автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.18, диссертация на тему:Активное виброгашение вынужденных колебаний в машинах и механизмах с использованием параметрического и силового воздействий

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ МАШИНОВЕДЕНИЯ им. А.А. Благонравова

На правах рукописи УДК 534.1

• Гришаев Арсений Анатольевич

АКТИВНОЕ ВИБРОГАШЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В МАШИНАХ И МЕХАНИЗМАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО И СИЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЙ

АВТОРЕФЕРАТ

005002381

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 7 НОЯ 2011

05.02.18 -Теория машин и механизмов

Москва 2011

005002381

Работа выполнена в УЧРЕЖДЕНИИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТЕ МАШИНОВЕДЕНИЯ им. А.А. Благонравова РАН

Научный руководитель:

доктор технических наук Израилович Михаил Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

Мисюрин Сергей Юрьевич

кандидат технических наук, профессор Шейнбаум Виктор Соломонович

Ведущая организация:

ООО "Инструмент'

Защита состоится «06» декабря 2011г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002.059.02 в Учреждении Российской Академии Наук Институте Машиноведения им. A.A. Благонравова РАН по адресу: 101990, г. Москва, Малый Харитоньевский переулок, д.4 тел. (495) 628-32-98, e-mail: b_i_pavlov@mail.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской Академии Наук Института Машиноведения им. A.A. Благонравова РАН по адресу: Москва, ул. Бардина 4, тел. (499) 135-55-16 Автореферат разослан «05» ноября 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

/ Б.И. Павлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одной из наиболее актуальных задач теории машин и механизмов является снижение их виброактивности, то есть уменьшение уровня нежелательных вибраций. Существуют различные источники этих нежелательных вибраций: нелинейности характеристик трения, порождающие фрикционные автоколебания параметрические возмущения, возбуждающие колебания высокой интенсивности. Однако наиболее распространенным источником нежелательных вибраций являются внешние периодические возмущения, имеющие силовой либо кинематический характер. Эти воздействия порождают вынужденные колебания машин и механизмов. Для снижения уровня интенсивности вынужденных колебаний наиболее эффективными во многих случаях являются методы активного виброгашения. Эти методы основаны на использовании силовых (либо кинематических) воздействий, прилагаемых к одному из звеньев машин или механизмов чаще всего реализуемых по схеме обратной связи и использующих внешний источник энергии. Разработка систем активного виброгашения осуществлялась многими исследователями. Наиболее широко известны работы М.З.Коловского, М.Д.Генкина, В.В.Яблонского, В.А. Якубовича, В.В.Гурецкого, Н.Н.Болотника, Д.В.Баландина, А.В.Синева, В.Г.Елезова, Ю.П.Максимовича, В.Н.Честнова и многих других отечественных и зарубежных исследователей. В работах М.Я.Израиловича получены решения задач синтеза квазиоптимальных законов активного виброгашения с учетом нелинейных характеристик звеньев. Во многих исследованиях и разработках, а также реально функционирующих систем виброгашения, вводимые в систему виброгасящего воздействия имеют силовой, либо кинематический характер. В 1965г. академиком К.В.Фроловым впервые была показана эффективность применения для гашения вынужденных колебаний иной схемы виброгашения, основанной на периодическом изменении одного из параметров системы (жесткости, демпфирования или массы). В дальнейшем исследования по синтезу систем активного параметрического виброгашения развивались в

3

работах К.В.Фролова, А.Е.Дурмана, А.Д.Акуленко, В.И.Чернышева, В.Е.Прокопова, Д.В.Чегодаева, М.Я.Израиловича и других зарубежных и отечественных исследователей. Поскольку, как уже указывалось выше, активные системы виброгашения вынужденных колебаний используют внешний источник энергии, то в ряде случае весьма актуальной является проблема уменьшения энергозатрат, необходимых для снижения уровня интенсивности вынужденных колебаний машин и механизмов до приемлемых величин. В этом аспекте весьма важен поиск новых более эффективных схем активного виброгашения. В 2000г. В ИМАШ РАН А.В.Синевым и М.Я.Израиловичем был разработан принцип построения систем активного виброгашения, предполагающий одновременное введение в систему двух согласованно синтезируемых виброгасящих воздействий параметрического и силового. На примере линейной одномассовой системы было показано, что такая схема виброгашения оказывается существенно более эффективной, чем традиционные схемы, использующие только силовое, либо только параметрическое виброгасящее воздействие.

Однако более точные модели машин и механизмов должны включать в себя нелинейные звенья. Целью работы является разработка процедур определения законов виброгашения при введении одновременно параметрического и силового виброгасящих воздействий при учете нелинейностей. Для достижения поставленной выше цели в работе решаются следующие задачи:

• синтез квазиоптимальных параметрического и силового воздействий для машин и механизмов, моделируемых одномассовой системой с нелиненйностью произвольной структуры

• определении структуры параметрического и силового виброгасящих воздействий для многомасовых машин и механизмов со многими степенями свободы, моделируемых цепной схемой с учетом наличия нелинейного звена

синтез квазиоптимальных и упрощенных законов параметрического и силового виброгашения для машин и механизмов, моделируемых системой с одной степенью свободы с нелинейной упругой связью синтез квазиоптимальных и упрощенных законов параметрического и силового виброгашения для машин и механизмов, моделируемых системой с одной степенью свободы с нелинейной диссипативной

характеристикой

синтез структуры усложненного силового виброгасящего воздействия, эквивалентного одновременному введению в систему обычного силового и параметрического воздействия , решение задачи о синтезе такого воздействия, применительно к конкретному механизму (на примере системы активного виброгашения на основе гидроопоры)

Методы исследования. Работа выполнена на основе сочетания методов приближенного анализа динамики нелинейных систем - метода эквивалентной линеаризации, разработанного Е.П.Поповым, а также одного из методов теории оптимального управления - метода моментов, разработанного Н.Н.Красовским. Для верификации приближенных методов в ряде случаев использовалось компьютерное моделирование синтезированных систем.

Научная новизна и практическая значимость работы заключается в следующем:

1 Разработаны процедуры построения квазиоптимальных и упрощенных законов активного виброгашения с использованием одновременно параметрических и силовых воздействий с учетом

нелинейности звеньев машин и механизмов и наличие нескольких степеней свободы.

2. Предложен и на конкретных примерах апробирован принцип построения силовых виброгасящих воздействий, эквивалентных указанным выше двум виброгасящим воздействиям.

Практическая ценность полученных результатов обусловлена инженерной направленностью выполненных исследований, позволяющих решать задачи активного виброгашения для моделей машин и механизмов с учетом нелинейностей и нескольких степеней свободы. Применение полученных результатов позволит модернизировать существующие системы виброгашения в машинах и является реальной основой для издания новых более эффективных систем виброгашения.

Достоверность полученных результатов обусловлена:

• корректностью математических моделей машин и механизмов

• сопоставлением результатов, полученных на основе приближенных методов и численным моделированием уравнений динамики машин с виброгасящими воздействиями.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

• 9-ой Международной конференции по динамике и прочности автомобиля (Москва 2005)

• Международной конференции «Нанотехнологии и их влияние на трение, износ и усталость в машинах (Москва 2004)

• 17-ой Международной Интернет-конференции молодых ученых и студентов по современным проблемам машиноведения (МИКМУС, Москва 2005г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах, перечисленных в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из 67 наименований. Работа изложена на 118 страницах машинописного текста, включая рисунки.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается обзор состояния разработок в области синтеза систем активного гашения вынужденных колебаний машин и механизмов. Отмечается, что как правило для этих целей используются силовые или кинематические виброгасящие воздействия. Приводятся примеры конструктивной реализации таких систем виброгашения. Вместе с тем указывается, что начиная с середины 60-х годов находят применение также системы виброгашения, основанные на использовании того или иного параметрического воздействия, обеспечиваемого путём управляемого изменения демпфирования или жесткости. При этом наибольшее распространение находят системы виброгашения с изменяемой жесткостью, хотя возможны и другие варианты схемной реализации такого принципа виброгашения. Излагается выдвинутый и разработанный в ИМАШЕ в 2000г. новый принцип построения систем виброгашения, основанный на использовании одновременно двух виброгасящих воздействий: силового и параметрического. Приводятся конструктивные варианты схем механизмов с такими системами виброгашения. Формируются цели и задачи исследования.

В Главе 1 решается задача об определении согласованно синтезированных законов виброгашения для установившихся периодических режимов одномассовой механической системы, содержащей произвольную

нелинейность симметричного типа при действии гармонического возмущения. При этом предполагается, что частота возмущения в той или иной степени близка к собственной частоте системы, в силу чего установившиеся колебания близки к гармоническим.

Уравнение колебаний системы имеет вид (у2 +2&5 + Ю02)Х + /(х,зх) + р^{х,вх)х = ВьтМ -и(х,8х), (1.1)

где 5 - оператор дифференцирования, ^х) и и(х,$х) - подлежащие определению соответственно параметрическое и силовое виброгасящие воздействия; рй- постоянный параметр, /(х,хх) . произвольная нелинейная функция.

В качестве критерия оптимальности рассматривается минимум амплитуды установившихся колебаний. Ограничение на интенсивность обоих виброгасящих воздействий задается в виде суммарного взвешенного значения.

СО

— \{у/ + у2и2)ь<ц?, (2.1)

¿л о

где У\, у2 - весовые коэффициенты, IV - заданная константа. Решение этой вариационной задачи получено как в виде программных законов, так и законов с обратной связью.

Далее рассматривается задача виброгашения для широко распространенной модели машин и механизмов с несколькими степенями свободы в виде цепочечной системы, содержащей нелинейное звено. Поскольку определение квазиоптимальных законов параметрического и силового виброгашения даже для системы с одной степенью свободы связано с весьма громоздкими процедурами, и сами эти законы имеют сложную структуру, в случае многомассовой системы с нелинейностью используется упрощенная процедура построения законов виброгашения.

Суть этой процедуры заключается в том, что сначала на основе уже

известных методов решается задача определения квазиоптимального силового

виброгасящего воздействия, ограничение на интенсивность которого задается в

8

виде интегрального квадратичного функционала, либо на амплитудное значение виброгасящего воздействия. Далее система с виброгасящим воздействием рассматривается условно как пассивная система, и для такой системы опять-таки с помощью известной процедуры определяется квазиоптимальный закон параметрического виброгашения.

В Главе 2 рассматриваются задачи виброгашения в машинах и механизмах, моделируемых системой с одной степенью свободы и нелинейной упругой связью.

Уравнение колебаний механической системы имеет вид:

[52 + й>02(1 + у))с + /(х) = £5ИШ?-и , (2.1)

где /(х) - характеристика нелинейной упругой связи.

Определена структура квазиоптимальных параметрического и силового виброгасящих воздействий при произвольной нелинейности указанного типа. Решение задачи синтеза квазиоптимальных законов параметрического гашения с обратной связью определено на основе общей процедуры, изложенной в Главе 1, и имеет вид:

л1жу2А*

„2

SX

х'-\

со

(2.2)

где rf

1 со1А*г

— + ..0------

Г 2 4Л )

| ¿71

,fi* = fl(A*)= t J f(A * sin y/) sin y/d у/. коэффициент KA 0

гармонической линеаризации функции f(x); А* - минимальная амплитуда колебаний определяется как минимальный положительный корень уравнения

^[B-A^l-co^fiÄft^W (3.2)

Решаются также задачи анализа систем такого класса с упрощенн законами виброгашения, в частности, рассматриваются случаи, к предварительно определен квазиоптимальный линейный закон сило виброгашения, а для дополнительного усиления эффекта виброгашения в те систему вводится определяемая по простому закону обратной связи переме составляющей демпфирования, либо жесткости.

В разделе 2.2 рассматривается случай квадратичной упруг

/(х) = /л\х\х. При резонансной частоте возмущения (о = со0 минимал амплитуда колебаний при использовании двух виброгасящих воздейст силового виброгасящего воздействия и параметрического виброгася! воздействия определяется соответственно по формулам:

__\( ВсоI | | соУ2 2

(

0.5

0.1

0.2

0.3

IV

Рис. 2.1

На рис. 2.1 представлены графики зависимостей амплитуд (2.4), (2.5), (2.6) от интенсивности виброгасящих воздействий IV, рассчитанных при =0,5,ю0 = 0,8 В = 1. Из этих зависимостей следует, что применение одновременно двух виброгасящих воздействий оказывается существенно более эффективным, чем силовое или параметрическое виброгашение.

В разделе 2.3 рассматривается система с нелинейностью кубического типа: /(х) = /дс3. Квазиоптимальные законы параметрического и силового виброгашения определяются по формулам

v * (х, sjc) =

2 4л А* у,

signal

1 а)2+—М*г Аж

(2.7)

4лл*

72

sign

Аж

где минимальная амплитуда А * определяется как наименьший положительный корень уравнения

Г)Ж ~2

В-А

а] — о)2 н—jjA'

= W.

(2.8)

Для упрощения процедуры определения и структуры законов виброгашения используется следующий прием. Сначала определяется

- ,ятн силового виброгашения (при отсутствии квазиоптимальныи закон силовою в ^

параметрического виброгашения)

и*(х) = J—sign

v TZ

2 W^Jj г

0 An

х

где А, * - минимальный положительный корень уравнения

В-А

Ж п

(2.9)

(2.10)

далее выбирается простейший закон параметрического виброгашения за счет

изменения переменной составляющей жесткости = ^М •

Затем осуществляется компьютерное моделирование системы с двумя виброгасящими воздействиями

+ 2Ь + «о2 [1 + Vsign(xsx)]}x + /к3 = В sin cot - и * (х), где и * (х) определяется по формуле (9.2).

(2.11)

ю = 0.6

со = 1

<0 0

<0 о -

20 40

_]_

20

60 80

со = 1.6

<0 о

Рис. 2.2

На рис. 2.2 представлены результаты моделирования системы (2.10) при отсутствии виброгашения и различных значениях частоты со выполненные при а>0 =1, к = 0,05, //-ОД.

со = 0.6

ю = 1

о

<У = 1.6

Рис. 2.3 13

На рис. 2.3 представлены результаты моделирования при V -1, Ж = 12.

В Главе 3 рассматриваются задачи виброгашения в машинах и механизмах, моделируемых системой с одной степенью свободы с нелинейностью диссипативного или автоколебательного типа. Определена структура квазиоптимальных законов параметрического и силового виброгашения при произвольной нелинейной характеристике указанного типа. Рассмотрен случай введения упрощенного виброгашения, когда силовое воздействие определяется как квазиоптимальное, а закон изменения переменной составляющей жесткости задается в виде релейной характеристики простой структуры.

Далее рассматриваются системы с конкретными характеристиками нелинейности. Для системы с сухим трением (при учете также вязкого трения) получено замкнутое аналитическое выражение для минимальной амплитуды колебаний, и, соответственно, выражения для квазиоптимальных параметрического и силового закона виброгашения. Получены также замкнутые аналитические выражения для амплитуд при использовании только силового и только параметрического квазиоптимальных законов виброгашения.

Приведено сопоставление соответствующих амплитуд колебаний в зависимости от амплитуды возмущающего воздействия. Это сопоставление показывает существенное преимущество с точки зрения эффективности виброгашения при изменении амплитуды возмущающего воздействия в широком диапазоне по сравнению с использованием только одного виброгасящего воздействия: силового, либо параметрического.

В случае системы с квадратичным (турбулентным) трением при

резонансной частоте возмущения также получены аналитические решения для

амплитуды колебаний при квазиоптимальных законах параметрического и

силового виброгашения, а также при использовании только одного из этих

законов. В последнем разделе Главы 3 рассматривается задача виброгашения

синхронизированных колебаний, обусловленных действием гармонической

14

силы на автоколебательную систему. Автоколебательная характеристика обусловлена наличием отрицательного сухого трения (при учете также вязкого трения).

Замкнутые аналитические решения получены для случая резонансной частоты возмущения. Так же, как и в предыдущих случаях, показано преимущество использования двух виброгасящих воздействий по сравнению с использованием только силового, либо только параметрического

виброгасящего воздействия.

В Главе 4 рассматриваются задачи о построении силового

виброгасящего воздействия сложной структуры, которая с точки зрения осуществляемого при его применении эффекта снижения амплитуды вынужденных колебаний эквивалентно введению двух виброгасящих воздействий: силового и параметрического, имеющих более простую структуру. В разделе 4.1 рассматривается общий случай цепной механической системы, не содержащей пассивных нелинейностей. Уравнение колебаний имеет вид:

0{з)х + * (х, 5х) = + ы{*)и * (х, зх) , (4.1)

где м*(х,5х), У*(х,5х) - определенные тем или иным методом приближенно-оптимальные законы силового и параметрического виброгашения.

Вместо двух виброгасящих воздействий в систему (4.1) вводится одно виброгасящее воздействие

и * *{х, же) = и * {х, эх) - лг1 * (х, 5х)х (4.2)

Система

б(5)х = М{*)Р{() + Н{*)и * *(х,5х) (4.3)

с законом виброгашения (4.2) эквивалентна системе (4.1)

Целесообразность синтеза такого воздействия обусловлена тем, что в некоторых случаях с точки зрения конструктивной реализации введение в систему только одного виброгасящего воздействия может оказаться проще. При

этом, за счет усложнения его структуры обеспечивается в точности такой же эффект снижения амплитуды вынужденных колебаний, который имеет место при введении двух виброгасящих воздействий.

Далее этот общий принцип излагается на конкретных примерах. В качестве первого примера в разделе 4.2 рассматривается одномассовая механическая система с линейной пассивной частью, уравнение колебаний которой

В качестве первого примера рассматривается резонансный случай ю = сой. При этом закон силового виброгашения, эквивалентный законам параметрического и силового виброгашения (в соответствии с процедурой, изложенной в разделе 4.1 определяется в виде

(4.4)

и * *(х,£х) = М —2Ь + 1/2

1

—г- ^кхзх х

(4.5)

-2ксо,

минимальная амплитуда А * определяется как корень уравнения

-I

(4.6)

При использовании обычного силового виброгасящего воздействия

и * (юс) = -МЪкях

(4.7)

амплитуда колебаний

А* =

2 ко,

(4.8)

о

На рис. 4.1 представлены зависимости А* и А1 *(4.8) от интенсивности виброгасящих воздействий УУ, рассчитанные при

В = \,сой=\,к = М5,ух=у2=\.

ю

т лад

1111 1 Л 1

\

\

. \

\

\

\

\

\

X

-X -

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

х

Рис. 4.1

В качестве второго примера рассматривается система (4.4) при к = 0, О) ^ СО0.

В этом случае из (4.5), (4.2) следует, что закон и * *(х, ¿х) определяется по формуле

[Уг Ух

где

со

Л"1

-х

\ю)

>х

(4.9)

А*

■со

Минимальная амплитуда А * определяется по формуле

А* =

В2 -

2 W

У-.

{2 ксо0В +

2 /

о/Я

—k2o)2W + -^r

2 W В2- — У2

(4.10)

/: 2У V

В разделе 4.3 рассматривается механическая система с упругими связями с двумя степенями свободы.

\ V

Ci -

Bisincjt :

mi

С2

и

B2sin{wt+6)

пгь

Рис. 4.2

На каждую из масс (рис 4.2) действует внешняя гармоническая сила. Обе силы имеют одни и те же частоты, но различные амплитуды и фазовый сдвиг

относительно друг друга.

Уравнение системы, приведенное к виду (3.4): Q(S>, +(m2s2 +c2]c,vx, = [(m2s2 +c>, +с2Вгсо5в]5тФ( + c2B2sin0x X cos cot + (m2s2 +c2)u* *(*,, sxi) где x, - координата верхней массы,

(4.11)

еМ-ц.'+ч+.Жм'+'.И- ■ сшшого

виброгашения, определенный » соответетвин с оп»са„„ой в разделе (4.1) по формуле:

л М*{А*){ И

ЦА*

I у2 2г,А*

, а>

-х

Х{ \ , (4.12)

¿^-со^В^гс^-Мси%В2со50 + с1В2г

Ц=с2- шУ . Минимальная амплитуда А * определяется из уравнения:

(4.13)

= 1Г

пр! использовании квазиоптимального силового воздействия обычной структуры минимальная амплитуда колебаний

А*'-

(4.14)

при использовании квазиоптимального параметрического виброгасящего воздействия

_. (4.15)

А2* = -

+ 14

На рис.4.3 представлены зависимости

^ * (4Л5) от интенсивности IV, рассчитанных при

С, =0,1, В.=В2 = 1, 0 = 1, й) = 2.

амплитуд А*, А *(4.14) и = т, =1, с\~ 1»

0.25

0.15

0.05 -

0.005

NN

Рис.4.3

В разделе 4.5 в качестве примера нелинейной системы рассматривается система с сухим трением. Приведены результаты численного моделирования системы с законом виброгашения и * *(х„ах), эквивалентным квазиоптимальным законам силового и параметрических виброгасящих воздействий, структура которых определена в Главе 3. Результаты расчетов показали наличие в системе единственного устойчивого режима с амплитудой, значимо меньшей по сравнению с величиной, имеющей место при отсутствии виброгашения.

В Главе 5 излагается применение полученных результатов к конкретным технологическим объектам. В разделе 5.1 рассматривается задача о снижении амплитуды колебаний алмазного инструмента (индектора, упруго закрепленного на державке), что актуально для повышения качества отделочно упрочняющей обработки. При отсутствии виброгасящих воздействий модель, описывающая колебания инструмента, представлена на рис. 5.1.

Рис. 5.1

Источником кинематического возмущения, передаваемому инструменту через контактную жесткость жесткость ст и контактное демпфирование является некруглость обрабатываемого изделия, аппроксимируема гармонической функцией времени. Одна из возможных схем параметрического виброгашения колебаний предложена в авторском свидетельстве. Гашение осуществляется путем введения переменной составляющей демпфирования за счет использования оправки, снабженной пьезопреобразователем, который установлен в державке инструмента с зазором Рис. 5.1. Пьезопреобразователь выполнен в идее пьезоэлемента 2 с закрепленными на его параллельных гранях пластинами-электродами 1, которые подключены к внешнему источнику тока. Использование пьезоэлемента дает возможность реализовать дополнительную силу, которая возникает при его растяжении при подключении к пластинам-электродам к генератору 3. При этом происходит выбор зазора между нижней пластиной и штоком 4, на котором закреплен инструмент 5, положение которого отслеживается датчиком 6. В результате создается усилие, действующее в направлении, нормальном к оси штока. Между подвижным

штоком и корпусом державки находится слой смазки определенной толщины, в силу чего коэффициент вязкого трения при включении генератора будет иметь дополнительную составляющую, которая может быть использована как параметрическое виброгасящее воздействие. В указанном выше изобретении это воздействие определяется как программный закон (функция времени). Однако более эффективным может оказаться использование закона с обратной связью.

Уравнение колебаний инструмента в соответствии с рис. 5.1 при отсутствии виброгашения записывается в виде

[т2 +(л: + /Сг)я + с + сг]х = (л:7.$ + с7.)В8тюГ (5.1)

При введении параметрического виброгашения, осуществляемого путем включения дополнительного включаемого с помощью пьезоэлемента 2 нормального усилия, действующего на шток 4 с закрепленным на нем инструментом и приводящего к созданию дополнительной составляющей силы трения

VI

{х)=ка(х) . (5.2)

, ч Г1 при х>0

^Но ИР« *<0' (5-3)

где к - дополнительная составляющая демпфирования, возникающая при включении генератора 3, соединенного пьезоэлементом, а также силового виброгасящего воздействия, а также силового виброгасящего воздействия и*(х,зх) = -п*(а1х + а25х) , (5.4)

которое реализуется вдоль оси вращения режущего инструмента за счет выбора зазора А в котором находится несжимаемая жидкость между штоком SN, соединенным с цилидрической оправкой инструмента и прижимным винтом

муфты, таким образом усилие и создается силами внутреннего трения жидкости в зазоре А,

где я, =с + сг-тсо1, а2=К + КТ, п*--

V - интегральное квадратичное значение интенсивности силового воздействия. При этом уравнение колебаний инструмента (5.1) принимает вид

+ с + сг +п*аЛх = (Ктя + ст )В эт ал + и(х, (5.5)

К + Кт + ~ко(х)+п*аг

В гармоническом приближении амплитуда установившихся колебаний инструмента, определяемая путем гармонической линеаризации входящей в уравнение нелинейности (5.4) определяется по формуле

[к}а2+с$В

{с + ст+п* ах-тсо2У +

г 2 2

(О

(5.6)

На рис. 5.2 представлены зависимости А (5.5.) от со, рассчитанные при т = 1, ¿ = 0,1, кТ= 0,1, ст = 0,8, У = 8. к = 0,05, V = 0(кривая 1), при к = 0,У = 0,05 (кривая 2), к = 0,05, V = 0,05 (кривая 3).

О)

Рис. 5.2

В разделе 5.2 рассматривается задача усовершенствованного гашения колебаний при использовании гидроопоры с активным управлением. Схема гидроопоры представлена на рис.5.3.

Рис. 5.3 24

Уравнение динамики гидроопоры имеет вид

Г лг \

(т0 + ЬА2)х+ гА2 х+ с + ^ \х = ) - х 1 (5.7)

' Е

А

5

где тй - масса подлежащего виброзащите объекта; А - площадь поршня; Ь -гидравлическая инерционность; Сг - жесткость конической обегайки; площадь поперечного сечения мембраны; г - линейное гидравлическое сопротивление канала; Е- емкость дополнительной камеры; р2- давление в дополнительной камере; F(0 = Дsinfi>/ - действующая на объект внешняя

возмущающая сила; - подлежащее определению активное

виброгасящее воздействие. Это воздействие вводится в систему путем использования дополнительной камеры и вырабатывается по схеме обратной

связи.

В соответствии со схемой (рис.5.3) величина усилия, предаваемого на основание

Р(г)= тхх+2кх+а1х (5-8) где т = т0 + ЬА2, т, = ЬА, 2к = гА2, о] =сг + А2/Е

Критерием оптимальности при определении виброгасящего воздействия является минимум величины коэффициента передачи усилия на основание, а точнее - максимальной величины этого коэффициента в периодическом режиме

У = тт тах1иЙ = и**, (5-9)

и /е[0;2*/ш] 1 1

40 МО

где ^

в соответствии с принципом, изложенным выше » Л- * «

«Не определяется . виде с,«мы Д»У* —и, первая „з которых

о!— ква—ьиому закон, силовот» "РИ_

ограничении на его интенсивность, а вторая интегральном квадратичном ограничении [1рос1ейш„.,у

параметрическому изменению жесткое,,, системы (5.7)

релейному закону {«.¿) = *{4 В — — _тен указанным силону и параметрическому виброгасяигн,

воздействиям, определен в виде

и**\ х,х\ =

х + М{(о)2кху (5.Ю)

где

М{со) =

я

В

соУ

л

N =- V -интенсивность виброгасяще ' 1

воздействия, определяемой при силовом виброгашении.

Значения критерия оптимальности при использовании закона виброгаше, (5.10) определяется (в гармоническом приближении) по формуле

п** =

ш

|аМ'

(5.11)

где

42 ( 4Дс

coo=coo+N[M(ú))(c02o -meo2).

На рис. 5.4 представлены зависимости коэффициента передачи усилия при отсутствии виброгашения (кривая 1) при использовании первой составляющей виброгасящего воздействия (5.10) (кривая) и при использовании закона

виброгашения (5.10) от частоты возмущения, рассчитанные при

А2

Cr +~¿r = 1' >я0 =1, LA2 = 0,5, iV, = 1, 5 = 1, F = 0,2, Acr =0,5.

Рис. 5.4

Выводы

1. Разработаны процедуры построения квазиоптимальных законов виброгашения вынужденных колебаний при использовании одновременно силового и параметрического виброгасящих воздействий для моделей машин и механизмов с учетом нелинейных звеньев.

2. Показано, что системы виброгашения с применением одновременно двух виброгасящих воздействий позволяет более эффективно снижать нежелательные вибрации машин и механизмов по сравнению с системами, использующими только силовое или только параметрическое виброгасящее воздействие.

3. Разработаны способы построения упрощенных законов виброгашения при использовании одновременно параметрического и силового виброгасящего воздействия.

4. Предложен и разработан принцип построения усложненного силового виброгасящего воздействия, эквивалентного двум воздействиям: силовому воздействию более простой структуры и параметрическому воздействию. На конкретных моделях механизмов: двухмассовой системы с упругими связями, модели колебаний алмазного инструмента при выглаживании, гидроопоры с активным управлением показана повышенная эффективность применения такого виброгасящего воздействия.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Гришаев A.A., Израилович М.Я. Активное гашение вертикальных колебаний корпуса автомобиля с использованием параметрического и силового вибрационных воздействий. Материалы 9-ой Международной конференции по динамике и прочности автомобиля. М. МАМИ-ИМАШ.2005.С 95-97.

2. Израилович М.Я., Гришаев A.A. Активное виброгашение вынужденных квазигармонических колебаний механических систем с использованием параметрического и силового воздействий// Проблемы машиностроения и надежности машин (ж. РАН). 2005.№4.с 25-32.

3. Гришаев A.A. Активное гашение вертикальных колебаний мобильных машин с использованием силового и параметрического воздействий// Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал.

2005. №3. с 56-59.

4. Израилович М.Я., Гришаев A.A. оценка эффективности гашения вынужденных колебаний при использовании параметрического и силового воздействий. Труды XV Симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем. М.-Звенигород. ИМАШ РАН.

2006. С.126-128.

5. Гришаев A.A. Гашение вынужденных резонансных колебаний с использованием силового и параметрического воздействий при наличии нелинейности автоколебательного типа. Труды XV Симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем. М.-Звенигород. ИМАШ РАН. 2006 С.99-102.

6. Израилович М.Я., Гришаев A.A. Активное виброгашение вынужденных колебаний механических систем с одной степенью свободы. Анн. сб. трудов ИМАШа за 2005-2006 гг. М. 2006. с. 249-253.

7. Гришаев А.А. Активное виброгашение вынужденных колебаний двухмаесовой системы с использованием силового и параметрического воздействий. Проблемы маш. и над. машин. 2007. №3. с 3-8.

Введение.

1 Методы активного виброгашения вынужденных колебаний машин с использованием параметрического и силового виброгасящих воздействий.

1.1 Синтез квазиоптимальных законов аддитивного и параметрического виброгашения в случае одномассовых систем.

1.2 Применение приближенных процедур для синтеза виброгасящихвоздействий.

1.3 Стабилизация и устранение неоднозначности при виброгашении с использованием аддитивного и параметрического воздействий.

2 Активное виброгашение в одномассовых системах с упругой связью.

2.1 Общий случай произвольной упругой связи.

2.2 Система с нелинейной упругостью квадратичного типа.

2.3 Система с нелинейной упругостью кубического типа.

3 Активное виброгашение в одномассовых системах с нелинейностями диссипативного и автоколебательного типа.

3.1 Общий случай произвольной диссипативной или автоколебательной характеристики

3.2 Система с нелинейностью типа сухого трения при учете вязкого трения.

3.3 Система с нелинейностью типа квадратичного (турбулентного ) трения.

3.4 Автоколебательная система с отрицательным кулоновым трением.

4 Синтез структуры силовых виброгасящих воздействий, обеспечивающие эквивалентность параметрическому и силовому виброгашению.

4.1 Системы со многими степенями свободы с линейной пассивной частью.

4.2 Линейная одномассовая система.

4.3 Линейная система с двумя степенями свободы.

4.4 Нелинейная система с сухим трением.

5 Практическое применение разработанных методов виброгашения.

5.1 Гашение колебаний алмазного инструмента при выглаживании.

5.2 Система активного виброгашения на основе гидроопоры.

Одной из наиболее актуальных задач современной теории механизмов и машин является снижение их виброактивности [1], т.е. уменьшение уровня нежелательных вибраций, в том числе как звукового диапазона, так и более низкого диапазона частот.

Наиболее распространенным источником таких вибраций являются внешние периодические возмущения (как силовые, так и кинематические), действующие на машины и механизмы. В рамках данной диссертации рассматриваются задачи снижения уровня вибраций, порождаемых именно такого рода источниками, хотя существуют источники нежелательных вибраций и другого рода - параметрические и автоколебательные. изл^с^и едъе/яг.

Рис.1 Рис.2

-Га" 1 ууууу у// л

77 И

ТТ^У/У/1 [''УУУУУУ У , УУУУУУ<-У У\, чЧЧЧЧчЧ ЧчЧЧЧЧЧхчЧЧЧЧЧчч\ЧчЧЧ<ЧЗ

Л ь 1 1 л ' ш 1

777777

Рис.3

Рис.4

На рис. 1 приведен случай простейшей двухмассовой системы с силовым виброгашением. На рис. 2 представлена пневмомеханическая виброзащитная система с силовым цилиндром двойного действия. Механическая обратная связь по смещению через золотниковое устройство управляет расходом газа, подаваемым внешним источником энергии через входной и выходной каналы. Благодаря наличию обратной связи по смещению, перемещающей золотник, выходное усилие штока силового цилиндра является функцией интеграла относительно смещения изолируемого объекта. Управление по интегралу от смещения может быть эффективным только на очень низких частотах. Поэтому обратная связь по смещению используется лишь для позиционирования защищаемого объекта. Демпфирование такой системы может быть регламентировано с помощью специальных дросселей. На рис. 3 приведена система электрогидравлической виброзащитной системы с силовым цилиндром двойного действия. В этой схеме сигналы от датчика усиления и относительного смещения подаются в усилитель с электрическим питанием. Усилитель вырабатывает сигнал, управляющий движением золотника, который регулирует подачу через сигналы малосжимаемой рабочей жидкости в силовой цилиндр. На рис. 4 представлена схема активной гидравлической виброзащитной системы. Виброактивный объект опирается через силовой гидроцилиндр с поршнем на изолируемую платформу, упруго опертую на фундамент. Управляющая система виброзащитного устройства содержит датчик сейсмического типа в комбинации с гидроусилителем. Инерционный элемент датчика укреплен через мягкую пружину на изолируемой платформе и шарнирно связан с заслонкой, управляющей двумя соплами. Поршень силового гидроцилиндра связан штоком с виброактивным объектом. Внешним источником энергии служит питающая гидросистема, давление в которой поддерживается регулируемым нагружающим дросселем. Датчик регистрирует вибрационное перемещение изолируемой платформы и преобразует его в колебания давления рабочей жидкости в полостях силового гидроцилиндра. Массу инерционного элемента и жесткость пружины датчика выбирают так, чтобы его собственная частота была меньше частоты с высоким уровнем в спектре вибраций объекта. В этом случае датчик работает в зарезонансной области. Такая виброзащитная система обеспечивает уменьшение передачи вертикальной вибрации объекта до минимума, определяемого чувствительностью применяемого датчика. Приведенная схема виброизолирующей системы может быть использована в двухкаскадной системе амортизации машин.

В контексте разрабатываемой в данной диссертации проблематики существенно лишь то, что существуют пассивные и активные методы виброгашения. При этом предметом данной диссертации являются исключительно методы активного виброгашения [66].

В числе наиболее значимых работ в этом направлении следует упомянуть работы М.З.Коловского [2,3], К.В.Фролова [4], М.Д.Генкина [5], А.В.Синева [6,7] и многих других отечественных и зарубежных исследователей.

Классификация управляемых и актибных бидрозащитччх систем

Уппабляемые ВС

ABC

ВС с переменными параметрами

ВС с переменной структурой

С компенсацией

С управлением по отключению \ (стабилизацией)

Адаптибные

С упраблением па бнешенему возмущению

С упраблением по динамическим координатам

Самоностра-йоащиеся

Поисковые j Беспоискобые

Управляемые ВС как правило, требуют подвода энергии извне от дополнительного источника и их можно разделить на три группы.

К первой группе относятся активные виброзащитные системы (ABC). В них исполнительные элементы воздействуют непосредственно на объект наряду с возмущающими факторами. Пассивные параметры обычно остаются неизменными.

Во вторую группу входят ВС с переменной структурой, где изменяются не только параметры, но и порядок включения различных звеньев.

Наиболее продуктивным путем построения активных виброгасящих воздействий является применение методов оптимизации для определения наиболее эффективных законов виброгашения, которые могут иметь программный характер (т.е. задаваться как функция времени, парирующая воздействия внешнего возмущения), определяться как закон виброгашения с обратной связью, т.е. как функция фазовых координат системы (чаще всего координаты и скорости), либо как функция внешнего возмущения (управления по возмущению).

Наибольший эффект проявляется как правило при использовании второго пути, т.е. построения законов виброгашения с обратной связью, хотя определенные преимущества имеют и системы виброгашения по возмущению. В настоящей диссертации рассматриваются задачи построения виброгасящих воздействий, основанные именно на принципе обратной связи по координатам системы.

Применение методов оптимизации к задачам активного виброгашения в отечественной литературе впервые рассмотрено В.В.Гурецким [8]. Следует отметить, что в этих работах рассматривается простейшая одномассовая система без упругой связи. Подробное изложение такого класса задач содержится в монографии М.З.Коловского [3].

В дальнейшем методы оптимизации активной виброзащиты для систем со многими степенями свободы получили широкое развитие в работах М.З.Коловского [10], Д.Б.Баландина [11],[12], В.Г. Саранчука [15],[16], Н.Н.Болотника [17], В.А.Якубовича [18], [19], В.Н.Честнова и А.Г.Александрова [20,21,22].

Следует отметить, во-первых, что в перечисленных выше работах рассматривались силовые виброгасящие воздействия, как правило, имеющие характер силовых воздействий. Во-вторых, в вышеупомянутых работах задачи оптимизации решались без учета пассивных нелинейностей.

Вместе с тем для задач анализа динамики нелинейных систем разработан обширный арсенал приближенных методов: осреднения, малого параметра, асимптотических, гармонического баланса, гармонической линеаризации. Поэтому для задач оптимизации, в том числе, и систем активного гашения в нелинейных системах естественно применение сочетаний этих методов с методами теории оптимизации. Одной из первых работ в этом направлении является работа Г.Е.Колосова и Р.Л.Стратоновича [23], в которой, однако, рассматривалась не задача виброзащиты, а задача, относящаяся к автоколебательным системам. В дальнейшем такое сочетанное приближенных методов и методов оптимизации получило широкое развитие. В частности, в работах, А.У. Акилова [24],[25], Ф.Л.Черноусько, Л.Д.Акуленко, Б.Н.Соколова [26]. В последней работе решался ряд задач, в том числе и практической направленности на основе различных схем сочетания принципа максимума Л.С.Понтрягина и асимптотических методов. При этом, однако, рассматривались апериодические процессы.

Весьма существенным вкладом в это направление явилась монография В.А. Плотникова [27], в которой задачи оптимизации периодических процессов рассматривались на основе применения методов осреднения. В монографии [28] рассматриваются задачи оптимального управления периодическими режимами нелинейных систем с использованием процедур, основанных на применении асимптотических методов и принципа максимума.

Задачи активного виброгашения для нелинейной системы с одной степенью свободы на основе применения первого приближения асимптотического метода и метода моментов решены в замкнутой форме в работе М.Я.Израиловича и Н.И.Морозовой [29]. В дальнейшем М.Я. Израиловичем на основе метода гармонической линеаризации и метода моментов решены задачи синтеза законов виброгашения с обратной связью для одномерных систем с произвольным конечным числом степеней свободы, содержащих локальные нелинейности [30,31,32]. При этом предполагается (в силу специфики метода гармонической линеаризации), что линейная часть системы обладает достаточно четко выраженными гармоническими либо фильтрующими свойствами, в силу чего установившееся решение системы может быть аппроксимировано в первом гармоническом приближении.

Следует отметить, что такие процедуры оказываются эффективными и для линейных систем [33], поскольку применение классических методов оптимизации без сочетания с приближенными методами приводит к существенно более громоздким решениям. В особенности это относится к задачам синтеза систем с обратной связью.

Упомянутые выше результаты относятся к задачам виброгашения с использованием силовых (аддитивных) виброгасящих воздействий.

В 1965 г. К.В.Фроловым предложен иной принцип виброгашения [34]. Он заключается в периодическом изменении одного из параметров системы: жесткости, демпфирования, либо массы. На примере системы с одной степенью свободы показана эффективность такого метода гашения вынужденных резонансных колебаний. Ряд аспектов такого способа виброгашения отражен также в монографии [4].

Дальнейшее развитие такого способа виброгашения имело место в работах Л.Д.Акуленко [35], М.Я.Израиловича [36,37,38]. В этих работах определяются квазиоптимальные структуры и параметры законов виброгашения на основе сочетания приближенных методов нелинейного анализа и теории оптимизации. Наиболее часто в качестве управляющего параметра используется жесткость виброзащищаемой системы. В работах В.Е.Прокопова и В.И.Чернышева [39,40, 41]. Д.Е.Чегодаева и Ю.В. Шатилова [47], разработаны алгоритмы управления жесткостью, а также исследуются системы виброгашения с этим классом параметрических виброгасящих воздействий.

Для современной теории и практики машин и механизмов, подверженных внешним вибрационным воздействием, при необходимости снижения уровня вызываемыми этими воздействиями вибраций весьма актуален поиск новых, наиболее совершенных принципов и структур систем виброгашения. В 2000г. В Институте машиноведения М.Я,Израиловичем и А.В.Синевым был предложен один из таких новых принципов [43]. Суть его заключается в том, что для задачи виброгашения используется не одно, а одновременно два согласованно синтезируемых виброгасящих воздействия: параметрическое и силовое. В качестве ограничения на суммарную интенсивность обоих этих воздействий используется средневзвешенная интегральнае квадратичное значение. Как показывают расчеты, приведенные в [43] на примере линейной одномассовой системы, такая система виброгашения позволяет (при идентичном уровне снижения амплитуды установившихся колебаний) снизить необходимую мощность на 25-55%.

Такое снижение энергозатрат, необходимых для виброгашения, особенно актуально при ограниченных ресурсах энергии, что имеет место, в частности, для космических технологий [44].

Следует, однако, отметить, что в [43] задача виброгашения рассматривалась только для системы с линейной пассивной частью, что несколько сужает возможность практического применения полученных результатов.

Основной целью настоящей диссертации является разработка законов одновременно параметрического и силового виброгашения для моделей машин и механизмов с учетом нелинейностей.

Кроме того, следует отметить, что даже для линейных систем [43] формализованная процедура синтеза законов виброгашения является достаточно сложной, а сами структуры законов в значительной степени громоздкими. Вследствие этого дополнительной целью диссертационной работы является разработка упрощенных процедур построения законов виброгашения при использовании одновременно параметрического и силового виброгасящих воздействий. Кроме того, дополнительной целью работы является применение разработанных процедур к моделям механизмов, имеющим конкретное технологическое применение. т 7 О

-0:>В /

77

0 ( ь ^і т

У/777777777 и-с^дгс я

ГС'-*:.'"':.::"

РЭ

7Н Г1

ССГ си

I ч\\\ чУ,,, .

1 /У/ / у )/ />У А' / /

Рис.5

Рис.6 д\, , ; ,>//// /У/ ; / /,

У/

Рис.8 система с комбинированным

Рис.7

На рис.5 приведена двухмассовая (параметрическим и силовым) виброгашением. Параметрическое виброгашение реализуется через управление жесткостью пружин с помощью двух муфт, управляемых сигналом от функции по положению. На рис.6 приведена пневмомеханическая виброзащитная система с комбинированным виброгашением, для чего в систему введен еще дополнительный цилиндр с вентилем, закрывающимся и открывающимся в зависимости от сигнала управления от функции изменения давления в золотниковом устройстве. На рис.7 приведена пневмомеханическая виброзащитная система с комбинированным виброгашением, для чего в систему введен еще дополнительный цилиндр с вентилем, закрывающимся и открывающимся в зависимости от сигнала управления от функции изменения давления в силовом цилиндре с малосжимающейся рабочей жидкостью. На схеме 4 представлена электрогидравлическая система защиты с элементом управления жесткостью пружин с помощью муфты, срабатывающей по сигналу от усилителя.

Актуальность работы обусловлена необходимостью повышения эффективности систем виброгашения - достижением снижения энергозатрат, необходимых для снижения интенсивности колебаний машин и механизмов до допустимого уровня.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

• разработка алгоритма определения квазиоптимальных законов виброгашения с учетом нелинейностей

• разработка различных схем построения упрощенных законов виброгашения

• сопоставление эффективности систем с двумя виброгасящими воздействиями с традиционными схемами, использующими только силовое, либо только параметрическое виброгасящее воздействие

Научная новизна и практическая значимость работы заключается в следующем:

1. Разработаны процедуры построения квазиоптимальных и упрощенных законов активного виброгашения с использованием одновременно параметрических и силовых воздействий с учетом нелинейности звеньев машин и механизмов и наличие нескольких степеней свободы.

2. Предложен и на конкретных примерах апробирован принцип построения силовых виброгасящих воздействий, эквивалентных указанным выше двум виброгасящим воздействиям.

Практическая ценность полученных результатов обусловлена инженерной направленностью выполненных исследований, позволяющих решать задачи активного виброгашения для моделей машин и механизмов с учетом нелинейностей и нескольких степеней свободы. Применение полученных результатов позволят модернизировать существующие системы виброгашения в машинах и является реальной основой для создания новых более эффективных систем виброгашения.

Достоверность полученных результатов обусловлена:

• корректностью математических моделей машин и механизмов

• сопоставлением результатов, полученных на основе приближенных методов и численным моделированием уравнений динамики машин с виброгасящими воздействиями.

Материал диссертации распределяется по главам следующим образом.

В Главе 1 излагаются методы построения квазиоптимальных виброгасящих воздействий для одномассовой системы, с учетом наличия произвольной нелинейности. Далее излагаются различные варианты построения упрощенных структур виброгасящих воздействий.

Излагаются различные способы введения воздействий, обеспечивающих устойчивость и единственность режимов колебаний с минимальной интенсивностью.

В Главе 2 рассматриваются установившиеся режимы одномассовой системы с нелинейностью упругого типа как общего вида, так и конкретизированных структур: нелинейностей квадратичного и кубичного типа.

В Главе 3 рассматриваются одномассовые системы, содержащие нелинейность чисто диссипативного и автоколебательного типа, при чем в последнем случае рассматриваются одночастотные колебания с частотой возмущающей силы. Рассматривается система как с характеристикой общего вида, так с конкретизированными нелинейностями: положительного и отрицательного кулоновского трения, квадратичной диссипативной характеристикой.

В Главе 4 излагается принцип построения силового виброгасящего воздействия, динамически эквивалентного двум воздействиям: параметрическому и силовому. Принцип и эффективность его применения иллюстрируется на примерах одномассовой линейной и нелинейной систем.

В Главе 5 излагается конкретное технологическое применение систем виброгашения с параметрическим и силовым воздействиями и силовым воздействием, эквивалентным двум виброгасящим воздействиям (параметрическому и силовому). В качестве примеров приводятся системы для одноосных колебаний индентора при алмазном выглаживании, управляемой гидроопоры для снижения вертикальных колебаний корпуса автомобиля.

выводы.

1. Разработаны процедуры построения квазиоптимальных законов виброгашения вынужденных колебаний при использовании одновременно силового и параметрического виброгасящих воздействий для моделей машин и механизмов с учетом нелинейных звеньев.

2. Показано, что системы виброгашения с применением одновременно двух виброгасящих воздействий позволяет более эффективно снижать нежелательные вибрации машин и механизмов по сравнению с системами, использующими только силовое или только параметрическое виброгасящее воздействие.

3. Разработаны способы построения упрощенных законов виброгашения при использовании одновременно параметрического и силового виброгасящего воздействия.

4. Предложен и разработан принцип построения усложненного силового виброгасящего воздействия, эквивалентного двум воздействиям: силовому воздействию более простой структуры и параметрическому воздействию. На конкретных моделях механизмов: двухмассовой системы с упругими связями, модели колебаний алмазного инструмента при выглаживании, гидроопоры с активным управлением показана повышенная эффективность применения такого виброгасящего воздействия.

1. Теория механизмов и машин. Под ред. К.В.Фролова. М.Высшая школа. 1998. 496с.

2. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.Наука. 1966. 211с.

3. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.Наука. 1976. 320с.

4. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М. Машиноведение. 1980. 276с.

5. Виброизолирующие системы в машинах и механизмах под ред. М.Д. Генкина.М.Наука. 1977. 115с.

6. Гордеев Б.А., Ерофеев В.И., Синев A.B., Мугин О.О. Системы виброзащиты с использованием инерционности и диссипации реологических сред. М.Физматлит. 2004. 173с.

7. Рыбак Л.А., Синев A.B., Пашков А.И. Синтез активных систем виброизоляции на космических объектах. «Янус-K». М. 1997. 159с.

8. Турецкий В.В. О предельных возможностях амортизации при вибрационных нагрузках. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. №1. с 51-63.

9. Бабицкий В.И., Израилович М.Я. Об оптимальных движениях вибрационных систем. Машиноведение. 1967. №6. с 42-49.

10. Ю.Коловский М.З. Об оптимизации активных виброзащитных систем.

11. В.Максимович Ю.П. О достижимом качестве виброзащиты отпериодического воздействия. Машиноведение. 1970. №4,. С.13-15.

12. Н.Максимович Ю.П. Об оптимальной виброзащите. Изв. РАН. Механика твердого тела. 1970 №5. с 3-7.

13. Саранчук В.Г. Одна вибрационная задача в игровой постановке. Изв. РАН. Механика твердого тела. 1974. №1. с 176-178.

14. Саранчук В.Г., Троицкий В.А. Виброзащитные устройства с минимальным свободным ходом. В кн. «Механика и процессы управления. Вычислительная математика».п. 1969. с 39-41. Труды ЛПИ. в. 307.

15. БолотникН.Н. Оптимизация амортизационных систем. М.Наука. 1982. 256с.

16. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии. ДАН. 1993. т.233. №2. с 170-172.

17. Якубович В.А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом возмущении. ДАН. 1994. т.337. №3. с 323327.

18. Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию. Автоматика и телемеханика. 1998. №12. с 109-119.

19. Честнов В.Н., Александров А.Г. Синтез многомерных систем заданной точности. Применение процедур Н-оптимизации. Автоматика и телемеханика. 1998.№7. с 83-95.

20. Честнов В.Н., Александров А.Г. Синтез многомерных систем заданной точности. Применение процедур Н-оптимизации. Автоматика и телемеханика. 1998.№8. с 124-138.

21. Колосов Г.Е., Стратонович Р.Л. Об оптимальном управлении квазигармоническими системами. Автоматика и телемеханика. 1965.№4. с 58-63.

22. Акилов А.У. О принципе усреднения в математической теории оптимальных процессов. ДАН. УЗ ССР. 1968. №9. с 21-25.

23. Акилов А.У., Филатов А.Н. О принципе усреднения в математической теории оптимальных процессов. ДАН. УЗ ССР. 1966. №7. с 37-42.

24. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.Наука. 1980. 253с.

25. Плотников В.А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. Одесса. Одесский государственный университет. 1976. 102с.

26. Ковалева А.С.Управление колебательными и виброударными системами. М.Наука. 1990. 253с.

27. Израилович М.Я., Морозова Н.И. Оптимальное управление периодическими режимами одномассовых механических систем. Машиноведение. 1981. №2. с 39-46.

28. Израилович М.Я. Управление периодическими режимами механических систем с учетом динамики двигателя. Пробл. Маш. и над. Машин. 2000.№>5. с 94-101.

29. Израилович М.Я., Синев A.B. Синтез одного класса активных виброзащитных систем. Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. № с 153-156.

30. Фролов К.В. Уменьшение амплитуды колебаний резонансной системы путем управляемого изменения ее параметров. Машиноведение. 1965. №3. с 38-42.

31. Акуленко JI.Д. Гашение колебаний системы, содержащей несбалансированный ротор. Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. №3. с 28-35.

32. Израилович М.Я. Параметрическое управление вынужденными колебаниями гармонически линеаризуемых механических систем. Пробл. Маш. и над. Машин. 1994. №4. с 15-22.

33. Израилович М.Я. Параметрически управляемые квазигармонические режимы автоколебаний и вынужденных колебаний. Устранение неоднозначности. Пробл. Маш. и над. Машин. 2003 .№5. с 33-43

34. Израилович М.Я. Параметрически управляемые квазигармонические режимы автоколебаний и вынужденных колебаний. Устранение неоднозначности. ДАН. 2003 .т.390. №3. с 337-342.

35. Прокопов В.Е., Чернышев В.Е. Динамика виброзащитных систем с переключателями жесткости упругих элементов. Сб. научных трудов VI международной технической научн. Техн.конференции «Вибрационные машины и технологии». КГТУ. Курск. 2003. с 356-360.

36. Прокопов В.Е. Влияние сил вязкого трения на колебания виброзащитных систем с управляемой жесткостью. Труды 7-ой Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 2005. НГТУ. С 361-362.

37. Чернышев В.И., Прокопов В.Е. К вопросу синтеза оптимальных алгоритмов переключений параметров жесткости виброзащитных систем с непрямым управлением. Труды 7-ой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем». Н.НГГУ.с 399-401.

38. Чегодаев Д.Е., Шатилов Ю.В. Управляемая виброизоляция. Самара. 1995. 144с.

39. Израилович М.Я., Синев A.B. Синтез систем управляемого виброгашения при использовании силового и параметрического воздействий. ДАН. 2000. т.375.№5.с 597-599.

40. Саяпин С.Н., Израилович М.Я., Галушкин А.И., Синев A.B. Система активной виброзащиты и высокоточного наведения прецизионных крупногабаритных трансформируемых антенн космических радиотелескопов. Антенны. 2001. №12(58). С 9-16.

41. Попов Е.П. Прикладная теория управления в нелинейных системах. М. Наука. 1973. 583с.

42. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем Приближенные методы. М.Наука. 1978. 383с.

43. Израиловнч М.Я. Виброгашение вынужденных квазигармонических колебаний в нелинейных системах. Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. №6. с 3-11.

44. Израилович М.Я. Методы построения приближенно-оптимальных управлений управлений периодическими режимами квазигармонических систем. Труды 5-ой Международной конференции по проблемам колебаний. 2002. ИМАШ. С 243-248.

45. Израилович М.Я. Устранение неоднозначности и стабилизация периодических режимов механических систем. Пробл. Маш. и над. Машин. 2001. №4. с 3-11.

46. Израилович М.Я. Стабилизация и устранение неоднозначности управляемых автоколебательных режимов. Мультипликативный стабилизатор. ДАН. 2001. т.377. №1. с 25-29.

47. Израилович М.Я. Системы с однозначной реализуемостью вынужденных квазигармонических колебаний. Пробл. Маш. и над. Машин. 2004. №2. с 9-15.

48. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.Наука. 1971.528с.

49. Блехман И.И. Синхронизация механических систем. М. Наука. 1971. 528с.

50. Израилович М.Я. Управляемое гашение двухчастотных колебаний. Известие РАН. Механика твердого тела. 1999. №3. с 3-11.

51. Кораблев С.С. Возбудители и гасители колебаний машин и приборов, содержащие автогенератор. Автореф. док. дис., Москва, ИМАШ, 1970.

52. Гордеев Б.А., Образцов Д.И. Виброизолир. Подвеска силового агрегата автомобиля. Автомобильная промышленность 1990. №6. с. 17.

53. Гордеев Б.А., Образцов Д.И., Новогиилов М.В. Применение диссипативных элементов в виброопорах силовых агрегатов машин. АН ССР. Горьковский филиал Института машиноведенияим.А.А,Благонравова Препринт, Горький, 1989. Юс.

54. Синев A.B., Израилович М.Я., Мугин О.О. Активное управление гидроопорами. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. №1, с. 33-36.

55. Израилович М.Я., Гришаев A.A. Активное виброгашение вынужденных квазигармонических колебаний механических систем с использованием параметрического и силового воздействий// Проблемы машиностроения и надежности машин (ж. РАН).2005.№4.с 25-32.

56. Гришаев A.A. Активное гашение вертикальных колебаний мобильных машин с использованием силового и параметрического воздействий// Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал. 2005. №3. с 56-59.

57. Израилович М.Я., Гришаев A.A. Активное виброгашение вынужденных колебаний механических систем с одной степенью свободы. Анн. сб. трудов ИМАШа за 2005-2006 гг. М. 2006. с. 249-253.

58. Гришаев A.A. Активное виброгашение вынужденных колебаний двухмассовой системы с использованием силового и параметрического воздействий. Проблемы маш. и над. машин. 2007. №3. с.

59. Фролов К.В. Справочник "Вибрации в технике".т.6. Защита от вибраций и ударов. Глава 10 (Ф.А. Фурман). Активные системы виброизоляции, с. 246-257.

60. Potter J.L., McGuire D.R., Brubaker E.L. Elastomer+Fluids+Electronic=Improved Comfort and Realiability for Aircraft. Aerospace Engineering. Dec 2000. p.p. 1-18.