от {^О)}, ,

4) вектор входных переменных и истинные значения параметров удовлетворяют условиям

пн

'-'о

где =

/л

Тогда оценка

кю кю

/

шко-1^1'.....

определяемая выражением

/ V V \

а ,Г-Луцг а

V V / \ JJ

(2)

•Г

существует и является сильносостоятельной оценкой, где (у) - скалярное произведение,

-

Г0 ...

г = (у1-ун)т

V» ... <

,2

... м

1 А-'/У

(«О

т

и

... .

м ИГ

где у'-7' - _2 , (Ух - средняя дисперсия помехи измерения ^ (г),

(ст(у)) - средняя дисперсия помехи измерения ^ (г).

В третьей главе разрабатываются алгоритмы, тестируются методы определения оценок параметров линейных разностных уравнений модифицированным методом наименьших квадратов из критерия (2) Для получения конструктивного метода построения оценок из (2) воспользуемся следующей вспомогательной функцией:

(

У„(Ь,а,в) = и„(Ь,а)-&о(Ь,а):

а

г 'ъ1 \

а

Л \ и

V /

Дифференцируя 9) по Ъ и а и приравнивая производную

к нулю, имеем:

т

т

АщгмАу

ау

4® V

-Г-■Т"

1+1 !

-+---г

I

"ТТ—I I

т

т

¿цМ

"Т---1

I

I ' I

/ т \

а£г

+1

а

где 1Г, /г+],.. ,1^+х - единичные матрицы соответствующих размер-

ностей, откуда определяются оценки

НЮ

а(М)

,тогда

^(е)= шш Гы(Ь,а,в) = ГтГ-в-№

4 А ЛуЛ^о) 1 ЛТ А 1 у

Т - ^ т~ т • 1

. 1 : • 1

т т 1 т

¡г 1 0 , 1 • • 1 0 , 1 1 1

пТ иг,г,+\ ¡Г%|- • | VI,

... 1 ... \ ' I 1

0Т 1 ; ¡Г

-1

(4)

Для функции Ун(в) справедливо следующее:

1) все корни уравнения Гд,(6) = 0 (если они существуют) неотрицательны,

2) уравнение (4) на полусегменте [0Дт|П (Л^)) имеет не более

Л

одного корня б(Лг), где А,тш (#) - наименьшее обобщенное собственное число матрицы (4);

3) существование корня 0(]У) на полусегменте [0,А,тт(Ж)) является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения (2).

На основании этого для нахождения оценок

следующий численныи метод:

кю кт

предложен

Шаг 1.Вычислить Ъ

Щ а г 2. Вычислить

/ч \ /\ /\ I

N,8(1) , а ЛГ,9(г) из системы уравнений (3)

9(г + 1) =

л

1+ь

ЛГ,9(г) Ь Ы,в(г)

•+У

л(«0

у \

т

^,9(0

л(<0/ л '

а и,0(0

+ У

-1

(О

лО)

а ЛГ,0(/)

ЛО

лт,е(г)

7гУ+0(г)

ъ\ ъ лг,е(»)

+

+У

.0)

лО) а

/ Л \ г дО) ( л > "лМ Г л V л(<0 ( л >

V / а лг,е(0 к ^ а к У а ЛГ,0(/) 1 /

цг} аъу

ь

л

(2

V /

Ш а г 3. Перейти к шагу 1. Вычисления прекращаются, если достигнута заранее заданная точность оценок.

В третьей главе рассматриваются также частные случаи: многомерная по входу модель при наличии помехи наблюдения в выходном сигнале и авторегрессия с помехой в выходном сигнале.

Для тестирования алгоритма была задана модель в виде разностного уравнения (1) со следующими исходными параметрами, с/ = 2,

г = 2, т\ = 1, г2 = 2; г, - значения выходного сигнала; дс^ - значения 1-го входного сигнала. - значения 2-го входного сигнала;

6п =

1

-0,5;

ап =

0,5 0,3Ч

0,4 0,6 - вектора "истинных"

0 0,2,

(г) - аддитивная помеха 1-го входного сигнала с дисперсией 1), ^(2)(г) - аддитивная помеха 2-го входного сигнала с дисперсией Щ(2), СО _ аддитивная помеха наблюдения в выходном сигнале

с дисперсией с^ Отношение средних дисперсий может

-2

-2 £(1) -2 -2 изменяться в зависимости от у (ст^ = ——, а^,, = ). Для цели

исследования состоятельности оценок использован объем выборки n = 500. Параметр у дискретно принимает значения 0,5,1,2; 4; 10

15 1

7 05

м

2р, о ¿рмнк,

-1 -13

............. 1 1 1 1

1Ц г\

( \\ / Чч

| 'Л \д

- < М /' ? _

я / /

V А н

■ 1 1 1 \1/ ~

10

15

20

25

Рис 2 Выходной сигнал, рассчитанный 21 - на основе истинных параметров {—1, 7р, - по оценкам

модифицированного МНК

{ Л \

ъ

¿рмнк, - по оценкам классического МНК

(* \ Ьт

Из отклонения рассчитанных сигналов от истинного (рис 2) и анализа погрешности оценивания параметров (рис 3, 4) вытекает, что при большом объеме выборки модифицированный МНК дает удовлетворительные результаты при любых значениях у. Оценки

8мнк (у),%

300 «00 600 800 1000 1300 1400 1600

N

Рис. 3. Погрешности 8мнк(у) нахождения оценок параметров линейных разностных уравнений классическим МНК в зависимости от объема выборки N при у = 0,5; 1; 2; 4; 10

§(у),%

N

Рис. 4. Погрешности 5(у) нахождения оценок параметров линейных разностных уравнений модифицированным МНК в зависимости от объема выборки N при у = 0,5; 1; 2; 4; 10

стандартного МНК ухудшаются с увеличением у, соответственно с увеличением дисперсии помех наблюдений погрешности 8мнк становятся достаточно значимыми.

Результаты экспериментального тестирования на ЭВМ с имитированными данными алгоритмов параметрического оценивания линейных разностных уравнений с помехами во входных и выходных сигналах полностью подтвердили теоретические исследования (состоятельность оценок).

В четвертой главе рассмотрены вопросы практического применения разработанного ПО к решению задачи идентификации модели тягового энергопотребления и получению на ее основе прогноза

Пусть модель распределения энергопотребления во времени описывается уравнением (1). Входными данными модели тягового энергопотребления будут являться значения веса поезда и время проследования поезда по участку х^ соответственно). Выбор параметров г, Г|, г2 будет определяться временем «воздействия» поездов на процесс тягового энергопотребления участка.

Для применения ПО к рассматриваемой задаче была использована электронная база данных перевозочного процесса, полученная на основе автоматизированной системы ведения и анализа графика исполненного движения (ГИД) «Урал-ВНИИЖТ». Для ПО использовались данные, получаемые ежечасно в течение 10 суток, т. е 240 измерений. Динамическая модель получена на основании 168 измерений (т. е. 7 суток). Оставшиеся 72 значения (3 суток) были использованы для сравнения полученных по предлагаемому методу значений прогноза с этими «истинными» значениями.

Учитывая,что й-2, г = 1, ^ =1, г2= 1,получим:

2 - г ,6(1) + гОуоД) + гСШ + Л2У°'2) + х{2)а{1'2) Требуется определить состоятельные оценки параметров

Ь(Ы), Нахождение оценок, а следовательно, и параметриче-

ская идентификация модели (1), решается методом, определенным в главе 2, численно реализованным в главе 3. Неизвестные параметры находятся на ЭВМ с использованием ПО МаШСАБ 11.

После построения динамической модели процесса тягового энергопотребления можно перейти к осуществлению его прогноза.

Рассмотрим построение оперативного прогноза на 1 сутки. Параметры определяются на отрезке / = 1...1б8, на участке г = 169...192 строится прогноз. Затем полученный прогноз сравнивается с «истинными» значениями энергопотребления (рис. 5). кВт ч 2 10*

и ю4

Упр, 1 ш* Упрмнк,

50Ш

ч

Рис. 5. Сравнение реальных значений энергопотребления У с прогнозируемыми по оценкам классического МНК Упрмнк и модифицированного МНК Упр при построении прогноза на 1 сутки

Для построенных суточных прогнозов были получены такие метрологические характеристики, как отклонение суммарного расхода тягового электропотребления на всем прогнозируемом отрезке от суммарного реального расхода и среднее отклонение почасовых значений прогноза от фактических. Для прогноза по оценкам классического МНК эти отклонения составили 13,7 и 26,4 % соответственно, а для прогноза по оценкам модифицированного МНК - 8,3 и 21,3 %. Ранее проведенное прогнозирование для того же участка с использованием известного программного комплекса КОРТЭС (комплекс по расчету систем тягового энергоснабжения) показало отклонение порядка 50 % для обеих указанных выше характеристик.

Аналогичным образом осуществлен прогноз на 2 и 3 суток.

1

Сравнение отклонений показало, что прогноз тягового энергопотребления, построенный с использованием модифицированного МНК с учетом веса и времени хода поездов, существенно превосходит по точности как аналогичный прогноз, построенный по оценкам классического МНК, так и прогноз, построенный с использованием комплекса КОРТЭС

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 На основе анализа участка железной дороги как потребителя электроэнергии построена модель процесса тягового энергопотребления в виде многомерной по входу линейной динамической стационарной системы с учетом в качестве входных переменных параметров перевозочного процесса: веса пропускаемых по участку поездов и времени их следования по участку На базе этой модели осуществлен оперативный прогноз тягового энергопотребления участка железной дороги.

2. Сравнение полученного прогноза с аналогичным, но построенным с использованием классического МНК, и с прогнозом, осуществленным с использованием комплекса КОРТЭС, показало.

- среднее отклонение почасовых значений прогноза от фактических почасовых значений уменьшается на 5-30 %;

- отклонение суммарного расхода электроэнергии на всем прогнозируемом отрезке времени от фактического суммарного расхода снижается на 5-40 %.

3. Обзор существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности показал неудовлетворительную способность последних к получению состоятельных оценок параметров уравнений, описывающих данные системы. Состоятельные оценки определяются с помощью предложенного в диссертационной работе критерия для нахождения оценок параметров многомерных по входу линейных разностных уравнений, основанного на базе модифицированного МНК и выраженного в форме отношения двух квадратичных форм.

4 На основании предложенного критерия разработан алгоритм получения состоятельных оценок, использующий стандартные процедуры решения линейных разностных уравнений и позволяющий

определять состоятельные оценки параметров при априорном знании отношений дисперсий помех во входных и выходном сигналах.

5. Тестирование программного обеспечения (ПО), разработанного в соответствии с методом, показало выполнение условия состоятельности для получаемых оценок. ПО внедрено в ЦПК «Энергосбыт» на Куйбышевской железной дороге - филиале ОАО «РЖД».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Волныкин, А. Н. Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем /АН Волныкин, О. А. Кацюба // Изв. Самарского науч. центра РАН. - Самара, 2006. -Т. 8. - № 4 - С 1026-1033.

Публикации в других изданиях

1. Волныкин, А. Н Параметрическая идентификация линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдений во входных и выходных сигналах ¡АН. Волныкин, О. А Кацюба, С А Спирин // Математика Компьютер Образование- тез. докл. ХП Междунар. науч. конф. - Пущино, 2005. - С. 121

2 Волныкин, А Н Идентификация линейных систем с многими переменными на основе метода наименьших квадратов /АН. Волныкин, О А Кацюба, С А Спирин И Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-18): сб. тр. XVIII Междунар. науч. конф -Казань, 2005.-Т. 2.-С 110-112.

3. Волныкин, А. Я Оценивание параметров многосвязанных линейных динамических систем с ошибками по выходу / А Н Волныкин, О. А. Кацюба, С А Спирин /I Математика. Экономика. Образование: тез. докл. XIII Междунар. конф. - Ростов н/Д, 2005 - С. 105

4 Volnuikin,A N The numerical method estimating parameters of multivariate autoregress at presence of handicaps of supervision /AN Vol-nuikin, O. A. Katsuba, S. A Spirin // The twelfth General Meeting of European Women in Mathematics. - Volgograd, 2005. - P. 39-41.

5. Волныкин, A H Параметрическая идентификация линейных разностных уравнений со многими переменными при наличии помех наблюдений в выходных сигналах / А. Н. Волныкин, О. А. Кацюба,

В. М Тренькин, С. А. Спирин И Математика Компьютер. Образование. сб. тр. XII Междунар. науч. конф - Пущино, 2005. - С. 528-537.

6. Волныкин, А Н Параметрическая идентификация многомерных линейных разностных уравнений при наличии помех во входных и выходных сигналах IAH Волныкин, О А Кагроба, С А Спирин // Математика. Компьютер. Образование, тез. докл XIII Междунар. науч конф. - Дубна, 2006. - С. 150.

7. Волныкин, А Н Параметрическая идентификация линейных разностных уравнений со многими переменными при наличии помех наблюдений во входных и выходных сигналах IAH. Волныкин, О А Кагроба Н Идентификация систем и задачи управления SICPRO'06 сб. тр. V Междунар. науч. конф - М. • ИПУ РАН, 2006. - С. 1116-1124

8. Волныкин, А Н Алгоритм решения задачи идентификации многомерных по входу линейных разностных уравнений / АН. Волныкин, O.A. Кагроба И Математика. Экономика. Образование: тез. докл. XIV Междунар конф - Ростов н/Д, 2006 -С. 139.

9. Волныкин, А Н Численный метод решения идентификации многомерных по входу линейных разностных уравнений / А. Н Волныкин, О А Кагроба II Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-19): сб. тр, XIX Междунар. науч. конф. - Воронеж, 2006.-Т 2.-С 133-134.

10 Волныкин, А. Н. Алгоритм построения оценок параметров линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах во входных и выходных сигналах IAH Волныкин, О. А. Кагроба, С. А. Спирин, В М Тренькин пленарные докл. и избр. тр. III Междунар. конф. по проблемам управления. - М.: ИПУ РАН, 2006. - С. 237-240

11. Волныкин, А. Н. Численный метод оценивания параметров многомерных по входу линейных разностных уравнений I АН. Волныкин, О. А Кагроба И Математика. Компьютер. Образование: тез. докл. XIV Междунар. науч. конф. - Пущино, 2007. - С. 59.

12. Волныкин, А Н Алгоритм решения задачи идентификации многомерных по входу линейных динамических систем // Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-20): сб. тр XX Междунар. науч. конф. - Ярославль, 2007. - Т 2. - С 85-88.

13. Волныкин, А Н Алгоритм прогноза электропотребления на участке железной дороги с использованием многомерной по входу

математической модели / А. Н Волныкин, О А Кацюба II Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сб. статей II Междунар. науч.-техн. конф - Пенза, 2007. - С. 222-225.

14. Волныкин, А Н. Численный метод построения временной модели многомерной по входу стационарной линейной динамической системы ¡АН. Волныкин, О А. Кацюба П Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТНЬАВ. сб тр П1 Всерос науч. конф. - СПб., 2007. - С. 676-683

15 Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007610052. Идентификация линейной многомерной по входу динамической системы при наличии помех во входных и выходных переменных / А. Н. Волныкин; заявитель и правообладатель Самар. гос. ун-т путей сообщения, заявл 20 10 06.; зарег 09.01.07.

Волиыкин Александр Николаевич

Алгоритм и методика определения параметров многомерной линейной динамической модели тягового энергопотребления участка железной дороги

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Редактор .В В Чувашова Технический редактор Н А Въялкоеа

Корректор Ж А Лубенцова Компьютерная верстка С П Черновой

ИД №06494 от 26 12 01

Сдано в производство 03 04 08 Формат 60x84'/16. Бумага писчая Печать офсетная Уел печ л 1,16 Заказ № 204 Тираж 100

Издательство Пензенского государственного университета 440026, Пенза, Красная, 40

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ УЧЕТА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ НА УЧАСТКЕ ЖЕЛЕЗНОЙ ДОРОГИ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГНОЗА ТЯГОВОГО ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ НА БАЗЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

1.1. Задачи и организационные структуры управления электропотреблением в ОАО «РЖД».

1.2. Общие вопросы организации энергоснабжения на участке железной дороги.

1.3. Описание автоматизированной системы контроля и учета электроэнергии на базе счетчиков «ЕвроАльфа».

1.4. Постановка задачи идентификации и прогнозирования тягового энергопотребления на базе линейной динамической модели с использованием данных перевозочного процесса.

1.5. Структуры моделей передаточных функций.

1.5.1. Структура модели ошибки уравнения.

1.5.2. Структура модели выходной ошибки.

1.5.3. Структура модели при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах.

1.6. Методы идентификации.

Выводы по главе 1.

2. О СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ОЦЕНОК МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

2.1. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах.

2.2. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

2.3. О состоятельности оценок параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

Выводы по главе 2.'.

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДИКИ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПО ВХОДУ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1. Численный метод оценивания параметров линейных > разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах.

3.2. Численный метод оценивания параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

3.3. Численный метод построения оценок параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

3.4 Тесты для численных методов нелинейного МНК.

3.5 Тесты на базе временной модели в форме авторегрессии.

3.6 Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах.

3.7 Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при помехах во входных и выходных сигналах.

Выводы по главе 3.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИКЛАДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ К ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗА ТЯГОВОГО ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ.

4.1. Постановка задачи прогноза тягового энергопотребления.

4.2. Тестирование программы для идентификации модели и построения прогноза.

4.3. Применение прикладного программного обеспечения для решения задачи оперативного прогноза тягового энергопотребления на различные промежутки времени.

Выводы по главе 4.

Актуальность работы. Математическое моделирование процессов и их исследование,, основанное на математическом описании, достаточно давно используется в технике.

Одной из сфер применения математического моделирования является анализ, планирование и прогноз все возрастающих потребностей промышленности и транспорта в услугах Топливно-энергетического комплекса (ТЭК).

Железнодорожный транспорт, выполняя технологические функции перемещения большого объёма грузов на значительные расстояния, является энергоёмкой сферой промышленного производства. Тем не менее, среди других видов транспорта по удельным расходам топливно-энергетических ресурсов (ТЭР)< на единицу производимой работы, он является наиболее экономичным видом транспорта, обеспечивая подавляющие объёмы грузоперевозок и до половины- пассажирооборота. Кроме перевозочного процесса, что является основой его деятельности, железнодорожный транспорт расходует энергоресурсы на обеспечение работы обслуживающей перевозки инфраструктуры, ремонтное производство и, частично, - на социальную'сферу работников железнодорожного транспорта.

Осуществляя основные для государства объёмы перевозок, железнодорожный транспорт России, естественно, является одним из крупных и стабильных транспортных потребителей энергоресурсов, ежегодно расходуя 5-6% вырабатываемой в стране электроэнергии и до 6% дизельного топлива, или в натуральных показателях: свыше 40 млрд. кВтч электроэнергии, 3 млн. т дизельного топлива, 4,5 млн. т угля, до 1 млн. т мазута, почти 1 млн. м сжатого газа и 170 тыс. тонн бензина. Кроме того, до 20 млрд. кВтч электроэнергии дополнительно перерабатывается системами электроснабжения железных дорог для собственного потребления, транзита и снабжения сторонних (не железнодорожных) потребителей [77].

Затраты на приобретение топливно-энергетических ресурсов составляют в целом, по сети. ~ 11,2% от общесетевых эксплуатационных расходов (около 60,0 млрд. руб.) по данным за 2003г. и ~ 12% (более.72,0 млрд. руб.) по итогам 2004 г., из них непосредственно на тягу поездов расходуется - 72,2% и 27,8% на не тяговые нужды.

Превалирующим: энергоносителем; для тяги. и эксплуатационных нужд в энергобалансе отрасли является; электроэнергия (более 50%), дизельное топливо: составляет - 18%, уголь и мазут - 20% (соответственно - 14,6% и 5,3%). Ориентация железнодорожного транспорта1 в основном на электропотребление совпадает с общей направленностью энергетики страны.

Анализ;: основных направлений; развития: ТЭК, продиктованных «Энергетической стратегией России на период до 2020 года», с позиции прогноза обеспечения перспективных потребностей железнодорожного' транспорта энергетическими ресурсами/ показывает, что наиболее устойчивым энергоносителем, как. по объёмам, так и по динамике • роста выработки в стране на ближайшую и отдалённую перспективы является электрическая энергия [60].

В связи с реформированием' электроэнергетики: страны во взаимоотношениях ОАО «РЖД» с ТЭК возникло много технических, финансовых, правовых вопросов,, ранее не имеющих места. Это - выход на оптовый рынок, тарифы за электроэнергию, ценообразование за транзит электроэнергии, за протекание по тяговым сетям; уравнительных токов энергосистему прием энергосистемами рекуперативной энергии, обеспечение энергобезопасности перевозочного процесса и др. Они требуют детальной проработки и подготовки соответствующих взаимосогласованных нормативных актов [56].

Вместе с тем, ежегодные финансовые затраты на приобретение топливно-энергетических ресурсов по всем составляющим имеют положительную динамику, что свидетельствует об опережающих темпах роста цен на энергоносители в стране над темпом снижения их потребления железнодорожным транспортом.

Ответом* на сложившуюся ситуацию стало принятие на основании распоряжения от 01.10.2004 г. ОАО «РЖД» такого документа как «Энергетическая стратегия на период до 2010 года и на перспективу до 2020 года» (далее Энергетическая стратегия) и Программы по ее реализации [96].

Целями Энергетической стратегии железнодорожного транспорта на ближайшую и отдалённую перспективу являются:

• полное и надежное энергообеспечение перевозочного процесса железных дорог в объёмах, определяемых развитием экономики России и её внешнеэкономическими связями, как по мощностным параметрам, так и по энергоносителям;

• гармоничное и эффективное врастание отрасли в цивилизованный энергетический-рынок страны при не дискриминационных экономических взаимоотношениях между его субъектами* и государством в условиях реформирования, как железнодорожного транспорта, так и энергетики России;

• коренное улучшение структуры управления энергетическим комплексом отрасли на основе современных автоматизированных информатизационных технологий, систем учета и мониторинга расходования энергоресурсов,

• взаимовыгодных систем взаимодействия производителей и потребителей энергоресурсов отрасли;

• снижение энергоёмкости перевозочного процесса, и удельных затрат на энергопотребление во- всех сферах деятельности железнодорожного транспорта (тяга, инфрастуктура, эксплуатация, ремонт, производство, социальная сфера);

• снижение потребности в энергоносителях и затрат на их приобретение;

• минимизация техногенного воздействия железнодорожной энергетики на окружающую среду.

В связи со значительными финансовыми затратами, расходуемыми на приобретение энергоресурсов, становится актуальной задача разработки системы управления энергетическими ресурсами. Первоочередным этапом сознания данной системы является разработка систем и процедур планирования, приобретения и мониторинга потребления энергоресурсов [69,70].

Реализация вышеперечисленных задач в ОАО «РЖД» возложена на организационную структуру — сеть дорожных центров планирования и контроля потребления, электроэнергии (ЦИК). В качестве технологических средств-работы ЦПК предполагается использовать единую корпоративную автоматизированную систему управления покупкой и потреблением электроэнергии (АСУ ППЭ), в структуру которой интегрированы: система планирования потребления электроэнергии на оптовом и региональном рынке электроэнергии (ОРЭМ) и система управления потреблением электроэнергии. Однако отсутствие в. технологии АСУ ППЭ методов идентификации эксплуатационных факторов, дестабилизирующих характер фактического и планового электропотребления, может приводить к существенным финансовым потерям компании [69,70].

В условиях покупки электроэнергии на ОРЭМ эффективность работы ЦПК будет определяться как точностью прогнозирования предстоящих процессов электропотребления, так и качеством технологии управления фактическим электропотреблением по отношению к запланированному.

Таким образом, становится актуальным решение научно-технических проблем повышения качества прогнозирования и управления тяговым электропотреблением на иерархически структурированных подразделениях сети железных дорог посредством совершенствования структуры известных информационно-управляющих систем и разработки методов прогнозирования и управления с их расширенными функциональными возможностями.

Решение задачи управления и прогнозирования самым существенным образом зависит от выбора модели, которая используется для представления исследуемой системы. Одним из средств описания систем различного вида является их входо-выходная модель. При этом к числу наиболее важных задач, относящихся к исследованию таки моделей, принадлежит построение явной зависимости между входом и выходом системы. Эта зависимость должна обеспечить адекватное приближение рассматриваемого класса систем каким-либо эффективным, с точки зрения практического применения, методом. Другими словами, в данном случае важную' роль играет задача идентификации систем, являясь необходимым предварительным шагом в условиях, когда в той или иной степени модель объекта неизвестна. Традиционно задачи идентификации классифицируются как структурная идентификация, непараметрическая идентификация и параметрическая идентификация. Такая классификация обуславливается используемым объемом знаний о модели исследуемой системы, который; может варьироваться в пределах определяемых отсутствием информации о структуре модели в целом и неопределенностью значений ее параметров [78].

Часто практическим ограничением в задачах идентификации является неизвестность модели ненаблюдаемых внешних возмущений, в то время как использование оптимальных алгоритмов обусловливает знание такой модели. При этом в одних приложениях может требоваться определение модели возмущений, а в других требуется только идентификация параметров системы. В последнем случае применение оптимальных алгоритмов не представляется необходимым и достаточно использовать алгоритмы, не требующие знания или определения модели внешних возмущений, однако и тогда для каждого вида модели объекта и каждого закона распределения помех наблюдения существуют свои наилучшие методы оценивания параметров (по свойствам получаемых оценок). Многообразие этих методов описано в трудах и работах таких ученых как Каминкас В.А., Немура А.А., Льюнг Л., Эйкхофф П., Райбман Н.С., Цыпкин Я.З. и других [33,65,82,92,95].

В работах А.Н. Митрофанова показано, что модель тягового1 энергопотребления может быть охарактеризована как динамическая, многофакторная система, математическое описание которой может быть произведено либо в пространстве состояний, либо в пространстве входных-выходных сигналов в операторной форме [69,70]. В этих же работах обосновывается, что эту модель можно представить в форме линейной динамической системы определенного порядка, описываемой линейным разностным уравнением. Казалось бы, определение параметров такой системы не представляет особого труда, но в реальности мы наталкиваемся на такую трудно преодолимую преграду как наличие аддитивных помех измерений во входных и выходных переменных, вызванных несовершенством применяемых технологий и средств контроля и измерения. Определение состоятельных оценок параметров в таких случаях представляет собой трудноразрешимую, а порой и вовсе не решаемую задачу, так как применение общеизвестных методов либо не возможно, либо существенно затруднено.

Анализ предыдущих работ показал, что для решения подобной задачи может быть использован модифицированный метод наименьших квадратов. Этот метод описан в работах Гущина А.В., Тренькина В.М. Однако сфера исследований данных авторов ограничивалась лишь одномерными моделями, в то время как модель тягового энергопотребления представляет собой многомерную по входу систему.

В соответствии со сказанным, интересной представляется построение модели тягового энергопотребления с применением методов и алгоритмов идентификации параметров многомерных линейных динамических объектов при априорной неопределенности (отсутствии информации о- законах распределения помех измерения), которые позволили бы получать состоятельные оценки предлагаемой модели. Таким образом, диссертационная работа, направленная на разработку модели тягового энергопотребления и ее применение к решению такой задачи как прогноз энергопотребления на участке железной дороги, представляется интересной, перспективной и отвечающей современным направлениям развития техники и технологий.

Целью диссертационной работы является повышение точности оперативного прогноза тягового энергопотребления участка железной дороги на основе' моделирования процесса энергопотребления с учетом эксплуатационных параметров перевозочного процесса.

Основными задачами исследований являются:

- анализ процесса тягового энергопотребления участка железной дороги как объекта моделирования;

- анализ существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических объектов при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности;

- разработка алгоритма идентификации параметров многомерных по входу' линейных динамических объектов, основанного-на использовании критерия в виде отношения двух квадратичных форм, оценивающего размер ошибки предсказания;

- создание на основе предложенного критерия и алгоритма1 программного обеспечения (ПО), его использование для построения модели тягового энергопотребления участка железной дороги и осуществление на базе этой модели прогноза энергопотребления.

Методы исследования. В данной диссертационной работе были использованы такие инструменты как:

- методы системного анализа;

- элементы математической статистики, теории идентификации, теории матриц, линейной алгебры; прикладное программирование;

- математическое моделирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований экспериментальным тестам и расчетам математического моделирования.

Научная новизна предлагаемой диссертационной работы заключается в реализации модели тягового энергопотребления участка железной дороги с учетом данных перевозочного процесса с использованием алгоритма идентификации параметров реализуемой модели на основании! критерия, обобщающего* классический метод наименьших квадратов для многомерных по входу динамических систем в условиях априорной неопределенности.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

1. Для. определения параметров модели тягового энергопотребления в форме линейных разностных уравнений в условиях априорной неопределенности разработан критерий, обобщающий классический метод, наименьших квадратов для многомерных по входу динамических системен-выраженный в форме отношения двух- квадратичных форм.

2. Для построения модели тягового энергопотребления разработана методика определения оценок параметров на! основе минимизации предложенного критерия с учетом отношений дисперсий воздействующих помех.

3. Реализован алгоритм прогнозирования процесса тягового энергопотребления участка с использованием данных перевозочного процесса: массы поездов и времени их проследования по участку.

Практическая значимость.

Построена модель тягового энергопотребления участка железной дороги с использованием разработанного программного- обеспечения, реализующего предложенный алгоритм параметрической идентификации многомерных по входу линейных динамических объектов на основе введенного модифицированного метода наименьших квадратов. Модель применена к решению задачи прогноза тягового энергопотребления.

Реализация и внедрение результатов. Разработанное программное обеспечение использовано в деятельности ЦПК «Энергосбыт» (ЦГЖ — центр планирования и контроля) Куйбышевской железной дороги в следующем виде: методик и рекомендаций для расчета моделей распределения энергопотребления, получаемых на основе анализа данных перевозочного процесса; программного обеспечения для идентификации моделей распределения энергопотребления во времени, реализующего разработанные в диссертационной работе алгоритмы параметрической идентификации.

Основные результаты и научные положения, выносимые на защиту:

1. Модель тягового энергопотребления участка железной дороги в виде многомерной по входу линейной динамической системы с помехами-измерений» во входных и выходных переменных, использующая параметры перевозочного* процесса: массу поездов и время их проследования? по участку.

2. Критерий модифицированного МНК, позволяющий оценивать параметры предложенной модели без знания законов распределения* воздействующих помех.

3. Алгоритм идентификации параметров линейных многомерных по входу динамических систем на основе многократного решения систем линейных алгебраических уравнений, позволяющий определять состоятельные оценки параметров лишь при априорном знании отношений дисперсий помех во входных и выходном сигналах.

4. Методика и алгоритм прогнозирования процесса энергопотребления позволяющие повысить точность получаемого оперативного прогноза за счет использования эксплуатационных данных перевозочного процесса.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 12-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Пущино, январь

2005 г.); 2) XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Казань, май - июнь 2005г.); 3) 5-я Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO'06» (г. Москва, январь 2006 г.); 4) XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Воронеж, май - июнь 2006г.); 5) 3-й Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, июнь 2006 г.).

Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ (в том числе и работа в издании, рекомендованном ВАК), получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, основных результатов и выводов, библиографического списка использованной литературы и приложений. Объем работы: 132 страница основного машинописного текста, 30 рисунков, 9 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 102 источника.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе анализа участка железной дороги как потребителя электроэнергии построена модель тягового энергопотребления в виде многомерной по входу линейной динамической стационарной системы, с учетом в качестве входных переменных параметров перевозочного процесса: веса пропускаемых по участку поездов и времени их следования по участку.

2. Сравнение полученного прогноза с аналогичным прогнозом, но построенным с использованием классического МНК и с прогнозом, осуществленным с использованием комплекса КОРТЭС показало:

- среднее отклонение почасовых значений прогноза от фактических почасовых значений уменьшается на 5-30%;

- отклонение суммарного расхода электроэнергии на всем прогнозируемом отрезке времени от фактического суммарного расхода снижается на 5-40%.

3. Обзор существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических систем при наличии помех во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности показал не удовлетворительную способность последних к получению состоятельных оценок параметров уравнений, описывающих данные системы. Состоятельные оценки определяются с помощью предложенного в диссертационной работе критерия для нахождения оценок параметров многомерных по входу линейных разностных уравнений, основанного на база модифицированного МНК и выраженного в форме отношения двух квадратичных форм.

4. На основании предложенного критерия разработан алгоритм получения состоятельных оценок, использующий стандартные процедуры решения линейных разностных уравнений и позволяющий определять состоятельные оценки параметров при априорном знании отношений дисперсий помех во входных и выходном сигналах.

5.Тестирование программного обеспечения, разработанного в соответствии с методом, показало выполнение условия состоятельности для получаемых оценок. ПО внедрено в ЦПК «Энергосбыт» на Куйбышевской железной дороге - филиале ОАО «РЖД».

1. Алексеев А. А. и др. Статистические методы идентификации объектов// Учебное пособие. Л., 1979. - 103 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.-755-с.

3. Андреев Н.И. Смещенные оценки параметров процессов управления Автоматика и телемеханика. М., 1977. - № 9. - С. 30-43.

4. Балагин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования// Автоматика и телемеханика. М., 1997. — № 2. - С. 141-146.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. 367 с.

6. Бесков Б.А. и др. Проектирование систем энергоснабжения электрических железных дорог. М.: Трансжелдориздат, 1963. - 471 с.

7. Бессонов А.А. и др. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 1989. - 279 с.

8. Бокс Дж., Дженкипс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. 193 с.

9. Борисов Д.П. и д.р. Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте: Учебник для ВУЗов ж/д трансп. М.: Транспорт, 1973. - 312 с.

10. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1997.-772 с.

11. Бочев А.С., Чирков В.К. Влияние интенсивности движения поездов на потери электроэнергии в системе тягового электроснабжения// Вестник РГУПС.-Ростов-на-Дону, 1999. -№ 1.-С. 68-74.

12. Бунич A.JI. Идентификация дискретных линейных объектов с большим отношением сигнал/шум// Автоматика и телемеханика. — М., 2001. -№ 3. С. 53-62.

13. Бунич A.JI. Пассивная и активная идентификация линейного дискретного объекта с ограниченной помехой// Автоматика и телемеханика. М., 2003. - № 11. - С. 60-73.

14. Бурков А.Т., Варенцов В.М., Селедцов Э.П. Физическая модель участка электрической железной дороги однофазного переменного тока// Труды ЛИИЖТ-Л.:ЛИИЖТ, 1963, вып. 212, С. 3-25.

15. Валъд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1960.-328 с.

16. Венцелъ Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее приложения: Учеб. Пособие для ВУЗов. М.: Высшая школа, 2000. — 480 с.

17. Верещагин Ю. В. Гид для диспетчера// Гудок. М., 2007. - № от 31.01.2007. -С. 8.

18. Волныкин А.Н. Алгоритм решения задачи идентификации многомерных по входу линейных динамических систем// «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20): Сб. тр. XX Междунар. науч. конф. -Ярославль: ЯГТУ, 2007, том 2, С. 85-88.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 575 с.

20. Гетманов В.Г., Жиров М.В., Шаховский А.В. Алгоритм идентификации для линейной дискретной динамической системыуправления// Автоматика и телемеханика. М., 2001. - № 4. - С. 2734.

21. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. М.: УРСС, 2001. - 318 с.

22. ГОСТ Р 523202005. Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Общие требования. Испытания и условия испытаний. 4.11: Счетчики электрической энергии. — М.: Стандартинформ, 2005.

23. Гроп Д. Методы идентификации. М.: Мир, 1979. - 302 с.

24. Гуртовцев A.JI. Погрешности электронных счетчиков. Исследование и оценка// Новости электротехники. — СПб.: ИПК «НП-Принт», 2007. -№ 1.

25. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.-240 с.

26. Елисеева И.И., Семенова Е.В. Основные процедуры многомерного статистического анализа. Д.: УЭФ, 1993. - 78 с.

27. Ермаков С.М., Михаилов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.-296 с.

28. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор)// Автоматика и телемеханика. М., 1978. - № 8. — С. 66-100.

29. Закс JI. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. - 598 с.

30. Илюшин В.Б., Чадеев В.М. Алгоритм идентификации динамических объектов с учетом априорной информации о параметрах// Автоматика и телемеханика. М., 2006. -№ 7. - С. 133-143.

31. Каминкас В.А., Немура А.А. Статистические методы в идентификации динамических систем. Вильнюс: Минтис, 1975. - 197 с.

32. Кацюба О.А. Идентификация линейных динамических систем// Учебное пособие. Самара: СамГАПС, 2004. — 67 с.

33. Кацюба О.А., Волныкин А.Н. Численный метод решения идентификации многомерных по входу линейных разностных уравнений// «Математические методы в технике и технологиях». (ММТТ-19): Сб. тр. XIX Междунар. науч. конф. Воронеж: ВГТА, 2006, том 2, -С. 133-134.

34. Кацюба. О.А., Волныкин А.Н. Алгоритм решения задачи идентификации линейных разностных уравнений// «Математика.

35. Экономика. Образование»: XIV Междунар. науч. конф.: Тез. докл. -Ростов-на-Дону: РГУ, 2006. С. 139.

36. Кацюба О.А., Волныкин А:Н. Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем// Известия Самарского научного центра РАН. Самара, 2006, том 8, №4, - С. 1026-1033.